Matematika | Felsőoktatás » Záróvizsga aktuárius tételek

Záróvizsga aktuárius tételek Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 1/a tétel Kockázaton történ® osztozkodás. Pareto-optimális biztosítási szerz®dések (információs aszimmetria nélkül) Kockázatok cseréje: Kár: L1 , L2 kártérítés: I1 , I2 L1 +L2 = I1 + I2 Ha nincs ktg: Állapot csere el®tt: Borch Ui (0) = E(U (wi − Li )) Állapot csere után: Ui (1) = E(U (wi − Ii )) Kockázatkerül® döntéshozók esetén I1 , I2 kockázatmegosztási rendszer a.csa Pareto-optimális, ha ∃ k konstans, hogy U10 (w1 − I1 ) = k · U20 (w2 − I2 ) Következmények: • a kockázatokat egy poolba tömörítik • exponenciális haszn fv esetén a kockázatelutasítás konstans és a döntéshozók az összkár αi hányadát kapják • ha van kockázatsemleges fél, ® viseli a teljes kockázatot, cserébe biztos összeg¶ kizetések cserélnek gazdát. • kvadratikus hasznosságfv esetén arányos kockázatmegosztási rsz jön létre, de az

arányossági tényez® függ k-tól. • a levonásos önrész NEM optimális itt • Borch tétele nem felel meg a valóságnak. A biztosítónak vannak költségei is c(0) = α, c0 ≥ 0c00 ≥ 0 a döntéshozó várható hasznossága:E(u1 (w1 − L1 − Π + I)) A biztosító várható hasznossága:E(u2 (w2 + Π − I − c(I)) T.: kockázatkerül® döntéshozó esetén és x biztosítási ár esetén egy I bizt szerz acsa Paretooptimális, ha U10 (w1 − L1 − Π + I) = k · U20 (w2 + Π − I − c(I))(1 + c0 (I)) T.: Egy biztosítási szerz®dés Pareto-opt (rögz ár mellett) • (1) I ∗ = 0 ha L < L és I ∗ = L ha L < L • (2) I ∗ = L ha L ≤ L > 0 és 0 < I ∗ < L ha L > L (2) dominálható (1)-el. (1)” > ”(2) • Arrow tétel (nem kell nségi axióma.) Kockázatkerül® döntéshozó esetén ha a biztosító ktge c(I) = (1 + c0 ) · E(I) és ≤ I ≤ L, akkor a levonásos önrész a Pareto-optimális. Több kockázat esetén I ∗

(L1 , L2 ) = I ∗ (L1 + L2 ) Pareto opt esetén a kártérítés csak az összkártól függ. • Arányos biztosítási modell esetén α hányadot adunk át. • Mossin: Kockázatkerül® döntéshozó nettó díj esetén teljes biztosítást vásárol, pozitív loading esetén pedig részleges biztosítást választ. 1 Záróvizsga aktuárius tételek Kárszám elo. Binomiális Negatív binomiális Geometriai=Neg.bin r=1 Poisson Káreloszlás Exponenciális Lognormális Weibull-Gnedenko Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 1. táblázat Nevezetes kárszám eloszlások sfv E
n k p (1 − p)n−k = P (η = k) k Γ(r+k) r q (1 − q)k = P (η = r + k) Γ(r)·k! Γ(1+k) q(1 − q)k = (1 − p)pk Γ(1)·k! λk −λ e k! n·p D2 n·p·q rq 1−q q 1−q rq 2 1−q q 2 1−q λ λ E(z k ) (1 − p + pz)n 1−q r ) ( 1−qz 1−q 1 ) ( 1−qz eλ(z−1) 2. táblázat Nevezetes káreloszlások sfv. E(X k ) ⇒ D2 = E(X 2 ) − E(X)2 λ · e−λX

2 1 f (X) = √2ΠσX · exp{− 12 (log(x)−µ) } σ2 α F = exp(−λ(X) ) F = 1 − exp(−λ(X)α ) f = α(λX)α · exp(−(λX)α ) Gamma Pareto 1− k! λk λα X α−1 e−λX Γ(α) β 1 − ( β+X )α a c a+1 X>c ( ) χ(x ( Xc )a c x ha 2 2 exp(kµ + k 2σ ) λ−k/α Γ( αk + 1) amerikai típusú és > c) α(α+1).(α+k−1) λk a k c a>k a−k ha 1/b tétel Nevezetes kárszám- és káreloszlások. Def: η val vált keverék Poisson eloszlású, ha létezik olyan τ kever®, hogy µ|τ feltételes eloszlás τ -Poisson eloszlású. A Neg binom. elo egyben keverék Poi és összetett Poi eloszlású is Ha τ kever® korlátlanul osztható ⇒ η összetett elo.ú Összetett elo.: η = M1 + M2 + MN Mi faeo vv, N n Mi -t®l, Poi vv Kárszámeloszlás azonosítása (a,b,0) eloszlás: P (η = k) = (a + nb ) · P (η = (k − 1)) n ∈ N0+ k = 0, 1, 2, . Ha k = 1, 2, , akkor (a,b) eloszlás Ha P (η = 0) = 0, akkor (a,b,1) elo. = a + b + an Legyen

φn = (n + 1) PPn+1 n • Ha φn állandó E(X) = D(X) Poisson a = 0b = λ • Ha φn lin. növ® E(X) < D(X) Neg binom a = qb = (r − 1)q • Ha φn lin. csökken® E(X) > D(X) Binom a = Önrész esete: P (ξ > x + c|ξ > c) = −p b 1−p Fx (x+c)−Fx (c) 1−Fx (c) • Exponenciális : paraméter marad • Lognorm. elo: elo típusa változik • Pareto: (α, β + c) paraméter¶ Pareto lesz. Ináció esete: • x ∼ λ − exp dx ∼ λ d − exp • x ∼ lognorm(µ, σ 2 ) dx ∼ lognorm(µ + ln(d), σ 2 ) • x ∼ P areto(α, β) dx ∼ P areto(α, dβ) 2 p = (m + 1) 1−p Záróvizsga aktuárius tételek Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 1/c tétel Deniálja a szavatoló t®ke/biztonsági t®ke fogalomkört! A ma(Ez egy 2015-ben írt tétel, nem biztos, hogy most is érvényes!) hatályos Szolvencia I rendszerében a biztonsági t®ke az alábbi kett® közül a nagyobbik: • minimális szavatoló t®ke szükséglet

harmada • minimális biztonsági t®ke A minimális biztonsági t®ke részvénytársaság esetén az életbiztosítási ágnál 3500 eEUR, a nem-életbiztosítási ágnál (attól függ, hogy milyen biztosítási formákat m¶vel) lehet 2300 eEUR, 3200 eEUR vagy 3500 eEUR. Egyesület esetén a részvénytársaságra vonatkozó értékek 75%-a De ennél kevesebb is lehet, ha van pótlólagos díjzetés, vagy szolgáltatáscsökkentési lehet®ség. Kis egyesületeknél tevékenységt®l függ®en lehet akár 3,125 millió Ft is. Ennél kevesebb azonban sosem. Induláskor van nagyon fontos szerepe a minimális biztonsági t®kének, ugyanis az induláskor jegyzett t®ke: • Részvénytársaságnál: legalább 100 millió Ft (adminisztratív szolgáltatásra és szervezet kialakításra) + minimális biztonsági t®ke (mivel az els® években nincs elég tartalék) • Biztosító szövetkezetnél: legalább 50 millió Ft organizációs t®ke + minimális biztonsági t®ke •

Kölcsönös biztosító egyesületeknél: legalább 1 millió Ft + minimális biztonsági t®ke (legalsó határ = 4.125000 Ft) A Szolvencia I-nek megfelel® mérleg: Források: • Saját t®ke: van egy nem hasznosítható része (az immateriális javaknak megfelel® rész), és egy elérhet® része (a szükséges rész és egy többlet rész). • Kötelezettségek: vannak a biztosítástechnikai tartalékok (ez a nagyobb rész) és a nem biztosítástechnikai tartalékok. A szavatoló t®kéhez akkor kell hozzányújni, ha a tartalékok nem lennének elegend®ek. Szavatoló t®ke = jegyzett és bezetett t®ke + t®ketartalék + mérleg szerinti eredmény + eredménytartalék + alárendelt kölcsönt®ke - immateriális javak. 3 Záróvizsga aktuárius tételek Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 2/a tétel Az egészség/betegségbiztosítás díjszámítási kérdései. A betegségbiztosítás a biztosított betegsége esetén térít. Célja a

betegség illetve gyógyítás kedvez®tlen anyagi következményeinek kiküszöbölése. A fedezetet alapvet®en a TB nyújtja, a magánbiztosítások kiegészít® szerepet töltenek be. A biztosítási esemény a biztosított orvosi kezelése betegség vagy baleset esetén Szülés és várandóság is lehet biztosítási esemény. A biztosítási esemény bekövetkezte nem biztos. Nem biztos az sem, hogy mennyit kell majd téríteni, hogy hány biztosítási esemény fog bekövetkezni és egyáltalán bekövetkezik-e akár egy biztosítási esemény is. A betegségbiztosítási kockázat kezelése érdekében a biztosítási védelmet feltételhez köthetik: várakozási id®, a biztosító által nanszírozott terjedelem, önrész, kizárások, korlátozások. Kockázati díj = egy meghatározott id®tartam alatt szolgáltatásként kizetett összeg várható értéke. Nagysága függhet a biztosított életkorától, a biztosított nemét®l, a biztosított foglalkozásától,

a biztosított a szerz®dés megkötése kori egészségi állapotától, múltbeli betegségeit®l. Az egy f®re jutó kárösszeg (K) az alábbi módon becsülhet®: Kx = Sx Lx ahol Sx a meggyelési id®szak alatti összes szolgáltatás, Lx pedig a meggyelési id®szak alatt a biztosítottak átlagos száma. A nem és az életkor fontos szerepet játszik, képezhetünk 5 éves korcsoportokat. Ha több szolgáltatási típus van, az egy f®re jutó kárösszeg a következ®képpen számítható: Kx = t X Kxτ τ =1 Ha a különböz® biztosítási eseményekhez különböz® biztosítási összegek vannak megadva, a kárösszeg meghatározása a következ®képpen módosul: Kx = τ X SAj qxj j=1 Standardizált egy f®re jutó kárösszeg: kx = KKxx , ahol x0 a bázisnak választott életkor. Ez 0 egyszer¶síti a számításokat, független a kizetett költségek szintjét®l és kevésbé változik az évek során (az egy f®re jutó kárösszeg általában évr®l

évre n®). Egy f®re jutó bázis kárösszeg: G = Kx0 . Standardizált egy f®re jutó kárösszeg a biztosítottak számának felhasználásával: G = P SLx kx és Kx = kx G. x Adatokat szerezhetünk saját portfólióból, az anyavállalattól, viszontbiztosítótól, az egészségügyi szolgáltatótól, az internetr®l. Használhatunk KSH és OEP adatokat is Nettó díj: A betegségbiztosítások nettó díja hasonló, mint az életbiztosításoké. A kockázati díjak atalabb életkorokban alacsonyabbak, a kor emelkedésével viszont drasztikusan is emelkedhetnek. Nem törölhet® a szerz®dés, amíg az ügyfél zeti a díjat, kivéve ha közlési kötelezettséget sértett. Nem törölhet®ek a szerz®dések amiatt, hogy a biztosítottak id®södnek és egyre több szolgáltatásra van szükségük vagy mert a szerz®dés megkötése után megromlott az egészségük. A díj nem változik a tartam során addig, amíg nincs változás a szolgáltatásban vagy a

valószín¶ségekben. Teljesül az ekvivalencia elve: a jöv®beni kiadások jelenértékének várható értéke meg kell, hogy egyezzen a jöv®beni bezetések jelenértékének várható értékével. Figyelembe vesszük az állományból való kilépési lehet®séget is. Legyen lx az x évesen az állományban lév®k száma, qx az x évesen meghaltak száma és wx az x évesen töröltek aránya. lx+1 = lx (1 − qx − wx ) 4 Záróvizsga aktuárius tételek Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. A biztosítás tartama alatt a nettó díj nem változhat az életkor növekedése vagy az egészségi állapotban bekövetkezett romlás miatt. Hosszú távú szerz®dés, ezért fontos a diszkontálás, ehhez a technikai kamatlábat használjuk: v = 1/1 + i. A jöv®beni szolgáltatások szolgáltatások jelenértéke (Ax ) a jöv®ben szükséges kárkizetések diszkontált értéke: lx Ax = ω−x X lx+j Kx+j v j j=0 amib®l Ax = G lx ω−x P

lx+j v j kx+j . j=0 Jöv®beli élethosszig járó 1 Ft járadék jelenértéke: lx äx = ω−x P lx+j v j , amib®l äx = j=0 1 lx ω−x P lx+j v j . j=0 Az ekvivalencia egyenlet: jöv®beli várható bevételek (äx Px ) = jöv®beli várható szolgáltatások (Ax ). Bruttó díj: költségekkel növelt nettó díj. Költségtípusok: szerzési költség, adminisztrációs költség, kárrendezési költség, biztonsági pótlék. Legyen α a díjarányos szerzési költség, β a folyamatosan felmerül® díjarányos költségek és γ a x költségek. Az éves bruttó díj: äx Bx = Ax + αBx + βBx äx + γäx , amib®l Bx kifejezhet®. Az éves bruttó díj képlete: Bx = Px + α Bx + βBx + γ äx Öregedési tartalék: A várható kárkizetések az életkorral növekszenek, viszont a díjak változatlanok, így a biztosítás elején az ügyfél több díjat zet, mint amennyi a kárszükséglet, viszont a biztosítás végén kevesebbet, ezért

tartalékra van szükség, ez az öregedési tartalék. Prospektív módon számoljuk: a várható szolgáltatások értékéb®l levonjuk a még várható bezetések értékét. Képlete: Vxm = Ax+m − Px äx+m . Fontos megvizsgálni, hogy a károk tényleges alakulása mennyire van összhangban a kalkulált káralakulással. Ha a tényleges kárkizetések jelent®sen eltérnek a kalkuláció során használt összegekt®l, akkor szükség van díjkiigazításra. A díjkiigazítás okai: Szolgáltatási összeg változása (pl. az orvosi kezelés költségeinek változása), törlési arányok változása (pl megnövekedett várható élettartam miatt), kárgyakoriság változása, technikai kamatláb változása, vagy a törvényi háttér változása. Így változik a várható károk jelenértéke: Ax/x+m = A0x+m − Ax+m − (Px ä0 x+m − P äx+m ) A . Tehát a díjkiigazítás utáni nettó díj: A kárváltozást fedez® nettó pótdíj: Px/x+m = äx/x+m 0 x+m 0 Px/x+m

= Px + Px/x+m . A díjkiigazítás két módszere: pótdíj módszer, és levonásos módszer. 5 Záróvizsga aktuárius tételek Készítette: Anna the actuary, korábbi munkák alapján. 4/b tétel Statisztikai következtetés cenzorált mintából, Kaplan-Meyer becslés, Greenwood-formula. Cenzorálás: csimpánzos példa • I. típusú cenzorálás: c1 = c2 = c3 = = cn = c Pl: 16 órakor eleredt az es®, ezért • ∗ = . Tn∗ Megvárjuk, amíg d db II. típusú cenzorálás: T1∗ ≤ T2∗ ≤ Td∗ = Td+1 abba kellett hagyni a meggyelést. csimpánz felmegy a fára. c1 = c2 = = cn = Td∗ Kaplan-Meyer: Potenciális cenzorálási id®ket nem ismerjük, csak azt tudjuk, hogy determinisztikusak vagy ha véletlenek, függetlenek az élettartamoktól. Cél: F-re ML becslés P (Xi = x, δi = 1) = F (x) − F (x + 0) = ∆F (x), ha x ≤ ci , és 0 máskor, P (Xi = x, δi = 0) = F (x + 0), ha x = ci és 0 máskor A likelihood függvény tehát: Y Y ∆F

(Xi ) i: δi =1 F (Xi + 0) i: δi =0 A szomszédos meghibásodások közt F konstans. Legyenek a1 < a2 < · · · < al a meghibásodások id®pontjai, jelölje dj , hogy aj hányszoros meghibásodás, és mj az aj id®pontban még meggyelés alatt lév® egyedek számát, azaz mindazokat, akik korábban nem hibásodtak meg és nem is cenzoráltuk ®ket. ∆F (a ) rj = F (a j) = P (T = aj |T ≥ aj ) diszkrét meghibásodási tényez® j Kaplan-Meyer becslés: F n (t) =  Y  dj (1 − r̂j ) = 1− 0 ≤ t ≤ maxt m j <t j: a <t Y j: aj Ez konzisztens. Ha nincs cenzorálás: F n (t) = j 1 n n P I(xi ≥ t) tapasztalati t¶lélés fv. A Kaplan- i=1 Meyer becslés szórásnégyzetére becslés=Greenwood formula (r1 , r2 , . , rl ) ∼ Nl (0, I −1 )I = − ddrL (r̂) f (ξn ) = f (c)+(ξn −c)·f 0 (c) D2 (f (ξn )) = 0+D2 (ξn )·f 02 (c) = D2 (ξn )·f 2 (ξ) Greenwood 2 formula: D2 (F n (t)) ≈ (F n (t))2 j: aj Ez a farkánál instabil. 6 dj mj

(mj − dj ) <t X