Fizika | Felsőoktatás » Szilágyi András - A modern fizika elemei

. A modern fizika elemei Szilágyi András Budapest, 2002-2010 Tartalomjegyzék Előszó . 1. A speciális relativitáselmélet elemei 1.1 Az inerciarendszer fogalma és a Galilei-féle relativitás elve 1.11 A tér és az idő klasszikus megközelítése 1.12 Az inerciarendszer 1.13 A Galilei-féle relativitási elv 1.2 A speciális relativitáselmélet axiómái és néhány következményei 1.21 A speciális relativitáselmélet két axiómája 1.22 A négydimenziós téridő 1.23 A Lorentz transzformáció 1.24 Hosszkontrakció, idődilatáció 1.25 Ikerparadoxon, sebességösszeadás, tömegnövekedés 1.26 A tömeg-energia ekvivalencia 1.3 Tompkins úr kalandjai a fizikával A városi sebességkorlátozás . 2. A magfizika elemei 2.1 Magmodellek

2.11 Korai felfogások, az atomisták és a mazsolás kalács 2.12 A Rutherford-féle modell 2.13 A Bohr-modell és a kvantummechanikai kép 2.2 A magok stabilitása 2.21 Az atomot alkotó részek, izotópok 2.22 A magerők 2.23 A magok stabilitása, a kötési energia 2.24 A fissziós és a fúziós energia 2.3 A radioaktív bomlás 2.31 Az α-, β- és γ-bomlás 2.32 Az aktivitás és a felezési idő 2.33 A radioaktív sugárzás veszélye és haszna 2.34 Dozimetriai alapfogalmak 2.35 Hétköznapi nukleáris dózisaink és ezek kockázata 2.4 A hasadási és a fúziós energia gyakorlati felhasználása 2.41 A hasadási energia és a láncreakció elve 2.42 Az atomreaktorok működésének elve 2.43 A fúziós energia: hidrogénbomba, fúziós reaktor 2.44 Nukleáris biztonság 2.5

Tompkins úr kalandjai a fizikával A fafaragó . 3 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 9 11 11 12 15 16 18 19 19 19 . elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 24 25 25 25 26 27 28 29 29 31 32 34 35 37 37 38 40 41 44 44 . . . . . . . . . . . . . 4 3. A kvantummechanika elemei 3.1 Klasszikus módon nem magyarázható jelenségek 3.11 A fény hullámtermészete, a klasszikus kép 3.12 A fényelektromos jelenség és a fotonhipotézis 3.13 A Compton effektus 3.14 A fény kettős természete 3.15 Az elektron interferencia, Jönsson kísérlet 3.16 A vonalas színkép 3.17 Részecske vagy hullám? 3.2 A kvantummechanika előzményei 3.21 A fotonhipotézis 3.22 A de-Broglie-féle hipotézis 3.23 A Bohr-féle atommodell 3.3 A kvantummechanika elemei

3.31 A hullámfüggvény 3.32 A hullámfüggvény és az impulzus 3.33 A Heisenberg-féle határozatlansági reláció 3.34 A mérés és a határozatlanság 3.35 Milyen a Hold amikor nem nézem? 3.36 A részecske–hullám kettősség, sajátállapotok 3.37 A kvantummechanikai szétfolyás 3.38 A kétréses kísérlet magyarázata 3.39 Becsapható-e egy elektron? 3.310 Alagúteffektus 3.311 Schrödinger macskája, a tudat és a hullámfüggvény 3.4 Tompkins úr kalandjai a fizikával Kvantumbiliárd . Kvantumőserdő . TARTALOMJEGYZÉK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 49 49 51 51 51 52 52 53 53 53 54 56 56 58 59 59 60 61 62 62 64 65 66 67 67 69 A. A fontosabb fizikai állandók 75 A.1 Az SI alapértékei és alapegységei 75 A.2 Az SI prefixumai 75 A.3 A fontosabb fizikai állandók

76 B. Ajánlott irodalom 77 Előszó E kis jegyzet nem akar többet nyújtani, mint amit címében ígér. Elemeket mutat be a modern fizikából – alapfokon. Károlyházy Frigyes szavaival élve: „modern fizikáról száz oldalon szólni olyan feladat, mint egy induló vonat ablakából szerelmet vallani.” Azért megpróbáljuk „Modernnek” tekintjük a fizikának a századforduló után megszületett új ágait, a relativitáselméletet és a kvantummechanikát. A fizika ugyan folyamatosan fejlődik, és a „modern” elméleteket már újabbak váltják fel, de ezek megértéséhez nagyon komoly matematikai eszközkészletre van szükség, amely – hiányzó – matematikai tudás a jegyzet témaválasztását és terjedelmét leginkább befolyásoló tényező. Gondosan ügyeltünk arra, hogy a gimnáziumi matematika anyagánál mélyebb ismeretek ne kelljenek a megértéséhez, ez természetesen erősen behatárolta az érinthető területeket,

valamint sok eredményt kénytelenek vagyunk bizonyítás nélkül közölni. Azonban „fair play”-t ígérünk Sehol nem fogjuk azt mondani: „Nyilvánvaló, hogy ”, ahol a szóban forgó dolog bonyolult. Viszont nem ígérhetjük, hogy minden már az első olvasásra világos lesz. Célunk – a matematikai problémákban való elmélyülés helyett – a szemléletformálás, egy modern fizikai gondolkodásmód kialakítása. Ezt szolgálják a fejezetek végén megjelenő – George Gamowtól származó – rövid történetek (Tompkins úr kalandjai a fizikával, Gondolat, 1976), mely bemutatja, hogyan nézne ki világunk ha a modern fizika által megjósolt hatások hétköznapjainkban megjelennének. Reményeink szerint a jegyzet tanulmányozása át fogja formálni a figyelmes Olvasó fizikai világképét, és újabb kérdések, problémák felvetésére inspirál, hiszen ahogyan Eden Phillpotts írta: „A világmindenség csodás dolgokkal van tele, amelyek

türelmesen várják, hogy elménk hozzájuk élesedjék.” 5 6 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 1. fejezet A speciális relativitáselmélet elemei 1.1 Az inerciarendszer fogalma és a Galilei-féle relativitás elve A második kérdésre – miért három számmal jellemezhető egy térbeli pont helyzete – a válasz már egyértelmű. A minket körülvevő világ – klasszikusan – három dimenziós Ez azt jelenti, hogy maximálisan ennyi független (tér)irányt tudok megha111 A tér és az idő klasszikus meg- tározni Általánosan a tér annyi dimenziós, ahány független irány meghatározható benne. közelítése Kitüntetett koordinátarendszer a jól ismert A klasszikus mechanikában a tér és az idő „naiv” Descartes-féle (vagy derékszögű) koordinátarendfogalmait használjuk. Próbáljuk meg ezeket – még szer, melynek tengelyei páronként merőlegesek egynem relativisztikus keretek között – némileg ponto- másra (de a

rendszer térbeli orientációja, azaz a sítani. tengelyek iránya tetszőleges). A tengelyeken a hosszegységet a már bevezetett mérőrúddal vesszük A tér fel. A „tér” felépítéséhez először definiálunk egy hosszegységet, legyen ez a mérőrúd hossza. Ezek alapján két test (pont) távolságának meghatározásához pusztán le kell számlálni, hogy hányszor tudom a mérőrudat lefektetni a két test közötti távolságon1 A hosszegység meghatározásával lehetőség nyílik koordinátarendszer bevezetésére A koordinátarendszer matematikai konstrukció, mellyel a tér minden egyes pontjához egyértelműen három számot (koordinátát) rendelünk. A figyelmes Olvasó rögtön két kérdést vethet fel. Mi az a tér, aminek a pontjaihoz számokat rendelünk, valamint miért három számmal határozzuk meg egy pont térbeli helyzetét. Az első kérdésre meg sem kíséreljük a válaszadást, a jegyzet megértéséhez elég az az intuitív kép, mely

hétköznapi életünk során kialakult bennünk a minket körülvevő világról, azon belül a tárgyak viszonylagos helyzetéről, és így magáról a térről. Megjegyezzük, hogy végtelen sokféle módon definiálhatunk koordinátarendszert. Egy speciális példa a Föld pontjainak koordinátákkal való megadása, melyre a hosszúsági és szélességi köröket használjuk Ez azonban nem a legjobb választás, mert a sarkoknál nem egyértelmű a megfeleltetés! (Mivel a földfelület – az egyenetlenségektől eltekintve – két dimenziós, így két koordináta elegendő.) Míg a koordinátarendszer matematikai konstrukció, addig a most bevezetendő vonatkoztatási rendszer már fizikai. Vonatkoztatási rendszernek tekinthetünk bármely olyan objektumot melyhez a lejátszódó jelenségeket viszonyítjuk. Így vonatkoztatási rendszer lehet a Föld, egy állócsillag, a híres einsteini vonat, az állomás, vagy egy űrrakéta. A későbbiekben mindig koordináta

rendszerhez kötött vonatkoztatási rendszereket fogunk használni. Ez azt jelenti, hogy kiválasztunk egy vonatkoztatási rendszert (például a Földet), majd pedig egy hozzá rögzített koordináta rendszert (például a hosszúsági és szélességi köröket) definiálunk. A „hozzá rögzített” kitétel természetesen lényeges, hiszen furcsa lenne, ha – az előző példánál maradva 1 Természetesen ez nem kell, hogy egész szám legyen, amikor már nem fér el a rúd, akkor annak törtrészeit (fele, negyede, . ) kell használnunk, egészen a kívánt mérési pontosság eléréséig. Azonban a tárgyalásunkban feltehetjük, hogy teljesen pontosan tudunk mérni 7 8 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI – a Föld keringése során „elhagyná” koordinátaháA további fejezetekben azonban belátjuk, hogy lózatát. a tér és az idő nem különül el, valamint, hogy a newtoni tér és idő felfogás a modern fizika szemHa a térben

tetszőlegesen felveszünk egy pontjából nem lesz megfelelő. vonatkoztatási rendszerhez kötött koordinátarendszert, akkor a tér bármely pontjához 1.12 Az inerciarendszer egyértelműen hozzá lehet rendelni egy számhármast, Idézzük emlékezetünkbe Newton I. törvényét: Minígy ezentúl a tér egy adott pontjára annak koor- den test megőrzi egyenes vonalú egyenletes mozgádinátáival tudunk hivatkozni Már nincs akadálya sát, vagy nyugalmi állapotát, amíg valamely külső két pont távolsága bevezetésének sem, pusztán meg hatás ennek megváltoztatására nem kényszeríti. kell nézni, hogy a mérőrudunkat hányszor tudjuk lerakni közöttük, vagy pedig a koordinátákból maAz olyan vonatkoztatási rendszereket, melyekben tematikai módszerekkel számolhatunk. Newton I. törvénye teljesül, inerciarendszereknek nevezzük. A későbbiekben a vontakoztatási rendszerhez kötött koordinátarendszer kifejezés helyett csak vonatkoztatási rendszert

fogunk használni amelybe Természetes módon adódik a kérdés, hogy beleértjük a hozzá rögzített (tetszőleges) koordiná- létez(nek)-e a valóságban inerciarendszer(ek), és ha igen, melyek azok? A válasz kiábrándító, inertarendszert is. ciarendszerek nincsenek! Vannak azonban olyan vonatkoztatási rendszerek, amelyek jó közelítéssel Az idő inerciarendszernek tekinthetők. Vizsgálódásunk további részében a klasszikus „idő” Vegyük példaként a Föld felszínét, mint vonatkoztatási rendfogalmát tekintjük át. Az időre – ahogy a térrel szert, és egy elgurított labdát A labda a súrlódás és a közegelmiatt nem végezhet egyenletes mozgást, mozgása folyais tettük – nem adunk definíciót, megelégszünk a lenállás matosan lassuló. Ezeken az erőkön kívül hat még rá a gravitáció, mindannyiunkban kialakult (viszonylag homogén) amely a gömbölyű Föld felszínén tartja, így mozgása nem lehet vonalú. Ha a közegellenállást

és az egyéb disszipatív tapasztalati képpel. Ebben az esetben is először egyenes erőket amennyire csak lehet lecsökkentjük, a test kezd egyre inaz egységet definiáljuk. Legyen ez egy – tetszőle- kább az I törvény kívánalmainak megfelelően viselkedni Egyre lassulássa lesz, valamint kis utakon a Föld görbületéből ges, de teljesen egyenletesen járó, ideális – órán a kisebb adódó hiba is kicsi lesz. Megérzésünk szerint ideális határeset„tik-tak”, azaz a két ütés közötti időtartam Így a ként – minden disszipatív hatást kikapcsolva – a test meg fogja egyenes vonalú egyenletes mozgását, azaz inerciarendszertér bármelyik pontjában az időmérés egy oda helye- őrízni hez jutunk. A leírtak szerint úgy tűnik, hogy a Föld felszíne, ha zett órával lehetséges. (Ha szükséges, a tér minden kikapcsoljuk a disszipatív hatásokat, nem túl nagy utak mellett egyes pontjába tehető egy-egy – ugyanolyan – óra.) jó

közelítéssel inerciarendszernek tekinthető Azonban nem tökéletes inerciarendszer. Ennek több oka van A térbeli távolsághoz hasonlóan bevezethetjük az Először is, a Föld nem sík, így a felületén végbemenő mozgás időkülönbséget, mely egy adott pontban lejátszódó nem lehet egyenes vonalú. A további okok megértéséhez gondoljunk egy kanyarodó busz esetére Benne az utasok a kanyar események közötti „tik-tak”-ok számát jelenti. külső íve felé irányuló tehetetlenségi erőt érzékelnek. A Nap Most már rendelkezésünkre áll a koordinátarend- körül keringő Föld egy folyamatosan kanyarodó „busz”, amely még naponta meg is fordul tengelye körül, így a rajta lévő társzer, a vonatkoztatási rendszer, két pont távolsága, gyakra természetesen folyamatosan tehetetlenségi erők hatnak. az idő és egy adott pontban lejátszódó események Emiatt ha az összes súrlódó (disszipatív) hatást kikapcsolnánk, akkor sem lenne a

magára hagyott test mozgása egyenes vonaidőkülönbsége, azonban figyeljük meg, hogy lú és egyenletes, a tehetetlenségi erők eltérítenék. Az Olvasó a klasszikus tárgyalásmódban a tér és az idő egymástól teljesen független! A nagy Isaac Newton a Principiában a térről és az időről az alábbiakat írta: javasolhatná, hogy hagyjuk el a Földet és távolabb keressünk valódi inerciarendszert. A Naprendszer forgó Galaxisunk egyik karjának végén fekszik, így tehetetlenségi erők ugyanígy fellépnek – ha nem is olyan nagyok, mint a Föld forgása következtében. Ezeken kívül természetesen mindenhol fellép a tömegvonzás is Általánosságban csak olyan térrész lehet inerciarendszer, ami teljesen erőmentes, azaz az ott lévő testekre erő nem hat. Mivel az erők jó részének hatótávolsága végtelen (gravitációs, elektromágneses, . ), így a Világegyetemben nincs erőmentes terület, azaz nincsen inerciarendszer. • „Az abszolút

tér saját természetétől eredően, minden külső vonatkozás nélkül mindenkor haA legtöbb esetben a Föld felszínének egy pontsonló és mozdíthatatlan marad.” jához rögzített vonatkoztatási rendszert tekinthet• „Az abszolút valóságos matematikai idő ön- jük inerciarendszernek. Ha pontosabbak szeretmagától, saját természetéből eredően, minden nénk lenni, koordinátarendszerünk tengelyeit állókülső vonatkozás nélkül egyenletesen folyik” csillagok irányához rögzíthetjük – ezt használják a 1.1 AZ INERCIARENDSZER FOGALMA ÉS A GALILEI-FÉLE RELATIVITÁS ELVE 9 csillagászok – , ami már sokkal jobb választás, azonAz e.ve mozgást végző rendszerben tehetetlenban az állócsillagok sincsenek teljes nyugalomban, ségi erők fellépése nem érzékelhető, azaz a benne így bár a kísérletekhez kitűnően alkalmasak, elvileg magára hagyott test megőrzi e.ve mozgását illetve ezek sem inerciarendszerek. nyugalmi állapotát.

Tehét egy eve mozgást végző rendszer inerciarendszernek tűnik. Inerciarendszer tehát nem létezik – hiszen egy testet nem lehet úgy izolálni, hogy ne érje semmi 1.13 A Galilei-féle relativitási elv külső hatás. A külső hatások egyre gondosabb kikapcsolásával az inerciális állapot azonban Az előző fejezetben két inerciarendszert is tetszőlegesen megközelíthető. találtunk (persze mindkettő csak „majdnemA következőkben azonban, inerciarendszernek inerciarendszer”). A Galilei-féle relativitási elv – fogjuk nevezni azokat a vonatkoztatási rendszereket amit a közhiedelemmel ellentétben nem Galileo is, amelyek kellően pontosan megközelítik az iner- Galilei fedezett fel – az inarciarendszerek között teremt kapcsolatot. ciarendszert. Kitekintésként a klasszikus mechanikára vizsgáljuk meg néhány egyszerű példa kapcsán a tehetetlenségi erők megjelenését, amely egyben az inerciarendszertől való eltérés „mértéke”. Az elv

megértéséhez vegyük azt az esetet, melyben az állomáson áll két vonat, és az egyik (lassan, minimális gyorsítással) elindul.3 Ekkor a vonatban ülő megfigyelő nem tudja eldönteni, hogy az ő vonata megy hátra, vagy a másik előre. Viszont ha a másik ablakon néz ki, ahol az állomás épületét látja, már tud dönteni. Ennek az az oka, hogy az állomás épületét kitüntetettként „nyugvónak” fogadjuk el, ami ahhoz képest mozog, azt tekintjük mozgásban lévőnek. Próbáljunk valamilyen módon különbséget tenni az állomás és az e.ve mozgást végző vonat között! Ha elkezdünk mechanikai kísérleteket végezni az állomásépületben, valamint a vonaton, az eredmények azonosak lesznek, ilyen módon nem lehet a két rendszer között különbséget tenni. Nézzük erre Galiei eredeti példáját: Első hétköznapi példánk legyen az autóbusz. Ha az autóbusz – megközelítőleg – egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, majd pedig

hirtelen fékez, akkor felsőtestünk a menetirány szerint előrelendül, lábunkat a súrlódás egy helyben tartja. Próbáljuk ezt megmagyarázni Newton első törvényével! Amikor a busz fékez, az utas továbbra is a korábbi sebességgel „szeretne” továbbhaladni, meg akarja őrizni mozgásállapotát. Lábát azonban a súrlódás a busz padlójához rögzíti, így kettős helyzet alakul ki: felsőteste továbbra is a kezdeti sebességét őrzi, lába azonban együtt lassul a busszal. Ezt Zárkózzál be egy barátod társaságában egy hajó feaz utasra ható erőt nevezzük tehetetlenségi erőnek. délzete alatt egy meglehetősen nagy terembe Vigyél oda szúnyogokat, lepkéket és egyéb röpködő állatoMég érdekesebb a helyzet, ha a lassuló buszban kat, gondoskodjál egy apró halakkal telt vizesedénygörkorcsolyát viselünk. Amikor a busz lassul – a ről is, azonkívül akassz fel egy kis vödröt, melyből a korcsolya miatt nem lévén számottevő

súrlódás – víz egy alá helyezett szűknyakú edénybe csöpög. őrizni akarjuk eredeti sebességünket, így előre haMost figyeld meg gondosan, hogy a repülő állaladunk a buszban.2 tok ugyanolyan sebességgel röpködnek a szobádban, Az egyenes vonalú egyenletes (e.ve) mozgás követelményét nem csak gyorsítással-lassítással, hanem kanyarodással is meg lehet sérteni Továbbra is a busz példájánál maradva, a kanyarodó – de állandó sebességű – buszban is fellép tehetetlenségi erő. Ennek oka szintén nyilvánvaló! Miközben meg akarom őrizni e.ve mozgásomat, a kanyarodó busz „kifordul” alólam, de lábam a helyén marad, ez a fellépő erő is tehetetlenségi erő. 2 A fizikai lényeget jobban megragadná az a megfogalmazás, miszerint mi folyamatosan a kezdeti sebességgel haladunk, azonban a busz lassulása miatt a szélvédő „ jön belénk”, nem mi abba. míg a hajó áll. Meglátod azt is, hogy a halak egyformán úszkálnak minden

irányba, a lehulló vízcseppek mind a vödör alatt álló edénybe esnek. Ha barátod felé hajítasz egy tárgyat, mind az egyik, mind a másik irányba egyforma erővel kell hajítanod, feltéve, hogy azonos távolságokról van szó. ( ) Jól vigyázz, hogy mindezt gondosan megfigyeld ( ) Most mozogjon a hajó tetszés szerinti sebességgel: azt fogod tapasztalni, hogy – ha a mozgás egyenletes 3 Vegyük észre, ahogy az e.ve mozgás bármelyik kritériuma megszűnik, azonnal el lehet dönteni, hogy a mozgó vagy álló rendszerben vagyok-e. 10 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI A klasszikus elképzelés szerint az áttérést a K és K0 rendszer között az alábbi nyilvánvaló képletek szolgáltatják: x0 y0 z0 t0  = x − Vt    =y  =z    =t (1.1) ahol a t0 = t azt a természetesnek vélt feltételezést jelenti, hogy az idő mindkét rendszerben azonosan telik. 1.1 ábra Standard elrendezés Példaként tekintsük

azt az elrendezést, melyben van egy állomás (K renszer origója) és onnan egy vonat (a vele mozgó K0 rendszer origója) t = t0 = 0 sec időpillanatban v = 3 m s -mal elindul. Megfigyelőnk utazzon a vonaton A 0 időpillanatra a 0 transzformáció képletei szerint x = x = 0, ahogyan várjuk, hiszen ekkor a vonat az állomáson van, így a két rendszer origója egybeesik. Valamennyi idő elteltével, például t = t0 = 5 secban a x0 = 0 továbbra is, hiszen a megfigyelő a vonaton van, mely K0 origója. Viszont a vonat a K rendszerben elmozdult vt-t, így koordinátája a Galilei-transzformáció alapján: x = x0 + vt = 0 + vt = vt = 15 m, amint szemléletünkből is adódik. Tekintve, hogy a vonat az x-tengelyen halad y = y 0 = 0, z = z 0 = 0. és nem ide-oda ingadozó – az említett jelenségekben semmiféle változás nem következik be. Azoknak egyikéből sem tudsz arra következtetni, hogy mozogA Galilei transzformáció alapján a sebessége a hajó, vagy sem.

összeadás is a „ józan észnek” megfelelően történik. Galilei: Mozog-e a Föld, Budapest, Új Könyvtár, 1947 Ha egy nyugvónak tekintett rendszerhez képest egy Ezek alapján a Galilei-féle relativitási elv az aláb- v1 sebességgel mozgó rendszerből kilövünk egy hozzá képest v2 sebességgel mozgó testet (a mozgás biak szerint mondható ki: irányával párhuzamosan), annak a sebessége (ve ) a nyugvó rendszerhez képest, lásd az 1.2 ábra a és Egymáshoz képest e.ve mozgásokat végző inerciarendszerek között mechanikai4 kísérletekkel b. része! ve = v1 ± v2 , (1.2) nem lehet különbséget tenni. Ha tehát egy rendszer inerciarendszer, akkor minden hozzá képest e.ve ahol a + előjel az egyirányú, míg a − az ellenkező mozgást végző rendszer is az. irányú kilövéshez tartozik. A Galilei-transzformáció képletei Az egyszerű tárgyalásmód kedvéért tegyük fel, hogy a két vontakoztatási rendszerünk az ábrázolt módon mozog,

egymáshoz képest V sebességgel a közös x illetve x0 -tengelyük mentén. Ez az úgynevezett standard elrendezés Az előbbi rendszert jelöljük K-val, míg az utóbbit K0 -vel.5 4 Az Olvasó észreveheti, hogy a Galilei-féle relativitási elv csak a fizika egy ágával, a mechanikával foglalkozik, erre mond ki relativitást az inerciarendszrek között. A későbbiekben tárgyalandó Einstein-féle relativitási elv (a speciális relativitás elméletének egyik posztulátuma) már azt állítja, hogy az inerciarendszerek minden fizikai folyamat – tehát nem csak a mechnaika – szempontjából egyenértékűek. 5 Természetesen nem mondhatjuk, hogy az egyik rendszer nyugszik, hiszen nincs kitüntetett vonatkoztatási rendszer, azt azonban használhatjuk, hogy a K nyugszik K0 -höz képest! A fent megfogalmazott elvek Galilei korától egészen az 1900-as évek legelejéig örök érvényűnek tűntek, csak néhány apró jel mutatott arra, hogy a newtoni mechanika nem

konzisztens. Ezek megmagyarázására megkezdődött a klasszikus elmélet „toldása-foldása” – sikertelenül. Kellett valaki, aki hajlandó volt leszámolni a klasszikus elvek mindenhatóságával és új alapokra merte helyezni a mechanikát. Ez Albert Einstein volt, aki el merte vetni az évszázadok alatt megszokottá vált elveket, és helyettük – a felmerülő problémákra jó választ adó – forradalmian újakat és kézenfekvőket vezetett be. Az új elmélet előnyei azonban nem látszanak azonnal, és sok helyen paradoxonokat vetve föl, ellentmondani látszottak a hétköznapi gondolkodásnak. A belőlük származó jóslásokat azonban a kísérletek messzemenően igazolták, így napjainkban a speciális és általános relativitáselmélet a modern fizika egyik alappillére lett. 1.2 A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI 11 a Lorentz-transzformáció létesít kapcsolatot. (Einstein-féle relativitási elv.) Einsteint

már egészen fiatal kora óta foglalkoztatta a fény fizkai leírásában fellelhető ellentmondásosság. A fény terjedését (is) leíró Maxwellegyenletek megoldása ugyanis egy fénysebességgel haladó hullámot ad eredményül. Felvetődhet a kérdés, hogy mit fog látni egy olyan megfigyelő, aki fénysebességgel haladó vonatkoztatási rendszerben ül, és így vizsgálja a fényhullámot, ugyanis a Maxwell-egyenleteknek nincs „megfagyott hullám” megoldása. Ezért tűnik célszerűnek a fénysebesség maximálisságának és függetlenségének posztulálása A második axióma figyelembe veszi A. A Michelson és E W Morley híres, az abszolút nyugvó vonatkoztatási rendszer (éter) létezését megcáfoló kísérletét. Einstein korában ugyanis azt feltételezték, hogy a fény (elektromágneses sugárzás) az egész világot betöltő, nyugvó, észlelhetetlen anyag – az éter – rezgése. Amennyiben ez igaz lenne, úgy az éterben haladó Földön a

fénysebesség értéke más lenne, ha a Föld haladásának irányában, illetve arra merőlegesen mérnénk. A fenti kísérlet 1.2 ábra Klasszikus sebességösszeadás Vajon mi- eredménye szerint a fény sebessége azonban mindkor igaz? két irányban ugyanakkorának adódott, így az éterhipotézis megdőlt. Ekkor azonban nincs jogunk feltételezni, hogy létezik abszolút nyugvó vonatkozta12 A speciális relativitás- tási rendszer, tehát célszerű az inerciarendszereket elmélet axiómái és néhány bármely – tehát akár optikai – folyamat szempontjából is ekvivalensnek tekinteni. Így az Einsteinkövetkezményei féle relativitási elv a Galilei-féle általánosítása. Ha alaposabban belegondolunk a fény sebességé1.21 A speciális relativitáselmélet nek túlléphetetlenségét kimondó második axiómákét axiómája Az Albert Einstein nevéhez fűződő speciális relativitáselmélet két axiómán nyugszik. Először bemutatjuk ezeket6 , majd röviden

vázoljuk, miért éppen ezek váltak az elmélet kiindulópontjává • A fény vákuumbeli sebessége a természetben előforduló maximális sebesség. A fénysebesség független a fényforrás illetve a megfigyelő sebességétől. • Az inerciarendszerek minden fizikai folyamat szempontjából egyenértékűek, és közöttük 6 Az axiómák ilyen megfogalmazása didaktikai szempontból nagyon jó, ám némileg redundáns. Ennek okára nem térünk ki. ba, akkor azt a „ józan észnek” ellentmondónak fogjuk találni. Ha ugyanis egy ember ül egy autón és menetirányban lő, akkor – a tapasztalatok szerint – a puskagolyó és az autó sebessége összeadódik, ha hátrafelé lő, akkor pedig kivonódik, lásd (1.2)-t és az 1.2 ábra a és b részét! Hétköznapjaink tapasztalata alapján ezt tartjuk „természetesnek” Einstein forradalmi gondolata szerint azonban ez nem lehet igaz Ha a puska elsütése helyett zseblámpáját gyújtja meg, annak fénye

függetlenül az autó sebességétől és a világítás irányától, az első axióma szerint mindig pontosan fénysebességgel kell, hogy terjedjen. Hogy ez miért van így, valamint hogy a fény valóban kitüntetett helyzetben van-e a puskagolyóhoz képest (1.2 ábra c része), arra a következő fejezetek adnak választ. 12 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 1.22 A négydimenziós téridő Mivel a fénysebesség mindentől független állandó, így a hely és az idő között kapcsolatot létesíthetünk vele.7 Ezek alapján minden időtartam (t) egyértelműen definiál egy távolságot (s), azt a távot, amelyet a fény az adott idő alatt – vákuumban – befut: s = c · t. A gondolatmenet fordítva is alkalmazható, minden távolság definiál egy időtartamot, azt, amennyi a fénynek a távolság megtételéhez szükséges: t = sc . A klasszikus, newtoni felfogás szerint a tér és az idő elkülönül, egyiket mérőrúddal, a másikat órával

mérhetjük. Ha azonban az első axióma szerint feltesszük a fénysebesség állandóságát, akkor „eltűnik” a tér és az idő ilyen különbsége, hiszen a távolságot is mérhetjük órával, illetve az időtartamot mérőrúddal. Ezek alapján bevezethetjük a négydimenziós téridőt, amelyben a három térdimenzióhoz negyediknek hozzávesszük (mindhárom térdimenzióra merőlegesen) a ct egységekben mért – távolság mértékegységű – időt.8 Az einsteini axiómák következményeként a tér és idő hagyományos elkülönülése eltűnik, a világ eseményei a négydimenziós téridőben játszódnak le. Egy adott helyen, egy adott pillanatban megtörténő cselekménynek a téridő egy pontja feleltethető meg. 1.3 ábra A Holdra küldött radarjel világvonala A négydimenziós téridő egyetlen komoly „baja” az, hogy nem tudjuk elképzelni. Három dimenzión „edződött” szemléletünknek a négy dimenziót lehetetlen megjeleníteni. 9 Így

csak a matematikai eszközökre hagyatkozhatunk Egy testnek a téridőben vett útvonalát világvonalnak nevezzük. Az 13 ábrán egy, a Holdra küldött radarjel, az 14 ábrán a keringő Föld világvonala látható A radarjel egy dimenzióban terjed, hozzávéve az időt másodikként kétdimenziós ábrát kapunk. A Föld már két dimenzióban (ellipszispályán) kering, így az idő a harmadik dimenzió, tehát még ábrázolható. Egy három dimenzióban mozgó 7 A négydimenziós téridő-kontinuum elméletének pontos tárgyalása a gimnáziumi anyagot meghaladó matematikai eszközkészletet igényel (haladó analízis, differenciálgeometria), így csak néhány alapvető, a továbbiakban szükséges vonatkozását mutatjuk be. √ 8 A pontosabb tárgyalásban az időt −1ct egységekben mérik. Számunkra azonban a fenti, szemléletes módszer elegendő 9 Próbáljon meg az Olvasó a három dimenziós Descarteskoordinátarendszerhez még egy tengelyt hozzávenni, úgy,

hogy az merőleges legyen az összes többire! 1.4 ábra A Föld világvonala 1.2 A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI 13 test világvonala már nem jeleníthető meg, csak matematikai módszerekkel írható le. Megemlítjük még, hogy a három dimenzióban definiált távolsághoz – pontosabban annak négyzetéhez: d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 hasonlóan a négydimenziós téridőn is értelmezhető két téridő-pont (x1 , y2 , z1 , t1 ; x2 , y2 , z2 , t2 ) távolsága, az úgynevezett négyestávolság (D): D2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − − c2 · (t2 − t1 )2 . (13) Kiemelve a háromdimenzió távolságot, valamint az időkülönbséget, az alábbi kifejezéshez jutunk: 2 2 2 2 D = d − c · ∆t . 1.5 ábra Vízhullám terjedése a „téridőben” (1.4) A négyestávolság tehát nem csak a koordináták távolságát, hanem az idő különbségét is magában foglalja, tehát

„keveri” a teret és az időt, megerősítve minket abban, hogy a valóságban a tér és az idő nem különül el, a világ eseményei a négydimenziós téridőben zajlanak. A kauzalitás A fény maximális sebessége, valamint a tér minden irányában, a kibocsátótól és a megfigyelőtől független sebességgel való terjedése, következménynyel van az ok-okozati összefüggésekre, valamint a múlt és a jövő definiálására is. Lássuk ennek néhény vonatkozását Ha a koordinátarendszer origójában fényjelet bocsátok ki, az az egymást követő időpillanatokban egyre nagyobb sugarú köröket fog elérni, mivel sebessége a tér minden irányban állandó. Ehhez hasonlók, a vízbe dobott kő által keltett egyre növekvő átmérőjű hullámgyűrűk, lásd az 15 ábrán ábrázolt idősort! Ha ezeket a tér-idő diagrammon ábrázoljuk – azaz az eddigi diszkrét időkülönbségek helyett folytonosan ábrázoljuk – egy kúpot kapunk, melynek csúcsa a

jel kibocsátásának helye és időpontja. Ezt nevezik fénykúpnak10 , lásd az 16 ábrát! A fény (vákuumban) fénysebességgel halad, azonban bármely tömeggel bíró test csak ennél lassabban közlekedhet. Így hétköznapi tárgyaink világvonala csak a fénykúp belsejében helyezkedhet 10 Természetesen az ábrázolhatóság kedvéért csak két térdimenzióval dolgozunk 1.6 ábra A téridő három tartománya el. A fénykúpon kívüli terület a fizika ma elfogadott képe szerint univerzálisan tiltott, azaz nem létezik olyan test, jel, hatás, információ mely kiléphetne a fénykúpon kívülre, azaz túlléphetné a fény sebességét.11 11 Ha a jel nem hordoz információt, túllépheti a fény sebességét. Példaként tekintsük a csukódó olló két szárának találkozási pontját. Minél csukottabb az olló, annál inkább párhuzamos a két szár, így az érintkezési pont annál sebesebben halad. Semmi akadálya nincs, hogy a teljes záródás előtt

– mikor a pofák egyre közelítenek a párhuzamoshoz – a pont bármilyen nagy sebességet felvegyen. Azonban ez a relativitáselméletnek nem mond ellent, mert két egyenes metszéspontjának mozgása nem hordoz információt, hatást. Hasonló példa a világítótorony forgó fénypászmájának sebessége, mely távolodva a toronytól lineárisan nő, és így – elvileg – tetszőlegesen nagy értéket felvehet. 14 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 1.8 ábra A belátható távolság (kauzális horizont) 1.7 ábra A múlt és a jövő A fénysebesség véges voltának van egy érdekes csillagászati következménye is, az elmélet alkalmazásaként ezt is vizsgáljuk meg. Ha felnézünk az éjszakai égboltra sok-sok csillag fényét látjuk Ezek a csillagok olyan távol vannak, hogy fényük akár évmilliókat utazik, mire eljut a Földre. A Világegyetem kora azonban véges, így vannak olyan tartományai, melyekből a fény még nem érhetett el

hozzánk. Hogyan alakul időben az a tartomány, amelyből már fény (hatás, információ) elérhet hozzánk? Nyilvánvalóan ez egy fénysebességgel növekvő sugarú gömbhéj, azaz a térben a számunkra „belátható” tartomány sugara másodpercenként 300.000 kilométerrel nő Csillagászati számítások arra vezetnek, hogy napjainkban a „látóhatár” 3 · 1027 cm, ez az úgynevezett kauzális horizont, lásd 1.8 ábra Azonban természetes, hogy a Világegyetem12 fogalmába beletartozik – az ugyan folyamatosan táguló – kauzális horizonton kívüli tartomány is, melyről azonban a fenti okok miatt semmit nem állíthatunk – ha csak azt nem, hogy létezik. Mivel a fénynél nagyobb sebességet elérni nem lehet, így információ, hatás sem terjedhet a fény sebességénél gyorsabban. 12 A Világegyetem fogalmában – a klasszikus definíció szerint – minden létező beletartozik, ám ez a definíció filozófiailag, fizikailag és logikailag is

problematikus. Ezek szerint a téridőnek az a tartománya, amelybe egyáltalán információt küldhetünk, a jövőbeli fénykúp belseje. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a téridő csak azon részére lehetünk befolyással, amely a jövőbeli fénykúpunk belsejében – és elvileg a felületén – helyezkedik el, ez az abszolút jövő. Hasonlóan az a téridő–tartomány, amelyből információ juthat el hozzánk, azaz amely múltbéli eseményeknek befolyása lehet jelenünkre, a múltbeli fénykúp belsejében helyezkedhet csak el (abszolút múlt). A fentiek nem jelentik azt, hogy a múltbeli és jövőbeli fénykúpokon kívül „nincs semmi”, az a térrész is Világegyetemünk része, ott is a megszokott fizikai törvények uralkodnak, csak olyan távolságra vannak, amelyből nem érhet el hozzánk jel, illetve nem tudunk jelet küldeni. Az „olyan távol” megfogalmazás azonban félrevezető lehet, ugyanis ennek nagysága attól függ, hogy mennyi időt áldozunk

a jel terjedésére. A jelenség értelmezéséhez ismét tekintsünk egy példát. Tegyük fel, hogy két ember (A, B) egymástól 3 nap vonatút távolságban lakik Kapcsolattartásuk leggyorsabb módja a levelezés (postavonattal). Semmilyen gyorsabb kommunikációs mód (sürgöny, telefon) nem eléhető számukra Ha A-val vasárnap valami történik és megtudja, hogy barátjával B-vel ugyanez fog történni, nincs lehetősége értesíteni szerda előtt. Hasonlóan, ha B tudja, hogy A-val vasárnap az adott dolog megtörténik, már csütörtökön kell, hogy értesítést küldjön. Így hat napra, csütörtöktől szerdáig, B nem tudja befolyásolni A sorsát, sem értesülni nem tud arról. Így a kauzalitás szempontjából 6 napra el vannak vágva egymástól Másik példaként képzelje el az Olvasó, hogy egy bolygószondát irányít. A rádiójel oda-vissza útja a bolygó és a Föld között 100 perc. Ha a földi irányító kiad egy utasítást, azt a szonda 50 perc

múlva kapja meg, majd válaszát azonnal elküldve, az újabb 50 perc múlva érkezik a Földre. Ha a „Föld” csak az alapján ad további utasításokat, hogy mi volt az előzőre a válasz, akkor 100 percre kauzálisan el vannak vágva egymástól, azaz az irányító ennyi időre nem befolyásolhatja a szonda sorsát, sem a szonda az övét. 1.2 A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI 15 nak nevezzük és az alábbiakban megadjuk a standard elrendedzésre vonatkozó képleteit:13  x − Vt  x0 = q   2  1 − Vc2       0  y =y (1.5) 0 z =z      t − cV2 x   0  t =q   2 V  1 − c2 1.9 ábra A Nap halála és a kauzalitás A fénysebesség azonban a hétköznapi nagyságrendekhez képest óriási, valamint a földi távolságokat nagyon kis idő alatt futja be, ezért ezekben az esetekben a jelenség nem érzékelhető, csillagászati léptékekben viszont már igen.

Ehhez vegyünk ismét egy csillagászati példát Tegyük fel, hogy a Nap ebben a pillanatban kialudt. Megtudhatjuk ezt azonnal ? Természetesen nem, mert a fénynél gyorsabban információ nem terjedhet, így a jelenségről csak akkor lesz tudomásunk ha az utolsó sugár utáni sötétség beáll. Tehát a Naptól 8 percre kauzálisan el vagyunk szigetelve, így minden ott történt eseményről csak ekkora késéssel szerezhetünk tudomást. Így a fenti kijelentésnek, miszerint „a Nap ebben a pillanatban kialudt” nincs értelme, mert nem igazolható és nem cáfolható. 1.23 A Lorentz transzformáció valamint az inverz transzformációk, amellyekkel végrehajtható a K0 K áttérés:  x‘ + Vt   x= q  2  1 − Vc2        y = y‘ (1.6) z = z‘      t‘ + V2 x   t= q c    V2  1 − c2 Vizsgáljuk meg és hasonlítsuk össze a Galilei-féle (1.1) és a Lorentz-féle (15-6) transzformáció képleteit

Ha a sebességek a klasszikus fizikában megszokott értékek nagyságrendjébe esnek, akkor: c = 3 · 108 m V < 103 − 104 m s . A fénysebesség s , q 2 így Vc ≈ 0 és a cV2 ≈ 0, míg 1 − Vc2 ≈ 1, azaz a Lorentz-transzformáció képletei eredményüket tekintve szinte nem különböznek a Galilei-félétől, ez volt az oka annak, hogy a nem célirányos fizikai kísérletek során folyamatosan igaznak találták a Galilei-transzformációt, ugyanis ilyen kis különbségek szinte kimérhetetlenek. Figyeljük meg, hogy a Lorentz-transzformációk „összekeverik” a helykoordinátát és az időt, ellentétben a Galilei-félével, melynél a időtranszformációban nem szerepel a koordináta! Matematikai segítség a nevező √kiszámításához: 1 ha x  1, akkor √1−x ≈ 1+ 12 x, és 1 − x ≈ 1− 21 x. A közelítés annál pontosabb, minél kisebb x egynél. Ha v a hétköznapi qtartományokba esik, akkor – de Ismerkedjünk meg azokkal a formulákkal,

mellyel át lehet térni egyik mozgó vonatkoztatási rendszerről egy másikra. A fejezetben rámutatunk a Lorentzés a Galilei-transzformáció hasonlóságára valamint különbségére is. A speciális relativitáselmélet szempontjából a Galilei-transzformáció nem lehet helyes. Ennek oka az (1.2) képletekben keresendő Tegyük fel ugyanv2 is, hogy egy, a földhöz képest 43 c-vel mozgó rend- csak akkor – az 1 − c2 kifejezés helyett teljesen szerben a mozgás irányába kilövünk egy szintén 43 c- nyugodtan használjuk a fenti, egyszerűen számolvel mozgó tárgyat. A Galilei-transzformáció szerint ható, ún sorfejtéses alakot ekkor a kilőtt test sebessége 1, 5c. Az első axióma 13 A transzformációs képletek bizonyítása nem nehéz, de szerint viszont a fény sebességét nem lehet túllépni. terjedelme meghaladná e jegyzet kereteit A transzformációt A speciális relativitáselmélet kívánalmainak megfelelő transzformációt

Lorentz-transzformáció- H. Lorentz holland fizikus vezette le még Einstein elmélete előtt, ám – a fizika történetében nem egyedülálló módon – téves megfontolásokból kapta a helyes eredményt. 16 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI 7 l0 -nek fog adódni. Mi lesz a helyzet akkor, ha a vonaton lévő rúd hosszát a pálya mellől (tehát egy másik, az előzőhöz képest mozgó rendszerből) mérem meg? A „ józan ész” szerint nem volna szabad más értéket kapnunk, azonban ez a relativitáselmélet tanítása szerint nem így van. 1/sqrt(1−v^2/c^2) 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 v [fénysebesség egységben] 1.10 ábra Az q 1 2 1− vc2 függvény viselkedése A rúd vonaton mért hossza két koordinátájának (kezdete(k)–vége(v)) különbsége, l0 = x0v − x0k . Az (1.6) transzformációt alkalmazva a kezdő és a végpont koordinátáira áttérhetünk a vonatról a pálya mellé

rögzített rendszerbe: x0 + Vt0k xk = qk 2 1 − vc2 Vegyük észre azt is – ami a későbbiek q értelmex0v + Vt0v q x = . v2 v zésekor nagyon hasznos lesz –, hogy a 1 − c2 2 1 − vc2 kifejezés csak akkor ad egytől számottevően különböző értéket, ha v a c nagyságrendjébe esik. Mivel a vonaton való hosszméréskor a kezdő- és Ha q v a hétköznapi értékek nagyságrendéjeben van, végpont koordinátáját egyszerre kell mérni, így: 2 1 − vc2 ≈ 1. Még ha v = 107 ms , a fenti kifejezés t0k = t0v A pálya mellől mért hossz természetesen akkor is csak 0, 9994 értékű. Tehát l = xv − xk , azaz: q 2 r hétköznapi sebességtartományokban a 1 − vc2 v2 0 l =l 1− 2. (1.7) egynek tekinthető, így a vele való szorzás illetve c osztás helyett egyszerűen elhagyható! A négyzetgyökös szorzótényező értéke egynél kisebb, így a 1.24 Hosszkontrakció, idődilatáció A Lorentz-transzformációnak további, a klasszikus mechanikában

elképzelhetetlen következményei is vannak. Hosszkontrakció A klasszikus mechanika tanítása szerint egy fizikai objektum mérete a mozgásától független, azaz egy mozgó autó hossza – bármekkora sebességgel is mozog14 – megegyezik az álló helyzetben mért hosszal. Vizsgáljuk meg, hogy a Lorentz-transzformáció milyen eredményre vezet ebben az esetben! Tegyük fel, hogy a „relativitás-expresszre15 ” felteszünk egy l0 hosszúságú rudat. Ennek hosszát az állomáson szabványos mérőrúddal állapítottuk meg. Ezután a vonatot felgyorsítjuk A száguldó vonaton bármikor megmérve a rúd hosszát, az 14 A légellenállás és egyéb alakot befolyásoló erőktől eltekintve! 15 Ez egy fénysebesség-közeli sebességgel haladó, gondolatbeli vonat. mozgó tárgyak a mozgás irányában megrövidülnek, azaz mért hosszuk – a vele együttmozgó rendszerben mért értékhez képest – kisebbnek adódik. Ez a hosszkontrakció jelensége Az effektus a

hétköznapi sebességtartományokban gyakorlatiag nem észlelhető, ez az oka annak, hogy olyan sokáig rejtve maradt. Ebben az esetben az elmélet előbb született meg, és csak az ennek hatására meginduló célirányos vizsgálatoknak sikerült a hosszkontrakciót igazolni. A nagyságrendek érzékeltetése céljából tekintsünk egy 50 m hosszú szuperszonikus repülőgépet. 1 Machos sebességgel való haladása közben hossza a földön álló megfigyelőnek 12 pm-nyit „látszik” csökkenni. Ez természetesen detektálhatatlan Ha azonban háromnegyed fénysebességgel haladna (ez 225.000 km s ) akkor hossza nyugalmi hosszához képest már 66%-kal csökkenne! Gyakran felmerülő téves értelmezés szerint a kontrahálódó tárgyak valóban, azaz a vele együtt- 17 1.2 A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET AXIÓMÁI ÉS NÉHÁNY KÖVETKEZMÉNYEI mozgók számára is megrövidülnek.16 A hosszcsökkenés azonban relatív, csak a nem vele mozgó megfigyelő számára

jelentkezik A fenti repülőgép természetesen változatlan méretű marad a vele utazóknak (ezt a repülőn ülő megfigyelő mérőrúdjával bármikor igazolja).17 Ha azonban a repülőgépről határozzák meg földi pontok távolságát, azokat ugyanolyan mértékben megrövidültnek fogják találni, hiszen a repülőgépen utazók számára saját gépük van nyugalomban és a „föld rohan alattuk visszafelé”, tehát erre az esetre a hosszkontrakciót leíró képlet ugyanúgy vonatkozik. A fentiek alapján furcsa helyzet alakul ki a földi és a repülőgépen utazó megfigyelők között. Az egyik véleménye szerint a repülőgép hosszával semmi gond nincs, viszont megrövidült a leszállópálya. A földi személyzet mérése ennek teljesen ellentmond, a kifutópálya hosszát annyinak mérik, amennyinek megszokták, a repülőgépet azonban rövidebbnek. Kinek van „igaza”? Mindkettőnek Emlékezetbe idézve ugyanis az Einstein-féle relativitási elvet, amely

kimondja az inerciarendszerek egyenrangúságát, nincs jogunk egyet kiválasztani és csak annak az eredményeit fogadni el igaznak. Persze „földhözragadt” szemléletünk hajlamos a földhöz viszonyítani, és ezzel azért nincs problémánk, mert a hétköznapokban elérhető sebességek mellett a jelentkező hatások elenyészők. Azonban a következő fejezetben mutatunk olyan jelenséget, amellyel a relativisztikus hatások egyszerűen igazolhatóak.18 – legalábbis elvileg – detektálni. Legyen ez például egy inga lengése A vonaton utazók egy lengést t0v − t0k = ∆t0 idejűnek fognak mérni Ugyanez az időtartam a vonat mellett ∆t = tv − tk , valamint a pálya mellől történő mérésre természetesen xk = xv . Az (15) Lorentz-transzformációt alkalmazva: tv − V2 xv t0v = q c 2 1 − vc2 tk − V2 xk t0k = q c 2 1 − vc2 ∆t ∆t0 = q 1− . (1.8) v2 c2 E szerint mozgó rendszerben az időtartamok meghosszabbodnak, „az órák lelassulnak” a

„nyugvó” rendszerben mért értékekhez képest. Ez az idődilatáció jelensége. A hosszkontrakció és az idődilatáció egymás „párja”. Egy ötletes megfigyelés bizonyítékot szolgáltat mindkettő igazságára. Ez a „µ-mezon jelenség” A µ-mezon egy közepes tömegű elemi részecske, élettartama τ = 2, 2 · 10−6 s, egy keletkező mezon ennyi idő múlva elbomlik. Ez a részecske a légkör legfelső rétegeiben (a föld felszínétől Idődilatáció mintegy H = 20 km-re) keletkezik az oda becsapódó kozmikus gyors protonok hatására. A keA jelenség az előbb bemutatott hosszkontrakció letkező µ-mezonok sebessége körülbelül fénysebes„párja”, de itt nem távolságot, hanem időtartaség, így az élettartama során megtett út hossza: mot vizsgálunk egymáshoz képest mozgó rendszes ≈ ct ≈ 3 · 108 ms · 2, 2 · 10−6 s ≈ 600 m. rekben. Ismét utazzon a megfigyelő a nagy sebes- µ A µ-mezonokat azonban a föld felszínén is ki

leségű relativitás-expresszen, és vigyen magával egy het mutatni, holott ehhez mintegy 20 km-nyi utat órát, pontosan olyat amilyet a pálya mellett álló megfigyelők is használnak. A vonaton játszódjék kell megtenniük A magyarázat természetesen a le egy folyamat, amelyet a vonat mellől is lehessen relativitáselméletben keresendő! A mezon a felszíni megfigyelőhöz képest nagyon gyorsan mozog, így 16 A valódi megrövidülés azért sem képzelhető el, mert két, az időtartamok és a távolságok a két (mezon és a a tárgyhoz képest különböző sebességgel mozgó rendszerből földi megfigyelő) rendszerében már számottevően vizsgálva a tárgynak egyszerre kellene, hogy legyen két „vakülönböznek. Innen két irányba mehetünk tovább: lódi” hossza, ami lehetetlen. 17 Ha valódi hosszkontrakció következne be, az a kontrahálódó test szerkezetében komoly feszültségeket, torzulásokat okozna. 18 Végezetül megemlítjük, hogy ha

láthatnánk ilyen sebességgel mozgó tárgyakat, azok nem megrövidülni, hanem elfordulni tűnnének. (lásd V L Weisskopf Physics Today, 13, (1960), 24 ) Ennek ellenére a Tompkins úr. fejezetben – és a közgondolkozásban is – a megrövidülés jelenik meg. • A mezon szemszögéből vizsgálva a jelenséget: a gyorsan haladó mezon számára a távolságok megrövidülnek. Így számára a q felszínig tartó 2 út nem H, hanem csak H 0 = H 1 − vc2 . Minél közelebb esik v a c-hez, annál rövidebbnek tűnik az út a mezonnak, így elbomlása előtt 18 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI be tudja futni a föld feszínéig tartó – nagy se- életét hosszabbnak érzeni és rendszerében nem is bessége miatt számára nagyon megrövidült – telik el több, mint 60 év. A figyelmes Olvasó ismét élhet egy észrevétellel. Ha kihaszutat A felszín elérésének feltétele tehát: nálva a helyzet szimmetriáját a rakéta szemszögéből

vizsgáljuk r az eseményeket – és úgy tűnik a relativitáselmélet ezt megenv2 gedi –, akkor a kísérletet magyarázhatnánk úgy is, hogy a Föld (1.9) távolodik, majd közeledik nagy sebességgel, így a Föld a mozvτ = H 0 ≥ H 1 − 2 c gó rendszer, rajta kellene, hogy lassabban teljen az idő. Az • A földi megfigyelő szemszögéből vizsgálódva: a gyorsan haladó mezon „órája” lassabban jár, azaz a földi megfigyelő számára lassabban bomlik, tehát (1.5) szerint: τ 0 = q τ v2 Mi1− c2 vel bomlásának ideje (a földhöz képest) megnő, így elbomlása előtt még „lesz ideje” elérni a földfelszínt, amely természetesen ebben az esetben pontosan H távolságra van a mezon keletkezési pontjától. Azaz: τ ≥ H. (1.10) vq 2 1 − vc2 Látható, hogy mindkét gondolatmenettel ugyanahhoz az eredményhez jutottunk – az (1.9) és (110) egyenletek azonosak –, ahogyan azt el is várjuk az inreciarendszerek egyenértékűségét

megkövetelő relativitáselmélettől. 1.25 Ikerparadoxon, sebességösszeadás, tömegnövekedés Ikerparadoxon Az idődilatáció talán egyik legismertebb következménye az ikerparadoxon. A gondolatkísérlet a távoli jövőben játszódik, amikor már talán lesznek közel fénysebességel haladó rakéták (bár erre a technika nem sok esélyt lát). Ha egy ikerpár egyik tagját nagy sebességgel hosszú útra indítjuk – míg társa a földön éli mindennapjait – az utazó visszatérésekor komoly meglepetésben lesz részünk. A földön maradt iker szerint ugyanis a mozgó rendszerben – amelyben testvére utazik – az időtartamok meghosszabbodnak, azaz minden fizikai folyamat lassabban játszódik le, mint a Földön. Így az utazó testvér lassabban öregszik, ezért visszatértekor sokkal fiatalabb lesz, mint ikertestvére. Természetesen nem arról van szó, hogy az ikerpár utazó tagja tovább élne, hiszen ha a maximális emberi életkor mindenkettőjükre

nézve 60 év, akkor a földi ikerpár addig él, amíg saját óráján a 60 év „le nem telik”. Az utazó is 60 évet fog élni, saját órája szerint, amely az ő karján a „Földön megszokott” ütemben ketyeg, azonban a földi órákhoz képest lassabban. Tehát a gyorsan utazó sem fogja a saját azonban nem lehet, hogy attól függően, hogy melyik rendszert tekintem nyugvónak, egyszer az ikerpár egyik, majd másik tagja legyen öregebb. A probléma megoldása abban rejlik, hogy a két rendszer (Föld, rakéta) nem ekvivalens, míg a Föld inerciarendszer, a rakéta egy gyorsuló majd lassuló vonatkoztatási rendszer, a relativitás elve – a nézőpontok felcseréhetősége – pedig csak inerciarendszerek között alakalmazható. Így tehát a földi megfigyelőnek van csak „igaza”, a mozgó ember marad fiatalabb a földihez képest. Sebességösszeadás Még nem adtunk választ arra a kérdésre, hogy valójában hogyan kell sebességeket összeadni.

Emlékeztetünk az 121 fejezetre, ahol bemutattuk, hogy a fény sebessége független a kibocsátó (és a megfigyelő) sebességétől. Emiatt, és a fénysebesség túlléphetetlensége folytán, azonban a Galilei transzformációban megismert sebességösszeadási képletek biztosan nem alkalmazhatóak Ekkor ugyanis a fényforrás sebessége hozzáadódna a fénysebességhez, így túllépné azt; illetve két nagy sebesség összeadáskor is a fénysebességnél nagyobb értéket kaphatnánk. Ha a relativitáselmélettel konzisztens eredményekre szeretnénk jutni, a sebességek összegét a Lorentz-transzformáció segítségével kell meghatározni.19 Ez az Einstein-féle sebességösszeadási képlet: ve = v1 + v2 . 1 + v1c2v2 (1.11) Ismét megfigyelhető, hogy a hétköznapok tapasztalatai alapján miért tűnt helyesnek a Galilei-féle ve = v1 + v2 összeadási mód. A klasszikusan elérhető sebességtartományokban v  c, így v1c2v2 0, tehát a nevező értéke közel

egy, azaz a Galilei-féle képletet kapjuk viszsza. A hétköznapi életben tehát az egyszerű sebességösszeadás továbbra is használható. Vizsgáljuk meg, kielégíti-e ez a kifejezés a fénysebesség elérhetetlenségét kimondó axiómát! Legyen v1 = v2 = 0, 75c. A klasszikus (Galilei-féle) módszerrel számolva ve = 1, 5c (rossz!) eredmény adódik Az einsteini képlet alkalmazásával azonban: 1,5c = 0, 96c, ami várakozásainknak megve = 1+0,5625 felelően kisebb c-nél. Határesetben, ha v1 = v2 = c, akkor ve = c. 19 Ennek módját terjedelmi okoból nem ismertetjük, de az érdeklődő Olvasó könnyen igazolhatja az eredményt. 19 1.3 TOMPKINS ÚR KALANDJAI A FIZIKÁVAL Tömegnövekedés • Egy gépkocsi 180.000 útja a Föld körül A fénysebesség túlléphetetlenségének egy további következménye a mozgó testek tömegének megváltozása. Mivel a tömeg a gyorsítással szembeni ellenállás mértéke, így feltételezhetjük, hogy a

fénysebességhez közeledve – megakadályozandó annak elérését – a testnek egyre jobban „ellen kell állnia” a további gyorsításnak, azaz „növelnie” kell tömegét. Ennek a növekedésnek a fénysebesség elérése előtt olyan nagynak kell lennie, hogy „elvegye a kedvet” minden további gyorsítástól. Ennek a kívánalomnak megfelel az q 1 v2 függvény Az intuitív • Egy tankhajó 400 világkörüli útja • Az Egyesült Államok három napi energiaszükséglete Mint a Magfizika elemei című részben látható, az atomreaktorokban ilyen tömeg-energia „átalakítás” zajlik le. Tegyük fel, hogy a Paksi Atomerőmű egy blokkját feltöltik 1000 kg uránnal, majd három évet üzemeltetik a reaktort. Ha ekkor újra lemérik21 az urán – és a belőle keletkezett összes hasadvány – tö1− c2 képünk és a pontos számítások szerint is a nyugal- megét, már csak 999, 966 kg-ot. A hiányzó 34 g(!) mi tömeg (a nyugvónak tekintett

rendszerben mért tömeg a három év alatt folyamatosan energiává alatömeg, m0 ), valamint a mozgó rendszerben mért kult, és ennek fejében 860 millió kWh hőenergiát nyertünk! (A részletekért lásd a 2.23-4 fejezetetömeg (m) kapcsolata:20 ket.) m0 Mint látható, kis tömegekhez is hatalmas ener. (1.12) m= q 2 gia – tehát hétköznapi energiákhoz minimális tö1 − vc2 meg társul. Ezért nem vesszük észre, hogy miLátható, hogy a sebesség növekedtével a tömeg közben megmelegítjük ebédünket a tűzhelyen, az növekszik, de a hatás a klasszikus sebességtartomá- nehezebbé válna. A nagyságrendek érzékeletetése nyokban itt is elhanyagolható. céljából számoljuk ki a tömegnövekedés mértékét, miközben, 1kg vizet 500 C-kal felmelegítünk. A víz energiaváltozása: ∆E = mc∆t ≈ 2 · 105 J. Ehhez 1.26 A tömeg-energia ekvivalencia ∆m = E2 ≈ 2 · 10−12 kg = 2 ng „tömegváltozás” A speciális relativitáselmélet

tárgyalásának lezárá- tartozik,c amely még a légérzékenyebb műszerekkel saként megemlítjük – szintén bizonyítás nélkül – a sem mutatható ki. fizika talán leghíresebb, leginkább közismert képletét, az einsteini tömeg–energia ekvivalencia kifejezést: 1.3 Tompkins úr kalandjai a fim0 c2 E=q = mc2 . v2 1 − c2 zikával (1.13) E szerint minden energiához tömeg tartozik, és ami talán még meglepőbb, minden tömeghez energia. Mivel a c2 értéke a hétköznapi energiaértékeknél nagyobb nagyságrendekbe esik, így kis tömeghez is bámulatos mennyiségű energia tartozik. Az alábbiakban szemléltetjük azt az energiamennyiséget, melyet félkilónyi tömeg képvisel: • 11 milliárd kWh • Villamos vasaló egymillió éves áramellátása • 40.000 évig megszakítás nélkül üzemelő központi fűtés 20 Itt nem használjuk a bevált vesszős jelölésmódot, mert az irodalomban a fenti konvenció honosodott meg A városi

sebességkorlátozás (. ) Bárcsak lenne legalább egy igazi kalandfilm, amleyben valami szokatlan, sőt talán fantasztikus dolog történik! De nem volt. Pillantása váratlanul a lap alján egy kis hirdetésre esett. A helybeli egyetem előadássorozatot hirdetett a modern fizika problémáiról; az aznapi előadás témája Einstein relativitáselmélete Nos, erről már lehet szó! Gyakran hallott olyan kijelentéseket, hogy a világon mindössze egy tucat ember érti igazán Einstein elméletét. Talán ő lesz majd a tizenharmadik Biz’isten, elmegy az előadásra; lehet, hogy éppen ez az amire vágyott. Az előadás kezdete után érkezett a nagy egyetemi előadóterembe. A helyiséget egyetemi hallgatók 21 Ez csak elvileg lenne lehetséges. 20 1. FEJEZET A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ELEMEI töltötték meg, legnagyobb részük fiatal volt, és feszült figyelemmel hallgatták a magas, fehér szakállú férfit, aki a tábla előtt igyekezett megmagyarázni

hallgatóságának a relativitáselmélet alapvető gondolatait. Tompkins úr azonban csak odáig jutott el, hogy megértette, Einstein elméletének lényege: létezik egy maximális sebesség, a fény sebessége, amelyet semmiféle mozgó test nem léphet túl, és ez a tény nagyon furcsa és szokatlan következményekkel jár. A professzor azt is mondta, hogy mivel a fény sebessége 300000 km s , a relativisztikus hatásokat nem lehet megfigyelni a mindennapi élet eseményei során. De ezeknek a szokatlan hatásoknak a természetét még sokkal nehezebben lehetett megérteni, és Tompkins úr úgy érezte, hogy mindez ellentmond a józan észnek. Megpróbálta elképzelni a mérőrúd összehúzódását és az óra furcsa viselkedését – mert ilyen hatások várhatók, ha ezek a tágyak a fénysebességet megközelítő sebességgel mozognak –, feje azonban ekkor a vállára billent. Amikor újra felpillantott, nem az előadóterem padjában ült, hanem egy padon, amelyet a

város az autóbuszra váró utasok kényelmére állított fel. Gyönyörű, régi város volt, az utcákat középkori kollégiumi épületek szegélyezték Az volt a gyanúja, hogy álmodik, de meglepetésére semmi szokatlan nem történt körülötte; még a túlsó sarkon strázsáló rend- őr is ugyanolyan volt, amilyenek a rendőrök szoktak lenni. A közeli torony nagy órájának mutatói öt órát jeleztek és az utcák majdnem üresek voltak. Egyetlen kerékpáros jött az utcán, és amit közeledett Tompkins úr szeme tágra nyílt a csodálkozástól. A kerékpár és a rajta ülő fiatalember ugyanis hihetetlenül megrövidült a mozgás irányában, úgy, mintha hengeres üveglencsén át nézte volna. A toronyóra ötöt ütött, és a kerékpáros – nyilván sietnie kellett – erősebben kezdte nyomni a pedált. Tompkins úr nem vette észre, hogy nagyon nőne a sebessége, erőfeszítése erdményeként viszont még jobban megrövidült, és éppen úgy

karikázott tovább, mintha kartonból kivágott kép lenne. Tompkins úr egyszerre nagyon büszke lett, mert megértette, mi történt a kerékpárossal – egyszerűen a mozgó testek megrövidülése következett be, amiről az imént hallott. – Nyilván a természet sebességhatára itt alacsonyabb – vonta le a következtetést, ezért áll a rendőr olyan lustán a sarkon, nem kell figyelnie a gyorshajtókra. Valóban, éppen akkor egy taxi tűnt fel a utcán irtó nagy robajjal, de nem jutott sokkal messzebbre, mint az előbbi fiatalember, éppen csak mászott. Tompkins úr elhatározta, hogy utoléri a kerékpárost, aki jóindulatú fickónak látszott, és kikérdezi mindenről. Megbizonyosodott arról, hogy a rendőr másfelé néz, kölcsönvett egy járda szélén álló kerékpárt, és elhajtott az utcán. Azt várta, hogy azonnal összenyomódik majd, és nagyon örült neki, mert már aggódott növekő alakja miatt. Legnagyobb csodálkozására azonban semmi sem

történt sem vele, sem kerékpárjával. Teljesen megváltozott viszont a kép körülötte. Az utcák megrövidültek, az üzletek kirakatai réssé szűkültek, és a sarki rendőr a legvékonyabb emberré vált, akit életében csak látott. – Istenemre – kiáltotta Tompkins úr izgatottan, már értem! Relativisztikus világba jutottam. Minden ami hozzám képest mozog, számomra rövidebbnek látszik, mindegy, hogy ki nyomja a pedált! – Jól kerékpározott, és minden erejét megfeszítette, hogy utolérje a fiatalembert. Észrevette azonban, hogy egyáltalán nem is olyan könnyű gyorsítani kerékpárját. Bár olyan erősen nyomta a pedált, ahogy csak tudta, a sebességnövekedés majdnem elhanyagolható volt. Már fájt a lába, mégsem sikerült a sarki lámpaoszlop előtt sokkal gyorsabban elhaladni, mint ahogy induláskor haladt. Mintha minden gyorsításra irányuló erőfeszítése eredménytelen maradt volna. Ebből nagyon jól megértette, hogy miért nem

megy gyorsabban az imént látott kerékpáros és az autó, és eszébe jutottak a professzor szavai ar- 1.3 TOMPKINS ÚR KALANDJAI A FIZIKÁVAL ról, hogy nem lehet túllépni a fénysebesség korlátját. Úgy vette viszont észre, hogy a háztömbök mind jobban rövidülnek, és az előtte haladó kerékpáros már nem látszott olyan messzinek. Utol is érte őt a második saroknál, és amikor egymás mellett haladtak egy percig, csodálkozva látta, hogy társa valójában egészen normális, sportos külsejű fiatalember. – Ez biztosan azért van így, mert egymáshoz képest nem mozgunk – vonta le a következtetést, és megszolította a fiatalembert. – Bocsánat, uram! Nem találja kényelmetlennek az életet egy olyan városban, ahol ilyen alacsony a sebességhatár? – Sebességhatár? – válaszolt a másik csodálkozva. – Nálunk egyáltalán nincs sebességkorlátozás Mindenhová olyan gyorsan mehetek, ahogyan csak akarok, vagy legalábbis ahogy tudnék,

ha motorkerékpárom lenne ehelyett az ócska, semmirevaló bringa helyett! – De ön nagyon lassan haladt, amikor pár perccel ezelőtt elment mellettem – mondta Tompkins úr. – Jól megfigyeltem. – Igazán? – felelte a fiatalember szemmel láthatóan sértődötten. – Úgy látszik, nem vette észre, hogy amióta megszólított, már öt háztömböt hagytunk el. Nem elég gyors ez magának? – De az utcák lettek ilyen rövidek – érvelt Tompkins úr. – Mi a különbség, ha mi mozgunk gyorsabban, vagy ha az utcák lesznek rövidebbek? Tíz háztömböt kell elhagynom, hogy a postahivatalhoz érjek, és ha erősebben nyomom a pedált, a háztömbök rövidebbé válnak, és gyorsabban érek oda. Itt is vagyunk – és ezzel a fiatalamber leugrott kerékpárjáról. Tompkins úr ránézett a postahivatal órájára, amely fél hatot mutatott. – Na látja! – jegyezte meg diadalmasan. – Fél órába telt, míg tíz háztömbnyi utat megtett, hiszen, amikor

először megláttam önt, pontosan öt óra volt. – És ön észlelte ezt a fél órát? – kérdezte a társa. Tompkins úrnak el kellett ismerni, hogy az eltelt idő valójában csupán néhány percnek tűnt. Sőt, amikor ránézett a karórájára, azon csak öt óra múlt öt perccel. – Ó! – kiáltotta. – Talán siet a postahivatal órája? – Persze, vagy pedig az ön órája késik éppen azért, mert túl gyorsan mozgott. Egyébként valami baja van talán? Talán a Holdról pottyant ide? – és a fiatalember bement a postahivatalba. E beszélgetés után Tompkins úr belátta, milyen pech, hogy az öreg professzor éppen nincs kéznél, 21 hogy megmagyarázná neki ezeket a furcsa eseményeket. A fiatalember nyilván bennszülött, aki megszokta a dolgok ilyen állását, még mielőtt járni kezdett volna Így Tompkins úrnak magának kellett felderítenie ezt a különös világot. Óráját hozzáigazította a postahivataléhoz, és várt még tíz percet,

hogy megbizonyosodjék: jól jár. Az órája nem késett Ment tovább az utcán, végül meglátta a vasútállomást, és elhatározta, hogy újból ellenőrzi az óráját. Csodálkozására megint késett egy kicsit – Bizonyára ez is valamiféle relativisztikus hatás – vonta le a következtetést, és elhatározta, hogy ezt a fiatal kerékpárosnál értelmesebb valakitől kérdezi meg. Nemsokára alkalom is nyílt erre. Egy negyven év körüli úr szállt ki a vonatból, és a kijárat felé indult. Ott egy öreg hölgy fogadta, aki Tompkins úr nagy csodálkozására „drága nagyapá”-nak szólította a férfit. Ez már több volt a soknál Tompkins úr számára. Azzal az ürüggyel, hogy segít a poggyászt cipelni, beszélgetésbe elegyedett velük. – Bocsánat, hogy a családi ügyeikbe beleavatkozom – mondta –, ön valóban e bájos idős hölgy nagyapja? Tudja idegen vagyok itt, és. – Ó értem – válaszolta a férfi a bajusza alatt mosolyogva. –

Ön nyilván a bolygó zsidónak tart engem vagy valami hasonlónak. Pedig a dolog valójában nagyon egyszerű. Üzleti ügyeim miatt sokat kell utaznom, és mivel életem legnagyobb részét vonaton töltöm, természetesen sokkal lassabban öregszem, mint a 22 városban élő rokonaim. Nagyon örülök, hogy még időben érkeztem haza, és életben találom drága unokámat! De ne haragudjon, taxiba kell szállnom vele – és a férfi elsietett, otthagyva Tompkins urat a problémájával. A vasúti vendéglőben néhány szendviccsel megerősítette szellemi képességeit, és odáig jutott, hogy azt állította: ellentmondást talált a híres relativitáselméletben. – Hát persze – gondolta a kávéját szürcsölve –, ha mindnyájan rokonok lennénk, az utazó a rokonai előtt nagyon öregnek tűnne, azok pedig nagyon öregnek látszanak az utazónak, még ha mindkét társaság valójában egészen fiatal is. De amit most mondok, az igazán értelmetlenség: az

ember nem őszülhet meg viszonylagosan! – Erre elhatározta, hogy utolsó kísérletet tesz annak eldöntésére, mi is a helyzet tulajdonképpen, és egy magányos emberhez fordult, aki vasutas egyenruhában ült a büfében. – Uram, volna olyan szíves – kezdte –, volna olyan jó, megmondani nekem, ki idézi elő, hogy az utasok a vonatban lassabban öregszenek, mint az egy helyben maradók? – Én vagyok az oka – mondta az ember nagyon egyszerűen. – Ó! – kiáltott fel Tompkins úr. – Ön tehát megoldotta a régi alkimisták bölcsek kövének nevezett problémáját. Bizonyára nagyon híres ember az orvosi világban Egyetemi tanár itt? – Nem – felelte az ember megütközve –, csak fékező vagyok ezen a vasútvonalon. – Fékező! Komolyan mondja, hogy fékező. – kiáltotta Tompkins úr, és elvesztette a talajt a lába alól. – Úgy érti, hogy ön csak fékezi a vonatot, amikor az közeledik az állomáshoz? Igen, ezt csinálom, és

valahányszot a vonat lelassul, az utasok kora megnő a többi emberéhez képest. Persze – tette hozzá szerényen – a mozdonyvezető, aki gyorsítja a vonatot, szintén kiveszi a részét a munkából. – De mi köze ennek ahhoz, hogy az utasok fiatalok maradnak? – kérdezte Tompkins úr elcsodálkozva. – Hát azt én sem tudom pontosan – csóválta a fejét a fékező –, de így van. Egyszer megkérdeztem egy egyetemi tanárt, aki a vonatomon utazott, hogyan történik ez. Ő hosszú és érthetetlen előadásba kezdett, végül azt mondta, hogy olyasmihez hasonló játszódik le, mint a „gravitációs vöröseltolódás” – azt hiszem így mondta – a Napon. Hallott már olyasmiről, hogy vöröseltolódás? – Ne-em – mondta Tompkins úr kissé kételkedve; a fékező fejét rázva távozott. Hirtelen egy kemény kéz rázta meg a vállát, és Tompkins úr nem a pályaudvari büfében, hanem egy 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI széken találta magát az

előadóteremben, ahol a professzor előadását hallgatta. A lámpákat eloltották, a terem kiürült. A kapus, aki felköltötte, így szólt: – Zárunk uram; ha aludni akar, inkább menjen haza. – Tompkins úr felállt, és a kijárat felé vette útját. 2. fejezet A magfizika elemei „Ha egy világkatasztrófa következtében minden tudományos ismeretanyag megsemmisülne, és csak egyetlen mondat maradna örökségül a következő civilizációra, mi lenne az a mondat, amely a legtömörebb megfogalmazásban a legtöbb információt sűrítené magába? Úgy vélem ennek a mondatnak az atomok hipotézisét (vagy ha úgy tetszik az atomok létezésének tényét) kellene tartalmaznia: azt, hogy minden dolog atomokból épül fel – állandóan mozgó kis részecskékből, amelyek vonzzák egymást, ha kis távolságra vannak egymástól, és taszítják egymást, ha egyiket a másikba préselik. Mint látni fogjuk, ez a megállapítás hihetetlen mennyiségű

információt tartalmaz a világról, csupán egy kis logika és fantázia kell hozzá.” Richard P. Feynman 2.1 Magmodellek Tanítványa Anaximandrosz az őselvet elvontabban, végtelenként, határtalanként és meghatározatlanként írja le. A világ dolgai mint ellentétek ebből keletkeznek és ide térnek vissza. Kortársa Anaximenész ismét anyaginak tartja az archét, szerinte az arché a levegő, melynek sűrűsödésével keletkezik a hideg (például víz, föld, kő), míg ritkulásával a meleg (tűz, stb.) A minőségi változásokat mennyiségi változásokra vezeti vissza Az emberek is részesednek ebből az alapelvből, minthogy a lélek is levegőből áll. A mintegy fél évszázaddal később élt Empedoklész szerint négy őselem van: a víz, a föld, a tűz és a levegő; ezeket a szeretet és a gyűlölet ereje mozgatja. Anaxagorasz végtelen sok, minőségileg különböző őselemet tételez fel, a dolgokat fizikai valójukban ezen őselemek keverési

aránya határozza meg, és ezt az arányt a részek mindegyikében állandónak tekinti. Látható, hogy a Kr.e VI-V század filozófusai 2.11 Korai felfogások, az atomisták már próbálkoztak valamiféle közös építőelem(ek) és és a mazsolás kalács elmélet A gondolkozó embereket régóta izgatja, van-e valami olyan közös elemi alkotórész, amely a legkülönbözőbb anyagok esetében is azonos, és mint ilyen, az anyagi világ egyfajta „univerzális építőkockája” lehet. A korai gondolkodók (az első filozófiai elméletek) szerint minden létezőnek ősoka (arché) van Ez egyrészt a dolgok sokaságának alapja mint egységes ősanyag, másrészt a tapasztalható változások indítóoka! Az első filozófusnak tekintett milétoszi Thálész1 szerint az ősanyag a víz. Elmélete szerint minden vízből van, és miután az archét élőnek és önmagától mozgónak tartja, így a víznek magának is lelket tulajdonít. 1 Az ő nevéhez fűződik a

matematikában a Thálész-tétel. közös mozgatóok(ok) meghatározásával. Mai szemmel azonban komoly lépést az atomizmus megjelenése jelentett, bármennyire naívnak is tűnik sok hozzá kapcsolódó állítás és feltételezés. Az első atomista, az atomelmélet megalapítója Leukipposz volt, elméletét tanítványa Démokritosz fejlesztette tovább és hagyományozta ránk. A démokritoszi atomelmélet szerint minden oszthatatlan (a-tomosz ) testecskékből áll össze, amelyek anyagukat tekintve teljesen azonosak, egymástól csak alakjuk, helyzetük és elrendezésük tekintetében különböznek. Az atomokat a nyomás és a taszítás mechanikai kölcsönössége mozgatja, közöttük csak az üres tér létezik. Egyedül az atomok csoportosulásából keletkeznek a létező dolgok. Korát jóval megelőző gondolata volt az elsőként megfogalmazott oksági törvény: „Semmi sem történik 23 24 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI vaktában, hanem minden értelmes

okból és szükségszerűség folytán.2 ” A fentiek nyilvánvalóan nem természettudományos, hanem természetfilozófiai eredmények. A magfizika első természettudományos eredményének a XIX. század elején kialakult atomelméletet tekinthetjük J Dalton 1808-ban felfedezte a többszörös súlyviszonyok törvényét, amelyet az atomelmélet alapján sikeresen magyarázott. Ennek segítségével elkészítette az első atomsúlytáblázatot is. Ugyanebben az évben J M Gay-Lussac megállapította az egymással reakcióba lépő gázok térfogati arányát, A Avogadro pedig megfogalmazta nevezetes törvényét. A sok jó eredmény hatására az atom-hipotézis elméletté szilárdult, az oszthatatlanság elméletét a század végéig senki sem merte megkérdőjelezni. A XIX–XX század fordulóján felgyűlő kísérleti tapasztalatok birtokában (radioaktivitás, katódsugárzás, röntgensugárzás) J J Thomson 1904ben megalkotta az első tudományos alapokon nyugvó

atommodellt E modell szerint az atom 10−10 m átmérőjű pozitív töltésű gömb, amelynek belsejében negatív töltésű, pontszerű elektronok vannak.3 Ez az úgynevezett „mazsolás kalács” elmélet, ahol a pozitív töltésű kalácsban elszórt negatív elektronok a „mazsolák”. 2.12 A Rutherford-féle modell A Rutherford-modell alapja a híres Rutherford szóráskísérlet, (E. Rutherford, 1911), melylyel teljesen átformálta az atomról alkotott addigi elképzeléseket A kísérlet során Rutherford αrészecskékből (42 He++ ) álló nyalábot lőtt rá vékony aranyfóliára, és mérte az eltérülő és visszaverődő αrészecskék számát. Várakozásai szerint az α-részek zöme átjutott, és csak kis irányváltozást szenvedett (a pozitív mag taszítása miatt). Azonban a rálőtt részecskék egy kis hányada visszaszóródott, azaz a rálövés irányában hagyta el az aranymintát. Ez a „mazsolás kalács” elmélettel nem magyarázható, a

„kalácsban” nincsenek olyan koncentrált pozitív töltések, amelyek elektromos taszítása ilyen erős 2 Érdekességképpen megemlítjük, hogy Démokritosz szerint kis képecskék útján érzékelünk, amelyek a tárgyakból kiáramlanak és érzékszerveink befogadják azokat. A lélek is finom atomokból áll, amelyeket a képecskék mozgatnak és ezzel hozzák létre az érzéki benyomásokat. 3 A neutron felfedezésére még majdnem harminc évet kell várni. 2.1 ábra A Rutherford-féle atommodell és kísérlet visszalökést eredményezne – így más modell után kellett nézni. A kísérleti eredményeket magyarázni – szemléletes képünk, és a pontos számítások szerint is –, csak úgy lehet, ha az atomot nagyon kicsi (∼ 10−15 m átmérőjű ), pozitív töltésű mag, valamint körülötte keringő elektronokból álló, szétterjedt (∼ 10−10 m átmérőjű ) elektronfelhő alkotja. Ekkor ugyanis a magok elég nagy távolságra vannak egymástól

és elég kicsik, azaz koncentrált töltéseket jelentenek. Az α-részecskék rálövésekor azok nagy valószínűséggel „nem találnak”, azaz elrepülnek az atommagok között, azoktól relatíve távol. Ezért ezek csak gyenge elektrosztatikus taszításnak vannak kitéve, így csak kis irányeltérülést szenvednek.4 A rálőtt részek kis hányada azonban „eltalálja” a magot, azaz nekifut Coulomb terének és azon visszaszóródik, lásd 2.1 ábra! A Rutherford-elmélet magról alkotott képe szépen beleillett a kor kísérleti eredményeibe, a keringő elektronok elképzelése azonban – az elektrodinamika fejlődésével – tarthatatlanná vált. A 4 A d távolságban lévő, N -szeresen pozitív töltésű mag és a kétszeresen pozitív töltésű α-rész közötti taszítás nagy1 N ·2e2 sága: 4π , azaz láthatóan a távolsággal négyzetesen d2 0 fordítva csökken. Emiatt a magtól „távol” alig érezhető hatás, azonban a maghoz közeledve (d

0), a taszítőerő óriási lesz. 25 2.2 A MAGOK STABILITÁSA modell szerint ugyanis a mag körül körpályán keringő elektron azért van egyensúlyban, mert a mag elektrosztatikus vonzását a keringő elektronra ható centrifugális erő éppen kiegyensúlyozza. Larmor azonban már az 1900-as évek elején bebizonyította, hogy minden gyorsuló töltés sugároz, azaz energiát veszít. Mivel az elektron centripetális gyorsulást szenved el, ezért folyamatosan energiát kellene veszítenie. A számítások arra vezettek, hogy egy atomi elektron Larmor sugárzása olyan intenzív lenne, hogy a másodperc tört része alatt elveszítené minden energiáját és beesne a magba. Ebből fakadóan az atomi elektronok Rutherford-féle modellje nem állhatja meg a helyét. 2.13 A Bohr-modell és a kvantummechanikai kép Miután J. Chadwick 1932-ben felfedezte a neutront, az atommagról alkotott kép kezdett teljessé – és a ma elfogadotthoz hasonlóvá – válni. (A

Rutherford-kísérlet eredményébe a neutronok nem szóltak bele, hiszen az atommag elektrosztatikusan taszította az α-részeket, amit a semleges neutronok nem befolyásolnak!) Az elektronokkal azonban komoly gondok adódtak. Az előző fejezetben említett Larmor sugárzással kapcsolatos energiavesztést először Bohr próbálta feloldani az úgynevezett stacioner-pályák bevezetésével, amelyeken a keringő elektron nem sugároz. Ez az elképzelés, mely ugyan ért el részeredményeket – például pontosan leírja a legegyszerűbb atom, a hidrogén szerkezetét – csak spekulációnak tekinthető, hiszen nem ad arról számot, hogy a stacioner pályákon miért nincs Larmor sugárzás. Az elektronnal kapcsolatos problémákra megnyugtató magyarázatot majd csak a kvantummechanika fog szolgáltatni, lásd a 3.2-33 fejezetet! Bár, mint láttuk a Rutherford-kép a magra vonatkozó kísérleti eredményekkel – és a mai elképzelésekkel – összhangban van, de

elfogadásához egy komoly problémára magyarázatot kell találni. Az atommagot pozitív töltésű és semleges részek alkotját. A pozitív részek azonban taszítják egymást, így az atommagnak szét kellene esnie. A következő fejezetekben válaszolunk arra az alapvető kérdésre, hogy mi tartja össze az atommagot? 2.2 A magok stabilitása 2.21 Az atomot alkotó részek, izotópok A ma helyesnek elfogadott kép szerint az atomot protonok, neutronok és elektronok alkotják. A protonok és a neutronok a magban vannak, a mag átmérőjének nagyságrendje 10−15 m = 10−5 Å. Ezen kívül helyezkednek el az elektronok átlagosan Ångströmnyi távolságban.5 Mivel az alapállapotban lévő atommagok kifelé elektromosan semlegesek, így minden mag körül a protonokkal megegyező számú elektronnak kell lennie. Ezt a számot hívjuk az adott atom rendszámának A rendszám jele Z, melyet a vegyjel előtt alsó indexként tüntetünk föl. Az atommagban a neutronok száma

nem kell, hogy szükségképpen megegyezzen a protonok számával, így bevezették a tömegszám fogalmát, amely a protonok és a neutronok számának összegét jelöli.6 Gyakran nukleonszámnak is nevezik. A nukleon a magot alkotó részek, azaz a proton és a neutron összefoglaló elnevezése. A tömegszámot a vegyjel előtt, felső indexben tüntetjük fel A vegyjel (V j) az adott elem nevének konvencionális – egy-, két-, vagy hárombetűs – rövidítése.7 Tehát a jelölés: A ZV j. (2.1) A tapasztalatok szerint a protonok száma nem szükségképpen egyezik meg a neutronok számával, sőt azonos protonszám mellett több különböző neutronszámú elem is stabil lehet. Ezért szükséges az izotóp 8 fogalmának bevezetése, mely az azonos protonszámú, de különböző neutronszámú atomokat különbözteti meg egymástól. 5 Klasszikusan az elektronokat részecskeként képzelhetjük el, azaz egy adott pillanatban meghatározott hellyel és sebességgel

bíró korpuszkulának. Ez a magfizikai tárgyalás szempontjából megfelelő, de a későbbiekben a kvantummechnaika hatására ezt a képet el kell vetni. 6 A tömegszám elnevezéséből látható, hogy magfizikában az egész atom tömegét egyenlőnek vesszük a mag tömegével. Az elektronok tömege valóban elhanyagolható, hiszen egy 1 proton tömegének ∼ 1840 -ed része. 7 Érdekes lehet azon elgondolkodni, hogy miért a protonszám alapján nevezték el az elemeket. Ennek oka az, hogy a protonszám határozza meg az elektronok számát és a kémiai reakciókban az elektronok száma és konfigurációja a legfontosabb kritérium. Mivel az elemek meghatározását és rendszerezését kémiai reakciók alapján kezdték el, így a protonszám – illetve a vele megegyező elektronszám – alapján nyertek nevet az elemek. 8 Az elnevezés oka: izosz∼azonos + toposz∼hely. 26 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI 2.2 ábra Izotópelválasztás elektromos térrel

Példaként nézzük meg a magnézium (Z = 12) há2.3 ábra Egy atommag potenciálja rom előforduló izotópját: A = 24, 25, 26. Jelölésük 24 25 26 a fentiek alapján: 12 Mg, 12 Mg, 12 Mg. Kiolvasva: „magnézium-24,. stb” A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy Azokat az elemeket, melyeknek a természetben nem szükséges működnie egy erőnek, amely a nukleonok fordulnak elő izotópjai tiszta elemeknek, a többit között hat, és erősebb, mint az elektromágneses keverék elemeknek nevezik. Tiszta elem például a kölcsönhatás. foszfor (csak 31 15 P létezik), a legtöbb elem – akárcsak Ez az erő a magerő, amely a kísérletek szerint az a fenti említett magnézium – keverék elem. alábbi tulajdonságokat mutatja: A periódusos rendszer atomtömegként a természetben előforduló izotópokra súlyozott tömeget • p-p, p-n és n-n között is vonzó kölcsönhatást adja meg. Például a klór esetében kétféle izotóp biztosít létezik. A klór-35 (35

17 Cl) részaránya a természetes • hatótávolsága nem nagyobb, mint 10−15 m, azklórban 75, 4%, valamint a klór-37-é (37 17 Cl) 24, 6% az a magátmérő nagyságrendje Ennek alapján a klór atomtömege: MCl = 35 · 0, 745 + 37 · 0, 246 ≈ 35, 5. Az izotópokat a gyakorlatban tömegkülönbségük alapján lehet szétválasztani. Ennek különösen a nukleáris technikában van jelentősége (nukleáris fűtőanyagok gyártása). Egy lehetséges izotópelválasztási módot mutat be a 22 ábra 2.22 A magerők • hatótávolságán belül erősebb vonzást fejt ki, mint az elektromágneses taszítás Ezek alapján ha egy He atommagot szeretnénk „összerakni”, két protont és két neutront kell egymáshoz olyan közel vinni, hogy a magerők vonzó hatása már érvényesülni tudjon. Ezt az „atomkészítést” – egy erősen idealizált kísérletben – úgy vihetjük véghez, hogy az egyik protont lerögzítjük és a másikat ehhez közelítjük. A távolság

csökkenésével négyzetesen(!) nő az elektrosztatikus taszítóerő Egyre nehezebben jutunk előre, azonban ahogy elértük a magerők hatótávolságát, azok vonzása válik dominánssá, és mintegy „beszívják” a protont. A két neutronnal9 együtt kialakul a He atommag. A figyelmes Olvasó felteheti a kérdést: mi tartja össze az atommagot, hiszen a magot alkotó protonok pozitív elektromos töltéssel bírnak, ezeket kis helyre összezárva, azoknak taszítaniuk kell egymást. Ezért – csak elektrosztatikus erőket felNézzük meg egy atommag potenciálábráját (23 tételezve – a mag nem lehet stabil. A nukleoábra)! Az ábrából látszik, hogy eleinte, az egyre nok között fellépő gravitációs kölcsönhatás magyanövekvő Coulomb erők ellen kell dolgoznunk. Ha rázatként nem jöhet szóba, mert a fellépő gravitá9 Amelyek magba vitele könnyű, hiszen Coulomb taszítás ciós vonzerő több tíz nagyságrenddel kisebb, mint az elektromágneses

taszítás. nem hat rájuk, csak a vonzó magerők. 27 2.2 A MAGOK STABILITÁSA viszont már a vonzó magerők tartományába érkezünk el, a nukleon mintegy „beleesik” a magerők „potenciálgödrébe”. Ez az állapot stabil, mivel a nukleonok számára energetikailag kedvezőbb. A fentiekből következik, hogy a mag felbontásához energiát kell befektetnünk, hiszen ki kell szakítani a nukleont a magerők erősen vonzó kölcsönhatásából, ki kell emelni a potenciálgödörből. Ehhez annyi energiát kell befektetni, hogy a kiszabadítandó részecske feljusson a „gödör peremére”. Ebben a távolságban már kikerül a vonzó magerők hatótávolságából, és így csak a taszító elektromos mező hatása jut érvényre. A gyakorlatban az „atommag-rombolást” elektromos és/vagy mágneses terek által gyorsított részecskékkel (α-rész, proton, atommagok) végzik, amelyek nagy sebességük folytán elegendő kinetikus energiával rendelkeznek ahhoz,

hogy a Coulomb taszítást legyőzve elérjenek a célatom magjáig, és ott meghasadást idézzenek elő.10 Az atombontás különleges formája a neutronnal való hasítás, amely azért speciális, mert a neutronra nem hat a célmag elektrosztatikus taszítása, csak a vonzó magerők, így sokkal kisebb bombázóenergia mellett is lehet magreakciót létrehozni. Ez különösen fontos lesz az úgynevezett nukleáris láncrakcióknál. 2.4 ábra Neutron és protonszám a stabil (sötét) illetve radioaktív (világos) magokban Ezek szerint a mag sugara és a tömegszám közötti összefüggés: R = R0 · √ 3 A, (2.2) ahol R0 = 1, 2 . 1, 4 · 10−15 m Ennek az érdekes arányosságnak a magyarázatát a cseppmodell ben kereshetjük, amelynek itt csak a fő gondolatával ismerkedünk meg. A modell az atommag és egy foA tapasztalatok szerint könnyű atommagok ese- lyadékcsepp közötti analógiát kihasználva ér el jetén (Z < 15) (stabil magokban) a neutronok szá-

lentős eredményeket ma megegyezik a protonok számával. A nehezebb Vizsgáljuk meg, hogy a tömegszám kitevőjében lévő 1 hoatommagokban ez az arány egyre inkább eltolódik gyan magyarázható a cseppmodellel. Tegyük fel, hogy a3 mag a neutronok javára, a nagyon nehéz atommagok- gömb alakú, valamint összenyomhatatlan (állandó sűrűségű), akárcsak a folyadékok. Egy folyadékgömb tömege, sűrűsége és ban (Z > 90) már akár másfélszer annyi neutron is sugara közötti összefüggés: m = ρ 4π r3 , azaz m ∼ r3 . Mivel 3 az atommag tömege egyenesen arányos a nukleonszámmal, így lehet a magban, mint proton, lásd 2.4 ábra! m ∼ A, azaz a kettő összevetéséből A ∼ r 3 , illetve invertálA jelenség magyarázata abban (is) keresendő, va r ∼ 3√A, ahogy azt a Hofstädter féle képlet is leírja. (A hogy a nagyobb magokban sok proton van viszony- cseppmodell további alaklmazására a felületi nukleonoknál még viszszatérünk.) lag kis

helyre összezsúfolva, ezek elektromágneses taszítása jelentős. Azonban az elektromosan semleges neutronok árnyékolják a protonok Coulomb 223 A magok stabilitása, a kötési terét, így csökkentik a protonok egymásra kifejtett energia taszítását. Tehát a „fölös” neutronok stabilizálják a magot. A fentiekben láttuk, hogy mi tartja össze az atomA magok méretét még nem vettük vizsgálat alá. magot, megismertük a magerők alapvető tulajdonAz nyilvánvaló, hogy a nehezebb magok nagyob- ságait Úgy gondolhatjuk, hogy ennek alapján hebak, azonban az arányosság nem lineáris Külön- lyesen le tudjuk írni egy atommag alkotórészeiből böző kísérletek számot adtak az atommagok mére- való kialakulását. A kvantitatív kísérletek eredményei azonban nem pontosan egyeztek ezzel a képpel téről (Hofstädter és mások, 1950). 10 Ez vagy úgy mehet végbe, hogy részecskéket löknek ki a fent említett módon, vagy úgy, hogy a célatom magja

befogja a bombázó részecskét, így az instabil állapotba kerülve több darabra esik szét, ily módon éri el az energatikailag kedvezőbb állapotot. Vezessük be a későbbi számítások egyszerűbbé tétele érdekében az atomi tömegyegység fogalmát. Egy atomi tömegegység – definíció szerint – a szén1 -ed része. Jele u 12 (12 C) atommag tömegének 12 28 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI Számértéke a a definíció alapján: 1u = 1 g = 1, 6605 · 10−27 kg. 6, 022 · 1023 (2.3) A következő gondolatkísérletben tegyük fel, hogy egy 42 He atommagot szeretnénk alkotórészeiből előállítani. Ehhez szükséges két proton (11 p) és két neutron (10 n). Pontos atomfizikai mérések szerint a proton tömege 1, 0073 u, míg a neutroné valamivel több, 1, 0086 u. Ezek alapján a két proton és két neutron tömegének összege: m2p és 2n = 4, 0318 u. (2.4) 2.5 ábra A kötési energia és a tömegdefektus kapAzonban ha megmérjük egy hélium

atommag tö- csolata megét a számítottnál kisebb(!) érték adódik: mHe atommag = 4, 0026 u. (2.5) Behelyettesítve (2.6)-ot (28)-ba, m = ∆m átjelöléssel: (2.6)  m 2 = ∆E = 4, 4846 · 10−29 kg · 2, 99 · 108 s = 4, 33 · 10−12 J. (29) Hogyan tudunk vajon „elszámolni” a hiányzó ∆m = 0, 0292 u = 4, 8486 · 10−29 kg tömeggel? Úgy tűnik, hogy a kiindulási alkotórészek tömegének mintegy 0, 7%-a eltűnik abban a folyamatban melynek során két szabad protonból és két szabad neutronból egy hélium atommag lesz. A probléma megoldása abban rejlik, hogy egymástól független két proton és két neutron még nem egy 4 2 He atommag! Amikor viszont két szabad protonból és neutronból egy hélium atommag keletkezik, tetemes mennyiségű energia (kötési energia11 ) szabadul fel, hiszen a fúzió során a protonok és a neutronok alacsonyabb energiájú állapotba kerülnek.12 A fúzióelmélet eredményének helyességét már csak a

kísérletekkel kell összevetni. A mérések szerint egy hélium atommag keletkezésekor Tehát az elméletileg kiszámolt energiaérték pontosan megegyezik a mérésekből kapott értékkel. Így elmondhatjuk, hogy egy atommag mindig kisebb tömegű, mint az őt alkotó független nukleonok tömegének összege. A hiányzó tömeg (tömegdefektus) ekvivalens az atommagot összetartó kötési energiával. A magyarázathoz lásd még a 2.5 ábrát! 2.24 A fissziós és a fúziós energia Láttuk, hogy a magban kötött nukleonok tömegének összege kisebb mint ugyanannyi szabad nukleo−12 ∆E = 4, 33 · 10 J (2.7) né, és a tömegkülönbség ekvivalens a magot összetartó kötési energiával Ennek alapján, ha egy A energia szabadul fel. A relativitáselmélet híres tömegszámú (nukleonszámú) mag kötési energiája tömeg–energia ekvivalencia képlete szerint Eköt , akkor a tömegdefektus (∆m) nagysága: ∆E = mc2 . Eköt . (2.10) c2 Arra gondolhatunk, hogy a

hiányzó tömeg ekviVezessük be az egy nukleonra jutó kötési energia valens a kötési energiával. fogalmát. Ezt -nal jelölve, a definícióból fakadóan: (2.8) 11 Ez a kötési energia nukleonok között hat, nem tévesztendő össze az atomok illetve molekulák között fellépő kötési energiával, melyet a kémia használ! 12 Ezt nevezzük kötött állapotnak. ∆m = = Eköt . A (2.11) 29 2.3 A RADIOAKTÍV BOMLÁS A magok természetesen a legkisebb összenergiájú állapot, azaz a stabilitási görbe „púpja” felé törekszenek. A könnyű magok (A < 50) nehezebb magokká szeretnének egyesülni, azaz fúzionálni ; míg a nehezek (A > 60) pedig szeretnének kisebb darabokra esni. Ez a maghasadás, idegen szóval fisszió 2.6 ábra Egy nukleonra jutó kötési energia a tömegszám függvényében Ezek szerint a stabilitás növelésére (az összenergia csökkentésére, azaz energianyerésre) két módon van lehetőségünk: nehéz magokat

hasítunk, és így nyerjük ki a kötési energiák különbségét (atomerőmű, atombomba), vagy pedig könnyű magokat egyesítünk, ily módon juttatva a magot alacsonyabb összenergiájú állapotba, szintén kinyerve a kötési energiák különbségét (hidrogénbomba, fúziós reaktor). 2.3 A radioaktív bomlás A 2.6 ábrán feltüntettük az egy nukleonra jutó kötési energiát a tömegszám függvényében (A kötési energia adatok MeV-ban adottak.) A grafikonról látható, hogy az egy nukleonra jutó kötési energia a vas-56-ban a legnagyobb, így a vasatom magja a legstabilabb atommag! Adjunk magyarázatot arra, hogy energetikailag miért kedvezőtlen a túl nagy illetve túl kicsi tömegszám, miért csökken mindkét irányban az egy nukleonra jutó kötési energia. 2.31 Az α-, β- és γ-bomlás Az előző fejezetben beláttuk, hogy a magok olyan módon igyekeznek csökkenteni energiájukat (növelni stabilitásukat), hogy az A ≈ 50 − 60

tömegszámtartományba törekszenek (a görbe „púpja” felé tartanak). A magok egy része azonban annyira instabil, olyan messze van a minimális energiájú állapottól, hogy minden külső behatás nélkül (spontán) halad a kisebb energiájú állapot felé Ennek a megnyilvánulása a radioaktív bomlás, melynek során a magok többféle módon szabadulnak meg fölös energiájuktól. A radioaktív bomlásnak három különböző fajtája ismert • A túl nagy tömegszám energetikailag nem kedvező a magnak, mert – a sok neutron árnyékoló hatásának ellenére is – a protonok közötti Az alfa-bomlás elektromágneses taszítás túl erős. • A túl kicsi tömegszám energetikailag szintén kedvezőtlen, ennek magyarázata azonban már nem annyira kézenfekvő. Elsőként figyelembe kell venni, hogy a magerők a nukleonok között hatnak. Ha egy nukleon kikerül a mag „felszínére”, annak a többi nukleon csak kis részét „látja”, így rá sokkal

kisebb vonzerő hat, mint a belül lévőkre. Így a felületi nukleonok csökkentik a mag stabilitását Tekintetbe véve még azt, hogy a tömegszám (a mag mérete) csökkenésével fajlagosan egyre több nukleon kerül ki a mag felszínére, a csökkenő tömegszámmal csökken a stabilitás. Vegyük észre, hogy itt a térfogat–felület arány romlásáról van szó, aminek stabilitáscsökkentő hatása a cseppmodell alapján nyilvánvaló Az alfa-bomlás során a mag egy α-részecskét (42 He++ -t, hélium atommagot) bocsát ki. Ez a bomlástípus nehéz magok esetén energetikailag azért kedvező (azért mehet spontán végbe), mert így a protonszám csökkenésével csökken a megmaradottak Coulomb-(ön)taszítása. Így a bomló mag tömegszáma néggyel, rendszáma kettővel csökken, azaz: A ZX 4 −A−4 Z−2 Y +2 α. (2.12) Az α-bomló magok hasadással kötöttebb, kisebb energiájú állapotba jutnak.13 A kötési energia gör13 Az alfa-bomlás és a

kvantummechanikai alagúteffektus kapcsolatáról még lesz szó A kvantummechanika elemei című fejezetben. Egyenlőre csak annyit említünk meg, hogy a magból kilépő alfa-rész energiája mindig kisebb mint a mag- 30 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI töltésmegmaradás tétele már nélküle is teljesül.16 Az új részecske tömege nulla illetve nagyon kicsi17 kell, hogy legyen, hiszen a mérési pontosságon belül a tömegmegmaradás is teljesül a 1 0n −11 p +−10 e folyamatra. Ugyanakkor ennek az új részecskének nagyon nagy áthatolóképességgel kell bírnia, mivel még a 2.7 ábra Az alfa-részecske a magból csak alagútef- mai napig is csak néhány esetben sikerült detektálfektussal juthat ki ni. Ez a különleges részecske az antineutrínó nevet kapta. Jelölése: ν A neutrínó-elméletet is figyebéjéből az is nyilvánvaló, hogy α-bomlásra csak a lembe véve a béta-bomlás során a magban lejátszónehéz magok képesek.14 dó folyamat tehát:

A béta-bomlás, és a neutrínóhipotézis Míg az α-bomlás esetén a magból nukleonok távoznak, addig béta-bomláskor – a tapasztalatok szerint – az atom elektront bocsát ki. Így azonban egy atommag nem kerülhet energetikailag kedvező állapotba, mivel az elektron nem alkotórésze a magnak. A jelenség máig elfogadott magyatázatát W. Pauli adta meg (1931) E szerint a β-bomlás során kibocsátott elektron csupán kísérőjelensége valamilyen magban lejátszódó folyamatnak. Mivel egy neutron közel egy elektrontömeggel nehezebb egy protonnál, így Pauli azt feltételezte – egyenlőre helytelenül –, hogy az alábbi folyamat játszódik le: 1 0n −11 p +−10 e + ν. (2.13) E szerint béta-bomláskor az atommag tömegszáma nem változik (a protonok és neutronok számának összege változatlan marad), míg a rendszám eggyel nő (eggyel több proton lesz a magban), azaz a βbomlás egyenlete: A ZX 0 −A Z+1 Y +−1 e + ν. (2.14) Ezzel a

bomlástípussal az atommag „fölös” neutronjaitól tud megszabadulni, azaz proton-neutron átalakítást tud végezni, így tudja korrigálni proton– neutron arányát.18 19 A gamma-bomlás 1 0n −11 p +−10 e. A harmadik bomlástípus a gamma-bomlás, melyAzonban ezzel a feltételezéssel élve sérülne a per- nek során – a tapasztalatok szerint – a mag egy dületmegmaradás tétele.15 A bomlástermékek (pro- nagyenergiájú fotont (gamma-fotont) bocsát ki, miton, elektron, végmag) összperdülete ugyanis nem közben a magnak sem a tömegszáma, sem a rendszáma nem változik A nagyenergiájú foton a megegyezne meg a bomlás előtti mag perdületével előző bomlások után még gerjesztett állapotban A fentieket korrigálandó Pauli feltételezte, hogy maradt mag gerjesztési energiáját viszi el. Ezért gamma-sugárzás csak alfa- vagy béta-bomlás kiséléteznie kell még egy részecskének, rőjelensége lehet. amely a maradék perdületet elviszi.

Ennek a feltételezett részecskének nem lehet töltése, mivel a erők potenciálja (lásd magpotenciál ábra), tehát a klasszikus mechanika szerint nem hagyhatná el a magot. Azonban a kvantummechanika megengedi, hogy egy α-rész, – melynek energiája kisebb, mint amivel „ki tudna ugorni” a potenciálgödörből – mintegy a potenciál falán keresztül kijusson. Ez az alagúteffektus, lásd a 2.7 ábrát! 14 A legkönnyebb alfa-bomló mag a 84 Sm. 62 15 Ez az energia-, impulzus-, és töltésmegmaradáshoz hasonlóan univerzális természeti törvény, amely nem sérülhet. 16 A kiindulási- és a végmag elektromosan semleges. A 1 p 1 és az 0−1 e összességében semleges, ahogy az a neutron is, amelyből keletkeztek. 17 Máig eldöntetlen, hogy a neutrínónak van-e tömege. Amennyiben van, az nem lehet több 4 eV-nál. (Marx Gy) 18 Mint a 2.4 ábrán látható, csak egy szűk proton-neutron sávban lehetnek stabil magok. 19 Létezik úgynevezett pozitív

béta-bomlás is, amely során a magban lejátszódó reakció egyenlete: 11 p −10 n ++10 e + ν, tehát egy protonból lesz egy neutron egy pozitron és egy neutrínó. Ekkor a megfigyelhető folyamat: A X A 0 Z Z−1 Y ++1 e + ν. 31 2.3 A RADIOAKTÍV BOMLÁS A gamma-bomlás egyenlete: A ∗ ZX −A Z X + γ, során az aktív magok számának megváltozása természetesen: −dN . Ebből fakadóan a radioaktív (2.15) bomlás differenciálegyenlete: ahol csillaggal a gerjesztett állapotú magot jelöltük. dN = −λN dt, ahol a negatív előjel arra utal, hogy a bomlás csökkenti az aktív magok számát. A változókat szétváVizsgáljuk meg, milyen jellemző mennyiségek beve- lasztva: zetésével tudjuk leírni egy radioaktív bomlást szendN vedő anyag állapotát. Kézenfekvő bevezetni az ak= −λdt N tivitás fogalmát, mely megmutatja, hogy az adott anyagban 1sec alatt hány bomlás következik be. Jele: λ-t mint konstanst kihozva az integrálás elé: = 1

Becquerel = 1 Bq. A, mértékegysége: 1 bomlás Z N (t) Z t s dN = −λ dt. Az, hogy egy radioaktív minta egy kiszemelt N (0) N 0 atommagja a következő másodpercben elbomlik-e, – a kvantummechnika tanítása szerint – meg- Kiintegrálva megkapjuk a bomlás időbeli lefolyását leíró egyenletet: jósolhatatlan! Tehát 2.32 Az aktivitás és a felezési idő ha egy radioaktív minta egy kiszemelt atommagja már hosszú idő óta nem bomlott el, az nem jelenti azt, hogy a közeljövőben nagyobb valószínűséggel fog bomlást szenvedni. N (t) = N (0) · e−λt . (2.17) Itt N (0) a kiindulási időpontban vett aktív magok száma, míg N (t) ugyanennek a t időpillanatban vett értéke. Marx György szavaival élve: „A radioaktív bomAz idő előrehaladtával tehát az aktív magok szálás nem olyan, mint az aggkori elhalálozás, hanem ma exponenciálisan csökken. A gyakorlati életben olyan mint a közlekedési baleset: meghatározott azonban nem a

bomlásállandót, hanem a felezési számszerű valószínűséggel egyaránt fenyeget minidőt (T ) használják. Ez megmutatja, hogy mennyi den atommagot.” idő szükséges ahhoz, hogy a kérdéses anyag aktiviTehát egy radioaktív anyag magja „nem öreg- tása (A) a kiindulási érték felére csökkenjen. Mérszik” Bomlásának valószínűsége olyan mint a pénz- tékegysége természetesen sec Írjuk be ezt az (2.17) bomlásegyenletbe: feldobás. Annak ellenére, hogy eddig száz fejet dobtam (azaz attól mert eddig még nem következett be N (0) az elbomlása) az írás dobásának valószínűsége nem = N (0) · e−λT . (2.18) 2 lesz nagyobb (nem fog nagyobb valószínűséggel elbomlani).20 Innen egyszerű algebrai átalakítással adódik a feleAzt a számot21 , mely megadja, hogy egy atommag zési idő és a bomlásállandó kapcsolata: a következő 1sec-ban milyen valószínűséggel bomln 2 T = . (2.19) lik el, bomlásállandónak nevezzük és λ-val fogjuk

λ jelölni. Nyilvánvaló, hogy ha N darab potenciálisan bomlásképes, azaz aktív atommag van jelen, Ezek alapján már a felezési idővel is fel tudjuk akkor: írni az aktív magok számának időbeli változását. A felezési időt a bomlásállandó helyére írva: A = λN. (2.16) t (2.20) N (t) = N (0) · e− T ln 2 , Ha egy másodperc alatt az aktív magok száma λN nel csökken, akkor dt idő alatt λN dt-vel. Ennek ezt átrendezve 20 Még annak ellenére sem, hogy a közgondolkozásban mélyen benne gyökeredzik az a téves kép, miszerint sok fej dobás után megnő az írás valószínűsége. „Mostmár írást kell dobni” – szokták mondani. 21 Ismételten hangsúlyozva, hogy ez konstans! t t N (t) = N (0) · e− ln 2 T = N (0) · 2− T . (221) 32 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI 2.33 A radioaktív sugárzás veszélye jobb sugárvédelmi tulajdonságokkal kell rendelkezzenek, hiszen térfogategységükben több atom, moés haszna A radioaktív

sugárzás az élő szervezetekre veszélyes. Vizsgáljuk meg miből fakad és mekkora a különböző sugárfajták veszélyessége Általánosan elmondható, hogy minden sugárzás (mozgási) energiával rendelkezik, emiatt közegben való haladása során energiáját átadja (rombol). Az energiaátadás mértéke függ a sugárzás fajtájától és a közeg anyagi minőségétől is. Egy élő sejt különbözőképpen tolerálja ezt a rombolást. Ha a becsapódó rész a DNS-t éri, abban változást hozhat létre, ez a sejt további osztódásakor – de csak akkor – mutációt okozhat, abban a speciális esetben, ha a szervezet önvédelmi mechanizmusa „elnézi” a hibát. Ha a sejt többet nem osztódik, ez a hatás következmények nélkül marad. Ha a sejt lassan osztódik, akkor a „lappangási idő” akár évtizedes is lehet. Nagyobb sugárzásdózis azonban már nem csak genetikai, hanem fizikai károsodást is okozhat a sejtben, tönkretéve annak szerkezetét.

Ez az adott sejt(csoport) elpusztulásához vezet. E szerint az elő szervezetben sugárhatás kétfajta károsodást okozhat: • Sztochasztikus sugárkárosodás. Ennek jellemzője, hogy csak akkor jelenik meg, ha a sejt osztódni kezd, esetleg évekkel–évtizedekkel a besugárzás után. Nem biztos, hogy a változás rosszindulatú eredményre vezet, ugyanis az esetek többségében a károsodott örökítőanyagú sejt nem fog tudni életképes másolatokat létrehozni. • Determinisztikus sugárkárosodás. A sugárhatás következménye azonnali fizikai szövetpusztulás, az égéshez hasonló tünetekkel Nincs látenciája, és nagyon nehezen gyógyul. Ritkán fordul elő mert csak igen nagy sugárdózis tudja előidézni. A közvetlen sugárhatástól távolabbi sejtek ugyanekkor természetesen sztochasztikus károsodást szenvednek A sugárvédelem célja az, hogy az embert ne – vagy csak elenyésző energiával – érje el az alfa-, béta- és gamma-sugárzás.

Természetesnek tűnik, hogy bármely anyag alkalmas sugárvédelemre, hiszen a sugárzást alkotó részecskék az anyagot alkotó atomokkal való sorozatos ütközések folyamán lefékeződnek. Az is nyilvánvaló, hogy nagyobb sűrűségű anyagok általában lekula van.22 Ezért az ólom a egyik legelterjedtebb sugárvédelmi anyag. Meg kell jegyeznünk azonban, hogy a különböző sugárfajtákra ugyanannak az anyagnak a sugárvédelmi képessége különböző lehet. Vizsgáljuk meg, hogy melyik sugárzásfajta milyen veszélyeket rejt magában, és mi lehet a védekezés módja. Az alfa-sugárzás A sugárzás hélium atommagokokból áll. Ezek nagy tömegük miatt ütközéskor nagy energiát tudnak leadni, azonban néhány ütközés alatt energiájuk számottevő részét elveszítik. Ezt úgy fogalmazzuk meg, hogy az alfa-sugárzás áthatolóképessége kicsi. Az átlagos energiájú alfa-sugárzás áthatolóképessége vízben (emberi szövetben) 1 − 10 µm

nagyságrendű, ennek során az anyagot alkotó molekulákkal ütközik, erősen lelassul, szinte minden energiáját elveszíti.23 24 Emiatt az alfa-sugárzás testen kívüli, távoli forrás esetén nem különösen veszélyes, hiszen a sugárzás csak elenyésző hányada éri el a testfelületet, a levegőben lefékeződik, vagy az embert elérve a bőr legfelső, élettelen szarurétegében leadja energiája nagy részét. Azonban az alfa-sugárzók testen belül (inkorporálva) különösen veszélyesek, mivel nagy energiájukat közvetlenül az élő szöveteknek adják át, súlyosan károsítva azokat, így az alfa-sugárzó anyagok belélegzését, lenyelését – ha lehet –, el kell kerülni. Ipari használatuk során a fizikai sugárvédelem egyszerű árnyékolással megoldható A béta-sugárzás Az alfa-részecskéknél sokkal kisebb tömegű elektronok nagyobb áthatólóképességgel rendelkeznek. Az anyagban hosszabb utat tesznek meg, mint az alfarészek.

Pályájuk zegzugos, egy-egy ütközés során 22 Gondolatmenetünk egyszerűsített, a valóságban vannak jó sugárvédelmi tulajdonságokkal bíró kis sűrűségű anyagok is. 23 Természetesen nem áll meg, hanem csak arra a sebességre lassul le, mint a közeget alkotó anyag molekulái, így kerül azokkal egyensúlyba. 24 Mint belátható minél nagyobb energiája van egy részecskének, azt az ütközések során annál gyorsabban veszíti el, azaz egy-egy ütközés során annál több energiát ad le. 33 2.3 A RADIOAKTÍV BOMLÁS azonban sokkal kisebb energiát adnak le. Ebből látható, hogy a béta-sugárzás kevésbbé veszélyes, mivel kevesebb energiát szállíthat, azonban nagyobb áthatólóképessége folytán nemcsak testen belül, hanem testen kívülről kiindulva is képes elérni az élő sejteket. Áthatolóképessége vízben (emberi szövetben) centiméteres nagyságrendű megállapítható, hogy hol jár az aktív anyag a testben. E módszert

főleg agyterületek aktivitásának méréséhez használják Ehhez valamilyen cukrot26 tesznek mesterségesen pozitronbomlóvá, majd a véráramba juttatják Amelyik agyterület aktívabb, oda több cukor kerül, ennek hatására ott nagyobb gamma-aktivitást lehet detektálni. A gamma-sugárzás A sugárvédelem legfontosabb feladata a gammasugárzás elleni védelem. A fotonokból álló gammasugárzás ugyanis nagyon-nagy áthatólóképességgel rendelkezik, és komoly energiát is szállít. Ezért testen kívül és belül egyaránt nagyon veszélyes, annak ellenére, hogy nagy áthatolóképessége miatt, inkorporálva a sugárzás egy része károkozás nélkül hagyja el a testet. Árnyékolása nehéz, csak nagy sűrűségű anyagok (ólom) jöhetnek szóba Áthatolóképessége vízben, szövetben méteres nagyságrendű Eddig csak a radioaktív sugárzás veszélyeiről és a védekezés módjairól írtunk. Vannak azonban olyan esetek, mikor a radioaktív sugárzások

hasznosak az ember számára. Ezekből mutatunk be – a teljesség igénye nélkül – néhányat: • Orvosi nukleáris diagnosztika. Ennek során megfelelő sugárzásmérő berendezésekkel a szervezetbe juttatott enyhén sugárzó anyagok testen belüli mozgását a testen kívülről lehet megfigyelni. Alkalmazási területek például: • Orvosi terápia. Ebben az esetben a sugárzás roncsoló, pusztító hatását használják ki Általában daganatos betegségek kórosan burjánzó sejtcsoportjait lehet vele kezelni, ha a műtéti lehetőség korlátozott, illetve műtéti kiegészítő kezelésként. Ekkor a sugárzó anyagot illetve a sugárzást közvetlenül a célterületre juttatják Az ott bekövetkező determinisztikus sugárhatások elölik a kóros sejteket (is). Ennek egyik gyakori alkalmazási területe a pajzsmirigy túlműködésre (hyperthyreosis) alkalmazott radiojód terápia, melynek során nagy aktivitású (A = 100 − 1000 MBq) radioaktív jód

izotópot (131 53 I) adnak a betegnek, amit a pajzsmirigy összegyűjt. Ennek eredményeként a pajzsmirigyben felgyűlő aktivitás akkora lesz, amely elpusztítja a pajzsmirigy szöveteinek egy részét, ezáltal csökkenti a termelt hormon mennyiségét. • Mutagén hatás Nem feledkezhetünk el arról, hogy a sugárzás okozta genetikai változások – ugyan nagyon kis valószínűséggel – de hasznosak is lehetnek, fittebb egyedek alakulhatnak ki. Feltételezhető, hogy az evolúcióhoz nukleárisan indukált mutációk pozitívan járulhattak hozzá. Pajzsmirigy szcintigárfia. A vizsgálat során radioaktív jódot juttatnak a beteg szervezetébe, amit a pajzsmirigy biológiai úton összegyűjt – nem tudván megkülönböztetni az aktív jódot az inaktívtól. A begyűjtés sebességének, illetve a begyűjtés után a pajzsmirigy méretének A nukleáris terápia és diagnosztika kapcsán röviés elhelyezkedésének van diagnosztikai értéke den szólnunk kell a

kockázat–hasznosság elvéről is Nyilvánvaló, hogy minden nukleáris anyaggal végzett diagnózis és terápia során – esetenként egészen Pozitron emissziós tomográfia (PET). Itt nagy – sugárdózisnak tesszük ki magunkat. Ezolyan radioaktív anyagot juttatnak a véráramzel megnövekszik sztochasztikus kockázatunk, azaz ba, mely bomlása során pozitronokat bocsát annak valószínűsége, hogy késői következményként 25 ki. Ezek a pozitronok a környező testterület daganat alakul ki. Viszont a diagnózis és a terápia elektronjaival találkozva megsemmisülnek (anhaszna nyilvánvaló. Mérlegelni kell tehát A bevett nihilálódnak) és gamma-sugárzást emittálnak, gyakorlat szerint amennyiben a várható haszon na+ − ennek egyenlete: e + e 2γ. Ez a gammagyobb, mint a vállalt kockázat, akkor az adott tesugárzás kijut a testből és megfelelő berendezérápia „megéri” sekkel detektálható. Helyéből és intenzitásából 25 Emlékeztetünk a

pozitív béta-bomlás fogalmára. 26 Azaz a cukormolekula valamelyik atomját. 34 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI 2.9 ábra Az urán-238 bomlási sora 2.8 ábra Az ionizáló sugárzás emberre gyakorolt károsító hatása. 2.34 Dozimetriai alapfogalmak A dozimetria célja az embert érő sugárzások és azok kockázatának minél teljesebb megismerése. Vezessük be az elnyelt sugárdózis fogalmát. Ennek egysége az 1 Gray = 1 Gy Jele: D 1 Gy elnyelt dózis esetén az anyagot érő sugárzás 1 Joule ionizációs energiát ad át. Már láttuk, hogy különböző típusú sugárfajták különböző mértékben veszélyesek. A veszélyesség mértékét a dózisegyenérték kel (Q) jellemezzük. Ez a szám annál nagyobb, minél veszélyesebb adott sugárfajta. A dózisegyenérték nagysága: Qβ ,γ = 1, Qneutron = 2 − 10, Qα = 20. Ebből látható, hogy pusztán a dózis nagyságának ismerete nem elégséges, figyelembe kell venni, hogy milyen sugárfajta éri a

szervezetet. Ezért definiáljuk az effektív dózis fogalmát. Jele: H, mértékegysége Sievert, Sv. Kiszámítása a fentiek alapján: X H= Di · Qi . (2.22) i=α,β,γ,n Hétköznapi sugárterhelésünk két részből, természtes és mesterséges sugárzásból tevődik össze. Nézzük az éves átlagos 2, 4 mSv dózisunk eloszlását: • 51%, ∼ 1, 2 mSv talajból és építőanyagokból származó, alfa-sugárzó 222 Rn és 220 Rn-ból, • 12%, ∼ 0, 28 mSv a csontozatunkban természetesen meglévő 40 K-ből, • 10%, ∼ 0, 24 mSv a kozmikus háttérsugárzásból, • 14%, ∼ 0, 34 mSv gamma-sugárzás a talajból és az építőanyagokból, • 12%, ∼ 0, 28 mSv az egészségügyi sugárterhelésből, • < 1%, ∼ 0, 02 mSv a mesterséges (nukleáris létesítmények kibocsátása, atomfegyver kísérletek utóhatása, foglalkozási sugárterhelés) Látható, hogy – gyakran a média által is gerjesztett – hétköznapi félelmeink ellenére mesterséges

sugárterhelésünk elenyésző. Legjelentősebb dózisunk a talajban lévő urán-238 és tórium-232-ből közvetett módon származik. Vizsgáljuk meg részletesebben ennek alakulását Az urán és a tórium szilárd halmazállapotúak lévén nem kerülnek ki a talajból, tehát radioaktivitásuk minket közvetlenül nem veszélyeztet. De a fenti nehéz atommagok egy bomlással még nem kerülnek energetikailag sokkal kedvezőbb állapotba, így bomlások sorával törekednek az energiaminimum felé. Ez az úgynevezett bomlási sor. A radon-222 az urán-238 bomlási sorának egyik eleme27 , míg a radon-220 a tórium-232 soré. Ezek gázhalmazállapotúak lévén kiszabadulnak az anyagból (talaj, építőanyagok) és bekerülnek a levegőbe, ahonnan azt belélegzünk. (T222 Ra = 3, 8 nap, T220 Ra = 55 sec). Azért adják effektív dózisunk mintegy felét, mert inkorporált alfa-sugárzó lévén Q = 20-as dózisegyenértékkel kell számításba venni. Erősen radonos házakban

(radonos talaj 27 Ez azt jelenti, hogy az urán-238 sorozatos bomlása során jön létre, majd tovább bomlik. 35 2.3 A RADIOAKTÍV BOMLÁS zás magasabb, értéke kb. 1800 méterenként duplázódik 2.10 ábra Az urán-238 és a leányelemek útja a környezetben és/vagy radonos építőanyag) akár évi egy Sievert nagyságrendű dózist is össze lehet szedni. Egyetlen ellenszere a napi többszöri szellőztetés. Magyarországon kissé radonosak a vulkanikus, bazaltos területek és a kohósalakból épült házak Szervezetünk a táplálékból felgyűjt és beépít bizonyos elemeket, például K, Ca, C, Rb. Ezek azonban nem tiszta elemek, így – nagyon kis hányadban – vannak természetes módon radioaktív izotópjaik, melyeket a szervezet nem tud megkülönböztetni az inaktívtól és így begyűjti azokat (40 K, 14 C, 87 Rb). Ebből fakad természetes belső sugárterhelésünk egy része. Belső sugárterhelésünk másik fő oka az urán bomlási sorában

megjelenő radon, mely a talajból diffundálva a levegőbe jut, ahonnan belélegezzük. Nem elhanyagolható, mert inkorporált αsugárzóként Q = 20-as dózisegyenértékkel kell számításba venni Természetes sugárterhelésünk tehát az alábbiakból áll össze: forrás (eredet) kozmikus ionizáló sugárzás tengerszinten kozmikus neutronsugárzás tengerszinten 100 m magasságtöbbletenként 40 K testben és táplálékban 14 C testben és táplálékban 87 Rb testben és táplálékban U bomlási sora Th bomlási sora Rn szabad levegőn effektív dózis 0,3 mSv 0,05 0,02 0,3 0,015 0,06 0,1 0,16 0,4 mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv Az atomfegyver kísérletek egy részét a magaslégkörben hajtották végre, elszennyezve azt. A szennyezők onnan a csapadékkal hullanak ki (ez az úgynevezett fallout) a talajra, és a táplálékláncon keresztül bejutnak szervezetünkbe. Mint látható ennek dózisa – tőle való félelmeinkkel ellentétben – Mesterséges

sugárterhelésünk nem jelentős. Hasonlóan elenyésző a nukleáris léteMesterséges sugárterhelésünk legnagyobb összetesítmények kibocsátásából származó dózisunk vője „civilizációs ártalom”, annak köszönhető, hogy a szabad ég alól házakba húzódtunk. A zárt légtér235 Hétköznapi nukleáris dózisaink ben ugyanis felgyűlik a talajból kiszabaduló radon, és ezek kockázata valamint az építőanyagok jó része tartalmazza az A következőkben áttekintjük – és a hétköznapi koc- U és Th bomlási sorának elemeit, amelyek előbbkázatok aprópénzére váltjuk – a mindannyiunkat utóbb szintén radonná bomlanak. Ezt azután egy érő természetes és mesterséges sugárzásokat, ezek zárt szobában „ jó hatásfokkal” belélegzünk. Ennek mértéke azonban nagyon erősen függ az építőanyag dózisát és ebből fakadó kockázatunkat. milyenségétől, dozimetriai szempontból legjobb a fa, legrosszabb a salakbeton. Természetes

sugárterhelésünk További mesterséges sugárzásnak tesszük ki magunkat repülőutak során, ekkor ugyanis vékonyabb Természetes sugárterhelésünk két fő részből – külfölöttünk a légréteg, így erősebb a minket érő kozső, belső – tevődik össze. A külső sugárterhelés mikus ionizáló sugárzás28 . Komoly dózis származforrása a kozmikus ionizáló γ-sugárzás, valamint az általa a légkörben keltett neutronok. A kozmikus hat a – napjainkban már ritka –, radioaktív fesγ-sugárzás a földfelszínhez közeledve gyengül, hi28 Ebből fakadóan az űrhajósok a földihez képest igen koszen a légkörön áthaladva elnyelődik Így érthető, moly dózisnak vannak kitéve Az ő dózisuakat a KFKI által hogy magashegységekben a radioaktív háttérsugár- kifejlesztett PILLE doziméterrel mérik. 36 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI tékkel bevont világító számlapú karórákból, régi urántartalmú festékkel festett

porcelánedényektől, csempéktől. Némi β- és γ-dózist jelent a monitorés TV-nézés is „Biztos” évi dózis a korábbi atomfegyver kísérletek radioaktív izotópojainak kihullása (fallout) is Ezek számszerűsítve: forrás (eredet) effektív dózis (évente) talajból földszinten felgyűlő radon salakbeton építőanyag könnyűbeton építőanyag tégla építőanyag gipszpanel építőanyag faház repülőutak (1000km) világító számlapú karóra színes TV nézés (1 óra/nap) a-bomba kísérletek kihullása 0,1-0,8 20 1,8 0,7 0,3 0,2 0,004 0,2 0,02 0,1 mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv koponya emlő csípő tomográfia urológia izotópdiagnosztika izotópterápia sugárterápia 0,15 1,0 0,9 4,3 17,8 ∼6 ∼ 20 ∼ 40 mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv mSv Mindez csak akkor mond valamit, ha megadjuk a dózis kockázatát. A ma elfogadott LNTM (Linear Non-Treshold Model, lineáris, küszöbérték nélküli modell) ajánlása szerint nincs olyan kis

dózis (küszöbdózis), amely ne jelentene kockázatot, és a dózis növekedtével lineárisan nő a vállalt kockázat. A vizsgálatok szerint: 1 mSv dózis 50 mikrorizikó kockázatot jelent. Egy mikrorizikó az a kockázat, melynek kitett A teljesség igénye megköveteli, hogy megemléegymillió ember közül a kockázat hatásaként átlakezzünk a működő atomerőművekból, valamint a gosan egy haláleset várható. Egy mikrorizikó koccsernobili atomerőmű-balesetből fakadó dózisunkkázatot jelent: ról. Ezek összesen évi dózisunk 1-2 tízezred részét 0, 0001 − 0, 0002 mSv-et tesznek ki, a fenti táblázat • 2500 km vonatozás értékeinél jóval kisebbek, így nem érdemes számolni velük – valamint ezekkel kapcsolatos félelmeink • 2000 km repülőút is alaptalanok. • 80 km autóbuszozás Számításba kell venni azonban a technikai sugárterhelésünk legnagyobb részét adó orvosi nukleáris • 65 km megtétele autón diagnosztikát és

terápiát, mely esetenként komoly • 12 km biciklizés dózisterheléssel járhat. Mesterséges orvosi sugárterhelésünk összetevőit, a röntgenvizsgálatok effek• 3 km motorbiciklizés tív γ-dózisát – hazánkban nem mindenhol meglévő modern röntgenkészülékeket feltételezve – mu• egy cigaretta elszívása tatja be a következő táblázat. Vegyük figyelembe, hogy egy elavult – esetenként nagyobb dózist adó – • két hónap együttélés egy dohányossal rötngenkészülékkel végzett vizsgálat haszna is sokkal nagyobb, mint a vizsgálat elhagyása miatti nuk• egy palack bor megiszogatása leáris kockázatcsökkenés! • kövérként megenni még egy vajas szendvicset vizsgálat típusa fog száj-panoráma fölső emésztőrendszer alsó emésztőrendszer szív mellkasfelvétel végtag effektív dózis (esetenként) 0,3 mSv 5,0 mSv 1,1 mSv 0,3 mSv 6,8 mSv 0,15 mSv 0,5-1 mSv • egy órán át Budapest belvárosában lélegezni • egy hétig

házban lakni • egy héten át naponta kétszer átkelni egy forgalmas kereszteződésen • öt éven belül méhcsípéstől meghalni • tíz éven belül villámcsapást kapni 2.4 A HASADÁSI ÉS A FÚZIÓS ENERGIA GYAKORLATI FELHASZNÁLÁSA 37 A fenti 50 mikrorizikó/millisievert érték azonban felső becslésnek tekintendő. Ugyanis ha biztonságtechnikai problémáról van szó, mindig úgynevezett konzervatív becslést kell végezni, azaz a lehető legkedvezőtlenebb kimenetet kell vizsgálni. Az újabb vizsgálatok arra a meglepő eredményre vezettek, hogy a kis dózisok immunizálóan hatnak az emberre, azaz csökkentik kockázatát. Uránbányászok valamint a hirosimai és nagaszaki támadást túlélők 2.11 ábra A láncreakció folyamata közül azok, akiknek dózisa néhány 100 mSv alatt maradt, lecsökkent a rákos megbetegedések száma. Ezeket az eredményeket azonban egyenlőre óvatosan kell kezelni, így a nukleáris biztonság tervezé- O. Hahn és F

Strassmann tanulmánya: „Neutronbesugárzás hatására az urán (Z = 92) reaksekor természetesen figyelmen kívül hagyják ciótermékei közt bárium (Z = 56) is jelen van, ez pedig csak az urán-mag széthasadásaként értelmezhető”.30 2.4 A hasadási és a fúziós energia gyakorlati felhasználása 2.41 A hasadási energia és a láncreakció elve Rendelkezésre állt tehát a magenergia felszabadításának módja. Egy hasadáskor azonban pusztán néhány pJ-nyi energia szabadul fel Hogyan lehetne makroszkópikus mennyiségben maghasadást létrehozni az eddigi pusztán „néhány” atomra kiterjedő magátalakítások helyett? A gondolat Szilárd Leó fejéből pattant ki, állítólag miközben a lámpa zöldre váltására várt egy londoni utcasarkon.31 A gondolat lényege hihetetlenül egyszerű: Mint az atommagok stabilitásával kapcsolatban láttuk, nehéz atommagoknak (A > 60) energetikailag kedvezőbb, ha két kisebb darabra esnek szét. Ekkor ugyanis

a két hasadvány tömege kisebb, így az egy nukleonra jutó kötési energiája általában nagyobb. Nem túl nehéz magok esetében azonban a keresni kell egy olyan atommagot, melynek bomlás nem mindig jár energianyereséggel, hiszen neutron hatására bekövetkező hasadása során ha az egyik hasadvány az optimális A ≈ 50 eléréújabb neutronok keletkeznek. Ezek a neutronok sére törekszik, akkor a másik hasadványmag csak további hasításokra lesznek képesek melyek során nagyon kis tömegű lehet, ami összességében energetovábbi neutronok keletkeznek, s.ít tikailag már nem kedvező. (Kivéve, ha az a nagyon stabil He atommag, ekkor α-bomlásról beszélünk.) A fenti reakciót nevezik láncreakciónak, lásd a Ha viszont a hasadó mag nagyon nehéz (A > 200), 2.10 ábrát! Egy komoly probléma azonban erősen akkor mindkét – vagy akár több – hasadvány is sohátráltatta a láncreakció megvalósítását. A kísérkat tud javítani energetikai

helyzetén letek tanulsága szerint ugyanis a láncreakció csak 32 A magenergia felszabadításához ezek szerint urán-235-tel és lassú neutronokkal működőképes. „csak” annyi a teendő, hogy mesterségesen szét- A fentiek komoly technikai nehézségek elé állították 33 hasítsuk valamely nehéz elem magját.29 Vizsgál- a nukleáris technika korai fejlesztőit juk meg, milyen részecskével célszerű bontani az 30 O. Hahn ezért kapta meg az 1944 évi kémiai Nobelatommagot! Mint a 222 fejezetben beláttuk, ez a neutron, hiszen nagy tömege miatt számottevő díjat. 31 Szilárdot ismerők ezt kétségbe vonják, mondván ő nem kinetikus energiája van, de semleges lévén a mag szokott a piros lámpáknál megállni. Coulomb-taszítása nem hat rá. 32 Ezek olyan sebességgel mozognak, mint a szobahőmérMegkezdődtek a kísérletek, és 1939. január 6án a Naturwissenschaften első oldalán jelent meg 29 A hasadás természetes módon is bekövetkezik, hiszen ezek

a nehéz elemek mind radioaktivak, csak a hasadás intenzitása nagyon kicsi, így túl lassú az energiafelszabadulás. sékletű gázok atomjai. Innen fakad másik gyakori elnevezésük: termikus neutronok 33 Megjegyezzük, hogy – több más anyag mellett – a természetben nagy mennyiségben rendelkezésre álló urán-238 is alkalmas láncreakcióhoz, ehhez azonban nagyon nehéz a moderátor (lásd később) előállítása. A németek a II világháború alatt ezen az úton próbáltak atombombát csinálni 38 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI Energiatermelő–Reaktor betűszava, a 440 utal a 440 MW villamos teljesítményre, melyet azóta 470 MW-ra emeltek. Az atomreaktorok hőenergiát termelnek, melyet turbinákkal és generátorokkal villamos energiává alakítanak. A reaktorok üzemanyaga urán-dioxid (UO2 ), dúsítása a természetes 0, 7% helyett 1, 4%, 2, 4% vagy 3, 6%. Ebből – megfelelő feldolgozás után – 9 × 7, 6mm-es pasztillákat sajtolnak, amelyeket

2, 5m hosszú cirkónium csövekbe helyeznek, ezek a fűtőelempálcák. Mivel a több tízezer pálca mozgatása külön-külön lehetetlen feladat lenne, így 126 pálcát egy fűtőelemköteggé egyesítenek. A VVER-440 típus reaktortartályában 312 üzemanyagköteg van. A reaktortartály nagy falvastagságú speciálisan edzett acélból készült hengeres tartály. Ha ebbe – megfelelő elrendezéssel – belehelyezzük a fűtőelemkötegeket és a moderátort, megindul a láncreakció. Ugyanis bármely „kóbor” neutront a víz moderál, a moderált neutron pedig képes hasítani, a hasítás során újabb neutronok keletkeznek. Egy uránatom hasadása során azonban átlagosan 2, 43 neutron keletkezik Ez az állapot így veszélyes, mert magárahagyva a reaktor megszaladásához vezet. Hogy ezt belássuk, az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy minden hasadás során pontosan 2 neutron keletkezik. Ekkor az első hasadás 2 új, hasítóképes neutront kelt (1

generáció), amely mindegyike újabb kettőt, sít Az n generációban tehát 2n hasítás játszódik le, azaz minden generáció megduplázza(!!) a hasadások számát. Egy hasadás során átlagosan 30 pJ energia keletkezik, így nem egészen 60 generáció alatt mintegy 5 MJ(!) energia szabadul fel, ami egy átlagos háztartás havi energiaszükséglete. A hatvan generáció keletkezési ideje viszont pusztán mikroszekundumokban mérhető! A fenti állapot súlyos következményei – túlzottan hirtelen energiafelszabadulás, szabályoz2.42 Az atomreaktorok működé- hatatlanság, stb – elképzelhetők35 Tehát a hasadásonként felszabaduló átlagosan sének elve 2, 43 neutronból 1, 43-at valamilyen anyaggal – az Ebben a fejezetben a világ egyik legelterjedtebb re- úgynevezett kontrollanyaggal – el kell nyeletni, hiaktortípusát az úgynevezett vízmoderátoros, nyo- szen ekkor egy hasadás során csak egy neutron mamottvízhűtésű energiatermelő reaktort (PWWR:

rad amely képes újra hasítani, azaz a reakció staPower-Water-Water-Reactor) mutatjuk be a Pak35 A példa idealizált, mert a keletkező neutronok nem si Atomerőmű példáján. A paksi reaktor betűjele mindegyike moderálódik és hasít Egy részük a reaktor szerV V ER − 440, mely a Vízmoderátoros–Vízhűtésű– kezeti elemeiben lefékeződik, más részük a moderált állapotEgyrészt az urán-235 részaránya a természetes uránban csak 0, 7% és elválasztása a több mint 99%-nyi urán-238-tól hihetetlenül komoly technikai feladat. Kémiai elválasztás nem jöhet szóba, hiszen mindkét esetben kémiailag teljesen azonosan viselkedő uránizotópról van szó. Mindössze a tömegük nem egészen 1%-os különbségén alapuló módszerek lehetnek működőképesek. A célravezető megoldás végül a különböző tömeg miatt más sebességgel való diffúzió kihasználása volt; a nehezebb 238-as izotóp lassabban diffundál, így a 235-ös leválasztható.

Többek között ez a technikai nehézség volt az oka annak, hogy a technikailag többet teljesítő Egyesült Államoknak sikerült a második világháború során elsőként atombombát csinálni. Sok más technikai nehézség mellett a fejletlenebb országok atombombagyártását ma is ez nehezíti. A hasításhoz szükséges neutronok azonban újabb problémát okoztak. A hasadás során felszabaduló neutronok gyors neutronok, amelyek nem tudják hasítani a 235-ös uránizotópot. Ezért ezeket a neutronokat le kell lassítani Ezt, ahogyan a sugárvédelmi fejezetben láttuk, megfelelően megválasztott anyaggal úgynevezett moderátorral lehet elérni. A moderátornak le kell lassítania, de nem szabad elnyelnie a neutront. Erre a feladatra a kísérletek tanulsága szerint a közönséges víz kitűnően alkalmas.34 Tehát az energiatermelő láncreakcióhoz 235-ös uránizotópot kell használni, amit el kell választani a 238-as izotóptól, a láncreakció során

felszabaduló neutronokat pedig vízzel kell moderálni, hogy lelassulva hasítóképesek legyenek. Ezen kívül még arról is kell gondoskodni, hogy a reakció ne túl gyorsan menjen végbe; a reakciót szabályozni kell. A következő alfejezetben bemutatajuk ennek néhány részletét 34 A „drága” urán-235-höz jó az „olcsó” moderátor (víz, CO2 ); az „olcsó” urán-238-hoz viszont „drága” moderátor kell (nagy tisztaságú grafit, nehézvíz). A világ első működéképes reaktora grafit–urán-238 felépítésű volt ban éppen nem talál magának hasítható uránatomot. Valamint a megszaladó reakcióban a neutronok nagy részének már nincs ideje moderálódni, valamint egyéb zavaró hatások is fellépnek. Mindazonáltal a valóságban a jelenség a fentiekhez hasonlóan, csak más paraméterekkel játszódik le. 2.4 A HASADÁSI ÉS A FÚZIÓS ENERGIA GYAKORLATI FELHASZNÁLÁSA 39 cionárius (állandó intenzitású) lesz. Azt a tényezőt,

ami megmutatja, hogy egy hasadás eredményeként hány hasítóképes, azaz már moderált neutron lesz jelen, a reaktorállapot sokszorozási tényezőjének nevezzük Jele: k Stacioner állapotban k = 1, míg ha k > 1, akkor a reaktor teljesítménye növekszik (minden hasadás után több mint egy moderált neutron lesz jelen), k < 1 esetén pedig csökken. Nyitott kérdés még, hogy milyen anyagot használjunk kontrollanyagnak A kontrollanyagnak kell szabályozni a láncreakció intenzitását, így nyilvánvalóan olyan anyagok jöhetnek számításban, melyek nagyon jó hatásfokkal nyelik el a neutronokat, ilyenek például a bór és a kadmium. A kadmiumrudak a fűtőelemkazettákhoz hasonló kazettákban vannak a reaktortartályban, a teljesítmény növeléséhez ezeket kifelé kell emelni, ekkor kevesebb neutront nyelnek el, így a teljesítmény növekszik; a teljesítmény csökkentésekor pedig befelé kell tolni azokat. A reaktor leállításához teljesen be

kell tolni a szabályzórudakat A finom teljesítmény-szabályzáshoz (mellyel követni tudják a fűtőelemek kiégését) a reaktor vizében változtatják a bór koncentrációját. Vészleálláskor pedig a reaktort el lehet árasztani bóros vízzel, ez igen nagy hatásfokkal nyeli el a neutronokat, így a láncreakciót hamar le lehet állítani. Ha a reaktor működik, a működése során keletkező hőt el kell vezetni. Ezt a funkciót is a víz látja el. A nyomottvizes reaktorokban a vizet több tíz atmoszféra nyomáson tartják, így ez még a reaktor működésének hőmérsékletén, azaz 200 − 3000 C-on is folyadék halmazállapotú. Ez a víz, amely kapcsolatban van az aktív zónával, egyszerre látja el a moderálás és a hűtés-hőcserélés szerepét. Ezt hívják primer kör nek Mivel a turbinák meghajtásához gőz kell, ezért szükséges egy szekunder kör is, melynek vizét a primerköri víz forralja fel. A hőcsere egy hőcserélőn keresztül

zajlik, ami egyben biztosítja, hogy a két kör el legyen zárva egymástól. A szekunderköri gőzt veztik ezután rá a turbinákra Ez a kétkörös megoldás reaktorbiztonsági szempontból is jó, mert az esetlegesen radioaktívvá váló primerköri víz zárt rendszerben kering, így nem tud kikerülni radioaktivitás. Meg kell említenünk még egy elterjedt reaktortípust, a természetes uránnal működő reaktorokat. Ezekhez nem kell uránt dúsítani, azonban moderátornak csak különleges közegek alkalmasak, mint a nehézvíz (D2 O) vagy a nagy tisztaságú grafit. Mint látható, ezekhez a fűtőanyag olcsó, viszont 2.12 ábra Nyomottvizes, vízmoderátoros energiatermelő reaktor sémája a moderátor drága. Elterjedt fajtáta a CANDU, (Canada–Deuterium–Uran). Ezek a reaktorok drágák, de gazdaságosan működtethetők Az atombomba Röviden szólunk még az atombombáról. Az atombomba egy szabályozatlan láncreakció, melynek során a hasadáskor

felszabaduló neutronokat nem nyeletik el, hanem kihasználják a természtesen adódó nagy sokszorozási tényezőt (k > 1). Azonban az atombombagyártás nem ennyire egyszerű. Ugyanis kis tömegű 235 U esetében a hasadás során keletkező neutronok hasítás nélkül kiszöknek az anyagból, hiszen nagy a felület (amin keresztül a neutronok kiszöknek), és kicsi a térfogat (amelyben a hasadás lejátszódik), azaz rossz a felület-térfogat arány. Ezért egy bizonyos méret (tömeg) alatt a láncrakció nem indulhat be. Urán-235 esetében ez a kritikus tömeg 7kg. Így ha a kritikus tömegnél nagyobb mennyiségű hasadó anyagot egy helyre préselünk és biztosítjuk a reakció megindításához szükséges neutronokat, a reakció rövid idő alatt nagyon nagy mennyiségű anyagban megy végbe, robbanásszerűen szabadul fel a reakció által termelt hő, és sugárzás. Mivel a kritikus mennyiségű anyagot nem lehet egyben szállítani, így azt a robbantás helyén

kell egyesíteni. Ezt általában két, valamivel a kritikus tömeg alatti urán-235 darab összerobbantásával szokták véghezvinni Az atombomba egy lehetséges megvalósítását mutatja a 212 ábra Természetesen a pontos paraméterek hadititkot képeznek A bomba romboló hatása többrétű. A legbelső zónában a hihetetlenül nagy hőmérséklet pusztít A nagy hőmérséklet a levegőben lökéshullámot 40 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI működik! Mindeközben egy pisszenés sem hallatszott: csak figyeltük halálos csöndben az eseményeket. A morajló hangra aztán mindenki fellélegzett, különösen én magam – a puszta tény, hogy ilyen messziről is ennyire erős hangot hallunk, azt jelentette, hogy a bomba tényleg működőképes. (R.P Feynman: „Tréfál, Feynman úr?” 127-128 oldal, Park Könyvkiadó, 2001) 2.43 A fúziós energia: hidrogénbomba, fúziós reaktor 2.13 ábra Az atombomba sematikus rajza hoz létre, ez haladva nagy területeken rombol.36

A robbanás során keletkező legkülönbözőbb radioaktív izotópok pedig beszennyezik a környezetet. Az első atombomba kísérletről (I. Trinity-teszt) számol be Richard Feynman, aki Los Alamosban fizikusként vett részt a bomba elkészítésében. (.) Adtak nekünk sötét üveges szemüveget is, de harminc kilométerről az égvilágon semmit nem láttunk vele. Kisütöttem, hogy csak az ultraibolya sugárzás károsíthatja a szemet, az erős fény nem okozhat bajt, úgyhogy fogtam magam, beültem az egyik teherautóba és a szélvédőn át figyeltem mi történik – az autók üvege ugyanis nem engedi át az ultraibolya sugarakat. Így védve voltam, és követhettem is az eseményeket És eljött a pillanat Először egy hihetetlenül erős villanást láttam – olyan fénye volt, hogy lebuktam a műszerfal mögé –, majd a vezetőfülke padlóján megláttam egy bíborszínű foltot. Azt mondtam magamban: „Ez nem az, ez csak utókép a retinámon!” Újra

felnéztem, és láttam, hogy a fehér fény előbb megsárgul, aztán narancsszínűvé változik. Felhők alakultak ki és enyésztek el: a lökéshullámban kitáguló levegő keltette őket. Aztán roppant méretű, narancsszínű tűzgolyó tört fel a magasba, a magva ragyogóan fénylett, közben hullámzott és pulzált is egy kicsit, a pereme pedig fokozatosan megfeketedett, majd hatalmas hamugömb követte, a belsejében jól látsztottak a kialvó tűz és a hő keltette villódzások (.) Végül úgy másfél perccel későbbb, hatalmas dörgés támadt, majd remegni kezdett a föld, és ez győzött meg igazán: a bomba 36 Az epicentrumban felmelegedő és így felszálló meleg levegő hatalmas mennyiségű port ragad magával, ez alkotja a jellegzetes gombafelhőt. Az egy nukleonra jutó kötési energia a vas környékén maximális, így nem csak nehéz atommagok hasításával, hanem könnyű atommagok egyesítésével (fúzionáltatásával) is alacsonyabb

energiaállapotba vihetünk atomokat; a felszabaduló energiakülönbözetet pedig felhasználhatjuk. Ez a fúziós energiatermelés elvi alapja Megvalósítani egyenlőre még csak a kontrollálatlan változatát, a fúziós bombát (köznyelvben: hidrogénbombát) sikerült. Az első sikeres kísérlet 1951. májusában volt a Csendes óceán Eniwetok korallzátonyán. A reakcióegyenlet az alábbi: D + T 4 He + n + 3pJ, (2.23) ahol D a deutérium (21 H), T pedig a trícium (31 H) jelölése. Látható, hogy a könnyű atommagokból létrejövő nehezebb atommag kisebb energiájú, a különbözet energia formájában szabadul fel. Egy másik típusú hidrogénbomba kísérlet elméleti megalapozása Teller Ede nevéhez fűződik (ezért őt sokszor „a hidrogénbomba atyja”-ként tartják számon). Ennek a reakcióegyenlete két lépéses: n +6 Li T +4 He, D + T 4 He + n, (2.24) a második reakcióban keletkező neutron újra kiváltja az első reakciót, tríciumot kelt,

azaz végeredményben: 6 4 Li2 H 2 4 He (2.25) ami a He nagy kötési energiája miatt jelentős energiafelszabadulással jár. A bombával kapcsolatos minden egyéb részlet, különösen az összeállítás geometriája, hadititok. Ezt a bombát 1954 március 11-én próbálták ki a csendes óceáni Bikini korallzátonyon. A fúziós reakció beindításához néhány millió fokos hőmérsékletre van szükség, ezt egy kis nukleáris töltet felrobbantásával érik el Látható tehát, hogy a hidrogénbomba készítése még az atombombáénál is nehezebb tudományos és technikai feladat, 2.4 A HASADÁSI ÉS A FÚZIÓS ENERGIA GYAKORLATI FELHASZNÁLÁSA 41 manapság is csak néhány ország rendelkezik ilyen lehet nyeletni a neutronokat. Ezeket nevezik aktív fegyverrel. védelemnek. Létezik azonban passzív védelem is, mely olyan reaktorépítési (konstrukciós) megoldáFolynak kutatások szabályozott fúziós reakciók sokat takar, mely fizikailag (elvileg)

teszi lehetetlétrehozására, azonban a mai napig nem sikerült lenné a reaktor megszaladást. exoterm szabályozott fúziós reakciót megvalósítaVegyünk sorra – a teljesség igénye nélkül – néni, azaz a reakció szabályozott fenntartásához több hány aktív védelmi megoldást. Az automatikus reenergia szükséges, mint amit az termel A fúziós reaktorfelügyeletet ellátó számítógépek folyamatosan akciók csak nagyon magas hőmérsékleten mennek figyelik a reaktor biztonságát elsődlegesen meghavégbe, itt az anyag már plazma állapotú, az atotározó fizikai paramétereket (sokszorozási tényemi elektronok olyan nagy energiára tesznek szert, ző, hőmérséklet, hűtővízáram, esetleges radioaktív hogy megszöknek a mag vonzásából. Különösen anyag szökése) és amennyiben bármelyik érték kinagy technikai probléma a plazma egyben tartása. lép a számára megengedett tartományból, leállítják Ehhez nagy tórusz alakú mágneses

tereket hasza reaktort. Atomerőmű építésekor meg kell, hogy nálnak (T OKAM AK berendezések). A kísérletek jelenjen a multiplicitás elve, azaz minden felhasznagyon költségesek és lassan haladnak, azonban a jövő tiszta energiaforrását adhatják. Manapság a nált biztonsággal szorosan összefüggő, illetve azt legmerészebb becslések sem jósolják az energiater- erősen befolyásoló eszközből több dolgozik párhumelő szabályozott fúziós reaktorok évtizeden belüli zamosan, hogy az egyik meghibásodása esetén ne csökkenjen az üzem biztonsága. Hasonlóan lényemegjelenését ges a diverzitás elve, mely szerint minden biztonságot erősen befolyásoló berendezés párhuzamos ele2.44 Nukleáris biztonság mei más-más gyártótól származnak, hogy az esetleA nukleáris energiával kapcsolatban – bár a legol- gesen fellépő típushiba ne okozhassa egy teljes eszcsóbb, leginkább környezetbarát és legbiztonságo- közcsoport üzemzavarát és

ezáltal a biztonság csöksabb ismert és nagy mennyiségben rendelkezésre ál- kenését. ló energiaforrás –, a társadalomban komoly félelem A passzív védelem elemei között található a teruralkodik. Ennek legfőbb oka a rosszul informált- mészetes hűtővíz cirkuláció Ha ugyanis kimarad ság, az információhiány és a két atomerőmű bal- a reaktor hűtővizének keringtetése, a meleg víz kieset – melyeket a szenzációra éhes hírügynökségek sebb fajsúlya miatt vízáramlás indul meg, amely és médiumok hihetetlenül túldimenzionáltak. elősegíti a reaktor hűlését. A PWWR (VVER) reA reaktorok balesetveszélyessége abban rejlik, aktorok nagy előnye, hogy a közös hűtő és modehogy a reakció megszaldásával (k > 1) hirtelen rátor közeg folytán inherens módon bírnak passzív nagy mennyiségű energia szabadul fel, és – mech- védelemmel. Ennek oka az, hogy normál üzemben aikai sérülés esetén – erősen sugárzó izotópok

ke- a hűtővizet nagy nyomáson keringtetik, mert 0így rülhetnek ki a környezetbe. A nukleáris biztonság még a reaktor üzemi hőmérsékletén (250 − 300 C) garantálása már az első reaktor aktiválása (Chica- is folyadék marad. Ha sérül a hűtőkör zártsága, a go, 1942. december 2) óta komoly feladat elé ál- nyomás leesik, és a víz gőz halmazállapotúvá válik lítja a reaktormérnököket és a fizikusokat. Az em- Ekkor azonban a reaktor víz, azaz moderátor néllített első reaktor esetén egy jó neutronelnyelő tu- kül marad így a reakció lassan – bár nem azonnal lajdonságokkal rendelkező kadmiumlemez lógott a – leáll. reaktort alkotó grafittéglák egy nyílása fölött. Ha a láncreakció megszaladt volna, a reaktor tetején álló „biztonsági fejszés ember” (Safety Control Reserve Axed Man, SCRAM) a kísérletet vezető E. Fermi jelére fejszéjével elvágja a kadmiumlemezt tartó kötelet, így az bezuhan a reaktorba, és

elnyeli a reakciót fenntartó neutronokat. A technika azóta sokat fejlődött, de a reaktortechnikában megmaradt a SCRAM kifejezés. Valamint változatlan maradt a biztosítás elve is: legyen készenlétben olyan anyag, amivel gyorsan el A csernobili atomerőmű baleset és következményei A csernobili Lenin atomerőművet a szovjet kormányzat az 1980-as évek végére a világ legnagyobb atomerőművévé kívánta fejleszteni. Ennek érdekében az 1986-ban már álló, négy, egyenként 3, 2 GWos blokk mellett újabb kettő alapozását kezdték meg. A beépített reaktorok vízhűtésű, grafitmoderátoros (RBM K − 1000) típusúak voltak Nem vették figyelembe, hogy a grafitmoderátoros reak- 42 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI torok instabilak37 , amire Teller Ede és Wigner Jenő már az 1960-as években rámutatott! Egy ilyen reaktorban ha egy pontban felforr a hűtővíz és gőzbuborékok jelennek meg, akkor ott lokálisan megnő a reaktor teljesítménye. Az ok

nyilvánvaló, a víz gyengén neutronelnyelő, míg a gőz nem (pozitív üregtényező). Így azok a neutronok is hasítani fognak, amelyeket eddig a víz elnyelt. Emiatt a kérdéses pontban megnő a reaktor teljesítménye, és így még több gőzbuborék tud képződni. Ez a jelenség a Teller-effektus. Teller Ede – az Atomenergia Bizottság minden ellenkezése ellenére – elérte, hogy Amerikában bezártak minden urán-grafit reaktort! A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy a grafitmoderátoros–vízhűtésű reaktorok inherens módon instabilak! A végül tragédiába torkolló kísérlet során a csernobili erőmű kettes blokkjának reaktorán azt próbálták szimulálni, hogy az erőmű áramellátása megszűnésének esetén, a turbinák forgási energiája elegendő-e ahhoz, hogy a hűtővíz keringetését fenntartsák, addig az 1-2 percig amíg a tartalék áramfejlesztő dízelgenerátorok beindulnak. A kísérlet végrehajtásához a reaktort tervező

főkonstruktőri hivatal engedélyét kellett volna kérni, de ez elmaradt. A kísérlet előtt lekapcsolták a reaktor összes védelmi (SCRAM) automatikáját, mely a kísérlet elkezdésekor azonnal leállította volna a reaktort. (Manapság már nem készítenek operátorok által kikapcsolható védelmi automatikát.) Veszélyesen alacsony szintre vitték a reaktor teljesítményét, ehhez a megengedettnél jobban ki kellett emelni a szabályozórudakat. Ez az eseménysor legsúlyosabb szabálysértése. Hogy megértsük miért, nézzük meg az RBM K − 1000 reaktor blokkjának metszetét. Leállított állapotban az uránt tartalmazó középső részben nem tud beindulni a láncreakció, mivel a szabályozórúd bór-vas neutronelnyelő része ezt lehetetlenné teszi (D helyzet). Üzem közben ezt a részt kiemelik, ennek következtében a grafit moderálja a neutronokat, és így be tud indulni a láncreakció (C). Ha a szabályzórudat túlzottan kihúzzák a grafit helyett

enyhén neutronelnyelő víz kerül a fűtőelemek közé. Ha ebben a helyzetben a reaktor elkezd megszaladni az nem lesz szabályozható, ugyanis elkezdve süllyeszteni a szabályozórudat a gyengén neutronelnyelő víz (ami bizonyos mérté37 Illetve azért használtak grafitos blokkokat, mert ezekkel nagy hatásfokkal tudtak atomfegyverhez plutóniumot előállítani. 2.14 ábra Az RBMK-100 típusú reaktor metszete kig féken tartja a reakciót) helyett neutronmoderáló, tehát a reakció sebességét növelő grafit kerül a főtőelemek közé. Azaz túlzottan kiemelt szabályzórudak mellett a reaktor teljesítményének csökkentésére irányuló lépés a teljesítmény drasztikus növekedését vonja maga után. Ezután lássuk a rekonstruált eseménysort: 1986. április 26, szombat hajnali 028 óra: Az operátorok a megengedett maximális intenzitás fölé növelték a hűtővíz keringetési sebességét. Emiatt a víz lehűlt, csökkent a gőz menynyisége. Mikor

azután az 1, 6 GW teljesítményt a tervezett 0, 7 GWra kezdték csökkenteni, a pozitív üregtényező miatt a teljesítmény nagyobbat csökkent: 0, 03 GWra esett vissza Egy napot kellett volna várni, hogy a felgyűlt I és Xe elbomoljon, elmúljon a xenonmérgezés okozta instabilitás. De nem vártak 1.07 óra Alexej Akinov és Leonid Toptunov, a két operátor a szabályzatra hivatkozva habozott, de Anatolij Diatlov a kísérletet vezető mérnök rájuk parancsolt, hogy a kontrollrudakat még jobban emeljék ki, így a reaktorteljesítményt 0, 2 GW értéken sikerült stabilizálni. (A 2.4 A HASADÁSI ÉS A FÚZIÓS ENERGIA GYAKORLATI FELHASZNÁLÁSA szabályzat tiltotta a reaktor üzemeltetését 0, 7 GW hőteljesítmény alatt.) Az alacsony hőteljesítményre gondolva lecsökkentik a hűtővíz keringetésének sebességét. 1.22 óra A számítógép által utolsóként kinyomtatott adat: 0,2 GW 1.23 óra Egy perc múlva végre elkezdődött az igazi kísérlet. Az

operálor kiiktatja a SCRAM automatikát is, ami a neutronszám gyors megugrása esetén magától leállítaná a reaktort. Ezután a reaktorról lekapcsolja a második turbinát is, hiszen a kísérlet célja az volt, hogy áramkimaradás esetén is hűteni tudják a reaktort. 1.2320 Alig telik el 20 másodperc, a turbina hőfelvételének kiesése miatt a hűtővíz hőmérséklete emelkedik, következésképp a kontrollrudak automatikusan megindulnak lefelé. Ez azonban azt eredményezi, hogy a kontrollrudak csatornájában a víz helyét grafit foglalja el (ábra B helyzet), ami az aktív zóna neutronkoncentrációját több százalékkal megnöveli. 1.2340 A pozitív visszacsatolású reaktor hőteljesítménye 20 másodperc alatt 0, 20 GW-ról 0, 32 GW-ra ugrik. Ezt látva Akimov operátor megnyomja a vészleállítás gombját. 1.2343 A hőteljesítmény már másodpercenként duplázódik, eléri az 1, 4 GW értéket A reaktor szabályozhatatlan lesz A hirtelen lokális

túlhevülés miatt fellépő gyors hőtágulás elgörbíti a kontrollrudak fémcsatornáit, így a süllyedő kontrollrudak félúton elakadnak. Megszólal a vészt jelző sziréna. 1.2345 A hőteljesítmény már 3 GW A hűtővíz egyre nagyobb mennyisége forr el. Bekövetkezik a Teller-effektus, a reakció a reaktor egészében megszalad. 1.2347 Az egyenltlen hőtágulás miatt felnyílnak az uránrudak 1.2349 Az uránrudak hődeformálódása eltöri a hűtővíz csöveit. A hirtelen fejlődött gőz nyomása termikus robbanást idéz elő, feltépve a reaktor 3 méter vastag vasbeton fedelét. 1.2400 A víz 1000 0 C felett hidrogéntermelő reakcióba kezd a rudakat burkoló cirkóniummal, a víz érintkezésbe kerül a grafittal is: Zr + 2H2 O ZrO2 + 2H2 , C + H2 O CO + H2 . A gyúlékony H2 és CO a külső levegő oxigénjével érintkezve felrobbant. Ez a második, kémiai robbanás lesodorta az épület tetejét is (Konténment nem volt a reaktor körül.) Valerij

Komjencsuk technikus a tető beomlása, Vladimir Sasenok 43 mérnök a keletkezett tűzben azonnal meghalt. A grafit 10 napon át égett, ezután sikerült helikopterről rászórt homokkal eloltani. A 10 napig égő grafit füstje radiokativitással szennyezte be az erőmű egyre nagyobb környékét és a légkört. A baleset során tehát nem nukleáris csak kémiai robbanás következett be, ennek köszönhetően a sugárzó anyag nagy része a reaktoron belül maradt. A kiszabadult aktivitás 1−2 EBq körül mozgott. A kijutott legveszélyesebb sugárzók és becsült összes aktivitásuk: 131 I (1800 PBq), 134 Cs (40 PBq), 137 Cs (80 PBq). A robbanás következtében és akut sugárbetegségben a következő hónapban 30 ember halt meg. A 30 km-es körzetből 120 ezer embert evakuáltak, azonban ezeknek az embereknek a dózisterhelése 0, 25 Sv alatt maradt. A következmények enyhítésére létrehozott kormánybizottság 786 települést nyílvánított szigorúan

ellenőrzöttnek, ez több mint 270 ezer embert érint. A baleset áldozatainak száma pontosan becsülhető, figyelembe véve a kikerült radioaktív anyag mennyiségét, azok légkörben és tápanyagban való terjedését, és az élő szervezetben való akkumulációját, lásd 2.14 ábra Ezek alapján az atomerőmű baleset miatt várható halálozások száma az alábbi: • Magyarország: 175 fő • európai Szovjetúnió: 12.000 fő • Európa: 17.100 fő • egyéb területek 900 fő Feltehetjük a kérdést, hogy mennyire sok ez a 30.000 haláleset? Anélkül, hogy megválaszolnánk, vessük össze ezt a számot néhány ipari és természeti katasztrófa áldozatszámával: • a nagy londoni szmog (1952): 4.000 • kínai gátszakadás (1976): 250.000 • bangladesi tájfun (1991): 100.000 • csernobili baleset (1986-2036): 30.000 • spanyolnátha (1915-17): 20.000000 • öngyilkosságok Magyarországon: 5.000/év • balesetek a magyar utakon: 2.400/év • balesetek

Európa útjain: 900.000/év 44 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI 2.5 Tompkins úr kalandjai a fizikával A fafaragó 2.15 ábra Az európai országok integrált dózisa millisievertben. Végezetül nézzük meg az európai légköri aktivitást a balesetet követő napon, valamint a grafittűz után (2.15 ábra) Az ábrákon látható, hogy a nagy aktivitású részek szerencsére lakatlan mocsárvidék felé haladtak, valamint hogy eloszlásuk nagyon egyenetlen volt. Megfigyelhetjük, hogy a délkeleti szél és a Kárpát-medence szerencsés hatása folytán a Magyarországra jutó aktivitás csekély. (Forrás: Marx György: Atommag-közelben, Mozaik Oktatási Stúdió, Szeged, 1996) 2.16 ábra A légköri szennyezők terjedése – Legyen szives, kapcsolja be az áramot – fordult segédjéhez –, ezalatt én megpróbálom beállítani a mágneses teret. Eltartott egy ideig, míg a ciklotron megindult. Ezalatt Tompkins urat magára hagyták, és ő tétlenül járkált

ide-oda a laboratóriumban. Figyelmét nagy erősítőcsövekből álló bonyolult rendszer kötötte le A csövek halvány kékes fényben izzottak Mivel nem tudta, hogy a ciklotronban alkalmazott elektromos feszültség nem elég nagy ugyan ahhoz, hogy feltörjön egy atommagot, de egy ökröt könnyen földhöz vág, előrehajolt, hogy megnézze a csöveket. Éles reccsenés hallatszott, olyan, mint egy oroszlánszelídítő ostoré, és Tompkins úr érezte, hogy szörnyű lökés fut végig egész testén. A következő pillanatban minden elfeketedett előtte, és elvesztette az eszméletét Amikor kinyitotta a szemét, a padlón feküdt, ahová az elektromos kisülés döntötte le. A szoba változatlan volt körülötte, de a tárgyak erősen megváltoztak benne. A toronymagas ciklotronmágnes, a csillogó rézhuzalok és minden lehetséges helyhez hozzákapcsolt bonyolult elektromos eszközök tömege helyett Tompkins úr fa munkaasztalt látott, tele egyszerű

ácsszerszámokkal. A falra erősített régimódi polcokon sok, különböző, furcsa és különös alakú fafaragvány hevert. Az asztalnál egy öreg, barátságos arcú férfi dolgozott, és amikor Tompkins úr jobban megnézte az arcát, meglepte, menynyire hasonlít Walt Disney Pinocchiójában szereplő Gepetto nevű öreghez, és a már elhunyt Lord Rutherford of Nelson arcképéhez, amely a profeszszor laboratóriumában függött a falon. – Bocsásson meg, hogy ide tolakodtam – kelt fel Tompkins úr a padlóról –, de egy nukleáris laboratóriumot látogattam meg, és úgy látszik, valami különös dolog történt velem. – Ó, önt érdeklik az atommagok – mondta az öreg, és félretette azt a darabot, amelyet éppen faragott. – Akkor a legjobb helyre jött Én itt mindenféle atommagot csinálok, és szívesen végigvezetem műhelyemen. – Azt mondja, ön csinálja az atommagokat? – kérdezte Tompkins úr csodálkozva. – Igen, hogyne. Persze kell hozzá

némi ügyesség, különösen radioaktív magoknál, amelyek széteshetnek, mielőtt az ember megfestette volna őket. – Megfesteni? – Igen, a pozitív töltésű részecskéket pirosra, a 2.5 TOMPKINS ÚR KALANDJAI A FIZIKÁVAL negatívokat zöldre festem. Valószínűleg tudja, hogy a vörös és a zöld úgynevezett „kiegészítő színek”, és lerontják egymást, ha keverednek.38 Ez megfelel annak, hogy a pozitív és negatív elektromos töltés kölcsönösen lerontja egymást Ha a mag egyenlő számú, gyorsan ide–oda mozgó pozitív és negatív töltésből épül fel, elektromosan semleges lesz, és önnek fehérnek látszik. Ha több a pozitív vagy több a negatív töltés, az egész rendszer vörös vagy zöld színű lesz. Világos, nem? – Nos – folytatta az öreg, miközben két nagy faládát mutatott Tompkins úrnak, amelyek az asztal mellett álltak –, innen veszem az anyagot, amiből a különböző magokat fel lehet építeni. Az első

ládában protonok vannak, ezek a vörös golyók, ni Ezek teljesen stabilak, és színüket állandóan megtartják, hacsak késsel vagy valami mással le nem kaparja az ember. Sokkal több bajom van az úgynevezett neutronokkal a másik ládában. Ezek normálisan fehérek, vagyis elektromosan semlegesek, de erősen hajlamosak arra, hogy vörös protonokká váljanak. 38 Az olvasónak figyelembe kell vennie, hogy a színek keverése csak a fénysugarakra vonatkozik, nem pedig magukra a festékekre. Ha vörös és zöld festéket keverünk össze, valami piszkos szint kapunk. Másrészt ha egy játékcsiga egyik felét vörösre, a másikat zöldre festjük, és aztán sebesen megforgatjuk, az fehérnek látszik. 45 Amíg a láda szorosan be van zárva, minden rendben van, de mihelyt kiveszek egyet, nézze, mi történik. Kinyitva a ládát az öreg fafaragó kivett egy fehér golyót, és az asztalra tette. Egy ideig semmi sem történt, de éppen, amikor Tompkins úr kezdte

elveszíteni a türelmét, a golyó egyszerre élni kezdett. Szabálytalan vöröses és zöldes csíkok jelentek meg a felszínén, és rövid ideig olyan volt, mint azok a színes márványgolyók, amikkel a gyerekek anynyira szeretnek játszani. Azután a zöld szín az egyik oldalán összpontosult, végül teljesen levált a golyóról, ragyogó zöld cseppecskét képezett, amely leesett a padlóra. A golyó maga teljesen vörös maradt, és semmiben sem különbözött az első ládában levő akármelyik vörös színű protontól. – Látja, mi történik – mondta, és felvette a zöld festékcseppet, amely most már egészen kemény és gömbölyű volt. – A neutron fehér színe vörösre és zöldre változott, az egész golyó két külön részecskére esett szét, egy protonra és egy negatív elektronra. –Igen – tette hozzá, látva Tompkins úr arcán a csodálkozást –, ez a jade színű részecske nem más, mint egy közönséges elektron akármelyik

atomban vagy bárhol másutt. – A kutyafáját! – kiáltott fel Tompkins úr. – Ez túltesz minden színes zsebkendő trükkön, amit valaha is láttam. De vissza is tudja változtatni a színeket? – Igen, a zöld festéket visszadörzsölhetem a vörös golyó felszínére, és megint fehér lesz, de ehhez persze bizonyos energia szükséges. A másik módja az lenne, ha lekaparnám a vörös festéket, ehhez is energia kellene. Ekkor a proton felületéről lekapart festék vörös cseppecskét, vagyis pozitív elektront képez, amiről valószínűleg már hallott. – Igen, amikor magam is elektron voltam. – kezdte Tompkins úr, de gyorsan észbe kapott. – Úgy értem, hallottam már, hogy pozitív és negatív elektronok megsemmisítik egymást, amikor találkoznak. Meg tudja csinálni nekem ezt a mutatványt is? – Ó, ez nagyon egyszerű – válaszolta az öreg. – De nem veszem magamnak azt a fáradságot, hogy lekaparjam a festéket erről a protonról, mert a

ma reggeli munkámból maradt vissza néhány pozitronom. Kinyitotta az egyik fiókot, és kihúzott belőle egy fényes, pici vörös golyót. Erősen a hüvelykujja és a mutatóujja közé szorította, majd letette a zöld mellé az asztalra. Éles zaj hallatszott, mint amikor egy durranó cukorka felrobban, és a két golyó egyszerre eltűnt. – Látja? – nézett vendégére a fafaragó, és ráfújt kicsit megégetett ujjára. – Ezért nem lehet elektro- 46 nokat használni a magépítéshez. Egyszer megpróbáltam, de azonnal feladtam Most csak protonokat és neutronokat használok. – De a neutronok is instabilak, nemde? – kérdezte Tompkins úr, visszaemlékezve az iménti mutatványra. – Amikor egyedül vannak, igen. De amikor szorosan be vannak dugva a magba, és más részecskék veszik körül őket, akkor egészen stabilakká válnak. Ha azonban viszonylagosan túl sok a neutron, vagy túl sok a proton, akkor átalakulhatnak, és a fölösleges festéket a

mag negatív vagy pozitív elektronok alakjában kibocsátja. Az ilyen kiegyenlítődést bétaátalakulásnak nevezzük – Használ valami ragasztószert, amikor magokat készít? érdeklődött Tompkins úr. – Nincs rá szükségem – válaszolta az öreg. – Ezek a részecskék, látja, maguktól tapadnak egymáshoz, mihelyt érintkezésbe hozzuk őket. Próbálja meg, ha akarja. Az utasításokat követve Tompkins úr egyik kezébe vett egy protont, a másikba egy neutront, és gondosan közelítette őket. Hirtelen erős húzást érzett, és amikor a részecskékre nézett, rendkívül különös jelenséget vett észre. A részecskék színt cseréltek, felváltva váltak vörössé és fehérré. Úgy látszott, mintha a vörös festék „átugrált” volna a jobb kezében levő golyóról a bal kezében levőre, és viszont. A színeknek ez a villózása oly gyors volt, hogy úgy látszott, mintha a két golyót egy rózsaszínes szalag kötné össze, és a

színeződés ennek mentén oszcillálna ide-oda. – Elméleti barátaim ezt a jelenséget kicserélődési jelenségnek nevezik – mondta az öreg mester, és Tompkins úr csodálkozására kuncogott. – Mind a két golyó szeretne vörös lenni vagy ha úgy akarja mondani, szeretné, ha elektromos töltése lenne, de mivel egyidejűleg nem lehet mind a kettő az, a töltést váltakozva húzzák ide-oda. Egyik sem akarja feladni, és így addig tapadnak egymáshoz, amíg erővel szétválasztja őket az ember. Most megmutatom, milyen egyszerű bármilyen tetszés szerinti magot készíteni. Mi legyen az? – Arany – vágta rá Tompkins úr, a középkori al- 2. FEJEZET A MAGFIZIKA ELEMEI kimistákra gondolva. – Arany? Lássuk csak – mormolta az öreg mester, és egy nagy táblához fordult, amely a falon függött. – Az arany magjának a súlya százkilencvenhét egység, és hetvenkilenc pozitív elektromos töltése van. Ez azt jelenti, hetvenkilenc protont kell

vennem, és száztizennyolc neutront kell hozzáadnom, hogy a tömeg pontos legyen. Leszámolta a megfelelő számú részecskét, beletette őket egy magas, hengeres edénybe, és befedte az egészet egy nehéz fadugattyúval. Azután teljes erővel lefelé lökte a dugattyút – Ezt – magyarázta Tompkins úrnak – a pozitív töltésű protonok közti nagy elektromos taszítás miatt kell csinálnom. Amikor a dugattyú nyomása legyőzi ezt a taszítást, a protonok és a neutronok kölcsönös kicserélődési erőik következtében egymáshoz tapadnak, és a kívánt magot képezik. Lenyomta a dugattyút, ameddig csak lehetett, majd újra kihúzta, és gyorsan felfordította a hengeres edényt. Egy csillogó, rózsaszínes golyó gurult ki az asztalra, és amikor Tompkins úr közelebbről megnézte, azt vette észre, hogy a rózsaszínes szín a sebesen mozgó részecskék közötti fehér és vörös felvillanások játékának műve. – Jaj, de szép! – kiáltotta. –

Így hát ez egy aranyatom! – Még nem atom, csak atommag – helyesbített az öreg fafaragó. – Az atom csak akkor lesz teljes, ha megfelelő számú elektront adunk hozzá, hogy semlegesítsék a mag pozitív töltését, és kialakítsák körülötte a szokásos elektronhéjat. De ez már könnyű, az atommag maga elkapdossa az elektronokat, mihelyt megjelennek a közelében. – Érdekes – tűnődött Tompkins úr –, az apósom sohasem említette, hogy ilyen egyszerűen lehet aranyat csinálni. – Ó, az ön apósa és azok a többi úgynevezett magfizikusok! – kiáltotta az öreg némi ingerültséggel a hangjában. – Nagy hűhót csapnak, de valójában nagyon keveset tudnak produkálni. Azt mondják, a különálló protonokat nem tudják összenyomni egész atommaggá, mivel nem tudnak elég nagy nyomást kifejteni. Egyikük még azt is kiszámította, a Hold teljes súlyát kellene rájuk rakni, hogy a protonok összetapadjanak. Hát miért nem szerzik meg a

Holdat, ha csak az a bajuk? – De mégiscsak létrehoznak néhány magátalakulást – jegyezte meg Tompkins úr szelíden. – Igen, kétségkívül, de ügyetlenül és csak nagyon korlátolt mértékben. Az így nyert új elemek menynyisége olyan kicsi, hogy ők maguk is alig látják Megmutatom, hogyan csinálják. 2.5 TOMPKINS ÚR KALANDJAI A FIZIKÁVAL – Vett egy protont, nagy erővel hozzávágta az asztalon fekvő aranyatommaghoz. Amikor a proton közeledett a mag külsejéhez, kissé lelassult, egy pillanatig habozott, és azután belemerült A mag, miután elnyelte a protont, kis ideig remegett, mintha magas láza lenne, azután egy kis része letört róla nagy reccsenéssel. – Látja – mondta, és felvette a töredéket – ezt nevezik alfa-részecskének, és ha közelebbről megnézi, észreveszi, hogy két protonból és két neutronból áll. Ilyen részecskéket lövellnek ki rendszerint az úgynevezett radioaktív elemek nehéz magjai, de közönséges

stabil magból is ki lehet lökni ezeket, ha az ember elég erősen megüti őket. Fel kell hívnom a figyelmét, hogy az asztalon maradt nagyobb töredék már nem aranyatommag többé; elveszített egy pozitív töltést, és most platinamag lett, a periódusos táblázatban a megelőző elem magja. Bizonyos esetekben azonban a proton behatolva a magba, azt nem hasítja két részre, hanem eredményül a táblázatban az arany után következő elem magját, azaz higanymagot kapunk. Ezekkel és más hasonló eljárásokkal tulajdonképpen bármely adott elemet át lehet alakítani bármelyik másik elemmé. – Most már értem, miért alkalmaznak ciklotronnal előállított gyors protonsugarakat – mondta Tompkins úr, amint lassan kapiskálni kezdett. – De miért mondja, hogy ez a módszer nem jó? – Mert a hatásfoka rendkívül alacsony. Először is, nem tudják úgy irányítani a lövedékeiket, mint én, és így több ezer lövedékből csak egy csapódik valóban a

magba. Másodszor, még közvetlen becsapódás esetében is nagyon valószínű, hogy a proton visszapattan a magról, és nem hatol a belsejébe Talán észrevette, amikor hozzávágtam a protont az aranymaghoz, a proton kicsit habozott, mielőtt belement, és egy pillanatig azt hittem, visszalöki a mag. – Mi akadályozza a lövedékeket abban, hogy behatoljanak? – érdeklődött Tompkins úr. – Ezt maga is kitalálhatná – válaszolta az öreg – ha arra gondolna, hogy mind a magnak, mind a bombázó protonoknak pozitív töltése van. Az ilyen töltések közötti taszítóerő olyasmit képez, mint egy gát, és ezen nem könnyű átmenni. Ha a bombázó protonoknak sikerül behatolnia mag erődítményébe, az csak azért lehetséges, mert olyasféle technikával élnek, mint a trójai faló; úgy mennek át a mag falán, mint hullámok, nem pedig mint részecskék. – Na, most megfogott – vallotta be Tompkins úr szomorúan –, egy szót sem értek abból, amit

mond. – Gondoltam, hogy nem érti – mosolygott a fafaragó. – Az igazat megvallva én magam is csak 47 munkásember vagyok, az elméleti abrakadabrában én sem vagyok valami híres. A lényeg azonban az, hogy mivel mindezek a nukleáris részecskék kvantumanyagból állnak, rendszerint áthatolhatatlannak tartott akadályokon is át tudnak menni, jobban mondva átszivárogni. – Értem, mire gondol! – kiáltotta Tompkins úr. – Emlékszem, egyszer, még mielőtt Mauddal összeházasodtunk volna, egy különös helyre jutottam, ahol a biliárdgolyók ugyanúgy viselkedtek, mint ahogy ön mondja. – Biliárdgolyók? Igazi elefántcsont biliárdgolyók? – ismételte az öreg fafaragó mohón. – Igen, úgy értem, hogy kvantum elefántagyarból készültek – felelte Tompkins úr. – Hát ilyen az élet – sóhajtott az öreg szomorúan. – Ilyen drága anyagot használnak játékokra, míg nekem az egész világ alapvető részecskéit, protonokat és neutronokat

kell egyszerű kvantumtölgyfából faragnom! – Mégis – folytatta, és igyekezett leplezni csalódását –, az én ócska fajátékaim éppen olyan jók, mint azok a drága elefántcsont készítmények. Mindjárt megmutatom, milyen szépen átmennek akármilyen gáton. – Felmászott a padra, levett a felső polcról egy nagyon különös, faragott figurát, amely olyasféle volt, mint egy vulkán modellje. – Amit itt lát – folytatta, és óvatosan lekefélte róla a port –, az egy atommagot körülvevő gát modellje; a gátat a taszítóerők képezik. A külső lejtők a töltések közt fellépő elektromos taszításnak felelnek meg, a kráter pedig a kohéziós erőket képviseli, amelyek a nukleáris részecskéket összetapasztják. Ha most egy golyót felgurítok a lejtőn, nem elég erősen, hogy átvigye a tetőn, akkor nyilván ön is úgy véli, hogy visszagurul. De nézze csak, mi történik valójában. – és enyhén meglökte a golyót – Hát én

semmi szokatlant nem látok – mondta Tompkins úr, amikor a golyó, miután körülbelül a lejtő feléig felment, visszagurult az asztalra. – Csak várjon – nyugtatta a fafaragó. – Nem is várhatunk sikert az első kísérletnél – és újra fölgurította a golyót a lejtőn, amely ismét visszaesett. A harmadik kísérletnél azonban hirtelen eltűnt, amikor éppen a lejtő feléhez ért. – Mit gondol, hova lett? – kérdezte az öreg fafaragó diadalmasan, mint egy bűvész. – Talán a kráterben van – válaszolta Tompkins úr. – Úgy, ahogy mondja, ott van – bólintott az öreg, és az ujjával kivette a golyót. – Most csináljuk fordítva – javasolta –, és néz- 48 zük meg, vajon ki tud–e jönni a golyó a kráterből anélkül, hogy felgurulna a tetőre – ezzel bedobta a lyukba. Egy ideig nem történt semmi, és Tompkins úr csak a halk zörgést hallotta, amint a golyó ide-oda gurult a kráterben. Majd mint egy csoda, hirtelen

megjelent a külső lejtő közepén, és nyugodtan legurult az asztalra. – Amit most látott, az nagyon jól ábrázolja, mi történik a radioaktív alfa-bomlásnál – mondta a fafaragó, és a modellt visszatette a helyére –, csak ott nem közönséges kvantum tölgyfagát van, hanem a taszítóerők gátja. De elvben nincs köztük semmi különbség. Néha ezek az elektromos gátak olyan „átlátszóak”, hogy a részecske a másodpere apró törtrésze alatt kiszökik; máskor viszont olyan „homályosak”, hogy sok milliárd évig tart, míg ez a folyamat lejátszódik, mind például az uránmag esetében. – De miért nem radioaktív minden mag? – kérdezte Tompkins úr. –Azért, mert a legtöbb magban a kráter alja a külső szint alatt van. Csak a legnehezebb ismert magoknál van olyan magasan, hogy az ilyen szökés lehetővé váljék. Nehéz megmondani, mennyi időt töltött Tompkins úr a kedves öreg fafaragónál, aki mindig olyan mohón osztotta meg

ismereteit mindenkivel, aki csak arra járt. Tompkins úr sok más szokatlan dolgot is látott Elsősorban egy szorosan lezárt, de szemmel láthatóan üres ládika ragadta meg a figyelmét, amelyre ez volt felírva: NEUTRÍNÓK. Gondosan kell kezelni, és nem szabad kiengedni őket – Van ebben valami? – kérdezte, és a füle mellett megrázta a ládikát. – Nem tudom – vonta meg a vállát a fafaragó. – Egyesek azt állítják, hogy van, mások, hogy nincs. Látni nem lehet semmit. Különös doboz ez, egyik elméleti barátom adta nekem, és nem is tudom, mit csináljak vele. Legjobb, ha egyelőre békén hagyom 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI 3. fejezet A kvantummechanika elemei A kvantummechanikát nem lehet megérteni, csak megszokni. Neumann János 3.1 Klasszikus módon nem magyarázható jelenségek 3.11 A fény hullámtermészete, klasszikus kép a Hétköznapi tapasztalatainkból fakadóan a fényt hullámnak tekintjük. A fény terjedése sikeresen

leírható a Huygens-Fresnel-elvvel, amely a hullámterjedés általános elveként kimondja, hogy a hullámfelület minden egyes pontja elemi gömbhullámok kiindulópontja, és ezen kis gömbhullámok interferenciája adja meg a következő időpillanatbeli hullámfrontot Mivel a Huygens-Fresnel elvvel pontosan számot tudunk adni a fény töréséről, visszaverődéséről és elhajlásáról, feltételezhetjük, hogy a fény hullám. Példaként megemlítjük fénysugár réspáron való elhajlását. Monokromatikus, koherens fénysugarat ejtve egy, a fény hullámhosszával összemérhető távolságú réspárra, megfigyelhetjük a jellegzetes elhajlási képet, a két rés mögötti főmaximumokkal, valamint a periódikusan megjelenő, csökkenő intenzitású mellékmaximumokkal, lásd 3.1ábra A magyarázat tekintetében a 3.2 ábrára és a fizikai optikára utalunk. 3.12 A fényelektromos jelenség és a fotonhipotézis 3.1 ábra Fényelhajálás két résen A klasszikus

kísérletek tanulsága szerint a fény hullám. A fényelektromos jelenség, másnéven fotoeffektus azonban ennek ellentmondani látszik Ugyanis, ha fémlemezre látható fény, ultraibolya49 50 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI A megoldás A. Einstein (1905) nevéhez fűződik1 , aki forradalmi újításként feltette, hogy a fény fényrészecskékből, fotonokból áll! 3.2 ábra Az interferencia magyarázatához Ez egy kitűnő ötlet, mert így nyilvánvalóan megoldódik a hullám lokalizálatlanságából fakadó probléma, de magyarázatot nyer a kis intenzitások melletti elektronkilépés jelensége is. A kis intenzitású (fény)hullám kevés energiát szállít, egyenletesen. Ha viszont a fény részecskékből áll, a kis intenzitás pusztán azt jelenti, hogy ritkán érkezik foton, ám az bírhat akkora energiával, ami már elegendő ahhoz, hogy kilökjön egy elektront. Tehát míg hullám esetén egyenletesen áramlik az energia, addig a részecske-kép

szerint az energia kis energiacsomagok (fotonok) formájában terjed. Einstein feltételezése szerint minden egyes foton: • csak az adott anyagra jellemző sebességgel (a közegbeli fénysebességgel) haladhat, • energiát szállít, amely energia csak a foton frekvenciájától függ, • impulzusa van Az einsteini feltételezés szerint egy foton energiája: Ef oton = hν = ~ω (3.1) és impulzusa: hν , (3.2) c ahol ν a foton frekvenciája, h, a Planck-állandó, melynek értéke h = 6, 626 · 10−34 Js, valamint2 h ~ = 2π . Ezzel a fotoeffektus már kvantitatíve is magyarázható! pf oton = 3.3 ábra Fotocella Egy adott fémbeli (delokalizált) elektront az atomvagy röntgensugárzás esik, a fémből elektronok lötörzs vonzása a fémrács környezetében tart. Ebkődnek ki ből a vonzásból való kiszakításához A Joule munka Ez nem magyarázható a fény hullámtermésze- szükséges, ez a kilépési munka 3 , mely természetetével, ugyanis a mérések azt

mutatják, hogy nagyon sen anyagfüggő. Ha a kiszakított elektron a fémet kis fényintenzitások mellett is van elektronkilépés. v sebességgel hagyja el, akkor a fotoeffektust leíró Ekkor azonban a hullám által szállított energia ke- egyenlet: vés ahhoz, hogy a fémből elektronokat szakítson 1 ki. A hullámképpel az is nehezen magyarázható, hν = A + mv 2 . (3.3) 2 hogy a térben kiterjedt (rosszul lokalizált) hullám 1 Nem eléggé ismert tény, hogy A. Einstein ezért az eredhogyan képes energiáját átadni a pontszerűnek teményéért – tehát nem a relativitáselméletért – kapta meg kintett (jól lokalizált) elektronnak. Tehát a fotoeffektus a fény hullámtermészetével nem magyarázható! 1921-ben a Nobel-díjat. 2 Ez az úgynevezett: „há-vonás”. 3 A kilépési munka akkora, amellyel az elektront olyan távol tudjuk vinni az atomtörzstől, hogy már ne hasson rá számottevő vonzerő. 3.1 KLASSZIKUS MÓDON NEM MAGYARÁZHATÓ JELENSÉGEK

51 3.14 A fény kettős természete Láttuk, hogy bizonyos jelenségek csak a fény hullámtermészetének feltételezésével magyarázhatók, és részecskeképet használva ellentmondásra vezetnek, míg más jelenségek kizárólag a részecske (korpuszkuláris) elképzelés keretein belül értelmezhetők. Ezt a „hol részecske–hol hullám” viselkedést nevezzük a fény kettős természetének. A fentiekben bemutattuk, hogy a klasszikusan hullámnak tekintett fény bizonyos esetekben részecskeként látszik viselkedni. A következő fejezetben a fentiek „tükörképét” mutatjuk be, azt, hogy klasszikusan részecskének tekintett objektumok képesek hullámtulajdonságokat mutatni. 3.4 ábra A Compton effektus Ezek szerint a fotoeffektust kiváltó, fémre érkező foton energiája egyrészt fedezi a fémben kötött elekt3.15 Az elektron interferencia, Jönsron kiszakításához szükséges kilépési munkát (A), son kísérlet másrészt a „maradék”

energiája a kiléptetett elektron mozgási energiájává alakul. Az 3.1 ábrán látható, hogy hullámot hullámhosszával összemérhető távolságú réspárra ejtve, elhajlási képet kapunk 3.13 A Compton effektus A Compton effektus (A. Compton, 1923) további bizonyítékot szolgáltat a fény részecsketermészetére, bemutatva, hogy a foton, – amint az egy részecskétől elvárható – képes más részecskékkel ütközni. A kísérlet során Compton egy fotonelektron ütközést vizsgált (Az elektront egyenlőre részecskének tekintjük.) A reakció során egy E1 energiájú és p1 impulzusú foton nekiütközik egy nyugvó elektronnak. Ennek hatására a foton energiája E2 , impulzusa p2 értékre csökken A meglökött elektron Ee = 12 mv 2 energiára és pe = mv impulzusra tesz szert. (lásd 3.4 ábra, ahol θ a foton eltérülési szögét jelöli) (A jelenség a szilárd testeken bekövetkező fényszóródás.) A reakció menetét kvantitatíve az energia- és

az impulzusmegmaradás segítéségvel írhatjuk le. Az energiamérleg: hν1 = hν2 + 1 2 mv . 2 (3.4) Az impulzusmérleg (x és y irányban): hν1 hν2 = cos θ + mv cos α c c hν2 0= sin θ − mv sin α. c (3.5) A három egyenletből kifejezve a meglökött elektron ismeretlen sebességét (v) valamint a szintén ismeretlen elektron eltérülési szöget (α) – felhasználva továbbá, hogy ν1 ≈ ν2 , azaz, hogy a foton frekvenciája alig változik. Elemi – de hosszadalmas – számítások után az alábbi eredményre jutunk: Jönsson 1961-ben végezte el az alábbi híres kísérletet. Egy 0, 3 µm szélességű, egymástól 10 µm távolságban lévő réspárra elektronnyalábot ejtett. A rések mögött elektrondetektorokat helyezett el, és megmérte az egyes detektorokra érkező elektronok számát. Ha csak az 1. vagy csak a 2 rés volt nyitva, várakozásainknak megfelelően – azaz a klassszikus részecske kép szerint – a nyitott rés mögött kapott

intenzitás-maximumot, csak oda érkeztek elektronok (3.1 ábra ,a’ része) Ha az elektron részecske, akkor mindkét rés kinyitása esetén a rések mögött egy-egy intenzitásmaximumot kellene érzékelnünk. A jellegzetes mintázatú intenzitás-eloszlás (31 ábra ,b’ része) az (interferenciára képes) hullámok sajátja. Bármily meglepő, ha mindkét rés nyitva volt, Jönsson olyan intenzitás-eloszlást kapott, mintha a kísérletet fénnyel végezte volna el! Ezek alapján látható, hogy µm-es mérettartományban az elektronok hullámtulajdonságot mutathatnak. (3.6) A kísérlet részleteit, a következtetéseket és további ábrákat lásd a 3.38 fejezetben4 Az ered- A fenti eredmény a tapasztalatokkal tökéletesen egybevág. Mivel kiindulási egyenleteinkben az Einstein-féle energia és impulzus kifejezéseket használtuk, így a foton energiájára és impulzusára adott (3.1)-et és (32)-őt helyesnek tekinthetjük 4 Nyilvánvalóan a mérés során az

intenzitást az egységnyi idő alatt a megfelelő detektorba becsapodó részecskék száma adja meg. ∆ν = ν2 − ν1 = − hν12 (1 − cosθ). mc2 52 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI mény álatalánosításaként – több más kísérleti ered- Ez a hatás a hétköznapokban közvetlenül nem érzéménnyel összhangban – elmondhatjuk, hogy kelhető, mivel az energiaegység a makrovilág energiáihoz képest detektálhatatlanul kicsi. klasszikusan részecskének tekintett fizikai Hasonlatképpen egy könyvespolcot képzelhetünk objektumok bizonyos esetekben hullámként el. Ennek egyre magasabb polcain egyre nagyobb viselkednek. energiával bírnak az oda helyezett könyvek. Ebben az esetben könyvnek energia csak diszkrét módon 3.16 A vonalas színkép adható át – illetve vehető el –, hiszen két polc köHa hidrogéngázt gerjesztett állapotba hozunk – az- zé nem tehetem azt. Az „emissziónak” megfelelő az energiát közlünk vele –, az a

gerjesztés megszün- folyamat során a könyv néhány polcot „esik”, a felte után fölös energiájától fotonok (látható- vagy szabaduló energiát pedig kisugározza. Az „abszorpUV-fény) kibocsátásával szabadul meg A méré- ció” során a könyvnek átadott energia hatására az sek (Balmer, Rydberg és Ritz) azt mutatták, néhány polccal feljebb „ugrik”. hogy a gerjesztett gáz alapállapotba való visszaHa az energiátadás legkisebb, tovább nem oszttérése közben csak bizonyos – a gázra jellemző – ható egysége (az úgynevezett hatáskvantum) makfrekvenciájú fotonokat bocsát ki. roszkopikus méretű lenne komoly gondban lennénk. Balmer majd Rydberg mérései szerint a gerjesz- Egy könyvet például csak akkor tehetnénk le az tett hidrogén által kibocsátott illetve elnyelt fény íróasztalunkra, ha annak magassága pontosan a könyvespolc egy polcának magasságában lenne, arfrekvenciája csak az alábbi lehet: ról nem is beszélve,

hogy egy hegyre kapaszkodó   1 1 vasútnak is csak ott lehetne megállója, ahol éppen − 2 , (3.7) νnm = R egy (vagy több, de egész) energiakvantummal mam2 n 15 ahol R a Rydberg állandó, R = 3, 290 · 10 Hz, n gasabb energiájú állapotba kerül. Hogy két polc, illetve megálló között milyen állapotban vannnak és m pedig pozitív egész számok. a testek, arról még nehezebb képet alkotni. Ha Későbbi mérések és megfontolások arra vezettek, ezen való töprengésünk során egy kismacska téved hogy nemcsak a hidrogén, hanem sok más (gerjeszszobábánkba, ebben a nagy hatáskvantumú világtett) anyag is csak bizonyos, – az adott anyagra ban még csak meg sem simogathatjuk, hiszen abjellemző – frekvenciákon képes fotont kibocsátani ból vagy nem érez semmit (nincs energiaátadás), (emittálni). További vizsgálatok pedig azt is megvagy pedig az első „cirógatási kvantumtól” eltörik mutatták, hogy a hidrogén (valamint sok egyéb a nyaka.

Gyengédebb simogatásra nincs módunk, anyag) csak bizonyos frekvenciájú fényt képes elhiszen az energiaegység (hatáskvantum) törtrészei nyelni (abszorbeálni). Mindenféle diszkrétség, mint nem elérhetők. Látszik, hogy a világ „finomságát” például energiakvantumosság, egész számok recipa hatáskvantum nagysága határozza meg. rokainak négyzetével való váltakozás, . teljesen A mi Világegyetemünk „finomabb” világ, a idegen a klasszikus mechanikától és nem is maminimális hatás a mikrofizikai folyamatok energyarázható vele. giaskálájába esik. Ez az oka annak, hogy az előző Ha a hullámhossz függvényében ábrázoljuk a kipélda könyvét bármilyen magasra helyezhetjük és bocsátott energiát az úgynevezett színképhez jumacskánkat igen finoman is lehet simogatni, hiszen tunk. Mivel a gerjesztett anyagok csak bizonyos a megengedett legkisebb hatás (a legkisebb átadhafrekvenciákon bocsátanak ki illetve nyelnek el enertó

energia nagysága) nagyon-nagyon kicsi a klasszigiát, így színképük (mind az emissziós, mind az abkus mechanika energiáihoz képest. szorpciós) vonalakból áll, ez a vonalas szinkép, lásd A legkisebb átadható energiaegység (hatáskvantum) a 3.5 ábrát! kicsisége miatt makrovilágunkban a diszkrét energiaállapotok összefolyni látszanak, ezért a A fenti tapasztalatokat merészen úgy általáhétköznapokban kvantáltságot nem tapasztalunk. nosíthatjuk, hogy anyagok csak meghatározott (az adott anyagra jellemző) nagyságú energiát képesek felvenni illetve leadni. Ezen energiák törtrészei illetve nem egész többszörösei az adott anyag számára elérhetetlenek! 3.17 Részecske vagy hullám? Bemutattuk, hogy a fény, melyet hullámnak tekintünk, a fotoeffektusban és a Compton effektusban 53 3.2 A KVANTUMMECHANIKA ELŐZMÉNYEI hullámnak, hanem független fényrészecskék (fotonok) nyalábjának tekinteni. Legyen a foton energiája a

frekvenciájával arányos, az arányossági tényező legyen a már bevezetett Plack-állandó (h) Ezek alapján: Efoton = hν. A Compton effektus kapcsán láttuk, ha a foton impulzusát Efoton hν pfoton = = c c értékűre választjuk, akkor a kísérleti eredményekkel összhangba kerülünk. 3.5 ábra A vonalas színkép mint részecske viselkedik. Megmutattuk, hogy klasszikusan részecskének tekintett objektumok (például elektronok) néha hullámként viselkednek (Jönsson-kísérlet). A fotonhipotézis mint munkahipotézis kiválóan megállja a helyét és szélesebb körben is alkalmazható, két komoly kérdésre azonban nem ad választ: • Miért hν és hν c a foton energiája illetve impulzusa, és miért csak a frekvenciától függnek ezek az értékek? • Mikor használjunk részecske képet és mikor hullámképet, valamint hogyan egyeztessük e kettőt egy adott jelenség – például a fény terjedése – kapcsán? Valamint láttuk, hogy bizonyos

folyamatokban (például abszorpciós és emissziós színképek) az energia csak „darabokban”, kvantumosan adható A második probléma komoly fogalomválságot át és vehető el. Ezek az eredmények alapjaiban rendítik meg a klasszikus fizika épületét, magya- okoz, és bár a klasszikus fizika keretein belül törrázatukra teljesen új eszköz- és fogalomrendszer téntek próbálkozások a részecske–hullám kép házasítására, – ilyen próbálkozás a következő fejezetben szükséges. Ez lesz a kvantummechanika bemutatandó anyaghullám hipotézis –, sikert e téA XX. század első harmadában a fentiekben be- ren egyedül a kvantummechanika ért el5 mutatott kísérleti eredmények jó része már ismert volt, magyarázatukra többé-kevésbbé sikeres elméletek születtek: Einstein fotonhipotézise (1905), 3.22 A de-Broglie-féle hipotézis de-Broglie anyaghullám-hipotézise (1918), vala- Louis de-Broglie gondolt először arra, hogy ha mint a Bohr-féle

atommodell (1912). Azonban a fény hullmátulajdonsága mellett részecsketulajezek nem voltak teljesen kielégítők, de mint a donságot is mutat, akkor feltételezhető az is, hogy kvantummechanika előzményei, komoly jelentőség- ennek analogonjára minden részecskéhez hullámot gel bírnak. Mielőtt rátérnénk a problémákra valódi lehet rendelni6 Egy hullámot – esetünkben – akmegoldást adó kvantummechanikára, ezeket az el- kor tekintünk adottnak, ha tudjuk a hullámhosszát méleteket, valamint hiányosságaikat mutatjuk be. A fotonhipotézis alapján p = hν A klasszikus hulc lámtan szerint λν = c, így ezek kombinációjából: 3.2 A kvantummechanika előzményei 3.21 A fotonhipotézis Az 3.12 fejezetben a fotoeffektus kapcsán láttuk, hogy bizonyos esetekben célszerű lehet a fényt nem 5 Felhivjuk a figyelmet arra, hogy a kvantummechanikában – és a relativitáselméletben is – a foton energiája és impulzusa pontosan az einsteini értéket

fogja felvenni, ezért ezek a képletek számításainkhoz teljesen megfelelőek. A különbség abban lesz ahogyan a fotont elképzeljük, és ahogyan az impulzust és az energiát definiáljuk, feloldandó a részecske-, és hullámkép ellentmondását! 6 Ez azért figyelemreméltó eredmény de-Broglie-tól, mert a tárgyalt kísérletek jó részét nem ismerte. 54 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI h h λ= = . p mv (3.8) Megfigyelhető, hogy a de-Broglie hipotézis a mikrovilágban új jelenségeket ír(hat) le, azonban makroszinten érvényben hagyja a klasszikus fizikát. Ezt a későbbiekben megköveteljük minden új elképzeléstől is, hiszen egy új elméleti konstrukció nem kerülhet ellentmondásba a makrovilágban jól működő klasszikus fizikával – valamint mindennapos tapasztalatainkkal. Ezek alapján kimondhatjuk, hogy a mikrovilágot leíró törvényeknek atomi méretekhez képest nagy tömegek és nagy távolságok esetén a klasszikus mechanika

törvényeibe kell átmenniük. Ez a korrespondencia-elv. Ez a híres de-Broglie féle hullámhossz, a képlettel minden testhez hullámot rendelhetünk. A fenti „levezetés” azonban nem bizonyítás, hiszen a fotonra adott impulzusképlet sem bizonyított, valamint nincs jogunk az eredményt fotonról bármely testre általánosítani. Az elmélet nem segít elképzelni az anyaghullámot, és arra sem ad magyarázatot, hogy mikor kell részecskének és mikor – a fenti hullámhosszal definiált – hullámnak tekinteni egy testet. Így de-Boglie ötlete sem egyéb mint munkahipotézis, amely merészen általánosít – és néhány esetben eredményre vezet. 3.23 A Bohr-féle atommodell Visszautalva a Magfizika elemei című fejezetre, csak Nézzünk meg két konkrét példát. Egy 2, 5 tonnás emlékeztetünk arra, hogy a Rutheford-féle atomautó de-Broglie hullámhossza, miközben 100 km h -val modell (többek között) azért nem állhatta meg a halad: helyét, mert

pontszerű, a mag körül keringő elektronokat feltételezett. Ezeknek – mint gyorsuló töltéseknek – sugárzással energiát kell veszíteniük, és −34 6, 626 · 10 Js −39 λauto = = 9, 5 · 10 m. (3.9) így a magba kellene zuhanniuk. m 2, 5 · 103 kg · 28 s Látható, hogy ez az érték érzékelhetetlenül (detektálhatatlanul) kicsi. Makrovilágunkban, ahol az impulzusok (a nagy tömegek miatt) több tíz nagyságrenddel esnek a Planck-állandó értéke fölé, a testekhez rendelt hullámhosszak olyan kicsik, hogy nem érzékeljük a nagy tömegű testek hullámként való viselkedését. Azok a testek viszont, amelyeknek impulzusa a Planck-állandóval összemérhető7 , már érdekes tulajdonságokat mutathatnak – a de-Broglie elmélet szerint. Példaként vizsgáljunk egy felgyorsított elektront. Ennek sebessége legyen v = 2 · 107 ms , tehát impulzusa p = 1, 71 · 10−23 kg ms , így de-Broglie hullámhossza: λelektron = 0, 36 · 10−10 m = 0, 36 Å.

(3.10) Ez az érték már atomi nagyságrendekbe esik (egy atom átmérője kb. Ånsgströmnyi), így az atomok világában a mikrorészecskék hullámtermészetének fontos szerepe lehet. 7 Ez a mikrorészecskék világa. Niels Bohr dán fizikus 1913-ban a hidrogén színképének vizsgálata során új elméletet állított fel, amellyel magyarázni tudta a színkép vonalasságát, sőt elméletének jóslata pontosan megadta a hidrogén által felvehető illetve leadható energiakvantumok értékét – lásd (3.7) –, valamint érdekes nézőpontot vetett föl a sugárzásos energiavesztés magyarázatával kapcsolatban. Elmélete két alaptételen nyugszik, ezek a Bohrposztulátumok : 1. Az elektron a mag körül csak bizonyos pályákon keringhet, és ezeken az úgynevezett stacioner pályákon nem sugároz8 A stacioner pályák sugarát a Bohr-féle kvantumfeltétel határozza meg, mely szerint: me vn rn = n~, (3.11) ahol n = 1, 2, 3, . a lehetséges pályák

sorszámai, rn az n-dik pálya sugara, vn az n-dik pályán keringő elektron sebessége. 2.a Ha a mag körül, egy külső (n) pályán keringő elektron egy kisebb energiájú, belső (m.) pályára kerül, a felszabaduló energiát egy ν frekvenciájú foton formájában sugározza ki Ekkor a két pálya energiájának különbsége éppen 8 Hogy miért nem sugároz, azt az elmélet nem tudja megmagyarázni. 55 3.2 A KVANTUMMECHANIKA ELŐZMÉNYEI a kibocsátott foton energiájával fog megegyezni, azaz: En − Em = hν. (3.12) 2.b A jelenség fordítottja is végbemehet, azaz egy ν frekvenciájú foton energiáját átadhatja egy n. pályán keringő elektronnak, azt egy nagyobb energiájú – magtól távolabbi pályára – juttatva. Ez azonban csak akkor következhet be, ha a foton energiája pontosan akkora, mint a két pálya energiakülönbsége: En − Em = hν. (3.13) Összefoglalva, a 2. posztulátum azt állítja, hogy a mag körül keringő elektronok az

energiát csak diszkrét adagokban képesek felvenni illetve leadni, energiacseréjük kvantumos. 3.6 ábra Elektron állóhullámok a mag körül A 2.a posztulátum az emissziós, míg a 2b az 2 abszorpciós színkép vonalasságát azonnal megma- ható centrifugális erő, melynek értéke me vn ezt ki r n gyarázza.9 kell, hogy egyenlítse, azaz Az 1. posztulátumhoz a következő meggondolást fűzhetjük. Az rn sugarú n-dik pályán vn sebesség1 e2 vn2 = m . (3.14) e gel mozgó elektron de-Broglie hullámhossza: λn = 4π0 rn2 rn h . Az n-dik pálya kerülete pedig éppen 2πr . n me vn E kettő összevetéséből: 2πrn = nλn = n mehvn , ami A fenti képletet az 1. posztulátummal kombiéppen az311 képlet Ezek alapján az 1 posztulánálva az n-dik pályán keringő elektron pályasugara tum (lásd 3.6 ábra) azt mondja ki, hogy és sebessége: az elektron hullámhossza éppen egész számszor (n-szer) mérhető fel keringésének körpályára, azaz a stacioner pályákon

elektron-állóhullám alakul ki. Az elektronhullám feltételezéssel megszűnik a keringés miatti sugárzás problémája, hiszen a mag körül állóhullám alakul ki. Ez azonban csak „ál” magyarázat. Nem tudjuk, hogyan létezik egy elektron hullámként, valamint azt sem, hogy tartozik-e a hullám állapothoz Larmor-sugárzás. Így az elmélet a sugárzási problémára nem ad valódi megoldást. rn = a0 n2 vn = ahol a0 = ~2 1 me 4π e2 1 e2 1 4π0 ~ n (3.15) (3.16) = 0, 529 Å, az úgynevezett 0 Bohr-sugár. A Bohr-elmélet szerint tehát a legkisebb számú (n = 1) pálya sugara a legkisebb (a0 , Bohrsugárnyi), és az itt keringő elektron sebessége a Nyilvánvalóan a mag körül keringő elektronra ha- legnagyobb. A további pályák sugara a pályaszámtó erőknek ki kell egyenlíteniük egymást A nega- mal (illetve annak négyzetével) nő, míg a keringés 1 e2 sebessége a pályaszámmal fordított arányban csöktív töltésű elektronra a pozitív

töltésű mag 4π 2 0 rn elektrosztatikus vonzerőt fejt ki, míg az elektronra ken. 9 Célszerű lehet a 3.16 fejezet példájának ismételt áttanulmányozása Az alábbi táblázat tartalmazza az első öt pálya sugarát és pályasebességét. 56 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI száma 1 2 3 4 5 A pálya sugara [Å] 0,529 2,166 4,762 8,466 13,221 sebessége 106 2,187 1,094 0,729 0,547 0,437 m s 3.3 A kvantummechanika elemei
Vizsgáljuk meg a Bohr-modell alapján az n-dik pályán keringő elektron energiáját. Az összenergiája két részből tevődik össze: mozgási és potenciális energiából. Eössz = Ekin + Epot = 1 1 e2 2 mv − = 2 4π0 rn = 1 me 2 1 4π0 e2
~2 1 . n2 (3.17) Ebből nyilvánvaló, hogy az elektron energiája a nagyobb sorszámú pályákon kisebb. A 2 posztulátum segítségével számítsuk ki az n m átmenethez tartozó kisugárzott (illetve elnyelt) foton hullámhosszát! En − Em = 1 me 2 1 4π2 ~2 e
2 2

 1 1 − 2 m2 n  = hνnm , (3.18) ahol νnm -mel jelöltük az n m átmenethez tartozó kibocsátott (n < m) illetve elnyelt (n > m) fotont. Ebből a kibocsátott foton frekvenciája (h-val való osztás után): νnm = 2 1 1 me 4π2 e 2 2 h~
2  1 1 − 2 m2 n  . (3.19) A képletben szereplő konstans értékét kiszámítva és összevetve a (3.7)-ben szereplő Rydberg-állandóval, teljes egyezést kapunk. Ezzel a jelentős eredménnyel a Bohr-modell teljesítőképességének határára érkeztünk. A modell a hidrogén színképének vonalasságát kitűnően magyarázza, azonban komoly hiányosságai vannak. • Az első posztulátum nem ad magyarázatot arra, hogy a stacioner pályán lévő elektronnak miért nincs Larmor sugárzása. • A Bohr-modell nehezen terjeszthető ki többelektronos rendszerekre. Többelektronos modellekben (Bohr-Sommerfeld modell ) a kapott eredmények és a mérések egyezése kivánnivalót hagy maga után. Az előző

fejezetekben láttuk, hogy egy adott fizikai objektum (az autótól a fotonig) esetén részecske és hullámtulajdonságok egyaránt fellépnek, és ezt a klasszikus fizika eszközeivel nem tudjuk magyarázni. A bemutatott próbálkozások nem szakítanak „eléggé” a klasszikus alapokkal, eredményük nem kielégítő, így szükséges egy teljesen új fizikai eszközrendszert kidolgozni. Ennek egyszerre meg kell tudnia magyarázni a részecske- és hullámképet, és tájékoztatnia kell arról, hogy melyiket mikor lehet használni. Ezen kívül meg kell ragadni azt a mélyebb közös formát, amelynek lehetséges megnyilvánulása a részecske- és a hullámállapot is! Erre lesz alkalmas a következő alfejezetben bevezetendő hullámfüggvény. 3.31 A hullámfüggvény A részecskék klasszikus leírásának alapja a tömegpont fogalma.10 Ez azonban csak mint matematikai modell állhatja meg a helyét, ugyanis a pont nem bír kiterjedéssel, így a valós világot leíró

fizika számára nehezen értelmezhető. Próbáljuk megadni egy x-tengelyen elhelyezkedő tömegpont (T ) helyzetét. Klasszikusan ezt úgy foghatjuk fel, hogy koordinátarendszerünk x = xT pontjában „van” a tömegpont, attól bármilyen kis távolságra már „nincs”. Próbáljunk bevezetni egy Ψ(x) függvényt, mely jellemzi a test helyzetét. Ezt úgy szeretnénk definiálni, hogy ahol a részecske „van”, ott 1 legyen az értéke, mindenhol máshol pedig nulla. Ekkor nyilvánvalóan a függvény elég furcsa, az x = xT pontban szakadásos lesz, ott egyet vesz fel, minden más pontban pedig nullát, lásd 3.7 ábra! A természet azonban „szereti” a folytonosságot, így szinte kézenfekvő a „ javítás” módja. Csináljunk egy hegyes, de folytonos függvényt, írja le ez a részecske helyzetét. A tömegpont ezentúl már nem tömegpont, eltűnt a kiterjedés nélküliség problémája, lásd a 3.8 ábrát! Vizsgáljuk meg, hogy mi volt a javítás

„ára”. Mi• A többelektronos modell nem ad számot arról, vel a helyet megadó függvényt úgy definiáltuk, hogy hogy egy adott sorszámú pályán hány elektron 10 A tömegpont természetesen idealizáció, bevezetését a tartózkodhat. • Nincs képünk az elektron hullámállapotáról – bár ez már a de-Broglie elmélet hibája. célszerűség indokolja, ugyanis a klasszikus mechanikában egy kiterjedt testet a test súlypontjába helyezett, a test tömegével megegyező tömegponttal írhatunk le, amely ezután matematikailag már egyszerűen kezelhető. 57 3.3 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI ahol „nincs” részecske ott nullát vegyen fel, ahol pedig van, ott nullától különböző értéket, így látható, hogy a fizikai objektumunk „szétterjedt”, „elmosódott” lett, úgy tűnik, mintha nem csak egy pontban lenne megtalálható(?). Hogyan értelmezzük tehát azt, hogy a test kiterjed, a tömegpont elmosódik. Biztosan nem arról van szó, hogy a

test mérete megnő, anyaga „folyni kezd”, „hol itt van, hol ott”. Max Born nyomán a fenti, helyet meghatározó Ψ függvénynek valószínűségi értelmezést adunk. Azaz egy adott pontban olyan valószínűséggel tartózkodik a test, amennyi a Ψ függvény ott felvett értéke. Ez a Ψ függvény a test hullámfüggvénye.11 Ennek bevezetésével ezentúl bármely test helyét egy dimenzióban nem egy számmal (három dimenzióban nem három számmal), hanem egy folytonos függvénnyel adjuk meg, ami ott vesz fel nem nulla értéket ahol van (lehet?) a test.12 3.7 ábra A szakadásos helyfüggvény Milyen tulajdonságokat kell megkövetelni a hullámfüggvénytől? Mivel egy objektum egy adott koordinátájú pontban csak egy adott valószínűséggel fordulhat elő, így a hullámfüggvénynek a tér minden egyes pontjához egyértelműen kell hozzárendelnie egy nulla és egy közé eső értéket. A második tulajdonság abból fakad, hogy a testet meg kell

találni. Így ha minden egyes pontban (x) összeadom a megtalálási valószínűségeket (Ψ(x)), az eredmény egy kell, hogy legyen. A megtalálási valószínűségek összeadása a függvényértékek összeadását jelenti, ami pedig éppen a Ψ függvény görbéje alatti terület.13 Ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a görbe alatti terültet egységnyi kell, hogy legyen. Összefoglalva, a hullámfüggvény: • egyértelmű leképzés a valós tér pontjaiból a [0 − 1] intervallumba (R3 R[0,1] ), • alatti terület egységnyi. 3.8 ábra A folytonossá tett helyfüggvény 11 A fent bevezetett függvény valójában a kvantummechnikában használt komplex értékű hullámfüggvény (norma)négyzete! A további tárgyalást azonban nem zavarja ez az egyszerűsítés. 12 Vegyük figyelembe, hogy a hely mint függvény csak a pontszerűséghez képest határozatlan, matematikailag a függvény és a pont is ugyanolyan konkrét, határozott valami. R 13 A matematikát

kedvelőknek: Ψ(x, y, z)dxdydz = 1. V 58 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI Bevezetve a hullámfüggvényt és annak valószínűségi értelmezését, a hétköznapi tapasztalatainkkal látszólag ellentmondásba kerültünk. Ugyanis hiába meresztjük szemünket bármely, a környezetünkben lévő tárgyra, nem látjuk elmosódni, kiterjedni, „hol itt – hol ott lenni”. Ennek magyarázata abban keresendő, hogy makrovilágunkban – a számítások szerint – ennek az elmosódásnak a mértéke billiószor kisebb, mint a szemünk által érzékelhető mérettartomány. A fentiek alapján úgy tűnhet, hogy a kvantummechanikában tett első lépésünk értelmetlen volt. Ez azonban két dolog miatt sincs így. Egyrészt komoly fogalmi különbség van a hely koordinátával il39 ábra Az impulzus letve függvénnyel való megadása között. Másrészt a mi makroszkopikus világunkra ugyan nincs közvetlenül megfigyelhető hatása, a mikroszkopikus mé- eredményünk

alakilag azonos azzal –, jelentéstarrettartományok világát az új elmélet azonban tel- talmát tekintve teljesen más. jesen átformálja; a további fejezetekben ezt próbálA figyelmes Olvasó rögtön észreveheti, hogy juk érzékeltetni egyszerűbb jelenségek bemutatása a hullámfüggvénynek bele kell simulnia az xkapcsán. tengelybe.14 Így az impulzust kódoló belső mintázathoz sem rendelhető egyértelmű hullámhossz – 3.32 A hullámfüggvény és az lásd a 3.9 ábra λ1 és λ2 hullámhosszait –, hiszen impulzus az nem szabályos periódikus görbe.15 Ezek szerint egy adott állapothoz több impulzus is rendelhető, A hullámfüggvény egy adott pontban felvett értéke azaz – az előzőek alapján – kapcsolatban van az előfordulás valószínűségével. Ha azonban a hullámfüggvényt egy fizikai rendszer teljes leírójának akarjuk használni, akkor számot kell adnia a kérdéses objektum helye mellett annak impulzusáról is. Hogyan rejti magában

a hullámfüggvény az impulzust? Nem a szélességében vagy a magasságában, hiszen azok az előfordulás helyével állnak kapcsolatban! Milyen lehetőség maradt még? A görbe szerkezete. Mint a pontosabb vizsgálatok megmutatják a hullámfüggvénynek finomszerkezete van, amit mi az előbbiekben vizsgáltunk, az csak ennek az oszcilláló, hullámszerű szerkezetnek a burkolója, lásd 3.9 ábra Nyilvánvaló, hogy sűrűbb fésűfogazat esetén a hullámfüggvény által leírt test „nyugtalanabb”, tehát impulzusa nagyobb. Tehát a finomszerkezet kisebb hullámhosszához nagyobb impulzus tartozik. Mint levezethető az impulzus és a hullámhossz közötti arányossági tényező éppen a Planck-állandó, így: p= h . λ (3.20) Látható, hogy de-Broglie korábban már ugyanerre az eredményre jutott, azonban az nem egzakt fizikai megfontolások nyomán született, így – bár fenti nem csak a hely, hanem az impulzus is bizonytalan. Most már elég információ áll

rendelkezésünkre ahhoz, hogy a hullámfüggvény mozgását meghatározhassuk. Ha a testnek impulzusa van, akkor sebessége is van, azaz helye változik. Ez a hullámfüggvényben úgy jelenik meg, hogy a hullámfüggvény nem nulla része „mozog” az x-tengely mentén Ha az impulzus nagyobb, azaz a mintázat sűrűbb, az egész „hullámcsomag” gyorsabban mozog, ha az impulzus kisebb, lassabban, ezt mutatja be a 3.10 ábra. Vegyük észre, hogy a hullámfüggvény milyen kompakt információhordozó. Nem csak a helyet, hanem az impulzust is tartalmazza. Ezzel érthetővé válik a „hullámfüggvény” szóhasználat oka. A test hullámfüggvénye ugyanis úgy mozog, mint a víz felszínén terjedő hullám. Jelentéstartalma azonban ennél jóval mélyebb, az analó14 Ha nem így lenne, a test bármely ponttól végtelen távol nem nulla valószínűséggel megtalálható lenne, ez pedig lehetetlen. 15 A későbbiekben fontos lesz, de már most vegyük észre, hogy a

periodicitást a „végek” rontják el, a „középső rész” periodicitása megfelelő. 59 3.3 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI a helybizonytalanságot csökkentve az impulzus bizonytalansága növekszik. Bevezetve a hely illetve az impulzus bizonytalanságára a ∆x és ∆p jelölést, eredményünket a ∆x · ∆p = áll. formában is felírhatjuk A pontos számítások W. Heisenberg nevéhez fűződnek és az alábbi eredményre vezetnek: ~ . (3.21) 2 Három dimenzióban a fenti képlet igaz különkülön mindhárom koordinátára és impulzusra, azaz kiegészítve: ~ ∆y · ∆py ≥ (3.22) 2 ∆x · ∆px ≥ ~ . (3.23) 2 Ezek a Heisenberg-féle határozatlansági relációk. A határozatlansági relációk hatása a makroszkogia nem lényegi. Míg a vízhullám csak a víz részecspikus mérések kimenetelére teljesen érzékelhetetkéinek kitérésváltozása, addig a hullámfüggvény az len és figyelmen kívül hagyható, a mikrovilágban általa leírt test

koordinátáját és impulzusát hordozazonban komoly hatásai vannak. Ha ugyanis egy za, azaz (talán) maga a test. elektron helyét egy nanométer (10−9 m) pontossággal megmérem, akkor impulzusának bizonytalansá3.33 A Heisenberg-féle határozat- ga akkora lesz, hogy egy másodperccel később akár lansági reláció 100 km távolságban is lehet. 3.10 ábra Nagy és kis impulzusú hullámfüggvények Mint láttuk a kvantummechanikában sem a koordinátának, sem az impulzusnak nincs élesen meghatározott értéke. Próbáljunk felállítani egy korlátot arra, hogy – elvileg16 – melyiket milyen pontossággal határozhatjuk meg. Az impulzus-bizonytalanságot az okozta, hogy a hullámfüggvény finomszerkezetét alkotó hullámhoz nem rendelhető egyértelmű hullámhossz. Azonban érezhető, ahogy a burkolót „kinyújtjuk”, egyre több szabályos periódus fér el belül, és a periódus „hibáját” okozó végeffektusok relatív szerepe lecsökken Mivel a

burkoló kinyújtása azt jelenti, hogy a helybizonytalanságot megnöveljük, így azt láthatjuk, hogy az impulzus bizonytalanságának csökkentése a helybizonytalanság növekedését vonja maga után. Teljesen hasonló a fenti helyzet „párja” is. Ha a helybizonytalanságot csökkentendő a burkolót összehúzzuk, a finomszerkezet (impulzus) hibája megnő, hiszen a periodicitást elrontó „szélek” hatása egyre nagyobbá válik, azaz 16 Az elméleti fizika szempontjából mindegy, hogy konstruáltak-e már készüléket a mérésre, vagy érdemes-e megmérni. ∆z · ∆pz ≥ 3.34 A mérés és a határozatlanság A határozatlansági relációnak komoly fizikai és filozófiai kihatása van. A belőle kiinduló fizikai és filozófiai problémafelvetések legalább akkora forradalmat okoztak a természettudományos közgondolkodásban, mint az einsteini relativitáselmélet. Ahhoz, hogy ebbe betekintést nyerhessünk, meg kell vizsgálni a mérés és a

mérhetőség – klasszikus és kvantummechanikai – fogalmát. A klasszikus fizika tanítása szerint a mérés pontosságának egyetlen korlátja a mérőműszerünk pontatlansága, tehát jobb mérőműszerrel pontosabb eredményt tudunk elérni. Valamint annak sincs akadálya, hogy a koordinátát és az impulzust egyszerre mérjem meg. (Az egyszerre kitétel fontossága hamarosan kiviláglik) A kvantummechanikában azonban ez nem így van. Képzeljük el, hogy egy részecske helyét nagy pontossággal megmérem. Ez azt jelenti, hogy helyét meghatároztam, azaz helyének bizonytalanságát (∆x) lecsökkentettem A határozatlansági relációk miatt azonban ekkor a részecske impulzusának bizonytalansága megnő Minél pontosabban 60 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI mérem meg tehát a részecske helyét (csökkentem a helybizonytalanságát), impulzusának bizonytalansága annál nagyobb lesz, azaz annak értékéről annál pontatlanabb becslést tudok csak adni.

Ugyanez fordítva is fennáll. Egy részecske impulzusát egyre pontosabban megmérve, a részecske helyéről fogok egyre kevesebbet tudni. Ha a koordinátát és az impulzust egyszerre szeretném mérni, kompromisszumot kell kötnöm, meg kell elégednem két pontatlan adattal. Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy a makrovilágban a tételnek nincs gyakorlati jelentősége, makroszkopikus objektumokon továbbra is tetszőlegesen közeli időpontokban és céljainknak elegendően pontosan mérhető az impulzus és a koordináta, lásd korrespondencia-elv ! A fentiek illusztrálására vizsgáljuk meg, hogy egy biciklijével együtt 80 kg-os biciklista helyét milyen pontossággal tudom megmondani, ha sebességmérésem pontossága: ∆v = 0, 5 ms . Ekkor ∆p = m∆v = 40 kgs m . A határozatlansági reláció alapján: atomi mérettartományok alá. Hogy célszerű-e alkalmazni a kvantummechnaikát, azt a vizsgált test tömege dönti el, ugyanis: ~ . 2m Ha a tömeg hétköznapi

tartományokba esik (m = 10−5 kg . 105 kg), akkor a jobb oldal 10−29 . 10−39 nagyságrendű, azaz ilyen méretű bizonytalanságok fordulhatnak elő a helyben vagy az impulzusban. Ez mérhetetlenül és elképzelhetetlenül kicsi, látható, hogy a hétköznapi tartományokban a kvantummechanika helyett használhatjuk nyugodtan tovább a klasszikusat (Ez ismét a korrespondencia elv!) De egy elektron esetén, amelynek tömege 10−31 kg nagyságrendű a bizonytalanságok már 10−4 rendűek, és ezek már számottevők, tehát a mikrovilágban kizárólag a kvamtummechanika illetékes. A határozatlansági relációnak azonban nem csak ilyen „elméleti” következményei vannak. Olyan meglepő eredményekre is vezet, melyek teljes ellentmondásban vannak hétköznapi tapasztalatainkkal. A kvanmtummechanikában ∆x∆v = eltűnik a pálya fogalma ~ ∼ 10−36 m. ∆x = 2∆p Ez a szám olyan kicsi, hogy nem csak megmérni, elképzelni sem lehet. Ha azonban

mikrorészecskékre alkalmazzuk a határozatlansági relációt, a helyzet gyökeresen megváltozik. Például vegyük egy atom külső elektronjait. Kiválasztva egyet megmérjük a sebességét, mérésünk bizonytalansága17 legyen 104 ms . Az elektron tömegét behelyettesítve ∆p ∼ 10−29 nagyságrendű A határozatlansági relációból: ∆x ∼ 5 · 10−9 m = 50 Å. amelyet a makrofizikában és a hétköznapokban oly természetesnek tartunk. Egy test pályáját úgy tudjuk meghatározni, hogy minden egyes pontban megmérjük a sebességét, amely kijelöli, hogy a következő időpillanatban hol lesz. Itt sebességét újból meghatározva adódik a következő pillanatbeli koordináta, s.ít A határozatlansági reláció azonban erre nem ad lehetőséget, hiszen ha – elég pontosan – meg szeretném mérni a test sebességét, akkor a mérés után a helyéről már nem állíthatok semmit, így a pálya megkonstruálhatatlan. Ha a helyét mérem meg, akkor a

sebességének bizonytalansága nő meg, és ezért nem tudom meghatározni a következő időpillanatbeli helykoordinátáját. A kvantummechnaika a mikrovilágban eltörli a pálya fogalmát, elképzelhetetlenné téve egy részecske útját. Ezért használják sokszor a haladás helyett terjedés fogalmát, amely kissé közelebb áll a valóságos – talán nem is elképzelhető – képhez. Ez a távolság az atomi méretekhez képest óriási, megfelel 50 atomi átmérőnek! Látható, hogy az elektron sebességét pontosan mérve a határozatlansági reláció komolyan szerephez jut, mivel a hely bizonytalanságát nagyon komolyan megnöveli, olyannyira, hogy azt sem tudjuk megmondani, hogy a mért elektron melyik atomhoz tartozik. Mint nyilvánvaló, a kvantummechanika használa3.35 Milyen a Hold amikor nem néta csak ott célszerű, ahol a határozatlansági összezem? függések okozta bizonytalanságok nem esnek az 17 Ez pontos mérésnek számít, hiszen az elektron

sebessége tartományába esik! a 105 − 107 m s Ezt a kérdés Arisztotelész tette fel, a válasz pedig az lehet rá, hogy ugyanolyan mint amikor 3.3 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI 61 nézem, sárgásfehér és kerek. A mikrofizikában az 336 A részecske–hullám kettősség, ilyen típusú kérdésre adott válasz már nem ennyire sajátállapotok triviális. A hullámfüggvény valamint a kvantummechanikai Vegyük górcső alá a helymeghatározás folyama- koordináta és impulzus bevezetésével kapcsolatban tát. Ha elég „durván” is eljárhatok, egyszerűen láttuk, hogy egy fizikai objektumnak lehet hatákitapogatom a test helyét Ekkor szükségszerűen rozott impulzusa, ekkor azonban a helye határokölcsönhatásba kell, hogy lépnünk vele, ez a ha- zatlan Valamint ha a helyét tesszük határozottá tás egy ruhásszekrényen nem okoz azon számotte- az impulzusa válik határozatlanná. Ezek alapján vő változást. Finomabb objektumok esetén „fino-

vezessük be az alábbi fogalmakat Ha egy objekmabb” módszert kell keresni Természetesen adó- tum impulzusa maximálisan határozott (minimális dik a nézéssel való helymeghatározás. Azonban ha bizonytalanságú), akkor azt mondjuk, hogy az obegy testet látni szeretnék, azt meg kell világítani, jektum impulzus-sajátállapotban van Ha impulazaz fotonokat kell ráejteni Ekkor a róla visszave- zusa csak jól meghatározott, akkor impulzus-közeli rődő és a szemünkbe jutó fotonok révén érzékeljük állapotról beszélhetünk. Ezek analogonjaként a telazt A kiemelt „visszaverődés” szó lesz a jelenség jesen határozott koordinátájú részecske koordinátakulcsfoglma Ekkor jön ugyanis létre a kölcsönha- sajátállapotban van, míg a jól lokalizált (kis koortás a megfigyelő és a megfigyelt objektum között dinátabizonytalanságú) objektum koordináta-közeli A megfigyeléshez szükséges fotonok nem okoznak állapotban. Mint a határozatlansági

relációkból számottevő állapotváltozást a fenti szekrényen, de látszik egy részecske nem lehet egyszerre impulzus 19 Természetes mómég egy porszemen sem. Azonban a mikroszko- és koordináta-sajátállapotban don adódik az is, hogy erősen határozott koordinápikus mérettartományban a foton(ok) által szállítához erősen határozatlan impulzus társul és fortott energia (impulzus) már számottevő szerephez dítva. juthat (lásd például a Compton effektust, ahol a foton meglöki az elektront). Tehát a mikroszkopikus Ha egy test nincs sem hullámközeli, sem impultartományokban egy újabb egészen furcsa eset állt zusközeli állapotban, akkor kevert állapotról beszéelő: a megfigyelő és a megfigyelt kölcsönhat18 , azaz lünk, ez az állapotok „ideális házassága”, itt egyik sem erősen határozott, ezért párja sem erősen haha megfigyelem a mikrorészecskét, az már nem úgy tározatlan. Az ilyen állapot hullámfüggvényének szemléletes

neve: hullámcsomag, alakjáért lásd a viselkedik, mint amikor nem figyelem, hiszen 3.9 ábrát! megfigyelésem befolyásolja viselkedését. Ezek után viszont kijelenthetjük, hogy arra a kérdésre, hogy milyen az elektron, amikor nem nézem, nem adhatok megnyugtató választ, hiszem ha nem nézen meg nem fogom megtudni, ha viszont megnézem, akkor „zavaró” figyelmem hatására már más módon viselkedik. A figyelmes Olvasó javasolhatná, hogy csökkentendő a zavaró hatást, a megfigyeléshez használjunk csak egy fotont. Azonban egy elektronnal való kölcsönhatás során még egy foton is számottevő impulzussal bírhat. További javaslatként fel lehet vetni, hogy csökkentsük a vizsgálathoz használt foton frekvenciáját, ekkor ugyanis a p = hν c alapján csökken a szállított impulzus. Így a frekvencia csökkentésével a megfigyelés zavaró hatása is csökkenne. Azonban vegyük észre, hogy ekkor öngólt lőnénk, ugyanis a frekvencia csökkentésével a

foton hullámhossza megnő, és így számára „észrevehetetlenek” lesznek a hullámhosszánál kisebb objektumok, azaz alkalmatlan lesz a megfigyelésre. G. Gamow megfogalmazásában: „Nem lehet perzsa miniatúrát festeni szobafestőecsettel.” 18 Természetesen makroszinten is van kölcsönhatás, csak ennek a nagy tömegű testekre nincs érzékelhető hatása. A fenti megfontolásokkal eljutottunk tehát odáig, hogy a klasszikus keretek között zavarbaejtő részecske–hullám kettősség már könnyen értelmezhető. Egy fizikai objektum impulzussajátállapotban hullámként, míg koordinátasajátállapotban részecskeként viselkedik. Valamely foton, amikor interferenciára képes, (például diffrakciót szenved, 3.11 fejezet) impulzus-sajátállapotban van, elektronnal ütközve (fotoeffektus, Compton effektus 3.12-3 fejezetek), pedig koordináta-sajátállapotban, ez felel meg a klasszikus részecske elképzelésnek. Teljesen hasonlóan magyarázható a 3.15

fejezetben leírt Jönsson kísérlet, ahol az elektron azért volt képes interferenciára (viselkedett hullámként), mert impulzus-sajátállapotban létezett. 19 Ez azonban a makrovilágban nem bír jelentőséggel, hiszen egy hétköznapi test esetében annak helye és impulzusa egyszerre mérhető (szinte) tetszőleges pontossággal. 62 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI 3.11 ábra A kvantummechanikai szétfolyás 3.37 A kvantummechanikai szétfolyás A szétfolyás jelenségének vizsgálatához vissza kell idéznünk a hullámfüggvényről megismereteket. Mint láttuk, koordináta-sajátállapotban (vagy koordináta-közeli állapotban) lévő objektumok helybizonytalansága kicsi, ehhez pedig nagy impulzusbizonytalanság tartozik („ideges” részecske). Érezhető – és egzakt tárgyalás mellett be is bizonyítható –, hogy ezt a részecskét magára hagyva, helybizonytalansága nőni fog, és ezzel együtt (a határozatlansági reláció folytán)

impulzusbizonytalansága lecsökken. E szerint, ha egy részecskének nagy pontossággal meghatározzuk a helyét, majd teljesen magára hagyjuk, az lassan „elfelejti”, hogy jól lokalizált volt és elkezd „szétterjedni” , „szétfolyni”. Az elnevezés oka a 3.11 ábra alapján nyilvávaló Felvetődhet a kérdés, hogyan is képzelhetjük el a rosszul lokalizált („koordináta-távoli” állapotban lévő) részecskét. A választ nehéz megadni, ugyanis megnézni egy szétfolyt részecskét (ha el is tekintenénk a kis mérettől) még elvileg sem lehet, hiszen a megfigyeléshez szükséges fotonnal megzavarom az állapotát, koordináta-sajátállapotba hozom, így ekkor már nem „produkálja” a megfigyelendő szétfolyást. Talán úgy lehetne azonban elképzelni, mint sok halvány golyót, amelyek abban a térrészben vannak, amelyben a hullámfüggvény nem nulla. Annál halványabbaknak képzelhejük el, minél kisebb értéket vesz ott föl a

hullámfüggvény. El lehet képzelni akár úgy is, mint egy „didergő” golyót, amely a számára megengedett tartományban (Ψ 6= 0) „vacog”, és inkább ott van, ahol a hullámfüggvény értéke nagyobb. Egyik képről sem állíthatjuk azonban, hogy helyes típusú kérdésre adott válasz. Érdekességként megemlítjük, hogy nagyvákuum csövekben egy hosszú időre magára hagyott elektron hullámfüggvénye akár a 0,2 cm-es(!) kiterjedést is elérheti. Hogy miért fontos a jó vákuum? Ha a vákuum nem lenne elég nagy – térfogategységenként túl sok molekula lenne a térben – a részecske túl sűrűn ütközne ezekkel, az ütközéskor pedig természetesen koordinátasajátállapotba kerülne, azaz „ott” lenne, ahol ütköző partnere. Tehát minden egyes ütközés után újra kezdődik a szétfolyás. Ha az ütközéseket kellően ritkává tudjuk tenni, a szétfolyás (atomi skálákhoz képest) gigantikus méreteket érhet el. Kérdésként

vetődhet fel, az is, hogy egy szétterjedt résszel el tudok-e találni egy másik objektumot? Hétköznapi szemléletünk szerint igen, hiszen ha két autót egymással szembe kormányzok, azok biztosan ütközni fognak. A mikrovilágban azonban más a helyzet A szérterjedt részecskének – egy jól lokalizált részecskével – „megcélozhatom” a „közepét”, ahol a legnagyobb a hullámfüggvény, tehát ahol a legnagyobb valószínűséggel tartózkodik. De nem biztos, hogy ott van! Így az is előfordulhat, hogy a másik ütköző részecske egyszerűen „átmegy” rajta. Még érdekesebb és összetettebb a helyzet, ha két rosszul lokalizált részecske „találkozik”. 3.38 A kétréses rázata kísérlet magya- Idézzük emlékezetünkbe a kétréses kísérletet és eredményeit! Ha a kísérletet vízhullámokkal hajtjuk végre, a 3.1, 312 ábrákon látható eredményt kapjuk. Mint várható, ha csak az egyik vagy csak a másik rés van nyitva, az

intenzitás-maximum a nyitott rés mögött alakul ki, attól távolodva az intenzitás csökken. A hullám „árnyéktérbe” való bejutásának az az oka, hogy a hullám képes a diffrakcióra, azaz elhajlásra. Ez nyilvánvalóan csak a hullám tulajdonsága, klasszikus részecske erre nem képes. Ha mindkét rést kinyitjuk, akkor a bonyolultabb interferenciamintázat jön létre, attól függően, hogy a vizsgált pontban a két résből érkező hullámok erősítik vagy gyengítik egymást (3.2 ábra) Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha vízhullámok helyett fénnyel végezzük el a kísérletet. Ekkor detektorként egy fehér felületet, vagy fotolemezt használhatunk Ismét megállapíthatjuk tehát, hogy a hullámok viselkedésének leírására a klasszikus hullámMost már láthatjuk hogy miért nem triviális a tan kitűnően alkalmas, és a tapasztalatokkal egyező mikrovilágban a „Milyen a Hold mikor nem nézem?” eredményt ad. 3.3 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI 63

3.12 ábra Kétréses kísérlet hullámmal 3.13 ábra Kétréses kísérlet klasszikus részecskékkel Ha a kísérletet makroszkopikus részekkel végezzük, az eredmény más lesz, de meg fog egyezni várakozásainkkal. Feynman nyomán képzeljük el az alábbi – kissé bizarr – „kétréses” kísérletet. Vastag betonfalra, amelyen két keskeny nyílás van, gépfegyverrel lövöldözünk. „Detektorként” homokkal teli vödrök sorát használhatjuk, amelyek felfogják a résen átjutott lövedékeket. Kiértékeléskor csak sorban meg kell számolni a vödrökben lévő töltényeket és ebből adódik az „intenzitás-eloszlás”. Ha csak egy lyuk van nyitva, akkor természtesen mögötte lesznek csak becsapodó „részecskék” azaz töltények.20 Ha mindkét rést kinyitjuk és így kezdünk lövöldözni, két intenzitás-csúcsot fogunk kapni a két lyuk mögött, de interferenciatagot nem, hiszen az egyik és a másik lyukon átjutott töltények –

lévén nagy tömegű részecskék – nem képesek interferenciát produkálni, nincs nyoma az interferenciára oly jellemző csúcsoknak és völgyeknek (lásd 3.13 ábra) Mi lesz az erdmény, ha a kísérletet elektronokkal végezzük?21 Ekkor a forrás nem gépfegyver, hanem egy elektronágyú (amilyen a TV képcsövében is van), a detektorok pedig homokosvödrök helyett elektrondetektorok, melyek összeszámolják, hogy az adott pontba hány elektron csapódott be. Fontos, hogy nagy vákuumban hajtsuk végre a kísérletet, ekkor a rések akár milliméteres(!) távolságban is lehetnek egymástól. Ez az atomi méretekhez képest óriási távolság – lásd a 314 ábrát! Ha az elektron részecskeként viselkedik, akkor a résre rálőtt elektronok mindegyikének valamelyik lyukon kell átmennie. Így a fegyveres példa szerinti – interferencia nélküli – eloszlásképet kellene kapnunk. Ha az elektron hullámként viselkedik, akkor – miként a vízhullám –

egyszerre megy át mindkét lyukon, így az intenzitásképben a hullámoknál megszokott interferenciatagok is fellépnek. 20 Némileg a gépfegyvertöltények is behatolnak az árnyéktérbe, ez azonban nem elhajlásjelenség, hanem azzal függ össze, hogy ha a rés szélesebb, mint a töltény, akkor „oldalról” lőve az árnyéktér elérhető. 21 A szakasz részben megismétli a 3.11 és 315 alfejezeteket, ám messzebbre jut Az elektronokkal elvégzett kísérletek eredménye szerint az elektron olyan intenzitás-mintázatot is létre tud hozni, mint a hullámokkal végzett kísérletek. Ebből egyértelműen következik, hogy a fenti kísérletben az elektron hullámként viselkedik. A kísérlet még provokatívabb változatában az elektronágyút olyan ritkán működtetjük, hogy egyszerre csak egy elektron tartózkodhasson a rendszerben. Ezzel elérjük, hogy az elektronok egymással ne interferálhassanak Ezt a kísérletet egymás után sokszor megismételve, szinte

hihetetlen eredményként, ismét az előzővel megegyező, az interferenciára jellemző képet kapunk ! Nem győzzük eléggé hangsúlyozni, hogy ugyan egyszerre csak egy elektron tartózkodik a rendszerben, és az természetesen csak egy becsapódást hoz létre 64 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI 3.15 ábra Kétréses kísérlet elektronnal 3.14 ábra Méretarányok Vajon a foton honnan tud a másik résről? valószínűségi értelmezése adja meg. A kettős rés felé repülő, magára hagyott elektron hullámfüggvénye kiterjed, így az akár milliméteres távolságban lévő réseken is képes hullámjelenséget mutatni. Azonban, mikor elér a detektorokhoz, annak anyagával ütközik. Mint korábban láttuk, ütközéskor az elektron koordináta-sajátállapotba kerül, és így mint részecskét detektálhatjuk bármely detektorban, amelynél Ψ 6= 0, – természetesen Ψ-vel arányos valószínűséggel. valamelyik detektoron, egymás után ezt többször

megismételve, a sok becsapódás hozza létre az interferencia mintázatát. A kísérlet tovább „feszíthető”. Ha a világ sok-sok pontján felépítjük ezt a berendezést, és mindenhol csak egy rálövést hajtunk végre, majd az eredmé3.39 Becsapható-e egy elektron? nyeket összeadjuk, akkor is a fenti végeredményre jutunk! A hullámtermészet furcsa következményeinek újabb példája az „önmagától távol lévő” elektron. A kíTehát az alábbi meghökkentő állítást tehetjük: sérlet végrehajtásához szükséges egy félig áteresztő egy elektron képes önmagával interferálni, ami tükör. Ez egy olyan – megfelelő vastagságban ezüshullámállapotának ékes bizonyítéka tözött – üveglap, mely a ráeső fény intenzitásának Természetesen az elektron-interferencia kísérle- felét átengedi, felét visszaveri. Mivel gondolkodátet csak nagyon-nagy vákuumban lehet végrehaj- sunk „részecske bázisú”, így hasonlatként képzeljük

tani, mivel a rések felé repülő elektronok hul- el a tükröt úgy, hogy 100 rálőtt töltény (foton) kölámfüggvénye csak ekkor tud kellően szétfolyni. zül 50-et átenged, 50-et visszaver Ez azt is jelenti, Nem elég nagy vákuum esetén túl sok az oxigén- hogy egy rálőtt töltényt 50% valószínűséggel ver és nitrogénmolekula, amelyekkel az elektronok üt- vissza, és ugyanennyivel enged át. Ha a foton a közve koordináta-sajátállapotba kerülnek, és mint „klasszikus” kép szerinti kis golyó lenne, akkor ez klasszikus részecskék haladnak át a réspár valame- a kép átvihető lenne a fényre is. De a foton tud lyikén, a „kétcsúcsú” intenzitás-eloszlást hozva lét- másképpen is viselkedni. re. Térjünk vissza a hullámképhez. Mint a kétA kétréses kísérletben az elektron hullámként réses kísérletben is láttuk mindig az az eset érdeviselkedik, tehát kiterjedt objektum A detekto- kes, mikor csak egy, szétterjedt

hullámfüggvényű rok pedig részecskebecsapódásokat érzékelnek. Ho- (koordináta-távoli állapotban lévő) részecskéről van gyan lehet az elektron a detektor számára részecs- szó. Ezt a fotont ráejtve a félig áteresztő tükörke, ha a réseken hullámként haladt át? A magya- re, a hullámfüggvénye két részre hasad, az egyik rázatot a szétfolyás jelensége és a hullámfüggvény az átmenő, a másik a visszaverődő fotont írja le. 65 3.3 A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI Ezek a csúcsok természetesen gyorsan (fénysebességgel) távolodnak egymástól. Képzeljük el, hogy a két részre hasadt hullámfüggvény mindkét részét hagyjuk kiszökni a térbe és várunk fél évet. Ekkor a foton egyszerre két helyen van, „saját magától” fényévnyi távolságra! Ez egy igazán különleges állapot, ugyanis ha a két nyalábot újra egyesítjük, azok interferenciajelenséget produkálnak: a két út hosszkülönbségétől függően fogunk

erősítést illetve gyengítést tapasztalni, ahogyan azt a klasszikus hullámtan leírja. Azonban ez a kísérlet is tovább „élesíthető”. Ha a két útra egy-egy fotondetektort teszek, azok 5050%-os valószínűséggel fognak jelezni! Mint az elektron önmagával való interferenciájával kapcsolatban beláttuk ez nem jelentheti azt, hogy az elektron egyszer ez egyik úton, egyszer a másik úton megy. Ha a fotodetektorok 50%-os valószínűséggel jeleznek, az csak úgy magyarázható, hogy az utazó elektron valahogy előre(?) „kitapogatja” a két pályát, és ha az egyiken detektort „lát”, akkor a másik helyről „eltűnik” az 50%-a, és a detektorba már koordináta-sajátállapotban, „egycsúcsú”, 100%-os hullámfüggvényként esik. A jelenség magyarázata a mai fizika határterületeire vezetne, így eltekintünk tőle, azonban jelezzük, hogy a folyamat során nem „csoda” történik, az elektron nem „csapható be”! 3.310 Alagúteffektus

3.16 ábra Kétréses kísérlet elektronnal Az alagúteffektus során a részecskék legyőzhetnek olyan akadályokat, melyeket a klasszikus felfogás szerint nem lenne szabad. Ha egy részecske E1 energiával rendelkezik, és benne van egy olyan mély potenciálgödörben, melyből való „kiugráshoz” E2 energia szükséges (E2 > E1 ), akkor a klasszikus fizika tanítása szerint ennek a részecskének az idők végtelenségéig ebben kell maradnia. Azonban vannak arra vezető tapasztalati tények, hogy ez nem így van. Visszaemlékezve az α-bomlásra (2.31 fejezet), ott azt tapasztalhattuk, hogy az alfa-részecske annak ellenére ki tud jönni a mag vonó erőteréből, hogy ahhoz nincs elegendő energiája. Szemléletesen ez olyan, mintha a potenciálgáton lévő alagúton jönne ki a magból, csak addig felkapaszkodva, amíg energiájából „futja”. Próbáljuk ezt valamilyen módon megmagyarázni. Ha a részecskét beletesszük egy szűk potenciálgödörbe,

helyének bizonyatlansága lecsökken. Emiatt az impulzus bizonytalansága 66 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI 3.17 ábra Az alagúteffektus megnő, tehát nagyobb valószínűséggel vesz fel akkora – a klasszikusnál jóval nagyobb – értéket, mellyel már el tudja érni a potenciálgödör tetejét. Ha ez a valószínűség már nem elhanyagolható, akkor alagúteffektusról beszélünk. Mint látható egy részecske impulzusbizonytalansága miatt „klasszikus” impulzusánál nagyobb és kisebb impulzusértékeket is felvehet, és az az ingadozás (impulzusbizonytalanság) annál nagyobb, minél kisebb a hely bizonytalansága. A makrovilágban – mint ezt már többször leírtuk – mindez azért nem jelentkezik, mert a Heisenberg-féle relációban szereplő ~ konstans értéke nagyon kicsi. 3.311 Schrödinger macskája, a tudat és a hullámfüggvény A fentiek alapján nem lesz nehéz megérteni Schrödinger híres gondolatkísérletét. Alaphelyzetben adott

egy macska egy lezárt dobozban. A dobozban a macskán kívül van még egy radioaktív anyag és egy beütésszámláló, amely figyeli, hogy bekövetkezik-e bomlás az anyagban. A radioaktív anyag aktivitása akkora, hogy egy perc alatt átlagosan 21 valószínűséggel következik be benne bomlás. Ha a doboz lezárásától kezdődő egy percben bekövetkezik bomlás, akkor egy kis szerkezet eltör egy mérget tartalmazó kapszulát és a macska elpusztul. Amennyiben az adott idő alatt nem következik be bomlás, a macska túléli ezt a kellemetlen kalandot. Ezt az – jobblelkű állatvédőkben garantáltan felháborodást kiváltó – kvantum orosz-rulettet az irodalom az elnéző „Schrödinger macskája” néven tartja számon. A jelenség értelmezéséhez ismerni kell még azt a tényt, hogy semmilyen fizikai módszerrel nem jósolható meg, hogy a radioaktív anyagban bekövetkezik-e bomlás a következő időegységben. (Ez természetesen abból fakad, hogy a

radioaktív bomlást kvantumos törvények vezérlik.) 3.18 ábra Schrödinger macskája – ráadásokkal Tegyük fel, hogy összeállítjuk a kísérletet, betesszük a macskát, lezárjuk a dobozt és kivárjuk az egy percet. Ekkor a macska vagy elpusztult, vagy él, állapota a továbbiakban már nem változik. A doboz kinyitása nélkül mit tudunk mondani a macskáról? Csak annyit, hogy mind az élő, mind az elpusztult állapot valószínűsége 12 . Ebben az esetben kitűnően használható a hullámfüggvény, mint a bizonytalan állapotok leírója. Írjuk fel – persze szimbólikusan22 – a macska hullámfüggvényét: 1 1 |éli + |elpusztulti . 2 2 Tehát a macska „összetett” állapotban van, az élet és a halál szuperponált állapotában, egyszerre él ( 21 valószínűséggel) és halott (szintén 12 valószínűséggel). Azonban a macska a dobozban valószínűleg – bár ennek eldöntésére nincsen mód – nem alakult át egy valamilyen, eddig még nem

látott félig élő– félig halott kombinációvá, az vagy él, vagy elpusztult. Mivel azonban a pusztulását kiváltó esemény (a radioaktiv bomlás) bekövetkezése nem jósolható, így nekünk nincs jogunk a macska állapotáról biztosat állítani, tehát csak a hullámfüggvényes leírásmódot alkalmazhatjuk. Mi történik a macskánk hullámfüggvényével, ha kinyitjuk a dobozt és belenézünk? Természetesen a hullámfüggvény beleesik az élő vagy a halott állapotba. Azaz ha a macska túlélte a kísérletet, akkor Ψ = |éli ha elpusztult, Ψ = |elpusztulti állapotba kerül. Ezek az állpotok már tiszta állapotok Ψ= Mint látható a kvantummechanika eszköz és fogalomkészletével a fenti információhiányos rendszer jól leírható – bármilyen mesterkéltnek tűnik is. A baj a szemléletünkkel van. Hogyan képzeljük el a „összetett” állapotú (egyszerre élő és halott) macskát? Látható, hogy a hullámfüggvény akkor esik 22 A macska

nagyságrendileg 1024 darab atomjának együttes hullámfüggvénye természetesen nehezen lenne fölírható. 67 3.4 TOMPKINS ÚR KALANDJAI A FIZIKÁVAL bele egy „tiszta” állapotba, ha a dobozt kinyitjuk és belenézünk. Hogyan tudja egy ilyen összetett rendszer hullámfüggvényét – ami pusztán egy egyszerű matematikai konstrukció – a megfigyelésünk befolyásolni?23 Mi lenne ha csak kinyitnánk, de nem néznénk bele? Úgy érezzük, hogy a hullámfüggvény szuperponált állapotban maradna. De mi lenne a helyzet, ha egy ló, vagy egy csecsemő nézne bele, aki nem tud a kísérlet céljáról, értelméről és értelmezéséről. Számukra egy élő vagy elpusztult macska nem hordoz információt. Ennek ellenére vajon beesne a hullámfüggvény egy tiszta állapotba? A probléma tovább bonyolítható. Egy, a dobozban ülő megfigyelő folyamatosan tudja követni az eseményeket, az ő számára a macska hullámfüggvénye folyamatosan tiszta állapotban

van. A dobozon kívül figyelők számára azonban a hullámfüggvény szuperponált. Hogyan lehet, hogy ugyanazt a testet leíró hullámfüggvény (tehát az állapot teljes meghatározója) a két megfigyelő számára különböző? Létezhet az, hogy egy macska az egyik megfigyelő számára élő (vagy halott), egy másik számára egyszerre élő és halott? Egyáltalán ellentmondás ez? makroszinten is jelentkezniük kell. Ennek egy megnyilvánulási formája, hogy jelenbeli cselekedeteink hatással bírnak a múltról tett állításainkra, azaz a megfigyelő – ő már tudatos! – jelenléte teszi érzékelhető valósággá a jelent. Így nem okoznak problémát a „különböző macskák”, hiszen mindegyiket más-más megfigyelő jelenléte teszi létezővé, nem kell azonosnak lenniük.24 Hugh Everett egy harmadik megoldást javasolt. Szerinte minden egyes döntés során minden egyes kimenet megvalósul, és így minden egyes mérés (pontosabban minden egyes

kvantumos esemény) során a világ kettő (vagy több) részre ágazik. Így minden megfigyelőhöz találhatunk a világok hihetetlen gazdagságában egy olyat, amely pontosan leírja az ő képét. Egy másik kvantummechanikai iskola szerint a hullámfüggvénynek statisztikus értelmezést kell tulajdonítanunk. Ekkor az egy perc letelte után a macska 50% valószínűséggel él, illetve 50% valószínűséggel pusztult el, de állapota tiszta, azaz a macska hullámfüggvénye vagy Ψ = |éli vagy Ψ = |elpusztulti. A statisztikus értelmezés pedig azt jelenti, hogy 1000 kísérletet elvégezve körülbelül Egyes értelmezések szerint – bár ezek csak 500 túlélő és 500 elpusztult macskánk lesz, amelyek feltételezések –, hogy a megfigyelő tudatával állapotai a dobozok kinyitása nélkül is tiszta állavan kapcsolatban a hullámfüggvény értelmezése– potok – de azokról nem mondhatunk semmit. viselkedése. Annak, aki tud a kísérlet értelméről és

Anélkül, hogy a kérdést megpróbálnánk eldönteúgy figyeli az eseményeket a hullámfüggvény ezek ni, egy Mantaigne idézettel zárjuk a fejezetet: szerint mást jelent, mint a kísérletet néző lónak. A különbséget a megfigyelő és a ló között talán éppen Ha macskámmal játszom, ki mondja meg, vajon a tudatosságban lehet keresni. A valóban súlyos én vagyok-e az ő játékszere s nem ő az enyém? probléma: hogyan lehetnek mások a fizika törvényei egy tudatos (vagy csupán „élő”) megfigyelő és például egy garantáltan nem tudatos (nem élő) elektrondetektor számára. Wigner Jenő szerint a kvantummechanikát leíró egyenletek „elromlanak” a tudatos (vagy „élő”) lények környezetében (hatására). John Wheeler más, de nem kevésbé meghökkentő álláspontot képvisel. Szerinte, mivel a világot kvantumtörvényeknek engedelmeskedő mikrorészecskék alkotják, így a kvantumjelenségeknek 23 Itt természetesen nem arról van

szó, mint a helymeghatározásnál, hogy a megfigyeléshez használt foton befolyásolja a macska hullámfüggvényét, ugyanis az vagy az élő, vagy a halott, de mindenképpen jól meghatározott állapotba kerül. Annak közel nulla a valószínűsége, hogy egy „kósza” foton a hullámfüggvényt pontosan a két konkrét állapot valamelyikébe vigye. 3.4 Tompkins úr kalandjai a fizikával Kvantumbiliárd Egy napon Tompkins úr nagyon fáradtan ment hazafelé a bankban végzett egész napi munkája után, mert aznap bombaüzletet csináltak. Egy kocsma előtt ment el, és úgy gondolta, benéz egy pohár sörre. Egyik pohár jött a másik után, és Tompkins úr nemsokára szédülni kezdett. A kocsma hátsó terme biliárdszoba volt, tele ingujjra vetkőzött férfiakkal, akik a középen levő asztalon játszottak Homályosan úgy emlékezett, hogy már járt itt egyszer, 24 Ennek egy érdekes következménye, hogy a történelemnek (múltnak) nincs jelentése (nem is

létezik), csak olyan formában, ahogy feljegyezzük. 68 amikor egy kollégája elhozta, hogy megtanítsa biliárdozni. Odament az asztalhoz, és nézte a játékot Nagyon furcsa volt! Egy játékos egy golyót tett az asztalra, és meglökte a dákóval. Tompkins úr nézte, ahogy gurul, és egyszer csak észrevette: kezd „szétterjedni”. Csak így tudta kifejezni a golyónak azt a furcsa viselkedését, hogy amint mozgott a zöld felületen, egyre elmosódottabbá vált, és elvesztette éles körvonalait. Olyan volt, mintha nem egy, hanem sok golyó gurulna az asztalon, amelyek részben behatoltak egymásba. Tompkins úr máskor is látott hasonló jelenségeket, de ma egy csepp whiskyt sem ivott, és nem értette, miért lát így. – Nos – gondolta –, nézzük csak, hogyan ütközik ez a nyamvadt golyó egy másikba. Az egyik játékos nyilván mester volt, mert amikor meglökte a golyót, az nekiütközött egy másiknak éppen szemben, ahogy tervezte. Hangos

csattanás hallatszott, és mind a nyugvó, mind az ütköző golyó (Tompkins úr nem tudta határozottan megkülönböztetni, melyik melyik) szétszaladt „minden irányban”. Igen, ez nagyon furcsának tűnt; már nem két, kissé vánszorgó golyó volt, hanem úgy látszott, hogy számtalan, csupa nagyon ködös és nyamvadt golyó szaladgál az eredeti becsapódás irányával 1800 -os szögben. Nagyon hasonlított egy különös, az ütközési pontból kiinduló hullámhoz. Tompkins úr azonban azt is észrevette, hogy az eredeti becsapódás irányában legnagyobb a golyóáradat. – S-hullám szóródás – mondta mögötte egy jól ismert hang, és Tompkins úr felismerte a professzort. – Nos – kiáltott fel Tompkins úr –, talán itt is valami görbület van? Az asztal teljesen síknak lát- 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI szik. – Úgy is van – válaszolta a professzor –, a tér itt teljesen sík, és amit itt megfigyelt az tulajdonképpen

kvantummechanikai jelenség. – Ó, a mátrix – vetette közbe gúnyosan Tompkins úr. – Vagy inkább a mozgás határozatlansága – mondta a professzor. – A biliárdszoba tulajdonosa itt több olyan tárgyat gyűjtött össze, amelyek hogy úgy mondjam „kvantum elefántiázis”-ban szenvednek. Valójában a természetben minden tárgy kvantumtörvényeket követ, de az úgynevezett kvantumállandó, amely ezeket a jelenségeket megszabja, nagyon-nagyon kicsi; számszerű értékében a nulla egész után még huszonhat nulla következik az első számjegy előtt. Ezekre a golyókra azonban ez az állandó sokkal nagyobb – mintegy az egység – és könnyen láthat a saját szemével olyan jelenségeket, amilyeneket a tudománynak is csak nagyon érzékeny és okos megfigyelési módszerekkel sikerült felfedezni. Itt a professzor egy pillanatig elgondolkozott – Nem akarom bírálni – folytatta –, de szeretném tudni, honnan szerezte ez az ember a golyókat.

Szigorúan véve nem is létezhetnének világunkban, minthogy ott a kvantumállandónak minden tárgyra ugyanaz az értéke. – Talán valami más világból importálta – javasolta Tompkins úr, de a professzort ez nem elégítette ki, és tovább gyanakodott. – Észrevette – folytatta –, hogy a golyók „szétterjedtek”! Ez azt jelenti, hogy helyük az asztalon nincs teljesen meghatározva Nem lehet pontosan megadni egy golyó helyét; legfeljebb azt lehet mondani, hogy a golyó legnagyobb részben ”legtöbbször itt” van, de „részben valahol másutt”. – Ez nagyon szokatlan – mormogta Tompkins úr. – Épp ellenkezőleg – erősítgette a professzor. – Teljesen megszokott abban az értelemben, hogy mindig ez történik bármely anyagi testtel. Csakhogy a kvantumállandó kicsi értéke és a mindennapi megfigyelési módszerek durvasága miatt az emberek nem veszik észre ezt a határozatlanságot. Arra a téves következtetésre jutnak, hogy a hely és

a sebesség mindig határozott mennyiségek Tulajdonképpen mindkettő mindig bizonyos mértékig határozatlan, és minél határozottabb az egyik, annál szétterjedtebb a másik A kvantumállandó kormányozza a két határozatlanság közötti kapcsolatot. Ide nézzen, most ezt a golyót egy fa háromszög belsejébe teszem, és ezáltal a helyének határozott korlátokat szabok. Mihelyt a golyót a rekeszbe helyezte, a háromszög 69 3.4 TOMPKINS ÚR KALANDJAI A FIZIKÁVAL egész belsejét betöltötte az elefántcsont csillogása. – Látja? – mondta a professzor. – Meghatároztam a golyó helyét a háromszög méretein belül, vagyis néhány centiméter mértékéig. Emiatt a sebesség igen határozatlanná válik, és a golyó sebesen mozog a határon belül. – Nem tudná megállítani? – kérdezte Tompkins úr. – Nem, ez fizikailag lehetetlen. Egy határolt térben minden testnek bizonyos mozgása van – mi fizikusok ezt nullapont-mozgásnak nevezzük

Ilyen például az elektronok mozgása az atomban Míg Tompkins úr leste, hogyan ütődik ide-oda a golyó a rekeszében, mint egy tigris a ketrecében, valami egészen szokatlan dolog történt. A golyó „átszivárgott” a háromszög falán, és a következő pillanatban az asztal egyik távoli sarka felé gurult Az volt a különös, hogy valójában nem ugrotta át a falat, csak átment rajta, fel sem emelkedve az asztalról. – Nos, itt van – mondta Tompkins úr. – Az ön „nullapont-mozgás”-a elszaladt. Megfelel ez a szabályoknak? – Természetesen megfelel – mondta a professzor, tulajdonképpen ez az egyik legérdekesebb következménye a kvantumelméletnek. Nem lehet valamit egy rekesz belsejében tartani, ha elegendő energiája van ahhoz, hogy a fal átlépése után távozhasson. Előbb vagy utóbb a tárgy „átszivárog” és elmegy. Akkor soha többé nem megyek az állatkertbe – mondta Tompkins úr határozottan, és élénk fantáziája félelmetes

képet rajzolt arról, hogyan „szivárognak át” ketreceik falán az oroszlánok és a tigrisek. Majd gondolatai más irányba tértek: arra gondolt, hogy egy garázsban megfelelően lezárt kocsi is átszivároghat a garázs falán, mint egy jó öreg középkori kísértet. – Meddig várjak – kérdezte a professzortól –, míg egy olyan kocsi, amely nem az itteni holmiból készült, hanem közönséges acélból, átszivárog mondjuk egy téglagarázs falán? Úgy szeretném látni ezt! Gyors fejszámolás után a professzor készen állt a feleletre: - Körülbelül 1000000000. 000000 évig kell várnia. Bár a bankszámláknál Tompkins úr megszokta a nagy számokat, most elfelejtette, hány nullát mondott a professzor – mindenesetre elég sokat ahhoz, hogy ne aggódjék kocsijának megszökése miatt. – Tegyük fel, hogy elhiszem mindazt, amit mondott. Azt azonban nem értem, hogyan lehet ilyen dolgokat megfigyelni, feltéve, hogy nincsenek ilyen golyóink. –

Okos megjegyzés – bólintott a professzor. – Természetesen nem úgy gondolom, hogy kvantumjelenségeket meg lehet figyelni olyan nagy tárgyaknál, amilyenekkel általában kapcsolatba kerülünk. Ha azonban a kvantumtörvények olyan rendkívül kicsi tárgyakra vonatkoznak, mint az atomok vagy elektronok, hatásuk sokkal észrevehetőbbé válik. Ezekre a részecskékre a kvantumhatások olyan nagyok, hogy a mindennapok mechanikáját nem is lehet alkalmazni rájuk. Két atom ütközése ugyanolyan, mint az imént megfigyelt két golyóé. Az elektronok mozgása egy atomon belül nagyon hasonlít azoknak a biliárdgolyóknak a „nullapont-mozgás”-ához, amelyeket a fa háromszögbe helyeztem. – És az atomok gyakran szöknek ki a garázsból? – kérdezte Tompkins úr. – Igen, gyakran. Ön nyilván hallott radioaktív anyagokról, amelyeknek atomjai spontán elbomlanak, miközben nagyon gyors részecskéket bocsátanak ki. Az ilyen atom, jobban mondva annak legbelső

része, amelyet atommagnak hívunk, hasonlít egy garázshoz, amelyben a bent levő kocsiknak a többi részecske felel meg. És azok bizony kiszöknek, átszivárognak ennek az atommagnak a falain – néha még egy másodpercre sem maradnak belül. Ezekben az atomokban a kvantumjelenségek teljesen megszokottak. Tompkins úr nagyon fáradtnak érezte magát e hosszú beszélgetés után, és szórakozottan nézett körül. Figyelmét megragadta egy hatalmas nagypapa óra, amely a szoba sarkában állt. A hosszú, régi divatú inga lassan lengett ide-oda. Kvantumőserdő Másnap reggel Tompkins úr az ágyában szendergett, amikor megérezte, hogy valaki van a szobájában. Körülnézve látta, hogy öreg barátja, a professzor ül a karosszékben, és elmerülten tanulmányozza a térdére kiterített térképet. – Jön velem? – kérdezte a professzor felemelve a fejét. – Hova mennék? – mondta Tompkins úr, azon tűnődve, vajon hogyan juthattott a professzor a

szobájába. – Megnézni az elefántokat és a többi állatot a kvantumőserdőben. A múltkoriban meglátogatott biliárdterem tulajdonosa mesélt nekem titokban arról a helyről, ahonnan a biliárdgolyókhoz az elefántcsontot szerzi. Látja ezt a tájat, amelyet piros ceruzával jelöltem meg a térképen? Úgy látszik, ott minden a kvantumtörvényeknek van alávetve, és a kvantumállandó nagyon nagy. A bennszülöttek azt 70 hiszik, hogy az országnak ezt a részét ördögök népesítik be, és attól tartok, alig lehet majd vezetőt találnunk. De ha velem akar jönni, akkor siessen A hajó egy órán belül indul, és még útközben fel kell vennünk Sir Richardot – Ki az a Sir Richard? – kérdezte Tompkins úr. – Hát még nem hallott róla? A professzor szemmel láthatóan meg volt lepve. – Híres tigrisvadász; elhatározta, velünk jön, mert érdekes vadászatot helyeztem kilátásba. Éppen idejében érkeztek a dokkokhoz, látták, amint egy sor

hosszú dobozt beraktak a hajóba. Ezek Sir Richard puskáit és azokat a speciális ólomgolyókat tartalmazták, amelyeket a professzor kapott a kvantumőserdő közelében levő ólombányákból. Míg Tompkins úr a poggyászát rendezgette a kabinjában, a hajó állandó rezgéséből megtudta, hogy elindultak. A tengeri úton nem volt semmi különösebben érdekes, és Tompkins úr úgyszólván észre sem vette, hogy eltelt az idő, és egy elragadó keleti városban kötöttek ki, a titokzatos kvantumőserdőhöz legközelebb lévő lakott helyen. – Most pedig - mondta a professzor – egy elefántot kell vennünk, hogy az ország belsejébe mehessünk. Miután nem hiszem, hogy egyetlenegy bennszülött is hajlandó lenne minket elkísérni, magunknak kell hajtani az elefántot, és önnek, kedves Tompkinsom, meg kell tanulnia ezt a mesterséget Én tudományos megfigyeléseimmel leszek elfoglalva, Sir Richard pedig a fegyvereket kezeli. Tompkins úr kétségbe volt esve,

amikor a városon kívüli vásáréren meglátta azokat a hatalmas állatokat, amelyek közül valamelyiket majd neki kell vezetni. Sir Richard, aki elefántszakértő volt, kiválasztott egy szép nagy állatot, és megkérdezte a tulajdonostól, mi az ára. – Hrup Hanvek’o hobot hum. Hagori ho, haraham oh hohohohi – mondta a bennszülött, miközben ragyogó fogsorát villogtatta. – Rengeteg pénzt kér érte – fordította Sir Richard -, de azt mondja, hogy ez kvantumőserdőből való elefánt, és ezét kerül többe. Megvegyük? – Feltétlenül – magyarázta a professzor. – A hajón hallottam, néha az elefántok kijönnek a kvantumőserdőből, és a bennszülöttek elfogják őket Ezek jobbak, mint a másvidékről való elefántok, és a mi esetünkben egyenesen előnyös lesz, ha ez az állat majd otthon érzi magát az őserdőben. Tompkins úr minden oldalról megvizsgálta az elefántot; szép nagy állat volt, de semmiben sem különbözön a magatartása

azokétól, amelyeket az állatkertben látott. A professzorhoz fordult: 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI – Ön azt mondta, hogy ez kvantumelefánt, pedig ugyanolyannak látom, mint a rendes elefántot, nem is viselkedik olyan furcsán, mint valamelyik rokonának az agyarából készült biliárdgolyó. Ez miért nem terjed szét minden irányban? – De nagyon lassan érti meg a dolgokat! – válaszolta a professzor. – A nagy tömege miatt van így Már régebben mondtam önnek, hogy a helyzet és a sebesség határozatlansága a tömegtől függ; minél nagyobb a tömeg, annál kisebb a határozatlanság. Ezért nem lehet megfigyelni a kvantum- törvényeket a közönséges világban még az olyan könnyű testeknél sem, mint egy porszem. Nos, a kvantumőserdőben a kvantumállandó nagyon nagy, de nem elég ahhoz, hogy ilyen súlyos állat, mint az elefánt, viselkedésében feltűnő hatást váltson ki Egy kvantumelefánt helyzetének határozatlanságát csak akkor

lehet észrevenni, ha közelről megvizsgáljuk a körvonalait. Talán észrevette, hogy a bőre felszíne nem egészen határozott, és mintha kissé borzasnak látszana. Az idő folyamán ez a határozatlanság nagyon lassan nő, és azt hiszem, innen ered az a bennszülött legenda, hogy a kvantumőserdő nagyon öreg elefántjainak hosszú bundájuk van. De remélem, hogy a kisebb állatok mind nagyon jelentős kvantumhatásokat mutatnak majd. – Milyen kedves – gondolta Tompkins úr –, hogy nem lóháton megyünk erre az expedícióra. Ha úgy mennénk, valószínűleg sohasem tudnám meg, hogy a térdeim között van-e a ló vagy a következő völgyben. Miután a professzor és Sir Richard a puskáival fölmászott az elefánt hátára erősített kosárba, és Tompkins úr elefántvezetői új minőségében helyet foglalt az elefánt nyakán, egyik kezében szorongatva a szöges végű botot, elindultak a titokzatos őserdő felé. A városi emberek azt mondták neki,

hogy mintegy egy órába telik, amíg odaérnek, és Tompkins úr, miközben egyensúlyozni próbált az elefánt fülei között, elhatározta, hogy kihasználja az időt, és a professzortól tovább tanul a kvantumjelenségekről. – Legyen szíves, mondja meg nekem – fordult a professzorhoz –, miért viselkednek a kis tömegű testek ilyen furcsán, és mi a mindennapi jelentése annak a kvantumállandónak, amelyet ön állandóan emleget? – Ó, nem is olyan nehéz megérteni. A tárgyaknak az a furcsa viselkedése, amelyet a kvantumvilágban tapasztalni lehet, pusztán annak a ténynek a következménye, hogy ön nézi őket. – Olyan félénkek? – mosolygott Tompkins úr. 3.4 TOMPKINS ÚR KALANDJAI A FIZIKÁVAL – Félénk? Ez nem megfelelő szó – mondta a professzor ridegen. – A lényeg azonban az, hogy miközben ön megfigyeli a mozgását, szükségképpen zavarja is azt Tulajdonképpen amikor valamit megtudunk egy test mozgásáról, ez azt jelenti, hogy

a mozgó test hat érzékszerveinkre, vagy arra az eszközre, amivel észleljük. A hatás és ellenhatás egyenlőségéből arra kell következtetnünk, hogy mérőeszközünk is hatott a testre, és úgyszólván „elrontotta” annak a mozgását, határozatlanságot vitt be a helyzetébe és a sebességébe. – Nos – mondta Tompkins úr –, ha megérintettem volna az ujjammal azt a biliárdgolyót a biliárdteremben, nyilván megzavartam volna a mozgását. De csak ránéztem; már ez is zavarja? – Persze, hogy zavarja. Sötétben nem látja a golyót, de ha fényt gyújt, a golyóról visszaverődő fénysugarak, amelyek láthatóvá teszik, hatnak a golyóra – ezt fénynyomásnak nevezzük –, és „elrontják a mozgását”. – És ha nagyon finom, érzékeny eszközöket használok, nem tehetem eszközeim hatását a mozgó testre oly kicsivé, hogy elhanyagolható legyen? – Így gondolták a klasszikus fizikában, mielőtt felfedezték a kvantumhalást. E

század elején azonban világossá vált, hogy valamely tárgyra gyakorolt hatást nem lehet bizonyos korlát alá csökkenteni, ezt a korlátot nevezzük kvantumállandónak, és általában h-val jelöljük. A rendes világban a hatáskvantum nagyon kicsi; szokásos egységekben a tizedesvessző után huszonhat nulla áll az első más számjegy előtt, és csak olyan könnyű részecskéknél fontos, mint az elektronok, mert ezekre nagyon kicsi tömegük miatt nagyon kicsi hatások is befolyással vannak. A kvantumőserdőben, amelyhez most közeledünk, a kvantumhatás nagyon nagy Durva világ ez, ahol szelíd működés nem lehetséges. Ha valaki ilyen világban meg akar simogatni egy kismacskát, az vagy nem érez semmit, vagy ez első cirógatási kvantumtól eltörik a nyaka. – Mindezt értem – mondta Tompkins úr elgondolkozva –, de ha senki sem nézi őket, akkor a tárgyak megfelelően viselkednek, úgy értem, ahogyan gondolkodásunkban megszoktuk? – Ha senki sem

nézi – mondta a professzor –, senki sem tudhatja, hogyan viselkednek, és így az ön kérdésének fizikailag nincs értelme. – Jó, jó – kiáltott Tompkins úr –, ez nekem már filozófiának tűnik! – Nevezheti filozófiának, ha akarja – a professzor láthatóan megsértődött –, de valóban ez a modern fizika alapvető elve. A modern fizikus számára csak 71 az úgynevezett „megfigyelhető” (vagyis elvileg megfigyelhető) tulajdonságoknak van jelentősége, és az egész modern fizika azok kölcsönös összefüggésein alapszik. Az olyan dolgok, amelyeket nem lehet megfigyelni, azok puszta időtöltésre valók- semmiféle megszorítás nem korlátozza azok kitalálását, nem lehet ellenőrizni létezésüket vagy alkalmazni őket. Mondhatnám. Ebben a pillanatban szörnyű ordítás rázta meg a levegőt, és elefántjuk akkorát ugrott, hogy Tompkins úr majdnem leesett róla. Egy nagy tigriscsorda támadta meg ez elefántot, egyidejűleg

ráugráltak minden oldalról Sir Richard megragadta a puskáját, a hozzá legközelebb levő tigris szeme közé célzott és meghúzta a ravaszt. A következő pillanatban Tompkins úr hallotta, amint társa a vadászok között szokásos borsos kifejezést mormogta; átlőtte a tigris fejét anélkül, hogy az állatnak bánni baja történt volna. – Lőjön még! – kiáltotta a professzor. – Szétszórtan tüzeljen körös-körül, és ne törődjön a pontos célzással! Csak egy tigris van, az szóródik szét az elefántunk körül, és egyetlen reményünk, hogy megtaláljuk a Hamilton- kifejezést. A profeszszor 72 megragadott egy másik puskát, és a lövöldözés zaja keveredett a kvantumtigtis üvöltésével. Tompkins úr úgy érezte, egy örökkévalóságig tartott, míg vége lett mindennek. Az egyik lövedék „talált”, és nagy bámulatára a tigris hirtelen tigrissé vált, nagyot ugrott, holt teteme ívet írt le a levegőben, és valahol a messzi

pálmaerdő mögött ért földet. – Ki az a Hamilton – kérdezte Tompkins úr, miután a helyzet nyugodtabbá vált. – Talán valami híres vadász, őt akarta feltámasztani a sírjából, hogy segítsen nekünk? – Ó – mondta a professzor – bocsánat. A csata hevében tudományos nyelvet kezdtem használni – pedig ezt önök nem értik. A „Hamilton” -kifejezés egy matematikai képlet, amely a két test közötti kvantumkölcsönhatást írja le. Hamilton ír matematikusról nevezték el, aki elsőként alkalmazta ezt a matematikai formulát. Csak azt akartam mondani, hogy amikor több kvantumlövedéket lövünk ki, növeljük a lövedék és a tigris teste közötti kölcsönhatás valószínűségét. Amint látja, a kvantumvilágban nem lehet pontosan célozni, és az ember sohasem biztos a találatban. A lövedék és a cél szétterjedtsége következtében a találat eshetősége mindig csak véges, de sohasem bizonyos. A mi esetünkben legalább harminc

lövedéket lőttünk ki, míg valóban eltaláltuk a tigrist; akkor a lövedék hatása a tigrisre olyan heves volt, hogy messze elhajította a testet. Ugyanez történik otthon a mi világunkban is, csak kisebb méretékben. Amint már említettem, a rendes világban olyan kicsi részecskéket kell tanulmányoznunk, mint az elektronok, hogy valamit észrevegyünk ebből a hatásból Talán hallott már arról, hogy minden atom viszonylag nehéz magból és körülötte keringő nagyszámú elektronból áll. Eleinte úgy gondolták, hogy az elektronok úgy mozognak a mag körül, mint a bolygók a Nap körül. A mélyebb elemzés azonban megmutatta, hogy a mozgásra vonatkozó fogalmak túl durvák egy olyan miniatűr rendszer esetében, amilyen az atom Az atom belsejében fontos szerepet játszó hatások ugyanolyan nagyságrendűek, mint az elemi hatáskvantum, és ezért az egész kép erősen szétterjedt. Az elektronok mozgása az atommag körül sok tekintetben hasonló a

tigris mozgásához, amely látszólag mindenütt ott van az elefánt körül. – És lövöldöz valaki az elektronra úgy, mint mi a tigrisre? – kérdezte Tompkins úr. – Igen, persze, maga az atommag néha nagyenergiájú fénykvantumokat vagyis elemi fényhatásegységeket bocsát ki. Az atomon kívülről is lehet lövöldözni az elektronokra úgy, hogy fénysugárral vilá- 3. FEJEZET A KVANTUMMECHANIKA ELEMEI gitjuk meg. És mindez éppúgy megy végbe, mint ahogy a mi tigrisünkkel történt: sok fénykvantum járja át az elektronok terét anélkül, hogy érintené azokat, míg végre egyikük hat az elektronra, és kidobja az atomból. A kvantumrendszert nem lehet mérsékelten érinteni; vagy egyáltalán nem vált ki hatást, vagy nagy változást idéz elő. – Éppen úgy, mint ahogy a szegény kiscicát sem lehet megsimogatni a kvantumvilágban, mert mindjárt meg is öljük – vonta le a következtetést Tompkins úr. – Nézze, gazellák, és mennyi! -

kiáltott Sir Richard, és már vette is a puskáját. Valóban egy nagy gazellanyáj bukkant elő a pálmaerdőből. – Idomított gazellák – gondolta Tompkins úr. – Szabályos formációban rohannak, mint a katonák a díszszemlén. Talán ez is valami kvantumhatás? A gazellák csoportja, amely elefántjukhoz közeledett, sebesen mozgott, és Sir Richard már lövésre készen állt, amikor a professzor megállította. – Ne pazarolja a lövedékeit – mondta. – Nagyon kicsi az esély arra, hogy eltalálunk egy állatot, amikor diffrakciós alakzatban mozog. – Hogyhogy egy állat? – kiáltott fel Sir Richard. – Hiszen több tucat van belőlük! – Dehogy! Csak egy kis gazella ijedt meg valamitől, és ide-oda rohangászik. Minden test „elmosódottsága” a rendes fényhez hasonló tulajdonságot mutat. Amikor szabályosan elhelyezkedő réseken halad át, például az egyes pálmafatörzsek között, fellép a diffrakció jelensége, amiről már bizonyára

hallott az iskolában. Ezért beszélünk az anyag hullámtermészetéről De sem Sir Richard, sem Tompkins úr nem értette, mit jelent ez a titokzatos szó: „diffrakció”, és a beszélgetés itt abbamaradt. Miközben továbbhaladtak kvantumországban, utasaink egész sor érdekes jelenséggel találkoztak, mint például kvantummoszkitókkal, amelyeket egyáltalán nem lehetett lokalizálni kis tömegük miatt, és néhány mulatságos kvantum majommal. Majd olyan valamihez közeledtek, ami nagyon hasonlított egy bennszülött faluhoz. – Nem is tudtam – mondta a professzor –, hogy ezen a tájon emberi település van. A zajból ítélve úgy vélem, valami ünnepségre készülnek. Hallgassák csak a szüntelen harangzúgást! Nagyon nehéz volt megkülönböztetni az egyes bennszülöttek alakját, akik nyilvánvalóan valami vad táncot jártak a nagy tűz körül. A tömegből minduntalan barna kezek nyúltak ki, mindenféle harangot tartva. Amint közelebb mentek, a

kunyhók, a környező nagy fák, minden kezdeti szétfolyni, és a TÁRGYMUTATÓ harangzúgás elviselhetetlenné vált Tompkins úr fülének. Kinyújtotta a kezét, megfogott valamit, és eldobta. Az ébresztőóra hozzáütközött az éjjeliszekrényen álló pohár vízhez, és a hideg vízáram magához térítette Felugrott, és gyorsan öltözni kezdett Fél óra múlva a bankban kell lennie. 73 A. függelék A fontosabb fizikai állandók A.1 Az SI alapértékei és alapegységei Alapérték Hosszúság Idő Tömeg Elektromos áramerősség Hőmérséklet Anyagmennyiség Fényerősség Alapegység neve jelölése méter m szekundum s kilogramm kg amper A Kelvin K mól mol kandela cd A.2 Az SI prefixumai szorzó 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 prefixum exa peta tera giga mega kilo hekto deka deci centi milli mikro nano piko femto atto 75 jele E P T G M k h da d c m µ n p f a 76 A. FÜGGELÉK A

FONTOSABB FIZIKAI ÁLLANDÓK A.3 A fontosabb fizikai állandók Alapállandó Fénysebesség vákuumban Mágneses mezőállandó Elektromos mezőállandó Gravitációs állandó Planck-féle hatáskvantum h/2π Elemi töltés Az elektron nyugalmi tömege A proton nyugalmi tömege A neutron nyugami tömege Avogadro-állandó Atomi tömegegység Egyetemes gázállandó Képlet (jelölés) c µ0 0 = µ01c2 G h ~ e me mp mn NA u R Számérték Egység 299 792 458 4π · 10−7 8, 854 187 · 10−12 6, 672 59 · 10−11 6, 626 075 · 10−34 1, 054 572 · 10−34 1, 602 177 · 10−19 9, 108 389 · 10−31 1, 672 623 · 10−27 1, 674 928 · 10−27 6, 022 136 · 1023 1, 660 540 · 10−27 8,314 510 ms−1 Hm−1 F m−1 m3 kg −1 s2 Js Js C kg kg kg 1 kg Jmol−1 K −1 A bizonytalan jegyeket nem tüntettük fel. Definíció szerinti, így nincs bizonytalansága az első három adatnak Forrás: Cohen, E. R és Taylor, B N: A fizikai alapállandók 1986 évi módosítása CODATA

bulletin No 63, 1986 november Az SI rendszeren kívüli, de az atomfizikában használható mértékegységek még: Ångström, Å; 1Å = 10−10 m elektronvolt, eV; 1eV = 1, 602 · 10−19 J mega-elektronvolt, MeV; 1MeV = 1, 602 · 10−13 J B. függelék Ajánlott irodalom • Stephen W. Hawking: Az idő rövid története, Maecenas, 1993, [Hawking] • John D. Barrow: A világegyetem születése, Kulturtrade, 1994, [Barrow] • Paul Davies: Isten gondolatai, Kulturtrade, 1995 • Stephen W. Hawking: Einstein álma, Vince Kiadó, 1999 • Albert Einstein: A speciális és általános relativitás elmélete, Gondolat, 1967 • Werner Heisenberg: A rész és az egész, Gondolat, 1978 • George Gamow: Tompkins úr kalandjai a fizikával, Gondolat, 1976 • G. Gamow, J M Cleveland: Fizika, Gondolat, 1973, [Gamow] • S. Hawking, R Penrose: A tér és az idő természete (The Nature of Space and Time), Princeton, 1995 • Roger Penrose: A császár új elméje, Akadémiai Kiadó,

1993, [Penrose] • Károlyházi Frigyes: Igaz varázslat, Gondolat, 1976, [Károlyházi] • John D. Barrow: A fizika világképe, Akadémiai Kiadó, 1994 • Kiss D., Horválth Á, Kiss Á: Kísérleti atomfizika, ELTE Kiadó, 1998, [KA] • Marx György: Atommag-közelben, Mozaik, 1996, [Marx] • Kip S. Thorne: Black Holes and Time Warps, WW Norton, 1994 • Albert Einstein: Hogyan látom a világot, Gladiátor Kiadó, 1998 • Kulin György: A távcső világa, Gondolat, 1975 • Carl Sagan: Cosmos, Random House, 1980 • Roger Penrose: The Large, the Small and the Human Mind, Cambridge, 1997 • John Gribbin: Schrödinger macskája, Akkord Kiadó, 2001, [Gribbin] • E. Szabó László: A nyitott jövő problémája, TypoTEX, 2002 • Köteles György (szerk): Sugáregészségtan, Medicina, 2002. A felhasznált ábrák forrása: 1.2[Gamow, 328], 13[Hawking, 32], 14[Gamow, 358], 15[Hawking, 36], 16[Hawking, 39], 17[Hawking, 36], 1.8[Barrow, 70], 19[Hawking, 37], 21[Gamow, 392], 22

Bodonyi-dr Pitter: Kémiai összefoglaló, Műszaki Könyvkiadó, 1993, 38.old, 25[Marx, 36], 26[KA, 187], 212[Gamow, 508], 213[Marx, 155], 214[Marx, 217], 215[Marx, 210], 32[Penrose, 261], 33 Gombás Pál: Fizika mérnökök számára, Akadémiai Kiadó, 1971, 464.old, 35[Penrose, 255], 36[Gamow, 444], 37[Károlyházi, 80], 3.8[Károlyházi, 80], 39[Károlyházi, 91], 310[Károlyházi, 93], 311[Károlyházi, 93], 312[Gribbin, 157], 313[Gribbin, 157], 3.14[Penrose, 260], 315[Gribbin, 157], 317[Penrose, 319] Typeset by LATEX 77