Matematika | Felsőoktatás » Dr. Czách László - FK-terek és végtelen mátrixok

FK-terek es vegtelen matrixok Irta: Rasonyi Miklos Temavezet}o: Dr.Czach Laszlo 1998.majus i Nem irom pennaval: : : Nem irom pennaval, Fekete tentaval, De szablyam elivel, Ellenseg verivel Az en orok hiremet. Zrnyi Miklos ii TARTALOMJEGYZE K 0.Bevezetes 2 0.0A dolgozat temaja 2 0.1Elmeleti hatter 2 1.Vegtelen matrixok szummacios problemai 6 1.0Matrixok 6 1.1s-regularitas 11 1.2Konzisztencia 14 1.3Tartalmazasi tetelek 15 2.Eredmenyek a funkcionalanalzisb}ol 17 2.0Hellinger-Toeplitz{tpusu tetelek 17 2.1Grothendieck tetelei 18 2.2Az Orlicz-Pettis tetel 21 2.3Zart graf tetelek 24 3.FK-terek 26 3.0FK-terek konstrukcioja 26 3.1FK-terek osszege 28 3.2Koregularis es konull FK-terek 31 4.Konzisztencia- es tartalmazasi tetelek 34 4.0M szekvencialis teljessege 34 4.1Tartalmazasi tetelek 39 4.2A Mazur-Orlicz tetel 41 5.Tovabbi eredmenyek a funkcionalanalzisb}ol 43 5.0Nehany topologiai megfontolas 43 5.1U jabb

tartalmazasi tetelek 43 5.2Hordo-terek 46 6.Negatv eredmenyek 47 6.0Mi lehet cA ? 47 6.1Inkonzisztencia 47 7.Alkalmazasok 49 7.0Hardy terek 49 Forrasmunkak 51 1 0.Bevezetes  0.0A DOLGOZAT TEMAJA E dolgozat celja, hogy vegtelen matrixokkal kapcsolatos szummacios problemak urugyen mutassa be a topologikus vektorterek elmeletenek nehany fontos eredmenyet. Az 1.fejezetben f}oleg a Banach-terek elmeletere tamaszkodva igazolunk teteleket vegtelen matrixokrol A 2fejezetben a funkcionalanalzis kulonboz}o fejezeteib}ol gy}ujtottunk egybe olyan tenyeket, melyek a kes}obbiekben hasznosnak bizonyulnak. A 3fejezetben ismertetjuk az FK-ter strukturat, mely legfontosabb eszkozunk lesz majd arra, hogy az absztrakt terek elmeletet a matrixok (tobbe-kevesbe) konkret vilagara alkalmazhassuk. A dolgozat leglenyegesebb tetelei a 4.fejezetben kerulnek bizonytasra Az eredmenyek e fejezetbeli egyseges megkozeltese KB1]-b}ol

szarmazik. Az 5fejezet kib}ovti az el}oz}ot: ujabb eszkozokkel tovabbi eredmenyeket bizonytunk. A 6fejezet ellenpeldakat tartalmaz A 7.fejezet pedig olyan alkalmazasokat mutat be, melyek nem a szummacioelmeletben gyokereznek. A legfontosabb forrasmunkaim Wi1],BK1] es Wi2] voltak utobbi atfogo kepet ad a funcionalanalzis alkalmazhatosagarol a vegtelen matrixok szummacioelmeleteben.  ER 0.1ELMELETI HATT A tovabbiakban jelolesek, denciok es olyan eredmenyek kovetkeznek, melyek ismeretet a dolgozat hatralev}o reszeben feltetelezzuk. El}oszor felsoroljuk azokat a fogalmakat, melyeket a tovabbiakban minden kulon magyarazat nelkul hasznalni fogunk. (Lasd Cz3]at, illetve RR],Sch],Wi1] bevezet}o fejezeteit) Alapfogalmak: Topologikus vektorter (mostantol TVT) lokalisan konvex szeparalt ter (mostantol LKT) felnorma fogalma Banach-ter Frechet-ter (teljes metrikaval metrizalhato LKT) konvex,

kiegyensulyozott (`balanced), abszolut konvex, korlatos es elnyel}o halmaz fogalma halmaz konvex es abszolut konvex burka hordo-ter dualis par (mostantol d.p) halmaz polarisa kompatibilis topologia TVT teljessge, szekvencialis teljessege altalanostott sorozat (`net). Az irodalomban nem egyseges dencio miatt most tisztazzuk, hogy mit ertunk ebben a dolgozatban pszeudonorma alatt. Pszeudonorma dencioja: Ha X egy vektorter, egy p : X ! R+ fuggvenyt pszeudonormanak nevezzuk,ha (1) kxk = 0 $ x = 0 (2) jj  1 ! kxk  kxk (3) kx + yk  kxk + kyk (4) Ha x 2 X n 2 C n ! 0 akkorknxk ! 0: Megjegyezzuk, hogy (1) (2) (3) (4) ekvivalens (1) (2) (3) (40 )-vel, ahol (40 ) a kovetkez}o: (40 ) Ha xn  x 2 X  tn  t 2 C tn ! t kxn ; xk ! 0 akkor ktnxn ; txk ! 0: 2 Jelolesi konvenciok: Ha X Y halmazok, f : X ! Y egy fuggveny, akkor f A] jeloli az A-beli elemek kepeinek halmazat, f ;1 A] pedig a szokasos visszahuzast".

Z  X eseten f jZ jeloli az f megszortasat Z -re. Ha r valamilyen, topologiat meghatarozo objektum egy X halmazon/vektorteren (pl. metrika, norma, avagy a nylt halmazok rendszere), akkor Y  X eseten rjY jeloli az r altal meghatarozott topologia megszortasat. Ha X egy halmaz, akkor L1(X ) jeloli az X -en korlatos fuggvenyek halmazat. A nemnegatv egeszek halmazat ! jeloli. A valos szamok teste R, a kib}ovtett  jeloli. C a komplex szamok teste Az osszes komplex sorozatok (vagyis szamegyenest R ! ! C fuggvenyek) vektortere s. Ha x 2 s, akkor xi -vel az x i-edik koordinatajat jeloljuk Emellett i 2 ! eseten Ti : s ! C az i-edik koordinatafuggveny. x 2 s eseten Pn(x) az a sorozat, melynek els}o n koordinataja megegyezik x megfelel}o koordinataival, a tobbi koordinataja 0.  jeloliPa azon sorozatokPhalmazat, melyeknek csak veges sok nemnulla koordinatajuk van. A i szimbolum a 1 i=0 rovidtese. e 2 s jeloli azt a sorozatot,

melynek minden koordinataja 1, ei 2 s pedig azt a sorozatot, melynek i-edik koordinataja 1, a tobbi 0. Most s nehany fontos topologizalt alteret tekintjuk: (l1  k  k1): A korlatos sorozatok tere a szupremumnormaval. c c0 : A konvergens sorozatok ill. nullsorozatok tere ezeket mint l1 (zart) alteret tekintjuk. P Legyen Fp(x) := i jxi jp 0 < p < 1 x 2 s. Nyilvan Fp : s ! R$ lp := fx1 2 s : Fp(x) < 1g 0 < p < 1: Topologizaljuk ezeket a tereket p 1-re az x ! (Fp(x)) p norma altal, 0 < p < 1 eseten az x ! Fp (x) pszeudonorma altal. l1  c c0  lp  1  p < 1 Banach-terek az adott normakkal, lp  0 < p < 1 pedig Frechetterek a pszeudonormabol szarmaztatott metrikaval. Ez utobbi terek nem lokalisan konvexek m  s a csak veges sok erteket felvev}o sorozatok tere, azaz a 0 ; 1 sorozatok linearis burka. l1 alterekent tekintjuk, a szupremumnormaval ellatva Ha X egy TVT, akkor a topologiai dualisa X 0 , az algebrai

dualisa X #. Ha H egy TVT-ben egy halmaz, akkor ac(H ) jeloli a H abszolut konvex burkat. Egy dualis parban egy A halmaz polarisat altalaban A jeloli. A kes}obbi hivatkozasokat megkonnytend}o pontokba szedtunk nehany fontos tenyt: (Landau-Toeplitz tetel) Ha x olyan sorozat, hogy minden f 2 c0 eseten Pi f(0.10) i xi konvergens, akkor x 2 l1 . (0.11)(Banach-Steinhaus tetel) Ha X egy hordo-ter, akkor X -en ertelmezett operatorok pontonkent korlatos halmaza egyenletesen folytonos Emellett X -en ertelmezett folytonos linearis funkcionalok pontonkenti limesze is folytonos linearis funkcional. Specialisan igazak az el}oz}o alltasok ha X Frechet-ter, avagy Banach-ter (0.12) c0 c dualisai linearisan izometrikusak l1 -el c0 azonosthato a C  lim+l1 direkt osszeggel, ahol lim a szokvanyos limeszfunkcional c-n. Az e ei  i 2 ! rendszer Schauder-bazis c-ben. (0.13) bv := fx 2 sj Pi jxi+1 ; xi j < 1g 3 bv0 := bv c0 cs := fx 2 sj Pi xi

konvergensg kxkbv := j lim xj + Pi jxi+1 ; xi j x 2 bv bv-t ezzel a normaval topologizaljuk. Azt, hogy ez tenylegesen egy (teljes) norma, az 1.1reszben fogjuk bizonytani kxkcs := supk j Pki=0 xi j x 2 cs: cs-et pedig a fenti normaval latjuk el (lasd az 1.1reszt) (0.14) Mackey topologia dencioja: (X Y ) legyen egy dualis par Jelolje  (X Y ) az Y -beli (Y X )-kompakt abszolut konvex halmazok polarisai alkotta additv racs generalta topologiat X -en. Ez a leger}osebb kompatibilis topologia, melyet Mackey-topologianak hvunk. Minden (X T) metrizalhato TVT-re T =  (X X 0 ) (0.15) Ha (X Y ) egy dp, akkor X azonosthato Y # egy alterevel es viszont (X Y ) jeloli a gyenge topologiat, vagyis a leggyengebb olyan topologiat, melyre Y  X # minden eleme folytonos. Ha (X T) egy LKT, akkor a (X 0  X ) topologiat neha gyengetopologianak hvjuk (0.16) Ha (X Y ) egy dp, akkor egy A Y -beli (Y X )-korlatos halmazokbol allo rendszert

polaris csaladnak mondunk, ha minden A 2 A-hoz van olyan B 2 A, hogy 2A  B. TA jeloli azt a topologiat X -en, amit a A-beli halmazok polarisaibol allo additv racs general. TA-t a A generalta polaris topologianak hvjuk Egy T topologia X -en megengedhet}o, ha valamely polaris csaladbol szarmazik es T (X Y ). A leger}osebb megengedhet}o topologiat (X Y ) jeloli, ezt az Y -beli osszes (Y X )-korlatos halmazbol allo polaris csalad szarmaztatja. Egy TA topologia pontosan akkor megengedhet}o, ha fA : A 2 Ag = Y . Egy megengedhet}o topologia mindig szarmaztathato olyan polaris csaladbol, melynek elemei abszolut konvex es (Y X )-zart halmazok. Egy (X Y ) dp-ban (X Y ) jeloli azt a polaris topologiat X -en, melyet az Y -beli (Y X )-kompakt halmazok polaris csaladja szarmaztat. (0.17) Egy (X Y ) dp-ra H  X pontosan akkor (X Y )-korlatos, ha minden f 2 Y eseten f H ] korlatos C-ben. (0.18) Ha (X Y ) egy dp, akkor minden A

 X nemures halmazra A = ac(A), ahol $ a (X Y )-beli lezarasra utal. (0.19) Teljes TVT-ek szorzata ill zart altere teljes TVT (0.110) Ha X Y Frechet-terek, akkor barmely X ! Y zart grafu linearis lekepezes folytonos. Ha X TVT, Y Hausdor% TVT, akkor barmely X ! Y folytonos lekepezes zart grafu. (0.111) Szeparacios tetel: Ha X egy LKT,akkor barmely A  X abszolut konvex halmazhoz es x 2= A$ elemhez van olyan f 2 X 0 , hogy jf (x)j > supa2A jf (a)j. (0.112) Banach-Alaoglu-tetel: Ha (X Y ) egy dp, akkor minden U  X nullkornyezetre U  (Y X )-kompakt (0.113) Ha X egy szeparabilis LKT, akkor minden U  X nullkornyezetre az U   0 X halmaz metrizalhato a (X 0  X ) topologiaban. Ez azert igaz, mert tekintve egy F  X 4 megszamlalhato s}ur}u halmazt, (X 0  F )jU   (X 0  X )jU   ahol az els}o topologia Hausdor%, a masodik kompakt, ezert megegyeznek (lasd. (0120)-at alabb). Az els}o topologia viszont azonosthato

megszamlalhato sok szamegyenes (metrikus ter) topologikus szorzatanak egy alterevel, ezert metrizalhato. (0.114) Ha egy X vektorteren ket vektortopologia konvergens sorozatai ugyanazok, akkor ugyanazok a Cauchy-sorozataik is. (0.115) s-et topologizaljuk az X 1  jxi j i+1 1 + jxi j i 2 teljes pszeudonormaval. A keletkezett topologiat s jeloli Ha egy r 2  veges sorozathoz azt az s-en ertelmezett linearis funkcionalt rendeljuk, melyre s(x) = r(x) = X ri xi i akkor egy (s ) dualis par bilinearis formajat adtuk meg. Konnyen lathato, hogy s = (s ): (0.116) Ha egy TVT metrizalhato, akkor pszeudonormalhato Ha teljesen metrizal- hato, akkor topologiaja szarmaztathato teljes pszeudonormabol. (0.117) Egy LKT zart valodi alteren adott folytonos linearis funkcional kiterjed az egesz terre, mint folytonos nemnulla funkcional. (0.118) Egy pszeudonormalt ter pontosan akkor teljes, ha benne minden abszolut konvergens sor

konvergens. (0.119) Veges dimenzios Hausdor% TVT topologiaja mindig szarmaztathato Banachter{strukturabol (0.120) Ha egy halmazon T  S topologiak, ahol T Hausdor%, S kompakt akkor T = S. (0.121) Konvex halmazok lezarasa ugyanaz barmely kompatibilis topologiaban (0.122) Ha T1  T2 kompatibilis topologiak X -en egy (X Y ) dp-ben, akkor A  X pontosan akkor T1 -korlatos, ha T2 -korlatos. (0.123) Ha X egy normalt ter, akkor (X 0  X ) eppen a funkcionalnorma-topologia X 0 -n. 5 1.Vegtelen matrixok szummacios problemai E fejezetben vegtelen matrixokkal kapcsolatos alapvet}o fogalmakat tisztazunk, bizonyos matrixosztalyokat karakterizalunk. Ezek utan olyan klasszikus problemakat vazolunk fol, amelyeket a kes}obbi fejezetekben a funkcionalanalzis eszkozeivel fogunk megoldani, legtobbszor lenyeges altalanostasokkal 1.0MA TRIXOK 1.00Dencio Egy A : ! ! ! C fuggvenyt vegtelen matrixnak nevezunk Az A(i j ) j 2 ! sorozat

a matrix i-edik sora, A(i j ) i 2 ! a j-edik oszlopa. Egy A matrix 0 i < j es A(i i) 6= 0 i 2 !. Legyen x 2 s egy sorozat Ha haromszog, hogyha A(i j ) = P i minden i 2 ! eseten a y := j A(i j )xj sor konvergens, akkor azt mondjuk, hogy A es x szorzata ertelmes, es a szorzas eredmenye az az y sorozat, melynek i-edik koordinataja eppen yi . Ezt a sorozatot Ax-szel jeloljuk sA azon s-beli elemek halmaza, melyeknek az A matrixszal vett szorzata ertelmes.Ez (nemures) linearis alter s-ben cA := fx 2 sAjAx 2 cg. Ez is linearis alter s-ben Nyilvanvalo, hogy A : sA ! s egy linearis operatort denial, ez indokolja az Ax jelolest. A vegtelen matrixok bevezetesenek egyik celja az volt, hogy divergens sorozatokhoz valamifele limeszt" rendelhessunk. Valoban, minden x 2 cA eseten legyen n limAx := nlim !1(Ax) : Ezzel egy linearis funkcionalt denialtunk cA -n. A kerdes mar csak az, hogyan erhet}o el, hogy cA agy" legyen es limA ne

legyen trivialis. 1.01Peldak Legyen A(i j ) := 0 i j 2 ! Ekkor cA = s a lehet}o legnagyobb, de limA azonosan 0. Legyen most Bx := (x1  0 x1  x2  0 x1  x2  x3  0 :::) , minden x 2 s-re, nyilvanvaloan van olyan B matrix, mely eppen gy hat s-en. Ha egy x sorozat valamely koordinataja 0-tol kulonboz}o r szam, akkor Bx-ben mind a 0, mind r vegtelen sokszor 1  j  i M (i j ) := 0 j > i. Ezt a el}ofordul, ezert cB = f0g. Vegul legyen M (i j ) := i+1 matrixot Cesaro-matrixnak nevezzuk. Az elemi analzisb}ol ismeretes, hogy egy konvergens sorozat Cesaro-kozepeib}ol allo sorozat is konvergens, es limesze megegyezik az eredeti sorozat limeszevel. Innen c  cM , es limM jc = lim Most olyan felteteleket fogalmazunk meg, melyek teljesulese eseten esszer}u limeszfogalomhoz juthatunk. 1.02Dencio Egy A matrixot konzervatvnak mondunk, ha c  cA Ha emellett limAjc = lim akkor az A matrix regularis. 1.03Tetel A pontosan akkor konzervatv,

ha sorai l1 -ben normakorlatos sorozatok, oszlopai konvergens sorozatok es e 2 cA . Ha A konzervatv, akkor minden x 2 c-re limAx = A lim x + 6 X j j xj  P ahol j := limi!1 A(i j ), A := limA e ; j j . Bizonytas: Szuksegesseg: Ha c  cA, akkor e ei 2 cA  i 2 !. Innen lim (Aei )j = jlim !1 A(j i) j !1 letezik, ami eppen azt jelenti, hogy az oszlopok konvergens sorozatok. A (010) LandauToeplitz tetel miatt A sorai l1 -beliek, hisz minden i 2 ! g 2 c0-ra () X A(i j)gj j konvergens. Ugyanebb}ol azonnal latjuk, hogy az A sorai, mint c0-on ( ) szerint hato linearis funkcionalok, pontonkent korlatosak, hiszen a X A(i j)gj g1 f i=0 j sorozat konvergens, tehat korlatos barmely g 2 c0 eseten. Akkor a (011) BanachSteinhaus tetel szerint A sorai normaban is korlatosak Elegsegesseg: A feltetelek szerint Ax ertelmes minden x 2 l1 sorozatra, hiszen ha A(i ) 2 l1 , akkor X X j A(i j )xj j  jA(i j )j  sup jxj j j j j s}ot, az

egyenl}otlenseg bal oldala tovabb becsulhet}o a sup kA(i )k1  kxk1 i mennyiseggel, vagyis Ax 2 l1 es A : l1 ! l1 folytonos linearis operator. Akkor U := A;1 c] egy zart alter (l1  k  k1)-ben. A felteves szerint e 2 U Az oszloplimeszek letezese eppen azt jelenti, hogy ei 2 U , ahogyan azt a szuksegesseg igazolasanal mar lattuk. A legkisebb olyan k  k1-zart alter l1 -ben, mely e-t es az ei  i 2 ! sorozatokat tartalmazza, eppen c tehat c  U = cA . A limA funkcionalrol eleg belatni, hogy limA 2 (c k  k1)0 , ekkor ugyanis c dualisanak (0.12) jellemzeseb}ol adodik a formula Vegyuk eszre, hogy limA 0 pontonkenti limesze az fA(i )g1 i=0 l1 -beli elemekb}ol allo sorozatnak, mid}on azt, mint c elemeit tekintjuk. A (011) Banach-Steinhaus-tetelb}ol keszen vagyunk  1.04Dencio Ha A konzervatv, akkor A-t konullnak hvjuk, ha a fenti Tetelben szerepl}o A = 0, ellenkez}o esetben A koregularis. Mint majd latni fogjuk, a koregularis

es konull matrixok viselkedese lenyegesen kulonboz}o. (103)-bol mar konny}u a regularis matrixok karakterizacioja, Toeplitz nevezetes eredmenye: 7 1.05Tetel A pontosan akkor regularis, ha sorai l1 -beli normakorlatos sorozatot alkot- nak, oszlopai nullsorozatok es limAe = 1. Bizonytas: (1.03) alapjan vilagos, hogy a feltetelek szuksegesek, hiszen lim e = 1 lim ei = 0 i 2 ! es A regularis. Masreszt szinten (103)-bol kapjuk, hogy a feltetelek teljesulese eseten c  cA  valamint limAjc = lim mert limA = lim az e ei  i 2 ! zart rendszeren, ez az elegsegesseget igazolja.  Regularis matrixra pelda az identitasmatrix I (i i) = 1 i 2 ! I (i j ) = 0 i 6= j , valamint az (1.02)-ben szerepl}o Cesaro-matrix 1.06Megjegyzes Az 103Tetelben voltakeppen azokat a matrixokat karakterizaltuk, melyek c-t c-be kepezik A ltalanosan foltehet}o a kerdes: mi a szukseges es elegseges feltetele, hogy egy matrix X -et Y -ba

kepezze, ahol X Y  s? Az ilyen tulajdonsagu matrixok halmazat X Y ]-al jeloljuk. Konkret X Y parokra szamos ad hoc eredmeny ismert Wi2] 8fejezeteben szerepel egy viszonylag altalanos modszer, mellyel a legismertebb sorozatterek (pl. c s bv cs lp ) kozotti lekepezesosztalyok majd mindegyike meghatarozhato az e dolgozat 3fejezeteben vazolt elmelet segtsegevel Mi csak erintjuk ezt a temat, belatjuk Schur tetelet, majd az 1.1 reszben a cs cs] osztalyt jellemezzuk 1.07Lemma Legyen A egy valos ertekkeszlet}u matrix, melynek sorai l1 -ben korlatos halmazt alkotnak, s melyre igaz, hogy minden x 0 ; 1-sorozatra Ax 2 c0 .Akkor lim kA(n )k1 = 0: n!1 S}ot, a lemma akkor is igaz, ha nem tesszuk fel , hogy a sorok l1 -beliek! Bizonytas: Tegyuk fel, hogy az alltas nem igaz. Akkor valamely i(n) reszsorozatra kA(i(n) )k1 ! t n ! 1 0 < t < 1: Legyen B az a matrix, melyre B(i j ) = A(i(tn)k) . Eleg megmutatni, hogy

nincs ilyen B Lathatoan lim kB(n )k = 1: n!1 A lemma felteveseit ei  i 2 !-ra alkalmazva adodik, hogy n ( ) nlim !1(Bei ) = nlim !1 B (n i) = 0 i 2 !: Innen rogton kapjuk az alabbi osszefuggest: 1 X jB(n k)j = 1 m 2 !: ( ) nlim !1 k=m 8 Ezek utan r(i) m(i) 2 ! i 2 ! sorozatokat denialunk. Legyenek r(0) m(0) olyanok, hogy kA(r(0) )k1 12 1 X jA(r(0) k)j > 1  X m(0) jA(r(0) k)j < 18 2 k=m(1)+1 teljesuljenek. ( ) ( ) miatt ilyen r(0) m(0) letezik Ha mar valasztottunk r(i) m(i) szamokat i < n-re, akkor legyen r(n) > r(n ; 1) olyan, hogy k=0 X m(n;1) k=0 jA(r(n) k)j < 18  1 X k=m(n;1)+1 jA(r(n) k)j > 12  m(n) > m(n ; 1) pedig olyan, hogy X 1 X 1 jA(r(n) k)j > 2  jA(r(n) k)j < 18 : k=m(n;1)+1 k=m(n)+1 m(n) Ilyen r(n) m(n) letezik ( ) ( ) szerint. Most denialunk egy x 2 l1 sorozatot: xk := sgn(A(r(0) k)) k = 0 ::: m(0) xk := sgn(A(r(h) k)) m(h ; 1) + 1  k  m(h) h 1: Ez egy f;1 +1g

ertekkeszlet}u sorozat, gy az y := (x +2 1) sorozat egy nullsorozat, x = 2y ; e, tehat Ax = 2Ay ; Ae 2 c0 : Masreszt i 1-re, j(Ax)r(i) j = j X m(i;1) k=0 A(r(i) k)xk + X m(i) k=m(i;1)+1 jA(r(i) k)j + 1 X k=m(i)+1 A(r(i) k)xk j (i;1) 1 X 1 ; mX 1 ; 1 ; 1 = 1 j A ( r ( i )  k ) j ; j A ( r ( i )  k ) j > 2 k=0 2 8 8 4 k=m(i)+1 9 ami biztostja, hogy Ax 2= c0 , ez ellentmondas. Annak bizonytasa, hogy az A soraira vonatkozo feltetel elhagyhato, megtalalhato Wi1] 253. oldalan, de elemi meggondolassal is konnyen adodik. 1.08Tetel(Schur) A 2 l1  c] pontosan akkor, ha oszlopai konvergensek, sorai l1 beliek es X jA(i k)j k i-ben egyenletesen konvergal. Bizonytas: Tegyuk fel, hogy A 2 l1  c]. Akkor konzervatv is, vagyis oszlopai konvergensek Jelolje a azt a sorozatot, melyre aj a j -edik oszlop limeszeA Xm jak j = lim Xm jA(n k)j  sup kA(n )k  n!1 k=0 n k=0 1 becslesb}ol nyilvanvalo, hogy a 2 l1 . El}oszor tegyuk

fel, hogy a = 0 es A valos ertekkeszlet}u Akkor az 1.07Lemma szerint kA(n )k ! 0 n ! 1 X jA(l j)j <  l > N amib}ol eleg nagy N -re, j valamint alkalmas M kuszobszamra 1 X jA(s j )j <  g > M 0  s  N j =g P ez pedig azt jelenti, hogy j jA(i j )j i-ben egyenletesen konvergal. Ha most A meg mindig valos, de a 6= 0, akkor a B(i j ) := A(i j ) ; aj matrixrol konnyen lathato, hogy B 2 l1  c], es B-re a fenti gondolatmenet elismetelhet}o. Ha A tetsz}oleges (komplex) matrix, akkor A = B + iC , B-re es C -re az el}oz}oekb}ol adodik az alltas, innen A-ra is. Ha A-ra teljesulnek a feltetelek, akkor az (l1  l1 ) dualis par kanonikus bilinearis formajanak alakjabol (koordinatankenti szorzas) adodik, hogy l1  sA. Igy egy korlatos x sorozatra m X lim A(n k)xk m!1 k=0 n-ben egyenletesen konvergal, tehat az n-el vegtelenbe tartva a hataratmenetkepzes es a szummazas felcserelhet}o, vagyis a bizonytas

legelejen bevezetett a 2 l1 -re limA x = X aj xj 10 j adodik, Ax 2 c, ahogyan akartuk.  1.09Dencio Ha A egy matrix, akkor A (i j ) := A(j i) az adjungaltja, itt $ komplex konjugalast jelol Ha A B matrixok, akkor ezek AB szorzata ertelmes, ha minden i 2 !-ra A-nak es B i-edik oszlopanak, bi-nek szorzata ertelmes. A szorzas eredmenye az a matrix, melynek i-edik oszlopa Abi . Hasonloan ertelmezhet}ok A hatvanyai, Ak  k 2 ! Most erdekessegkent kovetkezzen nehany mondat lp  lr ]-r}ol. A ltalanos (p r) parra ma sem ismeretes szukseges es elegend}o feltetel. Egeszen a 70-es evekig meg az l2  l2 ] legszebb" eset sem volt tisztazva! 1971-ben bizonytotta Crone hres tetelet: 1.010Tetel A 2 l2  l2 ] pontosan akkor, ha az alabbi harom feltetel teljesul: (1) A sorai l2 ; beliek (2) (A A)n ertelmes minden n > 0 egeszre (3) sup sup j(A A)n](i i)j n1 < 1 n i Bizonytas: Megtalalhato Cro]-ban.

1.1S-REGULARITA S Az alabbiakban egy igen altalanos szummacios eljarast denialunk, majd teljesen karakterizaljuk ennek bizonyos ertelemben vett regularitasat. Ezek utan alkalmazasokat mutatunk be a klasszikus analzis teruleter}ol, valamint belatjuk a Toeplitz-tetel sorokra vonatkozo analogonjat. 1.10Dencio Legyen (X T) egy topologikus ter, x0 2 X egy rogztett pont, mely a topologikus ternek torlodasi pontja(azaz minden kornyezeteben van t}ole kulonboz}o pont). Legyen X$ := X ; fx0 g, valamint legyen a 2 s tetsz}oleges. Azt mondjuk, hogy egy u = u(t) = fun(t)g1 n=0  un (t) = un 2 L1 (X$ ) sorozat szummacios sorozat az a-ra nezve, ha X (1) minden t 2 X$ eseten U (t a) := anun(t) konvergens n (2) U ( a) 2 L1(X$ ) (3) letezik az u X a := lim U (t a) hatarertek: t!x0 Ekkor az utobbi hatarerteket az a sorozat u-osszegenek nevezzuk. Azon a 2 s-ek halmazat, melyekre nezve egy adott u szummacios sorozat, u szummacios

tartomanyanak hvjuk, jele dom(u). Egy u sorozatot s ; regularis (sor-regulaPris) szumm acios sorozatnak P mondunk, ha cs  dom(u), es minden a 2 dom(u) eseten u a = i ai , vagyis ha egy konvergens sor tagjaibol allo sorozat u-osszege megegyezik a sor tenyleges osszegevel. 1.11A lltas bv cs a (013)-ben megadott normakkal teljes normalt terek ei  i 2 ! egy zart rendszer cs-ben. bv izometrikusan izomorf cs dualis terevel b 2 bv eseten a hozzarendelt ^b linearis funkcionalra ^b(x) = X xi bi  i 11 P ahol x 2 cs tetsz}oleges. Ha valamely b 2 s-re i xi bi konvergens minden x 2 cs-re, akkor b 2 bv. Bizonytas: Tekintsuk azt az A : s ! s operatort, melyre (Ax)i = Xi xi : j =0 Ez nyilvan linearis bijekcio, gy A;1 c] = cs ellatva a k  k1  Ajcs normaval Banach-ter. Az e ei  i 2 ! c-beli Schauder-bazis A;1 -kepe: A;1 (e) = e0 A;1 (ei ) = ei ; ei+1 i 2 !: Lathatoan ezek a cs-beli elemek az ei  i 2 ! rendszer linearis burkaban

vannak, gy ei  i 2 ! valoban egy zart rendszer cs-ben. bv denciojabol rogton lathato, hogy bv  c. Innen bv = bv0 + C  e Denialjuk azt a B : s ! s lekepezest, melyre (Bx)i := xi ; xi+1  i 1 ez is linearis operator, mely linearis bijekciot letest bv0 es l1 kozott. Ekkor k  k1  Bjbv0 egy teljes norma. Innen mar latszik, hogy a (013)-ban szerepl}o k  kbv egy teljes norma bv-n. Ismeretes c dualisanak (012) szerinti azonostasa l1 + C  lim-el Innen vilagos, hogy cs0 izometrikusan izomorf bv-vel. Ki kell meg szamolni, hogyan hat b 2 bv eseten a hozza tartozo ^b 2 cs0 linearis funkcional cs-en. Ha b = b0  e + b1 , ahol b1 2 bv0 b0 2 C, akkor x 2 cs-re: ^b(x) = b0  A;1 (e) + X(Bb1 )i (Ax)i = b0  x0 + X(bi1 ; bi1+1 )  X xj = i i i = b0  x0 + X xj  X(bi ; bi+1) = X xibi 1 ij j 1 tekintettel arra, hogy b01 = 0 es limi!1 bi1 = 0. Az utolso alltas abbol adodik, hogy ha j =0 i k X (x) := bi xi k i=0 konvergens k ! 1

eseten minden x 2 cs-re, akkor a k funkcionalsorozat pontonkent korlatos, tehat (0.11)-b}ol normaban korlatos, azaz Xk jbi+1 ; bij < M < 1 i=0 12 valamely k-tol fuggetlen M konstanssal. Ez azt jelenti, hogy b 2 bv  A kovetkez}o tetelben teljesen karakterizaljuk az s-regularis szummacios sorozatokat. 1.12Tetel u pontosan akkor s-regularis, ha $ (I ) fun(t)g1 n=0 2 bv t 2 X (II ) sup ku(t)kbv < 1 t2X (III ) tlim !x0 un (t) = 1 n 2 !: Bizonytas: Elegsegesseg: Ha (I ) igaz, akkor (1.11) szerint Ut = U (t ) t 2 X$Pfolytonos linearis funkcionalok egy halmaza a cs teren A sorosszegz}o funkcional, l(x) := i xi  x 2 cs szinten egy folytonos linearis funkcional es Ut ! l t ! x0 pontonkent az ei  i 2 ! zart rendszeren (III ) szerint. (II ) miatt K := sup kU (t )kbv < 1 Akkor barmely x 2 cs eseten: jUt(x) ; l(x)j  jUt (x) ; Ut(y)j + jUt(y) ; l(y)j  K jx ; yj + 3 + 3 <  ha y az ei  i 2 ! altal kifesztett s}ur}u alter

olyan eleme, mely x-hez eleg kozel van, valamint t a t0 egy alkalmasan kis kornyezetebe esik. Ez igazolja, hogy u s-regularis Szuksegesseg: A szummacios sorozat denciojabol es (1.11)-b}ol adodik, hogy $ u(t) 2 bv t 2 X vagyis (I ) igaz. Mivel az s-regularitas miatt U (t ) = Ut ! l pontonkent, (III ) teljesul Az Ut  t 2 X$ funkcionalhalmaz pontonkent korlatos a 1.10Dencio (2) pontja szerint, gy a (0.11) Banach-Steinhaus tetelb}ol normakorlatos, ami eppen (II)  1.14Kovetkezmeny(Riemann-tetel) Ha a Pn an numerikus sor konvergens, akkor lim t!0 X an( sin(nt) )2 = X an: nt n n Bizonytas: Legyen X := ;1 1]  R. x0 := 0 U (n t) := un(t) := ( sinnt(nt) )2 t 2 X$ := X ; fx0 g. Az elemi analzisb}ol ismert, hogy P valamint i i12 < 1 miatt lim u (t) = 1 t!0 n sup kU ( t)kbv < 1 t ezert az 1.13Tetel feltetelei teljesulnek, azaz un s-regularis szummacios sorozat ami eppen azt adja, amit igazolni akartunk. 13

1.15Kovetkezmeny(Abel tetele) Legyen S := fz 2 C : jzj < 1g Ha konvergens numerikus sor, akkor lim z !1 k P n na X anzn = X an n k n ahol fzk g1 k=0  S  folteve, hogy zk ! 1 nem tangencialisan, azaz van olyan  > 0, hogy barmely k eseten a zk -t 1-el osszekot}o szakasz -nal nagyobb szoget zar be az S 1-beli erint}ojevel. Bizonytas: Az el}oz}ohoz hasonloan itt is elemi meggondolasok mutatjak, hogy C egy alkalmas tartomanyan U (n z) := zn s-regularis szummacios sorozat.  Vegul kovetkezzen a megigert alkalmazas vegtelen matrixokra: 1.16Kovetkezmeny A 2 cs cs] akkor es csak akkor, ha A sorai bv-beliek es ott normakorlatos sorozatot alkotnak, valamint oszlopai 1-hez tarto konvergens sorozatok. Bizonytas: Jelolje X az ! diszkret ter Alekszandrov -kompaktikaciojat! x0 := 1 Akkor egy szummacios sorozatot azonosthatunk egy vegtelen matrixszal. (113)-at alkalmazva kapjuk alltasunkat 1.2KONZISZTENCIA Mar

lattunk peldat arra, mikepp rendelhetunk altalanostott hatarerteket bizonyos sorozatokhoz. Egy A matrix eseten minden x 2 cA -beli sorozathoz a limA x szamot rendeltuk Termeszetesen merul fol a kovetkez}o kerdes: Ha adott ket matrix, A es B, akkor x 2 cA cB eseten igaz-e, hogy limAx = limB x? Sajnos, ez meg regularis matrixokra sem igaz. 1.20Pelda Tekintsuk azokat az A B matrixokat, melyeket a kovetkez}o dencio ertelmez: A(i 2i + 2) = 1 i 2 ! A(i j ) = 0 egyebkent B(i 2i + 1) = 1 i 2 ! B(i j ) = 0 egyebkent: Ezek mindketten regularisak (1.13) szerint Legyen x az a sorozat, melynek paros elemei 1-ek, paratlan elemei 0-k. Ekkor (Ax)n = 1 (Bx)n = 0 n 2 !, gy limB x = 1 limAx = 0 1.21Dencio Legyenek A B matrixokHa limA j(cA cB ) = limB j(cA cB) akkor e matrixokat konzisztensnek mondjuk. Ha csak limAj(cA cB l1 ) = limB j(cA cB l1 ) teljesul, akkor A B korlatosan konzisztens. U jrafogalmazva kerdesunket,

milyen A B-re tett megkotesek garantaljak azok korlatos konzisztenciajat? Az ilyen iranyu vizsgalodasok gyumolcsoz}onek bizonyultak, 1927-ben Mazur az alabbi eredmenyeert megkapta a lembergi egyetem matematikai djat: 14 1.22Tetel Ha A B olyan regularis haromszogek, hogy cA l1  cB , akkor A es B korlatosan konzisztensek.  Figyelemremelto, hogy Mazur bizonytasa a Banach-terek akkor meg ujdonsagnak szamto elmeletet hasznalta. Ennek a tetelnek lenyegesen altalanosabb valtozatat fogjuk belatni a 4.fejezetben  TETELEK 1.3TARTALMAZASI Ezzel a nevvel eredmenyek egy igen szeles koret illetjuk. A szakirodalomban ezek tobbnyire `bigness theorems illetve `inclusion theorems cmkek alatt szerepelnek. Hahn 1922-ben mar ismerte a kovetkez}o tenyt: 1.30Tetel Egy matrix konvergenciatartomanya pontosan akkor tartalmazza az osszes 0 ; 1-sorozatot, ha minden korlatos sorozat benne van. Ezt, es a most kovetkez}o tetelt is

lenyegesen er}osebb formaban fogjuk bizonytani a kes}obbi fejezetekben. 1.31Tetel Egy koregularis matrix konvergenciatartomanya nem tartalmazhatja az osszes korlatos sorozatot. A fenti eredmenyek egy kovetkezmenyet igazoljuk az alabbiakban, el}orebocsatva egy denciot es egy ahhoz kapcsolodo tetelt, melyek mintha csak tevedesb}ol kerultek volna ide: 1.32Dencio Ha (X T) egy topologikus ter, akkor egy X -en ertelmezett fuggvenyt akkor hvunk Baire-1{fuggvenynek, ha el}oall valamely, folytonos fuggvenyekb}ol allo sorozat pontonkenti limeszekent. 1.33Tetel(Baire) Ha X egy lengyel ter, f egy rajta ertelmezett Baire-1{fuggveny, akkor van olyan x 2 X pont, amelyben f folytonos. Bizonytas: Sokkal tobb igazolhato, mi ezt most nem tesszuk meg. Lasd pl Kur] 301. oldalat 1.34Tetel Ha A regularis matrix, akkor konvergenciatartomanya nem tartalmazhatja az osszes 0 ; 1-sorozatot Bizonytas: Tekintsuk a X = 2! halmazt a

szorzattopologiaval(a 2 halmazon persze a diszkret topologiat vettuk). Ez egy lengyel ter, es tegyuk fel indirekte, hogy A ertelmezhet}o X -en es minden x 2 X eseten Ax 2 c. Ekkor (Ax)n = nlim !1 Xn A(n i)xi  i=0 vagyis (Ax)n olyan fuggvenyek pontonkenti hatarerteke,Pmelyek koordinatak veges linearis kombinacioi, s mint ilyenek, folytonosak. Mi tobb, a i jA(n i)j numerikus sor szeletei majoraljak az (Ax)n -et el}oallto sor szeleteit, A regularitasa miatt pedig sorai l1 -beliek, tehat a Weierstrass-kriterium alapjan ez a konvergencia x-ben egyenletes. Ezert x 7! (Ax)n egy folytonos fuggveny X -en. limAx = limn!1(Ax)n , tehat limA egy Baire-1{fuggveny, gy folytonos egy x0 pontban.Ekkor limn!1(Pn(x0 ) + e ; Pn(e)) = x0 es 15 limn!1Pn(x0 ) = x0 az X topologiaja szerint. Innen A regularitasa es x0 -beli folytonossaga miatt limAx0 = 1 es limAx0 = 0 adodnak, hiszen a ket fenti x0 -hoz tarto sorozat veges sok tagtol eltekintve

1-ekb}ol illetve 0-kbol all. Ez pedig lehetetlen Ha egy x sorozat benne van egy matrix konvergenciatartomanyaban, ezt neha ugy szokas kifejezni, hogy az adott matrix szummazza x-et. Befejezeskepp meg harom jellemz}o eredmenyt elmtunk meg. 1.35Tetel Ha egy konzervatv matrix szummaz korlatos divergens sorozatot, akkor szummaz nemkorlatos sorozatot is. 1.36Tetel Egy konull matrix szummaz korlatos divergens sorozatot 1.37Tetel Ha A B matrixokra cA l1  cB es A konull,akkor B konull 16 2.Eredmenyek a funkcionalanalzisb}ol 2.0HELLINGER-TOEPLITZ{TIPUSU TETELEK Az elkovetkez}okben bevezetjuk a dualis operator fogalmat es belatjuk nehany egyszer}u tulajdonsagat. Ezek utan denialjuk a Hellinger-Toeplitz topologiakat, es peldakat mutatunk rajuk 2.00Dencio Legyenek (X Y ) (U V ) dualis parok, a : X ! U linearis operator Foltehet}o (0.15) miatt, hogy Y  X # , V  U # , es a dualis parhoz tartozo bilinearis

fuggvenyt a vektorter es algebrai dualisanak egymason valo kanonikus hatasa adja meg. Ekkor a# : U # ! X # -t ertelmezzuk ugy, hogy (a# (t))(x) = t(a(x)), minden x 2 X t 2 U # . Ha ran(a# jV )  Y , akkor azt mondjuk, hogy a-nak letezik dualis operatora, a0 : V ! Y , es a0 := a# jV . 2.01A lltas a-nak pontosan akkor van dualis operatora, ha a : (X Y ) ! (U V )folytonos Bizonytas: El}oszor tegyuk fol, hogy a# : V ! Y . Legyen x egy altalanostott sorozat X -ben, x ! 0 ((X Y )). Legyen v 2 V Akkor v(a(x )) = (a# (v))(x ) ! 0 hiszen a# (v) = a0 (v) 2 Y . Vagyis a gyengen folytonos A masik irany igazolasahoz eleg megmutatni, hogy minden v 2 V -re a# (v) (X Y )-folytonos linearis funkcional. Az el}oz}o reszben bevezetett x altalanostott sorozattal (a# (v))(x ) = v(a(x )) ! 0 mert a(x ) ! 0 ((U V )) az a gyenge folytonossagabol. 2.02Lemma a# : U # ! X # (U #  U ) ! (X #  X )-folytonosHa letezik a0 , akkor (V U ) !

(Y X )-folytonos. Bizonytas: A masodik alltas az els}onek trivialis folyomanya. Ha x ! 0 ((U #  U )), akkor barmely k 2 X -re (a(k))(x ) = x (a(k)) = a# (x )(k) = k(a#(x )) ! 0 ami eppen azt jelenti, hogy a#(x ) ! 0 ((X #  X )). Vegyuk eszre, hogy (2.01) egyik iranya lenyegeben ugyanaz, mint (202) (egymas dualisai). 2.03Lemma Ha a korabbi jelolesekkel a : X ! Y gyengen folytonos, akkor A  V eseten a;1 A ] = (a0 A]) . Bizonytas: Legyen x 2 a;1 A ], y 2 a0 A]. Akkor valamely v 2 A-ra y = a0 (v), es jy(x)j = j(a0 (v))(x)j = jv(a(x))j  1 vagyis a;1 A ]  (a0 A]) . Ha pedig x 2 (a0 A]) , v 2 A, akkor jv(a(x))j = j(a0 (v))(x)j  1 17 gy a(x) 2 A. 2.04Dencio Tekintsunk egy olyan (X Y ) topologiat, mely egyontet}uen" van denialva minden (X Y ) dualis parra. -t Hellinger-Toeplitz-topologianak mondjuk, ha igaz a kovetkez}o: Barmely ket (X Y ) (U V ) dualis parra es barmely TX  TU kompatibilis

topologiakra ha L : X ! U linearis operator TX ! TU folytonos, akkor (X Y ) ! (U V ) folytonos. 2.05Megjegyzes Lehetseges jeloltek pla   topologiak, ezeket ugyanaz a formula ertelmezi minden dualis parra (azaz megadhatok halmazelmeleti operaciokent, ami a fenti dencio egyontet}u" kifejezesenek precz megfogalmazasa). Az alabbiakban kiderul, hogy mindket fenti topologia valoban Hellinger-Toeplitz{fele. 2.06Tetel A (200) dencioban szerepl}o jelolesekkel legyen a : (X T) ! (U S) folytonos, ahol T S kompatibilis topologiak. Akkor az a operator (X Y ) ! (U V ) folytonos. Bizonytas: A 2.01A lltas szerint eleg igazolni, hogy a# : V ! Y Legyen v 2 V = (U S)0 : Akkor a# (v) = v  a egy T ! S-folytonos lekepezes es egy S-folytonos funkcional kompozcioja, gy maga is T-folytonos funkcional, s mint ilyen Y -ban van. Ez eppen azt jelenti, hogy a# (v) = a0 (v) 2 Y . 2.07Kovetkezmeny  egy HT-topologia  2.08Tetel 

egy HT-topologia Bizonytas: Ha, mint az el}oz}o tetelben, a : (X T) ! (U S) egy folytonos lekepezes, akkor a fentiek miatt gyengen folytonos. Legyen N  U egy  (U V )-nullkornyezet Foltehet}o, hogy N = A , ahol A  V egy abszolut konvex (V U )-kompakt halmaz Legyen H := a0 A]. Ez utobbi halmaz a 202Lemma miatt A-nak (V U ) ! (Y X )- folytonos kepe, s mint ilyen, abszolut konvex es (Y X )-kompakt. Ekkor a 203Lemma szerint M := a;1N ] = (a0 A]) = H  : A  (X Y ) topologia polaris csaladdal valo (0.14) el}oalltasabol adodik, hogy M egy  (X Y )-nullkornyezet, vagyis az a operator  (X Y ) !  (U V )-folytonos. 2.09Tetel Egy a : X ! U linearis operator pontosan akkor (X Y ) ! (U V )folytonos, ha  (X Y ) !  (U V )-folytonos Bizonytas:   mindeketten HT-topologiak. 2.010Megjegyzes Mas HT-topologiak is ismeretesek A fentiekhez hasonloan igazolhato peldaul, hogy , az er}os topologia Hellinger-Toeplitz-fele Ez

lenyegesen kulonbozik -tol es  -tol abban, hogy nem feltetlenul kompatibilis. (Pontosan akkor kompatibilis egy adott parra nezve, ha a paron van kompatibilis hordo-topologia.) 2.1GROTHENDIECK TETELEI 2.10Dencio Legyen X egy TVT Akkor egy A  X halmaz (X X # ) dualis parbeli polarisat A| jeloli. 18 2.11Lemma Legyenek T1 T2 megengedhet}o topologiak X -en az (X Y ) dualis parban melyekre T1  T2 Ha fx g2  X olyan T2-Cauchy altalanostott sorozat mely T1-konvergens, akkor T2-konvergens. Bizonytas: A hosszadalmas ervelest elhagyjuk, vazlata megtalalhato peldaul Wi1] 122.oldalan az 5feladatban  2.12Tetel Legyen (X Y ) egy dualis par, T egy megengedhet}o topologia X -en, A pedig egy, a T-t szarmaztato polaris csalad Y -ban. Legyen G := ff 2 Y # : f jA (Y X )jA folytonos minden A 2 A ; rag: Akkor G egy alkalmas topologiaval (X T) teljesse tetele, azaz olyan teljes lokalisan konvex ter, melybe (X T) s}ur}u alterkent

beagyazhato. Tehat X pontosan akkor teljes, ha minden f 2 G funkcionalra f 2 X . Bizonytas: X -et mint Y # alteret tekintjuk, ez (0.15) szerint jogosult Mivel dencio szerint minden x 2 X (Y X )-folytonos Y -on, X  G. Most igazoljuk, hogy az (Y G) dualis parban A egy polaris csalad. Ehhez csak azt kell belatni, hogy barmely A 2 A (Y G)-korlatos. Feltehet}o, hogy A elemei abszolut konvex, zart halmazok (016) Legyen f 2 G fan g1 n=0  A: Akkor n1 an ! 0 ((Y X )), hiszen A (Y X )-korlatos. Tehat 1 f (a ) = f ( 1 a ) ! 0 n n n n vagyis f A]  C korlatos halmaz, ez minden f 2 G-re igaz, gy A (Y G)-korlatos (0.17) szerint. Legyen T$ az A-bol szarmaztatott polaris topologia G-n T$ jX = T, hiszen A| G X = A| X = A a polaris denciojabol, itt  az (Y G)-beli polariskepzesre utal. Ezutan bizonytjuk, hogy X s}ur}u (G T$ )-ban. Legyen v 2 (G T )0 , vjX = 0 Akkor A| G  ff 2 G : jv(f )j  1g valamely A 2 A-ra. A-t mint G0

reszhalmazat tekintve latjuk, hogy v A-nak a (G G0 ) dualis parbeli bipolarisahoz tartozik, ami A abszolut konvexitasa es a (0.18) bipolaris tetel miatt eppen A lezarasa (G0  G)-ben. Legyen most a ! v ((G0  G)) egy A-ban halado altalanostott sorozat. Ekkor x 2 X -re a (x) ! v(x) = 0, hiszen v = 0 az X -en Ez azt jelenti, hogy a ! 0 ((Y X )). Barmely f 2 G eseten v(f ) = lim a (f ) = lim f (a ) = 0 mert f (Y X )-folytonos A-n. Vagyis v = 0 az egesz G-n Ez azt jelenti, hogy X s}ur}u 19 Vegul igazoljuk, hogy (G T$ ) teljes TVT. Ha f egy Cauchy-fele altalanostott sorozat T$ szerint, akkor f (G Y )-Cauchy is, mert ez egy gyengebb topologia. Igy f ! f 2 (Y #  (Y #  Y )) mert ez utobbi TVT teljes, hisz a CY zart altere, marpedig C teljes es teljes terek szorzata, valamint zart altere teljes (0.19) Eleg f 2 G-t bizonytani, mert (G Y )  T$ megengedhet}ok, es ekkor a 2.11Lemmat alkalmazva T$ teljessege adodik Legyen

most A 2 A es a egy (Y X )-konvergens altalanostott sorozat A-ban. Feltehetjuk, hogy a ! 0, hiszen a ! b eseten (016) szerint az a ; b altalanostott sorozat A valamelyik elemeben benne foglaltatik, es az alabbi erveles elmondhato. Legyen  > 0.Akkor letezik , hogy ,  eseten ( ) (f ; f ) 2 (G A|) valamint barmely  -ra: jf (a )j  jf (a ) ; f (a )j + jf (a )j = lim jf(a ) ; f (a )j + jf (a )j   + jf (a )j: f 2 G miatt lim f (a ) = 0 a ( ) miatt, tehat lim sup jf (a )j   , azaz f (a ) ! 0, vagyis f (Y X )-folytonos az A-n.  2.13Lemma Legyen (X Y ) egy dualis par Ha A  X B  Y B  F + A valamely F  Y halmazra, valamint A ; A  F   akkor A ; A  3B . Bizonytas: Legyen x 2 B3 . Ekkor a feltetelek szerint 3x = f + t valamely f 2 F es t 2 A elemekre, vagyis x = f3 + 3t . Igy tetsz}oleges a1  a2 2 A elemekre jx(a1 ; a2)j = j 13 f (a1 ; a2)+ 31 t(a1 ; a2)j  13 j(a1 ; a2)(f )j + 13 jt(a1 )j + 31 jt(a2 )j  3

 13 = 1 ami eppen azt jelenti, hogy A ; A  ( B3 ) = 3B  ez a lemma alltasa.  2.14Lemma Legyen X egy TVT, S  X egy halmaz S pontosan akkor teljesen korlatos, ha minden V nullkornyezethez letezik olyan U0 ::: Un(V ) rendszer, melyre i Ui = S es (Ui ; Ui )  V i = 0 ::: n(V ). Bizonytas: Ha S teljesen korlatos, akkor legyen V + V  U .Valamely veges F halmazra S  F + V , legyen Sx = S (x + V ) x 2 F: Nyilvan Sx x 2 F egy, a lemma kimondasaban szerepl}o veges rendszer. A masik irany: Legyen V egy nullkornyezet, S = i Ui a feltetelben szerepl}o felbontas, vagyis Ui ; Ui  V . Feltehet}o, hogy Ui nem ures, mondjuk ui 2 Ui Akkor Ui ; ui  Ui ; Ui  V , vagyis S  i(ui + V ) ami eppen azt jelenti, hogy S teljesen korlatos.  2.15Lemma Legyen(X, Y) egy dualis par Ha A  X (X Y )-korlatos, akkor (X Y )-teljesen korlatos. 20 Bizonytas: A teljes korlatossag feltetelet eleg egy kornyezetbazison ellen}orizni. Legyen  > 0, V := fx

2 X jfi (x) <  fi 2 Y i = 0 ::: ng: Jelolje i fi azt a Cn -be kepez}o fuggvenyt, melynek i-edik koordinatafuggvenye fi . Mivel A korlatos, nyilvan ( ifi )A]  Cn egy korlatos halmaz, mely persze teljesen is korlatos, legyen Sk  k = 0 ::: N egy -gombokb}ol allo fedese, sk az k-adik gomb kozeppontja. Akkor A  f( fi );1 (sk ) + V jk = 0 ::: N g ahogyan akartuk.  2.16Tetel(Grothendieck felcserelesi tetele) Legyen (X, Y) egy dualis par, A B X ben illetve Y -ban lev}o polaris csaladok, melyek megengedhet}o topologiakat szarmaztatnak Akkor az alabbiak ekvivalensek: (x) minden A 2 A TB -teljesen korlatos, (y) minden B 2 B TA-teljesen korlatos, ahol TA TB a polaris csaladokbol szarmaztatott topologiak. Bizonytas: Eleg (y) ! (x)-t igazolni, a masik irany ugyanugy jon ki. Legyen B 2 B tetsz}oleges, A 2 A rogztett, F  Y olyan veges halmaz, hogy B  F + A . Mivel A (X Y )-korlatos, ezert A (X Y )-teljesen korlatos a

2.15Lemmabol A 214Lemma szerint tehat F  -re, mely (X Y )-nullkornyezet, letezik U0 ::: Un  X rendszer, melyre A = iUi es (Ui ; Ui)  F   i = 0 ::: n. A 213Lemma szerint A veges unioja olyan Ui halmazoknak, melyekre Ui ; Ui  3B . Minden B 2 B-re alkalmazva az okoskodast es megint (2.14)-re hivatkozva kapjuk, hogy A TB -teljesen korlatos, hiszen ha B  B 2 B kornyezetbazis, akkor 3B  B 2 B is az. 2.2AZ ORLICZ-PETTIS TETEL El}orebocsatunk egy eredmenyt, melyre a kes}obbiekben tobbszor hivatkozunk. 2.20Tetel Legyen (X T) egy LKT, melyre   X  s Tegyuk fel tovabba, hogy sjX  T. Akkor X egy reszhalmaza pontosan akkor kompakt, ha szekvencialisan kompakt ( T- ben). Kovetkezeskepp ha T1 T2 olyan, a fenti felteteleknek eleget tev}o topologiak X -en, hogy konvergens sorozataik megegyeznek, akkor kompakt halmazaik is ugyanazok. Bizonytas: Itt nem terunk ki ra, megtalalhato Gar]-ban. 2.21Lemma (l1  m) (l1  l1 ) es kk1

ugyanazokat a konvergens sorozatokat, kompakt halmazokat es Cauchy- sorozatokat denialjak l1 -en Bizonytas: Eleg a sorozatokra vonatkozo reszt igazolni, tekintetbe veve az el}oz}o tetelt es (0.114)-et Nyilvan (l1  m)  (l1  l1 )  k  k1, ezert azt kell megmutatni, hogy ha xn ! x ((l1  m)), akkor kxn;xk1 ! 0. Ez konnyen adodik az 107Lemmabol, gyelembe veve, hogy m a 0 ; 1-sorozatok linearis burka (ld.m denciojat a 01reszben)  2.22Lemma Egy K  l1 halmaz pontosan akkor k  k1 relatv kompakt, ha korlatos es 1 X j ( ) nlim !1 jx j = 0 j =n 21 x 2 K -ban egyenletesen. Bizonytas: El}oszor legyen K olyan, hogy ( ) teljesul. Mivel k  k1 egy teljes metrikus topologia, eleg K teljesen korlatos voltat igazolni. E celbol rogztsunk egy  > 0 szamot, es azt az N () kuszobindexet, melyre k > N x 2 K eseten 1 X jx j <  j =k igaz. Mivel K korlatos, a j 4 J := sup kdk1  sup kdk1 d2K d2K mennyiseg veges. Legyen L  K

egy olyan veges halmaz, melyre igaz, hogy minden x 2 K eseten van olyan l 2 L, hogy i ; li j   : (#) max j x i N 2N Ilyen halmazt kapunk pl.a kovetkez}o modon: legyen s 2 ! s > 2NJ , minden ( ) t() ;s  t(i)  s t(i) 2 Z i 2 0 ::: N fuggvenyhez valasztunk olyan g(t) 2 L elemet, melyre t(i)  g(t)i  t(i) + 1  s s ha ilyen nincs, legyen g(t) tetsz}oleges. Akkor L := fg(t)jt ; re igaz ( )g megfelel}o valasztas.Ha x 2 K , akkor valamely l 2 L-re (#) teljesul Igy i ; li j + X (jxi j + jli j)   + 2  =  kl ; xk1  N max j x i N 2 2 k>N vagyis az L elemei kore vont -gombok tanustjak K teljes korlatossagat. Megfordtva, legyen K relatv kompakt, akkor teljesen korlatos. Valasszunk 2 -hoz alkalmas veges fed}o gombrendszert, legyenek a gombok kozeppontjai di  i = 0 ::: N . Akkor tetsz}oleges x 2 K -ra: 1 1 1 X X X j j jx j  jx ; d j + jdj j   +   j =m j i j =m j =m i 2 2 hogyha di egy, az x-et tartalmazo gomb

kozeppontja, m pedig olyan nagy, hogy i = 0 ::: N re 1 X jdji j  2 : j =m 22 Ez eppen a lemmaban szerepl}o feltetel teljesuleset jelenti.  2.23Megjegyzes Az elemi analzisb}ol ismeretes Riemann-tetel szerint (lasd pl Csa] idevago fejezetet) ha egy valos numerikus sor feltetelesen konvergens, de nem abszolut  ertekhez letezik a sornak olyan atrendezese, mely konvergens, akkor barmilyen t 2 R t-hez konvergal. Hasonlo ervelessel konnyen adodik , hogy ha egy valos numerikus sor tagjai sorozatanak barmely reszsorozatabol alkotott sor konvergens, akkor a sor abszolut konvergens. Ez utobbi igazolhato komplex numerikus sorokra is 2.24Tetel(Orlicz-Pettis) Ha (X Y ) egy du alis par, fxj g1 j =0  X egy olyan sorozat, P melyre igaz, hogy minden f x g r e szsorozatra x sor konverg al (X Y )-ban, akkor n(k) k n(k) P a j xj sor konvergal (X Y )-ban. P Bizonytas: Barmely f 2 Y eseten a k f (xn(k)) numerikus sor konvergens, gy a

tetel el}otti megjegyzes szerint X jf (x )j < 1: j j Denialjuk most a T : Y ! l1 operatort a (Tf )k := f (xk ) osszefuggessel. Legyen  2 m egy 0 ; 1-sorozat Akkor X j (Tf )j = X j f (x ) = f (X j x ) j P j j j j mert a tetel feltetelei miatt j j xj konvergal (X Y )-ban. Ez eppen azt jelenti, hogy a T operator (X Y ) ! (l1  m)-folytonos, mert a 0 ; 1-sorozatok kifesztik m-et. Legyen K  Y egy (Y X )-kompakt halmaz. Akkor T (K )  l1 (l1  m)-kompakt, tehat (221) szerint k  k1 -kompakt. Alkalmazva a 222Lemmat, adodik, hogy 1 X lim sup jf (x )j = 0 n!1 f 2K amib}ol nyilvan k=n k m X lim sup sup j f (x )j = 0: n!1 f 2K mn k=n k Ez utobbi keplet azt fejezi ki, hogy a sor szeletei Cauchy-sorozatok abban a topologiaban (X -en), ami a (Y X )-kompakt halmazokon valo egyenletes konvergencia. Ez dencio P  szerint (X Y ). Osszefoglalva: a j xj sor (X Y )-konvergens, es az er}osebb (X Y ) megengedhet}o topologiaban

Cauchy. (221) szerint tehat (X Y )-konvergens  Befejezesul megemltjuk, hogy Riemann tetele nem marad ervenyben vegtelen dimenzios Banach-terek eseten, amint azt az alabbi tetel mutatja: 2.25Tetel(Dvoretzky-Rogers) Ha X egy vegtelen dimenzios Banach-ter, akkor letezik olyan fxn g1 n=0  X sorozat, mely feltetel nelkul konvergens ( azaz barmely atrendezese konvergens), de nem abszolut konvergens. 23 Bizonytas: Megtalalhato peldaul Sch]-ben.  GRAF  TETELEK 2.3ZART Ebben a reszben a (0.110) zart graf tetel harom lehetseges er}osteset fogalmazzuk meg. Egyikuk a kes}obbiekben kulcsszerepet fog jatszani 2.30Dencio Legyen (X T) egy LKT Egy H  Y 0 halmazt majdnem zartnak (roviden m-zartnak) nevezunk, ha minden U X -beli nullkornyezetre az U  H  X 0 halmaz (X 0  X )-zart. Egy X LKT-t egeszen teljesnek hvunk, ha X 0 barmely m-zart linearis altere (X 0  X )zart. Legyenek X Y LKT-ek, L : X ! Y linearis

lekepezes. Ekkor D := (L# );1 X 0 ] Y 0 2.31Lemma Ha L(lasd a denciot fentebb) zart grafu, akkor D s}ur}u (Y 0  (Y 0  Y ))ban Bizonytas: El}oszor megmutatjuk, hogy D elvalaszt Y felett, vagyis y 2 Y eseten ha minden d 2 D-re d(y) = 0, akkor y = 0. Legyen y 2 Y rogztett pont, y 6= 0 Ekkor (0 y) 2= graph(L), gy vannak olyan V W nullkornyezetek X -ben ill. Y -ban, hogy (0 y) + V W graph(L) =  hiszen a graf zart. Tehat barmely v 2 V w 2 W eseten (v y + w) = (0 y) + (v w) 2 (0 y) + V W azaz (v y + w) 2= graph(L), vagyis y + w 6= L(v), gy y + W LV ] = , y 2= LV ]. A szeparacios tetelb}ol (0.111) letezik g 2 Y 0 ugy, hogy jg(y) > 1 jg(t)j  1 t 2 LV ] Most g 2 D-t kell bizonytanunk. j(L0 g)(v)j = jg(L(v))j  1 v 2 V , de akkor L0 (g) 2 X 0 , hiszen korlatos egy 0kornyezeten. Vagyis g 2 D, ahogyan akartuk (Y 0  (Y 0  Y )) egy szeparalt LKT, es dualisa azonosthato Y -al. Ahhoz, hogy D s}ur}useget belassuk, eleg

megmutatni, hogy f 2 X eseten f jD = 0-bol f = 0 kovetkezik. Vagyis f (d) = d(f ) = 0 minden d 2 D-re maga utan vonja, hogy f = 0. Ez eppen azt jelenti, hogy D elvalaszt Y felett, amit fentebb igazoltunk. 2.32Lemma Ha (X 0  (X 0  X )) szekvencialisan teljes, Y pedig szeparabilis, akkor D m-zart. Bizonytas: El}oszor igazoljuk, hogy D (X 0  X ) szekvencialisan zart. Legyen gn 2 D n 2 ! gn ! g 2 Y 0 ((Y 0  Y )): A 2.02A lltas szerint L# : Y # ! X # (Y # Y ) ! (X #  X )-folytonos, akkor L#(gn) ! L#(g) 2 (X #  (X #  X )): Mivel X 0 szekvencialisan teljes, L# (g) 2 X 0 , vagyis g 2 D, ami a szekvencialis zartsagot igazolja. Ha most U egy Y -beli nullkornyezet, akkor U  (Y 0  Y )-kompakt a (0112) 24 Banach-Alaoglu tetel szerint. Mivel Y szeparabilis, (Y 0  Y )jU  metrizalhato (0113)! D U  egy metrizalhato topologiaju zart halmaz szekvencialisan zart reszhalmaza, gy zart, azaz D m-zart. 2.33Tetel(Kalton) Legyen (X T)

egy Mackey-ter, melyre (X 0  (X 0  X )) szekvencialisan teljes Legyen tovabba (Y S) szeparabilis es egeszen teljes Akkor barmely L : X ! Y zart grafu operator folytonos. Bizonytas: Az el}oz}o Lemmakbol lathato, hogy D  Y 0 (Y 0  Y )-s}ur}u es m-zart. Mivel Y egeszen teljes, D = Y 0 . Ez azt jelenti, hogy L0 : Y 0 ! X 0 , ami (201) miatt maga utan vonja L (X X 0 ) ! (Y Y 0 )-folytonossagat. A 209Tetel ertelmeben L  (X X 0 ) = T !  (Y Y 0 )-folytonos, tehat T ! S-folytonos, hiszen S   (Y Y 0 ).  A fenti Tetel alkalmazhatosagahoz szukseges, hogy peldakat adjunk egeszen teljes terekre. Ez a kovetkez}o alltas tartalma 2.34A lltas Minden Frechet-ter egeszen teljes Bizonyitas: Megtalalhato Sch] 152.oldalan Tovabbi ket peldat mutatunk zart graf tetelekre, Ptak nevezetes eredmenyet es a kevesbe ismert McIntosh-fele tetelt. Ezeket nem bizonyitjuk, mert nem lesz rajuk szukseg a kes}obbiekben.

2.35Tetel(Ptak) Ha X hordo-ter, Y pedig egeszen teljes, akkor minden X ! Y zart grafu linearis lekepezes folytonos. 2.36Tetel(McIntosh) Ha X egy LKT, (X 0  (X 0  X )) szekvencialisan teljes, Y pedig egy reexv Banach-ter, akkor barmely X ! Y zart grafu linearis lekepezes folytonos. 2.37Megjegyzes Roviden ramutatunk a tetelek egymashoz valo viszonyara Ismeretes, hogy minden hordo-ter Mackey-ter, es dualisa gyenge- szekvencialisan teljes Masreszt minden Banach-ter (2.34) miatt egeszen teljes Innen latszik, hogy Kalton es McIntosh teteleikben gyongtettek az X -re vonatkozo foltevest, azon az aron, hogy gy Y -ra kellett szigorubb kikotest tenniuk. A zart graf tetelek irodalma igen gazdag, mi itt csak nehany forrasra utalunk:Wi1], Sch], RR]. Most egy olyan peldat mutatunk, mely ravilagt arra , hogy bizonyos esetekben nem hasznalhato a (korabbrol szarmazo) Ptak-fele tetel, mg Kalton 1971-es eredmenye

igen. A 4.fejezetben latjuk majd, hogy eppen az alabbi ellenpeldahoz ksertetiesen hasonlo terekre kell alkalmaznunk (2.33)-at es hogy neha milyen faradsagos a dualis szekvencialis teljessegenek igazolasa 2.38Pelda (X  ) := (l1   (l1  l1 )) nem hordo ter, de (X 0  X ) szekvencialisan teljes. (X 0  X ) eppen l1 a gyenge topologiajaval (221) miatt ugyanazok a konvergens sorozatok, mint a normatopologiaban, gy (0.114) szerint ugyanazok a Cauchy-sorozatok A normatopologia szekvencialisan teljes, gy (X 0  X ) is az. Masfel}ol legyen D l1 zart egyseggombje (a normatopologiaban), akkor D abszolut konvex es  -zart, mert l1 egyseggombjenek polarisa az (l1  l1 ) dualis parban. Igy D egy hordo  -ban Nem lehet viszont nullkornyezet, mert ekkor  = k  k1 =  (l1  l01 ) allna fenn, vagyis l1 kanonikus modon azonosulna (l1  k  k1)0 -vel, mas szavakkal l1 egy re)exv Banach-ter lenne, ami nagyon nem igaz. 25 3.FK-terek

3.0FK-TEREK KONSTRUKCIO JA A tovabbiakban egy igen specialis stukturaosztalyt denialunk s bizonyos alterein. Kiderul majd, hogy barmely vegtelen matrix ertelmezesi- illetve konvergenciatartomanya felruhazhato az emltett strukturaval. 3.00Dencio Legyen (X T) Frechet-ter, melyre X  s teljesul Ha tovabba fonnal, hogy T er}osebb, mint s megszortasa X -re, akkor azt mondjuk, hogy (X T) egy FK-ter. 3.01Pelda Tekintsuk (s s)-et Ez nyilvan pelda FK-terre 3.02Lemma Legyen (Y S) egy Frechet-ter, (X T) pedig egy FK-terLegyen A : Y ! X egy linearis, S ! sjX folytonos lekepezes. Akkor A S ! T folytonos Bizonytas: Figyelembe veve (0.110)-et, eleg belatni, hogy az A lekepezes S ! T zart grafu. Ehhez vegyuk eszre, hogy A grafja S sjX zart, szinten (0110) miatt Mivel dencio szerint sjX  T, gy A grafja nyilvan S T zart. 3.03Kovetkezmeny Legyenek (X T), (Y S) FK-terek, Y  X Akkor TjY  S, egyenl}oseg pontosan akkor

all fonn, ha Y zart X -ben. Egy FK-teren pontosan egy FKtopologia adhato meg Bizonytas: Alkalmazzuk az el}oz}o Lemmat i : Y ! X beagyazo lekepezesre, ebb}ol az els}o alltas rogton adodik. X = Y eseten i es i;1 mutatjak, hogy az FK-topologia egyertelm}u. Ha Y zart X -ben, akkor (Y TjY ) egy FK-ter, gy az egyertelm}usegb}ol TjY = S. Masreszt TjY = S eseten Y teljes, gy zart reszhalmaza X -nek A fenti Kovetkezmeny miatt a tovabbiakban FK-terek eseteben a topologiat nem tuntetjuk fol, valahanyszor ez nem okoz ketertelm}useget. Az X egy FK-ter kifejezes tehat azt jelenti, hogy X  s egy olyan alter, mely ellathato (egyertelm}uen) FK-ter strukturaval. 3.04Megjegyzes A fenti alltasokbol az is kit}unik, hogy lp  lr  c0  c  l1  s 1  p < r < 1 mind FK-terek. Mindegyikuket teljes pszeudonorma adja meg Konnyen ellen}orizhet}o, hogy s(x)  kxk1 x 2 l1 , ahol s a s-et megado pszeudonorma (0.115) Meg azt kellene

megmutatni, hogy 1  p < 1 eseten k  k1jlp  k  kp. Metrikus topologiakrol leven szo, eleg sorozatokat, espedig nullsorozatokat tekinteni. Legyen kxnkp ! 0 n ! 1 Akkor jxjnj  kxnkp n j 2 !. Kovetkezeskepp supj2! jxjnj  kxjn kp n 2 ! Vagyis kxn k1 ! 0 3.05Megjegyzes Az FK-ter denciojaban nem feltetlenul szukseges a lokalis konvexitast megkovetelni Az elmelet minden alapvet}o eredmenye es bizonytasa szorol-szora atvihet}o nem lokalisan konvex terek esetere. Ebben a tagabb ertelemben peldaul az lp  0 < p < 1 terek is FK-terek. Mivel a kes}obbiekben mi csak lokalisan konvex FKterekkel foglalkozunk, ezert ezt a tulajdonsagot mar a dencioban el}ortuk A fentebb emltett terek jo resze Banach-ter volt. Bevezetjuk ezert a kovetkez}o fogalmat: 3.06Dencio Ha egy X FK ter topologiaja teljes normabol szarmaztathato, akkor X -et BK-ternek (is) nevezzuk. 26 3.07Dencio Legyen E  s Ha letezik olyan t 2 s,

hogy minden x 2 E -re xn = O(tn ), akkor azt mondjuk,hogy az E halmaznak letezik novekedesi sorozata. Most a BK-terek egy els}o" jellemzeset adjuk. 3.08Tetel Egy E  s halmaznak pontosan akkor letezik novekedesi sorozata, ha van olyan X BK-ter, hogy E  X . Bizonytas: Nekunk nem lesz szuksegunk erre a tenyre, megtalalhato Wi2]-ben. A tovabbiakban nehany modszert mutatunk arra, hogyan lehet ismert FK-terekb}ol ujabbakat keszteni. Mostantol foltesszuk, hogy a szoban forgo FK-terek topologiaja valamely teljes pszeudonorma altal adott (0116) miatt ez nem jelent korlatozast 3.09Tetel Ha Xn n 2 ! FK-terek egy sorozata, akkor X := 2! Xn FK-ter Bizonytas: Legyenek pn n 2 ! az FK-terekhez tartozo pszeudonormak. Akkor p := X n 1 pn n 2 +1 pn + 1 szinten egy pszeudonorma, mely a supn pn topologiat szolgaltatja X -en. Igy csak az a kerdeses, hogy teljes-e ez a ter. E celbol legyen xm  m 2 ! egy Cauchy-sorozat (X p)ben Akkor

Cauchy-sorozat lesz barmely Xn -ben, tehat xm ! dn (pn ) m ! 1 Mivel mindegyik Xn FK-ter, ezert xm ! dn (s ) n 2 !. Akkor dn = d n 2 ! valamilyen d-re, hiszen s  pn Hausdor% topologia. Ebb}ol d 2 2! Xn = X , es xn ! d (p) 3.010Lemma Legyenek (X p) es (Y q) FK-terek, A : X ! s folytonos es linearis Legyen Z := A;1 Y ]. Akkor Z egy FK-ter Bizonytas: Z -n denialjuk a topologiat az r := p + q  A pszeudonorma altal. p  r miatt az gy kapott topologia er}osebb, mint a pjZ , gy persze er}osebb, mint sjZ . Legyen xn 2 Z n 2 ! egy r-Cauchy sorozat X -ben. Akkor nyilvan p-Cauchy is, es xn ! a 2 X (p) Hasonloan xn q  A-Cauchy is X -ben, tehat Axn q-Cauchy Y -ban, Axn ! b 2 Y (q). A folytonossagabol Axn ! Aa (s ). Mivel Y egy FK-ter, Axn ! b (s), es mivel s szeparalt, b = Aa. Ebb}ol a 2 Z , es xn ! a (r), hiszen xn ! a (p) es Axn ! Aa (q) 3.011Lemma Legyen A egy matrix, (X p) Y FK-terek ugy, hogy X  sA es Ax 2 Y minden x 2 X -re. Akkor A

: X ! Y (mint linearis operator) folytonos Bizonytas: A 3.02Lemmat gyelembe veve eleg igazolni, hogy A : X ! s p ! s folytonos. s (0115) dencioja szerint ez ekvivalens azzal, hogy minden i 2 !-ra Ti  A : X ! C folytonos linearis funkcional. Dencio szerint Ti  A(x) = (Ax)i = mlim !1 m X A(i k)xk : k=0 A limesz mogotti osszeg az 0 ::: m-edik koordinata-fuggvenyek linearis kombinacioja, ami folytonos, hiszen X egy FK-ter. Minden Frechet-ter hordo, gy folytonos funkcionalsorozat pontonkenti hatarerteke is folytonos a Banach-Steinhaus-tetel (0.11) altalanos alakjabol Ezzel igazoltuk az alltast. 27 Most bevaltjuk igeretunket, es megmutatjuk, hogy barmely matrix ertelmezesi- illetve konvergenciatartomanya FK-ter. Eloljaroban megjegyezzuk, hogy cs a (3010) szerint egy FK-ter, hiszen a c BK-ter visszahuzottja az (1.11)-ben szerepl}o A operator szerint 3.012Tetel Ha M egy matrix, akkor sM egy FK-ter, cM egy

szeparabilis FK-ter Bizonytas: Legyen M k-adik sora ak 2 s. Denialjuk a Bk segedmatrixot a kovetkez}o modon: Bk (n n) := ank  n 2 ! Bk (l m) := 0 l 6= m l m 2 !: Lathatoan Bk ertelmezesi tartomanya az egesz s. Alkalmazzuk a 3010Lemmat az A = Bk  X = s es Y = cs szereposztassal. Ez valoban megtehet}o a 3011Lemma miatt, gy kapunk egy Zk FK-teret. Minden k-ra elvegezve a konstrukciot, legyen Z := k Zk , mely megint csak FK-ter a 3.09Lemmabol Vegyuk eszre, hogy Z azonos az fx 2 sj X xiai letezik k 2 !g i k halmazzal, ami az ak -k denciojat gyelembe veve eppen sM . Ezek utan alkalmazzuk ismet a 3.010Lemmat, ezuttal A = M X = sM Y = c szereposztassal, gy kapjuk, hogy cM is FK-ter. Azt, hogy cA szeparabilis, az 503Tetelben fogjuk igazolni  Mostantol valahanyszor emltesre kerul cM vagy sM , hallgatolagosan foltesszuk, hogy mar el vannak latva (egyertelm}uen) FK-topologiaval. Kovetkezzen meg nehany hasznos

eszrevetel: 3.013A lltas Ha X  Y  Z FK-terek, X zart Z -ben, akkor X zart Y -ban Bizonytas: A feltevesb}ol X zart (Y Z jY )-ban, akkor (3.03) miatt (Y Y )-ban is, itt Z  Y a Z ill. Y FK-topologiai 3.014Tetel Legyen A egy matrix Akkor f 2 c0A eseten f (x) =   limAx + X aixi + X ti(Ax)i  i i ahol t 2 l1  a 2 s rogztett sorozatok,  egy komplex szam, ugy, hogy az els}o szumma minden x 2 cA -re ertelmes. Ha A konzervatv, akkor van olyan g 2 s, hogy minden x 2 cA l1 -re f (x) =   limAx + X gixi: i Bizonytas: A terjedelmes bizonytast elhagyjuk. Megtallhato Wi2] 66 illetve 68 oldalan. 3.1FK-TEREK OSSZEGE A dolgozat 4.fejezeteben FK terek osszegei lepnek fol Fontos lesz szamunkra az a teny, hogy ezek maguk is FK-terek. Megjegyezzuk, hogy direkt osszeg eseten az alabbi konstrukcio lenyegesen egyszer}ubben elvegezhet}o. 3.10Tetel Ha X Y FK-terek, akkor Z := X + Y (komplexusosszeg) egy FK-ter 28 Bizonytas:

Legyenek p q az X Y topologiait szolgaltato pszeudonormak. Denialja az r : Z ! R fuggvenyt a kovetkez}o formula: r(z) := inf fp(x) + q(y)jx 2 X y 2 Y x + y = zg: A lltjuk, hogy r egy pszeudonorma. Csak a skalarral valo szorzas folytonossaga es a szubadditivitas nem trivialis El}oszor legyen zi 2 Z i = 1 2 Valasszunk zix 2 X ziy 2 Y elemeket ugy, hogy zi = zix + ziy  p(zix ) + q(ziy ) < r(zi ) +  Ekkor r(z1 + z2)  p(z1x + z2x ) + q(z1y + z2y )  p(z1x ) + p(z2x ) + q(z1x ) + q(z2y ) < r(z1 ) + r(z2 ) + 2 es  ! 0 igazolja a szubadditivitast. A skalarral valo szorzas folytonossaganak bizonytasahoz elegend}o az alabbi ket alltast belatni: (1) Ha r(zk ) ! 0 tk ! t akkor r(tk zk ) ! 0 k ! 1: (2) Ha tk ! 0 akkor r(tk z) ! 0 k ! 1: Itt tk  t 2 C zk  z 2 Z . Valoban, ekkor tk ! t r(zk ; z) ! 0 eseten r(tk zk ; tz)  r(tk (zk ; z)) + r((tk ; t)z) ! 0 amit igazolni akartunk. (1)-hez valasszunk zkx  zky sorozatokat ugy,

hogy zk = zkx + zky  p(zkx ) + q(zky ) < r(zk ) + k12 : Ekkor a feltetel miatt zkx ! 0 (p) zky ! 0 (q). Viszont p q pszeudonormak, gy tehat p(tk zkx) q(tk zky ) ! 0. ( ) r(tk zk )  p(tk zkx ) + q(tk zky ) ! 0 tehat (1) igaz. (2)-hoz alkalmazzuk ( )-ot a zk := z konstans sorozatra A kovetkez}o lepesben megmutatjuk, hogy (Z r) lokalisan konvex. Els}okent vegyuk eszre, hogy rjX es rjY gyengebbek, mint e terek eredeti topologiai. Ez nyilvanvalo abbol, hogy pl.x 2 X eseten r(x)  p(x)+ q(0) = p(x) Legyen most U tetsz}oleges r-nullkornyezet Z -ben. Valasszunk egy V kiegyensulyozott r-kornyezetet ugy, hogy V + V + V + V  U Az el}obbi megallaptasbol valamint X Y lokalis konvexitasabol van olyan WX X -beli es WY Y beli abszolut konvex nullkornyezet, hogy W1  V , W2  V . Tekintve a H := ac(WX WY ) halmazt, nyilvan H +H  V +V +V +V  U , kellene meg, hogy H +H r-nullkornyezet (az, hogy konvex, vilagos). Legyenek X  Y > 0 olyan

szamok, hogy a WX  WY tartalmaznak X -sugaru p-gombot illetve Y -sugaru q-gombot. Akkor H +H tartalmaz  := min(X  Y )sugaru r-gombot, hiszen r(z) <  eseten ha valamely z = x + y felbontasra p(x) q(y) < , akkor x 2 WX  y 2 WY , s gy x + y 2 WX + WY  H + H . Most raterunk (Z r) teljessegenek bizonytasara. (0118) alapjan eleg megmutatni, hogy az abszolut konvergens sorok konvergensek. Legyen zk 2 Z k 2 ! olyan sorozat, hogy 29 P alasszunk ugyanolyan zkx zky sorozatokat, mint fentebb, (1) bizonytasak r(zk ) veges. V ban. Ekkor k zkx k zky abszolut konvergensek (X, p)-ben illetve (Y, q)-ban, tehat letezik osszeguk, mondjuk zx  zy . Igy P P Xl z = Xl (zx + zy ) ! zx + zy (r) l ! 1 k=0 k k=0 k k hiszen egy korabbi eszrevetel szerint rjX rjY gyengebbek, mint X Y eredeti topologiai. Vegul belatjuk, hogy sjZ  r. Legyen r(zk ) ! 0 zk 2 Z k 2 ! Akkor az (1)-es igazolasanal hasznalt zkx zky sorozatokra

nyilvan zkx ! 0 (p) illetve zky ! 0 (q). Igy barmely Ti kordinata-funkcionalra Ti(zk ) = Ti (zkx ) + Ti (zky ) ! 0 teljesul, hiszen X Y -on az FK-ter dencioja szerint folytonos a Ti . Ezzel tetelunket teljesen belattuk 3.11Kovetkezmeny Ha a fenti tetel feltetelei mellett igaz, hogy X Y szeparabilisak, akkor ez fonnall Z -re is. Bizonytas: Legyenek SX  SY megszamlalhato s}ur}u halmazok (X p) (Y q)-ban. Tekintsuk az SX + SY  Z halmazt Legyen z 2 Z , U pedig egy r-kornyezete Akkor valamely  -re fd 2 Z jr(z d) <  g  U .Ha most z = x + y x 2 X y 2 Y , akkor alkalmas sx 2 SX  sy 2 Sy elemekre p(sx ; x) <  q(sy ; y) <  , igy r((sx + sy ) ; z)  p(sx ; x) + q(sy ; y) < 2 innen SX + SY egy megszamlalhato s}ur}u halmaz (Z r)-ben. 3.12Megjegyzes Tuzetesebben szemugyre veve a 310Tetel bizonytasat, kit}unik, hogy tulajdonkeppen az alabbi altalanos alltast igazoltuk: Veges sok lokalisan konvex teljes

pszeudonormalt ter induktv limesze lokalisan konvex teljes pszeudonormalt ter. 3.13Tetel Ha Z = X + Y ket FK-ter direkt osszege, akkor X Y zartak Z -ben ( ha azt a (3.10) konstrukcio szerint letez}o FK-topologiaval latjuk el) Bizonytas: Direkt osszeg eseteben a Z topologiajat generalo r pszeudonorma a kovetkez}o alakot olti: r(z) = p(x) + q(y) ahol z = x + y a z egyertelm}uen letez}o folbontasa X es Y -beli komponensekre. Ebb}ol X Z t}ol orokolt relatv topologiajat r(x) = p(x)+ q(0) x 2 X szolgaltatja, vagyis ez megegyezik X eredeti topologiajaval. A 303Kovetkezmeny szerint X zart Z -ben Y -ra ugyanez az okoskodas. 3.14Kovetkezmeny Ha Z egy olyan FK-ter, mely felbomlik Z = X + Y alakban valamely X Y vektorter-altereire ugy, hogy X Y = f0g valamint igaz az, hogy X es Y ellathatok FK-topologiaval, akkor X Y zartak Z -ben. 30 Bizonytas: Az el}oz}o tetel szerint Z ellathato olyan FK-topologiaval, hogy X Y

zart alterei legyenek. Masreszt az FK-topologia egyertelm}u (303)-bol, gy X Y zartak Z ben 3.15Kovetkezmeny Legyenek X  Z FK-terek, X veges kodimenzios Z -benAkkor X zart Z -ben. Bizonytas: A feltetelb}ol X -nek letezik egy Y veges dimenzios algebrai komplementuma. s megszortasa Y -ra egy Hausdor% vektortopologia egy veges dimenzios teren, mely egy ismert eredmeny (0.119) szerint Banach-ter strukturaval folruhazhato Igy Y egy BK-ter, es az el}oz}o Kovetkezmeny alkalmazhato. 3.2KOREGULA RIS E S KONULL FK-TEREK Ebben a reszben bizonyos matrixtulajdonsagok megfelel}oit keressuk meg FK-terekre. Legyen (P) egy matrixtulajdonsag (pl.nem szummaz korlatos divergens sorozatot), es tegyuk fol, hogy sikerul valamely, az alabbihoz hasonlo tetelt igazolnunk: A pontosan akkor rendelkezik (P)-vel, ha cA (vagy sA, vagy A : X (A) ! Y (A) mint linearis operator, ahol X (A) Y (A) A-bol denialt FK-terek) rendelkezik (Q)-val. Itt (Q)

valamely tulajdonsag (az emltett peldaban cA l1  c). Ez esetben elfeledkezhetunk a matrixokrol, es nekikezdhetunk az FK-terek es koztuk ertelmezett linearis operatorok vizsgalatanak valamely (Q) szempont szerint. Ha sikerul bizonytani, hogy (Q1)!(Q2) valamely FK-terekkel kapcsolatos tulajdonsagokra, akkor azonnal konstatalhatjuk, hogy (P1)!(P2), ahol (P1), (P2) a (Q1), (Q2)-nek megfelel}o matrixtulajdonsagok. Emellett joles}o erzessel nyugtazhatjuk, hogy tobbet bizonytottunk, hiszen szamos olyan FK-ter van, melyeket nem matrixokbol szarmaztatunk. Nemi szerencsevel kiderulhet, hogy a (Q1)!(Q2) implikacionak a szummacioelmeleten kvuli alkalmazasai is vannak. A dolgozat kes}obbi fejezeteiben latni fogjuk, hogy tenylegesen ez a helyzet szamos, matrixokra ismert eredmeny atvihet}o FK-terekre. Az alabbiakban nehany egyszer}u osszefuggest adunk meg a matrixok es a sorozatterek vilaga kozott. 3.20Dencio Egy X FK-teret

konzervatvnak mondunk, ha c  X 3.21Tetel A pontosan akkor konzervatv, ha cA konzervatv Bizonytas: Ez nyilvanvalo. 3.22Dencio Egy X konzervatv FK-terr}ol azt mondjuk, hogy konull, ha Pn(e) ! e gyengen (azaz ((X X 0 ))). X koregularis, ha nem konull 3.23Tetel Ha A egy konzervatv matrix, cA pontosan akkor konull, ha A konull Bizonytas: Ha cA konull, akkor barmely f 2 cA 0 eseten f (e) = Specialisan (1.03) gyelembevetelevel 0 = limA(e) ; X f (e ): i X lim i 31 i A (ei ) = A  azaz A konull. Megfordtva, a (3.014)-ben szerepl}o el}oalltast hasznalva ( ) f (e) ; X f (e ) =   lim i i Ae + X ti(Ae)i + X ak; i k X(  lim Ae + X ti(Aek )i + ak) =   (A) + X X tiA(i k) ; X X tiA(i k) = 0 k i i k k k i P P mert k i jti A(i k)j  ktk1  supn kA(n )k1 < 1, hiszen A konzervatv es abszolut ; konvergens sorok eseten szabad szummat cserelni.  3.24Tetel Legyenek X  Y FK-terek Ha X konull, akkor Y konull Ha X koregularis

es zart Y -ban, akkor Y is koregularis Bizonytas: Az X ! Y beagyazo lekepezes folytonos (3.03) szerint (206) miatt gyengen ((X X 0 ) ! (Y Y 0 )) is folytonos. Innen a konullitas denciojat gyelembe veve az els}o alltas adodik. Ha X zart Y -ban,akkor a beagyazas homeomorzmus (303) szerint, akkor inverze folytonos, tehat gyengen folytonos, gy ha Y konull, akkor X is az. 3.25Kovetkezmeny Ha c  X zart valamely X FK-terben akkor X koregularis, specialisan l1 koregularis. Bizonytas: c = cI , az identitasmatrix pedig koregularis, masreszt c zart l1 -ben. 3.26Tetel Egy Z konull FK-ter tartalmaz vegtelen sok olyan nemkorlatos sorozatot, melyek barmely nemtrivialis linearis kombinacioja nemkorlatos. Bizonytas: Az el}oz}o Kovetkezmenyb}ol tudjuk, hogy c nem zart X -ben. Tegyuk fel, hogy az alltas hamis. X = Z l1 egy FK-ter, mely (315) es az indirekt folteves miatt zart Z -ben. Ekkor c  X  l1 , s (3013) szerint c

zart X -ben Innen zart Z -ben is, ellentmondasra jutottunk. A fenti tetel (1.36) er}os altalanostasa 3.27Dencio Egy X konzervatv FK-teret tokeletesnek mondunk, ha c = X , ahol $ az X -beli lezaras. A c  X halmaz az FK-ter tokeletes resze 3.28Tetel Ha A koregularis, akkor cA tokeletes resze tartalmazza az osszes cA -beli korlatos sorozatot. Bizonytas: Legyen f 2 cA0 ,f jc = 0. Akkor a 323Tetel ( ) egyenl}osege szerint  = 0, (3.014)-b}ol pedig X f (x) = gixi  x 2 l1 cA : i Innen gi = f (ei ) = 0, vagyis f j(l1 cA) = 0. A (0117) Hahn-Banach-fele kiterjesztesi tetelb}ol tehat l1 cA  c.  3.29Kovetkezmeny Ha egy konzervatv matrix szummaz korlatos divergens sorozatot,akkor szummaz nemkorlatos sorozatot Bizonytas: Ha cA  l1 , akkor (3.013) miatt c zart cA -ban, hisz c  cA  l1 es c zart l1 -ben. (325) es (328) szerint c s}ur}u is cA-ban, gy cA = c Tehat ha egy 32 konzervatv matrix nem szummaz nemkorlatos

sorozatot, akkor nem szummazhat korlatos divergens sorozatot sem. Ezzel belattuk (1.35)-ot Befejezesul megemltjuk Berg,Crawford es Whitley tetelet, mely jellemzi azon konzervatv matrixokat, melyek nem szummaznak korlatos divergens sorozatot. 3.210Tetel Egy A konzervatv matrixra cA l1 = c pontosan akkor, ha az A : c ! c operator ertekkeszlete zart, magja pedig veges dimenzios. Bizonytas: Megtalalhato GW]-ben. 33 4.Konzisztencia- es tartalmazasi tetelek  TELJESSEGE 4.0M SZEKVENCIALIS 4.00Dencio Ha (X T) egy FK-ter, akkor WX := fx 2 X jPn(x) ! x ((X X 0 ))g JX := fx 2 X jPn(x) ! x (T)g MX := WX l1 : Ha xn  x 2 X l1 , xn ! x ( ) pontosan akkor,ha xn ! x (T) es supnkxn k1 < 1: Ezzel egy  konvergenciastrukturat denialtunk. Ha X egy FK-ter, akkor X (vagy ha X rogztett, egyszer}uen ) az a topologia l1 -en, amit az MX -beli (MX  l1 )-teljesen korlatos halmazok polaris csaladja general a (l1  MX ) dualis parban.

(A bilinearis fuggveny a kanonikus" koordinatankenti szorzas) 4.01A lltas Legyen (X T) egy FK-ter, melyre   X Akkor az alabbi ket kijelentes ekvivalens: (a) c0  X X (b) jf (ei )j veges minden f 2 X 0 ; re: i Bizonytas: (a) ! (b) A (3.03) gondolatmenetet alkalmazva a normatopologia c0on er}osebb, mint Tjc0 E szerint f 2 X 0 folytonos (c0  k  k1)-n c0 dualisanak (012) karakterizaciojabol adodik az alltas. (b) ! (a) Legyen i :  ! X a termeszetes beagyazas. (b) szerint f 2 X 0 l1 valamely elemevel azonosthato. (X X 0 ) szokasos kornyezetbazisanak i-}oskepet tekintve vilagos, hogy i ( l1 ) ! (X X 0 )-folytonos. (209)-b}ol  ( l1 ) !  (X X 0 )-folytonos is.  (c0  l1 )j metrizalhato, gy szuksegkeppen megegyezik a  ( l1) Mackey-topologiaval (0.14) Igy  (c0  l1 ) eppen  ( l1 ) teljesse tetele (ami egyebkent kozvetlen szamolassal is igazolhato lett volna). Ha i kiterjesztese a teljesse tett

terre tovabbra is az identitaslekepezes, akkor keszen vagyunk Jelolje e kiterjesztest is i xn ! x ( (c0 l1 )) eseten xn ! x (sjc0), persze i(xn ) ! i(x) (T), de akkor i(xn ) ! i(x) (s jX ), es s Hausdor%, innen i(x) = x.  Mostantol rogztunk egy X FK-teret, melyre c0  X . MX helyett egyszer}uen M-et, JX helyett J -t, WX helyett W -t runk. 4.02A lltas c0  J  W Bizonytas: A (0.110) Frechet-terek kozti zart graf tetel szerint az i : c0 ! X beagyazas k  k1 !  folytonos, mert a (302) gondolatmenete szerint zart grafu vagyis c0  J bizonytasashoz eleg belatni, hogy Pn(x) ! x x 2 c0 (kk1 ). Ez a nullsorozat fogalmabol nyilvanvalo. J  W a denciokbol vilagos  34 4.03A lltas Ha xn ! x ( ), akkor xn ! x ((l1  l1 )) Bizonytas: Legyen Br = fy 2 l1 j kyk1  rg. Akkor Br (l1  l1 )-kompakt a Banach-Alaoglu tetelb}ol (0.112) Igy Br -en ez a topologia megegyezik a gyengebb (l1  ) Hausdor%-topologiaval (0.120) szerint

Ha xn ! x ( ), akkor xn 2 Br  n 2 ! valamely r > 0-ra. xn ! x ((l1  )), hisz X egy FK-ter es gy koordinatafuggvenyek veges linearis kombinacioi (vagyis a tekintett dualis parokban  elemei) folytonosak a T-re nezve. Mivel (l1  )jBr = (l1  l1 )jBr , xn ! x ((l1  l1 )) kovetkezik.  4.04Tetel Az alabbi harom alltas ekvivalens barmely x 2 X -re: (a) x 2 W l1 (b) V an olyan xn 2  n 2 ! hogy kxnk1  kxk1 es xn ! x ( ) (c) V an olyan xn 2 c0  n 2 ! sorozat hogy xn ! x ( ): Bizonytas:(a) ! (b) Legyen C = fPn(x)jn 2 !g. Legyen C a C konvex burka W dencioja folytan x a C gyenge lezarasaban van. Ez ugyanaz, mint a T-lezaras, hiszen konvex halmazrol van szo (0.121), emellett T metrizalhato, ezert van olyan fxng  C sorozat, melyre xn ! x( ). Pn es a konvex burok lezarasanak denciojabol vilagos, hogy kxnk1  kxk1 (b) ! (c) Ez trivialis. (c) ! (a) AP(c) feltetelb}ol minden f 2 (X T)0 -re f (x) = limn!1 f (xn ). A 402A

lltasbol f (xn ) = i xinf (ei ) A 403 illetve 401A lltasok felhasznalasaval lim n!1 X xi f (e ) = X xif (e ): i n i i i Innen x 2 W x 2 l1 , hiszen a ( )-t ugy denialtuk.  4.05Dencio Legyen () egy konvergenciastruktura valamely X vektorteren Tegyuk fel, hogy leteznek olyan   lokalisan konvex vektortopologiak X -en, hogy -nek letezik  -zart halmazokbol allo kornyezetbazisa. Azt mondjuk,hogy  egy bitopologikus konvergencia, hogyha xn ! x () pontosan akkor, ha xn ! x ( ) es xn egy -korlatos sorozat. 4.06A lltas TjM  k  k1 jM es  egy bitopologikus konvergencia Bizonytas: Ha p egy T-folytonos felnorma X -en, akkor a c0 ! X beagyazas (4.02) bizonytasa szerint folytonos, gy p(x)  K kxk1  x 2 c0  ahol K az x-t}ol fuggetlen konstans. Ha x 2 M , akkor (404) szerint van olyan xn 2  n 2 ! sorozat, hogy xn ! x (T) es kxn k1  kxk1 . Innen p(x) = nlim !1 p(xn )  K sup kxn k1  K kxk1  n 35 vagyis p k  k1-folytonos

M -en, TjM  k  k1 rogton adodik. Tekintettel  denciojara, eleg lenne belatni, hogy a Br M halmazok TjM -zartak. El}oszor igazoljuk, hogy Br s-zart s-ben. s = (s ), tehat (017) miatt csak azt kell ellen}orizni, hogy Ti Br ]  C zart, i 2 !, ami trivialis. Ezek utan X Br sjX -zart, ahonnan T-zart, mert ez egy FK-topologia. Akkor persze Br M TjM -zart, ahogyan akartuk 4.07A lltas (M l1 ) = k  k1jM Bizonytas: dencioja szerint azt kell igazolni, hogy (l1  M ) ugyanazokat a korlatos halmazokat denialja l1 -en, mint k  k1. Mivel (402) szerint c0  M , eleg belatni, hogy 1 := (l1  c0) korlatos halmazai 2 := (l1  l1 )-korlatosak, hiszen a korlatossag fogalma (0.122) szerint ugyanaz barmely kompatibilis topologiaban Tegyuk fel, hogy F 1 -korlatos, de nem 2-korlatos. Akkor alkalmas an 2 l1  n 2 ! sorozatra es d 2 l1 elemre fd(an ) : n 2 !g nem korlatos C-ben. Maskeppen fogalmazva, az an 2 c00 = l1 sorozat c0 -on

korlatos, de az an(d) n 2 ! halmaz nem korlatos. A Banach-Steinhaus tetel szerint an normakorlatos, am ekkor barmely d 2 l1 eseten: sup jan(d)j  kdk1  sup kank1 n n ami ellentmondas az el}oz}oekkel.  A kovetkez}o lemma kimondasa el}ott megjegyezzuk, hogy a benne szerepl}o  topologia dencioja (0.16)-ban talalhato 4.08Lemma Ha xn 2  n 2 ! es xn ! x ( ), akkor xn ! x ((M l1 )) Bizonytas: A 4.04Tetel szerint x 2 M Tegyuk most fol, hogy az alltas hamis Akkor letezik olyan sorozat, hogy yn 2  n 2 ! yn ! x( ), valamint x-nek egy olyan U -kornyezete, hogy yn 2= U n 2 !. Legyen supnkyn k1 = M Mivel yn ! x ( ) es  er}osebb, mint a koordinatankenti konvergencia (ami eppen s megszortasat indukalja), fonnall ynj ! xj . Akkor letezik egesz szamoknak olyan szigoruan nov}o nk  k 2 ! sorozata, hogy jyj ; ynk j < k1  1  j  k k 2 !: Most denialjuk a zn 2  n 2 ! sorozatot a kovetkez}o modon: z0 = 0 1  j  k : zkj := xj

j > k : zkj = ynj k  k 2 !: Nyilvan zk ; ynk ! 0 (k  k1). A 407A lltasbol tudjuk, hogy k  k1jM = (M l1 ) A 4.06A lltasbol kovetkezik, hogy zk ; ynk ! 0( ) es a zk konstrukciojabol latszik supk kzk k1  M , tehat zk ! x( ). Az is nyilvanvalo, hogy zk semmilyen reszsorozata sem tarthat x-hez -ban, mert akkor   miatt yn valamely reszsorozata x-hez tartana -ban, ami felteveseink szerint nem lehetseges. Mivel (X T) Frechet-ter, topologiajat egy pn monoton nv}o felnormacsaladbol szarmaztathatjuk. Most denialunk egy !-beli szigoruan monoton nov}o sorozatot: m0 := 0 36 zmi k = 0 mk+1  i pk (zr ; zs) < 21k Ilyen mk  k 2 ! letezik, hiszen zk 2  es zk  -konvergens, tehat  -Cauchy. uk := zmk+1 ; zmk -t tekintve X p (u ) < 1 n 2 !: n k k P adodik. (X T) teljes, vagyis uk barmely vk rszsorozatara k vk T- konvergens Az alabbi becslsb}ol kapjuk, hogy a sor  -ban is konvergens: j Xn vi j  X jui j == jzi k=0 k P k

i i mj j + jzmj+1 ; zmj j  3M ha mj k P  i < mj+1: A 4.04Tetelb}ol k vk 2 M S}ot, k vk P (M l1 )-ben is konvergal a 4.03Lemma szerint Az Orlicz-Pettis P tetel (2.24) biztostja, k uk konvergPal -ban Ismet a 403Lemmara hivatkozva nk=0 uk = zmk ! x((M l1 )). Akkor a uk osszeg szuksegszer}uen x a  topologiaban, azaz zmk ! x (), ami ellentmond zn valasztasanak. 4.09A lltas Ha f egy  -szekvencialisan folytonos linearis funkcional, azaz fxn g1 n=0   xn ! x ( ) eseten f (xn ) ! f (x) all fonn akkor f (x) = X lkxk  x 2 M k valamely l 2 l1 sorozatra. Bizony tas: Legyen li := f (ei ). A 402A lltas szerint Pn(x) ! x ( ) minden x 2 c0P ra, vagyis i xi f (ei ) konvergal. Innen l 2 l1 , a Landau-Toeplitz tetel (010) valtozatabol Ha x 2 M , akkor letezik xn 2  n 2 ! xn ! x ( ) sorozat, ez a 4.04Tetel tartalma A 4.03Lemma szerint 1 X X f (x) = lim f (x ) == lim lk xk = lk xk  n!1 n n!1 k=0 n k ahogyan akartuk.

Megjegyezzuk, hogy az utolso lepesben folhasznaltuk, hogy  elemeinek csak veges sok nemnulla koordinataja van. 4.010A lltas (l1  (l1  M )) teljes TVT Bizonytas: Legyen f egy linearis funkcional M -en, aminek a (W l1  l1 )-teljesen korlatos halmazokra valo megszortasai -folytonosak. Grothendieck teljessegi tetele (212) szerint eleg megmutatni, hogy f megfeleltethet}o valamely l 2 l1 -nek, ahol l1 -et mint M 37 algebrai dualisanak alteret tekintjuk. A 408Lemma szerint f (xn ) ! f (x) valahanyszor xn 2  n 2 ! es xn ! x ( ). A 409A lltasbol keszen vagyunk 4.011Tetel (l1  (l1  M )) szekvencialisan teljes Bizonytas: Legyen K  l1 (l1  M )-kompakt.  dencio szerint a -teljesen korlatos halmazok generalta polaris topologia, gy Grothendieck felcserelesi tetele (2.16) es  dencioja miatt K -teljesen korlatos A 4010A lltasbol tudjuk, hogy  teljes, ezert K -relatv kompakt.    miatt jK$ = jK$ (0120)

szerint, ahol K$ a K -lezarasa Tekintsunk most egy -konvergens sorozatot, un n 2 !-t. Az funjn 2 !g flim ung halmaz nyilvan -kompakt, gy a korabbiak szerint un -konvergens. (0114)-b}ol  es  Cauchy-sorozatai is ugyanazok. Innen a tetel alltasa adodik 4.012A lltas M 6= c Bizonytas: Azt igazoljuk, hogy  := (l1  c) nem szekvencialisan teljes. ei 2 l1  i 2 ! es barmely d 2 c-re d(ei ) = di konvergens. Tehat ei  -Cauchy Nyilvan ei ! 0 ((l1  c0)), hisz ekkor di ! 0 minden d 2 c0 eseten. Tetelezzuk fel, hogy ei ! u ( ) valamely u 2 M re Akkor a fenti eszrevetel szerint u nem lehet mas, mint 0, hiszen a (l1  c0 ) Hausdor%topologia gyengebb, mint  Ekkor azonban e(ei ) = 1 ! 0 i ! 1, ami keptelenseg 4.013Tetel M -en az alabbi harom konvergenciastruktura megegyezik: (1) ( ) (2) ( (M l1 )) (3) ((M l1 )): Bizonytas: Megjegyezzuk, hogy ebben a bizonytasban kivetelesen szaktunk egyik konvencionkkal, es xm n -el nem az xn

m-edik koordinatajat jeloljuk. Dencio szerint    Masreszt Wiweger egy tetele szerint ( lasd.Wiw]-ben) minden bitopologikus konvergenciahoz van olyan lokalisan konvex topologia, melynek eppen o} a konvergenciastrukturaja Legyen a  -t szarmaztato topologiak egyike $ (409) szerint e topologia dualis tere sz}ukebb l1 -nel, gy $   (M l1). Nyilvan keszen leszunk, ha megmutatjuk, hogy a  konvergens sorozatok nincsenek tobben,mint a -konvergens sorozatok E celbol tegyuk fel indirekte, hogy valamely fxng1 n=0  M sorozatra. xn ! x ( ), de valamely U abszolut konvex -kornyezetre a sorozat az x + U halmazon kvul halad. Valasszunk olyan, a (404) szerint letez}o xm n 2  sorozatokat,hogy xmn ! xn ( ) m ! 1 xmn 2  n m 2 ! sup kxmn k1  kxn k1: A 4.08Lemma szerint ekkor m lim xm = xn () n 2 !: m!1 n 38 Ha az X FK-topologiajat ado (egyik) metrikat d jeloli,akkor van olyan szigoruan nov}o fmng1 m=0  ! sorozat,hogy xn ; xmn

n 2 21 U d(xn  xmn n )  n1  Akkor nyilvan d(x xm n n ) ! 0, hiszen d(xn  x) ! 0. Hasonloan m sup kxm n n k1  sup kxn k1  kxn k1 < 1 n nm m vagyis xm n n ! x ( ), a 4.08Lemma miatt xn n ! x () Ekkor valamely k -ra: x ; xmk k 2 12 U tehat xk 2 U , ami ellentmond feltevesunknek.   TETELEK 4.1TARTALMAZASI 4.10Lemma Az alabbi feltetelek ekvivalensek: (a) c0 zart (X T) ; ben (b) M = c0 : Bizonyitas: (a) ! (b) Dencio szerint W  $ (X, T)-ben, gy W  c0 , mert c0 zart. Az ellenkez}o iranyu tartalmazas a 4.02A lltas Innen (b) igaz (S}ot, W = c0) (b) ! (a) Ekkor  (M l1 ) =  (c0 l1 ), ami a normatopologia c0-on. A 303Kovetkezmeny szerint T megszortasa gyengebb, mint ez a normatopologia, es pontosan akkor egyenl}oek, ha c0 zart (X T)-ben. Tegyuk fel, hogy Tjc0 < k  k1 Akkor letezik olyan sorozat, un 2 c0 n 2 !, hogy un ! 0 (T) de kunk = 1 minden n-re. Innen un ! 0 ( ) Azonban a 4.013Tetel szerint a  -konvergencia M = c0

-on ugyanaz, mint ( (M l1 )) , vagyis a normakonvergencia. Ez ellentmondas Mostantol nemcsak az X rogztett FK-terrel dolgozunk, ezert ismet kirjuk az M W halmazok also indexeit (ld. a 400Denciot) 4.11Lemma Ha E F FK-terek, E zart E + F -ben, ahol az osszeget (310) szerint topologizaltuk, akkor E F zart F -ben. Bizonytas:A (3.10) igazolasa soran kiderult, hogy az i : F ! E + F beagyazas folytonos. Jelolje E F F az E F F-beli lezarasat Akkor E F F  E F E+F F  E F amib}ol a lemma alltasa adodik.  39 4.12Tetel(Meyer-Konig|Zeller) Ha X egy FK-ter es c0 X nem zart X -ben, akkor X tartalmaz korlatos divergens sorozatot. Bizonytas: Az el}oz}o lemma szerint c0 nem zart c0 + X -ben. Akkor a 410Lemmabol adodik, hogy c0 valodi reszhalmaza Wc0+X l1 -nek. Ha belatjuk, hogy M nem lehet c, akkor keszen vagyunk, hisz c0 1-kodimenzios c-ben. Ez viszont eppen a 4012A lltas  4.13Kovetkezmeny Ha X egy konzervatv FK-ter

es c nem zart X -ben, akkor X tartalmaz korlatos divergens sorozatot. Bizonytas: c0 sem zart X -ben, hiszen egy zart es egy veges dimenzios alter osszege zart, s gy c is zart lenne. Igy az el}oz}o tetelb}ol kovetkezik alltasunk  (3.25) gyelembevetelevel kiderul,hogy egy konull FK-terben c nem lehet zart Ezert egy konull matrix szummaz korlatos divergens sorozatot, igazoltuk (1.36)-ot (329) szerint akkor szummaz nemkorlatos sorozatot is, amit mar (3.26)-ban bizonytottunk, meghozza er}osebb formaban. Sok mas Meyer-Konig{Zeller-tpusu eredmeny letezik. Itt illusztraciokent bemutatunk nehanyat. 4.14Tetel Legyen X egy FK-terAkkor (1) X l1  c0 eseten X c0 zart X;ben (2) X c0  bv0 eseten X bv0 zart X;ben (3) X cs  l1 eseten X l1 zart X;ben (4) 1  p < q < 1 es X lq  lp eseten X lp zart X;ben: Bizonytas: (1) eppen a 4.13Kovetkezmeny (2), (3) es (4) kozos altalanostasa megtalalhato Sn1]-ben 

4.15Tetel Legyen (X T) egy FK-ter mely tartalmazza c0-t Legyen (Y S) egy szeparabilis FK-ter, melyre WX l1  Y Akkor WX l1  WY Bizonytas: Tekintsuk az i : MX ! Y beagyazo lekepezest. Ez nyilvan folytonos, hogyha mindket vektorteret s megszortasaval latjuk el. Akkor i szuksegkeppen sjMX ! sjY zart grafu (0.110) A lltjuk, hogy i zart grafu  :=  (MX  l1 ) ! S, mivel ezek a topologiak er}osebbek s-nel. Ez S-re igaz, mert Y egy FK-ter, masreszt (0115) szerint s = (s ), ennek MX -re vett lesz}uktese durvabb, mint  , mert   l1 es egy Mackey topologia mindig er}osebb, mint az ugyanazon dualishoz tartozo gyenge topologia. A 4.09Tetel szerint (MX   ) dualisa gyenge- szekvencialisan teljes (234) gyelembevetelevel (Y S) egeszen teljes Emiatt Kalton zart graf tetele (233) alkalmazhato tehat i folytonos ezen topologiakra nezve. (206) szerint i gyengen folytonos Vagyis ha Pn(x) ! x ((MX  l1 )) MX -ben, akkor Pn(x)

! x ((Y Y 0 )). WY denciojat szem el}ott tartva keszen leszunk, ha belatjuk, hogy Pn(x) ! x ((MX  l1 )) minden x 2 MX eseten. Vagyis igazolando, hogy barmely l 2 l1 -re: l(x ; Pn(x)) = 1 X i=n+1 lixi ! 0 n ! 1: Ez pedig magatol ertet}odik, hiszen x korlatos sorozat. 40 4.16Kovetkezmeny Legyen X egy konull FK-ter, Y egy szeparabilis FK-ter Ekkor X l1  Y eseten Y konull. Bizonytas: Pn(e) ! e ((X X 0 )), vagyis e 2 WX . Az el}oz}o tetelb}ol e 2 WY , azaz Pn(e) ! e ((Y Y 0 )).  4.17Kovetkezmeny Ha Y egy szeparabilis FK-ter, l1  Y , akkor Y konull Bizonytas: Az el}oz}o Kovetkezmeny feltetelei teljesulnek pl.X := s valasztassal  (3.23) es (3012) gyelembevetelevel a fenti Kovetkezmenyek altalanostjak (131)-et es (1.37)-et 4.2A MAZUR-ORLICZ TETEL 4.20LemmaPLegyen A egy matrix,melyre c0  cA , x 2 cA l1 x 2 WcA pontosan akkor,ha limAx = i ai xi ,ahol ai az A i-edik oszlopanak limesze. Bizonytas: Az (1.03)

bizonytasa szerint az oszlopok valoban konvergensek Legyen x 2 W = WcA , es alkalmazzuk W denciojat a limA funkcionalra, mely (3.014) szerint eleme c0A -nak. Azt kapjuk, hogy limAx = ahogyan akartuk. Megfordtva,ha () X xk lim k A ek = X xk ak = lim k akkor barmely f 2 c0A eseten (3.014) szerint f (x) =  limA x + X xk ak k A x X gkxk k valamely g 2 s-re. ( ) gyelembevetelevel: f (x) =  X xkak + X xk gk = X xk ( ak + gk) == X xk f (e ) k k k k k ami azt jelenti, hogy x 2 W .  4.21Tetel Legyenek A B 2 c0 c] matrixok ugy, hogy McA  cB Akkor igazak az alabbiak: (i) limB  := (McA  l1 ) ; folytonos funkcional: (ii) limB x = ahol ri a B i-edik oszlopanak limesze. X rixi  x 2 M i (iii) McA  WcB : 41 cA  Bizonytas: (i) Legyen ri a B i-edik sora. (402) szerint c0  cB , akkor a LandauToeplitz (010) tetel szerint ri 2 l1 Mivel McA  cB, ezert ri  i 2 ! (l1  McA )-Cauchy, es (4.011) szerint ri ! r ((l1  McA )) valamely r

2 l1 -re Ekkor limB x = ilim !1 ri (x) = r(x) ami limB folytonossagat igazolja,hisz r 2 l1 . (ii) Az, hogy az ri -k leteznek, (i) bizonytasabol latszik, s}ot, az is adodik, hogy P limB xk = i ri xi , hiszen l1 elemei eppen gy hatnak McA -n. (iii) Ez (4.20) es (ii) kozvetlen folyomanya  Most belatjuk a Mazur-Orlicz tetel egy er}os alakjat, (1.22) altalanostasat 4.22Tetel Ha A B koregularis matrixok, limAjc = limB jc, valamint cA l1  cB , akkor A B korlatosan konzisztensek. tas: Legyen z 2 cA l1 . El}oszor tekintsuk azt az esetet, amikor limAz = Pk zBizony k ak , ahol ak az A k -adik oszlopanak limesze,mely nyilvan letezik, hisz A konzervatv. Ekkor z 2 WcA (4.20) szerint A (421) (iii) pontjat felhasznalva ismet csak (420)-bol adodik,hogy X limB z = zk bk : k Azonban ak = limAek = limB ek = bk a feltevesek szerint,mert ek 2 c k 2 !. A ltalanos z eseten legyen P A z ; Pk ak z k  t(z) := lim limA e ; k ak ek ahol persze ek = 1 k

2 !, mert e minden koordinataja 1. Ez utobbi kifejezes ertelmes, mert a nevez}oben lev}o szam eppen az a ami (1.03)-ban fellep, s a koregularitas az (104) dencio szerint eppen azt jelenti, hogy 6= 0! Legyen y := z ; t(z)e, erre persze limAy = X ak yk  k tehat az el}oz}o esetb}ol limAy = limB y. Mivel a feltevesek szerint A B konzisztensek c-n es e 2 c, ezert limAz = limB z, vagyis a tetelt teljesen bebizonytottuk.  A 4.22Tetel bizonytasban nyilvanvaloan hasznalhattuk volna (421) (iii) pontja helyett az er}osebb 4.15Tetelt, a fenti modon azonban elkerulhet}o a Kalton-tetel hasznalata 42 5.Tovabbi eredmenyek a funkcionalanalzisb}ol  TOPOLOGIAI  5.0NEHANY MEGFONTOLA S 5.00Lemma Megszamlalhato sok szeparabilis topologikus ter topologikus szorzata szeparabilis. Egy szeparabilis metrikus ter barmely altere szeparabilis Bizonytas: Lasd Dug]-ot es Be1] 199.oldalat 5.01Lemma Ha Xn n 2 ! LKT-k olyan sorozata, hogy minden

i-re (Xi0  (Xi0  X )) szeparabilis, akkor a Z := iXi topologikus szorzatra (Z 0  (Z 0  Z )) szeparabilis. Bizonytas: Megtalalhato Be1] 200. oldalan  5.02Lemma Legyen X olyan LKT, hogy (X 0  (X 0  X )) szeparabilis Akkor barmely Y  X alterere (Y 0  (Y 0  Y )) szeparabilis. Bizonytas: Legyen G egy megszamlalhato (X 0  X )-s}ur}u halmaz X 0 -ben. Ha f 2 Y 0 , akkor legyen f$ a (0.117) szerint letez}o (egyik) kiterjesztese X -re Akkor valamely fg   2 +g  G altalanostott sorozatra g ! f$ ( (X 0  X )). Vagyis barmely H  X (X X 0 )-korlatos halmazon g jH ! f$jH egyenletesen. Egy H  Y halmaz azonban pontosan akkor (X X 0 )-korlatos, ha (Y Y 0 )-korlatos, megint csak (0.117) miatt! Tehat g jY ! f$ ( (Y 0  Y )), vagyis a GY := fgjY : g 2 Gg halmaz egy megszamlalhato (Y 0  Y )s}ur}u halmaz Y 0 -ben. 5.03Tetel Barmely A matrixra cA egy szeparabilis FK-ter, melyre c0A szeparabilis az er}os topologiaban. Bizonytasvazlat:

(3.012)-t es el}ozmenyeit gyelmesen vegigkovetve lathato, hogy cA FK-topologiajat az alabbi felnormak csaladja generalja: x ! jxi j i 2 ! x ! sup j Xn A(i j)xj j i 2 ! n j =0 x ! kAxk1 : Mivel Ax 2 c x 2 cA, ezert az n n X X j 1 x ! (x f A(0 j )x g  f A(1 j )xj g1 n=0 j =0 j =0 n=0  : : :  Ax) lekepezes egy linearis homeomorzmus cA es az s c! c topologikus szorzat egy altere kozott. Igy az (500),(501) es (502) eredmenyekb}ol kovetkezik az alltas  TETELEK 5.1U JABB TARTALMAZASI 5.10Lemma Legyenek c0 ::: cn 2 C akkor sup j Xc j J 2N i2J i 43 n 1 X 6 i=1 jcij ahol N jeloli a f0 1 2 ::: ng halmaz osszes reszhalmazainak rendszeret. Bizonytas: Lasd Wi1] 235.oldalat Emlekeztetunk arra, hogy a veges ertekkeszlet}u sorozatok vektorteret m-el jeloljuk. 5.11Tetel Ha X egy szeparabilis FK-ter, melyre   X es m  X + c0, akkor l1  X . Bizonytas: A felteves szerint m  (X l1 ) + c0, innen X l1

s}ur}u l1 -ben a normatopologia szerint. Most megmutatjuk, hogy (l1  X l1 ) es kk1 konvergens sorozatai ugyanazok. Az utobbi topologia er}osebb, gy eleg megmutatni, hogy az ( ) an ! 0 (l1  X l1 ) inf ka k = 1 n n 1 indirekt folteves ellentmondasra vezet. Rekurzvan denialjunk mk  nk 2 ! k 2 ! sorozatokat ugy, hogy mk < nk < mk+1 1  k teljesuljon Legyen m0 = n0 = 0 es tegyuk fel, hogy n0  n1 ::: nk;1 m0 m1  ::: mk -t mar megadtuk, legyen most nk olyan, hogy ( mk X ) jai nk j < i=1 1 k ilyen letezik, hiszen legyen G azon sorozatok halmaza, melyeknek els}o mk koordinataja egysegnyi abszolut ertek}u komplex szam, tobbi koordinataja 0. G    X l1 nyilvan igaz, gy ( )-bol, es abbol, ahogyan G  l1 elemei hatnak l1 -en, lathato, hogy eleg nagy nk -ra ( ) tenyleg igaz lesz. Ha k < 19, akkor legyen mk+1 > nk tetsz}oleges, kulonben valasszunk olyan mk+1 > nk -t, hogy X mk+1 i=mk +1 jaink j > 18 19 kank

k1 fonnaljon, ez ( ) ( ) miatt elerhet}o. Vegyuk eszre, hogy a konstrukciot minden k-ra elvegezve, 19  k eseten 1 X jaink j < 191 kank k1: i=mk+1 +1 Most denialunk egy x 2 m sorozatot. Ha mk < i  mk+1, akkor valasszuk meg xi -t ugy, hogy mX k+1 k+1 1 mX i i i 6 i=mk +1 jank j  j i=mk +1 x ank j teljesuljon, ez az 5.10Lemma miatt lehetseges x = y + z legyen egy olyan felbontas, melyre y 2 X l1  z 2 c0 , k pedig olyan, hogy jzj j < 191  mk  j . Akkor k > 19 eseten jy(ank X )j = j yi ai i nk j j X mk+1 i=mk +1 xi aink j ; 44 mk X jxi ai i=0 nk j ; 1 X i=mk+1 +1 jxi aink j; mk X ; jzi ai vagyis i=0 nk 1 X j; jzi ai mk +1 nk j 1  18 ka k ; 1 ; kank k1 ; kzk1 ; kank k1  6 19 nk 1 k 19 k 19 1 > 0 19 azaz ( )-al ellentmondasra jutottunk. Most (0114) es Garling (220) tetele miatt a (l1  X l1 ) es az k  k1 topologiak Cauchy-sorozatai es kompakt halamazai ugyanazok. Ebb}ol  szekvencialisan teljes. Ismeretes, hogy egy

dualis par eseteben a Mackey-topologia egy kornyezetbazisat a dualis ter abszolut konvex es gyenge- kompakt halmazainak polarisakent allthatjuk el}o. Tudjuk azt is, hogy (l1  l1 )-ben es k  k1-ben a konvex halmazok lezarasa ugyanaz (0.121)-b}ol, gy lim inf jy(ank )j k!1  (X l1  l1 ) =  (l1  l1 )jX l1 : A mar ismert erveles szerint az i : (X l1   (X l1  l1 )) ! (X T) beagyazo lekepezes zart grafu, gy Kalton (2.33) teteleb}ol folytonos Mivel  (l1  l1 ) eppen  (X l1  l1 ) teljesse tetele, ezert i kiterjed l1 -re. jelolje ezt a kiterjesztest $i Ha ez meg mindig az identitaslekepezes, akkor keszen leszunk, hiszen ekkor l1  X . Vegyuk eszre, hogy $i s bizonyos alterei kozti linearis operator. Legyen v 2 l1  vn 2 X l1  n 2 ! es vn ! v (k  k1). Akkor vn ! v (s ) Masreszt $i(vn) ! $i(v) (T), s mivel T egy FK-topologia, $i(vn) ! $i(v) (s). Mivel s Hausdor%, $i(v) = v, ezt kellett bizonytanunk 5.12Tetel

Legyen Y egy szeparabilis FK-ter, melyre   Y Tegyuk fel, hogy Y l1 s}ur}u (l1  k  k1)-ben. Akkor l1  Y Bizonytas: Legyen (X T) := Y +c0 . A 311Kovetkezmeny szerint ez egy szeparabilis FK-ter, melyre X l1 s}ur}u l1 -ben. Megmutatjuk, hogy (l1  X l1 ) es kk1 konvergens sorozatai ugyanazok. Ha ez nem gy volna, letezne fang1 n=0  l1 sorozat, melyre an ! 0 ((l1  X l1 )), de kan k 1 n 2 !. Nyilvan an ! 0 ((l1  c0 )), akkor an n 2 ! (l1  c0 )korlatos, de akkor kk1-korlatos is (407) ervelese szerint, F := supn kank Legyen x 2 l1 tetsz}oleges. K K K X X X ai xi = ai (xi ; ui) + ai ui < (  i=N n i=N n i=N n  =  F ) + 2F 2 igaz akkor, ha u 2 X l1 olyan, hogy ku;xk1 < 2F , es N < K eleg nagyok. Innen adodik, hogy an egy (l1  l1 )-Cauchy sorozat,gy (2.21) szerint kk1-Cauchy, vagyis an ! a (kk1 ) valamely a 2 l1 -re. Akkor an ! a ((l1  X l1 )), mert ez egy gyengebb topologia Azonban   X miatt ez utobbi topologia

szeparalt, tehat a = 0, ami ellentmond felteveseinknek. Az el}oz}o tetel bizonytasahoz hasonloan (220) Tetel felhasznalasaval levonhatjuk a kovetkeztetest, hogy  (X l1  l1 ) =  (l1  l1 )jX l1  45 valamint az l1 normatopologiajanak teljessege miatt (l1  X l1 ) szekvencialisan teljes. Az i : X l1 ! X beagyazo lekepezes a mar tobbszor hasznalt ervelessel Kalton (2.33) zart graf tetele szerint  (X l1  l1 ) ! T- folytonos. Ha most x 2 l1 , akkor elemi szamolassal Pn(x) ! x ( (l1  l1 )) gy Pn(x)  (X l1  l1 )-Cauchy, innen i(Pn(x)) = Pn(x) T-Cauchy X -ben, X teljes, gy e sorozat tart valamihez, de ez nem lehet mas, mint x. Azaz x 2 X Innen l1  X = Y + c0  tehat az 5.11Tetelb}ol l1  Y  5.13Kovetkezmeny Ha X egy szeparabilis FK-ter, melyre m  X , akkor l1  X Bizonytas: Azt kell csak eszrevenni, hogy m s}ur}u (l1  k  k1)-ben. Innen persze mar kovetkezik (1.30) alltasa 5.2HORDO TEREK Ebben a reszben

a hordo-terek elmeletenek felhasznalasaval tetsz}oleges X FK-terre altalanostjuk (5.13)-at 5.20Tetel(GBennett es NJKalton) Legyen (Y p) egy Frechet-ter, S egy s}ur}u altere Akkor az alabbiak ekvivalensek: (a) S hordo-ter a relatv topologiaval. (b) Barmely X  Y , (X T) lokalisan konvex Frechet-terre, melyre S  X es T pjX igazak X = Y teljesul. Bizonytas: Megtalalhato Wi1] 253.oldalan 5.21Tetel Ha Y egy FK-ter, S pedig s}ur}u altere, akkor S pontosan akkor hordo-ter, ha barmely X FK-terre S  X -b}ol kovetkezik Y  X . Bizonytas: Elegend}oseg: Ha a feltetel teljesul, akkor specialisan (5.20) (b) resze is igaz, tehat (a) igaz, vagyis S hordo-ter. Szuksegesseg: (3.09) szerint X Y egy FK-ter, (303) szerint topologiaja er}osebb, mint Y relatv topologiaja. Ha S hordo-ter, akkor (520)-ban (a) teljesul, gy (b) is, az el}oz}o eszrevetelek szerint tehat Y  X Y . Tehat meg inkabb Y  X  5.23Tetel Ha egy X FK-ter

tartalmazza m-et, akkor tartalmazza l1 -t Bizonytas: Tekintsuk m  l1 -t a relatv topologiaval. Ez hordo-ter (lasd Wi1] 249.oldalat) Az 521Tetelb}ol adodik alltasunk E rdekes, hogy (m kk1) olyan hordo- ter,mely onmagaban els}o kategoriaju! Valoban, m a veges sok erteket felvev}o sorozatok tere, gy m = i1 Hi , ahol Hi a pontosan i erteket felvev}o sorozatok halmaza. Egyszer}uen ellen}orizhet}o, hogy a Hi -k zartak, es int(Hi ) =  i 2 !. 46 6.Negatv eredmenyek 6.0MI LEHET cA ? Az eddigi vizsgalodasok nagyreszt a matrixok konvergenciatartomanyaira iranyultak. Gondosan kerultuk azonban azt az alapvet}o kerdest, hogy tenylegesen mi lehet cA ? s mely alterei allnak el}o konvergenciatartomanykent? Egy FK-terre nezve mi a szukseges es elegend}o feltetele annak, hogy }o cA legyen valamely A matrixra? Noha ezek az elmelet talan legizgalmasabb kerdesei, a valaszok nem ismeretesek. Ebben a reszben ezert arra mutatunk

peldat, mi nem lehet cA . 6.00Megjegyzes bv (111) szerint izometrikusan izomorf l1 -el, gy dualis tere l1 vel izometrikusan izomorf Az, hogy BK-ter, a kovetkez}o modon igazolhato: (310) alapjan eleg belatni, hogy bv0 egy BK-ter, hiszen bv = bv0 + C  e. x 2 bv0 eseten xn = Xm (xk ; xk+1) + xm+1 k=n Pk=n(xk ; xk+1)-hez tart, ezert az jxnj  kxkbv becsles ervenyes. az egyenlet jobb oldala 1 Innen a koordinatafuggvenyek folytonosak, ami (0.115) szerint biztostja, hogy k  kbv jbv0 s: 6.01Tetel Nem letezik olyan A matrix, melyre l1 vagy bv zart altere lenne cA -nak Bizonytas: Ezen normalt terek dualisa l1 -vel azonosthato, mely nem szeparabilis a normatopologiaban. Marpedig egy normalt ter dualis teren a normatopologia eppen az er}os topologia (0.123) Ha bv vagy l1 valamely A-ra cA zart altere, akkor a relatv topologia (3.03) szerint megegyezik e terek eredeti BK-topologiajaval (502) es (503) szerint tehat nincs ilyen A

matrix.  6.02Tetel Sem l1 , sem annak s}ur}u alterei nem lehetnek konvergenciatartomanyok Bizonytas: (5.03) szerint barmely matrix konvergenciatartomanya szeparabilis FKter Ha D  l1 s}ur}u alterre es valamely A matrixra D = cA, akkor D 6= l1 , hiszen a korlatos sorozatok tere egy BK-ter (3.04), mely nem szeparabilis, az FK-topologia pedig (3.03) szerint egyertelm}u Ugyancsak (303) szerint D FK-topologiaja er}osebb, mint a l1 -t}ol orokolt altertopologia, tehat ha D szeparabilis lenne, akkor l1 is szeparabilis lenne, ami nem lehet. 6.03Megjegyzes Az, hogy l1 -t tartalmazo valodi s}ur}u alterei nem lehetnek konvergenciatartomanyok, rogton adodik (512)-b}ol 6.04Tetel 1  p  1-re lp nem lehet konvergenciatartomany zart altere Bizonyitas: Megtalalhato Be2]-ben. 6.1INKONZISZTENCIA Ebben a rovid reszben peldat mutatunk arra, hogy a Mazur-Orlicz tetel (4.22) nem igaz konull matrixokra. 6.10Pelda Legyen pk := 2;k  k 2 ! Denialjuk a

P matrixot a kovetkez}o modon: 47 P (0 ) := (p1  0 0 0 0 0 0 0 0 0 : : :) P (1 ) := (1 ;1 0 0 0 0 0 0 0 0 : : :) P (2 ) := (1 ;1 p3  0 0 0 0 0 0 0 : : :) P (3 ) := (1 ;1 p3 p4  0 0 0 0 0 0 : : :) P (4 ) := (p1 p2  p3 1 ;1 0 0 0 0 0 : : :) P (5 ) := (p1  p2  p3 1 ;1 p6  0 0 0 0 : : :) P (6 ) := (p1  p2 p3  1 ;1 p6 p7  0 0 0 : : :) P (7 ) := (p1  p2 p3  p4 p5  p6 1 ;1 0 0 : : :) es gy tovabb. Legyen Q az a matrix, melynek minden sora a pk  k 2 ! sorozat Azonnal latszik (1.03)-bol, hogy ezek konzervatv matrixok Ha x 2 c, akkor j(Px)k ; (Qx)k j  jxk;2 ; xk;1 j + 1 X jxi p j ! 0 k ! 1 i=k;2 i azaz limQ jc = limP jc. Q dencioja folytan cQ = l1 , akkor nyilvan cP l1  cQ Legyen most x := (1 ;1 0 1 ;1 0 : : :): x 2 l1 , es konnyen lathato, hogy limP x = 2 + Pi pPersze i xi , es a ket mennyiseg szemmel lathatoan kulonbozik. 48 Pi pixi. Viszont

limQx = 7.Alkalmazasok Az FK-terek elmelete a vegtelen matrixokkal kapcsolatos szummacios problemak kezelesere fejl}odott ki. A kifejlesztett modszerek azonban a matematika szamos mas teruleten is alkalmazhatonak bizonyultak. Dolgozatunk vegen ezekb}ol az alkalmazasokbol nyujtunk zelt}ot. 7.0HARDY TEREK Az e reszben igazolas nelkul emltett tetelek reszletes hivatkozasai megtalalhatok Be2]-ben es BK2]-ben. 7.00Dencio Legyen 0 < p < 1 Jelolje H a komplex nylt egysegkoron analitikus  fuggvenyeket a kovetkez}o fuggvenyek halmazat. Ezek utan denialjuk az Fp : H ! R modon: Z2 i p 1 Fp(f ) := sup 2 jf (re )j d f 2 H: 0<r<1 Legyen most 0 Hp := ff 2 H jFp (f ) < 1g: Legyen tovabba H1 := ff 2 H j sup jf (z)j < 1g: jzj<1 A Hp halmazt a p-edik Hardy-osztalynak hvjuk. 1 Legyen 0 < p < 1-re k  kp := Fp 1  p < 1-re k  kp := (Fp) p  vegul legyen kf k1 := sup jf (z)j jzj<1 ha f 2

H1. 7.01Megjegyzes Ismeretes, hogy 1  p  1-re (Hp  k  kp) Banach- ter, valamint hogy 0 < p < 1-re (Hp  k  kp) Frechet- ter, melynek topologiaja nem szarmaztathato teljes normabol. Denialhato viszont a Z 1 1 ;2 Z 2 i 1 Bp := ff 2 H : 2 (1 ; r) p ( jf (re )jd)dr < 1g 0 0 burkolo Banach- ter ( a norma eppen a dencioban szerepl}o mennyiseg), melyre Hp  Bp s}ur}u alter. (Az is igazolhato, hogy az altertopologia megegyezik a Hp pszeudonormajabol szarmaztatott topologiaval.) 7.02Dencio Legyen 0 < p < 1, E  s Azt mondjuk, hogy az x 2 s sorozat a P i Hp(ill:Bp) multiplikatora E szerint, hogyha minden f (z) = i a zi 2 Hp (ill:Bp) fuggveny eseten az x  f := fxi ai g1 i=0 szorzatra x  f 2 E teljesul. A Hardy-tereken (0 < p < 1) vegzett vizsgalatok arra mutattak, hogy Hp es Bp multiplikatorai mindig ugyanazok. Az FK-terek elmeletenek folhasznalasaval GBennett 1973-ban igazolta a kovetkez}ot: 49 7.03Tetel Ha E

egy FK-ter, akkor 0 < p < 1-re Hp es Bp E szerinti multiplikatorai ugyanazok. Bizonytasvazlat: Azonostva Bp elemeit 0-kozeppontu Taylor- soruk egyutthatoival, Bp-t tekinthetjuk sorozatternek. Igazolhato, hogy ez egy BK-ter Megmutathato az is, hogy Hp a Bp-t}ol orokolt altertopologiaval hordo-ter. Szinten lathato, hogy x 2 s eseten Ex := fy 2 sjfxnyng1 n=0 2 E g halmaz FK-ter. (521) szerint ez akkor es csak akkor tartalmazza Hp-t, ha Bp-t tartalmazza 7.04Dencio Legyen 1  p  1 Egy zn 2 C jzn j < 1 n 2 ! komplex sorozatot p-interpolalonak mondunk, ha minden x 2 l1 eseten ( ) letezik f 2 Hp  f (zi ) = xi  i 2 !: W.KHeyman mar 1958-ban belatta, hogy zi pontosan akkor 1-interpolalo, ha ( ) teljesul a minden x 2 m-re. Kalton es Bennett 1972-ben igazoltak a kovetkez}ot: 7.05Tetel Legyen 1  p  1 Egy zi sorozat pontosan akkor p-interpolalo, ha minden x 2 m-re ( ) teljesul. Bizonytasvazlat: Legyen H p (fzng) := fx 2

sjvan olyan f 2 Hp hogy f (zn ) = xn n 2 !g: Belathato, hogy H p (fzng) azonosthato a Hp=ff 2 Hpjf (zn ) = 0 n 2 !g faktor{Banach-terrel, es ez egy BK-ter (lasd. Sn2]-t) Ezek utan (523)-at alkalmazva lathato, hogy m  H p(fzn g) eseten l1  H p (fzng). Ez pedig eppen a tetel alltasa  50 Forrasmunkak Be1] G.Bennett: A representation theorem for summability domainsProc London Math Soc. 24(1972) Be2] G.Bennett: Some inclusion theorems for sequence spacesPacic J Math 46(1973) BK1] G.Bennett, NJKalton: FK spaces containing c0 Duke Math J 39(1972) BK2] G.Bennett, NJKalton: Inclusion theorems for K-spacesCanadian J Math 25(1973) Cro] L.Crone: A characterization of matrix operators on l2 MathZeit 128(1972) Csa] Csaszar A .: Valos analzis II Tankonyvkiado(1989) Cz1] Czach L.: Funkcionalanalzis(Jegyzet) Cz2] Czach L.: Szummacios modszerek(Kezirat) Cz3] Czach L.: Topologikus vektorterek(Jegyzet) Dug] J.Dugundji: TopologyAllyn

and Bacon,Boston(1966) Gar] D.JHGarling: On topological sequence spaces Proc Camb Phil Soc 63(1967) GW] D.JHGarling, AWilansky: On a summability theorem of Berg, Crawford and WhitleyProc Camb Phil Soc 71(1972) Kur] C.Kuratowski: Topologie, Volume IWarszawa(1958) Mad] I.Maddox: Innite Matrices of OperatorsSpringer-Verlag(1980) RR] A.PRobertson, WJRobertson: Topological vector spacesCambr Univ Press(1964) Sch] Schae%er: Topological vector spacesSpringer-Verlag(1971) Sn1] A.KSnyder: An embedding property of sequence spacesIndiana Univ Math J 35,number 3(1986) Sn2] A.KSnyder: Sequence spaces and interpolation problems for analytic functionsStud Math. 39(1971) Wi1] A.Wilansky: Modern methods for topological vector spacesMcGraw-Hill(1978) Wi2] A.Wilansky: Summability through functional analysisNorth-Holland(1984) Wiw] A.Wiweger: A topologization of Saks spacesBull Acad Sci Ser Sci Math Astr Phys. 5(1957)  Zr] Zrnyi Miklos: Osszes verseiUnikornis kiado(1995) 51