Matematika | Felsőoktatás » Faluközy Tamás - Aktuáriusi modellek a betegségbiztosításban

Aktuáriusi modellek a betegségbiztosításban Diplomamunka Írta: Faluközy Tamás Alkalmazott matematikus szak Témavezet®: Arató Miklós, egyetemi do ens Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2005 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Az általános PHI-modell 3 2.1 Kezdeti lépések 3 2.2 Díjelvek 5 2.3 A ko kázat szórásnégyzete 5 2.4 A valószín¶ségi modell 6 2.5 A modell lehetséges továbbfejlesztései 8 2.6 A ko kázat várható értéke különböz® szerz®dési feltételek esetén 10 2.7 A díjszámítás grakus illusztrá iója 12 2.8 A ko kázat szórásnégyzete különböz® szerz®dési feltételek esetén 14 3. Konkrét

díjkalkulá iós módszerek PHI-termékekre 18 3.1 A norvég módszer 18 3.2 A "Man hester-Unity" módszer 20 3.3 A svéd módszer 23 4. Díjszámítás hazai adatok alapján 25 4.1 Az MU-képlet paramétereinek egyszer¶ be slése 25 4.2 A számításokat végz® programok 28 4.3 Credibility-elmélet 28 4.4 A redibility-elmélet alkalmazhatósága az adatainkra 30 4.5 Díjtáblázatok különböz® input paraméterek esetén 35 5. Összefoglalás, továbblépési lehet®ségek, köszönetnyilvánítás 43 5.1 Összefoglalás 43 5.2 A továbblépés lehet®ségei 44 5.3 Köszönetnyilvánítás 44 Irodalomjegyzék 45 II Ábrák jegyzéke 2.1 Az {S(x + t), t ≥ 0} folyamat állapotai és a

lehetséges átmenetek 3 2.2 Egy lehetséges élettörténet 12 2.3 Az összes lehetséges élettörténet különböz® Γ-k esetén 13 3.1 "Lehetetlen élettörténetek" 20 3.2 y évesen beteg ügyfél lehetséges élettörténetei, amennyiben a betegség eddigi tartama r és (r + s) közé esik 22 4.1 Átlagos ápolási tartam (tsy ) a különböz® portfoliókra a kor függvényében 27 4.2 Ápolási esetek száma a különböz® portfoliókra a kor függvényében 31 4.3 A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 2002, férak 32 4.4 A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 2002, n®k 33 4.5 A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 1997, férak 34 4.6 A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 1997, n®k 35 4.7 A portfoliók hatása a díjra  40 éves

belépési kor, változó tartam 36 4.8 A portfoliók hatása a díjra  1 éves tartam, változó belépési kor 37 4.9 A díjelvek hatása a díjra  40 éves belépési kor, változó tartam 38 4.10 A díjelvek hatása a díjra  1 éves tartam, változó belépési kor 38 4.11 A tsy be slések hatása a díjra  40 éves belépési kor, változó tartam 39 4.12 A tsy be slések hatása a díjra  1 éves tartam, változó belépési kor 40 III Táblázatok jegyzéke 4.1 Ápolás átlagos tartama napokban 33 4.2 Díjtáblázatok 42 IV 1. fejezet Bevezetés A jelent®s biztosítási hagyományokkal rendelkez® nyugati országokban a biztosítók termékkínálatában fontos szerepet játszanak a különböz® betegségbiztosítási konstrukiók, melyek a biztosítási termékek meglehet®sen különös részét képezik. El®fordulnak ugyanis önálló szerz®désként, de gyakran

köt®dnek életbiztosítási termékekhez is, mint azok kiegészít® biztosításai. A mai magyar pia on viszont meglehet®sen kevés ilyen termék van jelen (s ezek között is el®fordul, hogy supán a fent említett módon, életbiztosítás mellett köthet®k) Azonban a társadalmi jólét növekedésével az ezekre való igény (ahogy más biztosítási termékekre is) várhatóan emelkedni fog, ezért hasznos lehet különböz® betegségbiztosítási termékekre vonatkozó modellek felépítése. Dolgozatom az ún PHI-biztosításokkal (angolul: Permanent Health Insuran e) foglalkozik, melyek az ügyfél hosszútávú betegsége (kórházi ápolása) esetén biztosítanak számára folyamatos kizetést bizonyos feltételek mellett. A bevezetés után a 2. fejezetben egy általános modellt ismertetek, kiegészítve saját eredményeimmel. A szakirodalomban fellelhet® ikkekben és a gyakorlatban a betegségbiztosítási termékek díjának megállapítására az

életbiztosításoknál széles körben használt nettó várható érték elvet alkalmazzák. Dolgozatom újdonsága a nem-életbiztosítási ágban használt egyéb díjelvek (szórás és szórásnégyzet elv) szerinti árazások ismertetése az általános modellben  teljesen önálló eredményeim ezzel kap solatban a 2.3 és 28 fejezetekben levezetett formulák. Az általános modell paramétereire a nemzetközi irodalomban több be slési eljárás található. Ezekhez az eljárásokhoz természetesen alapvet® fontosságú a megfelel® adatállomány, mely a nyugati országokban a régóta m¶köd® biztosítási pia révén adott  Magyarországon viszont betegségbiztosítási termékek hiányában nin s ezekr®l készített statisztika. Dolgozatom 3 fejezetében ezért a gyakorlatban is használt egyéb módszereket ismertetek, melyek levezethet®k az általános modellb®l, és közülük az egyik, az ún Man hester-Unity modell olyan input paramétereket követel meg,

melyek hazai adatokból 1 is be sülhet®k. Ezen módszerek szintén supán a nettó várható érték elvvel foglalkoznak, ezért bemutatom ezek általam készített megfelel®it is, melyek az egyéb díjelvekhez szükséges számításokra vonatkoznak. A 4., utolsó fejezetben a hazai adatokkal való díjmeghatározással foglalkozom A Man hester-Unity módszer input adatainak lehetséges meghatározásai és az általam készített programok rövid leírása után a különböz® inputok és módszerek mellett számolt díjtáblázatokat mutatom be és hasonlítom össze. 2 2. fejezet Az általános PHI-modell 2.1 Kezdeti lépések Tekintsünk egy, a ímben említett szerz®dést. Ez az ügyfél betegsége (kórházi ápolása) esetén folyamatos kizetést biztosít számára  ezt a kizetést egy egységnek tekintjük, hiszen a biztosítási összegben szerepl® multiplikatív konstans a díjban is hasonlóan jelenik meg (ez némi pontosításra szorul, melyet kés®bb

teszünk meg). Az alább ismertetett modellt és lehetséges gyakorlati alkalmazásait vizsgálja [12℄  a dolgozat egyébként alapvet®en erre a ikkre épül. a i d 2.1 ábra Az {S(x + t), t ≥ 0} folyamat állapotai és a lehetséges átmenetek A biztosított korát a szerz®déskötéskor jelölje x. Egészségi állapota háromféle lehet: egészséges (a  a tive), beteg (i  ina tive/ill) vagy halott (d  dead). ∀t ≥ 0-ra jelöljük az (x + t)-beli állapotot S(x + t)-vel. A lehetséges átmeneteket szemlélteti a 21 ábra Az így deniált folyamatunk természetesen nem irredu ibilis, hiszen a d állapot nyel® tulajdonságú, onnan nem juthatunk sehova. Feltételezzük, hogy S(x) = a, azaz ügyfelünk a biztosítás megkötésekor egészséges volt, amint ennek a valóságban is így kell lennie, hiszen különben egy biztosító se kötne vele szerz®dést. Jelöljük Φ(x, t)-vel azt a valószín¶séget, hogy a biztosított t id® múlva jogosult a kizetésre,

azaz beteg. Figyelembe véve a kezdeti feltételünket tehát Φ(x, t) := P (S(x + t) = i|S(x) = a). ξx ≥ 0 valószín¶ségi vátozóval jelölve a jöv®beli kizetést, az életbiztosításokban általánosan alkalmazott (nettó) várható 3 érték elv alapján a biztosítás díja ennek várható értéke. (Itt valóban igaz, hogy amennyivel szorzódik a biztosítási szolgáltatás, annyival szorzódik a díj is.) Miel®tt ezt felírnánk, vezessünk be további jelöléseket a biztosítási szerz®dés egyes paramétereire, melyek befolyásolják a kizetést és így az árat. A szerz®dés feltételeit a Γ = [c, n, f, m, r] vektorral írjuk le, ahol:  kizetés az (x + t) id®pontban sak t ∈ [c, n] esetén lehetséges, azaz c a várakozási id®szak (a biztosítás kezdetét®l számítva), n pedig a biztosítás lejárata;  f a késleltetési id®szak, a betegség (ápolás) kezdete után ennyivel kezd®dik meg a kizetés;  m azon maximális id®tartam, ameddig

a biztosító vállalja a kizetéseket (a biztosítás kezdetét®l számolva);  r a megállítási id®pont, melyre az igaz, hogy a biztosító sak (x+r)-ig zet, tipikusan (x + r) a nyugdíjkorhatár. Ezek után a ξx valószín¶ségi változókat és a Φ valószín¶ségeket indexeljük Γ-val is, azaz az utóbbi esetben: (2.1) ΦΓ (x, t) := PΓ (S(x + t) = i|S(x) = a) . Ezen a jelölésen annak a valószín¶ségét értjük, hogy az x korában egészséges ügyfél (x+t)ben jogosult a kizetésre, azaz beteg és a zetés további Γ feltételei is fennállnak. Annak az esetnek, amivel fentebb foglalkoztunk, azaz az extra feltételek nélküli szerz®désnek a Γ = [0, ∞, 0, ∞, ∞] vektor felel meg. A biztosítás egyszeri díja tehát Γ szerz®dési feltételek esetén (a szokásos aktuáriusi jelöléssel, felhasználva hogy a nemnegativitás miatt az integrálás és a várható érték képzése fel serélhet®): āai x,Γ  = E(ξx,Γ ) = E  Z∞ 0 t

 χΓ,{S(x+t)=i|S(x)=a} v dt = Z∞ ΦΓ (x, t)v t dt. (2.2) 0 Itt v a diszkontálási tényez®, azaz ha i a te hnikai kamatláb (az a hozam, melyr®l a biztosító azt feltételezi, hogy a jöv®ben mindenképpen el tudja érni), akkor v = 1/(1 + i). Alapvet®en tehát ezekre a ΦΓ (x, t) valószín¶ségekre van szükségünk, hogy díjat számolhassunk különböz® szerz®dési feltételek esetén. Miel®tt azonban ennek érdekében mélyebben megvizsgálnánk a felállított modellt, nézzük meg, hogyan írhatók fel más módon számolt díjak. Ehhez ejtsünk pár szót a nem-élet ágban alkalmazott díjelvekr®l 4 2.2 Díjelvek Jelöljük H-val a nemnegatív félegyenesre kon entrált Q eloszlások halmazát. Díjelvnek + nevezzük azt a Π : HΠ ⊆ H R+ 0 = R0 ∪ {∞} függvényt, mely egy ilyen Q-hoz rendeli az annak megfelel® Π(Q) díjat. Ha ξ ≥ 0 valószín¶ségi változóval jelöljük a kárkizetéseket, ahogy ezt fentebb tettük, akkor az

ennek megfelel® díj az, amit az ® eloszlásából számolunk, s ezt Π(ξ)-vel jelöljük. Π várható érték elv, ha HΠ = H és Π(ξ) = (1 + λ)E(ξ), ahol λ ≥ 0 rögzített konstans. Spe iálisan λ = 0 esetén nettó várható érték elvr®l beszélünk Az életbiztosítások körében ezt alkalmazzák leggyakrabban, s fentebb mi is ezzel számoltunk. A nem-élet ágban azonban rengeteg más díjelv ismert és alkalmazott. Ezek közül a legnépszer¶bbek a szórás és a szórásnégyzet elvek, ahol a biztosítás díja Π(ξ) = E(ξ) + αD(ξ), illetve Π(ξ) = E(ξ) + βD 2(ξ), ahol α és β rögzített nemnegatív konstansok. Ezen elvek lényege, hogy a nagy bizonytalanságú ko kázatokat bünteti a biztosító magasabb díjjal, méghozzá úgy, hogy a díjat egy biztonsági pótlékkal terheli meg, mely a szórással vagy a szórásnégyzettel arányos. Világos, hogy ilyen díjelvekkel való számoláshoz szükségünk van a ko kázat várható értékére,

melyet korábban a (2.2) képletben felírtunk, továbbá a ko kázat szórásnégyzetére  ezt számoljuk ki a következ® fejezetben (Természetesen a várható értékb®l a biztosítási összegben megjelen® szorzótényez® egyszer¶en, a szórásból abszolút értékben, a szórásnégyzetb®l pedig négyzetesen emelhet® ki.) 2.3 A ko kázat szórásnégyzete Térjünk vissza a betegségbiztosítások mezejére, és próbáljuk meg felírni a ξx,Γ valószín¶ségi változók szórásnégyzetét. ∞  Z Z∞ D 2 (ξx,Γ) = E  χΓ,{S(x+t)=i|S(x)=a} v t dt χΓ,{S(x+s)=i|S(x)=a} v s ds − 0 (2.3) 0 ∞  Z −E 2  χΓ,{S(x+t)=i|S(x)=a} v t dt . 0 Az integrálok és  a várható értékek 2 most is fel serélhet®k. Így a második tag a korábban R∞ látottak alapján ΦΓ (x, t)v t dt , az els® tagban pedig a serék után egy kett®s integ0 rálon belül a PΓ (S(x + t) = i, S(x + s) = i|S(x) = a) valószín¶ség fog szerepelni. Itt az

integrálási tartományt (az I. síknegyedet) két részre bontjuk a 45 fokos egyenes mentén A két integrál ekkor ugyanannyi lesz, hiszen supán a változóik sorrendjében különböznek, 5 így elegend® sak az egyikkel foglalkozni: Z∞ Z∞ 0 PΓ (S(x + t) = i, S(x + s) = i|S(x) = a) v t+s dsdt = (2.4) t = Z∞ Z∞ 0 PΓ (S(x + s) = i|S(x + t) = i, S(x) = a) · t ·PΓ (S(x + t) = i|S(x) = a) v t+s dsdt. Vezessük be a következ® jelölést: φΓ (x, t, s) := PΓ (S(x + s) = i|S(x + t) = i, S(x) = a). (2.5) Most is azon valószín¶séget értjük ezen, hogy az ügyfél (x + s)-ben jogosult a kizetésre, azaz beteg és a zetés további Γ feltételei is fennállnak. (24) ezek után a következ®képpen alakul: Z∞ 0 ∞  Z ΦΓ (x, t)v t  φΓ (x, t, s)v s ds dt. (2.6) t A szórásnégyzetre tehát az alábbi képletet kapjuk: ∞  Z∞ Z D 2 (ξx,Γ) = 2 ΦΓ (x, t)v t  φΓ (x, t, s)v s ds dt − 0 (2.7) t ∞ 2 Z

−  ΦΓ (x, t)v t dt . 0 2.4 A valószín¶ségi modell Térjünk át most az {S(x + t), t ≥ 0} szto hasztikus folyamat vizsgálatára. Feltesszük, hogy folytonos idej¶, inhomogén Markov-lán al van dolgunk (az id®t években mérjük), tehát az, hogy egy adott id®pillanatban hová kerülünk egy állapotból, sak az aktuális helyzett®l függ. Jelöljük az átmenet-valószín¶ségeket a következ®képpen: gh t py := P (S(y + t) = h|S(y) = g), h ∈ {a, i, d}, g ∈ {a, i}. (2.8) Szükségünk lesz még azon események valószín¶ségére, hogy a biztosított a kérdéses id®szak alatt végig egy bizonyos állapotban volt: hh t py := P (S(y + u) = h ∀u ∈ [0, t]|S(y) = h), h ∈ {a, i}. (2.9) Deniáljuk továbbá a következ® átmenet-intenzitásokat: µgh (y) := lim t0+ gh t py t , h ∈ {a, i, d}, g ∈ {a, i}, h 6= g. 6 (2.10) Tegyük fel, hogy ezek a limeszek léteznek ∀y -ra, továbbá, hogy ezek y integrálható függvényei. Ezek az

intenzitások tulajdonképpen az adott id®pillanatban lehetséges átmenetek valószín¶ségeit írják le. Az átmenet-valószín¶ségek  Markov-folyamatról lévén szó  kielégítik a Chapman-Kolmogorov egyenl®séget: X gh gk kh p = t y τ py · t−τ py+τ , h ∈ {a, i, d}, g ∈ {a, i}, τ ∈ [0, t]. (2.11) k∈{a,i} Az "állapotban maradás" valószín¶ségeire ez persze a következ® egyszer¶ alakot ölti: hh t py = hh τ py hh t−τ py+τ , · h ∈ {a, i}, τ ∈ [0, t]. (2.12) Írjunk fel dieren iálegyenleteket az imént deniált átmenet-valószín¶ségekre! A (2.11) Chapman-Komogorov egyenl®ség szerint ai t+∆t py = t pai y · ii ∆t py+t + t paa y · (2.13) ai ∆t py+t . Mindkét oldalból levonva t pai y -t, majd ∆t-vel leosztva kapjuk: ii pai − t pai ∆t py+t − 1 y aa ∆t y+t = t pai + p . t y y ∆t ∆t ∆t ai t+∆t py Felhasználva, hogy d dt ia ∆t py+t ai t py
+ ii ∆t py+t + id ∆t py+t

(2.14) = 1, majd ∆t-vel 0-hoz tartva:
ia id aa ai = −t pai y µ (y + t) + µ (y + t) + t py µ (y + t). Ugyanezzel az egyszer¶ módszerrel kaphatók az alábbi dieren iálegyenletek:

d aa ia = −t paa µai (y + t) + µad (y + t) + t pai t py y y µ (y + t), dt
d ad ad ai id = t paa t py y µ (y + t) + t py µ (y + t), dt

d ii ai = −t piiy µia (y + t) + µid (y + t) + t pia t py y µ (y + t), dt

d ia ai ad ii ia = −t pia t py y µ (y + t) + µ (y + t) + t py µ (y + t), dt
d id ad = t piiy µid (y + t) + t pia t py y µ (y + t), dt

d aa = −t paa µai (y + t) + µad (y + t) , t py y dt
d  ii  = −t piiy µia (y + t) + µid (y + t) . t py dt A két utolsó egyenlet, (2.21) és (222) megoldása triviális:   Zt
aa − µai (y + u) + µad (y + u) du , t py = exp (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) (2.22) (2.23) 0 ii t py  = exp − Zt 0 
µia (y + u) + µid (y + u) du . 7 (2.24) A többi

egyenlet kezelésére [18℄ javaslata a következ®. (215) és (216) szimultán dieren iálegyenletként megoldható Ezután deriválással másodrend¶ dieren iálegyenletek ai nyerhet®k t paa y -ra és t py -re, melyek numerikus módszerekkel megoldhatók, s ezek segítsé- gével (2.17) szintén A fenti eljárás végigvihet® a (218), (219) és (220) egyenletekre is Tehát az átmenet-intenzitások ismeretében az átmenet-valószín¶ségek meghatározhatók  mint kés®bb látni fogjuk, s már volt is szó róla, a díjszámításhoz pedig sak ezek kellenek. Ahogy a bevezet®ben említettük, a nemzetközi szakirodalomban az átmenet-intenzitások meghatározására több kidolgozott módszer van (lásd például [13℄), melyek igen er®sen támaszkodnak a külföldön rendelkezésre álló részletes és sok évre visszamen® statisztikákra. Mivel Magyarországon ilyenek nem állnak rendelkezésre, a dolgozat további részében az átmenet-intenzitásokkal nem nagyon

foglalkozunk, hanem rögtön az átmenetvalószín¶ségekre próbálunk majd be slést adni. A következ®kben fontos szerepe lesz még a következ® valószín¶ségeknek: ai t py (τ ) := P (S(y + u) = i ∀u ∈ [t − τ, t]|S(y) = a) , 0 ≤ τ ≤ t. (2.25) Ez tehát annak a valószínsége, hogy az y korában egészséges biztosított (y + t) id®sen legalább τ ideje beteg. A kés®bbiekben szükség lesz arra, hogy ezt a dení iót a τ > t, illetve τ < 0 értékekre is kiterjesszük, legyen itt az érték 0. A következ® formula pre ízen is igazolható, de intuitív megfontolások alapján is világos: ai t py (τ ) = Zt−τ aa ai u py µ (y + u)t−u piiy+u du. (2.26) 0 Valóban, gyakorlatilag a teljes valószín¶ség tételét alkalmazzuk, aszerint felbontva az eseményteret, hogy a biztosított mikor került utoljára az i állapotba. Természetesen ai t py (0) = t pai y , így erre a valószín¶ségre a fenti, (2.26) formulában 0-tól t-ig kell

integrálni 2.5 A modell lehetséges továbbfejlesztései Az eddig tárgyalt modell Markov-tulajdonsága igényel némi megfontolást. A valóságban annak valószín¶sége, hogy valaki egy kés®bbi id®pontban milyen egészségi állapotban lesz, nyilván nem sak jelenlegi állapotától függ, hiszen ha korábban sokat betegeskedett, akkor ez a valószín¶ség nagyobb. Miért foglalkozunk mi mégis a kevésbé reális Markovlán os esettel? Els®sorban azért, mert a számolások ebben az esetben alakulnak kedvez®en (a (2.11) Chapman-Kolmogorov egyenl®ség ekkor igaz, s ez kellett a dieren iálegyenletek felírásához, továbbá az alternatív díjelvek ismertetésekor kés®bb szükségünk lesz erre a tulajdonságra), s ezáltal a modell is szemléletesebbé válik. 8 Néhány szó erejéig azonban érdemes kitérni a modell lehetséges továbbfejlesztéseire. Realisztikusabb, azonban jóval bonyolultabb modellek építhet®k a következ® feltételezések

bármelyikével: (a) az átmenet-valószín¶ségek függnek a kezdeti kortól, x-t®l; (b) a valószín¶ségek függnek attól, hogy mennyi id®t töltött az illet® az adott állapotban, mióta legutóbb oda került; ( ) a valószín¶ségek függnek a korábban az a, illetve az i állapotban töltött összes id®t®l; (d) egy helyett több betegségi állapotot különböztetünk meg, ezek között vagy lehet átmenet, vagy nem. A (d) eset természetesen kombinálható a többi hárommal (lásd például [2℄: (b)-(d)), s®t a többi is egymással. A Markov-tulajdonság az utolsó esetet kivéve elveszik (persze ha azt kombináljuk, akkor ott is), azonban a (b) esetben belátható, hogy {S(x + t), t ≥ 0} szemi-Markov struktúrájú folyamat lesz. Pár szó erejéig vizsgáljuk meg ezt az esetet Jelöljük Z(y)-nal azt a valószín¶ségi változót, mely azt írja le, hogy az y korú biztosított mennyi id®t töltött az aktuális állapotban, mióta legutóbb oda került,

formálisan: (2.27) Z(y) := max {w : (w ≤ y) ∧ (S(y − τ ) = S(y) ∀τ ∈ [0, w])} . Tegyük fel, hogy a (b) pontban leírt feltétel sak az i állapotra vonatkozik, azaz sak a beteg állapotban lényeges a kikerülés szempontjából, hogy mennyi ideje beteg az illet®. Ennek megfelel®en a t piy és a t piiy valószín¶ségek dení ióját a következ®képpen kell módosítanunk: ih t py,z ii t py,z
:= P S(y + t) = h|(S(y) = i) ∧ (Z(y) = z) , h ∈ {a, i, d},
:= P S(y + u) = i ∀u ∈ [0, t]|(S(y) = i) ∧ (Z(y) = z) = (2.28) (2.29)
= P (S(y + u) = i) ∧ (Z(y) = z + t)|(S(y) = i) ∧ (Z(y) = z) . Emellett természetesen a µih (y) (h ∈ {a, i, d}) intenzitások helyét az értelemszer¶en adódó µih (y, z) intenzitások veszik át. Vegyük észre, hogy a fenti (228) valószín¶ségek abban különböznek (2.25)-t®l (és a kés®bb deniált (252)-t®l), hogy utóbbi(ak)ban τ a minimális értéke az adott állapotban eltöltött id®nek, el®bbiben

pedig a pontos értéke. Belátható, hogy a (2.15)-(222) dieren iálegyenlet-rendszer helyett itt egy sokkal bonyolultabb dieren iál- és integro-dieren iálegyenletekb®l álló rendszert kapunk Nem minden egyenlet változik meg jelent®sen, például (2.22) megfelel®je:
d  ii  id ii ia t py,z = −t py,z µ (y + t, z + t) + µ (y + t, z + t) , dt 9 (2.30) aminek megoldása itt is triviális:   Zt
ii − µia (y + u, z + u) + µid (y + u, z + u) du . t py,z = exp (2.31) 0 Viszont például (2.16) megfelel®jében a jobb oldal második tagja egyszer¶ szorzat helyett egy integrál: d dt aa t py

= −t paa µai (y + t) + µad (y + t) + y + Zt aa ai t−z py µ (y (2.32) + t − z)z piiy+t−z,0 µia (y + t, z)dz. 0 2.6 A ko kázat várható értéke különböz® szerz®dési feltételek esetén Térjünk most vissza a 2.1 fejezetben deniált ΦΓ (x, t) valószín¶ségekhez, amiknek segítségével felírtuk a biztosítás díjának

meghatározásához szükséges (2.2) képletet a ko kázat várható értékére ΦΓ (x, t) annak a valószín¶sége, hogy az x korában egészséges biztosított (x + t) id®sen jogosult a szolgáltatásra, azaz beteg és a szerz®dés további Γ feltételei is fennállnak. A Γ = [0, ∞, 0, ∞, ∞] feltételvektor felel meg annak az esetnek, amikor egyéb kikötések nin senek. Ebben az esetben Φ[0,∞,0,∞,∞](x, t) = t pai x, (2.33) így a ko kázat várható értéke (2.2) alapján: E(ξx,Γ ) = Z∞ ai t t px v dt. (2.34) 0 A nettó várható érték elv alapján ez egyben a biztosítás nettó egyszeri díja is, melyet aai x -vel jelölünk, alkalmazkodva az életbiztosításokban szokásos aktuáriusi jelölésekhez. Vizsgáljuk most meg, hogy hogyan néznek ki a ΦΓ (x, t) értékek más Γ-k esetén! Γ = [c, ∞, 0, ∞, ∞] azt jelenti, hogy sak akkor zetünk, ha a megbetegedés (x+c) után következett be. Így a szolgáltatás valószín¶sége 0,

ha t ≤ c, ha pedig t > c, akkor az eredeti ai t px valószín¶ség sökkentend® azon esemény valószín¶ségével, hogy a megbetegedés (x+c) el®tt történt, másként fogalmazva azzal, hogy a biztosított már legalább (t−c) ideje beteg: ( 0 (t ≤ c) Φ[c,∞,0,∞,∞](x, t) = (2.35) ai ai t px − t px (t − c) (t > c). 10 Γ = [0, ∞, f, ∞, ∞] esetben sak akkor zet a biztosító, ha a betegség legalább f ideje tart, így Φ[0,∞,f,∞,∞](x, t) = ( 0 (t ≤ f ) ai t px (f ) (t > f ). (2.36) Γ = [0, n, 0, ∞, ∞] esetén a biztosító akkor zet, ha a betegség (x + n) el®tt kezd®dött, t ≤ n-re tehát az eredeti valószín¶séget kapjuk, t > n-re pedig sak akkor történik kizetés, ha a betegség már legalább (t − n) ideje tart: ( ai (t ≤ n) t px Φ[0,n,0,∞,∞](x, t) = ai t px (t − n) (t > n). (2.37) Γ = [0, ∞, 0, m, ∞] azt jelenti, hogy a biztosító maximum m ideig zet, az eredeti valószín¶ség

tehát sökkentend® annak valószín¶ségével, hogy a betegség már legalább m ideje tart: ai Φ[0,∞,0,m,∞](x, t) = t pai x − t px (m). (2.38) Γ = [0, ∞, 0, ∞, r] jelentése, hogy a biztosító sak az (x + r) id®pontig zet, azaz ( ai (t ≤ r) t px Φ[0,∞,0,∞,r](x, t) = (2.39) 0 (t > r). Ezek az alapesetek természetesen tetszés szerint kombinálhatók, példaként álljon itt négy eset, amelyek a gyakorlatban többé-kevésbé elterjedtek. ( ai + ai t px (|t − n| ) − t px (m) (t ≤ n + m) Φ[0,n,0,m,∞] (x, t) = 0 (t > n + m), ( ai (t ≤ n) t px Φ[0,n,0,∞,n](x, t) = 0 (t > n), ( ai ai t px − t px (m) (t ≤ n) Φ[0,n,0,m,n] (x, t) = 0 (t > n),  ai  (t ≤ n)   t px ai Φ[0,n,0,∞,r](x, t) = t px (t − n) (n < t ≤ r)    0 (t > r). (2.40) (2.41) (2.42) (2.43) Ezek után tehát a ko kázat várható értéke (ami egyben a nettó várható érték elv szerint számolt díj) Γ szerz®dési feltételek

mellett úgy kapható meg, hogy a fenti ΦΓ (x, t) képleteket behelyettesítjük a (2.2) képletbe, s ezzel a (234)-hez hasonló formulákat kapunk Például az egyik leggyakoribb konstruk ióra (nevezzük innent®l "n éves PHI-biztosítás"nak), melynek díjára külön jelölés is van, (2.41) alapján a következ® adódik: Zn t ai ax:n| = E(ξx,[0,n,0,∞,n]) = t pai x v dt. 0 11 (2.44) 2.7 A díjszámítás grakus illusztrá iója Ebben a fejezetben az el®z®ben tárgyalt díjszámításokat kétdimenziós alakzatok feletti integrálokként fogjuk felfogni, s ezzel egyben szemléletes jelentést kapunk az egyes Γ-vektorok jelentésére. El®ször térjünk vissza a Γ = [0, ∞, 0, ∞, ∞] (extra feltételekt®l mentes) esetre. Ekkor a nettó várható érték elv szerinti díj (234) és (226) alapján: aai x = E(ξx,[0,∞,0,∞,∞]) = Z∞ Z t 0 aa ai u px µ (x + u)t−u piix+u v t dudt. (2.45) 0 Cseréljük fel most az integrálások

sorrendjét: aai x = E(ξx,[0,∞,0,∞,∞]) = Z∞ 0  ∞ Z ii t−u  aa ai u dt du. u px µ (x + u)v t−u px+u v (2.46) u Vegyük észre, hogy a díjra meglév® két képlet közül (2.34) a "betegségben levés" ai valószín¶ségén (t pai x ) alapul, míg az imént felírt (2.46) a beteggé válás (µ (x + u)du) és a betegen maradás (t−u piix+u ) valószín¶ségén. A grakus reprezentá ióhoz tekintsük a 22 ábrát, melyen egy biztosított lehetséges "élettörténetét" illusztráljuk. 2.2 ábra Egy lehetséges élettörténet A kezdetben x korú illet® a vízszintes tengelyen mozog mindaddig, amíg egészséges (ezen a tengelyen egyébként az x éves kor óta eltelt id®t ábrázoljuk). Amint megbetegszik, a 45 fokos egyenesen megy tovább, egészen a gyógyulásáig, ekkor visszaesik a vízszintes tengelyre, és ott halad tovább, majd újra megbetegszik, s végül meghal. A (245) képletben a (t − u) változó a

betegségben eltöltött id®t jelöli, és éppen ez a változó jelenik meg a 2.2 ábra függ®leges tengelyén. Az összes lehetséges "élettörténetet" a 23a) ábra satírozott része reprezentálja. Legyen z = t − u, így (2.45) a következ® alakot ölti: aai x = E(ξx,[0,∞,0,∞,∞]) = Z∞ Z t 0 aa ai t−z px µ (x 0 12 + t − z)z piix+t−z v t dzdt. (2.47) Fo ás h p www doks hu z=t-u z=t-u xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx a) Γ = [0, ∞, 0, ∞, ∞] t 0 c t b) Γ = [c, ∞, 0, ∞, ∞] z=t-u xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 0 t ) Γ = [0, ∞, f, ∞, ∞] d) Γ = [0, n, 0, ∞, ∞] e) Γ = [0, ∞, 0, m, ∞] f) Γ = [0, ∞, 0, ∞, r] g) Γ = [0, n, 0, m, ∞] h) Γ = [0, n, 0, ∞, n] m m m m m m i) Γ = [0, n, 0, m, n] m j) Γ = [0, n, 0, ∞, r] 2.3 ábra Az összes lehetséges

élettörténet különböz® Γ-k esetén Ebb®l látszik, hogy az integrálás éppen a 2.3a) ábrán jelölt kétdimenziós alakzaton történik Vezessünk be egy jelölést a (226) integrál belsejében szerepl® függvényre (ennek v t -szeresét kell a (2.45) képletben integrálni): Ψ(x, u, t) := Így t pax (τ ) = t−τ R aa a u px µ (x + u)t−u px+u . (2.48) Ψ(x, u, t)du, s ennek segítségével a fenti eredmények kiterjeszthet®k más 0 Γ-k esetére is. A 23b)-23j) ábrák a különböz® Γ-knak megfelel® "élettörténeteket" ábrázolják  a satírozott rész itt azt jelöli, hogy mely esetekben lehetséges kizetés A (2.2) valamint a (235)-(243) képletek alapján könnyen belátható, hogy az egyes 13 Γ-k melleti ko kázatok várható értékei, azaz a nettó várható érték elv szerinti díjak éppen a Ψ(x, t − z, t) függvények integráljai a 2.3b)-23j) ábrák jelölt területei felett Például a Γ = [0, n, 0, ∞, ∞]

esetre (2.3d) ábra): E(ξx,[0,n,0,∞,∞]) = Zn ai t t px v dt 0 = = Zn Z t 0 ai t px (t (2.49) − n)v t dt = n Zn Z t 0 + Z∞ t Ψ(x, u, t)v dudt + 0 Z∞ Zn n Ψ(x, u, t)v t dudt = 0 t Ψ(x, t − z, t)v dzdt + 0 Z∞ Z t Ψ(x, t − z, t)v t dudt. n t−n Vagy a Γ = [0, n, 0, m, n] esetben (2.3i) ábra): Zn ai t (t pai x − t px (m))v dt + = Zn Zt = Zn Z t E(ξx,[0,n,0,m,n]) = 0 0 0 Ψ(x, u, t)v tdudt − 0 Z∞ (2.50) n n t−m Z Z Ψ(x, u, t)v t dudt = m Ψ(x, t − z, t)v t dzdt − 0 0v t dt = 0 Zn Z t Ψ(x, t − z, t)v t dzdt. m m 2.8 A ko kázat szórásnégyzete különböz® szerz®dési feltételek esetén Ebben a fejezetben a ko kázat szórásnégyzetére kapott (2.7) képletet fejtjük ki különböz® Γ vektorok esetén, ahogy tettük ezt a várható értékre a 26 fejezetben A szórásnégyzethez azonban a ΦΓ (x, t) valószín¶ségeken kívül szükségünk van a φΓ (x, t, s) = PΓ (S(x + s) = i|S(x + t)

= i, S(x) = a) értékekre is. El®bbieket kifejtettük a 26 fejezetben, így most sak az utóbbiakkal foglalkozunk A ko kázat szórásnégyzete pedig ezek konkrét alakjának (2.7)-be való visszahelyettesítésével kapható Ha feltesszük, hogy folyamatunk Markov-tulajdonságú, akkor a fenti feltételes valószín¶ségben az S(x) = a feltétel elhagyható, tehát φΓ (x, t, s) = PΓ (S(x + s) = i|S(x + t) = i). Legkönnyebben természetesen most is a Γ = [0, ∞, 0, ∞, ∞] extrák nélküli eset kezelhet®. Ekkor φΓ(x, t, s) = PΓ (S(x + s) = i|S(x + t) = i) = ii s−t px+t . (2.51) A többi esethez viszont ismét szükség van azon valószín¶ségekre, melyek azt is leírják, hogy a biztosított (x + s)-ben már legalább τ ideje beteg. (225)-höz hasonlóan vezessük 14 be tehát a következ® jelölést: ii t py (τ ) := P (S(y + u) = i ∀u ∈ [t − τ, t]|S(y) = i) (2.52) Lényeges különbség a korábbi dení ióhoz képest, hogy a mostani nem sak

τ ≤ t esetén deniálható. (225)-nél, mivel az y -beli kezd®- és az (y + t)-beli végállapot különbözött, annak valószín¶sége, hogy a végállapot már több, mint t ideje tart, nyilván 0 volt. Most azonban a két széls® állapot azonos, tehát pozitív valószín¶séggel el®fordulhat, hogy az (y + t)-beli állapot már y -nál korábban elkezd®dött. Persze akármeddig nem mehetünk vissza, azt ugyanis mindig feltesszük, hogy S(x) = a, tehát a fenti dení ió 0 ≤ τ ≤ y+t−x esetén érvényes, a τ > y + t − x értékekre pedig legyen 0. A (2.26) képlet megfelel®je itt egy ki sit bonyolultabb Most a kezd® és a végs® állapot azonossága, s ehhez kap solódóan a dení ió τ > t értékekre való kiterjedése miatt gyelembe kell vennünk azokat az eseteket is, amikor y és (y + t) között nem történik állapotváltozás. Ezt tehát akkor kell megtennünk, amikor τ > t, és ekkor egyrészt annak kell teljesülnie, hogy y és (y +

t) között a biztosított beteg legyen, másrészt pedig még y el®tt legalább (τ − t) ideje betegnek kell lennie. A Markov-tulajdonság miatt az, hogy y el®tt és után mi történik, nem befolyásolja egymást. Az y el®tti történéseket pedig épp a korábban deniált hasonló valószín¶séggel tudjuk leírni. τ ≤ t esetén a korábbi integrálos formula analógja itt is m¶ködik, végül tehát a következ® képlet adódik: ii t py (τ ) = t piiy · ai y−x px (τ − t) + Zt−τ aa ai u py µ (y + u)t−u piiy+u du. (2.53) 0 Ellen®rizzük le a felírt képletet a különböz® típusú τ értékekre:  0 ≤ τ < t esetén az els® tag második tényez®je dení ió szerint 0, így sak az integrálos rész játszik szerepet, ez pedig (ahogy (2.26) esetén is) a teljes valószín¶ség tétele alapján bontja fel a valószín¶séget az utolsó megbetegedés ideje szerint; spe iálisan ii t py (0) = t piiy , ekkor t-ig kell integrálni;  τ = t

esetén az integrál 0, az els® tag második tényez®je pedig y−x pai x (0) = ai y−x px = 1, hiszen S(y) = i a feltételben szerepel, azaz ekkor az egész képlet t piiy -ra redukálódik; s valóban, ez pont annak a valószín¶sége, hogy y és (y + t) közt ügyfelünk végig beteg volt, másként fogalmazva y -ban már legalább t ideje beteg;  t < τ < y + t − x esetben tekintsük az integrált 0-nak (pre ízen: a negatív u-kra eddig nem deniált valószín¶ségeket most defniáljuk 0-nak); ekkor sak az els® tag számít, abban a fentebb leírtak miatt elkülönül az y el®tti és utáni rész: az utóbbira vonatkozó rész világos, az el®bbire pedig (τ − t) éppen 0 és (y − x) közé esik, azaz oda, ahol y−x pai x (.) értelmes, és pont azt írja le, hogy már legalább (τ − t) ideje beteg a biztosított (y -ban), így (y + t)-ben már legalább (τ − t) + t = τ ideje; 15  τ = y + t − x esetén az integrál az el®bbihez hasonlóan

0, és a másik tag is 0, hiszen w pai x (w) = 0 (itt w = y − x = τ − t), ugyanis annak valószín¶sége, hogy egy x évesen egészséges, (x + w) évesen beteg ember legalább w ideje beteg, 0, hiszen x évesen egészséges volt;  τ > y + t − x esetén pedig szintén ez a helyzet, dení ió szerint mindkét tag 0. A szükséges jelölésekkel immáron felvértezve nézzük az egyes Γ-khoz tartozó φΓ (x, t, s) értékeket. Az alábbi képletek helyessége a 26 fejezetben látottakhoz hasonlóan könnyedén meggondolható, ha szem el®tt tartjuk, hogy a (2.52) képletet milyen értékekre deniáltuk ( 0 (s ≤ c) φ[c,∞,0,∞,∞](x, t, s) = (2.54) ii ii s−t px+t − s−t px+t (s − c) (s > c), ( 0 (s ≤ f ) φ[0,∞,f,∞,∞](x, t, s) = (2.55) ii s−t px+t (f ) (s > f ), ( ii (s ≤ n) s−t px+t φ[0,n,0,∞,∞](x, t, s) = (2.56) ii s−t px+t (s − n) (s > n), φ[0,∞,0,m,∞](x, t, s) = ii s−t px+t − (2.57) ii s−t px+t (m),

φ[0,∞,0,∞,r](x, t, s) = ( ii s−t px+t (s ≤ r) 0 (s > r), φ[0,n,0,m,∞](x, t, s) = ( ii s−t px+t (|s φ[0,n,0,∞,n](x, t, s) = ( ii s−t px+t (s ≤ n) 0 (s > n), φ[0,n,0,m,n](x, t, s) = ( ii s−t px+t ii s−t px+t φ[0,n,0,∞,r](x, t, s) =     (2.58) − n|+ ) − ii s−t px+t (m) 0 (s ≤ n + m) (s > n + m), − (2.60) ii s−t px+t (m) 0 (s ≤ n) (2.61) (s > n), ii s−t px+t (s (2.59) (s ≤ n) (2.62) − n) (n < s ≤ r)    0 (s > r). Például a Γ = [0, n, 0, ∞, n] konstruk ióra, azaz az n éves PHI-biztosításra, (2.7), (2.41) és (260) alapján a következ® képletet kapjuk:  n  Zn Z t ii s  dt − D 2 (ξx,[0,n,0,∞,n]) = 2 t pai s−t px+t v ds xv 0 (2.63) t  − Zn 0 2 ai t  t px v dt . A grakus szemléltetést®l a szórásnégyzet esetén eltekintünk, mivel az eleve kett®s integrálban szerepl® pai és pii típusú valószín¶ségek

integrálos alakjának helyettesítése 16 négydimenziós integrálokat eredményezne, s a négydimenziós ábrák inkább nehezítenék, mint könnyítenék a megértést  ha egyáltalán találnánk megfelel® négydimenziós tartományt, melyen integrálnunk kellene. Összeségében tehát az alapvet® átmenet-valószín¶ségek és az állapotban maradások valószín¶ségeinek segítségével meghatározhatók az átmenet-intenzitások (lásd (2.10)), innen adódnak a t pix (τ ) típusú valószín¶ségek ((226) és (253)), s ezek segítségével felírhatók a ΦΓ (x, t) és a φΓ (x, t, s) formulák ((2.33), (235)-(243), (251) és (254)-(262)), melyekb®l kiszámolható a ko kázat (2.2) várható értéke és (27) szórásnégyzete, ezek alapján pedig számolható várható érték, szórás vagy szórásnégyzet elv szerinti díj (lásd 2.2 fejezet) 17 3. fejezet Konkrét díjkalkulá iós módszerek PHI-termékekre Az el®z® fejezetben ismertettünk egy

általános modellt a ímben szerepl® biztosítási konstruk iókra, és megvizsgáltuk, hogy a t px valószín¶ségek segítségével hogyan határozhatjuk meg ezen termékek árát különböz® díjelvek alapján. Ebben a fejezetben bemutatásra kerül néhány, gyakorlatban alkalmazott módszer, továbbá ezek kap solata az általános modellel (hogyan származtathatók bel®le, illetve a közelítéseik hogyan ellen®rizhet®k vele). Tekintettel arra, hogy ezek az eljárások többnyire az n éves PHI-biztosításra, azaz a Γ = [0, n, 0, ∞, n] konstruk ióra készültek, így innent®l mi is sak ezzel foglalkozunk. Ennek oka egyébként a módszerek azon természetéb®l adódik, hogy az általános modellben szerepl® valószín¶ségek közül t p.ix -kre lehet egyszer¶ be sléseket adni, s sak a fenti konstruk ió esetén nin s szükség a nehézkes integrálással számítható t pix (τ ) értékekre, amikhez amúgy is szükségesek további átmenetvalószín¶ségek.

Ezek pedig megfelel® részletesség¶ hazai adat híján nem be sülhet®k. 3.1 A norvég módszer Induljunk ki tehát a Γ = [0, n, 0, ∞, n] esetre az általános modell alapján nettó várható érték elvvel számolt díjból (lásd (2.44)): aai x:n| = E(ξx,[0,n,0,∞,n]) = Zn ai t t px v dt. (3.1) 0 Itt t pai x = P (S(x + t) = i|S(x) = a). Módosítsuk egy ki sit ezt a valószín¶séget úgy, hogy azt is feltesszük, hogy az ügyfél (x + t)-ben életben van:    j(x)+t := P S(x + t) = i|(S(x) = a) ∧ (S(x + t) = a) ∨ (S(x + t) = i) . 18 (3.2) Természetesen teljesül, hogy ai t px
= j(x)+t · P (S(x + t) = a) ∨ (S(x + t) = i)|S(x) = a ,
továbbá P (S(x + t) = a) ∨ (S(x + t) = i)|S(x) = a = aa t px + ai t px , (3.3) azaz a díjra a következ® ekvivalens formulát kapjuk: aai x:n| = E(ξx,[0,n,0,∞,n]) = Zn (3.4) ai t j(x)+t (t paa x + t px )v dt. 0
Ha itt a P (S(x + t) = a) ∨ (S(x + t) = i)|S(x) = a = aa t px + ai t px

valószín¶séget az aktuáriusi gyakorlatban igen gyakran használt túlélési valószín¶séggel, (lx+t /lx )-szel helyettesítjük, megkapjuk az ún. norvég módszer képletét (lásd még [11℄, [14℄, [15℄): aai x:n| = E(ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ Zn 0 lx+t j(x)+t v t dt. lx (3.5) Az ly értékek az életbiztosítások alapvet® eszközének, a halandósági táblának az értékei, azt adják meg, hogy az l0 = 100000-es alapsokaságból hányan érték el az y éves kort, így lx+t /lx azt jelenti, hogy az x éves kort elér®k közül hányan lesznek életben még (x + t) évesen is. Fontos megjegyezni, hogy lx+t /lx nem függ a kezdeti (x-beli) állapottól, ellentétben a ai ia ii pontos értékkel, (t paa x + t px )-vel. Ennek megfelel®en (t px + t px ) is közelíthet® (lx+t /lx )- szel. Bevezetve a i j(x)+t    := P S(x + t) = i|(S(x) = i) ∧ (S(x + t) = a) ∨ (S(x + t) = i) (3.6) jelölést, a fentiekhez hasonlóan adódik, hogy ii t px (3.7) i ii =

j(x)+t (t pia x + t px ), majd az imént említett és a t pai x -re vonatkozó közelítéseket használva (2.63) alapján:  n  Zn Z lx+t lx+s i D 2 (ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ 2 j(x)+t v t  j(x+t)+s−t v s ds dt − (3.8) lx lx+t t 0  n 2 Z lx+t − j(x)+t v t dt . lx 0 Így néz ki tehát a ko kázat szórásnégyzete a norvég modell alapján a Γ = [0, n, 0, ∞, n] esetben. Vegyük észre, hogy a (35) és (38) formulák a "betegségben levés" valószín¶ségén alapulnak (lásd a 2.7 fejezet ide vonatkozó megjegyzését a (234) és a (246) képletek szemléletbeli különbségér®l). 19 3.2 A "Man hester-Unity" módszer Ez a modell annyiban különbözik az el®z®t®l, hogy a j(x)+t valószín¶ségek helyett az fx+t := P (S(x + t) = i|(S(x + t) = a) ∨ (S(x + t) = i)) (3.9) értékeket tekinti, azaz elhagyja a kezdeti állapotra vonatkozó feltételt, így a nettó várható érték elvnek megfelel® díjra a következ®

képlet adódik: aai x:n| = E(ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ Zn 0 lx+t fx+t v t dt. lx (3.10) Vegyük észre, hogy j(x)+t az x-nek és a t-nek, azaz két változónak a függvénye, míg fx+t supán (x + t)-t®l függ, azaz egyváltozós, itt ugyanis nem vagyunk tekintettel a kezdeti i -re is, ami állapotra, sak az aktuális állapottal foglalkozunk. Ugyanez elmondható j(x)+t ennek megfelel®en ugyan sak fx+t -vel helyettesítend® ebben a modellben, így a ko kázat szórásnégyzetére a következ® képletet kapjuk: D 2 (ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ 2 Zn 0  n  Z lx+t lx+s fx+t v t  fx+s v s ds dt − lx lx+t t  n 2 Z lx+t − fx+t v t dt . lx (3.11) 0 Az el®bbi észrevételb®l adódik az is, hogy ebben a modellben egy (x + t) korú beteg biztosított esetén minden korábbi év lehetséges kezdete a betegségnek, pedig a valóságban a betegség sak az x éves kor után kezd®dhetett. A 31 ábrán ilyen eseteknek megfelel® "lehetetlen

élettörténeteket" láthatunk (most a vízszintes tengelyen nem az x éves kor óta eltelt id®, hanem az ügyfél kora szerepel). xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x 0 x+t-r-s x+t-r x x+t kor 3.1 ábra "Lehetetlen élettörténetek" Világos, hogy ezzel a módszerrel a kérdéses valószín¶ségeket felülbe süljük. Ez nem túl jelent®s akkor, ha az adatok atalabb korosztályra vonatkoznak, hiszen náluk nem 20 túl valószín¶, hogy hosszabb betegségen estek volna át a biztosítás kezdete el®tt, id®sebb emberekre vonatkozó adatok esetén azonban a hiba jóval nagyobb lehet. Természetesen a "Man hester-Unity" módszer is a "betegségben levés" valószín¶ségén

alapul, ahogy a norvég módszer. Írjuk most át az aai x:n| -re vonatkozó (3.10) formulát: Zn 0 Z1 n X 1 lx+t fx+t v t dt = fx+h−1+τ · lx+h−1+τ v h−1+τ dτ ≈ lx l x h=1 (3.12) 0 ≈ n X lx+h− 1 2 lx h=1 v R1 fx+h−1+τ · lx+h−1+τ dτ h− 21 0 R1 θy := lx+h−1+τ dτ 0 Vezessük be a következ® jelölést: R1 . fy+τ · ly+τ dτ 0 R1 (3.13) . ly+τ dτ 0 Ez az ún. betegségi középarány (Central Si kness Rate  CSR), mely az y és (y + 1) éves korok közt betegségben eltöltött id® várható értékének és ugyanezen id®szak alatti várható élettartamnak a hányadosa. (Ui ha b®vítjük a törtet (1/lx )-szel, amit a számlálóban és a nevez®ben is beviszünk az integráljel mögé, akkor az integrálandó mennyiség épp a betegség, illetve az "életben levés" valószín¶sége az adott pillanatban  azzal a generális feltevéssel, hogy az illet® az x id®pontban életben van.) Ezzel kifejezve a díjat

kapjuk a "Man hester-Unity" módszer egy gyakrabban alkalmazott alakját: aai x:n| = E(ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ n X lx+h− 1 2 h=1 lx 1 v h− 2 θx+h−1 . (3.14) Nézzük meg most, hogy ez az átírás hogyan zajlik a szórásnégyzet (3.11) képletére A kivonandó természetesen épp a (3.14) formula négyzete, így azzal nin s sok gond Az els® tag bels® integrálját jobban szemügyre véve pedig észrevehetjük, hogy ez éppen egy olyan biztosítás (3.10) alapján számolt nettó várható értékes díja, mely (x + t)-ben indul, és (x + n)-ben jár le, azaz éppen aai . Most elvégezhetjük ugyanazt a pro edúrát, (x+t):(n−t)| melyet a várható értéknél sináltunk, a különbség annyi, hogy az integrálban egy újabb szorzótényez® fog szerepelni, mely t-t®l függ. Az  egész értékek közti integrálások összegére való bontásban az integrálandó függvények aai -val b®vülnek, majd (x+h−1+τ ):(n−h+1−τ )| a közelítés v

hatványaihoz hasonlóan a középértékekkel történhet. A következ® képletet 21 kapjuk: 2 D (ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ 2 n X lx+h− 1 2 lx h=1   1 v h− 2 aai θx+h−1 − (x+h−1/2):(n−h+1/2)| − aai x:n|
2 (3.15) . Ha még a nettó várható érték elvvel számolt díjakat is közelítjük, adódik a következ® képlet a ko kázat szórásnégyzetére: D 2 (ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ 2 n X lx+h− 1 2 h=1 lx  1 v h− 2  n−h+ 21 X lx+h− 1 +r− 1 2 2 lx+h− 1 r=1 2 − v r− 2 θx+h− 1 +r−1  − r/s 2 n X lx+h− 1 2 h=1 További képletek kaphatók az fy 1  lx v h− 21 θx+h−1 !2 (3.16) . valószín¶ségek segítségével. Ezek azt írják le, hogy egy y évesen beteg ügyfél betegségének eddigi tartama r és (r + s) közé esik  lehetséges "élettörténeteket" szemléltet a 3.2 ábra xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x 0 x y-r-s y y-r kor 3.2 ábra y évesen beteg ügyfél lehetséges élettörténetei, amennyiben a betegség eddigi tartama r és (r + s) közé esik r/s Ezekre a formulákra most nem térünk ki, azonban megjegyezzük, hogy ezen fy -ek segítségével a "Man hester-Unity" módszer kap solatba hozható az általános modellel, ai ugyanis ezek az értékek kifejezhet®k a t pah x0 (h ∈ {a, i}) és a t px0 (τ ) valószín¶ségek se- gítségével, ahol x0 egy olyan életkort jelöl, melyben a biztosított egészséges volt. Ehhez tekintsük azt a valószín¶séget, hogy egy ügyfél életben van y évesen, feltéve, hogy x0 évesen egészséges volt:
P (S(y) = a) ∨ (S(y) = i)|S(x0 ) = a = aa y−x0 px0 + (3.17) ai y−x0 px0 , továbbá annak esélyét, hogy az x0 évesen

egészséges ügyfél y -ban beteg, és betegségének tartama r és (r + s) közé esik:
P S(x0 + u) = i, ∀u ∈ [y − x0 − k, y − x0 ], r ≤ k ≤ r + s|S(x0 ) = a = = 22 ai y−x0 px0 (r) − ai y−x0 px0 (r + s). (3.18) r/s Jelölje most fy,x0 annak valószín¶ségét, hogy egy x0 évesen egészséges és y évesen él® ügyfél y évesen beteg, és betegségének tartama r és (r + s) közé esik. Tekintve, hogy ez utóbbi esemény része a második feltételnek megfelel® eseménynek, a feltételes valószín¶ség dení iója alapján adódik, hogy: r/s fy,x 0 0/∞ Dení ió alapján fy = fy = ai y−x0 px0 (r) ai y−x0 px0 (r aa ai y−x0 px0 + y−x0 px0 − + s) (3.19) . , s így fy = fy0/∞ ≈ ai y−x0 px0 . aa ai y−x0 px0 + y−x0 px0 (3.20) Azaz a (3.10), (311), (314), (316) és a (315) képletek valóban kifejezhet®k az általános modell átmenet-valószín¶ségeivel. Az utóbbi képletek segítségével [6℄

részletesen elemzi a betegségi középarányt, a "Man hester-Unity" modell egyéb vonatkozásairól pedig [1℄ és [10℄ értekezik. 3.3 A svéd módszer Az alább ismertett modellre nem térünk ki részletesen, supán a lényegét vázoljuk. Ennek oka, hogy az n éves PHI-biztosításnál általánosabb konstruk ió díját számítja ki, így a fejezet elején tett észrevétel szerint olyan paraméterek szükségesek a díj kiszámításához, melyek a magyar adatokból nem be sülhet®k. Miért mutatjuk be mégis? Azért, mert ez egy konkrétan alkalmazott példa olyan modellre, melyben a díjszámítás nem a "betegségben levés" esélyén alapul, mint a norvég vagy az MU-módszer esetén, hanem a beteggé válás és betegen maradás valószín¶ségén. Legyen Γ = [0, n, f, ∞, n], azaz engedjük meg az eddig vizsgált biztosításhoz képest a késleltetési id®szakot. A nettó várható érték elv alapján számított díjra itt a következ®

képletet alkalmazzák: aai = x:n(f )| n−f Z 0  lx+u ai µ (x + u)f piix+u,0 v u+f  lx Zn u+f  ii t−u−f  dt du. t−u−f px+u+f,f v (3.21) Ez a képlet ugyanolyan típusú, mint (2.46), sak természetesen más szerz®dési feltételek mellett, továbbá az u paa x valószín¶ség helyett az lx+u /lx túlélési valószín¶ség szerepel. Vezessük be a következ® jelöléseket: λ(y, z) := (3.22) ii z py,0 , ν(y, z) := µai (y)z piiy,0 = µai (y)λ(y, z). 23 (3.23) A korábbiak értelmében λ az y és (y + z) közti folytonos betegség valószín¶sége, ν(y, z)dy pedig annak az esélye, hogy egy y -ban egészséges biztosított y és (y + dy) közt megbetegszik, és legalább (y + z)-ig beteg is marad. Kihasználva, hogy ii f px+u,0 · ii t−u−f px+u+f,f = (3.24) ii t−u px+u,0 , a díjra a következ® képlet adódik: aai = x:n(f )| n−f Z 0  lx+u ν(x + u, f )v u+f  lx Zn u+f  λ(x + u, t − u) t−u−f  v

dt du. λ(x + u, f ) (3.25) A svéd aktuáriusi gyakorlatban szokásos a λ és a µai (vagy ezzel ekvivalensen a λ és a ν ) függvények be slése, és ezek alapján a fenti képlettel való díjszámítás ([3℄, [4℄, [5℄, [8℄, [9℄, [16℄, [17℄). 24 4. fejezet Díjszámítás hazai adatok alapján 4.1 Az MU-képlet paramétereinek egyszer¶ be slése Mint korábban említettük, a nyugat-európai biztosítók abban az el®nyös helyzetben vannak, hogy rendkívül részletes statisztikákkal rendelkeznek, s®t, mivel az alapvet® konstruk iókat évtizedek óta értékesítik, ezek a statisztikák a saját ügyfeleikre vonatkoznak. Így a díjszámításkor olyan személyekre vonatkozó adatokkal dolgozhatnak, akik a kialakítandó termék poten iális vev®i. A mi esetünkben nem sak részletes statisztikák nin senek, de a hozzáférhet® adatok nagy része országos vagy megyei adat  azaz nem sak azt a társadalmi réteget reprezentálja, amely egyáltalán

köt biztosításokat. Így a konkrét eredményeink nyilván nem alkalmazhatók a gyakorlatban  a élunk itt a lehetséges be slési és számítási módszerek bemutatása konkrét adatokon. Az általános modell alapján történ® díjszámításhoz szükség van a t px valószín¶ségekre, amik azt írják le, hogy egy x éves korában egészséges vagy beteg ember milyen valószín¶séggel lesz egészséges vagy beteg t év múlva. Ahogy a 3 fejezet bevezet®jében már említettük, a Γ = [0, n, 0, ∞, n] konstruk ió kivételével szükség van a t px (τ ) értékekre is, amikhez viszont kellenek t piix -k. A rendelkezésünkre álló adatok nagyon kevés informáiót adnak arra nézve, hogy egy adott évben beteg személlyel a továbbiakban mi történt (legfeljebb a halálozási arányt ismerjük), tehát ilyen típusú valószín¶ségek be slésére nem sok remény van. Ezért a továbbiakban az n éves PHI-biztosítással foglalkozunk Azonban ebben az esetben is az

általános modell alapján való számoláshoz, vagy akár a norvég módszer alkalmazásához szintén egy korábbi állapot függvényében kellene be sléseket adnunk. Egyedül a Man hester-Unity módszer az, melyben sak olyan értékeket kell közelítenünk, melyek nem függnek az illet® addigi "kórtörténetét®l". Idézzük fel tehát az ide vonatkozó 25 (3.14) és (315) képleteket a ko kázat várható értékére és szórásnégyzetére: aai x:n| = E(ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ n X lx+h− 1 2 h=1 n X 2 D (ξx,[0,n,0,∞,n]) ≈ 2 lx lx+h− 1 2 h=1 − aai x:n| ahol y ≥ x-re az ún. CSR mennyiség: θy := 1 v h− 2 θx+h−1 , R1 0 lx
2 v h− 21   ai a(x+h−1/2):(n−h+1/2)| θx+h−1 − (4.2) , fy+τ ly+τ dτ lx R1 0 (4.1) . (4.3) ly+τ dτ lx Korábban említettük, hogy a θy mennyiség két várható érték hányadosa: az y és (y +1) éves korok közt betegségben, illetve életben töltött id®é. Az ly értékek a

halandósági táblában sak éves bontásban állnak rendelkezésre, de utóbbira könnyen adhatunk be slést: az [y, y + 1] intervallum két végpontjában ismerjük a integrálandó függvény értékét, így ha lineárisan interpolálunk, akkor a CSR nevez®jére a következ® közelítést kapjuk: Z1 0 ly+τ (ly + ly+1 ) dτ ≈ . lx 2lx (4.4) A számlálóhoz már betegségi adatokat is fel kell használnunk. Ezzel kap solatban egy biztosító rendelkezésünkre bo sátotta a következ® statisztikákat: egy bizonyos portfolióban szerepl® biztosítottak körében hány ápolási eset történt a biztosított korának és az ápolás napokban mért tartamának függvényében. Mindez Tolna megyére vonatkozik, és az 1997-ig bekövetkezett eseményeket tagalja, külön férakra és külön n®kre. Ugyanilyen táblázat áll rendelkezésre egy másik portfolióra, mely a 2002-ig történteket veszi gyelembe, szintén Tolna megyében. (Megjegyezzük, hogy rövid ápolás

meglehet®sen sok fordul el®, s ritkábbak a hosszútávú betegségek, amint ez várható is. Ha tehát ezen adatokra eloszlást szeretnénk illeszteni, akkor a nagy volatilitás miatt annak egy keverék eloszlásnak kell lennie, mely egy nagy valószín¶ség¶, kis várható érték¶ diszkrét eloszlásból és egy kisebb valószín¶ség¶, nagyobb értékeket felvev® eloszlásból áll, erre azonban e dolgozatban nem térünk ki.) Ezen adatokból mindenesetre könnyen adható be slés a CSR számlálójára (jelöljük innent®l tsy -nal), hiszen az adott korban betegen töltött napok számának várható értékét egyszer¶en átlagolással kaphatjuk  ezt megtehetjük nemenként és a két különböz® befejezési évre vonatkozóan, s®t a fér és a n®i portfoliókat egybe is olvaszthatjuk, így összesen 26 hat adatsor áll rendelkezésünkre. Konkrétan hat darab 45 dimenziós vektor, mindegyikben a 18-tól 62 éves korig terjed® átlagos ápolási tartammal

(napokban mérve) Feltesszük ugyanis, hogy a biztosítást 18. életévét betöltött, még nem nyugdíjazott személy kötheti 4.1 ábra Átlagos ápolási tartam (tsy ) a különböz® portfoliókra a kor függvényében A 4.1 ábrán a kapott értékeket ábrázoltuk a kor függvényében az egyes portfoliókra vonatkozóan. Láthatjuk, hogy a férak várhatóan több napot töltenek betegen, és hogy az 1997-es portfolióban magasabb az átlag. El®bbi nem meglep®, ismerve a várható élettartam tulajdonságait, utóbbi viszont az életszínvonal emelkedésére utalhat Ezek a be slések persze sak Tolna megyére, és az adott portfolióra vonatkoznak. Sajnos a többi hozzáférhet® statisztika, mely a kórházakban kezelt összes betegr®l szól, az ápolások átlagos tartamát ugyan tartalmazza (akár megyénként és évenként is), de a kor szerinti bontás hiányzik  pedig számunkra talán az a legfontosabb szempont. Így az adott korban betegen töltött id®re sak

ebb®l a nem feltétlenül reprezentatív mintából tudunk be slést adni. Ennek lehetséges korrek ióit ismertetjük a 44 fejezetben A fenti (4.1) és (42) képletek alkalmazásához még két kiegészítést kell tennünk A halandósági tábla adatai (ahogy fentebb is szóba került már) évesek, így a képletekben szerepló lx+h− 1 értékek helyett mi lx+h -t fogunk használni, azaz az eljárást annyiban mó2 dosítjuk, hogy a középpontban felvett érték helyett a végpontbeli értékkel közelítünk. mennyiségekkel is, éves adataink lévén, a bizHasonló a helyzet az aai (x+h−1/2):(n−h+1/2)| tosításokat is sak éves tartamokra vizsgáljuk. Itt, gyelembevéve, hogy h utolsó értéke 27 n, aai -gyel helyettesítünk, azaz a kezd®pontbeli értékkel közelítünk  ha a (x+h−1):(n−h+1)| végpontbelivel tennénk, akkor h = n-re 0 éves biztosítás adódna, aminek nin s értelme. 4.2 A számításokat végz® programok A megfelel® adatokkal és be

slési eljárásokkal felvértezve már sak a számítások konkrét kivitelezése van hátra. Ehhez a MATLAB szoftvert használtam, melyben a szükséges számítási eljárásokat öt egyszer¶ szubrutin segítségével oldottam meg. Ezek közül kett® a ko kázat várható értékét, illetve szórásnégyzetét határozza meg a belépési kor, a tartam, a biztosítási összeg, a te hnikai kamatláb, valamint két vektor függvényében. Az egyik vektor a halandósági tábla elemeit tartalmazza, azaz az ly -okat, y = 18, . , 62 A másik vektor pedig ugyanezen y -okra tartalmazza a CSR számlálójának be slését (tsy ), azaz az átlagos id®t, melyet az illet® y és (y + 1) éves kora közt betegen tölt  napokban mérve, ezért gyelnünk kell arra, hogy a CSR nevez®jének meghatározásakor kapott értéket (melynek mértékegysége év, tipikusan valamivel kisebb 1-nél) megszorozzuk 365-tel. A másik három szubrutin (használva az el®z®eket) a várható érték, a

szórás és a szórásnégyzet elvre vonatkozó díjtáblázatokat készíti el a biztosítási összeg, a te hnikai kamatláb, a fenti két vektor, valamint az adott díjelv paramétere alapján. Miel®tt ezeket megnéznénk, vizsgáljuk meg, hogy az imént ismertetett be slési eljárás mennyiben és hol módosítható, s majd ha már többféle módszer alapján elkészített input adataink lesznek, foglalkozunk a különböz® inputokkal elkészített táblázatokkal. 4.3 Credibility-elmélet Fentebb említettük, hogy a nagyon spe ikus Tolna megyei portfoliók részletes adatai mellett rendelkezésünkre állnak kevésbé részletes, de nagyobb soportok alapján készült adatok. A fejezet elején szó volt róla, hogy utóbbiak kevésbé reprezentatívak a biztosítási üzlet szempontjából, most mégis foglalkozunk velük  egyrészt mert a valós biztosítótól származó adatok sem túl részletesek, másrészt, hogy megvizsgáljuk, hogy valóban okoznak-e jelent®s

különbséget a díjban. Számunkra most az egy év alatt betegségben töltött id® várható értéke (a CSR számlálója) az érdekes. Ezt tudtuk be sülni a biztosítótól kapott adatok alapján egyszer¶ átlagolással, azonban nem ismertük a portfolió összeállítását, vagy azt, hogy mikor kötötték meg a biztosításokat, sak annyit tudtunk, hogy egy adott naptári év végéig hány napos ápolási esetek fordultak el®. Az interneten fellelhet®, a teljes társadalomra vonatkozó adatok éppen más szempontok szerint részletesek: éves és megyénkénti (s®t intézményenkénti) bontásban lelhet®k fel az adott évben átlagos ápolási tartamok, azonban a számunkra 28 talán legfontosabb szempont, a kor szerinti bontás hiányzik. Ezért valahogy kombinálni kellene a kett®t  ez a fajta probléma sokszor (és sokféle formában) merül fel a biztosítások körében. Alapvet®en arról van szó, hogy a biztosítók gyakran szembesülnek azzal, hogy

többféle adatot kellene összefésülni: el®fordulhat, hogy ötvözni szeretnék az általános tapasztalatot a saját tapasztalattal  ez gyakori új biztosítók esetén, akik még nem rendelkeznek elegend® saját tapasztalattal, azaz hasonló ip®ben járnak, mint mi most. Az alább ismertetett (klasszikus) Bühlmann-modell erre kínál megoldást, de alkalmazható régi és új tapasztalok vegyítésére is. Tegyük fel, hogy a biztosítónak a következ® saját meggyelései vannak (a saját tapasztalat): Xj1 , . , Xjt , j = 1, , k , azaz k db soport, mindegyik elemszáma t (például k db szerz®dés t éven át meggyelve, Xjr a j . szerz®désre kizetett kár az r évben) A következ® feltételezéseket tesszük:  azonos j -re Xjr -ek eloszlása azonos, ennek az eloszlásnak egy (esetleg többdimenziós) rizikóparamétere Θj ;  Θj -k azonos eloszlásúak;  E(Xjr |Θj = q) = µ(q) független j -t®l, j = 1, . , k, r = 1, , t;  az X j = (Xj1 , . , Xjt

)T és az 1 = (1, , 1)T ∈ Rt jelölésekkel Σ(X j |Θj = q) =
E (X j − µ(q) · 1)(X j − µ(q) · 1)T |Θj = q = σ 2 (q)It×t , azaz az Xjr -ek feltételesen korrelálatlanok, és D 2 (Xjr |Θj = q) = σ 2 (q) független j -t®l;  az (X 1 , Θ1 ), . , (X k , Θk ) párok független, azonos eloszlásúak Vezessük be továbbá a következ® jelöléseket:  a := D 2 (E(Xjr )|Θj ) = D 2 (µ(Θj )),  s2 := E(D 2 (Xjr )|Θj ) = E(σ 2 (Θj )),  E(Xjr ) = E(µ(Θj )) =: m (a fenti második feltétel szerint itt valóban nin s j -t®l való függés)  tipikusan az Xjr -eken kívül ez is imert, mint általános tapasztalat, például országos adat. Célunk h(Θj ), azaz a j . rizikóparaméter egy függvényének be slése az összes meggyelés alapján h(Θj ) redibility-be slése a négyzetesen legkisebb hibát adó be slés, azaz tulajdonképpen a Bayes-be slés. Egy olyan g(X 1 , , X k ) függvényt kell tehát keresni,
melyre E (h(Θj ) − g(X 1 , . , X k

))2 minimális Tudjuk, hogy ez E (h(Θj )|X 1 , , X k ), de ezt gyakran nehéz meghatározni, ezért g -t inkább a lineáris függvények körében keres- sük, ez lesz a lineáris redibilty-be slés. Belátható a következ® állítás: k P t P h = µ-re a g(X 1 , . , X k ) = cj0 + cjir Xir alakú lineáris függvények körében a következ® minimalizál: i=1 r=1 g(X 1 , . , X k ) = g(X j ) = g(Xj1, , Xjt ) = z 29 Xj1 + · · · + Xjt + (1 − z)m, t (4.5) ahol z= s2 at + at (4.6) az ún. Bühlmann-faktor Láthatjuk, hogy a j . rizikóparaméter be sléséhez nem kell felhasználnunk a többi soport meggyeléseit, sak a saját soportét és az általános tapasztalatot A Bühlmannfaktorról elmondható, hogy ha nagy a bizonytalanság az adatainkban, azaz s2 nagy, akkor lesz 0-hoz közeli, s ekkor (4.5) szerint inkább az általános tapasztalatot érdemes gyelembe venni. Ha pedig nagyon sok meggyelésünk van, azaz t nagy, akkor z 1-hez lesz közel,

tehát a saját tapasztalat számít jobban. Akkor sin s probléma, ha m nem ismert  ebben az esetben a következ® mondható: k P t P cjir = 1, cj0 = 0 feltételek mellett a az E (g(X 1 , . , X k )) = m, i=1 r=1 k P t P Xj1 + · · · + Xjt r=1 g(X 1 , . , X k ) = z + (1 − z) i=1 t kt Xir (4.7) függvény minimalizál, azaz ilyenkor az összes meggyelés átlagával helyettesíthetjük m-et. 4.4 A redibility-elmélet alkalmazhatósága az adatainkra Térjünk vissza most a mi problémánkra, s nézzük meg, hogyan alkalmazhatnánk a redibility-elméletet. Az adathalmaz továbbra is a biztosítótól kapott 1997-es, illetve 2002es fér és n®i táblázat, az ezekb®l származó be sléseket szeretnénk "korrigálni" Kézenfekv®, hogy a k db soportnak az egyes korok feleljenek meg, és az adott korhoz tartozó meggyelt esetek legyenek az egyes Xjr -ek. Itt rögtön felmerül egy probléma, miszerint a modellben a soportok elemszáma azonos kell legyen, ami itt

távolról sem teljesül: például az 1997-es fér adatok szerint 5517 f® 18 éves volt beteg valamennyi ideig, ugyanez a szám 62 évesekre 16656, a két széls® kor között pedig kissé hullámzóan ugyan, de emelkedik. A n®knél hasonló értékeket tapasztalhatunk az 1997-es adatok esetében, a 2002-es értékek szintén ezt a tenden iát mutatják a féraknál, sak ott (ugyan sak 5000 körüli értékr®l indulva) 22000 körüli az utolsó érték. Ezek akár arra is utalhatnak, hogy a portfolió viszonylag kiegyenlített, hiszen nyilvánvaló, hogy egy huszonéves jóval kisebb valószín¶séggel betegszik meg, mint egy id®s ember. Ahogy a 4.2 ábrán is látható, a 2002-es n®i adatok viszont nem ilyenek, ott a 18-40 éves korosztályban jóval több ápolási eset szerepel, mint a másik három adatsorban  ez kevésbé kiegyensúlyozott portfolióra utal, melyben ez a korosztály valószín¶leg felülreprezentált. 30 4.2 ábra Ápolási esetek száma a

különböz® portfoliókra a kor függvényében Visszatérve a redibility-elmélet alkalmazhatóságához, az biztosan látszik, hogy ez a feltétel nem teljesül. Rögtön megállapíthatjuk tehát, hogy az elméletet nem fogjuk tudni alkalmazni, ennek ellenére megpróbáljuk végigszámolni. Amit kapunk, az nem lesz optimális be slés, hiszen a feltételek nem állnak fenn, arra mindenesetre jó lesz, hogy összehasonlítsuk az eredeti, egyszer¶ átlagolással kapott be sléssel Kiszámolva az egyes kor soportokhoz tartozó mintaátlagokat és korrigált tapasztalati szórásnégyzeteket, azt tapasztaljuk, hogy ezek igenis függnek a kor soporttól, ellentétben a fentebb ismertetett modell feltételeivel. (Ami persze várható, hiszen egy atal átlagban nyilván kevesebb id®t tölt betegen, mint egy id®s ember.) A továbbiakban ezért a = D 2 (E(Xjr )|Θj ) = D 2 (µ(Θj ))-t az egyes kor soportokhoz tartozó várható értékek korrigált tapasztalati

szórásnégyzetével, s2 = E(D 2 (Xjr )|Θj ) = E(σ 2 (Θj ))-t pedig a szórásnégyzetek átlagával fogjuk helyettesíteni. Mivel a soportok elemszámai különböz®ek, különböz® at/(s2 + at) hányadosokat fogunk kapni, így tovább rondítva a már eddig is jó skán átalakított módszeren, ezek átlagát vesszük, és ezzel, mint Bühlmann-faktorral végezzük el a kor soportokhoz tartozó be slések "korrek ióját". Ehhez természetesen még kell az m, mint általános tapasztalat (avagy ezt helyettesíthetjük az összes meggyelés átlagával) m-nek többféle értéket választhatunk: 1995-t®l rendelkezésre áll az egész országra vonatkozó átlagos kórházi ápolási tartam, illetve ugyanez megyénként is. Megtehetjük például, hogy az 1997-tel záruló 31 adatsorhoz a 95 és 97 közötti tolnai átlagot választjuk, de vehetjük a legfrissebb, 2003-as országos értéket is. El®bbivel az lehet a élunk, hogy következtetéseket vonjunk le a

kapott adatokból a portfolió összetételére vonatkozóan, míg utóbbi  frissebb adat lévén  egy elkészítend® termék díjmeghatározásánál lehetne lényeges. 4.3 ábra A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 2002, férak Meglehet®sen sok tsy input-vektor gyártható tehát ezen be slési eljárással  ami ugyan a redibility-elmélet alapján készült, de annak optimalitása a feltételek hiányában nem igaz rá. A 43-46 ábrán a tsy -ra adott egyszer¶, illetve különböz® m-ekkel módosított be slések grakonja látható a négy különböz® portfolióra. Az ömlesztett adatokból készített ábrákat most mell®zzük, semmi újat nem mondanak a többi négyhez képest Nézzük el®ször a 2002-es fér adatokhoz tartozó 4.3 grakont Több dolgot is leolvashatunk: egyrészt rögtön látszik, hogy az eredeti be sléshez képest a redibility-be slések jóval sz¶kebb határok közt mozognak, a két széls®érték különbsége

egy m esetén sem haladja meg az 1/2-et  ennek oka, hogy itt a Bühlmann-faktor 0.12 körülinek adódott, azaz a saját tapasztalat meglehet®sen kis súllyal esik latba Ennek megfelel®en a redibility-be slések a nekik megfelel® m érték körül mozognak, az id®sebb korosztályoknál gyakorlatilag konstansként, így az egyes grakonok egymáshoz képesti helyzete az egyes m-értékek viszonyának felel meg. Utóbbi megállapítás persze igaz a többi három portfolióra is, azonban ott az eltér® (nagyobb) Bühlmann-faktorok miatt a redibility-be slések görbéi merede32 4.4 ábra A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 2002, n®k kebbek lesznek: a 2002-es n®i adatok Bühlmann-faktora körülbelül 0.24, az 1997-es fér adatoké 0.28 körüli, a legmagasabb pedig az 1997-es n®i portfolióra adódik, 037 (ami egyébként szintén nem túl magas). Az m értékekre visszatérve általában elmondható, hogy az ápolási napok átlagos száma

folyamatosan sökken 1995 óta, a tolnai érték pedig 2001 el®tt egy kivétellel (1995) mindig az országos átlag feletti volt, 2001 után pedig mindig alatta volt annak (a 2001-es adatok hiányoznak)  lásd 4.1 táblázat (Korábban már ejtettünk szót arról, hogy a betegen töltött napok várható számának sökkenése az életszínvonal javulására utal.) Év 2003 2002 2001 Országos átlag 8.36 8.49 95-97/98-02 átlag - 95-02 átlag - Tolnai átlag 8.28 95-97/98-02 átlag - 95-02 átlag - - 2000 1999 1998 1997 1996 1995 8.9 9.16 9.49 9.79 10.34 10.81 9.01 10.31 9.57 8.31 - 9.01 9.61 10.08 9.95 9.25 10.21 9.66 4.1 táblázat Ápolás átlagos tartama napokban 33 10.41 10.28 4.5 ábra A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 1997, férak Az 1995 és 1997 közötti átlag, melyet az 1997-es adatokhoz használtunk, a kezdeti év viszonylag nagy, fordított eltérése miatt Tolna megyére ala sonyabb,

mint az egész országra, a 2002-es portfoliókra használt 1998 és 2002 közötti átlag pedig éppen fordítva, s ugyanez igaz a 2002-ig meglév® összes érték átlagát véve. A 2003-as adatok közül, melyeket mind a négy esetben felhasználtunk, a tolnai érték ala sonyabb, és ezek természetesen kisebbek, mint a korábbi évek bármilyen átlaga. Visszatérve a 4.3-46 ábrákhoz, a legérdekesebb a saját mintaátlag elhelyezkedése a többihez képest. Az, hogy a megel®z® évek átlagos értékeihez, mint m-ekhez tartozó grakonok mind a négy esetben a saját mintaátlaghoz tartozó grakon felett vannak, azt jelenti, hogy a portfoliókban szerepl® emberek mindig az átlagnál kevesebbet betegesked® rétegb®l kerültek ki. A fér portfoliók esetében a saját átlag a 2003-as m-ek felett van, a n®knél viszont alatta. El®bbieknél tehát a kés®bbi teljes populá ió átlaga már kisebb, mint a portfolióbelieké, utóbbiaknál viszont a portfolió

"egészségi állapota" még a kés®bbi teljes populá ióénál is jobb. Érdekesség még, hogy az eredeti be slés, amely a várható érték, nem monoton növekv® a korosztályok függvényében (de azért emelked® trendet mutat)  a n®k esetében kevesebb, a féraknál több kor soportnál van probléma. Összevetve az 1997-es és 2002-es adatokat, azt tapasztaljuk, hogy a lokális minimum- és maximumhelyek nem ugyanazoknál a korosz34 4.6 ábra A tsy be slések összehasonlítása a különböz® portfoliókra: 1997, n®k tályoknál vannak. Ebb®l arra következtethetünk, hogy ezek az eltérések, melyek elrontják a monotonitást, a portfoliók eltér® összetétele miatt lépnek fel. Láthatjuk továbbá, hogy az esetszámoknál látott eltérés a 2002-es n®i adatoknál (4.2 ábra), mely a atalabb korosztályok felülreprezentáltságára utalt, az ápolási napok átlagos számára nin s észrevehet® hatással, azaz már a többi portfolió ala

sonyabb esetszáma is jó be sléseket szolgáltat az átlagra. Összességében azt mondhatjuk, hogy ebben az esetben a redibility-elmélet valóban nem kínál túl jó alternatívát az egyszer¶ mintaátlaggal szemben, hiszen a (jelen esetben több sebb®l vérz®) Bühlmann-faktorok meglehet®sen ala sony volta miatt a redibilitybe slések túlságosan is kiegyenlítik a különböz® y korokhoz tartozó tsy értékeket. A következ® fejezetben többek között azt is megvizsgáljuk, hogy a díjra milyen hatással vannak 4.5 Díjtáblázatok különböz® input paraméterek esetén A díjtáblázatokat elkészít® programoknak a fent részletesen kitárgyalt tsy vektorokon kívül meg kell adni egy halandósági tábla megfelel® sorait is. Halandósági táblák 1998-tól 2001-ig (1999 kivételével) rendelkezésünkre állnak. Ahogy az m értékeknél, itt is választhatjuk a portfoliónak megfelel® utolsó évet vagy a legfrissebb adatot, most ez utóbbit 35 tesszük.

További bemen® paramétereink:  a b biztosítási összeget az elméleti számításoknál 1-nek vettük, ez ott a következ®t jelentette: mivel években számolunk, folytonosnak tekintve az id®t, az ügyfél akkor kapna 1 Ft-ot egy adott évben, ha végig beteg lenne, ugyanis el®bbihez  eltekintve a diszkony+1 R tálástól  χΓ,{S(x+t)=i|S(x)=a} dt = 1-nek kell teljesülnie. Ha most azt tesszük fel, hogy a y kizetés minden betegen töltött napon jár, akkor ez napi 1/365 Ft-ot jelent, tehát például napi 1000 Ft-os juttatáshoz a biztosítási összeget 365000-nek kell vennünk;  az i te hnikai kamatlábat a bitosítóknál gyakori 3.5%-nak vesszük;  az adott díjelv megfelel® paraméterét várható érték elv esetében λ = 0-nak vesszük (nettó várható érték elv), szórás elv mellett α = 0.01-gyel, szórásnégyzet elv esetén pedig β = 0.000001-gyel számolunk Ha ezen paramétereket rögzítettük, még mindig nagyon sokféle díjat számolhatunk.

Az alábbiakban a következ® három szempont szerint hasonlítjuk össze a kiszámolt díjakat: melyik portfolió adataival számoltunk, milyen díjelvvel, és milyen be slést használtunk a tsy értékekre. A háromból két szempontot mindig rögzítünk, és a harmadikban lehetséges eseteket összehasonlítjuk, méghozzá úgy, hogy a kapott díjakat ábrázoljuk az n tartam függvényében, az x belépési kort 40-nek rögzítve, illetve fordítva, x függvényében n = 1 éves tartam mellett. (Mindezeket a számításokat külön végezzük el a n®k és a férak esetében.) 4.7 ábra A portfoliók hatása a díjra  40 éves belépési kor, változó tartam 36 Els®ként xáljuk a díjelvet és a tsy -be slést: el®bbi legyen a várható érték elv, utóbbi pedig az egyszer¶ mintaátlag. A portfolió lehet az 1997-es vagy a 2002-es, illetve a kett® adatait egybeolvaszthatjuk. A 47 és 48 ábra a kapott grakonokat szemlélteti a fér portfoliók esetén. El®bbit

vizsgálva, mely a rögzített 40 éves belépési korra vonatkozik, láthatjuk, hogy jellegüket tekintve a görbék azonosak, sak az 1997-es adatokból számolt díjak magasabbak, mint a 2002-esek, a kett® egyesítéséb®l kapott értékek pedig nyilvánvalóan a kett® között helyezkednek el. 4.8 ábra A portfoliók hatása a díjra  1 éves tartam, változó belépési kor Meggyelhet® továbbá, hogy a rövidebb tartamokra jóval kisebb az eltérés: 1 év esetén a két külön portfolióra számolt díjak eltérése kevesebb, mint 400 Ft, 10 évre kb. 3500 Ft, 20 évre pedig majdnem 9000 Ft. Ennek oka valószín¶leg az, hogy ugyanez a jelenség az ápolás átlagos tartamánál is meggyelhet® (ha a kor függvényében ábrázoljuk)  lásd 4.1 ábra. Gyakorlatilag ugyanezek mondhatók el a 48 ábráról is, ahol a tartamot rögzítettük, és hasonló grakonokat kapunk a n®i portfoliókra is, sak ott az 1997-es és a 2002-es díjak távolsága valamivel kisebb, a

két görbe lassabban válik el egymástól. Lényeges különbség tehát nin s a portfoliók közt, ezért a továbbiakban az összesített adatokkal fogunk dolgozni, ugyanis így nagyobb a rendelkezésre álló mintánk. Rögzítsük tehát ezt, továbbá a tsy mintaátlagos be slését, és hasonlítsuk össze a különböz® díjelveket. Most tekintsük a n®i portfoliókat. 37 4.9 ábra A díjelvek hatása a díjra  40 éves belépési kor, változó tartam 4.10 ábra A díjelvek hatása a díjra  1 éves tartam, változó belépési kor A 4.9 ábrán látható, hogy a szórás és a szórásnégyzet elvek annyiban módosítják a várható értékként számolt díjat, hogy valamivel megemelik azt. El®bbi esetén ennek a 38 biztonsági pótléknak a mértéke sehol sem haladja meg az 1000 Ft-ot  az ábrán ezért nem is igazán különülnek el a grakonok. A szórásnégyzet elv esetén a pótlék nagysága rövidebb tartamokra kisebb, mint a szórás elvé (ahogy

ez  éles szem¶ olvasóink számára  a 4.10 ábrán is meggyelhet®), hosszabbakra viszont nagyobb, de az 5000 Ft-ot nem lépi túl. Ezek tehát reálisan alkalmazható módosítások (Hasonló mondható el a fér adatokra, sak ott a pótlékok valamivel magasabbak.) Ha a szórás elv paraméterének nagyságrendjét sökkentjük, akkor a változás elhanyagolható lesz, s ez rövidebb tartamok esetén igaz a szórásnégyzet elvre is  hosszabb tartamokra ott a változás pár száz Ft-nyi. A paraméter nagyságrendjének növelésével a hosszabb tartamok díjai viszont irreálisan megn®hetnek  pl. a szórásnégyzet elv esetén β = 0.0001 mellett egy 40 éves n®nek majdnem 600000 Ft-jába kerülne egy 20 éves biztosítás, szemben a várható érték elvb®l adódó 120000 Ft-tal Amennyiben tehát alkalmazni szeretnénk a díjat pótlékkal kiegészít® elveket, akkor ezt körülbelül ilyen nagyságrend¶ paraméterek mellett tehetjük. Vizsgáljuk most meg, hogy a

redibility-be slések hogyan változtatják meg a díjat, rögzítsük tehát a várható érték elvet és az ömlesztett portfoliókat, s tekintsük most ismét a fér adatokat. 4.11 ábra A tsy be slések hatása a díjra  40 éves belépési kor, változó tartam A 4.11 ábrán látható, hogy rögzített belépési kor mellett a tartam függvényében tekintve a díjakat, a redibility-be slések nem módosítanak a grakon alakján, de a díjakat 39 4.12 ábra A tsy be slések hatása a díjra  1 éves tartam, változó belépési kor bizonyos mértékben megváltoztatják. A különböz® m-ekhez tartozó különböz® "díjgörbék" egymáshoz képest úgy helyezkednek el, mint a megfelel® m-ek  ahogy ezt már a 4.346 ábráknál is meggyelhettük Az 1995 és 2002 közötti átlaggal, mint m-mel számolt díjak valamivel magasabbak az eredetinél, de az eltérés nem haladja meg az 5000 Ft-ot, 3000 fölé is sak magasabb tartamok esetén megy. A 2003-as

m-ekkel kalkulált értékek ala sonyabbak az eredetinél, itt hosszabb tartam esetén az eltérés akár 10000 Ft körüli is lehet. A saját átlaggal kapott díjak pedig a kett® között helyezkednek el, s valamivel al sonyabbak az eredetinél. Az, hogy a 2003-as, friss adatokkal módosított értékek akár jelent®sen ala sonyabbak lehetnek az eredetinél, arra utal, hogy a portfolió meglehet®sen "régi" (azóta sökkent az átlagos ápolási tartam), aminek persze az lehet az oka, hogy 1997 el®tti adatok is szerepelnek benne. Mindenesetre látjuk, hogy rögzített belépési kor mellett a redibility-be slés nem változtat lényegesen a "díjgörbe" jellegén. A 4.12 ábra viszont azt mutatja, hogy n = 1 év rögzített tartam mellett igen: míg a mintaátlaggal számolt díjak különbsége a két széls® belépési korra meghaladja a 3000 Ftot, a redibility-be slések kiegyenlítik a díjakat az egyes korosztályok közt, a széls®értékek

különbsége 500 Ft alatt marad. Az el®z®, 44 fejezet végén említett kiegyenlít®dés tehát itt jelenik meg a díjszámításban, kissé eltorzítva azt  ezért tehát nem taná sos alkalmazni a redibility-be slést. Egyébként az is leolvasható, hogy mindez az id®sebb korosztály javára történik, gyakorlatilag a díj arra a szintre emelkedik mindenki számára, ami korábban 40 sak rájuk volt jellemz®. (Az különböz® m-ekhez tartozó görbék egymáshoz való viszonya ugyanolyan, mint a 4.11 ábra esetén) A n®i adatokhoz tartozó grakonok hasonlóak, azzal a különbséggel, hogy a mintaátlaggal kapott egyszer¶ be slés és a saját átlaggal, mint m-mel számolt redibility-be slés díjai nem az 1995-2002-es átlagos és a 2003-as mekb®l számoltak között helyezkednek el, hanem mindezek alatt (ahogy a 4.3-46 ábrák esetén is), itt tehát a 2003-as m nem sökkenti, hanem növeli az árat. Korábban volt szó róla, hogy ennek oka az lehet, hogy a n®i

portolió, bár meglehet®sen "régi", mégis jobb egészségi állapotú lehet még a mostani átlagnál is (ellentétben a fent elemzett fér portfolióval). A 4.7-412 ábrákat tekintve elmondható még, hogy rögzített belépési kor mellett a díj a tartam függvényében minden esetben monoton növeked® (ennek nyilván így is kell lennie), azonban x tartam mellett a belépési kor függvényében ugyanez nem mondható el  ennek oka nyilván a spe iális portfolió alapján történ® díjszámítás. Befejezésül a 4.2a)-42d) táblázatokban bemutatjuk az ömlesztett fér portfolióból, tsy -t mintaátlaggal be sülve, várható érték, illetve α = 0.01 paraméter¶ szórás elvvel készített díjtáblázatok egy-egy részletét. 41 Belépési kor Tartam 1 5 10 20 30 20 6224 29672 56533 104480 143580 30 7160.1 35162 67632 122780 162520 - 40 8835.2 41778 77797 133850 - - 50 9250.6 43021 79074 - - - 60 9207.2 a) Nettó

várható érték elv alapján, férak Belépési kor Tartam 1 5 10 20 30 40 171750 40 20 6286.2 29822 56795 105050 144500 173000 30 7231.7 35340 67948 123450 163540 - 40 8923.6 41989 78157 134560 - - 50 9343.1 43238 79438 - - - - - 30 40 60 9299.2 b) Szórás elv (α = 0.01) alapján, férak Belépési kor Tartam 1 5 10 20 20 5129.3 24313 45169 79680 109890 135250 30 5386.5 25373 48682 91299 127070 - 40 6363.4 31220 60116 110570 - - 50 7750.9 37526 71177 - - - - - 30 40 60 8807.6 a) Nettó várható érték elv alapján, n®k Belépési kor Tartam 1 5 10 20 20 5180.6 24436 45377 80104 110590 136250 30 5440.4 25502 48909 91800 127900 - 40 6427.1 31378 60397 111180 - - 50 7828.5 37715 71508 - - - - - 60 8895.7 b) Szórás elv (α = 0.01) alapján, n®k 4.2 táblázat Díjtáblázatok 42 5. fejezet Összefoglalás, továbblépési lehet®ségek, köszönetnyilvánítás 5.1 Összefoglalás A

dolgozatban PHI-termékekkel foglalkoztam, melyek az ügyfél halála esetén folyamatos kizetést biztosítanak. El®ször egy általános modellt ismertetettem, mely azonban a nemzetközi szakirodalomban megszokott módon supán a várható érték elvvel való díjszámítással foglalkozik. Saját eredményem, hogy a modellt kiterjesztettem a szórás és szórásnégyzet elvekre is. Ezután néhány gyakorlatban is alkalmazható, az általános modellel kap solatban lév® eljárást vizsgáltam (s egészítettem ki a fenti díjelvekre vonatkozó formulákkal), melyek közül a Man hester-Unity módszer alkalmas volt arra, hogy hazai adatok alapján számoljunk vele. Ezen adatok egy része (az alapja) egy biztosítótól származik, és két id®szakra vonatkozóan tartalmazza a biztosítottak ápolási tartamait, korsoportok szerinti bontásban Az országos átlagoknál ez utóbbi szempont hiányzik, ezért a redibility-elmélet segítségével megpróbáltam ötvözni a

kett®t. Az optimalitás feltételei nem álltak fenn, ennek ellenére a be sléseket végigszámoltam, és a kapott eredményeket összehasonlítottam az egyszer¶, mintaátlaggal kapott be sléssel. Ezekb®l néhány következtetést vonhattunk le a portfoliók összetételére vonatkozóan, azonban a redibility-elmélet alkalmazása összességében nem bizonyult jó alternatívának, ami kés®bb a díjszámításban is megmutatkozott. Ez utóbbi elvégzésére néhány apró MATLAB-programot írtam, melyek a biztosítás bizonyos paramétereinek függvényében díjtáblázatokat készítenek A különböz® input paraméterekb®l adódó eltéréseket megvizsgáltam, eközben néhány díjtáblázatot részleteiben bemutatva Ahogy pár sorral feljebb utaltunk rá, a redibility-be slések itt nem produkáltak túl jó eredményeket, a portfoliók és a (megfelel® paraméter¶) díjelvek megváltoztatásával azonban a biztosítás díja körülbelül azonos mértékben változott

meg a különböz® belépési korok és tartamok függvényében. 43 5.2 A továbblépés lehet®ségei A dolgozatban egy spe iális betegségbiztosítási termékr®l beszéltünk. Hasonló modellek építhet®k fel más konstruk iókra is, s ezeknél is végig lehetne számolni a ko kázat szórásnégyzetére vonatkozó formulákat. Ilyen, hazánkban is el®forduló termékek például a DDI (angolul: Dread Disease Insuran e), magyarul rettegett, avagy kiemelt ko kázatú betegségek biztosítása, mely egy összeg¶ kizetést biztosít, amennyiben az ügyfél az el®re meghatározott kritikus betegségek valamelyikét megkapja (ilyenek például a szívinfarktus, a daganatos megbetegedések vagy a stroke). Ehhez hasonló a m¶téti beavatkozásokra kötött biztosítás, mely kap solódhat egy "eredeti" DDI-hez is Kiemelt ko kázatú betegségekre szóló szerz®déssel egyébként tipikusan életbiztosítások kiegészít®jeként találkozhatunk. Biztosítótól

függ®en léteznek további konstruk iók a munkaképtelenség vagy rokkantság esetére  ezek persze öszemosódhatnak az el®z®ekkel, illetve egyfajta átmenetet képeznek a baleseti rokkantságon keresztül a balesetbiztosításokhoz. Ide sorolható továbbá az id®s, gondozást igényl® emberek biztosítása is  angol rövidítéssel ezeket összefoglalóan LTC-nek nevezzük (Long Term Care). A vizsgált modellen belül maradva meg lehet próbálni az n évest®l eltér®, más szerz®dési feltételekkel rendelkez® PHI-konstruk iókra olyan módszereket kidolgozni, melyek végigszámolhatók hazai adatok alapján. Természetesen több és részletesebb magyar adat birtokában jobb és pontosabb be slések adhatók a módszerek bemen® paramétereire, továbbá lehet kísérletezni a mintára eloszlás illesztésével, melynek (amint korábban említettük) valószín¶leg keverék eloszlásnak kell lennie. 5.3 Köszönetnyilvánítás A szerz® megköszöni Arató Miklós

témavezet®i munkáját, valamint Csurgai Linda adatszerzésben nyújtott segítségét. 44 Irodalomjegyzék [1℄ D.J Bond Permanent si kness insuran e Journal of the Institute of A tuaries Students So iety, London, 17:195224, 1963. [2℄ I.MF Cordeiro A multiple state model for the analysis of permanent health insuran e laims by ause of disability. Insuran e: Mathemati s and E onomi s, 30:167186, 2002 [3℄ C.G Dillner New bases for non- an ellable si kness insuran e in sweden S andinavian A tuarial Journal, LII:113124, 1969. [4℄ C.G Dillner New bases for long term si kness insuran e in sweden from 1973 S andinavian A tuarial Journal, (3):167173, 1974. [5℄ H. Ekhult Te hnique and experien e in si kness and disability insuran e in sweden Tran- sa tions of the 21st International Congress of A tuaries, Züri h-Lausanne, 3:6782, 1980. [6℄ S. Haberman The entral si kness rate: A mathemati al investigation Transa tions of the 23rd International Congress of A tuaries,

Helsinki, 3:8389, 1988. [7℄ S. Haberman and E Pita o A tuarial Models for Disability Insuran e Chapman & Hall, London, 1999. [8℄ L. Kallström Long-term individual si kness insuran e a ording to the 1984 rules (g84) Sverige Reinsuran e Company  75 Years, Uppsala, pages 3150, 1990. [9℄ P. Mattsson and A Unneryd Experien e basesand assessment of premiums in swedish long term health insuran e. Transa tions of the 18th International Congress of A tuaries, Mün hen, 4:523533, 1968. [10℄ A. Neill Life Contingen ies Heinemann, London, 1977 [11℄ T.K Ore, R Sand, and G Trier New te hni al basis for life and pension insuran e in norway n1963, r1963, k1963. S andinavian A tuarial Journal, XLVII:164216, 1964 [12℄ E. Pita o A tuarial models for pri ing disability benets: Towards a unifying approa h Insuran e: Mathemati s and E onomi s, 16:3962, 1995. [13℄ A.E Renshaw and S Haberman On the graduations asso iated with a multiple state model for permanent health insuran e.

Insuran e: Mathemati s and E onomi s, 17:117, 1995 45 [14℄ R. Sand Disability pension insuran e a new method for al ulation of premiums Tran- sa tions of the 18th International Congress of A tuaries, Mün hen, 1:529538, 1968. [15℄ R. Sand and J Riis Some theoreti al aspe ts and experien e with a simplied method of premium rating in disability insuran e. Transa tions of the 21st International Congress of A tuaries, Züri h-Lausanne, 3:251263, 1980. [16℄ A. Sandström Long-term health insuran e Sverige Reinsuran e Company  75 Years, Uppsala, pages 101140, 1990. [17℄ L.G Söderström A tuarial methods and results in the si kness insuran e ags Transa tions of the 21st International Congress of A tuaries, Züri h-Lausanne, 3:293305, 1980. [18℄ H.R Waters Some aspe ts of the modelling of permanent health insuran e Journal of the Institute of A tuaries, 116:611624, 1989. 46