Matematika | Felsőoktatás » Gazdasági matematika gyakorló feladatsor

Gazdasági matematika gyakorló feladatsor TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK . 1 I. HALMAZELMÉLET . 2 MEGOLDÁSOK A HALMAZELMÉLETHEZ . 2 II. FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK . 2 MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAKHOZ . 3 III. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK . 4 MEGOLDÁSOK A PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOKHOZ . 4 IV. SOROZATOK. 5 MEGOLDÁSOK A SOROZATOKHOZ . 5 V. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA . 6 MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGÁHOZ . 6 VI. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS . 7 MEGOLDÁSOK A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSHOZ . 7 VII. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK . 7 MEGOLDÁSOK A KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEKHEZ . 7 VIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS . 7 MEGOLDÁSOK AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁSHOZ . 8 IX. LINEÁRIS ALGEBRA . 9 MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS ALGEBRÁHOZ . 10 X. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS . 12 MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSHOZ. 12 - 1 - Feladatok I. HALMAZELMÉLET 1. Legyen H = {x ∈ Z | −6 ≤ x ≤ 10} Valamint A = {x ∈ H | x páros} , B = {x

∈ H | x prímszám} és C = {x ∈ H | x < 5} . Szemléltesse ezeket a halmazokat Venn diagramon! Határozza meg a következő halmazok elemeit: A − B ; ( A ∪ B ) − C ; ( A ∩ C ) ∪ (B − C ) ; (B − A) ∪ C . Írjon fel halmazműveletek segítségével 1, 2, 3, 4 és 5 elemű halmazokat! 2. Legyen A= (-2,5] , B = [-7,1] és C= (0,2) Szemléltessük ezeket a halmazokat számegyenesen, majd határozzuk meg a következő halmazokat: A − B; A − C; A − C; A ∩ B ∩ C; A − (B ∪ C) MEGOLDÁSOK A HALMAZELMÉLETHEZ A − B = {−6,−4,−2,0,4,6,8,10} ; ( A ∪ B ) − C = {−6,5,6,7,8,10} 1. 2. ( A ∩ C ) ∪ (B − C ) = {−4,−2,0,2,4,5,7} ; (B − A) ∪ C = {−6,−5,6,8,9,10} 1 = A ∩ B ∩ C = (B ∩ C ) − A ; 2 = B − ( A ∪ C ) = A ∪ B ∪ C ; 3 = C − ( A ∪ B ) 4 = A − (B ∪ C ) = ( A ∩ C ) − B ; 5 = A ∩ C A − B = (1,5]; A − C = (−2,1] ∪ [2,5]; A ∩ B ∩ C = (−2,0]; A − C = (−∞,−2] ∪ (1,2) ∪ (5,

∞) A − ( B ∪ C ) = [2,5] II. FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK 1. Elemi függvények transzformációival ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben a következő függvényeket, majd határozza meg a tengelyekkel alkotott metszéspontokat: 4 f ( x) = 3 x − 5, g ( x) = − x + 4, h( x) = x 2 + 5 x + 6, i ( x) = −2 x 2 + 6 x − 2 3 3x + 2 j ( x) = − x + 3 + 5, k ( x) = , l ( x) = 6 − x − 3, m( x) = 2 x −1 − 5 x −1 2. Határozza meg az alábbi függvény értékkészletét és inverz függvényét, majd ábrázolja mindkét függvényt közös koordináta-rendszerben: D f = [3,6], f ( x) = 2 x −3 − 1 - 2 - MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAKHOZ 1. 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 -10 -8 -6 -4 -2 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -10 -10 0 2 4 6 8 10 Metszéspontok: 5  f ( x) :  ,0  és (0,−5), g ( x) : (3,0 ) és (0,4 ), h( x) = ( x + 3) ⋅ ( x + 2) : (− 3,0 ); (− 2,0 ) és

(0,6 ), 3  2 3 5 3+ 5  3− 5   i( x) = −2 x −  + :  ,0 ;  ,0  és (0,−2 ), j ( x) : (− 8,0 ); (2,0 ) és (0,2 ), 2 2  2 2    9 5  2   k ( x) = 3 + :  − ,0  és (0,−2 ), l ( x) : (− 3,0 ) és 0, 6 − 3 , m( x) : (1 + log 2 5,0 ) és  0,−  x −1  3  2  ( 2. R f = [0,7], f −1 ) ( x) = log 2 ( x + 1) + 3 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 0 2 4 -2 - 3 - 6 8 III. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK 1. 2001 május 1-én 280 000 Ft-ot helyezünk el egy bankban évi 7,8 % -os kamatozás mellett. Mennyi lesz a követelésünk a) 2001 október 1-én, b) 2002 május 1-én, c) 2006. július 1-én? 2. Hány évig kell minden év elején 50000 Ft-ot elhelyezni a bankban 8,3 %-os kamatozás mellett ahhoz, hogy végül 1000000 Ft-ot vehessünk ki? 3. Mekkora összeget vehetünk ki a bankból a 8 év végén, ha minden hó elején 5000 Ft-ot elhelyezünk és a kamatláb az első

5 évben 6%, majd 7%? 4. Mekkora lesz a havi törlesztő részlet, ha 2000000 Ft kölcsönt vettünk fel 6%-os kamatra és 10 évre? 5. Március 1-én felveszünk 750000 F t kölcsönt 14%-os kamatra, amit augusztus 1-től 4 havi egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni. Mekkora legyen ez a havi törlesztő részlet? MEGOLDÁSOK A PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOKHOZ 1. 5  a ) T = 280000 ⋅ 1 + 0,078 ⋅  = 289100 12   8  4  b) T = 280000 ⋅ 1 + 0,078 ⋅  ⋅ 1 + 0,078 ⋅  ≈ 302219 12   12   8 6   c) T = 280000 ⋅ 1 + 0,078 ⋅  ⋅ 1,078 4 ⋅ 1 + 0,078 ⋅  ≈ 413299 12  12    1,083 n − 1 lg 2,533 2. 1000000 = 50000 ⋅ 1,083 ⋅ ⇒ 2,533 ≈ 1,083 n ⇒ n ≈ ≈ 11,7 . 1,083 − 1 lg 1,083 Tehát 11 évig, a 12. év elején már kevesebb összeget kell betenni 3. 13 ⋅ 0,06  1,065 − 1  S5havi = 5000 ⋅ 12 + ≈ 349217,909 ⋅ 2  1,06 − 1  13 ⋅ 0,07  1,07 3

− 1  S3havi = 5000 ⋅ 12 + ≈ 200208 ⋅ 2  1,07 − 1  4. 5. S = S5havi ⋅1,07 3 + S3havi ≈ 628015 11⋅ 0,06  1,0610 − 1  0 = 2000000 ⋅1,0610 − H ⋅ 12 + ⋅ 2  1,06 − 1  H ⋅162,519 = 3581695,393 H = 22039 - 4 - 8 3 2 1     750000 ⋅ 1 + 0,14 ⋅  = H ⋅ 1 + 0,14 ⋅  + H ⋅ 1 + 0,14 ⋅  + H ⋅ 1 + 0,14 ⋅  + H 12  12  12  12      6  820000 = H ⋅  4 + 0,14 ⋅  12   820000 = H ⋅ 4,07 201474 = H IV. SOROZATOK 1. Határozza meg az alábbi sorozatok határértéket ismert sorozatok és határértékre vonatkozó tételek alapján: a) a n = d) dn = 3n 5 + 2n 3 − 1 − 2n 6 − 4n 2 + 5n 3 n2 +1 + n 5 n2 + n − 2 b) bn = − 4n 3 + 2n 2 + n 3n 3 − 2n 2 + 3 n+6 e) e n =   n+ 2 c) c n = − 2n 4 + 3n 3 + 4 5n 3 + 2 4 n +3 MEGOLDÁSOK A SOROZATOKHOZ 3 2 1 + 3− 6 3n 5 + 2n 3 − 1 n 0 =0 = n n a)

a n = 6 2 4 5 −2 − 2n − 4n + 5n −2− 4 + 5 n n 2 1 −4+ + 2 − 4n 3 + 2n 2 + n n n −4 = −4 = 1. b) bn = 3 2 2 3 3 3 3n − 2n + 3 3− + 3 n n 4 − 2n + 3 + 3 4 3 − 2n + 3n + 4 n − ∞ = −∞ = c) c n = 3 2 5 5n + 2 5+ 3 n - 5 - 1  1 1 3 3  + 3  +1 2 3 n +1 + n 1 n n  = = d) dn = 1 5 n2 + n 2 5 n2 + n − 2  1 2 2 5 − 5 1 − + 2   n n n  n n2 +1 +1 n3 n+6 e) e n =   n+ 2 4 n +3 n+2   4      1    = 1 + n+2      4     n+ 2+ 4 =   n+2  ( 4 n + 3 )⋅4 n+2 4 n +3 4   = 1 +   n+ 2 n+2   4      1    = 1 + n+2      4     4 n +3     1  = 1 + n+2    4   4 n +3 = 16 n +12 n+2 e16 V. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA 1. Határozza meg az alábbi

függvényhatárértékeket ismert függvények és határértékre vonatkozó tételek alapján: 2x3 − 2x + 3  x + 3 b) lim  x ∞ − 7 x 3 − 2 x ∞ x − 1   x+2 a ) lim x 2 − 5x + 6 x −3 x2 − 9 c) lim MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGÁHOZ 2 3 + 3 2 2x − 2x + 3 x x = 2 =−2 a ) lim = lim x ∞ − 7 x 3 − 2 x ∞ 2 7 −7 −7− 3 x 2− 3  x + 3 b) lim  x ∞ x − 1   x+2  x −1+ 4  = lim  x ∞  x −1  x+2 4   = lim1 +  x ∞ x −1  ( x + 2 )⋅4 x+2    1  = lim1 + x ∞ x −1    4   4 x +8 x+2 = x −1 x −1  x −1   x −1  4 4             1 1       1. = lim1 + e4 = lim1 +   x ∞ x ∞ x −1  x −1           4   4          2 (x − 2) ⋅ (x − 3)

= lim x − 2 = nincs, csak külön jobboldali és x − 5x + 6 = lim c) lim 2 x −3 x −3 ( x + 3) ⋅ ( x − 3) x −3 x + 3 x −9 x 2 − 5x + 6 = −∞; x −3+ 0 x2 − 9 baloldali határérték : lim - 6 - x 2 − 5x + 6 =∞ x −3− 0 x2 − 9 lim VI. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS 1. Határozza meg az alábbi függvények első derivált függvényét: x2 sin x − + log 5 8 − 2 log 3 x b) g ( x) = 3 3 4 4x − 6 x x 3 2 cos( x + 2 x) d ) i ( x) = e) j ( x) = sin 10 x 4 + 3 x 2 2 x + 6x + 3 3 a) f ( x) = 6 x 2 + c) h( x) = e x ⋅ ln x MEGOLDÁSOK A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSHOZ 1. | 5 5 1 −  2  1  1  −4 3 4   = a ) f ( x) =  6 x + 3 x − x + log 5 8 − 2 log 3 x  = 12 x + 3 ⋅  −  x + 0 − 2 x ⋅ ln 3  4   5 3 − 2 = 12 x − x 4 − 4 x ⋅ ln 3 cos x ⋅ 4 x 3 − 6 − sin x ⋅ 12 x 2 b) g ( x ) = 2 4x3 − 6 ( d ) i ( x) = ( ( ) )( ) )( (x c) h ( x) = e x ⋅ ln x + e x ⋅ ) ( ) 1 x

− 2 sin x 3 + 2 x ⋅ 3 x 2 + 2 ⋅ x 2 + 6 x + 3 − 2 cos x 3 + 2 x ⋅ (2 x + 6) 2 e) j ( x) = cos 10 x 4 + 3 x 2 ⋅ ) + 6x + 3 1 10 x 4 + 3 x 2 ( 2 1 2 −2 ) ⋅ (40 x 3 + 6x ) VII. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MEGOLDÁSOK A KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEKHEZ VIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 1. Adjuk meg a következő határozatlan integrálokat: a ) ∫ 5 dx b) ∫ 34 x dx x f ) ∫ cos(4 x − 1) dx g) ∫ c) ∫ x−2 dx x+3 ln 2 x dx x h) ∫ d ) ∫ x 2 ⋅ e x dx e) ∫ sin 2 x dx x dx 1 + 3x 2. Mekkora az f (x ) = − x 2 + 8 x − 7 és g ( x) = x + 3 görbék által bezárt terület? 3. Mekkora annak a forgástestnek a t érfogata, amelyet f ( x) = x függvénygörbe [1,2] intervallum feletti ívének megforgatásakor kapunk? - 7 - MEGOLDÁSOK AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁSHOZ Alapintegrálok : a) ∫ 5 dx = 5 x + c 1. b) ∫ 3 x dx = 3∫ x x3 4 − 11 4 dx = 3 x − − 7 4 7 4 7 12 − 4 12 1 ⋅x +c = − ⋅ +c 7 7 4 x7 +c = − (x + 3)

− 5 dx = 1 − 5 dx = x − 5 ⋅ ln x + 3 + c x−2 dx = ∫ ∫ x+3 x+3 x+3 Parciális integrálás : d ) ∫ x 2 ⋅ e x dx = x 2 ⋅ e x − ∫ 2 x ⋅ e x dx = x 2 ⋅ e x − 2 x ⋅ e x − ∫ 1 ⋅ e x dx = c) ∫ ( ( ) ) = x 2 ⋅ e x − 2 x ⋅ e x − e x + c = x 2 ⋅ e x − 2 x ⋅ e x + 2e x + c e) ∫ sin 2 x dx = ∫ sin x ⋅ sin x dx = sin x ⋅ (− cos x ) − ∫ cos x ⋅ (− cos x ) dx = ( ) = − sin x ⋅ cos x + ∫ cos 2 x dx = − sin x ⋅ cos x + ∫ 1 − sin 2 x dx = − sin x ⋅ cos x + x − ∫ sin 2 x dx 1 (− sin x ⋅ cos x + x ) + c 2 1 1 Helyettesítéses integrálás : f ) ∫ cos(4 x − 1) dx = ∫ cos(4 x − 1) ⋅ 4 dx = sin (4 x − 1) + c 4 4 2 ln x 1 1 1 g) ∫ dx = ∫ 3 ln 2 x ⋅ dx = ln 3 x + c x 3 x 3 1 1 x dt 1 − h) ∫ dx Legyen : t = 1 + 3x = (1 + 3x ) 2 . Ekkor : = (1 + 3x ) 2 ⋅ 3, vagyis dx 2 1 + 3x Az áláhúzott egyenletet rendezve : ∫ sin 2 x dx = 2 1 3 (1 + 3x )− 2 dx. Valamint : t 2 = 1 + 3x,

vagyis : x = t − 1 2 3 2 1 x 2 3 2 t −1 2 2 − Tehát : ∫ dx = ∫ x ⋅ (1 + 3x ) 2 dx = ∫ dt = ∫ t 2 dt − ∫1dt = 3 2 3 3 9 9 1 + 3x dt = ( 2 t3 2 2t 3 2 2 1 + 3x = − t +c = − t +c = 9 3 9 27 9 27 ) 3 − 2 (1 + 3x ) + c 9 2. A –x2+8x-7=x+3 egyenlet megoldásai: x 1 =2, x 2 =5, tehát kiszámítandó: 12 5 8 ∫ (− x 6 5 10 2 f(x) 4 g(x) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 5 ) + 8 x − 7 dx − ∫ (x + 3) dx = 2 5  x3  x2 − x + 7 x − 10 dx = − + 7 − 10 x  = 2  3 2 ( 2 )  53   33  52 32 =  − + 7 ⋅ − 10 ⋅ 5  −  − + 7 ⋅ − 10 ⋅ 3  = 2 2  3   3  10 = = 3,3 3 2 -2 =∫ 2 9 10 -4 - 8 - 2 3. A térfogat: V = π ∫ ( ) 1 IX. LINEÁRIS 2 2  x2  3 x dx = π ∫ x dx = π   = π ≈ 4,71  2 1 2 1 2 ALGEBRA 1  6 6 − 6 0 5   2  − 2     B = 1 − 4 4 − 8 c = d = 

 . Végezze el a  3  − 4 9 3 2 4       4 0  5 − 4 7 1. Legyen: A = − 2 0 1   1 3 4 következő műveleteket: b) A 2 a ) 5c − 3d h) A ⋅ (B ⋅ d ) c) B 2 d) A⋅ B e) B ⋅ c f ) c∗ ⋅ d g) c ⋅ d ∗ i) B ∗ + c 2. Legyen: 2 − 1   x =  1  d =  5  − 2  2  1  0  1      a = 4 b = 3 c =  5  − 2 2 0  − 4 0 f =  1    2 1 − 10  − 6 − 12  g=  h= 3  9      1  8  4 3 5 1 1 1 0 − 1  A= 0 − 1 1 2   1 2 − 1 − 3 Kérdések: a) x kifejezhető-e a, b és c lineáris kombinációjaként? b) Független-e az a, b, c vektorrendszer? c) Független-e az a, b, d vektorrendszer? d) Mennyi

az f, g, h vektorrendszer rangja? e) Mennyi az A mátrix rangja? 3. Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszereket: a) − 2 x1 + x2 + x3 − x4 = 1 2 x2 − x3 + 4 x4 = 0 x1 x1 d) x 2 + 2 x3 = 0 + 2 x4 = 3 x1 − 2 x1 =2 − x3 2 x 2 − x3 − x3 =0 =2 + 3 x3 = −2 − x1 + x 2 + x3 = 2 c) 2 x 2 − x3 = 1 + 2 x4 = 3 − 2 x1 + x 2 + x3 − x 4 = 1 x1 b) 2 x 2 + x3 x1 − x 2 − x3 = 0 4 x1 + x 2 − x3 = 0 - 9 - =2 2 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 2 x4 − x5 = 4 3 x1 + 5 x2 + 4 x3 + 3 x4 − x5 = 6 − 3 x1 + 2 x 2 − 8 x3 = 0 x1 − 6 x 2 + 3 x3 = 0 e) x1 + x2 + x3 + x4 − x5 = 0 f) x1 − 4 x 2 + 6 x3 = 0 x 2 − x3 = 0 . MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS ALGEBRÁHOZ − 13  16   a) 5c − 3d =  b)  27     20   89 7 − 2 1. d ) A ⋅ B = − 3 15 2   45 − 6 20 6 12 ∗ g) c ⋅ d =  18  24 2. a) a e/ 1 c e/ 2 b e/ 3 a [1] 4 0  40 1 59  A = − 9 11 − 10 

3 8 26  2 85  − 6 − 3 −2 −4 − 4 −8 − 6 − 12 − 8 − 16 b c x 0 1 −1 3 5 1 2 −2 2 0 0 0  0 c) B 2 = nem végezhető el  14  e) B ⋅ c = − 27   37  f ) c ∗ ⋅ d = −10  528  h) A ⋅ (B ⋅ d ) = − 56  202  i ) B ∗ + c = nem végezhető el b c x b x x 0 1 −1 − 3 − 6 − 3/ 2 3 [1] 5 3 5 1/ 2 2 − 2 2 [8] 12 3 / 2 3 3 1 Tehát x kifejezhető az a, b és c lineáris kombinációjaként: x = − a + b + c 2 2 2 b) Az előző táblázat alapján megállapítható, hogy az a, b, c vektorrendszer független. c) e/ 1 e/ 2 b e/ 3 a a [1] 4 0 b d 0 2 3 5 2 −2 b d d 0 2 2 3 −3 0 [2] − 2 − 1 Az a, b, d vektorrendszer nem független. Pl: d = 2a + (−1)b d) f g e1 e2 e/ 3 e/ 4 f −4 0 [1] 2 g h 1 − 10 − 6 − 12 3 9 1 8 g h 13 26 − 6 − 12 3 9 [− 5] − 10 h 0 0 3 2 Az f, g, h vektorrendszer rangja 2. e) a1 a3 e1

e/ 2 e/ 3 e4 a1 a 2 a3 a 4 a 2 a3 a 4 a 2 a 4 5 1 4 3 −4 4 8 0 0 [1] 1 0 − 1 1 0 − 1 1 − 1 0 −1 1 2 − 1 [1] 2 − 1 2 1 2 −1 − 3 1 −1 − 2 0 0 - 10 - Az A mátrix oszloprangja, vagyis a rangja 2. 3. a) x1 x1 x2 x4 x3 [1] e/ 1 e/ 2 e/ 3 e/ 4 x2 x3 x4 0 0 2 − 2 1 1 −1 0 2 −1 4 1 0 −1 0 A megoldás egyértelmű. x2 b) x3 x1 e/1 e/ 2 e/ 3 e4 b x2 3 1 0 2 x1 x2 x3 b 0 [1] 2 0 −2 0 3 −2 −1 1 1 2 0 2 −1 1 x3 x4 b 0 0 2 3 [1] 1 3 7 2 −1 4 0 0 −1 − 2 −1 x3 x4 b 0 2 3 1 3 7 − 3 − 2 − 14 [− 1] − 2 − 1 x4 b b 2 3 34 / 4 1 6 35 / 4 [4] − 11 − 11 / 4 2 1 26 / 4 x1 x3 b x3 b b 0 2 0 2 0 12 / 5 − 2 3 − 2 [5] − 6 − 6 / 5 [− 1] − 1 2 1 − 2 − 4 / 5 0 −5 1 −5 1 −5 Tehát a b vektor előállításában a –5e 4 tag is szerepel, így nincs megoldása az egyenletrendszernek. x3 c) x1 e/ 1 e/ 2 e3 e4 x1 x 2 0 2 [1] 1 2 4 3 5 x3 1 1 3 4 x4 0 1 2 3 x5 −1 0 −1 −1 b x2 0 2 2 1 4 2 6 2 x3 x

4 [1] 0 1 1 1 0 1 0 x5 −1 0 −1 −1 b x2 x4 0 2 0 2 −1 1 0 0 0 0 0 0 x5 −1 1 0 0 b 0 2 0 0 Végtelen sok megoldás van, az általános megoldás:  x2   x3  0  2 0 − 1    x  =  2 −  − 1 1 1  ⋅  x 4   x   1     5 Pl. egy partikuláris megoldás : x 2 = x 4 = x5 = 1 esetén x3 = −1 és x1 = 1 x1 d) x 2 x3 e/ 1 e/ 2 e3 e/ 4 x1 x 2 [1] 0 −2 1 0 2 1 0 x3 x 4 b x 2 x3 x 4 b 0 2 3 0 0 2 3 1 − 1 1 [1] 1 3 7 0 −1 0 0 2 −1 0 −1 0 2 0 −1 − 2 −1 x3 x4 b x4 0 2 3 2 1 3 7 1 − 3 − 6 − 14 0 [− 1] − 2 − 1 2 b 3 6 − 11 11 Tehát a b vektor előállításában a –11e 3 tag is szerepel, így nincs megoldása az egyenletrendszernek. x1 x 2 x3 x 2 x3 x3 b x e/ 1 [1] − 6 3 − 6 3 −9/5 0 e) 1 Tehát csak a triviális megoldás létezik. x 2 e/ 2 1 − 1 − 1 [5] − 4 − 4 / 5 0 [7] 0 x3 e/ 3 4 1 − 1 25 − 13 - 11 - f) x1 x2 e/ 1 e/ 2 e/ 3 x1 x x3 x2

x3 x3 − 3 2 − 8 − 10 10 0 1 −4 6 −4 6 2 0 1 −1 1 −1 −1 b 0 0 0  x  0   2  Végtelen sok megoldás van, az általános megoldás:  1  =   −   ⋅ x3  x 2  0 − 1 Pl. egy partikuláris megoldás: x3 = 2 esetén x1 = −4 és x 2 = 2 X. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS 1. Oldja meg az alábbi lineáris programozási feladatokat: x1 + 2 x 2 ≤ 170 x1 + x 2 ≤ 150 a) x 2 ≤ 60 3000 x1 + 5000 x1 max MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSHOZ 1. a) u/ 1 u/ 2 u3 −Z Tehát x1 x2 x1 x1 x2 b u2 x2 b u2 u1 b [1] 1 2 170 −1 20 −1 1 20 [1] 1 150 1 1 150 2 −1 130 0 1 60 0 1 60 1 −1 40 3000 5000 0 − 3000 2000 − 450000 − 1000 − 2000 − 490000 = 130, x 2 = 20, Z max = 490000. - 12 -