Matematika | Felsőoktatás » Kocsis Orsolya - Felújítási folyamatok

http://www.doksihu FELÚJÍTÁSI FOLYAMATOK Szakdolgozat Írta: Kocsis Orsolya Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Móri Tamás, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Alapvető fogalmak és összefüggések 4 3. A felújítási tétel 9 3.1 Felújítási egyenletek 10 3.2 Elemi felújítási tétel 14 3.3 Kicserélési modellek (Kor-és blokkcsere eljárás) . 16 3.4 A felújítási tétel 18 4. A felújítási tétel alkalmazásai 21 4.1 Alternáló felújítási folyamatok 21 4.2 Korfüggő elágazó folyamatok 26 5. Kumulatív folyamatok 30 1 http://www.doksihu 1. fejezet Bevezetés A felújításelmélet az alkalmazott

valószínűségszámítás, azon belül is a sztochasztikus folyamatok elméletének fontos része. Olyan sztochasztikus rendszerek vizsgálatával foglalkozik, melyek időbeni fejlődését felújítások szakítják meg, azaz olyan időpontok, melyekben a folyamat újrakezdődik, megújul. Az elmélet hatékonysága is ebből a folyamatos megújulásból ered Az eredmények széles körben alkalmazhatóak mind az elméletben, mind pedig a gyakorlatban. Dolgozatomban meg szeretném mutatni mindennapi életből vett példákon keresztül, hogy ez nem csak egy szép elmélet, de a gyakorlatban is nagy jelentőséggel bír. Talán a legegyszerűbb példa felújítási folyamatra, amellyel vélhetőleg már mindenki találkozott, az a villanykörték egymás utáni cseréje. Tegyük fel, hogy egy villanykörtét a 0 pillanatban helyeznek üzembe. Valamilyen X1 ideig jó, aztán kiég Miután elromlott, azonnal kicserélik egy újra, melynek élettartamát jelölje az X2 valószínűségi

változó. Ha ez is elromlik, akkor kicserélik egy harmadikra. Ezt az eljárást általánosítva azt kapjuk, hogy n X az n-edik körtét a Xi időpontban kell kicserélni. Mint látni fogjuk később, felújítási i=1 folyamaton pl. ebben az esetben egy t időpontig bekövetkeztt villanykörték cseréjének a számát fogjuk érteni, vagy pedig azt, hogy mennyi idő telt el az n-edik villanykörte kicseréléséig. Ebben az egyszerű példában megfigyelésünket akkor kezdtük, amikor üzembe helyeztünk egy villanykörtét. Kezdhettük volna azonban egy villanykörte üzemelése közben is. Ekkor egy általánosabb folyamatot kapnánk Munkámban csak a nullára koncentrált felújítási folyamatokról lesz szó, vagyis amikor a megfigyelésünket az üzembe helyezés pillanatában kezdjük. Megemlítjük azonban, hogy 2 http://www.doksihu vannak ennél általánosabbak is, amikor a folyamat már tart a megfigyelés kezdeti időpontjában. Ebben az esetben, ha X0 -val

jelöljük az első élettartamot(tehát X0 kezdetekor már tart a folyamat, csak a megfigyelésünket kezdjük X0 kezdetekor), akkor az X0 valószínűségi változó ugyan független az összes többitől, de nem azonos eloszlású velük. Így egy általánosabb felújítási folyamatot kapunk 3 http://www.doksihu 2. fejezet Alapvető fogalmak és összefüggések Dolgozatom ezen részében meg szeretném ismertetni az olvasót a felújításelmélet néhány alpvető fogalmával és összefüggésével, melyekre építkezünk majd a továbbiak során. A fejezet logikai felépítésében leginkább a [2] és [5] művet vettem alapul. Először is vegyünk egy [0, t] intervallumot és Xk (k = 1, . , ∞) valószínűségi változók sorozatát, melyek nem negatívak, nem azonosan nullák, függetlenek és azonos eloszlásúak. Ezek az Xk -k fogják jelenteni a két egymás utáni felújítás közötti időtartamot. Vagyis Xk a (k − 1)-edik felújítástól a k-adik

felújításig eltelt idő. Az Xk valószínűségi változókat élettartamoknak nevezzük. Tekintsük az Sn = X1 + X2 + · · · + Xn , n ≥ 1 (S0 = 0) valószínűségi változót, melyet az n-edik felújítás bekövetkezéséhez szükséges várakozási időnek, vagy n-edik felújítási pontnak nevezünk. Nyilván a t időpontig bekövetkezett felújítások száma egyenlő n legnagyobb olyan értékével, melyre az n-edik felújítás még t előtt, vagy éppen pont a t-edik időpontban következik be. Ezt a legnagyobb n értéket jelöljük N (t)-vel. Azt kaptuk tehát, hogy N (t) = sup {n : Sn ≤ t}. (2.1) 2.1 Definíció Az {N (t), t ≥ 0} nemnegatív egész értékű sztochasztikus folyamatot felújítási folyamatnak nevezzük. 2.2 Megjegyzés A gyakorlatban az {Sn , n ≥ 0} részletösszegsorozatot is felújítási folyamatnak nevezik 4 http://www.doksihu A következő ábrán jól látszik, hogy hogyan is kell elképzelnünk ezeket a fogalmakat. 2.1 ábra Az N

(t) felújítási folyamat és az Xk élettartamok kapcsolata Legyenek {Xk }∞ k=1 az egymás utáni felújítások közötti idők, F (x) = P (Xk ≤ x), k = 1, 2, 3, . pedig legyen az Xk valószínűségi változók közös eloszlásfüggvénye. Fk (t) = P (Sk ≤ t), k = 1, 2, 3, . pedig legyen az Sk valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Most nézzünk néhány összefüggést ezekre a fogalmakra. A (21) összefüggésből adódik, hogy N (t) ≥ k ⇔ Sk ≤ t. Hiszen ha legalább k felújítás történik t-ig, akkor nyilván a k időpontja nem haladhatja meg t-t. Ebből következik, hogy P (N (t) ≥ k) = P (Sk ≤ t) = Fk (t), t ≥ 0, k = 1, 2, . , így P (N (t) = k) = P (N (t) ≥ k) − P (N (t) ≥ k + 1) = Fk (t) − Fk+1 (t), t ≥ 0, k = 1, 2, . , mivel akkor történik pontosan k felújítás, ha van legalább k, de több nincs. Ebben az esetben az Sk összeg valószínűségeloszlását a konvolúciós formula szerint lehet kiszámolni: Z Z Fk (x)

= Fk−1 (x − y)dF (y) = Fk−1 (x − y)dF (y). [0,∞) [0,x] Az F1 (x) = F (x) értéket ismertnek tételezzük fel. Vezessük be az M (t) = E(N (t)) várható értéket, amelyet felújítási függvénynek nevezünk. Megmutatjuk ezen várható érték két fontos tulajdonságát. 5 http://www.doksihu 2.3 Állítás M (t) = ∞ X Fk (t) (2.2) k=1 Bizonyítás: Legyen ( Ik = Ekkor N (t) = = ∞ X k=1 ∞ X 1, ha a k−adik felújítás ideje [0, t]−be esik 0, különben. Ik , N (t) definíciója miatt. Így E(N (t)) = E k=1 P (Ik = 1) = ∞ X k=1 P (Sk ≤ t) = ∞ X ∞ X k=1 ! Ik = ∞ X E(Ik ) = k=1 Fk (t).  k=1 2.4 Állítás Ha P (Xk > 0) > 0 minden pozitív k-ra, akkor M (t) < ∞ ∀t > 0 esetén Bizonyítás: Mivel P (Xk > 0))> 0, ezért létezik olyan α > 0, hogy P (Xk ≥ α) > 0. Legyen ( n X N (t) = sup n : Xk ≤ t egy olyan felújítási folyamat, melyben az Xk valószínűségi k=1 változók a

következőképpen vannak definiálva : ( Xk = 0, ha Xk < α α, ha Xk ≥ α. Könnyen látható, hogy ennek az új felújítási folyamatnak az l = iα, i = 0, 1, 2, . pontok lesznek a felújítási pontjai, és az egyes pontokban a felújítások multiplicitása független geometriai eloszlást követ P (Xk ≥ α) paraméterrel, tehát P (X1k ≥α) várható értékkel. Így   t 1 az E(N (t)) ≤ +1 · becslést kapjuk, ami véges ∀t > 0 rögzített időpont α P (Xk ≥ α) esetén. Mivel Xk ≤ Xk , így N (t) ≥ N (t), amiből következik, hogy E(N (t)) ≤ E(N (t)) < ∞.  Világos, hogy SN (t) az utolsó felújítás időpontja t-ig bezárólag. 6 http://www.doksihu 2.5 Tétel Legyen µ = E(X1 ) véges Ekkor az N (t) folyamatra teljesül a nagy számok erős törvénye, azaz 1 valószínűséggel N (t) 1 . t µ Bizonyítás: Vizsgáljuk a folyamatot egy (0, t] intervallumon. Mivel SN (t) ≤ t < SN (t)+1 , ezért SN (t) SN (t)+1 t ≤ < . N (t)

N (t) N (t) N (t) SN (t) 1 X Tudjuk, hogy = Xk , ezért azt kellene várnunk a nagy számok erős törvényére N (t) N (t) k=1 gondolva, hogy SN (t) µ, N (t) (2.3) ha N (t)∞. Ez a határérték igaz is, bár ahhoz, hogy használni tudjuk a nagy számok erős törvényét, be kell látnunk, hogy P (N (t) ∞) = 1. Erre azért van szükség, mert az összeadandók száma – N (t) – is valószínűségi változó, és így nem egyértelmű, hogy az N (t) ∞ határérték biztosan létezik. Ehhez definiáljuk eseményeknek két halmazát ( C1 := ) n 1X ω: Xk (ω) µ , P (C1 ) = 1, n k=1 C2 := {ω : (N (t))(ω) ∞}, P (C2 ) = 1. Legyen ω ∈ C1 ∩ C2 . Ekkor 1 (N (t))(ω) (N (t))(ω) X Xk (ω) µ, k=1 és mivel P (C1 ∩ C2 ) = 1, ezért a (2.3) határérték valóban igaz, ha N (t) ∞ Nyilván az SN (t)+1 SN (t)+1 N (t) + 1 = · N (t) N (t) + 1 N (t) egyenlőség teljesül. A fenti gondolatmenetet erre a kifejezésre használva azt kapjuk, hogy SN (t)+1 µ, N

(t) 7 http://www.doksihu ha N (t)∞. Így t két olyan szám között van, melyek mindegyike µ-höz konvergál, ha N (t) N (t) ∞. Tehát 1 N (t) , t µ ha N (t) ∞.  8 http://www.doksihu 3. fejezet A felújítási tétel Ebben a fejezetben a felújításelmélet legfontosabb, legalapvetőbb tételét, a felújítási tételt fogjuk tárgyalni. Az első szakaszban megismerkedünk a felújítási egyenlettel, és a felújítási gondolatmenettel, ami nagy segítséget nyújt felújítási egyenletek felállítására, és sok más hasznos eredmény levezetéséhez is. Ehhez a részhez a [2] forrást vettem alapul A második szakaszban az elemi felújítási tétellel fogunk foglalkozni, amelyre a harmadik szakaszban egy nagyon elterjedt alkalmazást is mutatunk. Ezek a szakaszok a [3] és [4] mű eredményei alapján születtek. Végül pedig az alaptétel fog következni, mely az [1][2][5] forrásban található meg különböző formában. A 2. fejezetben bevezettük

a felújítási folyamatok vizsgálatához szükséges alapvető fogalmakat és összefüggéseket Ezekből megtudhattuk, hogy mit is kell figyelembe vennünk, ha felújítási folyamatokat akarunk vizsgálni. Ezen fogalmakra fogunk támaszkodni a továbbiak során Számos felújításelméleti probléma megoldásában van segítségünkre a felújítási gondolatmenet. Eszerint az első felújítás X1 időpontja szerinti feltételes valószínűségeket vesszük, és azután kiszámoljuk az azt követő felújítások számának várható értékét. Vagyis a (0, t] intervallumon nem lesz felújítás, ha az első élettartam – X1 – meghaladja t értékét. Másrészt, ha X1 = x < t, akkor van egy az x pillanatban keletkezett felújítás, plusz még – átlagosan – M (t − x) további felújítás, az x-től t-ig tartó intervallumon. 9 http://www.doksihu Matematikailag ez a következőt jelenti : ( E( N (t) | X1 = x ) = 0, ha x > t 1 + M (t − x), ha x ≤ t.

Mivel az események valószínűségi struktúrája újrakezdődik az X1 pillanatban, vagyis a folyamat megújul az első esemény bekövetkezése után, ezért ugyanezzel a gondolatmenettel ez utóbbi várható érték is könnyen kiszámolható. A felújítási gondolatmenet segítségével belátjuk azt a tételt, amely azt mondja ki, hogy milyen egyenletet elégít ki a felújítási függvény. 3.1 Tétel Az M (t) felújítási függvény kielégíti az Z M (t) = F (t) + M (t − x)dF (x), t ≥ 0 (3.1) (0,t] egyenletet. Bizonyítás: A bizonyítást a felújítási gondolatmenet alkalmazásán kívül a teljes várható érték tételének alkalmazásával végezzük. Z M (t) = E(N (t)) = E(N (t)|X1 = x)dF (x) = [0,t] Z Z (1 + M (t − x))dF (x) = F (t) + = [0,t] M (t − x)dF (x).  [0,t] A (3.1) egyenletet a felújításelmélet integrálegyenletének, vagy egyszerűen felújítási egyenletnek nevezik. 3.1 Felújítási egyenletek Számos felújításelméleti

probléma leírásában vannak segítégünkre a felújítási egyenletek, amelyek lényegében speciális integrálegyenleteknek tekinthetők. Általában a felújítási gondolatmenet segítségével állítunk fel ilyen egyenleteket, segítségül hívva azt az egyszerű megfigyelést, miszerint a folyamat a felújítási pontokban újrakezdődik. Mindenek előtt vezessük be a konvolúció fogalmát. 10 http://www.doksihu 3.2 Definíció Legyenek A(t) és B(t) nemcsökkenő, jobbról folytonos függvények a [0, ∞) intervallumon. Továbbá legyen A(0) = B(0) = 0 Ekkor A(t) és B(t) konvolúcióján, melyet A ∗ B(t)-vel jelölünk, az Z A ∗ B(t) = B(t − y)dA(y), t ≥ 0 [0,t] egyenlőséget értjük. A (3.1) integrálegyenletet általánosíthatjuk, így megkapjuk az Z A(t) = a(t) + A(t − x)dF (x), t ≥ 0 [0,t] alakú integrálegyenleteket, melyeket felújítási egyenleteknek nevezünk. Az a(t) függvény és az F (t) eloszlásfüggvény előre adott, A(t)

határozatlan mennyiség. A felújítási egyenletek megoldásáról szóló tétel bizonyításához szükségünk van egy állításra. Vegyünk egy c(t) és B(t) függvényt Mindkettőről tegyük fel, hogy növekvő, jobbról folytonos, c(0) = B(0) = 0, és a [0, ∞) intervallumon van értelmezve. Tekinthetjük tehát a konvolúciójukat. Felsoroljuk B ∗ c néhány tulajdonságát, melyeket használni fogunk 3.3 Állítás 1. max | (B ∗ c)(t) |≤ max | c(t) | ·B(t) 0≤t≤T 0≤t≤T 2. B ∗ c = c ∗ B 3. B ∗ c1 + B ∗ c2 = B ∗ (c1 + c2 ) 3’. Ha B1 , B2 , olyan, hogy ∞ X Bi < ∞, akkor i=1 ∞ X ! Bi ∗c= i=1 ∞ X (Bi ∗ c) i=1 4. Ha B1 és B2 növekvőek, akkor B1 ∗ (B2 ∗ c) = (B1 ∗ B2 ) ∗ c A következő tétel azt mondja ki, hogy bármely felújítási egyenlet megoldását ki lehet fejezni a felújítási függvény segítségével. 11 http://www.doksihu 3.4 Tétel Legyen a(t) korlátos függvény Ekkor létezik egy és csak

egy olyan A(t) függvény, mely a véges intervallumokon korlátos, és kielégíti az Z A(t) = a(t) + A(t − y)dF (y) (3.2) [0,t] egyenletet. Ez a függvény Z a(t − x)dM (x), A(t) = a(t) + (3.3) [0,t] ahol M (t) = ∞ X Fk (t) a felújítási függvény. k=1 Bizonyítás: A bizonyítás 3 részre bontható. Először megmutatjuk, hogy a (3.3)-ban definiált A(t) függvény eleget tesz a korlátossági feltételnek. Legyen [0, T ] egy véges intervallum Mivel a(t) korlátos függvény, M (t) nem csökkenő és véges tetszőleges t esetén, így felhasználva az előbbi elemi tulajdonságokból az 1-est, azt kapjuk, hogy Z sup |A(t)| ≤ sup |a(t)| + 0≤t≤T 0≤t≤T sup |a(t)|dM (x) = sup |a(t)|(1 + M (T )) < ∞, 0≤t≤T 0≤t≤T [0,T ] és ez mutatja, hogy a (3.3) -ban definiált A(t) függvény véges intervallumokon korlátos Második lépésként belátjuk, hogy valóban megoldása (3.2)-nek Ehhez felhasználjuk M (t) definícióját, az Fk = F ∗

Fk−1 összefüggést, valamint a 3.3 Állítást Tehát ! ! ∞ ∞ X X A(t) = a(t) + M ∗ a(t) = a(t) + Fk ∗ a(t) = a(t) + F ∗ a(t) + Fk ∗ a(t) = k=1 = a(t) + F ∗ a(t) + ∞ X k=2 ! F ∗ Fk−1 ∗ a(t) = a(t) + F ∗ a(t) + k=2 ∞ X ! F ∗ Fk k=1 = a(t) + F ∗ a(t) + (F ∗ F1 + F ∗ F2 + . ) ∗ a(t) = a(t) + F ∗ a(t) + F ∗ ∞ X k=1 = a(t) + F ∗ ∗ a(t) = a(t) + ∞ X ! Fk k=1 12 ! ∗ a(t) = a(t) + F ∗ A(t). ! Fk ∗ a(t) = http://www.doksihu Végül már csak azt kell megmutatnunk, hogy (3.3) egyértelmű megoldása (32)-nek Ezt úgy csináljuk, hogy megmutatjuk: a (3.2) felújítási egyenlet bármely megoldása, amely korlátos a véges intervallumokon, felírható (33) alakban Ehhez felhasználjuk a 33 Állítást Először írjuk fel a (3.2) egyenletet konvolúciós alakban: A = a + F ∗ A Ezt helyettesítsük újra meg újra (3.2) jobb oldalába, és megfelelőképpen kiterjesztjük Azt kapjuk, hogy A = a + F ∗ (a + F

∗ A) = a + F ∗ a + F ∗ (F ∗ A) | {z } = F2 ∗A, mivel F2 =F ∗F n−1 X a + F ∗ a + F2 ∗ a + F3 ∗ A = · · · = a + ! Fk ∗ a + Fn ∗ A. k=1 Vegyük észre, hogy Z |Fn ∗ A(t)| = A(t − y)dFn (y) ≤ sup |A(t − y)| · Fn (t). 0≤y≤t [0,t] Mivel beláttuk, hogy A(t) a véges intervallumokon korlátos, és tudjuk, hogy lim Fn (t) = 0, n∞ így lim Fn ∗ A(t) = 0 minden rögzített t-re. Másrészt, mivel a(t) korlátos, azt kapjuk a n∞ 3.3Állítás 30 pontjából kifolyólag, hogy ! n−1 X lim Fk ∗ a(t) = n∞ k=1 Tehát A(t) = a(t) + lim n∞ ∞ X ! Fk ∗ a(t) = M ∗ a(t). k=1 n−1 X ! Fk ∗ a(t) + Fn ∗ A(t) = a(t) + M ∗ a(t), k=1 vagyis (3.2) általános A(t) megoldásának (33) alakú előállításához jutottunk  Ahhoz, hogy be tudjuk bizonyítani az elemi felújítási tételt, be kell látnunk egy összefüggést, melyet az iménti tétel segítségével igazolunk. 3.5 Példa Legyenek X1 , X2 , független,

azonos eloszlású valószínűségi változók, melyek jelentsék egy felújítási folyamat élettartamait, miként azt már a dolgozat elején jeleztük. Ha megállunk a t időpillanat utáni első felújításnál, ami az (N (t) + 1)-edik felújítás, akkor a következő összefüggés igazolható: E(SN (t)+1 ) = E(X1 + X2 + · · · + XN (t)+1 ) = E(X1 )E(N (t) + 1) = E(X1 )(M (t) + 1) (3.4) 13 http://www.doksihu A levezetéshez a felújítási gondolatmenetet fogjuk használni. Segítségével felállítunk egy felújítási egyenletet az A(t) = E(SN (t)+1 ) mennyiségre. A fejezet elején közölt felújítási gondolatmenetet használva azt kapjuk, hogy ( E( SN (t)+1 | X1 = x ) = x, ha x > t x + A(t − x), ha x ≤ t. A teljes várható érték tétele miatt Z E( SN (t)+1 | X1 = x )dF (x) = A(t) = E( SN (t)+1 ) = [0,∞) Z Z ( x + A(t − x) )dF (x) + = [0,t] Z xdF (x) = [t,∞) Z = A(t − x)dF (x) = E(X1 ) + xdF (x) + [0,∞) Z [0,t] A(t − x)dF (x).

[0,t] Azt kaptuk tehát, hogy A(t) = E(SN (t)+1 ) kielégíti a felújítási egyenletet, melyben az a(t) tag állandó: E(X1 )-gyel egyenlő. A 34 Tétel szerint Z Z A(t) = a(t) + a(t − x)dM (x) = E(X1 ) + E(X1 )dM (x) = E(X1 )(1 + M (t)). [0,t] 3.2 [0,t] Elemi felújítási tétel Most már minden eszköz adott ahhoz, hogy kimondjuk és be is bizonyítsuk az elemi felújítási tételt, melyre a következő részben egy alkalmazást is mutatni fogunk. 3.6 Tétel (Elemi felújítási tétel) Az {N (t) : t ≥ 0} felújítási folyamatban legyenek Xi , i = 1, 2, . az élettartamok Legyen továbbá µ = E(X1 ) < ∞ Ekkor 1 1 M (t) = . t∞ t µ lim Bizonyítás: Nyilván t < SN (t)+1 . Így az előbbi (34) összefüggés miatt azt kapjuk, hogy t < E(SN (t)+1 ) = µ(1 + M (t)), 14 http://www.doksihu vagyis átrendezve 1 1 1 1 < (1 + M (t)) = + M (t), µ t t t amiből 1 1 1 M (t) > − t µ t adódik. Ebből következik, hogy 1 1 lim inf M (t) ≥ . t∞ t µ

(3.5) A másik irányú egyenlőség igazolásához definiálunk egy olyan felújítási folyamatot, melynek az ( Xic = Xi , ha Xi ≤ c , c, ha Xi > c mennyiségek lesznek az élettartamai, ahol c > 0 tetszőleges rögzített szám. Jelölje Snc és N c (t) a várakozási időt, illetve a számláló folyamatot ebben a felújítási folyamatban. Mivel c az Xic valószínűségi változóknak a c szám felső korlátjuk, ezért nyilván t + c ≥ SN (t)+1 c c c igaz. Ezt felhasználva a t + c ≥ E[SN (t)+1 ] = µ (1 + M (t)) egyenlőséget kapjuk, ahol Rc µc = E(Xic ) = 0 (1 − F (x))dx, és M c (t) = E(N c (t)). Xic definíciójából Xic ≤ Xi adódik, ami maga után vonja az N c (t) ≥ N (t) egyenlőséget. Így M c (t) ≥ M (t). Ezt felhasználva azt kapjuk, hogy t + c ≥ µc (1 + M (t)) Átrendezve: 1 1 1 c M (t) ≤ c + ( c − 1). Tehát t µ t µ 1 1 lim sup M (t) ≤ c µ t∞ t minden c > 0 esetén. Mivel Z c Z c lim µ = lim (1 − F (x))dx = c∞ c∞

0 (3.6) ∞ (1 − F (x))dx = E(X1 ) = µ, 0 és (3.6) bal oldala rögzített, ezért 1 1 1 lim sup M (t) ≤ lim c = . c∞ µ µ t∞ t (3.7) 1 A (3.5) és (37) egyenlőtlenségekből együttesen következik a tétel állítása, vagyis lim M (t) = t∞ t 1 .  µ 15 http://www.doksihu 3.7 Megjegyzés Az 1/µ értéket átlagos felújítási aránynak, vagy átlagos felújítási rátának nevezik 3.3 Kicserélési modellek (Kor-és blokkcsere eljárás) Ebben a szakaszban szeretném szemléltetni az elemi felújítási tétel egy gyakorlati alkalmazását, a kor és blokkcsere eljárást. Az általános csereeljárás egy egység cseréjét jelenti. Mikor ez az egység meghibásodik, egyszerűen kicserélik egy újra. Ez az egyszerű módszer azonban nem mindig adja a legjobb eredményt. Ha nem szeretnénk, hogy üzem közben meghibásodás történjen, vagy ha az egyes egységek a korukkal együtt elértéktelenednek, akkor lehet hogy más módszerrrel pénzt, vagy

időt is megtakaríthatnánk, ami nem elhanyagolható szempont. A két legfontosabb csereeljárás, amelyet legtöbbször használnak, a kor-és a blokkcsere eljárás. A kor szerinti csereeljárás során egy egységet akkor cserélünk ki, ha meghibásodott, vagy ha már elért egy T életkort, aszerint, hogy melyik következik be előbb. A blokkcsere eljárásban cserére akkor kerül sor, ha egy egység meghibásodott, vagy pedig blokkidőnként, amikor is minden egységet kicserélnek. Vagyis minden egyes T időegység során pontosan egy tervezett, avagy blokkcsere van, és átlagosan M (T ) meghibásodás miatti csere Ezt a T időegységet felújítási intervallumnak szokás nevezni mindkét eljárásban A blokkcsere eljárást akkor a legjobb használni, ha egyszerre több blokk működik egymással párhuzamosan, és egy blokkon belül kisebb költséget jelent minden egységet egyszerre felújítani, mint darabonként cserélgetni ki, mikor meghibásodnak. A sok kiszállás

ugyanis magas kiszállási költséget eredményez. Általában azt feltételezzük, hogy az egyes egységek egymástól függetlenül hibásodnak meg, ezeket a meghibásodásokat azonnal észleljük, és a következő egység az előző tönkremenésekor azonnal elkezd üzemelni. Feltételezzük továbbá, hogy az egymás után üzembe helyezett egységek (pl. villanykörték, gépek, stb) élettartamai független, azonos eloszlású, pozitív valószínűségi változók, várható értékük véges, és F (x) a közös eloszlásfüggvényük. Tekintsük a meghibásodások számát egy [0, t] intervallumon. Így a következő felújítási 16 http://www.doksihu folyamatokat tudjuk vizsgálni: N (t) = a meghibásodások száma a [0, t] intervallumban, a szokásos felújítási felújítási folyamatban NA (t, T ) = a meghibásodások száma a [0, t] intervallumban a kor szerinti csereeljárás alatt, T felújítási intervallummal, NB (t, T ) = a meghibásodások száma a [0, t]

intervallumban a blokkcsere eljárás alatt, T felújítási intervallummal. Ezekhez tekintsük a megfelelő felújítási függvényeket: M (t) = E(N (t)), MA (t, T ) = E(NA (t, T )), MB (t, T ) = E(NB (t, T )). 3.8 Állítás i). NA (t, T ) MA (t, T ) F (T ) = lim = RT t∞ t∞ t t (1 − F (x))dx 0 ii). NB (t, T ) MB (t, T ) 1 + M (t) = lim = t∞ t∞ t t T 1 valószínűséggel. lim lim Bizonyítás: i). Legyen Y1 , Y2 , olyan valószínűségi változók sorozata, ahol Yi azt mondja meg, hogy mennyi idő telt el az i − 1-edik és az i-edik meghibásodás között. Legyen NA (t, T ), t ≥ 0 e sorozat által generált felújítási folyamat, FA (t) = P (Yi ≤ t) pedig a közös eloszlásfüggvény. Legyen továbbá nT ≤ t < (n + 1)T , ahol n nemnegatív egész. Ekkor igaz az 1 − FA (t) = P (Yi > t) = (1 − F (T ))n · (1 − F (t − nT )) (3.8) összefüggés. Ezt a következő gondolatmenet által kaphatjuk meg: a T életkor előtt elromlott egységek

aránya éppen F (T ) lesz, mivel ezek a meghibásodások egy szokásos felújítási folyamat felújítási pontjainak tekinthetők. Ezzel ellentétben betervezett cserére akkor kerül sor, ha egy egység élettartama meghaladja T -t. Így egy betervezett csere valószínűsége 17 http://www.doksihu 1 − F (T ). t-ig nyilván n betervezett cserét kell végrehajtanunk, ha t nT és (n + 1)T közé esik, így ennek az n betervezett cserének a valószínűsége (1 − F (T ))n . Meg kell még mondanunk, hogy a maradék (nT,t] intervallumon hogyan is viselkedik ez a folyamat Mivel minden felújításnál a folyamat újrakezdődik, ezért ezen az intervallumon a meghibásodások eloszlása megegyezik a t − nT hosszú intervallumon való eloszlással. Ezzel megmutattuk, hogy a (3.8) összefüggés tényleg igaz Ezt felhasználva Z ∞ P (Yi ≥ t)dt = µA = E(Yi ) = 0 = ∞ X ∞ Z X n=0 (1 − F (T )) n Z (n+1)T nT T  (1 − F (x))dx 0 n=0 (1 − F (T ))n (1 −

F (t − nT ))dt = 1 = F (T ) Z T (1 − F (x))dx 0 adódik. A µA értéket a 25 Tételbe és az elemi felújítási tételbe helyettesítve µ helyett, azonnal megkapjuk az állítást. ii). Mint azt már említettük, blokkcsere eljárásban blokkidőnként, vagyis egy előre rögzített idő elteltével egy adott blokk minden egységét kicserélik. Meghibásodáskor pedig az elromlott egységet Ez azt jelenti, hogy ha T jelöli azt az időt, amelynek elteltével egy blokk minden egységét felújítják, akkor minden egyes T időegység során pontosan 1 blokkkcsere van, és átlagosan M (T ) meghibásodás miatti csere. Tehát egy időegységre eső cserék száma 1 + M (T ) . hosszú távon T 3.4 A felújítási tétel 3.9 Definíció Az X nemnegatív valószínűségi változót (vagy az F (x) eloszlásfüggvényt) ∞ X rácsos eloszlásúnak nevezzük, ha létezik olyan d > 0, melyre P (X = nd) = 1, azaz X n=0 értékei nd alakú számok. A legnagyobb ilyen d

számot X (vagy F ) periódusának nevezzük 3.10 Definíció Legyen h(t) a [0, ∞) halmazon definiált függvény Minden pozitív δ és pozitív egész n esetén legyen mn = min{h(t) : (n − 1)δ ≤ t ≤ nδ} mn = max{h(t) : (n − 1)δ ≤ t ≤ nδ} 18 http://www.doksihu σ(δ) = δ ∞ X mn n=1 σ(δ) = δ ∞ X mn . n=1 A h(t) függvényt közvetlenül Riemann-integrálhatónak mondjuk, ha a σ(δ) és σ(δ) sorok mindketten abszolút konvergensek minden pozitív δ esetén, és a σ(δ) − σ(δ) különbség 0-hoz tart, ha δ 0. Ez volt a pontos definíció a közvetlen Riemann-integrálhatóságra, ám nekünk az az esete lesz fontos és használható, amikor 1. h(t) ≥ 0 ∀t ≥ 0, 2. h(t) nemnövekvő, 3. R∞ 0 h(t)dt < ∞. 3.11 Tétel (Blackwell) Legyen F (x) egy olyan valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, melynek pozitív a várható értéke. Legyen ez a várható érték µ Legyen továbbá M (t) az F -hez tartozó felújítási

függvény. i) Ha F nem rácsos eloszlású, akkor ∀h ≥ 0 esetén lim (M (t) − M (t − h)) = t∞ h . µ ii) Ha F rácsos eloszlású, és periódusa d, akkor lim M (nd) = n∞ d . µ 3.12 Tétel (Smith-tétel, avagy a felújításelmélet alaptétele) Legyen F (x) egy olyan valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, melynek pozitív a várható értéke. Legyen továbbá h(t) közvetlenül Rieman-integrálható, és H(t) megoldása a R H(t) = h(t) + H(t − x)dF (x) felújítási egyenletnek. [0,t] 19 http://www.doksihu i) Ha F nem rácsos, akkor ( Z lim t∞ [0,t] h(t − x)dM (x) = 1 µ R∞ 0 h(t)dt, ha µ < ∞ ha µ = ∞. 0, ii) Ha F rácsos, és periódusa d, akkor minden c > 0 esetén ∞ lim H(c + nd) = n∞ dX h(c + nd). µ n=0 A felújításelmélet alaptétele nagyon fontos és hasznos eredmény. Bizonyítása azonban hosszú és fáradságos, ezért itt nem is részletezzük. Inkább alkalmazásokat fogunk mutatni rá, amelyekből

jól fog látszani, hogy milyen sokféle területen alkalmazható ez a tétel. Megemlítjük még, hogy meg lehet mutatni a Blackwell- és a Smith-tétel ekvivalenciáját, ám erre sem térünk ki részletesebben. Mindkét levezetés megtalálható az [1] forrásban A felújítási tétel alkalmazásaihoz, melyeket mutatni fogunk, szükséges egy lemma, mely az SN (t) összeg valószínűségeloszlását határozza meg. A következőkben legyen F (t) = 1 − F (t) tetszőleges F (t) eloszlásfüggvény esetén. 3.13 Lemma Z F (t − x)dM (x), t ≥ s ≥ 0 P (SN (t) ≤ s) = F (t) + [0,s] Bizonyítás: P (SN (t) ≤ s) = ∞ X P (Sn ≤ s, Sn+1 > t) = F (t) + n=0 = F (t) + ∞ Z X ∞ X P (Sn ≤ s, Sn+1 > t) = n=1 P (Sn ≤ s, Sn+1 > t|Sn = x)dFn (x) = F (t) + n=1 [0,∞) ∞ Z X F (t − x)dFn (x) = n=1 [0,s] Z F (t − x)d = F (t) + [0,s] ∞ X Z  Fn (x) = F (t) + F (t − x)dM (x).  n=1 [0,s] 20 http://www.doksihu 4. fejezet A felújítási

tétel alkalmazásai 4.1 Alternáló felújítási folyamatok Legyenek F1 , F2 , . ,Fn olyan valószínűségeloszlás-függvények, amelyekre Fi (0− ) = 0 ∀i ≥ 1-re. Az alternáló felújítási folyamat olyan X1 , X2 , független valószínűségi változók sorozata, ahol X1 , Xn+1 , X2n+1 , . F1 eloszlású, X2 , Xn+2 , X2n+2 , . F2 eloszlású, . . . Xn , X2n , X3n , . Fn eloszlású. Ez egy olyan rendszer, amely egymás után halad át az 1, 2, . , n állapotokon, és mindegyik állapotban véletlen hosszú időt tölt. Nekünk most csak az n = 2 esetre lesz szükségünk. n = 2 esetén az alternáló felújítási folyamatot ON-OFF folyamatnak szokás nevezni. Ez egy olyan rendszer, amely felváltva van hol az ON állapotban, hol az OFF-ban. Tegyük fel, hogy kezdetben az ON állapotban van, ahol valamilyen Z1 időt tölt, majd átvált az OFF állapotba, ahol Y1 ideig van. Aztán ON-ban Z2 -ig, és OFF-ban Y2 -ig. Ezt a sémát folytatva halad egyik

állapotból a másikba Feltesszük továbbá, hogy a (Z1 , Y1 ), (Z2 , Y2 ), . párok függetlenek és azonos eloszlásúak, de azt megengedjük, hogy Zi és Yi összefüggő legyen. Így egy olyan periodikus folyamatot 21 http://www.doksihu kapunk, amelyben egy periódus úgy néz ki, hogy az első részében a rendszer ON állapotban van, a másodikban pedig OFF-ban. Vagyis tekinthetjük egy olyan felújítási folyamatnak, amelyben a felújítások az OFF állapotok végén, az ON állapotok kezdetekor következnek be. Egy perióduson belül pedig az OFF állapot ideje függhet az ON állapot idejétől Legyen H a Zi , G az Yi , és F a Zi + Yi , i ≥ 1 valószínűségi változók eloszlásfüggvénye, illetve legyen P (t) = P (a rendszer a t időpontban ON állapotban van ). A következő tétel megmutatja, hogy mi ennek a P (t) -nek a határértéke, vagyis ha már elég régen üzemel a rendszer, akkor milyen valószínűséggel leszünk az ON állapotban. 4.1 Tétel Ha

E(Zi + Yi ) < ∞, és az F nem rácsos eloszlásfüggvény, akkor lim P (t) = t∞ E(Zi ) . E(Zi ) + E(Yi ) Bizonyítás: Mint az előbb már említettük, ebben a felújítási folyamatban a felújítási pontok azok a pontok, amikor a rendszer az ON állapotba kerül. Azt, hogy egy t időpontban a rendszer ON állapotban van-e, meghatározza, hogy mikor volt az utolsó felújítás t-ig bezárólag. Így a teljes várható érték tétele alapján Z P (t) = P (a t időpontban ON állapotban vagyunk | SN (t) = y))dFSN (t) (y), [0,∞) ahol 0 ≤ y < t esetén P (a t időpontban ON állapotban vagyunk | SN (t) = y) = P (Z > t − y | Z + Y > t − y) = H(t − y)/F (t − y). A 3.13 Lemma alkalmazható, mivel SN (t) eloszlása abszolút folytonos az M által generált Lebesgue-Stieltjes mértékre és F (t − y) a Radon-Nikodym derivált. Tehát dFN (t) (y) = F (t − y)dM (y). Vagyis azt kapjuk, hogy Z H(t − y)dM (y). P (t) = H(t) + [0,t] 22 http://www.doksihu

R Nyilván H(t) nemnegatív, nemnövekvő, és H(t)dt = E(Zn ) < ∞. Tehát H(t) (0,∞) közvetlen Riemann-integrálható, vagyis a felújításelmélet alaptételét használva azt kapjuk, hogy R∞ lim P (t) = 0 t∞ H(t)dt E(Zi ) , = µ E(Zi ) + E(Yi ) ahol µ = E(Zi + Yi ). 4.2 Következmény A határeloszlás szempontjából mindegy, hogy a rendszer melyik állapotából indul, mivel ha Q(t) = P (a t időpontban az OFF állapotban vagyunk), akkor Q(t) = 1 − P (t), tehát lim Q(t) = t∞ E(Yi ) . E(Zi ) + E(Yi ) Sok rendszer üzemeltetése modellezhető alternáló felújítási folyamattal. Ezekre nézünk most meg két példát. 1.Élettartamok határeloszlása 4.1 ábra A(t): eddigi élettartam, Y (t): hátralévő élettartam, XN (t)+1 : teljes élettartam Tekintsünk egy felújítási folyamatot. Jelölje A(t) azt, hogy mennyi idő telt el az előző felújítás óta, Y (t) pedig azt, hogy mennyi idő múlva lesz a következő felújítás, ha most 23

http://www.doksihu t-ben vagyunk. Vagyis A(t) = t − SN (t) : eddigi élettartam, Y (t) = SN (t)+1 − t : hátralévő élettartam. Ezen két valószínűségi változó összege pedig XN (t)+1 = Y (t) + A(t) : teljes élettartam. Az alternáló felújítási folyamatokra bevezetett modell segítségével meg fogjuk határozni ezen valószínűségi változók határeloszlását. i). Eddigi élettartam határeloszlása Konstruáljunk egy olyan ON-OFF folyamatot, ahol a rendszer a t időpontban ON állapotban van, ha rögzített x > 0 esetén A(t) ≤ x, és OFF-ban egyébként. Ez azt jelenti, hogy minden élettartam első x részében a rendszer ON állapotban van, a maradék részben pedig OFF-ban. Vagyis Zi = min(Xi , x) és Yi = max(Xi − x, 0) Ekkor, ha az F (x) eloszlásfüggvénye nem rácsos, akkor az előző 4.1 Tétel miatt R∞ Rx P (min(X, x) > y)dy F (y)dy E(min(X, x)) 0 lim P (A(t) ≤ x) = = = 0 . t∞ E(X) E(X) µ ii). Hátralévő élettartam

határeloszlása Ebben az esetben is egy ON-OFF folyamatot tekintünk, csak itt minden élettartam utolsó x részében leszünk az ON állapotban, máskülönben pedig OFF-ban. Azaz Zi = max(Xi − x, 0) és Yi = min(Xi , x). Újra a 41 Tételt használva Rx lim P (Y (t) ≤ x) = lim P (a t időpontban ON állapotban vagyunk) = t∞ t∞ 0 F (y)dy . µ iii). Teljes élettartam határeloszlása Ebben az esetben olyan folyamatot generálunk, amelyben a rendszer ON állapotban van egy teljes periódus alatt végig, ha az az idő, amit az ON állapotban tölt, nagyobb mint x. Különben OFF-ban van. Vagyis Zi = Xi χ(Xi > x), Yi = Xi χ(Xi ≤ x) és P (XN (t)+1 > x) = P (a t -t tartalmazó élettartam > x) 24 http://www.doksihu = P (a t időpontban ON állapotban vagyunk). Ha az F eloszlásfüggvény nem rácsos eloszlású, akkor a 4.1 Tételből azt kapjuk, hogy E(egy olyan ciklus, amelyben ON állapotban vagyunk) = t∞ µ R∞ ydF (y) E(X|X > x)P (X > x) E(X|X

> x)F (x) = = = x , µ µ µ vagy ezzel ekvivalensen Rx ydF (y) lim P (XN (t)+1 ≤ x) = 0 . t∞ µ lim P (XN (t)+1 > x) = 2. (S, s) típusú készletezés Adott egy kereskedő, aki egy bizonyos mennyiségű árut tart raktáron. Ha már kevés az áruja, akkor valamilyen rendszer szerint újra feltölti a készletét. A kereskedők általában (S, s) típusú készletetezési eljárást használnak. Ez azt jelenti, hogy elő van írva egy s és egy S szint (s < S). A raktáron kezdetben az árukészlet szintje S Minden vásárlás után a kereskedő leellenőrzi a raktáron maradt áru mennyiségét, hogy az milyen szinten áll. Ha az áru mennyisége s alá csökken, akkor rendelést ad fel Feltesszük, hogy a rendelt árumennyiség azonnal meg is érkezik, és annyit rendel, hogy újra elérje az S szintet. Vagyis ha x mennyiségű áruja marad egy vásárló távozásakor, akkor S − x -et rendel, ha x < s, és 0 -t (vagyis nem rendel), ha x ≥ s. Az X(t)

valószínűségi változó jelentse a raktáron lévő áru mennyiségét a t időpontban. Feltevésünk szerint X(0) = S. A kereskedő szempontjából a lim P (X(t) ≥ x) határtérték t∞ ismerete fontos, ha x > 0 rögzített szám. Ugyanis ennek az ismeretében tud következtetni a soron következő rendelésre. Az iménti határérték meghatározásához generálunk egy alternáló felújítási folyamatot. Ez a következő képpen néz ki. A rendszer a t időpontban legyen ON állapotban, ha X(t) ≥ x, vagyis a készleten lévő áru mennyisége legalább x, és OFF-ban egyébként. Egy periódus akkor kezdődik, amikor a raktáron az árumennyiség szintje S, és akkor ér véget, amikor először kell rendelést feladnia a kereskedőnek. Legyen Yi , i ≥ 1 az i vásárló igénye, Xi , i ≥ 1 pedig az i. vásárló érkezési idejét jelölő valószínűségi változó Tegyük fel, hogy ezek függetlenek mind egymástól, mind pedig külön-külön a két sorozat

tagjai. Nx jelentse azt, hogy hanyadik vásárló távozása után csökkent először a raktáron lévő árumennyiség 25 http://www.doksihu egy rögzített x szint alá. A hasonlóan definiált Ns számlálófolyamat pedig azt mutatja, hogy hanyadik után ér véget egy periódus. Képlettel Nx = min{n : Y1 + Y2 + · · · + Yn > S − x}, Ns = min{n : Y1 + Y2 + · · · + Yn > S − s}. Így, egy perióduson belül a rendszer ON állapotban Nx X Xi időt tölt. Egy teljes periódus i=1 ideje pedig Ns X Xi . Ha F az Xi valószínűségi változók közös eloszlásfüggvénye, amiről i=1 feltesszük, hogy nem rácsos eloszlású, akkor alkalmazhatjuk a 4.1 Tételt, feltéve, hogy a vásárlók érkezési ideje független az igényektől. Eben az esetben az ! Nx X E Xi E(Nx )E(Xi ) E(Nx ) i=1 != lim P (X(t) ≥ x) = = N s t∞ E(Ns )E(Xi ) E(Ns ) X E Xi i=1 egyenlőség adódik. Világos, hogy abban a felújítási folyamatban, amelyben az Yi , i ≥ 1

valószínűségi változók a felújítási inervallumok, Nx − 1 felújítás történik S − x -ig. Ezért, ∞ X ha G a vásárlók igényeinek közös eloszlásfüggvénye, és MG (t) = Gn (t), akkor i=1 E(Nx ) = MG (S − x) + 1, E(Ns ) = MG (S − s) + 1. Tehát lim P (X(t) ≥ x) = t∞ 4.2 MG (S − x) + 1 , ha x ≤ S. MG (S − s) + 1 Korfüggő elágazó folyamatok Tegyük fel, hogy egy organizmus az élete végén Pj valószínűséggel j számú utódot hoz létre, ahol j nemnegatív egész. Tegyük fel továbbá, hogy minden utód a populáció többi tagjától függetlenül él és produkál új egyedet szintén a {Pj , j = 0, 1, . } eloszlásnak megfelelően 26 http://www.doksihu Valamint az is legyen igaz, hogy az organizmusok véletlen hosszú ideig élnek, vagyis az élettertamaik valószínűségi változóknak tekinthetők, melyek közös eloszlása legyen F , és tegyük fel még azt is, hogy minden egyed átlagosan több mint egy utódot hoz

létre, tehát ∞ X ha m = jPj , akkor m > 1. j=0 Az X(t) valószínűségi változó jelentse a t időpontban élő organizmusok számát. Az {X(t), t ≥ 0} sztochasztikus folyamatot korfüggő elágazó folyamatnak nevezik. A legkézenfekvőbb kérdés talán az, hogy vajon egy tetszőleges t időpontban átlagosan hány organizmus él, ha t elég nagy, vagyis milyen az M (t) = E(X(t)) várható érték aszimptotikája Erre a kérdésre fogjuk megadni a választ egy tétel segítségével. Mielőtt még kimondanánk és bebizonyítanánk ezt a tételt, vezessük be az X0 valószínűségi változót, amely jelentse a t = 0 időpontban létező organizmusok számát. 4.3 Tétel Ha X0 = 1, vagyis kezdetben egyetlen organizmus van, m > 1, F nem rácsos eloszlású, és F (0) = 0, akkor lim e−αt M (t) = t∞ R m2 α m−1 , xe−αx dF (x) [0,∞) ahol α az Z e−αx dF (x) = 1 m [0,∞) egyenletet kielégítő pozitív szám. Bizonyítás: Legyen T1 a kezdeti

organizmus élettartama, ami nyilván meghatározza egy adott t időpontban élő organizmusok számát. Ezt az apró megfigyelést használva a teljes várható érték tétele alapján azt kapjuk, hogy Z M (t) = E(X(t)) = E(X(t) | T1 = s)dF (s), [0,∞) ahol ( E( X(t) | T1 = s ) = 1, ha s > t mM (t − s), ha s ≤ t. Nézzük meg, hogy hogyan is kapjuk ezt a feltételes várható értéket. Az első esetben, vagyis amikor a megfigyelésünket akkor végezzük, amikor a legelső organizmus még él, ő 27 http://www.doksihu az egyetlen, mivel csak az élete végén produkál utódot. A második esetben az első organizmus élettartama után figyeljük meg a folyamatot Tegyük fel, hogy a kezdeti organizmus valamilyen N számú utódot hozott létre. Ekkor a t időpontban élő organizmusok száma felírható mint az Y1 , Y2 , . , YN valószínűségi változók összege, vagyis Y1 + Y2 + · · · + YN alakban, ahol Yi a kezdeti organizmus i. utódja leszármazottainak

száma (önmagát is beleértve), melyek a t időpontban élnek. Világos, hogy az Yi -k függetlenek, és mindegyik eloszlása megegyezik X(t − s) eloszlásával. Mivel N független az összeadandóktól, ! N X ezért E Yi = EN · EY1 = mE(X(t − s)) = mM (t − s), vagyis megmutattuk, hogy i=1 a fenti feltételes várható érték tényleg igaz. Azt kapjuk tehát, hogy Z M (t) = F (t) + m M (t − s)dF (s). [0,t] Most szorozzuk meg mindkét oldalt e−αt -vel. Ekkor az Z −αt −αt e−α(t−s) M (t − s)e−αs dF (s) e M (t) = e F (t) + m [0,t] egyenlőség adódik. A G eloszlást definiáljuk a következő képpen: Z G(s) = m e−αy dF (y), ha 0 ≤ s < ∞. [0,s] Itt G abszolút folytonos az F által generált Lebesgue-Stieltjes mértékre, és e−αs a RadonNikodym derivált. Tehát a dG(s) = e−αs dF (s) összefüggés igaz Vagyis Z −αt −αt e M (t) = e F (t) + m e−α(t−s) M (t − s)dG(s) (4.1) [0,t] adódik. Most térjünk át (41)-ben

konvolúciós jelölésre Használjuk az f (t) = e−αt M (t), illetve h(t) = e−αt F (t) jelölést a könnyebb átláthatóság kedvéért. Ezek után az adódik, hogy f = h + f ∗ G = h + G ∗ f = h + G ∗ (h + G ∗ f ) = h + G ∗ h + G2 ∗ f = = h + G ∗ h + G2 ∗ (h + G ∗ f ) = h + G ∗ h + G2 ∗ f + G3 ∗ f = 28 http://www.doksihu . = h + G ∗ h + G2 ∗ h + · · · + Gn ∗ h + Gn+1 ∗ f. A levezetésben használtuk azt, hogy a konvolúció kommutatív művelet, a Gn = G ∗ Gn−1 összefüggést, illetve a 3.3 Állítás 3 pontját Ha most n-nel a végtelenbe tartunk, akkor azt kapjuk, hogy f =h+h∗ ∞ X Gi = h + h ∗ MG = h + MG ∗ h. i=1 Vagyis Z h(t − s)dMG (s). f (t) = h(t) + [0,t] Könnyen látható, hogy h(t) nemnegatív minden t ≥ 0-ra, nem növekvő, illetve R h(t)dt < [0,∞) ∞. Tehát h(t) közvetlen Riemann-integrálható, így alkalmazható a felújítási tétel, ami alapján azt kapjuk, hogy R∞ 0 lim f (t) = t∞

h(t)dt = µG R ∞ −αt e F (t)dt 0R . xdG(x) (4.2) [0,∞) Nézzük meg, hogy külön-külön mivel is egyenlő a számláló és a nevező. A számláló a következőképpen alakítható át: Z Z ∞ −αt e F (t)dt = ∞ e Z −αt Z Z dF (x)dt = 0 0 [0,∞)  1 = α −αx (1 − e 1 )dF (x) =  α [0,∞) e−αt dtdF (x) = 0 (t,∞) Z x  Z Z dF (x) − [0,∞) e −αx  1 dF (x) = α   1 1− . m (4.3) [0,∞) A nevező pedig Z Z xdG(x) = m [0,∞) xe−αx dF (x) [0,∞) alakra hozható. Vagyis (42), (43), (44) alapján megkapjuk a lim e−αt M (t) = t∞ m2 α R m−1 xe−αx dF (x) [0,∞) bizonyítani kívánt egyenlőséget.  29 (4.4) http://www.doksihu 5. fejezet Kumulatív folyamatok Tekintsünk egy {N (t), t ≥ 0} felújítási folyamatot, amelyben Xn -ek (n ≥ 1) az élettartamok. Közös eloszlásuk legyen F Tegyük fel, hogy minden egyes Xn élettartamhoz tartozik egy Rn érték, ami jelentse az

n-edik felújítási ciklushoz tartozó költséget vagy értéket. Megengedjük, hogy Rn és Xn összefüggő legyen, de feltesszük, hogy az (Xn , Rn ), n ≥ 1 párok függetlenek és azonos eloszlásúak. Kumulatív folyamatnak nevezzük az N (t) X R(t) = Rn összeget, amely nem más, mint a t pillanatig bezárólag felgyülemlett költség n=1 vagy érték, hogyha a tranzakciók az új felújítási ciklus kezdetekor történnek. Vezessük be az E(R) = E(Rn ) és E(X) = E(Xn ) jelöléseket, ahol n ≥ 1. Ekkor igaz a következő tétel, melynek az első része azt mondja meg, hogy hosszú távon mennyi egy időegységre eső költség, második része pedig azt, hogy átlagosan mennyi ez a költség. 5.1 Tétel Ha E|R| < ∞ és E(X) < ∞, akkor i). 1 valószínűséggel R(t) E(R) = , t∞ t E(X) lim ii). E(R(t)) E(R) = . t∞ t E(X) lim 30 http://www.doksihu Bizonyítás: i). N (t) X R(t) = n=1 t t ahol a nagy számok erős törvénye miatt Rn = N (t) X lim

t∞ N (t) X Rn n=1 N (t) · N (t) , t Rn n=1 N (t) = E(R), valamint a 2.5 Tétel miatt N (t) 1 = . t∞ t E(X) lim ii). Itt N (t) + 1 megállási idő az Fn = σ(X1 , R1 , , Xn , Rn ) növekvő σ-algebra sorozatra nézve. Ezért a Wald-azonosságot használva, mely a [6] irodalomban található, az     N (t) N (t)+1 X X Rn  = E  Rn  − E(RN (t)+1 ) = E(R(t)) = E  n=1 n=1 = E(N (t) + 1)E(Rn ) − E(RN (t)+1 ) = (M (t) + 1)E(R) − E(RN (t)+1 ) egyenletet kapjuk. Osszunk le t-vel Ekkor azt kapjuk, hogy E(RN (t)+1 ) E(R(t)) M (t) + 1 = E(R) − . t t t Ha megmutatjuk, hogy E(RN (t)+1 ) 0, ha t ∞, akkor az elemi felújítási tétel miatt t M (t) + 1 1 , és így készen is vagyunk. t E(X) Legyen g(t) = E(RN (t)+1 ). A t előtti utolsó felújítás SN (t) = s idejéig eltelt idő értéke szerinti feltételes várható értéket véve azt kapjuk, hogy E(RN (t)+1 | SN (t) = s ) = E(R1 | X1 > t − s). A 3.13 Lemma miatt igaz a következő

: Z g(t) = E(RN (t)+1 |SN (t) = 0)F (t) + E(RN (t)+1 |SN (t) = s)F (t − s)dM (s). [0,t] 31 (5.1) http://www.doksihu Ha behelyettesítjük (5.1)-et, akkor a Z g(t) = h(t) + E(R1 | X1 > t − s)F (t − s)dM (s) (5.2) (0,t] egyenlőség adódik, ahol Z h(t) = E(R1 | X1 > t)F (t) = E(R1 | X1 = x)dF (x). (t,∞) Mivel Z E|R1 | = E(|R1 ||X1 = x)dF (x) < ∞, [0,∞) ezért h(t) 0, ha t ∞. Nyilván az is igaz, hogy |h(t)| ≤ E|R1 | ∀t-re, mivel Z Z |h(t)| ≤ |E(R1 |X1 = x)|dF (x) ≤ |E(|R1 ||X1 = x)|dF (x). (0,∞) (0,∞) Tehát ∀ > 0 ∃T ≥ 0, hogy ha t ≥ T , akkor |h(t)| < . Ezt felhasználva (52)-ben azt kapjuk, hogy |g(t)| |h(t)| ≤ + t t |h(t − x)| dM (x) + t Z (0,t−T ] Z |h(t − x)| dM (x) ≤ t (t−T,t]  M (t − T ) M (t) − M (t − T )  + + E|R1 | , ha t ∞ t t t EX g(t) az elemi felújítási tétel miatt. Mivel ez tetszőleges  > 0-ra igaz, ezért 0, és így t készen is vagyunk.  ≤ Nézzünk két

példát a mindennapi életből kumulatív folyamatra. 1. Kicserélési modellek A 33 részben leírtuk mind a korcsere eljárás, mind pedig a blokkcsere eljárás matematikai modelljét. Legyen Rn az n csere költsége mindkét eljárás során. Tegyük fel, hogy a kortól függő csereeljárásban egy T időponbeli előre eltervezett csere c1 forintba kerül, míg egy x < T pillanatbeli meghibásodás miatti csere c2 forintba. Ekkor ( Rn = c1 , 1 − F (t) valószínűséggel c2 , F (t) valószínűséggel. 32 http://www.doksihu Vagyis E(Rn ) = c1 (1 − F (t)) + c2 F (t). Mivel egy ciklusban a cserék hosszának várható értéke Z T (1 − F (x))dx, E(min(Xk , T )) = 0 ezért hosszú távon az időegységre eső költség c1 (1 − F (t)) + c2 F (t) . RT (1 − F (x))dx 0 Blokkcsere eljárás esetén minden egyes T időegység során pontosan egy tervezett csere van, és átlagosan M (T ) meghibásodás miatti csere. Így a várható költség E(Rn ) = c1 + c2 M (T

), azaz egy időegységre eső átlagos költség hosszú távon c1 + c2 M (T ) . T 2. Biztosításelmélet Tegyük fel, hogy egy biztosítási ügynökséghez felújítási folyamat szerint érkeznek be a követelések. A beérkezési időket jelölje az X1 , X2 , valószínűségi N (t) X Rn jelzi a t változók sorozata. Yk legyen a k követelés nagysága Ekkor R(t) = n=1 pillanatban a követelések nagyságát. Így a hosszú távú követelési arány R(t) E(R1 ) = . t∞ t E(X1 ) lim 33 http://www.doksihu Összefoglalás A dolgozat első részében megismerkedhettünk a felújításelmélet legfontosabb fogalmaival és állításaival. A felújítási gondolatmenet segítségével felállítottuk a felújításelmélet integrálegyenletét, majd általánosítva ezt az egyenletet, definiáltuk a felújítási egyenleteket. Beláttuk, hogy bármely felújítási egyenlet megoldását ki lehet fejezni a felújítási függvény segítségével. Az elemi felújítási tétel

bizonyítását követően mutattunk egy igen érdekes és hasznos alkalmazást is, amely rendkívül elterjedt a mindennapjainkban. Ez volt a kor-és blokkcsere eljárás. Majd következett az egész felújításelmélet alaptétele, a Smith-tétel Segítségével érdekesebbnél érdekesebb példákat és alkalmazásokat láthattunk az alternáló felújítási folyamatok témakörben, illetve korfüggő elágazó folyamatokra. Az utolsó fejezetben pedig röviden bepillantást nyerhettünk a kumulatív folyamatok elméletébe A felújítási tételre mutatott alkalmazásokra a [2] és az [5] művek szolgáltattak alapot, illetve az utolsó fejezet megírásában a [2][5] és [7] művek voltak segítségemre. Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezetőmnek, Móri Tamás tanár úrnak segítőkész munkáját. Köszönöm, hogy elfoglaltságai közepette mindig szakított időt kérdéseim megválaszolására, valamint a készülő dolgozat matematikai és

stilisztikai pontatlanságainak kijavítására. Hasznos tanácsaival nagyban segítette munkámat. 34 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] W. Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol 2, Wiley, 1971. [2] S. Karlin, H M Taylor: Sztochasztikus folyamatok, Gondolat, 1985 [3] J. Medhi: Stochastic processes, New Age International Publishers, 2002 2nd ed [4] Naftali A. Langberg: Comparisons of replacement policies, J Appl Prob 25, 780-788 (1988). [5] Sheldon M. Ross: Introduction to probability models, Academic Press, New York, 2009 10th ed. [6] Y. S Chow, H Teicher: Probability Theory. Independence, Interchangeability, Martingales, Springer, New York, 1978. [7] Sidney I. Resnick: Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser Boston, 1992 35