Fizika | Felsőoktatás » Szilárdtestfizika

Szilárdtestfizika 5.1 Kristálytan Halmazállapotok A rendszereknek három alapvető halmazállapotuk van, amelyek az állapotjelzők (4. fejezet) függvényében külön-külön, vagy egyidőben is létezhetnek: • Légnemű (gáz) halmazállapot. A rendszerben az alkotók rendezetlenül és egymástól nagy távolságokra helyezkednek el Az alkotók térfogatának összege elhanyagolható a r endszer térfogatához képest (majdnem korlátlanul összenyomhatók). • Folyékony (folyadék) halmazállapot. Az alkotók között rövidtávú rend uralkodik, az alkotók térfogatának összege megegyezik a rendszer térfogatával (összenyomhatatlanok). • Szilárd (kristályos) halmazállapot. Az alkotók között hosszútávú rend uralkodik, és a fol yadékhoz hasonlóan szintén összenyomhatatlanok. Fontos területüket képviselik a fémek Az üveg, bár szilárdnak tűnik, folyadék, ún. túlhűtött folyadék A fémüvegek olyan fémes anyagok, melyeknek üvegszerkezetük

van, de a fém ek számos tulajdonságával is rendelkeznek. A folyadékkristály lényegében folyadék, de a kristályos anyag néhány tulajdonságával is bír A szilárd anyagok mindig kristályos anyagok Kristályrács A kristályos anyagoknál az alkotók között hosszútávú rend uralkodik, szemben a rövidtávú renddel rendelkező folyadékokkal, illetve a r endezetlen gázokkal. Ez azt jelenti, hogy minden alkotó helye az alábbi r = ua + vb + wc helyvektorral írható le, ahol u, v, w tetszőleges egész szám. Az a, b és a c az elemi rácsvektorok (bázisvektorok). Megválasztásuk többféle módon történhet. A rácsállandók az elemi rácsvektorok hosszai: a, b, c, (lásd a következő ábrán). o a o o o o o b o (A) o o o o o o o o o ( B) o o o o o o o o o o o o (C) o o o o Az elemi rácsvektorok paralelepipedont (paralelogrammát) feszítenek ki, amit elemi cellának nevezünk. Az elemi cella megválasztása az elemi rácsvektoroknak

megfelelően szintén többféleképpen történhet: A. A primitív elemi cella csak a csúcsain tartalmaz rácsalkotókat B. A hagyományos elemi cella tartalmazhat alkotót a l apjain (lapközepes) és a belsejében (térközepes) is. Ebben az esetben az u, v, és a w számok lehetnek törtek is. C. Vigner-Seitz-cella középen tartalmaz alkotót Az r helyvektor egyben transzlációs vektor is, amit T-vel jelölünk. Minden rács rendelkezik transzlációs szimmetriával, ami azt jelenti, hogy ezzel a vektorral eltolva az eltolt és az eredeti rács egymással fedésbe hozható. A rácsokat osztályozhatjuk az alkotók jellege szerint is, úgymint: • Pontrácsok: geometriai pontokból állnak. • Kristályrácsok: atomok, molekulák alkotják. A rácsok a t ranszlációs szimmetrián kívül rendelkezhetnek egyéb szimmetriákkal is, nevezetesen: • forgatásos szimmetria (2, 3, 4, 6), • tükrözéses szimmetria (ponton, egyenesen, síkon), • forgatásos + tükrözéses

szimmetria. Bravais rácsok A pontrácsok elemi celláját előállíthatjuk a fenti szimmetriáknak megfelelő szimmetriaműveletek, illetve azok kombinációi segítségével. Összesen 32 lehetőség van, amely 32 pontcsoportot eredményez Mivel több szimmetriaművelet is létrehozhat azonos pontcsoportot (például köbös rácsot előállíthatunk többek között 4-es (900-os) forgatással, illetve 2-es (1800-os) forgatással + tükrözéssel), így azok 14 különböző elemi cellát, un. 14 Bravais rácsot jelentenek. Végül a 14 Bravais rács 7 kristályrendszerbe sorolható A 14 B ravais rács és a 7 kristályrendszer: 1. triklin (a); 2 monoklin: primitív (b), alaplapon közepes (c); 3. rombos: primitív (d), alaplapon közepes (e), térközepes (f), minden lapján közepes (g); 4. hexagonális (h); 5. romboéderes (i); 6 Tetragonális: primitív (k), térközepes (l); 7. köbös: pr imitív (m), térközepes (n), lapközepes (o). Az ábrán az a, b, c az elemi

rácsvektorok . A kristályrácsoknál a rácspontot alkotó atomok, molekulák szimmetriáját is figyelembe kell venni, melynek alapján összesen 256 kristályrácsot különböztethetünk meg. (a) (b) (c) A legfontosabb elemi cellák: a térközepes köbös (a), a lapközepes köbös (b) és a hexagonális (c). A térközepes köbös a k ocka csúcsain 8/8= 1 és a tér középen 1, összesen 2 rácspontot tartalmaz elemi cellánként. A lapközepes köbös a k ocka csúcsain 8/8= 1 és lapközépen 6/2= 3, összesen 4 rácspontot, míg a hexagonális csúcsokon 12/6= 2 és lapközépen 2/2=1, összesen 3 rácspontot találunk elemi cellánként. Hálózati síkok (Miller-indexek) A hálózati (atom) síkok olyan egymással párhuzamos síkseregek, melyek tartalmazzák a rács minden pontját, és mindegyik pont (100) (110) (111) rajta van ezeken. Végtelen számú ilyen síksereget állíthatunk elő, közülük a legfontosabbak köbös rácsnál az ábrán láthatók.

Jelölésük az un. Miller indexszekkel történik A Miller indexek azt fejezik ki, hogy az adott rácsvektort a síksereg hány síkja (az origón áthaladót kivéve) metszi. A metszéspontok számát jelölik a M iller indexek, amelyek relatív prímszámokból álló számhármasok (h k l). Továbbá megkülönböztetünk úgynevezett kristálytani irányokat is, melyeket az adott irányba mutató legrövidebb rácsvektor koordinátáival, [a b c] (szintén relatív prímszámok) jellemezhetünk. Ha valamelyik koordináta negatív, akkor azt felül-húzással jelöljük. Elektromágneses diffrakció hullámok elhajlása a kristályrácson, Elektromágneses hullámok közül a röntgensugárzás (λ=0.1-05 nm hullámhosszal) az, ami a r ácsállandók nagyságrendjébe esik, míg az anyaghullámok közül a neutronsugárzás és az elektronsugárzás alkalmas a diffrakcióra. Párhuzamos sugárnyaláb esik be ϑ szög alatt a d távolságú hálózati ϑ síkokra. Akkor van

reflexió (erősítés), ha a közöttük lévő útkülönbϑ d sinϑ ség megegyezik a hul lámhossz d egészszámú többszörösével, miként az ábrán leolvasható, azaz: 2 d sin ϑ = n λ ahol n = 1, 2, 3. Az összefüggést Bragg-reflexiónak nevezzük és segítségével a három paraméter (d, ϑ, λ) közül az egyik a másik kettő ismeretében meghatározható, ezen alapulnak a különböző röntgen szerkezetvizsgálati módszerek Elektromágneses hullám és a rács kölcsönhatása Tekintsünk egy lineáris rácsot és az elektromágneses hullám legyen párhuzamos a rács vonalával, Bragg reflexió feltétele ebben az esetben: 2 a = n λ. k’ o a o k A direkt rács Wigner-Seitz cellája o o o A reciprok rács Wigner-Seitz cellája a Brillouin zóna A * * * * Az elektromágneses hullám (foton) rugalmasan ütközik az atomsíkkal (visszaverődik) ezért az impulzus nagysága megmarad, azaz k =k. Ezt felhasználva az előző összefüggés

2π 2π  2π  =n − −  λ  λ  a alakra hozható, amely hullámszám definiciójának felhasználásával: k - k = G alakítható, ahol G = nA az A-nak, azaz valaminek az egész számú többszöröse, tehát úgy tekinthető, mint egy rács, melynél az A= 2π a olyan jellegű mennyiség, mint egy elemi rácsvektor. Mivel ez az A mennyiség a (direkt) rács elemi rácsvektorának, a-nak a reciproka, ezért reciprok rácsvektornak, és a segítségével felépíthető rácsot, G-t pedig reciprok rácsnak nevezzük. A reciprok rács Wigner-Seitz celláját Brillouin zónának hívjuk Háromdimenziós esetben a k és a G vektorok és a ( 2.5) reflexió feltétele a következő lesz: k = k + G, Kristályhibák Az ideális rács transzlációs szimmetriával rendelkezik, ettől mindig van eltérés, amelyeket rácshibáknak nevezünk. Osztályozásuk dimenziójuk szerint történik. Közülük a legfontosabbak: Vakanciák (0 dimenziós hibák) A termikus

mozgás következtében egyik rácspontból az ott lévő alkotó kimozdulhat, egy hiányt, ún. vakanciát hagyva maga után (a). Ez az alkotó - ha elég hely áll rendelkezésére – beépülhet a r ácspontok közé, rácsközi (intersztriciós) atomként (b). Amennyiben ez a k ét rácshiba együtt fordul elő Frenkel párról (a) (c) (b) beszélünk (c). Ponthibák mindig vannak az anyagban, mert adott koncentrációig az szabadenergiában a konfigurációs entrópiát jobban növelik (lsd. 4. fejezet), mint az energiát Legyen N rácspontunk és legyen benne n ponthiba. Egy ponthiba U D –vel növeli a r ács energiáját, mivel deformálja azt (az energiának a deformációs energián kívűl lehet még más komponense is, de az említett a legnagyobb). Az n ponthiba bevitelével a teljes szabadenergia változás (4. Fejezet)  N!   + n∆S0 , ∆F = nU D − kBT ln  n N n ! ( )! −   ahol ∆S 0 a konfigurációs entrópia mellett az egyéb entrópia

változás. Mivel N>>n esetében  N!   N   1    ≈   =   n N n ! ( − )!    n  c n n A ponthibák egyensúlyi koncentrációját az ∆F=0 feltételből kapjuk, amely az alábbi lesz: c = c0 exp(− kUBDT ) , ahol c0 = exp ∆S0 a maximális oldékonyság a T∞ esetén, az U D a ponthibák ún. aktiválási (tárolt) energiája, jórészt deformációs energia, ami onnan s zármazik, hogy a hi bák deformálják maguk körül a rácsot, miként azt a fenti ábrán is láthatjuk. Szilárd oldat Szilárd oldatról akkor beszélünk, amikor a másfajta (ötvöző, vagy szennyező) atomok egyenként épülnek be a rácsatomok (mátrix) helyére (a) (helyettesítéses szilárd oldat), illetve közéjük (b) (beékelődéses szilárd oldat). A szilárd oldat termodinamikailag hasonlóképpen viselkedik, mint a ponthibák. Ezért az ötvözőknek is van (a) oldékonyságuk, (b) egyensúlyi hasonlóképpen, mint a

ponthibáknak. Fázisok Ebben az esetben az idegen atomok csoportosan épülnek be az alaprácsba. Mind a r ácsparaméterük, mind a rácsszerkezetük különbözik az alaprácsétól. 5.2 Diffúzió A diffúzió az atomok vándorlása az anyagon belül. Az atomok elmozdulnak, hogy csökkentsék a koncentrációkülönbséget és egy homogén egységes anyagösszetételt hozzanak létre. Az atomok külső erőhatásra, vagy a koncentrációkülönbség hatására is elmozdulhatnak. Valójában azonban véletlenszerűen is mozoghatnak akkor is, amikor nincsenek külső hajtóerők, vagy nem áll fenn koncentrációkülönbség. Diffúziós mechanizmusok Normál esetben az atomok a rácshelyeken találhatók. Ehelyett azonban némi hő-energiát elnyelve elmozdulhatnak. Például elmozdulhatnak egy normál rácspontról, hogy kitöltsék a közelben lévő üres helyet, ezt szubsztitúciós-, vagy lyuk- atom diffúziónak hívjuk, (a). Egy atom elmozdulhat az egyik térközi

helyzetből egy másikba is (térközi- vagy intersticiális diffúzió (b)). Abszolút tiszta fémekben az atomok az egyik rácshelyről a másikba vándorolnak. Ezt a j elenséget öndiffúziónak hívjuk míg az ötvözetekben az ötvöző atomok diffúziója is megjelenik. A diffúzió mértéke A diffúzió mértékét az anyagban a J fluxussal lehet mérni, melyet az egységnyi idő alatt egységnyi síkfelületen keresztüljutó atomok számával jellemzünk. A fluxus a koncentrációkülönbséggel (koncentrációgradienssel) arányos, amit Fick első törvénye fejez ki: J = −D ∆c , ∆x ahol a D a diffúziós együttható (m2/s vagy µm2/s) és ∆c/∆x a k oncentrációgradiens. A diffúziós együttható, D kapcsolatát a hőmérséklettel az alábbi összefüggés adja:  U   , k T B   D = D0 exp − ahol U a diffúzió aktiválási energiája (lásd oldékonyság), a D 0 pedig preexponenciális együtthatója. Megjelenítve a

hőmérséklet reciprokának függvényében a logD-t, egy egyenest kapunk, melynek meredeksége az aktivációs energiát, U-t. Fick első törvénye azt mondja meg, hogy mekkora anyagmennyiség diffundál át egy egységnyi területen, a k oncentrációeloszlást (összetételi profilt) az idő, t függvényében pedig a F ick második törvénye adja meg. Ez egy másodrendű parciális differenciálegyenlet, melynek alakja egy dimenzióban a következő: ∂c ∂ 2c =D 2, ∂t ∂x melynek megoldása a peremfeltételektől függ, általában nem lehet analitikusan megoldani. 3. Halmazállapotváltozások Hőközlés illetve hőelvonás (hűtés, melegítés) során megváltozhat az anyag halmazállapota, azaz az olvadék megszilárdulhat, illetve a szilárd anyag megolvadhat. F A szilárd stabil Az olvadék stabil szilárd Olvadáspont olvadék Az anyagok akkor kezdenek el megszilárdulni, amikor az olvadék hőmérséklete a megszilárdulási hőmérséket alá kerül,

ugyanis ebben az esetben a szabadenergia, (4. fejezet), ami a szilárd fázishoz tartozik, kisebb lesz mint az olvadékhoz tartozó, miként az az ábrán látható. A kristályosodás egy fázisátalakulás, melynek során az olvadék fázis átalakul szilárddá. Hőmérséklet A térfogategységre jutó szabadenergia változás, ∆Fv az olvadás-ponton zérus (ábra) és az olvadáspont alatt 0K-on pedig meg-egyezik a teljes belsőenergia változással, azaz a ∆Hf-el, az olvadáshővel (negatív). Ennek megfelelően T hőmérsékleten az a következőképpen irható: ∆Fv = − ∆H f ∆T Tf , ahol, a Tf az egyensúlyi megszilárdulási hőmérséklet K fokban és ∆T= T-Tf a túlhűlés, amikor az olvadék hőmérséklete T. Megszilárdulás alatt az atomoknak az olvadékban rövid távú rendjéből (olvadék szerkezet) a s zilárd fázisban hosszú távú rend (kristályszerkezet) alakul ki. A kristályosodás két lépésben megy végbe: az első a nukleáció, a

második a növekedés. Nukleáció Amikor egy új kristály alakul ki az olvadék-an egy A=4r2π felület (szilárd-olvadék) jelenik meg, V = πr amely σ felületi feszültséggel rendelkezik. Az r ebből származó 4r2πσ felületi energia növeli a SZILÁRD teljes (szabad) energiát, miközben az (említett (szabad) energiaváltozás csökkenti azt. (EseOLVADÉK A = 4πr2 tünkben a szabadenergia változás megegyezik az energiaváltozással, mivel az entrópia nem változik). Ennek megfelelően a teljes (szabad) energiaváltozás az alábbi lesz: 3 4 3 ∆F = 4 3 πr ∆FV + 4πr 2σ 3 Az így kialakult szilárd részecskét embriónak nevezzük. A teljes szabadenergia változás függ az embrió sugarától és egy maximumgörbét alkot (lsd a következő ábrát). ∆F W σA * ∆F ∆FVV NUKLEUS EMBRIÓ r* r Ha kicsi az embrió, akkor annak megjelenése növeli a szabadener-iát, így az nem lesz stabil, feloldódik. Ha átmegy egy kritikus méreten (r* kritikus

sugár), akkor a t ovábbi növe-kedésekor a t eljes szabad energia már csökken, tehát növekedhet, így stabillá válik. Ebben az esetben már nukleusként szerepelhet a további növekedés számára. A nukleációnak ezt a típusát homogén nukleációnak nevezzük. A kritikus méretet a az előző összefüggésből a d(∆F)/dr=0 feltételből kapjuk amely a korábbiak felhasználásával a következő lesz: r*= 2 σTm . ∆H f ∆TN A kritikus sugár a ∆T N =T-T f , túlhűlésnek, azaz az olvadék hőmérséklete és az olvadáspont közötti hőmérsékletkülönbségnek a függvénye, annak növekedésével csökken, míg az olvadásponton végtelen nagy. Ez azt jelenti, hogy minden anyag csak nullánál nagyobb túlhűlésnél, azaz az olvadáspont alatt tud kristályosodni. Minden r* kritikus mérethez tartozik egy W szabadenergia növekmény (lsd. a fenti ábrán), amit a magképződés aktiválási energiájának nevezzük. A rendszernek az átjutását

ezen a szabadenergia növekményen (lsd. 3 fejezet) a termikus fluktuáció biztosítja. Annál kisebb (rövidebb idejű) termikus fluktuációra van szükség, minél kisebb ez a növekmény, azaz minél nagyobb a túlhűlés. A termikus fluktuáció viszont maga is csökken a hőmérséklet csökkenésével, ezért azon a hőmérsékleten, amikor a szükséges és a tényleges termikus fluktuáció azonos lesz, ott alakul ki a nukleus. Ez néhány százfokos túlhűlést is jelenthet, ezért a homogén nukleáció gyakorlatilag nem fordul elő olvadékokban, mivel a használatos anyagoknál és technikáknál a szennyezők, a kristályosító fala olyan felületeket jelenthetnek, amelyeken a szilárd fázis sokkal kisebb túlhűléssel kialakulhat. A nukleációnak ezt az utóbb említett fajtáját heterogén nukleációnak nevezzük. Növekedés Miután kialakultak a nukleusok, azok elkezdenek növekedni, mivel az atomok az olvadékból odakapcsolódnak a szilárd felülethez.

Általában a kristályok először a kristályosító falán nukleálódnak és innen kezdenek el növekedni befelé az olvadékba. A növekedés sebességét, V=ds/dt-t a kristályosító falán keresztül történő, q hőelvonás szabja meg (ábra). A kristályosodási sebességet a hőmérlegből (a kristályosodás során keletkező hő és az edény falán keresztül elvont hő egyenlő) itt nem részletezett módón kaphatjuk meg, ami: T T Tf q V T0 SZILÁRD T OLVADÉK Szilárd-olvadék határ (s) x V= ds K = ebből dt t 0.5 s = 2 Kt 0.5 A szilárd fázis növekedése az idő négyzetgyökének függvénye, míg annak sebessége (a kristályosodási sebesség) a szilárdolvadék határ előre-haladtával csökken. 4. Rácsot összetartó erők A kristályokat úgynevezett rácserők, vonzóerők tartják össze, amelyek különböző típusúak lehetnek. Azon kívül, hogy megakadályozzák annak szétesését, jellegük és nagyságuk alapvetően

meghatározzák a kristály több tulajdonságát (hőtágulás, fajhő stb) is A vonzóerők mellett fellépnek taszítóerők is. Amennyiben az atomokat közelítjük egymáshoz, az elektronhéjak elkezdenek egymásba préselődni Mivel azok betöltöttek, a Pauli elv értelmében több elektron számára nincs hely, ami egy erős taszító kölcsönhatásban nyilvánul meg. A taszító potenciál, mint az atomok közötti d távolság (rácstávolság) függvénye, atomonként a következő lesz: Wtaszító = B dn , ahol n>>1. A legegyszerűbb kristályok (ábra), zárt elektronhéjjal rendelkező anyagok (nemesgázok). Első közelítésben a pozitív töltésű atommag és a negatív töltésű zárt elektronhéj tömegközéppontja egy pontba esik, így az atom kifele elektromosan semleges. Valójában a rezgőmozgás következtében a szimmetrikus elektronhéjak torzulnak, dipólusok keletkeznek, melyek már elektrosztatikusan kölcsönhatnak egymással. Ezek, az un.

van der Waals erők, igen kicsinyek, melynek következtében a nemesgáz kristályok olvadáspontja alacsony (jóval kisebb a szobahőmérsékletnél). Ionos kristályok pozitív és negatív ionokból állnak. Akkor alakulnak ki, ha az egyik anyagnál csak egy – két, un. vegyértékelektron van, (pl Na) míg a másiknál ugyanannyi hiányzik (pl klór) A kötési energia az ionok közötti elektrosztatikus kölcsönhatásból ered, amely (közvetlen szomszédokat figyelembevéve) atomonként az alábbi: Wvonzó q2 =− , d ahol a q az ion töltése. Az F kötőerő arányos lesz a -gradW vonzó – val, és annál nagyobb, minél meredekebb a W vonzó függvény. A teljes energia pedig az N molekulából, azaz 2N ionból álló rendszerre: W Wtaszító d távolság Wkötés W(d) W vonzó Egyensúlyi helyzet B q2 W (d ) = NZ (Wtaszító + Wvonzó ) = NZ ( n − ) , d d A W potenciálfüggvény a d rácstávolság függvényében egy minimumgörbét ad. Az ionos kötés

közepes erősségű kötés, így ezeknek a kristályok olvadáspontja szobahőmérsékleten, vagy közvetlen felette van. A kovalens kristályokra az egyik legjellemzőbb példa a gyémánt Ennél a kötésnél az atomok úgy törekednek zárt elektronhéjra, hogy kölcsönösen használják a szomszédok elektronjait is, a gyémántban a szén négy elektronja a négy szomszédos szénatom egy-egy elektronjával alkot zárt elektronhéjat. A kovalens kötés igen erős, ezért ezeknek a kristályok olvadáspontja jelentősen meghaladja a szobahőmérsékletet. A kovalens kötés értelmezésére a kicserélődési energia szolgál. Kicserélődési energia Az egyszerűség kedvéért tekintsük a hidrogénmolekulát. Ha két hidrogénatomot egyesítünk (ábra), elektronjaik összenergiája függ attól, hogy spinjeik párhuzamosak-e, vagy ellentétes irányúak-e egymással. Az előző esetben az összenergia -59,38 eV (az eV= 0,602 10-19 joule, atomfizikai energiaegység, azt az

energiamennyiséget jelenti, amire az elektron 1 v olt gyorsítófeszültségnél tesz szert) lesz. Az utóbbinál ez -78,98 eV, azaz 19,6 eV-tal kisebb (ábra), ezért a rendszer erre az állapotra törekszik, W= -58,38 s + = W= -78,98 s + = amit lényegében a P auli elv fejez ki. Ezt az energiakülönbséget akkor is megkapjuk, ha a két párhuzamos spinű elektron közül az egyik spinjét megcseréljük, ezért ezt az energiát (pontosabban felét, mert két elektronra esik) kicserélődési energiának nevezzük és ∆W kicser. =-9,8 eV jelöljük Értéke, amely d végtelen esetén 0, a d csökkenésével csökken, ahogy az elektronhéjak kezdik átlapolni egymást, végül –9,8 eV lesz, ha d=0. A teljes energia, hasonlóképpen, mint az ionos esetnél egy minimumgörbét alkot, ahol a minimumhoz tartozó d érték lesz az egyensúlyi atom (rács)távolság. Fémeknél a vegyértékelektronok leszakadnak az ionokról (pl. nátrium) és kollektívvá válnak,

úgynevezett elektrongázt alkotva Mivel ebben az esetben minden elektron minden atomhoz és fordítva tartozik, ezért az elektrongáz úgy fogható fel, mint egy kiterjedt kovalens kötés és így a k ötési energia a kicserélődési energia lesz. 5. Rácsrezgések A rács pontjai 0 K felett az egyensúlyi helyzetük (rácspont) körül rezgőmozgást végeznek. Amennyiben ezeket úgy tekintjük, mint egymástól függetlenül rezgő harmonikus oszcillátorokat, akkor energiájuk a T abszolút hőmérséklet függvénye lesz. Egy oszcillátor energiája U i =k B T, így N oszcillátor (atom), valamint a három rezgési állapot (egy longitudinális és két tranzverzális) figyelembe vételével a rács teljes energiája az alábbi: U= 3Σ U i = 3Nk B T . A fajhőmérési (lásd a későbbiekben) eredmények azonban azt mutatták, hogy a rácsot nem lehet úgy tekinteni, mint egymástól függetlenül rezgő oszcillátorok összességét, hanem úgy, mint egy kollektíven

rezgő rendszert, amelyben az egyes atomok rezgése olyan lesz, hogy eredőjük hullámokat alkosson. Tekintsünk egy egyszerű egyatomos lineáris modellt, amely longitudinális rezgőmozgást végez. Az s-edik us us+1 us-1 atom elmozdulását jelöljük u s –nel és az s-edik atomra a két szomszédos, az s+1 és az s-1 elmozdulása hat. Az s-edik atomra ható erők a Hook törvény értelmében arányosak lesznek az egymáshoz viszonyított elmozdulások nagyságával és a mozgásegyenlet: d 2 us M 2 = − D(us − us+1 ) − D(us − us−1 ) = D(us−1 + us+1 − 2us ) , dt ahol D a rugalmassági állandó, M az atom tömege. A mozgásegyenlet megoldását us = A exp( −i (ωt − sKa )) alakban keressük, ahol K a hullámszám (háromdimenziós esetben vektor), és azt mutatja, hogy 2π hosszúságú lineáris rácson hány hullám alakul ki. Ez a megoldás azt jelenti, hogy a s zomszédos atomoknál a rezgések csak egy exp(iKa) fázistényezőben külön-böznek, azaz

haladó hullámok. A feltételezett megoldást behelyettesítve a mozgásegyenletbe a rezgés ω frekvenciája és a K hullámszám között következő össze-függést kapjunk: ω 2 M = D(exp(iKa ) + exp( −iKa ) − 2) , ami a jól ismert azonosságok felhasználásával a a következő alakba írható: ω2 = 2D 4D 2 1 (1 − cos Ka ) = sin 2 Ka M M Ebből a frekvencia, mint a hullámszám függvénye: 1 2  4D 2  sin 21 Ka .  M ω = Az ω(K) függvény, amit diszperziós relációnak nevezünk, és menete az ábrán látható 1  M 2   ω  4D  A megengedett K értékek a határfeltételekből következnek. A fenti megoldás végtelen kristályra érvényes. Annak érdekében, hogy ezt végesre is át lehessen vinni, osszuk fel a végtelen kiterjedésű kristályt N (páros) rácspontból álló azonos tartományokra. Ez egyenértékű egy periodikus határfeltétellel rendelkező, N atomból álló véges ráccsal. A periodikus

határfeltétel értelmében az s-edik és az s+N-edik atom azonos rezgésállapotban van, azaz: exp( −i (ωt − sKa )) = exp( −i (ωt − [ s + N ]Ka )) , Ebből következik, hogy exp(iNKa)=1, azaz NKa=2πn, ahol n egész szám, vagyis K=2πn/Na. Mivel az ω frekvencia a K-nak 2π/a szerint periodikus függvénye, ezért a K értékeit 0-tól 2π/a-ig, illetve -π/a-tól +π/a-ig terjedő tartományra korlátozhatjuk. Ezt a tartományt első BRILLOUIN-zónának (lsd. a korábbiakban) nevezzük, ebben az n értéke –N/2 és +N/2 közötti értékeken fut végig. A fenti megoldás azt jelenti, hogy a rács egyes atomjai egymáshoz viszonyítva nem tetszőlegesen, hanem kollektíven úgy rezegnek, hogy az u s kitérések N különböző hullámszámmal, K-val (hullámhosszal) rendelkező (haladó) hullámokat eredményezzenek, amihez ω(K) (rezgési módussal) frekvencia tartozik. A modellen bemutatott hullám longitudionális (x irányú kitérésekkel rendelkező), mellette

létezik még két másik változat is (gyakran ezeket is módusnak nevezik) a két tranzverzális (y és z írányú) is. Ez összesen 3N hullámot és ennek megfelelően 3N rezgésállapotot (módust) jelent. Fononok A K hullámszámhoz tartozó rezgési módus ωK frekvenciával rendelkező harmonikus oszcillátornak tekinthető (ugyanis haladó hullámot harmonikus oszcillátor bocsát ki, a hul lámok a r ezgések tovaterjedése a térben), melynek energiája (hasonlóképp a fényéhez) kvantált, azaz EK = nω K , ahol n K egész szám és a ħ a redukált Planck állandó. Minden rezgési módus energiája csak ħωK lépésekkel (kvantumokkal) változhat meg. A ħωK adja meg a rácsrezgés gerjesztésének az egységét, amit a foton mintájára fononnak (hangkvantumnak) nevezünk, mivel frekvenciája a hangtartományba esik. Alkalmazva a fononr a a de-Broglie összefüggést (2. fejezet) a fononhoz tartozó (kvázi)impulzus: p=ħK fotonra kapott összefüggéssel

megegyező lesz. A K értékei az első Brillouin zónára korlátozódnak (mivel nincs értelme 2a-nál rövidebb hullámhosszakról beszélni) így ħK nem egyértelmű, mivel K és K+(2π/a) és ennek többszörösei ugyanazt a r ezgésállapotot írják le, ezért nevezzük a p-t kváziimpulzusnak). Mivel a fononok impulzusa nagyságrendileg megegyezik a elektro-nokéval és a neutronokéval, ezért lehet közöttük kölcsönhatás, ami módosítja a korábban ismertetett fonon reflexió feltételét a következőképpen: k + G = k’ ± K, ahol a k az elektron (neutron) hullámszámvektora a szóródás előtt, k’ utána, a G a reciprok rácsvektor, K a fonon hullámszámvektora, ha (+) akkor keletkezik, ha (–) akkor elnyelődik. A folyamat alatt ±ħωK –val változik az elektron (neutron) energiája is (rugalmatlan szórás). 6. Hőtágulás A potenciálfüggvény aszimmetriája eredményezi a s zilárd testek hőtágulását. T=0 K-on a rácspontban lévő atomok nem

rezegnek és egymástól pontosan a 0 távol-ságra vannak és energiájuk az W B kötési energia. A T>0K W hőmérsékleten átlagosan k B T a0 a(T) kinetikus energiára tesznek d szert és ekkor a r ezgési amplitúdó, A(T) akkora lesz, ameddig ez az energia fedezni tudja a potenciális energia kBT2 növekedést, azaz, ahol a kBT1 potenciálfüggvény metszi a k B T energiaszintet. A T hőmérséklethez tartozó rácsállandó az alábbi módon írható fel a(T) = a 0 +〈u T (t)〉 > a 0 mivel az aszimmetria miatt 〈u T (t)〉 > 0 (a T hőmérséklethez tartozó kitérés nagyobb jobbra, mint balra). Lineáris közelítést használva u T (t)-re a rácsállandó, mint a T hőmérséklet függvénye egyszerű módon a következő: a = a0 + αT T . Az α T a (lineáris) hőtágulási együttható. A T index azt jelöli, hogy az említett lineáris közelítés csak egy hőmérséklet intervallumra érvényes, másszóval α T kicsit függ a hőmérséklettől. Egy l

hosszúságú rúd T=293K-re (200C-ra) vonatkoztatott hőtágulása pedig (l = Na) l = l 0 + α T=293K (T-293), ahol az l 0 a rúd hossza szobahőmérsékleten. 7. Fajhő Fajhőnek (állandó térfogaton vett) nevezzük azt a hőmennyiséget, amely ahhoz szükséges, hogy egy test hőmérsékletét 1 fokkal növelje. Függ a térfogattól, ezért egységnyi térfogatra, vagy még inkább mólnyi mennyiségre vonatkoztatjuk. A fajhőt megkapjuk, ha a belső energiát a hőmérséklet szerint (parciálisan) deriváljuk (állandó térfogat mellett), azaz Cv = ∂U ∂T . Molnyi mennyiségű anyag belső energiája U= 3Nk B T=3RT, ahol itt az N az egy mólban lévő atomok száma, az Avogadro szám és az R=Nk B az univerzális gázállandó. Ebből a fajhő (mólhő) minden egyatomos anyagra C v = 3R = 25 J•mol-1K-1 (5.9 cal/mol• K) azonos lesz és független a hőmérséklettől (Dulong-Petit szabály). A valóságban ez csak nagy hőmérsékletre igaz, kis hőmérsékleten

annak csökkenésével jelentősen csökken és tart a nullához, miként azt az ábra mutatja alumínium esetére, a T/ϑ E (a ϑ E =ħω/k B ) függvényében. A kísérleti adatokkal jobban egyező közelítéseket kapunk, ha felhasználjuk a rácsrezgésre vonathozó meggondolásokat. Két modellt ismertetünk, egyiket részletesen, a másikat csak érintőlegesen. Az Einstein modell (ez a korábbi) feltételezi, hogy az N atomból álló rács minden egyes atomja ω frekvenciával egymástól függet-lenül rezeg (tehát nem kollektíven!), energiájuk viszont kvantált, azaz E=nħω. Kvantumstatisztikai (lásd 4. fejezet) megfontolásokból következik, hogy az ω frekvenciával rendelkező részecskék (fononok) számát a Bose-Einsten féle eloszlás adja meg, azaz: n= 1 exp(ω /kBT ) − 1 . A teljes energia ebből a három rezgési formára: U = 3 Nnω = 3 Nω exp(ω/kBT ) − 1 . A fajhő pedig a fenti deriváltja, azaz:  ω  [exp(ω/kBT )]2

 Cv = 3 NkB  2 . k T  B  [exp(ω/kBT ) − 1] 2 A függvénygörbét az alumínium fajhőjének ábráján láthatjuk (szaggatott vonal). Nagy hőmérsékleten vett értéke a Dulong-Petit féle érték, míg kis hőmérsékleten a C v ~ exp(-ħω/k B T)–vel tart a 0-hoz, míg ténylegesen Cv ~T3. Erről a függésről az Einstein modell továbbfejlesztése a Debye modell ad számot, ezen utóbbi már figyelembe veszi a fononok frekvenciaeloszlását is. A számolás bonyolultságára való tekintettel csak a végeredményt közöljük, alacsony hőmérsékleten a Debye fajhő C v ~T3, míg magason a Dulong-Petit féle értéket adja. 8. Elektronszerkezet Fémek esetén az elektronok leszakadnak az atomokról, ionokat hátrahagyva, elektrongázt alkotnak (lásd korábban). A fémes kötés tulajdonképpen egy kiterjesztett kovalens kötés, amelyben minden elektron kollektíven vesz részt. Atomi állapotban az elektronok az atom körül lokalizáltak és

diszkrét energiaértékekkel rendelkező héjakon helyezkednek el (lsd. következő ábra, számukat a Pauli elv szabályozza. Mi történik, ha az elektronok lokalizáltsága megszűnik? Sávszerkezet Tekintsük példaként a 3s elektronokat. Legyen N atomunk, amely 2N darab s elektronnal rendelkezik, amelyek atomi állapotban E 3s energiával rendelkeznek (következő ábra (a)). Amikor elektrongázt alkotnak energiájuk a k ötési energiával csökken (lásd. k orábban) Ebben az esetben a k vantumszámok helyébe az energia (hullámszám) lép és megmaE 3p N=5 rad a spínkvantumszám. Ennek alapján N megengedett 3s elektron azonos kvantiltott tumszámokkal rendelmegengedett kezne, a Pauli elv értelFÉMES (c) (b) ATOMI (a) mében azonban ez nem lehetséges, ezért az E 3s energiaérték felbomlik N különböző értékre (b) és minden értékhez 2 elektron fog tartozni. A 3s pályához tartozó diszkrét atomi energiaszínt sávvá szélesedik Ugyanez történik a 3p (m =

0) pályával is (b). f(E) EF Az elektronok energiája az így 1 kialakult sávoknak megfelelő T=0 értékeket vehet fel, miközben a sávok között lesznek az elektron számára T>0 E tiltott értékek is, amelyeket tiltott 0 sávoknak nevezünk (c). N atom esetén mindegyik pályához tartozó egy energiaérték N különböző értékre szakad fel, így a k ét spín-kvantumszámnak megfelelően min-den sávban 2N elektron számára van hely, azaz egy sávban 2N elektronállapot található, amit vagy betöltenek az elektronok vagy nem. A sávok alulról, azaz a l eg-kisebb energiaértéktől töltődnek be, egy bizonyos energiaértékig, E F -ig, mindaddig míg tartanak az elektronok. Ezt az energiaértéket Fermienergiának nevezzük A Fermi-energia alatt minden állapot (energiaértékenként 2) be van töltve, felette pedig nincs (fenti ábra). Mivel térfogat egységenként az atomok száma 1023 nagyságrendű, ezért ezek a diszkrét energiaértékek igen sűrűn

helyezkednek el, így folytonosnak tekinthetők. Ez az eloszlásfüggvénye 0K-ra érvényes. 0K-nál nagyobb hőmérsékleten az elektronok k B T átlagos energiára tesznek szert, ami az eloszlásfüggvény lépcsős jellegét elkeni, annál jobban, minél nagyobb a hőmérséklet (fenti ábra). Az eloszlás un F ermi-Dirac statisztikát követ (4 fejezet), amelynél az eloszlásfüggvény: f (E) = exp( 1 E − EF kBT ) +1 lesz és formáját a fenti ábra mutatja. Szabad elektron közelítés A fémben a rácspontokban lévő pozitív töltésű (alumínium esetén 3+) ionok egy periodikus elektrosztatikus (Coulomb) potenciált jelentenek a mozgó elektronok számára (lsd. következő ábra) Első közelítésben ettől a potenciáltértől eltekintünk W pot = 0 és azt a tényt, hogy az elektrox nok nem hagyhatják el a kristályt, úgy vesszük figyelembe, hogy a kristály két szélén (x=0 és x=L=Na) a W pot =∞. Ez a potenciál-dobozba zárt szabad elektron

modell-je. A dobozon belül az elektronok szabadon mozoghatnak. A hullámfüggvényük (4 fejezet): Wpot ϕ(x) = exp (-ikx), ahol a k az ismert hullámszám, amely periódikus határfeltétel figyelembevételével a rácsrezgések analógiájára: k=n 2π Na n = 1, 2,.∞ vagy n = ±1, ±2, ±∞ Elektronok esetén, ellentétben a fonono-kéval, már van értelme n > N (vagy n<-N/2 illetve n>N/2), azaz az első Brillouin zónán kívül eső hullámszámú elektronokról beszélni. Az elektron impulzusa p =  k és így a (mozgási) energiája p2 2 k 2 Kiterjesztett zónakép E (k) = = m 2 2m E E 2.zóna 2.sáv Redukált zónakép 1. zóna -π/a 1.sáv π/a π/a k a hullámszámnak parabolikus függvénye lesz (kiterjesztett zónakép). Figyelembe véve a Bragg reflexiót, ami azt jelenti, hogy a k vektorok a reciprok rácsvektor erejéig vannak meghatározva, azok beforgathatók a hozzájuk tartozó energiaértékekkel együtt az első Brillouin zónába

(redukált zónakép). Mivel mindegyik Brillouin zónában N hullám-számvektor van és ugyanennyi energiaszint minden sávban, így esetünkben az első Brillouin zónában lévő elektronok az első sávban, a másodikban lévők a másodikban és így tovább, vannak. A redukált zónaképben viszont az energia a hullámszám többértékű, az egyes sávoknak megfelelő, függvénye. Háromdimenziós esetben a k vektor, így az E(k) a tér minden irányába a a fentinek megfelelő parabola lesz. Mivel ez egy vektorskalár függvény, ezért az E=E F =const értékhez (Fermi energiához) tartozó vektorok, k F -ek egy gömbfelületet adnak a k = (k x ,k y ,k z) térbe, amit Fermi-felületnek nevezünk. A Fermi gömb sugara a 4π ⋅ k F3 / 3 = n / 2 felhasználásával, és a Fermi energia a következő lesz:  3n    8π  kF =  1 3  2   3n  k =   2m F 2m  8π  2 illetve EF = 2 2 3 amely a térfogategységenkénti elektronok

számával, n-nel arányos, (alumínium esetén E F ≅ 11,2 eV). Közelítőleg szabad elektron modell A periodikus potenciál hatása úgy vehető figyelembe, hogy amikor az elektron félhullámhosszának egész számú többszöröse a rácsállandó közelébe van, azaz a k hullámszáma a ±nπ/a Brillouin zónahatárokénak, akkor fennáll a (2.11) reflexió feltétele Közeledve a zónahatárhoz az elektron hullám részben visszaverődik azaz megjelenik egy ellentétes irányú reflektált hullám, -k’, amely a direkt hullámot gyengíti. Átlépve a Közelítőleg szabad zónahatárt, a reflektált hullám +k’ a direkttel elektron modell párhuzamos lesz és azt erősíti. A reflektált E hullám intenzitása, így energiája is a potenciál jellegétől, nagyságától függ, de mindenképp kisebb a direkt hulláménál. 2.sáv Ennek megfelelően, a zónahatár felé tartva, az energia is csökken a s zabad elektron Tiltott sáv közelítésben kapotthoz képest,

míg túllép1.sáv ve azt, az nagyobbról indul és tart a szabad π/a k elektron közelítésnél kapotthoz, miként az a -π/a fenti ábrán látható. A zónahatáron az elektron energiája ∆E n π E ( ±n ) = E n ± a 2 , ahol az E n -∆E n /2<E< E n +∆E n /2 energiaértékek az elektron számára tiltottak. Ez a már említett tiltott sáv Az energiát továbbra is az ismert parabolikus formában írhatjuk fel amennyiben m helyett m*(k) írunk, amit effektív tömegnek nevezünk. Ez az effektív tömeg függ a k értékétől és így különbözhet a valódi tömegtől. A valódi tömeg az energiafüggvény görbülete, azaz −1 d 2E  m=  2  .  dk  Ennek alapján az effektív tömeget a következőképpen kaphatjuk meg −1 2   d E m * (k) =  2  2   dk  2 szintén az energia-hullámszám függvény görbületet lesz, amely azonban változhat a z ónahatárnál (lsd. fenti ábra) A sáv (zóna) közepén mindkét

közelítés megegyezik ezért m = m*. A sáv alján az effektív tömeg közelítésnél a függv ény görbülete továbbra is pozitív, de nagyobb, mint a szabad elektron esetében, azaz m* > m. A sáv tetején a görbület negatív és szintén nagy lehet azaz m*< 0 és m*> m. A negatív (effektív) tömegű elektronokat lyukaknak nevezzük, ugyanis ha egy negatív tömegű részecske mellé egy ugyanakkora pozitív tömegűt teszünk, akkor eredőként nullát kapunk, tehát a negatív tömegű elektron, elektron hiány, azaz lyuk. 9. Villamos tulajdonságok, szupravezetés Feszültség hatására Üres EF Tele mv2/2 a v ezetési elektronok elmozdulnak, v sebességre tesznek szert, így energiájuk mv2/2 értékkel megnő, azaz az elektron egy magasabb energiájú állapotba kerül (ábra). amennyiben az üres Az ábrából látható, hogy csak akkor képesek az elektronok ilyen üres állapotba kerülni, ha a Fermi energia felett van üres állapot, azaz a

sáv nem teljesen betöltött. A következőkben nézzük meg melyik anyagoknál ez hogyan áll ez fenn. A következő ábrán ábrázoltuk a Fermi energia helyét a különböző vegyértékű anyagokra. Miként említettük N atomból álló rendszernél minden sávban 2N elektron számára van hely (az állapotok száma 2N). Egyvegyértékű anyagoknál (Na, K, Cu Ag) az elektronok száma n = N, az első sáv félig, kétvegyértékűeknél (Mg, Ca) az n = 2N így az első sáv teljesen be van töltve és a Fermi energia a tiltott sávban helyezkedik el. Ennek megfelelően a háromvegyértékűeknél (Al, Ga) az n = 3N az első teljesen, míg a második sáv félig van betöltve, a négyvegyértékűeknél (Ge, Si) pedig mindkét sáv teljesen be van töltve. E EF egyvegyértékű kétvegyértékű háromvegyértékű négyvegyértékű Az elmondottak szerint a páratlan vegyértékűekre igaz, hogy a Fermi energia felett van szabad hely, így ezek jó elektromos

vezetőképességgel rendelkeznek, míg a páros vegyértékűeknél a vezetési tulajdonságokat a ti ltott sáv szélessége szabja meg a következőképpen: Ha ∆E>>k B T akkor az elektronok a valenciasávból nem tudnak felkerülni a vezetési sávba, így elmozdulni sem, az anyag szigetelő lesz. Ha a tiltott sáv keskeny, szélessége ∆E ≅ k B T , ebben az esetben az elektronok egy része termikus energiájuk következtében átkerül a v ezetési sávban, lyukakat hagyva a v alenciasávban. Ez függ a hőmérséklettől T K ≅ ∆E/k B hőmérséklet alatt az anyag szigetelőként, felette vezetőként viselkedik. Végül, ha ∆E<0 (háromdimenziós esetben ez előfordulhat) akkor az anyag ismét vezető lesz. Makroszkopikus leírás A villamos áram, I arányos a f eszültséggel (villamos potenciállal), U-val, azaz I= 1 R U ahol az arányossági tényező reciproka az R ellenállás, amely egyenesen arányos a vezető hosszával, l-lel és fordítva

keresztmetszetével A-val: R= ρ l A, illetve σ = 1 ρ A ρ a fajlagos ellenállás, a reciproka σ a fajlagos vezetőképesség, amelyek anyagjellemzők. A összefüggés mint Ohm törvény ismeretes Legyen l hosszúságú vezetőnk, melynek végére U potenciált kapcsolunk. Az elektron mozgására felírható Newton II eg yenlet a következő lesz •• • m x = mv = eE = e U l ahol az m az elektron tömege, e a töltése, E az elektromos térerősség. Az A felületen átfolyó áram pedig I = enAv n az egységnyi térfogatban lévő elektronok száma, v a sebességük. Kiintegrálva a v sebesség a következő lesz v= eU t ml a t idő növekedésével nő. Az áramerősséget és fajlagos ellenállást pedig az előzőek felhasználásával e 2 nA t )U , I =( ml ρ= ebből m 1 een t . Az áramerősség az idő növekedésével a végtelenhez, mialatt a fajlagos ellenállás a nul lához tart, ami azt jelenti, hogy a m odell szerint minden anyag

előbb-utóbb szupravezető lesz. Az ellentmondás feloldható, ha feltételezzük, hogy az elektronok nem gyorsulnak a végtelenségig, előbb-utóbb ütköznek valamivel (rugalmatlanul) és elveszítik sebességüket. Legyen a két ütközés között eltelt átlagos idő τ, akkor a fenti helyett egy − v= eU τ ml átlagsebesség definiálható, melynek felhasználásával a faj lagos ellenállás ρ= 1 σ = m 1 e2n τ , ahol 1 τ = N ütközések már véges lesz és az ütközések számával arányos. Az elektron kétféleképpen ütközhet (szóródhat) rugalmatlanul (az atomsíkokon való visszaverődés rugalmas ütközés, lásd korábban): • fononokkal való ütközés N fonon • a szennyezőkön való szóródás N szennyező Így az ütközések száma két részből tevődik össze: N ütközések = N fonon + N szennyező aminek megfelelően a fajlagos ellenállás is két részből áll: ρ = ρ fonon (T)+ ρszennyező (c) egy fononoktól

származó részből és egy szennyezőktől függő részből. A fononokból származó résznél az ütközések száma a fononok számával arányos, ami pedig a hőmérséklettel (lásd előző fejezet). Így ez a rész a hőmérséklet függvénye lesz, közelítőleg lineárisan függ tőle és 0K-on zérus. A második tagnál az ütközések száma a szennyezőatomok számával arányos, ami szilárd oldat esetében a koncentráció függvénye. Másszóval a fémek ellenállása szétválasztható egy hőmérséklettől és egy ötvözőkoncentrációtól függő részre (az utóbbi szobahőmérsékleten csak néhány százaléka az előbbinek), ami Matthiesen szabályként ismeretes. Hővezetőképesség A hővezetés a fononok és az elektronok együttes hővezetéséből áll, de fémek esetén az első elhanyagolható. A hővezetést makroszkopikusan (mint minden áramot) a J = −K ∂T ∂x transzportegyenlet írja le (lásd Diffúzió), ahol a K a hővezetési

együttható, amely a következőképpen adható meg (itt nem részletezett módón egyszerűen levezethető): π 2 nkB2τ K= T . 3m Összevetve a hővezetési együttható fenti alakját a fajlagos vezetőképesség formulájával a kettő hányadosa: K π 2  kB  =   T = LT σ 3  e  2 csak a hőmérséklettől függ azzal arányos (Wiedermann-Franz törvény), ahol L=2,45 10-8 watt ohm /K2, az un. Lorenz szám A fenti kifejezés azt jelenti, hogy a két mennyiség hányadosa független az anyagminőségtől, azaz amely anyag jó elektromos vezető, az jó hővezető is. 10. Félvezetők Az anyag, mint korábban említettük akkor lesz félvezető, ha a tiltott sáv keskeny, szélessége ∆E ≅ kBT, ebben az esetben az elektronok egy része termikus energiájuk következtéVezetési sáv ben átkerül a vezetési E F sávban, lyukakat hagy∆Ε Elektronok Lyukak va a v alenciasávban. Valenciasáv Ez függ a hőmérséklettől TK≅∆E/kB hőmérT>TK

T<TK séklet alatt az anyag szigetelőként, felette vezetőként viselkedik. Ilyen tulajdonságokat mutatnak a négyvegyértékű fémek (Si, Ge). A vezetőképességet az elektronok (-) és a lyukak (+) együttes járuléka jelenti, azaz: σ = e(n( − ) µ ( − ) + n( + ) µ ( + ) ) , ahol n az egységnyi térfogatban lévő töltéshordozók száma, µ a mozgékonyságuk. Mivel az elektronok mozgékonysága egy nagyságrenddel nagyobb, mint a lyukaké, ezért a vezetőképesség nagyobb része az elektronoktól származik. Ezt a vezetést sajátvezetésnek nevezzük. Adalékolt félvezetők. Amennyiben a Ge kristályt ötvegyértékű (As) atomokkal szennyezzük, akkor ennek négy elektronja létrehozza a szabályos kovalens kötést (hasonlóképpen, mintha Ge atom lenne), míg az ötödik elektron majdnem szabadon mozog a fémben, kicsit kötődik az As-hez a Coul omb kölcsönhatás miatt (lsd. az ábrán) Ez azt jelenti, hogy energiája nagyobb lesz, mint a másik négy

közül akármelyiknek, azaz a valenciasáv felett, de kisebb lesz mintha szabadon mozogna, azaz a vezetési sáv alatt , a tiltott sávban (a vezetési sávhoz közelebb) helyez-kedik el (lsd. következő ábra). Innen könnyen felkerülhet a vezetési sávba, ezért ezt az energiaszintet donor (adó) szintnek nevezzük. A vezetést ebben az esetben ezek a felkerült elektronok hozzák létre, így ezt a félvezetőt ntípusú (negatív) félvezetőnek nevezzük. Ge atom (4 vegyértékű) . As szennyező (5 értékű) Ga szennyező (3 értékű) Gyengén kötött elektron E Gyengén kötött lyuk Tiszta kristály Szennyezett kristály Vezetési sáv Elektronvezetés EF Donorsáv Akceptorsáv Lyukvezetés n-típusú ∆Ε Valenciasáv p-típusú Amennyiben háromvegyértékű (Ga) fémet adalékolunk, egy elektron fogódik be, hogy kialakuljon az említett kötés. Ez az elektron a valenciasávból kerül oda, eg y lyukat hagyván maga után, m elynek energiája az

előbbi megfontolásokhoz hasonlóan szintén a tiltott sávba, közelebb a valenciasávhoz esik. A vezetés úgy megy végbe, hogy a lyuk befog egy elektront, miközben odébb mozdul. Ezért ezt a sávot akceptor (befogó) sávnak nevezzük, a félvezetőt pedig ptípusú (pozitív) félvezetőnek. 11. Mágnesség Makroszkopikus leírás Ha egy anyagot H mágneses térbe helyezünk akkor az anyagban mért térerősség, B, az un. mágneses indukció (mágneses egységekben) B=µH arányos lesz a H mágneses térerősséggel és az arányossági tényező µ az un mágneses permeabilitás, amely nagysága szerint első közelítésben mágnesség szempontjából a következőképpen osztályozhatjuk az anyagokat: µ > 1 paramágneses anyagok µ >> 1 ferrómágneses anyagok µ < 1 diamágneses anyagok. A permabilitást az okozza, hogy a mágneses tér mágneses momentumokat indukál az anyagban, amelyek irányuktól függően vagy erősítik (para- és

ferrómágnesség), vagy gyengítik azt. Az M mágneses momentum arányos a mágneses térerősséggel M= χ H ahol a χ arányossági tényező a mágneses szuszceptibilitás, A mágneses indukció pedig B = H + 4π M = (1 + 4π χ)H azaz µ = 1 + 4πχ. Mind a m ágneses permeabilitást, mind a s zuszceptibilitást vagy molnyi mennyiségre, vagy egységnyi térfogatra vonatkoztatják. Elektronok paramágneses szuszceptibilitása Az elektronok s spín és l pályamomentummal rendelkeznek. A spínmomen-tumhoz, 2sµ B , a p ályamomentumhoz lµ B mágneses momentum tartozik (lsd 2. fejezet), ahol a µB = e 2m Bohr magneton, a mágnesség kvantuma. Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy rendszert amelyben adott energiaszinten két elektronállapot van az s = + 21 és az s = − 21 . A mágnestérbeni energia: U = −2 sµB H azaz U + = -µ B H és U - = +µ B H Az adott energiaszinteken lévő elektronok számát (lsd 4. fejezet) összefüggés adja, azaz exp

(µ B H / k B T ) n1 = n exp( µB H / k B T) + exp ( − µB H / k B T) exp ( − µB H / k B T) n2 = n exp( µB H / k B T) + exp ( − µB H / k B T) ahol n 1 + n 2 = n az egységnyi térfogatban lévő elektronok száma. A mágneses momentum pedig (x = µ B H/k B T) e x − e −x M = (n1 − n 2 ) µ B = nµ B x − x = nµ B th x e +e Ha x << 1, akkor thx ≅ x nµB2 M≡ H kBT ebből nµ B2 C = χ≡ kBT T a paramágneses szuszceptibilitás a hőmérséklettel fordítottan arányos. Vezetési elektronok mágneses szuszceptibilitása A fémek (az. un nem átmeneti fémek) mágnességét jórészt az elektrongáz mágneses járulékai okozzák, mivel egyrészt az elektronok a (2. fejezet) mágneses momentummal (Bohr magneton) rendelkeznek, amelyek beállnak a tér irányába (paramágnesség) illetve a mágneses tér az elektrongázban köráramot indukál, mely egy, a külső térrel ellentétes mágneses momentumot eredményez (Landau féle diamágneses járulék).

Fémek esetén, nem összes n elektron vesz részt a paramágneses szuszceptibilitás alakításában, hanem csak azoknak a Fermi energia körüli k B T/E F megfelelő része, így paramágneses szuszceptibilitás az előbbiből: nµB2 kBT nµB2 χ≈ = kBT E F EF pontosabban 3 nµ B2 χ= 2 EF hőmérséklettől független. Ezen paramágneses járulék mellett fellépő Landau féle diamágneses járulékból származó mágneses 1 szuszceptibilitás egyenlő a paramágneses − 3 szorosával, így az eredő szuszceptibilitás az előző összefüggés kétharmada lesz. Az elektronokon kívül az atommagoknak is vannak mágneses tulajdonságaik, de mivel mágneses momentumuk három nagyságrenddel kisebb az elektronénál, ezért a mágneses szuszceptibilitáshoz nem adnak lényeges járulékot. Ferromágnesség Nem zárt 3d (4f) elektronhéjjal rendelkező anyagoknál (ún. átmeneti fémek) előbb kerülnek elektronok a 4s illetve a 4p pályákra, mint a 3d pályák

betöltődnének, így ezeken a teljes betöltöttséghez (10 elektron) képest kevesebb elektron is lehet. Közülük a P auli elv értelmében maximum 5 lehet felfelé (a H m ágneses tér irányába) mutató spinű, amint azt a különböző fémekre a következő ábra mutatja. A mágneses tér hatására ezek beállnak annak irányába, ami egy igen nagy, a többi fémhez viszonyítva nagyságrendekkel nagyobb mágneses momentumot és így mágneses szuszceptibilitást (permeabilitást) hoz létre, mint a többi fém szuszceptibilitása. Sc V Mn Fe Ni H Alapesetben ugyanakkor átlagosan ugyanannyi spinnek kellene felfelé mutatni, mint lefele, hiszen ez felel meg a rendezetlen állapotnak (5.fejezet), ennek az entrópiája a legnagyobb Kell lenni valaminek, ami a spineket a mágneses tér megszűnése után is irányban tartja, ez korábbi feltevések szerint egy belső (Weiss) tér. Valójában a már megismert kicserélődési kölcsönhatás, amely most esetünkben

(ferromágneses anyagoknál) olyan, hogy az ábrához tartozó paralel beállásokhoz tartozik a kisebb energia. Ez az energiacsökkenés kompenzálja az szabad energiában a rendezetlen állapot entrópianövekedését, de mivel az utóbbi még a hőmérséklettel is meg van szorozva, ezért ez a kompenzáció csak egy T c hőmérséklet alatt lehetséges, amit Curie hőmérsékletnek nevezzük. A Curie hőmérséklet alatt az anyag ferromágneses, felette paramágneses, és a paramágneses szuszceptibilitás hőmérsékletfüggése a következő lesz (Curie – Weiss törvény): χ= C T − Tc T>T c . ha , A kicserélődési kölcsönhatás további következménye, hogy a szomszédos atomok d elektronjainak spinjei (illetve d elektronok eredő mágneses momentumai) alapállapotban is megpróbálnak párhuzamosan beállni, így a fe rromágneses anyagnak lesz eredő mágneses momentuma, ami a tér megszűnése után is megmarad (következő ábra (a)). Amennyiben a

kicserélődési kölcsönhatás olyan, hogy az antiparalel beállásokhoz tartozik a kisebb energiaérték, akkor antiferromágnességről van szó ((b). ábra) Az antiferromágneses anyagok úgy tekinthetők, mintha két „mágneses alrácsból” állnának, ahol az egyiknek felfelé, a másiknak lefelé állnak a mágneses momentumai. Amennyiben a két alrács momentumai különböznek (például kétféle atomból felépülő anyagnál) egymástól, párhuzamos beállás esetén ferrimágnességről ((c) ábra), a másik esetben pedig antiferrimágnességről ((d). ábra) beszélünk (a) (b) (c) (d) A párhuzamos beállások elég hosszú távra érvényesek lehetnek, de nem az egész kristályra, így az anyag külön spin irányítottságú tartományokból tevődhet össze, amelyekhez különböző irányú mágneses momentum tartozhat. Ezeket a tartományokat doméneknek nevezzük (ábra). Alapállapotban a dom ének teljesen rendezetlenek, így az eredő mágneses

momentumuk zérus. H mágneses térbe helyezve az anyagot, a kedvező helyzetben lévő domének (a mágneses térrel közel párhuzamosak) a térerősség növekedésével elkezdenek növekedni a többi rovására és ezzel párhuzamosan nő az M és a B is (lsd. következő ábra). Ez a növekedés mindaddig tart, míg gyakorlatilag az összes domén a nevezett irányba áll. Ezután már nem nő sem az M sem a B. Ezt a maximális indukcióértéket M s -vel jelöljük és telítési mágnességnek nevezzük (ábra, középső vonal). Csökkentve H értékét az eredő mágneses momen-tum és B is gyakorlatilag megmarad, a H=0-hoz tartozó H r értéket maradék (remanens) mágnességnek nevezzük. Megfordítva a H irányát, a domének kezdenek átfordulni, így az M és ennek megfelelően B is tovább csökken, H=H c értéknél, amit koercív erőnek hívunk, éri el a nullát, majd az alsó telítettségi érték következik, utána v issza egy ezzel szimmetrikus görbén és

így tovább. Az oda- és visszamágnesezés nem azonos görbén történik, hanem azok egy területet zárnak be. Ezt a j elenséget hiszteré-zisnek nevezzük, és a ter ület nagysága egy munkajellegű mennyi-séggel arányos, ami az átmágnesezéskor elveszik (hiszterézises veszteség)