Matematika | Tanulmányok, esszék » Kiss Blanka - Likviditási kockázatok

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK SZAKDOLGOZAT Írta: Kiss Blanka Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Kvantitatív pénzügyek szakirány Témavezet®: Prokaj Vilmos egyetemi docens Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2014 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek, Prokaj Vilmosnak, aki szakértelmével, hasznos tanácsaival segítette a szakdolgozatom elkészítését. Érdekes szakirodalommal látott el, útmutatást adott az R program használatával kapcsolatban és mindig id®t szakított rá, hogy a kérdéseimet megválaszolja. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék i 1. Elméleti háttér 3 1.1 Modell 3 1.2 Kínálati görbe 5 1.3 Származtatott termékek kínálati görbéje 12 2. Szuperlineáris modell 17 2.1 Alapfeltevések 17 2.2 Piaci

korlát 20 2.3 Kereskedési volumen korlát 21 2.4 Szuperfedezés 22 3. Diszkrét idej¶ modell 24 3.1 A modell felírása 24 3.2 Optimális fedezeti stratégia 26 3.3 Kockázatsemleges marginális ár 28 4. Illikviditás modellje 31 i 4.1 A modell sajátosságai 31 4.2 Minimalizálási probléma 34 4.3 Az optimális megoldás közelítése 36 5. Likviditás a gyakorlatban 37 5.1 Numerikus módszer 37 5.2 Érzékenységvizsgálat 39 5.3 Tesztelés valós adatokon 42 5.4 Összegzés 44 Irodalomjegyzék 45 ii Bevezetés A likviditási kockázat azt a bizonytalanságot, illetve annak a veszélyét fejezi ki, hogy egy gazdasági szerepl® csak késve

tudja, vagy egyáltalán nem tudja kiegyenlíteni a tartozásait. A 2007-2008-as válság kapcsán irányult nagy gyelem erre a kockázat típusra, mivel a bankközi piac összeomlásának egyik kiváltó oka a likviditás megsz¶nése volt. Kétféle értelemben beszélhetünk likviditásról, bár a két fogalom összefügg egymással. Az egyik a nanszírozási likviditás, ami egyrészt azt jelenti, hogy a likviditási hiánnyal küzd® piaci szerepl®k likvid eszközökhöz juthatnak és így ki tudják elégíteni a rövid távú kötelezettségeiket. Másrészt a likviditási felesleggel rendelkez® pénzügyi szerepl®k kihelyezhetik a felesleges likvid eszközeiket. A másik fogalom, az eszközlikviditás: egy eszközt akkor nevezünk likvidnek, ha rövid id®n belül, jelent®s veszteségek nélkül értékesíthet® A szakdolgozatom témája az eszközlikviditás modellezése. A modellek célja, hogy egy megfelel® kockázati mérték segítségével mérhet®vé tegye és

beárazza a likviditási kockázatot, vagyis a kockázatot likviditási költségként beépítjük a kereskedett eszközök árába. Az els® fejezetben bemutatásra kerül® modell folytonos kereskedési stratégiák mellett egy sztochasztikus kínálati görbével írja le a likviditási költséget. A kínálati görbe a kereskedési volumen és egy a gazdasági helyzetet leíró paraméter függvényében határozza meg a részvények árfolyamát. A likviditási költségekre vonatkozó modell egyfajta speciális eseteként a tranzakciós költségek felírására is láthatunk néhány példát. Végül a kiterjesztett Black-Scholes piac származtatott termékeire is felírjuk a kínálati görbéket. A második fejezetben a szuper-replikálást vizsgáljuk folytonos kereskedési stratégiák esetén. Ebben a modellben a kínálati görbét nem a kereskedési volumen, hanem a kereskedési ráta függvényében írjuk fel. Ez a ráta a kereskedés sebességét méri, azaz az

egységnyi id® alatt megvalósuló tranzakciók mennyiségét egy adott értékpapírra vonatkozóan. További módosítás az els® fejezetben ismerte1 tett modellhez képest, hogy a piaci súrlódást is gyelembe vesszük. A harmadik fejezetben a diszkrét idej¶ és nagy volumen¶ kereskedések egyik modellje szerepel, amely Rásonyi Miklóstól származik. Egy részvényekb®l és készpénzb®l álló portfólió fedezésére keresünk optimális stratégiát az egyes tranzakciók során felmerül® likviditási költségek mellett. A negydik fejezetben az illikviditás hatása jelenik meg költségként a modellben, azonban ebben a felírásban maga az illikviditás nincs hatással az alaptermék árfolyamára. Az ötödik fejezetben az illikviditási modell fedezeti stratégiáját szemléltetem egy példán keresztül, valamint összehasonlítom a Black-Scholes modell szerinti delta-hedge stratégiával. 2 1. fejezet Elméleti háttér 1.1 Modell Adott az (Ω, F,

(Ft )0≤t≤T , P) ltrált valószín¶ségi mez® az Ft ltrációval és P valószín¶ségi mértékkel, ahol T rögzített id®t jelöl. Egy osztalékot nem zet® részvényekb®l és r kamatráta szerint kamatozó bankbetétb®l álló piacot vizsgálunk. S(t, x) jelöli egy részvény árát a t ∈ [0, T ] id®pontban Az x változó el®jele mutatja a kereskedés irányát: ha x < 0, akkor eladásról, ha x > 0, akkor vételr®l van szó, az x = 0 eset pedig a marginális árnak felel meg. Az egyszer¶ség kedvéért a továbbiakban feltesszük, hogy r = 0.
1.1 Deníció Az (Xt , Yt : t ∈ [0, T ]), τ hármas egy kereskedési stratégiát deniál, ahol Xt jelöli, hogy a keresked®nek hány darab részvénye van a t id®pontban, Yt jelöli a pénz mennyiségét a t id®pontban, τ pedig a részvények likvidálási idejét jelenti, melyre a következ® megszorítások vonatkoznak: • X0− ≡ Y0− ≡ 0, • XT = 0, és • X = H1[0,τ ) . Xt , Yt és H(t, ω)

el®rejelezhet® folyamatok, τ ≤ T pedig megállási id® az (Ft : 0 ≤ t ≤ T ) ltrációra vonatkozóan. 3 1.2 Deníció. Az ((Xt , Yt : t ∈ [0, T ]), τ ) hármassal adott kereskedési stratégia egy önnanszírozó kereskedési stratégia, ha teljesülnek rá a következ®k: • Xt véges kvadratikus variációjú cadlag folyamat, • Y0 = −X0 S(0, X0 ), és • ∀ 0 < t ≤ T esetén Z t Xu− dS(u, 0) − Xt S(t, 0) − Lt , Yt = Y0 + X0 S(0, X0 ) + 0 ahol Lt a likviditási költséget jelöli: Lt = X
∆Xu S(u, ∆Xu ) − S(u, 0) + Z 0 0≤u≤t t ∂S (u, 0)d[X, X]cu ≥ 0 ∂x és L0− = 0, valamint [X, X]ct az X kvadratikus variációjának folytonos részét jelöli a t id®pontban. Yt tehát a kezdetben rendelkezésre álló pénzb®l, a kumulált nyereségekb®l (illetve veszteségekb®l), a pozíció létrehozásának költségéb®l és a likviditási költségekb®l tev®dik össze. A likviditási költséget fel lehet írni a

diszkrét és a folytonos árhatások költségeinek összegeként Folytonos kereskedési stratégia esetén a diszkrét rész a 0 id®pont után nyilván elt¶nik, induláskor pedig L0 =
X0 S(0, X0 ) − S(0, 0) . Deníció szerint Lt ≥ 0, így S(0, X0 ) ≥ S(0, 0), ez utóbbi egyenl®tlenség pedig azt mutatja, hogy a kereskedési volumen hatással van a részvény árára. Ha a kereskedési stratégia még véges variációjú is, akkor a folytonos rész is elt¶nik, mivel ekkor [X, X]ct = 0 Tehát folytonos, véges variációjú, önnanszírozó kereskedési stratégia esetén a teljes likviditási költség megegyezik a kezdeti pozíció értékével, és ez az érték L0 . 1.3 Deníció Θβ az alulról korlátos kereskedési stratégiák halmaza, ha ∀ β ≥ 0ra  Rt Θβ ≡ (X, Y, τ ) önnanszírozó stratégia | 0 Xu dS(u, 0) ≥ −β ∀ t-re 1 valószín¶séggel . Az (X, Y, τ ) ∈ θβ önnanszírozó stratégiákat β -megengedett stratégiáknak hívjuk.

Az eszközárazás második alaptételének következménye, hogy egy olyan arbitrázsmentes piacon, melyen létezik egyértelm¶ Q martingál mérték, egy C származtatott követelés értéke: E Q (C). Tehát normál piaci körülmények között 4 használhatjuk a klasszikus kockázati mértékeket és árazási formulákat. Kritikus gazdasági helyzetben azonban nincs mindig lehet®ség a folytonos és kis mennyiség¶ kereskedésre, hiszen el®fordulhat, hogy az egész portfóliónkat azonnal likvidálni kell, ezért ilyen piaci körülmények között fontos befektetési szempont a likviditási költség is. 1.2 Kínálati görbe A likviditási kockázatot a kínálati görbe segítségével fogjuk mérni. Egy ajánlatvezérelt piacon például a limitáras megbízások biztosítják a likviditás kínálatát a piaci áras megbízások pedig a keresletet és a kereskedett mennyiség függvényében ábrázolják a marginális árakat, ami a marginális

keresleti-kínálati görbe. Az általunk alkalmazott lineáris kínálati görbe meredeksége a gazdasági helyzet függvénye. Azért érdemes ennek függvényében meghatározni a görbét, mert például egy nagy gazdasági válság esetén az összes részvény illikviddé válhat. Feltesszük továbbá, hogy a keresked®k árelfogadók és az árfolyamok függetlenek az egyes keresked®k viselkedését®l, kockázatkerülésük mértékét®l, a befektetési stratégiáiktól valamint a múltbeli kereskedésikt®l. 1.4 Deníció. A kínálati görbe egyenlete: S(t, x) = S(t, 0) 1 + αk 1k x + αn (1 −
1k )x , ahol S(t, 0) az eszközárfolyamat, 1k a piaci körülmények indikátorfüggvénye, vagyis 1k = 1 kritikus helyzetben, az αk ≥ αn ≥ 0 konstansok pedig a görbe meredekségét jelölik kritikus illetve normál piaci körülmények között. A kínálati görbe egyenletének második tagjából látszik, hogy ez is függ a kereskedési volument®l. Ahhoz, hogy

fel tudjuk írni a tényleges egyenletet, meg kell becsülnünk az αk , αn meredekségeket. Ehhez feltesszük, hogy az eszközárfolyamat egy diúziós folyamat: dS i (t, 0) = µi (t)S i (t, 0)dt + σ i (t)S i (t, 0)dW i (t), ahol µi (t) és σ i (t) korlátos folyamatok, valamint dW i (t)dW j (t) = ηij dt. i = 0 Tegyük fel, hogy a rendelkezésünkre áll m darab meggyelés diszkrét id®pontokban az eszköz árfolyamáról és a kereskedési volumenr®l: (tj , S i (tj , xj ), xij )m j=1 ∀ i-re. A likviditási költség meghatározásához elegend® a kritikus id®pontokat vizsgálni, hiszen normál körülmények között elhanyagolható a likviditási költség. 5 Tekintsünk egy részvényt és írjuk fel a kínálati görbe logaritmusát a t1 kritikus id®pontban:
log S(t1 , x1 ) = log S(t1 , 0) + log 1 + αk 1k xt1 + αn (1 − 1k )xt1 . Legyen t2 a következ® kritikus id®pont az adathalmazból és vegyük a két id®pontban meggyelhet® eszközárak

logaritmusának különbségét: log Z t2 = t1 S(t2 , xt2 ) S(t2 , 0) 1 + αk xt2 = log + log = S(t1 , xt1 ) S(t1 , 0) 1 + αk xt1 1 (µ(t) − σ(t)2 )dt + 2 ahol kihasználtuk, hogy 1k = 1. Z t2 S(t2 , xt2 ) ≈ (µ(t) − log S(t1 , xt1 ) t1 Z t2 1 + αk xt2 , 1 + αk xt1 σ(t)dW (t) + log t1 Tehát 1 σ(t)2 )dt + 2 Z t2 σ(t)dW (t) + αk (xt2 − xt1 ) t1 Ha feltesszük, hogy µ és σ konstansok, akkor minden egyes eszközre külön regRt ressziót alkalmazva, kapunk egy becslést αk -ra, ahol t12 σ(t)dW (t) a regressziós hiba. A kockázati mérték és a likviditási költségek meghatározásához tekintsünk egy portfóliót és vizsgáljuk ennek értékváltozását. Jelölje VTL a portfólió azon értékét a T id®pontban, amely tartalmazza a likviditási költségeket is: Z T L VT ≡ YT + XT S(T, 0) = Y0 + X0 S(0, X0 ) + Xu− dS(u, 0) − LT , 0 ahol LT = X
∆Xu S(u, ∆Xu ) − S(u, 0) + Z T 0 0≤u≤T ∂S (u, 0)d[X, X]cu . ∂x

Tegyük fel, hogy T az els® kritikus id®pont a piacon, ekkor közvetlenül T el®tt a portfólió értéke: Z VT ≡ YT − + XT S(T, 0) = Y0 + X0 S(0, X0 ) + T Xu− dS(u, 0), 0 ez az érték pedig nem más, mint a portfólió T id®pontbeli értéke likviditási költségek nélkül. Tegyük fel, hogy a T kritikus id®pontban likvidálnunk kell a portfólió θ ∈ [0, 1] hányadát, ennek költségei:
LT = −θXT S(T, −θXT ) − S(T, 0) . 6 Ha XT > 0, akkor a likvidáció során eladtunk részvényeket és ekkor S(T, −θXT )− S(T, 0) < 0, így LT > 0. Ha XT < 0, az azt jelenti, hogy részvényeket vettünk, ekkor S(T, −θXT ) − S(T, 0) > 0, így LT > 0 ebben az esetben is. Tehát a portfólió értéke a likviditási költségekkel mindig kisebb vagy egyenl®, mint likviditási költségek nélkül:
VTL = VT − LT = VT + θXT S(T, −θXT ) − S(T, 0) ≤ VT . Nézzük azt az esetet, amikor a portfóliónk csak egyféle részvényb®l

áll - nem tartunk pénzt sem - a pozíciónk értéke XT és θ részét szeretnénk likvidálni. Mivel T egy kritikus id®pont, ezért 1k = 1, így LT = −θXT S(T, 0)(1−αk θXT )−
S(T, 0) = θ2 XT2 S(T, 0)αk > 0. A portfólió értéke a likviditási költséggel: VTL = XT S(T, 0) − LT = XT S(T, 0)(1 − αk θ2 XT ) = VT (1 − αk θ2 XT ) ≤ VT . Az egyenlet utolsó tagjában αk és θ2 negatív el®jellel szerepelnek, ami azt mutatja, hogy a portfólió értéke αk és θ növelésével csökken. Tekintsünk egy általánosabb esetet, amikor a portfóliónk N darab részvényb®l és pénzb®l áll. Jelölje i = 1, , N a részvényeket, illetve i = 0 a készpénzt, melyr®l feltesszük, hogy a mennyisége nem befolyásolja a likviditási költségeket, továbbá αk0 ≡ 0. Legyen az i-edik részvényb®l a pozíciónk mérete X i , melynek θi részét szeretnénk likvidálni. Ekkor a portfólió értéke T -ben a likviditási költségekkel együtt: VLT =

X
XTi S i (T, 0) 1 − αki (θi )2 XTi + XT0 S 0 (T, 0) i≥1 ≤ VT = X XTi S i (T, 0) + XT0 S 0 (T, 0), i≥1 vagyis minden egyes részvényre az egy-részvényes esetben kapott költséggel kell számolni. Folytonos esetben a következ®ket tesszük fel a kínálati görbér®l: 1. S(t, x) Ft -mérhet® és nemnegatív, 2. x 7 S(t, x) x-ben 1 valószín¶séggel nem csökken® majdnem minden t-re, 3. S kétszer folytonosan dierenciálható x szerint, 4. S(·, 0) szemimartingál, 7 5. S(·, x) folytonos trajektóriájú minden x-re Ekkor a portfólió értéke likviditási költségekkel együtt a 0 ≤ t ≤ T id®pontban: VtL = Yt + Xt S(t, 0) Z t Z X
= Xu− dS(u, 0) − ∆Xu S(u, ∆Xu ) − S(u, 0) − 0 0 0≤u≤t t ∂S (u, 0)d[X, X]cu . ∂x Ezt az értéket nevezzük a portfólió marked-to-market (piaci) értékének, amit mindig a marginális árakból határozunk meg. Ezen kívül értelmes még a likvidációs érték, amit a t id®pontbeli piaci

árakkal számolunk ki: Xt > 0 mellett Yt + Xt S(t, −Xt ), valamint a portfólió felhalmozott költségeib®l adódó érték: Yt . Egy önnanszírozó stratégia eredményességét is a portfólió ezen három módszer szerint számolt értékeinek összehasonlításával becsülhetjük meg. 1.5 Deníció. A piacon arbitrázs lehet®ség van, ha létezik olyan (X, Y, τ ) ön- nanszírozó stratégia, melyre teljesül, hogy P(YT ≥ 0) = 1 és P(YT > 0) > 0. [8] Ha létezik olyan P-vel ekvivalens Q valószín¶ségi mérték, amely szerint S(·, 0) lokális martingál, akkor a piac arbitrázsmentes minden (X, Y, τ ) ∈ θβ stratégiával bármely β esetén. 1.1 Tétel (Arbitrázsmentes piac elégséges feltétele). A portfólió marked-to-market kiértékelésénél 0 likviditási költséggel számolunk, így ha létezik a megfelel® Q valószín¶ségi mérték, akkor a piac arbitrázsmentes. Nyilván akkor sem lesz arbitrázs lehet®ség a piacon, ha

gyelembe vesszük a likviditási költségeket is, mivel ezekr®l beláttuk, hogy nem negatívak. Ahhoz, hogy a megfelel® ekvivalens lokális martingál mérték létezésére elégséges feltételt tudjunk adni, bevezetjük a 1.6 free lunch with vanishing risk fogalmat. Deníció (Free Lunch with Vanishing Risk). Free Lunch with Vanishing Risk-r®l (FLVR) beszélünk, ha az alábbi két eset közül valamelyik fennáll: • létezik olyan megengedett önnanszírozó stratégia, amely arbitrázs lehet®séget biztosít, • létezik az βn -megengedett önnanszírozó stratégiáknak olyan (X n , Y n , τ n )n≥1 sorozata és egy f0 nem azonosan nulla, nem negatív, FT -mérhet® valószín¶ségi változó, hogy βn − 0 és YTn − f0 eloszlásban. 8 [8] Tegyük fel, hogy nincs arbitrázs lehet®ség a kiterjesztett piacon. Ebben az esetben akkor és csak akkor nincs FLVR lehet®ség, ha létezik olyan P-vel ekvivalens Q valószín¶ségi mérték, amely szerint S(·,

0) lokális martingál. 1.2 Tétel 1.7 (Az eszközárazás els® alaptétele). Deníció. Egy kiterjesztett piac teljes, ha bármely, a Q-mérték szerint négyzetesen integrálható, C származtatott követelés esetén létezik önnanszírozó stratégiáknak olyan (X n , Y n , τ n ) sorozata, melyre YTn C (n ∞) az L2 (dQ) térben. [8] Tegyük fel, hogy létezik olyan egyértelm¶ Q valószín¶ségi mérték, amely P-vel ekvivalens és amely szerint S(·, 0) lokális martingál. Ekkor a kiterjesztett piac teljes 1.3 Tétel (Az eszközárazás második alaptétele). A tranzakciós költségeket is fel lehet írni a likviditási kockázatra deniált formulák speciális eseteként, viszont ebben az esetben a kínálati görbék - most tranzakciós görbék - nem lesznek kétszer folytonosan dierenciálhatóak. Háromféle tranzakciós költséget deniálunk: 1.8 Deníció. 1. Fix tranzakciós költség, ami nem függ a tranzakció volume- nét®l, csak az

értékpapír árfolyamától: S(t, x) = S(t, 0) + xa . 2. Arányos tranzakciós költség, ami a kereskedés pénzben kifejezett értékével
arányos: S(t, x) = S(t, 0) 1 + β sign(x) pénzegységenként a kereskedés költsége és β > 0 konstans. 3. A harmadik típusú költség az el®z® kett® valamilyen kombinációja, melyre két példát mutatunk be: • Fidelity : S(t, x) = S(t, 0) + βx + sign(x)γ1{|x|>δ} , ahol β, γ és δ pozitív konstansok. • Vanguard : S(t, x) = S(t, 0) + max{α,|x|c} , x ahol α és c pozitív konstan- sok. [8] Egy X , nem azonosan nulla, folytonos kereskedési stratégia x tranzakciós költségek mellett végtelen nagy költséget eredményez véges id® alatt. 1.4 Tétel Bizonyítás. [8] Fix tranzakciós költségen az imént deniált költséget értjük Diszkrét esetben jelölje 0 = T0 ≤ T1 ≤ . ≤ Tn = T a kereskedési id®pontoP kat és legyen a kereskedési stratégia X = n−1 i=0 Xi 1[Ti ,Ti+1 ) . A teljes

tranzakciós 9 költség: Pn−1 i=0 a1{Xi 6=Xi−1 } , ami pontosan na, ha Xi 6= Xi−1 ∀ i-re. Ha feltesszük, hogy X folytonos trajektóriájú, akkor a teljes tranzakciós költség a következ®képpen néz ki: T C(X) = lim sup n∞ X a1{XT n 6=XT n i Tin ∈Πn i+1 } = lim sup aNΠn (X), n∞ ahol Πn a [0, T ] intervallumból vett megállási id®k egy véges növekv® sorozatát n jelöli, NΠn (X) pedig az XTin 6= XTi+1 esetek számát a Πn -beli Tin megállási id®k- re. A lim sup azt fejezi ki, hogy mindig a legnagyobb megállási id®re, vagyis az utolsó kereskedési id®pontra vonatkozóan számoljuk el a tranzakciós költséget. Azonban lim supn∞ NΠn (X) = ∞, így a teljes költség végtelen. Ha a kereskedési stratégia tartalmaz ugró és folytonos részeket is, akkor a folytonos részeken felmerül® végtelen nagyságú költségek miatt természetesen a teljes költség is végtelen nagy lesz. [8] Arányos tranzakciós költségek mellett

egy X folytonos kereskedési stratégia végtelen nagy költségeket eredményez, ha X trajektóriái nem véges variációjúak. A teljes tranzakciós költség ugyanis a 1.5 Tétel Z T S(s, 0)|dXs | b 0 trajektóriánkénti Stieltjes integrállal kapható, ahol b az 1.8-as deníció 2 pontjában szerepl® konstans, |dXs | pedig az X teljes variációja szerinti integrálást jelöli. Bizonyítás. [8] Legyen Πn ismét [0, T ]-beli megállási id®k sorozata úgy, mint az 1.4-es tételnél és legyen X folytonos kereskedési stratégia Ekkor a teljes tranzakciós költség: T C(X) = lim sup n∞ X n |b. S(Tkn , 0)|XTkn − XTk−1 Tin ∈Πk Ha X trajektóriái véges variációjúak, akkor ez éppen b RT 0 S(s, 0)|dXs |-hez kon- vergál, a végtelen variációjú esetben pedig ∞-hez tart. [8] A harmadik típusú, kombinált tranzakciós költségek mellett egy nem azonosan nulla X folytonos kereskedési stratégia teljes költsége véges id® alatt végtelen nagy.

1.6 Tétel 10 Bizonyítás. [8] Folytonos X kereskedési stratégia esetén a teljes költség: T C(X) ≥ lim sup n∞ X δ1{XT n 6=XT n i Tin ∈Πk i+1 } ≥ lim sup δNΠn (X), n∞ ahol δ konstans, Πn és NΠn (X) pedig ugyanaz, mint az 1.4-es tételnél Az 14-es tétel bizonyításában láttuk, hogy lim supn∞ NΠn (X) = ∞, így a teljes költség ismét végtelen. Szintén egy speciális esetként vizsgálhatjuk a likvid részvényeket. Az elmélet szerint a tökéletesen likvid részvények kínálati görbéjének meredeksége 0 lenne, a gyakorlatban azonban nincsenek ilyen részvények. Marcel Blais és Philip Protter a kereskedési könyv alapján elemezték a piacon likvidnek nevezett részvényeket, mint például a BP, ATT, IBM részvények. Blais megmutatta, hogy 99, 99%-os szignikancia szinten el lehet utasítani azt a nullhipotézist, hogy a vizsgált likvid részvények kínálati görbéinek meredeksége 0. Ezt követ®en lineáris regresszió

segítségével azt az eredményt kapta, hogy a kínálati görbék felírhatók S(t, x) = Mt x + S(t, 0) alakban, ahol (Mt )t≥0 egy folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat. [8] Egy lineáris kínálati görbével rendelkez® likvid részvény és egy X cadlag, véges kvadratikus variációjú kereskedési stratégia esetén egy önnanszírozó kereskedési stratégia pénzpiaci értéke: 1.7 Tétel Z Yt = −Xt S(t, 0) + t Z Xu− dS(u, 0) − 0 t Mu d[X, X]u . 0 Az illikvid részvények kínálati görbéire, a tranzakciós görbékhez hasonlóan, nem teljesül a kétszer folytonosan dierenciálhatóság feltétele. A piacon meggyelt adatok azt mutatják, hogy a kínálati görbe szakaszonként lineáris lesz egy ugrással, amit értelmezhetünk bid-ask spreadként. Jelölje S(t, 0− ) a marginális ask, S(t, 0+ ) a marginális bid árfolyamot, γ(t) = S(t, 0+ ) − S(t, 0− ) pedig a bid-ask spreadet. Ekkor a kínálati görbe az α, β folytonos

sztochasztikus folyamatokkal: ( S(t, x) = β(t)x + S(t, 0+ ), ha x ≥ 0, α(t)x + S(t, 0− ), x < 0, alakú, vagyis az ugrás el®tti és utáni részre két különböz® folyamatként tekinthetünk. Tegyük fel, hogy S(t, 0+ ) és S(t, 0− ) t-ben folytonos függvények és tekintsük a véges variációjú trajektóriákkal rendelkez® X kereskedési stratégiákat, 11 amelyek felírhatók két diszjunkt tartójú, monoton növekv®, ugrásokat tartalmazó folyamat különbségeként, azaz Xt = X0 + Ct − At . Ezen feltételek mellett a következ® tétel érvényes: [8] Egy ugró lineáris kínálati görbével rendelkez® illikvid részvény és egy cadlag, véges variációjú x kereskedési stratégia mellett egy önnanszírozó kereskedési stratégia pénzpiaci értéke: 1.8 Tétel t
Xu− dS(u, 0 ) − β(u)1Λc (u) + α(u)1Λ (u) d[X, X]u Yt = Y0 − Xt S(t, 0 ) + 0 0 Z t
− S(u, 0+ )1Λc (u) − S(u, 0− )1Λ (u) dXu , + Z t Z + 0 ahol Λ az A

folyamat tartója. 1.3 Származtatott termékek kínálati görbéje A kiterjesztett eszközárazási alaptételek mellett, azaz a kiterjesztett Black-Scholes piacon kétszer folytonosan dierenciálható (C 2 ) kínálati görbéink vannak és megengedjük a folytonos kereskedési stratégiákat, így egy adott részvényre szóló opció ára egyértelm¶. Ez az arbitrázsmentesség szükséges feltétele, azonban ez azt is jelenti, hogy az opciók kínálati görbéje egy vízszintes egyenes, vagyis nincs árhatás az opciókra nézve. Ez viszont nyilván ellent mond a piacon tapasztalt ármozgásoknak, ezért a megfelel® modell felépítéséhez külön kínálati görbéket kell bevezetnünk az opciókra is, a korábban már deniált görbéket csak a részvényekre használhatjuk. Ha opciókra alkalmazzuk a fenti modellt, akkor a folytonos és véges variációjú kereskedési stratégiák lehet®vé teszik a befektet®k számára, hogy a részvények segítségével

kinullázzák a likviditási költségeket. Ahhoz, hogy a likviditási költséget ne lehessen elkerülni, vagy a kínálati görbékre vonatkozó C 2 -feltételt kell elhagynunk, vagy ki kell zárni a folytonos kereskedés lehet®ségét. Ez utóbbi áll inkább a gyakorlattal összhangban, hiszen a folytonos kereskedés egy adott befektet® számára megvalósíthatatlan, csak elméletben lehet egyszer¶ stratégiákkal közelíteni. Tehát módosítsuk a korábbi modellünket a diszkrét stratégiákra vonatkozóan, amelyek mellett elkerülhetetlen lesz a likviditási költség. 1.9 Deníció. Xt egy egyszer¶ önnanszírozó kereskedési stratégia, ha Xt = xτ0 1{τ0 } (t) + N X j=1 12 xτj 1(τj−1 ,τj ] (t), ahol 1. τj F-beli megállási id® ∀ j -re, 2. xτj ∈ Fτj−1 ∀ j -re, vagyis a folyamat el®rejelezhet®, 3. τ0 ≡ 0 és τj > τj−1 + δ egy rögzített 0 < δ -ra A deníció 3. pontjából látszik, hogy ezek a stratégiák nem

folytonosak, mivel ha egy tranzakció lezajlik, akkor a következ® kereskedés csak legalább δ > 0 id®egység múlva következhet be. A kereskedési stratégiák 19-es deníciója szerinti osztálya mellett a piac arbitrázsmentes marad, azonban a tranzakciók közötti minimum távolság (δ ) miatt nem lesz közelít®leg teljes. Egy nem teljes piacon viszont egy opció replikálásának költsége függ a stratégiától, így nem érvényes a kiterjesztett második eszközárazási alaptétel. Tehát az opciók árára is hatással van a kereskedési volumen, azaz a kínálati görbék nem vízszintes egyenesek. A következ®kben az opciók szuper-replikálását vizsgáljuk diszkrét kereskedési stratégiák mellett arbitrázsmentes piacon. Egy diszkrét kereskedési stratégia likviditási költsége: LT = N X
(xτj+1 − xτj ) S(τj , xτj+1 − xτj ) − S(τj , 0) , j=0 azaz a fedezett opciók számának növelésével az árak lineárisan növekednek, a

likviditási költség pedig ennek következtében már négyzetesen növekszik. A CT = max{S(T, 0) − K, 0} kizetési függvénnyel rendelkez® opció replikálásának hibája és a likviditási költség összege adja egy diszkrét kereskedési stratégia fedezési hibáját xT = 0-ra:   N −1 X
CT − YT = CT − y0 + x0 S(0, 0) + xτj+1 S(τj+1 , 0) − S(τj , 0) + LT . j=0 (1.1) A replikálási hiba az el®jelét®l függ®en többletet vagy hiányt jelent a replikáló portfólió értékében a kötelezettség értékéhez képest. Mivel az alaptermék, azaz a részvény likviditási költségei a kereskedési volumen függvényei voltak, ezért nyilván a szuper-replikáció költsége is függeni fog a volument®l. Ahhoz, hogy egy fels® korlátot tudjunk adni az opciók kínálati görbéjére, a szuper-replikáció költségének minimumát kell meghatározni. Tegyük fel, hogy 1 darab európai 13 call opciónk van és a replikáló portfólió

marked-to-market értéke a t id®pontban: Zt = Xt S(t, 0) + Yt . Ekkor az optimalizálási probléma a következ®: min Z0 feltéve, hogy ZT ≥ CT = max{S(T, 0) − K, 0}, (X,Y ) ahol ZT = y0 + x0 S(0, 0) + N −1 X (1.2)
xτj+1 S(τj+1 , 0) − S(τj , 0) − LT . j=0 Mivel ZT = XT S(T, 0) + YT deníció szerint és XT = 0, hiszen a részvényt T -ben likvidáljuk, ezért ZT = YT az 1.1-es egyenlet alapján Ha feltesszük, hogy a befektet®k mindig tudják fedezni a portfóliójukat 1 egységnyi alaptermék megvásárlásával, akkor létezik megoldása az 1.2-es optimalizációs problémának [5] Az optimális fedezeti stratégia szerint minden lehetséges id®pontban kereskedünk a lehet® legkisebb mennyiségekkel. Ezzel a stratégiával lehet minimalizálni a várható likviditási költséget a δ -id®közönként keresked® szuperreplikáló portfóliók esetén. 1.1 Lemma Tekintsük a bizonyítást a Black-Scholes modellre, mint speciális esetre.

Bizonyítás. [5] A megfelel® martingál mérték mellett E(CT ) ≤ E(ZT ) = y0 + x0 S(0, 0) − E(LT ). Hasonlítsuk össze két különböz® kereskedés likviditási költségeit: az els® kereskedés során a 0 és a t id®pontokban hajtunk végre a > 0 és b > 0 volumen¶ tranzakciókat, míg a második során csak a t id®pontban kereskedünk a + b > 0 mennyiségben. Tegyük fel, hogy a részvény kínálati görbéje kielégíti az S(t, x) = eαx S(t, 0) egyenletet α > 0 mellett, ha s0 eµt+σWt st , S(t, 0) ≡ rt = e ert (1.3) ahol µ és σ konstansok, (Wt )t∈[0,T ] pedig standard Wiener-folyamat. Ekkor az els® és a második kereskedés likviditási költségei rendre:

S(0, 0)(eαa − 1) + E0 S(t, 0) (eαb − 1) és E0 S(t, 0) (eα(a+b) − 1). A martingál mérték szerinti diszkontált részvényárfolyam martingál, így µ = r− σ2 2 esetén:
σ2 s0 E0 S(t, 0) = E0 (s0 e− 2 t+σWt ) = r·0 = S(0, 0). e 14 Ezt a martingál

tulajdonságot kihasználva kapjuk, hogy: (eαa − 1) + (eαb − 1) < (eα(a+b) − 1), vagyis a két tranzakciós kereskedés likviditási költsége alacsonyabb, mint az egy tranzakció alatt végrehajtott kereskedésé, ami pont azt jelenti, hogy a gyakoribb kereskedés csökkenti a likviditási költségeket. Az 1.1-es részben már láthattuk, hogy folytonos és véges variációjú stratégia esetén a likviditási költség 0, így intuitíven is adódik az 1.1-es lemma, hiszen a kereskedés folytonosságát az egyre s¶r¶bb tranzakciókkal lehet közelíteni. Az optimális fedezeti stratégiával tehát nem biztos, hogy a legkisebb likvidtási költséget érjük el, hiszen például a triviális stratégia - amikor egyáltalán nem kereskedünk - 0 likviditási költséget eredményez, viszont ekkor a fedezeti hibát nem tudjuk korlátozni. Az 1.1-es lemma ismeretében tekintsük az 12-es optimalizálási probléma numerikus megoldását A problémát diszkrét idej¶

dinamikus programként reprezentáljuk rögzített ∆ idej¶ lépésközökkel, δ pedig egy adott befektet® kereskedései között eltelt id®k minimumát jelöli A tranzakciós költségeket tartalmazó modellel szemben, ahol a folytonos kereskedés végtelen nagy opciós árakat eredményez, ebben a modellben a ∆ 0 eset jól deniált. Például az alábbi folytonos, véges variációjú, önnanszírozó kereskedési stratégiával lehet közelíteni egy európai call opció kizetési függvényét:  Rt  n1 1 1 (t) ha 0 ≤ t ≤ T − n1 ; 1 + N (h(u))du, [ n ,T − n ) (t− n ) Xtn =
 n T X n 1 − tX n 1 , ha T − n1 ≤ t ≤ T , (T − ) (T − ) n n ahol N (.) a standard normális eloszlásfüggvényt jelöli és h(t) ≡ log(st ) − log(K) + r(T − t) σ √ √ + T − t. 2 σ T −t A módszer a geometriai Brown-mozgás binomiális közelítésén alapul. A marginális részvényárfolyam az 13-as egyenlet szerinti geometriai Brown mozgást

végez, amit most binomiális részvényárfolyamattal közelítünk és egy két lépéses példát vizsgálunk. Tekintsünk egy kétperiódusos binomiális fát, melyben a részvény kezd® árfolyamát S , a felfelé illetve lefelé történ® elmozdulást pedig u és d jelöli. Így egy periódus múlva (∆ = 1) a részvény ára Su vagy Sd lehet, míg lejáratkor, vagyis két periódus után Suu , Sud = Sdu és Sdd értékeket vehet 15 fel a részvény ára. Ha az els® periódusban felfelé mozdul el a részvényárfolyam, akkor xu -t és yu -t kell meghatározni, ahol xu a részvények értékét, yu pedig a pénzmennyiséget jelöli a t = 1 id®pontban. Ekkor az optimalizálási probléma két feltételt tartalmaz: min Z1u = yu + xu Su + α(xu − x1 )2 Su feltéve, hogy yu + xu Suu ≥ max{Suu − K, 0} és yu + xu Sdu ≥ max{Sdu − K, 0}. Ha lefelé mozdul a részvényárfolyam, akkor az el®bbihez hasonlóan a minimalizálási feladat a következ® alakot ölti: min

Z1u = yu + xu Su + α(xu − x1 )2 Su feltéve, hogy yd + xd Sdu ≥ max{Sdu − K, 0} és yd + xd Sdd ≥ max{Sdd − K, 0}. Az optimális megoldásokat jelölje x∗u , x∗d , yu∗ és yd∗ , amik t = 0-ban 0-val egyenl®k, így ekkor az optimalizálási probléma az alábbi: min Z0 = x1 S + y1 + αx21 S, ha x1 S + y1 + x1 (Su − S) = yu∗ + x∗u Su + α(x∗u − x1 )2 Su és x1 S + y1 + x1 (Sd − S) = yd∗ + x∗d Sd + α(x∗d − x1 )2 Sd . Ezt megoldva, az optimális x∗1 és y1∗ értékekkel kifejezve a call opció szuperreplikálás szerinti ára: x∗1 S+y1∗ +α(x∗1 )2 S . A két feltétel pedig a részvényárfolyam alakulását írja le az els® periódus során a két lehetséges trajektórián. Az egyenletek bal oldalán a portfólió kezdeti értékének és a részvénypozícióból származó nyereségek (illetve veszteségek) összege áll, míg a jobb oldalon a replikáló portfólió optimális értékeinek és a kiigazításokból származó

likviditási költségeknek az összegei vannak. 16 2. fejezet Szuperlineáris modell 2.1 Alapfeltevések Az el®z® fejezetben már megismerkedtünk az eszközárazás alaptételeinek a kiterjesztett változataival, azonban fel lehet építeni még ennél is általánosabb, illetve a gyakorlatot precízebben leíró modellt. Az 13-as részben egy európai call opción keresztül láthattuk, hogy hogyan m¶ködik a szuper-replikálás diszkrét esetben. Többek között ezt fogjuk megvizsgálni ebben a fejezetben a folytonos esetre is. A folytonos idej¶ kereskedés árhatását vizsgálva az árakat az egységnyi id® alatt végbemen® tranzakciók volumenének függvényében határozzuk meg, azaz tulajdonképpen a kereskedés intenzitását mérjük, ami likviditás szempontjából sokkal hasznosabb mutató lehet, mint önmagában a kereskedett mennyiség. A másik fontos eleme a modellnek a megfelel® árazási függvény deniálása. A tranzakciós költségeket

alkalmazó piaci modellekben például egy olyan (S̃, Q) pár határozta meg az eszközárakat, ahol S̃ a Q valószín¶ségi mérték szerint martingál volt és a bid-ask spreaden belül mozgott az értéke. Piaci súrlódás esetén tehát módosítani kell a súrlódásmentes piacra felépített kockázatmentes árazási formula valószín¶ségi mértékét és eszközár folyamatát. A súrlódásmentes piaci modellekben el®rejelezhet® folyamatok, a tranzakciós költségek modelljeiben pedig véges variációjú folyamatok írják le a kereskedett részvények számának alakulását. A szuperlineáris modellben viszont, mivel a kereskedési stratégiák csak véges kereskedési ráta mellett valósíthatóak meg, a kereskedett részvények számát felírhatjuk abszolút folytonos folyamatként is. A véges kereskedési rátára 17 vonatkozó megszorítás következménye, hogy az eszközár folyamatok nem csak a szemimartingálokra, hanem a cadlag folyamatokra is jól

deniáltak, illetve, hogy a portfólió azonnali likvidálása lehetetlen. Ismét legyen adott az (Ω, F, (Ft )t∈[0,T ] , P) ltrált valószín¶ségi mez®, Ft ltrációval, ahol F = FT és T véges id®horizontot jelöl. S 0 a kockázatmentes eszköz (bankbetét) a piacon, amit ármérce folyamatként használunk, vagyis St0 ≡ 1 minden t ∈ [0, T ] esetén, továbbá adott d darab kockázatos eszköz, melyeket az (Sti )1≤i≤d t∈[0,T ] adaptált, cadlag folyamatok írnak le. Tehát S egy d-dimenziós folyamatot jelöl, melynek elemei az S i -k (1 ≤ i ≤ d), xy alatt az azonos dimenziójú x és y vektorok skaláris szorzatát értjük, |x| pedig az x Euklideszi normáját fejezi ki. 2.1 Deníció. A φ folyamat egy ésszer¶ stratégiát deniál, ha a következ® osz- tályba tartozik: Z A := {φ : φ egy R -érték¶ folyamat, melyre d T |φu |du < ∞ 1 valószín¶séggel}. 0 A denícióban szerepl® φ folyamat reprezentálja a kereskedés

gyorsaságát, vagyis azt a sebességet id®ben kifejezve, hogy milyen gyorsan változik a piacon RT forgó eszközök mennyisége a tranzakciók során, míg az 0 |φu |du < ∞ feltétel azt biztosítja, hogy az abszolút forgalom, azaz a vásárolt és eladott részvények számának kumulált összege, véges id® alatt véges marad. Az ésszer¶ stratégiák negatív vagyont is eredményezhetnek, ezért zet®képesség szempontjából gyengébben teljesítenek, mint a megengedett stratégiák. Egy másik különbség a kétféle stratégia között az, hogy a részvények számát leíró folyamat egy ésszer¶ stratégia esetén id® szerint dierenciálható a deníció szerint. Egy súrlódásmentes piacon az önnanszírozási feltétel azt jelenti, hogy a T id®pontban a pénzpiaci pozíciónk: VT0 (z) Z 0 =z − T St φt dt, (2.1) 0 ahol z 0 a kezd® t®két jelöli, az integrál értéke pedig a vásárlásokból és eladásokból származó költségek és

nyereségek együttese. Egy adott φ stratégia mellett a megszorítások csökkentik ezt a pénzpiaci pozíciót, mivel a vásárlások költségesebbek lesznek, az eladások pedig kisebb nyereséget fognak eredményezni. A megszorításoknak ezen árhatását egy G függvénnyel fogjuk leírni. 18 2.2 Deníció (Súrlódás). JelöljeO az opcionális σ-algebrát Ω × [0, T ]-n Legyen G : Ω × [0, T ] × Rd R+ egy O ⊗ B(Rd )-mérhet® függvény, melyre teljesül, hogy G(ω, t, .) konvex az x változó szerint, továbbá G(ω, t, x) ≥ G(ω, t, 0) minden ω, t, x esetén. A továbbiakban a Gt (x) := G(ω, t, x) jelölést használjuk, ahol a Gt (x) halmaz már független ω -tól. Gt (x) konvexitásából következik, hogy a gyorsabb kereskedés magasabb költségeket jelent, vagyis a sebességnek ára van. A G(ω, t, x) ≥ G(ω, t, 0) feltétel azt jelenti, hogy bármilyen kereskedésnél olcsóbb, ha nem hajtunk végre semmilyen tranzakciót. Fontos különbség

más modellekhez képest, hogy G(ω, t, 0) nem azonosan 0. Felvehet pozitív értéket is, ami azt reprezentálja, hogy a piaci kereskedésben való részvételnek is van valamekkora díja Egy adott φ ∈ A stratégia és z ∈ Rd+1 kezd® pozíció mellett, a kockázatos eszközökre vonatkozó pozíciónk a t ∈ [0, T ] id®pontban, a részvények kezdeti számának és a további forgalomnak az összege, azaz: Vti (z, φ) t Z i φiu du 1 ≤ i ≤ d. := z + 0 Míg a kockázatmentes eszközre vonatkozó, vagyis a pénzpiaci pozíciónk a G függvénnyel felírva: Vt0 (z, φ) 0 Z := z − t Z φu Su du − 0 t Gu (φu )du, 0 ahol az utolsó tag fejezi ki a 2.2-es feltevés miatti árhatást a 21-es egyenlethez képest. Vt0 tehát felvehet akár −∞ értéket is valamely stratégiára Ha speciálisan csak egy kockázatos eszközünk van, akkor ennek ára egy tranzakció végrehajtása során: Gt (φt ) , φt ami nagyobb, mint St , ha vételr®l és kisebb, mint

St , ha eladásról van szó, mivel S̃t = St + a G függvény pozitív. 2.3 Deníció (Szuperlinearitás). Legyen α > 1 és H egy tetsz®leges folyamat, melyre a következ®k teljesülnek: inf Ht > 0 1 valószín¶séggel, (2.2) Gt (x) ≥ Ht |x|α minden ω, t, x esetén, (2.3) sup Gt (x)dt < ∞ 1 valószín¶séggel, minden N > 0-ra, (2.4) t∈[0,T ] Z 0 T |x|≤N sup Gt (0) ≤ K valamely konstans K -val. t∈[0,T ] 19 (2.5) A 2.3-as egyenl®tlenség a szuperlinearitás legfontosabb feltétele, ami azt fejezi ki, hogy például egy kétszer gyorsabb kereskedés, vagyis a tranzakciók között eltelt id® felezése, pozitív mennyiséggel növeli a kereskedés költségeit. A 22-es feltétel azt jelenti, hogy a súrlódások soha nem t¶nnek el, míg a 2.4-es feltétel szerint véges id® alatt végesek maradnak A 25-ös egyenl®tlenség szerint a kereskedésben való részvétel díja egyenletesen korlátos ω ∈ Ω-ban. 2.2 Piaci korlát

Általában ha egy modell stratégiáit szeretnénk közelíteni, akkor például a folytonosságot az egyre növekv® nagy sebesség¶ kereskedéssel lehetne szimulálni, ez azonban végtelen nagy forgalomhoz vezetne. A szuperlineáris feltételnek azonban van egy korlátosságra vonatkozó tulajdonsága is, mely szerint egy rögzített kezd® pozíció esetén az ésszer¶ stratégiák kizetései felülr®l korlátosak. Ezt a korlátot nevezzük piaci korlátnak, amit egy B < ∞ valószín¶ségi változó fejez ki, ami G-t®l és S -t®l függ, de a stratégiától nem. Ilyen korlátossággal általában más modellek nem rendelkeznek, de ennek gyengébb változatai meggyelhet®k: például arbitrázsmentes piacon az x-megengedett stratégiák kizetései korlátosak L0 -ban, ha fennáll az NFLVR feltétel, illetve tranzakciós költségek mellett az RNFLVR feltétel teljesülése esetén. 2.4 Deníció (Duális súrlódás). A G∗ függvényt duális súrlódásnak

nevezzük, ahol G∗ a G függvény Fenchel-Legendre-féle konvex konjugáltját jelöli, azaz
G∗t (y) := sup xy − Gt (x) , y ∈ Rd , t ∈ [0, T ]. x∈Rd [6] A 2.3-as feltétel mellett a B := változó 1 valószín¶séggel véges. 2.1 Lemma RT 0 G∗t (−St )dt valószín¶ségi Bizonyítás. [6] El®ször nézzük a d = 1 esetet Ekkor a (23)-as egyenl®tlenség szerint: G∗t (y) ≤ sup(ry − Ht |r|α ) = r∈R 1 1 α α − 1 1−α α Ht1−α y α−1 , α ahol az egyenlet jobb oldala a konvex konjugált kiszámításával adódik. Mivel S cadlag folyamat, ezért supt∈[0,T ] |St | 1 valószín¶séggel véges, továbbá tudjuk, 20 hogy inf t∈[0,T ] Ht pozitív a (2.2)-es feltétel szerint, így y = −St -vel sup G∗t (−St ) < ∞ 1 valószín¶séggel, t∈[0,T ] ami éppen a bizonyítandó állítást adja. Most tekintsük a d > 1 esetet Ismét a (2.3)-as egyenl®tlenséget használjuk ki, majd kiszámoljuk a megfelel® konvex konjugált

vektoros alakját:   X X  X   d d d i i Ht i i α i Ht ∗ α α ≤ sup r y − |r| r y −Ht |r| ≤ sup xy − |x| . Gt (y) ≤ sup d d d x∈R r∈R r∈Rd i=1 i=1 i=1 A skalár esetben már láttuk, hogy a megfelel® szuprémum véges, így ezek összege is véges, amib®l következik az állítás. 2.2 Lemma [6] A 2.3-as feltétel mellett bármely φ ∈ A stratégiával teljesül, hogy VT0 (z, φ) ≤ z 0 + B Mivel B 1 valószín¶séggel. 1 valószín¶séggel véges, ezért a lemmából látszik, hogy 0 kezdeti befektetéssel nem lehet tetsz®legesen nagy nyereséget elérni, vagyis csak korlátozott számban léteznek arbitrázslehet®ségek, mert a legtöbb nyereséget a szuperlinearitás megsemmisíti. 2.3 Kereskedési volumen korlát Legyen Q egy P -vel ekvivalens valószín¶ségi mérték és jelölje L1 (Q) a (d + 1)dimenziós Q-integrálható valószín¶ségi változók Banach terét, L0 (A) pedig az Aérték¶ valószín¶ségi változók halmazát, ahol

A az euklideszi tér egy részhalmaza, melynek topológiája a sztochasztikus konvergencia. Legyen 1 < β < α rögzített, ahol α a 2.3-as denícióban szerepl® konstans, γ pedig jelölje β konjugáltját, azaz 2.5 1 β + 1 γ = 1. Deníció. Legyen P a Q ∼ P valószín¶ségi mértékek egy olyan halmaza, amelyre teljesül, hogy Z EQ T β αβ Htβ−α (1 + |St |) α−β dt < ∞. 0 P̃ jelölje a Q ∈ P valószín¶ségi mértékek azon halmazát, melyre Z T Z T EQ |St |dt < ∞ és EQ sup Gt (x)dt < ∞ minden N ≥ 1-re. 0 0 |x|≤N 21 Ezen jelölések mellett egy W valószín¶ségi változóra (ami lehet többdimenziós is), legyen P(W ) := {Q ∈ P : EQ |W | < ∞}, P̃(W ) := {Q ∈ P̃ : EQ |W | < ∞}. Dellacherie és Meyer [4] eredményei alapján a 2.3-as szuperlinearitási feltételek mellett P̃(W ) 6= ∅ minden W -re [6] Legyen Q ∈ P és φ ∈ A olyan, hogy EQ ξ− < ∞, ahol ξ− a ξ negatív részét

jelöli és 2.3 Lemma T Z Z St φt dt − ξ := − 0 Ekkor Z T Gt (φt )dt. 0 T EQ |φt |β (1 + |St |)β dt < ∞. 0 Ez a lemma azt mutatja meg, hogy ha egy kereskedés során a kizetés negatív része véges valamely valószín¶ségi mérték szerint, akkor a kereskedési sebességnek integrálhatónak kell lennie. Ehhez hasonló volt a tranzakciós költségek modelljében az a tulajdonság, mely szerint egy megengedett stratégia teljes variációja felülr®l korlátos. Mindkét esetben az az intuíció, hogy az indokolatlanul gyakori kereskedés korlátlan veszteségeket eredményezhet, viszont mivel a prot mértékét (ami lehet negatív is) közvetlenül nem tudjuk korlátozni, így a kereskedési volumen szabályozásán keresztül szorítjuk valamilyen korlátok közé az esetleges veszteségeket. 2.4 Szuperfedezés A 2.3-as lemma egy fontos következménye, hogy az ésszer¶ stratégiával szuperfedezett többváltozós kizetések C := {VT (0, φ) :

φ ∈ A} − L0 (Rd+1 + ) osztálya zárt L1 -ben. [6] A 2.3-as szuperlinearitás mellett a C ∩L1 (Q) halmaz zárt L1 (Q)R ban minden olyan Q ∈ P valószín¶ségi mértékre, amely szerint 0T |St |dt integrálható. 2.1 Tétel 22 Végül következzen a szuperfedezés egyik f® tétele, amely folytonos idej¶ kereskedésre vonatkozóan az els® duális karakterizációja a fedezhet® származtatott követeléseknek, az árhatás gyelembevételével. A kezdeti pozíciók és a követelések is többváltozósak, a kereskedési sebesség pedig véges az árhatás következtében [6] Legyen W ∈ L0 (Rd+1 ), z ∈ Rd+1 , Z̄ = ( ZZ10 , ., ZZd0 )1{Z0 6=0} és tegyük fel, hogy teljesül a 2.3-as szuperlinearitás Ezen feltételek mellett, akkor és csak akkor létezik olyan φ ∈ A kereskedési stratégia, amelyre VT (z, φ) ≥ W 1 valószín¶séggel, ha 2.2 Tétel Z Z0 z ≥ EQ (ZT W ) − EQ T Zt0 G∗t (Z̄t − St )dt, 0 minden Q ∈ P valószín¶ségi mértékre

és minden Rd+1 + -beli korlátos Z Q-martingállal, 0 i amelyre teljesül, hogy Z0 = 1 és Zt = 0 (i = 1, ., d) a {Zt0 = 0} halmazon Tehát a tétel szerint egy származtatott követelés szuperfedezeti ára a teljesítési árra vonatkozó martingál mérték szerinti várható érték szuprémumának és egy úgynevezett bírságnak a különbsége. Ez a bírság, azt méri, hogy mekkora a különbség az árnyékár és a tényleges árfolyam között. A tétel jelent®sége továbbá, hogy akkor is érvényes, ha nem létezik martingál mérték, illetve ha az eszközár folyamat nem szemimartingál. 23 3. fejezet Diszkrét idej¶ modell 3.1 A modell felírása Az eddigiekhez hasonlóan ennek a modellnek is az az alapgondolata, hogy a kereskedési volumen valamilyen módon hatással van a kereskedett eszközök árára és ezt a hatást egyfajta likviditási költségként lehet leírni. Ebben a fejezetben a kifejezetten nagy volumen¶ tranzakciók esetére szorítkozunk

és megnézzük, hogy ekkor milyen elégséges feltételeket lehet felírni az arbitrázsmentességre illetve, hogy létezik-e optimális fedezeti stratégia. Egy diszkrét idej¶ modellt fogunk megvizsgálni, ahol a portfóliót - ami készpénzb®l és egy bizonyos fajta részvényb®l áll - az utolsó vizsgált id®pontban likvidáljuk, így a végén csak készpénzünk lesz. Az optimalitás itt azt fogja jelenteni, hogy ennek a pénzmennyiségnek a hasznosságát szeretnénk maximalizálni, az arbitrázsmentesség pedig nyilván szükséges feltétele a véges optimum létezésének. Legyen adott az (Ω, F, P) valószín¶ségi mez® az (Fn )0≤n≤N +1 ltrációval és jelölje (Sn )0≤n≤N a diszkrét idej¶ szigorúan pozitív eszközár folyamatot, melyre teljesül, hogy Sn ∈ L1 ∀n ≤ N és adaptált az (Fn )0≤n≤N +1 ltrációhoz. Legyen a ϕ : R (−∞, ∞] olyan függvény, amely szigorúan konvex és szigorúan növekv® azon a tartományán, ahol

véges értékeket vesz fel, továbbá 24 inf ϕ0 (x) = 0, sup ϕ0 (x) = ∞, ϕ(0) = 0. x x (3.1) A ϕ függvény konkáv duális függvényét pedig a következ®képpen deniáljuk: ϕ̃(w) ≡ inf{ϕ(x) + wx}. A portfólió n−1 és n id®pontok közötti kiigazítása azt jelenti, hogy a portfólióban szerepl® részvények száma Xn−1 -r®l Xn -re, a készpénz mennyisége pedig Yn−1 -r®l Yn -re változik, ahol Yn = Yn−1 − ϕ(Xn − Xn−1 )Sn−1 = Yn−1 − ϕ(∆Xn )Sn−1 . (3.2) Yn = Yn−1 − ϕ(Xn − Xn−1 )Sn−1 = Yn−1 − ϕ(∆Xn )Sn−1 . A ϕ függvény értéke tehát a portfólióban tartott részvények számának változásából ered® költség. A továbbiakban feltesszük, hogy a kamatláb 0 valamint, hogy Xn Fn−1 -mérhet®, amib®l következik, hogy X és Y el®rejelezhet® folyamatok. A portfólió kezel® feladata tehát a készpénz hasznosságának, vagyis az E(U (YN +1 )) értéknek a maximalizálása úgy, hogy az N

id®pont után SN részvényár mellett likvidálja a teljes portfóliót. Az U : R [−∞, ∞) hasznossági függvény szigorúan növekv® és szigorúan konkáv a D = {x : U (x) > −∞} véges tartományán, és teljesülnek rá az Inada-feltételek, azaz sup U 0 (x) = +∞, x∈D0 inf U 0 (x) = 0, x∈D0 ahol D0 a D belsejét jelöli, mint a valós egyenes egy részhalmazát. A hasznossági függvény véges tartománya legyen a továbbiakban D = R Ezen feltételek mellett az optimalizálási probléma az n id®pontban azt jelenti, hogy a portfólió kezel®jének meg kell határoznia azt a (∆Xj )N j=n+1 folyamatot, amely szerint elvégezve a portfólió kiigazítását majd a likvidálást, a végs® vagyon hasznossága maximális lesz. Tehát lényegében egy optimális kereskedési stratégiát keresünk Egy adott stratégia mellett ez a végs® vagyon a következ®: YN +1 = y − ϕ(−x − N X ∆Xj )SN − j=n+1 N X ϕ(∆Xj )Sj−1 , j=n+1 ahol y

jelöli az n id®pontbeli készpénz mennyiségét, x az n id®pontban a portfólióban szerepl® részvények darabszámát. Ennek hasznosságát jelölje a Φn (x, y, (∆X)) = 25 U (YN +1 ) függvény. Deniáljuk minden n ∈ [0, N ] egész számra a vn (x, y) véletlen folyamatot a következ®képpen:

vn (x, y) ≡ ess sup En U (YN +1 )|Xn = x, Yn = y ≡ ess sup En Φn (x, y, (∆X)) , (3.3) ahol En az Fn σ -algebrára vonatkozó feltételes várható értéket jelöli és a lényeges szuprémum az összes (∆X) el®rejelezhet® folyamatra vonatkozik. Tegyük fel, hogy minden x, y -ra és minden n-re vn (x, y) < ∞ 1 valószín¶séggel. Ekkor az alábbi tétel teljesül vn (x, y)-ra. [3] vn (x, y) minden n-re 1 valószín¶séggel konkáv és növekv® az x és az y változójában is. 3.1 Tétel A bizonyítás el®bb diadikus törtekre megy, majd ezek egyértelm¶ kiterjesztésével adódik az állítás valós (x, y)-okra is. 3.2 Optimális fedezeti

stratégia Ahhoz, hogy belássuk, hogy valóban létezik optimális fedezeti stratégia, azt kell megmutatni, hogy a 3.3-as egyenletben a szuprémum az optimális stratégiával maximum lesz. A továbbiakban tegyük fel, hogy Sn ϕ̃(− Stn ) ∈ L1 minden nre és minden t > 0-ra Deniáljuk a vn folyamat konvex duális függvényét a következ®képpen: ṽn (η) ≡ sup{vn (x, y) − η1 x − η2 y}, x,y ahol η = (η1 , η2 ) szigorúan pozitív, azaz mindkét változója pozitív. Ha például kezdetben x = 0 darab részvénnyel és y = 1 egységnyi készpénzzel rendelkezünk és az a stratégiánk, hogy soha nem fektetünk kockázatos eszközbe, akkor a konvex duális függvény értéke ṽn (η) ≥ sup{vn (0, 1) − η2 } = U (1) − η2 , azaz egy konstans alsó korlátot kaptunk ṽn (η)-ra. A fels® korlát megadásához el®bb a Φn függvény feltételes várható értékére adunk egy korlátot úgy, hogy Φn (x, y, (∆X))-et kifejezzük Φn+1 (x0 , y 0 ,

(∆X))-ként, azaz nem az n id®pontból indulunk x, y kezdeti értékekkel, hanem (n + 1)-b®l x0 darab részvénnyel és y 0 egységnyi készpénzzel, ahol x0 = x + ∆Xn és y 0 = y − ϕ(∆Xn )Sn−1 . 26 N X En [Φn (x, y, (∆X))] = En [U (y − ϕ(−x − ∆Xj )SN − j=n+1 N X ϕ(∆Xj )Sj−1 )] = j=n+1 N X = En [En+1 [U (y − ϕ(∆Xn )Sn+1 − ϕ(−x − ∆Xn − ∆Xj )SN − j=n+2 = En [En+1 [U (y 0 − ϕ(−x0 − N X ∆Xj )SN − j=n+2 N X N X ϕ(∆Xj )Sj−1 )]] = j=n+2 ϕ(∆Xj )Sj−1 )]] = j=n+2 = En [En+1 [Φn+1 (x0 , y 0 , (∆Xn ))]] ≤ En [vn+1 (x0 , y 0 )] Ezen egyenl®tlenség felhasználásával megmutatható, hogy teljesül az alábbi lemma. 3.1 Lemma [3] Minden n-re és minden szigorúan pozitív η-ra ṽn (η) ≤ −η2 Sn ϕ̃(− η1 Sn ) + En [ṽn+1 (η)]. η2 Könnyen igazolható, hogy ṽn (η) ∈ L1 minden n-re és minden szigorúan pozitív η -ra, amib®l következik, hogy vn (x, y) ∈ L1 minden x, y -ra

és minden n-re. Ekkor egy rögzített szigorúan pozitív η esetén fennáll a következ® összefüggés vn (x, y) ≤ sup En vn+1 (x + ∆x, y − ϕ(∆x)Sn ) ∆x ≤ sup En [ṽn+1 (η) + η1 (x + ∆x) + η2 (y − ϕ(∆x)Sn )] ∆x = En ṽn+1 (η) + η1 x + η2 y + sup[η1 ∆x − η2 ϕ(∆x)Sn ]. ∆x Ha ∆x ∞, akkor a 3.1-es feltételek miatt ϕ(∆x) gyorsabban tart a végtelenhez, így sup∆x [η1 ∆x − η2 ϕ(∆x)Sn ] −∞, ∆x −∞ esetén pedig ∆x a ϕ-nél gyorsabban tart −∞-hez, így a szuprémum ismét −∞-hez tart, ami azt jelenti, hogy a szuprémum ebben az esetben egy maximum. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy létezik optimális stratégia, amit a következ® tétel fogalmaz meg: [3] Az eddigi feltevések mellett a 3.3-as optimalizálási problémának létezik megoldása az olyan (X, Y ) el®rejelezhet® folyamatok halmazából, melyekre teljesül, hogy X = x és Yn = y. 3.2 Tétel Az itt bemutatott konstrukciót egy

Bellman-típusú egyenlettel lehet leírni, melynek lényege, hogy egy állapot hasznossága az adott állapotba való eljutás 27 költségének illetve jutalmának és a következ® állapot várható hasznosságának összege. 3.3 Tétel (Bellman-egyenlet). [3] Minden 0 ≤ n ≤ N esetén vn (x, y) = sup En [vn+1 (x + ∆x, y − ϕ(∆x)Sn )]. ∆x 3.3 Kockázatsemleges marginális ár A korábbi jelölések mellett legyenek az n id®pontban Xn = x és Yn = y a részvényre és a készpénzre vonatkozó kezdeti értékeink és tegyük fel, hogy a (∆Xm )N m=n+1 folyamat optimális stratégia ezekre a kezdeti értékekre. Legyen (ε) ennek az optimális stratégiának egy módosított változata a (∆Xm )N m=n+1 folyamat, amelyet a következ®képpen deniálunk  ε + ∆Xn+1 , m = n + 1, (ε) ∆Xm = ∆X , m > n + 1. m A N + 1 id®pontban a készpénz mennyisége ezen új stratégia mellett (ε) (ε) YN +1 = YN +1 − [ϕ(∆Xn+1 ) − ϕ(∆Xn+1 )]Sn

− [ϕ(−XN − ε) − ϕ(−XN )]SN = YN +1 − [ϕ(∆Xn+1 + ε) − ϕ(∆Xn+1 )]Sn − [ϕ(−XN − ε) − ϕ(−XN )]SN , ami ε-ban konkáv. (ε) En [U (YN +1 )], Az optimalitás miatt bármely ε esetén En [U (YN +1 )] ≥ ezért az ε szerinti derivált nulla, azaz En [U 0 (YN +1 )(ϕ0 (∆Xn+1 )Sn − ϕ0 (−XN )SN )] = 0. [3] Az eddigi feltevések mellett legyen a (∆Xm )Nm=n+1 folyamat az optimális megoldás vn (x, y) maximalizálására, a N +1 id®pontban YN +1 egységnyi készpénzzel. Ekkor 3.4 Tétel • a vn függvény mindkét változója szerint majdnem mindenütt dierenciál- ható és Dx vn (x, y) = En [SN ϕ0 (−XN )U 0 (YN +1 )] = Sn ϕ0 (∆Xn+1 )En [U 0 (YN +1 )], Dy vn (x, y) = En [U 0 (YN +1 )]. 28 • Az Mn ≡ ϕ0 (∆Xn+1 )Sn folyamat martingál a Q mérték szerint, ahol dQ dP = U 0 (YN +1 ). Az eddigiek során sehol nem használtuk ki az arbitrázsmentességet, ami azt jelenti, hogy létezhet egyszerre arbitrázs lehet®ség és

optimális portfólió egy illikvid piacon. Az arbitrázst itt a következ® módon deniáljuk 3.1 Deníció (Arbitrázs). (X, Y ) egy arbitrázs lehet®ség, ha X és Y olyan el®- rejelezhet® folyamatok, melyekre teljesül, hogy X0 = Y0 = XN +1 = 0, kielégítik a 3.2-es egyenletet, továbbá YN +1 ≥ 0 és P (YN +1 > 0) > 0 Nézzünk egy konkrét példát az arbitrázs és az optimális portfólió egyidej¶ létezésére. Tekintsünk egy 1 periódusos piacot, ahol S0 = 1, ϕ(x) = ex − 1 és P (S1 = 1 ) 4 = P (S1 = 1 ) 2 = 1 . 2 A els® tranzakció során x ∈ (log 12 , 0) darab részvényt vásárolunk, ami a periódus végén, azaz a 2. id®pontban a következ® készpénzt eredményezi a teljes portfólió likvidálása után: Y2 = Y1 − ϕ(∆X2 )S1 = (Y0 − ϕ(∆X1 )S0 ) − ϕ(∆X2 )S1 = = Y0 − ϕ(X1 − X0 )S0 − ϕ(X2 − X1 )S1 = 0 − ϕ(x − 0) · 1 − ϕ(0 − x)S1 = = −(ex − 1) − (e−x − 1)S1 = (ex − 1)(e−x S1 − 1). Mivel

x ∈ (log 12 , 0), ezért 1 2 1 2 < ex < 1 ⇒ ex −1 < 0, illetve 1 < e−x < 2 és S1 ≤ ⇒ e−x S1 − 1 < 0, tehát Y2 > 0, ami arbitrázst jelent. Egy adott hasznossági függvény mellett optimális portfólió is létezik, mert a modellre teljesül, hogy minden x, y -ra n-re és tre vn (x, y) < ∞ 1 valószín¶séggel és Sn ϕ̃(− Stn ) ∈ L1 . A stratégia szerint a 0 id®pontban veszünk x darab részvényt és t = 1-ben eladjuk mindet, így a marginális ár t = 0-ban ex , míg t = 1-ben e−x S1 . Ahhoz, hogy a marginális árfolyamat martingál legyen valamely P-vel ekvivalens mérték mellett, annak kell teljesülnie, hogy t = 1-ben a két lehetséges marginális részvényár közül az egyik nagyobb, a másik pedig kisebb legyen, mint a kezdeti marginális árfolyam, vagyis 1 1 < ex és e−x > ex . 4 2 1 1 Ez a két egyenl®tlenség az x ∈ (log 2 , log √2 ) értékre teljesül, így a példában e−x megadott

optimális stratégia egy adott hasznossági függvény mellett mindig eleget tesz ezeknek a korlátoknak. 29 Az optimális stratégiák és az arbitrázs lehet®ségek egyidej¶ létezése azért lehetséges, mert a modell eleve úgy lett felépítve, hogy az arbitrázs lehet®ségek száma nem lehet végtelen egy illikvid piacon, hiszen a likviditási költségek felemésztik az arbitrázsból fakadó nyereségeket. 30 4. fejezet Illikviditás modellje 4.1 A modell sajátosságai El®ször nézzünk egy statikus modellt az ajánlati könyvre. Tegyük fel, hogy S egy középárfolyam és az ajánlati könyv jegyzései S alatt és felett vannak, egy x relatív árfolyam esetén ρ(x) s¶r¶séggel. Ha egy keresked® h egységnyi eszközt szeretne vásárolni, akkor ezt úgy teheti meg, hogy az utolsó egység relatív ára az ajánlati könyv szerint s lesz, ahol Z s Z h= ρ(x)dx, és ennek költsége: S 1 s xρ(x)dx lesz. 1 Legyen `(h) a veszteségfüggvény, ami azt

fejezi ki, hogy a keresked®nek mekkora vesztesége származik abból a tranzakcióból, melynek során h darab egységnyi árfolyamú részvényt vásárol. A tranzakció végrehajtása után a középárfolyam gyorsan visszaáll S -re, így a keresked® vesztesége összesen a költség és a megszerzett értékpapírok könyv szerinti értékének a különbsége, azaz Z s Z s Z s Z s S`(h) ≡ S xρ(x)dx−hS = S xρ(x)dx−S ρ(x)dx = S (x−1)ρ(x)dx, 1 1 1 1 ahol hS a megvásárolt részvények könyv szerinti értéke. Az egyenlet alakja s > 1 és 0 ≤ s < 1 esetén is ugyanúgy néz ki, így ` ≥ 0 és d` (s − 1)ρ(s) = = s − 1 ≥ −1 dh ρ(s) növekv®, tehát ` konvex függvény, legalább −1 nagyságú meredekséggel. Például az `(x) = ε|x| alakú függvény az arányos tranzakciós költséget modellezi, míg ha 31 csak egy bizonyos mennyiség¶ kereskedés megengedett a piacon, azt az alábbi függvénnyel tudjuk leírni `(x) =  0, ha

|x| ≤ a, ∞, ha |x| > a. A következ®kben egy olyan diszkrét idej¶ modell kerül bemutatásra, amelyben a tranzakciókat ∆t id®közönként hajtják végre az ajánlati könyv jegyzéseinek megfelel® árfolyamon. Az új jegyzések eloszlásának s¶r¶ségfüggvénye ρ(x)dx∆t, ahol az x relatív ár a mindenkori St középárfolyam. Ha egy befektet® szeretne h∆t egységnyi eszközt vásárolni, akkor ebb®l a kereskedésb®l St `(h)∆t vesztesége fog származni. A kereskedési volument®l függ®en a tranzakció kiütheti az ajánlati könyv egy részét, így a középárfolyam elmozdulhat. Ez a jelenség éppen az árhatás, ezt azonban nem építjük be a modellbe, mivel ez függne az összes korábbi kereskedést®l és a legutolsó befektetési döntést®l is. A továbbiakban ezért feltesszük, hogy a kiütött jegyzések gyorsan visszaállnak, ha az adott eszköz megfelel®en likvid. A t id®pontban Ht egységnyi kockázatos eszközzel rendelkezik a

befektet® és a vagyon változását az alábbi folyamatok írják le dwt = rt wt dt + Ht (dSt rt St dt) − St `(ht )dt (4.1) dHt = ht dt, (4.2) ahol rt a kockázatmentes kamatláb, St az eszköz ára t-ben, ami exogén változó, azaz semmilyen kereskedés nincs rá hatással. A 41-es egyenlet utolsó tagja, −St `(ht )dt reprezentálja a likviditási költséget. A továbbiakban az ` függvényr®l feltesszük, hogy nemnegatív, konvex és `(0) = 0. Az illikviditási költségek alkalmazása mellett már nem lesz teljes a piac, így tökéletes replikálás sem létezik A következ®kben ezt az illikviditási hatást fogjuk vizsgálni egy európai opció fedezése során kicsi illikviditási költségek mellett. A Black-Scholes modellben az eszközár dinamikája dSt = St (σdWt + µdt), és az rt kockázatmentes kamatláb konstans. Az egyszer¶ség kedvéért feltesszük, hogy r = 0, így St már a diszkontált árfolyamot jelöli a modellben. Szintén feltehetjük, hogy

µ = 0, mivel egy tökéletesen likvid Black-Scholes piac esetén valóban 0 lenne a µ értéke és mi most a modellben nagyon kicsi illikviditási költséget alkalmazunk, tehát a tökéletesen likvid modellt közelítjük. A másik ok, ami miatt célszer¶ nullának választani a µ paramétert az az, hogy ha ett®l 32 eltér® µ értéket használnánk, akkor azt meg kellene becsülni és ez rontaná a modell pontosságát és stabilitását. Ezen feltételek mellett a vagyon alakulását az alábbi egyenletek írják le dwt = Ht dSt − St `(ht )dt (4.3) dSt = σSt dWt (4.4) dHt = ht dt. (4.5) A 4.3-as egyenlet, a parciális integrálás formuláját alkalmazva és bevezetve az f (h) ≡ h + `(h) függvényt, a következ® alakra hozható: dwt = d(Ht St ) − St f (ht )dt. Tekintsük egy T -ben lejáró G(St ) kizetési függvénnyel rendelkez® európai opció fedezését, ahol az opció Black-Scholes modell szerinti értéke a t < T id®pontban q(t, St ), azaz

q a Black-Scholes parciális dierenciálegyenlet megoldása az Lq = 0, q(T, .) = G() peremfeltételek mellett, ahol 1 ∂ ∂2 L ≡ σ2S 2 2 + . 2 ∂S ∂t Ha nem lennének illikviditási költségek, akkor az opció egyértelm¶ kezdeti értéke q(0, S0 ) lenne és adott kezd® t®ke mellett tökéletesen lehetne fedezni egy olyan önnanszírozó portfólióval, melyben a t id®pontban θ(t, St ) ≡ qS (t, St ) egységnyi részvényt tartunk. Ha azonban bevezetjük az illikviditási költségeket is, akkor nem tudunk minden egyes t id®pontban a Black-Scholes-féle fedezeti stratégiának megfelel® portfóliót tartani, így konstruálnunk kell egy másik H portfóliót, melynek értéke a végs® id®pontban a G(ST ) kizetés értékéhez tart és nem eredményez nagy illikviditási költségeket a lejáratig. Annak eléréséhez, hogy a T id®pontban már ne rendelkezzünk részvénnyel, feltesszük, hogy az eszközt illikviditási költségek nélkül tudjuk eladni az

azonnali piacon. Legyen a 0 id®pontban H0 egységnyi részvényünk és x0 mennyiség¶ készpénzünk. Ekkor a (Ht )0≤t≤T stratégia mellett a fedezet értéke a T id®pontban Z T Ht dSt ≡ ξ, H0 S0 + x0 + 0 az összes illikviditási költség pedig Z T St `(ht )dt. 0 33 4.2 Minimalizálási probléma A cél tehát az illikviditási költségek és a fedezeti hiba minimalizálása, vagyis az alábbi Φ0 függvény minimalizálása Z T 1 2 Φ0 = E(ξ − G(ST )) + E St `(ht )dt 2 0 Z T Z T 1 1 2 2 2 2 St `(ht )dt = (x0 + H0 S0 − q(0, S0 )) + E (Ht − θ(t, St )) σ St dt + E 2 0 2 0 1 = (x0 + H0 S0 − q(0, S0 ))2 + Φ. 2 A θ Black-Scholes portfólió értékét felülr®l korlátozzuk, vagyis valamely γ > 0 és C > 0 mellett |θ(t, S)| ≤ C(1 + S γ ), aminek következtében Z E ∀t ∈ [0, T ], S > 0 esetén, (4.6) T θ(t, St )2 St2 dt < ∞. 0 Ahhoz, hogy az L -beli követeléseket L2 -beli stratégiával tudjuk replikálni, fel 2

kell tennünk, hogy h ∈ H, ahol Z H ≡ {h : E T Hu2 Su2 du < ∞}. 0 Deniáljuk a V értékfüggvényt a következ®képpen Z T  Z T 1 2 2 2 V (t, H, S) ≡ inf E (Hu −θ(u, Su )) σ Su du+ Su `(hu )du Ht = H, St = S , h∈H 2 t t ami megoldása a Hamilton-Jacobi-Bellman egyenletnek   1 1 inf Vt + hVH + σ 2 S 2 VSS + σ 2 S 2 (H − θ(t, S))2 + S`(h) = 0. h∈H 2 2 (4.7) Legyen `(h) = 21 εh2 , ahol ε valamilyen kis értéket felvev® paraméter. Ekkor a 47es minimalizálási probléma a h = − VεSH értékkel egy nemlineáris másodrend¶ parciális dierenciálegyenletként írható fel a következ®képpen: 1 V2 LV + σ 2 S 2 (H − θ)2 − H = 0. 2 2εS (4.8) Ezt az egyenletet megoldhatjuk úgy, hogy a V értékfüggvényt H másodfokú függvényeként írjuk fel: V (t, H, S) = a(t, S)H 2 + b(t, S)H + c(t, S). 34 (4.9) Ezt behelyettesítve a 4.8-as egyenletbe, egy H -ban másodfokú egyenletet kapunk, amelynek együtthatói nullával lesznek

egyenl®k, így további három egyenletünk lesz a-ra, b-re és c-re. A 48-as egyenlet a behelyettesítés után: 1 1 2a2 2 2ab b2 LaH 2 + LbH + Lc + σ 2 S 2 H 2 − σ 2 S 2 Hθ + σ 2 S 2 θ2 − H − H− = 0. 2 2 εS εS 2εS Az együtthatókra vonatkozó egyenletek: 1 2a2 La + σ 2 S 2 − = 0, 2 εS 2ab Lb − σ 2 S 2 θ − = 0, εS 1 b2 Lc + σ 2 S 2 θ2 − = 0. 2 2εS (4.10) (4.11) (4.12) A 4.10-es egyenlet nem függ θ-tól, a csak a veszteségeket kontrollálja nagy H esetén. Ilyenkor az a cél, hogy H értékét ismét visszaállítsuk a Black-Scholes szerinti fedezésnek megfelel® érték közelébe, de az számunkra érdektelen, hogy ez az érték pontosan mekkora. A 47-es minimalizálási probléma megoldásához, tehát el®ször a 4.10-es nemlineáris parciális dierenciálegyenletet kell megoldani, majd ezt követ®en már könnyen megkapjuk a 4.11-es és a 412-es egyenletek megoldásait is. A 410-es egyenlet megoldásának létezését és

egyértelm¶ségét az alábbi lemma garantálja. [9] Létezik egyértelm¶ megoldása a 4.10-es egyenletnek, amely eleget tesz az alábbi korlátossági feltételnek 4.1 Lemma sup S>0,0≤t≤T a(t, S) < ∞. S2 A lemma bizonyítása [9] során el®ször a megoldás létezését lehet belátni úgy, hogy az a megoldást egy függvénysorozattal közelítjük. Az egyértelm¶ség igazolásához feltesszük, hogy két megoldása is létezik az egyenletnek, a és ā, melyekre teljesül, hogy a ≤ ā. Ezután vesszük ezen függvények különbségét, f = ā − a, és az f függvényr®l belátjuk, hogy azonosan nulla. [9] Tegyük fel, hogy teljesül a Black-Scholes portfólióra vonatkozó 4.6-os korlátossági feltétel Ekkor a minimalizálási probléma 49-es egyenlet szerint megadott V értékfüggvénye kielégíti a 46-os korlátossági feltételt úgy, hogy a, b és c az egyértelm¶ megoldásai a 4.10-es, 411-es és 412-es egyenleteknek 4.1 Tétel 35 4.3 Az

optimális megoldás közelítése Továbbra is kis illikviditási költségek és az `(h) = 12 εh2 függvény melletti optimális fedezeti stratégia közelítését vizsgáljuk. Kis ε érték esetén a 48-as egyenletben az LV tag kis értéket vesz fel, a második tag azonban nem lesz kicsi, ezért az egész kifejezés csak akkor lehet nullával egyenl®, ha A h = − VεSH V √ H = σS(H − θ). εS q választás alapján a h ≡ −σ Sε (H − θ) lesz a portfólióban tartott H eszköz változásának mértéke. A képlet jól mutatja H értékének θ-hoz való visszahúzó tulajdonságát, aminek a mértéke ε értékével fordítottan arányos, továbbá minél nagyobb S , annál inkább számít a fedezeti arány pontossága, hiszen ebben az esetben nagyobb összeget fektetünk az eszközbe. Legyen v a h fedezeti stratégia értékfüggvénye, amely megoldja az alábbi parciális dierenciálegyenletet σS(H − θ) √ vH + σ 2 S 2 (H − θ)2 = 0, v(T, ., ) = 0

εS Ekkor v -t felírhatjuk a H kvadratikus függvényeként: Lv − v(t, H, S) = a(t, S)(H − θ(t, S))2 + b(t, S)(H − θ(t, S)) + c(t, S), ahol az a, b, c függvényekre a következ® egyenletrendszer teljesül: r S 0 = (L)a − 2σ a + σ2S 2, r ε S 0 = (L) − σ b + 2σ 2 S(a − SaS )θS , ε 0 = (L)c + σ 2 SθS (b − SbS ) + σ 2 S 2 aθS2 . Belátható, hogy ha θS és θSS egyenletesen korlátosak, akkor V (t, H, S) ≤ v(t, H, S) ≤ √ azaz V (t, H, S) = O( ε). 36 √ εκ(t, S), 5. fejezet Likviditás a gyakorlatban Az alábbiakban Rogers és Singh eredményei [9] alapján megnézzük, hogy hogyan lehet a gyakorlatban hasznosítani az elméleti modelleket. 5.1 Numerikus módszer Ebben a részben az el®z® fejezetben felírt illikviditási modell alapján egy részvényre szóló európai call opció fedezeti stratégiáját állítjuk el® numerikusan, azaz megoldjuk a 4.8-as nem lineáris másodrend¶ parciális dierenciálegyenletet Az egyenletet a

4.9-es alakban oldjuk meg, melyhez a 410, 411 és 412-es dierenciálegyenletek megoldására lesz szükség Ez utóbbihoz a Crank-Nicolson-féle véges dierenciák módszerét alkalmazzuk. El®bb a 410-es egyenletet kell megoldani, majd ebb®l már könnyen adódik a másik két egyenlet megoldása is. Ehhez mind a három egyenletnél deniálunk egy-egy rácsot, melynek egyik tengelyén az árfolyamot, a másikon pedig az id®t mérjük. Az árfolyam tengelyt a kezdeti (Smin) és a lejárati (Smax) árfolyam között I egyenl® részre osztjuk, ahol egy beosztás hosszát dS jelöli és az i = 1, 2, ., I indexelést használjuk Az id® tengelyt a 0 id®pont (tmin = 0) és a lejárat id®pontja (tmax) között J egyenl® részre osztjuk, ahol egy beosztás hosszát dt jelöli és az j = 1, 2, ., J indexelést használjuk Tehát (I + 1) × (J + 1) rácspontban közelítjük az egyenletek megoldásait úgy, hogy ai,j , bi,j és ci,j a közelít® megoldások (i, j) rácspontbeli

értékeit jelölik, ahol S = Smin + i · dS és t = n · dt. Az explicit módszer szerint egy u függvényre és 37 a deriváltjaira az alábbi közelítéseket alkalmazzuk u = ui,j ui,j+1 − ui,j ∂u = ∂t dt ui+1,j −ui−1,j ∂u = ∂S 2 · dS 2 ∂ u ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j = . 2 ∂S (dS)2 Így a három dierenciálegyenletre vonatkozó explicit formulák az egyes rácspontokban a következ®k   2 2 1 σ2S 2  2 2 σ2S 2 σ S σ2S 2 − ai,j − a + · dt ai,j+1 = ai+1,j + ai−1,j + 2(dS)2 dt (dS)2 εS i,j 2(dS)2 2  2 2  1 σ S σ2S 2 σ2S 2 2ai,j  2 2 bi,j+1 = − bi,j + bi+1,j + − bi−1,j − σ S θ · dt 2(dS)2 dt (dS)2 εS 2(dS)2  2 2  1 σ2S 2  1 2 σ S σ2S 2 ci,j+1 = ci+1,j + − ci−1,j − b ci,j + · dt. 2(dS)2 dt (dS)2 2(dS)2 2εS i,j A numerikus módszert egy konkrét példára alkalmaztam. Megvizsgáltam, hogy hogyan alakul egy K = 1 kötési árfolyamú, 1 éves lejárattal rendelkez® európai call opció fedezete az illikviditási

modell valamint a Black-Scholes-féle deltahedge stratégia szerint. Induláskor a portfólió 1 darab részvényb®l áll, készpénzt nem tartalmaz A példában használt paraméterek: σ = 025, ε = 0006, Smin = 0, Smax = 2, tmin = 0, tmax = 1 és a t tengelyen a lejáratig hátralév® id® szerepel. A számolásokat az R programban végeztem, ahol (I +1)×(J +1)-es mátrixokkal állítottam el® az a, b, c függvényekre vonatkozó egyenletek megoldásait. A program kódja a függelékben található Az 5.1-es ábra bal oldalán a hagyományos Black-Scholes modell szerinti deltahedge értékét, a jobb oldalon pedig az illikviditási modell fedezeti stratégiájának és a Black-Scholes szerinti delta-hedge értékének a különbségét láthatjuk. A képek jól szemléltetik, hogy ha mélyen in the money vagy out of the money pozícióban vagyunk, akkor a delta-hedge stratégia és a két fedezeti stratégia különbségének értéke is közel nulla, amib®l következik,

hogy ekkor az illikviditási modell stratégiájának értéke is nagyon kicsi. Ennek az az oka, hogy ezekben a pozíciókban 0 vagy 1 darab részvényt érdemes a portfólióban tartani és minél nagyobb a részvény árfolyamának és a kötési árfolyamnak a különbsége, annál kisebb a valószín¶sége annak, hogy az optimális fedezeti arány meg fog változni. Az is látszik, hogy a stratégiák különbsége pozitív, vagyis az illikviditási fedezet költsége nagyobb, mint a Black-Scholes szerinti fedezeté, ami a kizetésfüggvény konvexitásával magyarázható. 38 t t S S 5.1 ábra A BS ∆-hedge értéke, valamint a BS ∆-hedge és az illikviditási modell fedezetének különbsége 5.2 Érzékenységvizsgálat A fedezeti stratégiáknál alkalmazott σ és ε konstansok a piaci adatok alapján meggyelt paraméterek. Az alábbi ábrák azt szemléltetik, hogy ezen paraméterek változása esetén hogyan módosul az illikviditási költségeket tartalmazó

fedezeti stratégia és a delta-hedge stratégia értékének különbsége Az 52-es ábrán a σ paraméter az egyes képeken rendre 0.05, 01, 015, 02, 03 és 035 Az 53-as ábrán az egyes képeken sorban 0.001, 0003, 001, 002, 003 és 005 az ε paraméter értéke Az 52-es és 53-as ábrák alapján a volatilitásra és az aktuális piaci likviditást kifejez® ε paraméterre is csak a kötési árfolyam közelében érzékenyek a fedezeti stratégiák. Továbbra is az illikviditási fedezet költsége a nagyobb, a σ és ε paraméterek azt befolyásolják, hogy a lejárathoz képest melyik id®pontban van jelent®s különbség a két stratégia között. Nagyobb σ esetén a lejárathoz közeledve lesz nagy a különbség, míg nagy ε értékek mellett a futamid® elején lesz számottev® eltérés a fedezetek között. 39 t t S S t t S S t t S S 5.2 ábra A BS ∆-hedge és az illikviditási modell fedezetének különbsége σ függvényében 40 t t S S

t t S S t t S S 5.3 ábra A BS ∆-hedge és az illikviditási modell fedezetének különbsége ε függvényében 41 5.3 Tesztelés valós adatokon A Black-Scholes-féle delta-hedge stratégiát és az illikviditási modell fedezését összehasonlítottam valós adatokon is. Négy portfólió fedezetét vizsgáltam, melyek induláskor csak egy Apple részvényre szóló call opciót tartalmaztak, készpénzt nem Az egyes portfóliókban szerepl® call opciók kötési árfolyama 475, 500, 520 és 550. A lejárati id® 1 év és havonta egyszer igazítjuk ki a portfóliót az Apple részvény havi záróárfolyamának megfelel®en. Az adatok a 2012 februárjától 2013 januárjáig tartó id®szakból származnak Induláskor a részvény árfolyama 518.47 volt A volatilitás 008 a vizsgált id®szakban, az ε paraméter 500 400 450 Árfolyam 550 értéke pedig 0.006 2 4 6 8 10 t (hónap) 5.4 ábra Havi záró árfolyamok és kötési árfolyamok Az 5.4-es

ábrán láthatók a részvény havi záró árfolyamai, a piros egyenesek pedig a kötési árfolyamokat szemléltetik. 42 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.0 0.2 Fedezeti arányok különbsége 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Fedezeti arányok különbsége 1.2 2 4 6 8 10 2 4 10 8 10 1.0 0.8 0.6 0.4 0.0 0.2 Fedezeti arányok különbsége 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Fedezeti arányok különbsége 8 t (hónap) 1.0 t (hónap) 6 2 4 6 8 10 2 t (hónap) 4 6 t (hónap) 5.5 ábra A fedezeti arányok különbsége K = 475, 500, 520, 550 esetén Az 5.5-ös ábrán a két modell fedezeti arányainak különbségeit láthatjuk A fenti két ábra a K = 475 és K = 500 kötési árfolyamú opciók fedezeteit szemléltetik. Ezen kötési árfolyamok mellett az els® id®szakban a mélyen in the money pozíció következtében mindkét modellben 1 körüli a fedezeti arány, így a különbségük 0-hoz közeli. Mind a négy ábrán meggyelhet®, hogy a fedezeti arányok

különbsége azokban a hónapokban volt negatív, amikor a részvény árfolyama nagyon közel volt a kötési árfolyamhoz, vagyis ekkor az illikviditási modell fedezeti aránya mindig kisebb volt, mint a delta-hedge szerinti. 2013 januárjában esett 43 a részvény árfolyama, így S = 439.23 mellett az opció egyik esetben sem került lehívásra. 5.4 Összegzés A likviditási kockázat egy fontos kockázati ág a pénzügyi piacokon, mivel minden piaci szerepl®t érint, a 2008-as gazdasági világválság óta pedig még inkább növekedett a jelent®sége. A szakdolgozatomban f®ként a modellek elméleti hátterével foglalkoztam, azon belül is a részvénypapírok likviditásával, azonban nagyon fontosak az empirikus eredmények is, amelyek meghatározhatják egy újabb modell paramétereit, illetve segítenek a kész modellek tesztelésében. Beber, Brandt és Kavajecz például az Euro-zóna államkötvény piacán vizsgálták [1], hogy a keresked®k egy-egy

befektetés során mennyire tartják fontosnak az állampapírok likviditását és hitelmin®sítését egymáshoz képest. Az elemzés során meglep® módon negatív kapcsolatot gyeltek meg a likviditás és a min®sítések között, a kapcsolat mértékét azonban többek között az is befolyásolta, hogy milyen kockázati mértéket alkalmaztak a likviditási kockázat mérésére. 44 Irodalomjegyzék [1] Alessandro Beber, Michael W. Brandt, and Kenneth A Kavajecz Flightto-quality or ight-to-liquidity? evidence from the euro-area bond market Technical report, National Bureau of Economic Research, July 2006. [2] Umut Çetin, Robert A. Jarrow, and Philip Protter Liquidity risk and arbitrage pricing theory. Finance Stoch., 8(3):311341, 2004 [3] Umut Çetin and L. C G Rogers Modeling liquidity eects in discrete time Math. Finance, 17(1):1529, 2007 [4] C. Dellacherie and P-A Meyer Probabilities and potential, volume 72. North-Holland Publishing Co., 1982 [5] U.

Çetin, R Jarrow, P Protter, and M Warachka Pricing options in an extended black scholes economy with illiquidity: Theory and empirical evidence. Review of Financial Studies, 19(2):493529, 2006. [6] Paolo Guasoni and Miklós Rásonyi. Hedging, arbitrage, and optimality with superlinear frictions, 2013. [7] Robert A. Jarrow and Philip Protter Liquidity risk and risk measure computation Review of Futures Markets, 14(1):2739, 2005. [8] Robert A. Jarrow and Philip Protter Liquidity risk and option pricing Handbook in Operation Research and Management Science: Financial Engineering, pages 727762, 2007. theory. In [9] L. C G Rogers and Surbjeet Singh The cost of illiquidity and its eects on hedging. Math. Finance, 20(4):597615, 2010 45 [10] Radnai Márton és Vonnák Dzsamila. Likviditási kockázat az európai t®kemegfelelési direktíva tervezett módosításában Hitelintézeti Szemle, 3:248 256, 2009. [11] Mher Safarian and Yuri Kabanov. Markets with Transaction

Costs - Ma- thematical Theory. Springer Finance, 2009 [12] D. Valliere, E Denis, and Y Kabanov Hedging of american options under transaction costs. Finance and Stochastics, 13(1):105119, 2009. 46 Függelék > > > > > > > > > > > > > > > > > > + + + + + > > + + > > + + + + + + tmin<-0 tmax<-1 tlepes<-120 dt<-(tmax-tmin)/tlepes t<-seq(from=tmin, to=tmax, by=dt) Smin<-0 Smax<-2 Slepes<-20 dS<-(Smax-Smin)/Slepes S<-seq(from=Smin, to=Smax, by=dS) K<-1 eps<-0.006 sigma<-0.25 r<-0 tgrid<-(tmax/tlepes)*0:tlepes Sgrid<-dS*0:Slepes+Smin theta<-matrix(nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for (i in 1:(Slepes+1)){ theta[i,(tlepes+1)]<-1 for (j in 1:(tlepes)){ theta[i,j]<-pnorm((log(S[i]/K)+(r+0.5*(sigma^2))t[j])/(sigma(t[j]^0.5))) } } l<-c() for (i in 1:(Slepes+1)){ l[i]<-((sigma^2)*((S[i])^2)dt)/(2(dS^2)) } amatrix<-matrix(0,nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for

(j in 1:tlepes){ for (i in 2:Slepes){ amatrix[i,j+1]<-(1-2*l[i])amatrix[i,j]-(2dt/(epsS[i]))((amatrix[i,j])^2) +l[i]*(amatrix[i+1,j]+amatrix[i-1,j])+l[i](dS^2) } amatrix[(Slepes+1),j+1]<-(1-2*l[i])amatrix[i,j](2dt/(epsS[i]))((amatrix[i,j])^2)+l[i]amatrix[i-1,j]+l[i](dS^2) 1 2 + > > + + + + + + + > > + + + + + + + + > > + + + + + > > + + + + + > > + + + + + > > + + + } bmatrix<-matrix(0,nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for (j in 1:tlepes){ for (i in 2:Slepes){ bmatrix[i,j+1]<-(1-2*l[i]-(2amatrix[i,j]dt/(epsS[i])))bmatrix[i,j] +l[i]*(bmatrix[i+1,j]+bmatrix[i-1,j])-(sigma^2)(S[i]^2)theta[i,j+1]dt } bmatrix[(Slepes+1),j+1]<-(1-2*l[i]-(2amatrix[i,j]dt/(epsS[i])))bmatrix[i,j] +l[i]*bmatrix[i-1,j]-(sigma^2)(S[i]^2)theta[i,j+1]dt } cmatrix<-matrix(0,nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for (j in 1:tlepes){ for (i in 2:Slepes){ cmatrix[i,j+1]<-(1-2*l[i])cmatrix[i,j]+l[i] (cmatrix[i+1,j]+cmatrix[i-1,j])+l[i]*(dS^2)

(theta[i,j+1]^2)-(dt/(2*epsS[i]))(bmatrix[i,j]^2) } cmatrix[(Slepes+1),j+1]<-(1-2*l[i])cmatrix[i,j]+l[i]cmatrix[i-1,j] +l[i]*(dS^2)(theta[i,j+1]^2)-(dt/(2epsS[i]))(bmatrix[i,j]^2) } Hmatrix<-matrix(1,nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for (i in 1:(Slepes+1)){ Hmatrix[i,(tlepes+1)]<-1 for (j in 1:(tlepes)){ Hmatrix[i,j]<-(-bmatrix[i,j])/(2*amatrix[i,j]) } } Vmatrix<-matrix(nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for (i in 1:(Slepes+1)){ for (j in (tlepes+1):1){ Vmatrix[i,j]<-amatrix[i,j]*(Hmatrix[i,j]^2)+bmatrix[i,j]Hmatrix[i,j] +cmatrix[i,j] } } BSmatrix<-matrix(nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for (i in 1:(Slepes+1)){ for (j in (tlepes+1):1){ BSmatrix[i,j]<-amatrix[i,j]*(theta[i,j]^2)+bmatrix[i,j]theta[i,j] +cmatrix[i,j] } } diffmtx<-matrix(0,nrow=(Slepes+1),ncol=(tlepes+1)) for (i in 1:(Slepes+1)){ for (j in 1:(tlepes+1)){ diffmtx[i,j]<-BSmatrix[i,j]-Vmatrix[i,j] } 3 + }