Matematika | Felsőoktatás » Matematika szigorlat tételek, 2007

Matematika szigorlat 1. Tétel A) Halmaz, részhalmaz. Műveletek halmazokkal Tetszőleges dolgok összességét halmaznak tekintjük. Az összességbe tartozó dolgok a halmaz elemei. A halmaz jelölésére a nagybetűket használjuk (A, B, C stb.), elemeiket {} között tüntetjük fel (analitikus megadás), illetve megfogalmazzuk az őket, összefogó utasításokat (szintetikus megadás), ha a h almaz összes eleme nem sorolható fel. A halmazokat Venn-diagrammal ábrázoljuk (kör, téglalap stb.) A halmazba tartozás jele: (eleme) Két halmazt akkor nevezzünk azonosnak, ha pontosan ugyanazok az elemeik. Speciális halmazok Az alaphalmaz (teljes halmaz) azon elemek összessége, melyeken adott esetben a halmazműveletek értelmezhetőek. Jele: X Az üres halmaznak egyetlen eleme sincs. Jele: ∅ Két (vagy több) halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Halmaz és részhalmaza Az A halmaz (valódi) részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jele: A ⊂ B Ha

A = ∅ vagy A = B, akkor A triviális (nem valódi) részhalmaza B-nek. Ha két halmaz kölcsönösen tartalmazza egymást, akkor egyenlőek. A részhalmazokra teljesülnek az alábbiak: • A ⊆ A (reflexivitás) • A ⊆ B ⇒ B ⊆ A (antiszimmetria) • A ⊆ B és B ⊆ C ⇒ A ⊆ C (tranzitivitás) Az előzőekből következik, hogy • minden halmaz tartalmazza önmagát (részhalmaza önmagának), • az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Valamely halmaz összes lehetséges részhalmazának halmazát az adott halmaz hatványhalmazának nevezzük. Jele: P(A) Ha A n-elemű, akkor P(A) elemeinek száma 2n. Pl.: A={a,b,c} A={ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}=P(A)=2A Műveletek Egyesítés (összeg vagy unió) (Jele: ∪; A+B) Az A és B halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek az A és B közül legalább az egyiknek elemei. Az unió asszociatív és kommutatív Pl:H ∪ K = {x|x∈H vagy x∈K} Pl.: A={a,b,c,d} B={a,b,e} A∪B={a,b,c,d,e} Metszet

(szorzat vagy közös rész) (Jele: ∩; AB) Az A és B halmazok metszete azon elemek halmaza, melyek az A-nak is és a B-nek is elemei. A metszet asszociatív és kommutatív. Pl.: H ∩ K = {x|x∈H és x∈K} Azonosságok: H∩H = H (idempotencia) H∩K = K∩H (kommutativitás) H∩(K∩L)=(H∩K)∩L (asszociativitás) Megjegyzés. Ha H ∩ K = ∅, H és K diszjunktak vagy idegenek Különbség (Jele: -) Az A és B halmaz különbsége azon elemek halmaza, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem elemei. Pl.: H – K = {x| x∈ H és x ∉ K} Azonosságok: 1. H - K⊆ H 2 (H - K) ∩K =∅ 3. H - K = H, akkor és csak akkor, ha H∩K=∅ 1 Matematika szigorlat Komplementer (Jele: (föléhúzás)) B halmaz komplementere X alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, melyek nem elemei B halmaznak. Pl.: Példa A = {a, b, c, d, e}, X={a magyar ábécé betűi} Ā={a magyar ábécé betűi az a, b, c, d, e betűk kivételével}. Azonosságok: H ∩ H = ∅; H ∪ H = X H ∩ ∅ = ∅; H ∪

∅ = H H ∩ X = H; H ∪ X = X H ∩ (K ∪ L ) = (H ∩ K ) ∪ (H ∩ L ) H =H H ∪ (K ∩ L ) = (H ∪ K ) ∩ (H ∪ L ). H ∩ K = H ∪ K ; De Morgan H ∪ K = H ∩ K ; De Morgan H − K = H ∪ K = H ∩ K. Két halmaz diszjunkt, ha metszetük üres: A ∩ B = ∅ B) A differenciálhányados fogalma. Differenciális szabályok Differenciálszámítás: Differenciálás (deriválás): adott függvényhez egy másik függvény hozzárendelése egy művelet (operátor) segítségével. Eredmény: differenciálhányados vagy derivált függvény A művelet lényege: különbségi hányados határértékének képzése. Jelentés: a függvényérték változását jellemzi a független változó értékének változásakor. A derivált fogalma f(x) függvény x pontjába húzott érintőjét úgy közelíthetjük, hogy kiszámítjuk a függvényérték f ( x + h) − f ( x) változását x érték h-val történő változtatásának hatására, azaz keressük az h hányados

értékét x pontban. Nyilvánvaló, hogy a fenti hányados annál pontosabban közelíti a függvény érintőjét, minél kisebbre választjuk h értékét. A legnagyobb pontosságot h= 0 helyen kapnánk, de itt a fenti hányados nem értelmezhető. Értelmezhető viszont a h0 helyen vett határértéke, amely a függvény differenciálhányadosát, más néven deriváltját adja. df (x) f (x + h) − f (x) df dy Más jelölések: , , y′(x) , y’. ≡ f (x) = lim h 0 dx h dx dx Differenciál Meghatározhatjuk, hogy x pont környezetében hogyan változik f(x) függvény értéke. Ezt az alábbi összefüggés adja meg: 2 Matematika szigorlat  df  df(x) = f(x) dx df(x)-et nevezzük a függvény differenciáljának. Más jelölések: f ′( x0 ),   ,  dx  x = x0 df ( x0 ) df , y′( x0 ), dx dx x0 Differenciálási szabályok Ha f és g függvények valamilyen H halmazon (x valamilyen környezetében) differenciálható függvények, akkor ezek összege,

különbsége, szorzata és hányadosa is differenciálható (kivéve a nevező zérushelyeit). Összeg és különbség deriváltja (f + g) = f + g és (f - g) = f - g Szorzat deriváltja (f * g) = f g + f g Hányados deriváltja ′ ′ / 1  1  f f g − f g g ′( x )  = − 2 Következmény:   ( x) =    = 2 g (x ) g g g  g ( x)  Függvény szorzása konstanssal (c*f(x)) = cf(x) Összetett függvény deriváltja (Láncszabály) Ha g függvény differenciálható x helyen, és f függvény differenciálható g(x) helyen, akkor y = f(g(x)) függvény is differenciálható x helyen az alábbiak szerint: ′ y′(x ) = ( f (g (x ))) = f ′(g (x ))g ′(x ) Az összefüggés tetszés szerinti mélységben egymásba ágyazott függvényekre alkalmazható. ′ Láncszabály többszörösen összetett függvény esetén: ( f ( g (h( x )))) = f ′( g (h( x ))) ⋅ g ′(h( x )) ⋅ h′( x ) df df dg dh A

láncszabály más (Leibniz-féle) jelöléssel: y′( x ) = = ⋅ ⋅ dx dg dh dx Implicit függvény deriválása Implicit függvényről akkor beszélünk, ha a függvény nem rendezhető oly módon, hogy bal oldalán csak függő, jobb oldalán csak független változó legyen. Ilyenkor az egyenlet mindkét ( ) ( 2 ) oldalát differenciálhatjuk (ha egyébként differenciálható). x 2 + y 2 + x − x 2 + y 2 = 0 ′ Inverz függvény deriváltja: f −1 ( x ) = ( ) 1 1 = f ′( y ) f ′ f −1 ( x ) ( ) Magasabbrendű deriváltak Ha f függvény x ponton n-szer differenciálható, f(n) függvény az x helyen értelmezett, akkor azt mondjuk, hogy f(n) az f n-edrendű deriváltja. C) Feladatok: a. Hány darab négyjegyű szám van, amelynek minden jegye páratlan? 10 elemből 4-et kell kiválasztani (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) a számjegyek 1,3,5,7,9 lehetnek tehát : 5*555=625 3 Matematika szigorlat     b. Adottak az a = ( 1 ; 2 ; 1 ) és b = ( 4 ; 2 ;1 )

vektorok Mekkora az a és b vektorok szöge?  (1 * 4) + (2 2) + (1 1) ab 9 9 = = = 0,802 ⇒ α = 36,7  cos α =   = 2 2 2 2 2 2 6 * 21 11,225 ab 1 + 2 +1 * 4 + 2 +1 c. Az f(x) = 9 − x 2 függvény -1 ≤ x ≤ 3 ívét forgassa meg az x tengely körül Mennyi a keletkezett forgástest térfogata? a = -1 b = 3 2 f ( x) = 9 − x = 3 − x b V x = π ∫ f 2 ( x)dx a 3 3 3  (3 − x) 3   x3  − 13 33 1 2 = − V x = π ∫ (3 − x) 2 dx = π  ⇒ − − − π π 9 (( 9 ) ( 9 )) = π (−9 + ) = −8 π    3  −1 3 3 3 3  3  −1  −1 2. Tétel A) Kombinatorika. Permutáció, variáció, kombináció A kombinatorika azzal foglalkozik, hogy egy n elemű véges halmaz elemeit különböző szempontok alapján hányféleképpen lehet elrendezni, illetve kiválasztani. Permutáció N különböző elem meghatározott sorrendben való elhelyezését az n elem egy permutációjának nevezzük. Pl.: Legyen: a, b, c

Permutációk pl: b c a, c a b, a c b , stb Mennyi a permutációk száma? 1 2 3 3 2 3 1 2 1 2 3 1 3 1 2 Vegyük az {1,2,3} halmazt. A lehetséges permutációk Ha az elemek mind különbözőek, akkor az ismétlés nélküli permutációk száma n számú elem összes permutációinak Pn száma: Pn = n(n - 1)(n - 2).3•2•1 = n! n!= n(n - 1)(n - 2) 2•1 Megjegyzés. 1 n! = n(n-1)! ezért a fenti képlet így is írható: Pn = nPn-1 (rekurzív képlet) 2 Definíció szerint 0! = 1. 3. Az n növekedésével az n! nagyon erősen növekszik Például 10!=3 628 800 2 Az n! n+ 1 2 közelítésére a Stirling formulát használhatjuk. Eszerint: n!≈ 2π e n Ha az n elem közül k (≤ n) megegyező van, de a többi elem ezektől is és egymástól is különbözik, P n! akkor az ismétléses permutációk száma: Pn ,k = n = k! k! Ha az n elem r különböző csoportra bomlik úgy, hogy az egyes csoportokba tartozó elemek egyenlőek (egymástól nem különböztethetőek meg), de a

különböző csoportbeliek különböznek, és az első csoportban k 1 , a másodikban k 2 ,., az r csoportban k r elem van (k 1 +k 2 ++k r = n), n! akkor az n elem összes ismétléses permutációjának száma: Pn ;k1 ,k2 ,.,kr = k1! k2 !.kr ! Variáció Ha n különböző elem közül k (≤ n) elemet kell úgy kiválasztani, hogy minden elemet legfeljebb egyszer választunk ki és a sorrendre is tekintettel vagyunk, akkor az n e lem k-adosztályú (ismétlés nélküli) variációit kapjuk: n! (Ha n = k, akkor V n,k = P n .) Vn ,k = n * ( n − 1) . * ( n − k + 1) = ( n − k )! Pl.: Egy 30 fős csoportból hányféleképpen állíthatunk össze elnökből, alelnökből, titkárból és pénztárosból álló vezetőséget? Megoldás. V 30 ; 4 = 30 • 29 • 28 • 27 = 657720 −n Ha egy elemet többször is kiválaszthatunk, akkor az n elem k-adosztályú ismétléses variációit kapjuk: Vn(,ik) = n k 4 Matematika szigorlat Megjegyzés. Figyelni kell arra, hogy az

"ismétlés” fogalma a p ermutáció és variáció esetében más! Pl.: Hány totószelvényt kell kitöltenünk (különböző módon) ahhoz, hogy biztosan legyen köztük 13 találatos? Megoldás. Ismétléses variációról van szó tehát V3i;13 = 313 == 1594323 Kombináció Ha n különböző elem közül k (≤ n) különböző elemet választunk ki oly módon, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor az n e lem egy k-adosztályú (ismétlés nélküli) kombinációját kapjuk: n n! n( n − 1).( n − k + 1)  n  = =     = 1 C n ,k = k!( n − k )! k! k 0   90  90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 Pl.: Hányféleképpen lehet kitölteni egy lottó szelvényt?   = = 43949268 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 5  Ha a kiválasztáskor egy elemet többször is kiválaszthatunk, akkor az n e lem k-adosztályú  n + k − 1 ismétléses kombinációit kapjuk: C n( i,k) =   k 

 Pl.: 7 elemből hány olyan hármas csoport nyerhető, ahol az elemek sorrendjére nem kell tekintettel lenni, és ugyanazt az elemet egy csoportban akár 3-szor is fel lehet tüntetni?  7 + 3 − 1  9   =   = 84. C7i ;3 =   3  3 n Az   számot binomiális együtthatónak nevezzük, értéke kis számok esetén a P ascal k háromszögből határozható meg. Tulajdonságok. n  n   l. Szimmetria: ;   =  k  n − k   n   n   n + 1  =   2. Összegtulajdonság:   +   k   k + 1  k + 1 n n 3. Az n-edik sor összege: (1 + 1) n = ∑   = 2 n k =0  k  n 4. Bernoulli egyenlőtlenség (1 + a ) ≥ 1 + na, (a ≥ −1, n ≥ 1) B) Az elemi függvények deriváltjai. (c) = 0 (sin x) = cos x ′ de x = ex = ex dx (ax) = ax * lna (tgx )′ = 12 = 1 + tg 2 x cos x 1 (arccos x) = −

1 − x2 (shx )′ = chx ( ) (xn) = n*xn-1 1 ln(x) = (cos x) = -sin x 1 / log a x) = ( x x ln a 1 (ctgx )′ = − 2 = −1 − ctg 2 x (arcsin x) = 1 sin x 1 − x2 1 1 (arc tg x) = (arc ctg x) = − 2 1 + x2 1+ x (chx )′ = shx (thx )′ = 12 , ch x (arshx )′ = 12 (archx )′ = 12 x >1 x +1 x −1 5 1 sh 2 x (arthx )′ = 1 2 , x < 1 1− x (cthx )′ = − (arcthx )′ = 1 , x >1 1− x2 Matematika szigorlat ′ Az xα függvény tetszőleges α esetén: xα = αxα −1 Mivel x>0 esetén xα = eα ln x a láncszabályt ′ ′ 1 1 ′ alkalmazzuk: (xα ) = (eα ln x ) = eα ln x (α ln x ) = eα ln x ⋅ α ⋅ = xα ⋅ α = α xα −1 x x ( ) f ( x + h) − f ( x ) c−c = lim = 0. h 0 h 0 h h 1 1 1 1 1 d ln x = y = y = ln x = ln(x) = Bizonyítás: x de dx e e x dy ′ ln x  1 (ln x )′ = 1 (log a x) / = x ln1 a Bizonyítás: (log a x )′ =  ln  = x ln a  a  ln a (c)’=0. Bizonyítás: f ′( x) = (c)′ = lim C) Feladatok: a.

Írja fel trigonometrikus alakban a z = - 3 + i komplex számot Mivel egyenlő z 5 ? 5 1 2 b. Határozza meg az A = 0 − 1 − 2 mátrix rangját 3 − 2 − 1  4x − x3 c. Számítsa ki a következő integrálokat: a, ∫ dx = x2 b, π ∫π 2 sin xdx = − 3. Tétel 6 A) Komplex számok. Műveletek komplex számokkal Az a + bi alakú számokat, ahol a és b valós számok, i pedig olyan szám, amelyre i2 = -1 (ún. képzetes egység), komplex számoknak nevezzük. A komplex számokat általában z-vel jelöljük (z = a + bi) Tulajdonságai Kommutativitás: z1 + z 2 = z 2 + z1 , z1 z 2 = z 2 z1 Asszociativitás: z1 + ( z 2 + z3 ) = ( z1 + z 2 ) + z3 Disztributivitás: z1 ( z 2 + z3 ) = z1 z 2 + z1 z3 Műveletek: Két komplex szám egyenlő, azaz z 1 = z 2 , ha a 1 = a 2 és b 1 = b 2 . Összeadás: tagonként összeadjuk a valós és a képzetes tagokat. zl + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i)=(a1 + a2) + (b1+ b2)i Pl.: zl = 3 - 2i, z2 = 4 + 3i, zl +

z2 = 7 + i Kivonás: mindenben megegyezik az összeadással, csak a műveleti jel „+” helyett „-”. zl - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i Pl.: zl = 5 + 2i, 2 =1 + 3i, zl - z2 = 4 - i Szorzás: a tagokat formálisan összeszorozzuk (i2 = -1). zl z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) =(a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i Pl.: zl = 2 + 3i, z2 = 4 + 5i, zl z2 = (2 • 4 - 3 • 5) + (2 • 5 + 3 • 4)i = -7 + 22i z1z2 = (8 + 12i + 10i + 15i2) = 8 -15 + 22i = -7 + 22i Osztás: a törtet bővítjük a nevező konjugáltjával, így a nevezőben mindig valós számot kapunk. z1 a1 + b1i a1a2 + b1b2 b1a2 − a1b2 i = = + 2 z 2 a2 + b2 i a22 + b22 a2 + b22 A hatványozás: zn=zz.z Értelmezhető a törtkitevős hatvány, azaz 6 m z n is komplex szám. Matematika szigorlat Konjugált: a z = a + bi komplex szám konjugáltján az a - bi komplex számot értjük, és ezt z -vel (ill. a + bi -vel) jelöljük. Láttuk, hogy 2 + 3i kielégíti másodfokú egyenletünket.d < 0

esetén a gyököt úgy kapjuk meg, hogy a másod- fokú egyenlet “megoldó képletében” a “gyökös részt” d = d (−1) = d i alakban írjuk fel (feltételezzük.hogy d < 0) Az i képzetes egység az x2 + 1 = 0 másodfokú egyenletnek a gyöke B) Kétváltozós függvények szélsőértéke. A kétváltozós függvénynek azon a ponton lehet helyi szélsőértéke, ahol a felület érintősíkja párhuzamos az x - y síkkal, vagyis ahol mind x, mind y szerinti parciális deriváltjának zérushelye van. Ezeket a pontokat (több is lehet) a függvény stacionárius helyeinek nevezzük Az, hogy egy stacionárius pont valóban lokális szélsőértéhely-e, a másodrendű parciális deriváltak segítségével dönthető el. Ennek érdekében képezzünk a másodrendű deriváltakból determinánst az alábbiak szerint: f xx/ / (x, y) f xy/ / (x, y) D(x, y) = / / f yx (x, y) f yy/ / (x, y) Amennyiben D(x,y) > 0 a vizsgált helyen, akkor a függvénynek ott lokális

szélsőértéke van. D(x,y) < 0 esetén biztosan nincs szélsőérték, D(x,y) = 0 esetén a kérdés eldöntéséhez további összetett vizsgálatok szükségesek. Ha van szélsőérték, akkor f" xx (x,y) > 0 esetén minimuma, f" xx (x,y) < 0 esetén maximumhelye van a függvénynek. Az ( x0 , y0 ) pont maximum, ha van olyan környezete, hogy f ( x, y ) ≤ f (x0 , y0 ), minimum, ha f ( x, y ) ≥ f (x0 , y0 ). Szélsőérték szükséges feltétele: f x′( x0 , y0 ) = 0 , f y′ ( x0 , y0 ) = 0 Elégséges feltétel: f xx′′ (x0 , y0 ) f yy′′ (x0 , y0 ) − f xy′′ (x0 , y0 ) > 0 2 Ha f xx′′ (x0 , y0 ) < 0, maximum, ha f xx′′ ( x0 , y0 ) > 0, minimum. Stacionárius hely: f x′ = 0 és f y′ = 0. Ha D( x0 , y0 ) < 0 , nincs szélsőérték. Ha D( x0 , y0 ) = 0 további vizsgálat kell C) Feladatok: a. Huszonnégy betűből hány darab magyar autórendszám készíthető? (A rendszám három betűből és három számjegyből

áll. ) Hány darab olyan rendszám van, ahol a betűk különbözőek? b. Határozza meg az f ( x) = x 2 − 4 x 3 függvény és az x tengely által bezárt véges terület mérőszámát. 7 Matematika szigorlat       c. Adottak az a = (−1;2;−2) , b = (4;−3;−5) , c = (2;1;3) vektorok Mutassa meg, hogy az a , b , c vektorok bázist alkotnak. 4. Tétel A) Komplex számok trigonometrikus alakja. z = a + bi = r(cos ϕ + isin ϕ), ahol r = | z |, ϕ = arctg(b / a). (a = r*cos ϕ, b = rsin ϕ) Műveletek z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + isin ϕ 1 ) és z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + isin ϕ 2 ) Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z 1 * z 2 = r 1 r 2 (cos (ϕ 1 + ϕ 2 ) + isin (ϕ 1 + ϕ 2 )) z1 r1 = (cos(φ1 − ϕ 2 ) + i sin (φ1 − ϕ 2 )) z2 r2 Hatványozás: zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ) Osztás: Pl.: z = 5(cos π /3 + i sin π /3), z4 = 54(cos 4 π /3 + i sin 4 π /3) ϕ + 2πk ϕ + 2πk   Gyökvonás: n z = n r  cos + i sin , ahol k =

0,1,2,., n − 1 n n   Egy komplex számnak n db n-dik gyöke van. B) Függvények vizsgálata deriváltja segítségével (monotonitás, szélsőérték) A függvények viselkedése egyszerűen írható le a deriváltak segítségével. Szélsőérték - első derivált szerinti vizsgálatok Legyen F az (a,b) nyílt intervallumon differenciálható Monotonitás 1. Tétel: Ha az f nem csökkenő az (a,b) intervallumon, akkor f’(x)≥0 (x ∈(a,b)); ha nem növekvő akkor f’ (x) ≤0 (x ∈(a,b)). Ha f’ (x)≥0 az (a,b) nyíilt intervallum minden pontjában, akkor f nem csökkenaz (a,b) intervallumon; ha f’ (x)≤0 az (a,b) minden pontjában, akkor f nem növekedő az (a,b) intervallumon. 2 Tétel: ha az (a,b) nyílt intervallumon f differenciálható és f’(x)>0 az (a,b) minden pontjában, akkor az f függvény (szigorúan)növekedő az (a,b) intervallumon. Ha f’ negatív az (a,b) minden pontjában, akkor f csökken az (a,b) intervallumon. Ha a megadott

értelmezési tartományon a függvény első deriváltja nem vált előjelet, akkor a vizsgált tartományon monoton. Ha ezek mellett az a f eltétel is teljesül, hogy f(x)<>0, akkor a függvény szigorúan monoton. Pozitív értékeknél a függvény szigorúan monoton nő, negatívnál csökken. Pl.: f(x)= x3 megfordítása nem igaz x ∈ (-1,1) esetén növekvő, de f’(0)=0 3 Tétel: ha az f függvény az (a,b) intervallumon differenciálható és ezen intervallum minden pontjában 0 a differenciálhányadosa, akkor f konstans (a,b) intervallumon. Stacionárius pont 4 Tétel: Tegyük fel, hogy az f függvénynek x0-ban helyi szélső értéke van; az x0 az f értelmezési tartományának belső pontja; x0-ban f differenciálható, ekkor f’(x0)=0 Stacionárius pontja van a függvénynek az értelmezési tartomány azon pontjain, ahol az első deriváltnak zérushelye van f’ (x0)=0. Ha a derivált a zérushely környezetében előjelet vált, akkor az eredeti

függvénynek az adott helyen lokális szélsőértéke van. Ha a derivált adott ponton csökken (pozitívból negatívba vált), akkor azon a ponton maximumhely, negatívból pozitívba váltás esetén minimumhely található. Ha a stacionárius ponton a derivált nem vált előjelet, akkor ott a függvénynek inflexiós pontja lehet (de nem biztos, hogy van). 5. Tétel: (első derivált teszt) Tegyük fel, hogy f folytonos az a pontban Ha van olyan δ>0 szám, hogy f differenciálható az (a-δ,a)∪(a,a+δ)halmazon továbbá: f’(x)>0, ha x∈(a-δ,a) és f’(x)<0, ha x∈(a,a+δ), akkor f-nek helyi maximuma van. Amennyiben f’(x)<0, ha x∈(a-δ,a) és f’(x)>0, ha 8 Matematika szigorlat x∈(a,a+δ), akkor f-nek helyi minimuma van. Ha f’ az (a-δ,a)∪(a,a+δ)halmazon azonos előjelű akkor a-ban nincs helyi szélső értéke. Szélsőérték - második derivált szerinti vizsgálat 6. Tétel: (második derivált teszt) Tegyük fel, hogy f az a pont

valamely környezetében kétszer differenciálható és f’(a) = 0. Ha f”(a)>0, akkor f-nek a-ban helyi maximuma van Ha f”(a)<0, akkor f-nek a-ban helyi maximuma van. Ha a függvény első deriváltjának a vizsgált ponton zérushelye van, második deriváltja a vizsgált ponton létezik és értéke negatív, akkor a vizsgált ponton a függvénynek helyi maximuma, pozitív második derivált esetén minimuma van. Arra az esetre, ha a mind az első, mind a második derivált értéke zérus adott helyen, alkalmazandó a következő tétel: n-dik derivált szerinti vizsgálat Legyen f(k) = 0 és f(n)<>0, ha k = [1.n-1] (természetes számok) Ha ez a feltétel n páros értékére teljesül, akkor az eredeti függvénynek a vizsgált helyen szélsőértéke van. Ha f(n)(a)<0, akkor maximuma, egyébként minimuma. Inflexiós pont vizsgálata Valamely függvénynek inflexiós pontja lehet azon a helyen, ahol első deriváltjának szélsőértéke van. Ha az a pon k

környezetében f(x)>t(x) (x≠a), akkor f a-ban konvex, ha ugyanott f(x)<t(x) (x≠a), akkor f a-ban konkáv, ha a-ban f-t előjelet vált, akkor a az f függvény inflexiós pontja. Az első derivált értékétől függetlenül, ha valamely intervallumon a második derivált létezik, és értéke pozitív, ott az eredeti függvény konvex (az x tengelyfelől nézve domború), ha negatív, akkor konkáv (x tengely felől nézve homorú). Amennyiben a vizsgált a helyen a második derivált értéke előjelet vált, akkor ott az eredeti függvénynek inflexiós pontja van. C) Feladatok: a. Legyen az alap halmaz a valós számok halmaza, továbbá A = [−3;5), B = (2; ∞) Írja fel és ábrázolja a számegyenesen a következő halmazokat: A ∪ B = A − B = A ∩ B = . 5 1 2 2 3    b. Adottak az A = 0 − 1 − 2 és B = 0 − 1 mátrixok Írja fel az A és B mátrixok 3 − 2 − 1  1 0  szorzatát. c. Mekkora az f

( x) = 9 − x 2 függvény és az x tengely által bezárt véges terület? 5. Tétel A) Vektorok skaláris szorzata (értelmezés, tulajdonságai, kiszámítása koordinátákkal) Skaláris szorzat ab = | a |*| b |cos ϕ, melynek eredménye skalár, és ahol ϕ az a és b vektorok által közrezárt szög. Ha két vektor merőleges egymásra (ϕ = π/2), akkor a skaláris szorzatuk nulla. Ez fordítva is igaz Megjegyzések: 1. Skaláris szorzás eredménye egy szám (skalár); 2 Ha a két vektor merőleges egymásra (ϕ=0) , akkor skaláris szorzatuk nulla, mert cosϕ=0, és fordítottja is igaz. Vektorok skaláris szorzata Értékét úgy kapjuk, hogy az azonos indexű koordinátákat összeszorozzuk, és ezeket a szorzatokat összegezzük: ab = (a x ,a y ,a z )*(b x ,b y ,b z ) = a x b x +a y b y +a z b z (skalárt ad) Megjegyzés. A skaláris ab szorzat értelmezéséből kiolvasható: cos ϕ = . Így a v = (v1 , v2 , v3 ) vektor x, y, z tengellyel ab (vagyis az i, j, k

vektorral) közrezárt szögének a koszinusza: 9 Matematika szigorlat v vi v v cos α = = 1 , cos β = 2 , cos γ = 3 azaz v 0 = (cos α , cos β , cos γ ). v ⋅1 v v v koordinátái tehát az ún. iránykoszinuszok Az egységvektor B) A határozatlan integrál fogalma. Integrálási szabályok Az integrálás során lényegében azt az F(x) függvényt keressük, melyre teljesül az F(x) = f(x) egyenlőség. Primitív függvény, határozatlan integrál f(x) függvénynek H intervallumban F(x) függvény primitív függvényének nevezzük, ha teljesül rá az alábbi három feltétel: 1. H része f(x) és F(x) értelmezési tartományának, 2. F(x) differenciálható H intervallumban, 3. Teljesül az F(x) = f(x) egyenlőség x∈H Mivel a deriválási szabályok alapján F(x) = F(x)+C (C tetszőleges valós szám) az f(x) függvény primitív függvénye lehet bármely F(x)+C függvény. f(x) függvény primitív függvényeinek halmazát f(x) határozatlan integráljának

nevezzük. Jelölése: ∫ f (x)dx A C tagot integrációs állandónak nevezzük. Integrálási szabályok Feltételezve, hogy ∫ f (x)dx és ∫ g ( x)dx integrálok léteznek a vizsgált halmazon, igazak a következő összefüggések: ∫ ( f (x) ± g (x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx , illetve ∫ k f (x)dx = k ∫ f (x)dx , ahol k tetszőleges valós szám. Összetett függvény integrálja Ha f(x) egy primitív függvénye F(x), akkor felírható az alábbi összefüggés: ∫ f ( g ( x)) g ( x)dx = F ( g ( x)) + C g (x ) ∈ I Természetesen a f enti szabály alkalmazásához az integrandusnak eléggé speciális alakúnak kell lennie, illetve ilyen alakra kell hozni. A fenti egyenlőség speciális esetének tekinthető az alábbi három összefüggés: f a + 1 (x) a α ≠ −1 f ( x ) f ( x ) dx = +C ∫ a +1 f (x) ∫ f (x) dx = ln f (x) + C g (x ) ≠ 0 1 ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) + C ha ∫ f (x )dx = F (x ) + C , a ≠ 0 a Parciális integrálás A

parciális integrálás során a függvények szorzatára vonatkozó deriválási szabályt használjuk fel. Ha u és v valamely intervallumon differenciálható függvények, és itt létezik primitív függvénye az uv függvénynek, akkor az uv függvénynek is létezik primitív függvénye. Ekkor felírható az alábbi összefüggés. Parciális deriválás segítségével vezethető le ∫ u( x) * v ( x)dx = u( x) v( x) − ∫ u ( x) v( x)dx Pl.: ∫ 1lnx dx=x lnx-∫x 1/xdx= x lnx ∫ dx= x lnx-x+C Integrálás helyettesítéssel Első esetben az összetett függvény integrálásánál bemutatott speciális formát használjuk fel: ∫ f ( g ( x)) g ( x)dx = F ( g ( x)) + C 10 Matematika szigorlat Ha elvégezzük az u = g(x) helyettesítést, akkor az ∫ f (u)du formulához jutunk. Ekkor megkeressük f(u) primitív függvényét, majd u helyére visszahelyettesítjük g(x)-t. 1. Kiválasztunk egy alkalmas g(x) függvényt 2. x helyett g(u)-t, dx helyett g(u)du -t

írunk Az integrandusban x sehol nem maradhat 3. u szerint meghatározzuk F(u) primitív függvényt 4. A primitív függvényen elvégezzük az u = g-1(x) helyettesítést Pl.: ∫ 1 − x 2 dx  x = sin u  1 1 1 I = ∫ 1 − x 2 dx =  = ∫ cos 2 udu = ∫ (1 + cos 2u )du = u + sin 2u + C Felhasználva,  2 2 4 dx = cos udu  hogy: 1 1 u = g −1 (x ) = arcsin x és sin 2u = 2 sin u cos u = 2 sin u 1 − sin 2 u , I = arcsin x + x 1 − x 2 + C 2 2 C) Feladatok: a. Számítsa ki az (i 4 + i 5 ) 20 értékét Az eredményt írja fel algebrai alakban is b. Oldja meg a Cramer-szabály felhasználásával a következő egyenletrendszert: x 2y + 3z = 5 2x y z = 7 3x + 5y + 2z = 4 2 2 c. Határozza meg az f ( x; y ) = x + 2 y − 6 x + 8 y + 22 kétváltozós függvény második deriváltjait. 6. Tétel A) A határozott integrál fogalma, tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula Legyen f(x) valamely [a,b] intervallumon folytonos, nem negatív függvény. Az említett

intervallumban az x tengely és a görbe közé eső területet az intervallumot n részre felosztó téglalapok területének összegeként közelíthetjük. Az így kapott részterületek összegét nevezzük a függvény adott intervallumhoz tartozó, Riemann-féle közelítő összegének. i = 1,., n max( xi − xi −1 ) = δ 1≤i ≤ n n ( ) I n = ∑ f xi* ( xi − xi −1 ) ahol x0, x1, xn egy felosztás osztópontjai, és xi ∈ [xi −1 , xi ] (i = 1,2,., n ) i =1 Ha lim δ n = 0 esetén fenti összeg határértéke véges és nem függ a felosztás alakjától, akkor azt b (Riemann-féle) határozott integrálnak nevezzük. Jelölése: ∫ f ( x )dx a Nyilvánvaló, hogy minél finomabb a felbontás (n minél nagyobb), a kapott Riemann-féle közelítő összeg annál pontosabban közelíti a terület valódi nagyságát. Ha a felbontás minden határon túl finomodik (n∞), az említett összeg a görbe alatti területtel lesz egyenlő. A fentiek alapján a

következőképpen adhatjuk meg a határozott integrál fogalmát: Határozott integrál Ha az f függvény az [a,b] intervallumon véges számú pont kivételével folytonos, korlátos, akkor az f az [a,b] intervallumon integrálható. Következmény: folytonos függvény integrálható f(x) [a,b] intervallumon értelmezett korlátos függvény integrálható, és határozott integrálja = I abban az esetben, ha [a,b] intervallum tetszőleges, minden határon túl finomodó felosztásához tartozó Riemann-összegek bármely sorozata I-hez konvergál. A határozott integrált a fentiek miatt Riemann-integrálnak is nevezzük. Egy függvény [a,b] intervallumhoz tartozó határozott integrálját az alábbiak szerint jelöljük: 11 Matematika szigorlat b ∫a f ( x)dx Határozott integrál tulajdonságai 1. Ha az f függvény az [a,b] intervallumon integrálható és c valós szám, akkor cf is integrálható b b a a itt és ∫ cf ( x )dx = c ∫ f (x )dx 2. Ha az f és g

függvények integrálhatók az [a,b] intervallumon, akkor f+g is integrálható itt és b b b b b a b a a a a b a ∫ ( f ( x ) + g ( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ; lim I n = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ; ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx a a Következmény: ∫ f ( x )dx = 0 a 3. Ha az f függvény az [a,b] intervallumon integrálható, akkor integrálható bármely b c b a a c részintervallumán is és c∈[a,b] esetén ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f (x )dx Geometriailag úgy értelmezhető ez az állítás, hogy [a,b] intervallumban f(x) függvény görbe alatti területe egyenlő a vizsgált intervallumot felosztó részintervallumokhoz tartozó területek összegével. b 4. Ha f integrálható az [a,b] intervallumon és nem negatív, akkor ∫ f ( x )dx ≥ 0 a Következményei: 1. H a f és g integrálható az [a,b] intervallumon és f(x)≥g(x) x∈[a,b], b b a a akkor ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx . b 2. Ha f integrálható

az [a,b] intervallumon és nem pozitív, akkor ∫ f ( x )dx ≤ 0 a Műveletek határozott integrálokkal A határozott integrálokkal ugyanazon műveletek értelmezhetőek, mint a határozatlan integrálok esetében, azzal a megszorítással, hogy csak azonos intervallumhoz tartozó határozott integrálok kapcsolhatóak össze művelettel. Newton-Leibniz formula Abban az esetben, ha f(x) függvénynek [a,b] intervallumban létezik F(x) primitív függvénye, akkor a határozott integrál kiszámítására a következő formula használható: b ∫a f ( x)dx = F (b) − F (a ) jelölése: [F ( x)]x = a vagy [F ( x)]a b b Ezt a képletet nevezzük Newton-Leibniz formulának. A Newton-Leibniz formulánál nem kell figyelembe venni a primitív függvényekben szereplő C konstanst, mivel az a kivonás művelete során kiesik. f (b ) − f (a ) Bizonyításhoz a Lagrance középérték tételt lehet felhasználni: f ′(ξ ) = b−a π 2 Pl.: ∫ cos xdx = [sin x ]0 2 = sin 0 π

π 2 − sin 0 = 1 B) A lineáris egyenletrendszer megoldása Crámer-szabállyal. Ez a m egoldás csak akkor alkalmazható, ha az i smeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával. A megoldáshoz vezessünk be két új fogalmat: Alapdetermináns (jele: detE) Az egyenletrendszer együttható-mátrixának (E) determinánsa. Ha ennek értéke nulla, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása. (vagy nincs megoldás, vagy végtelen sok megoldás lehetséges). x i szerinti módosított determináns (jele: D i ) 12 Matematika szigorlat Az együttható-mátrix i-dik oszlopát - a sorrend megtartása mellett - cseréljük ki az eredményvektorra, és vegyük ennek a módosított mátrixnak a determinánsát! Nyilvánvaló, hogy a módosított determináns értéke nulla is lehet. A Cramer-szabály értelmében az i-dik ismeretlen (x i ) az alábbi összefüggés szerint határozható meg: Di xi= |Ai|/|A| ahol |A| ≠ 0. xi = det E C) Feladatok: a. Számítsa ki a

következő határértékeket: a, lim n ∞ b. Mi lesz az f ( x) = ln x 3 függvény harmadik deriváltja? 6n + 5 = 7 − 3n b, lim n ∞ sin n = n 1 2 3 c. Milyen x érték esetén lesz a 2 x 5 determináns értéke -1 ? 3 5 x 7. Tétel A) A függvénygörbe alatti terület kiszámítása. Amennyiben f(x) függvény [a,b] intervallumban folytonos és nemnegatív, akkor a függvénygörbe alatti területet f(x) megadott intervallumon vett határozott integrálja adja. b f (x ) ≤ 0; x ∈ [a, b] esetében: T = ∫ f ( x )dx a b b a a T = ∫ − f (x )dx = ∫ f (x )dx Ez a formula f előjelváltása esetén is érvényes. Ha f(x) függvény a vizsgált intervallumban negatív, de nem vált előjelet, akkor a függvényérték abszolút értékének határozott vagy impropius integrálja adja a függvénygörbe és az x tengely közötti (ez esetben görbe fölötti) területet. Amennyiben a függvény a vizsgált intervallumban előjelet vált, akkor a

zérushelyek mentén részintervallumokra kell bontani, és az előbbiek figyelembevételével az egyes részintervallumokra külön-külön kell meghatározni a területeket, majd azokat összegezni. Pl.: f ( x) = x sin x [0,2π ] -n 2π π 2π 0 0 π Megoldás: ∫ x sin x dx = ∫ x sin xdx − ∫ x sin xdx = [− x cos x + sin x ]0 − [− x cos x + sin x ]π = 4π π 2π Függvények által közrezárt terület Közrezárt területként közvetlenül megadhatjuk a két függvény görbe alatti területe különbségének abszolút értékét, ha az alábbi feltételek teljesülnek: 1. A függvények legfeljebb az intervallum határpontjain keresztezik egymást 2. A keresztezési pontok által kijelölt tartományban egyik függvény sem vesz fel negatív értéket. b b b a a a T = ∫ f ( x )dx − ∫ g ( x )dx = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx 13 Matematika szigorlat Ha az 1. pont nem teljesül, akkor az egymással vagy az intervallumhatárral szomszédos

keresztezési pontokat intervallumhatárként tekintve egyenként kell a területeket meghatározni. Amennyiben a 2. pont nem teljesül, akkor mindkét függvényt egyforma mértékben úgy kell eltolni az y tengely mentén, hogy a feltétel teljesüljön. B) Mátrixok, Mátrixok szorzása. A mátrix fogalma (jele: A, B.stb) Elemeknek táblázatban, sorokba és oszlopokba rendezett formában való elrendezését mátrixnak nevezzük. Ha a táblázat m sorból és n oszlopból áll, m x n típusúnak mondjuk, és a ij elem (i=1m és j=1.n) azt az elemet jelenti, amely a táblázat i-dik sora és j-dik oszlopa által kijelölt cellában található. A mátrix általános alakja:  a11 a12 . a1n  a   21 a22 . a2 n     .     am1 am 2 . amn  Az a11, a12, . amn számok a m átrix elemei Az aik elem az i-edik sor k-adik eleme A fenti mátrix (m sor, n oszlop) m x n típusú. Jelölése általában A,B,C stb vagy A(m,n) vagy [aik] vagy (aik).

Egyenlőség Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha méretük (típusuk) is, és azonos indexű celláik tartalma is egyenlő. A(m,n) = B(m,n) ha aik=bik i=1,2,,n; j=1,2,,m Speciális mátrixok Mátrix transzponáltja Ha az A mátrix sorait felcseréljük az oszlopaival, akkor az A transzponáltját kapjuk. Jelölése: A* vagy AT vagy A. m x n típusú mátrix transzponáltja n x m típusú és (A*)=A. Négyzetes (kvadratikus) mátrix Ha egy mátrixnak ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa azaz m=n, akkor azt négyzetes (kvadratikus) mátrixnak nevezzük. Az n sorból és n oszlopból álló kvadratikus mátrix n-ed rendű. Szimmetrikus mátrix Ha az A kvadratikus mátrix megegyezik a t ranszponáltjával, azaz ha A = A*, akkor A szimmetrikus. Szimmetrikus mátrix elemei a főátlóra nézve szimmetrikus elrendezésűek, azaz aik = aki . (A főátlót az a11 , a22 ,, ann elemek alkotják) Ferdén szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix) Ha az A kvadratikus mátrix esetében

A = −A*, akkor A ferdén szimmetrikus (antiszimmetrikus). aik = aki és aii = 0 Diagonális mátrix: Ha a D kvadratikus mátrix főátlóján kívüli valamennyi eleme nulla, D átlós (diagonális) mátrix. Egységmátrix: Ha egy diagonális mátrix főátlójában valamennyi elem 1, akkor az egységmátrix. Jele: E. Zérusmátrix: A csupa 0 elemből álló mátrixot zérusmátrixnak (nullamátrixnak) nevezzük és 0val jelöljük. 14 Matematika szigorlat Oszlopmátrix: Az egyetlen oszlopból (sorból) álló mátrixok oszlopmátrixok (sormátrixok).Legtöbbször kisbetűkkel jelöljük Szokás oszlopvektornak ill sorvektornak is nevezni az ilyen mátrixot. Reguláris mátrix: olyan kvadratikus mátrix, melynek determinánsa nem zérus. Szinguláris mátrix: olyan kvadratikus mátrix, melynek determinánsa zérus. Négyzetes mátrix inverze: A mátrix inverze A-1, ha AA-1= E és A-1 A = E. Ha det A≠0, akkor a 1 mátrixnak létezik inverze és A −1 = adjA, det A −1

Inverz-mátrix Ha az A és B mátrixoknak létezik inverze, akkor (AB ) = B −1A −1. Az E egységmátrix oszlopvektorainak az A reguláris mátrix oszlopvektoraira mint bázisra vonatkozó koordinátáiból alkotott mátrix az A mátrix inverzét adja. Az A n-edrendű reguláris mátrixhoz létezik egy olyan S1, S2,, Sp, ill. K1, K2, Kq reguláris elemi mátrixokból álló sorozat, hogy S p .S 2S1AK 1K 2 K q = E n Az inverz megkeresése elemi sorműveletekkel (a) két sor felcserélése (b) egy sor minden elemének megszorzása egy α ≠ 0 skalárral (c) az i-edik sor minden eleméhez a j-edik sor megfelelő elemének α - szorosának hozzáadása Mátrix szorzása számmal Mátrixot egy számmal úgy szorzunk, hogy a mátrix mindegyik elemét szorozzuk a számmal. Legyen A = [aik ] . Ekkor λA = [λaik ] Mátrix szorzása mátrixszal (jele: A * B) Az A mátrixnak a B mátrixszal való AB szorzata csak akkor értelmezhető, ha A-nak (a bal oldali tényezőnek) ugyanannyi oszlopa

van, mint ahány sora van B-nek (a jobb oldali tényezőnek). DEFINICIÓ. Az A = [aik] (m×p) típusú és B = [bik] (p×n) típusú mátrixok AB szorzata az a C = [cik] mátrix, amelyre cik = ai1 b1k + ai2b2k + . + a ipbpk cik az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix k-adik oszlopának (mint vektoroknak) a skaláris szorzata.A C m×n típusú A szorzás nem kommutatív, azaz AB ≠ BA, viszont asszociatív és érvényes a disztributivitás (AB)C = A(BC), (A + B)C = AC + BC és A(B+C)= AB+AC. Értelmezhető a kvadratikus mátrix pozitív egész kitevőjű hatványa: An = AA.A, A0 = E Tulajdonságok: (AB)*= BA. Ennek ismeretében könnyen belátható, hogy az AA* mátrix szimmetrikus. Ugyanis (AA*)=(A)A=AA Ha A négyzetes mátrix és E ill. 0 vele azonos rendű egységmátrix ill. zérusmátrix, akkor AE = EA = A, A0=0A=0 Megjegyzés. a) Mátrixnak oszlopvektorral való szorzata oszlopvektor b) Számítsuk ki egy (1 x n)-es sorvektornak egy (n x 1)-es oszlopvektorral való

szorzatát! b1 [a1, a2, , an] b2 = a1b1+a2b2++anbn bn Az eredmény egy (1 x 1) típusú mátrix, ez a skaláris szorzatnak felel meg. Csak speciális esetben értelmezhető művelet. C (m,n) = A (m,p) * B (r,n) szorzat akkor és csak akkor létezik, ha A ugyanannyi oszlopot tartalmaz, mint ahány sort B, vagyis p = r. Ebben az esetben az eredményül kapott mátrix m sort és n oszlopot tartalmaz. A szorzat képzése úgy történik, hogy A mátrix i-dik sorvektorát skalárisan szorozzuk B mátrix j-dik oszlopvektorával, és az így kapott értéket tesszük C ij cellába. A definícióból látszik, hogy A * B <> B A, sőt A B létezése nem is implikálja B A létezését. Négyzetes mátrix előállítása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix összegeként Legyenek az A mátrix elemei valós számok. TÉTEL Bármely A négyzetes mátrix előállítható A = S + F alakban, ahol S szimmetrikus, F pedig ferdén szimmetrikus mátrix. Elemi transzformációk Olyan

műveletek, melyek a mátrix belső tulajdonságait nem változtatják meg. Minden esetben teljes sorokra, vagy teljes oszlopokra vonatkoznak. 15 Matematika szigorlat 1. a mátrix két tetszőleges sorának (oszlopának) felcserélése, Jele: Sij (Kij) 2. a mátrix tetszőleges sorának (oszlopának) nullától különböző számmal szorzása, Jele: Si(k) (Ki(k)). 3. a mátrix tetszőleges sorához (oszlopához) bármely másik sora (oszlopa) k-szorosának hozzáadása. Jele: Sij(k) (Kij(k)) Elemi transzformációk segítségével minden mátrix vagy egységmátrixszá, vagy valamilyen zérusmátrixszal bővített egységmátrixszá alakítható. A sorokon végzett (S-sel jelölt) transzformációkat elemi sortranszformációknak, az oszlopokon végzetteket (K-val jelölteket) pedig elemi oszloptranszformációknak nevezzük. DEFINÍCIÓ Az A mátrix ekvivalens a B mátrixszal (jelölése: A~B) ha elemi transzformációk sorozatával egyik a másikból létrehozható. DEFINÍCIÓ.

Legyen S (illK) az E egységmátrixra alkalmazott valamilyen elemi sor- (illoszlop) transzformáció Akkor az S (ill K) révén az E-ből létrejövő mátrixot elemi sortranszformációs (ill. oszloptranszformációs) mátrixnak (röviden elemi mátrixnak) nevezzük és S-sel (ill K-val) jelöljük. Legyen S az m x n t ípusú A mátrixra alkalmazott elemi sortranszformáció és legyen S az ezen transzformáció alapján az Em-ból létrejövő elemi mátrix. Akkor az S transzformáció ugyanazt a B mátrixot hozza létre A-ból, mint az SA szorzat, azaz B = SA. Az oszloptranszformáció az AK szorzattal valósítható meg, ahol K az En egységmátrixból képezett elemi mátrix. Az A és B mátrix akkor és csak akkor ekvivalens, ha léteznek olyan S1, S2,,Sp sortranszformációs ill. K1, K2,,Kq oszloptranszformációs mátrixok, melyekkel: SpS2 S1 AK1 K2Kq = B, vagy a P=SpS2 S1, Q=K1 K2Kq jelöléssel PAQ = B. A tétel tehát azt mondja ki, hogy A ~ B akkor és csak akkor

teljesül, ha az A mátrix oszlop és sortranszformációk sorozatával a B mátrixszá alakítható. Az inverz-mátrix meghatározása Csak reguláris mátrix esetén végezhető el. Bár meghatározható a mátrix determinánsa segítségével is, egyszerűbb az alábbi algoritmus követése: 1. Bővítsük az invertálni kívánt mátrixot a vele azonos rendű egységmátrixszal (egyszerűen írjuk mellé)! 2. Hajtsuk végre azokat a sortranszformációkat a teljes (bővített) mátrixon, melyek eredményeképpen a mátrix eredeti része egységmátrixszá alakul! 3. Az összetett mátrix bővítménye (eredetileg egységmátrix) lesz a kiindulási reguláris mátrix inverze. C) Feladatok:       a. Adottak az a = (1;−1;−4) , b = (2;−2;1) és c = (9;9;0) vektorok Igaz-e, hogy az a , b és c vektorok páronként merőlegesek egymásra? b. Mely intervallumon monoton növekvő illetve monoton csökkenő az f ( x) = x 4 − 4 x 3 függvény? c. Oldja meg az

alábbi differenciál egyenletet: ( x 2 + 1) y −2 xy + 4 x = 0 8. Tétel A) Forgástestek térfogata. Ha egy [a,b] tartományban értelmezett f(x) függvényt az x tengely körül megforgatunk, forgástestet kapunk. Amennyiben ezt a testet az x tengelyre merőlegesen messük, kör felületeket kapunk. Ezeknek a köröknek a területét a T = f2(x)π összefüggés adja A vizsgált intervallumot n részre osztva, a függvény alatti terület téglalapokkal való közelítésével teljesen analóg módon, koncentrikus hengerek térfogatának összegeként közelíthetjük a forgástest térfogatát. A felosztást minden határon túl finomítva, az így kapott Riemann-féle közelítő 16 Matematika szigorlat összegek értékének n∞ esetén vett határértéke, vagyis a függvény határozott integrálja adja a forgástest térfogatát. b A fentiekből következik: V [a,b] = π ∫ f 2 (x)dx a B) A mátrix rangja, meghatározása determinánssal. Rang DEFINÍCIÓ. A mátrix

rangja: a lineárisan független sorvektorainak vagy oszlopvektorainak száma. Jele: rang A (esetleg r(A))DEFINÍCIÓ Az A mátrix rangja r, ha a mátrix r-nél magasabb rendű (al)determinánsai mind nullák, de van legalább egy zérustól különböző r-edrendű determináns. Valamely mátrix rangja a benne levő lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számával egyenlő. Mátrix determinánsa Kvadratikus mátrixok esetén a mátrixokhoz egy valós számot rendelhetünk az alábbiak szerint. Ez a szám a determináns. Minden mátrixhoz hozzárendelünk egy számot a12  a DEFINÍCIÓ. Az A =  11  mátrix másodrendű determinánsán az a11 a22- a21 a12 a21 a22  a12  a különbséget értjük, és ezt így jelöljük: det A =  11  = a11a22 − a12 a21. (mindig valós szám) a21 a22  Az a11 a22- a21 a12 különbséget a determináns értékének is mondjuk. Harmadrendű determináns kiszámítása A determináns értékét a

tetszőlegesen kiválasztott sorához vagy oszlopához tartozó előjeles aldeterminánsok (ezek másodrendűek) összegeként kapjuk. Célszerű az alábbi algoritmust követni: 1. Kiválasztjuk, melyik sor szerint kívánjuk a kifejtést elvégezni 2. Meghatározzuk a sor első eleméhez tartozó előjelet a (-1)i+j képlet segítségével 3. Elhagyjuk a determinánsból a kiválasztott elem teljes sorát és oszlopát, majd az így kapott aldetermináns értékét meghatározva megszorozzuk azt az előző pont szerint kapott előjellel, így megkapjuk az előjeles aldeterminánst. 4. A 2 és 3 műveletet az adott sor összes elemére végrehajtjuk 5. Az előjeles aldeterminánsok összeadásával megkapjuk a mátrix determinánsának értékét Az oszlop szerinti kifejtés a fentiekkel teljesen analóg módon történik. A harmadrendű mátrix determinánsát másodrendű mátrixok determinánsaival állítjuk elő. A kifejtésben szereplő másodrendű determinánsok az a11, a12,

a13 elemekhez tartozó aldeterminánsok. Az aik elemhez tartozó aldeterminánst úgy kapjuk, hogy a determinánsból töröljük az i-edik sort és a k-adik oszlopot. 17 Matematika szigorlat A kifejtésnél az előjelszabály érvényes: az aik elemhez tartozó Dik aldeterminánst meg kell szorozni (-1)i+k-val (sakktáblaszabály). Például D második oszlop szerinti kifejtése: D= a12D12+a22D22-a32D32 A sakktáblaszabálynak megfelelő előjellel ellátott determinánst előjeles aldeterminánsnak (adjungált aldeterminánsnak) nevezzük. Az aik elemhez tartozó, Aik-val jelölt előjeles aldetermináns: Aik = (-1)i+kDik. Magasabbrendű determinánsok Az n-edrendű mátrix determinánsa Az n-edrendű A mátrix determinánsát a harmadrendű determinánshoz hasonlóan értelmezzük:  a11 a12 . a1n  a a22 . a2 n  21  =a11 D11 - a12D12 + a13D13 - a14D14 + . ++(-1)1+n det A = A =         an1 an 2 . ann  a1nD1n. Szintén kifejtéssel,

(n-1)-edrendű aldeterminánsok segítségével írható fel a d etermináns. Dik az aik elemhez tartozó aldetermináns, amit úgy kapunk, hogy A-ból töröljük az i-dik sort és a k-adik oszlopot. Ugyanez a k ifejtés |A|= a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n, alakban is felírható, ahol Aik az aik elemhez tartozó előjeles aldetermináns, azaz Aik= (-1)1+kD1k. A négyzetes mátrixot regulárisnak mondjuk, ha determinánsa nem nulla. A determináns tulajdonságai 1. A determinánst bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejtve, ugyanazt az értéket kapjuk (Laplace-féle kifejtési tétel.) 2. Ha a mátrixot főátlójára tükrözzük, a determináns értéke nem változik meg 3. Ha a mátrix főátlója felett (vagy alatt) csupa nulla áll, akkor a determináns érteke a főátlóban álló elemek szorzatával egyenlő. 4. Ha valamelyik sor (vagy oszlop) mindegyik eleme zérus, akkor a determináns értéke is zérus 5. Ha valamelyik sor (vagy oszlop) mindegyik elemét ugyanazzal a

számmal szorozzuk, akkor a determináns értéke ugyanannyiszorosra változik. 6. Ha a determináns két sorát (vagy oszlopát) felcseréljük, akkor a determináns értéke előjelet vált 7. Ha a determinánsban két sor (vagy oszlop) egyenlő, akkor a determináns értéke zérus 8. Ha a mátrixban az egyik sor (oszlop) a másik sor (oszlop) k-szorosa, akkor a determináns zérus 9. Ha a determináns egyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk egy másik sorát (oszlopát) vagy annak többszörösét, akkor a determináns értéke nem változik. 10.Két n-edrendű mátrix szorzatának determinánsa egyenlő determinánsainak szorzatával 11. n-edrendű mátrix konstansszorosának determinánsa: αA = α n A n 12. ∑ aik A jk = 0 k =1 A fentieket általánosítva kimondható, hogy minden determináns megadható tetszőleges sora (oszlopa) szerint kifejtett, eggyel alacsonyabbrendű előjeles aldeterminánsok összegeként. Mivel ez rekurzívan alkalmazható, ezért minden

determináns visszavezethető a másodrendű determináns kiszámítására. C) Feladatok: 1 − cos x a. Számítsa ki a következő határértéket: lim = (L’Hospital-szabály segítségével). 2 x 0 x     b. Adottak az a = (1;−1;−4) , b = (2;−2;1) és c = (9;9;0) vektorok Írja fel a d = (8;10;−14)    vektort az a , b és c vektorok lineáris kombinációjaként. c. Oldja meg az alábbi differenciál egyenletet: y −2 y −3 y = 6 x + 1 18