Matematika | Felsőoktatás » Dr. Bölcsföldi József - A de Broglie hullámhossz egyenletről

A de Broglie hullámhossz-egyenletről Mint ismeretes, a de Broglie által megfogalmazott, később elektronokra a Davisson-Germer és a Jönsson kisérletekkel igazolt hullámhossz-egyenlet a következő  h mv (l) ahol h a Planck-féle állandó, v az elemi rész sebessége, szerűen a relativisztikus tömeg, azaz a hullámhossz, m pedig értelem- m0 m= ahol m 0  (2) v2 1 2 c az elemi rész nyugalmi tömege, c a fénysebesség. J. Picht l955-ben az (l)-(2) egyenletrendszer megoldásaként adódó  1  b2 h  m0  c b (3) összefüggést közli a hullámhossz számitására, ahol b= v c (4) a mozgó elemi rész sebességének és a fény sebességének viszonya. Az (l)-(2) egyenletrendszer és a (3)-(4) rendszer fizikai tartalmukat tekintve azonosak, de feladatok megoldásánál nehézkesen használhatók. Egyszerűbb kezelhetőséget biztosit az (l)-(2) egyenletrendszer alábbi megoldása. Helyettesitsük az Einstein-féle (2)

relativisztikus tömeget (l)-be. Ekkor a hullámhossz -egyenletre a következő formát kapjuk v2 h  1 2 c  m0  v  h 1 1  2  2 m0 v c azaz (5) ahol v az elemi rész sebessége, m 0 a nyugalmi tömege, c a fénysebesség, h a Planck-féle állandó,  a hullámhossz. Az (l)-(2) illetve a (3)-(4) egyenletrendszerek, valamint az (5) egyenlet egymással tartalmilag azonosak, formailag azonban (5) a legegyszerűbb, önmagában zárt megoldás. Feladatmegoldásoknál az (5) egyenlet használata ajánlatos. Példaképpen oldjuk meg a következő feladatot! Mekkora de Broglie-hullámhossz tartozik az nyugalmi tömege 9,1 10 31 5  10 7 m/s sebességű elektronhoz? Az elektron kg. a/ Megoldás az (l)-(2) egyenletrendszer alapján szükségszerűen két lépésben A (2) tömegképlet segitségével kiszámitjuk az adott sebességhez tartozó relativisztikus tömeget 9,1  10 31 kg m= 5  10 m / s 1 3  10 m / s 7

2 8 2  9,239  10 31 kg majd ennek ismeretében (1) segitségével a hullámhosszt  6,626  10 34 Js  1,432  10 11 m 7 31 9,239  10 kg  5  10 m / s b/ Megoldás az (5) egyenlet alapján egy lépésben  l997. o2 o5 6,626  10 34 Js  9,1  10 31 kg 1  1 5  10 m / s 3  10 m / s 7 2 8 2  1,432  10 11 m dr Bölcsföldi József Gábor Dénes Főiskola Siófok