Matematika | Felsőoktatás » Dr. Maróti György - A gradiens függvény

A gradiens függvény Dr. Maróti György Maple eljárások Ebben a fejezetben írjuk le azokat a Maple eljárásokat, amelyeket a munkalapban tárgyalt tananyag szemléltetésére használunk. Ezek az eljárások tehát nem képezik az elsajátítandó tananyag részét, nem megtanulandók, ezért nem talál az olvasó magyarázatokat, vagy iránymutatást az eljárások felépítésével illetve használatával kapcsolatosan. Forrásszövegüket mégis közreadjuk, az Maple nyelvét már ismerő és azt elmélyíteni kívánó, érdeklődő olvasók kedvéért. > with(plots): > érintőanimáció:=proc(f,k,v) local p,a,r,e: p:=plot(f,x=k.v): r:=NULL: for a from k to v by (v-k)/10 do e:=plot(subs(x=a,diff(f,x))*(x-a)+subs(x=a,f),x=a-.5a+5,co lor=blue): r:=r,plots[display]({p,e}): od: plots[display]([r],insequence=true); end: > gradiens:=proc(f,k,v) local l,xl,p: l:=[seq(k+i*0.1,i=0(v-k)/1)]: xl:=map(a->evalf(subs(subs(x=a,diff(f,x)))),l): if args[4]=0 then

plot(zip((x,y)->[x,y],l,xl),x=k.v,style=point); else return zip((x,y)->[x,y],l,xl): fi: end: > monoton:=proc(f,a,b) local i,s: s:=NULL: for i to 10 do s:=s,evalf(subs(x=a+(i-1)*(b-a)/10,diff(f,x)),5);od: print(s); plot(f,x=a.b): end: Warning, the name changecoords has been redefined > A gradiens függvény 3 x2 Tekintsük az f( x ) = x − + 1 függvényt, . 2 > f:=x^3-3/2*x^2+1; 3 3 2 x +1 2 . és rajzoljuk fel a függvény görbéjének néhány érintőjét > érintőanimáció(f,-.8,15); f := x3 − Minden egyes pontban, ahol érintőt rajzoltunk, kiszámíthatjuk az érintő meredekségét, vagyis a az érintő x tengellyes bezárt szögének tangensét. Ha az minden x ponthoz hozzárendeljuk a függvény [ x, f( x ) ] pontjához húzott érintő meredekségét, akkor a kövekező pontsorozathoz jutunk. > gradiens(f,-1,1.6,1); [ [ -1., 6 ], [ -09, 513 ], [ -08, 432 ], [ -07, 357 ], [ -06, 288 ], [ -05, 225 ], [ -04, 168 ], [ -0.3, 117 ], [ -02, 072 ], [

-01, 033 ], [ 0, 0 ], [ 01, -027 ], [ 02, -048 ], [ 03, -063 ], [ 0.4, -072 ], [ 05, -075 ], [ 06, -072 ], [ 07, -063 ], [ 08, -048 ], [ 09, -027 ], [ 10, 0 ], [ 1.1, 033 ], [ 12, 072 ], [ 13, 117 ], [ 14, 168 ], [ 15, 225 ], [ 16, 288 ] ] Ez elsőre nem túl informatív, de ha ábrázoljuk ezeket a pontokat a derékszögű koordinátarendszerben, akkor meglepő eredményre jutunk. Szemünk azonnal összeolvasztja a pontsorozatot egy függvény grafikonjává, ami leginkább egy parabolára emlékeztet. > gradiens(f,-1,1.6,0); Az ábráról az is leolvasható, hogy a függvény zérushelyei x = 0 és x = 1. Kérdés, hogy van-e olyan függvény, amelynek görbéjén az ábrán látható pontsorozat mindegyike rajta van? Keressük a megoldást y = a x2 + b x + c alakban. Mivel x = 0 zérushely, c = 0 Az x=1 is zérushely, így a + b = 0, vagyis a = −b, amit a függvénybe viszahelyettesítve kapjuk, hogy y = a2 − a x. Végül a [-1,6] pont pontja a görbének, amiből 6 = a (

−1 )2 − a ( −1 ), vagyis a = 3 Tehát az ábrán látható függvény y = 3 x2 − 3 x, vagy függvénytani jelöléssel g( x ) = 3 x2 − 3 x. Mi a kapcsolat a kiindulási f(x) függvény és a most megkonstruált g(x) függvény között? Az, hogy a g(x) helyettesítési értéke bármely x pontban az eredeti függvény [ x, f( x ) ] pontjába húzott érintőjének meredeksége, idegen szóval gradiense. Ellenőrzésképpen tekintsük az x=-0.1 pontot Ebben a pontban az f(x) függvény helyettesítési értéke f(.5)=0984 Tehát a függvénynek pontja a P=[-01,0984] pont Most számoljuk ki a g(x) helyettesítési értékét a -0.1 pontban Kapjuk, hogy g(-01)=033 Végül írjuk fel a P ponton átmenő, m=0.33 meredekségű egyenes egyenletét y − .984 = 33 ( x + 1 ) Ha az eddig elmondottak rendben vannak, akkor ez az egyenses az f függvény P pontba húzott érintője. Nézzük meg az ábrát! > subs(x=-.1,3*x^2-3x); 0.33 > plot([f(x),0.984+033*(x+.1)],x=-11); Az

eredmény elég meggyőző. Értelmezés Tekintsük az f( x ) függvényt. Azt a g( x ) függvényt, amelyre g(x) minden olyan pontban, ahol f(x) érintője értelmezhető, megadja az f függvény [ x, f( x ) ] pontba húzott érintőjének iránytangensét a f(x) függvény gradiens függvényének nevezzük. Megjegyezzük, hogy az f(x) függvény és a gradiense kötötti megfeleltetés több-az-egyhez típusú, vagyis több különböző függvénynek lehet ugyanaz a gradiens függvénye. Gondoljunk csak arra, hogy a az f(x) függvény pontjaiba húzott érintők meredekségei nem változnak azáltal, ha a függvény eltoljuk az y tengely mentén, vagyis ha vesszük az f(x)+c függvényt. Eszerint az f(x) függvény gradiens függvénye tetszőleges c valós számra megegyezik az f(x)+c függvény gradiens függvényével. Néhány függvény gradiens függvénye Trigonometrikus függvények Ebben a fejezetben kisérleteket végzünk arra vonatkozóan, hogy megállapítsuk a

trigonometrikus függvények gradien függvényeit. Módszerünk empírikus, kísérletezünk, és egyszerűen összegezzük tapasztalatainkat. Így megállapításaink (a jelen fázisban) semmi esetre sem jelentenek egzaktul bizonyított matematikai állításokat. Persze később ki fog derülni, hogy mindannyian igaz állítások. A sin függvény Legyen f( x ) = sin( x ), és a rajzoljuk fel a az f(x) gradiensének értékeit a [-6,6] intervallumon. > f:=sin(x); f := sin( x ) > gradiens(f,-6,6,0); Mit mondhatunk el az ábrán látható függvényről. Először is azt, hogy periodikusnak tűnik. Periodusa 6 körüli érték (megjegyzzük, hogy 2 π kb 628-cal egyenlő) Nullánál 1 π értéket vesz fel 1.6 körül pedig nullát ( körülbelül 1,57) Összességében az ábrán 2 látható függvény a cosinus függvényre emlékeztet. Rajzoljunk fel sin(x) gradiense mellé egy cos(x) függvényt is. > p:=gradiens(f,-6,6,0): q:=plot(cos(x),x=-6.6,color=blue):

plots[display]([p,q]); > Nem kétséges, hogy a két függvény teljesen átfedi egymást. Rögzítsük tehát, hogy Tapasztalat A f( x ) = sin( x ) gradiens függvénye g( x ) = cos( x ). A cos(x) függvény Legyen most f( x ) = cos( x ). Az ábrán a cos(x) gradiense, a sin(x) és a -sin(x) függvény animációja látható. > f:=cos(x); f := cos( x ) > p:=gradiens(cos(x),-6,6,0): q1:=plots[display]({p,plot(sin,-6.6,color=blue)}): q2:=plots[display]({p,plot(-sin,-6.6,color=black)}): plots[display]([p,q1,q2], insequence=true); > Tapasztalat A f( x ) = cos( x ) gradiens függvénye g( x ) = −sin( x ). Lineáris függvények A lineáris függvények általános alakja f( x ) = m x + b, ami nem más, nmint az egyenes meredekségegyenlete. Eszerint a lineáris függvények görbéje egyenes, amelynek meredeksége m és az y tengelyt a b pontban metszi. Minket azonban most a lineáris függvények gradiens függvénye érdekel. Emlékeztetünk arra a korábban tett

megállapításunkra, hogy az f(x) és az f(x)+c függvények gradiens függvényei megegyeznek. Ezt az észrevételt lineáris függvényekre alkalmazva azt mondhatjuk, hogy az f( x ) = m x + b és a g( x ) = m x függvények gradiens függvényei egyenlők. Elegendő tehát az utóbbi alakú függvényeket vizsgálni Úgy is fogalmazhatunk, hogy az általános alakú lineáris függvények gradienseinek meghatározását visszavezettük speciális m*x alakú függvények gradienseinek meghatározására. Kezdjük kisérleteinket az f( x ) = 2 x függvénnyel. > f:=2*x; f := 2 x > gradiens(f,-2,2,0); A gradiens függvény a g(x)=2 konstans függvény, melynek képe vizszintes egyenes. > f:=3*x; # kisérletezzünk más együtthatókkal is # pl. f:=5*x, f:=-2x f := 3 x > gradiens(f,-2,2,0); Ismét konstans függvényhez jutottunk. De most a g(x)=3 a gradiens függvény Foglaljuk össze a lineáris függvényekkel kapcsolatos tapasztalatainkat! Az f( x ) = 2 x függvény

gradiens függvénye g( x ) = 2 az f( x ) = 3 x függvény gradiens függvénye g( x ) = 3 Könnyű felfedezni a szabályosságot a függvény gradiens függvénye közötti. A gradiens függvény minden esetben konstans, mégpedig az a konstans, ami a függvényben az x együtthatója. Általánosítás A f( x ) = m x gradiens függvénye a g( x ) = m konstans függvény. Felhasználva, hogy konstans hozzáadása nem változtatja meg a függvény gradiens függvények, kapjuk, hogy Következmény A f( x ) = m x + b gradiens függvénye a g( x ) = m konstans függvény. Ebből az általános megállapításból m = 1 és b = 0 választással kapjuk, hogy az f( x ) = x függvény gradiense g( x ) = 1, m = 0 választással pedig a konstans függvények gradiensére g( x ) = 0 adódik. Következmény 1. Az f( x ) = x függvény gradiens függvénye g( x ) = 1 2. Az f( x ) = b konstans függvény gradiens függvénye g( x ) = 0 Hatványfüggvények Az x^2 függvény > f:=x^2; f :=

x2 > gradiens(f,-1,1,0); Az ábrán látható függvény minden kétséget kizáróan egyenes, mégpedig olyan, ami átmegy az origón, mint ilyen az y=m*x alakú függvény görbéje. Az m-et könnyen meghatározhatjuk, ha ismerünk néhány függvényértéket. > gradiens(f,-2,2,1); [ [ -2., -4 ], [ -19, -38 ], [ -18, -36 ], [ -17, -34 ], [ -16, -32 ], [ -15, -30 ], [ -1.4, -28 ], [ -13, -26 ], [ -12, -24 ], [ -11, -22 ], [ -10, -20 ], [ -09, -18 ], [ -0.8, -16 ], [ -07, -14 ], [ -06, -12 ], [ -05, -10 ], [ -04, -08 ], [ -03, -06 ], [ -0.2, -04 ], [ -01, -02 ], [ 0, 0 ], [ 01, 02 ], [ 02, 04 ], [ 03, 06 ], [ 04, 08 ], [ 0.5, 10 ], [ 06, 12 ], [ 07, 14 ], [ 08, 16 ], [ 09, 18 ], [ 10, 20 ], [ 11, 22 ], [ 1.2, 24 ], [ 13, 26 ], [ 14, 28 ], [ 15, 30 ], [ 16, 32 ], [ 17, 34 ], [ 18, 36 ], [ 1.9, 38 ], [ 20, 40 ] ] > Rögtön az első pontpárt behelyettesítve a −4 = m ( −2 ) egyenlethez jutunk, amiből m = 2 . Tapasztalat A f( x ) = x2 gradiens függvénye g( x ) = 2

x. Az x^3 függvény > f:=x^3; f := x3 > gradiens(f,-2,2,0); > gradiens(f,-2,2,1); [ [ -2., 12 ], [ -19, 1083 ], [ -18, 972 ], [ -17, 867 ], [ -16, 768 ], [ -15, 675 ], [ -1.4, 588 ], [ -13, 507 ], [ -12, 432 ], [ -11, 363 ], [ -10, 300 ], [ -09, 243 ], [ -0.8, 192 ], [ -07, 147 ], [ -06, 108 ], [ -05, 075 ], [ -04, 048 ], [ -03, 027 ], [ -0.2, 012 ], [ -01, 003 ], [ 0, 0 ], [ 01, 003 ], [ 02, 012 ], [ 03, 027 ], [ 04, 048 ], [ 0.5, 075 ], [ 06, 108 ], [ 07, 147 ], [ 08, 192 ], [ 09, 243 ], [ 10, 300 ], [ 1.1, 363 ], [ 12, 432 ], [ 13, 507 ], [ 14, 588 ], [ 15, 675 ], [ 16, 768 ], [ 1.7, 867 ], [ 18, 972 ], [ 19, 1083 ], [ 20, 1200 ] ] Az ábrán látható parabola valamilyen a valós számra az y = a x2 függvény görbéje. Az a konstanst az első bármelyik pont koordinátáinak behejetteítésével meghatározhatjuk. Az első pontot választva 12 = a ( −2 )2, amiből a=3. Tapasztalat A x3 gradiens függvénye 3 x2. Foglaljuk össze a hatványfüggvényekkel kapcsolatos

eddigi tapasztalatainkat! Az f( x ) = x2 függvény gradiens függvénye g( x ) = 2 x az f( x ) = x3 függvény gradiens függvénye g( x ) = 3 x2 Könnyű felfedezni a szabályosságot a függvény gradiens függvénye közötti. A gradiens függvény együtthatója megegyezik a függvény kitevőjével, a gradiens függvény kitevője pedig eggyel kisbb, mint a függvény kitevője. Ha tehát megmarad a szabályosság, akkor az mondhatjuk, hogy Általánosítás A f( x ) = xn gradiens függvénye g( x ) = n x (n − 1) . Ha ezt az összefüggést n = 1 -re alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy az f( x ) = x (= x^1) függvény gradiens függvénye az 1*x0=1 konstans függvény. Az f(x)=1 konstans függvény gradiens függvénye 0, mert 1=x0 és a szabályt alkalmazva a gradiens függvény 0*x a következmény teljes összhangban van a lineáris függvényekkel kapcsolatos tapasztalatainkkal. Az exponenciális függvény > f:=exp(x); f := ex > plot(f,x=-2.2); >

p:=gradiens(f,-2,2,0): q:=plots[display]({p,plot(f,x=-2.2,color=blue)}): > plots[display]([p,q],insequence=true); ( −1 ) =0. Ez > Tapasztalat A f( x ) = ex gradiens függvénye g( x ) = ex. A logaritmus függvény > f:=ln(x); f := ln( x ) > plot(f,x=0.10); > p:=gradiens(f,0,2,0): q:=plots[display]({p,plot(1/x,x=0.2,y=020,color=blue)}) : > plots[display]([p,q],insequence=true); > Tapasztalat A f( x ) = ln( x ) gradiens függvénye g( x ) = 1 . x A gradiens függvény felhasználása 9.2 Definíció 1 .Azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek az x = a helyen lokális maximuma van, ha létezik az x = a helynek olyan környezete, amelyben a függvény az x = a hely kivételével f(a)-nál kisebb értékeket vesz fel, vagyis a környezetbe tartozó minden x-re f( x ) < f( a ), feltéve ha x ≠ a. 2. Azt mondjuk, hogy az f(x) függvénynek az x = a helyen lokális minimuma van, ha létezik az x = a helynek olyan környezete, amelyben a függvény az x

= a hely kivételével f( a )-nál nagyobb értékeket vesz fel, vagyis a környezetbe tartozó minden x-re f( a ) < f( x ), ha x ≠ a. 3. A lokális maximumot és a lokális minimumot összefoglaló elnevezéssel lokális szélsőértékeknek nevezzük. Példák Feladat Szemléltessük a sin(x) függvény lokális szélsőértékhelyeit. Megoldás > display({plot(sin(x),x=-2*Pi.2*Pi),plot([Pi/2,t,t=0.1],c olor=blue)}); A sin(x) függvénynek az x = π helyen lokális maximuma van, mert például a ]0, π[ 2 π -től különböző pontjában sin(Pi/2)=1 -nél kisebb értéket vesz fel. 2 Ebből a sin(x) periodicitását felhasználva adódik, hogy a sin(x) függvénynek végtelen sok lokális maximuma van: π + 2 k π (k=.-2,-1,0,1,2) 2 Ugyanígy látható be, hogy a π − + 2 k π (k=.-2,-1,0,1,2) 2 pontokban pedig lokális maximuma van a sin(x) függvénynek. intervallum minden Feladat Van-e lokális maximuma az exponenciális függvénynek? Megoldás Rajzoljuk fel

az f( x ) = 2xfüggvényt. > plot(2^x,x=-5.2); Az f( x ) = 2x függvénynek nincs lokális szélsőértéke. Ugyanis a függvény szigoróan monoton nő, így egyetlen egy pontnak sem lehet olyan környezete, amelyben a függvény a pontban felvett értéknél határozottan kiseb értékeket vesz fel. Feladat Mutassuk meg, hogy az f( x ) = 2 − ( x − 1 )2 függvénynek az x = 1 helyen lokális maximuma van. Megoldás Valóban f( 1 ) = 2. Ugyanakkor ha x ≠ 1, akkor x − 1 ≠ 0 és így 0 < ( x − 1 )2 Ebből pedig következik, hogy f( x ) = 2 − ( x − 1 )2 < 2 = f( 1 ) Valójában azt sikerült megmutatni, hogy az x = 1 hely bármely környezetésre igaz, hogy f( x ) < f( 1 ), feltéve ha x ≠ 1. Mint azt az imént megmutattuk, az f( x ) = 2 − ( x − 1 )2 függvénynek az x=1 helyen lokális maximuma van. Vizsgáljuk most meg függvény érintőit az x = 1 hely környezetében > érintőanimáció(2-(x-1)^2,0,2); Az animáció tisztán mutatja, hogy

az x = 1 pontban az érintő vizszintes egyenes, ami azt jelenti, hogy a gradiens függvény ebben a pontban nulla értéket vesz fel. Ezt a megfigyelést ellenőrizhetjük is. > monoton(2-(x-1)^2,0,2); 2., 16000, 12000, 080000, 040000, 0, -040000, -080000, -12000, -16000 > Valóban nem csalt meg a szemünk bennünket, mert a gradiens függvény helyettestési értékei között ott látjuk a nullát. Azt tapasztaltuk tehát, hogy ahol az f( x ) = 2 − ( x − 1 )2 függvénynek maximuma van, ott gradiens függvénye nulla értéket vesz fel. Nem leszünk meglepődve azon, a minimum helyen is nulla értéket vesz fel a gradiens függvény. Lássunk egy példát, tekintsük az f( x ) = ( x − 1 )2 + 1 függvényt > érintőanimáció((x-1)^2+1,0,2); > monoton((x-1)^2+1,0,2); -2., -16000, -12000, -080000, -040000, 0, 040000, 080000, 12000, 16000 > > Tapasztalat Ha az f(x) függvénynek az x = a helyen lokális maximuma vagy minimuma, vagy röviden lokális

szélsőértéke van, akkor gradiens függvénye az x = a helyen nulla értéket vesz fel. Ebből állításból az következik, hogy ahol a gradiens függvény nem vesz fel nulla értéket, ott a függvénynek nincs lokális szélső értéke. Eszerint tehát a függvény lokális szélső értékeit a gradiens függvény zérushelyei között kell keresni. Sajnos a gradiens függvény zérushelyei közül nem mindegyik lesz tényleges szélsőérték hely. Tapasztalatunk mégis nagyon fontos, mert módot ad arra, hogy a függvények szélsőérték helyeinek megtalálását visszavezesük a gradiens függvényük zérushelyeinek megkeresésére. Ellenőrző kérdések 1. Hogy értelmezzük egy függvény gradiens függvényét? 2. Mi a szinusz függvény gradiens függvénye? 3. Mi a szinusz függvény gradiense? 4. Adjuk meg az x6 függvény gradiens függvényét 5. Mi az exponenciális függvény gradiense? 6. Mi a logaritmus függvény gradiense? 7. Mikor mondjuk, hogy az

f(x) függvénynek az x=a helyen lokális maximuma van? 8. Mikor mondjuk, hogy az f(x) függvénynek az x=a helyen lokális minimuma van? 9. Milyen felhasználását tapasztaltuk a gradiens függvénynek?