Matematika | Valószínűségszámítás » PSZF Valószínűségszámítás tételek, 2005

1. Kombinatorika 1. Kombinatorika alapfogalmai Permutáció Ismétlés nélküli permutáció Definíció: Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. Az n elem permutációinak számát a Pn szimbólummal jelöljük A permutációk képzését permutálásnak nevezzük. Tétel: Az n elem permutációinak száma: Pn = n ! Ismétléses permutáció Definíció: Adott n elem, amelyek között r (r≤n) különböző található, ezek a1, a2 ar . Az a1 elem k1-szer; az a2 elem k2ször; az ar elem kr-szer fordul elő és k1+k2++kr = n Az adott n elem egy meghatározott sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A szóba jövő ( k , k ,k r ) ismétléses permutációk számát a Pn 1 2 szimbólummal jelöljük. Tétel: Rögzített n, r és k1; k2; kr esetén az ismétléses permutációk száma: n! Pn( k , k ,k ) = k1! k 2 ! k r ! Variáció Ismétlés

nélküli variáció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (k≤n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli variációját (röviden: variációját) kapjuk. Az n elem k-adosztályú variációinak számát a Vnk szimbólummal jelöljük. 1 2 r k Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú variációinak száma: Vn = n! ( n − k )! Ismétléses variáció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak számát a Vnk ( i ) szimbólummal jelöljük. Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses variációinak száma: Vnk ( i ) = n k Kombináció Ismétlés nélküli

kombináció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (0<k≤n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációját (röviden: kombinációját) kapjuk. Az n elem k-adosztályú kombinációinak számát a C kn szimbólummal jelöljük. Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú kombinációinak száma: k  n Cn =   = n!  k (nkk− )!⋅ ! Ismétléses kombináció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak számát a C kn ( i ) szimbólummal jelöljük. Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:  n + k

− 1 C kn ( i ) =   k   2. Permutáció és számosságuk Permutáció Ismétlés nélküli permutáció Definíció: Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. Az n elem permutációinak számát a Pn szimbólummal jelöljük A permutációk képzését permutálásnak nevezzük. Tétel: Az n elem permutációinak száma: Pn = n ! Ismétléses permutáció Definíció: Adott n elem, amelyek között r (r≤n) különböző található, ezek a1, a2 ar . Az a1 elem k1-szer; az a2 elem k2ször; az ar elem kr-szer fordul elő és k1+k2++kr = n Az adott n elem egy meghatározott sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A szóba jövő ( k , k ,k r ) ismétléses permutációk számát a Pn 1 2 szimbólummal jelöljük. Tétel: Rögzített n, r és k1; k2; kr esetén az ismétléses permutációk száma: n! Pn( k , k ,k ) = k1! k 2 ! k

r ! 1 2 r 3. Ismétléses és ismétlés nélküli variáció és bizonyítása Variáció Ismétlés nélküli variáció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (k≤n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli variációját (röviden: variációját) kapjuk. Az n elem k-adosztályú variációinak számát a Vnk szimbólummal jelöljük. k Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú variációinak száma: Vn = n! ( n − k )! Ismétléses variáció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak számát a Vnk ( i ) szimbólummal jelöljük. Tétel: Az n különböző elem

k-adosztályú ismétléses variációinak száma: Vnk ( i ) = n k 4. Kombináció fogalma és bizonyítása Kombináció Ismétlés nélküli kombináció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (0<k≤n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációját (röviden: kombinációját) kapjuk. Az n elem k-adosztályú kombinációinak számát a C kn szimbólummal jelöljük. Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú kombinációinak száma: k n n! Cn =   =  k (nkk− )!⋅ ! Ismétléses kombináció Definíció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak

számát a C kn ( i ) szimbólummal jelöljük. Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:  n + k − 1 C kn ( i ) =   k   5. Binomiális tétel és igazolása Binomiális tétel Tétel: Tetszőleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nemnegatív egész kitevőjű hatványa polinommá alakítható a következő módon: n n −nn 1  n −1 nn −nnk (a+b)=a+ b+ ab+ =∑  ab 0 −n11  n=k0k ( n ∈ N ; a, b R ) n Az  n   k szimbólumot binomiális együtthatónak nevezzük. 6. Pascal háromszög, binomiális együtthatók tulajdonságának (szimmetria, összeg) igazolása A binomiális együtthatók néhány tulajdonsága A binomiális együtthatókat az ún. Pascal-háromszögben helyezhetjük el Tétel: Bármely k, n ∈ N és 0≤k≤n esetén fennáll a a) szimmetriatulajdonság  n  n   =

  k  nk−  b) összegtulajdonság n  n n+1  + =  k k+1 k+1 c) n   n  n + =2 0  1 2  n  2. Eseményalgebra 7. Eseménytér – elemi és összetett események, teljes eseményrendszer Az eseményalgebra és azonosságai Eseményalgebra Alapfogalmak Definíció: Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmazát eseménytérnek nevezzük és H-val jelöljük. Definíció: A H eseménytér egy tetszőleges részhalmazát véletlen eseménynek (röviden: eseménynek) nevezzük. A H eseménytér egyelemű részhalmazait elemi eseményeknek hívjuk. A H halmazt, mint eseményt biztos eseménynek nevezzük. Az üres halmazt, mint eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük. Definíció: Azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha valahányszor A bekövetkezik, bekövetkezik B is. Ezt a tényt az A ⊂ B szimbólummal jelöljük Műveletek

eseményekkel Ellentétes esemény (komplementer) Definíció: Az A ⊂ H esemény ellentétes eseményének (komplementerének) nevezzük azt az A szimbólummal jelölt eseményt, amely akkor következik be, ha A nem következik be és A ⊂ H. Események összege (egyesítése) Definíció: Ha A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének nevezzük és az A∪B szimbólummal jelöljük. Események szorzata (metszete, közös része) Definíció: Ha A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A és B esemény egyszerre (egyidejűleg) bekövetkezik, a két esemény szorzatának nevezzük és az A ∩ B szimbólummal jelöljük. Definíció: A H eseménytér tetszőleges A és B eseményét egymást kizáró eseményeknek nevezzük, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz ha A ∩ B = ∅ Események különbsége (kivonása) Definíció: Ha

A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A esemény bekövetkezik, de a B nem, a két esemény különbségének nevezzük és az AB szimbólummal jelöljük. A különbség két esemény szorzataként is felírható: AB= A∩ B Teljes eseményrendszer Definíció: Egy kísérlettel kapcsolatos B1, B2 Bn események (amelyek közül egyik sem lehetetlen esemény) teljes eseményrendszert alkotnak, ha a) egymást páronként kizáró események b) összegük a biztos esemény Más szóval, ha a) Bi ∩ Bj = ∅ (i≠j és i,j = 1,2n) b) B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bn = H Összetett események Definíció: Minden A eseményt felbonthatunk két esemény összegére a következő módon: A = A ∪ A illetve A = A ∪ ∅ Ezt a felbontást triviális (nem valódi) felbontásnak nevezzük. Definíció: Egy eseményt összetett eseménynek nevezünk, ha előállítható - a triviális felbontástól eltérően - két esemény összegeként. Az eseményekre

vonatkozó fontosabb azonosságok Definíció: Tetszőleges A, B, C ⊂ H eseményekre fennállnak a következő összefüggések: 1. A∪ A= A 2. A∪ B = B ∪ A A∩ A= A A∩ B = B ∩ A A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C 4. A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C 5. A∪ A= H A∩ A= ∅ 6. A∪ H = H A∩ H = A 7. A∪ ∅ = A A∩ ∅ = ∅ 3. A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) 1. ⇒ idempotencia, 2 ⇒ kommutativitás, 3 ⇒ asszociativitás, 4 ⇒ disztributivitás Ezért az események a műveleti definíciókkal együtt Boole-algebrát alkotnak. Tétel: Tetszőleges A, B ⊂ H eseményekre fennállnak a következő összefüggések: 1. 2. A∪ B= A∩ B A∩ B= A∪ B A ∪ ( A ∩ B) = A A ∩ ( A ∪ B) = A (De-Morgan egyenlőségek) (Beolvasztási szabályok) Az eseményalgebra fogalma Ha egy eseményrendszer mint halmazrendszer kielégíti a halmazalgebra feltételeit, akkor

eseményalgebráról beszélünk. 3. A valószínűségszámítás elemei 8. Relatív gyakoriság és valószínűség foglama Valószínűségszámítás axiómái A valószínűség fogalma Definíció: Ha egy kísérletet azonos körülmények között n-szer, egymástól függetlenül végrehajtunk, n hosszúságú kísérletsorozatról beszélünk. Tegyük fel, hogy a megfigyelt A esemény az n kísérletből kA-szor következett be! Ekkor a kA számot az A esemény gyakoriságának; a kA hányadost pedig az A esemény relatív gyakoriságának n nevezzük. Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikus ingadozást mutat, az illető esemény valószínűségének nevezzük. A valószínűség axiómái Adott H eseménytér minden A ⊂ H eseményéhez hozzárendelt P(A) valós szám eleget tesz a következő axiómáknak: I. Minden A esemény valószínűségére teljesül a 0 ≤ P(A) összefüggés II. A biztos esemény

valószínűsége 1, azaz P(H) = 1 III. Ha A és B egymást kizáró események, azaz A∩B=∅, akkor P(A∪B) = P(A) + P(B) 9. Valószínűségszámítás tételei: lehetetlen esemény, ellentett esemény, két esemény összegének és különbségének valószínűségének bizonyítása. Az üres halmazt, mint eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük. Valószínűségszámítási tételek Tétel: Ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor az A ellentétes esemény valószínűsége P(A ) = 1 − P( A ) Tétel: Ha az A1, A2, An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P ( A1 ) + P ( A2 ) +  P ( An ) = 1 Tétel: Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor annak a valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik: P( A ∪ B) = P(A ) + P( B) − P( A ∩ B) PBA( ) = PB( ) − PA( ) Tétel: Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, azaz A⊂B fennáll, akkor 10. Mintavétel típusai, kapcsolatuk a hipergeometriai és

binomiális eloszlással A valószínűségek klasszikus kombinatorikus kiszámítási módja Tétel: Legyen a H eseménytér elemi eseményeinek száma n és tegyük fel, hogy mindegyik egyenlő valószínűséggel k következik be. Ha egy A esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor P( A ) = (klasszikus n képlet) Visszatevéses mintavétel: annak a valószínűsége, hogy az N elemű halmazból, - amelyben N db megjelölt minta van - n elemű mintát visszatevéssel kihúzva, abban pontosan k db jelölt elem van:  n M ( N − M) PA( k) =   n  k N k nk− ha bevezetjük a p = M N− M és q = jelöléseket: N N  n k nk− PA( k) =   pq  k (k=0,1,2,n) ez a Bernoulli-képlet Visszatevés nélküli mintavétel: annak a valószínűsége, hogy az N elemű halmazból, - amelyben N db megjelölt minta van - n elemű mintát visszatevés nélkül kihúzva, abban pontosan k db jelölt elem van: P( A k )  M 

N − M      k n− k  =  N    n k = 0,1,K n n ≤ min( M , N − M ) 11. Feltételes valószínűség fogalma, szorzási szabály, események függetlensége, kísérletek függetlensége, Feltételes valószínűség és események függetlensége A feltételes valószínűség fogalma Definíció: Ha az A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)≠0, akkor a ( ) P AB = P( A ∩ B) P( B) hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük. A valószínűségek szorzási szabálya Tétel: Ha A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)≠0, akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének és a B esemény valószínűségének szorzatával, azaz ( ) P( A ∩ B) = P A B ⋅ P ( B) P ( B) ≠ 0 Ha az A és B szerepet cserél és P(A)≠0, akkor ( ) P BA = P( A ∩ B) P( A ) (

alapján ) P( A ∩ B) = P B A ⋅ P( A ) P(A ) ≠ 0 Események függetlensége Definíció: Legyen A és B a H eseménytér két eseménye. Az A és B eseményeket egymástól függetlennek (vagy sztochasztikusan függetlennek) nevezzük, ha P(A ∩ B) = P(A ) P( B) azaz akkor, ha A és B együttes bekövetkezésének valószínűsége az A és a B események valószínűségének szorzata. Tétel: Ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B , A és B , A és B események is függetlenek. Definíció: Egy H eseménytér A, B és C eseményét teljesen függetleneknek nevezzük, ha a következő összefüggések mindegyike teljesül: P( A ∩ B) = P ( A ) P ( B) P( A ∩ C) = P ( A ) P ( C) P( B ∩ C) = P( B) P( C) P( A ∩ B ∩ C) = P( A ) P( B) P ( C) Többszörös és ismételt kísérletek Független kísérletek Definíció: Tekintsünk n számú kísérletet. Ha az első kísérletnél az A 1 esemény előfordulásának valószínűsége P(A 1), a

második kísérletnél az A2 esemény előfordulásának valószínűsége P(A2) stb., az n-edik kísérletnél az An esemény előfordulásának valószínűsége P(An) és annak a valószínűsége, hogy az elsőnél A1, a másodiknál A2 stb., az n-ediknél az An esemény következik be, egyenlő az egyes valószínűségek szorzatával, azaz P(A 1 ∩ A2 ∩ ∩ An) = P(A1)P(A2) P(An) minden A1, A2An esetén, akkor a kísérleteket független kísérleteknek nevezzük. A függetlenül megismételt kísérletek sorozatát Bernoulli-kísérletsorozatnak nevezzük, ha az egyes kísérleteknek két lehetséges kimenetele van, az A és az A . Tétel: Annak a valószínűsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be:  n k nk− Pk =   pq  k ahol p= P (A ) és q=1-p= P(A ) Nem független kísérletek Ha a kísérletek kimenetelei hatással vannak egymásra, nem független kísérletekről

beszélünk. Ekkor a feltételes valószínűségek általános szorzási szabályát kell alkalmazni. 12. Teljes valószínűség, Bayes tétele és bizonyítása Teljes valószínűség tétele: Ha a H eseménytér B1, B2, Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(B k)>0 (k=1,2n), akkor bármely a H-hoz tartozó A esemény valószínűsége: P( A ) = n ∑ P ( A B k ) ⋅ P( B k ) k= 1 Bayes-tétel: Ha a H eseménytér B1, B2, Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(B k)>0 (k=1,2n), akkor bármely a H-hoz tartozó, pozitív valószínűségű A eseményre igaz, hogy P ( Bk A) = P ( A Bk ) ⋅ P ( Bk ) n ∑ P( A B ) ⋅ P( B ) i= 1 i ( k = 1,2, n ) i 13. Bernoulli kísérletsor A függetlenül megismételt kísérletek sorozatát Bernoulli-kísérletsorozatnak nevezzük, ha az egyes kísérleteknek két lehetséges kimenetele van, az A és az A . Tétel: Annak a valószínűsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n

hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be:  n k nk− Pk =   pq  k ahol p= P (A ) és q=1-p= P(A ) 4. A valószínűségi változó 14. A valószínűségi változó és típusai, eloszlásfüggvény és tulajdonságai, eloszlás fogalma Valószínűségi változó A valószínűségi változó fogalma Definíció: Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű ξ függvényt, vagyis minden h kimenetelhez rendeljünk egy ξ(h) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük A valószínűségi változó típusai Definíció: Ha ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges vagy megszámlálhatóan végtelen (a pozitív egész számoknak megfelelő sorrendbe szedhető), akkor diszkrét vagy más szóval diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk. Definíció: Ha ξ lehetséges értékei x1, x2, akkor a P(ξ=x1),

P(ξ=x2) valószínűségek halmazát a ξ valószínűségi változó valószínűségeloszlásának nevezzük. Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai Definíció: Legyen ξ valamely kísérlethez tartozó valószínűségi változó és F a valós számok halmazán értelmezett függvény, amely valamely x valós számhoz a ξ<x esemény bekövetkezésének valószínűségét rendeli: F:F(x) = P (ξ<x) Az F függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Definíció: A ξ valószínűségi változót folytonosnak vagy folytonos eloszlásúnak nevezzük, ha van olyan, véges számú pont kivételével folytonos f függvény, amelyre x F( x) = ∫ f ( t )dt −∞ Tétel: Ha F a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor P (a≤ξ<b) = F(b) - F(a) Tétel: Ha F eloszlásfüggvény, akkor a) F (tágabb értelemben) monoton növekedő F(x) = 1 b) lim ∞ lim F(x) = 0 −∞ c) F balról folytonos, azaz lim F(x) = F(a)

a− 0 Tétel: Ha valamely F függvény eleget tesz az előző tételben felsorolt tulajdonságoknak, akkor tekinthető egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének. Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye folytonos az x 0 pontban, akkor P (ξ=x0) = 0 15. Sűrűségfüggvény és tulajdonságai A sűrűségfüggvény és tulajdonságai Definíció: Ha a ξ folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor az f: f(x) = F’(x) függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. Tétel: Ha valamely ξ folytonos valószínűségi változónak f a sűrűségfüggvénye, akkor a) f(x) ≥ 0, x∈Df ∞ b) ∫ f ( x)dx = 1 −∞ x c) ∫ f (t )dt = F ( x ) ,x∈ R −∞ b d) ∫ f ( x )dx = P (a ≤ ξ < b) P (a≤ξ<b) a Tétel: Ha valamely f, legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos függvény rendelkezik az előző tételbeli a) és b) tulajdonságokkal, akkor egy folytonos

valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető. 16. Valószínűségi változó néhány jellemzője Me, Mo, kvartilis, M(ξ), várható értékre vonatkozó tételek A valószínűségi változó néhány jellemzője Definíció: Valamely ξ valószínűségi változó mediánja, med (ξ) az a valós szám, amelyre P( ξ < med( ξ ) ) ≤ 1 és 2 P( ξ ≤ med( ξ ) ) ≥ P( ξ < med( ξ ) ) = F( med( ξ ) ) = 1 ha ξ diszkrét; 2 1 ha ξ folytonos 2 Definíció: Ha a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket ξ móduszának nevezzük. Folytonos sűrűségfüggvény esetén ξ módusza a sűrűségfüggvény maximumhelye. A módusz jele: mod (ξ) Definíció: Legyen 0<q<1. Azt az xq számot, amely eleget tesz diszkrét eloszlás esetén a P( ξ < x q ) ≤ q P( ξ ≤ x q ) ≥ q egyenlőtlenségeknek, folytonos

eloszlás esetén az ( ) ( ) F xq = P ξ < xq = q egyenletnek, a ξ valószínűségi változó q-kvantilisének nevezzük. Várható érték A ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek x 1, x2 akkor ξ várható értékének az M ( ξ ) = ∑ P( ξ = x i ) ⋅ x i = ∑ p i x i összeget nevezzük, i i ha ξ folytonos valószínűségi változó és sűrűségfüggvénye f, akkor a ξ várható értéke ∞ ∫ x ⋅ f ( x)dx M(ξ ) = −∞ Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor M(c) = c Ha M(ξ) létezik, akkor létezik M(cξ) is és M(cξ) = c⋅M(ξ) Tétel: Legyen n pozitív egész. Ha a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2 akkor ∑ P( ξ M(ξ n ) = i = x i ) ⋅ x in = ∑ p i x in (ha létezik) i Ha ξ folytonos f sűrűségfüggvénnyel, akkor ∞ n M(ξ ) = ∫x n ⋅ f ( x)dx (ha létezik) −∞ Az ( ) M ξn számot ξ n-edik momentumának nevezzük. Tétel:

Ha p n ( x) = a n x n + a n− 1x n − 1 + K+ a 1 x + a 0 tetszőleges polinom, akkor M ( pn (ξ )) = a n M (ξ n )+ a n− 1 M (ξ n− 1 ) +  + a M (ξ ) + a 17. Szórás fogalma, szórás tételek igazolása 1 0 Szórás Definíció: Ha a ξ-M(ξ) valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor ezt ξ szórásnégyzetének nevezzük: 2 D 2 ( ξ ) = M [ ξ − M( ξ ) ]    Ennek négyzetgyöke 2  [ ξ − M( ξ ) ]   D( ξ ) = M   a ξ valószínűségi változó szórása. Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor D 2 ( ξ ) = M( ξ 2 ) − M 2 ( ξ ) (vagyis ξ második momentumából ki kell vonni az első momentum négyzetét) Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó szórása létezik, akkor tetszés szerinti a és b valós számok esetén D 2 ( aξ + b ) = a 2 D 2 ( ξ ) 18. Markov és Csebisev egyenlőtlenség igazolása Markov- és

Csebisev-egyenlőtlenség Tétel:Markov-egyenlőtlenség: Legyen η olyan nemnegatív valószínűségi változó, amelynek létezik várható értéke (M(η)>0) és legyen t tetszőleges pozitív valós szám. Ekkor 1 P( η ≥ t ⋅ M( η ) ) ≤ t Az a = tM(η) jelölést bevezetve a tétel más, ezzel ekvivalens alakban is felírható; tetszőleges a>0 -ra M( η ) P( η ≥ a ) ≤ a Tétel:Csebisev-egyenlőtlenség: Legyen ξ olyan valószínűségi változó, amelynek létezik a várható értéke és a szórása. Ekkor tetszőleges t>0 esetén 1 P ξ − M( ξ ) ≥ tD( ξ ) ≤ 2 D( ξ ) > 0 t ( ) 5. Valószínűségeloszlások 19. Nevezetes diszkrét eloszlások és paramétereik jellemzése (bizonyítás nem) Diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás (háttér: ismételt kísérlet, kockadobás, visszatevéses mintavétel)  n k − kn P(ξ = k) =   p (1− p)  k aholn∈ N, p∈ R 0 p≤≤ 1,k = 0,1 . n M (ξ )= np D (ξ )=

npq ( q = 1 − p ) A hipergeometrikus eloszlás (háttér: visszatevés nélküli mintavétel) Definíció: Az alábbi képlettel jellemzett eloszlást hipergeometrikus eloszlásnak nevezzük  M   N − M     k n− k  p k = P( ξ = k ) =  N    k (k=0,1,2n) ha az n, M, N pozitív egész számokra fennáll: n ≤M≤N A hipergeometrikus és binomiális eloszlás közti összefüggés M = p hányados állandó marad, valamint n és k Tétel: Ha N és M úgy tartanak a végtelenbe, hogy közben az N rögzített számok, akkor  M  N − M     k n− k   n n− k lim =   p k ⋅ ( 1 − p) M ,N ∞ N k        n Tétel: A ξ hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása M( ξ ) = np D 2 ( ξ ) = npq ⋅ N− n N−1 Tétel:  M  N − M      n   k  n − k  = 1 ∑

N k= 0    k Karakterisztikus eloszlás (háttér: bekövetkezik-e A esemény vagy sem) P (ξ = 1) = p M (ξ ) = p P (ξ = 0 ) = 1 − D p (ξ,0) ≤= p pq ≤1  1, ha A ξ=  0, ha A Geometriai eloszlás (háttér: első bekövetkezés, ismételek egy kísérletet és figyelek egy A eseményt, P(A)=p. Mikor következik be először az A esemény?) végtelen eloszlás P (ξ = k ) = (1 − p ) k − 1 ⋅ p1 M (ξ ) = p 0 ≤ p ≤ 1, k = 1,2. D (ξ ) = q p Poisson eloszlás (háttér: intervallumba esések számának valószínűsége, intervallum: idő, hossz, terület stb) végtelen eloszlás λ kM(−ξλ) = λ P (ξ = k ) = e k!D( ξ ) = λ ahol λ ∈ R + , k = 0,1,2. 20. Diszkrét egyenletes és geometriai eloszlás (kritérium, várható érték, szórás) Az egyenletes eloszlás Definíció: Ha a ξ lehetséges értékei az x1, x2 xn számok, akkor a 1 P (ξ = x i ) = i = 1,2, n n valószínűségeloszlást egyenletes eloszlásnak

nevezzük. Tétel: A ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása 1 n M( ξ ) = ∑ x i n i= 1 1 n  1 n D ( ξ ) = ∑ x i2 −  ∑ x i  n i= 1  n i= 1  2 2 A geometriai eloszlás Definíció: A ξ valószínűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értékei az 1,2n, természetes számok és annak a valószínűsége, hogy a ξ a k értéket veszi fel: p k = P( ξ = k ) = q k − 1 ⋅ p ahol 0<p<1; q = 1-p és k=1,2,n Tétel: A ξ geometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása M( ξ ) = 1 p D( ξ ) = q p 21. Binomiális eloszlás és jellemzői, binomiális és poisson közötti kapcsolat igazolása A binomiális eloszlás Definíció: A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha a ξ lehetséges értékei 0,1,2n és  n k n− k P( ξ = k) =   pq  k ahol 0<p<1; k=0,1,n és q = 1-p Tétel: A ξ

binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása M( ξ ) = np D( ξ ) = npq A binomiális és Poisson közti kapcsolat igazolása Tétel: k n k n−k λ −λ lim   p q = e n ∞  k k! ha n ∞ esetén p 0 úgy, hogy közben az np szorzat állandó érték maradjon: np = λ>0 22. Poisson eloszlás és jellemző adatai A Poisson-eloszlás Definíció: A ξ valószínűségi változó Poisson-eloszlású, ha lehetséges értékei a 0,1,2n, számok és valószínűségeloszlása: p k = P( ξ = k ) = λk −λ e k! ahol λ>0 és k=0,1,n Tétel: A képlet valóban valószínűségi eloszlást határoz meg. Tétel: A ξ Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása M( ξ ) = λ D( ξ ) = λ 23. Geometriai eloszlás fogalma, klasszikus valószínűségi mező A geometriai eloszlás Definíció: A ξ valószínűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értékei az

1,2n, természetes számok és annak a valószínűsége, hogy a ξ a k értéket veszi fel: p k = P( ξ = k ) = q k − 1 ⋅ p ahol 0<p<1; q = 1-p és k=1,2,n Tétel: A ξ geometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása ∞ 1 M (ξ ) = ∑ k ⋅ p ⋅ q k − 1 = p k=1 D (ξ ) = q p 24. Nevezetes folytonos eloszlások és paramétereik jellemzése (bizonyítás nem) Exponenciális eloszlás  0 , xF< :0F (x) =  0 , x < 0 f : f ( x ) =  -λ x 1 − e-λ x , 0 ≤ x  λ ⋅ e ,0≤ x λ ∈ R+ 1 λ Örökifjú tulajdonság ξ exponenciális eloszlású v. v P (ξ ≥ x + y | ξ ≥ y ) = P (ξ ≥ x ) P (ξ < x + y | ξ ≥ y ) = P (ξ < x ) Egyenletes eloszlás M( ξ ) = D( ξ ) =   f (x) =    0 , x≤ a  0 , x≤ a  x - a 1 , a < Fx(x< )b=  , a< x≤ b b-a b a  0 , b ≤ x  1 , b ≤ x b− a a+ b M (ξ ) = D (ξ ) = 2 3 2 Normális eloszlás − (

x − m) 2  x − m  1 F : F ( x2 σ) 2= Φ   f : f ( x) = ⋅e  σ  σ 2π Φ ( − 1,28) = 1 − Φ (1,28) Ha Φ (x) = 0,1 - et keresünk és nincs a táblában Φ (1,28) + Φ ( − 1,28) = 1 0,9 + Φ ( − 1,28) = 1 Φ ( − 1,28) = 0,1 25. Folytonos egyenletes eloszlás, kritérium, M(ξ), D(ξ) Az egyenletes eloszlás Definíció: A ξ valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük az ]a;b[ intervallumban, ha sűrűségfüggvénye:  1 f : f ( x) =  b − a  0 ha a < x < b különben Az eloszlásfüggvénye:   F: F( x) =    0 x− a b− a 1 ha x≤ a ha a< x≤ b ha b< x Tétel: Az egyenletes eloszlás várható értéke és szórása: a+ b M(ξ ) = 2 D( ξ ) = b− a 2 3 26. Exponenciális eloszlás és jellemző adatai (kritérium, M(ξ), D(ξ)) Bizonyítsa be, hogy eloszlásfüggvény Az exponenciális eloszlás Definíció: A ξ valószínűségi változót exponenciális

eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:  λ ⋅ e− λ x f : f ( x) =   0 ha ha 0≤ x x< 0 ahol a λ számot (λ>0) az eloszlás paraméterének nevezzük. Az eloszlásfüggvény: 1 − e − λ x F: F( x) =   0 ha ha 0< x x≤ 0 Tétel: Az exponenciális eloszlás várható értéke és szórása: 1 M( ξ ) = D( ξ ) = λ Bizonyítsa be, hogy eloszlásfüggvény 27. Normális eloszlás, várható érték levezetése A normális eloszlás Definíció: A ξ valószínűségi változót akkor nevezzük normális eloszlásúnak, ha sűrűségfüggvénye: − ( x − m) 2 2 e 2σ 1 f : f ( x) = ⋅ σ 2π ahol m tetszőleges valós szám és σ>0 Az eloszlásfüggvény: F: F( x) = x 1 σ 2π ⋅ ∫ − ( t − m) 2 2 e 2σ dt −∞ Tétel: A normális eloszlás szórása: D(ξ)=σ Tétel: A normális eloszlás várható értéke: M(ξ)=m 28. Standard normális eloszlás és alkalmazása, tetszőleges normális

eloszlás Definíció: Standard normális eloszlás esetén m=0 és σ=1 A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye: ϕ ( x) = 1 2π ⋅e − x2 2 A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye: Φ ( x) = 1 2π x ⋅ ∫e − t2 2 dt −∞ Kapcsolat a normális és a standard normális eloszlás között:  x − m F( x) = Φ    σ  Standard normális eloszlás negatív értékekre: Φ ( − x) = 1 − Φ ( x) 6. Többdimenziós eloszlások 29. Valószínűségi vektorváltozó (együttes és peremeloszlások) Többdimenziós eloszlások Együttes eloszlás, peremeloszlások Legyenek ξ és η diszkrét, H-n értelmezett valószínűségi változók, ξ lehetséges értékei: x1, x2, xn η lehetséges értékei: y1, y2, ym A valószínűségek: P (ξ=xi; η=yj) = pij P (ξ=xi) = pi P (η=yj) = qj (i=1,2n; j=1,2m) Tétel: n ∑ i= 1 m m pij = q j ∑ pij = pi j= 1 n ∑∑ j= 1 i= 1 pij = 1 Definíció: A pij (i=1,2n;

j=1,2m) valószínűségek halmazát a ξ és η együttes eloszlásának nevezzük. A ξ-hez tartozó pi (i=1,2n) és az η-hoz tartozó qj (j=1,2m) valószínűségek összességei a perem (vagy vetületi) eloszlások. A (ξ,η) tekinthető egyetlen valószínűségi vektorváltozónak. 30. Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye és tulajdonságai Együttes eloszlásfüggvény Definíció: Legyenek ξ és η a H-n értelmezett valószínűségi változók. A ξ és az η együttes eloszlásfüggvényének azt az F kétváltozós függvényt nevezzük, amely az (x,y) számpárhoz a ξ<x és η<y események együttes bekövetkezésének valószínűségét rendeli. F: F(x,y) = P (ξ<x; η<y) ((x,y) ∈ R2) Ekkor külön a ξ valószínűségi változó F1 eloszlásfüggvényét és az η valószínűségi változó F2 eloszlásfüggvényét perem (vagy vetületi) eloszlásfüggvénynek nevezzük. Tétel: Ha ξ és η együttes eloszlásfüggvénye

F, akkor P (a≤ξ<b; c≤η<d) = F(a;c) + F(b;d) - F(a;d) - F(b;c) Tétel: Ha F egy (ξ,η) valószínűségi vektorváltozó együttes eloszlásfüggvénye, akkor 1. Mindkét változója szerint monoton növekedő 2. Mindkét változója szerint balról folytonos 3. lim F( x, y) = lim F( x, y) = 0 x − ∞ 4. y − ∞ lim F( x, y) = 1 x ∞ y ∞ Tétel: lim F( x, y) = F1 ( x) y ∞ lim F( x, y) = F2 ( y ) x ∞ 31. Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye Együttes sűrűségfüggvény Definíció: Legyen ξ és η együttes eloszlásfüggvénye F. Ha létezik olyan nemnegatív f kétváltozós függvény, amelyre x F( x, y) = y ∫ ∫ f ( u, v)dvdu −∞ −∞ ( ( x, y) ∈ R ) 2 fennáll, akkor a (ξ,η) vektorváltozót folytonos eloszlásúnak nevezzük és a f a (ξ,η) vektorváltozó együttes sűrűségfüggvénye. Tétel: Ha f (ξ,η) együttes sűrűségfüggvénye és F az együttes eloszlásfüggvény, akkor minden

olyan pontban, ahol f folytonos, f ( x, y) = Fxy ′′ ( x, y) Tétel: Ha ξ és η folytonos valószínűségi változók és sűrűségfüggvényük f, akkor 1. ∫ ∞ ∞ ∫ f ( x, y)dxdy = 1 −∞ −∞ 2. P( a ≤ ξ < b; c ≤ η < d ) =∫ ∞ 3. ∫ f ( x, y)dx = −∞ bd ∫ f ( x, y)dydx a c ∞ f 2 ( y) ∫ f ( x, y)dy = f1 ( x ) −∞ ahol f1 illetve f2 a ξ illetve az η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, ezek az ún. perem-sűrűségfüggvények 32. Peremeloszlás és sűrűség fogalma, értelmezése, meghatározása az együttes eloszlás és sűrűségfüggvényből Peremeloszlás fogalma (Együttes eloszlásfüggvény) Definíció: Legyenek ξ és η a H-n értelmezett valószínűségi változók. A ξ és az η együttes eloszlásfüggvényének azt az F kétváltozós függvényt nevezzük, amely az (x,y) számpárhoz a ξ<x és η<y események együttes bekövetkezésének valószínűségét rendeli. F:

F(x,y) = P (ξ<x; η<y) ((x,y) ∈ R2) Ekkor külön a ξ valószínűségi változó F1 eloszlásfüggvényét és az η valószínűségi változó F2 eloszlásfüggvényét perem (vagy vetületi) eloszlásfüggvénynek nevezzük. Peremeloszlás meghatározása az együttes eloszlás fv-ből Tétel: lim F( x, y) = F1 ( x) y ∞ lim F( x, y) = F2 ( y ) x ∞ Együttes sűrűségfüggvény Definíció: Legyen ξ és η együttes eloszlásfüggvénye F. Ha létezik olyan nemnegatív f kétváltozós függvény, amelyre x F( x , y ) = y ∫ ∫ f ( u, v)dvdu −∞ −∞ ( ( x, y) ∈ R ) 2 fennáll, akkor a (ξ,η) vektorváltozót folytonos eloszlásúnak nevezzük és a f a (ξ,η) vektorváltozó együttes sűrűségfüggvénye. Tétel: Ha f (ξ,η) együttes sűrűségfüggvénye és F az együttes eloszlásfüggvény, akkor minden olyan pontban, ahol f folytonos, f ( x, y) = Fxy ′′ ( x, y) Peremsűrűség meghatározésa az együttes sűrűség fv-ből Tétel: Ha

ξ és η folytonos valószínűségi változók és sűrűségfüggvényük f, akkor 1. ∫ ∞ ∞ ∫ f ( x, y)dxdy = 1 −∞ −∞ 2. P( a ≤ ξ < b; c ≤ η < d ) =∫ ∞ 3. ∫ f ( x, y)dx = −∞ bd ∫ f ( x, y)dydx a c ∞ f 2 ( y) ∫ f ( x, y)dy = f1 ( x ) −∞ ahol f1 illetve f2 a ξ illetve az η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, ezek az ún. perem-sűrűségfüggvények 33. Kovariancia és korrelációs együttható értelmezése, korrelálatlanság és függetlenség kapcsolata Kovariancia és korrelációs együttható Definíció: Ha létezik a ξ és az η valószínűségi változók várható értéke, továbbá létezik M([ ξ − M( ξ ) ] ⋅ [ η − M( η ) ] ) várható érték, akkor ezt a ξ és az η kovarianciájának nevezzük: cov( ξ , η ) = M( [ ξ − M ( ξ )] ⋅ [ η − M( η ) ] ) = M( ξ η ) − M ( ξ ) M( η ) Definíció: Ha a ξ és η valószínűségi változóknak létezik a

szórásuk, akkor az R( ξ , η ) = cov( ξ , η ) D( ξ ) D( η ) számot a ξ és az η korrelációs együtthatójának nevezzük. Ha η=aξ, azaz a kapcsolat függvényszerű: M (η) = a⋅M (ξ); M (ξη) = a⋅M (ξ2) és D (η) = |a|⋅ D(ξ) 1 R( ξ , η ) =  −1 ha ha a> 0 a< 0 Definíció: Ha ξ és η korrelációs együtthatója létezik és R (ξ,η) = 0 akkor azt mondjuk, hogy a ξ és az η valószínűségi változók korrelálatlanok. Tétel: Ha ξ és η szórása létezik, akkor létezik ξ+η szórása is és D 2 ( ξ + η ) = D 2 ( ξ ) + D 2 ( η ) + 2 cov( ξ , η ) Következménye: Ha ξ és η korrelálatlanok és létezik a szórásuk, akkor D2 ( ξ + η ) = D2 ( ξ ) + D2 ( η ) 34. Két valószínűségi változó összegének M(ξ), bizonyítással Tétel: Ha ξ és η várható értéke létezik, akkor létezik a ξ+η valószínűségi változó várható értéke is és M (ξ+η) = M (ξ) + M (η) 35. Két valószínűségi

változó szorzatának M(ξ), bizonyítással Együttes várható érték Diszkrét esetben: M (ξ ⋅ η ) = ∑∑ i x i y j pij j Folytonos esetben f(x,y) (ξ,η) v.vv sűrűség fv-e, g(x,y) tetsz fv Definíció: M ( g (ξ ,η )) = ∞ ∞ ∫∫ −∞−∞ g(x,y)=x⋅y g ( x, y ) ⋅ f ( x, y )dxdy M (ξ ⋅ η ) = ∞ ∞ ∫∫ x ⋅ y ⋅ f ( x, y )dxdy −∞−∞ 36. A valószínűségi változó függetlenségére vonatkozó tételek és igazolásuk Valószínűségi változók függetlensége Definíció: A ξ és η valószínűségi változókat egymástól függetleneknek nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő a perem-eloszlásfüggvények szorzatával. Képletben: F (x,y) = F1 (x) ⋅ F2 (y) ((x,y) ∈ R2) Tétel: Ha ξ és η függetlenek, akkor tetszés szerinti a<b; c<d számpárok esetén: P (a≤ξ<b; c≤η<d) = P (a≤ξ<b) ⋅ P (c≤η<d) Tétel: A ξ és η diszkrét valószínűségi változók akkor

és csak akkor függetlenek, ha minden lehetséges (x i, yj) értékpárra P (ξ=xi; η=yj) = P (ξ=xi) ⋅ P (η=yj) Vagy a szokásos jelölésekkel: pij = pi ⋅ qj (i=1n; j=1m) Tétel: A ξ és η folytonos valószínűségi változók akkor és csak akkor függetlenek, ha a sűrűségfüggvényekre is fennáll az ún. szorzási szabály: f (x,y) = f1(x) ⋅ f2(y) ((x,y) ∈ R2) Tétel: Ha ξ és η függetlenek, akkor M (ξη) = M (ξ) ⋅ M (η) (amennyiben ezek a várható értékek léteznek) Következménye: Ha ξ és η függetlenek, akkor cov (ξ,η) = R (ξ,η) = 0 Tétel: Ha ξ és η függetlenek, akkor négyzeteik, ξ2 és η2 is függetlenek. 37. A feltételes várható érték és regressziós függvény fogalma Definíció: A ξ diszkrét valószínűségi változó η=yj feltétel melletti várható értékén az M ( ξ η = y k ) = M( ξ y k ) = ∑ i x i ⋅ P( ξ = x i η = y k ) összeget értjük. Definíció: Az m2 (y) = M (ξ|η=y) függvényt a ξ

valószínűségi változó η-ra vonatkozó (elsőfajú) regressziós függvényének, az m1 (x) = M (η|ξ=x) függvényt az η valószínűségi változó ξ-re vonatkozó (elsőfajú) regressziós függvényének nevezzük. Tétel: Ha g tetszés szerinti, minden valós számra értelmezett, véges számú pont kivételével folytonos függvény, akkor [ ] 2  ≥ M m 2 ( η ) − ξ  [ ] 2  ≥ M m1 ( ξ ) − η  M g( η ) − ξ  M g( ξ ) − η  [ ] 2  [ ] 2  Egy bizonyos függvényosztályon belül talált regressziós függvényt másodfajú regressziós függvénynek nevezzük. 38. Feltételes és diszkrét eloszlások, feltételes eloszlás- és sűrűségfüggvény valószínűségi változók függetlensége Diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás (háttér: ismételt kísérlet, kockadobás, visszatevéses mintavétel)  n k − kn P(ξ = k) =   p (1− p) 

k aholn∈ N, p∈ R 0 p≤≤ 1,k = 0,1 . n M (ξ )= np D (ξ )= npq ( q = 1 − p ) Hipergeometrikus eloszlás (háttér: visszatevés nélküli mintavétel)  M  N − M      k   n − k   P (ξ = k ) =  N  n    ahol n, N, M ∈ N, n ≤ M ≤ N, n ≤ N - M, k = 0,1,.n M N− n M (ξ ) = ⋅ n = np D 2 (ξ ) = npq ⋅ (ez nem kell!) N N−1 Karakterisztikus eloszlás (háttér: bekövetkezik-e A esemény vagy sem) P (ξ = 1) = p M (ξ ) = p P (ξ = 0 ) = 1 − D p (ξ,0) ≤= p pq ≤1  1, ha A ξ=  0, ha A Geometriai eloszlás (háttér: első bekövetkezés, ismételek egy kísérletet és figyelek egy A eseményt, P(A)=p. Mikor következik be először az A esemény?) végtelen eloszlás P (ξ = k ) = (1 − p ) k − 1 ⋅ p1 M (ξ ) = p 0 ≤ p ≤ 1, k = 1,2. D (ξ ) = q p Poisson eloszlás (háttér: intervallumba esések számának valószínűsége, intervallum: idő, hossz,

terület stb) végtelen eloszlás λ kM(−ξλ) = λ P (ξ = k ) = e k!D( ξ ) = λ ahol λ ∈ R + , k = 0,1,2. Feltételes eloszlás, feltételes várható érték, regressziós függvény Definíció: Legyenek ξ és η diszkrét valószínűségi változók x1, x2 és y1, y2 lehetséges értékekkel. A ( ) P ξ = xi η = y j = P (ξ = xi ;η = y j ) P (η = y j ) i = 1,2 valószínűségek halmazát a ξ valószínűségi változó η=yj feltételhez tartozó feltételes valószínűségeloszlásának nevezzük. Definíció: A ξ diszkrét valószínűségi változó η=yj feltétel melletti várható értékén az ( ) ( ) ∑ M ξ η = yk = M ξ yk = ( xi ⋅ P ξ = xi η = yk i ) összeget értjük. Definíció: A ξ folytonos valószínűségi változó η=y feltételre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényén az ( ) f xy = f ( x, y ) f 2 ( y) ( f 2 ( y) ≠ 0; x ∈ R ) függvényt értjük. A ξ-nek η=y -ra vonatkozó feltételes várható

értéke M( ξ η = y ) = M( ξ y) = ∞ ∫ x ⋅ f ( x y) dx −∞ Hasonlóan ( ) f yx = f ( x, y ) f1 ( x ) ( f1 ( x ) ≠ 0; y ∈ R ) és M( η ξ = x) = M( η x) = ∞ ∫ y ⋅ f ( y x) dy −∞ Valószínűségi változók függetlensége Definíció: A ξ és η valószínűségi változókat egymástól függetleneknek nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő a perem-eloszlásfüggvények szorzatával. Képletben: F (x,y) = F1 (x) ⋅ F2 (y) ((x,y) ∈ R2) 7. Nagy számok törvénye Empirikus eloszlások 39. Nagy számok törvénye, Bernoulli féle alakjának levezetése Nagy számok törvénye A nagy számok törvényének Bernoulli-féle alakja Tétel: Tekintsünk egy kísérletet, ahol valamely A esemény bekövetkezésének valószínűsége p. Végezzük el a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és jelölje ebben a kísérletsorozatban ξn az A esemény gyakoriságát. Ekkor tetszőleges ε>0 esetén igaz, hogy  ξ 

pq P n − p ≥ ε  ≤  n  nε 2  ξ  pq P n − p < ε  ≥ 1 −  n  nε 2 40. A centrális határeloszlás tétele A centrális határeloszlás-tétel Tétel: Ha a ξ1, ξ2 ξn azonos várható értékű és szórású független valószínűségi változók, M(ξi)=m és D(ξi)=σ (i=1,2n), akkor az ηn = ξ 1 + ξ 2 + + ξ n n számtani közepüknek várható értéke m és szórása σ n Ekkor a ξn = ξ 1 + ξ 2 +  + ξ n − nm σ n valószínűségi változó várható értéke és szórása: M=0, σ=1 Centrális határeloszlás-tétel: Ha ξ1, ξ2 ξn, azonos eloszlású független valószínűségi változók, M(ξi)=m és D(ξi)=σ (i=1,2), akkor az ηn = ξ 1 + ξ 2 +  + ξ n − nm σ n valószínűségi változók eloszlásfüggvényei olyan sorozatot alkotnak, amely minden x pontban a standard normális eloszlásfüggvényhez tart:  ξ + ξ 2 +  + ξ n − nm  lim P (η n < x ) = lim P  1

< x  = Φ ( x) n ∞ n ∞ σ n   41. Sűrűségfüggvény és hisztogram fogalma, feltételek empirikus függvény Definíció: Ha a ξ folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor az f: f(x) = F’(x) függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. 8. Nevezetes többdimenziós eloszlások Normálisból származtatott eloszlások Néhány nevezetes többdimenziós eloszlás Egyenletes eloszlás Definíció: A ξ és η valószínűségi változókat az [a,b,c,d] téglalapon egyenletes együttes eloszlásúnak nevezzük, ha együttes sűrűségfüggvényük 1   f : f ( x, y) =  ( b − a )( d − c)  0 a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d különben Normális eloszlás Definíció: A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása normális, ha együttes sűrűségfüggvényük f : f ( x, y ) = − 1 2π ⋅ σ 1 ⋅ σ 2 ⋅ 1− r 2 ⋅  ( x − m1 ) 2 ( x − m1 )( y − m2 ) ( y − m2 ) 2  ⋅ − 2

r⋅ +  2 σ 1 ⋅σ 2 2 1− r  σ 1 σ 22  ⋅e ( 1 2 ) ahol m1 és m2 valós számok, σ1 és σ2 pozitívak, valamint -1<r<1 Tétel: A fenti formulával definiált együttes eloszlás peremeloszlásai normálisak, amelyeknek várható értéke és szórása M( ξ ) = m1 D( ξ ) = σ 1 M( η ) = m 2 D( η ) = σ 2 Tétel: Ha ξ és η a fenti sűrűségfüggvénnyel jellemzett normális együttes eloszlást alkotó valószínűségi változók, akkor korrelációjuk: R (ξ,η) = r Megjegyzés: r=0 azaz a korrelálatlanság esetén a fenti sűrűségfüggvény átmegy a két peremeloszlás sűrűségfüggvényének szorzatába, ez azt jelenti, hogy normális együttes eloszlás esetén a korrelálatlanság és a függetlenség egyenlő. Tétel: Ha ξ és η együttes eloszlása normális, akkor a regressziós függvények lineárisak: m1 ( x) = m 2 + r ⋅ σ1 ( x − m1 ) σ2 x∈ R m 2 ( y ) = m1 + r ⋅ σ2 ( y − m2 ) σ1 y∈ R

Normálisból származtatott eloszlások Eloszlásfüggvény becslése Tétel: Minden x-re, tetszőleges ε>0 esetén létezik olyan x-től függő n0, hogy F ( x )(1 − Fx )) 1 ≤ 2 nε 4 nε P (| Fn ( x ) − F ( x ) |≥ ε ) ≤ 2 (n > n 0 ) Az Euler-féle gamma-függvény Definíció: Γ ( p) = ∞ ∫t p− 1 − t e dt ( p > 0) 0 A khinégyzet-eloszlás Definíció: Ha a ξ1, ξ2 ξn valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor a χ 2 = ξ 12 + ξ 22 +  + ξ n2 = n ∑ i= 1 ξ i2 valószínűségi változót n-szabadságfokú χ2 -eloszlásúnak nevezzük. M(ξ)=n, D2(ξ)=2n A Student-féle t-eloszlás Definíció: Ha az η, ξ1, ξ2 ξn valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor a η nη t= = χ ξ 12 + ξ 22 +  + ξ n2 n valószínűségi változó eloszlását n-szabadságfokú Student vagy t-eloszlásnak nevezzük. Ha n≥2, M(t)=0 n Ha n≥3, D (t ) = n−

2 Az F- és a z-eloszlás Definíció: Ha az ξ1, ξ2 ξm, η1, η2 ηn valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor az 1 m 2 ∑ ξi m i= 1 F= 1 n 2 ∑ ηi n i= 1 valószínűségi változó eloszlását m,n-szabadságfokú F-eloszlásnak nevezzük. n Ha n≥3, M ( F ) = n− 2 2n 2 ( m + n − 2) 2 Ha n≥5, D ( F ) = m( n − 2) 2 ⋅ ( n − 4) Definíció: Fischer-féle z-eloszlás: Az F eloszlásból származtatjuk z = ln F A béta-eloszlás Definíció: Ha az ξ1, ξ2 ξm, η1, η2 ηn valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor a m β = ∑ i= 1 m ∑ i= 1 ξ 2 i + ξ 2 i n ∑ i= 1 η 2i valószínűségi változót β-eloszlásúnak nevezzük. M (ξ ) = D (ξ ) = p p+ q 1 p+ q pq p+ q+1 0< β < 1