Matematika | Valószínűségszámítás » Valószínűségszámítás és Statisztika

Valószínűség számítás, statisztika Ismertesse az alkalmazott statisztika és a valószínűség-számítás alkalmazási lehetőségeit a minőségbiztosításban! Értelmezze az esemény, a gyakoriság, a valószínűség, a teljes eseményrendszer fogalmát! Mutassa be a diszkrét és folytonos eloszlások alkalmazását a minőségszabályozásban, ellenőrzésben! Soroljon fel néhány normalitásvizsgálati módszert A statisztika és a valószínűség számítás alkalmazási területei pl.: - piackutatás (marketing) - vevői igények, követelmények felmérése - a gyártás és telepítés (kísérleti és végleges) közben végzett ellenőrzés, szabályozás - végellenőrzés A termékek általában sorozatgyártással készülnek, azonos anyagból, azonos technológiával, azonos körülmények között, így a termékek halmaza várhatóan homogén. A gyakorlatban a termékek valamilyen módon kiválasztott részét ellenőrzik. Ennek a résznek a neve a minta.

Véletlen esemény: Olyan történés, melynek bekövetkezését elvileg csak a véletlen befolyásolja. A véletlen események a minőségellenőrzésben kiemelt fontosságúak, mert a késztermékek között mindig vannak olyanok, amelyek valamely paramétere nem felel meg a minőségi előírásoknak. Egy adott véletlen esemény bekövetkezésének száma a gyakoriság. Ha a g yakoriságot az összes esemény számához viszonyítjuk, azaz a hányadosukat képezzük, a relatív gyakoriságot (r i ) kapjuk. A relatív gyakoriságot mindig egy meghatározott érték körül ingadozik, és annál jobban megközelíti, minél több eseményt vizsgálunk. Ennek az értéknek a neve a valószínűség (p i ). Tehát a relatív gyakoriság egy tapasztalati érték (méréssorozat eredménye) a valószínűség viszont egy elméleti érték. Ha az események száma a ∞-hez tart, akkor a r elatív gyakoriság hatásértéke a lim valószínűség: ri = pi . Ez teszi lehetővé, hogy a

termékekből vett minta vizsgálata n∞ alapján számítható relatív gyakoriságból következtethessünk a tétel valószínűségi viszonyaira. Teljes eseményrendszer: Lehetetlen esemény valószínűsége = 0 Biztos esemény valószínűsége = 1 Egymást kizáró események (egyszerre soha nem következnek be) valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével. Az egymást kizáró események teljes szorzatát teljeses eseményrendszernek nevezzük. Az eseményrendszer egyes valószínűségeinek értékei adják meg a valószínűség eloszlást. A valószínűségi eloszlás szabályos, ha a mért értékeket diagramba ábrázolva az átlagra szimmetrikus ábrát kapunk. Statisztikai alapfogalmak: n Ha ugyanazon méréssorozatot több mintán végzünk el, kiszámíthatjuk ezek átlagát: x = ∑x i =1 n i Ezek a mintaátlagok egy meghatározott szám körül ingadoznak, ez a minta várható értéke. A szórás megmutatja, hogy az

egyes adatok (mérési eredmények) az átlagtól mennyire térnek el: azaz az egyes eredmények átlagtól való eltéréseinek átlaga. n Szórás= ∑(x − x ) 2 i i =1 n ha n helyett n-1-el osztunk, akkor az a valódi szórást jobban közelíti: n s= ∑(x − x ) i =1 2 i => korrigált tapasztalati szórás n −1 A gyök alatt szereplő mennyiséget szórásnégyzetnek, vagy variációnak nevezik. Mivel a szóródás jellemzésére csak az eltérések nagysága a jellemző, ezért abszolút értékekre van szükség. a = x2 Középértékek: - Medián: A vizsgált adatokat sorba állítjuk nagyság szerint. Ha páratlan számú mérésünk van, a medián a középső adat. Ha páros számú mérésünk van, akkor a medián egyenlő a két középső adat átlagával. Szabályos eloszlásnál a medián azonos az átlaggal o Páros: pl.: 1, 2, 3, | 3, 4, 5 => (3+3)/2=3 o Páratlan: pl.: 1, 2, 3, 4, 5 => 5 - Módusz A valószínűségi változó legnagyobb

értéke, a leggyakrabban előforduló adat, tehát a sokaság a leggyakoribb, tipikus értéke. Pl.: 1, 2, 3, 3, 4, 5 => 3 A terjedelem: A legkisebb és a legnagyobb mérési eredmény különbsége. Értékéből a szórás egyszerűen becsülhető. A szórás a normális eloszlás esetén egy táblázatból kiolvasható értékkel és az értékek számának szorzatával egyenlő. Az adatok eloszlását leggyakrabban oszlopdiagrammal ábrázolják => hisztogramm (derékszügű koordináta rendszer => x teng: mért adat értéke, y teng: relatív gyakoriság) A hisztogramm egy lépcsős függvény, melynek burkológörbéje folytonos függvény, ha az osztásköz mértékét 0-hoz közelítjük. Tapasztalati eloszlásfüggvény: A függvény értéke valamely x helyen a minta x-ig terjedő értékeinek száma osztva az összes érték számával. Van burkológörbéje. Eloszlásfüggvénynek nevezzük, ha az osztásközök száma tart a végtelenhez. Eloszlások: A

minőség-ellenőrzés területén a minőségi paraméterek gyakoriságelemzésének nagy jelentősége van. A gyakoriság eloszlásokat az x valószínűségi változó értelmezési tartománya szerint két csoportba sorolhatjuk. - Ha x csak meghatározott értékeket vehet fel = > diszkrét eloszlásról beszélünk, pl. binominális eloszlás - Ha x tetszőleges értéket felvehet => folytonos eloszlásról beszélünk, pl. normális vagy más néven Gauss eloszlás A matematikai statisztika alkalmazása a minőségellenőrzésben: Lényege: A minta tapasztalati adataiból következtetni a sokaság valószínüségeire sűrűség és eloszlásfüggvényére. Becsléselmélet: A mintát vizsgáljuk és annak selejt arányából következtetünk a tétel selejt valószínűségi viszonyaira. Binomiális eloszlás: Minőségellenőrzéskor a cél a tétel minősítése. Legyen a tétel darabszáma M és a hibás N darabszámok N. Ekkor a selejtarány: p = M A mintavétel

során kivett elemek nem befolyásolják a valószínüséget. Egy mintavétel p selejtarányú tételéből n mintaelem kiválasztásával megvizsgáljuk hány selejtes darab van ez jelenti a valószínűségi változót. Általánosan: Ha az n elemű mintában k darab selejt van, akkor a valószínűség: Várható értéke: n ⋅ p Szórása: s = n ⋅ p (1 − p ) = n ⋅ p ⋅ q Tegyük fel, hogy: egy tétel selejtaránya p, Kiválasztunk egy n elemű mintát. => Annak a valószínűsége, hogy selejtest választunk, p lesz. Annak a valószínűsége, hogy hibátlant választunk, 1-p=q Az n elemű mintában legyen a selejtesek száma x. Tehát x értéke: 0;1;2;;n lehet n=1 esetén x=1 vagy 0 A valószínűségi változó eloszlása: P(x=1)=1-p=q P(x=1)=p n=2 esetén x=0 jó, jó P(x=0)=(1-p)2=q2 x=1 jó, selejt P(x=1)=p⋅q+q⋅p selejt, jó x=2 selejt, selejt P(x=2)=p2 [mivel p+q=1(p + q)n=1] n Ez tehát annak a valószínűsége, hogy egy n elemű P( x = k ) = ( ) p k ⋅ q

n−k k mintában k selejt van. A binomiális eloszlás várható értéke: np szórása: np(1 − p ) Normális (Gauss) eloszlás: A gyakorlatban akkor fordul elő a normális eloszlás, ha sok, egyenként kis hatású, egymástól független tényező hatása összegződik. Pl. a gyártás során a körülmények (technológiai, gyártógép, dolgozó, alapanyag, mérőeszközök stb.) azonosak, paramétereik állandóak (a gyártási folyamat stabilizált) a gyártmány ellenőrzése során mért, a névlegestől eltérő értékek csak a véletlen eredményei. A normális eloszlás két jellemzője: a várható értéke és szórása egyértelműen meghatározza. 1.) A mért értékeket táblázatba foglaljuk 2.) Az eloszlást ábrázoljuk pl oszlopdiagram Ennek a neve hisztogram (tehát ez egy koordinátarendszerben készült oszlopdiagram, ahol a vízszintes tengelyen a mért adat értéke a függőlegesen pedig a relatív gyakoriság szerepel). 3.) Ha a hisztogramban az

osztáskörök számát ∞-ségig növeljük, a lépcsős hisztogram “burkoló” görbéje. Egy folytonos függvény lesz Ez a sűrűségfüggvény 4.) A sűrűségfüggvény alatti területet egy adott intervallumhoz tartozó része az intervallumba eső adatok relatív gyakoriságát adja meg. Általában a minta elemeinek méréséből származó számított átlagot (x) és az (s) ismerjük. Ha µ a várható érték és δ a szórás, akkor a normális eloszlás 2 1 − ( x − η) sűrűségfüggvénye: f ( x) = ⋅e 2δ 2 δ 2Π Az eloszlásfüggvény a sűrűségfüggvény integrálja. Mivel ezek a függvények nehezen kezelhetők, ezért e függvények táblázatos megadási módszerét alkalmazzuk. [Normális, vagy Gauss eloszlás: Ha a gyártás során az ellenőrzésnél mért, a névlegestől eltérő értékek csak a véletlen eredményei, akkor az adatok jó közelítéssel Gauss eloszlásúak. (Sok körülmény hatása egymástól függetlenül érvényesül.) A

normális eloszlást két paraméteren, a várható érték µ, és a szórás δ egyértelműen meghatározza Más várható érték esetén a g örbe az x tengely mentén eltolódik, más szórásérték esetén a görbe alakja változik. Kisebb szórásnál keskenyebb és magasabb lesz A 0,27% selejt mennyiségét elfogadhatónak tartja, de csúcstechnológiájú iparágakban ennyi selejt nem megengedhető. A normális eloszlású függvény nehezen kezelhető matematikailag, ezért számoláskor be kell tolni a várható értéket a 0-hoz, így a függvény szimmetrikus lesz az y tengelyre => eloszlás standardizálása.] Hipotézisvizsgálatok: A tapasztalati eloszlásokat a normális eloszláshoz hasonlítjuk és megvizsgáljuk, hogy mennyire tér el attól. Ha egy eloszlásra vagy annak paraméterére feltevést teszünk ezt statisztikai hipotézisnek nevezzük. Amiből kiindulunk az a nulla hipotézis, jele: H 0 A nulla hipotézissel szembeállítunk egy másik állítást,

ezt ellenhipotézisnek nevezik (H e ). A hipotézisvizsgálatkor meg kell határoznunk azt a valószínűséget, amelyet még elfogadunk olyan döntésben, amelyben a helyes nulla hipotézist elutasítjuk, ez a kockázati szint (α). A hipotézisvizsgálatok az eltérés a hiba mértékének meghatározásaira irányulnak. Hiba vizsgálata: - Mekkora mintát vegyünk? o Nagy minta esetén kisebb a hibalehetőség, de drága o Kis minta esetén olcsóbb, de nagyobb a hibalehetőség és esetleg rossz döntést hozunk. - α értékét mekkorára válasszuk? o Ha nagy => H 0 -t elvethetjük akkor is ha helyes o Ha kicsi => előfordulhat a helytelen nulla hipotézis elfogadása, holott H 0 nem teljesül Elsőfajú hiba: A helyes nulla hipotézis elvetésének valószínűsége => α Másodfajú hiba: A helytelen nulla hipotézis elfogadásának valószínűsége => ß A két hiba között fordított viszony áll fenn. A hibák értékének meghatározásához próbákat

végzünk, ezt nevezzük normalitásvizsgálatnak