Betekintés: Balázs Ádám - Fizika 9. osztály I. rész, Kinematika

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és
Kollégium – Biológia tagozat

Fizika 9. osztály
I. rész: Kinematika

Készítette: Balázs Ádám
Budapest, 2019



2.

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék
I. rész: Kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

8. A kinematika alapfogalmai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

9. A sebesség fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

10. Az átlagsebesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

11. Mozgások összetétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

12. A gyorsulás fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

13. A gyorsuló mozgás grafikonjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

14. Feladatok gyorsulásra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

15. A szabadon eső test mozgása

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

16. A függőleges hajítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

17. A vízszintes hajítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

18. Ferde hajítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

19. Feladatok hajításra, szabadesésre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21



8. óra. A kinematika alapfogalmai

8. óra

3.

A kinematika alapfogalmai

Klasszikus mechanika: A testek mozgásának leírásával, a mozgás törvényeivel foglalkozik. A környezetünkben lévő testekre érvényes, nem túl kicsi, nem túl gyors testekre. Atomi méret1 közelében, fénysebességet megközelítve már nem használható.
Kinematika: Mozgástan, a mechanika azon részterülete, amelyik a mozgások puszta
matematikai leírásával foglalkozik. A szó a görög κινηµα (mozgás) szóból származik.
Anyagi pont modell: A testeket kiterjedés nélküli, pontszerű objektumnak tekinthetjük, ha méretüknél jóval nagyobb távolságokat tesznek meg. Példák: a Föld pontszerűnek tekinthető, ha a Nap körüli mozgását vizsgáljuk; egy autó pontszerűnek tekinthető, ha egy több km-es utat tesz meg.
Hely és helyzet: Más néven a lokáció és az orientáció. Azt értjük alattuk, hogy hol
található meg a test és milyen irányba néz. Mindkét fogalom relatív.
Vonatkoztatási pont: Egy kitüntetett
pont, amihez képest megadjuk a testek helyét.

A dimenziószámnál mindig eggyel

több pont szükséges, hogy ez egyértelmű legyen. A vonatkoztatási pontokhoz
koordináta-rendszert rögzítve vonatkoztatási rendszerről beszélünk.

1. ábra. Vajon melyik a másik oldal?

1. Feladat. Adjuk meg egy tárgy helyét két különböző vonatkoztási rendszerből!
2. Feladat. Mikola cső középső beosztása legyen egy vonatkoztatási pont. A buborék
tőle 4 cm-re van. Egyértelmű-e a buborék helye és helyzete?
3. Feladat. Adott három pont, melyek egy általános helyzetű háromszöget határoznak meg. Adjuk megy egy kiválasztott pont koordinátáit az általuk meghatározott
vonatkoztatási rendszerben!
4. Feladat. Létezik-e olyan vonatkoztatási rendszer, amiből nézve a Mikola-csőben
mozgó buborék nyugalomban van?
1

Az atomok nagyságrendjébe eső méret az Ångström, az átváltás: 1 Å= 10−10 m



4.

8. óra. A kinematika alapfogalmai

Pálya: Az a geometriai alakzat (görbe),
amin a test mozgása során végighalad.

Pálya

Elmozdulás

1

s = 1, 2 m

Út: A test által befutott pályaszakasz
hossza, mely egy nemnegatív számérték.
A megtett út jele: s vagy ∆s
0

Elmozdulás: A mozgás kezdőpontjából
a végpontjába mutató vektor. Jele: ∆~r

1

2. ábra. Kinematikai alapfogalmak.

Hely-idő diagram: A test helyét megadjuk az idő függvényében. A test egyszerre
két helyen nem lehet, de minden pillanatban van valahol. Nem is teleportálhat.
x(m)

x(m)

5
4
3
2
1
t(s)
0
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−2

5
4
3
2
1
t(s)
0
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−2

3. ábra. Mesélj különböző történeteket a hely-idő grafikonokról!
Út-idő diagram: Megadjuk test által megtett összes utat az idő függvényében. Az
eddigi feltételeken túl mindig növekszik, vagy állandó2 .
s(m)

s(m)

6
5
4
3
2
1
0

6
5
4
3
2
1
0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t(s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t(s)

4. ábra. Mesélj különböző történeteket az út-idő grafikonokról!
8. Házi feladat. Készítsd el egy lift hely-idő és út-idő diagramját!
8. Szorgalmi. Ábrázold Excel vagy hasonló program segítségével a házi feladatot!
2

Monoton nő az idő függvényében.



9. óra. A sebesség fogalma

9. óra

5.

A sebesség fogalma

A sebesség nagysága: Fizikailag az egységnyi idő alatt megtett út hossza. Matematikailag az út-idő diagramon ábrázolt grafikon meredeksége.
A sebesség iránya: A testre ható erőket egy pillanatra figyelmen kívül hagyjuk
és megnézzük, hogy melyik irányba mozogna tovább a test. Fizikailag ez a sebesség
iránya. Matematikailag a pálya érintője jelöli ki ezt az irányt.
A sebesség általában: A test A pontból eljut B-be egy nagyon kicsi ∆t idő alatt.
A helyvektor időegység alatti megváltozása a sebesség:
~v =
9. Házi feladat.
9. Szorgalmi.

~rA − ~rB
∆t



6.

10. óra. Az átlagsebesség

10. óra

Az átlagsebesség

Az átlagsebesség matematikai kiszámítása:
vátl. =

Sösszes
tösszes

Az átlagsebesség szemléletes fizikai tartalma: Annak az egyenletesen mozgó
testnek a sebessége lenne vátl. , ami ugyanolyan hosszú utat ugyanannyi idő alatt tenne
meg, mint a változó sebességű mozgást végző test.
Egyenlő idők esetén:
vátl. =

s1 + s2 + s3 + s4
v1 · ∆t + v2 · ∆t + v3 · ∆t + v4 · ∆t
v1 + v2 + v3 + v4
=
=
∆t + ∆t + ∆t + ∆t
4 · ∆t
4

Egyenlő utak esetén:
vátl. =

∆s + ∆s + ∆s
3 · ∆s
3
=
=
1
1
1
∆s
∆s
∆s
t1 + t2 + t3
+
+
+
+
v1 v2 v3
v1
v2
v3

10. Házi feladat. Egy 200 méter hosszúságú pályán az autó 36 km/h-val megy körbe,
majd tesz egy kört 54 km/h-val, majd egy újabbat 64,8 km/h-val. Mekkora az autó
átlagsebessége m/s-ban?
10. Szorgalmi. Az átlagsebesség vektor, vagy skalármennyiség?
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!





11. óra. Mozgások összetétele

11. óra

7.

Mozgások összetétele

Galilei-féle relativitási elv: Adott egy K vonatkoztatási rendszer, és a hozzá képest
állandó ~v sebességgel mozgó K0 rendszer. Mindkettőben a fizikai törvények azonosak,
és az is idő ugyanúgy telik. A két rendszer egyenértékű, egyik sem kitüntetett.
y0

y
Test az álló hajóban

Test a mozgó hajóban

x
z

x0
z0

K

K0

~
v

5. ábra. Zárkózz be barátod társaságában egy hajó fedélzete alatt egy meglehetősen nagy
terembe. Vigyél szúnyogokat, lepkéket és egyéb röpködő állatokat, gondoskodjál egy vizesedényről, melyből a víz egy szűk nyakú edénybe csöpög. Most mozogjon a hajó tetszés szerinti
sebességgel: azt fogod tapasztalni - ha a mozgás egyenletes és nem ingadozó - a jelenségekben
semmiféle változás nem következik be (a klasszikus mechanika keretei között).

Galilei-transzformáció: A K rendszerből a K0 -be a mennyiségek átszámíthatók.
y0

y

Épület
~r

r~0
~
v·t

x
z

x0
z0

K

K0

~
v

6. ábra. Legyen a két rendszer t = t0 = 0 időpillanatban közös origójú. Ekkor egy K-ben álló
test pozíciója a két rendszerből nézve más, de létezik kapcsolat az egyes helyvektorok között.

Az átszámítást Galilei-transzformációnak nevezzük és végig feltételezzük, hogy az idő
mindkét rendszerben ugyanúgy telik.
r~0 = ~r − ~v · t



8.

11. óra. Mozgások összetétele

5. Feladat. Jancsi 2

m
-mal
s

sétál előre a 20

m
-mal
s

haladó metróban, Juliska 1

m
-mal
s

megy hátrafelé. Mekkora sebességük egy peronon álló megfigyelő számára?
• Jancsi a metróval azonos irányba halad, ezért a sebességek összeadhatók:
v0 + v1 = 20

m
m
m
+2
= 22
s
s
s

• Juliska sebessége a metró sebességével ellentétes, ezért negatív előjelű:
v0 + v2 = 20
6. Feladat. Egy versenyautó 140

km
-val,
h

m
m
m
−1
= 19
s
s
s

egy másik 122

km
-val
h

megy körbe a 4,5 km

hosszú pályán. Mennyi idő, míg az első lekörözi másodikat, ha egyszerre indultak?
• A lassabb számára a gyorsabb sebessége: 140

km
h

− 122

km
h

= 18

• A pálya megtételéhez szükséges idő ekkora sebességgel: t =

km
h

=5

m
s

s
4500 m
= 900 s
=
v
5 ms

• A gyorsabb autó a lassabbat 900 másodperc, vagyis 15 perc alatt körözi le.
7. Feladat. Dani átúszta a 150 méteres medencét 1,2
de 2

m
s

m
s

sebességgel. Ugyanilyen széles,

sebességű folyóban merőlegesen a partra elindul. Mennyivel lejjebb ér partot?

8. Feladat. Dani most egy olyan 150 m szélességű folyóban indul el merőlegesen,
melyben a part szélétől lineárisan nő a sebesség 1

m
-ig.
s

Mennyivel lejjebb ér itt partot?

11. Házi feladat. Egy ember a folyón felfele evez. Egy hídnál elhagyja a csáklyáját,
de csak fél óra múlva veszi észre. Ezután visszafordul és felszedi. Milyen gyors a folyó
sodrása, ha 5 km-rel a híd után éri utol a csáklyát, és végig egyenletesen evezett?
11. Szorgalmi. Hogyan kell összeadni a sebességeket, ha fénysebességgel összemérhető
sebességgel mozgó részecskéket vizsgálunk?



12. óra. A gyorsulás fogalma

12. óra

9.

A gyorsulás fogalma

Kísérlet. Hosszú, kis dőlésszögű lejtőre helyezzünk egy acélgolyót és mérjük meg
mennyi idő alatt tesz meg 50 cm-t! Alkossunk hipotézist, hogy hányszor ennyi ideig tart kétszer, háromszor, illetve négyszer ekkora utat megtennie?
Kísérlet. Mérjük meg, hogy 10 cm-es utakat hány másodperc alatt tesz meg. Ábrázoljuk a test mozgását út-idő diagramon!
s(m)
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

v

m

8

s

7
6
5
4
3
2
1

t(s)
0

1

2

3

4

t (s)
0

5

0

1

2

3

4

5

7. ábra. A gyorsuló mozgás grafikonjai
• Az út négyzetesen arányos az idővel, tehát: s = k · t2
• A mozgás átlagsebessége: vátl. =

s
k · t2
=
=k·t
t
t

• A sebesség nulláról v-ig nő, ez utóbbi az átlagsebesség duplája: v = 2 · vátl.
• A sebesség megváltozásának és a közben eltelt időnek a hányadosát jelöljük a-val.
S=

a 2
·t
2

v =a·t

12. Házi feladat. Egy test gyorsulása 4 m/s2 . Hogyan mozog a test az első 5 másodpercben? Ábrázold az s − t, v − t, a − t diagramokat!
12. Szorgalmi. Oldd meg a házi feladatot Excel-ben!



10.

13. óra. A gyorsuló mozgás grafikonjai

13. óra

A gyorsuló mozgás grafikonjai

9. Feladat. Álló helyzetből induló autó 3 s alatt gyorsít 6

m
s

sebességre, amit 3 s-ig

tart, majd 3 s alatt lefékez és megáll. Ábrázoljuk a mozgást grafikonokon!
A gyorsulások az egyes szakaszokon:

a (m/s2 )
2
1

t (s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

−1

• a1
• a2

−2

8. ábra. A gyorsulás-idő diagram

• a3
• a4

A sebességek az egyes szakaszokon:

v (m/s)
7
6
5
4
3
2
1
0

• v0 = 0 ms
• v1 = 2 · t

t (s)
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

9. ábra. A sebesség-idő diagram
s (m)
35

32

30

35 36 36

• v3 = 6 ms
• v3 = −2 · t
• v4 = 0 ms
A megtett út az egyes szakaszokon:
• s0 = 0m

27

25

• s1 =

21

20

15

15

2 2
·t
2

• s2 = 6 · t

9

10
5
0

m
s2
m
6−0
=
=2 2
3
s
m
=0 2
s
m
0−6
= −2 2
=
3
s
m
=0 2
s

• a0 = 0

1
0

1

4

• s3 = 6 · t −
t (s)

2

3

4

5

6

7

8

9 10

10. ábra. Az út-idő diagram

• s4 = 36 m

2 2
·t
2



13. óra. A gyorsuló mozgás grafikonjai

11.

10. Feladat. Egy jármű 2 s alatt 8 ms -ra gyorsít, majd lassít 3 s-on keresztül, hogy
sebessége csak 2 ms legyen és így halad tovább. Készítsük el a mozgás grafikonjait!
A gyorsulás az egyes szakaszokon:

a (m/s2 )
4
3
2
1
0
−1
−2

• a0 = 0
t (s)
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

11. ábra. A gyorsulás-idő diagram

m
8−0
=4 2
2
s
m
2−8
• a2 =
= −2 2
3
s
m
• a3 = 0 2
s
• a1 =

A sebesség az egyes szakaszokon:

v (m/s)
8
7
6
5
4
3
2
1
0

m
s2

• v0 = 0 ms
• v1 = 4 · t
t (s)
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

12. ábra. A sebesség-idő diagram
30

s (m)

25

23

25

27

29

31

• v3 = 2 ms
A megtett út az egyes szakaszokon:
• s0 = 0 m
• s1 =

20

20

• v2 = −2 · t

4 2
·t
2

• s2 = 8 · t −
15

15

2 2
·t
2

• s3 = 2 · t

10

8
5

2
0

0

1

t (s)
2

3

4

5

6

7

8

9 10

13. ábra. Az út-idő diagram
13. Házi feladat. Egy saját példát megoldani és a program segítségével ellenőrzni.
13. Szorgalmi. Excel programot készíteni a második feladathoz.



12.

14. óra. Feladatok gyorsulásra

14. óra

Feladatok gyorsulásra

11. Feladat. Egy teherautó álló helyzetből 10 s alatt éri el az 5
gyorsulása? Mennyi ideig kellene gyorsulnia, hogy elérje a 36

km
h

m
-ot.
s

Mekkora a

sebességet?

 m
5−0
∆v
=
= 0, 5
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


• A teherautó gyorsulása: a =
∆t
10
s2
• Az elérni kívánt sebesség: 36
• A szükséges idő: t =

km
m
= 10
h
s

10
v
=
= 20 ( s )
a
0, 5

12. Feladat. Egy golyó egy lejtőn 3

m
s2

gyorsulással legurul. A lejtő aljára már 6

m
s

sebességgel érkezik. Mekkora a közben megtett útja?
• Ekkora sebesség eléréséhez szükséges idő: t =
• Álló helyzetből indulva az út: s =
13. Feladat. Egy autó 72
le 15

m
-ről.
s

km
-ról
h

6
v
= = 2( s)
a
3

a 2 3 2
· t = · 2 = 6( m)
2
2

10 s alatt áll meg teljesen. Egy motor 5 s alatt fékez

Mekkora a gyorsulásuk fékezéskor? Melyik jármű fékez jobban?

• Az autó sebessége: 72

km
m
= 20
h
s

m
0 − 20
∆v
=
= −2
∆t
10
s2
m
∆v
0 − 15
• A motoros gyorsulása fékezés közben: a =
=
= −3
∆t
5
s2

• Az autó gyorsulása fékezés közben: a =

14. Feladat. Mekkora a gyorsulás ha 3
A gyorsulás nagysága: a =
15. Feladat. Egy autó 72

m
-ról
s

13

m
-ra
s

5 másodperc alatt gyorsítunk?

 m
∆v
13 − 3
=
=2
∆t
5
s2
km
-ról
h

54

km
-ra
h

fékezett, közben gyorsulása -0,5

m
s2

Mennyi ideig fékezett?
km
m
km
m
= 20 , utána: v2 = 54
= 15
h
s
h
s
m
m
m
• A sebességváltozás: ∆v = v2 − v1 = 15
− 20
= −5
s
s
s
• A sebesség fékezés előtt: v1 = 72

• Az autó fékezési ideje: ∆t =

∆v
−5
=
= 10 s
a
−0, 5

volt.



14. óra. Feladatok gyorsulásra
16. Feladat. Három autó egymás mellett megy 20
ezt a tempót, a második gyorsítani kezd 2

m
-tel,
s2

m
-os
s

13.
sebességel. Az első tartja

a harmadik fékezni kezd −2

m
-tel.
s2

Mekkora a megtett útja az egyes autóknak 3 másodperc múlva?
• Az első autó sebessége nem változik, ezért útja: s = v · t = 20 · 3 = 60 ( m )
a 2
2
· t = 20 · 3 + · 32 = 60 + 9 = 69 ( m )
2
2

• A második útja: s = v0 · t +

• A harmadik útja: s = v0 · t +

a 2
2
· t = 20 · 3 − · 32 = 60 − 9 = 51 ( m )
2
2

17. Feladat. Az autópályán 2 másodperc a követési távolság. Mekkora utat jelent ez
egy 100,8

km
-val
h

haladó, majd hirtelen lefékező autó számára?

• Az autó sebessége a fékezés előtt: v1 = 100, 8
• Az autó gyorsulása: a =

0 − 28
∆v
=
= −14
∆t
2

km
m
= 28
h
s
m
s2

• A négyzetes úttörvény szerint kiszámítjuk, hogy az autó mennyi utat tenne meg,
ha nem is fékezne és abból levonjuk, amit a fékezés miatt nem tesz meg:
s = v0 · t +

a 2
14 2
· t = 28 · 2 −
· 2 = 56 − 28 = 28 ( m )
2
2

• Ha időben visszafelé képzeljük el a fékezést, akkor álló helyzetből indul az autó,
gyorsulása 14 sm2 ezért a megtett út 2 s alatt:
s=
14. Házi feladat. Egy 36

km
-val
h

a 2 14 2
·t =
· 2 = 28 ( m )
2
2

haladó autó elkezd gyorsítani 3 s-on át 2

m
-mal.
s2

a.) Mekkora sebességre gyorsul fel?
b.) Mekkora utat tett meg a gyorsítás közben?
c.) Ábrázold a mozgást s − t, v − t, a − t grafikonon!
d.) Mekkora az átlagsebesség a gyorsítási szakaszon?
14. Szorgalmi. Az Earthrace nevű hajó végsebessége 59,3 km/h. Mekkora kezdősebességről tud 5 s alatt felgyorsulni a végsebességre, ha 2

m
s2

gyorsulásra képes?



14.

15. óra. A szabadon eső test mozgása

15. óra

A szabadon eső test mozgása

Szabadesés: Ha egy testre kizárólag a tömegvonzás hat, akkor szabadon1 esik.
Kísérlet. Állandó sebességgel zuhannak-e a szabadon eső testek?
Egy kötélen egymástól egyenlő távolságokra rögzítünk csavarokat, és a kötelet kifeszített állapotban leejtük. A koppanások nem egyenletesek, hanem egyre gyakoribbak,
tehát a sebesség zuhanás közben folyamatosan nő.
Kísérlet. A nehezebb testeket jobban gyorsítja a gravitáció?
Nem, mert bármilyen tömegű is a test, ugyanolyan mértékben fog növekedni a sebessége. Erről meggyőződhetünk egy üres és egy vízzel teli palack ledobásával.
Kísérlet. Egy tollpihe és egy ágyúgolyó egyszerre esik le?
Nem, de ez nem is szabadesés. A levegő akadályozza a mozgást, így nem csak a
gravitációs erő érvényesül. Egy sima és egy összegyűrt papírlapnál is ugyanez történik.
Kísérlet. A tollpihe és az ágyúgolyó egyszerre esik le légüres térben?
Igen, a NASA vákuumkamrában elvégezte ezt a kísérletet és egyszerre értek le.
Nehézségi gyorsulás: A Föld közelében lévő testek közelítőleg a Föld középpontja
felé gyorsulnak2 , ebben az irányban a gyorsulás értéke kb. g = 10

m
.
s2

Kísérlet. Mérjük meg a nehézségi gyorsulás számértékét!
Leejtünk egy testet h magasságból és mérjük az esési időt. A megtett út:
s=

a 2
·t
2

=⇒

h=

g 2
·t
2

A nehézségi gyorsulás Magyarországon 9,81

m
.
s2

=⇒

g=

A nehéségi gyorsulás értéke földrajzi

szélesség és a magasság függvényében is változik.

1
2

2·h
t2

Más test, vagy a közegellenállás nem akadályozza a mozgását.
Nem feltétlenül igaz, hogy ténylegesen ebbe az irányba is mozognak.



15. óra. A szabadon eső test mozgása

15.

18. Feladat. Hány métert halad lefelé a szabadon eső test az esési idő függvényében?
• A teljes út minden másodpercében a négyzetes úttörvény szerint növekszik.
• 0, 5, 20, 45, 80, 125, ... 5 · n2 (méter)
19. Feladat. Hány métert zuhan a test a szabadesés egyes másodperceiben?
• A megtett útból levonjuk az előző másodpercig megtett útat.
• 0, 5, 15, 25, 45, ... 5 · n2 − 5 · (n − 1)2 (méter)
• Felhasználva az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosságot az n.-ik másodperc útja:
Sn. = (2 · n − 1) · 5 (méter)
20. Feladat. Hogyan helyezzük el az ejtőzsinóron a csavarokat, hogy ejtéskor egyenletesen halljuk a koppanásokat?
Válasszunk ki egy alaptávolságot, pl. 30 cm-t, és ennek páratlan számú többszörösei
legyenek a csavarok közötti távolságok, tehát 90 cm, 150 cm, 210 cm.
21. Feladat. Mekkora sebességgel csapódik be a test 1, 2 ... n s-os zuhanás után?
• n másodperces zuhanás: vn = g · t = 10

m
s2

·n

s = n · 10

m
s

22. Feladat. Milyen mély az a kút, amelyben 5 s alatt ér le egy kavics?
• A megtett út a kút mélysége: s =

g 2 10 2
·t =
· 5 = 125 (m)
2
2

23. Feladat. Mennyi idő alatt zuhan le egy vasgolyó egy 80 méter magas épületből?
s=

g 2
·t
2

=⇒

t2 =

2·s
2 · 80
=
= 16
g
10

=⇒

t=4s

Szabadesés a Holdon: Ha egy űrhajós a Holdon elejt egy tollat, a toll hatod akkor
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


gyorsulással esik, mert ott a g a földi érték hatodával egyezik meg.
gH = 1, 62

m
s2

gH ≈

g
6

15. Házi feladat. A Holdon lévő szikla tetejéről egy 170 cm magas űrhajós ledob
fejmagasságból egy követ, ami 3 másodpercig zuhan. Mekkora a szikla magassága?
15. Szorgalmi. Egy test 180 méter magasból leesik. Osszuk fel 3 szakaszra az utat,
amit a test egyenlő időközök alatt tett meg.



16.

16. óra. A függőleges hajítások

16. óra

A függőleges hajítások

Függőleges hajítás lefelé: Egy testet v0 kezdősebességgel ledobunk, és az szabadon
esik lefelé. A megtett út és az elért sebesség a következő:
s = v0 · t +
24. Feladat. Egy követ 4

m
s

g 2
·t
2

v = v0 + g · t

g
2

sebességgel ledobtunk ami így 5 s-ig zuhant. Mekkora a

kő megtett megtett útja és a becsapódási sebessége?
• Az út: s = v0 · t +

g 2
10 2
·t =4·5+
· 5 = 20 + 125 = 145 (m)
2
2

• A sebesség: v = v0 + g · t = 4 + 10 · 5 = 54

m
s

Függőleges hajítás felfelé Egy testet feldobunk v0 kezdősebességgel, közben szabadon esik lefelé. Az emelkedési magasság és a sebesség a következő:
h = v0 · t −
25. Feladat. Hol van a 4
• Az út: s = v0 · t −

m
-mal
s

g 2
·t
2

v = v0 − g · t

g
2

feldobott kő 5 s elteltével és mekkora a sebessége?

g 2
10 2
·t =4·5−
· 5 = 20 − 125 = −105 (m)
2
2

• A sebesség: v = v0 − g · t = 4 − 10 · 5 = −46

m
s

• A negatív út azt jelenti, hogy a test a kiindulási magasság alatt van, pl. egy mély
kútba zuhant. A negatív sebesség, mert a fellövéssel ellentétes irányú a sebesség.
Emelkedési idő: A v0 kezdősebességgel feldobott test pillanatnyi sebessége pályájának tetőpontján nulla. Ennek alapján a te emelkedési idő kiszámítható:
v = v0 − g · te = 0

=⇒

v0 = g · te

=⇒

te =

v0
g

Maximális emelkedés: Az emelkedési időt a hely összefüggésébe behelyettesíthetve:
hmax =

v02
2·g



16. óra. A függőleges hajítások

17.

A zuhanás ideje: A felső pontról kezdősebesség nélküli szabadesés történik:
h=

g 2
·t
2 z

v02
g
= · t2z
2·g
2

=⇒

=⇒

v02
= t2z
g2

=⇒

tz =

v0
g

Az emelkedési idő és a zuhanási idő is azonos ha ugyanoda jut vissza a test:
tteljes = te + tz =

v0 v0
2 · v0
+
=
g
g
g

tteljes,Föld ≈

=⇒

26. Feladat. Egy pisztolyból kilövünk egy golyót felfelé, 100

m
-os
s

v0
5

torkolati sebesség-

gel. Milyen magasra jut a lövedék és mennyi idő alatt? Mit hanyagoltunk el?
• Az emelkedés időtartama: t =

100
v0
=
= 10 (s)
g
10

• A lövedék ilyen magasra jut fel: hmax =

v02
1002
=
= 500 (m)
2·g
2 · 10

• Vegyük észre, hogy 500 méter magasra jutott összesen 10 másodperc alatt, tehát
átlagsebessége 50 m/s, ami a torkolati sebesség fele.
• Nem vettük figyelembe a levegő ellenállását, ami fékezi a lövedéket.
27. Feladat. Egy v0 = 10 ms -mal felfelé hajított test mennyi idő elteltével zuhan vissza
a kezünkbe és mekkora a becsapódási sebessége?
• A levegőben töltött idő a kezdősebesség számértékének ötöde, tehát 2 s.
• Ezt az időt a sebességre vonatkozó összefüggésbe beírhatjuk:
v = v0 − g · t = 10 − 10 · 2 = −10

m
s

• Tehát a test sebességének abszolút értéke ugyanakkora, mint mikor kilőtték, csak
az iránya nem felfelé, hanem már lefelé mutat.
16. Házi feladat. Fellőttünk egy kavicsot 40

m
-mal,
s

ami 10 másodpercig volt a leve-

gőben és egy mély kútba zuhant. Mekkora a kavics teljes megtett útja?
16. Szorgalmi. Készíts Excel vagy GeoGebra programot, mely egy változtatható kezdősebességű test hajítását szimulálja!



18.

17. óra. A vízszintes hajítás

17. óra

A vízszintes hajítás

Kísérlet. A szabadon eső, vagy az oldalra eldobott test ér hamarabb földet?
Az ún. Lőwy-féle ejtőgéppel leejtünk és vízszintesen elhajítunk acélgolyókat. A két
golyó egyszerre esik le.
A mozgások függetlenségének elve: A testek adott irányban megtett útjára nincs
hatással egy erre merőleges irányban történő mozgása.
Vízszintes hajítás Egy testet v0 kezdősebességgel vízszintesen elindítunk, mely ennek hatására x irányban egyenes vonalú egyenletes mozgást végezne. Közben szabadon
esne y irányban. A tengelyek mentén megtett utak:
x = v0 · t

g
2

g
y = − · t2
2

28. Feladat. Milyen alakú pályákon mozognak a vízszintesen elhajított testek?

0

0

5

10

x [m]

Függőleges irányban egyszerű szabadesés a
mozgás, az y irányban történő elmozdulás
minden test esetén azonos.
t
y

−5

0 s
0m

1 s
-5 m

2s
-20 m

3 s
-45 m

A vízszintes irányú elmozdulások 2
−10

m
,
s

valamint 6

m
-os
s

m
,
s

4

kezdősebességű testek

esetén a következők:
t
s2
s4
s6

−15

0 s
0m
0m
0m

1 s
2m
4m
6m

2s
4m
8m
12 m

3 s
6m
10 m
18 m

−20

y [m]
14. ábra. A vízszintes hajítás

A vízszintes irányban elhajított testek félparabola alakú pályán haladnak, a mozgások függetlenségének elve szerint.



17. óra. A vízszintes hajítás
29. Feladat. Egy féltéglát 45 m magas toronyból oldalra 4

19.
m
-mal
s

dobtunk el. Mekkora

távolságra repült el?
• A test szabadon esik le a toronyból, ezért felírható négyzetes úttörvény:
s=

g 2
·t
2

=⇒

t2 =

2·s
2 · 45
=
=9
g
10

• A 3 s zuhanás közben oldalra is mozog 4

m
-mal,
s

=⇒

t = 3 (s)

a toronytól 12 méterre jut.

30. Feladat. János szeretné megmérni, hogy milyen sebességgel képes eldobni egy
tárgyat. Kidob egy követ vízszintesen egy 20 méter magas kilátóból, majd a kilátótól
18 méterre találja meg a földön. Mekkora volt a dobás kezdősebessége?
• A kő szabadon esik, ezért a négyzetes úttörvényből kifejezhető az idő:
y=

g 2
·t
2

=⇒

t2 =

2·y
2 · 20
=
=4
g
10

=⇒

t = 2 (s)

• Mivel oldalra is 2 másodpercig ment és 18 méter utat tett meg, így a sebesség:
v0 =

18
m
x
=
=9
t
2
s

31. Feladat. Neo átugrik egy 15 méter magas toronyházról egy 10 méter magasra. A
két ház távolsága 6 méter. Mekkora sebességgel ugrott?
• Az ugrás nagysága: y = 5 (m)
• Az ugrás ideje a négyzetes úttörvényből határozható meg:

15 m
10 m
6m
15. ábra. Neo ugrása a toronyházról

t2 =

2·y
2·5
=
= 1 =⇒ t = 1 (s)
g
10

• Hat métert 1 másodperc alatt tesz
meg, ezért a sebessége:
v0 =

x
6
m
= =6
t
1
s

17. Házi feladat. Milyen magas az a torony, amelyből az oldalra 500
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!



m
-mal
s

kilőtt

lövedéket a toronytól 2 km-re találták meg?
17. Szorgalmi. Ábrázoljuk grafikonokon Neo mozgását! Mindkét tengelyhez külön
grafikonokat készíts!



20.

18. óra

18. óra. Ferde hajítások

Ferde hajítások

Az α szögben ferdén eldobott test mozgása: A kezdősebesség v0 , ezt vy függőleges és vx vízszintes komponensre bontjuk. Függőlegesen felfelé hajítás, vízszintesen
egyenes vonalú egyenletes mozgás. Az emelkedési magasság és az emelkedési idő:
hem

vy2
=
2·g

tem =

vy
g

Mivel a teljes levegőben töltött idő az emelkedési idő duplája, így a hajítás távolsága:
x = vx · 2 · tem =

v0

α

2 · vx · vy
g

hem

x

16. ábra. A ferdén elhajított test mozgása felbontható egy vízszintes egyenes vonalú
egyenletes mozgásra és egy függőleges irányú felfelé történő hajításra.
32. Feladat. Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk egy testet 15 m/s sebességgel.
Milyen magasra emelkedik, milyen messzire jut és menny ideig mozog?
33. Feladat. Vízszintes talajról 45 fokban kilövünk 0,1 kg tömegű testet 20 m/s sebességgel. Milyen magasra emelkedik, milyen messzire jut és menny ideig mozog?
18. Házi feladat. Egy szabadságharc korabeli ágyú a 7,2 kg-os lövedéket 220 m/s
sebességgel lőtte ki 30 fokos szögben. Milyen távolságra lő az ágyú és mennyi idő alatt
ér földet a lövedék?
18. Szorgalmi. Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk 0,2 kg tömegű testet 15 m/s
sebességgel. Milyen magasra emelkedik 1 másodperc alatt és milyen távol van a kilövés
helyétől? Mekkora ekkor a test sebessége?



19. óra. Feladatok hajításra, szabadesésre

19. óra

21.

Feladatok hajításra, szabadesésre

34. Feladat. Ha az 58 méter magas Pisai ferde toronyból ledobunk egy ágyúgolyót, akkor 3,4 másodperc alatt ér le. Mekkora a nehézségi gyorsulás értéke a kísérlet alapján?
Mik a mérés hibái? Vajon Galiei mért a toronyban?
35. Feladat. A teljes emelkedési magasság hányad részét teszi meg a függőlegesen
fölfelé hajított test, mire a sebessége a kezdősebesség felére csökken?
36. Feladat. A föld felszíne felett 45 m magasságban vízszintes irányban 20 m/s-mal
eldobunk egy kavicsot. Mennyi idő alatt és mekkora sebességgel ér földet?
37. Feladat. Mekkora sebességgel kell vízszintes irányban eldobni egy testet egy 180
méter magas toronyból, hogy az a toronytól 60 méterre repüljön?
38. Feladat. Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk egy testet, amely 5 m magasra
emelkedik. Milyen messzire jut és menny ideig mozog?
39. Feladat. Vízszintes talajról 30 fokban kilövünk egy testet, amely 3 s múlva ér
földet. Milyen magasra emelkedik és milyen messzire jut?
19. Házi feladat. Készíts út-idő, sebesség-idő, gyorsulás-idő grafikont az egyik tetszőleges órai feladathoz!
19. Szorgalmi. Vízszintes talajról 48 fokban kilövünk 0,1 kg tömegű testet 20 m/s
sebességgel. Milyen magasra emelkedik a test és milyen távol zuhan le?