Alapadatok
Év, oldalszám:2007, 4 oldal
Nyelv:magyar
Letöltések száma:72
Feltöltve:2007. április 22.
Méret:72 KB
Intézmény:
-
Megjegyzés:
Csatolmány:-
Letöltés PDF-ben:Kérlek jelentkezz be!
Értékelések
Nincs még értékelés. Legyél Te az első!Legnépszerűbb doksik ebben a kategóriában
Tartalmi kivonat
GÖRBÜLETI KÖZÉPPONTOK MEGHATÁROZÁSÁRA VONATKOZÓ SZERKESZTÉSEK ALGORITMIZÁLÁSA A MECHANIZMUSOK KINEMATIKÁJÁBAN BENDE Margit %XGDSHV 0&V]DN p *D]GDViJWXGRPiQ (JHWHP Gépészmérnöki Kar 0&V]DN 0HFKDQLND 7DQV]pN PR]J Síkbeli mechanizmusok kinematikájáED IHOPHU N|YHWNH] IHODGD NHUHVV alapsík ((2)-H MHO& VtN YDODPHO C2 görbéje álló alapsíkbeli ((1)-H MHO& VtN EXUNROyMiQDNC1nek a görbületi középpontját az M érintkezési pontban, 1-et, illetve speciális esetben a mozgó alapsík egy pontja pályájának a görbületi középpontját. A probléma megoldásához rendelkezésre áll az Euler-Savary féle szerkesztés és képlet, illetve, ha nem ismert a centroisok pólusbeli görbületi középpontja, akkor a Bobillier féle szerkesztés és képlet. Bonyolultabb szerkesztések elvégzése helyett jelleghelyes ábrákra támaszkodva, a számítógépes megoldási lehHWVpJH ]H HO DUWY
My DOJRULWPL]iOKDW V]iPtWiVVD szeretnénk meghatározni a görbületi középpontok helyét. Ezért az Euler-Savary és a Bobillier NpSOHWHNH ROD IRUPiED értelmezett LUiQ WR tUM HQJHOH IHO PHQWp KRJ PpU D]RNED HOMHOH J|UEOH WiYROViJ VXJDUD HOH PHJIHOHOH V]HUHSHOMHQHN Az Euler-Savary képlet Az Euler-Savary féle szerkesztés használható, ha ismert a centroisok görbületi középpontja, G1 és G2, és ezzel a P21 SyOXVED "! QWURLV #$ ]| pULQWMH t, és közös normálisa, n. A szerkesztéshez fel kell használni a háromszög-tételt és a Kennedy tételt, és a keresett 1 görbületi középpont két egyenes metszéspontjaként adódik: (1. ábra) γ 1 = HG1 MP21 ahol H = G2γ 2 ( P21 − ben P21 M − re állított PHUOHJHV) 2 a C2 görbe M-beli görbületi középpontja. % NpSOHWHNEH IHOOYRQi MHO| SRQW iWPHQ HJHQHVW pedig két egyenes metszéspontját. Speciális esetben, ha a
mozgó alapsík egy pontja pályájának a görbületi középpontját keressük, akkor a C2 egyetlen pontra zsugorodik, és 2 egybeesik magával a ponttal. Ekkor az álló alapsíkon burkoló helyett pályagörbe szerepel. 1 Y y H G2 C2 R2 C1 2 X M mozgó pólusgörbe P21 álló pólusgörbe 1 x 3 R1 G1 1. ábra: Euler-Savary szerkesztés Az Euler-Savary képlet 1 1 1 − = ρ 2 ρ1 sin ϕ 1 1 ⋅ − R2 R1 alkalmazásához a P21 pólusban mint középpontban két ortogonális jobbsodrású koordinátarendszert rögzítünk, {P21 ; x,y ; i,j} és {P21 ; X,Y ; I,J}. x &"( QWURLV) * + ]| , pULQWMH - y a közös normálisuk, az X és Y tengelyek pedig a C1 és a C2 NRQMXJi .0/ J|UEHSi1 N|]| , QRUPiOLV & LOOHWY (32 ULQWje, az 1. ábra szerint, i,j és I,J pedig a PHJIHOHO WHQJHOH* HJVpJYHNWRUDL 4 x,y megegyezik t,n-nel. Az x tengely irányítása WHWV]OHJHVH5 U|J]tWKHWG (6( KKH 7 Az Euler-6DYDU: NpSOHWEH5
NpSHV/8& V]HUHSO EHW&* W|EE 9 MHO Pi1 entése: P21G1 = R1 ⋅ j P21G2 = R2 ⋅ j P21γ 1 = ρ1 ⋅ I P21γ 2 = ρ 2 ⋅ I 2 HJpUWHOP&H5 PHJKDWiUR]RWW P21 H = µ ⋅ J 3 az X tengely helyzete az x tengelyhez képest, a matematikai pozitív pUWHOHPQH; PHJIHOHOHQ A Bobillier képlet A Bobillier szerkesztéshez nem kell ismerni a centroisok görbületi középpontját, illetve t-t, a FHQWURLV NpW CEAF"G QWURLVRNWy H NO|QE|] NRQMXJi HI@ < = ; ; > ]| ? pULQWMpB @ A P21 SyOXVEDQ C KDQHD görbepárt, C1 és C2-t és C1 és C2-t az M illetve M érintkezési pontbeli görbületi középpontjaikkal, 1 és 2 illetve 1 és 2 -vel. Ezek segítségével megtalálható t, majd alkalmazható az Euler-Savary szerkesztés. A szerkesztés során fel kell használni a Bobillier egyenest, annak azon tulajdonságát, hogy a Bobillier egyenes és t szimmetrikusan helyezkedik el X és X V]|JIHOH]MpU G P21-en át. A Bobillier szerkesztés lépései: (2.
ábra) 1) B (X , X ) = (γ 1 γ 1 γ 2 γ 2 ) P21 2) a B (X , X ) Bobillier egyeneshez t 3) t-hez B (X , X ) vagy B (X , X ) 4) γ 1 = (γ 2γ 2 B (X , X ))γ 1 X X X 2 C2 1 2 C1 1 M = X = P21 1 C1 = B(X,X) B(X,X) Bobillier egyenesek t 2. ábra: Bobillier szerkesztés 3 2 M C2 Megjegyzések: 1) Ha valamely pont pályájának a görbületi középpontját keressük, és konjugált görbepárok helyett két másik pont, M és M pályájának a görbületi középpontjai ismertek, akkor az Euler-Savary szerkesztésnél leírtakkal analóg módon a mozgó alapsík görbéi helyett pontok szerepelnek, a 2 és 2 görbületi középpontok ráhúzódnak az M és M pontokra, és burkoló szerepét a pályagörbe veszi át. 2) A Bobillier szerkesztés negyedik lépése az Euler-Savary szerkesztés. J %RELOOLHK NpSOHL8M N|YHWNH] ρ ⋅ sin (X , X ) + ρ ⋅ sin(X , X ) + ρ ⋅ sin (X , X ) = 0 ahol 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 }
{P21γ 1} 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 } {P21γ 1 } 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 } {P21γ 1 } J IHQLN NpSOHWHNEHOPM LUiQ WRWWViJ M V]HULQLVN HOMHOHVHQ pUWHQGN [M DUJXPHQWXPiEDO NDSFVR Q HOMHOH Q ]iUyMH RM EHO O S T WiYROViJiLXW HOHQWL Y PDWHPDWLND N SR]LWt] V]HUHSO VRUUHQGEHO V]HUHSO $Z IRUJiVLUiQU SRQWRNQDTPM PHJIHOHO WHQJHOU X, X és X tengelyek közötti szögek V]HULQW [^M WHQJHOHNHL M VLQXVIJJYpQU WHNLQWYH A Bobillier képlet levezetése megtalálható a hivatkozásban. Irodalom: FAYET, M.: Une nouvelle formule relative aux courbures dans un mouvement plan, Mech. Mach Theory, 23, No 2, pp 135-139, 1988 Bobillier formula as a fundamental law in planar motion, ZAMM 82 (2002) 3, pp 207210 4
My DOJRULWPL]iOKDW V]iPtWiVVD szeretnénk meghatározni a görbületi középpontok helyét. Ezért az Euler-Savary és a Bobillier NpSOHWHNH ROD IRUPiED értelmezett LUiQ WR tUM HQJHOH IHO PHQWp KRJ PpU D]RNED HOMHOH J|UEOH WiYROViJ VXJDUD HOH PHJIHOHOH V]HUHSHOMHQHN Az Euler-Savary képlet Az Euler-Savary féle szerkesztés használható, ha ismert a centroisok görbületi középpontja, G1 és G2, és ezzel a P21 SyOXVED "! QWURLV #$ ]| pULQWMH t, és közös normálisa, n. A szerkesztéshez fel kell használni a háromszög-tételt és a Kennedy tételt, és a keresett 1 görbületi középpont két egyenes metszéspontjaként adódik: (1. ábra) γ 1 = HG1 MP21 ahol H = G2γ 2 ( P21 − ben P21 M − re állított PHUOHJHV) 2 a C2 görbe M-beli görbületi középpontja. % NpSOHWHNEH IHOOYRQi MHO| SRQW iWPHQ HJHQHVW pedig két egyenes metszéspontját. Speciális esetben, ha a
mozgó alapsík egy pontja pályájának a görbületi középpontját keressük, akkor a C2 egyetlen pontra zsugorodik, és 2 egybeesik magával a ponttal. Ekkor az álló alapsíkon burkoló helyett pályagörbe szerepel. 1 Y y H G2 C2 R2 C1 2 X M mozgó pólusgörbe P21 álló pólusgörbe 1 x 3 R1 G1 1. ábra: Euler-Savary szerkesztés Az Euler-Savary képlet 1 1 1 − = ρ 2 ρ1 sin ϕ 1 1 ⋅ − R2 R1 alkalmazásához a P21 pólusban mint középpontban két ortogonális jobbsodrású koordinátarendszert rögzítünk, {P21 ; x,y ; i,j} és {P21 ; X,Y ; I,J}. x &"( QWURLV) * + ]| , pULQWMH - y a közös normálisuk, az X és Y tengelyek pedig a C1 és a C2 NRQMXJi .0/ J|UEHSi1 N|]| , QRUPiOLV & LOOHWY (32 ULQWje, az 1. ábra szerint, i,j és I,J pedig a PHJIHOHO WHQJHOH* HJVpJYHNWRUDL 4 x,y megegyezik t,n-nel. Az x tengely irányítása WHWV]OHJHVH5 U|J]tWKHWG (6( KKH 7 Az Euler-6DYDU: NpSOHWEH5
NpSHV/8& V]HUHSO EHW&* W|EE 9 MHO Pi1 entése: P21G1 = R1 ⋅ j P21G2 = R2 ⋅ j P21γ 1 = ρ1 ⋅ I P21γ 2 = ρ 2 ⋅ I 2 HJpUWHOP&H5 PHJKDWiUR]RWW P21 H = µ ⋅ J 3 az X tengely helyzete az x tengelyhez képest, a matematikai pozitív pUWHOHPQH; PHJIHOHOHQ A Bobillier képlet A Bobillier szerkesztéshez nem kell ismerni a centroisok görbületi középpontját, illetve t-t, a FHQWURLV NpW CEAF"G QWURLVRNWy H NO|QE|] NRQMXJi HI@ < = ; ; > ]| ? pULQWMpB @ A P21 SyOXVEDQ C KDQHD görbepárt, C1 és C2-t és C1 és C2-t az M illetve M érintkezési pontbeli görbületi középpontjaikkal, 1 és 2 illetve 1 és 2 -vel. Ezek segítségével megtalálható t, majd alkalmazható az Euler-Savary szerkesztés. A szerkesztés során fel kell használni a Bobillier egyenest, annak azon tulajdonságát, hogy a Bobillier egyenes és t szimmetrikusan helyezkedik el X és X V]|JIHOH]MpU G P21-en át. A Bobillier szerkesztés lépései: (2.
ábra) 1) B (X , X ) = (γ 1 γ 1 γ 2 γ 2 ) P21 2) a B (X , X ) Bobillier egyeneshez t 3) t-hez B (X , X ) vagy B (X , X ) 4) γ 1 = (γ 2γ 2 B (X , X ))γ 1 X X X 2 C2 1 2 C1 1 M = X = P21 1 C1 = B(X,X) B(X,X) Bobillier egyenesek t 2. ábra: Bobillier szerkesztés 3 2 M C2 Megjegyzések: 1) Ha valamely pont pályájának a görbületi középpontját keressük, és konjugált görbepárok helyett két másik pont, M és M pályájának a görbületi középpontjai ismertek, akkor az Euler-Savary szerkesztésnél leírtakkal analóg módon a mozgó alapsík görbéi helyett pontok szerepelnek, a 2 és 2 görbületi középpontok ráhúzódnak az M és M pontokra, és burkoló szerepét a pályagörbe veszi át. 2) A Bobillier szerkesztés negyedik lépése az Euler-Savary szerkesztés. J %RELOOLHK NpSOHL8M N|YHWNH] ρ ⋅ sin (X , X ) + ρ ⋅ sin(X , X ) + ρ ⋅ sin (X , X ) = 0 ahol 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 }
{P21γ 1} 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 } {P21γ 1 } 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 } {P21γ 1 } J IHQLN NpSOHWHNEHOPM LUiQ WRWWViJ M V]HULQLVN HOMHOHVHQ pUWHQGN [M DUJXPHQWXPiEDO NDSFVR Q HOMHOH Q ]iUyMH RM EHO O S T WiYROViJiLXW HOHQWL Y PDWHPDWLND N SR]LWt] V]HUHSO VRUUHQGEHO V]HUHSO $Z IRUJiVLUiQU SRQWRNQDTPM PHJIHOHO WHQJHOU X, X és X tengelyek közötti szögek V]HULQW [^M WHQJHOHNHL M VLQXVIJJYpQU WHNLQWYH A Bobillier képlet levezetése megtalálható a hivatkozásban. Irodalom: FAYET, M.: Une nouvelle formule relative aux courbures dans un mouvement plan, Mech. Mach Theory, 23, No 2, pp 135-139, 1988 Bobillier formula as a fundamental law in planar motion, ZAMM 82 (2002) 3, pp 207210 4
