Matematika | Felsőoktatás » Harnos-Reiczigel - Vektorok, mátrixok

Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 32 Vektorok, mátrixok n × m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. a12 L a1m ⎞ ⎛a ⎜ 11 ⎟ ⎜ a 21 a 22 L a 2 m ⎟ n× m Jelölés: A = A = ⎜ , ahol aij az i-edik sor j-edik ⎟ M M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a n1 a n 2 L a nm ⎠ eleme. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix. ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ Jelölés: b = ⎜ ⎟ , ahol bi az i-edik koordináta. M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ bn ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 33 n dimenziós nullvektor az az n dimenziós vektor, melynek minden koordinátája 0. ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ Jelölés: 0 = ⎜ ⎟ . M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ sorvektor: (u1 , u 2 ,., u n ) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 34 Négyzetes mátrixnak nevezünk egy olyan

mátrixot, amelyben a sorok és az oszlopok száma megegyezik. n-edrendű mátrixnak nevezzük az n × n dimenziós négyzetes mátrixokat. Egy n-edrendű mátrix főátlója (fődiagonálisa) az a11 , a 22 ,K, a nn elemeket tartalmazó átló. Egy négyzetes mátrix szimmetrikus, ha szimmetrikus a főátlójára nézve, azaz aij = a ji . n-ed rendű mátrix spurja vagy nyoma (trace) n Sp A = ∑ aii i =1 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 35 A diagonális mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amely legfeljebb a főátlójában tartalmaz 0-tól eltérő elemet. ⎛10 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0⎟ Példa: ⎜ . ⎟ 0 0 −3 0 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 0 0 0 2⎠ Az egységmátrix egy olyan diagonális mátrix, amely a főátlóban 1-eseket tartalmaz. I = I n× n ⎛1 ⎜ ⎜0 = In = ⎜0 ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝ 0 0 L 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ 0 1 0⎟ . ⎟ O M⎟ 0 0 L 1 ⎟⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos

Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 36 Mátrixalgebra Két mátrix egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek. ⎛ a11 a12 L a1m ⎞ ⎛ c11 c12 L c1l ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ a a a c c c L L ⎜ ⎜ 21 22 2m ⎟ 22 2l ⎟ k ×l és A n× m = ⎜ 21 C = ⎜ M M M ⎟ M ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ a n1 a n 2 L a nm ⎠ ⎝ ck 1 ck 2 L ckl ⎠ egyenlő pontosan akkor, ha n = k , m = l és aij = cij . ⎛u⎞ ⎛v⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ v ⎟ ≠ ⎜ u ⎟ , ha u ≠ v , ⎜ w⎟ ⎜ w⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 0⎞ ⎛1 2⎞ ⎟≠⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 3 4 0⎠ ⎝ 3 4⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 37 Két n × m dimenziós mátrix összege az a szintén n × m dimenziós mátrix, ahol minden elem a két összeadandó mátrix megfelelő elemeinek összegeként áll elő. ⎛ a11 a12 L a1m ⎞ ⎛ b11 b12 L b1m ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ a21 a 22 L a 2 m ⎟ ⎜ b21 b22 L b2 m ⎟ = C := A + B = ⎜ +⎜ ⎟ ⎟ M M M M

⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ an1 a n 2 L a nm ⎠ ⎝ bn1 bn 2 L bnm ⎠ ⎛ a11 + b11 a12 + b12 L a1m + b1m ⎞ ⎟ ⎜ a 22 + b22 L a 2 m + b2 m ⎟ ⎜a + b cij = a ij +bij = ⎜ 21 21 ⎟ M M ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ an1 + bn1 an 2 + bn 2 L anm + bnm ⎠ A mátrixok összeadása kommutatív és asszociatív. A+B=B+A (A + B ) + C = A + (B + C). Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 38 Egy n × m dimenziós mátrix szorzata a k valós számmal (skalárral) egy olyan n × m dimenziós mátrix, ahol minden elem az eredeti mátrix megfelelő elemének k-szorosa. ⎛ a11 ⎜ ⎜ a 21 C := kA = k ⎜ M ⎜⎜ ⎝ a n1 a12 a 22 an 2 k = −1 (− 1)A = − A A − B = A + (− B ) L a1m ⎞ ⎛ ka11 ⎟ ⎜ L a 2 m ⎟ ⎜ ka21 =⎜ ⎟ M M ⎟⎟ ⎜⎜ L a nm ⎠ ⎝ kan1 ka12 ka22 kan 2 L ka1m ⎞ ⎟ L ka2 m ⎟ . ⎟ M ⎟⎟ L kanm ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő,

2002 ősz ⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Példa: legyen a := ⎜ 3 ⎟ és b := ⎜ 0 ⎟ . ⎜ 5⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Példa: Számoljuk ki az alábbi kifejezésekt: a + b , 3a − 2b ! Megoldás: a két vektor dimenziója azonos, tehát összeadhatóak. ⎡ 2 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎡ 2 + 5⎤ ⎡ 7 ⎤ a + b = ⎢3⎥ + ⎢0⎥ = ⎢3 + 0 ⎥ = ⎢3⎥ és ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣5⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎣⎢5 + 2⎥⎦ ⎣⎢7 ⎥⎦ ⎡ 2⎤ ⎡5⎤ ⎡3 ⋅ 2⎤ ⎡ 2 ⋅ 5⎤ ⎡− 4⎤ 3a − 2b = 3⎢3⎥ − 2 ⎢0⎥ = ⎢3 ⋅ 3⎥ − ⎢ 2 ⋅ 0⎥ = ⎢ 9 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣5⎥⎦ ⎣⎢2⎥⎦ ⎣⎢3 ⋅ 5⎥⎦ ⎣⎢2 ⋅ 2⎥⎦ ⎢⎣ 11 ⎥⎦ 39 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz ⎛1 2⎞ ⎛ 1 0⎞ Példa: legyen A := ⎜ ⎟ és B := ⎜ ⎟. ⎝ 3 4⎠ ⎝ −1 2⎠ Számoljuk ki az alábbi kifejezéseket: A + B , 3A − 2B ! Megoldás: a két

mátrix dimenziója azonos, tehát összeadhatóak. ⎡1 2⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡1 + 1 2 + 0⎤ ⎡2 2⎤ A+B = ⎢ ⎥ + ⎢− 1 2⎥ = ⎢3 − 1 4 + 2⎥ = ⎢2 6⎥ és 3 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡3 − 2 6 − 0 ⎤ ⎡ 1 6 ⎤ ⎡1 2⎤ =⎢ =⎢ − 2⋅⎢ 3A − 2B = 3 ⋅ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣− 1 2⎦ ⎣9 + 2 12 − 4⎦ ⎣11 8⎦ ⎣3 4⎦ 40 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 41 Egy n × m dimenziós mátrix transzponáltja az az m × n dimenziós mátrix, amely az eredeti mátrixból a sorok és az oszlopok felcserélésével keletkezik. ⎛ a11 a12 L a1m ⎞ ⎛ a11 a21 L a n1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 L a2 m ⎟ ⎜ a12 a 22 L a n 2 ⎟ T A=⎜ . ⇒ A =⎜ M M ⎟ M M ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ an1 a n 2 L a nm ⎠ ⎝ a1m a 2 m L a nm ⎠ C = A T cij = a ji n dimenziós sorvektor egy n dimenziós (oszlop)vektor transzponáltja. ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ b = ⎜

⎟ ⇒ b T = (b1 b2 L bn ). M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ bn ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 42 ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ⎜ 2⎟ ⎜ b2 ⎟ Két n dimenziós vektor, a = ⎜ ⎟ és b = ⎜ ⎟ skaláris szorzata az M M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ an ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ n ⎜ b2 ⎟ T a b = (a1 a 2 L an )⎜ ⎟ = ∑i =1 ai bi = a1b1 + a 2 b2 + K + a n bn szám. M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ bn ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ⎜ ⎟ a = ⎜ 2 ⎟, b = ⎜ 4 ⎟ , a b = (1 2 3)⎜ 4 ⎟ = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = 26 ⎜ 3⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 43 Egy n × m dimenziós mátrix és egy m dimenziós vektor szorzata a következő n dimenziós vektor: m ⎛ ⎛ a11 a12 L a1m ⎞⎛ x1 ⎞ ⎜ ∑ j =1 a1 j x j ⎞⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ m ⎟ ⎜ L a a a x a x ⎜ 21 22

2 m ⎟⎜ 2 ⎟ ∑ 2 j j Ax = ⎜ = ⎜ j =1 ⎟. ⎟ ⎜ ⎟ M M M M ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ m ⎝ a n1 a n 2 L anm ⎠⎝ xm ⎠ ⎜⎝ ∑ j =1 a nj x j ⎟⎠ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞⎜ ⎟ ⎛ 0 + 4 + 12 ⎞ ⎛ 16 ⎞ A=⎜ Ax = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟, x = ⎜ 2 ⎟ ⎟⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎝ 4 5 6 ⎠⎜ ⎟ ⎝ 0 + 10 + 24 ⎠ ⎝ 34 ⎠ ⎝ 4 5 6⎠ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 4⎠ Egyenletrendszer: 2x + 3y = 5 ⎛2 3 ⎞ ⎛ x⎞ ⇒ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟= 4x − 6 y = 2 − 4 6 ⎝ ⎠ ⎝ y⎠ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 44 Egy n × l dimenziós és egy l × m dimenziós mátrix szorzata az az n × m dimenziós mátrix, mely i-edik sorának j-edik eleme az első mátrix i-edik sorának és a második mátrix j-edik oszlopának skaláris szorzata: ⎛ a11 a12 L a1l ⎞⎛ b11 b12 L b1m ⎞ ⎟⎜ ⎜ ⎟ a 22 L a 2 l ⎟⎜ b21 b22 L b2 m ⎟ ⎜a AB =

⎜ 21 = ⎟ ⎜ ⎟ M M M M ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a n1 a n 2 L a nl ⎠⎝ bl1 bl 2 L blm ⎠ l ⎛ ∑l a1 j b j1 L ∑ j =1 a1 j b jm ⎞⎟ ⎜ j =1 cik = ai1b1k + ai 2 b2 k + l ⎟ =⎜ M cik = ∑ j =1 aij b jk M ⎜ l ⎟ + . + ail blk l ⎜ ∑ a nj b j1 L ∑ j =1 anj b jm ⎟⎠ ⎝ j =1 ⎛1 2⎞ ⎛ 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 9 1 ⋅ 7 + 2 ⋅10 1 ⋅ 8 + 2 ⋅11 ⎞ ⎛ 18 27 30 ⎞ ⎟ ⎟⎛ 0 7 8 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 9 3 ⋅ 7 + 4 ⋅10 3 ⋅ 8 + 4 ⋅11⎟ = ⎜ 36 61 68 ⎟ ⎜ 3 4 ⎟⎜ ⎜ 5 6 ⎟⎝ 9 10 11⎠ ⎜ 5 ⋅ 0 + 6 ⋅ 9 5 ⋅ 7 + 6 ⋅10 5 ⋅ 8 + 6 ⋅11⎟ ⎜ 54 95 106 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 45 A mátrixok szorzása nem kommutatív, azaz AB ≠ BA . Megjegyzés: 1. Az AB szorzat létezéséből nem is következik, hogy a BA szorzat is létezik. ⎛ b1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = (a1 a 2 a3 )⎜ b2 ⎟ = a1b1 + a 2 b2

+ a3b3 A = (a1 a 2 a3 ) B = ⎜ b2 ⎟ ⎜b ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎛ b1 a1 b1 a 2 b1 a3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ BA = ⎜ b2 ⎟(a1 a 2 a3 ) = ⎜ b2 a1 b2 a 2 b2 a3 ⎟ ⎜b ⎟ ⎜b a b a b a ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 1 3 2 3 3⎠ 3. Négyzetes mátrixok szorzása sem kommutatív: ⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞ pl. ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ − − − − 3 4 1 1 1 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 6 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 4 ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ − 1 − 1⎠⎝ 3 4 ⎠ ⎝ − 4 − 6 ⎠ A mátrixok szorzása asszociatív és disztributív, azaz A(BC ) = (AB )C , valamint A(B + C) = AB + AC , ha a műveletek értelmesek. Példa: asszociativitás illusztrálására ⎛ x⎞ T ⎛a b⎞ u = ⎜ ⎟, u = ( x y ), A = ⎜ ⎟ ⎝ y⎠ ⎝c d⎠ ⎛a b⎞ T u A = ( x y )⎜ ⎟ = (ax + cy bx + dy ) ⎝c d⎠ 46 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) –

Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 47 ⎛ a b ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x⎞ y )⎜ ⎟⎜ ⎟ = (ax + cy, bx + dy )⎜ ⎟ = ax 2 + cxy + bxy + dy 2 ⎝ c d ⎠⎝ y ⎠ ⎝ y⎠ ⎛ a b ⎞⎛ x ⎞ ⎛ ax + by ⎞ Au = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ c d ⎠⎝ y ⎠ ⎝ cx + dy ⎠ ⎛ ax + by ⎞ T u (Au ) = ( x y )⎜ ⎟ = ax 2 + cxy + bxy + dy 2 ⎝ cx + dy ⎠ ( u A )u = ( x T ⇒ (u T A )u = u T (Au ) (Kvadratikus függvények felírhatók mátrixok szorzataként.) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 48 ⎛ 1 0 0 L 0⎞ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜0 1 0 I = I n× n = I n = ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ O M⎟ ⎜M ⎜ 0 0 0 L 1⎟ ⎝ ⎠ Ha A n × n -es mátrix, akkor IA=AI=A. Ha C n × m -es: I n× n C = C illetve CI m× m = C . Egy A n-edrendű mátrix inverze az A −1 mátrix, ha AA −1 = A −1 A = I . Mátrixok osztása: CSAK INVERZZEL VALÓ SZORZÁS lehetséges, ha létezik az inverz. AB −1 , illetve B −1 A . A kettő

általában nem ugyanaz példa? Csak négyzetes mátrixnak létezhet inverze!! NULLOSZTÓ! Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 49 Alkalmazások 1. Gráfelmélet Adjacencia vagy szomszédsági mátrix: Illeszkedési mátrix az n csúccsal rendelkező gráf esetén az az n × n -es mátrix, amelyben a = 1 , ha az i-edik csúcsból él vezet a j-edik csúcsba, egyébként pedig a = 0 . ij ij Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 50 Irányítatlan gráf (szimmetrikus mátrix) 1 2 3 4 5 2 3 ⇒ 1 5 4 1⎛0 ⎜ 2⎜1 3⎜1 ⎜ 4⎜1 5 ⎜⎝ 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 51 Irányított gráf: 1 2 3 4 5 6 7 1 ⎛ 0 1 0 0 0 0 0⎞ ⎟ ⎜ 5 2 ⎜ 0 0 1 0 0 0 0⎟ 3 ⎜ 0 1 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⇒ 4 ⎜ 0 0 1 1 0 0 0⎟ 5 ⎜ 1

0 1 0 0 0 0⎟ 4 ⎟ ⎜ 6 2 3 6 ⎜ 0 0 0 0 0 0 1⎟ 7 ⎜⎝ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟⎠ Irányított gráf esetén az adjacencia mátrix nem szimmetrikus, csak a megfelelő helyen vannak 1-esek. Például, az 1 sor 2 oszlopában van 1, hiszen az 1. csúcsból a 2-ba vezet él, viszont a 2-ből az 1-be nem, így a 2. sor 1 oszlopában 0 áll 7 1 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 52 2. Ökológia (Thall, Mortimer, Rebman, Baum, 1967) Mérgező anyagok felhalmozódásának vizsgálata táplálkozási láncokban (pl. Hg) Ökológiai rendszer: 1. A növényevő állatok táplálékául szolgáló vegetáció: p1 , p 2 ,., p r különböző növények 2. Növényevő állatok: a1 , a 2 ,.a s különböző fajok 3. Húsevő állatok: c1 , c2 ,., ct különböző fajok ? Mennyit evett indirekt módon a c j a pi -ből egy adott időszakban? Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz

53 X átmeneti mátrix: xij az a j faj egyes egyedei által pi -ből megevett átlagos mennyiség (g vagy kg). Y átmeneti mátrix: yij az c j faj egyes egyedei által ai -ből megevett mennyiség. ( yij darabszámot jelent) a1 a2 . p1 ⎛ x11 ⎜ p 2 ⎜ x21 M ⎜ M ⎜⎜ p r ⎝ xr1 x12 x22 . x1s ⎞ ⎟ . x2 s ⎟ r×s = X M ⎟ ⎟⎟ . xrs ⎠ M xr 2 as c1 c2 . a1 ⎛ y11 ⎜ a 2 ⎜ y 21 M⎜ M ⎜⎜ a s ⎝ y s1 y12 y 22 . y1t ⎞ ⎟ . y 2 t ⎟ s ×t = Y M ⎟ ⎟⎟ . y st ⎠ M ys 2 ct Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 54 Ha c1 megeszik a1 -ből y11 -et és a1 megeszik p1 -ből x11 -et, akkor c1 y11 x11 -et evett a1 -en keresztül p1 -ből. Ugyanígy: c1 y 21 x12 -őt evett a 2 -n keresztül p1 -ből c1 y s1 x1s -et evett a s -en keresztül p1 -ből. Összesen: y11 x11 + y 21 x12 ++ y s1 x1s X első sora szorozva Y első oszlopával. Általánosítva: ⎛ z11 z12 K z1t ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ z 21 z

22 K z 2 t ⎟ r ×t Z = XY = ⎜ M M M M ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ z r1 z r 2 K z rt ⎠ z ij megmondja, hogy a j-edik ragadozó közvetve mennyit fogyasztott az i-edik növényből. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 55 Geometriai vektorok A 2, illetve 3 dimenziós vektorok megfeleltethetőek geometriai értelemben vett vektoroknak a síkon, illetve a térben az alábbi ⎛ x⎞ módon: a = ⎜ ⎟ esetén x, y koordináták, vagy a ⎝ y⎠ komponensei. v ⎛ x⎞ ⎛u ⎞ Két vektor, a = ⎜ ⎟ és b = ⎜ ⎟ összege a síkon y ⎝ y⎠ ⎝v⎠ ⎛ x + u⎞ a+b = ⎜ ⎟ ⎝ y + v⎠ ⎛ x⎞ ⎛ kx ⎞ Vektor számszorosa: a = ⎜ ⎟ , ka = ⎜ ⎟ ⎝ y⎠ ⎝ ky ⎠ P(x,y) a y x vektor b a a+b x ky y a x u ka kx Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 56 Egy vektor normája (vagy abszolút értéke vagy hossza) a következő: ⎛ x⎞ a = ⎜ ⎟ a

= x 2 + y 2 = aT a ⎝ y⎠ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ Általánosan: ha a = ⎜ M ⎟ , akkor ⎜a ⎟ ⎝ n⎠ a = a12 + a22 + K + an2 = a T a . Bebizonyítható, hogy 2 kétdimenziós vektor a T b = a b cos α , ahol α a két vektor által bezárt szög. skaláris Ha α = 90 o ⇒ cos α = 0 ⇒ a T b = 0 , és megfordítva is (ha a, b ≠ 0) szorzata Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz Merőleges (ortogonális) vektrorok: Tudjuk, hogy derékszögű háromszögek esetén igaz a Pitagorasz tétel. Ezt és a normailletve vektor szorzás tulajdonságait felhasználva: 2 2 2 a1 − a 2 = a1 + a 2 57 a1 a 1 − a 2 = (a 1 − a 2 ) (a 1 − a 2 ) = (a1T − a T2 )(a 1 − a 2 ) = 2 T 2 2 = a a 1 − a a 2 − a a 1 + a a 2 = a 1 + a 2 − 2a a 2 T 1 a1-a2 T 1 T 2 T 2 T 1 a2 A két azonosságot összevetve kiderül, hogy ha két vektor merőleges egymásra, skaláris szorzatuk 0. Fordítva is igaz, ha két vektor

skaláris szorzata 0, akkor merőlegesek egymásra. ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ Koordinátákkal: a 1 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟, a 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x1 x2 + y1 y 2 = 0 . ⎝ y2 ⎠ ⎝ y1 ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ e 1 = ⎜ ⎟, e 2 = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ Egységvektorok: e e2 = 0 T 1 58 e2 e1 Minden kétdimenziós vektor felírható a 2 egységvektor lineáris kombinációjaként: a = a1e1 + a 2 e 2 Egy A négyzetes mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha AA T diagonális mátrix. Ez azt jelenti, hogy A sorai páronkéntként merőlegesek egymásra, azaz skaláris szorzatuk 0. ⎛ d11 ⎜ ⎜ 0 T AA = D = ⎜ M ⎜⎜ ⎝ 0 0 d 22 M 0 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ O M ⎟ ⎟⎟ 0 d nn ⎠ 0 0 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 59 Egy A négyzetes mátrixot ortonormáltnak nevezünk, ha AA T egységmátrix. Egy ortonormált mátrix transzponáltja

is ortonormált, azaz oszlopai is merőlegesek egymásra. Ortonormált mátrix esetén, mivel AA T = I , ezért A T = A −1 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 60 Lineáris transzformációk Példa: síkbeli forgatás az origó körül 90°-kal pozitív irányba. ⎛ x⎞ ⎛− y⎞ a = ⎜ ⎟ , a′ = ⎜ ⎟ -y ⎝ y⎠ ⎝ x ⎠ ⎛ 0 − 1⎞⎛ x ⎞ ⎛ − y ⎞ a’ x a′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ a 1 0 y x ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ y x A transzformáció felírható mátrixszal való szorzásként. Általában egy A n × n -es mátrixszal való szorzás, x′ = Ax , R n -nek egy transzformációját hozza létre. Erre teljesül: (αx )′ = αx′, ( A(αx ) = αAx ), és (x + y )′ = x′ + y ′ , Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 61 ezért ezt lineáris transzformációnak nevezzük. A a lineáris transzformáció mátrixa. A fenti példa

szerint a síkon az origó körüli 90°-os forgatás lineáris ⎛ 0 − 1⎞ transzformáció, melynek mátrixa: ⎜ ⎟. ⎝1 0 ⎠ példa: 180°-os forgatás Két 90°-os forgatás egymás utánja: ⎛ 0 − 1⎞⎛ 0 − 1⎞⎛ x ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ − x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 ⎠⎝ 1 0 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 0 − 1⎠⎝ y ⎠ ⎝ − y ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 62 Determinánsok Lineáris egyenletrendszerek ax1 + bx2 = u ⎛ a b ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ u ⎞ Példa: vagy mátrix alakban írva ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ . c d cx1 + dx 2 = v ⎝ ⎠⎝ x2 ⎠ ⎝ v ⎠ Ha létezik egyértelmű megoldás, akkor az felírható: u − bx2 , ha a ≠ 0 x = a u − bx2 c + dx2 = v a cu − cbx2 + adx2 = av 1 cu − av = (cb − ad ) x2 x2 = cu − av av − cu ud − vb = , x1 = , ha cb − ad ad − bc ad − bc ad − bc ≠ 0 Biomatematika I. (SZIE

ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 63 ⎛a b⎞ a b Bevezetve a det⎜ = ad − bc definíciót, ⎟= ⎝c d⎠ c d u b a u ud − vb v d av − cu c v = és = , x1 = x2 = ad − bc a b ad − bc a b c d c d a b ahol ≠0 c d Megjegyzés: Nem csak másodrendű, hanem magasabb rendű mátrixoknak is létezik determinánsa. A magasabb rendű determinánsok kiszámítása visszavezethető alacsonyabb rendűek kiszámításásra. Cramer szabály Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 64 Tekintsük az Ax = u n egyenletből álló, n ismeretlenes lineáris egyenletrendszert, ahol detA ≠ 0. Ekkor az egyenletrendszer megoldható és A pontosan egy x megoldása van, ahol xk = k , (k = 1,2,K, n ), ahol A k úgy A keletkezik, hogy az A mátrix k-adik oszlopát kicseréljük az u vektorral. 8 x1 − 15 x2 = 7 19 229 Példa: (mo: x1 = ) , x2 = 3 x1 + 22 x2 = 5 221 221 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = u1 a21

x1 + a22 x2 + a 23 x3 = u 2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = u 3 ⇒ Ax = u Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a 21 ⎜a ⎝ 31 u1 x1 = u2 u3 a12 a 22 a32 a12 65 a13 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a 23 ⎟, x = ⎜ x2 ⎟, u = ⎜ u 2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜u ⎟ a33 ⎠⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ a13 a11 u1 a13 a11 a12 u1 a 22 a 23 a 21 u 2 a 23 a 21 a 22 u 2 a32 a33 a31 u 3 a33 a31 a32 u 3 , x1 = , x1 = det A det A det A Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 66 Hogyan lehet magasabb rendű determinánsokat kiszámítani? rekurzív definíció: Aldeterminánsokkal Egy n × n -es A determináns aij elemhez tartozó (n − 1) × (n − 1)-es előjeles aldeterminánsa az A ij determináns, mely az A determinánsból az i-edik sor és j-edik oszlop elhagyásával és (− 1) -vel való szorzással keletkezik. i+ j Kifejtési tétel: n>2

esetén a determinánsok értéke a determináns hagyományos, itt nem említett definíciója alapján nehezen határozható meg. A következő egyenlőséggel a feladat azonban visszavezethető eggyel kisebb n méretű determinánsok meghatározására: det (A ) = ∑i =1 aij A ij , illetve det (A ) = ∑ j =1 aij A ij , ahol A ij a megfelelő előjeles aldetermináns. Ezt a n módszert a determináns j. oszlopa, illetve i sora szerinti kifejtésnek nevezzük. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 67 Példa: az alábbi 3x3-as determináns az első oszlopa szerint kifejtve: ⎛ a11 a12 a13 ⎞ a11 a12 a13 ⎟ ⎜ a12 a12 a13 a 22 a 23 det⎜ a21 a22 a 23 ⎟ = a 21 a 22 a 23 = a11 − a 21 + a31 a 22 a32 a33 a32 a33 ⎟ ⎜a ⎝ 31 a32 a33 ⎠ a31 a32 a33 A második oszlop szerint kifejtve: ⎛ a11 a12 a13 ⎞ a11 a12 a13 ⎜ ⎟ a a23 a a a a det⎜ a21 a22 a23 ⎟ = a21 a22 a23 = −a12 21 + a22 11 13 − a32 11 13 a31

a33 a31 a33 a21 a23 ⎜a ⎟ ⎝ 31 a32 a33 ⎠ a31 a32 a33 + − + Előjelek megválasztása (indexek összegének paritása): − + − + − + a13 a 23 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz Példa: 3 x1 + 2 x2 − x3 = 18 2 x1 − 5 x2 − 7 x3 = −5 x1 + 4 x2 + x3 = 3 − 144 387 246 . , x2 = , x3 = 38 38 38 Nullák sokat segítenek a determinánsok kiszámításánál: példa: 13 − 713 25 13 25 0 9 0 =9 = 9(104 + 50 ) = 1386 −2 8 8 − 2 106 megoldás: x1 = 68 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 69 1. Ha van egy 0 sor vagy oszlop, a determináns 0 2. Egy determináns értéke nem változik, ha felcseréljük sorait és oszlopait, azaz det (A ) = det (A T ). 3. Ha egy mátrix két sorát vagy két oszlopát felcseréljük, akkor a determinánsa (-1)-szeresére változik. 4. Ha egy mátrix két sora vagy oszlopa megegyezik, vagy egymás számszorosa,

akkor a determinánsa 0. 5. Ha egy mátrix valamely sorát vagy oszlopát λ -val szorozzuk, akkor a determinánsa is λ -val szorzódik. λa1 λa 2 λa3 a1 a 2 a3 b1 c1 b2 c2 b3 = λ b1 c3 c1 b2 c2 b3 c3 6. Ha a főátló alatt, vagy fölött minden elem 0, akkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz ⎛ a1 ⎜ 7. Ha A = ⎜ u1 ⎜v ⎝ 1 akkor 70 a3 ⎞ ⎛ b1 b2 b3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ , u 3 ⎟ és B = ⎜ u1 u 2 u 3 ⎟ ⎜v v v ⎟ v3 ⎟⎠ ⎝ 1 2 3 ⎠ a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3 det (A ) + det (B ) = u1 u2 u3 v1 v2 v3 a2 u2 v2 8. Ha egy mátrix bármelyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) számszorosát, a determináns értéke nem változik. a1 a 2 a3 a1 + λb1 a 2 + λb2 a3 + λb3 b1 c1 b2 c2 b3 = c3 b1 c1 b2 c2 b3 c3 9. Két mátrix szorzatának determinánsa megegyezik a két mátrix determinánsának a szorzatával, azaz det (AB ) =

det (A )det (B ) . Példa: Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz (1) 8 2 0 3 1 −3 −4 0 −4 1 2 2 5 2 71 (2) 0 −4 0 7 = 7 1 −3 5 5 −4 0 2 8 3 1 9 8 −4 1 0 0 11 = (− 1)(− 3) 3 7 9 =3 3 7 9 7 −4 2 5 −4 2 5 5 3 7 = 3 ⋅11 ⋅ (6 + 28) = 1122 3 ⋅11 −4 2 (1) A 2. sorhoz hozzáadjuk a 3 sort (2) Az 1. sorhoz hozzáadjuk a 3 sor kétszeresét Egy n-edrendű mátrix szinguláris, ha determinánsa 0, reguláris, ha nem 0. Szinguláris mátrixnak nincs inverze. Ha detA≠0, akkor A-nak létezik inverze. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 72 Ha A-nak létezik inverze, akkor detA≠0. Mátrix inverzének kiszámítása Egyenletrendszer: Ax = u ⇒ x = A −1u 3×3-as esetben: ⎛ a 22 ⎜+ ⎜ a32 1 ⎜ a 21 −1 A = ⎜− det A ⎜ a31 ⎜ a 21 ⎜+ ⎝ a31 a 23 a33 a 23 a33 a 22 a32 a12 − a32 a11 + a31 a − 11 a31 a13 a33 a13 a33

a12 a32 a12 + a 22 a11 − a 21 a + 11 a 21 a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ a13 ⎟ ⎟ a 23 ⎟ a12 ⎟ ⎟ a 22 ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 73 1. Számítsuk ki detA-t! 2. Készítsünk el egy mátrixot az eredeti mátrix alapján úgy, hogy minden aij elem helyére a hozzá tartozó aldeterminánst írjuk! 3. Transzponáljuk a mátrixot! 4. Osszuk el det A -val! ⎛ 4 1 2⎞ ⎟ ⎜ példa: Számítsuk ki az A = ⎜ 5 − 1 3 ⎟ inverzét! ⎜ 2 2 0⎟ ⎝ ⎠ 5 ⎞ ⎛− 6 4 ⎟ 1⎜ −1 megoldás: A = ⎜ 6 − 4 − 2 ⎟ 6⎜ ⎟ − − 12 6 9 ⎝ ⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 74 Lineáris összefüggőség 3x − 2 y = 7 − 6 x + 4 y = −14 A két egyenlet egymás számszorosa, a második nem tartalmaz új információt. A két egyenlet lineárisan függ egymástól Vektorok esetén: a a ⎛ 6 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ − 18 ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎜

⎟ ⎜ ⎟ a = ⎜ 2 ⎟, a = ⎜ 3 ⎟, (− 3)a = ⎜ − 6 ⎟ 2/3a 2 -3a ⎜ − 4⎟ ⎜ − 6⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Két vektor lineárisan összefüggő, ha létezik λ1 és λ2 nem mindkettő 0 úgy, hogy λ1a 1 + λ2 a 2 = 0 . Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 75 Három vektor akkor lineárisan összefüggő, ha létezik λ1 , λ2 és λ3 nem mind 0 úgy, hogy λ1a 1 + λ2 a 2 + λ3a 3 = 0 . Ha például λ3 ≠ 0 , akkor a3 = − λ1 λ a1 − 2 a 2 . λ3 λ3 -(λ 2/λ3)a2 Az a 3 az a 1 és a 2 lineáris kombinációja. (Egy síkon vannak.) a3 a2 a1 -(λ1/λ 3)a1 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 76 Az a1 , a 2 ,K, a k n dimenziós vektorok lineárisan összefüggőek, ha léteznek olyan λ1 , λ2 ,K, λk számok úgy, hogy nem mindegyikük 0, és λ1a1 + λ2 a 2 + K + λk a k = 0 . Az A n × k dimenziós mátrix és a b n

dimenziós vektor lineárisan összefüggőek, ha az A mátrix oszlopaiból képzett a1 , a 2 , K , a k n dimenziós vektorok és a b vektor lineárisan összefüggőek. Az a1 , a 2 , K , a k n dimenziós vektorok lineárisan függetlenek, ha nem lineárisan összefüggőek. Az a1 , a 2 , K , a k n dimenziós vektorok (k<=n) lineárisan összefüggőek pontosan akkor, ha a vektorokból képzett n × k dimenziós mátrix valamennyi k × k -as aldeterminánsa 0. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 77 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Példa: a1 = ⎜ − 2 ⎟ , a 2 = ⎜ − 3 ⎟ , a belőlük képzett mátrix ⎜ − 2 − 3 ⎟ . ⎜ 10 ⎟ ⎜ 15 ⎟ ⎜ 10 15 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −2 −3 4 6 4 6 Az aldeterminánsok = 0, = 0 és = 0 , vagyis 10 15 10 15 −2 −3 valamennyien 0-k, ezért a vektorok lineárisan összefüggőek. Példa: a1T = (2 1 5 − 1), a T2 = (5 0 10 0 ) , a T3 = (1

− 2 0 3) Függetlenek-e? Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 78 Altér, generált altér, generáló rendszer, bázis R n -et n dimenziós vektortérnek nevezzük ∅ ≠ V ⊆ R n altér, ha az összeadás és számmal szorzás nem vezet ki belőle. A v 1 , v 2 ,., v k ∈ R n vektorok által generált altér az a legszűkebb altér, amely a vektorokat tartalmazza. Ez a vektorok összes lineáris kombinációiból álló halmaz. A 3 dimenziós térben az alterek az origón átmenő egyenesek, illetve síkok, valamint a {0} és maga a tér. A v 1 , v 2 ,., v k ∈ R n vektorokat generátor rendszernek nevezzük, ha az általuk generált altér a teljes R n . A v 1 , v 2 ,., v k ∈ R n vektorokat bázisnak nevezzük, ha a vektorok lineárisan függetlenek és generáló rendszert alkotnak. Egy bázis ortonormált, ha egységnyi hosszúságú, egymásra merőleges vektorokból áll. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK

zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 79 ⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Példa: R 3 természetes bázisa: ⎜ 0 ⎟, ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟ . Ez a bázis ortonormált ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Állítás: R n bármely bázisa n vektorból áll. Állítás: A n × n -es mátrix. Tekintsük az x-hez Ax-et hozzárendelő leképezést. A oszlopai a természetes bázis elemeinek képei Állítás: Ha A ortonormált, akkor a transzformáció a természetes bázist egy ortonormált bázisba képzi le (koordináta- rendszer váltás). Példa: Tükrözés, forgatás. Ha Rn-ben vagyunk, és n-nél több vektorunk van, akkor ezek biztosan összefüggők, azaz maximum n db független vektorunk lehet. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 80 Ha k vektor független, és elveszünk belőle egyet, a maradék is független lesz. Ha összefüggőek, és hozzávesszünk egyet,

ismét összefüggőeket kapunk. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 81 Egyenletrendszerek megoldhatósága 3x − 2 y = 7 Példa: Az egyik elhagyható. Az együttható mátrix − 6 x + 4 y = −14 determinánsa 0 van (sok) megoldás. 3x − 2 y = 7 − 6 x + 4 y = 11 ⎛ 3 − 2⎞ 11≠(-2)7, det⎜ ⎟=0 − 6 4 ⎝ ⎠ A bal oldalak még mindig nem függetlenek.! 3x − 2 y = 0 x + 5y = 0 nincs megoldás. homogén lineáris egyenletrendszer Triviális megoldás: x = 0, y = 0 . Mi van, ha az egenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával? Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 82 A nem triviális megoldás léte az együttható mátrix determinánsától függ. Az Ax = u lineáris egyenletrendszer megoldhatóságára az alábbiak igazak: ha det (A ) ≠ 0 , akkor a Cramer szabály alkalmazható és - u = 0 (homogén) esetén csak az x = 0 triviális

megoldás létezik, - u ≠ 0 esetén létezik pontosan egy x ≠ 0 nem triviális megoldás; ha det (A ) = 0 , akkor a Cramer szabály nem alkalmazható és - u = 0 (homogén) esetén az x = 0 triviális megoldás és végtelen sok x ≠ 0 nem triviális megoldás létezik - u ≠ 0 esetén, ha A és u függetlenek, ekkor nincs megoldás egyébként végtelen sok megoldás van. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz x1 − 2 x2 − x3 = 0 Példa: 2 x1 + x2 =0 x1 − 3 x2 + x3 = 0 83 x1 − 2 x2 − x3 = 0 2 x1 + x2 =0 x1 + 3 x2 + x3 = 0 Vektorok összefüggőségének és az egyenletrendszerek megoldhatóságának kapcsolata: ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Példa: Összefüggőek-e u 1 = ⎜ 2 ⎟, u 2 = ⎜1 ⎟, u 3 = ⎜1 ⎟ , azaz létezik-e ⎜1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ λ1 , λ2 és λ3 nem mind 0, úgy hogy λ1u 1 + λ2 u 2 + λ3u 3 = 0 , azaz Biomatematika I. (SZIE

ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 84 ⎛1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ λ1 + 2λ2 + 2λ3 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ1 ⎜ 2 ⎟ + λ2 ⎜1 ⎟ + λ3 ⎜1 ⎟ = ⎜ 2λ1 + λ2 + λ3 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . ⎜1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ λ + 2λ + λ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎝ ⎠ 2 3 ⎠ Egy homogén lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Ha csak a triviális megoldás van, akkor függetlenek, ha van nem triviális megoldás, akkor összefüggőek. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 85 Fordítva: Ax vektor ~ A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja, amelyben az együtthatók az x vektor koordinátái. Az Ax=b egyenletrendszernek pontosan akkor létezik megoldása, ha a b vektor előáll, mint az A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja (a b benne van az A oszlopvektorai által generált altérben). Ha az

egyenletrendszernek van megoldása, akkor az pontosan akkor egyértelmű, ha az A oszlopvektorai lineárisan függetlenek (ha összefüggők, akkor végtelen sok megoldás van.) Ha n egyenletünk van n ismeretlenre, akkor az oszlopvektorok függetlensége ekvivalens azzal, hogy detA≠0. Ez ekvivalens azzal, hogy - A invertálható, - A sorvektorai lineárisan függetlenek. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 86 Sajátvektor, sajátérték Négyzetes mátrixok ~ lineáris transzformációk: az u vektor képe Au Lineáris transzformáció sajátvektora olyan (nem 0) vektor, amelynek képe a vektor számszorosa. A szorzószám a sajátvektorhoz tartozó sajátérték Négyzetes mátrix sajátvektora és sajátértéke: A-nak az u ≠ 0 vektor sajátvektora λ sajátértékkel, ha Au = λu (λ∈R). - u-nak a transzformáció csak a hosszát változtatja, az irányát nem; ( - minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték

tartozik); - az u = 0 vektort azért zártuk ki, mert ott a sajátérték nem egyértelmű; - sajátvektor helyett sajátirányt is mondhatnánk (u sajátvektor αu is az) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 87 - ha egy u ≠ 0 vektor képe a 0 vektor (azaz, ha Au = 0), akkor u a mátrix sajátvektora 0 sajátértékkel (és fordítva is, azaz ha egy mátrixnak a 0 sajátértéke, akkor ∃u ≠ 0: Au = 0 ) - egy u sajátvektort normáltnak nevezünk, ha |u| = 1 (sajátvektor alatt néha normáltat értenek akkor is, ha külön nem mondják) ⎛ 2.5 15 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ − 1⎞ Példa: A = ⎜ ⎟ , u1 = ⎜ ⎟ , u2 = ⎜ ⎟ Au1 = 4u1 , Au2 = u2 1 . 5 2 . 5 ⎠ ⎝ ⎝1⎠ ⎝1 ⎠ Tehát A hatása az u1 vektor irányában 4-szeresére nyújtás, az u2 irányában pedig helyben hagyás. (Ezekből már a többi iránybeli hatása is következik) Megjegyzés: nem minden lineáris transzformációnak/mátrixnak van ⎛ 0

1⎞ o sajátvektora, például a nem k ⋅180 -os elforgatásnak, mint pl. A = ⎜ ⎟, − 1 0 ⎠ ⎝ nincsen. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 88 Állítás: azonos sajátértékhez tartozó sajátvektorok – a 0 vektort hozzávéve – alteret alkotnak, azaz bármely lineáris kombinációjuk is sajátvektor, szintén ugyanazzal a sajátértékkel (sajátvektor ~ sajátirány ~ sajátaltér). Bizonyítás: tegyük fel, hogy Au1=λu1 és Au2=λu2 . Ekkor A(αu1 + βu2) = Aαu1 + Aβu2 = λαu1 + λβu2 = λ (αu1 + βu2) . Állítás: egy n×n-es mátrixnak legfeljebb n különböző sajátéréke van. (Bizonyítás: Az a kérdés, hogy az Au = λu egyenletnek hány különböző λ valós szám esetén van u ≠ 0 megoldása. Átrendezve: Au – λu = 0 (A – λI)u = 0 Ennek az egyenletnek csak akkor van u ≠ 0 megoldása, ha det(A – λI) = 0. Mivel det(A – λI) a λ-nak n-edfokú polinomja, ezért a det(A –

λI) = 0 egyenletnek legfeljebb n valós gyöke lehet.) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 89 Megjegyzés: a det(A – λI) polinomot, illetve a det(A – λI) = 0 egyenletet az A mátrix karakterisztikus polinomjának, illetve karakterisztikus egyenletének nevezik. Állítás: egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanazok a sajátértékei Bizonyítás: det(AT – λI) = det(A – λI) miatt A és AT karakterisztikus egyenlete ugyanaz. Állítás: szimmetrikus mátrix különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorai ⎛ 2.5 15 ⎞ páronként merőlegesek egymásra. (Példa erre az előző ⎜ ⎟ mátrix.) ⎝ 1.5 25 ⎠ (Bizonyítás: tegyük fel, hogy Au1=λ1u1 és Au2=λ2u2 , λ1 ≠ λ2. Ha A szimmetrikus, akkor A = AT, és ezért u1TAu2 = u1TATu2 . Másrészt u1TAu2 = λ2u1Tu2 és u1TATu2 = λ1u1Tu2 , tehát λ2u1Tu2 =λ1u1Tu2 , ami csak akkor lehetséges, ha u1Tu2=0.) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK

zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 90 Megjegyzés: ha nem szimmetrikus a mátrix, akkor nem biztos, hogy a ⎛ 2 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1⎞ sajátvektorok merőlegesek. Pl ⎜ ⎟ sajátvektorai ⎜ ⎟ és ⎜ ⎟ . ⎝ 0 3⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠ Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámítása ⎛ 2 2⎞ Példa: határozzuk meg az A = ⎜ ⎟ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! ⎝ 1 3⎠ ⎛ 2 2 ⎞ ⎛ u ⎞ ⎛ λu ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 1 3 ⎠ ⎝ v ⎠ ⎝ λv ⎠ 2 ⎞ ⎛2 − λ ⎜ ⎟ 1 3 λ − ⎠ ⎝ ⎛u ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ v ⎠ ⎝ 0⎠ (*) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 91 2 ⎞ ⎛2 − λ Csak akkor létezik nem 0 megoldás, ha det ⎜ ⎟ = 0, vagyis a 3−λ⎠ ⎝ 1 (2 – λ)(3 – λ) – 2 = 0 egyenletet kell megoldani. A megoldások: λ1 = 1, λ2 = 4 A sajátvektorok meghatározásához a sajátértékeket beírjuk a

(*) egyenletbe és megoldjuk: ⎛1 2 ⎞ ⎛ u ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ u ⎞ ⎛ − 2λ ⎞ λ1 : ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟, v v 1 λ 1 2 0 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ − 2 2 ⎞ ⎛u ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛u ⎞ ⎛ μ ⎞ ⎛1⎞ λ2 : ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = μ ⎜ ⎟ 1 − 1 ⎠ ⎝ v ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ ⎝v ⎠ ⎝μ ⎠ ⎝1⎠ Figyelem, ezeknek az egyenleteknek mindig végtelen sok megoldása van! (v.ö sajátirány, sajátaltér) Ha normált sajátvektorra van szükség, akkor a Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz kapott megoldást normálhatjuk: a λ1-hez tartozó normált sajátvektor 1 ⎛1⎞ 1 ⎛ − 2⎞ λ -höz tartozó , a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. 2 2 ⎝1⎠ 5 ⎝1 ⎠ Általánosan: A négyzetes mátrix sajátértékeinek kiszámítása: a11 − λ a12 a1n K a 21 a 22 − λ K a2 n = 0 megoldásával. det (A − λI ) = M M K M a n1 an 2 K a nn − λ Ez λ egy n-ed fokú

polinomja, a mátrix karakterisztikus egyenlete. Sajátvektorok kiszámítása: Au j = λ j u j 92 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz ( A − λ j I )u j = 0 (a11 − λ j )u1j + a12u 2j + . + a1n u nj = 0 93 ⎛ u1j ⎞ ⎜ j⎟ j j j a 21u1 + (a 22 − λ j )u 2 + . + a 2 n u n = 0 ⎜u ⎟ uj =⎜ 2 ⎟ M M ⎜ ⎟ ⎜u j ⎟ a n1u1j + a n 2 u 2j + . + (a 2 n − λ j )u nj = 0 ⎝ n⎠ Egy szimmetrikus mátrixhoz találhatunk olyan ortonormált bázist, amely csupa sajátvektorból áll (bizonyítás nélkül). U = (u1 u 2 K u n ) mátrix U T AU = diagλ , ha A szimmetrikus (u j )T u k = 0 , minden j ≠ k esetén, azaz merőlegesek egymásra. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 94 (Legyen A szimmetrikus mátrix, U pedig olyan ortonormált mátrix, amelynek oszlopvektorai az A sajátvektorai. Ekkor a UTAU mátrix diagonális, főátlójában az A

sajátértékei állnak. ) Példa: A számolást gyakorolhatjuk a fenti példákban szereplő mátrixokkal: ⎛ 2.5 15 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎝ 1.5 25 ⎠ ⎝ − 1 0 ⎠ ⎝ 0 3 ⎠ Mit kapunk a második mátrix esetében, amely arra volt példa, hogy nem mindig létezik sajátérték? Az egységmátrixnak bármely nem 0 vektor sajátvektora és bármely sajátvektorához tartozó sajátértéke 1. Egy diagonális mátrixnak a természetes bázis vektorai mind sajátvektorai, sajátértékei pedig a mátrix diagonális elemei. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 95 (Egy transzformáció mátrixa akkor és csak akkor diagonális, ha a mátrixot sajátvektorokból álló bázis szerint írtuk fel. Ekkor a főátlóban épp a bázisvektorokhoz tartozó sajátérétkek állnak.) Egy szimmetrikus mátrixot pozitív (negatív) definitnek nevezünk, ha minden sajátértéke pozitív (negatív).

Egy szimmetrikus mátrixot pozitív (negatív) szemidefinitnek nevezünk, ha minden sajátértéke pozitív (negatív) vagy nulla. Ha A pozitív (negatív) definit, akkor bármely u ≠ 0-ra uTAu > 0 (uTAu < 0) (Ortonormált mátrixnak megfelelő lineáris transzformáció - koordináta rendszer váltás. Ekkor a determináns nem változik, azaz a det = a sajátértékek szorzatával.) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 96 Példa: sajátérték, sajátvektor alkalmazására Adott egy populáció n korcsoporttal. Az egyedszámok korcsoportonként a 0. időpontban: x1 (0), x2 (0), x3 (0),., xn (0) A t-edik időpontban a korcsoportvektor: ⎛ x1 (t ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ x2 (t )⎟ x(t ) = ⎜ M ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ xn (t )⎠ Feltesszük, hogy korcsoportonként a születő és elpusztuló egyedek aránya állandó. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz Szaporodásra

képesek a k, k+1,.,k+p korcsoport egyedei A (0,1) időintervallumban az i-edik korcsoport szaporulata: α i xi (0) (i = k , k + 1,., k + p ) ⇒ k+ p x1 (1) = ∑ α i xi (0 ). i=k A többi korcsoport új egyedszáma: ω l - halálozási ráta xl +1 (1) = ω l xl (0 ) 0 < ωl < 1 1.időpont k+ p ⎛ ⎛ x1 (1) ⎞ ⎜ ∑ α i xi (0 ) ⎞⎟ ⎟ ⎜ i=k ⎜ ⎜ x 2 (1)⎟ ⎜ ω x (0 ) ⎟⎟ 1 1 = x(1) = ⎜ ⎟ M ⎟ M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ xn (1) ⎠ ⎜⎝ ω x (0 )⎟⎠ n −1 n −1 l = 1,2,., n − 1 97 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz Átmeneti mátrix: ⎛ 0 0 . α k ⎜ ⎜ ω1 0 . 0 ⎜ 0 ω . 0 2 A := ⎜ ⎜0 ⎜ M ⎜⎜ ⎝ 0 0 . x(1) = Ax(0 ) x(2) = AAx(0 ) M x(m) = A m x(0 ) α k +1 . α k + p 0 0 . . . 0 0 . . . . 0 ω n −1 M 98 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ M⎟ ⎟⎟ 0⎠ Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz

99 x(0)-ból x(1) meghatározható, de fordítva nem, hiszen x(0) = A −1 x(1) lenne, de A −1 nem létezik, mivel van egy csupa 0 oszlopa, és így detA=0. Mikor marad arányaiban állandó a populáció kormegoszlása? Ax(0)=λx(0) λ sajátérték, x(0) sajátvektor Ha x(0) A sajátvektora, akkor a populáció kormegoszlása állandó marad. Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 100 Példa: Lineáris programozás Optimalizálási feladat. Adott c n dimenziós és b m dimenziós vektorok, és az A m×n dimenziós mátrix. Keressük azokat az x n dimenziós vektorokat, amelyek esetén igaz, hogy Ax ≤ b, 0 ≤ x, c T x maximális (minimális). példa: Szarvasmarhák etetésére mezei szénát és egy bizonyos fajta takarmánytápot akarunk használni. Az állatok tejhozamának fenntartására naponta 19,3 kcal energia, 1930 g fehérje, 114 g kalcium és 85 g foszfor szükséges. A széna kilónként 70 Ft-ba, a

takarmánytáp pedig 300 Ft-ba kerül. Milyen arányban adjuk az állatoknak ezeket, hogy felhasználásuk a leggazdaságosabb legyen? Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz Tápanyag mennyiségek Energia Fehérje Ca P kcal/kg g/kg g/kg g/kg Mezei széna 0,5 35 6 2,1 Takarmánytáp 1,1 200 2,6 7,6 Matematikai alak: ( x1 , x2 széna ill. takapmánytáp mennyisége) 0,5 x1 + 1,1x2 ≥ 19,3 35 x1 + 200 x2 ≥ 1930 6 x1 + 2,6 x2 ≥ 114 2,1x1 + 7,6 x2 ≥ 85 ⎛ 0,5 1,1 ⎞ ⎛ 19,3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ 70 ⎞ ⎜ 35 200 ⎟ ⎜1930 ⎟ A=⎜ b c = , = ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 6 2,6 114 ⎝ 300 ⎠ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 2,1 7,6 ⎠ ⎝ 85 ⎠ ⎛ x1 ⎞ x = ⎜⎜ ⎟⎟ , Ax ≥ b, 0 ≤ x c T x = 70 x1 + 300 x2 min ⎝ x2 ⎠ 101 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz Elnevezések: A – technikai együtthatók mátrixa b – jobboldal vektor c –

költségvektor Megoldás: 2 dimenzióban grafikusan, egyébként számítógéppel. Grafikusan: egyenlőtlenségek ⇒félsíkok (metszet: megengedett megoldások) 0,5 x1 + 1,1x2 ≥ 19,3 x2 ≥ 17,5 − 0,45 x1 (1) 35 x1 + 200 x2 ≥ 1930 6 x1 + 2,6 x2 ≥ 114 2,1x1 + 7,6 x2 ≥ 85 x2 ≥ 9,65 − 0,17 x1 ( 2) ⇒ x2 ≥ 43.8 − 2,3 x1 (3) x2 ≥ 11,8 − 0,28 x1 ( 4) z = 0,7 x1 + 3 x2 költségfüggvény x2 = z − 0,23 x1 párhuzamos egyenesek 102 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 103 50 (3) 30 (1) 10 (2) (4) 10 30 50 Minimalizálás: a párhuzamos egyenesekkel lefelé tartva megkeressük a megengedett meoldások halmazával való legalsó metszéspontot. Ez az optimális megoldás: (28,24; 4,7) Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 104 Induló táblázat az Excelben: Mezei széna Takarmánytáp Total jobboldal target cell Energia FehérjeCa P 0,5

35 6 2,1 1,1 200 2,6 7,6 1,6 235 8,6 9,7 19,3 1930 114 85 changing cells 1 1 költség 70 300 370 Megoldás: (Tools, Solver (Add-Ins)) Mezei széna Takarmánytáp Total jobboldal Energia FehérjeCa P 0,5 35 6 2,1 1,1 200 2,6 7,6 19,3 1930181,702495,0878 19,3 1930 114 85 target cell 3389,268 changing cells költség 28,2439 70 4,707317 300 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 105 Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 106 Lehetséges esetek: ha létezik a megengedett megoldások halmaza: - egy csúcson van az optimum, - egy határoló szakaszon van (több megoldás) Többváltozós esetben: simplex módszer A megengedett tartomány csúcsain megy végig. Problémák: - nincs megengedett megoldás (félsíkoknak nincs közös része), - a megengedett megoldások halmaza nem korlátos abban az irányban, amerre a célfüggvény csökken