Betekintés: Kozma Jánosné - Matematika fogalmak, ismeretek

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


MATEMATIKA
I. RÉSZ: Fogalmak, ismeretek
Szkennelte:
Kozma Jánosné
A Fehérbot alapítvány munkatársa

-1-



Halmazok egyenlősége
Definíció:
A halmaz és a halmaz eleme a matematikában alapfogalom Két halmazt akkor és csak akkor
tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemeivel azonosak. (Ha
egy elemet többször sorolunk fel, attól sem a halmaz, sem a halmaz számossága.nem változik
meg.) Jelölés: M egyenlő N
Más szóval: M és N halmaz a következő és csak a következő esetben egyenlő, ha a eleme az
M halrnaznak, akkor a eleme az N halmaznak is, ha b nem eleme az M halmazlnak, akkor b
nem eleme az N halmaznak sem.
Részhalmaz
Definíció:
Az A halmazt a H halmaz részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz minden eleme a H
halmaznak is eleme.
Az üres halmaz részhalmaza minden más halmaznak.
Valódi részhalmaz
Definíció:
Az A halmaz valódi részhalmaza a H halmaznak, ha A minden eleme eleme H-nak is, de Hnak van legalább egy eleme, amely nem eleme A-nak.

Halmazok számossága
Definíció:
1) Legyen az üres halmaz számossága nulla. Az üres halmaznak egyetlen eleme sincs.
2) Véges sok különböző elemet tartalmazó halmaz számosságát az elemeinek számával
definiáljuk és jelöljük.
3) A nem véges számosságú halmaz számossága végtelen.
Megszámlálhatóan végtelen számosságú az olyan halmaz, melynek elemei és a pozitív
egészek között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés hozható létre.
Halmazok uniója (egyesítése)
Definíció:
Kél halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek a két halmaz
közül legalább az egyiknek elemei. Azok az elemek tartoznak az unióhoz, amelyek az A
halmaznak vagy a B halmaznak elemei.
Szokás ezt a műveletet a halmazok összeadásának is hívni. Az egyesítésműveletet kettőnél
több, sőt akár végtelen sok halmaz esetén is hasonlóan definiálható.
Halmazok metszete (közös része)
Definíció:
Két halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek mind a két
halmaznak elemei.
-2-



Azok az elemek tartoznak a metszethez, amelyek A halmaznak és B halmaznak is elemei.
A halmazok metszetét szokás a halmazok szorzásának is hívni. Kettőnél több, sőt akár
végtelen sok halmaz metszete hasonlóan definiálható.
Halmazok különbsége
Definíció:
A és B halmaz különbsége az A halmaznak azokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem
elemei a B halmaznak
A különbségképzés nem kommutatív és nem asszociatív!
Kiegészítő (komplementer)halmaz
Definíció:
Egy H nem üres halmaznak legyen A egy részhalmaza!
Az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementer halmaza az az A-val jelölt halmaz, amely
a H halmaz A-hoz nem tartozó elemeit tartalmazza.
Adjon meg különféle jelölésekkel halmazokat!
Ismeretek:
A halmaz megadása az elemeinek egyértelmű meghatározását jelenti.
a) Ha kevés az elem, teljes felsorolással adjuk meg a halmazt.
b) Venn-diagramba beírjuk az elemeket vagy a meghatározást.
c) Olyan meghatározással, amelynek alapján egyértelmű lesz, hogy a dolog eleme-e a
halmaznak.
.
d) Megadjuk az alaphalmazt és kellő számú tulajdonságot úgy, hogy az alaphalmaznak
pontosan azok az elemei tartozzanak a halmazba, melyekre igazak a tulajdonságok.
e) szöveggel
f) képlettel, matematikai jelöléssel
Halmazok direkt vagy Descartes-féle szorzata
Definíció:
Két bármilyen dolog rendezett párt alkot, ha sorrendjük meghatározott. Jelölése: (a, b) (a és b
nem cserélhetők fel.)
Adott A és B halmaz, és egyikük sem üres halmaz, akkor képezzük azokat a rendezett
párokat, melyeknek első tagját az A halmazból, a második tagját a B halmazból vesszük. Az
összes ilyen rendezett pár halmazát az A és B Descartes-féle vagy direkt szorzatának
nevezzük. Jele: A x B (olvasd: A kereszt B)
Ez a művelet nem kommutatív, azaz ha felcseréljük az elemeket, más lesz az eredmény.
Állítás, kijelentés
Definíció:
A kijelentések (nyelvtanilag kijelentő mondatok) lehetnek igazak (i) vagy hamisak (h).
Másképpen fogalmazva, a kijelentések logikai értéke lehet igaz vagy hamis.
-3-



A kijelentések körében végzett műveletek logikai értéke csak a művelettel összekapcsolt
állítások logikai érlékétől függ.
Konjunkció
Definíció:
A konjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést az és kötő szóval kapcsol össze
egy kijelentéssé.
Az és művelet eredménye pontosan abban az esetben igaz, ha mindkét kijelentés logikai
értéke igaz.
Diszjunkció
Definíció:
A diszjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést vagy állítást a vagy kötőszóval
kapcsol össze egy kijelentéssé.
A vagy művelet eredménye pontosan abban az esetben hamis, ha mindkét kijelentés logikai
értéke hamis.
A hétköznapi gyakorlatban. a vagy kötőszót többféle értelemben is használjuk. A kizáró vagy
nem engedi meg, hogy mindkét állítás egyszerre igaz lehessen. A megengedő vagy lehetővé
teszi, hogy az egyik, vagy a másik, vagy mindkét állítás igaz legyen. A matematikai
logikábaln a diszjunkció ez utóbbit jelenti.
Negáció
Definíció:
A negáció egyváltozós logikai művelet.
Egy igaz A.kijelentés negácója a nem igaz A kijelentés.
Egy nem igaz B kijelentés negációja az igaz B kijelentés.
Megjegyzés: A tagadás tagadása állítást jelent.
Természetesszámok
Definíció:
A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...n.., a nem negatív egész számokat természetes számoknak
nevezzük.
A természetes számok halmazának jelölése: N halmaz (Natur = természetes latin szóból
Az n természetes szám rákövetkezője az (n + egy) természetes szám.
Alapműveletek a természetes számok körében
Ismeretek:
A természetes számok halmaza az összeadásra és a szorzásra nézve zárt. Azaz két
természetes szám összege és szorzata is természetes. szám.
A kivonás kivezet a természetes számok halmazából. Ha a kivonandó nagyobb természetes
szám, mint a kisebbítendő, akkor kapjuk a negatív számokat.



-4Az osztás is kivezet a természetes számok halmazából, ha az osztandó nem egész számú
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


többszöröse az osztónak, akkor kapjuk a p per q alakú tört számokat - ahol p és q természetes
számok és q nem nulla.
Osztó
Definíció:
Az a egész számnak osztója a b egész szám, ha található olyan q egész
szám, amelyre a egyenlő b szorozva q-val
Ugyanakkor azt is mondhatjuk, hogy a többszöröse b-nek.
A prímszám
Definíció:
Azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van (1 és önmaga),
prímszámoknak (törzsszámoknak ) nevezzük..
Ha a pozitív egész számnak l-en és önmagán kívül más osztója is van, összetett számnak
nevezzük. Az 1 sem nem prímszám, sem nem összetett szám.
Relatív prímek
Definíció:
Ha két vagy több nullától különböző egész szám legnagyobb közös osztója 1, akkor azokat
relatív prímeknek (viszonylagos törzsszámoknak) nevezzük. (Ezek között lehetnek összetett
számok is. A számok törzstényezős felbontásában nincsenek megegyező tényezők.)
Többszörös
Definíció:
Az a egész szám többszöröse a b egész számnak, ha tálálható olyan k egész, úgy hogy
a egyenlő b szer k.
Tehát ha egy nullától különbözö b egész számot bármilyen k egész számmal megszorozzuk,
b-nek egy többszörösét kapjuk.
Minden nullától különbözö egész számnak végtelen sok többszöröse van.
A számelmélet alaptétele
Tétel:
Minden pozitív összetett számot fel lehet bontani prímszámok szorzatára. Ez a felbontás a
tényezők sorrendjétöl eltekintve egyértelmű.
(A tétel bizonyítása nem középiskolás anyag.)
A legnagyobb közös osztó
Definíció:
Az al, a2, a3, ..., an pozitív egész számok legnagyobb közös osztóján azt a pozitív egész d
számot értjük, amely valamennyi al, a2, a3, …, an számnak osztója, és ha d vessző egy másik
-5-



közös osztója az al, a2, a3,…, an számoknak, akkor d vessző valódi osztója d-nek is. Azaz d a
közös osztók közül a legnagyobb. I
A d mindig létezik és egyértelműen meghatározott.
Ha két vagy több szám legnagyobb közös osztója 1, akkor ezeket a számokat viszonylagos
törzsszámoknak (relatív prímeknek) nevezzük.
A legkisebb közös többszörös
Definíció:
Az al, a2, a3, …, an egész számok legkisebb közös többszörösén azt a t pozitív egész számot
értjük, amely valamennyi al, a2, a3, ..., an számnak többszöröse, és ha t egy másik közös
többszörös, akkor t többszöröse t-nek. Azaz a közös pozitív többszörösök közül t a legkisebb.
A t mindig létezik és (előjelétől eltekintve) egyértelmüen meghatározott.
A számfogalom kiterjesztésének szükségessége
Ismeretek:
A természetes számok körében a kivonás nem mindig végezhető el. Ha abban az esetben is
szeretnénk elvégezni a kivonást amikor a kivonandó nagyobb a kisebbítendönél, akkor
szükségünk van negativ egész számokra.
A természetes számok körében az osztás nem végezhető el minden esetben. Ha az osztandó
nem egész számú többszöröse az osztónak, akkor szükségünk van tört (racionális) számokra.
Nagyon sok gyökvonás eredménye, a kör kerülete, a kör területe, nagyon sok szám logari
tmusa, nagyon sok szög szögfüggvényértéke stb. nem fejezhető ki racionális számokkal, ezért
szükségünk van irracionális számokra.
A racionális és irracionális számok diszjunkt halmazának egyesítése a valós számok halmaza.
A páros kitevőjű gyökvonás nem végezhető el a negatív valósok körében, ezért szükségünk
van az imaginárius (képzetes) számokra. Így jutunk el a komplex számok halmazáig.
A permanencia elve
Ismeret:
A számfogalom bővítésekor a természetes számok, egész számok, racionális számok, valós
számok, komplex számok halmazait úgy kell felépíteni, a bővítést úgy kell elvégezni, hogy a
szűkebb számhalmazban érvényes tulajdonságok a kibővítés után az új számhalmazban is
érvényesek legyenek.
A permanencia-elvet alkalmazzuk például a hatványfogalom kiterjesztésekor is. (Egy pozitív
szám racionális kitevőjű hatványát úgy értelmezzük, hogy a természetes egész kitevőjű
hatványokra vonatkozó azonosságok érvényben maradjanak.)
Negatív számok
Ismeret:
Mivel a természetes számok körében a kivonás nem végezhető el korlátlanul, ezért
szükség van újabb számokra, a negatív számokra. Ha a kivonandó nagyobb, mint a
kisebbítendő, akkor az eredmény negatív szám.
Definíció:
-6-



Ha m pozitív egész, akkor a 0 - m különbséget m-mel jelölt negatív egésznek nevezzük. A -m
az m ellentettje, és természetesen az m ellentettje a –m.
Az m tetszőleges pozitív valós szám és a – m negatív valós számok a számegyenesen
szimmetrikusan helyezkednek el a 0-nak megfelelő pontra.
Egész számok halmaza
Definíció:
A természetes számok és a negatív egész számok halmazának unióját egész számoknak
nevezzük.
Ez a halmaz a szorzásra, összeadásra és kivonásra nézve zárt.
Az egészeklnek megfelelő pontok a számegyenesen egymástól egyenlő, egységnyi távolságra
helyezkednek el.
Az egész számok halmazának jele: Z
A racionális számok halmaza
Definíció:
A racionális számok halmazát azok a számok alkotják, amelyek felírhatók a per b alakban,
ahol a és b egész szám és b nem nulla.
Az osztást elvégezve a szám felírható véges vagy végtelen (periodlkus) szakaszos, vegyes-sza
szos tizedestört alakban. (A szakasz legfeljebb annyi jegyű, mint az osztó abszolút értéke -1).
Bizonyítható, hogy minden ilyen tizedes tört felírható p per q alakban.
A racionális számok a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el, azaz bármely két
a kisebb b racionális szám között mindig található olyan c racionális szám amelyre
a kisebb c kisebb b fennáll.
A racionális számok nem töltik be a számegyenest, még marad hely az irracionális
számoknak.
A racionális számok diszjunkt részhalmazai:
pozitív egészek
negatívegészek
nulla
pozitív törtek
negatív törtek
A racionális számok halmazának jele: Q
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Irracionális számok
Definíció:
Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként irracionális
számoknak nevezzük.
A számegyenes olyan pontjaihoz, melyekhez nem tartozik racionális szám, rendeljük az
irracionális számokat. Az irracionális számok a számegyenesen mindenütt sűrű halmazt alkotnak.
Az irracionális számok tizedestört alakja
Definíció: A nem szakaszos végtelen tizedestörteket irracionális számnak nevezzük.
-7-



A valós számok halmaza
Definíció:
A racionális számok halmazának és az irracionális számok halmazának egyesítése (uniója) a
valós számok halmaza. Elemeit valós számoknak nevezzük.
A valós számok véges, vagy végtelen periodikus, vagy végtelen nem periodikus
tizedestörtekkel adhatók meg.
A valós számok diszjunkt részhalmazai:
pozitív egészek
negatív egészek
nulla
pozitív törtek
pozitív irracionálisok
negatív törtek
negatív irracionálisok

A valós számok halmaza és a számegyenes
Definíció:
Minden valós számnak megfelel egy pont a számegyenesen és fordítva:
a számegyenes bármely pontjának megfelel egy valós szám.
A valós számok halmazának jelölése: R halmaz
Az összeadás és a szorzás a valós számkörben
Ismeretek:
A valós számok összeadása és szorzása kommutatív (felcserélhető) és asszociatív
(csoportosítható) tulajdonságú.
A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív (széttagolható) művelet.
Ha az összeg valamennyi tagjában egy vagy több tényező megegyezik, akkor az a tényező
kiemelhető.
A tízes számrendszer
Ismeretek:
A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, számjegyekkel bármely valós szám felírható tízes számrendszerben.
Ennek a számrendszernek alapszáma a10, ezért nevezzük tízes számrendszernek.
A helyiértékek rendre a 10 egész kitevős hatványai.
A kettes számrendszer
Ismeretek:
Ha a számrendszer alapszámának a 2-t választjuk, akkor elég a számok leírásához két
számjegy: a 0 és az 1.
Ennek a számrendszernek 2 az alapja, ezért kettes számrendszernek nevezzük.
Itt a helyiértékeket rendre a 2 egész kitevős hatványai adják.

-8-



A számok abszolútértéke
Definíció:
A valós számok abszolútértékének nevezzük a következő nem negatív valós számot.
a abszolútértéke egyenlő pozitív a, ha a nagyobb mint nulla
nulla, ha a egyenlő nulla
mínusz a,ha a kisebb mint nulla.
A valós szám abszolútértéke a számegyenesen a számnak megfelelő pontnak a nulla ponttól
való távolsága. Ez az érték mindig pozitív vagy nulla.
A számok normálalakja
Definíció:
Ha a pozitív x számot egy 1 és 10 közzé eső szám és 10 valamely egész kitevőjű hatványának
szorzataként írjuk fel, akkor azt mondjuk, hogy ez a szám normálalakja.
A 10 hatványkitevője az adott szám nagyságrendjére jellemző. Ezt a hatványkitevőt a szám
karakterisztikájának nevezzük.
Azonosság
Definíció:
Ha két kifejezés helyettesítési értéke a bennük előforduló változóknak az adott halmazbeli
tetszőleges értékére mindig ugyanaz, akkor a két kifejezést azonosnak mondunk.
Két azonos kifejezést az egyenlőség jelével összekötve azonosságot kapunk.
Egyenlet
Definíció:
Az egyenlet olyan egyenlőség, amelynek két oldalán egy- egy függvény áll. Az egyenlet a
benne szereplő fügvényektől függően lehet egy vagy több ismeretlenes. Az ismeretlenek
fokszámától függően elsőfokú, másodfokú,…, lehet. Az egyenlet értelmezési tartománya az
egyenlőség két oldalán szereplő függvények értelmezési tartományainak közös része.
Az egyenlet igazsághalmaza az értelmezési tartománynak azokból az elemeiből áll,
amelyeknél az egyenlet két oldalán álló kifejezések helyettesítési értékei megegyeznek.
Az igazsághalmaz elemeit az egyenlet gyökeinek, megoldásainak is szoktuk nevezni.
Egyenlőtlenség
Definíció:
Az egyenlőtlenség kisebb vagy nagyobb, vagy kisebb egyenlő, vagy nagyobb egyenlő reláció
valamelyikével összekapcsolt két kifejezés, amely ismeretleneket tartalmaz. Egyenőtlenséget
megoldani annyit jelent, mint megkeresni, hogy az ismeretlen(ek) mely halmazán lesz igaz a
reláció.
Logikai függvény
Definíció: Az olyan függvényeket, amelyekben az egy vagy több változó értelmezési
tartományának minden eleméhez egyértelműen az igaz vagy hamis értéket rendeljük hozzá,
logikai függvényeknek nevezzük.
-9-



Egyenletek ekvivalenciája
Definíció:
Két egyenletet a gyökökre nézve ekvivalensnek nevezünk, ha igazsághalmazuk megegyezik.
Vagyis két egyenlet akkor ekvivalens a gyökökre nézve, ha pontosan ugyanazok a gyökeik.
Ekvivalens átalakítások
Definíció:
Azokat az átalakításokat, amelyek során az eredeti egyenlettel a gyökökre nézve ekvivalens
egyenletet kapunk, ekvivalens átalakításoknak nevezzük. Az ekvivalens átalakításoknál nem
veszíthetünk gyököt és hamis gyököt sem kaphatunk.
A leggyakrabban előforduló ekvivalens átalakítások:
1) Az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot, ismeretlent, algebrai kifejezést
hozzáadjuk.
2) Az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a számot, ismeretlent, algebrai kifejezést
kivonjuk.
3) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal, ismeretlennel,
algebrai kifejezéssel szorozzuk.
4) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal, ismeretlennel,
algebrai kifejezéssel osztjuk.
5) Akkor vonhatunk négyzetgyököt, ha mindkét oldal pozitív.
6) Akkor hatványozhatunk páros kitevőre, ha mindkét oldal egyező előjelű.
Hamis gyök
Definíció:
Ha olyan típusú átalakításokat alkalmazunk az egyenlet megoldása során, amelyek miatt az
igazsághalmaz bővül, azaz olyan gyököket kapunk, amelyek az eredeti egyenletnek nem
gyökei, ezek a hamis gyökök.
Ezért is kell meggyőződni, hogy a kapott gyök valóban megoldása-e az eredeti egyenletnek.
Szöveges feladatoknál előfordul, hogy mindvégig ekvivalens átalakításokat végeztünk, a
kapott gyökök mindegyike mégsem megoldás, mert pl. nem értelmezhető. A szöveges feladat
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


megoldását a szöveg értelmezése szerint kell ellenőrizni, nem a felállított egyenlet szerint.
Gyökvesztés
Definíció:
Ha olyan típusú átalakításokat alkalmazunk az egyenlet megoldása során, amelyek miatt az
igazsághalmaz szűkül, azaz olyan gyököket nem kapunk meg, amelyek az eredeti
egyenletnek gyökei voltak, akkor gyökvesztés lépett fel.
Polinom
Definíció:
A polinom egy vagy több változót (határozatlant) tartalmazó, többtagú algebrai egész
kifejezés.
Fajtái:
Az együtthatók szerint: egész, racionális, valós együtthatós polinomok lehetnek.
-10-



A változó fokszáma szerint:
- az egyváltozósnál annyi a fokszám, mint a változó legnagyobb kitevője
- több változóesetén az egy tagban szereplő változók fokszámának összegei közül a
legnagyobb adja a polinom fokszámát.
Algebrai tört
Definíció:
Az algebrai tört két polinom hányadosa. Az algebrai törtek értelmezési tartománya azoknak a
valós számoknak a halmaza, amelyek esetében a tört nevezőjének helyettesítési értéke nem
lesz nulla.
A másodfokú egyenlet diszkriminánsa
Definíció:
Az a szor x négyzet meg b szer x meg c egyenlő nulla másodfokú egyenlet, ahol az a, b , c
valós számok, és nem nulla:
x1,2 egyenlő mínusz b plusz mínusz négyzetgyök alatt b négyzet mínusz 4a szor c per 2a
megoldóképletében a b négyzet mínusz 4a szor c kifejezést diszkriminánsnak nevezzük.
Ha ez pozitív, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
Ha ez nulla, akkor az egyenletnek két egyenlő valós gyöke van.
A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja
Definíció:
Az a szor x négyzet meg b szer x meg c egyenlő nulla másodfokú egyenletnek (a nem
egyenlő nulla) legyen a valós gyöke x1 és x2. Akkor a bal oldali polinom felírható
úgynevezett gyöktényezős alakban: a szor x négyzet meg b szer x meg c egyenlő a(x ből x1)
szorozva (x ből x2), ahol (a nem egyenlő nulla).
Hatványfogalom egész kitevőre
Definíció:
1. Ha a kitevő (k nagyobb egyenlő 2) egész, akkor az a a káadikon olyan k darab tényezőt
tartalmazó szorzat, amelynek minden tényezöje a. (Bármilyen valós a szám esetén.)
.
2. Ha k egyenlő 1, akkor bármely a valós számra a az elsőn egyenlő a (magát az a számot
jelenti. Az 1 kitevöt nem szoktuk írni.)
3.
Ha k egyenlő nulla, akkor bármely nullától különbözö valós számra á a nulladikon
egyenlő egy.
4. Ha a kitevő negatív egész, akkor bármely, nullátóltól különbözö valós számra á a mínusz
káadikon egyenlő 1 per á a káadikon, azaz az alap reciprokának az ellentett kitevőjü
hatványa.
A definició szerint: p per q a -káadikon egyenlő q per p a káadikonnal.

-11-



A négyzetgyök
Definíció:
Valamely a nemnegativ szám négyzetgyöke az a(z egyetlen) nemnegatív szám, amelynek
négyzete az a szám.
Ha a nagyobb egyenlő,mint nulla, akkor (négyzetgyök a) a négyzeten egyenlő a
abszolultértéke igaz.
Ha a tetszőleges valós szám, akkor csak négyzetgyök alatt á négyzet igaz.
(Ha úgy. fogalmazunk: keressünk olyan valós számot, amelynek négyzete a négyzet, akkor
két ilyen szám létezik: a és -a .
Ha a nullától különbözö a és b számokról tudjuk, hogy anégyzet egyenlő b négyzet, akkor
ebből á abszolúlt értéke egyenlő b abszolúlt értékével következik. Tehát nem feltétlenül igaz,
hogy a egynlő b, mert a egyenlő -b is lehetséges.
Az n-edik gyök
Definíció:
A valós számok n-edik gyökét (ahol n 1-nél nagyobb egész szám) páros és páratlan n esetén
külön-külön értelmezzük.
1) Ha n páros gyökkitevö és a nem negatív valós szám, akkor az n négyzetgyök alatt a jelenti
azt a b nem negatív valós számot, melynek n-edik hatványa a.
2) Ha n páratlan és a valós szám, akkor n négyzetgyök alatt a jelenti azt a valós számot,
amelynek n-edik hatványa a.
Megjegyzés: Sem az első gyök kifejezést; sem az egy négyzetgyök alatt a szimbólumot nem
használjuk.
A kettő négyzetgyök alatt a helyett egyszerüen négyzetgyök alatt a írunk, és második gyök
helyett négyzetgyököt szoktunk mondani.
A harmadik gyök elnevezés helyett a köbgyök kifejezés is használatos.
A racionális kitevőjű hatványok
Definíció:
Az a(p per q-adikon) törtkitevőjű hatványa jelenti azt a pozitív számot, melynek q-adik
hatványa á ap-én (ahol az a pozitív valós szám, a p egész, és a q 1-nél nagyobb egész). A
definíció következnlénye (ha a kezdeti feltételek fennállnak): a(p per q-adikon) egyenlő q
négyzetgyökalatt á a p-ediken.
Számok számtani közepe
Definíció:
Az al,a2,a3,…,an valós számok számtani közepén az A egyenlő a1meg a2 meg a3 meg…meg
an egész alatt per n valós számot értjük.
Azaz az adott számok összegét elosztjuk a tagok számával. Két tag számtani közepe:
A egyenlő a meg b per 2

-12-



Számok mértani közepe
Definíció:
Az, al, a2, a3,… an nemnegatív vallós számok mértani közepén G egyenlő n négyzetgyök
alatt a1 szer a2 szer a3 szor an nemnegatív számot értjük.
Speciálisan: két nmnegatív szám mértani közepe G egynlő négyzetgyök alatt a szor b.
A nemnegatív számok mértani közepe kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közepük.
Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a1 egyenlő a2 egyenlő a3 egyenlő… egyenlő an
A logaritmus
Definíció:
Legyen a adott pozitív szám, amely nem egyenlő l-gyel (ez lesz a logaritmus alapja, más
szóval alapszáma).
Tetszőlegesen választott pozitív b szám esetében létezik pontosan egy olyan k valós szám,
hogy a-nak k-adik hatványa b-vel egyenlő. Ekkor k-t a b szám a alapú logaritmusának
nevezzük és loga b szimbólummal jelöljük
Azaz a a káadikon egyenlő b, ahol k egyenlő a alapú logaritmus b, vagyis a az a alapú
logaritmus b-ediken egyenlő b.
Bármely megengedett alapszámra: a alapú logaritmus 1 egyenlő nulla és a alapú logaritmus a
egyenlő 1.
Ha a logaritmus alapszáma a 10, akkor a log10 b jelölés helyett: lg b-t írunk.
Exponenciális egyenlet
Definíció:
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Az á az xediken egyenlő b alakú egyenletet exponenciális alapegyenletnek nevezzük. Ahol
(a nagyobb mint nulla, a nem egyenlő 1) és b nagyobb mint nulla.
A bonyolultabb, összetettebb exponenciális egyenletek megoldásakor az á az xediken
egyenlő b alakú alapegyenlet elérése a célunk, ennek érdekében ekvivalens átalakításokat
végzünk.
Logaritmikus egyenlet
Definíció:
Az loga x egyenlő b alakú egyenletet logaritmikus alapegyenletnek nevezzük (ahol a
nagyobb mint nulla, a nem egyenlő 1 és x nagyobb mint nulla feltételnek teljesülnie kell).
A bonyolultabb logaritmikus egyenletek megoldása során a loga x egyenlő b alakú
alapegyenlet elérésére törekszünk, ennek érdekében ekvivalens átalakításokat végzünk. .
A függvény fogalma és afüggvény megadása
Definíció:
Adott két nem üres alaphalmaz: H és K, és ezeknek X, Y nem üres részhalmaza.
Ha a H halmaz X részhalmazának minden egyes x eleméhez valamilyen f(x) szabály szerint
egyértelmüen hozzárendeljük a K halmaz Y részhalmazának pontosan egy elemét, akkor ezt a
hozzárendelést f(x) függvénynek nevezzük.
Az X halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük.
Az Y halmazt a függvény értékkészletének nevezzük.
-13-



A függvényt megadhatjuk:
- szöveggel
- utasítással
- képlettel
- táblázattal
.
- függvény képpel: koordinátarendszerben,
- grafikonnal
- nyíldiagrammal,
- geometriai ábrával
- Venn-diagrammal.
Értelmezési tartomány
Definíció:
Egy f függvény értelmezési tartományának nevezzük azt a halmazt, amelynek minden egyes
eleméhez egyértelmüen hozzárendeljük egy adott szabály szerint egy másik halmaznak
pontosan egy elemét. (Ez az utóbbi halmaz esetleg megegyezhet az értelmezési tartománnyal)
Az értelmezési tartomány jele D f, illetve ÉT
Ha Venn-diagramon ábrázoljuk, akkor az értelmezési tartomány minden egyes eleméböl
pontosan egy nyíl indul ki.
Értékkészlet
Definíció:
Valamely függvény értékkészletén (az értékkészlet jele Rf, illetve ÉK) azt a halmazt értjük,
amelyet azok az elemek alkotnak, amelyeket az adott szabály szerint az értelmezési
tartomány elemeihez egyértelmüen hozzárendeltünk.
Ha Venn-diagramon ábrázoljuk, akkor a nyilak ezekhez az elemekhez mutatnak.
Egyértelmű leképezés
Definíció:
Az f: A nyíl B felé leképezés egyértelmű, ha az A halmaz minden eleméhez pontosan egy B
halmazbeli elemet rendelünk.
Ha Venn-diagramon ábrázoljuk, akkor az értelmezési tartomány halmaz elemeiből pontosan
egy nyíl indul ki.
Kölcsönösen egyértelmű leképezés
Definíció:
Az f: A nyíl B felé egyértelmü leképezést kölcsönösen egyértelműnek nevezzük, ha
különböző A -beli elemekhez különböző B-beli elemek tartoznak.
A nyíl oda-vissza B Az ilyen leképezést az A halmazon értelmezett B-beli értékeket felvevő
invertálható függvényeknek nevezzük.
Ha Venn-diagramon ábrázoljuk, akkor az értelmezési tartomány minden eleméből pontosan
egy nyíl indul ki, és az értékkészlet minden eleméhez pontosan egy nyíl érkezik.
-14-



Monoton növekedés
Definíció:
Ha az f(x) függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely xl kisebbx2
értékeinél a függvényértékekre fennáll, hogy f(x1) kisebb egyenlő f(x2), akkor azon az
intervallumon a függvény monoton növekvő.
Ha f(x1) kisebb f(x2) akkor azon az intervallumon a függvény szigorúan monoton növekedő.
A függvények monoton fogyása
Definíció:
Ha az f(x) függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely xl kisebb x2
értékeinél a függvényértékekre fennáll, hogy: f(x1) nagyobb egyenlő f(x2), akkor azon az
intervallumon a függvény monoton csökkenő (fogyó).
Ha f(x1) nagyobb f(x2), akkor minden x1 kisebb x2 illtervallumon a függvény szigorúan
monoton csökkenő (fogyó).
A függvény páratlansága
Definíció:
Páratlannak nevezzük az f függvényt akkor, ha az értelmezési tartományának a és -a is eleme,
valamint minden ilyen a-ra fennáll az f(- a) egyenlő - f(a) egyenlőség.
A függvény párossága
Definíció:
Párosnak nevezzük a függvényt akkor, ha az értelmezési tartományának a és -a is eleme,
valamint minden ilyen a-ra fennáll az f(- a) egyenlő f(a) egyenlőség.
Szélsőérték, szélsőértékhely
Definíció:
A szélsőérték a maximum és a minimum gyűjtőneve.
Egy f(x) függvénynek az értelmezési tartományhoz tartozó a helyen az a-t tartalmazó I
intervallumon helyi (lokális) minimuma van, ha az f(a) kisebb f(x) egyenlőtlenség az adott
intervallumhoz tartozó minden x értékre igaz.
Egy f(x) függvénynek az értelmezési tartományhoz tartozó a helyen az a-t tartalmazó I
intervallumon helyi (lokális) maximuma van, ha az f(a) nagyobb f(x) egyenlőtlenség az adott
intervallumhoz tartozó minden x értékre igaz.
Definíció:
Ha az I intervallum az f(x) függvény teljes értelmezési tartományát jelenti, akkor a minimum,
illetve maximum totális vagy abszolút szélsőértéket jelent.
A függvény zérushelye
Definíció:
Az xi számokat a függvény zérushelyeinek nevezzük, ha ezeken a heIyeken a helyettesítési
érték nulla, azaz f(xi) egyenlő nulla. A függvénynek több zérushelye is lehet. A folytonos
függvények esetén a függvénygörbe ezeken a helyeken metszi vagy érinti az x tengelyt.
-15-



A függvény korlátosága
Definíció:
Az f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha az értékkészletére fennáll: f(x) nagyobb
egyenlő k1, azaz nem Iesz sosem kisebb egy kl értéknél.
Az f(x) függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha az értékkészletére fennáll: f(x) kissebb
egyenlő K2, azaz nem lesz sosem nagyobb egy K2 értéknél.
Az f(x) függvényt korlátosnak nevezzük, ha az értékkészletére fennáll: k kisebb egyenlő f(x)
kisebb egyenlő K, azaz a k és K értékek között van az értékkészlete.
Periodikusság
Definíció:
Az f(x) egyváltozós valós függvényt periodikusnak mondjuk, ha van olyan p pozitív szám,
amelyre - az értelmezési tartomány minden x elemére - igaz, hogy
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


f(x) egyenlő f(x meg k szor p).
A legkisebb ilyen tulajdonságú p szám a periódus hossza.
Inverz függvény
Definíció:
Az f(x) egy kölcsönösen egyértelmü megfeleltetést jelentő függvény (azaz f(x1) nem egyenlő
f(x2), ha x1 nem egyenlő x2, ahol xl és x2 az értelmezési tartomány elemei). .
Ennek alapján definiálhatunk egy új függvényt, az elöbbi függvény inverz függvényét
Az inverz függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete lesz, az inverz
függvény értékkészlete pedig az eredeti függvény értelmezési tartománya. Nem minden
függvénynek van inverze. (Az is előfordulhat, hogy a függvény értelmezési tartományának
leszűkítése esetén már van invez.)
Az f(x) függvény inverzének jelölése : x nyíl f mínusz egyediken(x) felé.
Definíció:
Az x nyíl f(x) felé függvény inverz függvénye x nyíl f mínusz egyediken(x) felé függvény,
amelyre az f(x) értelmezési tartományának minden x eleme esetén
f mínusz egyediken ( f(x))egyenlő x teljesül.
Ha f(x) inverze f mínusz egyediken (x), akkor f mínusz egyediken inverze f(x).
Inverz függvények ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben
Ismeret:
Ha két valós változójú, valós értékkészletü függvény egymásnak inverze, akkor grafikonjuk
egymásnak az y egyenlő x egyenesre (a koordinátarendszer I. és III. negyedének
szögfelezőjére vonatkozó) tükörképe.
Konstans függvények
Definíció:
Az f : R nyíl R felé ( azaz a valósok halmazán értelmezett, és valós értékkészletű) x nyíl b
felé függvényt (ahol x eleme R-nek és b állandó) konstans függvénynek nevezzük. Képe a
koordinátarendszerben az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha az értelmezési tartomány a
valós számok egy A részhalmaza, akkor az A halmaztól függően a függvény képe lehet
-16-



félegyenes, szakasz, pont vagy ezek egyesítése. Ezeknek a függvényeknek a képe az x
tengellyel párhuzamos egyeenesre illeszkedik.
Az egyenes a (nulla, b) pontban metszi az y tengelyt. Mindazokat a függvényeket,
amelyeknek a képe egyenes -tehát a konstans és az elsőfokú függvényeket - együtt lineáris
függvényeknek nevezzük.
Egyenes arányosság
Definíció:
Ha két változó mennyiség nullától különböző összetartozó értékeinek hányadosa állandó,
akkor a két mennyiség egyenesen arányos.
Y per x egyenlő m vagyis y egyenlő m szer x, ahol x nem egyenlő nulla
Azaz: ha az egyik mennyiség valahányszorosára nő, akkor a másik mennyiség is
ugyanannyiszorosára nő. (Vagy: ha az egyik mennyiség valahányad részére csökken, akkor
a másik mennyiség is ugyanannyid részére csőkken.)
Az egyenes arányosság függvényének képe: Az origóból kiinduló, félegyenes, ha az
értelmezési talrtományba minden pozitív szám beletartozik.
Ha a függvény értelmezési tartományába csak az egészek tartoznak, akkor a függvénykép
különálló(diszkrét) pontokból áll, melyek azonban az origóból kiinduló félegyenesre
illeszkednek.
Aránypár:Ha a két arányt egyenlőségjellel összekapcsoljuk, aránypárt kapunk.
a : b egyenlő c : x . Az aránypár külső tagjainak szorzata egyenlő a belső tagok szorzatával.
Az ismeretlen könnyen kiszámolható:a szor x egyenlő b szer c megoldása x egyenlő b szer c
per 2
Fordított arányosság
Definíció:
Ha két változó mennyiség összetartozó, nullától különböző értékének szorzata állandó, akkor
a két mennyiség fordítottan arányos.
Azaz: ha az egyik mennyiség valahányszorosára nő, akkor a másik mennyiség ugyanannyiad
részére csökken.
Vagy: ha az egyik mennyiség valahányad részére csökken, akkor a másik mennyiség
ugyanannyiszorosára nő. A fordított arányosság képe: egyenlő tengelyű hiperbola, melynek
aszimptotái a koordináta-tengelyek.
Elsőfokú függvények
Definíció:
Az f : R nyíl R felé (azaz a valósok halmazán értelmezett, és valós értékkészletü) x nyíl mx
meg b (ahol az m és a b konstans, és m nem egyenlő nulla függvényt elsőfokú függvénynek
nevezzük.
Ismeretek:
Ha az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, akkor az elsőfokú függvény képe egy
olyan egyenes, amelyik a (nulla, b) pontjában metszi az y tengelyt.
.
Ha az értelmezési tartomány a valós számok egy A részhalmaza, akkor az A halmaztól
függően az elsőfokú függvények képe: lehet félegyenes, pont, vagy ezek egyesítése.
-17-



Az m a meredekség. Ha (alfa az óramutató járásával ellentétes irányú szög amelyet az x
tengely pozitív fele és az egyenes zár be.Ha az alfa nem egyenlő 90 fok, akkor m egyenlő tg
alfa.
Az m, meredekség azt jelenti, hogy az egyenes egy tetszőleges pontjától l-et jobbralépünk,
akkor
m egységgel lesz nagyobb az y érték, ha m nagyobb mint nulla
m egységgel lesz kisebb az y érték, ha m kisebb mint nulla, illetve
nem változik az y érték, (azaz x tengellyel párhuzamos, esetleg az x tengelyre illeszkedik az
egyenes), ha m egyenlő nulla.
Abszolútérték függvény
Definíció:
A függvény a valósok halmazán értelmezett, és nemnegatív valós értékkészletű f(x) egyenlő
x abszolúltértéke függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük.
A legegyszerűbb abszolútérték függvény képe a koordináta-rendszer elsö és második
negyedének szögfelelzöje.
Másodfokú függvények
Definíció:
A valósok halmazán értelmezett, és az értékkészlete a valós számok egy részhalmaza
függvényeket másodfokú függvényeknek nevezzük
A másodfokú függvények képe: parabola.
A szinusz függvény
Definíció:
Az egységsugarú körben, ha az egységvektor (a sugár) az x tengely pozitív felével x
ívmértékü szöget zár be, akkor az x-hez rendeljük az egységvektor y koordinátáját, s ezt sin
x-szel jelöljük.
Ismeretek: Jelölés: f( x) egyenlő sin x. Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza.
Értékkészlete a [-1; 1] (zárt) intervallum. Korlátos. Páratlan függvény, mert
sin(-x) egyenlő –sin x, ezért grafikonja az origóra középpontosan szimmetrikus. Periódikus.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Koszinusz függvény
Definíció:
Az egységsugarú körben, ha az egységvektor (a sugár) az x tengely pozitiv felével x
ívmértékü szöget zár be, akkor az x-hez rendeljük az egységvektor x koordinátáját, és ezt cos
x-szel jelöljük.
Ismeretek: Jelölés: f(x) egyenlő cos x. Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza.
Értékkészlete a [- 1; 1] (zárt) intervallum. Korlátos. Páros függvény, mert cos(-x) egyenlő cos
x, ezért grafikonja az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus. Periódikus.

-18-



Tangens függvény
Definíció:
tg x egyenlő sin x per cos x, ahol cos x nem egyenlő nulla.
Az egységsugarú körben, ha a sugár az x tengely pozitív felével x ívmértékű szöget zár be,
akkor az x-hez rendeljük a sugár egyenese és a kör jobb oldali érintője metszéspontjának y
koordinátáját, és tg x-szel jelöljük.
Ismeretek: Jelölés: f(x) egyenlő tg x. Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza,
kivéve: pí per 2 meg k szor pí. Szakadási helyei vannak. Értékkészlete: a valós számok
halmaza. Nem korlátos. Páratlan függvény, mert tg( - x) egyenlő - tg x. Grafikonja az origóra
középpontosan szimmetrikus. Periodikus. Szélsőértéke nincs. Zérushelyei: x egyenlő k szor
pí. Szigorúan monoton nő minden két szakadási hely között. .
A kotangens függvény
Definíció:
ctg x egyenlő cos x per sin x, ahol sin x nem egyenlő nulla, vagyis x nem egyenlő k szor pí.
A k a továbbiakban egész számot jelöl.
Az egységsugarú körben, ha a sugár az x tengely pozitív felével x ívmértékü szöget zár be,
akkor az x-hez rendeljük a sugár egyenese és a kör felső érinlője metszéspontjának x
koordinátáját, és ezt ctg x-szel jelöljük.
Ismeretek: Jelölés: f(x) egyenlő ctg x. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza,
kivéve:
k szor pí. Szakadási helyei vannak: x egyenlő k szor pí értékeknél. Értékkészlete: a valós
számok halmaza. Nem korlátos. Szélsőértéke nincs. Páratlan függvény, mert ctg( -x) egyenlő
–ctg x.
Grafikonja az origóra középpontosan szimmetrikus. Periodikus. Zérushelyei: x egyenlő pí per
2 meg k szor pí. Szigorúan monoton csökken bármely két szakadási hely között.
Az exponenciális függvény
Definíció:
f(x) egyenlő a az x-ediken, ahol az a csak: nulla kisebb a kisebb 1 vagy a nagyobb 1.
Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza. Értékkészlete: a pozitív valós számok
halmaza. Csak alulról korlátos. Szélsöértéke nincs. Zérushelye nincs. Minden pozitív értéket
pontosan egyszer vesz fel, ezért van inverze, mégpedig a logaritmus függvény. Se nem páros,
se nem páratlan függvény.
A logaritmus függvény
Ismeretek:
Jelölése: f(x) egyenlő loga x nulla kisebb a kisebb 1 vagy a nagyobb 1. Értelmezési
tartománya a pozitív valós számok halmaza. Értékkészlete a valós számok halmaza. Nem
korlátos. Szélsőértéke nincs. Zérushelye: x egyenlő 1. Minden valós értéket pontosan
egyszer vesz fel, ezért van inverze: az exponenciális függvény:
a nagyobb1 esetén szigorúan monoton nő,
a kisebb 1 esetén szigorúan monoton fogy.
a egyenlő 1 esete nem tekinthető függvénynek.
-19-



A négyzetgyök függvény
Definíció:
A nemnegatív valós számok halmazán értelmezett, és nemnegatív valós értékkészletü
függvényt négyzetgyök függvénynek nevezzük,
A függvény képe (a koordinátarendszer I. negyedében lévő) úgynevezett félparabola, amely
az origóból indul ki. A függvény az értelmezési tartományban mindenütt szigorúan növekedő.
Számsorozat
Definíció:
Ha minden pozitív egész számhoz egy valós számot rendelünk, számsorozatot kapunk. A
számsorozat tehát a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvény, melynek
értékkészletét a hozzárendelt számok - a sorozat tagjai, elemei- alkotják. Néhány fontos és a
gyakorlatban használt jelölés:
al egyenlő a számsorozat első tagja (első eleme)
n egyenlő a számsorozat tagjainak a száma
an egyenlő a számsorozat n-edik tagja (n-edik eleme)
sn egyenlő a számsorozat első n tagjának az összege (az első n elem összege)
Számtani sorozat
Definíció:
A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben (a második elemtöl kezdve) bármelyik elem
és az előtte álló elem különbsége (differenciája egyenlő d) állandó.
Ismeretek:
Ha d nagyobb, mint nulla, akkor a sorozat növekedő.
Ha d egyenlő nulla, akkor a sorozat konstans (állandó).
Ha d kisebb, mint nulla, akkor a sorozat csökkenő.
A számtani sorozatban bármely három egymás után álló elem közül a középső a két
szélsőnek számtani közepe.
Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő
elemeknek számtani közepe.
Mértani sorozat
Definíció:
A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben (a második elemtől kezdve) bármely elem és
az előtte álló elem hányadosa (kvóciense) állandó.
Pozitív tagú mértani sorozatban bármely három egymás után álló elem közül a középső a két
szélsőnek mértani közepe.
Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő
elemeknek mértani közepe.

-20-



Mértani sor
Definíció:
Az olyan végtelen sok tagból álló összeget, amelynek tagjai egy mértani sorozat elemei,
mértani sornak nevezzük. A mértani sor csakis akkor határoz meg egyértelmüen egy valós
számot, ha q abszolult értéke kisebb, mint1. Ebben az esetben ezt az s számot a mértani sor
összegének nevezzük, értékét az s egyenlő a per 1-q képlet adja meg.
Szögfelező a síkban és a térben
Definíció:
Az adott konvex szög szögfelezö félegyenese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a
szög síkjában a szög száraitól egyenlő távolságra vannak.
Az adott konvex szög szögfelezö félsíkja azoknak a (térbeli) pontoknak a halmaza, amelyek a
szög száraitól egyenlő távolságra vannak.
Szakaszfelező merőleges egyenes és sík
Definíció:
A szakaszfelező merőleges egyenes azoknak a pontoknak,a halmaza a síkon, amelyek a
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak.
A szakaszfelező merőleges sík azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek.a szakasz
két végpontjától egyenlő távolságra vannak.
Kör, körvonal, körlap
Definíció:
A körvonal az S sík egy adott O pontjától adott r távolságra lévő S síkbeli pontok halmaza.
A körlap az S sík egy adott O pontjától megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő
S síkbeli pontok halmaza. Ezek a pontok a körvonalon és a körlap belsejében vannak.
A szövegkörnyezettől függ, hogy a kör megnevezés körvonalat vagy körlapot jelent-e.
Gömb, gömbfelület, gömbtest
Definíció:
A gömbfelület egy adott O ponttól megadott r távolságra lévő pontok halmaza a térben.A
gömbtest egy adott O ponttól megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok
halmaza a térben. Ezek a pontok a gömbfelületen és a gömbtest belsejében vannak.
,
A szövegkörnyezettől függ, hogy a gömb gömbtestet vagy gömbfelületet jelent-e.
.
.
Látószögalakzat
Definíció:
Egy szakasz P pontbeli látószöge a szakasz két végpontját a P ponttal összekötő
egyenesdarabok (látósugarak) szöge.
Azon síkbeli pontok halmaza, amelyekből egy adott szakasz adott alfa szögben látszik, két
körív, melyeknek az adott szakasz a szimmetria tengelye. A szakasz két végpontja nem
tartozik az úgynevezett látókörív pontjaihoz.
-21-



Ha a látószög hegyesszög, akkor a körívek nagyobbak, mint félkör.
Ha a látószög tompaszög, akkor a körívek kisebbek, mint félkör.
Ha a látószög derékszög, akkor a körívek éppen félkörök.
(Lásd Thalész-tételét.)
Thalész-kör
A sík azon pontjainak halmaza, amelyekből egy megadott szakasz derékszög alatt látszik, a
szakasz mint átmérő fölé rajzolt kör, elhagyva belőle a szakasz végpontjait.
Parabola
Definíció:
A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek egy egyenestől, a
vezéregyenestől és egy rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra vannak. A vezéregyenes
és a fókuszpont távolságát a parabola paraméterének nevezzük. A parabola tengelyesen szimmetrikus a fókuszon átmenő és a direktrixre (vezéregyenesre) merőleges egyenesre.
Az ellipszis
Definíció:
Az ellipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott, különböző
pontjától mért távolság összege állandó 2a távolság.
A fókuszpontokon átmenő egyenes az ellipszis egyik szimmetriatengelye. Ennek az
ellipszisbe eső szakasza az ellipszis nagytengelye.
A nagytengely felezőmerőlegese a másik szimmetriatengely, ennek az ellipszisbe eső
szakasza a kistengely. Ezekre fennáll: a négyzet egyenlő f négyzet meg b négyzet.
Hiperbola
Definíció:
A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két különböző
pontjától (a fókuszpontoktól) mért távolságkülönbsége állandó. (Ez az állandó távolság
kisebb, mint a két fókuszpont távolsága: 2a kisebb, mint 2f).
Ismeretek:
A fókuszpontokon átmenő egyenes hiperbola ágai közé eső szakasza a hiperbola valós
tengelye.
(Ez az egyik szimmetriatengely). A valós tengely felezőmerőlegese a hiperbola másik
szimmetriatengeIye, ennek egy meghatározott része a képzetes tengely - amelyre fennáll:
a négyzet meg b néégyzet egyenlő f négyzet.
A 2a és 2b oldalú téglalap átlóinak az egyenesei a hiperbola aszimtotái - amelyekhez a
hiperbola ágai egyre közelebb kerülnek.
A fent említett téglalap fél átlója éppen olyan hosszú mint a fókuszok távolságának a fele.

-22-



A transzformációk, mint pontokhoz pontokat rendelő függvény
Definíció:
Legyen adott egy ponthalmaz a síkon vagy a térben. Ha a ponthalmaz minden eleméhez
valamilyen szabály szerint (tükrözés, elforgatás, eltolás, nagyítás, kicsinyítés, affinitás
stb.)egyértelmüen hozzárendelünk egy-egy képpontot, akkor ezt a hozzárendelést
leképezésnek, függvénynek vagy transzforimációnak is nevezhetjük.
Transzformációk invariáns alakzatai: fixpont, fixegyenes
Definíció:
Egy geometriai transzformációnál az olyan pontot, amelynek a képe önmaga, fixpontnak
nevezzük. Például a középpontos tükrözés középpontja.
Egy geometriai transzformációnál az olyan egyenest, amelynek a képe (pontonként is)
önmaga, fixegyenesnek nevezzük. Ilyen a tengelyes tükrözés tengelye.
Ha az alakzat képe önmaga, akkor invariáns alakzatnak nevezzük. Például: a kör
középpontjára középpontos tükörképe, a középpontos tükrözés középpontján átmenő
egyenes.
Ha egy invariáns alakzatnak minden pontja fixpont, akkor fixalakzatnak nevezzük.. A
tengelyes tükrözés tengelye, vagy egy alakzat 360 fokos elforgatottja.
Természetesen minden fixalakzat invariáns alakzat, de nem minden invariáns alakzat
fixalakzat.
Tükrözés egyenesre
Definíció:
Adott a síkon egy t tengely.
Ha a P pont illeszkedik a tengelyre, akkor a P pont képe önmaga.
Ha a Q pont nem illeszkedik a tengelyre, akkor a képpont a Q-ból a t-re bocsátott
merőlegesen, a t ellentétes oldalán, t-töl ugyanakkora távolságra van, mint a Q pont.
Tükrözés síkra
Definíció:
Síkra történő tükrözésnél megadunk egy S síkot.
Ha egy A pont rajta van a síkon, akkor a képe önmaga.
Ha egy P pont nem illeszkedik a síkra, akkor a P. képpont az S-re bocsátott merőlegesen, az S
sík ellentétes oldalán az S síkttól ugyanakkora távolságra van, mint a P pont.
Tengelyes szimmetria
Definíció:
Ha egy alakzathoz.található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe az eredeti alakzat,
akkor ez az alakzat tengelyesen szimmetrikus. A t egyenes az alakzat tükörtengelye, vagy
szimmetriatengelye. Egy alakzatnak lehet több szimmetriatengelye is.

-23-



Középpontos tükrözés
Definíció:
A középpontos tükrözésnél megadunk egy O pontot, a tükrözés középpontját.
Ha a P pont illeszkedik az O pontra, akkor a képe önmaga.
Egyébként a Q pont képe a QO egyenesen az a Q. pont lesz, amelyet úgy kapunk, hogy erre
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


az egyenesre az O ponttól ellenkező irányba felmérjük a QO szakaszt.
A síkon a középpontos tükrözés az elforgatás speciális esete, ekkor az elforgatás szöge 180
fok.
Eltolás
Definíció:
Az eltoláshoz meg kell adnunk egy v vektort. Azaz megadunk egy távolságot és annak az
irányát.
Legyen a v vector kezdőpontja A és véégpontja B.
Tetszőleges P tárgyponthoz azt a P’ képpontot rendeli az eltolás, amelyre a PP szakasz
párhuzamos és egyenlő hosszúságú az AB szakasszal, és a PP ugyanolyan irányú, mint az
AB szakasz.
Pont körüli elforgatás a síkban
Definíció:
A pont körüli elforgatásnál megadjuk a sík egy O pontját (az elforgatás középpontját),
valamint nagyságával és irányával az elforgatás alfa szögét.
Ha a P pont illeszkedik az O pontra, akkor a képe önmaga, azaz az O pont fixpont.
Ha a Q pont nem illeszkedik az O pontra, akkor a képe az adott síkon az a Q pont, amelyre
fennáll: OQ egyenlő OQ és a QOQ szög nagysága és iránya megegyezik a megadott alfa
szöggel.
Az elforgatás szögét pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányú,
negatívnak ha az óramutató járásával megegyező irányú.
Egyenes körüli elforgatás
Definíció:
Az egyenes körüli elforgatásnál megadunk egy t tengelyt és a tengelyre merőleges síkban nagyságával és irányával - az elforgatás alfa szögét. Ha a P pont illeszkedik a t tengelyre,
akkor a képe önmaga, vagy fixpont.
Ha a Q pont nem illeszkedik a t tengelyre, akkor képe azon az S síkon van, amely merőleges
a t tengelyre és illeszkedik a Q pontra.
Ha az S sík és a t tengely metszéspontját O-val jelöljük, akkor a pont képe az. S síknak az a
Q pontja, amelyre fennáll: OQ egyenlő OQ és a QOQ szög nagysága és iránya megegyezik
a megadott alfa szöggel.
Két síkidom egybevágósága
Definíció:
Egybevágónak nevezünk két síkidomot (alakzatot), ha van
transzformáció, amely az egyik alakzatot a másik alakzatba viszi át.
-24-

olyan

távolságtartó



Gyakorlatilag a transzformációk vizsgálata helyett az oldalak (vagy más távolságadatok)
egyenlőségét és a szögek egyenlőségét vizsgáljuk meg annak eldöntésére, hogy két síkidom
egybevágó-e.
Elég annyi egymástól független adatot megvizsgálni, ahány adatból egyértelműen
megszerkeszthetö esetleg megrajzolható az adott síkidom.
Tengelyesen szimmetrikus síkidomok
Ismeretek:
Egyenlőoldalú háromszög: mind a 3 oldalfelező merőlegese szimmetriatengely.
Egyenlő szárú háromszög: az alap felezőmerőlegese a szimmetriatengely, és ez felezi a
szárszöget.
Téglalap: a két középvonalára, azaz a szemközti oldal felezőpontjait összekötő egyenesekre
tengelyesen szimmetrikus.
Négyzet: négy szimmetriatengelye van, mégpedig a két átlója és a két középvonala.
Rombusz: a két átló a szimmetriatengelye.
Kör: minden (tehát végtelen sok) átmérőjére tengelyesen szimmetrikus.
Deltoid: az egyenlő oldalak közös pontjánál keletkező csúcsokat összekötő átló a
szimmetriatengely.
Egyenlő szárú (szimmetrikus) trapéz: az alapok felezőpontját összekötő egyenes lesz a
szimmetriatengely.
Páros oldalszámú szabályos sokszög: annyi szimmetriatengelye van, ahány oldalú a sokszög.
Valamennyi főátlója (a szemközti csúcsokat összekötő, vagyis a középponton átmenő átló) és
valamennyi a szemközti (egymással párhuzamos) oldal felezőpontját összekötő egyenese
szimmetriatengely.
Páratlan oldalszámú szabályos sokszög: annyi szimmetriatengeIye van, ahány csúcsa van a
sokszögnek (mindegyik csúcsot összekötjük a szemközti oldal felezöpontjával - ami átmegy a
köré írt kör középpontján).
Más tengelyesen szimmetrikus alakzatok:
Ellipszis: két szimmetriatengelye van: a kistengely és a nagy tengely.
Hiperbola: két szimmetriatengelye van: a valós és a képzetes tengely.
Parabola: a fókuszon átmenö, a vezéregyenesre merőleges egyenes a tengely.
Síkszimetrikus testek
Definíció:
Egy alakzat síkszimmetrikus, ha létezik olyan sík, amelyre vonatkozó tükrözéssel az alakzat
képe önmaga.
Ilyen testek: kocka, szabályos tetraéder, szabályos oktaéder, téglatest, forgáshenger,
forgáskúp, gömb, ellipszoid, paraboloid, hiperboloid ... és sok természeti és mesterséges
tárgy.
Egybevágósági transzformációk
Definíció:
Ha a tér (speciálisan a sík) bármely P és Q pontjához úgy rendelünk egy P illetve Q pontot,
hogya PQ szakasz egyenlő a PQ szakasszal, akkor ezt a transzformációt távolságtartónak
mondjuk.
-25-



Ilyenek: a tengelyes tükrözés, pontra vonatkozó tükrözés, pont körüli elforgatás és az eltolás.
Bizonyítható, hogy a távolságtartó transzformációk valamely tárgyalakzatot egybevágó
képalakzatba visznek át. Eztért az ilyen transzformációkat egybevágósági
transzformációknak szokás nevezni.
A felsoroltak összetételei (egymás után véges sokszor történő alkalmazásuk) is nyilvánvalóan
egybevágósági transzformációk.
Középpontosan szimmetrikus síkidomok
Definíció:
Egy síkidom középpontosan szimmetrikus, ha a síkjában létezik olyan pont, amelyre
vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga.
Ilyenek:
- paralelogramma (négyzct, rombusz, téglalap), páros oldalú szabályos sokszögek (a
tükrözés középpontja a két szimmetriatengely metszéspontja),
- a kör (itt a kör középpontja a tükrözés középpontja is).
- középpontos szimmetria a térben is létezik. A testek között is vannak középpontosan
szimmetrikusok: kocka, téglatest, négyzetes oszlop, paralelepipedon, szabályos oktaéder,
gömb ...
A háromszög oldalfelező merőlegesei
Ismeretek:
A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást.
Ez a metszéspont a háromszög köré írt kör középpontja. Minden háromszögnek pontosan egy
körülírt köre van. A körülírt kör középpontja hegyesszögű háromszög esetében a háromszögön belül van.
Tompaszögű háromszögeknél a középpont a háromszögön kívül van.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


A körülírt kör középpontja a derékszögű háromszög esetében a leghosszabb oldal (az átfogó)
felezőpontja.
A háromszög szögfelezői
Definíció:
A háromszög belső szögeinek szögfelező félegyeneseit a háromszög szögfelezőinek
nevezzük. A külső szögek felezőit külső szögfelezőknek mondjuk.
Ismeretek:
Minden háromszögnek három belső szögfelezője van. A háromszög három belső szögfelezője
egy pontban metszi egymást Ez a pont a háromszög beírt körének a középpontja. Az
ugyanabból a csúcsból induló belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra. Két külső
szög és a harmadik belső szög szögfelezői is egy pontban, a háromszöghöz írt egyik kör
középpontjában metszik egymást.
A háromszög magasságvonalai és magasságpontja
Definíció:
A háromszög csúcsából a szemközti oldal egyenesére (ez azt jelenti, hogy az oldalra vagy
annak meghosszabítására) bocsátott merölegest magasságvonalnak nevezzük.
-26-



A magasságvonalnak a háromszög egyik csúcsa és a vele szemközti oldalegyenes közötti
szakaszát szokás röviden, a háromszög magasságának nevezni.
Ismeretek:
A három magasságvonal egy pontban, a magasságpontban metszi egymást. Hegyesszögű
háromszögnél a magasságpont a háromszög belsejében van. Tompaszögű háromszög
esetében a magasságpont a háromszögön kívül van. Ha a háromszög derékszögű, akkor a
magasságpont a derékszög csúcsára esik.
A háromszög súlyvonalai és súlypontja
Definíció:
A háromszög csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjavai összekötő szakaszt a háromszög
súlyvonalának nevezzük. A háromszögnek három súlyvonala van.
Ismeretek:
A három súlyvonal (mindig a háromszög belsejében) egy pontban, háromszög súlypontjában
metszi egymást.
A háromszög neveztes körei
Definíció:
A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást, ez a pont a
háromszög köré írt kör középpontja. A metszésponttól bármely csúcsig tartó szakasz lesz a
háromszög köré
írható kör sugara.
A háromszög három belső szögének szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a pont a
háromszögbe írt kör középpontja. A metszéspontból bármely oldalra bocsátott merőlegesnek
az a szakasza , amelyik a metszéspont és az oldalegyenes közé esik, lesz a beírható kör
sugara.
A metszéspontból bármely oldalra bocsátott merőlegesnek az a szakasza, amelyik a
metszéspont és az oldalegyenes közé esik, lesz a beírható kör sugara.
A háromszög két külső szögének szögfelezője és a nem mellettük lévő belső szög
szögfelezője is egy pontban metszi egymást, ez a háromszöghöz írt kör középpontja. E
pontból az oldalra bocsátott merőleges szakasz lesz a háromszöghöz írt kör sugara. Három
ilyen kör van.
A szög ívmértéke
Definíció:
A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körív egyenesen arányosak. Egy szög
nagyságát a hozzá tartozó körív hosszának segítségével is mérhetjük. Egy alfa szög nagyságát
a szög csúcsa, mint középpont köré rajzolt ív hosszának és a körív sugarának aránya
(hányadosa) is egyértelműen jellemzi.
Ezzel az arányossággal kapott számértéket a szög ívmértékének nevezzük. Az ívmérték
egysége az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz a kör sugarával egyenlő hosszúságú
körív tartozik. Ezt radiánnak nevezzük.

-27-



A kör érintője
Definíció:
A kör érintője olyan egyenes, amely a kör síkjában van és a körrel pontosan egy közös pontja
van. A kör érintője merőleges az érintési pontjába húzott sugárra.
A parabola érintője
Definíció:
A parabola síkjában egy e egyenes a parabola érintője, ha e nem párhuzamos a parabola
tengelyével és az e-nek pontosan egy középpontja van a parabolával.
Ismeretek:
A parabolának minden pontjában létezik érintöje. Az érintö felezi azt a szöget, amelyet az
érintési pontot és a fókuszpontot összekötő egyenes, illetve és az érintési pontból a
vezéregyenesre bocsátott merőleges bezár.
Ha a parabola fókuszát bármelyik érintőjére tükrözzük, akkor a tükörkép a vezéregyenesre
esik.
Középponti szögek
Definíció:
Az olyan szöget, amelynek csúcsa a kör középpontjában van, szárai pedig a kör egy-egy
sugara, középponti szögnek nevezzük.
A körnek azt az ívét, amely a szögtartományba esik, a középponti szöghöz tartozó ívnek
nevezzük, és azt mondjuk, hogy a középponti szög ezen az íven nyugszik.
Ismeret:
A középponti szög és a hozzá tartozó ív, illetve az ívhez tartozó húr kölcsönösen
meghatározza egymást. A középponti szög nagysága és a hozzá tartozó ív hossza egyenesen
arányosak.
Kerületi szögek
Definíció:
Kerületi szög az olyan konvex szög, amelynek csúcsa a kör kerületén van és szárai a kör
húrjait tartalmazzák (határesetben az egyik húr érintövé is válhat). A kerületi szög
szögtartományában fekvő körívet a kerületi szöghöz tartozó ívnek nevezzük.
Ismeret:
A kerületi szög a hozzá tartozó íven nyugvó középponti szög fele. A fentiekből következik,
hogy az azonos ívhez tartozó kerületi szögek is egyenlők.
Látószög
Definició:
Egy szakasz P pontbeli látószöge a szakasz két végpontját a P ponttal összekötő
egyenesdarabok (látósugarak ) konvex szöge.
Valamely tárgy látószögének megállapításakor a P megfigyelési pontnak és a tárgy pontjait
összekötő sugarak közül a két legszélsőt vesszük figyelembe.
-28-



Paralelogramma
Definició:
Egy négyszöget akkor nevezünk paralelogrammának, ha két-két szemközti oldala
párhuzamos.
Tulajdonságok:
Szemközti oldalai és szögei egyenlők. A paralelogramma két átlója felezi egymást, és a
paralelogramma az átlók metszéspontjára középpontosan szimmetrikus. Belső szögeinek
összege 360 fok.
Ismeretek:
A két párhuzamos oldal közti merőleges szakaszt az ehhez az oldalpárhoz tartozó
magasságnak nevezzük. Két párhuzamos oldal felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonalának nevezzük. Ennek hossza egyenlő a másik párhuzamos oldal pár
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


mindegyikének hosszával és azokkal párhuzamos. Ha az egyik oldala a, a másik oldala b, az
a oldalhoz tartozó magasság m, az a és b oldalak által bezárt szög alfa, akkor a
paralelogramma
- területe: t egyenlő a szor m egyenlő a szor b szer sinusz alfa
- kerülete: k egyenlő 2a meg 2b egyenlő 2 szer (a meg b)
A rombusz
Definíciók:
A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlö. Egy paralelogramma akkor és
csak akkor rombusz, ha az átlói merőlegesek egymásra.
Tulajdonságok:
Átlói felezik egymást. (Ez következik abból, hogy a rombusz speciális paralelogramma.)
A rombusz az átlóira tengelyesen szimmetrikus. (Átiói felezik a szögeket.) . A rombusz az
átlók metszéspontjára középpontosan szimmetrikus. (Ez abból következik, hogy a rombusz
speciális paralelogramma.)
Ismeretek:
A két párhuzamos oldal közti merőleges szakaszt az ehhez az oldalpárhoz tartozó
magasságnak nevezzük.
Az a oldalú, alfa szögű, m magasságú, e és f átlójú rombusz kerülete: k egyenlő 4a,
területe: t egyenlő a szor m egyenlő a négyzet szer sin alfa egyenlő (e szer f ) per 2
A téglalap
Definíciók:
A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlö, vagyis derékszög. Egy
paralelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha átlói egyenlö hosszúak. Az átlók
metszéspontjára középpontosan szimmetrikus. A téglalap a középvonalaira tengelyesen
szimmetrikus.
Az a és b oldalú téglalap kerülete: k egyenlő 2a meg 2b egyenlő 2 szer (a meg b),
területe: t egyenlő a szor b.

-29-



A négyzet
Definíciók:
A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő. Egy
paralelogramma akkor és csak akkor négyzet, ha átlói merölegsen felezik egymást és egyenlö
hosszúak.
lsmeretek:
Átlóinak a metszéspontját a négyzet középpontjának nevezzük. E pontra a négyzet
középpontosan szimmetrikus.
A négyzetnek négy szimmetriatengelye van: a két átló és a két középvonal. Az a oldalú
négyzet kerülete: k egyenlő 4 szer a
terülele: t egyenlő a négyzet
Deltoid
Definíció:
Az olyan négyszöget, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő, deltoidnak nevezzük.
Ismeretek:
Az egyenlő oldalak metszéspontjánál keletkező csúcsokat összekötő átló a deltoid
szimmetriatengelye, és ez az átlója merőlegesen felezi a másik átlót.
Ha minden szöge kisebb, mint 180 fok, akkor konvex deltoidnak nevezzük, egyébként
konkáv a deltoid.
Legyen a két különböző oldal a és b, a két átló pedig e és f. A két különböző hosszúságú
oldal által bezárt szög legyen alfa.
A deltoid kerülete: k egyenlő 2a meg 2b egyenlő 2 szer (a meg b),
területe: t egyenlő (e szer f) per 2 egyenlő a szor b szer szinusz alfa.
A trapéz
Definíció:
Az olyan négyszöget, amelynek van két párhuzamos oldala, trapéznak nevezzük.
Ismeretek:
A két párhuzamos oldal a trapéz alapja(i} , ezeknek egymástól való távolsága - vagyis a
köztük lévő merőleges szakasz hossza - a trapéz magassága.
A másik két oldal a trapéz két szára. A két szár felezőpontját összekötő szakasz a trapéz
középvonala, mely a trapéz alapjaival párhuzamos és azok számtani közepe. A trapéznak van
másik középvonala is: a párhuzamos oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz.
Speciális trapézok: Ha az alapon fekvő két szög egyenlő, akkor azt szimmetrikus trapéznak
nevezzük.
Ha az egyik szár merőleges az alap(ok)ra, akkor azt a trapézt derékszögű trapéznak nevezzük.
A trapéz kerülete: K egyenlő a meg b meg c meg d,
területe: t egyenlő k szor m egenlő (a meg b) per 2.
Középvonalak
Definíciók és ismeretek:
a) A négyszögek középvonala: két szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz. A
négyszögnek két középvonala van.



-30b) A paralelogramma bármelyik középvonala olyan hosszú, mint a nem felezett oldalak és
azokkal párhuzamos.
c) A trapéznak - mint négyszögnek - két középvonala van. Ha röviden a trapéz
középvonaláról beszélünk, akkor ezen a két szár felezőpontját összekötő szakaszt értjük. A
trapéznak ez a középvonala párhuzamos az alapokkal és azok számtani közepe.
d) A háromszög középvonala: a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. A
háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és fele olyan hosszú. A
háromszögnek három középvonala van.
Érintőnégyszögek
Definíció:
Az olyan négyszöget, amelynek oldalai ugyanannak a körnek egymáshoz csatlakozó érintő
szakaszai, azaz van beírt köre, érintönégyszögnek nevezzük.
Ismeretek:
Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor két-két szemközti oldala hosszának összege egyenlő.
Megfordítva: ha a konvex négyszög két-két szemközti oldalpárjának összege megegyezik,
akkor az érintőnégyszőg.
Speciális érintőnégyszögek: négyzet, konvex deltoid, rombusz.
Húrnégyszögek
Definíció:
Az olyan négyszöget, amelynek oldalai ugyanannak a körnek egymáshoz csatlakozó húrjai,
azaz van körülírt köre, húrnégyszögnek nevezzük.
Ismeretek:
Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180 fok. Megfordítva: ha
a konvex négyszög szemközti szögeinek összege 180 fok, akkor az húrnégyszög.
Speciális húrnégyszögek: négyzet, téglalap, szimmetrikus trapéz, és a két derékszöget
tartalmazó deltoid.
A síknégyszögek osztályozása
A.) Az oldalak párhuzamossága szerint
1) Amelyeknek nincs párhuzamos oldalpárjuk, azok általános négyszögek (ezek lehetnek
konkávok vagy konvexek).
2) Ha van két párhuzamos oldaluk, azok a trapézok. Ezek lehetnek általánosak,
szimmetrikusak, derékszögűek.
3) Ha két-két szemközti oldaluk párhuzamos, azok a paralelograrnmák.
Speciális paralelogrammák: téglalap, rombusz, négyzet.
B.) Az.oldalak egyenlősége szerint
1) Minden oldaluk különböző hosszú.
2) Ha két szemközti oldaluk egyenlő: szimmetrikus trapéz.
3) Ha két-két szomszédos oldaluk egyenlők: a deltoidok.
4) Ha két-két szemközti odaluk egyenlő: a paralelogrammák.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


5) Mind a négy oldaluk egyenlő: rombusz és a négyzet.
-31-



Szabályos sokszögek
Definíció:
Egy síksokszög akkor szabályos, ha minden oldala és minden szöge egyenlő.
Ismeretek:
n oldalú szabályos sokszöget úgy szerkeszthetünk, ha egy kör középpontjában lévő
teljesszöget n egyenlő részre osztjuk és a kapott 360 fok per n, vagy 2pí per n rad középponti
szögekhez tartozó húrokat megrajzoljuk.
A páros oldalú szabályos sokszög középpontosan és tengelyesen is szimmetrikus, a páratlan
oldalszámú csak tengelyesen. A szabályos sokszögben is egy csúcsból átló húzható és ezek
háromszögre bontják fel a szabályos sokszöget.
Hasáb
Definíció:
Ha egy sokszög pontjain keresztül a tér egy adott (a sokszög síkjával nem párhuzamos)
egyenesével párhuzamos egyeneseket (alkotókat) húzunk, akkor ezek az egyenesek végtelen
hasábfelületet alkotnak. Ha az adott sokszöggel párhuzamosan elmetsszük a hasábfelületet,
akkor a két sokszög - az alapok - (alap és fedőlap) és a hasábfelület által bezárt térrészt
hasábnak nevezzük.
Ismeretek:
A hasáb többi határolólapjai az oldallapok. Az oldallapok együttesét palástnak nevezzük.
Ha az alaplap és az alkotók merőlegesek egymásra, akkor a hasábot egyeneshasábnak,
egyébként
ferdehasábnak nevezzük.
Ha az alapterület jele T, a palást területe P, a magasság hossza m, akkor a hasáb
- felszíne: A egyenlő 2T meg P (terület egység)
- térfogata: V egyenlő Tszer m (térfogat egység).
Henger
Definíció:
Ha egy zárt síkgörbe vonal pontjain át egy adott egyenessel - amely nem párhuzamos a görbe
síkjával - párhuzamos egyeneseket fektetünk, akkor hengerfelü1et keletkezik.
A görbét a felület vezérvonalának, a felületet meghatározó egyeneseket alkotóknak nevezzük.
Ha a végtelen hengerfelületet két olyan párhuzamos síkkal - amelyek nem párhuzamosak az
alkotókkal - elmetsszük, akkor hengertestet kapunk.
Ismeretek:
A síkok által kimetszett síkidomok a henger alaplapjai. A hengerfelület két metszősík közé
eső darabja a palást. A két alaplap távolsága a magasság. A henger egyenes, ha az alkotók az
alaplap
síkjára merőlegesek, ha az alaplapok körlapok, akkor körhengerről beszélünk.
Az egyenes körhenger alapjainak középpontját a tengely köti össze.
r az alapkör sugara, m a henger magassága.

-32-



Paralelepipedon
Definíció:
A paralelogramma alapú hasábot paralelepipedonnak nevezzük. A paralelepipedonnak
minden lapja paralelogramma, a szemközti lapok párhuzamosak és egybevágóak.
Ismeretek:
Bármely párhuzamos lappár tekinthető alaplapnak. A paralelepipedon testátlói egy pontban
metszik és felezik egymást, erre a pontra középpontosan szimmetrikus.
Speciális esetei: négyzetes oszlop, téglatest, kocka.
Téglatest
Definíció:
A téglalap alapú egyenes hasábot téglatestnek nevezzük.
Ismeretek:
A téglatest minden élszöge és minden lapszöge derékszög, mindegyik oldallapja téglalap. A
két-két szemközti téglalap párhuzamos és egybevágó. Ha az egy csúcsba összefutó éleinek
hossza a, b, c, akkor felszíne: A egyenlő2 szer(a szor b meg a szor c meg b szer c)
térfogata: V egyenlő a szor b szer c
Kocka
Definíció:
Az olyan négyzet alapú egyenes hasábot, amelynek magassága az alapélekkel egyenlő,
kockának nevezzük.
Ismeretek:
A kockát hat egybevágó négyzetlap határolja (s ezek 12 élben, 8 csúcsban találkoznak).
Az a oldalélű kocka lapátlóinak a hossza: c egyenlő a szor négyzetgyök alatt 2.
A kocka kilenc egyenesre tengelyesen szimmetrikus, és kilenc síkra síkszimmetrikus.
Felszíne: A egyenlő 6 szor a négyzet, térfogata: V egyenlő á a köbön.
Négyzetes oszlop
Definíció:
Ha az alaplap négyzet, de a magasság nem egyenlő az alapéllel, akkor kapjuk a négyzetes
oszlopot. Ha az alapél a, a magassága m, akkor felszíne: A egyenlő 2a négyzet meg 4 szer a
szor m, térfogata: V egyenlő a négyzet szer m.
Kúp
Definíció:
A térnek azok az egyenesei, amelyek egy rögzített C pontot egy zárt görbe pontjaival kötnek
össze, kúpfelületet alkotnak.
A C pont a teljes (kettös) kúpfelületet két részre osztja. A vezérgörbét síkgörbének szoktuk
választani.
Ismeretek:
A C pontot a kúp csúcsának, a görbét vezérgörbének, az egyeneseket alkotóknak nevezzük.
-33-



Ha a kúpfelületet elmetszük egy síkkal, amely minden alkotót elmetsz, ezt a síkidomot
nevezzük a kúp alaplapjának. Ha az alaplapja kör, akkor körkúpról beszélünk. A körkúp
egyenes ha a csúcsa a kör középpontjába emelt merőleges egyenesen van. Ekkor ez az
egyenes a kúp tengelye, erre forgásszimetrikus.
A tengely és egy alkotó a félnyílásszöget zárja be.
A csúcsból az alaplap síkjára bocsátott merőleges, a kúp (m) magassága.
Gúla (piramis)
Definíció:
Tekintsünk egy síksokszöget, és egy olyan C pontot, amelyiknem illeszkedik a felvett síkra.
A C csúcsot kössük össze a sokszög valamennyi csúcsával, az így kapott háromszögek és a
felvett síkidom gúlát határoznak meg.
Ismeretek:
Az adott sokszög az alaplap, a C pont a csúcsa, a C és az alaplap csúcsai közti szakaszok az
oldalélek. Két szomszédos oldalél és a köztük lévő alapél egy háromszöget zár be, ezek az
oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A csúcsból az alaplapra bocsátott meröleges
szakasz a magasság. Ha a gúlát az alaplappal parhuzamos síkkal elmetsszük, akkor a
síkmetszet területe a gúla csúcsától mért távolság négyzetével arányos.
Speciális gúlák: négyzetalapú, háromszögalapú (tetraéder) stb.
Csonkagúla
Definíció:
Ha a végtelen gúlát két párhuzamos síkkal elmetsszük, úgy hogy a metszősík nem megy át a
csúcson és minden élet elmetsz, akkor csonkagúlát kapunk.
Ismeretek:
A két metszősíkból kimetszett sokszögek a csonkagúla alaplapjai (ezek az alaplap és a
fedőlap).
Az eredeti gúlafelület két sík közé eső darabja a csonkagúla palástja, ez trapéz alakú
oldallapokból áll. Ezeknek az alapokkal nem közös oldalai az oldalélek.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Az alaplapak területét jelölje: T és t. Távolságuk az m magasság.

Csonkakúp
Definíció:
Ha az egyik végtelen kúpot két párhuzamos síkkal elmetsszük, úgy, hogy a metszősík nem
megy át a csúcson, akkor csonkakúpot kapunk.
A két metszősíkból kimetszett görbevonalú síkidomok a csonkakúp alaplapjai (alaplap és
fedőlap). Az eredeti kúpfelületnek a két sík közé eső darabja a csonkakúp palástja. (Forgás
körkúp esetén a palást a síkba kiterítve körgyűrűcikk). A kúpfelület alkotóinak a csonkakúp
palástjára eső szakaszai a csonkakúp alkotói. Ha egyenes körkúpból származtatjuk, akkor
egyenes csonkakörkúpot kapunk. Az alaplapok jelölése T és t, távolsága az m magasság.
Alapkörének sugara R, a másik köré r, az alkotója a.


-34-



A középpontos hasonlóság és tulajdonságai
Definíció:
Adott egy O pont és egy lambda nem egyenlő nulla valós szám. Az O középpontú, lambda
arányú középpontos hasonlóság a sík egy tetszőleges, az O ponttól különböző P pontjához azt
a P pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, O-tól lambda abszolultértéke-szer akkora
távolságra, mint a P.
A képpont lambda nagyobb nulla esetén az OP félegyenesen, lambda kisebb nulla esetén OPvel ellentétes félegyenesen van.
Az O pont képe önmaga (fixpont).
Ismeretek:
Ha lambda abszolultértékenagyobb, mint 1, akkor nagyítás, ha lambda abszolultértéke
kisebb, mint 1, akkor kicsinyítés.
Ha lambda abszolultértéke egyenlő 1, akkor egybevágóság.
Ha lambda kisebb, mint nulla, akkor az O pont elválasztja a P és P pontot.
Kölcsönösen egyértelmű a leképezés. Általában egyetlen fixpontja az O pont. Minden O-ra
illeszkedő egyenes invariáns egyenes. Aránytartó, szögtartó, körüljárástartó. Ha egy egyenes
nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és a képe párhuzamos egymással.
A hasonlóság
Definíció:
Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyiket a másikba
viszi át, vagyis egy egybevágósági transzformáció és egy középpontos hasonlóság
egymásutáni végrehajtásával fedésbe tezését hozhatók.
Ismeretek:
A hasonló alakzatok két-két megfelelő szakaszának aránya megegyezik, valamint a megfelelő
szakaszpárok szöge is egyenlő.
Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő.
Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő.
A háromszögek egybevágóságának alapesetei
Definíció:
Két háromszög egybevágó, ha van olyan távolságtartó (egybevágósági) transzformáció,
amely egyiket a másikba viszi át. Két háromszög egybevágóságát biztosítja a következő négy
feltétel valamelyikének a teljesülése:
1) A megfelelő oldalaik páronként egyenlők.
2) Két-két oldaluk egyenlő, és az ezek által bezárt szögük egyenlő.
3) Két-két oldaluk egyenlő, és a nagyobbakkal szemközti szögük egyenlő.
4) Egy oldaluk és a rajta fekvő két szögük páronként egyenlő.
E feltételek mindegyike szükséges és elégséges feltétele a két háromszög egybevágóságának.
A háromszögek hasonlóságának alapesetei
Definíció:
Két háromszög hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyiket a
másikba viszi át. Két háromszög hasonlóságát biztosítja a következő négy feltétel
valamelyikének a teljesülése.
-35-



) A megfelelő oldalpárok aránya egyenlő.
2) Két-két oldalpár aránya és az ezek által bezárt szögük egyenlő.
3) Két-két oldalpár aránya és a nagyobbakkal szemközti szögük egyenlő.
4) Két-két szögük páronként egyenlő.
E feltételek mindegyike szükséges és elégséges feltétele a két háromszög hasonlóságának.
Térelemek és kölcsönös helyzetük
Definíció:
A pontot, az egyenest, a síkot térelemeknek nevezzük.A háromfajta térelem közül bármely
két elemet kiválasztva kölcsönös helyzetükre vonatkozóan a következő esetek lehetségesek:
Pont és pont: illeszkednek (egybeesnek), nem illeszkednek (szakaszt határoznak meg).
Pont és egyenes: illeszkednek,(a pont rajta van az egyenesen), nem illeszkednek (síkot
határoznak meg).
Pont és sík: illeszkednek (a pont rajta van a síkon), nem illeszkednek.
Két egyenes: illeszkednek (egybeesnek), párhuzamosak (síkot határoznak meg), metszök
(síkot határoznak meg, speciális esetben merölegesek egymásra), kitérök (azaz nincs közös
pontjuk és nem is párhuzamosak).
Egyenes és sík: - illeszkednek (az egyenes rajta van a síkon), párhuzamosak, döfi az egyenes
a síkot (speciális esetben merölegesek egymásra).
Sík és sík: illeszkednek (egybeesnek), párhuzamosak, metszök (speciális esetben
merölegesek).
A tétel megfordítása
A tétel: bizonyított matematikai állítás elnevezése.
A bizonyításban egy matematikai állítás helyességét mutatjuk meg, felhasználva bizonyos
axiómákat (olyan alapvető matematikai állításokat, amelyeket bizonyítás nélkül elfogadunk),
az axiómákból bizonyított tételeket és az állítás feltételeit.
A bizonyítás során a logika szabályai szerint egyik állításból egy másik állításra
következtetünk.
Ha egy tétel tipikus sémája az, hogy A-ból következik B, azaz ha A, akkor B. Ebben az A a
feltételt, B az állítást jelenti. A feltétel és az állítás általában nem cserélhető fel, azaz ha Aból következik B, általában nem igaz, hogy B-ből következik A.
Vannak azonban olyan tételek, amelyeknél ez igaz, tehát az A-ból következik a B, vagyis az
A igaz voltából fennáll a B és fordítva. Ezeket megfordítható tételeknek nevezzük és cask
akkor igaz, ha B igaz.
Az ilyen tételek bizonyítását két részben kell végezni: ha A igaz, akkor B igaz, és ha B igaz,
akkor A igaz.
Pont és egyenes távolsága
Definíció:
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre húzott merőleges szakasz hosszúsága. A
pontból az egyenesre húzott szakaszok közül ez a legrövidebb.

-36-
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!





Pont és sík távolsága
Definíció:
Pont és sík távolsága a pontból, a síkra húzott merőleges szakasz hosszúsága. A pontból a
síkra húzott szakaszok közül ez a legrövidebb.

Párhuzamos egyenesek távolsága
Definíció:
Két párhuzamos egyenes távolsága a két egyenes egy-egy pontját összekötő, a két egyenesre
merőleges szakasz hosszúsága. A két egyenes egy-egy pontját összekötő szakaszok közül ez
a Iegrövidebb. Ez a távolság mindenütt egyenlő.
Párhuzamos síkok távolságra
Definíció:
Két párhuzamos sík távolsága a két sík egy-egy pontját összekötő, két síkra merőleges
szakasz hosszúsága. A két sík egy-egy pontját összekötő szakaszok közül ez a legrövidebb.
Ez a távolság mindenütt egyenlő.
Kitérő egyenesek távolsága
Definíció:
Ha a kitérő egyenesek mindegyikére a másik egyenessel párhuzamos síkot fektetünk, akkor
az így kapott két párhuzamos sík távolsága a két kitérő egyenes távolsága.
Kitérő egyenesek hajlásszöge
Definíció:
Ha a tér tetszőleges P pontján az e és f kitérő egyenesekkel párhuzamost húzunk, akkor
ezeknek a szöge adja meg a kitérő egyenesek szögét.
Egyenes és sík hajlásszöge
Definíció:
a) Ha az egyenes illeszkedik a síkra, akkor hajlásszögük 0 fok.
b) Ha párhuzamosak, hajlásszögüket akkor is 0 foknak tekintjük.
c) Ha az egyenes metszi (döfi) a síkot, ebben az esetben: ha az egyenes síkra eső merőleges
vetülete egy pont, a hajlásszög derékszög
ha a merőleges vetület a síkon e egyenes, akkor a hajlásszög az e és e egyenesek szögével
azonos.
Két sík hajlásszöge
Definíció:
a) Ha a két sík illeszkedik egymásra, akkor hajlásszögük 0 fok.
b) Ha a két sík párhuzamos, hajlásszögüket akkor is 0 foknak tekintjük.
-37-



c) Ha a két sík nem párhuzamos egymással, s metszésvonaluk egy tetszőleges pontjában
mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra, akkor a két sík hajlásszögén ennek a
két egyenesnek a szögét értjük.
Ezt a szöget megkaphatjuk úgy is, hogy a metsző síkokat egy, a metszésvonalukra merőleges
síkkal elmetsszük.
Ez a sík az eredeti két síkból egy-egy egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík
hajlásszöge.
A vektor, a vektorok egyenlősége
Definíció:
A térben, a síkon egy adott hosszúságú, adott állású és adott irányú szakaszt vektornak
nevezünk. (A vektor jellemzői: kezdőpontja, végpontja, hossza, azaz abszolútértéke, állása és
iránya).
Két vektor akkor és csak akkor egyenlő, ha van olyan eltolás amellyel fedésbe hozhatók,
vagyis hosszuk, állásuk és irányuk megegyezik.
A nullavektor hossza egyenlő nulla, iránya tetszőleges.
Ha adott a vektor, akkor a -a vektoron az a vektorral egyenlő hosszú, vele párhuzamos, de
ellentétes irányú vektort értjük. Ezt a vektort az a vektor ellentett vektor-ának nevezzük. A
két vektor összege nullvektor: a meg (-a) egyenlő nulla.
Bázisvektorok, a vektorok koordinátái
Ismeretek:
Ha adottak a és b nem párhuzamos és nem nullvektorok, akkor a síkjukban fekvő bármely v
vektor egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre, azaz
v vektor egyenlő alfa a vector meg beta b vector, ahol alfa és béta egyértelműen
meghatározott valós számok.
Az a és b vektorokat szokás bázisvektoroknak nevezni.
Egységvektor, helyvektor
Definíciók:
Az olyan vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük.
A koordináta-rendszer kezdőpontjából kiinduló vektorokat helyvektoroknak nevezzük.
A pozitív x tengely irányába mutató egységvektort i vektornak, a pozitív y tengely irányába
mutató egységvektort j vektornak nevezzük.
A vektorok koordinátái
Ismeret:
A vektor kezdő és végpontjához egyértelműen hozzá tudunk rendelni egy-egy rendezett
számpárt: közönséges derékszögű koordinátáikat. Ezek egyszersmind a vektor kezdőpontjába
és végpontjába mutató helyvektorok.



-38Vektorok összeadása
Definíció:
Adott ugyanabban a síkban a és b vektor. A sík egy pontjából felmérjük az egyik vektort,
majd ennek végpontjából kiindulva a másik vektort. A két vektor összege az a vektor, melyet
úgy kapunk, hogy az első vektor kezdöpontjából a másik vektor végpontjába mutató vektort
megrajzoljuk. Az összegvektort szokás eredönek is nevezni.
Két vektor összeadása elvégezhető az un. paralelogramma szabály szerint is: az a és b
vektorokkal, mint oldalakkal paralelogrammát szerkesztünk, az összegvektor a
paralelogrammának az a és b vektorok közös kezdő pontjából kiinduló átlója.
Vektorok kivonása, különbsége
Definíció:
Adottak az a és b vektorok.
Az a-b vektorok különbségen az a meg(-b) vektorösszeget értjük, azaz az a vektorhoz
hozzáadjuk a b vektor ellentettjét, a-b vektort.
Az a-b vektort úgy is megkaphatjuk, hogy a két vektort közös kezdőpontból vesszük fel,
majd megrajzoljuk a kivonandó vektor végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató
vektort.

Vektor szorzása skalárral és ennek tulajdonságai
Definíció:
Adott egy a vektor és egy lambda valós szám:
a) ha az a vektor nem nullvektor, akkor (lambda a) olyan vektor, melynek abszolútértéke
abszolultérték lambda szor abszolultérték a vektor, és iránya lambda nagyobb nulla esetén az
a vektor iránya, lambda kisebb mint nulla esetén az a vektor irányával ellentétes, lambda
egyenlő nulla esetén a lambda szor a vektor nullvektor, tehát iránya tetszőleges.
b) Ha a vektor egyenlő nullvektor, akkor lambda szor a vektor egyenlő nullvektor, azaz
nullvektort kapunk lamdától függetlenül. Amikor vektorok és számok szerepelnek együtt,
akkor a számot szokás skalármennyiségnek (röviden skalárnak) nevezni.
A skalárral történő szorzás tulajdonságai: kommutatív, a skalárokra nézve asszociatív, az
összegből a vektortényező kiemelhető, a vektorösszeg tagonként szorozható skalárral.
Vektor abszolúltértéke, meghatározása
Definíció:
Egy vektor abszolútértékén a vektor hosszát értjük. A v vektor abszulútértéke egy olyan
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


derékszögű háromszög átfogójának a hossza, amelyben a befogók hosszúsága: x és y
abszolútértéke.
Ha a v vektort a kezdő és végpontjával adjuk meg, akkor az abszolútértékéhez először a
koordinátáit kell meghatározni.

-39-



Vektorok skaláris szorzata- Mikor nulla egy skalárszorzet?
Definíció:
Az a és b vektorok skaláris szorzatán ab vektor egyenlő a vektor abszolútértéke szor b vektor
abszolútértéke szer cosinusz gamma valós számot értjük, ahol gamma a két vektor által
bezárt szöget jelenti nulla kisebb egyenlő gamma kisebb egyenlő 180 fok.
A nullvektor tetszőleges irányú lehet, így ha az egyik vektor nullvektor, akkor a két vektort
tekinthetjük egymásra merőlegesnek. Két nullvektortól különböző vektor skalárszorzata
akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra.
Három vektornak a szorzata nem valós szám (nem skalár), hanem vector.
Eredménye: a c vektor skalárszorosa.
A terület fogalma
Axiómák
1) Minden S síkidomhoz hozzárendelünk egy t(S)-sel jelölt nemnegatív számot, amit
területnek nevezünk.
2) Ha S és S egybevágó, akkor a t(S) egyenlő t(S)
3) Ha az S síkidomot diszjunkt (közös rész nélküli) részekre bontjuk, akkor a részek
területének összege t(S)-sel egyenlő
4) Az egységnyi oldalú négyzet területe: t(n) egyenlő 1
Definíció:
A terület a síkidom kiterjedtségét, nagyságát jellemzö pozitív valós szám, amely a
legegyszerűbb esetekben azt adja meg, hogy a keresett terület hányszorosa az egységnek
választott síkidom területének.
Ez a definíció csak az egyenes vonalakkal határolt síkidomok esetében alkalmazható
közvetlenül.
Az összetett síkidomok területét feldaraboljuk egyszerűbb síkidomokra - háromszögekre,
négyszögekre - s ezek területének összegeként kapjuk meg a keresett területet.
A görbevonalú zárt és önmagát nem metsző síkidomok esetében a terület csak akkor
értelmezhető, ha a beírt sokszögek területeiből álló sorozat felső határa megegyezik a.
körülírt sokszögek területeiből álló sorozat alsó határával. Ezt a közös határértéket tekintjük a
síkidom területének.
A térfogat fogalma
Axiómák:
1) Minden V testhez hozzárendelünk egy t(V)-vel jelölt nemnegativ számot, amit térfogatnak
nevezünk.
2) Ha V és V egybevágó, akkor a t(V) egyenlő t(V)
3) Ha az V testet diszjunkt (közös rész nélküli) részekre bontjuk, akkor a részek térfogatának
összege t(V)-vel egyenlő.
4) Az egységnyi oldalú kocka térfogata: t(k) egyenlő 1.
Definíció:
A térfogat a térbeli alakzatok, testek kiterjedtségét, nagyságát, űrtartalmát,
befogadóképességét jellemző pozitív valós szám, amely a legegyszerűbb esetekben azt adja
meg, hogy a kerestt térfogat hányszorosa az egységnek választott test - az egységnyi oldalú
kocka - térfogatának,
-40-



Ez a definíció csak a sík lapokkal határolt testek térfogatának kiszámításakor alkalmazható
közvetlenül.
Az összetett testek térfogatát feldaraboljuk egyszerűbb testekre - hasábokra, gúlákra - s ezek
térfogatának összegeként kapjuk meg a keresett test térfogatát.
A görbelapú testek esetében a térfogat csak akkor értelmezhető, ha a beírt poliéderek
térfogatából álló sorozat felső határa megegyezik a köré írt poliéderek térfogatából álló
sorozat alsó határával. Ezt a közös határértéket tekintjük a test térfogatának
A körcikk területe
Tétel:
A körben a középponti szög és a hozzátartozó körcikk területe egyenesen arányos. Ezt
felhasználva: r sugarú körben i hosszúságú ívhez tartozó körei nyilásszöge legyen alfa ,
illetve alfa radián, i pedig a körcikk területe. Felhasználhatjuk, hogy a körív hossza a
hozzátartozó középponti szög ívmértékének r-szerese. Ezt beírva az ívmértékkel kifejezett
területképletbe:
t egyenlő (r szer i) per 2.
A körszelet területe
Tétel:
A körszelet területét úgy számítjuk ki, hogy a körcikk területéből kivonjuk a sugarak és a húr
által körülzárt háromszög területét.
A vonal egyenlete
Definíció:
Egy síkbeli, vonal (alakzat) egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelynek
megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll, vagyis olyan kétismeretlenes
egyenlet, amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kielégítenek, más pontok
koordinátái viszont nem.
Az egyenes iránytangense
Definíció:
Az egyenes egy v vector(v1, v2) irányvektorának (az irányvektor az egyenessel párhuzamos
helyvektor, vagyis az origóból indul ki) koordinátáiból képzett v2 per v1 hányadost (ahol a
v1 nem egyenlő nulla), az egyenes iránytangensének nevezzük. Az irányvektor a vizsgált
egyenessel párhuzamos helyvektor.
A v2 per v1 egyenlő tg alfa, ahol alfa az irányvektornak és az egyenesnek az x tengely
pozitív felével bezárt szöge.
Ha v1 egyenlő nulla, akkor az egyenes párhuzamos az y tengellyel, azaz akkor nincs
értelmezve az irány tangens.

-41-



Hegyesszögek szögfüggvényei
Definíció:
Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyesszöge: alfa.Ezek
a háromszögek mind hasonlók egymáshoz, így a megfelelő oldalaik aránya egyenlő, az arány
az a szögtől függ. így ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.
Hat ilyen arány létezik ( a és b befogók, c az átfogó):
a per b, a per c, b per c, b per a, c per a, c per b.
Vegyük észre, hogy a második három az első három aránynak rendere a reciproka. Tehát
gyakorlatilag elég lenne 3 szögfüggvénnyel foglalkozni, de azért a könnyebb számolás
érdekében mégis az első néggyel szoktunk foglalkozni.
1) sin alfa egyenlő a per c egyenlő az alfa szöggel szemközti befogó per az átfogó
2) cos alfa egyenlő b per c egyenlő az alfa szög melleti befogó per az átfogó
3) tg alfa egyenlő a per b egyenlő az alfa szöggel szemközti befogó per a szög melleti befogó
4) ctg alfa egyenlő b per a egyenlő az alfa szög melleti befogó per a szöggel szemközti
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


befogó
Tetszőleges szög szinusza és koszinusza
Definíció:
Az alfa irányszögű e egységvektor ordinátáját (2. koordinátáját) sin alfának; abszcisszáját (1.
koordinátáját) cos alfának nevezzük.
A teljes körülfordulásokat figyelmen kívül hagyva:
Tetszőleges szög tangense és cotangense
Definíció:
Ha cos alfa nem nulla, akkor tg alfa egyenlő sin alfa per cos alfa. Ha cos alfa egyenlő nulla,
akkor az alfa szög tangensét nem értelmezzük.
Ha sin alfa nem nulla, akkor ctg alfa egyenlő cos alfa per sin alfa. Ha sin alfa egyenlő nulla,
akkor az alfa szög kotangensét nem értelmezzük.
Szemléletesen a tangens alfa az egységsugarú kör jobboldali érintője, és a szögszár
metszéspontjának az ordinátája.
Szemléletesen a cotangens alfa az egységsugarú kör felső érintője, és a szögszár
metszéspontjának az abszcisszája.
Az 1. negyedben tangens alfa és cotangens alfa előjele pozitív.
Az II. negyedben tangens alfa és cotangens alfa előjele negatív.
A III. negyedben tangens alfa és cotangens alfa előjele pozitív.
A IV. negyedben tangens alfa és cotangens alfa előjele negatív.

-42-



II. rész: TÉTELEK, BIZONYÍTÁSOK
A halmazok unióképzése kommutatív
Tétel:
A halmazok unióképzése kommutatív művelet.
Szemléltetés:
1) Tételezzük fel, hogy a két halmlaznak van közös része.
2) Vegyük fel először az A halmazt (a körrel jelöltet). Rajzoljuk meg a B halmazt (az
ellipszissel jelöltet).
3) Egy új ábrán most először rajzoljuk meg a B halmazt, majd az A halmazt.
4) Az ábrákról leolvasható, hogy ugyanarra az eredményre jutunk, ha a kiindulásul vett
halmazok azonosak voltak: tehát A uniója B egyenlő B uniója A
5) Ha a két halmaznak nincs közös része, vagy az egyik a másiknak részhalmaza, a tétel
ugyanígy bizonyítható.
A halmazok unióképzése asszociatív
Tétel:
A halmazok unióképzése asszociatív művelet.
Szemléltetés: Legyen adott A, B és C halmaz.
1) Az ábrák készítésénél tételezzük fel, hogy bármely két halmaznak van közös része.
2) Vegyük fel elöször az A halmazt. Rajzoljuk meg a B halmazt. Adjuk meg az uniójukat,
majd
rajzoljuk meg a C halmazt. Képezzük az A uniója B és C halmaz unióját.
3) Egy új ábrán most elöször rajzoljuk meg az A halmazt majd ehhez vegyük fel B és a C
halmaz unióját!
4) Az ábrákról leolvasható, hogy ugyanarra az eredményre jutunk, ha a kiindulásul vett
halmazok azonosak voltak: tehát (A uniója B) uniója C egyenlő A uniója (B uniója C). Ezért
a három halmaz uniójának jelölésére az egyszerűbb A uniója B uniója C szimbólumot
használjuk.
5) Ha a három halmaznak nincs közös része, vagy az egyik a másiknak részhalmaza, akkor a
tétel
ugyanígy bizonyítható.
A halmazok metszetképzése kommutatív
Tétel:
A halmazok metszetképzése kommutatív művelet.
Szemléltetés:
1) Az ábrák készítésénél tételezzük fel, hogy a két halmaznak van közös része.
2) Vegyük fel elöször az A halmazt. Rajzoljuk meg a B halmazt. Jelöljük meg azokat az
elemeket, amelyek mindkét halmazhoz tartoznak, azaz rajzoljuk meg a metszetüket.
3) Egy új ábrán most elöször rajzoljuk meg a B halmazt, majd az A halmazt. Most is
képezzük a két halmaz metszetét.
4) Az ábrákról leolvasható, hogy ugyanarra az eredményre jutunk, ha a kiindulásul vett
halmazok azonosak voltak: tehát A metszete B egyenlő B metszete A.
-43-



5) Ha a két halmaznak nincs közös része, vagy az egyik a másiknak részhalmaza, a tétel
ugyanígy bizonyítható.
A halmazok metszetképzése asszociatív
Tétel:
A halmazok metszet képzése asszociatív művelet.
Szemléltetés:
1) Az ábrák készítésénél feltételeztük, hogy bármely két halmaznak van közös része.
2) Vegyük fel először az A halmazt. Rajzoljuk meg a B halmazt. Adjuk meg a metszetüket,
majd rajzoljuk meg a C halmazt. Képezzük az (A metszete B) halmaz és a C halmaz
metszetét.
3) Egy új ábrán most először rajzoljuk még a B halmaz és a C halmaz metszetét, s ehhez
vegyük fel az A halmazt. Képezzük az A halmaz és (B metszete C) metszetét.
4) Az ábráról leolvasható, hogy ugyanarra az eredményre jutunk, ha a kiindulásul vett
halmazok azonosak voltak, tehát: (A metszete B) metszete C egyenlő (B metszete C)
metszete A. Ezért a három halmaz metszeténekjelölésére a rövidebb A metszete B metszete C
szimbólumot használjuk.
5) Ha a három halmaznak nincs közös része, vagy az egyik a másiknak részhalmaza, a tétel
ugyanígy bizonyítható.
A racionális számok tizedestört alakja
Tétel:
A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen, szakaszos (periodikus)
tizedestört.
Bizonyítás:
1) A racionális számok felírhatók két egész szám hányadosaként.
2) Felhasználjuk a számelmélet alaptételét: minden összetett szám egyértelmüen felírható
prímtényezős alakban.
3) Végezzük el a p per q osztást! Legyen a qnagyobb, mint nulla; ez mindig elérhető.
4) Ha valamelyik lépésben a maradék nulla, akkor vagy egész számot, vagy véges tizedes
törtet kapunk.. Ez akkor következik be, ha az osztó prímtényezős felbontásában csak 2-esek,
vagy csak 5-ösök, illetve 2-esek és 5-ösök szerepelnek.
6) A hányadosban a tizedesvessző után lehetnek olyan jegyek, amelyek nem ismétlődnek. Az
ilyen alakú tizedes törteket vegyesszakaszos tizedes törteknek nevezzük. Ez akkor fordul elő,
ha az osztó prímtényezős felbontásában szerepel a 2 vagy az 5, de ezen kívül van más
prímtényezője is.
7) Ha a véges tizedes tört végére írható nullákat ismétlődő szakasznak tekintjük, akkor azt
mondhatjuk: minden racionális szám végtelen szakaszos (periodikus) tizedestört alakú.
A gyökvonás kivezet a racionális számok halmazából
Tétel:
A négyzetgyök alatt kettő nem racionális szám (négyzetgyök alatt kettő irracionális szám).
Bizonyítás:
A következő bizonyítási eljárást indirekt bizonyításnak nevezzük.
-44-



1) Tegyük fel, hogy négyzetgyök alatt kettő racionális szám, vagyis felírható p per q alakban.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Tehát: négyzetgyök alatt kettő egyenlő p per q.
2) Mindkét oldalt emeljük négyzetre!
3) Szorozzuk meg mindkét oldalt q négyzettel.
4) p-re és q-ra alkalmazzuk a számelmélet alaptételét, miszerint a számok egyértelműen
bonthatók fel törzsszámok szorzatára, és felhasználjuk a hatványozás azonosságait.
5) A négyzetszámban minden prím tényező biztosan páros kitevővel szerepel.
6) A 2 szer q négyzet kifejezésben a 2 kitevője páratlan, mert q négyzetben biztosan páros a 2
kitevője.
7) A jobb oldalon a 2 kitevője páros.
8) Így egy számnak kétféle prímtényezős felbontása lenne, de ez a számelmélet alaptétele
szerint nem lehet.
9) Ezért az eredeti feltevésünk nem lehetséges-, vagyis a négyzetgyök alatt kettő nem lehet
racionális. Igazoltuk, hogy a négyzetgyök vonás kivezet a racionális számok halmazából.
A bizonyítás teljesen hasonló gondolatmenettel elvégezhető például a négyzetgyök alatt 3-ra,
és a köbgyök alatt 2-re is.
Két szám összegének és különbségének szorzata
Tétel:
Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a két tag négyzetének különbségével:
(a meg b) szer (a - b) egyenlő a négyzet – b négyzet.
Bizonyítás:
A bizonyítást algebrai úton végezzük el.
1) Minden tagot meg kell szorozni minden taggal.
2) (a meg b)szer(a-b) egyenlő a négyzet meg ab-ab-b négyzet
3) Az összevonást elvégezve: (a meg b) szer (a - b) egyenlő a négyzet – b négyzet
4) Ezzel a tételt bizonyítottuk.
5) A tétel megfordítható: vagyis két tag négyzetének különbsége olyan szorzattá alakítható,
ahol az első tényező a két tag összege, a második tényező ugyanannak a két tagnak az eredeti
sorrendben vett különbsége.
A szorzat hatványa
Tétel:
A szorzat n-edik hatványa egyenlő a tényezők n-edik hatványának szorzatával.
A tört hatványa
Tétel:
A tört n-edik hatványa egyenlő a számláló és a nevező n-edik hatványának hányadosával.
Ahol n pozitív egész szám és a nevező nem lehet nulla!
A hatvány hatványa
Tétel:
Hatványt úgy hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.
-45-



Egyenlő alapú hatványok szorzata
Tétel:
Az egyenlő alapú pozitív egész kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatjuk, hogy a közös
alapot a kitevők összegére emeljük.
Egyenlő alapú hatványok hányadosa
Tétel:
Egyenlő alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az osztandó (a számláló) kitevőjéből
kivonjuk az osztó (a nevező) kitevőjét és a közös alapot erre a kitevőre hatványozzuk. Az
alap (nulla és negatív egész kitevő esetén) nem lehet nulla.
Szorzat négyzetgyöke
Tétel:
A szorzat négyzetgyöke a négyzetgyökök szorzatával egyenlő. Négyzetgyök alatt a szor b
egyenlő négyzetgyök alatt a szor négyzetgyök alatt b.
Hányados négyzetgyöke
Tétel:
A tört négyzetgyöke a négyzetgyökök hányadosával egyenlő. Négyzetgyök alatt a per b
egyenlő négyzetgyök alatt a per négyzetgyök alatt b.
Szorzat n-edik gyöke
Tétel:
A szorzat n-edik gyöke az n-edik gyökök szorzatával egyenlő.
A gyökkitevő, azaz az n nagyobb, mint 1 és egész. Ha az n páros, akkor az a és b nemnegatív
valós szám, ha az n páratlan, akkor az a és a b tetszőleges valós szám lehet.
n négyzetgyök alatt a szor b egyenlő n négyzetgyök alatt a szor n négyzetgyök alatt b.

Hányados n-edik gyöke
Tétel:
A tört n-edik gyöke az n-edik gyökök hányadosával egyenlő. A gyökkitevő n nagyyobb,
mint1 és egész, ha n páros, akkor a gyök alatti számok nem negatívok, ha n páratlan, akkor a
gyökjel alatti számok valósok, de a nevező- az osztó - nem lehet nulla.
n négyzetgyök alatt a per b egyenlő n négyzetgyök alatt a per n négyzetgyök alatt b.
A k-adik gyök hatványa
Tétel:
A k-adik gyököt úgy is hatványozhatjuk, hogy a gyök alatti számot hátványozzuk a kívánt
kitevőre, s aztán vonunk k-adik gyököt. A gyökkitevő, azaz a k nagyobb, mint 1 és egész. Ha
-46-



az n tetszőleges egész, és ha k páros akkor, az a nem negatív valós. Ha k páratlan, akkor az a
tetszőleges valós szám lehet.
(k négyzetgyök alatt a) az n-ediken egyenlő k négyzetgyök alatt a az n-ediken.
A másodfokú egyenlet megoldó képlete
Tétel:
Az a szor x négyzet meg b szer x meg c egyenlő nulla, (a nem egyenlő nulla) alakú egyenlet
megoldóképlete: x1,2 egyenlő –b plusz, mínusz négyzetgyök alatt b négyzet-4ac (egész alatt
)per 2a.
Vizsgáljuk meg a diszkriminánsnak nevezett b négyzet-4ac kifejezést.
Ha negatív, akkor a másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke.
Ha nulla, akkor a két gyök egyenlő, azaz kétszeres gyöke van.
Ha pozitív, akkor két különböző gyököt kapunk.
Ha a másodfokú egyenletben a b egyenlő nulla, akkor tiszta másodfokú egyenletet kapunk.
Ekkor fölösleges a megoldóképletet alkalmazni, mert négyzetgyökvonással megoldható az
egyenlet.
Ha a másodfokú egyenletben a c egyenlő nulla, akkor azt hiányos másodfokú egyenletnek
nevezzük. Ekkor is fölösleges a megoldóképletet alkalmazni, helyette kiemelés után
felhasználjuk azt, hogy egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője
nulla.
A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja
Tétel:
Az a szor x négyzet meg b szer x meg c egyenlő nulla alakú másodfokú egyenlet
gyöktényezős
alakja (a nem egyenlő nulla): a szor(x-xl) szor (x-x2) egyenlő nulla, ahol xl és x2 a felírt
másodfokú egyenlet létezőnek feltételezett valós gyökeit jelentik.
Az egyes lépésekben ekvivalens átalakításokat vézünk, így visszakaptuk a másodfokú
egyenlet általános alakját.
A gyökök és együtthatók közti összefüggések
Tétel:
a szor x négyzet meg b szer x meg c egyenlő nulla alakú (a nem egyenlő nulla) másodfokú
egyenlet (xl és x2) létező gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak
fenn:
x1 meg x2 egyenlő –(b per a) és x1 szer x2 egyenlő c per a.
Ezek a másodfokú egyenlet Viéte-formulái.
A számtani és mértani közép összehasonlítása
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Tétel:
Két nem negatív szám mértani közepe nem nagyobb ugyanazon két szám számtani közepénél
Négyzetgyök alatt a szor b kisebb egenlő, mint (a meg b) per kettő.

-47-



A számtani és mértani közép összehasonlítása
Tétel:
Két nem negatív szám mértani közepe nem nagyobb ugyanannak a két számnak a számtani
közepénél.
Négyzetgyök alatt a szor b kisebb egyenlő, mint (a meg b) per kettő.
Szorzat logaritmusa
Tétel:
Pozitív tényezőjű szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusának az összegével egyenlő.
Kikötések: x nagyobb, mint nulla
y nagyobb, mint nulla
a nagyobb, mint nulla
a nem egyenlő egy
A hányados logaritmusa
Tétel:
A hányados (a tört) logaritmusát megkaphatjuk, ha az osztandó (a számláló) logaritmusából
kivonjuk az osztó (a nevező) logaritmusát.
Kikötések: x nagyobb, mint nulla
y nagyobb, mint nulla
a nagyobb, mint nulla
a nem egyenlő egy
Hatvány logaritmusa
Tétel:
A hatvány logaritmusát megkaphatjuk, ha az alap logaritmusát megszorozzuk a
hatványkitevővel.
Kikötések: x nagyobb, mint nulla
a nagyobb, mint nulla
a nem egyenlő egy
k tetszőleges szám
Áttérés más alapú logaritmusra
Tétel:
Egy adott b (régi) alapú logaritmusról úgy térhetünk át az új a alapú logaritmusra, hogy a c
szám (régi) b alapú logaritmusát osztjuk az (új) a alap (régi) b alapú logaritmusával.
Kikötések: a nagyobb, mint nulla
b nagyobb, mint nulla
c nagyobb, mint nulla
a nem egyenlő egy
b nem egyenlő egy

-48-



A számtani sorozat n-edik eleme
Tétel:
A számtani sorozat n-edik eleme: n alapú a egyenlő a1 meg (n-1) szer d
A számtani sorozat első n tagjának összege
Tétel:
A számtani sorozat első n tagjának összege: n alapú s egyenlő n szer (a1 meg an) per 2
A mértani sorozat n-edik eleme
Tétel:
A mértani sorozat n-edik eleme: n alapú a egyenlő a1 szer q az(n-1)-ediken, ahol q nem
egyenlő nulla.
A mértani sorozat első n tagjának összege
Tétel:
A mértani sorozat első n tagjának összege: n alapú S egyenlő a1 szer (q az n-ediken- 1) egész
alatt per q-1
Kikötések: a1 nem egyenlő nulla
q nem egyenlő nulla
q nem egyenlő egy
Az első n négyzetszám összege
Tétel:
Az első n négyzetszám összege: 1 a négyzeten meg 2 a négyzeten meg 3 a négyzeten meg 4 a
négyzeten meg…meg n a négyzeten egyenlő n szer(n meg 1)szer(2n meg 1) per egész alatt 6.
A mértani sor
Tétel:
A mértani sor összeg képlete: S egyenlő a1 per 1-q
Kikötések: a1 nem egyenlő nulla
q abszolúltértéke kisebb, mint 1
A háromszög belső szögeinek összege 180 fok
Tétel:
A háromszög belső szögeinek összege 180 fok.
A háromszög külső szögeinek összege 360 fok
Tétel:
A háromszög külső szögeinek összege 360 fok.
-49-



Az „n” oldalú konvex sokszög belső és külső szögeinek összege
Tétel:
Az „n” oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: (n-2) szer 180 fok
A konvex sokszög külső szögeinek összege 360 fok.
A háromszög oldala és szemközti szöge
Tétel:
Bármely háromszögben két oldal közül a hosszabb oldallal szemközt nagyobb szög van.
A mellékszögek szögfelezői merőlegesek egymásra
Tétel:
A mellékszögek szögfelezői merőlegesek egymásra.
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást
Tétel:
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. (Ez a pont a háromszögbe
írható kör középpontja.)
A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást
Tétel:
A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. (Ez a pont a háromszög
köré írható kör középpontja.)
A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást
Tétel:
A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a háromszög
magasságvonalának nevezzük.
A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást
Tétel:
A háromszög súlyvonalai egy pontban (2 : 1 arányban) metszik egymást.

Thalész tétel és megfordítása
Tétel:
Ha egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját összekötjük a kör kerületének bármely
más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.
Bizonyítás:
1) Rajzoljunk egy O középpontú kört. A körvonal P pontját kössük össze az átmérő
végpontjaival és a középponttal.
-50-



2) Látható, hogy AO egyenlő r, BO egyenlő r és PO egyenlő r, és az AOP háromszög
egyenlő szárú.
3) Felhasználjuk a bizonyított tételt, mely szerint: az egyenlő szárú háromszög alapon
fekvő szögei egyenlők.
4) Ezért az AOP háromszögben alfa egyenlő alfa vesszővel
5) A BOP háromszög is egyenlő szárú, ezért béta egyenlő béta vesszővel
6) Bizonyítottuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180 fok
7) Az ábra szerint: 2 alfa meg 2 béta egyenlő 180 fok, ezt kettővel osztva alfa meg béta
egyenlő 90 fok. Alfa meg béta van az átmérővel szemben, tehát a háromszög valóban
derékszögű.
A síkidom merőleges vetületének területe
Tétel:
Ha két sík hajlásszöge alfa, akkor az egyik síkban fekvő háromszög területének cosinus alfaszorosa a másik síkon lévő merőleges vetület háromszög területe.
Az érintőnégyszögek tétele
Tétel:
Azok a konvex négyszögek, melyeknek oldalai egy kör egymáshoz csatlakozó érintői,
érintőnégyszögek. Ezekben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő.
Az érintőnégyszögek tételének megfordítása
Tétel:
Ha egy konvex négyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az
érintőnégyszög.
A húrnégyszögek tétele
Tétel:
Ha egy konvex négyszög köré kör írható, vagyis húrnégyszög, akkor a két-két szemközti
szögének összege egyenlő, azaz 180 fok.
A húrnégyszögek tételének megfordítása
Ha egy konvex négyszögben a két-két szemközti szög összege egyenlő- azaz 180 fok- akkor
az húrnégyszög.
A paralelogramma középpontosan szimmetrikus
Tétel:
Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha középpontosan szimmetrikus.
Első állítás: a paralelogramma középpontosan szimmetrikus.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Második állítás: paralelogramma középpontosan szimmetrikus. Ha egy négyszög
középpontosan szimmetrikus, akkor az paralelogramma, azaz szemközti oldalai
párhuzamosak.
-51-



A paralelogramma középvonalára vonatkozó tétel
Tétel:
A paralelogramma középvonala párhuzamos a nem felezett oldalakkal és egyenlő azokkal.
A háromszög középvonalára vonatkozó tétel
Tétel:
A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és feleannak.
A trapéz középvonalára vonatkozó tétel
Tétel:
A trapéz (szárak felező pontjait összekötő) középvonala párhuzamos a nem felezet oldalakkal
(az alapokkal), és hossza az alapok számtani közepe.
A középponti szög és a hozzá tartozó ív
Tétel:
Egy körben a középponti szög nagysága és a hozzá tartozó ív nagysága egyenesen arányosak.
A középponti szög és a hozzá tartozó körcikk
Tétel:
Egy körben a középponti szög nagysága és a hozzá tartozó körcikk területe egyenesen
arányosak.
A „látószög” tétele
Tétel:
A sík azon pontjainak halmaza, amelyekből egy adott szakasz adott konvex szögben látszik,
két szimmetrikus körív (látószögkörív). Az adott szakasz a két szimmetrikus körív közös
húrja. Ennek végpontjai nem tartoznak a látószögkörívhez.
A középponti és kerületi szögek tétele
Tétel:
Egy körben valamely középponti szög kétszerese az ugyanazon az íven nyugvó bármely
kerületi szögnek.
A háromszögek egybevágóságának alapesetei
Tétel:
Két háromszög egybevágó, ha
a) oldalaik páronként egyenlők, vagy
b) két oldal és az általuk közrefogott szög, vagy
c) egy oldal és a rajta nyugvó két szög, vagy
d) ha két oldal, s ezek közül a nagyobbikkal szembefekvő szög,
a két háromszögben páronként egyenlő.
-52-



A párhuzamos szelők tétele
Tétel:
Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok
aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő megfelelő szakaszok arányával.
A párhuzamos szelők tételének megfordítása
Tétel:
Ha egy szög száraiból két egyenes olyan szakaszokat vág le, amelyeknek – mindkét száron a
csúcstól számított – aránya egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.
A középpontos hasonlóság tulajdonságai
Tulajdonságok:
A középpontos hasonlóság:
a) A hasonlóság középpontja fixpont.
b) Ha az egyenes átmegy a középponton, akkor a képe önmaga.
c) Ha az egyenes nem illeszkedik a középpontra, akkor az egyenes és a képe
párhuzamos.
d) Szögtartó
e) Aránytartó, azaz bármely szakasz képének és az eredetinek az aránya ugyanaz.
A szögfelező osztásaránya
Tétel:
Bármely háromszög egyik szögének belső szögfelezője a szemközti oldalt a szöget alkotó két
oldal arányában osztja.
A háromszögek hasonlóságának alapesetei
Tétel:
Két háromszög hasonló, ha
a) a megfelelő oldalaik aránya egyenlő, vagy
b) két-két megfelelő oldaluk aránya és az általuk közbezárt szög egyenlő, vagy
c) két-két szögük páronként egyenlő, vagy
d) két-két megfelelő oldaluk aránya, s ezek közül a nagyobbikkal szemben fekvő szögük
egyenlő.
A négyszögek hasonlóságának alapesetei
Tétel:
Két négyszög hasonló:
a) ha a megfelelő oldalaik aránya egyenlő, és a megfelelő szögeik egyenlők,
b) ha a megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik aránya egyenlő.

-53-



A gúla alappal párhuzamos síkmetszete
Tétel:
A gúla alaplapjának (illetve bármely síkmetszetének) és a vele párhuzamos síkmetszetének a
területe úgy aránylik egymáshoz, mint a csúcstól mért távolságaik négyzete.
Hasonló gúlák térfogatának aránya
Tétel:
A hasonló gúlák térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság arányának köbével
A befogótételek
Tétel:
A derékszögű háromszögben a befogó az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges
vetületének a mértani közepe.
A magasságtétel
Tétel:
A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogó (magasság osztotta)
két szeletének mértani közepe.
m egyenlő négyzetgyök alatt x szer y
A kör érintője és a szelő szakaszai
Tétel:
Ha egy külső pontból a körhöz érintőt és e pontból egy tetszőleges szelőt húzunk, akkor az
érintőszakasz a ponttól a metszéspontokig tartó szelőszakaszok mértani közepe.
e egyenlő négyzetgyök alatt a szor b
Pitagorasz tétele
Tétel:
A derékszögű háromszögben a két befogóra rajzolt négyzet területének összege egyenlő az
átfogóra rajzolt négyzet területével
a négyzet meg b négyzet egyenlő c négyzet
Pitagorasz tételének megfordítása
Tétel:
Ha egy háromszögben van két olyan oldal, melyeknek négyzetösszege megegyezik a
harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
Két vektor összegének egy harmadikkal való skalárszorzata
Tétel:
Adott a vektor, b vektor és c vektorok esetén az
-54-



( a vektor meg b vektor) szor c vektor egyenlő a vektor szor c vektor meg b vektor szor c
vektor,
Vagyis két vektor összegének egy harmadikkal való skaláris szorzata széttagolható.
Vektorműveletek koordinátákkal
Tétel:
Az a vektor(a1, a2) és uunderlineb(b1, b2) helyvektorok összegének koordinátái:
A vektor meg b vektor(a1 meg b1;a2 meg b2)
Két vektor skalárszorzata mikor nulla?
Tétel:
Az a vektor és a b vektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor nulla, ha azok merőlegesek
egymásra.
Két vektor skalárszorzata koordinátáival
Tétel:
Az a vektor(a1,a2) és a b vektor(b1,b2) helyvektorok skalárszorzata koordinátákkal:
a vektor szor b vektor egyenlő a1 szer b1 meg a2 ször b2
A vektorösszeg számmal szorzása disztributív
Tétel:
Ha adott a vektor(a1,a2) és b vektor(b1,b2) helyvektor és lambda skalár, akkor
Lambda szor(a vektor meg b vektor) koordinátái:
[lambda szor(a1 meg b1); lambda szor(a2 meg b2)]
A háromszög trigonometrikus területképletei
Tétel:
Ha a, b egy háromszög két oldala és gamma az általuk bezárt szög, akkor a terület: t egyenlő
(a szor b szer sin gamma) per 2.
Szögfüggvények pótszöges összefüggései
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Tétel:
Egy hegyesszög szinusza a pótszögének koszinuszával egyenlő.
Egy hegyesszög koszinusza a pótszögének szinuszával egyenlő.
Egy hegyesszög tangense a pótszögének kotangensével egyenlő.
Egy hegyesszög kotangense a pótszögének tangensével egyenlő.
Szögfüggvények közti pitagoraszi összefüggés
Tétel:
Minden valós x-re fennáll, hogy szinusz négyzet x meg koszinusz négyzet x egyenlő 1.
-55-



A negatív szögek szögfüggvényei
Tétel:
A pozitív és negatív forgásszögek szögfüggvényei közti összefüggések:
cos(-alfa) egyenlő cos alfa,
sin(-alfa) egyenlő -sin alfa,
tg(-alfa) egyenlő –tg alfa,
ctg(-alfa) egyenlő –ctg alfa
A háromszög oldala, szemközti szöge, a köré írt kör
Tétel:
Egy háromszög egyik (a) oldala, az oldallal szemközti (alfa) szöge, és a köré írt kör (r) sugara
között a következő összefüggés áll fenn:
sin alfa egyenlő a per 2r
A szinusztétel
Tétel:
Bármely háromszögben két oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszának
arányával: a per b egyenlő sin alfa per sin béta.
A koszinusztétel
Tétel:
Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal
négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres
szorzatát, azaz: c négyzet egyenlő a négyzet meg b négyzet – 2ab szer cos gamma.
Addíciós tételek cos(alfa plusz mínusz béta)
Tétel:
Bármely alfa és béta forgásszög esetén fennáll:
cos (alfa-béta) egyenlő cos alfa szor cos béta meg sin alfa szor sin béta
cos (alfa meg béta) egyenlő cos alfa szor cos béta - sin alfa szor sin béta
Addíciós tételek sin(alfa plusz mínusz béta)
Tétel:
Bármely alfa és béta szög esetén fennáll:
sin(alfa-béta) egyenlő sin alfa szor cos béta – cos alfa szor sin béta
sin(alfa meg béta) egyenlő sin alfa szor cos béta meg cos alfa szor sin béta
Addíciós tételek sin(alfa plusz mínusz béta) cos(alfa plusz mínusz béta)
Tétel:
Bármely alfa és béta szög esetén fennáll:
sin(alfa plusz mínusz béta) egyenlő sin alfa szor cos béta plusz mínusz cos alfa szor sin béta
cos (alfa plusz mínusz béta) egyenlő cos alfa szor cos béta plusz mínusz sin alfa szor sin béta
-56-



Addíciós tételek tg(alfa plusz mínusz béta)
Tétel:
Bármely alfa és béta szög esetén fennáll:
tg(alfa plusz mínusz béta) egyenlő (tg alfa plusz mínusz tg béta) egész alatt per 1 plusz
mínusz tg alfa plusz mínusz tg béta, ha
alfa nem egyenlő pí per 2 meg k szor pí és
béta nem egyenlő pí per 2 meg m szer pí, valamint
alfa meg béta nem egyenlő pí per 2 meg n szer pí, ahol k, m, n egészek.
Addíciós tételek, kétszeres szögek
Tétel:
Bármely alfa és béta szög esetén fennáll:
sin(2 szer alfa) egyenlő 2 szer sin alfa szor cos alfa
cos(2 szer alfa) egyenlő cos négyzet alfa – sin sin négyzet alfa
tg(2 szer alfa) egyenlő 2 tg alfa per 1- tg négyzet alfa, ha alfa nem egyenlő pí per 4 meg k
szor pí per 2, ahol k egész.
Hasonló háromszögek és sokszögek területe
Tétel:
Két hasonló háromszög, illetve sokszög területének aránya megegyezik a hasonlóság
arányának a négyzetével.
A hasáb térfogata
Tétel:
A T alapterületű, m magasságú hasáb térfogata az alapterület és a magasság szorzataként
számítható ki.
V egyenlő T szer m
A henger térfogata
Tétel:
A T alapterületű, m magasságú henger térfogata az alapterület és a magasság szorzataként
számítható ki.
V egyenlő T szer m
A gúla térfogata
Tétel:
A T alapterületű, m magasságú gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a
harmadaként számítható ki.
V egyenlő (T szer m) per 3

-57-



A kúp térfogata
Tétel:
A T alapterületű, m magasságú kúp térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a
harmadrésze.
V egyenlő (T szer m) per 3
A csonkagúla térfogata
Tétel:
Ha a csonkagúla alaplapjainak területe t és T, magassága m, akkor térfogata:
V egyenlő m per3 szor(T meg négyzetgyök alatt T szer t meg t)
A csonkagkúp felszíne
Tétel:
Ha a csonkakúp alaplapjának sugara R, fedőlapjának sugara r, alkotója a, akkor a felszíne:
A egyenlő R négyzet szer pí meg r négyzet szer pí meg (R meg r) szer pí szer a
A csonkakúp térfogata
Tétel:
Ha a kör alaplapú csonkakúp alaplapjainak sugara r és R, magassága m, akkor a térfogata:
V egyenlő (m szer pí) per 3 szor(R négyzet meg R szer r meg r négyzet)
A gömb térfogata
Tétel:
Az R sugarú gömb térfogata:
V egyenlő (4 pí) per 3 szer R a köbön
A gömb felszíne
Tétel:
Az R sugarú gömb felszíne:
A egyenlő 4 szer R négyzet szer pí
Két pont távolsága koordinátáiból
Tétel:
Az A(a1,a2) és a B(b1,b2) pontok távolságát a
d egyenlő négyzetgyök alatt (b1-a1) a négyzeten meg (b2-a2) a négyzeten
képlet segítségével lehet kiszámítani.
A szakasz felezőpontjának koordinátái
Tétel:
Az A(a1,a2) és a B(b1,b2) pontok által meghatározott szakasz F(f1,f2) felezőpontjának
koordinátáit az
-58-



f1 egyenlő (a1 meg b1) per 2
f2 egyenlő (a2 meg b2) per 2
képlet segítségével lehet kiszámítani.
A szakasz harmadoló pontjainak koordinátái
Tétel:
Az A(a1,a2) és a B(b1,b2) pontok által meghatározott szakasz harmadoló pontjainak
H(h1,h2) és K(k1,k2) koordinátáit a
h1 egyenlő (2a1 meg b1) per 3
h2 egyenlő (2a2 meg b2) per 3
k1 egyenlő (a1 meg 2b1) per 3
k2 egyenlő (a2 meg 2b2) per 3
képletek segítségével lehet kiszámítani.
A háromszög súlypontjának koordinátái
Tétel:
Ha a háromszög csúcspontjainak koordinátái A(a1,a2), B(b1,b2) és C(c1,c2), akkor az S
súlypontjának S(s1,s2) koordinátáit az
s1 egyenlő (a1 meg b1 meg c1) per 3
s2 egyenlő (a2 meg b2 meg c2) per 3
képletek adják meg.
A szakasz osztó pontjainak koordinátái
Tétel:
Az A(a1,a2) és a B(b1,b2) pontok által meghatározott szakasz m:n arányában osztó pontjának
P(x0,y0) koordinátáit, ha AP:BP egyenlő m:n, akkor az
x0 egyenlő (n szer a1 meg m szer b1) per m meg n
y0 egyenlő (n szer a2 meg m szer b2) per m meg n
képlet segítségével lehet kiszámítani.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Az egyenes irányvektoros egyenlete
Tétel:
A P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2) irányvektorú egyenes egyenlete:
v2 ször (x-x0) egyenlő v1 szer (y-y0)
Az egyenes normálvektoros egyenlete
Tétel:
A P0(x0,y0) ponton átmenő n vektor(n1,n2) normálvektorú egyenes egyenlete:
n1 szer(x-x0) meg n2 ször (y-y0) egyenlő nulla

-59-



Az egyenes iránytényezős egyenlete
Tétel:
A P0(x0,y0) ponton átmenő, adott m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete:
y-y0 egyenlő m szer (x-x0)
Az egyenes és a kétismeretlenes egyenlet
Feltétel:
Mi a feltétele annak, hogy az A szor x meg B szer y meg C egyenlő nulla kétismeretlenes
egyenlet egyenes egyenlete legyen?
Azt kell megvizsgálnunk, hogy az A, a B és a C milyen számok lehetnek.
a) A és B egyszerre nem lehet nulla, mert akkor ellentmondásra jutunk, ha C nem
egyenlő 0. Ha C egyenlő 0, akkor 0 egyenlő 0 és ez nem egyenes egyenlete.
b.1) Ha A egyenlő 0 és B nem egyenlő 0, akkor az egyenes párhuzamos az x tengellyel
(m egyenlő tg alfa egyenlő 0)
b.2) Ha C egyenlő 0 is fennáll, akkor az egyenes illeszkedik az x tengelyre.
c.1) Ha B egyenlő 0, és A nem egyenlő 0, akkor az egyenes párhuzamos az y tengellyel
(m és a tg alfa nincs értelmezve)
c.2) Ha C egyenlő 0, akkor az egyenes illeszkedik az y tengelyre.
d) Ha C egyenlő 0, valamint A és B egyszerre nem nulla is fennáll, akkor az egyenes
illeszkedik az origóra.
e) Ha egyik együttható sem nulla, akkor az egyenes általános helyzetű, azaz az egyik
tengellyel sem párhuzamos, és az origón sem megy át.
Vektorok párhuzamossága és merőlegessége
Tétel:
Ha két vektor párhuzamos, akkor megfelelő koordinátáik egymásnak lambdaszorosai.
Ha két vektor merőleges egymásra, és mindkettőnek van iránytangense, akkor azok
egymásnak ellenkező előjelű reciprokai.
Egyenesek párhuzamossága és merőlegessége
Tétel:
Ha két egyenes párhuzamos, akkor irányvektoraik párhuzamosak, illetve ha létezik, akkor
meredekségük egyenlő.
Ha két egyenes merőleges egymásra, akkor irányvektoraik is merőlegesek egymásra, azaz
skalárszorzatuk 0, ha meredekségeik léteznek, akkor azok szorzata -1.
A kör egyenlete
Tétel:
Az r sugarú kör egyenlete, ha a középpontja a C(u,v) pontban van, akkor
(x-u) a négyzeten meg (y-v) a négyzeten egyenlő r négyzet
Speciális esetben, ha a kör az origóban van: x négyzet meg y négyzet egyenlő r négyzet.

-60-



A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet
Feltétel:
Mi a feltétele annak, hogy az
A szor x négyzet meg B szer y négyzet meg C szer x meg D szer y meg E szer xy meg F
egyenlő 0
kétismeretlenes másodfokú egyenlet a kör egyenlete legyen?
Levezetés:
1) Írjuk fel az általános helyzetű kör egyenletét:
(x-u) a négyzeten meg (y-v) a négyzeten egyenlő r négyzet. Végezzük el a kijelölt
négyzetre emelést. Rendezzük, csoportosítsuk: ez lesz a I. egyenlet.
2) A feltételben adott egyenletet osszuk el A nem egyenlő nullával: ez lesz a II. egyenlet
3) Hasonlítsuk össze a kapott két egyenletben a megfelelő változók együtthatóit:
Az x négyzet együtthatója az (I.)-ben: 1, a (II.)-ben:1
Az y négyzet együtthatója az (I.)-ben: 1, a (II.)-ben:B per A
Ez azt jelenti: az A egyenlő B-nek teljesülnie kell.
4) Az x együtthatója az (I.)-ben: -2u, a (II.)-ben: C per A
Az y együtthatója az (I.)-ben: -2v, a (II.)-ben: D per A
Azaz az elsőfokú tagok együtthatója bármilyen szám lehet, mint látható, ezek
határozzák meg a kör középpontját.
5) az xy együtthatója az (I.)-ben:0, a (II.)-ben E per A,
ez azt jelenti: a (II.) egyenletben nem szerepelhet xy-os tag.
6) Az első két feltétel teljesülése – hogy a vegyes kétismeretlenes másodfokú egyenlet
kört ad-e – az egyenlet megfigyelésekor „ránézésre” megállapítható.
7) A harmadik feltétel az, hogy a „teljes négyzetté” –egészítés után a jobb oldalon
pozitív számot kapjunk, hiszen az r négyzet pozitív.
Ez „ránézésre” nem biztos, hogy megállapítható, hanem a teljes négyzetté egészítés
után látható.
8) Ezzel elemeztük a lehetséges eseteket.
A parabola csúcsponti egyenlete
Tétel:
A parabola csúcsponti (tengelyponti) egyenlete, ha a szimmetriatengelye az y tengely:
x négyzet egyenlő 2py.
Ha a szimmetriatengelye az x tengely, akkor:
Y négyzet egyenlő 2px.
Csúcspontja az origóban van.
A parabola és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet
Feltétel:
Mi a feltétele annak, hogy az
A szor x négyzet meg B szer y négyzet meg C szer x meg D szer y meg E szer xy meg F
egyenlő 0
kétismeretlenes másodfokú egyenlet parabola egyenlete legyen?
Levezetés:
1) Írjuk fel az általános helyzetű parabola egyenletét
Ha a tengelye párhuzamos az y tengellyel, akkor:
-61-



(x-u) a négyzeten egyenlő 2p szer (y-v)
Ha a tengelye párhuzamos az x tengellyel, akkor:
(y-v) a négyzeten egyenlő 2p szer (x-u)
2) A levezetést az első esetre adjuk meg részletesen. Végezzük el a kijelölt négyzetre
emelést, beszorzást. Rendezzük, csoportosítsuk. Ez lesz az (I.)-es egyenlet.
3) A feltételben megadott egyenletet osszuk el A nem egyenlő 0-val. Ez lesz a (II.)-es
egyenlet.
4) Hasonlítsuk össze az I. és a II.-ben a megfelelő változók együtthatóit:
Az x négyzet együtthatója az (I.)-ben: 1, a (II.)-ben:1
Az y négyzet együtthatója az (I.)-ben: 0, a (II.)-ben:B per A
5) Ez azt jelenti, a (II.) egyenletben nem szerepelhet y négyzetes tag.
Az x együtthatója az (I.)-ben: -2u, a (II.)-ben: C per A
Az y együtthatója az (I.)-ben: -2v, a (II.)-ben: D per A
Ezek tetszőleges valós számok lehetnek, de D nem egyenlő 0.
6) Az xy együtthatója az (I.)-ben: 0, a (II.)-ben E per A, ez azt jelenti: a (II.)
Egyenletben nem szerepelhet xy-os tag. A konstansok összege az (I.)-ben
u négyzet meg 2pv, a (II.)-ben F per A
7) Összefoglalva: az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolát ad az a kétismeretlenes
vegyes másodfokú egyenlet, ahol teljesülnek a következők:
a) A nem egyenlő 0, azaz szerepel benne az x négyzeten tag,
b) B egyenlő 0, azaz nem szerepelhet benne y négyzetes tag
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


c) C tetszőleges szám lehet
d) D nem egyenlő 0, azaz szerepel benne y-os tag, hiszen a p-nek léteznie kell
e) E egyenlő 0, azaz nem szerepelhet benne xy-os tag
f) F tetszőleges szám lehet
8) Ezzel levezettük és értelmeztük az első esetet, hasonló logikával belátható a második eset
is.
Az ellipszis középponti egyenlete
Tétel:
Az ellipszis középponti egyenlete:
(x négyzet per a négyzet) meg (y négyzet per b négyzet) egyenlő 1, ahol 2a az ellipszis
nagytengelye, 2b a kistengely.
A hiperbola középponti egyenlete
Tétel:
A hiperbola középponti egyenlete:
(x négyzet per a négyzet)-(y négyzet per b négyzet) egyenlő 1, ahol 2a a hiperbola valós
tengelye, 2b pedig a képzetes tengely.
A konjunkció művelet kommutatív
Tétel:
A konjunkció kommutatív művelet. A konjunkció definíciója szerint a művelet csak akkor
igaz, ha mind a két kijelentés igaz.
-62-



A konjunkció asszociatív
Tétel:
A konjunkció asszociatív művelet. A konjunkció definíciója szerint a művelet csak akkor
igaz, ha mind a két kijelentés igaz.
A diszjunkció művelet kommutatív
Tétel:
A diszjunkció kommutatív művelet. A diszjunkció definíciója szerint a művelet csak akkor
hamis, ha mind a két kijelentés hamis.
A diszjunkció művelet asszociatív
Tétel:
A diszjunkció asszociatív művelet. A diszjunkció definíciója szerint a művelet csak akkor
hamis, ha mind a két kijelentés hamis.
A konjunkció negációja
Tétel:
negáció(P konjunkciója Q) egyenlő negáció P diszjunkciója negáció Q

-63-



III. RÉSZ
MATEMATIKAI ELJÁRÁSOK
Halmazok ábrázolása Venn-diagrammon
A halmazokat szemléletesebbé tehetjük, ha egy önmagát nem metsző zárt görbével
ábrázoljuk. Az alaphalmazokat körrel, ellipszissel, téglalappal szoktuk jelölni.
A nevét a vonal közelébe írjuk.
A tartomány belsejébe beírjuk az elemeket:
- konkrétan
- csak pontokkal jelezzük
- az üres halmazt áthúzott 0-val jelöljük (ez nem azt jelenti, hogy ez az áthúzott 0 a
halmaznak
eleme).
Egy elemet egyszer tüntetünk fel. Ha egy elemet többször jelölünk, akkor sem gyarapodik a
halmaz elemeinek a száma. A halmazok elhelyezése, egymáshoz való viszonya tükrözze a
halmazok közötti kapcsolatot.
Teljes indukció
A bizonyításoknál a következtetés helyes szabályai alapján a feltételekből ítéleteken keresztül
eljutunk az igazoláshoz, a konklúzióhoz.
Következtetés: Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők. Ha az ABC
háromszög AB és AC oldala egyenlő, akkor a BC oldalon lévő szögek egyenlők.
Az indukció: olyan bizonyítási módszer, amikor az egyes esetek megfigyeléséből
következtetünk valamely általános törvényszerűségre. Ha néhány esetre igaz egy tény, abból
még nem lehet állítani, hogy mindig igaz a feltevésünk.
Teljes indukció: valamely állítás minden (n eleme N plusz)-ra igaz, ha a következők
teljesülnek:
a) n egyenlő 1-re igaz az állítás
b) és tetszőleges k-ra vonatkozó érvényességéből be tudjuk bizonyítani az állítás
helyességét, akkor minden (n eleme N plusz)-ra igaz a tétel.
Halmazok megadása különféle jelölésekkel
A halmaz és a halmaz jelölése a matematikában alapfogalom. A halmazokhoz tartozó
dolgokat a halmazok elemeinek nevezzük. Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha
egyértelműen eldönthető, hogy egy bizonyos dolog elem-e a halmaznak vagy nem.
A halmazmegadás (néháy) módja:
1) Felsorolással: a) minden elemet felsorolunk
b) a felsorolásnál, ha úgy véljük, hogy a szabályosság nyilvánvaló,
akkor kihagyhatunk elemeket.
2) Egyértelmű meghatározással
3) Megadjuk az alaphalmazt, s ebből választjuk ki a halmazhoz tartozó elemeket,
egyértelmű szabályai alapján.
4) Ábrákkal: a) Venn-diagrammal: a zárt görbe belsejében jelöljük az elemeket
-64-



vagy a meghatározásukat, intervallumokkal
b) Geometriai rajzzal: azaz a körgyűrű határai és belső pontjai.
A véges halmaz részhalmazainak száma
1) A halmazt osszuk két részre úgy, hogy kiválasztunk belőle elemeket és lesz az egyik
részhalmaz a másik részhalmazt alkossa a többi elem.
2) Pl. legyen A egy 4 elemű halmaz
- 4 elemet egyféleképpen lehet lehet kiválasztani, ennek „párja” az üres halmaz
- 1, illetve 3 elemet négyféleképpen lehet kiválasztani
- 2 elemet, illetve másik 2 elemet háromféleképpen lehet kiválasztani
Összesen tehát 16 (azaz 2 a negyediken) különböző részhalmazt kapunk
Bebizonyítható, hogy n elemű halmaz összes részhalmazainak száma 2-nek annyiadik
hatványa, ahány elemű a halmaz.
3) Kombinatorikai módszerrel
Természetes számok prímtényezőkre bontása
1) A természetes számok közül az összetett számokra végezzük el a prímtényezős
felbontást.
2) Az összetett számok azok az 1-nél nagyobb egészek közül, melyeknek van valódi
osztójuk,azaz az 1-en és önmagukon kívül más egész számokkal is oszthatók.
3) Ismerni kell a prímszámokat! A négyjegyű függvénytáblázat 53.oldalán
megtalálhatóak az 1002-nél kisebb prímek. Ha nem, tudjuk, hogy egy szám prím-e,
akkor ki kel próbálni, hogy osztható-e – sorjában a prímszámokkal. Elegendő a
kísérletet az adott szám négyzetgyökéig elvégezni. Ha addig nem találunk osztót,
akkor a vizsgált szám prím.
4) Az összetett számot osszuk el valamelyik prímosztójával. Szokás sorban haladni
(2,3,5,7,11,13,17,19,23,..),de nem kötelező.
- Ha elosztottuk és a hányados prím, akkor készen vagyunk.
- Ha összetett számot kapunk, akkor folytatjuk az eljárást
A prímtényezős felbontást hatványokban szokás felírni.
Megjegyzések
a) A 0-nak végtelen sok osztója van, így nem egyértelmű a szorzatként való felírás
b) Az 1-nek csak egy osztója van, tehát nem soroljuk sem az összetett, sem a
prímszámok közé.
c) A prímszámoknak nincs valódi osztójuk, mert csak 1-el és önmagukkal oszthatók,
tehát pontosan két osztójuk van. A prímszámok nem bonthatók tovább tényezőkre a
természetes számok halmazában.
Számok felírása kettes számrendszerben
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Egyik módszer:
A helyérték alapján
1. Írjuk fel a helyértékeket az adott számig. Legyen a szám pl.100, tehát: 2 a nulladikon
egyenlő 1, 2 az elsőn egyenlő 2, 2 a másodikon egyenlő 4, 2 a harmadikon egyenlő 8,
2 a negyediken egyenlő 16, 2 az ötödiken egyenlő 32, 2 a hatodikon egyenlő 64, 2 a
hetediken egyenlő 128 már nem kell, mert több mint száz.
-65-



2. Válasszuk ki az adott számnál éppen kisebb helyiértéket, most 64 egyenlő 2 a
hatodikon, a számunk 7 jegyű lesz (kitevő meg 1). A 7. jegy 1, ezzel felírtuk a 64-et,
marad 100-64 egyenlő 36. Ebből a 2 az ötödiken egyenlő 32 kitelik, így a 6. jegy 1,
marad még 36-32 egyenlő 4, így az 5. jegy 0, és a 4. jegy 0, a 3. jegy 1, mert 2 a
másodikon egyenlő 4, és a 2. és 1.jegy is 0. Tehát: 100 (10-es alapú számrendszerben)
egyenlő 1100100 (kettes alapú számrendszerben).
Második módszer:
Az osztás maradéka alapján
Osszuk el az adott számot 2-vel, a maradék lesz az egyesek helyén lévő számjegy. A
hányadost osszuk el ismét 2-vel, ez a maradék lesz a következő (egy hellyel balra álló)
számjegy. A hányadost osszuk el ismét 2-vel, az itt kapott maradék lesz a következő jegy és
így tovább. A maradékok fordított sorrendben adják a keresett szám kettes számrendszerbeli
alakját.
Számok legnagyobb közös osztójának kiszámítása
1. Két vagy több szám legnagyobb közös osztóját megkapjuk, ha a számok
törzstényezős felbontása alapján kiválasztjuk a valamennyi számban előforduló
törzsszámokat (azaz a közös prímhatványokat az előforduló legkisebb kitevőn), s
ezeket összeszorozzuk.
2. Két vagy több szám legnagyobb közös osztóját megkapjuk az úgynevezett Euklidesz
algoritmussal: A nagyobb számokat osszuk el a kisebbekkel. Ha maradék nélkül
megvan benne, akkor a kisebb szám a legnagyobb közös osztó.
Ha ennek az osztásnak van maradéka, akkor az osztót osszuk el az előbb maradékul
kapott számmal.
Ha nincs maradék, akkor a mostani osztó a legnagyobb közös osztó.
Ha az osztást addig kell folytatnunk, hogy az osztó 1 legyen, akkor a két szám relatív
prím. Pl.:(360.420,900) A számok törzstényezős felbontásából –ha az alábbi rendben
írjuk a prímszámokat, azaz oszloponként egyenlő prímszámokat írtunk-kiválasztjuk
azokat a tényezőket, amelyek mindegyik teljes oszlopban szerepelnek. Ezek szorzata
a legnagyobb közös osztó.
Számok legkisebb közös többszöröse
1. Két vagy több szám legkisebb közös többszörösét megkapjuk, ha a számok
törzstényezős felbontásából valamennyi legalább egyszer előforduló prímszámot
kiválasztjuk (az előforduló legnagyobb kitevővel), s ezeket összeszorozzuk.
2. A prímtényezős felbontáshoz hasonló módszerrel: írjuk egymás mellé a számokat.
Keressünk olyan számot (nem fontos prímszámot keresni), amivel legalább két szám
osztható, ezt jegyezzük fel (a vonal mellé).
A második sorba írjuk fel a szám alá a hányadost. Ha nem osztható valamelyik szám,
akkor a számot ismételten írjuk le. Keressünk újabb osztót, amivel legalább két szám
osztható. Ha van , megismételjük az előbbi eljárást.
Ha nincs ilyen szám, akkor az oldalra kiírt számok és az utolsó sorban lévő számok
szorzata adja a legkisebb közös többszöröst.
-66-



Pl.:(360.420,900) A számok törzstényezős felbontásából –ha az alábbi rendben írjuk
a prímszámokat, azaz oszloponként egyenlő prímszámokat írtunk-mindegyik
oszlopot számításba vesszük. Ezek szorzata adja a legkisebb közös többszöröst.
Műveletek egész kifejezésekkel
Az olyan algebrai kifejezéseke, amelyekben véges számú összeadás és szorzás, valamint
nemnegatív kitevőjű hatványozás szerepel - azaz a nevezőben nincs változó-, egész
kifejezéseknek nevezzük.
Egytagúak azok a z egész kifejezések, amelyekben csak szorzás (nemnegatív kitevőjű
hatványozás) szerepel.
Egynemű két egytagú kifejezés, ha legfeljebb az együtthatóban különböznek. Minden
betűtényezőben és azok hatványkitevőiben pontosan megegyeznek.
Összeadás, kivonás: Az összeadást és a kivonást közös néven összevonásnak nevezzük. Csak
egynemű algebrai kifejezéseket lehet összevonni. Az együtthatókat összevonjuk, a
betűkifejezést leírjuk.
Szorzás: Egyneműek szorzása tulajdonképpen hatványozás.
Különneműeket úgy szorzunk, hogy
- először megállapítjuk az előjelet
- az együtthatókat összeszorozzuk,
- az egyenlő alapú hatványokat összeszorozzuk (a kitevőket összeadjuk, az 1-es kitevőt
is vegyük számításba)
- a többi tényezőt szorzótényezőként leírjuk.
Többtagút egytagúval úgy szorzunk, hogy minden egyes tagot megszorozzuk a szorzóval.
Többtagú kifejezést úgy szorzunk többtagúval, hogy az egyik zárójelben levő tényező
mindegyik tagját megszorozzuk a másik tényező minden tagjával.
Műveletek törtkifejezésekkel
Azokat az algebrai kifejezéseket, amelyeknek a nevezőjében változó, azaz legalább elsőfokú
polinom szerepel, törtkifejezéseknek nevezzük. (A törtkifejezés két polinom hányadosa, a
számláló lehet konstans is.)
1. Az algebrai tört nevezője 0 értéket nem vehet fel. Ahol a nevező nulla lenne, ott nincs
értelmezve a tört.
2. Az algebrai törtekkel a műveleteket a racionális számokra érvényes műveleti
szabályok alapján végezzük el.
3. Egyenlő nevezőjű algebrai törteket úgy adunk össze és vonunk ki (azaz vonunk
össze), hogy a számlálókat összevonjuk és a közös nevezőt változatlanul leírjuk.
4. A különböző nevezőjű algebrai törteket először közös nevezőre hozzuk, bővítjük a
törteket, azaz a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a nullától különböző polinommal
megszorozzuk. Ha az eredeti nevezők egytagúak, akkor a legkisebb közös többszörös
kiszámítási szabálya szerint meghatározzuk a közös nevezőt. Ha az eredeti nevezők
többtagúak, akkor igyekezzünk azokat szorzattá alakítani. A szorzatokká alakított
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


nevezőknek keressük a legkisebb közös többszörösét. Ha nincsenek közös tényezők
az eredeti nevezőkben, akkor az eredeti nevezők szorzata adja a közös nevezőt.
5. Algebrai törteket úgy szorzunk, hogy a számlálókat összeszorozzuk és a nevezőket is
összeszorozzuk.
-67-



6. Az algebrai törtek egyszerűsítése: tényezőkre bontjuk a számlálót és a nevezőt, és az
egyenlőalapú hatványok hányadosának definíciója alapján egyszerűbb alakban írjuk
le a törtet, azaz a számlálót és a nevezőt osztjuk ugyanazzal a nullától különböző
kifejezéssel.
Törtkifejezések értelmezési tartománya
A nullával való osztás semmilyen számhalmazon nem értelmezhető. Ezért az algebrai törtek
nevezőjét minden esetben meg kell vizsgálni, hogy az a változó(k) milyen értéknél lenne
nulla, s ezeket az értékeket ki kell zárni az értelmezési tartományból.
Ha egy egyenletben algebrai tört szerepel, illetve ha az egyenlet megoldásakor algebrai
kifejezéssel osztunk, ki kell zárni az igazsághalmazból azt az értéket, amelynél a nevező nulla
értéket venne fel.
Négyzetgyökös kifejezések értelmezési tartományának meghatározása
A négyzetgyökvonás a valós számok halmazán nem végezhető el, ha negatív számból, illetve
negatív értékeket felvevő változókból kellene négyzetgyököt vonni.
Gyökös feladatok megoldásánál a feladatmegoldás kezdeti szakaszában célszerű kizárni az
értelmezési tartományból a „meg nem felelő” értékeket, vagy megjelölni a szóba jöhető
értékeket.
Ha több négyzetgyökös kifejezés szerepel, akkor a legbővebb értelmezési tartományok
metszetét kell figyelembe venni.
A logaritmikus kifejezések értelmezési tartománya
A hatványozás általános értelmezése szerint: a az x-ediken egyenlő b, ahol x eleme R-nek
(valós számok halmazának) és az a eleme pozitív valós számok halmazának és b nagyobb,
mint 0.
A logaritmus a hatványozás egyik inverz művelete, azaz a alapú logaritmus b egyenlő x, tehát
a nagyobb, mint 0 és b nagyobb, mint 0, valamint a nem egyenlő 1, mert 1 az x-ediken
egyenlő1 minden x-re, így a kitevő nem egyértelmű.
Ezek alapján a logaritmus értelmezési tartományában csak pozitív értékek lehetnek.
Ha a logaritmus alapja a változó, az is csak pozitív lehet, de 1-el nem lehet egyenlő.
A feladatmegoldás kezdeti szakaszában meg kell állapítani az értelmezési tartomány
halmazát. A feladatmegoldás záró szakaszában a kapott eredményeket meg kell vizsgálni,
hogy a kapott eredmény eleme-e az értelmezési tartománynak, illetve a megoldás során
helyesen számoltunk-e!
Lineáris egyenletek grafikus megoldása
Tekintsük a lineáris egyenlet mindkét oldalát úgy, mint 1-1 függvény hozzárendelési
szabályát.
A lineáris egyenlet egyik oldala biztosan elsőfokú függvény, a másik oldala vagy elsőfokú
vagy konstans. Ha nullára redukáljuk, akkor az egyik oldal 0. Vagyis a g(x) egyenes egyenlő
0, ennek grafikonja az x tengely egyenese.
1. Nevezzük el a baloldalt f(x)-nek, és ábrázoljuk a koordinátarendszerben. Képe a
feltétel szerint egyenes.
-68-



2. Nevezzük el a jobboldalt g(x)-nek, és ábrázoljuk. A képe ennek is egyenes.
3. Azt kell megvizsgálni, hogy a baloldal és a jobboldal mely x-nél egyenlő, azaz a két
egyenesnek hol van a közös pontja.
4. Két egyenes kölcsönös helyzete a síkon 3 féle lehet:
a) Metszik egymást. Ekkor a metszéspont abszcisszája adja a megoldást.
b) Párhuzamos a két egyenes, tehát semmilyen x-re nem lesz közös pontjuk. Ez
azt jelenti, hogy nincs megoldása az egyenletnek, amit úgy szoktunk
mondani, hogy az egyenlet ellentmondást tartalmaz.
c) A két egyenes egybeesik, azaz az egyenlet minden x számára igaz, az ilyen
esetet azonosságnak nevezzük.
Lineáris egyenletek algebrai megoldása
1. Az egyenletek algebrai megoldásánál arra törekszünk, hogy ekvivalens
átalakításokkal az egyenlet egyik oldalán csak az ismeretlen, a másik oldalon csak
számok szerepeljenek.
2. A legelterjedtebb megoldási módszer a mérlegelv. Ennek lényege: hogy az egyenlet
mindkét oldalát „egyenlő mértékben” változtatjuk, úgy, hogy az eredeti „egyensúly”
ne boruljon fel.
Azaz szabad:
- az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot, ismeretlent, paramétert
hozzáadni (ha a szám negatív, akkor ez kivonást jelent)
- az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal, illetve
algebrai kifejezéssel szorozni. (ha a szám, illetve algebrai kifejezés 0, akkor azzal
hamis gyököt nyerhetünk)
- az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal, algebrai
kifejezéssel osztani. (ha olyan algebrai kifejezéssel osztunk, amely nulla értéket is
felvehet, akkor gyököt veszthetünk)
3. Az egyenlet megoldásaként kapott „gyök” helyességét ellenőrizni kell úgy, hogy
külön kiszámítjuk az eredeti egyenlet baloldalán álló kifejezés helyettesítési értékét,
és
külön kiszámítjuk az eredeti jobboldali kifejezés helyettesítési értékét. Ha e két érték
egyenlő, akkor a gyök valóban megoldása az egyenletnek. Ha nem egyenlő, akkor
valahol számolási hibát követtünk el, amennyiben a megoldás során ekvivalens
átalakításokat végeztünk.
4. Szöveges feladatnál ne „automatikus” helyettesítést végezzünk, hanem a „szöveg
értelmezése szerint” ellenőrizzük a megoldást!
5. A feladat megoldásának a végén szövegesen válaszoljunk a feladat szövegében feltett
kérdésre!
Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása
A lineáris egyenlőtlenséget ekvivalens átalakításokkal rendezzük át úgy, hogy a jobb oldalon
0 szerepeljen. Jelöljük a baloldalon szereplő kifejezést f(x)-szel
1. Ábrázoljuk az x vektor f(x) lineáris függvényt, ennek a képe egyenes.
2. Azt kell megvizsgálni, hogy az egyenes:
- Hol metszi az x tengelyt?
-69-



- Hol van az x tengely fölött?
- Hol van az x tengely alatt?
- Rajta van-e az x tengelyen?
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


3. Az m nem egyenlő 0-val, az egyenes metszi az x tengelyt az a pontban:
a) az m nagyobb, mint 0. Az egyenes emelkedő, tehát:
a1) f(x) nagyobb, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x nagyobb, mint a.
a2) f(x) nagyobb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x nagyobb egyenlő,
mint a.
a3) f(x) kisebb, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x kisebb, mint a.
a4) f(x) kisebb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x kisebb egyenlő,
mint
a.
b) Az m kisebb, mint 0. Az egyenes süllyedő, tehát:
b1) f(x) nagyobb, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x kisebb, mint a.
b2) f(x) nagyobb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x kisebb egyenlő,
mint a.
b3) f(x) kisebb, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x nagyobb, mint a.
b4) f(x) kisebb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: x nagyobb egyenlő,
mint a.
4. Az m egyenlő 0, az egyenes párhuzamos a tengellyel:
a) A b nagyobb, mint 0. Az egyenes az x tengely fölött van, tehát:
a1) f(x) nagyobb, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: az értelmezési tartomány
minden eleme
a2) f(x) nagyobb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: értelmezési
tartomány minden eleme
a3) f(x) kisebb, mint 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása
a4) f(x) kisebb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása
b) A b egyenlő 0. Az egyenes az x tengellyel azonos, tehát:
b1) f(x) nagyobb, mint 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása
b2) f(x) nagyobb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: értelmezési
tartomány minden eleme
b3) f(x) kisebb, mint 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása
b4) f(x) kisebb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: az értelmezési
tartomány minden eleme
c)
c1)
c2)
c3)

A b kisebb, mint 0. Az egyenes az x tengely alatt van, tehát:
f(x) nagyobb, mint 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása
f(x) nagyobb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenségnek nincs megoldása
f(x) kisebb, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: az értelmezési tartomány
minden eleme
c4) f(x) kisebb egyenlő, mint 0 egyenlőtlenség megoldása: az értelmezési
tartomány minden eleme

-70-



Lineáris egyenlőtlenségek algebrai megoldása
1. Az egy ismeretlenes egyenlőtlenségek algebrai megoldásánál arra törekszünk, hogy
ekvivalens átalakításokkal az egyenlőtlenség egyik oldalán csak az ismeretlen, a
másik oldalon pedig csak számok szerepeljenek.
2. A legelterjedtebb módszer a mérlegelv. Ennek lényege, hogy az egyenlőtlenség
mindkét oldalát „egyenlő mértékben” változtatjuk úgy, hogy az eredeti
„egyenlőtlenség iránya (értelme)” ne változzon meg.
Azaz szabad:
- az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot, hozzáadni (ha a szám
negatív, akkor ez kivonást jelent)
- az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal, illetve
algebrai kifejezéssel szorozni. (ha az algebrai kifejezés 0, akkor azzal gyököt
nyerhetünk)
- az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal, illetve
algebrai kifejezéssel osztani. (ha olyan algebrai kifejezéssel osztunk, amely nulla
értéket is felvehet, akkor gyököt veszthetünk)
- ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal, algebrai
kifejezéssel szorozzuk vagy osztjuk, akkor az egyenlőtlenség iránya megfordul.
3. Az egyenlőtlenség megoldásaként kapott intervallum, „számhalmaz”helyességét
ellenőrizni kell. Külön kiszámítjuk az eredeti egyenlőtlenség bal oldalán álló
kifejezés helyettesítési értékét és külön kiszámoljuk a jobb oldali kifejezés
helyettesítési értékét. Ha helyes számolás után e két érték között az eredeti reláció
áll fenn, akkor a gyök valóban megoldása az egyenlőtlenségnek.
Ha nem kaptunk helyes relációt, akkor valahol számolási, vagy elvi hibát követtünk
el. Végig kell gondolnunk, esetleg kiszámítanunk, hogy az eredményül kapott
intervallum többi eleme is megfelel-e a feltételeknek! Ez nyílván nem mindig
lehetséges, hiszen az intervallumnak végtelen sok eleme lehet.
4. A feladat megoldásának végén szövegesen válaszoljunk a feladat szövegében feltett
kérdésre!
Lineáris, kétismeretlenes egyenletrendszerek grafikus megoldása
1. Legyen adva egy lineáris, kétismeretlenes egyenletrendszer. A kétismeretlenes
egyenletrendszer egyenleteit rendezzük y-ra, azaz alakítsuk át úgy, hogy mindkét
egyenletben a bal oldalon csak az y ismeretlen szerepeljen! Az így kapott
kifeje4zésekkel definiáljuk az f(x) és y(x) függvényeket, ezeket ábrázoljuk. Ha
valamelyik összefüggés nem tartalmaz y-t, akkor az nem függvény, de képe a
koordinátarendszerben egy y tengellyel párhuzamos egyenes.
2. Az f(x) és g(x) függvényeket ábrázoló egyenesek lehetnek:
a) Metszők: a metszéspont abszcisszája adja az x értéket, ordinátája az y
érték
b) Párhuzamosak: az egyenletek ellentmondóak, nincs megoldás
c) Egybeesnek: végtelen sok megoldás van: az egyenes minden pontjának
koordinátái kielégítik az egyenletrendszert. Ilyenkor az egyenletek nem
függetlenek egymástól, azaz az egyik következménye a másiknak, ekkor
lényegében csak egy egyenletünk van. Az egyenes(ek) minden pontjának
koordinátái adják a megoldáshalmazt.
-71-



A lineáris, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása
Az ax meg by egyenlő c, dx meg ey egyenlő f alakúra hozható egyenletekből álló
egyenletrendszert elsőfokú – lineáris - kétismeretlenes egyenletrendszernek nevezzük feltéve,
hogy a és b, illetve d és e egyszerre nem nullák.
Ha a per d egyenlő b per e egyenlő c per f, akkor az egyik egyenlet a másiknak
következménye, azaz csak egy egyenletünk van, s ennek végtelen sok megoldása.
Ha a per d egyenlő b per e nem egyenlő c per f, akkor a két egyenlet ellentmondó, azaz nincs
olyan (x,y) rendezett számpár, amely mindkét egyenletnek megoldása lenne.
Ha a per d nem egyenlő b per e, akkor pontosan egy (x,y) rendezett számpár az
egyenletrendszer megoldása.
1. Algebrai megoldás: az elsőfokú egyismeretlenes egyenletnél leírtak alapján
ekvivalens módon alakítjuk át az egyenletet.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


2.a) Behelyettesítő módszer: az egyenletrendszer valamelyik egyenletéből kifejezzük az
egyik ismeretlent. Az így kapott kifejezést a másik egyenletbe beírjuk az ismeretlen
helyére. Ezt az egyismeretlenes egyenletet megoldjuk, majd a kapott eredményt az
eredeti egyenletbe helyettesítve megkapjuk a másik ismeretlen értékét.
2.b) Ennek a módszernek egy változata az összehasonlító módszer. Mind a két
egyenletből kifejezzük ugyanazt az ismeretlent. Az így kapott kifejezések is
egyenlők. Ezt felírva egyismeretlenes egyenletet kapunk. Kiszámítjuk a két
ismeretlent az előző módszernél leírtak szerint.
3.a) Egyenlő együtthatók módszere: ha az egyik ismeretlen együtthatói egyenlők a két
egyenletben, akkor az egyik egyenlet oldalait kivonjuk a másik egyenlet megfelelő
oldalaiból.
3.b) Ellentett együtthatók módszere: ha az egyik ismeretlen együtthatói egymásnak
ellentétjei a két egyenletben, akkor a két egyenlet megfelelő oldalait összeadjuk.
3.c) Ha egyik eset sem fordulna elő, akkor alkalmas számokkal megszorozzuk az
egyenletek mindkét oldalát, hogy elérjük a fenti két eset valamelyikét. Ilyen
alkalmas számokhoz pl. a kiszemelt változó együtthatóinak legkisebb közös
többszörösét felhasználva juthatunk.
A kivonás, illetve az összeadás után egyismeretlenes egyenletet kapunk, ezt
megoldjuk, majd kiszámítjuk a másik ismeretlent is.
Ellenőrzés után válaszoljunk a feladat szövegében feltett kérdésre!
A másodfokú egyenlet megoldása
1. Az a szor x négyzet meg bx meg c egyenlő 0 alakú egyenletet vegyes másodfokú,
egyenletnek nevezzük, ha a nem egyenlő 0.
2. Ha a egyenlő 0, akkor ez elsőfokú egyenlet.
3. A vegyes másodfokú egyenletet általában megoldóképlettel oldjuk meg,
behelyettesítünk az x1,2 egyenlő –b plusz mínusz négyzetgyök alatt b négyzet-4ac
egész alatt per 2a megoldóképletbe. Ha a négyzetgyök alatti kifejezés, a
diszkrimináns, a (b négyzet-4ac) negatív, akkor az egyenletnek a valós számok
körében nincs megoldása. Az egyenletnek komplex gyökei vannak, de ezek
kiszámításának módszere nem törzs tananyag.
Ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenletnek két egyenlő gyöke van. Ezt kétszeres
gyöknek nevezzük.
Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke van.
-72-



4.

5.
6.

Ha c egyenlő 0, akkor úgynevezett hiányos másodfokú egyenletet kapunk, melyet
nem célszerű a megoldóképlettel megoldani, hanem kiemeléssel szorzattá alakítjuk a
bal oldalt: a szor x négyzet meg bx egyenlő ax(x meg b per a) egyenlő 0. Mint
tudjuk, ez szorzat csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, tehát vagy
ax egyenlő 0, azaz x1 egyenlő 0, vagy
x meg b per a egyenlő 0, azaz x2 egyenlő –mínusz b per a.
Ha b egyenlő 0, akkor a szor x négyzet meg c egyenlő 0. Ezt tiszta másodfokú
egyenletnek nevezzük.
A kapott gyökök helyességéről győződjünk meg! Ha az eredeti egyenlet bal
oldalának helyettesítési értéke megegyezik a jobb oldal helyettesítési értékével,
akkor jó(k) a kapott gyök(ök). Válaszoljunk a feladat szövegében feltett kérdésre!

A másodfokú egyenletre visszavezethető egyenletek megoldása
Azokat az egyenleteket, amelyeket kiemeléssel x az n-ediken(a szor x a 2k-adikon meg b szer
x a k-adikon meg c) alakra lehet hozni. Az egyenletben n eleme N-nek (természetes számok
halmaza), k eleme N-nek és k nagyobb egyenlő, mint 1. Ezeket az egyenleteket meg lehet
oldani a másodfokú egyenlet megoldási eljárása alapján.
Mivel a szorzat értéke akkor nulla, ha valamelyik tényezője 0, ezért vagy az
x az n-ediken egyenlő 0, és akkor x1 egyenlő 0, x2 egyenlő 0,…, xn egyenlő 0.
Ha n egyenlő 0, akkor x a nulladikon egyenlő 1.
Az
a szor (x a k-adikon) a négyzeten meg b szer (x a k-adikon) meg c egyenlő 0
tényező (x a k-adikon)-ra nézve másodfokú egyenlet. Ezt az (x a k-adikon)-ra , mint
ismeretlenre megoldjuk. Legyen a megoldás: x1 a k-adikon egyenlő e, x2 a k-adikon egyenlő
d. Ha az egyenletnek (x a k-adikon)-ra nem lenne megoldása, akkor az eredeti egyenletnek
csak az x egyenlő 0 a gyöke, ha n nagyobb, mint 0.
Két esetet kell megkülönböztetnünk:
- ha k páratlan, akkor x1 egyenlők négyzetgyök alatt e, x2 egyenlő k
négyzetgyök alatt d
- ha k páros és e nagyobb mint 0, d nagyobb mint 0, akkor gyökvonással
kapjuk a gyököket
Ha e kisebb mint 0, és d kisebb mint 0, akkor nincs valós gyöke az: a szor (x a k-adikon) a
négyzeten meg b szer (x a k-adikon) meg c egyenlő 0 egyenletnek.
A kapott gyököket az eredeti egyenletbe behelyettesítve ellenőrizzük a megoldás(ok)
helyességét. Válaszoljunk a feladat szövegében feltett kérdésre!
Törtes egyenletre vezető szöveges feladatok megoldása
1. A szöveges feladatok megoldásánál legfontosabb, hogy megértsük a szövegben rejlő
összefüggéseket, s azokat valamilyen helyes algebrai összefüggésként,
egyenlőtlenségként, egyenlőségként fel tudjuk írni. Ha először egyenlőtlenséget
írtunk fel, akkor az összefüggések alapján írjuk fel az egyenletet.
2. A megértést elősegíti a szöveg többszöri elolvasása, a szöveg összefüggéseinek
ábrázolása.
3. Az ismeretlent jelöljük alkalmas betűvel. Keressük meg azokat a matematikai, fizikai
vagy más összefüggéseket, amelyek az ismert és az ismeretlen adatok között
fennállnak. Ezek alapján „felállítjuk az egyenletet”. Az egyenlet összefüggéseinek
-73-



feltárásához segítséget nyújthat, ha a feladatot megoldottnak tekintjük, és a
megbecsült eredménnyel próbáljuk a szöveg összefüggéseit „ellenőrizni”. Az itt
követett eljárás „mintájára” az ismeretlen alkalmazásával felírjuk az összefüggést.
4. Törtes egyenletekre vezető feladat típusok:
- egyenesvonalú egyenletes mozgási feladatok: ha a v egyenlő 3 per t vagy a t
egyenlő
3 per v összefüggések nevezőjében szerepel az ismeretlen.
- lencsék képalkotására vonatkozó feladatok, ahol az 1 per f egyenlő 1 per t meg 1
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


per k összefüggést kell alkalmazni.
- Tömeg, térfogat és sűrűség közti összefüggésre vezető feladatokban a q egyenlő m
per V, illetve V egyenlő m per q képletek nevezőjébe kerül az ismeretlen.
- Illetve minden olyan egyenlet, amikor a nevezőbe kerül az ismeretlen. Ilyenkor az
első teendőnk, hogy az értelmezési tartományból, az alaphalmazból kizárjuk azokat
az értékeket, ahol a nevező nulla lenne.
5. Az algebrai megoldás során kapott eredményeket ellenőrizni kell, úgy, hogy a kapott
eredményt a szöveg alapján ellenőrizzük. Nem szabad a „felállított”egyenletbe
visszahelyettesíteni, mert így csak annak a kiszámítási, egyenletmegoldási
helyességét ellenőriztük. A logikai hiba, a helytelenül felírt egyenlet hibája nem derül
ki.
6. Miután meggyőződtünk a megoldás helyességéről, még szövegesen válaszolnunk kell
a feltett kérdésre!
Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok megoldása
1. A szöveges feladatok megoldásánál legfontosabb, hogy megértsük a szövegben rejlő
összefüggéseket s azokat valamilyen helyes algebrai összefüggésként,
egyenlőtlenségként, egyenlőségként fel tudjuk írni. Ha először egyenlőtlenséget
írtunk fel, akkor az összefüggések alapján írjuk fel az egyenletet.
- egyértelmű megoldáshoz, annyi egymástól független egyenletet kell felírni,
ahány ismeretlent tartalmaz a feladat
- azokat az egész együtthatós két -, vagy többismeretlenes egyenleteket,
amelyeknél csak egész számok jöhetnek megoldásként számításba, s a több
megoldás közül ezeket kell meghatározni, diofantoszi egyenletnek nevezzük
2. A megértést elősegíti a szöveg többszöri elolvasása, a szöveg összefüggéseinek
ábrázolása, az összefüggések táblázatba foglalása.
3. Az ismeretleneket jelöljük alkalmas betűvel. Keressük meg azokat a matematikai,
fizikai vagy más összefüggéseket, amelyek az ismert és az ismeretlen adatok között
fennállnak. Ezek alapján „felállítjuk az egyenleteket”, vagyis az egyenletrendszert. Az
egyenletek összefüggéseinek feltárásához segítséget nyújthat, ha a feladatot
megoldottnak tekintjük, és a megbecsült eredményekkel próbáljuk a szöveg
összefüggéseit „leellenőrizni”. Az itt követett eljárás „mintájára” az ismeretlenek
alkalmazásával felírjuk az összefüggéseket.
4. Egyenletrendszerre vezető feladat típusok:
- két szám összege és ugyanannak a két számnak a szorzata ismert
- törtek számlálója és nevezője közti összefüggések alapján felírható
egyenletrendszer
- együttes munkára vezető feladatok, melyek két vagy több ismeretlent
tartalmaznak, stb.
-74-



5.

6.

- és még sok más, egyenletrendszerre vezető feladattal találkozhatunk.
Az algebrai megoldás során kapott gyököket ellenőrizni kell, úgy, hogy a kapott
eredményt a szöveg alapján ellenőrizzük. Nem szabad a „felállított” egyenletekbe
visszahelyettesíteni, mert így csak annak a kiszámítási, egyenletmegoldási
helyességét ellenőriztük. A logikai hiba, a helytelenül felírt egyenletrendszer hibája
nem derül ki.
Miután meggyőződtünk a megoldás helyességéről, még szövegesen válaszolnunk kell
a feltett kérdésre!

Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok megoldása
1. A szöveges feladatok megoldásánál legfontosabb, hogy megértsük a szövegben rejlő
összefüggéseket, s azokat valamilyen helyes algebrai összefüggésként,
egyenlőtlenségként, egyenlőségként fel tudjuk írni. Ha először egyenlőtlenséget
írtunk fel, akkor az összefüggések alapján írjuk fel az egyenletet.
2. A megértést elősegíti a szöveg többszöri elolvasása, a szöveg összefüggéseinek
ábrázolása, az adatok, az ismeretlen táblázatba foglalása.
3. Az ismeretlent jelöljük alkalmas betűvel. Keressük meg azokat a matematikai,
fizikai vagy más összefüggéseket, amelyek az ismert és az ismeretlen adatok között
fennállnak. Ezek alapján „felállítjuk az egyenletet”. Az egyenlet összefüggéseinek
feltárásához segítséget nyújthat, ha a feladatot megoldottnak tekintjük, és a
megbecsült eredménnyel próbáljuk a szöveg összefüggéseit „ellenőrizni”, a feladatot
„megoldani”. Az itt követett eljárás „mintájára” az ismeretlen alkalmazásával
felírjuk az összefüggést.
4. Másodfokú egyenletekre vezető feladat típusok:
- területek közötti összefüggések
- kamatos kamatszámítás két évre
- Pitagorasz-tételét alkalmazó összefüggésekre vezető feladatok
- és még sok más, másodfokú egyenletre vezető feladattal találkozhatunk
5. Az algebrai megoldás során kapott megoldásokat ellenőrizni kell, úgy, hogy a kapott
eredményt a szöveg alapján ellenőrizzük. Nem szabad a „felállított” egyenletbe
visszahelyettesíteni, mert így csak annak a kiszámítási, egyenlet megoldási
helyességét ellenőriztük. A logikai hiba, a helytelenül felírt egyenlet hibája nem
derül ki. Valamint azt kell megvizsgálni, hogy a megoldás eleme-e az értelmezési
tartománynak.
6. Miután meggyőződtünk a megoldás helyességéről, még szövegesen válaszolnunk
kell a feladat szövegében feltett kérdésre!
Törtes egyenlőtlenségek megoldása
1. A törtes egyenlőtlenségek megoldásánál arra kell törekednünk, hogy úgy rendezzük
az egyenlőtlenséget, hogy az egyik, pl. a jobb oldalán nulla álljon.
2.
A nevező ismeretlent tartalmaz, ezért az első teendőnk, hogy az értelmezési
tartományt megállapítjuk, azaz a valós számok halmazából kizárjuk azokat az
értékeket, ahol a nevező nulla lenne.
3.
Most a számláló és a nevező előjelét kell megvizsgálnunk.
4. A bal oldalon szereplő egyenlőtlenséget jelöljük így: a per b. A lehetséges esetek a
következők lehetnek: ha a per b nagyobb mint 0, akkor a számláló és a nevező is
-75-



5.
6.
7.
8.

pozitív, vagy a kisebb mint 0 és b kisebb mint 0, vagyis a számláló és a nevező is
negatív.
a) Ábrázoljuk egy számegyenesen az első eset számlálójának és nevetőjének
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


megoldáshalmazát, e két halmaz metszete adja a végső megoldáshalmaz egyik
részét
b) Egy másik számegyenesen ábrázoljuk a második eset számlálójának és
nevezőjének a megoldáshalmazát. Itt is e két megoldáshalmaz metszete adja a
végső megoldáshalmaz másik részét.
c) Ennek a két részmegoldásnak az uniója adja a végső megoldáshalmazt.
Ha a per b nagyobb egyenlő mint 0, akkor a nagyobb egyenlő mint 0 és b nagyobb
egyenlő mint 0, a számláló nem negatív és a nevező pozitív, vagy a kisebb egyenlő
mint 00 és b kisebb mint 01 a számláló nem pozitív és a nevező negatív.
Ha a per b kisebb mint 0, akkor a nagyobb mint 0, és b kisebb mint 0, a számláló
pozitív és a nevező negatív, vagy a kisebb mint 0 és b nagyobb mint 0, a számláló
negatív és a nevező pozitív.
Ha a per b kisebb egyenlő mint 0, akkor a nagyobb egyenlő mint 0 és b kisebb
egyenlő mint 0, a számláló nem negatív és a nevező negatív, vagy a kisebb egyenlő
mint 0 és b nagyobb egyenlő mint 0, a számláló nem pozitív és a nevező pozitív.
Győződjünk meg a megoldás helyességéről, és válaszoljunk a feladat szövegében
feltett kérdésre!

Négyzetgyökös egyenletek megoldása
1. A négyzetgyökös egyenlet megoldása előtt az első teendőnk, hogy megállapítjuk az
értelmezési tartományt, azaz a valós számok halmazából kizárjuk azokat az értékeket,
ahol a négyzetgyök(ök) alatti kifejezések negatívok lennének.
2. A négyzetgyökös egyenletek megoldásánál törekedjünk arra, hogy úgy rendezzük az
egyenletet: az egyik oldalán lehetőleg egy négyzetgyökös kifejezés álljon. Hiszen a
négyzetgyökök kiküszöbölése céljából négyzetre kell emelnünk az egyenlet mindkét
oldalát. Ha két négyzetgyökös kifejezés van az egyenlet egyik oldalán, akkor a
négyzetre emelés után is „marad” négyzetgyökös tag, így másodszor is négyzetre kell
emelni az egyenlet mindkét oldalát.
3. Célszerű megvizsgálni azt, hogy az egyenlet két oldala egyenlő előjelű-e, illetve
melyik intervallumban egyenlő előjelű. Ugyanis a négyzetre emelés után egyenlő lesz
az előjelük: mindkét oldal pozitív lesz.
4. A négyzetre emelés miatt hamis gyökök léphetnek fel. Ezek kiszűrését egyrészt az
értelmezési tartomány vizsgálatával lehet megoldani, de biztosan csak a
behelyettesítés után derül ki, hogy a kapott megoldások közül melyik elégíti ki az
eredeti egyenletet.
5. Az ábrázolás segíthet a helyes megoldások meghatározásában.
6. Miután meggyőződtünk a megoldás helyességéről, még szövegesen válaszolnunk kell
a feladat szövegében feltett kérdésre!
Exponenciális egyenletek megoldása
1. Az a az x-ediken egyenlő b alakú egyenlet az exponenciális egyenlet alaptípusa. Az
egyenlet egyértelműen megoldható, ha a nagyobb mint 0, a nem egyenlő 1, és b
nagyobb mint 0.
-76-



-

ha b-t fel tudjuk írni hatványaként, akkor az exponenciális függvény
monotonitása matt a kitevők egyenlősége esetén lesz egyenlő a két hatvány
- egyébként „vegyük” mindkét oldal valamilyen alapú logaritmusát – általában
10-es alapú logaritmusát – és határozzuk meg az x-t.
2. Az összetett exponenciális egyenleteket átalakításokkal: a az x-ediken egyenlő b
alakú alapegyenletre hozzuk.
3. A leggyakrabban előforduló problémák megoldása:
a) A kitevő összetett kifejezés: alkalmazzuk a hatványozás azonosságát. Ha az
összevonásokat, rendezéseket elvégeztük, és a az x-ediken egyenlő b alakú lett az
egyenlet, akkor az 1) pont szerint megoldjuk. Az átalakítások után kaphatunk: a az
fx-ediken egyenlő a a gx-ediken alakú egyenletet, ez ekvivalens az f(x) egyenlő
g(x) egyenlettel, ha a nagyobb mint 0, és a nem egyenlő 1. Ellenőrizzük a
megoldás helyességét, majd válaszoljunk a feladat szövegében feltett kérdésre!
b) Azonos átalakítások után másodfokú egyenletet kapunk: (a az x-ediken) a
négyzeten meg b szer a az x-ediken meg c egyenlő 0. Az a az x-edikenre
megoldjuk az egyenletet, majd ezt az exponenciális egyenletet az 1) pontban
leírtak alapján megoldjuk. Ellenőrizzük a megoldás helyességét, majd
válaszoljunk a feladat szövegében feltett kérdésre!
Logaritmikus egyenletek megoldása
1. Az a alapú logaritmus x egyenlő b alakú egyenlet logaritmikus
„alapegyenletnek”nevezzük, ahol az a nagyobb mint 0, a nem egyenlő 1, és x
nagyobb mint 0 feltételnek teljesülnie kell. A megoldást a definíció szerint meg
tudjuk adni. Ha egy egyenlet olyan alakra hozható, hogy ugyanannak az alapnak a
logaritmusai szerepelnek az egyenlet két oldalán, akkor a monotonitás miatt az
argumentumok egyenlők.
2. Összetettebb logaritmikus egyenletet azonos átalakításokkal a alapú logaritmus x
egyenlő b alakú alapegyenletre hozzuk.
3. A leggyakrabban előforduló problémák:
a) Az egyenletben van „szám”, ami tulajdonképpen kitevő, tehát célszerű felírni
adott alapú logaritmikus kifejezésként
b) Egyenlő alapú logaritmusok összege és/vagy különbsége szerepel az egyenletben.
A logaritmus azonosságait alkalmazzuk „visszafelé”. Az értelmezési tartományt
meg kell vizsgálni.
c) Ha a logaritmikus kifejezésnek nem 1 az együtthatója, a logaritmus azonosságait
alkalmazzuk „visszafelé”.
d) Ha nem lennének egyenlők a logaritmusok alapjai, akkor azonos alapúvá
alakítjuk.
e) Ha átalakítottuk úgy, hogy a bal és a jobb oldalon ugyanolyan alapú logaritmikus
kifejezések legyenek, akkor a monotonitás alapján az argumentumok is egyenlők,
s akkor egy algebrai egyenletet kell megoldani.
f) Az azonosságok alkalmazásával olyan egyenleteket is kaphatunk, ami a alapú
logaritmus x-re nézve másodfokú egyenlet. Ezt megoldjuk a alapú logaritmus xre, utána az 1) pontban leírtakkal folytatjuk.
4. A kapott megoldásokat ellenőrizzük! Vizsgáljuk meg, hogy a kikötések teljesülnek-e!
A számolás helyességét ellenőrizzük, válaszoljunk a feladat szövegében feltett
kérdésre!
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


-77-



Abszolútértékes egyenletek megoldása
Az olyan egyenletek megoldását tárgyaljuk részletesen, amelyekben lineáris kifejezések
abszolútértéke szerepel.
1. Az abszolútértéket tartalmazó egyenlet megoldása grafikus úton. Ábrázoljuk az
egyenlet bal oldalát és jobb oldalát mint függvényt, A metszéspontok abszcisszái
adják a megoldást (ha van). Átrendezhetjük az egyenletet, ha az egyszerűsíti az
ábrázolást.
2. Algebrai megoldás: a abszolútérték definíciója alapján a kifejezés abszolútértéke
vagy önmaga, vagy a kifejezés (-1)-szerese. A kapott gyököket behelyettesítéssel
ellenőrizzük, mert hamis gyök is felléphet. Ha két abszolútérték van, akkor négy
egyenletet kapunk s ezeket kell megoldani az előző gondolatmenet szerint. Ha három
abszolútértéket tartalmazó tag van, akkor 8 egyenletet kell megoldani.
3. Algebrai megoldás: megvizsgáljuk, hogy melyik intervallumban milyen az előjele az
abszolútérték-jelek közötti kifejezésnek. Ha egy intervallumon pozitív a kifejezés, ott
az abszolútértéke önmaga, ha negatív, akkor (-1)-szerese. Ahány intervallum adódik,
annyi egyenletet kell megoldanunk.
4. A kapott megoldásokat ellenőrizzük, és válaszoljunk a feladat szövegében feltett
kérdésre! Célszerű számegyenesen is ábrázolni a megoldást.
A nevező gyöktelenítése
A tört nevezőjét szoktuk „gyökteleníteni” az egyszerűbb számolás érdekében.
1. Ha a nevező egytagú négyzetgyökös kifejezés: bővítsük a törtet az eredeti nevezővel.
2. Ha a nevező egytagú köbgyökös kifejezés: bővítsük olyan köbgyökös kifejezéssel,
hogy a nevezőben a köbgyök alól a bővítés után minden tényező kivehető legyen.
3. Ha a nevező kéttagú, négyzetgyököt tartalmazó összeg: bővítsük e két tag
különbségével. Használjuk az (a meg b)szer(a-b) egyenlő a négyzet- b négyzet
azonosságot, így a nevező mindegyik négyzetgyökös tagjában mindent „ki lehet
vinni” a gyökjel alól.
4. Ha a nevező kéttagú, négyzetgyököt tartalmazó különbség, akkor ugyanennek a két
tagnak az összegével célszerű bővíteni.
5. Ha kettőnél többtagú négyzetgyökös kifejezés van a nevezőben, akkor
csoportosítással kéttagúvá alakítjuk, és alkalmazzuk az előző eljárást. A műveletek
elvégzése után még marad négyzetgyökös tag. Ennek kiküszöbölése az eljárás
ismételt alkalmazásával történik.
Kivitel a gyökjel alól és bevitel a gyökjel alá
Kivitel a gyökjel alól
1. Ha a gyökjel alatt olyan szorzat van, amelyben a tényezők hatványkitevője legalább
akkora, mint a gyökkitevő, akkor ezeket a tényezőket tovább bontjuk olyan
szorzatokra, amelyekben az egyik tényező hatványkitevője a gyökkitevő többszöröse.
E tényezőből gyököt vonunk, ezzel „kivittük” a gyökjel alól. A többi tényező a
gyökjel alatt „marad”.
2. Az értelmezési tartományokat meg kell vizsgálni, a megfelelő kikötéseket meg kell
tenni!
3. Az összeg tagjait nem lehet kivinni a gyökjel alól.
-78-



Bevitel a gyökjel alá:
1. A négyzetgyökös kifejezés nemnegatív szorzóját bevihetjük a gyökjel alá, ha azt
előbb a gyökkitevő hatványára emeljük
2. Több tagot úgy vihetünk be a gyökjel alá, hogy a többtagú kifejezést az adott
gyökkitevőre hatványozzuk.
Számok „n”-edik gyökének kiszámítása
1. Négyjegyű függvénytáblázattal: mivel a táblázatban a négyzetgyök és köbgyök
szerepel, tehát ezek vagy ennek segítségével csak olyan n-edik gyök vonható, amelyre
fennáll, hogy a gyökkitevő: n egyenlő 2 a k-adikon szor 3 az l-ediken, ahol k és l
eleme n-nek (természetes számok halmaza). Alkalmazzuk a gyökvonás azonosságát.
Alakítsuk n-et szorzattá, és egymás után vonjunk gyököt.
2. Számológéppel:
a) beírjuk a számot
b) lenyomjuk a funkcióbillentyűt, majd a gyökbillentyűt,
c) beírjuk a gyökkitevőt,
d) az egyenlőségjelre az eredményt kapjuk.
3. Logaritmussal, a logaritmus azonosságainak felhasználásával:
a) kikeressük a gyökalatti szám logaritmusát
b) elosztjuk a gyökkitevővel
c) visszakeressük a számot a számok 10-es alapú logaritmusa táblázatból, vagy
kikeressük a 10 hatványai táblázatból
Számok normálalakjának felírása
A normálalak felírásakor a szám abszolútértékét olyan szorzattá alakítjuk, hogy az egyik
tényező 1 és 10 közé eső szám legyen, a másik 10 egész kitevőjű hatványa.
A 10 hatványkitevője az adott szám nagyságrendjére jellemző. Ezt a szám
karakterisztikájának nevezzük.
Ha a szám 1 kisebb egyenlő mint x kisebb egyenlő mint 10, akkor a 10 kitevője 0.
Ha a szám x nagyobb egyenlő mint 10, akkor a 10 kitevője pozitív egész.
Ha a szám 0 kisebb mint x kisebb mint 1, akkor 10 kitevője negatív.
A törtet először tizedestörtté alakítjuk.
Normálalakban adjuk meg a nagyon nagy számokat. A normálalakra szükségünk van a 10-es
alapú logaritmussal való számolásnál, valamint szokás még fizikai feladatoknál is használni.
Feladatok ábrázolása a Descartes-féle koordináta-rendszerben
1. A Descartes-féle koordináta-rendszer tengelyei merőlegesek egymásra, a tengelyeken
az egységek egyenlők. Az x tengely pozitív felét az óra mutató járásával ellentétes
irányban 90 fokkal elforgatva az y tengely pozitív felére jutunk.
2. Fogalmak: A függvény olyan hozzárendelés, amely egy halmaz minden eleméhez
egyértelműen hozzárendeli egy másik halmaz pontosan egy elemét. A függvény a
helyen felvett helyettesítési értéke: f(a).
Ha az f(x) függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is az R (valós)
számhalmaz valamely részhalmaza, akkor ábrázolhatjuk a grafikonját.
-79-



A függvény grafikonja pedig az a geometriai alakzat, amelyet úgy kapunk, hogy az
értelmezési tartomány x elemeihez kiszámítjuk az f(x) helyettesítési értéket, és
ábrázoljuk a koordináta-rendszerben az (x, f(x)) koordinátájú pontokat.
Az y egyenlő f(x) egyenletet a grafikon egyenletének nevezzük.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


Az abszolútérték függvény ábrázolása és jellemzése
A függvény értelmezési tartománya a valós számhalmaz. Értéktáblázat alapján ábrázolhatjuk
a függvényt. A függvény képe a Descartes-féle koordináta-rendszerben az első és második
negyed szögfelezője.
Értékkészlete: a nemnegatív valós számok halmaza.
Szélsőértéke: minimuma van x egyenlő 0 helyen, maximuma nincs.
Menete: x kisebb mint 0 intervallumon szigorúan monoton csökkenő
x nagyobb mint 0 intervallumon szigorúan monoton növekedő
x egyenlő 0 helyen töréspontja van.
Zérushelye: x egyenlő 0
Paritás: Mivel x abszolútértéke egyenlő (-x) abszolútértékével, ezért a függvény képe az y
tengelyre tengelyesen szimmetrikus, tehát a függvény páros.
Előjel: x egyenlő 0 hely kivételével mindenütt pozitív.
Az négyzetgyök függvény ábrázolása és jellemzése
Értelmezési tartománya a nemnegatív valós számok halmaza: x nagyobb egyenlő mint 0.
Értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.. négyzetgyök alatt x nagyobb egyenlő
mint 0.
Készítsünk értéktáblázatot, és ez alapján ábrázoljuk koordináta-rendszerben a függvényt. Az
első negyedben egy „fél parabolát” kapunk.
Szélsőértéke: a függvénynek minimuma van. Minimum helye: x egyenlő 0, minimuma.
Négyzetgyök alatt 0 egyenlő 0.
Menete: a függvény az értelmezési tartományon szigorúan monoton növekszik.
Zérushelye: x egyenlő 0.
A függvény előjel-viszonyai: a függvény az x nagyobb mint 0 intervallumban pozitív, negatív
értéket sehol nem vesz fel.
A függvény se nem páros, se nem páratlan.
Másodfokú függvények transzformálása
1. Legyen adott a másodfokú alapfüggvény f(x) egyenlő x négyzet, ennek grafikonja a
normálparabola.
2. Ha a hozzárendelési szabályt megváltoztatjuk, akkor a függvény algebrai formája és a
koordináta-rendszerbeli helyzete, illetve az alakja is megváltozik. Vizsgáljuk meg,
hogy a különböző típusú változások mit eredményeznek.
3. A hozzárendelési szabályt változtassuk meg úgy, hogy minden függvényértékhez
adjunk egy számot. f1(x) egyenlő x négyzet meg v. Ekkor a normálparabola y irányba
v-vel elmozdul.
4. A hozzárendelési szabályt változtassuk meg úgy, hogy a független változóból vonjuk
ki u pozitív számot. f2(x) egyenlő (x-u) a négyzeten. Ekkor a normálparabola x
irányába u-val elmozdul.
-80-



5. Ha egyszerre mind a két szabálymódosítást alkalmazzuk, akkor egy (u,v) vektorral
tolódik el a normálparabola.
6. Ha a hozzárendelési szabályt úgy változtatjuk meg, hogy a függvényértékeket
megszorozzuk (-1)-el, azaz f3(x) egyenlő –x négyzet. Ekkor a normálparabola minden
ordinátája ellenkező előjelűvé válik, azaz a normálparabola tükröződik az x tengelyre.
7. Ha a hozzárendelési szabályt úgy változtatjuk meg, hogy a függvényértékeket
megszorozzuk c-vel, azaz f4(x) egyenlő c szer x négyzet. Ekkor a normálparabola
minden ordinátáját c-szeresére nyújtjuk, ha c nagyobb mint 1, c-szeresére zsugorodik,
ha 0 kisebb mint c kisebb mint 1.
8. Ha ezt a két szabálymódosítást egyszerre alkalmazzuk, azaz tetszőleges negatív
számmal szorozzuk meg a függvényértéket, akkor mind a két transzformációt végre
kell hajtani, vagyis a nyújtást/zsugorítást és a tükrözést is.
A másodfokú egyenlet grafikus megoldása
1. Ha vannak kijelölt műveletek, azokat elvégezzük úgy, hogy a másodfokú egyenlet: a
szor x négyzet meg bx meg c egyenlő 0 alakú legyen.
2. Egyszerűbb a grafikus megoldás, ha átrendezzük az egyenletet, kettéválasztjuk
másodfokúra és lineárisra: a szor x négyzet egyenlő –bx-c alakra hozzuk. A baloldal
képe egy parabola, a jobboldal képe egy egyenes. Keressük a két alakzat közös
pontjainak x koordinátáját.
3. A következő esetek lehetségesek:
a) Ha a nagyobb mint 0, akkor a másodfokú függvénynek minimuma van. Az
egyenes és a parabola kölcsönös helyzete 3 féle lehet:
- az egyenes két helyen metszi a parabolát
- az egyenes egy pontban metszi a parabolát
- nincs közös pontjuk
b) Ha a kisebb mint 0, akkor a másodfokú függvénynek maximuma van, ugyanúgy 3
est lehetséges:
- az egyenes két helyen metszi a parabolát
- az egyenes egy pontban metszi a parabolát
- nincs közös pontjuk
4. Az a szor x négyzet meg bx meg c egyenlő 0 alakú másodfokú egyenletet teljes
négyzetté egészítjük. Ezt legegyszerűbben úgy tehetjük meg, ha a nem egyenlő 1,
akkor a-val osztjuk az egyenlet mindkét oldalát. Az elsőfokú tag együtthatója felének
a négyzetét hozzáadjuk, és azonnal le is vonjuk. Így az első három tag teljesen
négyzet. Az így kapott kifejezést tekintsük függvénynek, és ábrázoljuk. A zérushelyek
adják a megoldásokat. Ezzel a módszerrel is 3 féle eset lehetséges:
- két zérushely - két különböző valós gyök
- egy zérushely – a zérushelyek „egybeesnek” – két egyenlő gyök
- nincs zérushely – nincs valós gyöke az egyenletnek
A másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása
1. A másodfokú egyenlet négyféle reláció: kisebb, nagyobb, kisebb egyenlő, nagyobb
egyenlő valamelyikének alkalmazásával áll elő. Hozzuk az egyenlőtlenséget: a szor x
négyzet meg bx meg c nagyobb mint 0 alakra.
-81-



2. Egyszerűbb a grafikus megoldás, ha az egyenlőtlenséget az: a szor x négyzet nagyobb
mint –bx-c alakra hozzuk. A bal oldal képe parabola, a jobb oldal képe egyenes.
Keressük hogy a parabola mely x koordinátájú pontjai vannak az egyenes fölött.
3. A következő esetek lehetségesek:
a) Ha a nagyobb mint 0, akkor a másodfokú függvénynek minimuma van. Az
egyenes és a parabola kölcsönös helyzete 3 féle lehet:
- az egyenes két helyen metszi a parabolát, ezért a metszéspontoktól kifelé
lévő intervallumokban adódik a megoldás
- az egyenes egy pontban érinti a parabolát, e pont kivételével fennáll a
feltétel
- nincs közös pontjuk, azaz a parabola mindig az egyenes fölött van.
b) Ha a kisebb mint 0, akkor a másodfokú függvénynek maximuma van, ugyanúgy
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


3 est lehetséges:
- az egyenes két helyen metszi a parabolát, így a metszéspontokban és az
azok között lévő intervallumban adódik a megoldás
- az egyenes egy pontban érinti a parabolát, csak e pontban áll fenn a feltétel
- nincs közös pontjuk, tehát a parabola mindig az egyenes alatt van, azaz
nincs megoldása a feladatnak
A másodfokú függvény vizsgálatára vezető szélsőérték feladatok
1. A szélsőérték (maximum, minimum) vizsgálatára vonatkozó feladatok megoldását
bizonyos esetekben visszavezetjük másodfokú függvények vizsgálatára.
2. Néhány ismertebb feladattípus:
- Adott kerület esetén melyik téglalap területe maximális?
- Adott felszín esetén melyik téglatest térfogata maximális?
- Adott tengelymetszet esetén melyik forgáshenger térfogata maximális?
3. Az adott összefüggések alapján felírunk egy másodfokú függvényt.
4. A másodfokú függvényt teljes négyzetté egészítjük. Az f(x) egyenlő a szor x négyzet
meg bx meg c alakúra hozott másodfokú függvényt elosztjuk a-val. Egyszerűsíti a
megoldást, mert ez az eljárás a szélsőérték helyet nem változtatja meg. A szélsőérték
kiszámításánál azonban számításba kell venni az a-t. Az elsőfokú tag együtthatója
felének a négyzetét hozzáadjuk és azonnal le is vonjuk.
5. A függvényt ábrázoljuk. A megoldást a függvény maximum helye adja.
A szinusz függvény ábrázolása és jellemzése
A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Az x tengelyre mérjük fel a
szögeket radiánban. Az y tengelyre pedig: a meg 1, illetve a-1. A függvénytáblázat, a
zsebszámológép segítségével készítsünk értéktáblázatot. A kapott értékeket mérjük fel. Ha
elég sok pontot bejelölünk, megtudjuk rajzolni a szinuszgörbét.
A függvény periodikus, a (legkisebb) periódus hossza 2 pí.
Értékkészlete: -1 kisebb egyenlő mint sin x kisebb egyenlő mint 1.
Szélsőértékei:
- az „első” maximuma: x0 egyenlő pí per 2-nél, sin pí per 2 egyenlő 1
- az összes maximum helye: xk egyenlő pí per 2 meg k szor 2pí, ahol k eleme
Z-nek(egész számok halmaza)
- az „első” minimuma: x0 egyenlő 3pí per 2-nél, sin 3pí per 2 egyenlő -1.
-82-



Menete:

- Az összes minimum helye: xk egyenlő 3pí per 2 meg k szor 2pí, ahol k eleme
Z-nek
-

az „első” intervallum, ahol a függvény szigorúan monoton növekedő: -pí per2
kisebb egyenlő mint x kisebb egyenlő mint pí per2
- az összes ilyen intervallum: -pí per 2 meg k szor 2pí kisebb egyenlő mint x
kisebb egyenlő mint pí per 2 meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
- az „első” intervallum, ahol a függvény szigorúan monoton csökkenő: pí per 2
kisebb egyenlő mint x kisebb egyenlő mint 3pí per2
- az összes ilyen intervallum: pí per 2 meg k szor 2pí kisebb egyenlő mint x
kisebb egyenlő mint 3pí per2 meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
A függvény zérushelyei: xk egyenlő k szor pí, ahol k eleme Z-nek
Paritása: sin(-x) egyenlő –sin x, vagyis amelynek grafikonja középpontosan szimmetrikus az
origóra, páratlan függvény.
Előjelviszonyai:
- az „első”intervallum, ahol a függvényértékek pozitívak: 0 kisebb mint x
kisebb mint pí
- az összes ilyen intervallum: (0 plussz)k szor 2pí kisebb mint x kisebb mint pí
meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
- az „első” intervallum, ahol a függvényértékek negatívak: pí kisebb mint x
kisebb mint 2pí
- az összes ilyen intervallum: pí meg 2 k szor pí kisebb mint x kisebb mint 2pí
meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek

A koszinusz függvény ábrázolása és jellemzése
A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Az x tengelyre mérjük fel a
szögeket radiánban. Az y tengelyen jelöljük be az 1-et és a -1-et. A függvénytáblázat, a
zsebszámológép segítségével készítsünk értéktáblázatot. A kapott értékeket mérjük fel. Ha
elég sok pontot bejelölünk, meg tudjuk rajzolni a koszinuszgörbét.
A függvény periodikus, a (legkisebb) periódus hossza 2 pí.
Értékkészlete: -1 kisebb egyenlő mint cos x kisebb egyenlő mint 1.
Szélsőértékei:
- az „első” maximuma: x0 egyenlő 0-nál, cos 0 egyenlő 1
- az összes maximumhely: xk egyenlő (0plusz) szor k szor 2pí, ahol k eleme Znek(egész számok halmaza)
- az „első” minimuma: x0 egyenlő pí-nél, cos pí egyenlő -1.
- az összes minimumhely: xk egyenlő pí meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
Menete:
- az „első” intervallum, ahol a függvény szigorúan monoton csökkenő: 0 kisebb
egyenlő mint x kisebb egyenlő mint pí
- az összes ilyen intervallum: (0 plusz) szor k szor 2pí kisebb egyenlő mint x
kisebb egyenlő mint pí meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
- az „első” intervallum, ahol a függvény szigorúan monoton növekedő: pí
kisebb egyenlő mint x kisebb egyenlő mint 2pí
- az összes ilyen intervallum: pí meg k szor 2pí kisebb egyenlő mint x kisebb
egyenlő mint 2pí meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
A függvény zérushelyei: xk egyenlő pí per 2 meg k szor pí, ahol k eleme Z-nek
-83-



Paritása: cos(-x) egyenlő –cos x, tehát páros függvény: a koszinuszgörbe az y tengelyre
szimmetrikus.
Előjelviszonyai:
- az „első”intervallum, ahol a függvényértékek pozitívak: -pí per 2 kisebb mint
x kisebb mint pí per 2
- az összes ilyen intervallum: -pí per 2 meg k szor 2pí kisebb mint x kisebb
mint pí per 2 meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
- az „első” intervallum, ahol a függvényértékek negatívak: pí per 2 kisebb mint
x kisebb mint 3pí per 2
- az összes ilyen intervallum: pí per 2 meg 2 k szor 2pí kisebb mint x kisebb
mint 3pí per 2 meg k szor 2pí, ahol k eleme Z-nek
A tangens függvény ábrázolása és jellemzése
A függvény értelmezési tartománya: pí per 2 meg k szor pí (ahol k eleme Z-nek) kivételével
minden valós szám. Az x tengelyre mérjük fel a szögeket radiánban (jelöljük be a pí per 2
meg k szor pí helyeket, ahol a függvénynek szakadási helyei vannak). A
függvénytáblázatban, a zsebszámológépben található értékeket mérjük fel. Ha elég sok pontot
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


bejelölünk, meg tudjuk rajzolni a tangensgörbét.
A függvény periodikus, a (legkisebb) periódus hossza: pí.
Értékkészlete: -végtelentől kisebb mint tg x kisebb mint végtelen
Szélsőértéke nincs.
Menete: minden két, egymást követő szakadási hely között szigorúan monoton nő. Az „első”
ilyen intervallum: -(pí per 2) kisebb mint x kisebb mint pí per 2. Az összes ilyen intervallum:
-(pí per 2) meg k szor pí kisebb mint x kisebb mint pí per 2 meg k szor pí, ahol k eleme Znek.
A függvény zérushelyei: xk egyenlő k szor pí, ahol k eleme Z-nek.
Paritása: mivel tg(-x) egyenlő –tg x, ezért a függvény páratlan: a tangensgörbe
középpontosan szimmetrikus az origóra.
Előjelviszonyai:
- az „első”intervallum, ahol a függvényértékek pozitívak: 0 kisebb mint x
kisebb mint pí per 2
- az összes ilyen intervallum: 0 meg k szor pí kisebb mint x kisebb mint pí per
2 meg k szor pí, ahol k eleme Z-nek
- az „első” intervallum, ahol a függvényértékek negatívak: -(pí per 2) kisebb
mint x kisebb mint 0
- az összes ilyen intervallum: -(pí per 2) meg k szor pí kisebb mint x kisebb
mint (0 plusz)k szor pí, ahol k eleme Z-nek
A kotangens függvény ábrázolása és jellemzése
A függvény értelmezési tartománya: k szor pí (ahol k eleme Z-nek) kivételével minden valós
szám. Az x tengelyre mérjük fel a szögeket radiánban (jelöljük be a k szor pí helyeket, ahol a
függvénynek szakadási helyei vannak). A függvénytáblázat, a zsebszámológép segítségével
készítsünk értéktáblázatot. A kapott értékeket mérjük fel. Ha elég sok pontot bejelölünk, meg
tudjuk rajzolni a kotangensgörbét.
A függvény periodikus, a (legkisebb) periódus hossza: pí.
Értékkészlete: -végtelentől kisebb mint ctg x kisebb mint végtelen
-84-



Szélsőértéke nincs.
Menete: minden két, egymást követő szakadási hely között szigorúan monoton csökken. Az
„első” ilyen intervallum: 0 kisebb mint x kisebb mint pí. Az összes ilyen intervallum: (0
plusz)k szor pí kisebb mint x kisebb mint pí meg k szor pí, ahol k eleme Z-nek.
A függvény zérushelyei: xk egyenlő pí per 2 meg k szor pí, ahol k eleme Z-nek.
Paritása: ctg(-x) egyenlő –ctg x, tehát a függvény páratlan: a kotangens görbe középpontosan
szimmetrikus az origóra.
Előjelviszonyai:
- az „első”intervallum, ahol a függvényértékek pozitívak: 0 kisebb mint x
kisebb mint pí per 2
- az összes ilyen intervallum: 0 meg k szor pí kisebb mint x kisebb mint pí per
2 meg k szor pí, ahol k eleme Z-nek
- az „első” intervallum, ahol a függvényértékek negatívak: -(pí per 2) kisebb
mint x kisebb mint 0
- az összes ilyen intervallum: -(pí per 2) meg k szor pí kisebb mint x kisebb
mint (0 plusz)k szor pí, ahol k eleme Z-nek
Függvénytranszformációk: y illetve x tengely irányú eltolások
1. Ha egy függvény hozzárendelési szabályát úgy változtatjuk meg, hogy a
függvényértékekhez hozzáadunk egy tetszőleges b valós számot, akkor az
„alapfüggvény” grafikonjának minden ordinátája: b-vel nő, ha b nagyobb mint 0, b
abszolútértékével csökken, ha b kisebb mint 0. Tehát egy y tengely irányú, azaz b
vektor (0,b) eltolást kell végrehajtani a függvényképen.
2. Ha a függvény hozzárendelési szabályát úgy változtatjuk meg, hogy a változóhoz
hozzáadunk egy tetszőleges u valós számot, akkor az alapfüggvény u-val „előbb”
veszi fel ugyanazt az értéket, ha u nagyobb mint 0, illetve u-val „később” veszi fel
ugyanazt az értéket, ha u kisebb mint 0. Tehát x irányú, azaz u vektor (-u,0) eltolást
kell végrehajtani a függvényképen.
Érdemes megjegyezni, hogy ellenkező irányban tolódik el a függvénygörbe: ha az u pozitív,
akkor balra, ha az u negatív, akkor jobbra.
Függvénytranszformációk: tükrözések az x illetve y tengelyre
1. Ha egy függvény hozzárendelési szabályát úgy változtatjuk meg, hogy a
függvényértékeket szorozzuk (-1) –el, akkor az új függvény képét úgy kapjuk meg,
hogy az „alapfüggvény” képét tükrözzük az x tengelyre.
2. Ha egy függvény hozzárendelési szabályát úgy változtatjuk meg, hogy a változót
szorozzuk (-1)-el, akkor az új függvény képét úgy kapjuk meg, hogy az
„alapfüggvény” képét tükrözzük az y tengelyre.
A trigonometrikus függvények transzformációi
A másodfokú függvényeknél és általánosságban is tárgyaltuk a függvénytranszformációkat.
A következőkben összefoglaljuk, hogy a trigonometrikus függvénynél a hozzárendelési
szabályok megváltoztatásának milyen következményei vannak.
y1 egyenlő sin x meg v (v - példa – következmény)
-85-



a nagyobb mint 0 - y egyenlő sin x meg 1 - v értékkel eltolódik y irányába „fölfelé”
v egyenlő 0 - y egyenlő sin x - alapfüggvény
v kisebb mint 0 - y egyenlő 2sin x - v értékkel eltolódik y irányába „lefelé”
y2 egyenlő a szor sin x (a - példa – következmény)
a abszolútértéke nagyobb mint 1
- a nagyobb mint 0 - y egyenlő 2sin x - y irányba a abszolútérték-szorosára nyújtjuk
- a kisebb mint 0 - y egyenlő -1,5sin x - y irányba a abszolútérték-szorosára nyújtjuk és
tükrözzük az x tengelyre
a abszolútértéke egyenlő 1
- a nagyobb mint 0 - y egyenlő sin x - alapfüggvény
- a kisebb mint 0 - y egyenlő – sin x - tükrözzük az x tengelyre
a abszolútértéke kisebb mint1
- a nagyobb mint 0 - y egyenlő 0,5sin x - y irányába a abszolútérték-szorosára zsugorodik
- a kisebb mint 0 - y egyenlő -0,4sin x - y irányába a abszolútérték-szorosára zsugorodik és
tükrözzük az x tengelyre
y3 egyenlő sin(x-u) (u – példa – következmény)
u nagyobb mint 0 - y egyenlő sin(x-pí per 2) - x irányába u-val jobbra tolódik el
u egyenlő 0 - y egyenlő sin x - alapfüggvény
u kisebb mint 0 - y egyenlő sin(x meg pí per 4) - x irányába u-val balra tolódik el
y4 egyenlő sin bx (b – példa – következmény)
b abszolútértéke nagyobb mint 1
- b nagyobb mint 0 - y egyenlő sin 2x - x irányába 1 per b-szeresére zsugorodik
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


- b kisebb mint 0 - y egyenlő sin(-1,5x) - x irányába 1 per b-szeresére zsugorodik és
tükröződik az y tengelyre
b abszolútértéke egyenlő 1
- b nagyobb mint 0 - y egyenlő sin x - alapfüggvény
- b kisebb mint 0 - y egyenlő sin(-x) - tükröződik az y tengelyre
b abszolútértéke kisebb mint1
- b nagyobb mint 0 - y egyenlő sin(0,5x) - x irányába 1 per b-szeresére nyúlik
- b kisebb mint 0 - y egyenlő sin(-0,4x) - x irányába 1 per b-szeresére nyúlik és tükröződik
az y tengelyre
Függvénytranszformációk: x illetve y tengely irányú nyújtások
1. Ha egy függvény hozzárendelési szabályát úgy változtatjuk meg, hogy a
függvényértékeket megszorozzuk egy pozitív c számmal, akkor az új függvény képét
úgy kapjuk meg, hogy az „alapfüggvény” grafikonján minden pont ordinátáját cszeresére változtatjuk, mégpedig: ha c1 nagyobb mint 1, akkor c1-szeresére
„nyújtjuk”, ha o kisebb mint c2 kisebb mint 1, akkor c2-szeresére „zsugorítjuk”
2. Ha egy függvény hozzárendelési szabályát úgy változtatjuk meg, hogy a változót
megszorozzuk egy tetszőleges pozitív p számmal, akkor az új függvény képét úgy
kapjuk meg, hogy az „alapfüggvény” képét x irányban 1 per p1-szeresére változtatjuk,
mégpedig:
- -ha p1 nagyobb mint 1, y1 egyenlő f(p1 szer x), akkor 1 per p1-szeresére
„összenyomjuk”,
-86-



-

-ha 0 kisebb mint p2 kisebb mint 1, y2 egyenlő f(p2 ször x), akkor 1 per p2szeresére „megnyújtjuk”

A transzformációk egymásutánjai
Ismeretek:
Az f függvény x helyen felvett helyettesítési értéke f(x).
Ha definiáltuk egy g és egy h transzformációt és az adott értelmezési tartományra
végrehajtjuk a g transzformációt, akkor megkapjuk a g transzformáció g(x) képpontját.
A második lépésben ezeket a képpontokat tekintjük a h transzformáció értelmezési
tartományának, és ezekre a tárgypontokra végrehajtjuk a h transzformációt, akkor egy
transzformáció sorozatot (leképezés sorozatot) hajtottunk végre.
Ezt a transzformáció sorozatot szokás a következő szimbólummal jelölni: g (karika) h.
A g transzformáció egy y irányú nyújtás, a h transzformáció egy y irányú eltolás.
Az exponenciális függvény ábrázolása és jellemzése
A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza (x eleme R-nek). Az
exponenciális függvény alapjára a következő kikötéseket kell tenni: a nagyobb mint 0 és a
nem egyenlő 1. Negatív alapok esetén sok helyen nem értelmezhető a függvény, a egyenlő 1
esetén a függvénykép egyenes lenne!
Készítsünk értéktáblázatot, jelöljük be a kapott értékeket. Mivel a függvény mindenütt
értelmezve van, nincs szakadása, a pontok folytonos vonallal összeköthetők. Ábrázoljuk a
függvényt. A kapott görbét exponenciális függvénynek nevezzük.
Értékkészlete: a pozitív valósok: a az x-ediken nagyobb mint 0.
A függvénynek szélsőértéke nincs, de alulról korlátos, azaz bármely x-re: a az x-ediken
nagyobb mint 0.
Ha a nagyobb mint 1, akkor ha x tart a (–végtelen)-hez, akkor a az x-ediken tart a nullához,
illetve, ha 0 kisebb mint a kisebb mint 1, akkor ha x tart a végtelenhez, akkor a az x-ediken
tart a nullához.
Menete: ha a nagyobb mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha a kisebb mint a
kisebb mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken.
A függvénynek zérushelye nincs.
Az y tengelyt a függvénygörbe a(0,1) pontban metszi, mert a a nulladikon egyenlő 1.
Előjele: a függvény mindenütt pozitív értékeket vesz fel.
A logaritmus függvény ábrázolása és jellemzése
A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza (x eleme R-nek). A logaritmus
alapjára fennáll, hogy a nagyobb mint 0 és a nem egyenlő 1.
Készítsünk értéktáblázatot, jelöljük be a kapott értékeket. Mivel a függvény mindenütt
értelmezve van, ha a nagyobb mint 0, nincs szakadása, a pontok folytonos vonallal
összeköthetők. A kapott ábrát logaritmus görbének nevezzük.
Értékkészlete: - végtelen kisebb mint a alapú logaritmus x kisebb mint végtelen.
A függvénynek szélsőértéke nincs.
Menete: ha a nagyobb mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha a kisebb mint a
kisebb mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken.
-87-



A függvény zérushelye (mindegyik esetben): x egyenlő 1-nél van, merta alapú logaritmus 1
egyenlő 0.
Előjelviszonyai: a nagyobb mint 1 estben 0 kisebb mint x kisebb mint 1 intervallumban
negatív, és x nagyobb mint 1 intervallumban pozitív.
0 kisebb mint a kisebb mint 1 esetben 0 kisebb mint x kisebb mint 1 intervallumban pozitív,
és x nagyobb mint 1 intervallumban negatív.
Az f(x) egyenlő a az x-ediken függvény inverze az f(x) egyenlő a alapú logaritmus x
függvény, ha 0 kisebb mint a kisebb mint 1, vagy a nagyobb mint1.
Parabola pontjainak szerkesztése
1. A szerkesztéshez felhasználjuk a definíciót:
A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek egy egyenestől, a
vezéregyenestől (a direktrixtől) és egy rá nem illeszkedő ponttól (a fókusztól) mért
távolsága egyenlő.
A fókusz és a vezéregyenes távolsága a p paraméter.
2. A következő három lépésből álló szerkesztés a parabola két pontját határozza meg.
a) Húzzunk a vezéregyenessel pí per 2-nél nagyobb ri távolságban ei
párhuzamos egyenest.
b) Rajzoljunk olyan F (fókusz) középpontú ri sugarú kört, amely elmetszi az ei
egyenest.
c) A kör és a párhuzamos metszéspontjai adják a parabolapontokat. Ha rí
egyenlő p per 2, akkor csak egy pontot kapunk, ezt tengelypontnak nevezzük.
Ezt úgy szerkesztjük meg, hogy a fókusz és a vezéregyenes közti merőlegest
megfelezzük.
3. Az előbbi eljárást akárhányszor megismételhetjük. Így a parabolának tetszés szerinti
sok különálló pontját megszerkeszthetjük, amelyek segítségével a parabola egyre
pontosabban megrajzolható, de mint folytonos görbét nem lehet megszerkeszteni.
Az ellipszis pontjainak szerkesztése
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


1. A szerkesztéshez felhasználjuk a definíciót:
Az ellipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott,
különböző pontjától mért távolságösszege állandó. Legyen adott a fókuszok
távolsága: 2f egyenlő F1F2 vektorok és a nagytengely hossza 2a nagyobb mint 2f. A
kistengely hossza: 2b. Valamint a tengelyek hosszának felére és a fókusztávolság
felére fennáll: b négyzet meg f négyzet egyenlő a négyzet.
2. A következő három lépésből álló szerkesztés az ellipszis négy pontját határozza meg.
a) Osszuk egy Ti ponttal a 2a szakaszt két részre, r1i és r2i szakaszra.
b) Az F1 fókuszpontból, mint középpontból rajzoljunk r2i sugarú kört. Ekkor
ellipszispontokat kapunk.
c) A szerkesztést szimmetrikusan is végezzük el: az F2 fókuszpontból, mint
középpontból rajzoljunk r1i sugarú kört, az F1 középpontból rajzoljunk r2i
sugarú kört.
3. Az előbbi eljárást akárhányszor megismételhetjük. Így az ellipszisnek tetszés szerinti
sok különálló pontját megszerkeszthetjük, amelyek segítségével az ellipszis egyre
pontosabban megrajzolható, de mint folytonos görbét nem lehet megszerkeszteni. Az
ellipszis különálló pontjaira más szerkesztés is ismeretes.
-88-



Pl.: Ellipszis rajzolása zsineggel:
a) A fókuszokba szúrjunk gombostűt!
b) A gombostűkhöz kössünk zsineget úgy, hogy annak szabad hossza 2a legyen.
c) Feszítsük ki a zsineget egy ceruzával és feszesen tartva azt, mozgassuk az
írószerszámot „körös-körül”.
A hiperbola pontjainak szerkesztése
1. A szerkesztéshez felhasználjuk a definíciót:
A hiperbola azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyeknek két különböző
ponttól (az F1, F2 fókuszpontoktól) mért távolságának különbsége állandó. Legyen
adott a fókuszok távolsága 2f egyenlő F1F2 vektorok és a valós tengely hossza 2a
kisebb mint 2f. A képzetes tengely hossza: 2b, valamint ezekre az adatokra fennáll: a
négyzet meg b négyzet egyenlő f négyzet.
2. A következő négy lépésből álló szerkesztést kell többször megismételni, hogy a
hiperbolának tetszőlegesen sok pontját megkapjuk, s ezeket összekötve szabadkézzel
egy hiperbolát tudunk rajzolni.
a) A 2a egyenesén a szakaszon kívül vegyünk fel egy T pontot, ezzel kialakult az r1
és az r2 sugár, melyekre fennáll: r2-r1 egyenlő 2a.
b) Az F1 fókuszból, mint középpontból rajzoljuk meg az r1 sugarú kört, F2
középpontból rajzoljuk meg az r2 sugarú kört, a körök metszéspontjai hiperbola
pontokat adnak meg.
c) A szerkesztést szimmetrikusan is végezzük el. Az F1 fókuszból, mint
középpontból rajzoljuk meg az r2 sugarú kört, az F2 pontból rajzoljuk meg az r1
sugarú kört, így újabb hiperbola pontokat kapunk. A fenti lépéseket ismételjük
meg annyiszor, hogy a hiperbolát biztonsággal meg tudjuk rajzolni.
d) Célszerű még megrajzolni a hiperbola asszimtotáit úgy, hogy megszerkesztjük a
szimmetria középpontba azt a téglalapot, melynek oldalai a 2a valóstengely és a
2b képzetes tengely, átlója a fókuszok távolsága. Ezeknek az átlóknak az
egyenesei adják a hiperbola asszimtotáit, amelyekhez a hiperbolaívek egyre
közelebb kerülnek.
Természetesen más hiperbola szerkesztés is ismeretes.
Számhalmazok ábrázolása számegyenesen
1. Értelmezési tartományok, egyenlőtlenségek igazsághalmazának szemléletesebbé
tételére alkalmazható a különböző számhalmazoknak a számegyenesen
ponthalmazokkal való ábrázolása. Mivel a valós számok és a számegyenes pontjai
között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn, ezért ábrázolhatjuk a valós
számokat a számegyenesen.
2. A zárt intervallumot azok az x valós számok alkotják, melyekre fennáll: a kisebb
egyenlő x kisebb egyenlő b.
3. A nyitott intervallumot azok az x valós számok alkotják, melyekre fennáll: a kisebb
mint x kisebb mint b.
4. Balról zárt, jobbról nyitott intervallum: a kisebb egyenlő x kisebb mint b.
Jobbról zárt, balról nyitott intervallum: a kisebb mint x kisebb egyenlő b.
5. Ha egy intervallum egy másiknak valódi részhalmaza, akkor a részhalmazt jelképező
szakaszt tartalmazza az előző szakasz.
-89-



Ha ez többször megismételhető, akkor azt mondjuk, hogy az intervallumok
„egymásba skatulyázhatók”.
Ponthalmazok ábrázolása koordinátarendszerben rendezett számpárokkal
Kétismeretlenes
egyenletrendszerek,
egyenlőtlenségrendszerek
igazsághalmazának
szemléletesebbé tételére a koordinátasík pontjait jelöljük meg, x-re és y-ra vonatkozó
feltételekre legyünk figyelemmel. A két feltételt „és”-sel, illetve „vagy”-gyal köthetjük össze.
1. eset: x egyenlő a vagy y egyenlő b
x egyenlő a és y egyenlő b
2. eset: 0 kisebb egyenlő x kisebb egyenlő a vagy y nagyobb mint b
x nagyobb egyenlő a és y nagyobb egyenlő b
3. eset: a1 kisebb mint x kisebb egyenlő a2 diszjunkciója b1 kisebb egyenlő y kisebb mint b2
a1 kisebb egyenlő x kisebb egyenlő a2 konjunkciója b1 kisebb mint y kisebb egyenlő
b2
Tengelyes tükrözés végrehajtása
A tanult ismeretek alapján: Egy adott S síkon legyen egy t tengely és egy P tárgypont.
A P tárgypontból merőlegest állítok a t T-ből kiindulva a tengelyre, itt kapom a T talppontot.
Ha P nem illeszkedik a t-re, akkor a kapott PT távolságot a merőleges másik felére felmérve
kapom a P vessző képpontot.
A tengelyen lévő pont képe önmaga, tehát fixpont. A tengely minden pontja fixpont, tehát a
tengely fixegyenes.
Ha az a egyenes párhuzamos a t tengellyel, akkor képe, az a vessző egyenes is párhuzamos a
tengellyel, tehát egymással is párhuzamosak.
Ha a k egyenes metszi a tengelyt, a képe ugyanott metsz a tengelyt.
A tengelyre merőleges egyenes és a képe egybeesik, tehát ezek invariáns (de nem fix)
egyenesek.
A tengelyes tükrözés távolságtartó, azaz bármely szakasz és képe egyenlő hosszú.
A tengelyes tükrözés szögtartó, azaz ha az e és f egyenesek alfa szöget zárnak be, akkor ezek
képei e vessző és f vessző is alfa szöget zárnak be. A tengelyes tükrözésnél a képalakzat
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


egybevágó a tárggyal.
A tengelyes tükrözés végrehajtása
1. A feltételeknek megfelelően felvesszük a tengelyt és a síkidomot.
2. A síkidom minden csúcsából merőlegest állítunk a tengelyre, azt meghosszabbítjuk és
rámérjük a pont és a tengely közti távolságot a megfelelő merőlegesre.
3. A kapott pontokat összekötve nyerjük a képalakzatot.
4. A második, harmadik, negyedik képpont megszerkesztése általában helyettesíthető
azzal, hogy a tárgyegyenes és a képegyenes a tengelyen metszi egymást. Illetve, ha a
tárgyegyenes párhuzamos a tengellyel, akkor a képegyenes is párhuzamos vele.
5. A tengelyes tükrözés megváltoztatja a síkidomok körüljárási irányát.

-90-



A középpontos tükrözés végrehajtása
1. A tárgypontot összekötjük a tükrözési középponttal, az O ponttal, s ennek a
meghosszabbítására rámérjük a tárgypont és a tükrözési középpont távolságát.
2. Az O pont képe önmaga, tehát fixpont. Az O ponton átmenő minden egyenes képe
önmaga, tehát az ilyen egyenesek invariánsak. Az egyenes és képe párhuzamos, ha az
egyenes nem illeszkedik az O-ra.
3. A középpontos tükrözés távolságtartó. A középpontos tükrözés szögtartó.
4. A feltételeknek megfelelően felvesszük a síkidomot és a tükrözés középpontját, az Oot. A síkidom minden csúcsát összekötjük a középponttal és ezeknek az egyeneseknek
a meghosszabbítására rámérjük a tárgypont és a középpont távolságát. Így megkapjuk
a képpontokat. A második, harmadik képpont előbb leírt megszerkesztése általában
helyettesíthető azzal, hogy a tárgyegyenes és a képegyenes párhuzamos egymással. A
síkidomok körüljárási iránya nem változik meg. A képalakzat egybevágó a
tárgyalakzattal.
Az eltolás végrehajtása
1. Az A tárgypontra illesztem az adott v vektor kezdőpontját, s ekkor a vektor
végpontjában lesz az A vessző képpont.
2. Ha az adott vektor nullvektor, akkor a transzformáció helybenhagyás, azaz minden
pont fixpont.
3. Az adott vektorral párhuzamos egyenesek invariáns egyenesek. Minden más egyenes
és a képe párhuzamos egymással.
4. Az eltolás távolságtartó, szögtartó.
5. A feltételeknek megfelelően felvesszük a tárgyalakzatot és az adott eltolást
meghatározó vektort.
6. A tárgypontokból párhuzamost húzunk az adott vektorral, s a vektor irányában
rámérjük annak hosszát.
7. A második és harmadik stb. távolság felmérése helyett felhasználhatjuk azt, hogy a
tárgyegyenes és a képegyenes párhuzamos egymással.
8. A síkidomok körüljárási iránya nem változik meg. A képalakzat egybevágó a
tárgyalakzattal.
Az elforgatás végrehajtása
1. Az elforgatás középpontjában, a középpont (O) és a tárgypont (A) meghatározta
félegyenesre rámérem az adott szöget az adott irányban, s az új szögszárra az OA
vektor távolságot, ennek a végpontja lesz az A vessző képpont.
2. Ha az elforgatás szöge 0 fok vagy 360 fok, illetve k szor 360 fok, ahol k eleme Z-nek,
akkor a transzformáció helybenhagyás.
3. Ha az elforgatás szöge 180 fok, illetve (2k meg 1) szer 180 fok, ahol k eleme Z-nek,
akkor a transzformáció középpontos tükrözés.
4. Az elforgatás távolságtartó, szögtartó.
5. A feltételeknek megfelelően felvesszük az elforgatás középpontját, a tárgyalakzatot és
az elforgatást meghatározó szöget, és megadjuk az elforgatás irányát.
6. Mindegyik kezdő szögszárra felmérjük az adott szöget irány és nagyság szerint, így
megkapjuk a képalakzathoz tartozó szögszárakat. Ezekre rendre felmérjük a
középpont és a tárgypont távolságát, így kapjuk meg a képpontokat.
-91-



7. A képalakzat egybevágó a tárgyalakzattal.
Külső pontból körhöz érintő szerkesztése
1.a) Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra.
b) Thalész-tétele: Ha a kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely
más pontjával, derékszögű háromszöget kapunk.
c) A tengelyes szimmetria miatt a körhöz valamely külső pontból két egyenlő hosszú
érintő szakasz húzható.
2. A szerkesztés menete:
a) Kössük össze az adott (külső) P pontot az O középponttal.
b) Az OP vektor szakaszt felezzük meg, az így kapott F pont lesz a Thalészkör középpontja, és a PF vektor egyenlő FO vektor távolság lesz a sugara.
c) Rajzoljuk meg a Thalész-kört. Ahol ez metszi az adott kört, ott lesznek az
(E1, E2) érintési pontok.
d) Rajzoljuk meg a PE1 ás a PE2 érintőket.
Két kör közös külső érintőjének megszerkesztése
1. A szerkesztéshez felhasználhatjuk a Thalész-tételt, mert az érintő merőleges az
érintési pontba húzott sugárra.
2. A két kör kölcsönös helyzetétől függően a következő eseteket különböztetjük meg:
a) Ha az egyik kör teljes terjedelmével a másik körön belül van, akkor nincs
közös külső érintő.
b) Ha belülről érinti az egyik kör a másikat, akkor egy közös külső érintőt
kapunk, mégpedig az érintési pontba húzott sugárra merőleges egyenest.
c) Ha egyik kör sincs teljes terjedelmével a másik körben, akkor két közös külső
érintő szerkeszthető.
3. Az egyszerűbb eset, ha a két körnek egyenlő a sugara.
a) A középpontokat összekötjük. Ezt az O1O2 vektor szakaszt centrálisnak
nevezzük.
b) A centrálisra a végpontjaiban állított merőleges sugarak kimetszik a körökön
az érintési pontokat, ezeket összekötő egyenesek a két kör közös külső érintői.
c) Az érintő szakaszok, az érintőknek az érintési pontok közé eső hossza egyenlő
a centrális hosszával.
4. Ha nem egyenlők a sugarak, akkor visszavezetjük a külső pontból a körhöz húzott
érintők szerkesztésének esetére.
a) A nagyobb kör R sugarát csökkentjük a kisebb kör r sugarával. Rajzolunk egy
segédkört R-r sugárral a nagyobb kör O1 középpontja körül.
b) Először ehhez a segédkörhöz szerkesztünk érintőket a kisebb kör O2
középpontjából.
- Meghúzzuk O1O2 centrálist, megfelezzük, kapjuk az F pontot.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


- F középpontból O1F egyenlő O2F sugárral megrajzoljuk a Thalész-kört.
- A Thalész-kör és a segédkör metszéspontjai (T1 és T2) adják az érintési
pontba húzott sugarak irányát: O1T1-et és O1T2-t.
- Hosszabbítsuk meg az O1T1 és O1T2 sugarakat. Ezek az R sugarú kört az E1
és E2 pontokban metszik.
-92-



-

A szerkesztendő érintők lesznek az E1, illetve E2 ponton áthaladó és az
O2T1, illetve O2T2 „segédérintők”-kel párhuzamos egyenesek.

Két kör közös belső érintőjének szerkesztése
1. A szerkesztéshez felhasználjuk:
a) azt, hogy az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra
b) ezeket az érintési pontokat Thalész-tétele segítségével szerkesztjük meg.
2. A két kör kölcsönös helyzetétől függően a következő eseteket különböztetjük meg:
a) Ha az egyik kör a másik belsejében van, akkor nincs közös belső érintőjük.
Ha két pontban metszik egymást, akkor sincs közös belső érintőjük.
b) Ha kívülről érintik egymást, egy ilyen érintő létezik: a középpontokat
összekötő (centrális) egyenesre az érintési pontban állított merőleges.
c) Ha a két körlapnak nincs közös pontja, akkor visszavezetjük a külső pontból a
körhöz húzott érintők szerkesztésére.
3. A szerkesztés lépései:
a) Az O1 középpontú, nagyobbik kör R sugarát megnöveljük a kisebb kör r
sugarával. Így rajzolunk egy segédkört (R meg r) sugárral az O1 középpont
körül.
b) Először ehhez a segédkörhöz szerkesztünk érintőket a kisebb kör O2
középpontjából.
c) Az O1O2 centrálist megfelezzük, megkapjuk az F felezőpontot.
d) F középpontból FO1 vektor egyenlő FO2 vektor sugárral megrajzoljuk a
Thalész-kört.
e) A Thalész-kör és a segédkör metszéspontjai (T1 és T2) által kapott T1O1 és
T2O1 adják az érintési pontba húzott sugarak irányát.
f) Az O1 középpontú és R sugarú kört a T1O1, illetve T2O1 sugarak az E1,
illetve E2 érintési pontokban metszik
g) Az E1, illetve E2 ponton át húzzunk egyenest a T1O2, illetve T2O2 szakasszal
párhuzamosan. Ezek lesznek a két kör közös belső érintői.
A belső érintők a centrálison metszik egymást
Az O1O2T1 háromszög derékszögű, így az érintő hossza és az érintők
szögének a fele kiszámítható.
Középpontos nagyítás és kicsinyítés
Szerkesszük meg egy síkidom adott arányú nagyítását, illetve kicsinyítését.
Meg kell adnunk a középpontos hasonlóság középpontját és a nagyítás arányát: lambda
nagyobb mint 1, és racionális szám.
Ha kicsinyíteni akarunk, akkor 0 kisebb mint lambda kisebb mint 1. és racionális szám.
1. Nagyítsunk fel egy háromszöget. Vegyünk fel egy ABC háromszöget, és a síkon egy
O pontot.
2. Kössük össze az O pontot a tárgypontokkal, és hosszabbítsuk meg az úgynevezett
vetítősugarakat. Ezeken kívül vegyünk fel egy s segédegyenest, erre mérjünk fel
annyi egyenlő részt, amennyit a lambda számlálója mutat.
3. Az s segédegyenesen a nevezőnek megfelelő beosztást kössük össze a tárgyponttal.
Ha ezzel párhuzamost húzunk a számlálónak megfelelő pontból, akkor a megfelelő
vetítősugáron kimetszi a képpontot.
-93-



4. A kicsinyített képet ugyanezzel a módszerrel lehet megszerkeszteni.
Szakasz adott arányú felbontása
1. Egy szakaszt osszunk fel valahány egyenlő részre. 2, 4, 8,..,2 az n-ediken részre
ismételt felezéssel oszthatunk.
2. Más felosztás megszerkesztésének elméleti alapja a párhuzamos szelők tétele. Pl.:
Osszunk el egy szakaszt 5 egyenlő részre: vegyünk fel a szakasz egyik végéből egy s
segédegyenest. Erre mérjünk fel 5 egyenlő szakaszt. Az utolsó beosztást kössük össze
a másik végponttal. Ezzel húzzunk párhuzamosokat. Így megkapjuk az egyenlő
részeket.
3. Szakasz adott arányú felosztásánál ugyancsak a párhuzamos szelők tételét használjuk
fel. Legyen a felosztás aránya: a per b egyenlő 5 per 2.
Két módszer ajánlható:
a) Az egyik végpontból kiinduló segédegyenesre mérjünk fel (a meg b) egyenlő
szakaszt. Az utolsó végpontját kössük ösze az adott szakasz másik végpontjával.
Ezzel húzzunk párhuzamost az a-adik beosztáson át, ez kijelöli az AB-n a C
osztáspontot AC:CB egyenlő 5 : 2
b) A szakasz végpontjaiból húzzunk egymással párhuzamos segédegyeneseket az
ellenkező oldalakon. A félegyenesre mérjük fel a felosztást meghatározó egyenlő
szakaszokat (a-ra 5-öt és b-re 2-őt). Ha a két segédegyenes utolsó jelölését
összekötjük, akkor az az AB-t a kívánt arányban osztja ketté.
Adott szakaszhoz és szöghöz tartozó „látókörívek” szerkesztése
A szerkesztéshez felhasználjuk a látószög körívekről, a Thalész-tételről, a kerületi szögekről
és a középponti szögekről tanultakat.
1. Adott egy szakasz, amelyet szemlélni akarunk, s adott egy szög, ami úgy keletkezik,
hogy a nézőpontot összekötjük a szakasz végpontjaival.
2. A legegyszerűbb eset, ha a szakaszt derékszögben akarjuk látni. Az adott AB szakaszt
megfelezzük és AB per 2 egyenlő r sugárral kört rajzolunk. Az A és B pontokat
elhagyva a körből kapjuk a keresett ponthalmazt.
3. Az adott szöget felmérjük a szakasz (húr) egyik (A) végpontjában (ez az érintőszárú
kerületi szög).
4. A keresett körív középpontját az AB szakasz felezőmerőlegese és a szögszárra az A
pontban állított merőleges metszéspontja határozza meg. Így megkaptuk a K1
középpontot, ha a K1 középpontot a húr egyenesére tükrözzük, kapjuk a K2-t.
5. A „látókörívek” sugarát a K1A egyenlő K1B egyenlő r adja. A keresett ponthalmazok
a K1, illetve K2 középpontú, r sugarú körök ívei.
- hegyesszög esetén a félkörnél nagyobb körívet húzzunk meg
- tompaszög esetén a félkörnél kisebb körívet húzzunk meg
- a szakasz végpontjai nem tartoznak a látókörívhez.
Diszkusszió
A diszkusszió eredeti jelentései: vita, megvitatás, eszmecsere a jelentése. A matematikában a
feladat megoldásának, megoldhatóságának vizsgálatát jelenti. Meg kell vizsgálni, hogy
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


-94-



megoldható-e a feladat a megadott adatokkal, illetve milyen feltételekkel oldható meg.
Célszerű ilyenkor feltenni az alábbi kérdéseket:
- elegendő-e az adat
- nincs-e fölösleges, esetleg ellentmondó adat,
- lehet-e a kérdéses adat kisebb
- lehet-e a az adat nagyobb
- egy másik adatnál kisebb
- egy másik adatnál nagyobb?
Ha az adatokból a feladat megoldható, akkor meg kell vizsgálni, hogy:
- hány megoldása van a feladatnak,
- a megoldások különböznek-e lényegesen egymástól vagy csak helyzetükben
különböznek
Vektorok felbontása összetevőkre
1. Ha adott egy v vektor és a síkjában két egymással nem párhuzamos és nem nullvektor,
az úgynevezett bázisvektorok, az a vektor és a b vektor, akkor v vektor egyértelműen
felbontható az adott bázisvektorokkal egyállású összetevőkre, azaz:
V vektor egyenlő k szor a vektor meg l szer b vektor, ahol k és l számok
egyértelműen meghatározottak.
2. Adottak a fenti vektorok.
3. A v vektor kezdőpontjából az egyik bázisvektorral húzzunk párhuzamost (esetleg
mindkettővel).
4. A v vektor végpontjából a másik bázisvektorral húzzunk párhuzamost (esetleg
mindkettővel).
5. Az első esetben egy háromszöget kapunk, ha mindkét bázisvektorral párhuzamost
húztunk, akkor paralelogrammát kapunk.
6. Azt kell meghatároznunk, hogy a háromszög oldalai hányszorosai a bázisvektornak.
7. Ha a v vektor kezdőpontját a koordinátarendszer origójába helyezzük, és
bázisvektoroknak az x irányú i vektor és y irányú j egységvektort választjuk, akkor: v
vektor egyenlő x1 szer i vektor meg y1 szer j vektor vektorösszegre bontható fel. Az
(x1,y1) az adott v vektor végpontjainak koordinátái: v vektor(x1,y1).
Vektor abszolútértéke koordinátáiból
1. Legyen adott egy v helyvektor (kezdőpontja az origóban van). Végpontjának
koordinátái: (x1,y1).
2. A vektor abszolútértékén a vektor hosszát értjük. Ha a végpontból az y tengellyel
párhuzamost húzunk, egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek befogói x1
abszolútértéke és y1 abszolútértéke hosszúságúak.
3. Ennek átfogóját a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki: v vektor abszolútértéke
egyenlő négyzetgyök alatt az egész (x1 a négyzeten meg y1 a négyzeten)
4. Ha a vektor nem helyvektor, akkor a kezdőpontjából az egyik tengellyel, a
végpontjából a másik tengellyel húzzunk párhuzamost. Így kapjuk az úgynevezett
„különbségi háromszöget”, a befogók hossza éppen a koordináták különbségének
abszolútértéke.
-95-



5. Most is a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki a vektor abszolútértékét: v vektor
abszolútértéke egyenlő négyzetgyök alatt az egész (x2-x1)a négyzeten meg (2-y1) a
négyzeten.
Hogyan mérünk szöget
1. Szögmérésre hagyományosan fok, szögperc, szögmásodperc mértékegységet
használjuk. 1 fok jelenti a teljesszög, a teljes körfordulás 360-ad részét.
1 fok egyenlő 60 perc egyenlő 3600 másodperc,
1 perc egyenlő 60 másodperc
Így a derékszög egyenlő 90 fok
0 fok kisebb mint alfa1 kisebb mint 90 fok
hegyesszög (konvex)
Egyenesszög egyenlő 180 fok
90 fok kisebb mint alfa2 kisebb mint 180 fok
tompaszög (konvex)
Teljesszög egyenlő 360 fok
180 fok kisebb mint alfa3 kisebb mint 360 fok
homorúszög (konkáv)
A számológép a fokokat tizedes tört alakban „kéri” és „adja vissza”. Az egyszerűbb
gépeknél az átszámításokat külön kell elvégezni. Nagyobb teljesítményű gépeknél
már létezik átszámítási funkció.
2. Ívmérték, radián: Egy körben a középponti szöghöz tartozó ív és a sugár arányával is
mérhetjük a szöget.
3. Van olyan szögmérési eljárás, ezt főképpen a geodéták (földmérők) alkalmazzák,
amelynél a derékszög egyenlő 100 grad egyenlő 100 a g-ediken egyenlő 90 fok.
4. Használatos (volt) a katonai számításoknál (tüzéreknél) a vonás (1 km távolságból 1
méteres tárgy megközelítőleg 1 vonás szög alatt látszik).
5. Átszámítások (fokot radiánba, illetve radiánt fokra):
a) Aránypárral
b) A négyjegyű függvénytáblázat 13A és 13B táblázatával
A derékszögű háromszög trigonometriája
1. Ha derékszögű háromszögnek ismerjük két független adatát, akkor a harmadik
kiszámítható:
- ha más síkidomok felbonthatók derékszögű háromszögekre, akkor azok részadatai is
kiszámíthatók.
2. Tegyük fel a következő kérdéseket, haladjunk az adatoknak és a kérdésnek megfelelő
vonalon végig, és ott a kiszámítás módja adódik.
A derékszögű háromszögben adott, illetve keresett adat:
szög
nem: Pitagorasz tétele
igen: szögfüggvények: átfogó: nem: tangens, kotangens
igen: szög melletti befogó: nem: szinusz
igen: koszinusz.
Ha kiválasztottuk a megfelelő eljárást, akkor azt leírjuk, behelyettesítjük, elvégezzük
a kijelölt műveletet, a megbecsült eredménnyel összehasonlítjuk, ellenőrizzük az
eredményt, válaszoljunk a feladat szövegében feltett kérdésre.
-96-



Nevezetes szögek szögfüggvényértékei
Számítsuk ki a nevezetes szögek – 30 fok, 45 fok, 60 fok – szögfüggvényeinek pontos
értékét!
1. Rajzoljunk egy 2a oldalú szabályos háromszöget, ezt bármelyik magasságra két
egybevágó derékszögű háromszögre bontja, melyek hegyesszögei 30 fok és 60 fok.
2. Magassága Pitagorasz tételével kiszámítva: m négyzet meg a négyzet egyenlő (2a)
négyzet-ből : m egyenlő a szor négyzetgyök alatt 3. A szögfüggvények definíciója és
a pótszögekre vonatkozó összefüggések alapján:
3. sin 30 fok egyenlő a per 2a egyenlő 1 per 2 egyenlő cos 60 fok
sin 60 fok egyenlő a szor négyzetgyök alatt 3 per 2a egyenlő négyzetgyök alatt 3 per
2 egyenlő cos 30 fok
tg 30 fok egyenlő a per a szor négyzetgyök alatt 3 egyenlő 1 per négyzetgyök alatt 3
egyenlő négyzetgyök alatt 3 per 3 egyenlő ctg 60 fok
tg 60 fok egyenlő a szor négyzetgyök alatt 3 per a egyenlő négyzetgyök alatt 3
egyenlő ctg 30 fok
4. Vegyünk fel egy a oldalú négyzetet, ezt az egyik átlója két egybevágó, alfa befogójú
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


egyenlő szárú derékszögű háromszögre bontja. Ennek hegyesszögei 45 fokosak.
Átfogója Pitagorasz tételével kiszámítva: a négyzet meg a négyzet egyenlő c négyzetből: c egyenlő a szor négyzetgyök alatt 2
5. sin 45 fok egyenlő a per a szor négyzetgyök alatt 2 egyenlő négyzetgyök alatt 2 per 2
egyenlő cos 45 fok
tg 45 fok egyenlő a per a egyenlő 1 egyenlő ctg 45 fok
A nevező gyöktelenítése érdekében a törtet bővítettük a négyzetgyököt tartalmazó
nevezővel.
6. A szögfüggvények általánosításánál tanultakat felhasználva: a „forgó” egységvektor x
koordinátája adja a szög koszinuszát, y koordinátája adja a szög szinuszát.
7. sin 0 fok egyenlő 0 egyenlő cos 90 fok egyenlő 1 egyenlő cos 0 fok
tg 0 fok egyenlő 0 egyenlő 0 egyenlő ctg 90 fok
tg 90 fok – nincs értelmezve – ctg 0 fok
A trigonometrikus egyenletek megoldása
Az olyan egyenleteket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel,
trigonometrikus egyenletnek nevezzük. A legegyszerűbb egyenletek: sin x egyenlő a1, cos x
egyenlő a2, tg x egyenlő a3, ctg x egyenlő a4. Minden trigonometrikus egyenlet
megoldásakor arra törekszünk, hogy ilyen egyszerű alakra hozzuk őket. Az ismeretlen
értékének meghatározásakor az első lépés az előjel vizsgálata, ebből megállapítjuk, hogy az
„alapmegoldás” melyik negyedbe esik, majd azt, hogy a „visszakeresett” érték és a megoldás
között milyen összefüggés van.
1.példa: sin x egyenlő a1, ahol -1 kisebb egyenlő, mint a1 kisebb egyenlő, mint 1.
Keressük ki a függvénytáblázatból a sin x egyenlő a1 abszolútértéke egyenlet hegyesszög
megoldását. Ezt jelöljük alfa-val.
Ha 0 kisebb, mint a1 kisebb, mint 1, akkor az I. negyedben az alapmegoldás x1 egyenlő alfa,
és a II. negyedben az alapmegoldás x2 egyenlő 180 fok –alfa. Ha -1 kisebb, mint a1 kisebb,
mint 0, akkor a III. negyedben az alapmegoldás x3 egyenlő 180 fok meg alfa, és a IV.
negyedben az alapmegoldás x4 egyenlő 360 fok –alfa. Az összes megoldást úgy kapjuk meg,
ha mindegyik alapmegoldáshoz hozzáadjuk a k szor 360 fok-ot, ha az x értékét radiánban
-97-



adjuk meg, akkor a k szor 2 pí-t, ahol k tetszőleges egész szám. Ha sin x egyenlő 1, akkor x
egyenlő 90 fok meg k szor 360 fok, és ha sin x egyenlő -1, akkor x egyenlő 270 fok meg k
szor 360 fok.
A megoldást szemléletesebbé tehetjük, ha ábrázoljuk a szinuszgörbét, s azt elmetsszük az x
tengellyel a1 távolságban húzott párhuzamossal. A kapott metszéspontok (amelyek páronként
periódus távolságban vannak egymástól) adják a megoldást.
2.példa: cos x egyenlő a2, ahol -1 kisebb egyenlő, mint a2 kisebb egyenlő, mint 1.
Ha 0 kisebb egyenlő, mint a1 kisebb egyenlő, mint 1, akkor az I. negyedben az alapmegoldás
x1 egyenlő alfa, és a IV. negyedben az alapmegoldás x4 egyenlő 360 fok – alfa. Ha -1 kisebb,
mint a1 kisebb, mint 0, akkor a II. negyedben az alapmegoldás x2 egyenlő 180 fok – alfa, és
a III. negyedben az alapmegoldás x3 egyenlő 180 fok meg alfa. Az összes megoldást úgy
kapjuk meg, ha mindegyik alapmegoldáshoz hozzáadjuk a k szor 360 fokot, ha az x értékét
radiánban adjuk meg, akkor a k szor 2 pí-t, ahol k tetszőleges egész szám.
Ha cos x egyenlő 1, akkor x egyenlő 0 fok meg k szor 360 fok, és ha cos x egyenlő -1,
akkor x egyenlő 180 fok meg k szor 360 fok.
A megoldást szemléletesebbé tehetjük, ha ábrázoljuk a koszinuszgörbét, s azt elmetsszük az x
tengellyel a2 távolságban húzott párhuzamossal. A kapott metszéspontok (amelyek páronként
periódus távolságban vannak egymástól) adják a megoldást.
3. példa: tg x egyenlő a3, illetve ctg x egyenlő a4.
Ha a3 nagyobb, mint0, a4 nagyobb, mint 0, akkor az I negyedben az alapmegoldás x1
egyenlő alfa.
Ha a3 kisebb, mint 0, a4 kisebb, mint 0, akkor a II. negyedben az alapmegoldás x2 egyenlő
180 fok –alfa.
Az összes megoldást úgy kapjuk meg, ha mindegyik alapmegoldáshoz hozzáadjuk a k szor
180 fokot. Ha az x értékét radiánban adjuk meg, akkor k szor pí-t írunk, ahol k tetszőleges
egész szám.
A megoldást szemléletesebbé tehetjük, ha ábrázoljuk a tangensgörbét, illetve a
kotangensgörbét, s azt elmetsszük az x tengellyel a3, illetve a4 távolságban húzott
párhuzamossal. A kapott metszéspontok (amelyek periódikusan ismétlődnek) adják a
megoldást.
2.
Ha trigonometrikus egyenletben ugyanannak a szögnek különböző szögfüggvényei
szerepelnek, akkor valamilyen ismert összefüggés (törtes, négyzetes, reciprokos,
pótszöges, x plusz mínusz pí, addíciós) felhasználásával úgy alakítjuk át, hogy csak
egyféle szögfüggvény szerepeljen.
3. Típusfeladatok:
- a szor tg x b szer ctg x egyenlő 0, alkalmazzuk a reciprokos összefüggést
- a szor sin x meg b szer cos x egyenlő 0, osszuk el sin x-szel vagy cos x-szel
(vigyázzunk az ekvivalenciára) és alkalmazzuk a törtes összefüggést
- a szor sin x egyenlő b szer cos x meg c, emeljük mindkét oldalt négyzetre
(vigyázzunk az ekvivalenciára)és alkalmazzuk a négyzetes összefüggést
- a szor sin x egyenlő b szer tg x, illetve a szor cos x egyenlő b szer tg x, alkalmazzuk a
tg x egyenlő sin x per cos x összefüggést
- a szor sin x egyenlő b szer ctg x, illetve a szor cos x egyenlő b szer ctg x, alkalmazzuk
a ctg x egyenlő cos x per sin x összefüggést.
-98-



4. a szor sin négyzet x meg b szer sin x meg c egyenlő 0, illetve a szor cos négyzet x meg b
szer cos x meg c egyenlő 0 alakú másodfokú egyenletet megoldjuk először sin x-re,
illetve cos x-re, majd meghatározzuk az ismeretlent.
Az általános háromszög trigonometriája
1. Ha az általános háromszög három egymástól független adatát ismerjük, akkor a többi adat
kiszámítható.
2. Használjuk fel a szinusztételt vagy a koszinusztételt.
3. Vezessünk be alkalmas jelöléseket, becsüljük meg a várható eredményeket.
4. Az alkalmazandó tételt az ismert adatok alapján tudjuk kiválasztani.
5. Ha ismerjük az egyik oldalt és a két szöget, akkor a szinusztétel alkalmazható, és a másik
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


két oldal kiszámítható. Kiszámítjuk a harmadik szöget, felírjuk a szinusz tétel egyik
alakját: - a per c egyenlő sin alfa per sin gamma vagy
- b per c egyenlő sin béta per sin gamma
6. Ha ismerünk két oldalt és a nagyobbikkal szemközti szöget, akkor is a szinusztétel
alkalmazható, így a másik szög kiszámítható. Írjuk fel a szinusztétel egyik alakját:
- sin alfa per sin béta egyenlő a per b
- sin béta per sin alfa egyenlő b per a
- sin alfa per sin gamma egyenlő a per c
7. Ha ismerjük a három oldalt, akkor az egyik szög kiszámítható (célszerű a leghosszabb
oldallal szemközti szöget számolni). Felírjuk a leghosszabb oldalra a koszinusztételt.
Ebből a keresett szög koszinusza kiszámítható:
- ha a cos gamma pozitív, akkor a megoldás hegyesszög
- ha 0, akkor derékszög
- ha negatív, akkor tompaszög
- ha cos gamma abszolút értéke nagyobb, mint 1, akkor nincs megoldás.
8. Ha ismerjük a háromszög két oldalát és a közbezárt szöget, akkor a harmadik oldal
koszinusztétellel kiszámítható.
9. Az alkalmas képletbe behelyettesítünk. A kijelölt műveleteket elvégezzük. A kapott
eredményt a becsült értékkel összehasonlítjuk, ellenőrizzük. Válaszoljunk a feladat
szövegében feltett kérdésre.
A háromszög területének kiszámítása
1. Ha ismert a háromszög egyik oldala és a hozzátartozó magasság: t egyenlő (a szor ma)
per 2
2. Ha a háromszög derékszögű, akkor: ma egyenlő b, ezért t egyenlő a szor b per 2
3. Ha ismert két oldal és a közbezárt szög, akkor: t egyenlő (a szor b szer sin gamma) per 2
4. Ha ismerünk egy oldalt és két szöget, a harmadik szöget kiszámítjuk: t egyenlő ( a
négyzet szer sin béta szor sin gamma) per 2 sin alfa
5. Ha a három oldalt ismerjük, akkor az úgynevezett Heron-képlet alkalmazható. Először
kiszámítjuk a félkerületet: s egyenlő(a meg b meg c) per 2. T egyenlő négyzetgyök alatt s
(s –a)(s-b)(s-c)
6. Ha ismerjük a félkerületet és a háromszögbe írt kör q sugarát: s egyenlő (a meg b meg c)
per 2. T egyenlő q szor s
7. Ha a három oldalt és a három szög köré írt kör r sugarát ismerjük: T egyenlő abc per 4r
-99-



8. Mindegyik esetben a hosszúságadatokat egyező mértékegységű mennyiségekké alakítjuk.
Az adatok ismeretében kiválasztjuk a megfelelő képletet, eljárást.
9. Behelyettesítünk, elvégezzük a számításokat. Válaszoljunk a feltett kérdésre, a területmértékegységet írjuk ki.
A négyszögek területének kiszámítása
1. Ha a négyzet oldalát ismerjük, akkor : t egyenlő a a négyzeten. Ha az átlóját ismerjük,
akkor: t egyenlő c négyzet per 2
2. Ha a téglalap két oldalát ismerjük, akkor: t egyenlő ab. Ha az átlóját és a közbezárt szöget
ismerjük, akkor: t egyenlő (c négyzet szer sin gamma) per 2
3. A rombusz oldalát és egyik szögét ismerjük: t egyenlő a négyzet szer sin gamma. Ha az
oldalt és a magasságot ismerjük: t egyenlő a szor ma. Ha az átlókat ismerjük: t egyenlő (e
szer f) per 2
4. Ha a paralelogramma egyik oldalát és a hozzátartozó magasságot ismerjük: t egyenlő a
szor ma egyenlő b szer mb. A két oldalt és a közbezárt szögét ismerjük: t egyenlő a szor b
szer sin gamma. Az átlóit és a közbezárt szögüket ismerjük: t egyenlő (e szer f szer sin
déta) per 2
5. Ha a deltoid átlóit ismerjük: t egyenlő ef per 2, egyébként bontsuk fel háromszögekre, s
azok területeit adjuk össze.
6. A trapéz alapjait és a magasságot ismerjük: t egyenlő (a meg c) per 2 szorozva m-mel.
7. Az általános négyszöget bontsuk fel háromszögekre. Ha ismerjük az átlókat és a
hajlásszögüket: t egyenlő (e szer f szer sin alfa) per2
8. Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük a hosszúságadatok mértékegységét.
Behelyettesítünk, elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét.
Válaszoljunk a feltett kérdésre, a terület mértékegységet írjuk ki.
A sokszög területének kiszámítása
A sokszög területének kiszámítását visszavezetjük háromszögek, esetenként négyszögek
területének kiszámítására, majd ezek összegzésére.
Háromszögekre bontás módszere:
Egy csúcsból húzzunk átlókat, n oldalú sokszög estén (n-3)-at lehet húzni. Ezek (n-2)
háromszögre bontják a sokszöget. A háromszögek területét kiszámítjuk az előzőekben leírt
valamely módszerrel. T egyenlő t1 meg t2 meg t3 meg… meg t n-2
Trapéz módszer:
Meghúzzuk a „leghosszabb” átlót, erre a többi csúcsból merőlegeseket állítunk. Így
háromszögeket, trapézokat (kivételes esetben téglalapot) kapunk, ezek területét összegezzük:
T egyenlő t1 meg t2 meg t3 meg… meg tm
Szabályos sokszögek:
Itt is visszavezetjük háromszögek, a középponti háromszögek területének kiszámítására.
(Ezeket a középponti háromszögeket úgy kapjuk, hogy a szabályos sokszög középpontját
összekötjük a csúcsokkal.) Ha a szabályos sokszög egy adatát ismerjük, akkor a terület
kiszámítható a következők szerint: mindenképpen ismert adat: a középponti szög: 360 fok per
n.
-100-



a) ha adott az a oldal, akkor: T egyenlő (n szer a négyzet) per 4 szer ctg(360 fok per 2n)
b) ha adott a körülírt kör sugara ®, akkor: T egyenlő (n szer R négyzet) per 2 ször sin
(360 fok per n)
c) ha adott a beírt kör sugara: r, akkor: T egyenlő n szer r négyzet szer tg(360 fok per 2n)
A kör részeinek területe
1. A kör területe: t egyenlő r négyzet szer pí
2. A körcikk területe:
a) Ha adott a sugár (r) és a középponti szög (alfa) fokokban: t egyenlő (r négyzet szer
pí9 per 360 fok szor alfa
b) Adott a sugár (r) és a középponti szög ívmértékben: alfa ívmértéke egyenlő (2 pí szer
alfa) per 360, ezért t egyenlő (r négyzet szer alfa ívmértéke) per 2
c) Adott a sugár (r) és az ív (i) hossza: i egyenlő r szer alfa ívmértéke, ezért t egyenlő ri
per 2
3. Körszelet: ha adott a sugár és a középponti szög:
a) Az értelmezés szerint, ha a középponti szög kisebb, mint 180 fok, akkor: t(szelet)
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


egyenlő t(cikk) - t( háromszög) kiemelés után: t egyenlő r négyzet per 2 szer {(pí
szer középponti szög) per 180 fok –sin középponti szög}
b) Ha a középponti szög nagyobb, mint 180 fok: t(szelet) egyenlő t(cikk) meg t(
háromszög)
4. Körgyűrű adódik két koncentrikus körvonal között. T egyenlő pí (R négyzet- r négyzet)
esetleg: t egyenlő pí(R meg r)(R-r)
Körgyűrűcikk:
a) Ha adottak a sugarak (R és r) és a középponti szög (alfa), az értelmezés szerint: t
egyenlő (R négyzet szer pí szer alfa) per 360 fok – (r négyzet szer pí szer alfa) per 360
fok, kiemelés után: t egyenlő (pí szer alfa) per 360 fok szor(R négyzet –r négyzet).
b) Ha adottak a sugarak és a középponti szög radiánban alfa ívmértéke, az értelmezés
szerint, kiemelés után: t egyenlő alfa ívmértéke per 2 szer (R négyzet –r négyzet)
c) Ha adottak a sugarak és az ívek (I és i): t egyenlő RI per 2 –ri per 2.
A kapott képletekbe behelyettesítünk, a számításokat elvégezzük, a kapott eredményt
ellenőrizzük. A terület-mértékegységeket írjuk ki. Válaszoljunk a feladatban feltett kérdésre.
A hasáb felszíne és térfogata
A hasáb térfogata: V egyenlő Ta szor m, ahol Ta jelenti az alapterületet.
A magasság a két párhuzamos alaplap távolsága. Ha a magasság nem párhuzamos az
oldaléllel, akkor a hasábot ferde hasábnak nevezzük.
Ha nem adott ez a magasság, akkor a ferde hasáb „dőlésszögét” kell megadni. Az oldalél, az
oldalél merőleges vetülete és a testmagasság alkotta derékszögű háromszög szöggel
szemközti befogóját kell kiszámítani.
Speciális hasábok térfogata:
Kocka: ha az éle a, akkor V egyenlő a a harmadikon
Négyzetes oszlop: ha alapélei a, oldaléle (magassága) b, akkor: V egyenlő a négyzet szer b
Téglatest: ha élei: a, b, c, akkor: V egyenlő abc
Paralelepipedon: ha élei a, b, c, és alfa az a és b alapélek által bezárt szög, déta pedig a
harmadik él és az alaplap által bezárt szög, akkor : V egyenlő Ta szor m egyenlő abc szer sin
alfa szor sin déta
-101-



A hasáb felszíne a határoló lapok területének összege.
Kocka: A egyenlő 6a négyzet
Négyzetes oszlop: A egyenlő 2a négyzet meg 4ab
Téglatest: A egyenlő 2ab meg 2ac meg 2bc egyenlő 2(ab meg ac meg bc)
Egyenes hasáb: A egyenlő 2t meg P egyenlő 2t meg km, ahol k az alapkerület
Ferde hasáb felszíne: a két alapterület összegéhez hozzáadjuk az oldallapok területének
összegét.
Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük az adatok mértékegységét. Behelyettesítünk,
elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét. Válaszoljunk a feltett
kérdésre, a terület-, illetve térfogat mértékegységet írjuk ki.
A henger felszíne és térfogata
A henger térfogata: V egyenlő Ta szor m, ahol Ta jelenti az alapterületet. Ha a henger alapja r
sugarú kör, akkor V egyenlő r négyzet szer pí szer m.
A magasság a két párhuzamos alaplap távolsága. Ha a magasság nem párhuzamos az
oldaléllel, akkor a hasábot ferde hengernek nevezzük.
Ha nem adott ez a magasság, akkor a ferde henger „dőlésszögét” kell megadni. Az alkotó, az
alkotó merőleges vetülete és a magasság alkotta derékszögű háromszög szöggel szemközti
befogóját kell kiszámítani.
Speciális hengerek:
Egyenlő oldalú henger: ha az alapkör átmérője egyenlő a magasságával: 2r egyenlő m, akkor
V egyenlő2 szer r a köbön ször pí
Forgáshengerek: ha egy téglalapot valamelyik oldaléle vagy a középvonala körül a térben
megforgatunk, akkor ez az eljárás egy forgáshengert ad meg. A tengelyre illeszkedő síkot
tengelymetszetnek nevezzük. V egyenlő r négyzet szer pí szer m.
A henger felszíne a határoló lapok területének összege.
Egyenes körhenger: A egyenlő 2 szer r négyzet szer pí meg 2r szer pí szer m, vagy A egyenlő
2r szer pí(r meg m)
Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük az adatok mértékegységét. Behelyettesítünk,
elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét. Válaszoljunk a feltett
kérdésre, a terület-, illetve térfogat mértékegységet írjuk ki.
A gúla felszíne és térfogata
A gúla térfogata: V egyenlő (Ta szor m) per 3, ahol a Ta jelenti az alapterületet. A magasság
a csúcs és az alaplap távolsága. Ha a csúcs merőleges vetülete nem az alaplap középpontjába
esik, akkor a gúlát ferde gúlának nevezzük.
Ha nem adott a magasság, akkor a magasságra illeszkedő metsző síkkal elmetsszük a gúlát
úgy, hogy az a megadott, ismert adatokat tartalmazza. Ezek az adatok lehetnek: oldalél,
oldalél és alaplap (alfa) szöge, oldallap és alaplap (béta) szöge. Az itt kapott derékszögű
háromszög hiányzó adatait kell kiszámítani szögfüggvényekkel vagy Pitagorasz tétellel.. Ha
nem derékszögű a háromszög, akkor a szinusz vagy koszinusz tétel segítségével számíthatjuk
ki a hiányzó adatokat.
Négyzet alapú egyenes gúla: V egyenlő (a a négyzeten szer m) per 3
Szabályos tetraéder: mind a négy oldallapja a oldalú szabályos háromszög: V egyenlő
(négyzetgyök alatt 2 per 12) szer a a köbön.
-102-



A beírt gömb (r) sugara és a körülírt gömb (R) sugara kiszámítható. V egyenlő 8 szor
négyzetgyök alatt 3 szor r a köbön.
A gúla felszíne a határoló lapok területének összege.
Gúla: A egyenlő Ta meg P, ahol Ta az alaplap, P a palást területe, ami a határoló
háromszögek területének összegével egyenlő.
Szabályos tetraéder: A egyenlő 24 szer négyzetgyök alatt 3 szor r négyzet.
Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük az adatok mértékegységét. Behelyettesítünk,
elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét. Válaszoljunk a feltett
kérdésre, a terület-, illetve térfogat mértékegységet írjuk ki.
A forgáskúp felszíne és térfogata
A forgáskúp térfogata: V egyenlő (r négyzet szer pí szer m) per 3, ahol r jelenti az alapkör
sugarát.
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


A magasság a csúcs és az alaplap távolsága, ez a kúp forgástengelye.
Ha erre illesztünk egy metszősíkot, akkor az itt „keletkező” egyenlőszárú háromszögben
találhatók a számításhoz szükséges adatok.
Ha a magasság nem adott, akkor a kúp „nyílásszögét” a gammát vagy az alkotót, illetve az
alkotó és az alaplap szögét, az alfát kell megadni.
V egyenlő {r négyzet szer pí szer a szor cos (gamma per 2)} per 3 egyenlő (r négyzet szer pí
szer a szor sin alfa) per 2
A forgáskúp felszíne a határoló lapok területének összege.
Forgáskúp: A egyenlő r szer pí szer (r meg a)
Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük az adatok mértékegységét. Behelyettesítünk,
elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét. Válaszoljunk a feltett
kérdésre, a terület-, illetve térfogat mértékegységet írjuk ki.
A csonkagúla felszíne és térfogata
A csonkagúla térfogata: V egyenlő m per 3 szor(T meg négyzetgyök alatt Tt meg t), ahol T és
t jelenti a két alaplap területét.
A magasság a két alaplap távolsága. Ha az alaplapok középpontját összekötő egyenes
merőleges az alaplapokra, akkor a csonkagúlát egyenes csonkagúlának nevezzük. Ha erre a
magasságra illesztünk egy metszősíkot, akkor az itt „keletkező” szimmetrikus trapézban
találhatók a számításhoz szükséges adatok.
Ha a magasság nem adott, akkor a csonkagúla oldalélét vagy az oldalél és az alaplap
hajlásszögét, illetve az oldallap és az alaplap által bezárt szöget kell megadni a magasság
kiszámításához.
A csonkagúla felszíne a határoló lapok területének összege. A palást annyi trapéz, ahány
oldalú sokszög az alaplap. Ezeknek a trapézoknak a területösszege adja a palást területét.
Csonkagúla: A egyenlő T meg t meg P
Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük az adatok mértékegységét. Behelyettesítünk,
elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét. Válaszoljunk a feltett
kérdésre, a terület-, illetve térfogat mértékegységet írjuk ki.
-103-



A csonkakúp felszíne és térfogata
A csonkakúp térfogata. V egyenlő (m szer pí) per 3 szor (R négyzet meg Rr meg r négyzet),
ahol R és r jelenti a két alapkör sugarát.
A magasság a két alaplap távolsága. Ha az alaplapok középpontját összekötő egyenes
merőleges az alaplapokra, akkor az a csonkakúp forgástengelye. Ha erre a magasságra
illesztünk egy metszősíkot, akkor az itt „keletkező” szimmetrikus trapézban találhatók a
számításhoz szükséges adatok.
Ha nem adott a magasság, akkor a csonkagúla alkotóját, illetve az alkotó és az alaplap szögét,
az alfa-t kell megadni a magasság kiszámításához.
A csonkakúp felszíne a határoló lapok területének összege.
Forgás csonkakúp: A egyenlő pí szer{R négyzet meg r négyzet meg (R meg r) szer a}
Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük az adatok mértékegységét. Behelyettesítünk,
elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét. Válaszoljunk a feltett
kérdésre, a terület-, illetve térfogat mértékegységet írjuk ki.
A gömb felszíne és térfogata
A gömb térfogata: V egyenlő (4pí) per 3 szor r a köbön, ahol r jelenti a gömb sugarát.
A gömb térfogatának a kiszámításához a sugarát kell megadni.
Gömb felszíne: A egyenlő 4r négyzet szer pí
A gömb felületét nem tudjuk kiteríteni a síkba, ennek a testnek nincs hálózata. A gömbszelet,
illetve a gömbréteg palástjának a területe: P egyenlő 2 pí szer r szer m, ahol m a test
magassága.
Kiválasztjuk a megfelelő eljárást. Egyeztetjük az adatok mértékegységét. Behelyettesítünk,
elvégezzük a számításokat. Ellenőrizzük a számítás helyességét. Válaszoljunk a feltett
kérdésre, a terület-, illetve térfogat mértékegységet írjuk ki.
Egyenes egyenlete két pontja alapján
1. Vegyük fel a koordinátarendszert, ábrázoljuk az adott pontokat. Vezessük be a szokásos
jelöléseket: P1(x1,y1), P2(x2,y2)
2. Az egyenes egyenletének a két adott pont koordinátáit tartalmazó alakja: (x2-x1)(y-y1)
egyenlő (y2-y1)(x-x1), illetve y-y1 egyenlő (y2-y1) per (x2-x1) szor(x-x1)
3. Behelyettesítjük a két adott pont koordinátáit. Elvégezzük a számolást. Végül célszerű a
kapott egyenletet: y egyenlő m szer x meg b alakra rendezni.
4. Ellenőrizzük a számításainkat. A kapott értékeket összehasonlítjuk az eredetileg felvett
ábrával.
5. Az y egyenlő m szer x meg b egyenletben a b jelenti azt, hogy az egyenes hol metszi az y
tengelyt.
6. Ha az m egész, akkor a helyessége biztonsággal ellenőrizhető. Ha m tört, akkor
biztonságosabb az ellenőrzés a P1 és P2 valamint a tengelyirányok „meghatározta”
különbségi háromszög befogóival. Számoljuk ki a két befogó hosszát: v2 egyenlő y2-y1,
v1 egyenlő x2-x1, m egyenlő (y2-y1) per (x2-x1) egyenlő v2 per v1
7. Ha a rajz és a számolás eredményei megegyeznek, a kapott eredményünk helyes.
Válaszoljunk a feladatban feltett kérdésre, illetve a kapott részeredménnyel biztonsággal
számolhatunk tovább.
-104-



Egyenes egyenlete, egy pontja és irányvektora alapján
1. Vegyünk fel egy koordináta-rendszert, ábrázoljuk az adott pontot és az irányvektort.
Vezessük be a szokásos jelöléseket, a pont: P1(x1,y1), az irányvektor: v vektor(v1,v2)
2. Az egyenes egyenletének most használatos alakja lehet: v1(y-y1)-v2(x-x1) egyenlő 0,
illetve v2x - v1y egyenlő v2x1 – v1y1
3. Behelyettesítjük az adott pont és az irányvektor koordinátáit. Elvégezzük a számolást,
ezután célszerű rendezni: y egyenlő m szer x meg b alakra.
4. Ellenőrizzük a számításainkat. A kapott értékeket összehasonlítjuk az eredetileg felvett
ábrával.
5. Az y egyenlő m szer x meg b egyenletben a b jelenti azt, hogy az egyenes a (0,b) pontban
metszi az y tengelyt.
6. Ha az m egész, akkor a helyessége biztonsággal ellenőrizhető. Ha m tört, akkor
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


biztonságosabb az ellenőrzés a P1 és P2 valamint a tengelyirányok „meghatározta”
különbségi háromszög befogóival. Számoljuk ki a két befogó hosszát: v2 egyenlő y2-y1,
v1 egyenlő x2-x1
7. Ha a rajz és a számolás eredményei megegyeznek, a kapott eredményünk helyes.
Válaszoljunk a feladatban feltett kérdésre, illetve a kapott részeredménnyel biztonsággal
számolhatunk tovább.
Egyenes egyenlete, egy pontja és irányszöge alapján
1. Vegyünk fel egy koordináta-rendszert, ábrázoljuk az adott pontot és az irányszöget, azaz
az egyenes és az x tengely pozitív fele közti szöget. Vezessük be a szokásos jelöléseket, a
pont: P1(x1,y1), az irányszög: alfa, keressük ki a táblázatból a tg alfa-t, ahol tg alfa
egyenlő m.
2. Az egyenes egyenletének most használatos alakja lehet: (y –y1) egyenlő tg alfa szor(xx1), illetve y-y1 egyenlő m(x-x1)
3. Behelyettesítjük az adott pont koordinátáit és az adott szög tangensét, azaz a
meredekséget. Elvégezzük a számolást, ezután célszerű rendezni: y egyenlő m szer x meg
b alakra.
4. Ellenőrizzük a számításainkat. A kapott értékeket összehasonlítjuk az eredetileg felvett
ábrával.
5. Az y egyenlő m szer x meg b egyenletben a b jelenti azt, hogy az egyenes a (0,b)
koordinátájú pontban metszi az y tengelyt.
6. Ha az m egész, akkor a helyessége biztonsággal ellenőrizhető. Ha m tört, akkor
fokozottabban figyeljünk az ellenőrzésre.
7. Ha a rajz és a számolás eredményei megegyeznek, a kapott eredményünk helyes.
Válaszoljunk a feladatban feltett kérdésre, illetve a kapott részeredménnyel biztonsággal
számolhatunk tovább.
Egyenes egyenlete, egy pontja és normálvektora alapján
1. Vegyünk fel egy koordináta-rendszert, ábrázoljuk az adott pontot és a normálvektort, ami
merőleges az egyenes irányára. Vezessük be a szokásos jelöléseket, a pont: P1(x1,y1), a
normálvektor: n vektor(n1,n2), illetve n vektor(A,B)
2. Az egyenes egyenletének most használatos alakja lehet: n1(x-x1) meg n2(y-y1) egyenlő
0, illetve A(x-x1) meg B(y-y1) egyenlő 0
-105-



3. Behelyettesítjük az adott pont és a normálvektor koordinátáit. Elvégezzük a számolást,
ezután célszerű rendezni: y egyenlő m szer x meg b alakra.
4. Ellenőrizzük a számításainkat. A kapott értékeket összehasonlítjuk az eredetileg felvett
ábrával.
5. Az y egyenlő m szer x meg b egyenletben a b jelenti azt, hogy az egyenes a (0,b) pontban
metszi az y tengelyt.
6. Ha az m egész, akkor a helyessége biztonsággal ellenőrizhető.
7. Ha a rajz és a számolás eredményei megegyeznek, a kapott eredményünk helyes.
Válaszoljunk a feladatban feltett kérdésre, illetve a kapott részeredménnyel biztonsággal
számolhatunk tovább.
Az egyenes jellemző adatai
1. Az egyenes iránya, helyzete az egyenletéből megállapítható.
2. Hozzuk az egyenletet y egyenlő m szer x meg b alakra, illetve ha ilyen alakra nem
hozható, akkor y egyenlő b vagy x egyenlő a alakú, ahol a és b tetszőleges szám.
3. Általános helyzetű egyenes: y egyenlő m szer x meg b, m nem egyenlő 0, b nem egyenlő
0.Az egyenes egyenletében a b azt jelenti, hogy az egyenes a (0,b) pontban metszi az y
tengelyt, az m a meredekséget adja meg.
4. Az origón megy át az egyenes, ha b egyenlő 0, akkor az egyenlet: y egyenlő mx
5. A tengelyekkel párhuzamos egyenesek:
- az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete y egyenlő b alakú, azaz m egyenlő 0,
vagyis se nem nő, se nem csökken az y értéke, ha x-et változtatjuk
- Az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete x egyenlő a, az x tengelyt az (a,0)
pontban metszi.
6. A tengelyek egyenlete: az x tengely: y egyenlő 0,
az y tengely: x egyenlő 0 .
7. Ismeretes még az úgynevezett tengelymetszetes alak: x per a meg y per b egyenlő 1. Ha
ilyen alakra hozzuk az egyenes egyenletét, akkor leolvasható, hogy az x tengelyt az (a,0)
pontjában, az y tengelyt a (0,b) pontjában metszi az egyenest.
Egyenesek metszéspontja
Legyen adott a két egyenes egyenlete. Két típusa van:
- az elsőfokú: ax meg by egyenlő c
- és a konstans: ax egyenlő d, illetve by egyenlő e
A két egyenes metszéspontjának koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy az egyenleteiből alkotott
egyenletrendszert megoldjuk. Ilyenkor az egyenletrendszer megoldásaként egy számpár
adódhat.
Ha az algebrai megoldás során ellentmondás adódik, pl. 0 egyenlő 3, akkor az egyeneseknek
nincs metszéspontja – azaz, amint a példán látszik, párhuzamosak.
Ha az algebrai megoldás során azonosságot kapunk, akkor az egyenesek egybeesnek, azaz
minden pontjuk közös.
A megoldás ellenőrzésére célszerű az egyeneseket ábrázolni a Descartes-féle koordináta
rendszerben. A megoldást (ha van), a metszéspont koordinátái adják.

-106-



A kör egyenletének felírása
A kör egyenletének egyik alakja: (x-u)négyzeten meg (y-v) négyzeten egyenlő r négyzet,
ahol (u,v) a kör középpontjának koordinátái, r pedig a kör sugara.
Ha ismerjük a kör középpontját: O(u,v)-t, és a sugarát, az r-t, s ezeket az adatokat
behelyettesítjük, elvégezzük a négyzetre emelést (ha szükséges), és összevonunk.
Kör és egyenes metszéspontja
1. Ha adott egy kör egyenlete és egy egyenes egyenlete, közös pontjaik koordinátáit algebrai
úton behelyettesíthető módszerrel határozhatjuk meg. Az egyenes egyenletéből kifejezzük
valamelyik ismeretlent, s ezt behelyettesítjük a kör egyenletébe.
2. Így egy egyismeretlenes másodfokú egyenletet kapunk. Ennek a másodfokú egyenletnek
a diszkriminánsa –és vele a megoldások száma- háromféle lehet.
a) Ha D egyenlő 0, akkor az egyenletnek egy megoldása van, ekkor az egyenes érinti a
kört, azaz egy érintési pont adódik.
b) Ha D kisebb, mint 0, akkor nincs közös pontja az egyenesnek és a körnek.
c) Ha D nagyobb, mint 0, akkor két különböző megoldás, azaz az egyenes két pontban
metszi a kört.
Célszerű ábrát készíteni, és azon ellenőrizni az algebrai megoldást. Végül válaszolni kell a
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


feladat szövegében feltett kérdésre.
Két kör metszéspontjának meghatározása
Ha adott két kör, akkor kölcsönös helyzetük –a közös pontjaik számát tekintve- négyféle
lehet:
1. A két kör egybeesik, azaz minden pontjuk közös. Ilyenkor a két kör egyenlete ekvivalens.
2. A két körnek két közös (metszéspontja) van.
3. A két körnek egy közös (érintési) pontja van.
4. A két körnek nincs közös pontja.
Ha adott két kör egyenlete, állapítsuk meg algebrai módszerrel a kölcsönös helyzetüket.
A két másodfokú egyenletből „egyenlő együtthatók” módszerével a két másodfokú tagot
„kiküszöbölhetjük”, így kapunk egy lineáris egyenletet.
Ez az egyenlet a két kör közös húrjára illeszkedő egyenes egyenlete, ha van közös húr. Így a
feladatot visszavezetjük az egyik körnek és ennek az egyenesnek metszéspontjainak a
meghatározására.
Ha az egyenes érinti a kört, akkor az érintési pont a két kör egyetlen közös pontja.
Ha az egyenesnek egyik körrel sincs közös pontja, akkor a két körnek nincs közös pontja.
Ha ábrázoljuk a köröket, akkor ellenőrizhetjük az algebrai megoldást.
A kört érintő egyenes egyenlete
Ha az egyenesnek és a körnek egy közös pontja van, akkor azt az egyenest a kör érintőjének
nevezzük.
Legyen az adott kör középponti egyenlete: (x-u) a négyzeten meg (y-v) a négyzeten egyenlő r
négyzet. Három feladattípust különböztetünk meg:
1. Érintse az egyenes a kört annak egy adott pontjában: E(y1,x2). Tudjuk, hogy az érintési
pontba húzott sugár merőleges az érintőre, így fel tudjuk írni a sugár irányvektorát, ami
az érintő normálvektora: v1 egyenlő x1-u egyenlő n1, v2 egyenlő y1-v egyenlő n2 A
-107-



normálvektoros egyenletbe: n1x meg n2y egyenlő n1x1 meg n2y1 behelyettesítve kapjuk
az érintő egyenletét.
2. Adott irányú legyen az egyenes. Adott a kör egyenlete: (x-u) a négyzeten meg (y-v) a
négyzeten egyenlő r négyzet, adott a meredekség, tehát az érintő egyenlete: y egyenlő mx
meg b1, ahol a b1-et kell meghatározni. Az érintőnek egy közös pontja van az a körrel,
tehát az egyenletrendszer megoldásakor kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa
egyenlő nullával.
3. A körön kívül lévő pontból húzzunk érintőt. Ismerjük a kör egyenletét: x-u) a négyzeten
meg (y-v) a négyzeten egyenlő r négyzet, ismerjük a külső pontot: P egyenlő (x1,y1).
Nem ismerjük az egyenes m meredekségét, tehát az érintő paraméteres egyenlete: y-y1
egyenlő m(x-x1). Az egyenes akkor lesz érintő, ha a kör és az egyenes egyenletéből
alkotott egyenletrendszer megoldásakor kapott paraméteres másodfokú egyenlet
diszkriminánsa egyenlő nullával. A kapott m meredekséget az y-y1 egyenlő m(x-x1)
egyenletbe visszahelyettesítve kapjuk az érintők egyenletét.
A kör adatai egyenletéből
1. Ha adott egy kétismeretlenes másodfokú egyenlet, a feladat megoldásakor állapítsuk meg,
hogy a következő két feltételt kielégíti-e:
- A másodfokú tagok együtthatója egyenlő
- Nem tartalmaz xy-os tagot.
2. Ha a fentiek teljesülnek, akkor minden tagot osszuk el a másodfokú tagok
együtthatójával, így: x négyzet meg y négyzet meg ax meg by meg c egyenlő 0 alakot
kapunk.
3. Célszerű rendezni az egyenletet a teljes négyzetté alakítás előtt: x négyzet meg ax meg y
négyzet meg by egyenlő –c alakra hozni.
4. Most egészítsük teljes négyzetté úgy hogy az elsőfokú tagok szorzója felének a négyzetét
adjuk az egyenlet mindkét oldalához. Ezen átalakítások után vizsgáljuk meg a (-c) meg (a
per 2) négyzet meg (b per 2) négyzet előjelét. Ha ez pozitív, akkor az egyenlet kört
határoz meg, melynek sugara: r egyenlő négyzetgyök alatt az egész(-c) meg (a per 2)
négyzet meg (b per 2).
Ha a négyzetgyök alatti kifejezés értéke 0, vagyis r egyenlő 0, akkor „pontkört” kaptunk,
azaz csak a középpontot adja az egyenlet.
A kör középpontja a (-(a per 2), -(b per 2)) pontban van.
Ha a négyzetgyök alatti kifejezés értéke negatív, vagyis r kisebb, mint 0, akkor nincs
ilyen kör, sőt nincs olyan pont sem, amelynek koordinátái kielégítenék az egyenletet.
A parabola adatai az egyenletéből
Annak a kétismeretlenes másodfokú egyenletnek, melynek grafikonja parabola, két típusa
ismeretes.
Ha a parabola tengelye párhuzamos az y tengellyel, akkor az egyenlete: (x-u) négyzet
egyenlő 2p(y-v) alakú.
Ha a parabola tengelye párhuzamos az x tengellyel, akkor az egyenlete: (y-v) négyzet
egyenlő 2p(x-u) alakú.
Először állapítsuk meg, hogy melyik változó szerepel az első hatványon, így meghatároztuk a
tengely irányát. Erre merőleges a direktrix.
A tengelypont és a paraméter meghatározásának módszere a következő:
-108-



1. Rendezzük a változót az egyik oldalra, amelyik másodfokon szerepel, a másikat és a
konstanst a másik oldalra. A fentiek szerint a szimmetriatengely y tengely irányú, a
direktrix pedig x tengely irányú.
2. Egészítsük ki a másodfokú tagot tartalmazó kifejezést teljes négyzetté (ha nem az), és ezt
a konstanst adjuk a másik oldalhoz. Így a bal oldal teljes négyzet, a jobb oldalon
kiemeljük az elsőfokú tag együtthatóját, ez lesz a paraméter kétszerese.
A parabolát érintő egyenes egyenlete
Ha az egyenes nem párhuzamos a parabola szimmetriatengelyével és egy közös pontjuk van,
akkor az egyenest a parabola érintőjének nevezzük.
Három típust vizsgáljunk meg:
1. Az egyenes érinti a parabolát annak adott pontjában. Ismerjük az x négyzet egyenlő 2py
parabola adott pontját. Tudjuk, hogy az egyenes illeszkedik erre az egy parabolapontra,
de nem tudjuk a meredekségét. Az adott ponton átmenő egyenes egyenlete rendezve: x
négyzet-2pmx meg 2pmx1 – x1 négyzet egyenlő 0. Az egyenletrendszerből kapott
másodfokú egyenlet diszkriminánsa, ha nullával egyenlő, akkor az egyenes érintő: D
egyenlő 0.
2. Az érintő legyen párhuzamos egy megadott egyenessel. Adott a parabola egyenlete. Adott
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


egy egyenes egyenlete. Nem tudjuk, hogy az érintő mely b1 pontban metszi az y tengelyt.
Ha az így kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla, akkor az egyenes érintő.
3. Egy adott külső pontból húzzunk érintőket a parabolához. Adott a parabola egyenlete,
adott egy külső pont. Az egyenesnek nem ismerjük az m meredekségét. Ennek egyenletét
helyettesítsük be a parabola egyenletébe. Az így kapott egyenlet diszkriminánsát
vizsgáljuk. Ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenes érintő. Megoldjuk m-re az
egyenletet. A kapott m értékeket az egyenes egyenletébe helyettesítve kapjuk az érintő
egyenesek egyenletét.