Matematika | Középiskola » Matematika emelt szintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2007

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. május 8 8:00 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 8 Azonosító jel: Matematika Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: Matematika emelt szint Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges 3. A II részben kitűzött öt feladat közül csak négyet kell megoldania A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 9. feladatra nem kap pontot 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot

használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A feladatok megoldásához alkalmazott gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek! 7. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl. Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de az alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. Egyéb tétel(ek)re való hivatkozás csak akkor fogadható el teljes értékűnek, ha az állítást minden feltételével együtt pontosan mondja ki (bizonyítás nélkül), és az adott problémában az alkalmazhatóságát indokolja. 8. A feladatok végeredményét megfogalmazásban is közölje! (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges 9. A dolgozatot tollal írja,

de az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga 0512 2 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: I. 1. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 2 − 10 x − 24 π = sin − lg 1 + 2 log 2 9 . 2 2 x − x−6 11 pont írásbeli vizsga 0512 3 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint 2. Azonosító jel: Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 18 cm, a CA befogójának hossza 6 cm. a) Mekkorák a háromszög hegyesszögei? A BC befogó egy P belső pontját összekötjük az A csúccsal. Tudjuk még,

hogy PB = PA. b) Milyen hosszú a PB szakasz? Állítsunk merőleges egyenest az ABC háromszög síkjára a C pontban! A merőleges egyenes D pontjára teljesül, hogy CD hossza 15 cm. c) Mekkora az ABCD tetraéder térfogata? írásbeli vizsga 0512 4 / 20 a) 3 pont b) 6 pont c) 4 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 5 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint 3. Azonosító jel: Egy pozitív tagokból álló mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat adunk, akkor ebben a sorrendben egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg ennek a számtani sorozatnak az első három tagját! 14 pont írásbeli vizsga 0512 6 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 7 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint 4. Azonosító jel: a) Ábrázolja a [0; 6] intervallumon

értelmezett x a x 2 − 8 x + 11 hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! b) Adja meg az y = x 2 − 8 x + 11 egyenlettel megadott alakzat P(5; –4) pontjában húzott érintőjének egyenletét! írásbeli vizsga 0512 8 / 20 a) 3 pont b) 10 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 9 / 20 2007. május 8 Azonosító jel: Matematika emelt szint II. Az 5–9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe! 5. a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a x 2 − 6 x + 9 kifejezés értelmezhető! b) Ábrázolja a [–5; 8] intervallumon értelmezett f : x a x 2 − 6 x + 9 függvényt! c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti f függvényre vonatkozóan? Válaszát írja a sor végén levő téglalapba! (Az indoklást nem kell leírnia.) A: Az f értékkészlete: [0;

5]. A B: Az f függvény minimumát az x = –3 helyen veszi fel. B C: Az f függvény szigorúan monoton nő a [4; 8] intervallumon. C ∫ (x 3 d) Határozza meg az 2 ) − 6 x + 9 dx értékét! −3 írásbeli vizsga 0512 10 / 20 a) 2 pont b) 5 pont c) 3 pont d) 6 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 11 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Az 5–9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe! 6. Az érett szilva tömegének kb. 5%-a a mag tömege A kimagozott szilva átlagosan 90% vizet és 10% ún. szárazanyagot tartalmaz A szilva aszalásakor a szárítási technológia során addig vonunk el vizet a kimagozott szilvából, amíg a megmaradt tömegnek csak az 5%-a lesz víz, a többi a változatlan szárazanyag-tartalom. Az így kapott terméket nevezzük aszalt szilvának.

a) A fentiek figyelembevételével mutassa meg, hogy 10 kg leszedett szilvából 1 kg aszalt szilva állítható elő! Az aszalt szilva kilóját 1400 Ft-ért, a nyers szilvát pedig 120 Ft-ért lehet értékesíteni. b) Kovács úr szilvatermésének felét nyersen, másik felét pedig aszalt szilvaként adta el. Hány kg volt Kovács úr szilvatermése, ha a nyers és az aszalt szilvából összesen 286 000 Ft bevételhez jutott? A piacon egy pénteki napon összesen 720 kg szilvát adtak el. Ez a mennyiség az alábbi kördiagram szerint oszlik meg az A, B, C és D fajták között. c) Átlagosan mennyit fizettek a vevők egy kilogrammért az adott napon, ha az egyes fajták ára: A – 120 Ft/kg, B – 200 Ft/kg, C – 230 Ft/kg, D – 260 Ft/kg. írásbeli vizsga 0512 12 / 20 a) 6 pont b) 3 pont c) 7 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 13 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Az 5–9.

feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe! 7. Adott az A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} halmaz. a) Adja meg az A halmaz háromelemű részhalmazainak a számát! b) Az A halmaz elemeiből hány olyan öttel osztható hatjegyű szám írható fel, amelyben a számjegyek nem ismétlődhetnek? c) Az A halmaz elemeiből hány olyan hatjegyű szám írható fel, amely legalább egy egyest tartalmaz? írásbeli vizsga 0512 14 / 20 a) 3 pont b) 6 pont c) 7 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 15 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Az 5–9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe! 8. Két közvélemény-kutató cég mérte fel a felnőttek dohányzási szokásait. Az egyik cég a véletlenszerűen

választott 800 fős mintában 255 rendszeres dohányost talált, a másik egy hasonlóan véletlenszerűen választott 2000 fős mintában 680-at. a) Adja meg mindkét mintában a dohányosok relatív gyakoriságát! b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy ha a fenti 2000 fős mintából véletlenszerűen kiválasztunk 3 főt, akkor éppen 1 dohányos van közöttük? c) Tegyük fel, hogy a lakosság 34%-a dohányos. Számolja ki annak a valószínűségét, hogy az országban 10 találomra kiválasztott felnőtt közül egy sem dohányos! írásbeli vizsga 0512 16 / 20 a) 4 pont b) 7 pont c) 5 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 17 / 20 2007. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Az 5–9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe! 9. Az 1. ábra szerinti padlástér egy 6×6 méteres

négyzet alapú gúla, ahol a tető csúcsa a négyzet középpontja felett 5 méter magasan van. a) Milyen szöget zárnak be a tetősíkok a vízszintessel (padlássíkkal)? Hasznos alapterületnek számít a tetőtérben az a terület, amely fölött a (bel)magasság legalább 1,9 méter. b) Mennyi lenne a tetőtér beépítésekor a hasznos alapterület? A tető cseréjekor a hasznos alapterület növelésének érdekében a ház oldalfalait egy ún. koszorúval kívánják magasítani. A ház teljes magassága – építészeti előírások miatt – nem növelhető, ezért a falak magasítása csak úgy lehetséges, ha a tető síkjának meredekségét csökkentik (2. ábra) Jelölje x a koszorú magasságát és T a hasznos alapterületet. c) Írja fel a T(x) függvény hozzárendelési szabályát! 1. ábra írásbeli vizsga 0512 2. ábra 18 / 20 a) 4 pont b) 6 pont c) 6 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0512 Azonosító jel: 19 /

20 2007. május 8 Azonosító jel: Matematika emelt szint a feladat sorszáma I. rész elért maximális összesen pontszám pontszám 11 13 14 13 16 16 16 16 ← nem választott feladat MINDÖSSZESEN 115 1. 2. 3. 4. II. rész javító tanár Dátum: . a feladat sorszáma I. rész elért pontszám programba beírt pontszám 1. 2. 3. 4. II. rész javító tanár jegyző Dátum: . Dátum: írásbeli vizsga 0512 20 / 20 2007. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 0512 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári

gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon. 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé

részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változik meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási

próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. (Ha a vizsgázó nem jelölte ki az értékelendő változatot, a javító tanár a legutolsó megoldási próbálkozást értékelje!) 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II részében kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat

értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 0512 2 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató I. 1. 1. megoldás π sin = 1 . 2 lg1 = 0. 1 pont 1 pont 1 pont 2 log 2 9 = 9 . x 2 − 10 x − 24 = 10 egyenletet kell x2 − x − 6 megoldani. 4 pont Ebből: x 2 = 4 . 1 pont x1 = 2 . 1 pont x 2 = −2 . Ellenőrzés: x = 2 megoldás. 1 pont x = –2 nem megoldás. 1 pont Összesen: 11 pont Ha vizsgálja az értelmezési tartományt, és ennek alapján az x = –2-t kizárja, az x = 2-t pedig az ÉT alapján elfogadja (se nem ellenőrzi, se nem hivatkozik ekvivalens átalakításokra), akkor maximum 10 pont jár. Ha a feladat megoldása során a tanuló csak az értelmezési tartományt vizsgálja (x ≠ -2 és x ≠ 3), és más értékelhető elemet nem tartalmaz a megoldása, akkor a helyes értelmezési tartomány

megállapításáért 2 pont jár. Így az 2. megoldás x 2 − 10 x − 24 = ( x + 2)( x − 12) . 1 pont x 2 − x − 6 = ( x + 2)( x − 3) . x ≠ –2. x 2 − 10 x − 24 x − 12 = . x−3 x2 − x − 6 1 pont 1 pont 1 pont π = 1. 2 lg1 = 0. sin 1 pont log 2 9 2 = 9. Behelyettesítve az egyszerűsített egyenletbe: x − 12 = 10 . x−3 x = 2. Ellenőrzés: x = 2 megoldás. Összesen: írásbeli vizsga 0512 Az átalakítások után az egyszerűsített egyenletért 4 pont jár. 3 / 16 1 pont 1 pont 1 pont 2 pont 1 pont 11 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 2. a) A szokásos jelölésekkel: tg β = 6 1 = . 18 3 1 pont β ≈ 18,43°. Ekkor α = 90° – β ≈ 71,57°. 1 pont 1 pont A fok jelölése nélkül legfeljebb 2 pont adható. Minden helyesen (egészre, tizedre) kerekített érték elfogadható. Összesen: 3 pont b) Jelöljük a derékszögű háromszögben a PB szakasz hosszát x-szel. 2 pont A

PCA derékszögű háromszögben: 6 2 + (18 − x) 2 = x 2 . 2 pont 2 2 36 + 324 − 36 x + x = x . x = 10. Ezt a pontot akkor is megkapja, ha a magyarázó szöveg helyett megfelelő ábrát készít. Ha a négyzetre emelést rosszul végzi el, akkor ez a 2 pont nem jár. Tehát PB = 10 cm. 2 pont Összesen: 6 pont Más megoldás esetén az adatok helyes rögzítésért (szövegben vagy ábrán) 1 pont; az AB szakasz kiszámolásáért 1 pont; a PB kiszámításáért (koszinusztétel vagy szinusztétel vagy szögfüggvény segítségével) 4 pont jár a helyesen kerekített értékkel számolva is. írásbeli vizsga 0512 4 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató c) Tekintsük a tetraéder alapjának az ABC Ezt elegendő az ábrán is háromszöget, ekkor a testmagasság CD lesz: jelölni. m = 15 cm. 2 pont Az ABC háromszög területe: 54 cm2. A mértékegység nélküli válasz Tm . V = 1 pont 3 54 ⋅15 . V= 2 pont 3 3 Így a

keresett térfogat: 270 cm . Összesen: 4 pont Ha a vizsgázó érdemben nem foglalkozik a feladattal, de a derékszögű tetraéder ábrája helyes (de nincs rajta a DC=15), akkor 1 pontot kap. írásbeli vizsga 0512 5 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 3. 1. megoldás A mértani sorozat tagjai: a; aq; aq2. (1) a + aq + aq 2 = 26 . A számtani sorozat tagjai: a + 1; aq + 6; aq2 + 3. a + 1 + aq 2 + 3 Ezért: aq + 6 = . 2 Rendezve: (2) a − 2aq + aq 2 = 8 . A két egyenlet különbsége: 3aq = 18, 6 ahonnan q = . a Behelyettesítve az (1)-be: 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 2 pont 2 a+a⋅ 6 ⎛6⎞ + a ⋅ ⎜ ⎟ = 26 . a ⎝a⎠ Ebből: a − 20a + 36 = 0 . A másodfokú egyenlet gyökei: a = 2 és a = 18 . Visszahelyettesítés után: q1 = 3 , 1 q2 = . 3 Tehát a keresett számtani sorozat első három tagja: 3; 12; 21, illetve: 19; 12; 5. Ezek megfelelnek a feladat feltételeinek. Összesen: 2 2. megoldás A számtani

sorozat első három tagjának összege: 26 + (1 + 6 + 3) = 36, Ezért a második tagja 12. Jelöljül a számtani sorozat különbségét d-vel, ekkor a sorozat első három tagja: 12-d; 12; 12+d. A mértani sorozat tagjai: 11-d; 6; 9+d. Ezért 6 2 = (11 − d ) ⋅ (9 + d ) ; ahonnan d 2 − 2d − 63 = 0. d = 9 vagy d = −7. írásbeli vizsga 0512 6 / 16 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 14 pont 1 pont 2 pont 1 pont 2 pont 2 pont 1 pont 1 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató Tehát a keresett számtani sorozat első három tagja: 3; 12; 21, illetve: 19; 12; 5. Ezek megfelelnek a feladat feltételeinek: a mértani sorozat megfelelő tagjai: 2; 6; 18 illetve 18; 6; 2. Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont 14 pont 3. megoldás A mértani sorozat tagjai: a ; a; aq. q a + a + aq = 26 . q A feladat szerint az egyes tagok értékét megnövelve kapjuk: ⎛a ⎞ ⎜⎜ + 1⎟⎟ + (a + 6) + (aq + 3) = 36. ⎝q ⎠ A

számtani sorozat tulajdonságai miatt a + 6 = 12. Tehát a = 6. ⎛1 ⎞ 6 ⋅ ⎜⎜ + q + 1⎟⎟ = 26 ⎝q ⎠ 3q 2 − 10q + 3 = 0 1 q1 = 3 q2 = 3 Tehát a keresett számtani sorozat első három tagja: 3; 12; 21, illetve: 19; 12; 5. Ezek megfelelnek a feladat feltételeinek. Összesen: írásbeli vizsga 0512 7 / 16 1 pont 3 pont 2 pont 1 pont 2 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 14 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. a) A helyes parabola ábrázolása az adott intervallumban. 3 pont Összesen: 3 pont b) 1. megoldás A parabola egy adott pontjában húzott érintő meredekségét itt az első derivált segítségével kaphatjuk meg. y’ = 2x – 8. Az érintési pont első koordinátájának behelyettesítésével: y’ (5) = 2 = m. y = mx + b P(5; –4), –4 = 10 + b, b = –14. Az érintő egyenlete: y = 2x – 14. Összesen: 2. megoldás Az érintő nem párhuzamos az y-tengellyel, ezért egyenletét y = mx + b

alakban keressük. A P(5; –4) koordinátáit behelyettesítve: –4 = 5m + b, b = –4 – 5m. Visszahelyettesítve: y = mx – 4 – 5m. Ha a következő egyenletrendszernek egy megoldása van, akkor a keresett egyenes érintő lesz: y = x 2 − 8 x + 11⎫ ⎬ y = mx − 4 − 5m⎭ . 4 pont Ha nem a megadott intervallumon ábrázol, akkor 2 pont. Helyes ábra esetén magyarázat hiánya miatt ne vonjunk le pontot! Az első derivált helyes megadásáért indoklás nélkül is jár a 4 pont. 2 pont Az y + 4 = 2 (x – 5) alakkal is dolgozhat. 2 pont 2 pont 10 pont 1 pont A gondolat ábrán való megjelenítése is elfogadható. 1 pont 1 pont mx − 4 − 5m = x 2 − 8 x + 11 x 2 − 8 x − mx + 15 + 5m = 0 1 pont 2 pont D = (− 8 − m ) − 4(15 + 5m ) = 0 2 1 pont m − 4m + 4 = 0 m=2 1 pont b = –14 1 pont Az érintő egyenlete: y = 2x – 14. 1 pont Összesen: 10 pont Ha a vizsgázó az érintő egyenletét olyan tétel (ismeret) alapján írja fel, amely nem

tartozik a vizsgakövetelményekhez, akkor a felhasznált tételre pontosan kell hivatkoznia. Ennek elmaradása esetén legfeljebb 8 pont adható. 2 írásbeli vizsga 0512 8 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató II. Az 5–9. feladatok közül a tanuló által megjelölt feladatot nem kell értékelni 5. a) 1 pont x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 . Mivel ez minden valós x értékre nemnegatív, ezért a legbővebb részhalmaz az R. 1 pont Összesen: 2 pont Magyarázó szöveg nélkül is jár az 1 pont. b) ( x − 3) 2 = x − 3 . 2 pont Ha nem jelöli az abszolútértéket, de esetszétválasztással indokol, akkor is jár a 2 pont. Ha elsőfokú függvényt ábrázol, legfeljebb 1 pontot kap. 3 pont Ha a grafikon jó, de az intervallum nem, akkor 2 pont jár. Összesen: 5 pont c) A: Hamis. B: Hamis. C: Igaz. 1 pont 1 pont 1 pont Összesen: 3 pont Az állítások igazságtartalmát a tanuló által felrajzolt függvény

alapján kell eldönteni. d) 1. megoldás 3 ( ) 3 ⎡ x3 ⎤ 2 x − 6 x + 9 dx = ⎢ − 3x + 9 x ⎥ = ∫ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ −3 −3 = (9 – 27 + 27) – (–9 – 27 – 27) = = 9 – (–63) = 72. 2 3 pont 2 pont 1 pont A jó eredményért, a számítás részletezése nélkül is 3 pont adható. Összesen: 6 pont írásbeli vizsga 0512 9 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 2. megoldás ∫ (x 3 2 ) − 6 x + 9 dx = −3 3 ∫ (x − 3) 2 dx = 1 pont −3 3 ⎡ ( x − 3)3 ⎤ = ⎢ ⎥ = ⎣⎢ 3 ⎦⎥ −3 = 0 – (–72) = 72. írásbeli vizsga 0512 3 pont 2 pont Összesen: 6 pont 10 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. a) 10 kg leszedett szilvából kimagozás után 9,5 kg szilva lesz. 1 pont A 9,5 kg kimagozott szilvában 90% víz, míg 10%, azaz 0,95 kg a szárazanyag-tartalom. 1 pont A 10 kg nyers szilvából készült aszalt szilvában ez Ha

kiderül, hogy a száraza 0,95 kg a feltétel szerint a tömeg 95%-a, hiszen 2 pont anyag-tartalom állandóságát csak 5%-a víz. felismerte, akkor jár a 2 pont. Tehát keressük, hogy hány kg-nak a 95%-a lesz 0,95 kg. Így adódik a 100%-ra 1 kg 1 pont Azaz 10 kg szilvából valóban mindössze 1 kg 1 pont aszalt szilva lesz. Összesen: 6 pont A pontok akkor is járnak, ha a számolásból világosan kiderül a gondolatmenet. b) Ha x kg volt a termése, akkor a feltétel szerint: x x ⋅ 120 + ⋅ 0,1 ⋅ 1400 = 286 000 . 2 2 x = 2200 kg volt a termése. 2 pont 1 pont Hibás egyenlet felírása elvi hibának minősül. Mértékegység nélkül ez a pont nem jár. Összesen: 3 pont c) 150° 5 = rész; (300 kg) 360° 12 90° 1 B: 90° = rész; (180 kg) 360° 4 18° 1 C: 18° = rész; (36 kg) 360° 20 102° 17 D: 102° = rész. (204 kg) 360° 60 Az átlagár a súlyozott közép: A: 150° 4 pont Az arányok megállapításáért vagy a mennyiségek kiszámításáért jár az

1-1 pont. 5 ⋅ 720 720 720 17 ⋅ 720 + 200 ⋅ + 230 ⋅ + 260 ⋅ 12 4 20 60 = 2 pont 720 1111 = ≈ 185,17. 6 Ha a megadott négy ár számtani közepét számolja, akkor nem kaphat pontot. Tehát az átlagár kb. 185 Ft Mértékegység nélkül ez a pont nem jár. 120 ⋅ 1 pont Összesen: 7 pont Minden helyesen (egészre, tizedre) kerekített érték elfogadható. írásbeli vizsga 0512 11 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 7. a) ⎛6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝ 3⎠ A háromelemű részhalmazok száma: 20. 2 pont 1 pont Összesen: 3 pont b) Egy szám 5-tel osztható, ha nullára vagy ötre végződik. 1 pont Nullára végződő hatjegyű számból 5! van. 1 pont Ötre végződő hatjegyű számból 4 ⋅ 4! van. 2 pont Összesen: 5! + 4 ⋅ 4! = = 120 + 96 = 216. Ha szisztematikusan felsorolja az összes háromelemű halmazt, akkor is teljes pontszám jár. Ha kihagy 1–3 esetet, akkor 1 pont, ha ennél többet,

akkor 0 pont jár. Ha ezt nem írja le, de a megoldásban felhasználja, akkor is jár ez a pont. Ha nem veszi figyelembe, hogy nullával nem kezdődhet a szám, akkor 0 pont jár. 1 pont 1 pont Összesen: 6 pont c) 1. megoldás Komplementer halmaz segítségével számolható ki. 1 pont 2 pont Az összes hatjegyű szám: 5 ⋅ 6 5 . Azok a hatjegyű számok, amelyekben nincs egyes: 2 pont 4 ⋅ 55 . Ha ezt nem írja le, de a megoldásban felhasználja, akkor is jár ez a pont. Ha nem veszi figyelembe, hogy nullával nem kezdődhet a szám, akkor 1 pont jár. Ha nem veszi figyelembe, hogy nullával nem kezdődhet a szám, akkor 1 pont jár. 1 pont Tehát: 5 ⋅ 6 5 – 4 ⋅ 5 5 = = 38 880 – 12 500 = 26 380 ilyen hatjegyű szám 1 pont van. Összesen: 7 pont írásbeli vizsga 0512 12 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 2. megoldás Az egyes lehetőségek felsorolása: a szám 6 db egyest, 5 db egyest, 1 db egyest

tartalmaz. Azoknak a számoknak a darabszáma, amelyekben 6 db egyes van: 1; 5 db egyes van: 29; 4 db egyes van: 350; 3 db egyes van: 2250; 2 db egyes van: 8125; 1 db egyes van: 15 625. Ezek összege adja meg az eredményt. 26 380 ilyen hatjegyű szám van. Összesen: írásbeli vizsga 0512 13 / 16 1 pont Ha ezt nem írja le, de a megoldásban felhasználja, akkor is jár ez a pont. Ha csak három lehetőséget számol ki jól, akkor 1 pontot kap, minden további eset jó kiszámolásáért újabb 1 pont jár. 4 pont 1 pont 1 pont 7 pont 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 8. a) A dohányosok relatív gyakorisága 255 az első cégnél (≈ 0,32) , 800 680 második cégnél: (= 0,34) . 2000 2 pont 2 pont Összesen: 4 pont b) Bármelyik 3 személy kiválasztása a 2000-es mintából egyformán lehetséges, ezért az összes ⎛ 2000 ⎞ ⎟⎟ (=1331334000). esetek száma: ⎜⎜ ⎝ 3 ⎠ 680 dohányosból kell kiválasztani egy

személyt, ami 680-féleképpen tehető meg. 1320 nem dohányzóból kell kettőt kiválasztani, ez ⎛1320 ⎞ ⎟⎟ -féleképpen tehető meg összesen ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ ( ami =870540-vel). ⎛1320 ⎞ ⎟⎟ . A kedvező esetek száma: 680 ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎛1320 ⎞ ⎟⎟ 680 ⋅ ⎜⎜ 2 ⎠. ⎝ A keresett valószínűség: ⎛ 2000 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 3 ⎠ Ennek közelítő értéke: 0,44. 1* pont 1* pont 1* pont 1* pont 2 pont A *-gal jelölt pontok akkor is járnak, ha a vizsgázó nem részletezi az indoklást. 1 pont Összesen: 7 pont c) 1 nem dohányos kiválasztásának a valószínűsége: 1 – 0,34 = 0,66. 10 nem dohányos kiválasztásának a valószínűsége: 0,6610 ≈ 2 pont 2 pont A binomiális eloszlás megfelelő tagjának felírása is 2 pont. ≈ 0,016 vagy 1,6%. 1 pont Összesen: 5 pont Ha a vizsgázó megad egy konkrét lakosságszámot (pl. 100 fő), és azzal helyesen dolgozik, megoldására legfeljebb 3 pontot kapjon. írásbeli

vizsga 0512 14 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. a) A padlássíkra és a tetősíkra egyaránt merőleges síkmetszetből lehet a keresett szöget meghatározni. A keresztmetszeti ábrán a keresett szöget α-val 5 jelölve, felírható, hogy tg α = , 3 o ahonnan α ≈ 59 . 2 pont Világos ábra esetén magyarázó szöveg nélkül is megadható a 2 pont. 1 pont 1 pont Mértékegység nélkül ez a pont nem jár. Összesen: 4 pont Ha nem a két sík hajlásszögét számítja ki, akkor nem kaphat pontot. b) 2 pont Keressük az ábrán s-sel jelölt szakasz hosszát. Hasonlóság alapján: 1,9 5 = . 3− s 3 2 pont Ebből s = 1,86. A hasznos alapterület: 4s2 ≈ 13,84 m2. 1 pont 1 pont Mértékegység nélkül ez a pont nem jár. Összesen: 6 pont írásbeli vizsga 0512 15 / 16 2007. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató c) Az ábra jelöléseit használjuk, ahol 0 ≤ x

≤ 1,9. Az ábra alapján T = 4y2-et (ami a hasznos alapterület) kell kifejeznünk x segítségével. A két kisebb háromszög megfelelő szögei egyenlők, tehát hasonlóak. 3,1 1,9 − x Így: = . y 3− y 9,3 Innen y = . 5− x Magyarázó szöveg nélkül, jó rajz esetén is jár a 1 pont. 1 pont 1 pont 2 ⎛ 18,6 ⎞ Tehát a keresett összefüggés: 4 y = ⎜ ⎟ . ⎝5− x⎠ Ha x ≥ 1,9, akkor 36 m2 a hasznos alapterület. Összefoglalva: ⎫ ⎧⎛ 18,6 ⎞ 2 ⎪⎜ ⎟ , ha 0 ≤ x < 1,9⎪ T ( x ) = ⎨⎝ 5 − x ⎠ ⎬ ⎪ ⎪ ha 1,9 ≤ x ≤ 5 ⎭ . ⎩36, 2 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont Megjegyzés: ha az első feltételnél x ≤ 1,9 szerepel és/vagy a második feltételnél 1,9 ≤ x, akkor is 1 pont jár. Összesen: 6 pont Megjegyzés: ha a vizsgázó helyes összefüggéseket alkalmaz, de ábrát nem készít, akkor az ábráknál feltüntetett pontszámok értelemszerűen járnak. írásbeli vizsga 0512 16 / 16 2007. május 8