Matematika | Statisztika » Varianciaanalízis

Varianciaanalízis A kétmintás t-próba általánosítása h mintára: h különböző minta átlagát szeretnénk összehasonlítani, és megállapítani, hogy van-e közöttük szignifikáns különbség. A t-próba használhatatlan: Bonferroni probléma, az I. típusú hibák összegződnek Carlo E. Bonferroni Megoldás: egyszempontú varianciaanalízis (ANOVA = analysis of variance) H0: az összes minta ugyanabból az alapsokaságból származik: µ1 = µ2 = . = µh H1: legalább egy minta nem abból az alapsokaságból származik, mint a többi. Alapelv: Ha a nullhipotézis igaz, akkor minden minta varianciája ugyanazt az elméleti varianciát, σ2 –t becsli. Ezt, mivel több minta van, két különböző, független statisztikával becsüljük. Először a mintákon belüli varianciákból becsüljük az összvarianciát, másodszor a mintaátlagok becsült varianciájából. Feltételek: 1) a minták függetlensége 2) normális eloszlású alappopuláció a vizsgált

valószínűségi változóra 3) a varianciák homogenitása (a minták által becsült variancia ugyanannak a varianciának a becslése) – Bartlett próba v. az Fmax teszt xij: a j minta i eleme Q: Eltérés-négyzetösszeg (sum of squares). Q-t osztva a szabadságfokkal kapjuk a becsült varianciát. x A variancia analízis két alapmodellje Churchill Eisenhart: "The Assumptions Underlying the Analysis of Variance" Biometrics 3: 1-21 (1947) I. Modell A különbséget KEZELÉS okozza. Cél: a mintaátlagok közötti különbségek felmérése Az egyes értékek összetevői a következők: xij =µ + αj + εij főátlag (várható érték) + kezelés okozta eltérés (pozitív v. negatív) + norm. eloszlású random komponens (nulla várható értékkel) Ha az F próba szignifikáns, tovább mehetünk annak kimutatására, hogy mely átlagok között vannak szignifikáns különbségek (SD). Ha 2 mintaátlag különbsége meghaladja az SD-t Æ ők okozzák a

nagy varianciát. I. modell döntési fája Homogenitásvizsgálat F próba nem szignifikáns STOP szignifikáns „megtervezett” eset a priori „nem tervezett” eset a posteriori Kruskal-Wallis próba Ha előre eldöntöttük, hogy melyik csoportok átlagát akarjuk összehasonlítani (pl. többféle kezelés és egy kontroll esetén: a kezeltek különböznek-e a kontrolltól), akkor az ún. (meg)tervezett eset áll elő Ha a kísérlet eredményének ismeretében választjuk ki a két leginkább különböző átlagú csoportot, az az ún. „nem tervezett” eset Utóbbi esetben szigorúbb kritérium alapján döntjük el, hogy szignifikáns-e a különbség. II. Modell Nincsenek rögzített kezelések, a csoportok különbségét random hatások okozzák. xij =µ + Aj + εij ahol Aj egy normális eloszlású változó σA2 varianciával – lényegében a külső variancia. εij – random komponens Ekkor az a kérdés, hogy mi a csoportok közötti különbség,

érdektelen. A σA2 (külső) variancia az összvariancia hányad részét teszi ki? Cél: pl. mintavételezés optimalizálása (elővizsgálat egy drágább vizsgálat előtt) A varianciaanalízis folytatása az I. modellben I. α’ = α / g (Bonferroni korrekció)