Tartalmi kivonat
A differencia hányados függvény A differenciálszámítás kialakulását a geometriai és mechanikai problémák tették szükségessé. A legfontosabbak: – A „w” tetszőleges fizikai mennyiség változásának a leírása a „z” fizikai mennyiség függvényében. w Ki kellett számítani a w-nek az egységnyi z-re eső megváltozását, a -t. z – Meg kellett határozni a függvények grafikonjának a Po pontbeli érintőjét. Definíció: Legyen az f függvény az xo pontnak valamely környezetében értelmezve. Legyen az x ennek a környezetnek egy az xo-tól különböző tetszőleges eleme. Ekkor a függvény xo pontbeli differencia f(x) f(x o ) hányados függvényének nevezzük az x függvényt. x xo Definíció: Ha létezik az f függvény az xo pontbeli differencia hányados függvényének a határértéke az xo helyen és ez a határérték véges, akkor az f függvény az xo pontban differenciálhatónak (deriválhatónak) mondjuk és az f
függvény az xo pontbeli differenciálhányadosán ezt a határértéket értjük. df Jele: ; f (x o ) dx x x o f(x) f(x o ) x xo x xo f (x o ) : lim Az x – xo különbséget jelöljük ∆x-szel. ∆x ≡ x – xo Ha x xo hoz, akkor x 0 f(x) f(x o ) f(x x) f(x o ) lim x xo x 0 x xo x f (x o ) : lim A differenciahányados geometriai jelentése f(x) f(x o ) x xo A differenciahányados függvény értékei az (xo; f(xo)) ponton áthaladó szelők meredekségét adják meg. tg Ha x xo-hoz, akkor a szelő az érintőhöz közelít. Tehát a differenciahányados határértéke (a differenciálhányados) az f függvény xo pontbeli érintőjének a meredekségével egyezik meg. A differencia és a differenciálhányados fizikai jelentése f(x) f(x o ) az f(x) átlagos megváltozását adja meg az x egységnyi megváltozására nézve. x xo Pl. s(t) s(t o ) a test
átlagsebességét adja meg a [to; t] intervallumban. t to Az s(t o ) lim t to s(t) s(t o ) a pillanatnyi sebesség nagyságát adja meg a to időpillanatban. t to Feladat: Határozza meg az f(x) 3 x függvény differenciálhányadosának az értékét az xo = 2 helyen. 3 f (x o ) lim x xo lim x x xx l lim 2 3 xx o 3 x xo 3 3 xo x 3 xo x 3 3 xo 3 3 lim x xo 3 x 3 1 2 x0 3 xo 2 3 xoxo 3 xo 2 xo x 3 xo x 1 33 x 2o 3 2 1 3 xo 3 3 1 xx o 3 xo 2 2 2 l x x 2 3 x xo 1 x xo 3 3 x 3 xo o 1 x o 3 ha x o 0 3 2 1 2 3 3 Tétel: Az f(x) függvény deriváltja az xo pontban akkor és csak akkor létezik, ha fl (xo ) fl (xo )