Betekintés: Dr. Égert János - Kinematika, kinetika

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


10. KINEMATIKA, KINETIKA
Kinematika: Az anyagi pontok és a merev testek mozgásának leírása
Kinetika: Az anyagi pontokra és a merev testekre ható erők, nyomatékok és a mozgás kapcsolatának tisztázása. A mozgás okainak leírása.

10.1. Anyagi pont mozgása
a) A mozgásfüggvény, a pályagörbe:
Mozgásfüggvény: az anyagi pont helyzetét meghatározó r = r ( t ) helyvektor-idő függvény.
Mértékegysége: m.
z

P1

P0

pályagörbe

r (t1 )

r (t0 )
x

P
r (t )

O

Pályagörbe:
1. definíció: Az a térgörbe melyen az anyagi pont a mozgás
során végighalad.
2. definíció: Az r = r ( t ) mozgásfüggvény által meghatározott térgörbe.

y

Az r = r ( t ) mozgásfüggvény megadása:
- Vektoriális alak → DDKR: r (t ) = x(t )ex + y (t ) ey + z (t ) ez ,
HKR: r (t ) = R(t ) eR + z (t ) ez , ahol eR = cos ϕ ex + sin ϕ e y .

- Skaláris alak → DDKR: x = x(t ) ,

HKR: R = R (t ) ,

y = y (t ) ,

ϕ = ϕ (t ) ,

z = z (t ) ,

z = z (t ) .

A mozgásfüggvény az e , n , b természetes koordináta-rendszerben:

+
O s

P

⋅⋅
b

Ívkoordináta: a pályagörbén egy O kezdőponttól mért
előjeles s ívhossz (előjeles távolság).

e

Kisérő triéder: e , n , b - a görbe természetes koordinátarendszerének egységvektorai.

n

- Érintő irányú egységvektor: e =
- Főnormális egységvektor:

dr
,
ds

e = 1.

de
1
=κ n = n ,
ds
ρ

n = 1.

( κ a térgörbe görbülete, ρ a térgörbe görbületi sugara)
- Binormális egységvektor:

b =e ×n ,

b = 1.

Simulósík: az e , n vektorok által kifeszített sík.

178



Az anyagi pont helyének megadási lehetőségei:
- r = r (t ) helyvektor – idő függvény,
- r = r ( s ) helyvektor – ívkoordináta függvény,
- s = s (t ) ívkoordináta (út) – idő függvény (ehhez ismerni kell agörbe alakját).
b) A sebességfüggvény, a sebességvektor:
Sebességfüggvény: a mozgásfüggvény idő szerinti első deriváltja.
d r (t )
,
Mértékegysége: m/s .
dt
Pillanatnyi sebességvektor: a sebességfüggvény egy adott t1 időpillanatban felvett értéke.
v (t ) = r (t ) =

v1 = v (t1 ) .

Tulajdonságai: - vektor mennyiség,
- iránya azonos a pályagörbe érintőjével.
d r d r ds
d s (t )
=
=e
= e v(t ) = v(t ) e .
dt
ds dt
dt
d s (t )
.
Pálya menti sebesség (pályasebesség): v(t ) =
dt
Tulajdonságai: - a sebességvektor érintő irányú koordinátája,
- előjeles skalár mennyiség,
- előjelét az s ívkoordináta irányítása határozza meg.

Bizonyítás: v (t ) =

Közepes sebesség: mindig egy megadott időintervallumra
vonatkozik.
A < t1 t2 > időintervallumra vonatkozó közepes sebesség:
vk =

r (t2 ) − r (t1 ) r2 − r1 ∆r12
=
=
.
t2 − t1
t2 − t1 ∆t12

z
P1

P2

∆r12
r2

r1

x

O

y

Hodográf: Az a görbe, amit a v (t ) sebességvektorok végpontja ír le a vx , v y , vz koordinátarendszerben
c) A gyorsulásfüggvény, a gyorsulásvektor:
Gyorsulásfüggvény: a sebességfüggvény idő szerinti első deriváltja.
d v (t ) d 2 r (t )
a (t ) =
=
,
Mértékegysége: m/s 2 .
dt
dt 2
Pillanatnyi gyorsulásvektor: a gyorsulásfüggvény egy adott t1 időpillanatban felvett értéke.
a1 = a (t1 )
Tulajdonságai: - vektor mennyiség,
- a pályagörbe simulósíkjába esik,
- érintő és főnormális irányú összetevőkből áll.

179



d v (t ) d
dv(t )
d e (t )
= [ v(t ) e (t ) ] =
e +v
,
dt
dt
dt
dt
d e d e ds 1
v
=
= n v(t ) = n ,
dt
ds dt ρ
ρ
2
dv
v
a (t ) = e + n = ae (t ) e + an (t ) n .
dt
ρ

Bizonyítás: a (t ) =

Pálya menti gyorsulás (pályagyorsulás): ae (t ) =

[v(t )]

dv(t )
. A sebesség nagyságának megváltodt
zásából adódik.

2

Normális gyorsulás: an (t ) =

ρ

. A sebesség irányának megváltozásából adódik.

d) A mozgásjellemzők közötti kapcsolat:
- Ismert: r = r (t ) .
d r (t )
= v(t ) e ,
dt
d v (t )
a (t ) =
= ae (t ) e + an (t ) n .
dt

Meghatározandó: v (t ) =

- Ismert: a = a (t ) és a v (t = t0 ) = v0 , r (t = t0 ) = r0 kezdeti feltételek.
t



Meghatározandó: v (t ) = v0 + a (t ) dt ,
t0
t



r (t ) = r0 + v (t ) dt .
t0

- Ismert: v = v (t ) és az r (t0 ) = r0 kezdeti feltétel.
Meghatározandó: a (t ) =

d v (t )
= ae (t ) e + an (t ) n ,
dt
t



r (t ) = r0 + v (t ) dt .
t0

10.2. Merev test mozgása
a) Alapfogalmak:
- Merev test sebességállapota: A testet alkotó pontok egy adott időpillanatbeli sebességeinek összessége (halmaza).
- Merev test gyorsulásállapota: A testet alkotó pontok egy adott időpillanatbeli gyorsulásainak összessége (halmaza).
- Merev test síkmozgása: A test pontjai egy adott alapsíkkal párhuzamos síkokban
mozognak.
180



- Merev test haladó mozgása: A test önmagával párhuzamosan mozdul el. A test minden
pontjának azonos az elmozdulása.
- Merev test forgómozgása: A test pontjai a test két nyugalomban lévő pontját összekötő
tengely, a forgástengely körül koncentrikus köríveken mozdulnak el.
- Merev test elemi mozgása: A test végtelenül rövid idő alatt bekövetkező (egy időpillanatban történő) mozgása.
Tétel: Merev test bármely mozgása előállítható egy haladó és egy forgó mozgás
összegeként.
b) Merev test sebességállapota:
Összefüggés a merev test két pontjának sebessége között.

d ϕ × rAB

drB

dϕ × rAB
drA



A



rAB

drA

B

A merev test végtelenül kis elmozdulását vizsgáljuk:
- párhuzamos eltolás: drA ,
- szögelfordulás: dϕ (az elmozdulásoktól kettős
nyíllal különböztetjük meg).
A B pont elmozdulása: eltolás + szögelfordulás.
drB = drA + dϕ × rAB .
dϕ az egész merev testre jellemző mennyiség.

Vegyük az összefüggés idő szerinti első deriváltját:

drB drA dϕ
=
+
× rAB .
dt dt dt

Elnevezések:

drB
= vB - a merev test B pontjának sebessége,
dt
drA
= v A - a merev test A pontjának sebessége
dt

= ω - a merev test szögsebessége.
dt
Az ω az egész merev testre jellemző mennyiség.
Mértékegysége: rad/s .
vA

ω

Az új jelölés figyelembevételével: vB = v A + ω × rAB .

B
rAB

A

Analógia (Statikából): M B = M B + F × rAB .
vB

Az vA , ω ismeretében a merev test bármely pontjának
sebessége meghatározható.

Tétel: merev test sebeségállapota egyértelműen megadható vA , ω redukált vektorkettőssel.
Tétel: merev test két különböző pontjának sebesége általában nem egyenlő.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Kivétel : - ω = 0 ,
- ω rAB .
c) Elemi síkmozgás:
Értelmezés: Ha a test bármely pontjának sebessége merőleges ω -ra, azaz párhuzamos az
ω -ra merőleges síkokkal.
181



Sebességpólus: a síknak az a P pontja, amelynek zérus a sebessége - vP = 0 .
Sebességábra: egy adott időpillanatban, egy közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző
pontjainak sebességvektorait.

d) Merev test gyorsulásállapota:
Összefüggés a merev test két pontjának gyorsulása között:

ε

ω


- a merev test szöggyorsulása.
dt
Az ε az egész merev testre jellemző mennyiség.

ε=

B

aA

rAB

aB

A

Mértékegysége: rad/s 2 .

A merev test tetszőleges B pontjának gyorsulása: aB = a A + ε × rAB + ω × (ω × rAB ) .
Tétel: a merev test gyorsulásállapota az a A , ω és az ε mennyiségekkel adható meg egyértelműen.
Síkmozgás esetén: aB = a A + ε × rAB − ω 2 rAB .

Ha xy a mozgás síkja: ω = ω ez , ε = ε ez .
Gyorsuláspólus: a síknak az a Q pontja melynek zérus a gyorsulása aQ = 0.
Gyorsulásábra: egy adott időpillanatban, egy közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző
pontjainak gyorsulásvektorait.

10.3. Merev test kinetikája
a) Merev test tömegeloszlásának jellemzői:
- Tömeg: a merev test haladó mozgással szembeni tehetetlenségét (ellenállását) jellemzi.
m=

∫ dm = ∫ ρ dV ,

(m)

Mértékegysége: kg.

(V )

ρ - tömegsűrűség,

Mértékegysége: kg/m3 .

- Statikai nyomaték:

z

Pontra számított statikai nyomaték:

dm = ρ dV

m

SA =

∫ r dm = ∫ r ρ dV .

(m)

O
x

B

ρ
rAB

(V )

Mértékegysége: kgm.
Pontra számított statikai nyomaték átszámítása:

r
A
y

S B = S A − mrAB .

- Tömegközéppont, súlypont: a testnek az a T, illetve S pontja, amelyre számított statikai
nyomaték zérus.
ST = S S = 0 .

182



A tömegközéppont helyének kiszámítása: ST = S A − mrAT



rAT

=0

S
= A=
m

∫ r ρ dV

(V )



ρ dV

.

(V )

Tétel: A T tömegközéppont és az S súlypont egybeesik, ha a g állandó.

- Tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték:
A tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték a merev test forgó mozgással szembeni
tehetetlenségét fejezi ki.

z

Az S ponti tehetlenségi tenzor:

dm

m
S

x

ρ

Diadikus előállítása: J S =

∫ ⎡⎣( ρ )

(m)

E − ( ρ ρ ) ⎤⎦ dm .

E - egységtenzor.

z

y

2

x

y

Mértékegysége: kgm 2 .

⎡ Jx

Mátrixos előállítása : ⎡⎣ J S ⎤⎦ = ⎢ − J yx
⎢ − J zx


− J xz ⎤

− J yz ⎥ - szimmetrikus tenzor.
J z ⎥⎦
− J zy
A tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékok:
J x - a testnek az x tengelyre számított tehetetlenségi

2
2
J x = ∫ ( y + z )dm ⎪
nyomatéka,

(m)
J y - a testnek az y tengelyre számított tehetetlenségi

J y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm ⎬ > 0.
nyomatéka,
(m)

J z - a testnek az z tengelyre számított tehetetlenségi

J z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm ⎪
nyomatéka.
( m)

− J xy
Jy

Síkpárra számított (centrifugális) tehetetlenségi nyomatékok:

J xy = J yx - a testnek az yz - zx síkpárra számított tehetet⎫
x
y
dm


lenségi nyomatéka,
⎪ ⎧> ⎫
(m)
J yz = J zy - a testnek az zx - xy síkpárra számított tehetet⎪⎪ ⎪
J yz = J zy = ∫ y z dm ⎬ ⎨= ⎬ 0.
lenségi nyomatéka,
( m)
⎪ ⎪< ⎪



J zx = J xz - a testnek az xy - yz síkpárra számított tehetetJ xz = J zx = ∫ x z dm ⎪
lenségi nyomatéka.
(m)


J xy = J yx =

Tétel: a J S -ből az összes S ponti tengelyre és az összes S ponti síkpárra számított
tehetetlenségi nyomaték meghatározható.

Jn = n ⋅ J S ⋅ n ,

− J nm = − J nm = n ⋅ J S ⋅ m = m ⋅ J S ⋅ n .

183



Steiner-tétel:

ζ

z

rSA = xSA ex + ySA ey + zSA ez ,

m

A két koordináta-rendszer tengelyei párhuzamosak:
x ξ , y η, z ζ .
x

A tétel tenzor alakja: J A = J S + J SA .
A tétel skalár alakja:

2
2
J ξ = J x + m( ySA
+ zSA
),

J ξη = J xy + mxSA ySA ,

2
2
Jη = J y + m( xSA
+ zSA
),

Jηζ = J yz + m ySA zSA ,

2
2
J ζ = J z + m( xSA
+ ySA
),

J ξζ = J xz + mxSA zSA .

ξ
S

η

A
rSA
y

Tétel: párhuzamos tengelyek közül az S ponton átmenő tengelyre számított tehetetlenségi
nyomaték a legkisebb.
b) Merev test impulzusa, impulzus nyomatéka:
- Impulzus:
z

A

x

Értelmezés: I =

dm

S

m

v

∫ v dm = ∫ v ρ dV .

( m)

(V )

m
= Ns .
s
Kiszámítás: I = m vS .

r

Mértékegysége: kg

y

- Impulzus nyomaték (perdület):
Értelmezés: π A =



r × v dm .

Mértékegység: kg

(m)

Kiszámítás:
- Speciális esetek: π S = J S ω ,

π P = J Pω ,

m2
= Ns m .
s

S – a merev test súlypontja,
P – a pillanatnyi forgástengely egy pontja ( vP = 0 ).

- Általános eset: π A = J Aω + rAS × v A m .
- Összefüggés test két pontjára számított perdület között: π B = π A + I × rAB .
Analógia a Statikából: M B = M A + F × rAB .
c) Merev test kinetikai energiája:

z

dm

ω

vS
x

184

Értelmezés: E =

m

S

r

v

1
v 2 dm .

2 (m)

Mértékegysége: kg

y

m2
= Nm=J .
s2

1
1
1
Kiszámítás: E = (vS ⋅ I + ω ⋅ π S ) = mvS2 + ω ⋅ J S ⋅ ω .
2
2
2



Kiszámítás speciális esetekben:


J S egyik tehetetlenségi főtengelyével.

1
1
E = mvS2 + J sω 2 .
2
2
J s - az S ponti, ω -val párhuzamos főtengelyre számított tehetetlenségi nyomaték.

Ekkor ω ⋅ J S ⋅ ω = J sω 2



- v A = 0 és ω J A egyik tehetetlenségifőtengelyével.
1
J aω 2 .
2
J a - az A ponti, ω -val párhuzamos főtengelyre számított tehetetlenségi nyomaték.

Ekkor E =

d) Merev testre hat erőrendszer teljesítménye:
- Az erőrendszer redukált vektorkettősét felhasználva: P = F ⋅ vS + M S ⋅ ω .
n

m

i =1

j =1

P = ∑ Fi ⋅ vi + ∑ M j ⋅ ω j .

- Az erőrendszert alkotó erőkkel és nyomatékokkal:
vi az Fi erő támadáspontjának sebessége,

ω j annak a merev testnek szögsebessége, amelyre az M j nyomaték hat.
e) Merev testre ható erőrendszer munkája:
t2

W12 = ∫ P dt .
t1

A merev testre ható erőrendszer <t1,t2> időtartam alatt végzett munkája egyenlő az
erőrendszer P teljesítményének t1 , t2 határok között vett idő szerinti integráljával.
A munka nem egy időpillanathoz, hanem egy időtartamhoz kötött mennyiség.
f) Impulzus tétel:
i

I = m aS = F

A merev test impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső erők
eredőjével.
g) Perdület tétel:
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


i

- Speciális eset: az pontra: π S = M S ,

J S ⋅ε + ω ×πS = MS .
A merev test S pontjára számított perdületvektor idő szerinti deriváltja egyenlő a testre
ható erőrendszernek a S súlypontra számított nyomatékával.

(
⋅ε + ω × ( J

)
⋅ω ) + r

- Általános eset: az A pontra: J A ⋅ ε + ω × J A ⋅ ω + rAS × m a A = M A ,

JS

S

AS

× m aS = M A .

185



h) Energia tétel, munka tétel:

- Differenciális alak ≡ energiatétel:
E=P.
Merev test kinetikai energiájának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső
erőrendszer teljesítményével.
- Integrál alak ≡ munkatétel:
E2 − E1 = W12 .

Merev test kinetikai energiájának megváltozása a test véges <t1,t2> időtartam alatt
bekövetkező) mozgása során egyenlő a testre ható külső erőrendszer ugyanazon mozgás
során végzett munkájával.
j) Merev test kényszermozgása:
Kényszermozgás: a merev test mozgását más testek előírt geometriai feltételeknek
megfelelően korlátozzák.
Kényszer: az a test, amelyek az általunk vizsgált test mozgását előírt geometriai
feltételeknek megfelelően korlátozza.
Tétel: a kényszererő (támasztóerő) a kényszer hatását teljes mértékben helyettesíti.
A kényszererő a testek érintkezésnél lép fel.
Sima kényszer: a kényszererő merőleges az érintkező felületekre.
Érdes kényszer: a kényszererő normális és tangenciális koordinátája közötti a Coulombféle súrlódási törvény adja meg a kapcsolatot.
Coulomb törvény: Ft = µ Fn ,
µ - a mozgásbeli súrlódási tényező.
Ez az összefüggés akkor áll fent, ha az érintkező felületek (pontok) között relatív
tangenciális elmozdulás lép fel.
A kényszererő Ft tangenciális koordinátája olyan irányú, hogy igyekszik megakadályozni
az érintkező felületek között létrejövő relatív tangenciális elmozdulást.

10.4. Példák tömegpontok és merev testek mozgására
10.4.1. feladat: Tömegpont síkmozgása

Adott: Az r = r (t ) = b0 + b1 ( c − t 2 ) mozgásfüggvény a < t0 , t1 > időintervallumban és
b0 = (− ex + 2 e y ) m, b1 = ( 4 ex − 4 ey ) m/s 2 , t0 = 0 , t1 = 1,5 s, c = 2 s 2 .

Feladat: a) A pályagörbe alakjának meghatározása.
b) Az r0 = r (t0 ), r1 = r1 (t1 ) helyvektorok meghatározása.
c) A v (t ) sebességfüggvény meghatározása.
d) A < t0 , t1 > időintervallumra vonatkozó vk közepes sebesség meghatározása.
e) Az a (t ) gyorsulásfüggvény meghatározása.
Kidolgozás:
a) A pályagörbe alakjának meghatározása:
A pályagörbe r (t ) = r0 + c f (t ) alakú egyenes ( r0 = b0 és c = b1 ).

186



b) A tömegpont helyének meghatározása a t0 és t1 időpillanatban:
A mozgásfüggvény: r = r (t ) = b0 + b1 ( c − t 2 ),
r0 = r (t0 ) = b0 + b1 (c − t02 ) = ( − ex + 2 ey ) + ( 4 ex − 4 ey ) ( 2 − 0) = (7 ex − 6 e y ) m ,
r1 = r (t1 ) = b0 + b1 (c − t12 ) = ( − ex + 2 e y ) + ( 4 ex − 4 e y ) ( 2 −1,52 ) = (−2 ex + 3 ey ) m .

c) A sebességfüggvény meghatározása:
dr
v = v (t ) =
= − 2 b1 t = (− 8 ex + 8 e y ) t ,
dt
v0 = v (t0 ) = 0, v1 = v (t1 ) = ( −12 ex + 12 e y ) m/s.
d) A közepes sebesség meghatározása:
r − r (−2 ex + 3 ey ) − (7ex − 6e y ) ( − 9ex + 9e y )
vk = 1 0 =
=
= ( − 6 ex + 6 ey ) m/s.
t1 − t0
1,5
1,5
e) A gyorsulásfüggvény meghatározása:
dv
a = a (t ) =
= − 2 b1 = − 2( 4 ex − 4 ey ) = ( − 8 ex + 8 ey ) m/s 2 .
dt
10.4.2. feladat: Tömegpont síkmozgása

Adott: Az r = r (t ) = b t + ct 2 mozgásfüggvény a < t0 , t1 > idő intervallumban és
b = (−3 ex − 4 e y ) m/s,

c = ( 2 ex + 1,5 ey ) m/s 2 , t0 = 0 , t1 = 2 s.

Feladat: a) A < t0 , t1 > idő intervallumra vonatkozó vk közepes sebesség meghatározása.
b) A v (t ) sebességfüggvény és az a (t ) gyorsulásfüggvény meghatározása.
c) A pályagörbe és a hodográf megrajzolása < t0 , t1 > idő intervallumra.
Kidolgozás:
a) A közepes sebesség meghatározása:
r0 = r (t0 ) = 0,
r1 = r (t1 ) = b t1 + c t12 = 2( − 3ex − 4 e y ) + 4( 2 ex + 1,5 ey ) = ( 2 ex − 2 e y ) m,
vk =

∆ r01
r − r 2 ex − 2 ey
= 1 0=
= ( ex − e y ) m/s.
∆ t01 t1 − t0
2

b) A sebesség- és a gyorsulásfüggvény meghatározása:
dr
= b + 2 c t = (−3 ex − 4 e y ) + 2(2 ex + 1,5 e y ) t ,
A sebességfüggvény: v = v (t ) =
dt
v0 = v (t0 ) = ( − 3 ex − 4 ey ) m/s,
v1 = v (t1 ) = b + 4 c = ( − 3 ex − 4 ey ) + (8 ex + 6 ey ) = (5 ex + 2 ey ) m/s.

A gyorsulásfüggvény: a = a (t ) =

dv
= 2 c = ( 4 ex + 3 e y ) m/s 2 , a = állandó.
dt

c) A hodográf és a pályagörbe megrajzolása:
Hodográf: A v = v (t ) függvény ábrázolása a v x , v y koordináta-rendszerben.

187



Hodográf

Pályagörbe
y [m]

v y [ m/s ]
2
−2

v1

Ov

v0

2

4

vx [ m/s ]

A hodográf

− os a

2

−2

P0

−2

4

2

x [m]

v0
P2

gyorsulásvektorral

−4

−2

v1
P1

−4

A pályagörbe szerkesztése:
- A P0 és P1 pontokban a sebességvektorok a parabola érintői.
- A P0 P1 szelő felezéspontját az érintők metszéspontjával összekötő egyenes szakasz felezéspontja a parabola harmadik, P2 pontja.
- A P2 parabola pontban a parabola érintője párhuzamos a P0 P1 szelővel.
10.4.3. feladat: Tömegpont ferde hajítása

Adott: A tömegpont kezdeti helyzete és kezdősebessége: r0 = (50 ex + 10 ey ) m , v0 = 10 m/s ,

α = 30o , g =10 m/s 2 .
Feladat:

y [ m]

A

yA
v0

α

y0

B
yB

x0

xA

xB

x [m]

a) Az t0 = 0 indítási helyzet mozgásjellemzőinek meghatározása.
b) A pálya A ponti helyvektora és az A ponti
sebességvektor meghatározása.
c) A hajítás idejének és hosszának meghatározása.
d) A pálya görbületi sugarának meghatározása a B becsapódási pontban.

Kidolgozás:
a) Az indítási helyzet ( t0 = 0 ) mozgásjellemzőinek meghatározása:
a0 = a = g = állandó ,
3
1
ex + 10 e y = (8,66 ex + 5 e y ) m/s ,
2
2
r0 = x0 ex + y0 e y = (50 ex + 10 e y ) m.

v0 = v0 cos α ex + v0 sin α ey = 10

b) A pálya A ponti helyvektora és az A ponti sebességvektor meghatározása:

188



t A2
.
2
Az A ponti sebesség vízszintes irányú koordinátája:
v A = v0 cos α = 5 3 = 8,66 m/s

v A = (8,66 ex ) m/s .
v A = v0 + g t A ,

rA = r0 + v0 t A + g
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!



Az A ponti sebesség függőleges irányú koordinátája zérus:
v sin α 10 ⋅ 0,5
=
= 0,5 s .
v A ⋅ e y = v Ay = 0 = v0 sin α − g t A ⇒ t A = 0
10
g
Az A pont helyvektora: x A = x0 + v0 cos α t A = 50 + 8,66 ⋅ 0,5 = 54,33 m ,
t A2
= 10 + 5 ⋅ 0,5 − 5 ⋅ 0, 25 = 11, 25 m,
2
rA = (54,33 ex + 11, 25 ey ) m.
y A = y0 + v0 sin α t A − g

c) A hajítás idejének és hosszának meghatározása:
t 2
vB = v0 + g t B , rB = r0 + v0 t B + g B .
2
A becsapódási hely függőleges koordinátája ismert: yB = 0
yB = 0 = y0 + v0 sin α t B − g

t B2
,
2

0 = 10 + 5 t B − 5 t B2 .

t B1 = −1 s

− 5 ± 25 + 200 − 5 ± 15
tB =
=
=
10
−10

t B2 = 2 s


⎬ ⇒ tB = 2 s,


mert a t B1 = −1 s megoldás fizikailag nem értelmezhető.
A hajítás hossza: xB = x0 + v0 cos α t B = 50 + 8,66 ⋅ 2 = 67,32 m,
yB = 0,
rB = xB ex + yB ey = ( 67,32 ex + 0 ey ) m.
A mozgás hodográfja:

Sebesség a B pontban:
vB = v0 + g t B = (8,88 ex + 5 ey ) + (−10 ey ) 2 = (8,66 ex −15 ey ) m/s.

v y [ m/s ]
v0

vB = vB = vB2 x + vB2 y = 8,662 + 152 = 17,32 m/s.

A becsapódás szöge: cos β =

vB x
vB

=

8,66
= 0,5
17,32

vx [ m/s ]

β

⇒ β = 60o.

g tB
vB

d) A pálya görbületi sugarának meghatározása a becsapódási pontban:

189



B

ρB

an

n

an =

vB2

ρB

B

= g cos β



n

β
ae
vB
e
ρB =

β

β

an

g

ae

e
vB2
17,322
=
≅ 59,996 m.
g cos β 10 ⋅ 0,5

10.4.4. feladat: Merev test síkmozgása, sebességábra

y

ω

A

Adott:

vA

B
1m

D

x

C
1m

Az A, B, C, D pont helye az xy síkon.
A mozgás síkja: x y .
vA = ( 4 ex ) m/s , ω = ( − 1ez ) rad/s .

1m

Feladat: a) A vB sebesség meghatározása.
b) A sebességpólus megszerkesztése .
c) A sebességábra megszerkesztése.
Kidolgozás:
a) A B pont sebességének meghatározása:
vB = vA + ω × rAB = ( 4 ex ) + ( −1ez ) × ( 2 ex ) = ( 4 ex − 2 ey ) m/s,

vB = ( 4 ex − 2 ey ) m/s.
b) A sebességpólus megszerkesztése:

y

A sebességpólus a sebességvektorokra merőleges egyenesek metszéspontja.

A

A P sebességpólust a helyzetábrába (abba
az ábrába, amely a pontok helyzetét adja
me) szerkesztjük meg.

B

vA

B v
B



x

C
vC

ω

P (sebességpólus)
190



c) A sebességábra megszerkesztése:

[m/s]

vy

v A D′

vD
P′ ≡ O v

A′

vx

[m/s]

vC
C′

vC

A helyzetábra és a sebességábra
hasonló.
A sebességábra a helyzetábrához
képest 90o -kal el van forgatva ω
irányában.

B′
vC = vD + ω × rDC ⎫

⊥ rDC ⎪

vC = vB + ω × rBC ⎪
⊥ rBC ⎪⎭



vD = v A + ω × rAD ⎫

⊥ rAD ⎪

vD = vB + ω × rBD ⎪
⊥ rBD ⎪⎭

C ′,



D′.

10.4.5. feladat: Merev test síkmozgása, sebességábra

y

Adott:

2m

A

B

ω

3m

A merev test A, B, C, D pontja, a v A sebességvektor α hatásvonala, a vB sebességvektor β
hatásvonala és ω = (3 ez ) rad/s.

α

β
x

45o
C

Feladat: a) A sebességpólus helyének meghatározása szerkesztéssel.
b) A v A , v B sebességvektorok meghatározása.
Kidolgozás:
a) A P sebességpólus helyének meghatározása szerkesztéssel:
y

2m
B

A

3m

P

1m
C

ω

Az A pontból ⊥ az α hatásvonalra
A B pontból ⊥ a β hatásvonalra

α
β


P sebességpólus

45o

x

A P sebesség pólus helyvektora:

rP = (1ey ) m .

b) A v A , v B sebességvektorok meghatározása:
v A = vP + ω × rPA = (3ez ) × (2ey ) = (−6ex ) m/s,
=0

191



vB = vP + ω × rPB = (3ez ) × (2ex + 2ey ) = (−6ex + 6ey ) m/s.
=0

10.4.6. feladat: Merev test síkmozgása, gyorsulásábra

y
C ε

Adott:
Az xy síkban síkmozgást végző test A, B,C pontja, a test a test
szögsebessége, szöggyorsulása és az A pont gyorsulása.
ω = ( − 3 ez ) rad/s, ε = (3 ez ) rad/s 2 , a A = (6 ey ) m/s 2 .

3m

ω
aA
A

Feladat: a) A B és C pontjának gyorsulásának kiszámítása.
b) A Q gyorsuláspólus helyvektorának meghatározása.
c) A test gyorsulásábrájának megrajzolása.

x
2m

B

Kidolgozás:
a) A B és C ponti gyorsulásvektorok kiszámítása:

aB = a A + ε × rAB − ω 2 rAB = (6 e y ) + (3 ez ) × (2 ex ) − 9( 2 ex ) = (−18 ex + 12ey ) m/s 2 ,
aC = a A + ε × rAC − ω 2 rAC = (6ey ) + (3 ez ) × (3ey ) − 9(3ey ) = (−9 ex − 21ey ) m/s 2 .
b) A Q gyorsuláspólus helyvektorának meghatározása:

aQ = 0 = a A + ε × rAQ − ω 2 rAQ ,

0 = (6 ey ) + (3 ez ) × ( xAQ ex + y AQ ey ) − 9( xAQ ex + y AQ ey ).
0 = 6 ey + 3 xAQ ey − 3 y AQ ex − 9 xAQ ex − 9 y AQ ey ,
0 = − 3 y AQ − 9 x AQ ,
y AQ = − 3 x AQ ,

/ ⋅ex / ⋅ey

0 = 6 + 3 x AQ − 9 y AQ ,



y AQ = − 3( −0,2) = 0,6 m.

0 = 6 + 3 x AQ − 9( −3 x AQ ) = 6 + 30 x AQ ,

x AQ = −0,2 m.

rAQ = ( x AQ ex + y AQ e y ) = ( −0, 2 ex + 0, 6 e y ) m.

c) A gyorsulásábra megrajzolása:

tgϕ =

ε 8
= = 0,5
ω 2 16



ϕ = 26,56o.

B ′′

A′′
aA

aB

O a ≡ Q ′′

A gyorsulásábra a helyzetábrához képest (π − ϕ )
szöggel (180o-26,56o)=153,44o-kal van elforgatva ε
irányban.

aC
C ′′

d) A Q gyorsuláspólus a gyorsulás és a helyzetábra hasonlósága alapján szerkesztéssel határozható meg.
192



10.4.7. feladat: Merev test síkmozgása

y

S

A

B

ω

C

R
x

D

Adott:
Az xy síkban síkmozgást végző, állandó ω szögsebességgel gördülő R sugarú merev test szögsebessége.
ω = ( −1ez ) = állandó , R =1 m.
Feladat:
a) A P sebességpólus helyének, valamint az A, B, C és D
pontok sebességvektorainak meghatározása.
b) A Q gyorsuláspólus, valamint az A, B, C és D pontok
gyorsulásának meghatározása.

Kidolgozás:
a) A P sebességpólus helyének, valamint az A, B, C és D pontok sebességvektorainak meghatározása:
Tiszta gördülés: vD = 0 ⇒ P ≡ D .
vS = vS ex = vD + ω × rDS = (ω ez ) × ( Re y ) = (−1ez ) × e y = (ex ) m/s ,
=0
vB = vD + ω × rDB = ( ω ez ) × ( 2 R ey ) = (− ez ) × ( 2 ey ) = (2 ex ) m/s,

=0
v A = vD + ω × rDA = ( ω ez ) × ( − R ex + R e y ) = − R ω ex − R ω e y =
=0
= (vS ex + vS e y ) = (1ex + 1e y ) m/s ,

= vS

= vS

vC = vD + ω × rDC = ( ω ez ) × ( R ex + R e y ) = (vS ex − vS e y ) = ( ex − e y ) m/s .
=0

b) A Q gyorsuláspólus, valamint az A, B, C és D pontok gyorsulásának meghatározása:
vS = állandó ⇒ aS = 0 ⇒ aSe = 0
aSn = 0 .

S ≡Q
Az S pont a test Q gyorsuláspólusa.
ω = állandó ⇒ ε = 0.

a A = aS + ε × rSA − ω 2 rSA = −ω 2 (− R ex ) = (1ex ) m/s 2 ,
=0 =0

aD = aS + ε × rSP − ω 2 rSD = −ω 2 (− R ey ) = (ey ) m/s 2 ,
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


=0 =0

aB = aS + ε × rSB − ω 2 rSB = −ω 2 ( R ey ) = (−ey ) m/s 2 ,
=0 =0

aC = aS + ε × rSC − ω 2 rSC = −ω 2 ( R ex ) = (−1ex ) m/s 2 .
=0 =0

193



10.4.8. feladat: Hasáb haladó mozgása

y

Adott: A haladó mozgást végző m tömegű
hasáb, továbbá µ , β , F0 , G, vS .
Feladat: A hasáb aS gyorsulásának és a
hasábra ható támasztó erőrendszer
FK eredőjének meghatározása.

F0

β
vS

S

aS

µ

x
G

a) A feladat megoldása szerkesztéssel:
Impulzus tétel: maS = F0 + G + FK .

Fe
Helyzetábra

y
ee

β

ea

Vektorábra

m aS

e0

FK

vS

S

G

µ
ρ

eG


ρ

Fe

x
F0

eK

b) A feladat megoldása számítással:
aS = aSx ex , FK = − µ FN ex + FN ey ,
F0 = F0 x ex + F0 y ey = F0 (cos β ex + sin β e y ) .

Impulzus tétel : maS = F0 + G + FK ,

/ ⋅ ex / ⋅ e y .

0 = F0 y − G + FN , ⇒ FN = G − F0 sin β .

maSx = F0 x − µ FN ,
1
aSx = ⎡⎣ F0 x − µ (G − F0 y ) ⎤⎦ .
m
10.4.9. feladat: Tömegpont mozgása kényszerpályán

F0

b
vS

y

µ

x

g = 10 m/s2 , α = 30o , c = 1 m , b = 2 m ,
F0 = (200 ex − 100 ey N .

c

α
194

S

Adott: Az érdes, α hajlásszögű felületen vS pillanatnyi sebességgel lefelé mozgó m tömegű hasáb.
µ = 0, 25 ; vS = (−10 ex ) m/s , m = 40 kg ,



Feladat: A hasáb súlyponti gyorsulásának és a hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása
a) számítással és
b) szerkesztéssel.
Kidolgozás:
a) A hasáb súlyponti gyorsulásának és a hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása számítással:

F0

b
vS S

y

µ

h

ρ

c

α

G

Impulzus tétel: m aS = ( G + F0 + FK ).
( m aS ex ) = (− m g sin α ex − m g cos α ey ) +

x

+ ( F0 x ex + F0 y e y ) + ( µ FN ex + FN e y ) .

ρ

Az egyenletet skalárisan beszorozva először ey -al,
majd ex -el:

FK

0 = − m g cos α + F0 y + FN

⇒ FN = 346, 4 + 100 = 446, 4 N.

m aS = − m g sin α + F0 x + µ FN ⇒ aS =

1
(− m g sin α + F0 x + µ FN )
m

1
(− 40 ⋅ 10 ⋅ 0,5 + 200 + 0,25 ⋅ 446, 4) = 2,91 m/s 2 .
40
A súlyponti gyorsulás: aS = (2,91ex ) m/s 2 .
aS =

A kényszererő: FK = ( µ FN ex + FN ey ) = (111,6 ex + 446, 4 ey ) N.
A kényszererő hatásvonala a perdület- tételből: π s = M s , ⇒

h=

c
b
0 = − F0 x − F0 y + h FN ,
2
2

c F0 x b F0 y
200
100
+
= 0,5
+
= 0, 448 m.
2 FN 2 FN
446, 4 446, 4

b) A feladat megoldása szerkesztéssel:

m aS = (G + F0 + FK ).
Fer

Helyzetábra

Vektorábra

e0

h

y

ρ
α

eG

.

x

S

ea

m aS

eK

ρ

Fer
G

FK

ρ
F0

195



10.4.10. feladat: Henger gördülése kényszerpályán
Adott: A sík kényszerpályán tiszta gördülő mozgást végző körhenger. aS = (8ex ) m/s 2 ,
g ≈10 m/s 2 , l AB = 2 m, R = 0,1 m, m = 30 kg.
y

C

m

aS

S

R

µ0

Feladat:
a) Az adott gyorsulás fenntartásához szükséges
F0 = F0 ex erő meghatározása.

F0

b) Az FK kényszererő meghatározása.
c) A csúszásmentes gördülő mozgás megvalósításához szükséges µ0 min nyugvásbeli súrlódási tényező meghatározása.
d) A hengerre ható erőrendszernek az l AB hosszon
végzett W AB munkájának meghatározása.

mg

A

B

ρ0

FK

x

l AB

Kidolgozás:
A hengerre ható kényszererő (támasztóerő): FK = FT ex + FN ey .
A henger szöggyorsulása: ε = − ε ez = −

aS
8
ez = −
ez = (−80 ez ) 1/s 2 .
R
0,1

a) Az F0 erő meghatározása:
y

Perdület tétel az A pontra:

C

m

µ0

=MA,

J aε = M A , mert a tehetetlenségi főtengely.

B

ρ0

ω ×π A
= 0, (ω π A )

mg

A
FK

J Aε +

aS

S

R

πA =MA ,

F0

− ( J aε ez ) = (− F0 ⋅ 2 R ez ) / ⋅ ez
3
2
J a ε 2 mR ε 1,5 ⋅ 30 ⋅ 0,12 ⋅ 80
F0 =
=
=
=180 N.
2 ⋅ 0,1
2R
2R

x

l AB

b)Az FK kényszererő (támasztóerő) meghatározása:
Impulzus tétel: m aS = F .



maS = F0 + G + FK .

( F0 ex − m g ey + FT ex + FN ey ) = m aS ex

/ ⋅ ex / ⋅ey

F0 + FT = m aS ,

−m g + FN = 0,

FT = maS − F0 = 30 ⋅ 8 − 180 = 60 N,

FN = m g = 30 ⋅ 10 = 300 N.

FK = FT ex + FN ey = (60 ex + 300ey ) N.

196



Ellenőrzés: perdület tétel a henger S ponti tengelyére:
J sε = M S , ⇒
− J s ε ez = (− F0 R ez ) + ( FS R ez ) / ⋅ ez
1
mR 2 ε
Js ε
0,5 ⋅ 30 ⋅ 0,12 ⋅ 80
FT = F0 −
= F0 − 2
= 180 −
= 60 N.
R
R
0,1
c) A csúszásmentes gördüléshez szükséges minimális nyugvásbeli súrlódási tényező:

µ0 min =

FT
FN

=

60
= 0, 2.
300

d) Az l AB szakaszon végzett munka:
tB

tB

tA

tA

WAB = ∫ P dt = ∫ ( F0 ⋅ vC + G ⋅ vS + FK ⋅ v A ) dt =
=0

=0

tB

∫F

0

⋅ 2vS dt = 2 F0 l AB = 2 ⋅ 180 ⋅ 2 = 720 J.

tA

10.4.11. feladat: Merev testre ható erőrendszer teljesítménye
Adott: Az R sugarú, G súlyú homogén henger β hajlásszögű lejtőn gördül. A henger súlypontjának
pillanatnyi sebessége vS .

F1

B
M2 S
y

vS
R

G = 100 N , vS = (2 ex ) m/s , M 2 = ( 20 ez ) Nm ,
x

β = 30o , R = 0,5 m , F1 = ( 60 ex + 20 ey ) N.
Feladat: A G súlyerő PG , az F1 erő PF1 , az M 2 nyo-

A

β

G

maték nyomaték PM 2 és az FA támasztóerő
PFA teljesítményének kiszámítása.

Kidolgozás:
PG = G ⋅ vS = ( −G sin β ex − G cos β ey ) ⋅ ( vS ex ) = −G sin β vS = −100 ⋅ 0,5 ⋅ 2 = − 100 W ,
PF1 = F1 ⋅ vB = F1 ⋅ 2vS = ( 60 ex + 20 ey ) ⋅ ( 4 ex ) = 240 W ,

⎛ 2 ⎞
⎛ v

PM 2 = M 2 ⋅ ω = M 2 ⋅ ⎜ − S ez ⎟ = ( 20ez ) ⋅ ⎜ −
ez ⎟ = − 20 ⋅ 4 = −80 W ,
⎝ R ⎠
⎝ 0,5 ⎠
PFA = FA ⋅ vA = 0.

=0

197



10.4.12. feladat: Rögzített tengely körüli forgómozgás

Adott: ω 1 = 3 rad/s , m = 40 kg ,

ω1

l = 1 m , ϑ = 60o .

l

y

(1)

S

ϑ
A

n
mg

g ≈ 10 m/s 2 ,

e

x
(2)

ω2

Feladat:
a) A súlypont aS 1 gyor-sulásának és az FA1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű
helyzet-ben.
b) A (2) helyzetbeli ω2 szögsebesség meghatározása.

c) A súlypont aS 2 gyorsulásának és az FA 2 támasztóerőnek a meghatározása a (2) jelű
helyzetben.
Kidolgozás:
a) A súlypont aS 1 gyorsulásának és az FA1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű
helyzetben:
- A súlyponti gyorsulás meghatározása:
Perdület tétel az A pontra: J Aε + ω × ( J Aω ) + rAs × m a A = M A

ε

ω

/ ⋅ ez .

=0

A z tengely (a tengely) tehetetlenségi főtengely, ezért:
l
l 2 ml 2
ml 2
Ja = Js + m =
J aε1 = M a = − cosϑ ⋅ mg ,
, Js =
,
2
4
3
12
ml2
l
ε1 = − cosϑ ⋅ m g ,
3
2
3 g cosϑ
ε1 = −
= −7,5 1/s 2 ,
2 l
l
l
aS 1e = −ε1 = 3,75 m/s 2 ,
aS 1n = ω 12 = 4,5 m/s 2 ,
2
2
3 g cosϑ
l 2
aS 1 = aS 1e e + aS 1n n = +
e + ω 1 n = (3,75e + 4,5n ) m/s 2 .
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


2 l
2
- A támasztóerő meghatározása:

Impulzus tétel: maS 1 = mg + FA1 /⋅ e /⋅ n

maS 1e = mg cosϑ + FA1e ⇒ FA1e = −50 N ,
maS 1n = mg sin ϑ + FA1n ⇒ FA1n = −16,64 N .
FA1 = (−50e − 16,64n ) N .

b) A (2) helyzetbeli ω2 szögsebesség meghatározása:
Munkatétel: E2 − E1 = W12 = F ⋅ ∆r = G ⋅ ∆rS + FA ⋅∆rA ,
0
198



1
l
ml 2
J a (ω22 − ω12 ) = mg ⋅ sin ϑ + 0 , J a =
.
2
2
3
2mg l
3 g sin ϑ
sin ϑ = ω 12 +
ω22 = ω 12 +
,
Ja 2
l
ω2 = 5,91 1/s , ω2 = (−5,91ez ) rad/s .
c) A súlypont aS 2 gyorsulásának és az FA 2 támasztóerőnek a meg-határozása a (2) jelű
helyzetben:
l
Perdület tétel az a tengelyre: J aε 2 = − mg ,
2
3 l
3g
ε 2 = − 2 m g = − = −15 1/s 2 .
2l
2
ml
l
l
aS 2 = (−ε 2 e + ω22 n ) = (7,5e + 17, 46n ) m/s 2 .
2
2
Impulzus tétel: maS 2 = mg + FA 2
/⋅ e / ⋅ n ,
l 3g
⎛ 3g

= mg + FA 2 e , FA 2 e = ⎜
− g ⎟ m = −100 N .
2 2l
4


l 2
l 2
m ω2 = 0 + FA 2 n , FA 2 n = m ω2 = 699,6 N .
2
2
FA 2 = (−100e + 699,6n ) N .
m

10.4.13. feladat: Fizikai inga

y
A

(1) helyzet

l
m

α

n
S

x

e

(2) helyzet

mg

Adott: Az m tömegű, l hosszúságú prizmatikus rúd, amely
az A pont körül a függőleges síkban végez forgómozgást. Az α szöggel meghatározott (1) jelű
helyzetben a rúd S pontjának sebessége zérus.
α = 30o , g ≈ 10 m/s 2 , m = 2 kg , l = 2 m.
Feladat: a) A rúd S pontja aS 1 gyorsulásának és az FA1
támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű
helyzetben.
b) A rúd S pontja aS 2 gyorsulás át és az FA 2
támasztóerőnek , valamint az ω2 szögsebességének a meghatározása a (2) jelű helyzetben.

Kidolgozás:
a) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása az indítási, (1) jelű helyzetben:
Az A ponti kényszererő: FA1 = ( FA1e e + FA1n n ) , az S pont gyorsulása aS 1 = (aS 1e e + aS 1n n ) ,
A rúd szöggyorsulása ε1 = (ε1 k ) , rúd szögsebessége ω1 = ( ω1 k ) = 0.
Az A pontra felírt perdület tétel: π A1 = M A1 .
J Aε1 +

ω1 × π A1

= M A1 .

= 0, mert ω1 π A1

199



(1) helyzet

y
A
n α

l
m

FA1n x
FA1e

aS 1n

S
aS 1e

e

mg

ε1

J aε1 = M A1 ,
l
J aε1 e = m g sin α ez / ⋅ ez
2
l
J aε1 = m g sin α .
2
m g sin α l
m g sin α l
m g sin α l 3 g
sin α .
ε1 =
=
=
=
2
2 Ja

⎛ l ⎞ ⎤ 2 ⎛ 1 ml 2 ⎞ 2 l


2 ⎢JS + m⎜ ⎟ ⎥
⎝3

⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
3 10
ε1 = ⋅ 0,5 = 3,75 rad/s 2 ⇒
ε1 = (3,75 ez ) rad/s 2 .
2 2

A súlyponti gyorsulás: aS 1 = ( aS 1e e + aS 1n n ).
l
⇒ aS 1e = (3,75 e ) m/s 2 ,
aS 1e = ε1 =1 ⋅ 3,75 = 3,75 m/s 2
2
2 v2 l

aS 1n = S 1 = ω12 =1 ⋅ 02 = 0
aS 1n = 0,
2
l
aS 1 = (3,75 e ) m/s 2 .
Impulzus tétel: m aS 1 = ( FA1 + G ),

( m aS 1e e + m aS 1n n ) = ( FA1e e + FA1n n ) + (m g sin α e − m g cos α n ) / ⋅ e / ⋅n
m aS 1e = FA1e + m g sin α 0 ,
FA1e = m ( aS 1e − g sin α ) = 2 ⋅ (3,75 − 10 ⋅ 0,5) = − 2,5 N,

m aS 1n = FA1n − m g cos α ,
FA1n = m ( g cos α + aS 1n ) = 2 ⋅ 10 ⋅ 0,866 =17,3 N.
=0
FA1 = (−2,5 e + 17,3 n ) N.

b) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, (2) jelű helyzetben:
Munkatétel: E2 − E1 =W12 .
1
1
l
J aω22 − J a ω12 = m g (1 − cos α ),
2
2
2
=0
1
l
J aω22 = m g (1 − cos α ),
2
2
m g l (1 − cos α ) 3 g
3 ⋅ 10(1 − 0,866)
ω22 =
(1 − cos α ) =
=
= 2,01 ,
1 2
2
l
ml
3
ω2 = 2,01 =1, 417 rad/s.
Az A pontra felírt perdület tétel: π A 2 = M A 2 .

200



J Aε 2 +

ω2 × π A

= M A2 , ⇒

2

= 0, mert ω2 π A 2

ε 2 = 0.

=0

A súlyponti gyorsulás: aS 2 = (aS 2 e e + aS 2 n n ).
l
aS 2 e = ε 2 = 0 .
2
2 v2 l
aS 2 n = S 2 = ω22 =1 ⋅1, 417 2 = 2,01 ⇒ aS 2 n = (2,01n ),
l
2
aS2 = ( 2,01n ) m/s 2
Impulzus tétel: m aS 2 = ( FA2 + G ),

( m aS 2 e e + m aS 2 n n ) = ( FA 2 e e + FA2 n n ) + (− m g n ),

/ ⋅ e /⋅ n

m aS 2 e = FA 2 e ,

m aS 2 n = FA2 n − m g ,

FA 2 e = m aS 2 e = 0.
=0

FA 2 n = m ( g + aS 2 e ) = 2(10 + 2,01) = 24,02 N.

FA 2 = ( 24,02 n ) N.

201