Matematika | Felsőoktatás » DE Feladatok matematikából II

Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatlapok II. matematikából Debrecen, 2004 3 Határozatlan integrál 1. Számı́tsuk ki a következő integrálokat! Z Z 1 k.) dx a.) x2 Z 2 Z x −1 b.) dx l.) x+1 Z Z x+1 √ dx c.) m.) x Z Z d.) (1 + ex−1 )dx n.) Z Z e.) (x4 + 3x2 + 5x + 2) dx o.) Z (1 − x2 )2 dx f.) Z p.) Z g.) x(1 − x)(1 − 2x) dx Z h.) Z i.) Z j.) r q √ x x xdx µ 2ex + (2x − 3)10 dx √ 3 1 − 3x dx √ q.) Z r.) x+1 √ dx x s.) Z 1 5 + x cos2 x 1 dx x+5 Z 1 1 1 + + 3 ) dx x x2 x ( (t2 + 6t − 5)dt 1 dx 2 − 5x 1 dx 5 + 2x2 1 dx 2 + 3x2 Z 1 + x2 1 dx √ dx t.) 2 x 2 − 3x2 - 2. Határozzuk meg a következő integrálokat! Z Z e2x x+1 g.) a.) dx dx x2 + 2x − 1 1 + e2x Z Z x−2 2x dx b.) h.) dx x(x − 4) 1 + x2 Z Z x 1 dx i.) dx c.) 2 + 3x2 x ln x Z Z 5x √ dx j.) d.) tg x dx 1 − 2x2 Z Z 2x + 5 sin 2x k.) dx e.) 2 dx 1 + 3x2 1 + sin x Z Z 1+x 8x − 7 dx l.) dx f.) 2 + 3x2 4x2 − 7x + 11 ¶ dx 4 3.

Határozzuk meg a következő határozatlan integrálokat! Z Z 2 f.) sin3 x cos x dx a.) xe−x dx Z b.) Z c.) g.) x dx (1 + x2 )2 h.) Z d.) x √ √ Z Z 2 dx (8x2 + 27) 3 Z e.) Z 3x dx (2 + 3x2 )3 x dx 1 − x2 i.) Z j.) 3+x dx 5 − 2x2 sin x √ dx cos3 x arc tg3 x dx 1 + x2 tg 2 x dx cos2 x 4. Számı́tsuk ki a következő határozatlan integrálokat! Z Z a.) xex dx i.) (x3 + 3x2 + 1)ex dx Z Z 3 x b.) x e dx Z c.) Z x sin x dx k.) x ln x dx l.) Z d.) m.) ex cos2 x dx n.) −x sin x dx o.) Z 5. Számı́tsuk ki a következő integrálokat! Z Z Z c.) x3 dx (x + 2)4 √ b.) arc tg x dx Z ln x dx a.) x arc tg x dx Z e h.) x7 ln x dx Z Z g.) (x2 + 1) ln x dx Z ex cos x dx Z f.) (x3 − 3x2 − 7) sin x dx Z Z e.) (x2 + 1) cos x dx j.) 1 √ dx x + 1 + ( x + 1)3 e4x dx 1 + ex p.) arcsin x dx 5 Z d.) √ (Alkalmazzuk az ex − 1 = t2 helyettesı́tést!) ex − 1dx Z tg 3 xdx e.) Z f.) g.) h.) √ √x xe dx

Z p Z (Alkalmazzuk az t = tg x helyettesı́tést!) 1 − x2 dx (Alkalmazzuk az x = sin t helyettesı́tést!) 1 √ dx 1+ x 6. Határozzuk meg a következő integrálokat! Z Z 5 1 dx dx h.) a.) 2 1−x (x − 2)(x + 5) Z Z 1 2x + 3 dx b.) i.) dx 2 x − 2x − 3 (x − 2)(x + 5) Z Z 1 x c.) dx dx j.) 2 x2 + 2x + 6 x − 2x − 3 Z Z 2x + 3 3x + 1 dx d.) k.) dx 2 x2 + 3x − 10 x + 5x + 6 Z Z x3 1 + 2x e.) dx dx l.) x2 + 1 x2 − 4x − 5 Z Z 1 2x dx f.) m.) dx x3 − x 1+x Z Z 2 1 x − 2x + 1 g.) dx dx n.) ex + e−x + 2 x2 + 2x − 3 7. Alkalmas helyettesı́téssel számı́tsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! Z 1 x a.) dx (Alkalmazzuk az t = tg helyettesı́tést!) 1 + 2 cos x 2 Z Z Z dx dx ln x √ b) c) d) dx 1 + sin x 1 + cos x x 1 + ln x Z Z Z dx dx f) e) g) sin(ln x) dx cos x 5 + 3 cos x 8. Integráljuk az alábbi racionális törtfüggvényeket, illetve helyettesı́téssel ilyenekre visszavezethető függvényeket. 1 2x + 3 1 b) 2 c)

a) 3 x −8 x − 2x − 3 (x − 2)(x + 5) d) x−3 x3 − x e) 1 (x + 1)2 (x2 + 1) f) ln x + 1 xx − 1 6 Határozott integrál 9. Számı́tsuk ki a következő határozott integrálokat! Z10 Z3 1 dx ; Z2π 1 dx ; 2 22 Zπ sin x dx ; √ 2 0 Z100 2 x dx ; −1 Z−1 cos x dx ; 1 Z3 µ 1 dx ; x 1 e +x + x x 2 2 ¶ dx . 10. Legyen   −2 ha 3 ha f (x) =  −1 ha x<1 x=1 x>1 ½ ; g(x) = −1 ha x < 0 2x ha x > 0. Mennyi a következő integrálok értéke ? Z20 f (x) dx ; Z3 g(x) dx ; 0 Z−2 g(x) dx ; −1 Zb Z1 f (x) dx ; 1 −5 −10 Mennyi Z−3 f (x) dx ; Z30 g(x) dx . −10 Zb f (x) dx és g(x) dx ? a a 11. Számı́tsuk ki a következő integrálokat! Z3 Z2 2 2x x e 0 dx ; −2 2x dx ; 2 (x − 100)7 Zπ/2 ctg (x) dx ; Z1 p 1 − x2 dx . 0,5 π/3 12. Számı́tsuk ki a következő határozott integrálokat! Z3 2 √ √ x e x dx ; Z12 4 1 dx ; 1 − x2 Ze 0 e4x dx ; 1 + ex Z4

2 x3 1 dx. −x 13. Ha egy [a, b]-n értelmezett f (x) függvény görbéjét megforgatjuk az xtengely körül, akkor az általa ”határolt” forgástest térfogata Zb V = f 2 (x) π dx . a Ezt felhasználva számı́tsuk ki egy gömb és egy kúp térfogatát! 7 14. Léteznek-e a következő impropius integrálok ? Ha igen, számı́tsuk ki őket! Z∞ Ze ln x dx ; Z1 ln x dx ; 0 Z1 ln |x| dx ; 0 −∞ −1 Z0 Z1 x e dx ; −∞ −∞ Z0 1 dx ; x2 Z3 1 dx ; x2 −∞ Z∞ 1 dx ; x −∞ Z∞ 1 √ dx ; x 0 Z0 1 dx ; x 2 e−x dx ; +∞ 3 √ dx . x 15. Léteznek-e az alábbi improprius integrálok ? Ha igen, számı́tsuk ki őket ! Z∞ 1 Z∞ dx ; x3 2 Z∞ Z3 2 −x/3 x e Z∞ dx ; (1 − x)2 0 xe 0 √ dx ; 4 dx √ ; x dx ; Z∞ −2x 0 Z2 0 Z1 dx √ ; 2−x 0 dx ; 2 + 6x x+1 √ dx . x p 16. Legyen f (x) = ( |x| · (1 − x))−1 Melyek léteznek a következő integrálok

közül ? Z2 Z0 f (x) dx ; f (x) dx ; −∞ f (x) dx ; Z−π x2 (1−2x)20 dx ; π Z10 x |x|e dx ; Z Z Z ln |x| dx ; −2 |x|ex dx ; |x−2| dx ; |x−2| dx ; ln |x| dx ; Z Z4 Z1 −10 f (x) dx . −∞ 2 1 f (x) dx ; Z∞ Z∞ f (x) dx ; Z1 0,5 0 2 Z2 17. Mennyi Z0,5 f (x) dx ; 0 1976 Z x|x| dx ; x|x| dx ; −2001 ZA 18. Következik -e a limA∞ Z∞ hogy f (x) dx határérték létezéséből, −A f (x) dx konvergens ? −∞ 8 Zπ Z2 p 4 − x2 dx. Próbáljuk meg az eredményt sin x dx és 2 19. Mennyi −π 0 megtalálni a primitı́v függvény kiszámı́tása nélkül ! 20. Egy munkás bére egy adott év n-edik napján b(n) = 500F t + n · 0, 5F t + n2 · 0, 001F t. Mennyit keres ı́gy egy év alatt? Helyes-e az integrálszámı́tást használni a feladatok megoldásához? 21. Ha egy év x-edik napján a napi inflációs ráta értéke i(x) = (0, 1 + 0, 001 · x + 0, 01 · sin(x/180)) %

,n nap akkor mennyi az éves infláció mértéke? % 22. Tegyük fel, hogy a GNP növekedési üteme az n-edik évben f (n) . év Hányszorosára nő ekkor a GNP az n1 és n2 -edik évek között ? 23. Egy üzemraktárában r egység anyagmennyiség van, és ezt T nap alatt dolgozzák fel A rendelkezésre álló adatok szerint a raktárkészlet fogyásának grafikonja jól közelı́thető egy y = a(x − b)2 parabolával a [0, T ] intervallumon. Számı́tsuk ki a -t és b -t, majd határozzuk meg a T napra fizetendő raktározási költségeket, ha egy egység raktározása R forintba kerül naponként . 24. Legyen A = {(x, y) | y ≥ x2 } és B = {(x, y) | y ≤ x + 2} Mennyi A ∩ B területe ? 25. Mennyi az y2 x2 + 2 = 1 ellipszis területe ? 2 a b 26. Mennnyi az f (x) = és x = 1 között ? √ 4 − x2 függvény görbéjének a hossza x = −0, 5 27. Forgassuk meg az y tengely körül az y = 8 − 2x − x2

egyenletű parabolának az első sı́knegyedbe eső részét ! Mekkora térfogatú test keletkezik ? 9 Z2 Z1 28. Számı́tsuk ki! Z1 Z2 xy dx dy ; 0 0 Zb Zd e 0 0 x+y xy 2 dx dy dy dx ; a c 29. Integrálja a következő függvényeket az A tartományban ! Z Z √ (x2 + y 2 ) dx dy A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ x} Z A Z (ax + by + c) dx dy A = {(x, y) | (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ 2} cos(x + y) dx dy A = {(x, y) | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ π} (x2 + y 2 + 1) dx dy A = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1 , nx ≥ y} Z A Z Z A Z A Z Z 30. Határozza meg a 2 x dxdy kettős integrál értéket, ahol A A = { (x; y) |2x − y ≤ 0, 2 − 2x2 ≥ y }! Z Z 31. Határozza meg a x dxdy kettős integrál értéket, ahol A az y = x2 −3x A és az y = −x2 − x + 4 parabolák által közrezárt tartomány! Z Z 32. Határozza meg a (x2 + 2y) dxdy kettős integrál értéket, ahol A az A x = 0, y = 0 és az x+2y = 2 egyenletű

egyenesek által határolt háromszög! Z Z x 33. Határozza meg a e y dxdy kettős integrál értéket, ahol A az x = 0, A y = 1 és az y 2 = x egyenletű görbék által határolt sı́krész! 10 Differenciálegyenletek 34. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket ! a) b) c) d) e) y 0 = ex sin x (1 + sin x)y 0 = 1 (1 + ex )y 0 = ex y 0 − yx = yx3 x2 + 5 = xyy 0 f) g) h) i) j) xy 0 = 1 + y 2 1 + y 2 + xyy 0 = 0 y 0 sin x = y ln y (1 − x)y 0 + y 2 = 0 xey y 0 − x2 + x = 0. 35. Határozzuk meg az (1+ex )yy 0 = ex differenciálegyenlet y(1) = 1 kezdeti feltételt teljesı́tő megoldását ! 36. Jelölje y(x) egy iparág dolgozóinak összlétszámát az x időpillanatban Tegyük fel, hogy a létszámcsökkenés sebessége olyan hogy y 0 (x) = −λy(x) , ahol λ > 0 , az iparágra jellemző kilépési együttható, konstans. x = 0ban a kezdő létszám ismert Mennyi idő alatt csökken le a kezdő

létszám a 3/4-ére ? 37. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket ! a) y 0 = (x−y)2 +1 b) y 0 = sin(x−y) c) (y 0 )2 = x+y+1 (y 0 > 0) (Javaslat: előbb alkalmazzunk helyettesı́tést) 38. Oldd meg ! a) x + y + xy 0 = 0 c) (x − y)y 0 = x + y 1− y e) y 0 = 1−2xy x g) yy 0 + 2xy 0 + 2y = 0 b) d) f) h) (Javaslat: előbb alkalmazzuk z = y x xy 0 = y ln y − y ln x x2 + xy + y 2 − x2 y 0 = 0 (3y + 2x)y 0 = 6y + 4x y 0 = y−2x y−x . helyettesı́tést !) 39. Oldjuk meg a következő lineáris differenciálegyenleteket ! a) b) c) d) e) f) y0 = y − x xy 0 − y = xe−x y 0 + 3y − 3e−2x = 0 y 0 = xy − 2x2 xy 0 − 3y + 5x = 0 (x + 1)y 0 − y = 0 g) h) i) j) k) l) y 0 − 2y − x = ex sin x y 0 + y tg x = sin x y 0 sin x + y cos x = 2 − cos2 x y 0 − y − ex = 0 x2 y 0 = xy + 3y y 0 x = 2y − x4 . 40. Oldja meg az xy 0 + y = xex differenciálegyenletet! Határozza meg a megoldásfüggvények határértékét x

∞ esetén! a) xy 0 + y = xe−x b) xy 0 + y = −3x2 11 Lineáris egyenletrendszerek 41. Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszereket! x1 3x1 2x1 x1 +x2 −x2 +3x2 +2x2 +2x3 −x3 −x3 +3x3 +3x4 −2x4 −x4 −x4 = = = = 1 −4 −6 −4 42. Adjuk meg a következő lineáris  2 1 −1  1 −1 1   3 3 −3 4 5 −5  3 1 −2  2 −1 7   1 3 −2 3 −2 7 2x1 x1 x1 2x1 +x2 +3x2 +x2 +3x2 +x3 +x3 +5x3 −3x3 = = = = 2 5 −7 14 egyenletrendszerek összes megoldását!    −1 1 1  0  1 −2  X =    2  −3 4  −5 7 3    1 −1 1  2  −3 5  X =    3  5 −7  −5 8 3 43. Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert: 2x1 3x1 7x1 +3x2 +λx2 +4x2 −x3 +4x3 +2x3 = 2 = 5 = k a) Legyen k = 8. λ milyen értékei esetén nincs megoldása az egyenletrendszernek? b) Most legyen λ = −2. Milyen k esetén oldható meg az

egyenletrendszer? 44. Legyen µ A= 1 2 2 3 ¶ ,B = µ D= µ 1 0 2 0 −1 0 2 0 ¶ µ 2 ,C = 0   ¶ −2 1 ,F =  1  1 0 0 3 ¶ , Számı́tsuk ki AB-t, BA-t, AC-t, ADF -t, DF -et. Figyeljük meg a speciális esetek hatását! µ ¶ a b 45. Mikor invertálható az mátrix? Hogyan számı́thatjuk ki az inc d verzét? 46. Egy mátrixot felső triangulárisnak mondunk, ha főátlója alatt mindenütt nulla áll. Mutassuk meg, hogy felső trianguláris mátrixok szorzata is felső trianguláris. 12 47. Határozza meg a következő mátrixok inverzét, ha létezik!      1 2 3 −2 2 −1 −1 2  2 −1 −2 −3   A= 3 4 −2  A =  A= 3  3 2 −1 2  3 −2 4 1 2 −3 2 1 48. Legyen  1 2 A= 3 0 0 6 1 1 0  −1 −2  1  3 1  8 Mutassuk meg, hogy van olyan 3 × 3-as nemzéró mátrix, melyre A · X = 0. 49. Mutassuk meg, hogy az   1 2 3 A =  1 3 −2  2 4 7

 4 7 B =  −14 8 11 14  1 −5  3 mátrixok invertálhatók, és határozzuk mg az A · X = B egyenlet összes megoldását! 50. Egy k×n tı́pusú A mátrix transzponáltján azt az AT n×k tı́pusú mátrixot értjük, mely (i, j)-dik eleme az A mátrix (j, i)-dik elemével egyezik meg (i = 1, 2, . , n, j = 1, , k) Igazoljuk, hogy (A + B)T = AT + B T (AB)T = B T AT s ha A invertálható, akkor AT is, és (AT )−1 = (A−1 )T . 51. Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak mondjuk, ha AT = A, s antiszimmetrikusnak, ha AT = −A. Mutassuk meg, hogy a) szimmetrikus mátrixok összege is szimmetrikus b) antiszimmetrikus mátrixok összege is antiszimmetrikus c) bármely kvadratikus mátrix előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix összegeként. d) antiszimmetrikus mátrix főátlójában mindenütt nulla áll. e) ha A és B szimmetrikus, és AB = BA, akkor AB is szimmetrikus. 13 Vektorterek 52.

Alteret alkotnak-e a valós R5 vektortérben a megadott részhalmazok? (a) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x1 = x5 , x2 = x3 } (b) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0 } (c) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | xi páros szám i = 1, 2, ., 5 } (d) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x1 és x5 racionális szám } (e) L = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) | x21 + x22 + x23 = 0 } Hány dimenziósak az alterek? 53. Tekintsük a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok Pn [t] valós vektorterét! Alteret alkotnak-e, s ha igen hány dimenziósat a megadott polinomhalmazok? (a) L = { p ∈ Pn [t] | p(1994) = 0 } (b) L = { p ∈ Pn [t] | p(t) = p(−t) ∀t ∈ R } (c) L = { p(t) = an tn + . + a1 t + a0 | ai ∈ Q, i = 1, , n } (d) L = { p ∈ Pn [t] | p(1) + p(−1) = 0 } 54. Igazoljuk, hogy az a, b, c vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független, ha az a + b + c, a + b, a vektorrendszer lineárisan független. 55. Mutassuk

meg, hogy a1 , a2 , , ak pontosan akkor lineárisan független, ha a1 , a2 − a1 , . , ak − ak−1 is az 56. Lineárisan függetlenek-e a megadott vektorrendszerek? a) a P3 [t] vektortérben: p1 (t) = (t−1)2 , p2 (t) = t2 −1, p3 (t) = 2t2 +2t−3. b) a C 3 komplex vektortérben: a = (1, 0, 1), b = (i, 1, 0) c = (i, 2, 1 + i). 57. Igazoljuk, hogy ei , i = 1, , n bázis Rn -ben, s adjuk meg az x vektor koordinátáit az adott bázisra vonatkozóan: n=4 n=3 e1 = (1, 1, 0, 1) e1 = (1, 1, 1) e2 = (2, 1, 3, 2) e2 = (1, 1, 2) e3 = (1, 1, 0, 0) e3 = (1, 2, 3) e4 = (0, 1, −1, −1) x = (6, 9, 14) x = (0, 0, 0, 1) n=4 e1 = (1, 2, 1, 2) e2 = (2, 3, 0, −1) e3 = (1, 2, 1, 3) e4 = (1, 3, −1, 0) x = (7, 14, −1, 1) 14 58. Határozzuk meg a következő vektorok által generált altér bázisát és dimenzióját! a1 a2 a3 a4 = (2, 1, 3, −1) = (−1, 1, −3, 1) = (4, 5, 3, 1) = (1, 5, −3, 1) b1 b2 b3 b4 b5 = (1, 1, 1, 1, 0) = (1, 1, −1, −1,

−1) = (2, 2, 0, 0, −1) = (1, 1, 5, 5, 2) = (1, −1, −1, 0, 0) 59. Az n-edrendű kvadratikus mátrixok vektorterében tekintsük a szimmetrikus, illetve a ferdeszimmetrikus mátrixok halmazát! Sn = { A ∈ Mn | AT = A } An = { A ∈ Mn | AT = −A } Igazoljuk, hogy Sn és An altér Mn -ben! Adjuk meg ezen alterek egy-egy bázisát és dimenzióját! 60. Tekintsük a komplex számhármasok C 3 halmazát a szokásos műveletekkel Hány dimenziós vektorteret kapunk, ha a skalártest C, R illetve Q? 61. Mennyi az A mátrix rangja? Adja meg a sorvektorai által generált altér egy bázisát!     1 1 1 1 1 −2 0  1  1 −1 −1  5 6  a) A =  b) A =  4  1 −1 1 −1  7 −1 6 1 −1 −1 1 15 Determinánsok 62. Igazoljuk, hogy µ a) det  b) x11 det  x21 x31 x11 x21 x12 x22 ¶ = x11 x22 − x12 x21 ;  x13 x23  = x11 x22 x33 + x12 x23 x31 + x13 x21 x32 x33 −x13 x22 x31 − x12 x21 x33 −

x11 x23 x32 x12 x22 x32 63. Számı́tsa ki a következő determinánsok értékét: ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 2 1 2 ¯ i −1 ¯ ¯ ¯ b) a) ¯ 1 −1 ¯ 1 1 3 1 ¯; 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −i −1 ¯ 1 2 1 4 ¯ c) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 64. A kifejtési tétel értékét: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a) ¯ ¯ ¯ 0 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ d) ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 3 ¯ ¯ 5 ¯ ¯ 31 2 4 6 23 3 5 7 55 1 −i −1 i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ 4 6 8 42 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯! ¯ ¯ ¯ alkalmazásával számı́tsa ki a következő determinánsok 0 0 5 1 0 0 6 2 5 6 7 3 1 2 3 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ b) ¯ ¯ 3 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ −8 ¯ ¯ −11 ¯ 1 1 1 ¯¯ 1 1 1 ¯¯ ! 5 9 5 ¯¯ 7 7 4 ¯ 65. Határozzuk meg az A mátrix determinánsát, ha az A mátrix aij elemét a következő eljárás szerint képezzük: a) aij = min(i; j), b) aij = max(i; j). 66. Írjuk fel x polinomjaként az alábbi

determinánsokat: ¯ ¯ 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 2 3 ¯ 1 x+1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 − x2 2 ¯ 3 ¯ 1 2 ¯ ¯; a) b) ¯ ¯ 2 ¯ 3 1 6 ¯ . . ¯ ¯ ¯ . . ¯ 2 3 1 9 − x2 ¯ ¯ ¯ 1 2 3 3 x+1 . . . . . 3 . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ x+1 ¯ n n n . . 16 c) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 . . 1 1 . 1 1 2−x 1 . 1 1 3 − x . 1 . . . . . . 1 1 . n + 1 − x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯! ¯ ¯ ¯ ¯ 67. Legyen A egy (n + 1)-ed rend kvadratikus mátrix Az x mely értékeinél lesz az |A| = 0, ha ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A=¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 1−x 1 1 1 2−x . . . . . . 1 1 1 . . . . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ ¯ n−x ¯ 1 1 1 . . 68. Igazolja, hogy bármely páratlan rendű antiszimmetrikus mátrix determinánsa nulla! 69. Bizonyı́tsuk be a sorok (vagy az oszlopok) megfelelő összegzésével, hogy |B| = 0, ha ¯ ¯ ¯ −4 1 1 1 1 ¯¯ ¯ ¯ 1 −4 1 1 1 ¯¯ ¯ ¯ 1 −4 1 1 ¯¯ . B=¯ 1 ¯ 1 1 1 −4 1 ¯¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 −4 ¯ 70. Mutassuk meg

kizárólag sorok (vagy oszlopok) egymásból való kivonásával, hogy az alábbi A mátrixhoz tartozó determináns értéke zérus. ¯ 2 ¯ ¯ 1 22 32 42 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 2 32 42 52 ¯ ¯ ¯ A=¯ 2 2 2 2 ¯. ¯ 32 42 5 2 62 ¯ ¯ 4 5 6 7 ¯ 71. Határozzuk meg a következő mátrixok inverzét:    1 1 2 4  0 1 1 ;  1 a) b) 1 1 3 5 −3 2 11  0 −3  ; −16 17  c) −2  3 2  e) 1 2  2 3   1 1 −1 0   5 1 −1 4  ; 0 7 3 1 1 −2 1  1   1 1 d)  4 2  ; −1  −6  1 1 −1 −1 1  2   3 −1 f) 1 −1 1 −1 0 1 2 0  1 −1  ; −1  1 0 −1 0 1  −1 −1   −1  1 72. Milyen λ értékek mellett invertálhatók az alábbi mátrixok:     1 1 2 1 λ −12  3 −1  −2 −3 λ ; λ ; a) b) 1 −1 −1 1 2 6  c) 1 λ 0 λ 0 1  0 1 ! 1 λ 73. Oldjuk meg Cramer szabállyal a következő

lineáris egyenletrendszereket:     1 1 2 −1  2 −1 2  X =  −4  ; a) 4 1 4 −2  b) 1  2   3 2 2 −1 2 −3 3 −2 −1 4   −2 6  8 −3  X =   4 2  1 −8     18 Euklideszi terek 74. Számı́tsuk ki az alábbi vektorpárok összegét, belső szorzatát, normáját és szögét: a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 1, 1 − 3) a = (5, 1, 3, 4), b = (10, 2, 6, 8) √ √ a = (0, 3, 0, 1), b = (0, 1, 0, 3) 75. Mekkora az a és b vektorok által bezárt szög, ha a = s + t, b = s − t, ahol s és t egyenlő normájú. 76. Milyen szöget zárnak be az s és t egységvektorok, ha a = s+2t és b = 5s−4t egymásra merőleges (ortogonális)? 77. Tudjuk, hogy kak = 2, kbk = 5 és a és b szöge 2π/3 Az α együttható mely értéke esetén lesz ortogonális a c = αa + 17b és a d = 3a − b vektorpár? 78. Mutassuk meg, hogy az olyan diagonális mátrix oszlopvektorai,

amelynek a főátlójában álló elemek nullától különböznek, a megfelelő dimenziójú Rn euklideszi vektortérnek ortogonális bázisát adják. 79. Mutassuk meg, hogy ha x vektor ortogonális a b1 , b2 , , bk vektorok mindegyikére, akkor ortogonális az általuk kifeszı́tett altérre is 80. Számı́tsa ki az x = (1, 3, 5) vektornak az e = (−1, 2, −3) vektor irányába eső merőleges vetületét! 81. Számı́tsa ki az x = (1, 3, 5) vektornak az L = L((−1, 2, −3), (0, 1, 2)) generált altérre eső merőleges vetületét! 82. Gram-Schmidt eljárással ortogonalizáljuk a megadott bázist! a) a1 = (1, 0, 1), a2 = (2, 1, 0), a3 = (0, 3, 1) b) a1 = (0, 2, 1), a2 = (1, 0, 1), a3 = (1, 1, 1) c) a1 = (0, 0, 1, 1), a2 = (1, 1, 0, 0), a3 = (1, 0, 1, 1), a4 = (1, 0, 1, 0) 83. Határozzunk meg ortonormált bázist a következő vektorok generálta altérben! a) a1 = (1, 2 − 1, 3), a2 = (3, 0, 3 − 5), a3 = (2, 1, 1 −

1), a4 = (1, −1, 2, 4) b) a1 = (2, 0, 0, 1), a2 = (0, 3, 1, 0), a3 = (1, 0, 10, 3), a4 = (−5, 0, 10, 0) 84. Adja meg a H ⊥ ortogonális komplementer altér egy bázisát, ha H = L((−1, 0, 2, −3), (0, 1, 2, 0), (−1, 1, 4 − 3))! 19 85. Legyen H ⊂ R4 a 2x1 3x1 3x1 + x2 + 2x2 + x2 + 3x3 + 9x3 − x4 − 2x4 − x4 = = = 0 0 0 lineáris egyenletrendszer megoldásaltere. Írjuk fel H ⊥ egy bázisát 86. Adjuk meg az x ∈ R4 vektor H altérre eső merőleges vetületét, ha a) x = (4, −1, −3, 4); H = L{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, −1), (1, 0, 0, 3)} b) x = (7, −4, −1, 2), H pedig a 2x1 3x1 x1 + + + x2 2x2 2x2 + + + x3 2x3 2x3 + 3x4 + x4 − 9x4 = = = 0 0 0 lineáris egyenletrendszer megoldásaltere. 87. Határozzunk meg R4 -ben olyan ortogonális bázist, melynek egyik vektora b1 = (1, 2, 1, −1). 88. Határozzunk meg ortonormált bázist a következő vektorok generálta altérben! a1 = (1, −1, 2, 1), a2 = (−2, 1,

−1, −1), a3 = (0, −1, 3, 1), a4 = (−1, 0, 1, 0) 89. Bizonyı́tsuk be, hogy ha A és B két n-edrendű ortogonális mátrix, akkor az A · B és B · A szorzatmátrixok is ortogonálisak! 90. Bizonyı́tsuk be, hogy ha egy kvadratikus n-edrendű A mátrix esetén AT A olyan diagonális mátrix, melynek főátlóján csupa nullától különböző szám áll, akkor A oszlopvektorai (illetve sorvektorai) bázist, sőt ortogonális bázist alkotnak Rn -ben! 91. Legyen a = (1, 2, 3, 0) és b = (1, −1, 2, 1) Állapı́tsuk meg, hogy milyen λ ∈ R szám esetén lesz minimális az a − λb vektor normája! 92. Vannak-e olyan nullától különböző α, β, γ valós számok, melyekre a b1 = (α, β, γ, 0), b2 = (0, α, β, γ), b3 = (γ, 0, α, β), b4 = (β, γ, 0, α) vektorok ortogonális vektorrendszert alkotnak? 93. Az a1 , a2 , , ak ∈ E vektorrendszer Gram determinánsának nevezik a ¯ ¯ ¯ (a1 , a1 ), . (a1 , ak ) ¯

¯ ¯ ¯ ¯ . . G(a1 , a2 , . , ak ) = ¯ ¯ . . ¯ ¯ ¯ (ak , a1 ), . (ak , ak ) ¯ k-adrendű determinánst. Mutassuk meg, hogy G(a1 , a2 , , ak ) ≥ 0, s G(a1 , a2 , . , ak ) = 0 pontosan akkor teljesül, ha a1 , a2 , , k lineárisan függő. Vezessük le ebből a Schwarz egyenlőtlenséget 20 Lineáris transzformációk 94. Tekintsük R2 -ben az origóra való tükrözést Lineáris transzformáció-e? Írjuk fel valamely bázisra vonatkozó mátrixát! 95. Írjuk fel az R2 -beli y tengelyre vonatkozó tükrözésnek és az origó körüli α szögű elforgatásnak a természetes bázisra vonatkozó mátrixát! Regulárisak-e ezek a transzformációk? 96. Legyen ϕ: R3 R3 lineáris transzformáció mátrixa (a természetes bázisra vonatkozóan)   1 3 2 A= 2 1 1  3 2 3 a) Határozzuk meg az x = (1, 1, 2) vektor képét! b) Határozzuk meg azt az x vektort, melynek képvektora az y = (−2,

−5, −5) vektor! 97. R3 -ban tekintsük az y = x sı́kra vonatkozó tükrözést! Írjuk fel a transzformáció mátrixát a természetes bázisban! 98. Igazoljuk, hogy a nullvektort minden lineáris leképezés a nullvektorba képezi le. 99. Mutassuk meg, hogy bármely lineáris leképezés lineárisan függő vektorrendszert lineárisan függőbe képez le 100. R3 -ban tekintsük az [x, y] sı́kra történő merőleges vetı́tést Írjuk fel először a természetes bázisra, majd a b1 = (1, 1, 1), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, 0, 1) bázisra vonatkozó mátrixát! Reguláris-e ez a transzformáció? 101. A ϕ: R3 R3 lineáris transzformáció az a1 , a2 , a3 lineárisan független vektorokat a b1 , b2 , b3 vektorokba viszi át. Írjuk fel ϕ-nek a természetes bázisra vonatkozó mátrixát, ha a1 = (5, 3, 1), a2 = (1, −3, −2), a3 = (1, 2, 1) b1 = (−2, 1, 0), b2 = (−1, 3, 0), b3 = (−2, −3, 0). 102. Legyen ϕ: R3

R3 az a lineáris transzformáció, mely a természetes bázis vektorait a ϕ(e1 ) = (1, 2, −1), ϕ(e2 ) = (0, 1, −1), ϕ(e3 ) = (1, 2, 3) 21 vektorokba képezi le. Írjuk fel ϕ-nek a természetes báztisra vonatkozó mátrixát! Tekintsük R3 -nak a b1 = (1, 0, 1), b2 = (1, 1, 0), b3 = (1, 1, 1) bázisát. Adjuk a lineáris transzformáció mátrixát a b1 , b2 , b3 alkotta bázisban, s határozzuk meg az x vektor képvektorát, ha x koordinátái a b1 , b2 , b3 bázisban (4, −1, 3). 103. Az R3 -beli lineáris transzformációk természetes bázisra vonatkozó mátrixai a következők:     1 1 0 1 1 3  2 3 1   1 2 4  −2 3 5 1 1 3 Határozzuk meg a transzformációk nullterét, defektusát és rangját! 104. R3 minden vektorát forgassuk el a z tengely körül 45◦ -kal Határozzuk meg e transzformáció mátrixát, továbbá a (2, 4, 3) vektor képét. Mely vektor transzformálódik a (−1,

4, 0) vektorba? Határozzuk meg az 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat! 105. Határozzuk meg a következő lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit, sajátaltereit Vizsgáljuk meg a diagonalizálhatóságot, s annak esetén adjunk meg sajátvektorok alkotta bázist a) ϕ: R3 R3 , (α, β, γ) 7 (α − 2γ, 0, 2α + 4γ) b) ϕ: R3 R3 , (α, β, γ) 7 (2α + 2β, β − γ, 2β + 4γ) 106. Vizsgáljuk meg, hogy melyek diagonalizálhatók az alábbi mátrixok közül R ill. C felett A diagonalizálhatók esetében határozzuk meg azt az S mátrixot, amellyel S −1 AS diagonális mátrix.     2 1 1 2 −1 1 3 4  3 −1  A= 2 A= 0 −1 −1 −2 2 1 3     2 1 1 2 0 4 A= 2 3 2  A =  3 −4 12  3 3 4 1 −2 5 107. Legyen adott az R3 R3 transzformáció mátrixával:   1 1 3 A =  1 2 4 . 1 1 3 Mutassuk ki, hogy a képvektorok tere

kétdimenziós! Eleme-e a képvektorok terének az y = (1, −4, 6) vektor? 22 108. Egy ϕ: R3 R3 lineáris transzformáció esetén a természetes bázis vektorai a következő vektorokba képződnek: ϕ(e1 ) = (1, 2, 3), ϕ(e2 ) = (3, 1, 2), ϕ(e3 ) = (2, −1, −1). Mutassuk meg, hogy ez a transzformáció nem reguláris Igazoljuk, hogy az x = (1, 1, 1) és y = (2, 0, 2) vektorok képei azonosak. Írjuk fel a a transzformáció mátrixát a b1 = (0, 2, 1), b2 = (1, 0, 1), b3 = (0, 3, 0) vektorok alkotta bázisban! 109. Határozzuk meg az alábbi A mátrixszal adott lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait!     2 1 1 2 −1 −1 0  a) A =  1 3 1  b) A =  0 −1 0 2 1 1 2 2 110. A 2 × 2-es mátrixok vektorterében tekintsük a µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ 1 0 0 1 0 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ¶ természetes bázist. Adjuk meg e bázisra vonatkozó mátrixát a következő lineáris

operátoroknak: a) transzponálás operátora, b) ϕAB : M2×2 M2×2 , ϕAB (X) = AXB, ahol A, B ∈ M2×2 rögzı́tett mátrixok, Hogyan változnak ¶ operátorok mátrixai, ha a bázisban a ¶ µ meg ezen µ 0 0 0 1 -t felcseréljük? -t és 1 0 0 0 111. Igazoljuk, hogy reguláris transzformáció a lineárisan független vektorrendszereket lineárisan függetlenbe képezi 112. Mutasssuk meg, hogy ha az A és B mátrixok hasonlók, akkor a) A2 és B 2 is hasonlók, b) Ak és B k is hasonlók minden k ∈ N -re, c) f (A) és f (B) hasonlók, ahol f (t) tetszőleges polinom. 113. Bizonyı́tsuk be, hogy különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek! 114. a) Bizonyı́tsuk be, hogy páratlan dimenziós valós vektortéren értelmezett lineáris operátornak mindig van sajátértéke. b) Páros dimenziójú valós vektortér esetén, ha egy lineáris operátor mátrixának determinánsa

negatı́v, akkor létezik mind pozitı́v, mind negatı́v sajátértéke. c) Mutassuk meg, hogy minden negatı́v determinánsú 2 × 2-es mátrix hasonló egy diagonális mátrixhoz. 23 Euklideszi terek transzformációi 115. Tekintsük R3 -ban az [x, y] sı́kra vonatkozó tükrözést, továbbá a merőleges vetı́tést. Szimmetrikus, illetve ortogonális transzformációk-e? 116. Mutassuk meg, hogy ha egy ϕ transzformáció λ sajátértékéhez tartozó sajátvektor egységvektor, akkor (ϕ(x), x) = λ. 117. Bizonyı́tsuk be, hogy szimmetrikus transzformáció különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. 118. Tekintsük R3 -ban az y = x sı́kra vonatkozó tükrözést Írjuk fel e transzformáció mátrixát! Szimmetrikus, illetve ortogonális-e ez a transzformáció? 119. Tekintsük R3 -ban a z tengelyre vonatkozó tükrözést Írjuk fel e transzformáció mátrixát!

Szimmetrikus, illetve ortogonális-e ez a transzformáció? Határozzuk meg az x = (1, 1, 1) vektor képét! 120. Határozzuk meg R3 -ban  1 a) A =  0 0 azt a sı́kot, melyre vonatkozó   0 0 0 0 1  b) A =  0 1 0 1 tükrözés mátrixa  0 1 1 0  0 0 121. Határozzunk meg a következő mátrixszokkal adott szimmetrikus transzformációkhoz sajátvektorokból álló ortonormált bázist! Másszóval: Határozzunk meg olyan S ortogonális mátrixot, melyre S T AS diagonális, ha µ ¶ µ ¶ 2 2 9 12 A= A= 2 5 12 16     1 3 0 1 3 4 A =  3 −2 −1  A= 3 1 0  0 −1 1 4 0 1 122. Határozzuk meg az alábbi A mátrixszal adott lineáris transzformáció sajátértékeit és azon sajátvektorait, amelyek egységnyi hosszúak!     2 1 1 1 0 −1 1  a) A =  1 2 1  b) A =  1 2 0 0 1 2 2 3 123. Kvadratikus forma-e R3 -an a) ϕ: R3 R ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 b) ϕ:

R3 R ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x1 + x22 + x33 24 c) ϕ: R3 R ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x21 − 3x22 + 5x23 d) ϕ: R3 R ϕ(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 )(x1 + 3x2 + 5x3 ) Írjuk fel e kvadratikus formák mátrixát! 124. Határozzunk meg a következő kvadratikus formákhoz kanonikus bázist! a) 2x21 + 5x22 + 4x1 x2 b) 9x21 + 16x22 + 24x1 x2 c) x21 − 2x22 + x23 + 6x1 x2 − 2x2 x3 d) x21 + x22 + x23 + 6x1 x2 + 8x1 x3 125. Alkalmazzuk Lagrange módszerét a ψ: R3 R kvadratikus forma kanonikus alakra hozására: a) ψ(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 4x22 + 9x23 + 2x1 x2 + 6x2 x3 b) ψ(x1 , x2 , x3 ) = 5x1 x2 + 2x2 x3 + 6x1 x3 c) ψ(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x22 + 5x23 + 2x1 x2 + 4x2 x3 d) ψ(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 Határozzuk meg a kanonikus alakhoz tartozó kanonikus bázist is! 126. Igazoljuk, hogy az A és AT által meghatározott Rn -beli transzformációk sajátértékei azonosak. 127. Mutassuk meg, hogy a Q(x) = ax21 + bx1 x2 + cx22

kvadratikus forma pontosan akkor pozitı́v definit, ha a > 0 és b2 − 4ac < 0 128. Bizonyı́tsuk be, hogy egy A szimmetrikus mátrixszal meghatározott kvadratikus forma pontosan akkor pozitı́v definit, ha létezik olyan reguláris P mátrix, hogy A = P T P