Fizika | Felsőoktatás » BMF-NIK Magnetosztatika

3. A STACIONÁRIUS ÁRAMOK TERE: MAGNETOSZTATIKA 3. 1 A villamos áram fogalma Áramerősség és áramsűrűség A villamos áram lényegének megértéséhez induljunk ki néhány elektrosztatikai problémából. Ha villamosan töltött két fémgömböt vezetővel kötünk össze, akkor a többlet-töltések kiegyenlítődnak, a két gömb azonos töltésű (vagy semleges) lesz. Ezen kiegyenlítődés úgy jön létre, hogy az összekötő vezetőn keresztül töltés megy át egyik testről a másikra. A feltöltött kondenzátor fegyverzetein a töltés, mint tudjuk, azonos nagyságú, de ellenkező előjelű. Ha a kondenzátor lemezeit vezetővel kötjük össze, akkor a vezetőn keresztül elektronok mennek át a negatív töltésű fegyverzetről a pozitív töltésű fegyverzetre, ezáltal a kondenzátor elveszíti töltését, kisül. A kisülés folyamán a fegyverzetek között mérhető feszültség állandóan csökken, a kisülési folyamat befejeződésekor zérus.

Mindkét jelenséget úgy magyarázhatjuk, hogy a különböző töltésű testek között fennálló potenciálkülönbség vagy feszültség hatására az összekötő vezetékben a szabad elektronok egyirányú mozgása, áramlása jön létre. Az említett példákban a potenciálok kiegyenlítődésével (a potenciálkülönbség megszüntével) a töltésáramlás is megszűnik. Ha egy vezetőben állandó töltésáramlást akarunk létrehozni, akkor állandó nagyságú potenciálkülönbség fenntartásáról kell gondoskodni. Ezt a célt szolgálják az áramforrások, vagy helyesebb elnevezéssel feszültségforrások. A vezetőre kapcsolt feszültség hatására a vezetőben a töltések rendezett irányú mozgása jön létre, ezt a jelenséget nevezzük villamos áramnak. A villamos töltések áramlása a folyadékáramláshoz hasonló jelenség A feszültség (vagy potenciálkülönbség) a nyomáskülönbségek megfelelő mennyiség. - Kémiából ismeretes az

elektrolízis jelensége. Ha valamely elektrolitba merülő elektródákra feszültséget kapcsolunk, akkor az elektrolitban disszociált állapotban lévő pozitív és negatív ionok a fémek szabad elektronjaihoz hasonló rendezett irányú mozgást végeznek. A töltésáramlás a vezető keresztmetszetén ∆t idő alatt átáramló ∆q töltéssel jellemezhető. A töltés és az idő hányadosával értelmezett fizikai mennyiséget áramerősségnek vagy áramintenzitásnak nevezzük: I= ∆q ⋅ ∆t Ha ∆q egyenesen arányos ∆t-vel, akkor az I áramerősség nem függ az időtől. Az olyan áramot, amelynél I = áll., stacionárius vagy egyenáramnak nevezzük Sok esetben a vezető keresztmetszetén átáramló töltésmennyiség és az idő között nincs egyenes arányosság, sőt a töltésáramlás iránya is változhat. Az áramerősség ilyen esetben függvénye az időnek: I = I(t). Az áramerősség pillanatnyi értéke a fenti definíció alapján: I = lim

∆t 0 ∆q dq = ⋅ ∆t dt Az áramerősség a töltés időszerinti deriváltja. Az I áramerősség az SI mértékrendszerben alapmennyiség, mértékegysége: [I] = A (amper). Az elektrotechnikában - kevésbé szabatosan - az áramerősség helyett általában az áram kifejezést használjuk. (Pl a fogyasztón I áram folyik) Egyenáram esetén, a bekapcsolás q t pillanatától számítva az időt, az áramerősség I = , amelyből q = It. A töltés mértékegysége tehát: [q] = As = C. Ha az áramerősség folytonos függvénye az időnek, akkor a vezető keresztmetszetén valamely (t2 - t1) időintervallumban átáramló töltés: t2 Q = ∫ I ( t ) dt t1 integrállal adható meg: vagyis az áthaladt összes töltés az áramerősség idő szerinti integrálja. A töltésáramlás irányát egy vezetőben (áramkörben) megállapodás szerint a pozitív töltés mozgásának irányával adjuk meg, amely az elektronok mozgásirányával ellentétes. A kapcsolási

rajzban az áramforrás feszülétségét és az áramerősséget nyíllal szokás jelölni, jól lehet nem vektormennyiségek. Az irány a potenciálesés, ill a pozitív töltésáramlás irányát tünteti fel. Megállapodás szerint a feszültség iránya az áramforrás pozitív pólusától a negatív pólusa felé mutat; az áramirány szintén a pozitív pólustól - a fogyasztón át - a negatív pólus felé veendő fel (33. ábra) Az áramerősség fogalmában nem szerepel a felület (keresztmetszet), amelyen a töltések átáramlanak. A töltésáramlás folytonossága változó keresztmetszetű vezető esetén is megkívánja, hogy bármely keresztmetszeten ugyanazon idő alatt ugyanannyi töltés haladjon át, ha stacionárius az áramlás. Egyenáram esetén tehát minden keresztmetszetben ugyanakkora az áramerősség, a folyadék áramlásához hasonlóan. 3.2 Ohm törvénye A vezetők ellenállása A villamos áram fogalmának kialakításánál láttuk, hogy a

vezetőre kapcsolt feszültésg hatására áram folyik. Az U feszültség és I áramerősség között méréssel meghatározható összefüggés áll fenn: I = GU ; vagy I= U R ; amelyet Ohm törvényeként ismerünk. Homogén és állandó hőmérsékletű vezetőben folyó áram erőssége egyenesen arányos vezető két végpontja közötti feszültséggel. G és R a vezetőre jellemző (az áramerősségtől és a feszültségtől független) a mennyiségek: R az ellenállás (rezisztencia), G a vezetés (konduktancia). A fenti két képlet a középiskolából jól ismert Ohm-törvény két lényegileg azonos alakja. Összehasonlításuk 1 alapján kitűnik, hogy G = , vagyis a vezetés az ellenállás reciproka. Mértékegységeik: R V 1 [ R] = = Ω (ohm), ill. [ G ] = = S (siemens) A Ω Ohm törvényének másik megfogalmazása: ha homogén és állandó hőmérsékletű vezetőben áram folyik, akkor a vezető két vége között az áramerősséggel arányos

feszültség mérhető. Az U = IR feszültséget másként “feszültségesésnek” is szokás nevezni A feszültségesés iránya megegyezik az áramiránnyal. A vezetők ellenállásának mérése legegyszerűbben Ohm törvénye alapján lehetséges. (Ezenkívül számos más mérési eljárás ismeretes, amelyek közül néhánnyal a gyakorlaton foglalkozunk). A mérési eredmények azt mutatják, hogy a vezetők ellenállása (állandó hőmérsékleten) egyenesen arányos az  hosszúsággal és forditottan arányos az A keresztmetszettel: R=ρ  ; A ahol a ρ arányossági tényező a vezető anyagától függő fajlagos ellenállás- Mértékegysége: Ωmm 2 [ρ] = Ωm. (Gyakorlatban a táblázatok a fajlagos ellenállást mértékegységben adja m meg, mivel a keresztmetszetet célszerűbb mm2-ben számítani.) 1 A fajlagos ellenállás reciprolát fajlagos vezetésnek nevezzók: γ = . ρ Mértékegysége: [γ ] = 1 S = . Ωm m A fajlagos ellenállás és a

fajlagos vezetés a legfontosabb anyagállandók közé tartozik. Az áramvezetés szempontjából az anyagokról fontos tájékoztatást adnak. A jó vezetők fajlagos ellenállása 104 Ωm nagyságrendű. Általában 108 Ωm-nél nagyobb fajlagos ellenállású anyag már szigetelőnek tekinthető. A vezetők ellenállása tapasztalat szerint függ a hőmérséklettől. A fémek ellenállása a hőmérséklet növekedésével nő; a széné, a félvezetőké és az elektrolitoké pedig általában csökken. - A fémek ellenállásának hőmérséklettől való függését a következő kifejezéssel írhatjuk le: R = R0 [1 + α (t - t0)] ; ahol R0 a t0 kezdeti hőmérséklethez tartozó ellenállás, α az un. hőmérsékleti tényező, amely az 1 fok hőmérsékletváltozásra eső relatív ellenállásváltozást adja meg. Mértékegysége: 1 [α ] = ⋅ Az ötvözetek ellenállása és annak hőmérséklettel való változása függ a fok komponensek anyagától és százalékos

összetételétől. Vannak olyan ötvözetek (pl konstantán, manganin), amelyek ellenállása alig változik a hőmérséklettel. Ezeket főleg preciziós mérőellenállások készítésére használják. Általában a tiszta fémek és néhány ötvözet ellenállása az abszolut zérusfok közelében ugrásszerűen lecsökken, gyakorlatilag zérussá válik. Ezt a jelenséget szupravezetésnek nevezzük Az ellenállás eltünésének megfelelő átmeneti hőmérséklet pl. az ólomnál 7,22 K, a kadmiumnál 0,54 K A jelenségek mélyebb magyarázata szilárdtestfizikai ismereteket igényel. 3.3 Kirchhoff-törvények Ellenállások kapcsolása A 33. ábrán látható egyszerű áramkörben az áramerősséget az áramforrás feszültségének és az izzó ellenállásának ismeretében Ohm törvénye alapján könnyen ki tudjuk U számítani: I = ⋅ R Általában az áramkörök valamilyen rendszer szerint kapcsolt több áramforrásból és ellenállásból állnak. Az

áramforrások együttesen határozzák meg az egyes ellenállásokon folyó áramot és rajtuk eső feszültséget. Az áramköri problémák megoldásához olyan törvényekre van szükség, amelyek figyelembe veszik az áramköri elemek kapcsolatát, ugyanakkor bármilyen bonyolult áramkör esetén annak egyes részeire egyszerűen alkalmazhatók. Ilyenek többek között Kirchhoff törvényei Kirchhoff I. törvénye (A csomóponti törvény) Az áramkörben csomópont ott keletkezik, ahol több vezeték galvanikus kapcsolatban van (több összefutó vezeték forrasztási pontja). A csomópontot képező vezetékekben különböző irányú és nagyságú áramok folyhatnak. A 36 ábrán látható A csomópontba I1, I3 és I5 áram folyik befelé, ugyanakkor I2 és I4 áram kifelé. A villamos áram fogalmának megfelelően ez azt jelenti, hogy töltések áramlanak be a csomópontba, és töltések áramlanak ki a csomópontból. Az áramlás folytonossága megkívánja, hogy

adott t idő alatt a befelé és kifelé áramló töltések mennyisége megegyezzék. Az áramerősségekkel kifejezve: I1 + I3 + I5 = I2 + I4. Ha az áramerősségeket az áram irányának megfelelően előjeles menyiségnek tekintjük, akkor algebrai összegük zérus: I1 - I2 + I3 - I4 + I5 = 0 Általánosan megfogalmazva a törvényt csomópontot képező n darab vezetékre: n ∑I k =1 k =0 Stacionárius áram esetén bármely csomópontban az áramerősségek algebrai összege zérus. Másképpen, stacionárius áram esetén a csomópontban töltés nem halmozódhat fel. Nem stacionárius tehát időben változó áramok esetén a törvény ebben a formájában már nem igaz (lásd a váltakozóáramú köröket, később). Kirchhoff II. törvénye (A huroktörvény) A 37. ábra egy összetett áramkör hálózat egyik áramkörét mutatja, amely az A, B, C és D csomópontokon keresztül csatlakozik a többi áramkörhöz. A hurok valamely hálózatnak olyan zárt

része, amely egyszeri és egyirányú körüljárással határolható el a többi áramkörtől. (A hurok nem azonos a soros áramkörrel, mert a hurokban lévő ellenállásokon nem egyirányú áramok folynak.) Tegyük fel, hogy a hurokban lévő ellenállásokon az ábrán bejelölt áramok folynak. Az ellenállásokon átfolyó áram IkRk feszültségesést hoz létre, amelynek iránya megegyezik az áramiránnyal. Az áramforrások U1 és U2 feszültségét a polaritásnak megfelelően vesszük fel (pozitív pólustól a negatív felé.) Ha tetszés szerint választott körüljárásnak megfelelően (az ábrán pozitív körüljárás van feltüntetve) algebrailag összegezzük a feszültségeket, zérust kapunk eredményül. I1R1 + U1 - I2R2 - I3R3 - I4R4 - U2 = 0. Másként felírva: I1R1 - I2R2 - I3R3 - I4R4 = U2 - U1. Az egyenlet bal oldalán az ellenállásokon eső feszültségek algebrai összege szerepel, a jobb oldalon pedig a két áramforrás eredő feszültsége.

(Vegyük észre, hogy az ellenállásokon keresztül a telepek azonos pólusai vannak összekötve!) Kirchhoff II. törvényét tehát úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a hurokban a fogyasztókon (ellenállásokon) eső feszültségek összege egyenlő az áramforrások feszültségeinek összegével. Vagy nem téve különbséget az áramforrás és a fogyasztó feszültsége között, n elemet tartalmazó áramhurokra: n ∑U k =1 k =0 Stacionárius áram esetén bármely zárt áramhurokban a feszültségek algebrai összege zérus. Váltakozóáramú körökre is értelmezhető a törvény, de mint látni fogjuk, más formában. Ellenállások kapcsolása. A kondenzátorok kapcsolásához hasonlóan két alapesetből indulhatunk ki: soros és párhuzamos kapcsolásból. Kirchhoff törvényeinek felhasználásával ki tudjuk számítani az eredő ellenállást, amely két vagy több ellenállást helyettesíthet oly módon, hogy ez az eredő ellenállás az áramforrás

változatlan feszültsége mellett ugyanannyi áramot vesz fel, mint a helyettesített eredeti kapcsolás ellenállásai együttesen. a/ Soros kapcsolás: a 39. ábrán két sorba kapcsolt ellenállást láthatunk Az áramkörben nincs elágazás, tehát mindkettőn ugyanaz az I áram folyok keresztül. Az ellenállásokon eső feszültségek Ohm törvénye alapján: U1 = IR1 és U2 = OR2 . Kirchhoff II. törvényét alkalmazva: U = IR1 + IR2 = I (R1 + R2) ; amelyből Re = U = R1 + R2 ⋅ I Sorba kapcsolt ellenállások eredőjét úgy kapjuk meg, hogy az ellenállásokat összeadjuk. Két ellenállásból általánosíthatunk n darab sorba kapcsolt ellenállásra: n Re = ∑ Rk k =1 b/ Párhuzamos kapcsolás: a 40. ábrán két párhuzamosan kapcsolt ellenállást láthatunk. Párhuzamos kapcsolást csomópont kialakításával hozunk létre A két ellenálláson tehát különböző áramok folynak, viszont a rajtuk eső feszültség megegyezik. Ohm törvénye alapján: I1 = U U

és I 2 = ⋅ R2 R1 Kirchhoff I. törvényét alkalmazva az A csomópontra:  1 1 ; I = I1 + I2 = U  +  R1 R2  amelyből 1 1 1 I = = + ⋅ Re U R1 R2 Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének reciprokát úgy kapjuk meg, hogy az ellenállások reciprokait összeadjuk. Általánosítva n darab párhuzamosan kapcsolt ellenállásra: n 1 1 =∑ Re k =1 Rk Korábban láttuk, hogy 1 = G , ahol G a vezetőképesség. Az előző képlet tehát úgy is R felírható, hogy n Ge = ∑ G k ; k =1 vagyis párhuzamos kapcsolásnál a vezetőképességek adódnak össze. Ha egy hálózat vegyesen tartalmaz sorosan és párhuzamosan kapcsolt ellenállásokat, akkor az eredőszámítást több lépésben (fokozatosan egyszerüsödő helyettesítő áramkörök alkalmazásával) végezzük. Ehhez azonban mindíg el kell dönteni, hogy mely ellenállások vannak sorosan, ill. párhuzamosan kapcsolva Bármilyen bonyolult hálózatban azok az ellenállások vannak

sorosan kapcsolva, amelyeken ugyanaz az áram folyik és azok vannak párhuzamosan kapcsolva, amelyeken megegyezik a feszültség. Az eredőszámítással kapcsolatban még megjegyezzük, hogy nagymértékben leegyszerüsíti a problémát, ha felismerjük az esetleges ekvipotenciális pontokat. Ekvipotenciális pontok között a feszültség zérus, tehát ilyen pontokat összekötő ellenállásokon nem folyik áram, vagyis ezek az ellenállások úgy tekinthetők, mintha ott sem lennének. Pl a 41. ábrán, ha R1 = R2 és R3 = R4, akkor A és B ekvipotenciális, és R5 egyszerűen elhagyható. Ha az ellenállások mind különbözőek, akkor jóval bonyolultabb a helyzet Ebben az esetben nincs két ellenállás, amely akár sorosan, akár párhuzamosan lenne kapcsolva. Az eredő ellenállást akkor csak úgy tudjuk meghatározni, hogy tetszőleges U feszültséget U felvéve kiszámítjuk az eredő I áramerősséget és Ohm törvénye alapján Re = ⋅ I 3.4 A villamos áram

munkája és teljesítménye Az áram hőhatása A villamos áram értelmezésénél láttuk, hogy az áramforrás feszültségének hatására a vezetőben villamos tér alakul ki, amely a szabad töltéseket mozgásba hozza. A töltések mozgatásakor az erőtér munkát végez az áramforrásban felhalmozott energia rovására. Ha egy R ellenállású fogyasztóra U állandó nagyságú feszültséget kapcsolunk, akkor abban az állandó erősségű, stacionárius töltésáramlás jön létre. A villamos erőtér munkája a feszültség definíciüja alapján W = QU. Mivel az egyenáram t idő alatt az áramkörben Q = It töltést szállít, a munka W = Uit alakba írható. Az I erősségű stacionárius áram t idő alatt végzett munkája az U feszültség alatt álló fogyasztóban: W = UIt Ezen munka egyben megfelel a fogyasztó által az áramforrásból felvett energiának. A munka mértékegysége: [W]= J = Ws (wattszekundum). A stacionárius áram teljesítménye, a

teljesítmény definíciója alapján egyszerűen adódik: P= W = UI t P egyben megfelel a fogyasztó által az áraamforrásból felvett teljesítménynek. A J =W⋅ s A munka és teljesítmény fenti képlete az Ohm-törvény felhasználásával átalakítható. A fogyasztó ellenállásával kifejezve teljesítmény mértékegysége: [ P ] = W= U2 U2 t = RI 2 t ill . P = = I 2R R R alakban írható. Az áram munkája a fogyasztókban különféle energiaformákká alakul át. Pl a világítótestekben részben hő, részben fényenergiává; villamos motorokban mechanikai és hőenergiává. Az áram hőhatása. Homogén fémes vezetőben az áram munkája teljes egészében hővé alakul. Az R ellenállású fogyasztóban t idő alatt fejlődő Q hőmennyiség az I erősségű áram munkájával egyenlő, vagyis Q = W = I2Rt. Ezt az összefüggést Joule törvénynek, a keletkezett hőmennyiséget pedig Joule-féle hőnek szokás nevezni. (A felírt képlettel

kapcsolatban megjegyezzük, hogy Q és W mértékegysége értelemszerűen azonos az SI mértékrendszerben. A kalória inkoherens cal mértékegység, ezért a régebben szokásos 0 ,24 átszámítást nem használjuk a képletben). Ws Műszaki alkalmazások felsorolása - Egyenáramú áramforrások: galvánelemek, akkumulátorok, egyenáramú generátorok. - Egyenáramú motorok hajtása. Villamos közúti vontatás (trolibusz, villamos), villamos targoncák. - Vezérléstechnikai alkalmazás: poziciószabályozás szervomotorokkal, pl. számjegyvezérlésű (NC) szerszámgépeknél. - Hiradástechnikai alkalmazások: elektronikus berendezések energiaellátása. - Digitális technikai alkalmazás: a számítógép minden elektronikus áramköre egyenáramú energiaellátás szempontjából (nagy többségük jelfolyam szempontjából is). - Galvántechnikában és az elektrolitikus fémolvasztásnál (Al-kohászat) az áram kémiai hatását használják. - Az áram hőhatását

felhasználják számos háztartási berendezésben, villamos olvasztókemencében stb. - Az ellenállás-hőmérőknél az ellenállás hőmérséklettől való függését használják fel. 3.5 Mágneses alapjelenségek A stacionárius áram mágneses hatása A mágneses alapjelenségek a dörzselektromos jelenségekhez hasonlóan már az ókorban ismeretesek voltak. A megfigyelések szerint bizonyos természetben is megtalálható vasércek (magnetit) vasdarabkákat magukhoz vonzanak, ill. hatásukra egyes fémek (Fe, Ni, Co) hasonló mágneses tulajdonságot mutatnak. Ezen mesterséges mágnesek a mágneses tulajdonságukat hosszabb-rövidebb ideig megtartják. Tartós mágnesezettséget mutatnak az acélötvözetek (permanens mágnesek). Ugyancsak régóta ismert jelenség a felfüggesztett mágnestû észak-déli irányba való beállása, amely azt mutatja, hogy a Földnek mágneses tere van. A mágneses jelenségek sok tekintetben hasonlóságot mutatnak az

elektrosztatikai jelenségekkel. A mágnesrudak egymásra gyakorolt vonzó és taszító hatása( a mágneses megosztás (influencia) jelensége, amellyel a mágnesrúdnak a vasdarabkákra gyakorolt vonzó hatása magyarázható - az elektrosztatikából ismert jelenségek. Mivel több évszázadon keresztül a villamos és mágneses jelenségek lényegi azonossága nem volt ismeretes, ezért az elektrosztatika analógiájára dolgozták ki a mágnesességtan, a magnetosztatika törvényeit. Mivel a mágnesrúd az erõhatás szempontjából úgy viselkedik, mint a pozitív és negatív töltéspárból álló dipólus, ezért célszerû volt a különnemû (északi és déli) mágneses pólusok feltételezése. A mágneses és a villamos dipólus között azonban alapvetõ különbésg van Amíg a villamos dipólus „kettétörésével” a pozitív és negatív töltések szétválaszthatóak, addig a mágnesrúd széttördelésével mindíg teljes mágnest kapunk, minden darabkának

lesz északi és déli pólusa egyaránt. Ez egyben azt jelenti, hogy a szétválasztható villamos töltéseknek megfelelõ valódi mágneses töltések ( egypólusok) nincsenek. Az anyagok mágneses tulajdonságának mélyebb megértésével késõbb foglalkozunk. Egyelõre arra következtethetünk, hogy a lágyves vagy acélrúd elemi mágnesek (domének) sokaságából áll, amelyek a rúd mágnesezetlen állapotában teljesen rendezetlenül helyezkednek el és egymás hatását lerontják. Külsõ mágneses hatásra viszont az elemi mágnesek rendezõdnek és az anyag ezáltal mágneses tulajdonságot mutat. A villamosság és mágnesesség közötti kapcsolat felismerése akkor vált lehetõvé, amikor a galvánelemek feltalálásával tartós töltésáramlást tudtak létrehozni. Oersted kísérletében kimutatta, hogy az árammal átjárt vezetõ közelébe helyezett mágnestû ugyanúgy kitérést mutat, mint mágnesrúd közelében. Az áram irányának megváltoztatásával

a mágnestû ellentétes irányban tér ki. A villamos áram tehát mágneses teret létesít. Az áram mágneses hatása vasreszelékkel is kimutatható. A vasdarabkák a mágneses tér erõhatása következtében a 47. ábrán látható módon rendezõdnek el a vezetõ körül Az általuk kirajzolt koncentrikus körök a mágneses tár szerkezetét mutató erõvonalaknak felelnek meg. A mágneses tér erõvonalai tehát az egyes vezetõre merõleges síkban, a vezetõt körülvevõ koncentrikus körök. Körüljárási irányukat a jobbcsavar-szabállyal adhatjuk meg: Ha a jobbmenetû csavar az áram irányába halad, akkor forgási iránya megadja az erõvonalak körüljárási irányát. A mágnestû egyensúlyi helyzetében mindíg az erõvonalak érintõjének irányában áll, és északi pólusa a körüljárási irányba mutat. A 48 ábrán két egyenes vezetõ keresztmetszetét láthatjuk. Az egyikban felénk irányuló áram folyik, ezt jelöltük ponttal, a másikban a

tõlünk távolodó áram x-szel van jelölve. A felvett erõvonalak ellentétes körüljárásúak, mint azt a mágnestûk helyzete is mutatja. Az elõzõnél erõsebb mágneses teret kapunk akkor, ha az áramvezetõbõl áramhurkot alakítunk ki. A 49 a/ ábra egy áramhurok mágneses terét személteti a hurok síkjára merõleges középsíkban. Az átellenes vezetékelemekben ellentétes irányú áramok folynak, amelyek mágneses tere a hurok belsejében összegezõdik. A stacionárius árammal átjárt körvezetõ erõvonal-rendszere a középsíkban megegyezik egy vékony mágneslemez erõvonalrendszerével, amelyet a 49. b/ ábrán láthatunk Ez arra a gondolatra vezette Ampére-t - még jóval az atomok szerkezetének felismerése elõtt - hogy a permanens mágnesek mágneses tulajdonságát az anyag belsejében folyó elemi köráramokkal magyarázza. E feltevését az anyag atomszerkezetének megismerése késõbb részben megerõsítette, részben kiegészítette. Az

atomban keringõ elektronok elemi köráramoknak felelnek meg, tehát mágneses terük van. Ezen kívül az elektronoknak forgásukból származó ún. saját mágneses terük is van, amelyet a spinnel, az elektron saját impulzusnyomatékával fejezhetünk ki. Erõs mágneses tereket gyakorlatban vasmagos tekercsekkel (elektromágnes) hozunk létre. A tekercset úgy tekinthetjük, mint sorba kapcsolt áramhurkok rendszerét, amelyek mágneses tere összegezõdik. A magámérõhöz képest hosszú, sûrûn csévélt egyenes tekercs mágneses tere a tekercs belsejében homogénnek tekinthetõ. Az ilyen (ideális esetben végtelen hosszú) tekercset szolenoidnak nevezzük. A szolenoid mágneses tere megegyezik a mágnesrúd terével (50 ábra) A tekercs északi és déli pólusát a menetekben folyó áram keringési iránya határozza meg. Az áramhurok vagy tekercs tengelyében a mágneses tér iránya az áram körüljárási irányába forgatott jobbmenetû csavar haladási

irányával egyezik meg. A tekerecs mágneses terének erõvonalai, mint az ábrán is látható, a tekercsen kívül záródó görbék, sûrûségük azonban a tekercs belsejében lényegesen nagyobb, mint a tekercsen kívül. Ez azt jelenti, hogy a mágneses tér gyakorlatilag a tekercs végeire és belsejére koncentrálódik. Gyûrûszerûen zárt tekercs (toroid) erõvonalai, ha elég sûrû csévélésû, teljesen a tekercs belsejében futnak, tehát a tekercsen kívül gyakorlatilag nincs mágneses tér (51. ábra) Az eddig leírtak összefoglalásaként megállapíthatjuk, hogy a stacionárius áram a permanens mágnesekkel egyenértékû, idõben állandó, sztatikus mágneses teret hoz létre. A vezetõben (vagy szabadon) mozgó töltésnek tehát elektromos terén kívül mágneses tere is van, míg a nyugvó töltés csak villamos teret gerjeszt. A két sztatikus tér hatás és leírás szempontjából elkülöníthetõ egymástól, de a villamos és mágneses erõ

lényegileg egy és ugyanazon fizikai jelenségnek, a részecskék elektromágneses kölcsönhatásának megnyilvánulása. A villamos és mágneses tér közvetlen kapcsolatával az „Idõben változó elektromágneses tér” c. fejezetben foglalkozunk 3.6 A mozgó töltésre ható erõk A mágneses indukcióvektor Az 52. ábrán látható nagy keresztmetszetû elektromágneses (vasmagos áramtekercs) homogén mágneses terébe v sebességgel érkezzék valamely Q ponttöltés. A v sebességvektor és az erõvonalak iránya által bezárt szöget jelöljük α -val. A tapasztalat azt mutatja, hogy a mágneses tér a töltést eltéríti mozgásirányától, tehát erõt fejt ki a töltésre. (Gyakorlatban ez történik a TV képcsõben az elektronsugárral a mágnesgyûrûk hatására, vagy a részecskegyorsító berendezésekben is.) Mitõl függ a töltésre ható erõ nagysága? A kisérletek szerint a Q töltéstõl, a v sebességtõl és attól, hogy milyen erõs mágtneses

térbe és milyen ( szög alatt érkezik a töltés. A mágneses tér hatását fejezzük ki egy B-vel jelölt mennnyiséggel, amelyet mágneses indukciónak nevezünk. Igy a töltésre ható erõ a következõ alakban írható: F = Q v B sin α . A mágneses indukció definícióját és mértékegységét a fenti összefüggés alapján is megadhatnánk, de célszerû közvetlenebbül mérhetõ mennyiségekkel értelmezni (erre késõbb kerül sor). Azt azonban beláthatjuk, hogy B-nek vektormennyiségnek kell lennie, amely a mágneses térben megadja azt a kitüntetett irányt, amelyhez a sebesség- és az erõvektor helyzetét viszonyítjuk. A B mágneses indukcióvektor az erõtér valamely pontjában a teret ábrázoló erõvonal érintõjének irányába mutat, ugyanúgy, mint az elektrosztatikus térben az E vagy a D vektor. α tehát a v és a B vektorok által bezárt szög A fenti összefüggés alapján most már vektoralakban is felírhatjuik a mozgó töltésre ható,

ún. Lorentz-féle erõt: F = Q [v x B] A B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erõ nagysága egyenesen arányos a töltéssel, valamint a sebessség és a mágneses indukció nagyságával. Az erõ iránya a v és a B vektorok által meghatározott síkra merõleges. Az 52. ábrán a v és a B vektorok legyenek a papír síkjában Ekkor a pozitív töltésre ható erõ ezen síkra merõleges és befelé mutat. Ha a töltés negatív, akkor a rajz síkjára merõleges és kifelé mutató erõ hat rá. Ha a töltés egyidejûleg villamos és mágneses térben mozog, akkor a ráható erõ: F = QE +Q [v x B] A mágneses térben mozgó töltésre ható erõ ismerete a továbbiak szempontjából is alapvetõ, hiszen a vezetõben folyó villamos áram esetén is mozgó töltésekrõl van szó. A Lorentz-törvény ismeretében könnyen értelmezhetjük a mágneses tér áramvezetõre kifejtett erõhatását. Tekintsük ehhez az 53 ábrán látható A

keresztmetszetû egyenes áramvezetõt, amely valamely B indukciójú homogén mágneses térben van. A mágneses tér a vezetõben mozgó minden töltésre (szabad elektronra) F = e [v x B] erõvel hat. Ha a vezetõ térfogategységében lévõ elektronok száma n, akkor a ∆V = A∆l térfogatban lévõ töltés ne ∆V = neA∆l. Így a ∆l hosszúságú elemi vezetékre ható mágneses erõ az egyes töltésekre ható erõk eredõje: ∆F = ne∆l (v x B) ill. nivel az elõzõekben tárgyaltak szerint neAv a vezetõ A keresztmetszetén idõegység alatt áthaladó töltést, vagyis az I áramerõsséget adja, ezért a fenti összefüggés ∆F = I (∆l x B) alakban írható. Ezen összefüggést, amely a mágneses térnek az áramvezetõre kifejtett erõhatását fejezi ki, Ampère-erőtörvény-nek nevezzük. I∆l vektor az ún áramelem-vektor, amelynek nagyságát az áramerõsség és az elemi vezetõszakasz hosszúságának szorzata, irányát a pozitív

töltésáramlát iránya adja meg. A vektorszorzatból kitûnik, ha I∆l merõleges B-re, akkor az erõ nagysága: ∆F = BI∆l. Ennek alapján megadhatjuk a mágneses indukció erõhatáson alapuló definicióját: B= F I∆l A mágneses indukció nagysága egyenlõ az indukció vonalakra merõleges egységnyi árammal átjárt, egységnyi hosszú vezetõre ható erõ nagyságával. Mértékegysége: [B] = N/Am = Vs/m2 = T (tesla). Végezetül tekintsük meg az 54. ábrán vázolt kísérleti berendezést. Az ingaszerûen felfüggesztett áramvezetõ egy elektromágnes homogén mágneses terében van. A mágneses tér erõhatása következtében a vezetõ befelé lendül, mivel a vektorszorzatnak megfelelõen I∆l , B és F „jobbcsavar rendszert” képez. (Az erõ irányának meghatározására az un. balkéz-szabályt is alkalmazhatjuk: bal tenyerünket az indukcióvonalakkal szembefordítjuk úgy, hogy négy ujjunk az áram irányába mutasson. A hüvelykujj jelzi az erõ

irányát) Az áramvezetõre ható erõt vizsgálhatjuk áramhurok esetében is. A mágneses térbe helyezett áramhurok átellenes vezeték elemeiben ellentétes irányú áramok folynak, ezért a rájuk ható erõk is ellentétes irányúak: ∆F1 = ∆F2 . A sztatikából ismeretes, hogy a párhuzamos, azonos nagyságú, de ellentétes értelmû erõknek (erõpárnak) nyomatékhatása van. Az egyszerûség kedvéért válasszunk egy kisméretû, téglalap alakú áramhurkot, amelynek forgástengelye párhuzamos az egyenes vezetõvel, amely a vizsgált mágneses teret gerjeszti. A hurokban folyó áramot jelöljük I2-vel, az egyenes vezetõ árama legyen I1. Az 55. ábrán látható kiindulási helyzetben az áramhurokra maximális nyomaték hat, amelynek nagysága Mmax = Fh = I2Blh ahol B a P ponton átmenõ erõvonalhoz tartozó mágneses indukció nagysága. Mivel A =lh a hurok által határolt felület, ezért Mmax = I2BA. A fellépõ nyomaték hatására az áramhurok

elfordul és 90o-os szögelfordulás esetén egyensúly áll be, mert a két erõ hatásvonala ebben a helyzetben metszi a forgástengelyt. A nyomatékvektor M = I2 (A x B) alakban írható, ahol az A vektor a felület normálvektora, irányát az áram irányában forgatott jobb csavar haladási iránya adja meg. Ha az áramhurkot a mágneses tér különbõ pontjaiban helyezzük el (az egyenes vezetõtõl különbözõ r távolságokban), akkor a ráható maximális nyomaték nagysága változik. A mágneses indukciónak tehát megadhatjuk a nyomatékhatáson alapuló definicióját: B= M max I2 A a B mágneses indukció nagysága egyenlõ az egységnyi árammal átjárt egységnyi felületû áramhurokra ható maximális forgatónyomaték nagyságával. Mértékegysége: Nm/Am2 = Vs/ m2 = T. A mágneses indukcióra kétféle definíciót adtunk, az egyik az erõhatáson, a másik a nyomatékhatáson alapszik. Lényegileg a kettõ nem különbözik egymástól, hiszen mindkettõ

mozgó töltés és a mágneses tér kölcsönhatásából következik. Mindkét definicióegyenlettel a B térjellemzõ nagyságát értelmeztük. Iránya az erõre, ill a nyomatékra felírt vektorszorzatokból következik. Az áramhurok a mágneses tér vizsgálatában ugyanazt a szerepet tölti be, mint az elektrosztatikus térnél a próbatöltés. Mindkét esetben arra kell ügyelni, hogy saját terükkel gyakorlatilag ne módosítsák a vizsgálandó teret. Ezért a próbatöltésnek pontszerûnek és kis töltésûnek, az áramhuroknak viszont kis felületûnek és gyenge árammal átjártnak kell lennie. Az áramhurokkal (vagy nevezhetjük próbahuroknak is) feltérképezhetjük a mágneses teret. A mérésre használható próbahurkok lényegében csapágyazott tengelyek között tetszés szerinti irányba szabadon elfordulható kis tekercsek. (Magnetométerek.) A próbahurokra ható maximális nyomaték ismeretében B számértéke meghatározható. Az egyensúly

beálltával az A felületi normális B irányát mutatja. A B vektorokhoz, mint érintõkhöz illesztett görbék a mágneses erõtér indukcióvonalait adják. Az 56 ábrán egy egyenes vezetõben folyó stacionárius áram által gerjesztett sztatikus tér indukcióvonalait láthatjuk. 3.7 A Biot-Savart törvény Az elõzõ fejezetekben a mágneses tér keletkezésének és hatásaival foglalkoztunk. Az erõtér leírására mérési kisérletek alapján értelmeztük a mágneses indukcióvektort, amely a mágneses térhez rendelt vektor-vektor függvény: B = B(r). A most következõ törvényben olyan összefüggést ismerünk meg, amellyel tetszõleges áramkörben folyó áram által gerjesztett mágneses tér esetén az erõtérre jellemzõ fizikai mennyiségek kiszámíthatók. Ez az összefüggés lényegében egy empirikus (tapasztalati törvény, amely mérési eredmények összefoglalásának tekinthetõ. A 3.57 ábrán látható áramhurokban folyó I erõsségû

stacionárius áram mágneses teret gerjeszt. A tér valamely tetszõleges P pontjában a B mágneses indukciót a vezetõ egyes elemi szakaszaiban folyó áramok eredõ hatásaként értelmezhetjük. Az Idl áramelem P ponthoz viszonyított helyzetét az r = rro helyvektorral adhatjuk meg. Biot-Savart törvénye szerint az áramelem által a P pontban létesített mágneses tér dB indukcióvektora a dB = µI dl × r o 4π r 2 összefüggéssel adható meg. A dB vektor abszolútértéke: dB = µI dl sin ϕ 4π r 2 ahol ϕ az Idl és az ro vektorok által bezárt szög. Az összefüggésbõl leolvasható, hogy valamely P pontban a dB mágneses indukció nagysága egyenesen arányos a vezetõben folyó áram erősségével, a vezetõelem hosszával, és fordítottan arányos a vizsgált pont és a vezetõelem közötti távolság négyzetével. µ arányossági tényezõ, amely a térkitöltõ anyagra jellemzõ, neve mágneses permeabilitás. Az SI mértékrendszerben a

vákuum permeabilitása: µo = 4π 10-7 Vs/Am, az ehhez viszonyított relatív permeabilitással szorozva adja az anyag tényleges permeabilitását: µ = µr µo µ mindenkori értéke függ az anyag mágnesezettségi állapotától is. A differenciális alakban felírt Biot-Savart törvénynek a vezető teljes hosszára történő integrálásával megkapjuk a P pontban uralkodó mágneses indukciót, amely az egyes áramelemek által gerjesztett terek szuperpozíciója: B= µI 4π dl × r o ∫ r2 Az elektrosztatikus tér analógiájára a mágneses térben is értelmezhetjük a térerősséget: a mágneses térerõsség H a mágneses indukció és a mágneses permeabilitás hányadosával értelmezett vektormennyiség: H = B/µ. Mértékegysége: Vs/m2 Am/Vs = A/m Vákkumban és homogén térkitöltõ közegben a H vektor és a B vektor azonos irányúak. A most formálisan bevezetett térerõsség fizikai tartalmát és jelentõségét a BiotSavart törvénynél lényegesen

általánosabb érvényû gerjesztési törvény kapcsán láthatjuk majd . A Biot-Savart törvényt felírhatjuk a mágneses térerõsségre is: dH = I dl × r o 4π r 2 , ill. H= I 4π dl × r o ∫ r2 A következõkben a Biot-Savart törvény néhány alkalmazásával foglalkozunk. A sorra kerülõ példák és azok végeredményei a mágneses térrel kapcsolatos további megfontolásaink szempontjából is jelentõsek. Végtelen hosszú, egyenes áramvezetõ mágneses tere. Számítsuk ki a térerõsséget a vezetõtõl tetszõleges R távolságban lévõ P pontban. Az 58 ábrán felvett tetszõleges Idl áramelem a P pontban a rajz síkjára merõleges, befelé mutató H térerõsséget eredményez. Ugyanez mondható minden áramelemre, mivel a vezetõ egyenes Igy a dH elemi térerõsség-vektorok eredõje a rajz síkjára merõleges, befelé mutató vektor, amelynek már csak a nagyságát kell kiszámítani. A Biot-Savart törvényt skalár alakban felírva: ∞ I dl

sin ϕ H= 4π −∫∞ r 2 Új változó bevezetésével ezen improprius integrál egyszerû módon megoldható. A P pontból a vezetõre bocsátott merõleges és az r helyvektor által bezárt szöget jelöljük α-val. A dl vezetõelem végpontjaihoz tartozó helyvektorok dα szöget zárnak be. Az l változó helyett tehát bevezethetjük α-t, amely a teljes vezetõhossz mentén való integrálásnál -π/2 és π/2 határok között változik. A külön kinagyított ábrán látható ABC derékszögû háromszögben a B csúcsnál lévõ szög határátmenetben 1800 - ϕ értékhez, az AC befogó pedig rdα -hoz tart. A derékszögû háromszögbõl AC = dl sin (1800 - ϕ) = dl sin ϕ , ezért rdα = dl sinϕ . Továbbá az ábra alapján az r = R helyettesítést alkalmazva cos α H= I 4π π /2 ∫ π − /2 cos α R dα = I [sin α ]π−π/ 2/ 2 = I 4π 2πR Tehát a végtelen hosszú egyenes áramvezetõ mágneses terének tetszõleges P pontjában (a

vezetõtõl mért R távolságban) a térerõsség: H= I 2πR Az eredmény szerint tárerősség a vezetőtől mért R távolság növekedésével fordított arányban csökken, azonos távolságban pedig minden irányban ugyanakkora értékű. Az erővonalak koncentrikus körök, a térerősségvektor érintőirányú. 3.8 A gerjesztési törvény és néhány alkalmazása Az előző fejezetben megismert Biot-Savart törvényel bármilyen elrendezésű áramok esetén ki lehet számítani a B mágneses indukciót, vagy a H térerősséget. A törvény az elektrosztatikában megismert E és D meghatározására alkalmas integrál-formulák megfelelője. Alkalmazásuk sok esetben bonyolult matematikai számítást igényel A most következő törvényben az elektrosztatika Gauss tételéhez hasonlóan, egyszerűbben alkalmazható összefüggést ismerünk meg, amely inhomogén térkitöltő anyagok esetén is érvényes, továbbá ismeretében a mágneses tér szerkezetére

vonatkozó alapvető megállapítást is tehetünk. Kiindulásképpen tekintsük azt az egyszerű esetet, amikor a mágneses teret stacionárius árammal átjárt, végtelen hosszú egyenes vezető hozza létre. Az előző alfejezet példájában foglalkoztunk ezzel a problémával. Megállapítottuk, hogy az I árammal átjárt vezetőtől tetszés szerinti R távolságban a térerősség H= I 2πR ⋅ Azt is tudjuk, hogy az erővonalak a vezetőre merőleges síkban koncentrikus körök, amelyek érintői a H vektorok a jobbcsavarszabály szerinti irányítással. A 62 a/ ábrán a vezetőre merőleges síkmetszetet látunk, a vezető köré rajzolt R sugarú erővonallal. Képezzük ezen zárt görbére a H vektor vonalintegrálját. Mivel a H és d  vektorok érintő irányúak és H nagysága a görbe minden pontjában ugyanakkora, ezért ∫ Hd  = ∫ Hd = H ∫ d azol ∫ d = 2πR a zárt erővonal hosszúságának fel meg. Tehát: ∫ Hd  = H 2πR ⋅

Mivel a H = I 2πR , a térerősség vonalintegrálja ∫ Hd  = I ⋅ A térerősségnak az egyenes vezetőt körülvevő erővonalmenti integrálja a vezetőben folyó áramerősséggel egyenlő. Az elektrosztatikából ismeretes, hogy a villamos térerősség vonalintegrálja a feszültség: B ∫ Ed s = U AB ⋅ A Ennek analógiájára eredményünket úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a mágneses feszültség egy erővonal mentén a mágneses teret gerjesztő áramerősséggel egyenlő. Ha más áramvezetők közelsége az egyenes vezető mágneses terét nem zavarja, akkor könnyen bizonyjtható, hogy tetszőleges erővonalra integrálva ugyanezt az eredményt kapjuk. Felmerül a kérdés, vajon a vezetőt körülvevő, bármilyen alakú görbe esetén is ugyanaz a ∫ Hd  értéke? A 62. b/ ábrán r1 és r2 sugarú körívekből, valamint sugárirányú szakaszokból összetett zárt görbét képeztünk. A zárt vonalra számított integrált a vonalszakaszokra

képezett integrálok összege adja. A sugárirányú vonaldarabokra az ∫ Hd  = 0 , mivel a H merőleges d  -re. Maradnak tehát az r1, ill r2 sugarú körívekre képezett integrálok Belátható, hogy ezen integrálok összege ugyanakkora, mint bármelyik erővonal mentén számított körintegrál. Az ábrán két sugárirányú egyenessel, amelyek dα szöget zárnak be egymással mindkét erővonalbül kimetszettünk egy-egy szakaszt. Jelöljük ezen köríveket d 1 , ill d 2 vel Azt kell belátnunk, hogy H 1 d 1 = H 2 d 2 ⋅ Az ívelemeket d 1 = r1 dα , ill . d 2 = r2 dα alakban írhatjuk Továbbá behelyettesítve H1 = I 2πr1 , ill . H 2 = I 2πr2 értékeket; I 2πr1 r1 dα = I r dα 2πr2 2 azonosságot kapjuk. Tehát H 1 d 1 = H 2 d 2 = I dα ⋅ 2π Ennek alapján I ∫ Hd  = 2π ∫ dα = I ; mivel ∫ dα = 2π ⋅ Megállapíthatjuk tehát, hogy a mágneses térerősség vonalintegrálja bármely tetszőleges, az

áramvezetőt körülvevő görbére ugyanakkora, és pedig a gerjesztőáram erősségével egyenlő. Megállapításainkban kihangsúlyoztuk, hogy a görbe, amelyre ingerálunk, körülveszi az áramvezetőt. Miért lényeges ez? Az egyenes áramvezető mágneses terében vegyünk fel a zárt görbét valahol a vezetőn kívül, a 63. ábrán látható módon. Ezen a zárt vonalra képezett integrál zérus, mivel az r1, ill. r2 körívek ugyanazon α középponti szöghöz tartoznak, de ellentétes körüljárásúak. H 2 d  2 = − H 1 d 1 . Tehát 2 ∫ Hd  = ∫ H d 1 1 4 1 + ∫ H 2 d 2 = 0 ⋅ 3 Zárt görbére, amely az áramvezetőt nem hurkolja körül, a mágneses térerősség vonalintegrálja zérus. Ahhoz, hogy a gerjesztési törvényt általánosan megfogalmazhassuk, tetszőleges (nemlineáris) áramvezetők rendszerét kell még megvizsgálnunk. A 64 ábrán látható vezetőkben kükönböző nagyságú és irányú áramok folynak. A

vezetékköteget vegyük körül tetszőleges görbével. A görbe mentén uralkodó térerősség az egyes vezetőkben folyó áramok együttes hatásának tulajdonítható, az erőterek szuperpozició elve alapján. A gerjesztési törvény általános alakban: n ∫ Hd s∑ I k =1 k Tetszés szerinti áramok mágneses terében a H térerősségnek valamely zárt vonal mentén képezett integrálja egyenlő a vonal által határolt felületen áthaladó áramok algebrai összegével, vagyis a gerjesztéssel. A gerjesztési törvény jobb oldala kifejezhető a J áramsűrűséggel. Valamely A felületen áthaladó áram erőssége, mint láttuk, I = ∫ Jd A felületi integrállal fejezhető ki. A gerjesztési törvény tehát a következő módon is felírható: ∫ Hd s = ∫ Jd A ⋅ A továbbiakban lássunk néhány példát a gerjesztési törvény alkalmazására: a/ Hosszú tekercs (szolenoid) mágneses tere. A 65. ábra N menetszámú, hosszú tekercset ( D〈) mutat,

amelyben I = áll. gerjesztáram folyik A tekercsben kialakult mágneses tér erővonalai (a végektől eltekintve) párhuzamosak, vagyis az erőtér homogén. A mágneses tér a tekercs sűrű csévélése esetén a tekercs belsejére korlátozódik, vagyis kívül a térerősség zérusnak vehető. A tér jellegéhez alkalmazkodva, az ábrán berajzolt téglalapot határoló görbét célszerű most felvenni. Erre a görbére integrálva H-t: 2 ∫ Hds =H ∫ ds=H  ; 1 mivel a többi vonalszakaszon az integrál értéke zérus. A görbe által határolt felületen átfolyó áramok összege, vagyis a gerjesztés: NI. A gerjesztési törvény szerint tehát NI ⋅  Nyilván ugyanazt az eredményt kaptuk, mint a Biot-Savart törvény alkalmazásával, csak lényegesen egyszerűbb úton. H= b/ Toroid tekercs mágneses tere. A körtekercs vagy toroid (66. ábra) mágneses tere a menetekre merőleges síkban körszimmetriát mutat. Az erővonalak a körgyűrű belsejében

koncentrikus körök. Egy-egy erővonal mentén a térerősség nagysága állandó, iránya viszont mindenütt a dl vonalelemvektor irányába mutat, ezért Hdl = Hdl A H térerősség vonalintegrálja egy tetszőleges r sugarú erővonalra: ∫ Hdl =H ∫ d =H 2 πr ⋅ A gerjesztés N menetszám és I áramerősség esetén: Θ = NI ⋅ Igy a gerjesztési törvény szerint H2πr = NI. Vagyis H= NI ⋅ 2πr A kapott eredmény a térerősség sugárirányú változását mutatja, amint leolvasható a H térerősség az r távolsággal arányosan csökken. Közelítő számításoknál elégséges a Hk közepes térerősséget ismerni, amely az rk = Rb + Rk 2 közepes sugárral számolható. c/ Vastag, hengeres áramvezető mágneses tere. A 67. a/ ábrán homogén anyagú, R sugarú hengeres áramvezető keresztmetszetét látjuk. Vizsgáljuk a kialakult mágneses teret a vezető belsejében (r > R) és a vezetőn kívül (r < R). A mágneses tér ismét

körszimmetriát mutat a vezetőre merőleges síkban Tehát ∫ Hd=H ∫ d =H 2 πr ; vagyis ugyanazzal a függvénnyel írható le a vezető belsejében és a vezetőn kívül. A Θ gerjesztést azonban másként kell meghatározni a két esetben. Ha r < R, akkor nem tekinthető a keresztmetszetben folyó összes áramerősség gerjesztésnek, hanem csak az r2π felületen átfolyó. Mivel a J áramsűrűség a vezető keresztmetszetében J= I I = 2 ; A R π ezért Θ = Jr 2 π = I Alkalmazva a gerjesztési törvényt: J 2πr = I H= r2 ⋅ R2 r2 ⋅ Tehát R2 I ⋅ 2πR 2 Ha r > R, akkor Θ = I. A gerjesztési törvény szerint H2πr = I ; vagyis H= I 2πr ⋅ Mint látjuk, a vezetőn kívüli térre a már korábban megismert eredményt kaptuk. A 67. b/ ábra a H = H(r) függvényt szemlélteti A gerjesztési törvény alkalmazásával még találkozunk később a mágneses körök vizsgálatánál. 3.9 A mágneses fluxus A mágneses fluxust - a villamos

eltolási fluxussal analóg módon -, a B mágneses indukció felületi integráljaként definiáljuk: ∫ Φ = BdA Mértékegysége 1 Vs = 1 Wb (weber). Ha az erőtér ábrázolásánál az indukcióvonalakra merőleges felületegyésgen annyi erővonalat veszünk fel, amennyi ott az indukció számértéke, akkor szemléletesen a fluxus tetszőleges A felületre a felületen áthaladó indukcióvonalak számával lesz egyenlő. Az elemi fluxust a BdA skalár szorzat definiálja. Az elektrosztatika Gauss-tételénél láttuk, hogy az eltolási vektor zárt felületre vett fluxusa a felület belsejében található töltések algebrai összegével egyenlő. A mágneses tér – szemben az elektrosztatikus térrel – azonban dipólusok tere: a kétfajta mágneses töltés szétválaszthatatlan. Ebből következően a mágneses erővonalak önmagukba visszatérő görbék, így a Gauss-tétel értelemszerű alkalmazásából az következik, hogy egy tetszőlegesen választott zárt

felületre számított fluxusnak mindig zérusnak kell lennie: ∫ Φ = BdA = 0 , azaz a ki- és belépő erővonalak száma nem különbözhet. Ezt gyakran úgy is meg szokták fogalmazni, hogy a mágneses tér forrásmentes, vagyis mágneses monopólusok nincsenek. Ez egyben Maxwell IV. egyenlete 3.10 A mágneses tér a térkitöltő anyagokban A Biot-Savart törvény kapcsán már foglalkoztunk a mágneses indukció és a mágneses térerősség kapcsolatával, és láttuk, hogy egyenesen arányosak egymással: B = µ H, ahol µ = µrµo a mágneses permeabilitás. A térkitöltő anyag permeabilitása tehát a vákuum állandó µo, és az anyag ehhez viszonyított µr relatív permeabilitásának a szorzata. A térkitöltő anyagok módosítják a mágneses teret, az anyagok külső mágneses térbe helyezve különböző mágneses tulajdonságokat mutatnak. A diamágneses anyagok relatív permeabilitása µr < 1, azaz a külső térrel ellentétes mágneses

rendeződés lép fel az anyagban, de µr csak kevéssé tér el az 1-től. Ezek az anyagok csak külső mágneses térben mutatnak mágneses tulajdonságokat, és permeabilitásuk nem függ a külső tér változásaitól. A paramágneses anyagok esetében µr > 1, de az eltérés ebben az esetben sem jelentős, azaz a mágneses rendeződés mértéke jelentéktelen. A ferromágneses anyagoknál µr >> 1, azaz a külső tér hatására jelentősen megnő az anyag mágneses rendezettsége. A permeabilitás a külső tér nagyságától is függ, ahogy az a 77 ábráról is leolvasható. Az ábra a ferrománeses anyagok mágnesezettségének változását ábrázolja a külső tér függvényében. Látszik, hogy a kezdetben gyorsan mágneseződő anyag mágnesezési görbéje, az ún hiszterézisgörbe, nagy külső fokozatosan ellaposodik, ahogy az anyagban a mágneses rendezettség szinte teljessé válik. Ez a rendezettség aztán a külső tér megszüntével sem tűnik el

teljesen, a visszamaradt Br remanens indukció anyagról anaygra más-más értékű. A remanencia megszüntetése csak egy ellentétes irányú, Hc nagyságú térrel, - ez az ún. koercitív erő – lehetséges. Minél nagyobb a koercitív erő, annál több munkát igényel a ferromágneses anyag átmágnesezése. Ez a munka az anyagban hővé alakul, tehát veszteséget jelent Ez a hiszterézisveszteség, ami a hiszterézishurok területével arányos. Ha a veszteség kicsiny, lágy máneses anyagról (lásd lágyvas) beszélünk, ha nagy, akkor kemény mágneses anyagról. A ferromágneses anyagok mágneses tulajdonságaiért részben az atomszerkezetük (az ún. kompenzálatlan spinű elektronokat tartalmazó alhéjak), részben pedig kristályszerkezetük felel. A hiszterézisgörbe alakját az ún. Weiss-féle doménelmélet magyarázta meg. Eszerint a ferromágneses anyagokban apró, azonos mágnesezettségű tartományokat, más néven doméneket találunk, melyek

külső tér hiányában egymás hatását lerontják. Amikor azonban az anyag külső térbe kerül, az annak megfelelő irányítottságú domének fala eltolódik a többi rovására (76. ábra), és a megváltozott állapot a tér kikapcsolása után is fennmarad. Az ellenkező irányú máneses térben megintcsak az annak megfelelő irányú domének kezdenek növekedni, amíg az egész anyagban dominánsakká nem válnak. 4. AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ VÁLTAKOZÓÁRAMOK Az előző fejezetekben azt láttuk, hogy a nyugvó töltések, ill. a térben vagy a vezetőben állandó sebességgel mozgó töltések időben váltzoatlan, stacionárius tereket hoznak létre, amelyek egymástól függetlenként viselkednek. Ebben a fejezetben az elektromos és a mágneses tér kapcsolatával, kölcsönhatásával foglalkozunk. E kölcsönhatás csak akkor figyelhető meg, ha a terek nem sztatikusak, azaz akár az elektromos, akár a mágneses tér időben változó. Ilyen esetben az

addig függetlennek tűnő terek hirtelen egymástól szét nem választható elektromos és mágneses tulajdonságokat mutató, ún. elektromágneses térként viselkednek. Elektromágneses indukcióról akkor beszélünk, ha a kölcsönhatások eredményeként egy vezető két pontja között feszültség keletkezik. 4. 1 A mozgási indukció A Neumann- törvény Az elektromágneses indukciónak ez a fajtája akkor áll elő, ha állandó mágneses térbren vezetőt mozgatunk. A jelenség könnyebb megértése kedvéért induljunk ki abból az egyszerű esetből, amikor egy B indukciójú homogén mágneses térben l hosszúságú vezetőt mozgatunk állandó v sebességgel (83. ábra) Ilyenkor a vezetővel együttmozgó szabad elektronokra a mágneses tér erőt fejt ki (Lorentzerő): F = q [ v × B] amely az elektronok negatív töltése miatt az ábrán feltüntetett irányba mutat, és az elektronokat a vezető egyik végébe hajtja. A töltésáramlás a vezetőben azonban

hamar megszűnik, mivel a szétválasztott töltések között fellépő qE elektromos vonzóerő gyorsan növekedik. Az egyensúlyi állapotban a két erő egyenlő, így: E = v×B Az indukált térerősség csak a vezető mozgásának idejére áll fenn, és úgy viselkedik, mint egy feszültségforrás: U = ∫ Edl = ∫ [ v × B]dl   A kapott összefüggés az ún. Neumann törvény Esetünkben a tér homogenitása miatt U = vBlsinα, ahol α a v és B vektorok által bezárt szög. Mivel az ábra szerint a sebesség és a mágneses indukció merőlegesek egymásra, ezért az indukált feszültség U = vBl nagyságú lesz. 4.2 A nyugalmi indukció Faraday indukciótörvénye A nyugalmi elektromágneses indukció jelensége nyugalomban levő vezető és időben változó mágneses tér esetén lép fel. Ha egy zárt vezetőt változó mágneses térbe helyezünk, akkor a vezető által határolt felületen mérhető mágneses fluxus változásának sebességével

arányos feszültség fog indukálódni a vezetőben: U =- dΦ dt Ez Faraday törvénye, mely szerint valamely zárt vezetőben indukált feszültség arányos a vezető által határolt felületen átmenő indukciófluxus időegységre eső megváltozásával. A képletben szereplő negatív előjel az ún. Lenz-szabályra utal: az indukált feszültség iránya mindig olyan, hogy az általa indított áram mágneses terével akadályozza az indukáló hatást. Megjegyezzük, hogy Faraday törvénye a Neumann-törvényből is levezethető. Mivel az indukált feszültséget csak a fluxusváltozásból számítja, ezért mind nyugalmi, mind mozgási indukció esetében használható. A következőkben két jelenségen szemléltetjük a Faraday-törvény alkalmazásának lehetőségeit. Az önindukció. Ez a jelenség a nyugalmi indukció egyik speciális esete, amikor egy feszültség alatt álló tekercsben az áramerősség megváltozása hozza létre az (ön)indukciós

feszültséget (86. ábra) Az ábrázolt kapcsolásban az R ellenállás segítségével szabályozhatjuk az áramerősséget az N menetszámú, A keresztmetszetű,  hosszúságú tekercsben. Lémagos tekercsben (szolenoidban) a tekercs fluxusát jó közelítéssel az egy menetre számolt fluxus N-szeresének vehetjük: Φ = N BA Mivel B = µH , továbbá H = NI/, ezért a tekercs fluxusa Φ = N2μ A I ≡ LI  alakba írható, ahol a tekercs geometriájára jellemző állandókat és a permeabilitást egyetlen együtthatóba szokás foglalni, az L önindukciós tényezőbe (induktivitásba). Az induktivitás mértékegysége a henry 1 H = 1 Vs/A Az induktivitás nagymértékben megnövekszik, ha a tekercsbe vasmagot helyezünk. Mivel a ferromágneses anyagok permeabilitása nem tekinthető állandónak, ezért L sem az. Ha mármost a tekercsben folyó áram változik, akkor Faraday törvénye értelmében U =− dΦ di ; = −L dt dt tehát az önindukciós feszültség

nagysága egyenesen arányos az időegységre eső áramerősségváltozással. Irányát a Lenz-szabály határozza meg A kölcsönös indukció. Ez a jelenség közös fluxussal összekapcsolt, csatolt tekercsek esetén lép fel. A 87 ábra két, L1, ill. L2 induktivitású tekercset ábrázol, szorosan egymás mellé tekercselve Ha a tekercsek sűrűn csévéltek, akkor ugyanazok az erővonalak haladnak át rajtuk. A csatolás még szorosabbá tehető, ha a két tekercset ugyanarra a magra tekercseljük. Kapcsoljunk most az ábra szerint feszültséget az egyik tekercsre, miközben a másik kapcsait nyitvahagyjuk. Ekkor ha az első tekercsben megváltozik az áramerősség – mindkét tekercs fluxusváltozását az első tekercs árama határozza meg. Az első tekercsben természetesen önindukciós feszültség lép fel, de bennünket most a második tekercsben indukálódott feszültség érdekel. Ez a Faradaytörvény szerint dΦ N di u = − 2 = − N 2 μH 1 1 2 dt  dt

lesz, mivel a második tekercs fluxusát az első tekercsben keletkező térerősség határozza meg. Az együtthatókat az M ún kölcsönös indukciós együtthatóba foglalva, a kölcsönös indukció során keletkezett feszültségre a következő kifejezést kapjuk: u2 = − M di1 dt A kölcsönös indukció elvén működnek a transzformátorok, ahol a tekercsek szoros csatolását közös, általában zárt vasmagon keresztül biztosítják. A primerkör váltakozó áramú gerjesztése következtében a szekunder tekercsben feszültség indukálódik. A transzformátor terheletlen állapotában a szekunder tekercsben áram nem folyik. Szinuszos váltakozó feszültség előállítása A váltakozó feszültség előállításának csak a fizikai alapjaival foglalkozunk azon sematikus generátormodell alapján, melyet a 88. ábrán vázoltunk Ezen homogén mágneses térben vezetőkeret forog állandó ω szögsebességgel. A vezetőkeret kivezetései

csúszógyűrűkhöz (Cs) csatlakoznak, amelyekről álló szénkeféken (Sz) keresztül jut a feszültség az A-B kapcsokra. Az a/ ábra azt azt a fázishelyzetet mutatja, amikor a mágneses tér indukcióvonalai (a rajzon X ) merőlegesek a vezetőkeret A=D felületére. Ekkor a B indukcióvektor és az A felületvektor megegyező irányúak. A b/ ábra az α = ωt általános fázishelyzetet mutatja az előbbihez (α =0) viszonyítva. A vezetőkeret forgása következtében változik a tekercsfluxus is: Φ = Φmcosα ; ahol Φm = BA = BDl a fluxus maximális értéke. Figyelembe véve az α = ωt összefüggést, a tekercsfluxus az idő függvényében a következő alakba írható: Φ = Φmcosωt . Az indukciótörvény alapján az indukált feszültséget a fluxus deriválásával kapjuk meg: U =− dΦ = Φ mω sin ω t dt Az A-B kapcsokon tehát szinuszosan váltakozó feszültség jelenik meg, amelynek maximális értéke Um = Φmω = BAω. Ezzel a feszültség, mint

az idő függvénye, a következő általánosan hsznált alakba írható: U = Um sinω t . A képletben szereplő ω a váltakozó feszültség körfrekvenciája, amely az f frekvenciával, ill. a T periódusidővel is kifejezhető: ω = 2πf = 2π/T. A feszültség egy perióduson belül kétszer veszi fel a maximális értékét: az α=π/2, ill. 3π/2 fázishelyzetekben Az α= 0, ill π fázishelyzetekben, amikor a vezetőkeret síkja merőleges az indukcióvonalakra, zérus a feszültség értéke. A 89 ábra közös koordinátarendszerben szemlélteti a fluxus és a feszültség időbeli változását