Villamosságtan | Felsőoktatás » Villamosságtan I

BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Villamosságtan Elektrosztatika Villamos töltés megjelenési formái: Q =I · t dQ c =[ 3 ] dV m – Térfogati töltéssűrűség: = – Felületi töltéssűrűség: = dQ c =[ 2 ] dA m – Vonalmenti töltéssűrűség: q= – Pontszerű töltés: a pozitívtól a negatív felé mutatnak a térerősségi vektorok. c dQ =[ ] dl m Térerősség A tér egy tetszés szerinti pontjában a tér erőssége egyenlő a tér szóban forgó pontjába vitt töltésre ható erőnek és ezen töltésnek a hányadosával. A térerősség (E) iránya egybeesik az erőhatás irányával.  =[N ] F =q · E Általános Coulomb törvény dQ =· dV Q  =k · ∫ dQ · r0  E = 1 E · 2 · r0 2 4 · · 0 r r k= 1 9 =9 · 10 4 · · 0 −12 0 =8.86 · 10 =[ As ] dielektromos állandó (vákuumban) Vm Töltéselrendezések tere – Pontszerű töltés tere: Szuperpozíció elve:

minden töltés a hatását a többitől függetlenül fejti ki. Q V = 1 E · 2 · r0 =[ ] 4 · · 0 r m – Potenciálkülönbség vagy feszültségkülönbség: W AB B  =[V ] Potenciál különbség  · dl U AB = =∫ E q A Az elektrosztatikus erőtér lényeges tulajdonsága, hogy a munka csak a kezdő és a végpontok helyzetétől függ, és nem függ attól, hogy milyen úton jutottunk el az egyikből a másikba. ∮ E · dl =0  · cos   · dl W AB =F · dl · cos =q · E 1 BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Gauss tétele  =0 · E  = 1 · Q =[ c ] Eltolási vektorsűrűség: D 4  R2 m 2  · A=  1 · Q · 4 R 2 =Q ahol A  a felületből kilépő erővonalak száma D 4  R2 D 1 D 2D 3  A=Q 1 Q 2Q 3 Az elektrosztatika Gauss tétele: ∮ D · dA=∫  · dV A V Egy zárt felületen áthaladó villamos eltolási fluxus (erővonal szám) zárt felület belsejében

lévő villamos töltések összegével egyenlő függetlenül attól, hogy a töltések milyen elrendezésben vannak és függetlenül a felület alakjától. Egyszerű töltéselrendezésű terek 1 Q V Q 1 1 · 2 =[ ] --> pont potenciálja: U po = · −  4 · · 0 r m 4  0 r p r 0 1 Q · adott pont potenciálja: U p = 4  0 r p – Pontszerű töltés: E = – Végtelen hosszú egyenes vezető: E = – Felületén töltött gömb tere: E = 1 q · 2  0 r E p =2· E · cos  1 Q V · 2 =[ ] 4 · · 0 r m U AB = U AB = r q · ln  B  2  0 rA Q 1 1 ·  −  ugyan az mint 4  0 r A r B a pontszerű töltésnél – Sík elektróda területe: Q = · A  =[ Q V c =[ ] ] D·A=Q E = 2  · A m m 0 U =E · d Kapacitás és kapcsolásai C= – – · A Q Q = = U Q d d · 0 A Párhuzamos kapcsolás: Q Q Q 2  Q 1 Q 2 C p= = 1 =  =C 1 C 2 U U U U Soros kapcsolás: Q Q 1 C s= = = U U

1U 2 1 1  C1 C2 C s =C 1 x C 2 x C 3 x . x C n n C p =∑ C k k =1 n 1 1 =∑ C s k =1 C k 2 C 1 x C 2 x C 3= C 1· C 2· C 3 C 1 C 2 C 3 BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. – Kapacitív feszültségosztó: U k =U 0 · MaZs Ce Ck Elektrosztatikus tér energiája 0 · A l W= 1 2 ·C ·U 2 W= 1 1   · 0 · E 2 = · E · D Maxwell egyenlete 2 2 C= U =E · l Mindenütt, ahol elektromos tér van, a tér energiája meghatározható. Egyenáramú hálózat U=I·R P=U·I [W] Generátorok R b =0 U0 R b =∞ Thevenin generátor Ib Norton generátor Az ideális generátorok kimenetén a terheléstől függeltenül a forrásmennyiség jelenik meg (I, U). Ekvivalens átalakítások: Rb U0 I0 U ü =U 0 I r= U0 R U ü =I 0 R b üresjárási feszültség I r =I 0 rövidzárási áram Rb Thevenin és Norton generátor akkor ekvivalens, ha sorba illetve párhuzamosan kapcsolt belső ellenállásuk megegyezik. A Thevenin

generátor belső rövidzárási árama, a Norton generátor forrásárama illetve a Norton generátor üresjárási feszültsége és a Thevenin generátor forrásfeszültsége. A generátororok nyilai ütköző mérőirányúak 3 BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Ellenállások kapcsolásai n Rs =∑ R k Soros kapcsolás: R s =R 1 R 2 – k =1 1 =[s ]=G  vezetés R n 1 1 1 1 1 G p =G 1 G 2  =  =[] = ∑ R p R1 R2 R p k =1 R k Párhuzamos kapcsolás: – Rk Re – Feszültségosztó kapcsolás U k =U 0 – Kétlépcsős feszültségosztó: U ki =U · – Áramosztó kapcsolás: I k =I 0 · R p =R 1 x R 2 x R 3 . Rk – amin keresett az érték, Re – eredő ellenállás R2 · R4 R 1 · R 2R 3R 4 R 2 R 3R 4  Re Rk Hálózatanalízis Ná=Nh+(Ncs-1) Ná: ágak száma Nh: hurkok száma Ncs: csomópontok száma Kirchoff törvényei: n ∑ I k =0 I. k =1 n ∑ U gk I k R k =0

II. k =1 III. Ná=Nh+(Ncs-1) Minden független hurokra fel kell írnunk a huroktörvényt. Egy hurok akkor tekinthető függetlennek, ha legalább egy olyan ágat tartalmaz, amit a többi nem. A csomópontokra felírt törvényeknél ügyeljünk a mérőirányokra és jelöljük ki annak a csomópontnak a helyét, ami a feladat „0” potenciálú helye lesz. Csomóponti potenciálok módszere n ∑ I k =0 Csomóponti törvény k =1 A feladat megoldása akkor egyszerú, ha a hálózat áramgenerátorokat tartalmaz. A referencia pont kiválasztása után, a csomóponti egyenleteket írjuk fel: a vizsgált csomópont potenciálját szorozzuk a hozzá befutó ágak vezetésének összegével, mínusz a mellette lévő csomópontok potenciáljai szorozva a közvetítő vezetéssel. Az áramgenerátorok áramait előjelhelyesen vesszük figyelembe. 4 BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Hurokáramok módszere n ∑ U gk I k R k =0

Ná=Nh+(Ncs-1) k =1 Hurokáramok módszerénél az ágáramokat a fiktív hurokáramokból határozzuk meg. Szisztematikus módszert csak akkor alkalmazhatunk, ha egy ágon legfeljebb két hurokáram folyik át ellentétes mérőiránnyal. A szisztematikus módszer lényege: hurokáram szorzódik a saját ellenállások összegével, mínusz a mellettük lévő hurkok árama, szorozva a közvetítő ellenállással. A feszültséggenerátorok feszültségeit a hurokegyenletek felírásakor előjelhelyesen vesszük figyelembe. A hurokáramok módszerét akkor érdemes alkalmazni, ha ideális áramgenerátor van a hálózatban. Millmann tétele U0 U U U 1 1 1 1    − 1 − 2 − 3 =0 R1 R 2 R3 Rt R1 R 2 R3 n U1 U2 U3   R1 R 2 R3 U0= 1 1 1 1    R1 R2 R3 Rt U 0= U ∑ R gk k =1 gk n ∑ R1 k =1  gk 1 Rt Szuperpozíció tétele Szuperpozíció tételének alkalmazásakor a hálózat minden generátorának hatását külön-külön vizsgáljuk.

Az egyik generátor hatásának vizsgálatakor az összes többi generátor belső ellenállásával helyettesítjük. Thevenin és Norton tétel Thevenin (Norton) tétel szerint a legbonyolultabb hálózat is egy kiválasztott ágára nézve egy valóságos feszültséggenerátorral (Norton generátorral) helyettesíthető. A feszültséggenerátor (áramgenerátor) feszültsége (árama) a kiválasztott kapcsok üresjárási feszültsége (rövidtárási árama). A Thevenin és Norton generátor belső ellenállása a kapocspár felől látott eredő ellenállás, 1 miközben a hálózat összes generátorát belső ellenállásával helyettesítjük. Hídkapcsolás R10 Csillag-delta delta-csillag átalakítás: 1 12: R12x(R23+R31)=R10+R20 2 R 10= R 12 R 13 R 3 R23 R 20 = 0 23: R23x(R31 +R12)=R20 +R30 R13 R12 R 12 R 23 R 13: R31 x(R12+R23)=R10+R30 R20 12+13-23 R 30 = 2 R 13 R 23 R R =R 12 R 13 R 23 5 R30 3 BMF-KGK Műszaki Menedzser szak

– Villamosságtan I. MaZs Kompenzáció elve A kompenzáció lehet feszültség és áram kompenzáció. Feszültség kompenzáció esetén a hálózat bármelyik aktív vagy passzív kétpólusát helyettesíthetjük egy olyan ideális feszültség generátorral, amelynek a feszültség megegyezik a kivezetési kapcsokon mérhető feszültséggel. Áramkompenzációnál a kétpóluson átfolyó árammal azonos értékű ideális áramgenerátorral helyettesíthetjük. Kivétel: R R Reciprocitás tétele Két hálózat akkor reciprok, ha az ideális feszültséggenerátor és az ideális árammérő műszer helyét felcserélve, a mért áramérték nem változik. R1 U0 R5 Im R4 R2 R3 R1 Im R5 U0 R4 R2 A reciprocitás tétele szerint lineáris hálózatokban az azonos belső elleállású generátor és mérőműszer felcserélhető anélkül, hogy a mért érték megváltozna. R3 Teljesítmény illesztés Ub Rb A Rt B Mekkora legyen Rt hogy P maximális

legyen? 2 Ub U2 2 P =U · I =I · R= =[W ] P max = R 4 Rt 6 BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Mágneses tér – Örvényes tér v1 x v2 =v 1 · v 2 · sin  – Térerősség  −mágneses indukció vektor [ B M =A · I m · B Vs m 2 ] xB  =I m · A  M Biot-Savart törvénye B= M I m· A B =k · I ∮ R B= dB =k · dl x r 0 r 2 I · dl · sin  k= r 2 0 4 · =k · I · dl x r 0 r 2 ahol 0 =4 ·  · 10−7 [ Vs ] a vákuum mágneses permeabilitása Am 0 I · dl x r 0 ·∮ 4·  l r2 B A =H =[ ] a mágneses térerősség 0 m Lorentz erőtörvénye F =q v x B F =q v B q α q I B F =q · v · B =I · t · v · B B= α I F q·V F =B · I · l F =I · l x B l 7 I= q t BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Végtelen hosszú egyenes vezetők tere · X H H I ∞ dl x r 0 1 1 H= = ∫ 2 4  −∞ r 2 R H I H= 2 R I dl r R P

Gerjesztési törvény I n ∑ H i l i =? Hdl i =1 ∮ H dl = 2 I R 2  R=I R ∮ H dl ==∑ I −gerjesztés Hdl Gerjesztési törvény: ha egy tetszés szerinti áramok által átjárt térben, tetszés szerinti zárt vonalat tekintünk, akkor ezen zárt vonal mentén a térerősség vonal integrálja egyenlő lesz a zárt vonalra kifeszített felületen áthaladó áramokkal. Szolenoid mágneses tere 3 4 1 2 N l ∮ H dl =∫ H dl ∫ H dl ∫ H dl ∫ H dl =H · l =N · I 12 23 34 41 8 H= N ·I l BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Amper erőtörvénye I1 d F 1 =I 1 · l · B 1 =I 1 · l · 0 · H 2 =I 1 · l · 0 · I2 F 12 =l · l I1 ·I2 · 2 · · d 0 Mágneses fluxus A =B · A B =B · A · cos =B · A =B · A α =∫ B · dA A ∮ B · dA=0 A Stacionárius terek F V E = =[ ] q m E= · dV 1 ·∫ ¿ V ·r0 2 4 ·  · 0 r E · 0 =D =[ B As ] 2 m B= M

Vs =[ 2 ] ImA m B= 0 I · dl x r 0 ·∫ 4 · l r2 H= B 0 U AB =∫ E · dl ∮ H · dl =∫ j · dA ∮ E · dl =0 ∮ B · dA=0 A l W= 1 E·D 2 l A A W= 1 B·H 2 9 I2 2 · · d BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. MaZs Elektromos és mágneses tér kölcsönhatása Indukció törvénye Mágneses ---> elektromos tér Bármilyen okból változik a vezető általkörülfogott erővonalak száma, a vezetőben feszültség indukálódik, amelynek nagysága arányos a fluxusváltozással és iránya a bal csavar szabálya szerint rendelődik a fluxusváltozás irányához. V d dt −U i = d dt Gerjesztési törvény általános alakja (Maxwell I. trv) R L C I ∮ H dl =∑ I =D j + + + + + + + + + + - j[ j A ] 2 m j dD j dt ∮ H dl =∮  j  ∂∂Dt dA l A Alaptörvénynek kell tekinteni, hogy a villamos térerősség változása mágneses teret hoz létre, azaz az eltolási áramsűrűség

változásának egy ugyan olyan mágneses tere van, mint a vezetési áramnak. Maxwell egyenletei ∮ H dl =∫  j  ∂∂Dt dA l U i =− A d  −d = ∫ B dA=−∮ E dl dt dt A l ∮ D dA=∫ dV ∮ B dA=0 A V ∮ E dl =0 <--- a forrásos és örvényes tér bizonyítása 10 BMF-KGK Műszaki Menedzser szak – Villamosságtan I. W= MaZs 1 1 E D H B 2 2 Mágneses anyagok = B H – Paramágneses anyagok: ≈1 rendezettlen irányú mágnesezettség jellemzi, külső mágneses tér hatására a részecskék beállnak – Diamágneses anyagok: 1 a részecskék ellentétes irányban állnak be. – Ferromágneses anyagok: 1 kristályos szerkezetű anyag, aminek kristályszegmensenként áll be az iránya Mágneses körök Egyszerű (osztatlan) mágneskör Összetett (osztott) mágneskör =N I - gerjesztés B 0  légrés indukció ∮ H dl =∫ j da n n n i =1 k =1 n ∑ H i · l i = ∑ I k =N · I N · I =∑ H

i · l i i =1 Szórási tényező = v i =1  ha nincs szórás 0  légben v  vasban l0 11