Matematika | Felsőoktatás » Függvénysorok

1. 1. Függvénysorok Ha ∣ cos �0 ∣ < 1, akkor a vizsgált függvénysor abszolút konvergens, tehát konvegens. Tudjuk, hogy −1 ≤ cos �0 ≤ 1. Külön meg kell vizsgálni a cos �0 = 1 és a cos �0 = −1 eseteket. Ha cos �0 = 1, akkor a függvénysor a következő végtelen sort adja: Bevezetés és definı́ciók A végtelen soroknál tanultuk, hogy az 1 + � + �2 + ⋅ ⋅ ⋅ + �� + . végtelen összeg ∣�∣ < 1 esetén konvergens. A fenti végtelen összegre úgy is gondolhatunk, hogy végtelen sok függvényt adunk össze és ezt vizsgáljuk. Ez vezet el a következő fogalomhoz: 1+ 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + + ., 2 3 � ami egy divergens sor. A cos �0 = 1 egyenlet pontosan az �0 = 2�� esetén teljesül (� egész szám). Ha cos �0 = −1, akkor a függvénysor a következő alternáló sort adja: 1. definı́ció Legyenek �� (�), � = 1, 2, olyan függvények, amelyek

közös értelmezési tartománya �. Ekkor a belőlük képzett függvénysoron az −1 + �1 (�) + �2 (�) + ⋅ ⋅ ⋅ + �� (�) + . 1 1 1 1 − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)�−1 + . , 2 3 4 � ami egy konvergens sor a Leibniz-kritérium alapján. A cos �0 = −1 egyenlet pontosan az �0 = � + 2�� esetén teljesül (� egész szám). Összefoglalva kapjuk, hogy a konvergenciatartomány a valós számok halmaza kivéve a 2�� alakú számokat. kifejezést értjük, ahol � ∈ �. Egy konkrét �0 ∈ � értéket behelyettesı́tve a következő végtelen sort kapjuk: �1 (�0 ) + �2 (�0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + �� (�0 ) + . Ez vagy konvergens vagy divergens. 2. 2. definı́ció Azon �0 ∈ � számok halmazát, amelyekre Hatványsorok Ebben a fejezetben egy speciális, de alkalmazás szempontjából alapvető fontosságú függvénysort tárgyalunk. �1 (�0 ) + �2 (�0 ) +

⋅ ⋅ ⋅ + �� (�0 ) + . konvergens sor, az 3. definı́ció Az � = 0 hely körüli hatványsornak nevezzük a �1 (�) + �2 (�) + ⋅ ⋅ ⋅ + �� (�) + . függvénysor konvergenciatartományának mondjuk. ∞ ∑ Példák: �� �� = �0 + �1 � + �2 �2 + ⋅ ⋅ ⋅ + �� �� + . �=0 alakú függvénysort. Az � = � körüli hatványsor: 1. Határozza meg az ∞ ∑ � �� � =� +� 2� 3� +� �� + ⋅⋅⋅ + � ∞ ∑ + . �� (� − �)� = �=0 �=1 függvénysor konvergenciatartományát! �0 + �1 (� − �) + �2 (� − �)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + �� (� − �)� + . � Megoldás: A fenti függvénysor egy � hányadosú mértani sor, ami pontosan akkor konvergens, ha Itt az � számot a hatványsor középpontjának, a �0 , �1 , �2 ∣�� ∣ < 1. Ez pedig pontosan akkor teljesül, ha � < 0, valós

számokat pedig a hatványsor együtthatóinak tehát a konvergenciatartomány a negatı́v számok hal- nevezzük. maza. Példa 2. Határozza meg az 1. Határozza meg az ∞ ∑ cos2 � cos3 � cos� � cos� � = cos � + + ⋅ ⋅ ⋅+ +. ( )� � 2 3 � 1 1 1 �=1 (�−3)� +. 1− (�−3)+ (�−3)2 −+ ⋅ ⋅ ⋅+ − 3 9 3 függvénysor konvergenciatartományát! Megoldás: A gyökkritériumot alkalmazzuk: hatványsor konvergenciatartományát és adja meg a √ fenti sor által definiált függvényt a konvergenciatarcos� �0 tományban! � lim = ∣ cos �0 ∣ �∞ Megoldás: A fenti hatványsor egy olyan mértani sor, � 1 ∑∞ 2. Ha a �=0 �� �� hatványsor divergens valamely � = � szám esetén, akkor divergens minden � esetén, ha ∣�∣ > ∣�∣. amelynek első eleme 1 és hányadosa − �−3 3 . Ez pontosan akkor konvergens, ha − �−3 <1 3 Bizonyı́tás:

∑∞ 1. Ha �=0 �� �� konvergens, akkor tudjuk, hogy azaz 0 < � < 6. Ekkor az előállı́tott összegképlete szerint: függvény a mértani sor lim �� �� = 0, �∞ 3 1 ( �−3 ) = . � 1− − 3 ezért létezik � egész, hogy � ≥ � esetén ∣�� �� ∣ < 1, ∑∞ � 2. Határozza meg a �=0 ��! hatványsor konvergenciatartományát! Megoldás: Az �0 valós szám akkor lesz benne a konvergenciatartományban, ha a azaz Innen kapjuk, hogy ha ∣�∣ < ∣�∣, akkor � ≥ � esetén ∞ ∑ ��0 �! �=0 ∣�� �� ∣ < lim �∞ �=0 végtelen sor konvergens. Alkalmazzuk gyökkritériumot a konvergencia eldöntésére: √ lim � ∣�� ��0 ∣ = lim ∣��0 ∣ = +∞, �∞ . ∣�� �� ∣ + ∣�� +1 �� +1 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣�� �� ∣ ≤ ∣�0 ∣ + ∣�1 �∣ + ∣�2 �2 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣��

−1 �� −1 ∣+ ezért minden valós �0 esetén konvergens sort kapunk, tehát a konvergenciatartomány a valós számok halmaza. ∑∞ 3. Határozza meg a �=0 �� �� hatványsor konvergenciaratományát! Megoldás: Az �0 valós szám akkor lesz benne a konvergenciatartományban, ha a �� ��0 � ∣�0 ∣ + ∣�1 �∣ + ∣�2 �2 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣�� −1 �� −1 ∣+ �0 = 0 < 1, = lim �∞ � + 1 ∞ ∑ � � ∑∞ � Ezért a végtelen sorból formált �� �=0 �� ∣�∣ részletösszegre felső becslés (feltehető, hogy � ≥ � ): végtelen sor konvergens. Alkalmazzuk a hányados kritériumot a konvergencia eldöntésére: ��+1 0 (�+1)! �� 0 �! 1 . ∣�∣� ∣�� ∣ < � � � + � � konvergens végtelen sor. � +1 + . ∑∞ 2. Ha valamely � esetén ∣�∣ > ∣�∣ és �=0 �� �� konvergens lenne,

∑∞akkor �a Tétel első (már bizonyı́tott fele) szerint �=0 �� � is konvergens lenne, ami ellentmondás. ■ ∑∞ � A fenti tétel alapján már könnyű leı́rni a �=0 �� � hatványsor konvergenciatartományát: Ha létezik olyan ∑ a � ∕= 0 valós szám, amelyre ∞ �� �� konvergens végtelen �=0 ∑∞ sor és létezik � valós szám, amelyre �=0 �� �� divergens végtelen sor, akkor �-rel jelölve a �∞ ∞ ∑ �� �� konvergens} ha �0 ∕= 0, ezért minden �0 ∕= 0 esetén divergens �=0 sort kapunk, tehát a konvergenciatartomány a {0} halmaz. halmaz legkisebb felső korlátját kapjuk, hogy olyan �-re, amelyre ∣�∣ < � a ∞ ∑ Az alábbiakban azt mutatjuk meg, hogy néz ki �� �� egy konvergenciatartomány és hogyan lehet egyszerűen �=0 meghatározni azt. konvergens lesz, mivel � definı́ciója szerint ∑ van olyan ∞ � � valós

szám, amelyre ∣�∣ < ∣�∣ < � és �=0 �� � 1. tétel∑ (Hatványsorok konvergenciatétele). 1 Ha konvergens végtelen sor, de ekkor az előző tétel 1. szerint ∑∞ ∞ � � a � � hatványsor konvergens valamely � � is konvergens lesz. � � �=0 �=0 � = � ∕= 0 szám esetén, akkor abszolút konvergens Másrészt, ha valamely ∑∞� valós szám esetén ∣�∣ > �, akkor minden � esetén, ha ∣�∣ < ∣�∣. � definı́ciója miatt �=0 �� �� divergens lesz. {∣�∣ : 2 ∑∞ Ha nem létezik olyan � ∕= 0, amelyre �=0 �� �� konver- azaz 1 gens, akkor ez azt jelenti, hogy a konvergenciatartomány √ . ∣�0 − �∣ ≥ lim � ∣�� ∣ a∑ {0} halmaz; mı́g ha olyan � nem létezik, amelyre �∞ ∞ � �=0 �� � divergens, akkor a konvergenciatartomány a Innen kapjuk, hogy valós számok halmaza. 1 √ ∣� − �∣ <

Összefoglalva és most már � középpontú hatványsorokra lim � ∣�� ∣ �∞ kimondva kapjuk, hogy: ∑∞ esetén konvergens a �=0 �� (� − �)� végetelen sor, mı́g ha 2. tétel A 1 ∞ ∑ √ ∣� − �∣ > , �� (� − �)� lim � ∣�� ∣ �∞ �=0 hatványsor nézhet ki: konvergenciatartománya akkor divergens. Ez mutatja, hogy a konvergenciasugár következőképpen �= 1 √ . lim � ∣�� ∣ ■ 1. Létezik � > 0, hogy ha ∣� − �∣ < �, akkor konvergens �∞ a hatványsor, mı́g ha ∣� − �∣ > �, akkor konvergens. Külön kell meggondolni az � = � ± � számok esetén a Megjegyzés: Az előző tétel mintájára meg lehet mukonvergenciát; eszerint a konvergenciatartomány egy nyı́lt vagy félig nyı́lt, félig zárt vagy egy zárt interval- tatni, hogy �� lum lehet. � = lim , �∞ ��+1 2. A sor csak az � = �

esetén konvergens, egyébként ha ez a határérték létezik (végtelen is lehet). divergens. Összefoglalva: A 3. A sor minden valós szám esetén konvergens ∞ ∑ �� (� − �)� A fenti tételben szereplő �-et konvergenciasugárnak √ �=0 hı́vjuk. Ha létezik a lim � ∣�� ∣ határérték, akkor a kon�∞ hatványsor konvergenciatartományának meghatározása a vergenciasugarat könnyű meghatározni: következőképpen történik: Kiszámoljuk a � konvergenciasugarat: √ 3. tétel 1 Ha létezik a 0 < lim � ∣�� ∣ < ∞ �∞ 1 �� √ �= = lim harérérték, akkor � �∞ ��+1 lim ∣�� ∣ �∞ 1 � = lim √ . Ez alapján �∞ � ∣� ∣ � 1. ha � = 0, akkor a konvergenciartamány a {�} halmaz, azaz csak � = �-ban konvergens a sor; √ 2. Ha lim � ∣�� ∣ = 0, akkor a konvergenciatartomány �∞ a valós számok halmaza. √ 3. Ha lim �

∣�� ∣ = ∞, akkor a konvergenciatartomány 2. ha � = +∞, akkor a konvergenciartamány a valós számok halmaza (mindenütt konvergens a hatványsor); �∞ az {�}, azaz a hatványsor csak � = � esetén konvergens. Csak 1.-et bizonyı́tjuk: Ha ∑Bizonyı́tás: ∞ � � (� − �) konvergens, akkor �=0 � 0 √ √ lim � ∣�� ∣∣�0 − �∣� = ∣�0 − �∣ lim � ∣�� ∣ ≤ 1, azaz ∣�0 − �∣ ≤ Ha a a nyı́lt intervallumban és divergens a ] − ∞, � − �[ és ]� + �, ∞[ �∞ �∞ ∑∞ 3. ha � pozitı́v valós szám, akkor a hatványsor konvergens az ]� − �, � + �[ nyı́lt félegyeneseken. Az � = � − � pontról a ∞ ∑ �� (−�)� végtelen sor konvergenciája, mı́g az � = 1 √ . lim�∞ � �� �=0 � �� (�0 − �) divergens, akkor √ √ lim � ∣�� ∣∣�0 − �∣� = ∣�0 − �∣ lim �

∣�� ∣ ≥ 1, � + � pontról a �=0 �∞ ∞ ∑ �=0 dönt. �∞ 3 �� �� végtelen sor konvergenciája 2. A ]� − �, � + �[ nyı́lt intervallumon a Példa: Határozza meg a ∞ ∑ �2 �3 �� =�+ + + . � 2 3 �=1 ∞ ∑ �=0 hatványsor konvergenciatartományát! 1 lim�∞ √ � (� − �)�+1 �+1 hatványsor szintén konvergens lesz és minden �−� < � < � + � egyenlőtlenségnek eleget tevő � esetén Megoldás: Nyilván a középpont � = 0 és az együtthatók �� = �1 . Emiatt �= �� ∫ � (�)�� = ∞ ∑ �=0 = 1, �� (� − �)�+1 + �. �+1 1 � Példa: � (�) = ������ hatványsora: ezért a hatványsor konvergens a ] − 1, 1[ nyı́lt intervallumban és divergens a ] − ∞, −1[ és ]1, ∞[ félegyeneseken. Ha � = 1, akkor a � ′ (�) = ∞ ∑ 1 1 1 = 1 + + + . � 2 3 �=1 ezért

harmonikus sort kapjuk, amiről tudjuk, hogy divergens. Ha � = −1, akkor a 1 1 = = 1 − �2 + �4 − �6 + − . , 1 + �2 1 − (−�2 ) ∫ � ′ (�)�� = �− ∫ 1 − �2 + �4 − + . �� �3 �5 �7 + − + − ⋅ ⋅ ⋅ + �, 3 5 7 de ∞ ∑ (−1)� 1 1 = −1 + − + − . � 2 3 �=1 0 = �����0 = 0 − 03 + − ⋅ ⋅ ⋅ + � = �, 3 ı́gy alternáló sort kapjuk, ami a Leibniz-kritérium alapján �3 �5 �7 ����� = � − + − + −., konvergens. 3 5 7 Így a konvergenciatartomány a [−1, 1[ balról zárt, ha ∣�2 ∣ < 1, azaz −1 < � < 1. jobbról nyı́lt intervallum. A következő tétel azt mondja, hogy egy hatványsor által megadott függvény deriválása és integrálása a hatványsor tagjainak deriválását és integrálását jelenti. 3. 4. tétel Az � (�) függvényt akarjuk hatványsorként felı́rni, azaz

rögzı́tett � mellett olyan �� -eket keresünk, amelyekre 1. Ha a ∞ ∑ Taylor-sorok �� (� − �)� ∞ ∑ � (�) = �=0 �� (� − �)� = �=0 hatványsor � − � < � < � + � esetén konvergens, �0 + �1 (� − �) + �2 (� − �)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + �� (� − �)� + . akkor meghatároz egy ]�−�, �+�[ nyı́lt intervallumon Tegyük fel, hogy � (�) végtelen sokszor differenciálható az lévő � (�) függvényt, amelyre � egy környezetében. Ekkor ∞ ∑ ∞ � (�) = �� (� − �)� . ∑ ′ � (�) = ��� (� − �)�−1 �=0 �=1 Ennek a függvénynek minden �-re létezik a deriváltja, amit az eredeti sor tagjainak deriválásával kapunk meg: ∞ ∑ � ′ (�) = �� �(� − �)�−1 ′′ � (�) = � ′′ (�) = �(� − 1)�� (� − �)�−2 �=2 � ′′′ (�) = �=1 ∞ ∑ ∞ ∑

∞ ∑ �(� − 1)(� − 2)�� (� − �)�−3 �=3 �� �(� − 1)(� − �)�−2 stb. Behelyettesı́tve �-t kapjuk, hogy �=2 stb. � (�) = �0 4 � ′ (�) = �1 és ez akkor teljesül, ha ′′ � (�) = 1 ⋅ 2�2 − ′′′ � (�) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3�3 és általában azaz � (�) (�) = �!�� , azaz �� = �−2 < 1, 2 0 < � < 4. A következőkben arra keressük a választ, hogy a Taylorsor mikor állı́tja elő a függvényt. Ehhez az 1 félévben tanult Taylor-tétel nyújtja az alapot: � (�) (�) . �! 4. definı́ció Legyen � (�) egy olyan függvény, amelyik 5 tétel (Taylor-tétel) Ha az � (�) függvény az � ∈ � invégtelen sokszor differenciálható egy olyan intervallum- tervallumon akárhányszor differenciálható, akkor minden ban, amelynek belső pontja �. Az � (�) függvény által � pozitı́v egész és

� ∈ � esetén generált Taylor-sor az � = � helyen: � ′′ (�) ′ (� − �)2 + . � (�) = � (�) + � (�)(� − �) + ∞ 2! ∑ � (�) (�) (� − �)� = �! � (�) (�) �=0 + (� − �)� + �� (�), �! ′′ � (�) � (�) + � ′ (�)(� − �) + (� − �)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ahol 2! � (�+1) (�) (� − �)�+1 �� (�) = � (�) (�) � (� + 1)! (� − �) + . �! egy � és � közötti �-vel. Az � (�) függvény által generált Maclaurin-sor az � = 0 helyen vett Taylor-sor: Példa: Bizonyı́tsuk be, hogy minden valós � esetén ∞ ∑ � (�) (0) � � = ∞ ∑ �! �� �2 �3 �� � �=0 =1+�+ + + ⋅⋅⋅ + + . � = �! 2! 3! �! �=0 ′′ (�) � (0) 2 � (0) � � (0) + � ′ (0)� + � + ⋅⋅⋅ + � + . 2! �! Megoldás: Írjuk fel az � (�) = �� függvény Maclaurinsorát! Ekkor Példa:

Határozza meg az � (�) = �1 függvény � = 2-beli � (�) (�) = �� ⇒ � (�) (0) = 1, Taylor-sorát! Megoldás: Nyilván ezért a Taylor-tétel szerint � ′ (�) = −�−2 �2 �� � � = 1 + � + + ⋅ ⋅ ⋅ + + �� (�), ′′ −3 � (�) = (−1)(−2)� 2! �! � ′′′ (�) = (−1)(−2)(−3)�−4 ahol és általában �� (�) = � (�) (�) = (−1)� �!�−(�+1) . �� �� (� + 1)! egy 0 és � közötti �-vel. Ezért, ha � < 0, akkor Ezért � (�) (2) (−1)� �!2−(�+1) (−1)� = = �+1 , �! �! 2 tehát a Taylor-sor: ∣�� (�)∣ ≤ ∣�∣�+1 (� + 1)! 0, ha � ∞ Ha � > 0, akkor 1 � − 2 (� − 2)2 (� − 2)3 − + − + −., 2 3 2 2 2 24 ∣�� (�)∣ ≤ �� ami egy egy 12 első tagú, − �−2 2 hányadosú mértani sor. Ez nyilván megfelelő, mivel ∣�∣�+1 (� + 1)! 0, ha � ∞.

Ezért tetszőleges valós � esetén 1 1 1 ( )= , 2 1 − − �−2 � 2 lim �� (�) = 0, �∞ 5 2. Hasonlóan bebiznyı́tható, hogy minden valós � esetén ahonnan már következik az állı́tás. Következmény: Ha � = 1 az előző példában, akkor azt kapjuk, hogy cos � = 1 − �2 �4 �6 �8 + − − + −., 2! 4! 6! 8! de úgyanez következik abból is, hogy ∞ ∑ 1 1 1 1 + ⋅⋅⋅ = � = � = 1 + 1 + + + ⋅⋅⋅ + 2! 3! �! �! �=0 1 (sin �)′ = cos � és A fenti gondolatmenetből adódó állı́tás a következő tételben fogalmazható meg: (�− 3. A cos � Taylor-sorából, már a cos 2� Taylor-sorát könnyű meghatározni, csak a cos � Taylor-sorában az �-et 2�-re kell cserélni: 6. tétel Ha létezik � konstans, amellyel � és � közötti valamennyi � esetén ∣� (�+1) �3 �5 �7 �2 �4 �6 − + −+ . )′ = 1− + − −+

, 3! 5! 7! 2! 4! 6! cos 2� = 1 − (�)∣ ≤ �, akkor a Taylor-tételben szereplő �� (�) maradéktag kielégı́ti az ∣� − �∣�+1 ∣�� (�)∣ ≤ � (� + 1)! (2�)4 (2�)6 (2�)2 + − + −. 2! 4! 6! 4. Határozzuk meg az � (�) = (1+�)� Taylor-sorát, ahol � valós szám. Megoldás: Könnyen igazolható, hogy tetszőleges pozitı́v egész � esetén egyenlőtlenséget. Amennyiben ez a feltétel teljesül minden �-re, akkor � (�) Taylor-sora � (�)-et állı́tja elő. � (�) (�) = �(� − 1) . (� − � + 1)(1 + �)�−� , ezért Példa: � (�) (0) = �(� − 1) . (� − � + 1), 1. Minden valós � esetén ahonnan a Taylor sor �5 �7 �3 − + − +. sin � = � − 3! 5! 7! 1 + �� + Megoldás: Legyen � (�) = sin � ⇒ � (0) = 0 � ′ (�) = cos � ⇒ � ′ (0) = 1 � ′′ (�) = − sin � ⇒ � (0) = −1 � (4)

(�) = sin � ⇒ � (4) (0) = 0 � (5) (�) = cos � ⇒ � (5) (0) = 1 � (�) = − cos � �(� − 1) . (� − � + 1) � � + . �! Ha � nemnegatı́v egész, akkor a Taylor-sor � + 1 darab nemnulla tagot tartalmaz és binomiális tételt kapjuk vissza. ⇒ � ′′ (0) = 0 ′′′ Ha � nem nemnegatı́v egész, akkor végtelen sok tagja van a Taylor-sornak. Igazolható, hogy ∣�∣ < 1 esetén konvergens a sor és előállı́tja (1 + �)� -et. ′′′ Alkalmazások: stb. Innen a Taylor sor: �− �(� − 1) 2 � + ⋅⋅⋅+ 2 1. Határozza meg 10−3 pontossággal az ∫1 2 �−� �� 0 �3 �5 �7 − + − +. 3! 5! 7! határozott integrált! Megoldás: Az �� Taylor sorából kapjuk, hogy Mivel 2 �−� = 1 − �2 + � (�+1) (�) = ± sin � vagy ± cos �, �4 �6 �8 − + − +., 2! 3! 4! ezért ezért ∫1 ∣� (�+1) (�)∣ ≤ 1, � ami

bizonyı́tja az állı́tást. 0 6 −�2 ∫1 �� = 0 1−�2 + �4 �6 �8 �10 − + − +− . �� = 2! 3! 4! 5! �3 �5 �7 �9 �11 + − + − + − . ]10 = 3 10 42 216 1320 1 1 1 1 1 1− + − + − + −., 3 10 42 216 1320 ahonnan kapjuk, hogy egy megfelelő közelı́tés a [� − 1− 1 1 1 1 + − + . 3 10 42 216 (Valójában a hibát pontosan meg kellene becsülni de ez a következő két tagra ránézve hihető.) 2. Határozza meg a lim �0 sin � − � �3 határértéket! Megoldás: Mivel sin � = � − �3 �5 �7 + − + −., 3! 5! 7! ezért ( lim �0 sin � − � = lim �0 �3 3 lim �0 lim − �0 �− − �3! + �3 3! + �5 5! − �7 7! ) + −. − � �3 �5 5! = 7 − �7! + − . = �3 1 �2 �4 1 + − + −⋅⋅⋅ = − . 3! 5! 7! 6 7