Matematika | Felsőoktatás » Cziszter Kálmán - A Grunwald-Wang tétel bizonyítása a Galois-kohomológia eszközeivel

http://www.doksihu A Grunwald-Wang tétel bizonyítása a Galois-kohomológia eszközeivel Szakdolgozat Cziszter Kálmán Matematikus szak Témavezető: Szamuely Tamás MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2008 http://www.doksihu Tartalomjegyzék Előszó 3 1. Az étale algebrák Galois-elmélete 1.1 Galois kategóriák 1.2 Étale algebrák 1.3 A fibrum funktor 1.4 Leszállás (descent) 1.5 A Galois algebrák struktúrája 1.6 Csoportbővítések és a kohomológia alapjai 1.7 A Galois-algebrák osztályozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 11 14 17 21 27 33 2. A Galois-algebrák paraméterezése 2.1 A körosztási bővítések 2.2 Kummer-elmélet 2.3 Albert féle eset 2.4 A

Hochschild-Serre egzakt sorozat 2.5 A transzgresszió 2.6 A ciklikus eset 2.7 Tate csavarás 2.8 A csavart norma 2.9 Paraméterezés 2.10 Artin-Schreier-Witt elmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 40 42 43 44 50 53 55 58 64 3. A Grunwald-Wang tétel 3.1 Az approximációs lemma 3.2 Lokális gyökvonás 3.3 A bizonyítás 67 68 71 75 Hivatkozások 79 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . http://www.doksihu Előszó A Grunwald-Wang tétel az előírt lokális viselkedésű Galois-bővítések konstrukciójára ad eljárást. Maga a feladat rokona a Noether által felvetett inverz

Galois-problémának, amikor egy adott k alaptestnek keressük egy előírt G csoportú L|k Galois-bővítését. Teljes általánosságban ez a probléma mindmáig megoldatlan, azt azonban régóta tudni lehet, hogy abeli G csoport esetén mindig van megoldás Hasse tette fel ezután azt a kérdést, hogy vajon ebben az abeli esetben tudunk-e olyan L|k bővítést is szerkeszteni, amelynek a „lokális viseledése” is részben elő van írva. Ez utóbbi fogalom alatt azt kell érteni, hogy a k alaptesten adottak valamely v1 , ., vr értékelések; ezek L-re is kiterjeszthetőek, és ha L-et teljessé tesszük (más néven lokalizáljuk) ezen értékelések topológiái szerint, azzal r darab különböző testbővítést kapunk; ezek együttesét nevezzük L|k lokális viselkedésének: L1 L2 Lr L telítés  / | | | | ··· K K K k 1 2 r A feladat megoldhatóságára Grunwald adott először bizonyítást 1933-ban, amit Whaples finonímitott 1942-ben. Ez az eredmény a híres

Brauer-HasseNoether tétel bizonyításába is beépült Ez utóbbi szerencsére nem veszítette el az érvényét, amikor Wang 1950-ben hibát talált a korábbi bizonyításokban, egyszerű ellenpéldát mutatott, és körülhatárolta azokat a kivételes eseteket, amikor a szerkesztés nem végezhető el. Mindezen bizonyítások rendkívül bonyolultak voltak, és nagyszámú, nem is tisztán csak algebrai előismerten alapultak. Egy Alberttől származó ötletből kiindulva sokan próbáltak elemi algebrai bizonyítást adni a Grunwald-Wang tételre, ez azonban először csak a Lorenz-Roquette szerzőpárosnak sikerült. Az ő cikkük képezi a jelen dolgozat alapját. (lásd [15]; a probléma történetéről lásd még [21] 53 fejezetét) A mi kontribúciónk elsősorban abban áll, hogy ezt az új bizonyítást újrafogalmaztuk a Galois-kohomológia elméleti keretei közt, rámutatva ezzel a Lorenz és Roquette által véghez vitt számítások hátterében meghúzódó

mélyebb okokra. (Az 5 Tételhez fűzött megjegyzésünkben hasonlítjuk össze részletesen az ő eredményüket az általunk elérttel.) A csoportkohomológiai technikának az alkalmazását itt az teszi lehetővé, hogy a k test feletti Galois G-algebrák izomorfia-típusait a H 1 (k, G) kohomológia-csoport klasszifikálja. A Galois-algebrák Hasse-tól származó fogalma, mint az a struktúratételükből kiderül, a Galois-bővítések egyenes általánosításának tekinthető, és ezért érdemes az előírt tulajdonságú L|k bővítést inkább az ő körükben keresni. 3 http://www.doksihu Az ezen L|k bővítés konstrukciójához vezető eljárást magát két fő részre tagolhatjuk: 1) a k feletti Galois G-algebrák paraméterezése során egy topologikus csoport, például k × /k ×n egyes elemeiből egy adott eljárással előállítjuk az összes szóba jöhető algebrát. Például 2-6 leírja, hogy a k feletti p[25] p. √ Z/4Z csoportú bővítések mindegyike

k( a + b c) alakban áll elő úgy, hogy az a, b, c, u ∈ k elemek kielégítik az a2 − cb2 = cu2 egyenletet; vagyis az algebráknak ezen halmazát az ilyen (a, b, c, u) számnégyeseket paraméterezik. 2) Ezután a paraméterek halmazának topológiai tulajdonságait kihasználva, egyszerű approximációs eljárás révén állítjuk elő azt a paramétert, ami a minden előírt kritériumnak megfelelő L|k Galois-bővítést meghatározza a paraméterezésben. A fő nehézség, és egyben a Galois-kohomológiai technikák alkalmazásának a fő terepe ez a paraméterezési eljárás. A véges abeli G csoport esete könnyen visszavezethető arra, amikor G prímhatvány rendű ciklikus. Ez utóbbi viszont számos alesetre oszlik, amelyek felosztását az áttekinthetőség kedvéért itt bocsájtjuk előre. Legyen tehát G = Z/nZ, ahol n = pν , p prím és ν ∈ N; az esetszétválasztás a következő: 1. ha p 6= char(k) (a) ha µn ⊆ k × : klasszikus Kummer-elmélet (b) ha

µn * k × , i. ν = 1: Albert féle eset ii. p > 2 vagy ν ≤ 2: Lorenz és Roquette iii. p = 2 és ν > 2: speciális eset 2. ha p = char(k) (a) ha ν = 1: Artin-Schreier elmélet (b) különben: Witt-vektorok esete Az összes felsorolt eset prototípusa, és egyben kiindulópontja a klasszikus Kummer-elmélet. Ez ugyanis a p 6= char(k) feltétel mellett tetszőleges k alaptestre megad egy k × /k ×n ∼ = H 1 (k, µn ) izomorfizmust. Csakhogy általában H 1 (k, µn ) 6∼ = H 1 (k, Z/nZ), márpedig a k feletti Z/nZ csoportú Galois-algebrák izomorfia-típusait ez utóbbi csoporttal állítottuk bijekcióba. Az 1a esetben viszont teljesül ez a másik izomorfizmus 4 http://www.doksihu is a H 1 csoportok között, ezért ekkor a Kummer-izomorfizmus maga adja √ n meg a keresett paraméterezést: minden ilyen algebra k[ a] alakban áll elő, ahol az a ∈ k „Kummer-paraméter” n-edik hatványok erejéig egyértelmű. A dolgozat nagyobbik része azt az esetet

vizsgálja, amikor k-ban nincs benne minden n-edik egységgyök. Albert észrevétele vetette fel annak a lehetőségét, hogy ezt is megpróbáljuk visszavezetni a klasszikus Kummerelméletre. Ha ugyanis k 0 = k(ζ) a hiányzó egységgyökökkel való bővítés, akkor a k feletti algebrákból k 0 feletti algebrákat előállító L 7 L ⊗k k 0 hozzárendelés, az úgynevezett bázisextenzió, amelynek a kohomológia-csoportok szintjén a Res : H 1 (k, Z/nZ) H 1 (k 0 , Z/nZ) homomorfizmus felel meg – a az 1(b)i feltételek mellett történetesen izomorfizmus lesz. Általában viszont Res sem nem injektív, sem nem szürjektív. Az eltérés „fokát” ettől a két kívánatos tulajdonságtól a Hochschild-Serre féle egzakt sorozat alábbi szakaszán tudjuk lemérni: H 1 (g, Z/nZ) Inf / H 1 (k, Z/nZ) Res / H 1 (k 0 , Z/nZ)g Tr / H 2 (g, Z/nZ) ahol g = Gal(k 0 |k) a körosztási bővítés Galois-csoportja. A fő feladatunk itt egy olyan kritérium keresésében állt,

amellyel fel lehet ismerni Im(Res) elemeit, vagyis azokat a k 0 feletti Galois-algebrákat, amelyek k felettiek bázisextenzióiból származnak. Ehhez a sor egzaktsága folytán a T r-vel jelölt transzgressziós homomorfimus magját kellett behatárolnunk. Ezt az tette lehetővé, hogy sikerült a transzgressziós leképezésre (illetve annak egy származékára) egy egyszerű explicit előállítás találnunk (lásd 4). A következő technikai nehézséget az okozta, hogy a µn ∼ = Z/nZ csoportizomorfizmus nem Gal(k)-ekvivariáns. Ezért nem lehet közvetlenül kapcsolatba hozni a Kummer-izomorfizmusban szereplő H 1 (k, µn ) csoportot a k feletti Galois Z/nZ-algebrákkal bijekcióba állított H 1 (k, Z/nZ) csoporttal. A megoldást erre az ún. Tate-csavarás jelentette, amelynek a révén Gal(k) hatását módosíthatjuk úgy, hogy az szükséges ekvivariancia-feltételek teljesüljenek. Ennek eredményeként az alábbi izomorfizmust kaptuk: H 1 (k 0 , Z/nZ)g ∼ = k 0× /k

0×n (−1)g ahol a jobb oldalon k 0× -nak a csavart hatás szerint g-invariáns osztályai állnak. Ez utóbbi csoportban egy kitüntetett részcsoportot alkotnak a csavart hatás szerint képzett normák, amelyekről kimutatjuk, hogy pontosan Im(Res) elemeinek felelnek meg. Dolgozatunk egyik fő eredményét képviseli 5 http://www.doksihu a 5 Tétel, amelynek következtében jutunk, hogy minden k feletti Z/nZ √arra 0 n g csoportú Galois-algebra előáll k [ a] alakban, ahol a egy alkalmas b ∈ k 0× elem csavart normája. Ezzel lényegében a klasszikus Kummer-elmélet természetes általánosítást kaptuk az egységgyökök nélküli esetre A fenti gondolatmenet azonban csak bizonyos megszorításokkal érvényes, amelyek a g = Gal(k 0 |k) csoportra vonatkoznak. Problémák csak akkor jelentkeznek, ha p = 2 és ν > 2, de akkor sem mindig Ezek a Wang féle kivételes esetek, amelyek jelentkezésének pontos feltételei ismertek ugyan, ám a fő forrásunkat képező

[15] cikk is nyitva hagyja a kérdést, hogy ezek vajon levezethetőek-e elemi eszközökkel. Az anomáliak olyankor jelentkeznek, amikor g tartalmaz ún. kivételes automorfizmust, ami µn -en a komplex konjugálás módjára, invertálással hat A helyzetet ráadásul tovább bonyolítja, hogy a kivételesség kérdését a k alaptest és a Ki telítések esetén egymástól részben függetlenül kell vizsgálni. Az esetfelosztásunkban az 1(b)iii alatt megadott feltétel ugyan a szükségesnél kissé tágabbra vonja a kört ezen kivételes esetek körül (hiszen előző gondolatmenetünk apró módosításokkal pl. az olyan k testekre is kiterjeszthető lenne, amelyek tartalmaznak egy primitív 4-ik egységgyököt) – mégis úgy láttuk, hogy az 1(b)iii eset összes alesetének tárgyalása csak együtt volna kellőképp áttekinthető. Habár ebbe az irányba számos előrelépést tettünk, az időbeli és terjedelmi korlátok elejét vették annak, hogy mindezt a jelen

szakdolgozat keretei közt ismertessük. Ezzel szemben a moduláris esetre vonatkozó Artin-Schreier-Witt elméletet sikerült kidolgoznunk. Itt a Witt-vektoroknak a szakirodalomban legelterjedtebb konstrukciója helyett Witt eredeti ötletére alapoztunk, ami jóval tömörebb tárgyalást tett lehetővé (ez [13]-ban a gyakorlatok közt található meg). Végül a lokális testek néhány topológiai alaptulajdonságának átismétlése után, maga a bizonyítás már valóban egyszerűen adódik majd Tárgyalásunk során arra törekedtünk, hogy részletesen kifejtsünk minden olyan előismeretet, ami túlmegy az egyetemi törzsanyagon, hiszen ezek elsajátítását is munkánk szerves részének tekintettük. A teljes 1 fejezet lényegében ilyen bevezető jellegű háttérismereteket tartalmaz, de ezen kívül is akadnak még olyan részek, amelyek kevésbé tarthatnak számot a téma közeli ismerőinek az érdeklődésére. Számukra az 15, 25, 28-9, 33 fejezetek is elegendőek

lehetnek a dolgozat lényegének az áttekintéséhez. 6 http://www.doksihu Köszönetnyilvánítás Mindenekelőtt szüleimnek tartozom hálával, amiért megteremtették a lehetőségét, hogy a matematikus szakra járhassak. Szakmai téren legtöbbet témavezetőmnek, Szamuely Tamásnak köszönhetem. A modern Galois-elméletről tartott előadásai, amelyek elindítottak ezen az úton, a reveláció erejével hatottak rám. Mindaz a rendkívüli türelem és odafigyelés, amivel a jelen dolgozat létrejöttét végigkísérte a legmélyebb hála érzését ébreszti bennem. Őszinte hálával gondolok Philippe Gille-re, akivel alkalmam nyílt két héten át együtt dolgozni ezen a témán. Számos fontos meglátás ennek a közös munkának az eredménye, miként a tőle elsajátított szemléletmód is nagyban befolyásolta az itt előadottakat. Köszönet illeti az Eötvös József Collegiumot, az École Normale Supérieure-t, a Francia Nagykövetséget és a Magyar

Ösztöndíj Bizottságot, amiért a kiutazást lehetővé tették a számomra. Végül tanáraimnak, Pelikán Józsefnek, Pálfy Péter Pálnak és Fried Ervinnek mondok köszönetet, akiktől az alapokat tanultam, és akik elültették bennem az algebra iránti lelkesedést. 7 http://www.doksihu 1. Az étale algebrák Galois-elmélete A jelen fejezetben áttekintjük a Galois-elmélet Grothendieck féle újrafogalmazását. Ebben a véges szeparábilis bővítések szerepét az ún étale algebrák töltik be, amelyek bevezetésének fő motivációja az, hogy – szemben a testbővítésekkel – a legfontosabb kategoriális műveletekre, pl. a direkt és a tenzori szorzásra nézve zárt kategóriát alkotnak. A Galois-bővítések szerepét viszont a Galois G-algebrák veszik át, amelyeknek fő sajátossága, hogy rendelkeznek ún. "normálbázissal" Ezekre végül struktúratételt adunk, amelynek értelmébeny a Galois G-algebrák Galois-bővítésekből állnak

elő az indukálás művelete útján. Szemben a klasszikus elmélettel, amelyben az L|k bővítés köztes testei és a Gal(L|k) csoport részcsoportjainak között létesítünk Galois-kapcsolatot, a Grothendick féle felépítésben a k fölötti étale-algebrák és az alább definiálandó Γ = Gal(ks |k) csoport hatása alatt álló véges halmazok kategóriája között létesítünk egy ekvivalenciát az itt X-el és M -el jelölt adjungált funktorpár révén. Mindezen témákat csak felszínesen tudjuk érinteni, amennyire ezt a későbbiek megértése szükségessé teszi; a részletek megtalálhatók a jelen fejezet fő forrásait képező [26] 1.5, [30] 62 vagy [12] 18§ monográfiákban 1.1 Galois kategóriák Kiindulópontunk a véges halmazok és a köztük menő függvények kategóriája; ezt jelölje S. Ha X, Y ∈ Ob(S), akkor a X t Y diszjunkt unió, illetve a X × Y direkt szorzat két S × S S típusú funktor, továbbá az X-ből Y -ba menő függvények

Hom(X, Y ) halmazának a képzése egy S op × S S típusú (első változójában kontravariáns) funktor. Ezek persze S morfizmusain is értelmezve vannak, ti. ha f : A B és g : C D halmaz-függvények, akkor f ×g :A×C B×D (a, c) 7 (f (a), g(c)) ( f (x) ha x ∈ A x 7 g(x) ha x ∈ C f tg :AtC BtD f ∗ g∗ : Hom(D, A) Hom(C, B) φ 7 f ◦ φ ◦ g Mivel az aritmetika alapműveleteit, az összeadást, a szorzást és a hatványozást pontosan a véges halmazokon értelmezett fenti három művelet révén 8 http://www.doksihu vezettük be, ezért minden különösebb bizonyítás nélkül evidens kell legyen az, hogy t és × asszociatív, kommutatív, egységelemes művelet, és hogy: (A t B) × C ∼ = (A × C) t (B × C) Hom(A, B) × Hom(A, C) ∼ = Hom(A, B × C) ∼ Hom(B, A) × Hom(C, A) = Hom(B t C, A) Hom(A, Hom(B, C)) ∼ = Hom(A × B, C) A véges halmazok kategóriájából konstruáljuk meg a véges Γ-halmazok kategóriáját, ahol Γ egy csoport, amiről

egyenlőre feltesszük, hogy véges. Ennek az új kategóriának az objektumai a φ : Γ Aut(X) tipusú csoporthomomorfizmusok tetszőleges X ∈ Ob(S)-re, vagy másképp a Γ × X X csoporthatások. Ezen csoporthatások írásmódjában, valahányszor a félreértés veszélye nélkül megtehető, a nehézkes φ(σ)(x) kifejezést a σ · x rövidítéssel helyettesítjük A Γ-halmazok kategóriájának morfizmusai pedig olyan f : X Y függvények, amelyek Γ-ekvivariánsak, azaz teljesítik az f (σ · x) = σ · f (x) feltételt. Ezt a konstrukciót megfogalmazhatjuk úgy is, hogy ha Γ-t olyan egyobjektumú kategóriának tekintjük, amelyben a csoportelemek a morfizmusok, akkor voltaképp a Γ S típusú funktorok kategoriáját hoztuk létre; itt a Γ S funktorok közti természetes izomorfizmusok a morfizmusok, amelyekről könnyen ellenőrizhető, hogy nem egyebek, mint épp a Γ-ekvivariáns függvények. Ennek az absztrakt megfogalmazásnak a fő előnye az, hogy minden

erőfeszítés és bizonyítás nélkül kitűnik belőle: az S-en értelmezett műveletek, és műveleti szabályaik automatikusan öröklődnek a Γ-halmazok kategóriájára. És az is könnyen leolvasható róla, hogy az X és Y halmazokon megadott Γ-hatás hogyan terjed ki az összetételeikre: (x, y) ∈ X × Y xty ∈X tY f ∈ Hom(X, Y ), x ∈ X ⇒ σ · (x, y) = (σ · x, σ · y) ⇒ σ · (x t y) = (σ · x) t (σ · y) ⇒ (σ · f )(x) = σ · f (σ −1 · x) Ezt a konstrukciót kiterjeszthetjük arra az esetre is, amikor Γ nem véges, hanem ún. provéges csoport, ami alatt a következőt értjük Γ véges faktorainak a halmaza legyen {Gi : i ∈ I}; az ezek közt menő fi,j : Gi Gj csoporthomorfizmusok közül vegyük azokat, amelyek kompatibilisek a πi : Γ Gi 9 http://www.doksihu kanonikus leképezésekkel, vagyis amelyekre πj = fi,j ◦ πi ; ezek kategóriát alkotnak, amit jelöljünk C(Γ)-val. A Γ csoportot akkor nevezzük provégesnek, ha a C(Γ)

teljes egészében meghatározza őt, azaz ha bármely más Γ0 csoportra, amelyre C(Γ0 ) ∼ = C(Γ), teljesül az, hogy Γ0 = Γ. Ezek után egy Γ Aut(X) hatást folytonosnak fogunk nevezni, ha átvezethető valamelyik Gi véges faktoron, azaz ha előáll πi : Γ Gi és valamely φ : Gi Aut(X) kompozíciójaként. (Ugyanis könnyen ellenőrizhető, hogy a ker(πi ) normálosztók teljesítik egy topológia zárt halmazainak axiómáit, és az így kapott topológiára nézve Γ topologikus csoport lesz; ha pedig X-en a diszkrét topológiát vesszük, azzal a Γ × X X hatás folytonos.) A folytonosság ekvivalens jellemzése tehát az, hogy létezik olyan K / Γ véges indexű normálosztó, amelyre X K = X. (Itt és továbbiakban az X K jelölés a K-hatás fixpontjainak a halmazára vonatkozik.) Provéges Γ esetén csak ezeket a folytonos Γ-hatásokat vesszük fel a Γ-halmazok kategóriájába; ezzel lényegében a Gi -halmazok kategóriáit egyetlen közös

kategóriába "csomagoljuk össze". (Ennek eszköze a projektív limes-képzés, vö. 3 rész, bevezető) A Galois-elmélet központi felismerése az, hogy a Γ-halmazok, bármilyen egyszerűnek is tűnjenek, sokkalta bonyolultabb algebrai (és topológiai) struktúrákkal "egyenértékűek". Egyenértékűség alatt itt az alábbit kell érteni: 1.1 Definíció A A és B kategóriák ekvivalensek, hogyha létezik egy olyan F : A B és G : B A funktorpár, amelyre F G = 1A GF = 1B Ha B helyett itt B op szerepel, akkor anti-ekvivalenciáról, ha pedig emellett még A = B is teljesül, akkor dualitásról beszélünk. Az (anti-)ekvivalencia fogalma voltaképp a Galois-kapcsolat általánosítása. Az A és B részbenrendezett halmazokat ugyanis tekinthetjük olyan kategóriáknak, amelyekben bármelyik Hom(X, Y ) halmaz vagy üres, vagy pontosan egy eleme van, amit az X ≤ Y szimbólum jelöl. Ekkor F és G funktorialitása annyit tesz, hogy ezek rendezéstartó

leképezések, az F G = id és GF = id feltételek pedig épp azt jelentik, hogy az (F, G) pár Galoiskapcsolat. Az alábbi definíció Grothendiecktől származik: 1.2 Definíció Egy C kategóriát Galois-kategóriának nevezünk, ha (anti-) ekvivalens valamely (pro-) véges Γ csoport halmazainak a kategóriájával. 10 http://www.doksihu 1.2 Étale algebrák A klasszikus Galois-elmélet keretéül szolgáló véges szeparábilis testbővítések azzal a fogyatékossággal bírnak, hogy nem zártak az alapvető kategoriális műveletre, például a direkt vagy a tenzori szorzatra nézve. Ez teszi indokolttá az alábbi általánosításukat: 1.3 Definíció Egy k test feletti A algebrát étale algebrának nevezzük, ha véges sok véges szeparábilis Li |k testbővítésből áll elő direkt összegként: A∼ = L1 × . × Ln Tehát az étale algebrák osztálya definíció szerint zárt a direkt szorzásra nézve. A továbbiakban belátjuk, hogy a tenzori szorzásra nézve is

(Emlékeztetőül: két k-algebra tenzori szorzatát úgy képezzük, hogy a k-modulusként vett tenzori szorzatukban bevezetünk egy szorzást az (a⊗b)(c⊗d) = (ac⊗bd) definícióval, majd az így kapott gyűrűbe k-t az a ⊗ 1 = 1 ⊗ a, a ∈ k alakú elemek részgyűrűjeként ágyazzuk be.) Az alábbi lemma forrása [16] p 14-18: 1.1 Lemma Egy L|k véges testbővítés akkor és csakis akkor szeparábilis, ha tetszőleges K|k testbővítésre L ⊗k K mint K-algebra étale. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy L|k nem szeparábilis Ez csak úgy lehet, ha a k alaptest nem perfekt, amiért is a karakterisztikája p > 0; létezik továbbá olyan α ∈ L amelynek a minimálpolinomja xq − a valamely q = ps prímhatványra és a ∈ k testelemre. Tekintsük ekkor a K = L speciális esetet, és vegyük a β = 1 ⊗ α − α × 1 ∈ L ⊗k L elemet. Mivel p-karakterisztikában a p-edik hatványozás homomorfizmus, azt látjuk, hogy: β q = (1 ⊗ α)q − (α × 1)q = a(1 ⊗ 1)

− a(1 ⊗ 1) = 0 ahol az a ⊗ 1 = a(1 ⊗ 1) átalakításra az jogosít fel bennünket, hogy a k feletti tenzorszorzás k-bilineáris és a ∈ k; de ugyanezen az alapon azt is látjuk, hogy β 6= 0 mivel α ∈ / k. Következésképp β egy nem-nulla nilpotens Ilyesmi viszont egy étale algebrában nem fordulhat elő, hiszen az, mint testek direkt szorzata, féligegyszerű gyűrű, és ezért radikálmentes. Ezzel beláttuk, hogy ha tetszőleges K|k testbővítésre L⊗k K étale algebra, akkor L|k szükségképp szeparábilis. A megfordításhoz tegyük fel, hogy L|k véges szeparábilis. Ekkor a primitív elem tétele értelmében létezik olyan α ∈ L amelyre L ∼ = k(α); ha tehát 11 http://www.doksihu α minimálpolinomja az f ∈ k[x] irreducibilis polinom, akkor L ∼ = k[x]/(f ), vagyis másképp fogalmazva az alábbi sor a gyűrűk kategóriájában egzakt: 0 / (f ) / k[x] /L /0 Alkalmazzuk erre a sorra a ⊗k K funktort, amiről köztudott, hogy

jobbegzakt. Ezzel az alábbi egzakt sort kapjuk: (f ) ⊗k K / k[x] ⊗k K /L⊗ K k /0 Pn Pn Itt K ⊗k k[x] ∼ = K[x], ugyanis a i=1 ai ⊗pi 7 i=1 ai pi szabállyal megadott függvény (ahol ai ∈ K és pi ∈ k[x]) nyilván szürjektív és a magja 0. Ezen izomorfizmus explicit alakjából az is látszik, hogy az f által k[x]-ban generált főideálnak az f által K[x]-ben generált főideál fog megfelelni; csakhogy míg k fölött f irreducibilis volt, a bővebb K test felett már egy vagy több irreducibilis faktora bomlik: f = f1 .fs , ahol az fi ∈ K[x] polinomok szintén szeparábilisek (hiszen ha f -nek nincs többszörös gyöke a k̄ algebrai lezártban, akkor az fi |f osztóknak sem lehet). Tehát (f ) ⊗k K = (f1 fs ) = ∩si=1 (fi ) Mindezt visszahelyettesítve az előző egzakt sorba azt kapjuk, hogy L ⊗k K ∼ = K[x]/ ∩si=1 (fi ) Mivel az fi ∈ K[x] polinomok irreducibilisek, így (fi , fj ) = 1 ha i 6= j; ezért az euklideszi algoritmus mindig megoldja

az xfi + yfj = 1 egyenletet, azaz az (fi ) főideálok páronként koprímek. Következésképp alkalmazható rájuk a gyűrűk esetére általánosított kínai maradék tétel (lásd pl. [13] Theorem 2.1), amelynek értelmében ha az a1 , ., as ideálok egy A gyűrűben koprímek, Q akkor A/ ∩si=1 ai = si=1 A/ai . Ezzel a következő előállítást kapjuk: L ⊗k K ∼ = s Y K[x]/(fi ) i=1 Itt az fi -k szeparabilitása miatt mindegyik direkt összeadandó K-nak véges szeparábilis testbővítése, ezért L ⊗k K mint K feletti algebra étale. 1.4 Definíció Azt az eljárást, amikor egy k test feletti A algebrából és a K|k testbővítésből létrehozzuk az A ⊗k K gyűrűt, és az a 7 1 ⊗ a beágyazás révén K feletti algebrának tekintjük azt, bázisextenziónak nevezzük. 12 http://www.doksihu A bázisextenzió tehát annyiban több az egyszerű tenzori szorzásnál, hogy k feletti A ⊗k K algebrát át is értelmezzük a bővebb K test feletti algebrává.

Válasszuk most K szerepére ks -et. (Emlékeztetőül, a ks -el jelölt szeparábilis lezárt a k egy rögzített k̄ algebrai lezártján belül mindazon elemek halmaza, amelyek k feletti minimálpolinomja szeparábilis; ez nyilván k̄-nak részteste). Ezzel néhány azonnali következmény adódik. 1.2 Következmény Egy véges dimenziós, féligegyszerű, kommutatív A gyűrű akkor és csak akkor étale algebra k felett, ha A ⊗k ks étale algebra ks felett. Bizonyítás. Tekintve, hogy ks egyetlen szeparábilis bővítése önmaga, ezért egy ks feletti étale algebra voltaképp egy ks × . × ks alakú gyűrű, amelyben az összeadás és a szorzás koordinátánként végzendő. Az állítás ezért úgy is fogalmazható, hogy a mondott tulajdonságú A algebra pontosan akkor étale, ha az A ⊗k ks elemei mint mátrixok szimultán diagonalizálhatók. Ha A véges dimenziós féligegyszerű gyűrű, akkor a Wedderburn-Artin tétel értelmében k különféle Ki véges

testbővítései feletti teljes mátrixgyűrűk direkt szorzata: A ∼ = Mn1 (K1 )×.×Mnr (Kr ) Mivel A kommutatív, de n ≥ 2 esetén Mn (K) már nem az, így A ∼ = K1 × . × Kr A tenzorszorzat disztributivitása miatt A ⊗k ks mint ks pontosan akkor lesz étale ks felett, ha az Ki ⊗k ks algebrák külön-külön is azok. Ez viszont az előző lemma értelmében pontosan akkor teljesül, ha mindegyik Ki |k testbővítés véges szeparábilis, ami viszont definíció szerint ekvivalens azzal, hogy A étale. Ha továbbá a Ki |k testbővítés minimálpolinomja f , akkor f szeparabilitása miatt ez k̄ helyett már ks felett is csupa különböző lineáris faktorra bomlik: f = (x − α1 ).(x − αs ), ahol αi ∈ ks Így a kínai maradék tételből adódó felbontás szerint Ki ⊗k ks = ks (α1 ) × . × ks (αs ) ahol persze mind a dim(Ki |k) darab direkt összeadandó izomorf ks -el. 1.3 Következmény Ha M és N két k feletti étale algebra, akkor M ⊗k N is k is

az. Bizonyítás. A tenzori szorzat asszociativitása és disztributivitás a miatt: (M ⊗k N ) ⊗k ks = M ⊗k (ks × . × ks ) = (ks × × ks ) × × (ks × × ks ) | {z } | {z } dimk (N ) dimk (M )·dimk (N ) így az előző következmény "csak akkor" iránya szerint M ⊗k N étale k-algebra. 13 http://www.doksihu 1.3 A fibrum funktor Egyik fő célkitűzésünk annak belátása lesz, hogy az étale algebrák Galoiskategóriát alkotnak. Ehhez meg fogunk konstruálni az 11 definíció szerint egy funktor-párt a k feletti étale algebrák és a véges Γ-halmazok között, ahol Γ = Gal(ks |k) provéges csoport. A pár első tagja az alábbi: 1.5 Definíció A k feletti étale algebrákon értelmezett X(L) := Homk (L, ks ) hozzárendelést a fibrum-funktornak nevezzük. A Homk jelölésben az alsó index azt jelzi, hogy a k-algebra homomorfizmusok halmazáról van szó; a funktorialitás és a kovariancia triviális. Az X(L) halmaznak teljesen konkrét

jelentés is tulajdonítható: pl. abban az egyszerű esetben, amikor L|k egy véges szeparábilis bővítés, X(L) tekinthető e bővítés f ∈ k[x] minimálpolinomjának a k̄ algebrai lezártban található gyökei halmazának. Tekintsünk ugyanis egy φ ∈ Homk (L, ks ) k-algebra homomorfizmust; ez a Schur-lemma miatt szükségképp beágyazás. A primitív elem tétel miatt L előáll k(α) alakban, ahol α ∈ L olyan elem, amelyre f (α) = 0. Ekkor φ k-algebra homomorfizmus volta miatt f (φ(α)) = φ(f (α)) = φ(0) = 0, tehát φ(α) a f polinomnak egy k̄-n beli gyöke. Továbbá mivel α egymagában generálja L-et k felett, ezért φ(α) teljesen meghatározza φ-t És viszont φ(α) értéke az f polinom bármelyik k̄-beli gyöke lehet, így X(L) valóban bijekcióban áll e gyökök halmazával. (Ha pedig L összetett étale-algebra, az X alább igazolandó additivitása révén X(L)-et úgy tekinthetjük mint az egyes direkt összeadandókhoz tartozó gyökhalmazok

unióját.) Ebből nyilvánvaló, hogy X a véges halmazok kategóriájába képez. Ezen túlmenően az is könnyen látható, hogy X a véges Γ-halmazok kategóriájába képez, ahol Γ = Gal(ks |k). Ha ugyanis φ végigfut Homk (L, ks ) elemein, akkor a φ 7 σφ szabállyal definiált függvény láthatólag injektív, hiszen σφ = σφ0 implikálja azt, hogy φ = φ0 ; de egy véges halmazból önmagába képező injektív függvény szükségképp bijektív – tehát a fenti szabály révén Γ permutációkkal hat az X(L) véges halmazon. Ha továbbá L az Li ⊂ k̄ testekkel az L1 × L2 × . × Ls alakba írható, akkor legyen M = L1 L2 .Ls ⊆ k̄ ezen testek komopozituma; mivel ekkor Gal(ks |M ) elemei már mindegyik φ ∈ X(L) beágyazást szükségképp fixen hagyják, ezért a Γ provéges csoport hatása az X(L) halmazon definíció szerint folytonos. Végül az is triviális, hogy tetszőleges f : L1 L2 k-algebra homomorfizmus 14 http://www.doksihu képe a

fibrum-funktornál, azaz f ∗ egyúttal Γ-ekvivariáns; ugyanis definíció szerint f ∗ (σφ) = (σφ)f = σ(φf ) = σ(f ∗ φ), tetszőleges σ ∈ Γ és φ ∈ X(L) elemekre. Ezzel beláttuk az alábbi tényt: 1.4 Állítás A X hozzárendelés egy kontravariáns funktor, ami a k feletti étale-algebrák kategóriájából a Γ-halmazok kategóriájába képez. 1.5 Állítás A fibrum-funktor additív és multiplikatív abban az értelemben, hogy ha L1 és L2 két tetszőleges k feletti étale algebra, akkor: X(L1 × L2 ) ∼ = X(L1 ) t X(L2 ) X(L1 ⊗k L2 ) ∼ = X(L1 ) × X(L2 ) Bizonyítás. i) Mivel az L1 , L2 étale-algebrák maguk is véges szeparábilis testbővítések direkt szorzatai, ezért indukció révén feltehető, hogy L1 és L2 már eleve véges szeparábilis testbővítés. Ekkor mivel az L1 × L2 gyűrűben a szorzás is koordinátánként végzendő, az (a, 0) és (0, b) nem-nulla elemek nullosztók lesznek. Ezért bármely φ ∈ Homk (L1 × L2 , ks )

homomorfizmusnál φ(a, 0)φ(0, b) = φ(0) = 0; csakhogy a ks testben már nincsenek nullosztók, ezért e két tényező közül vagy az egyik, vagy a másik szükségképp 0. Ha mondjuk φ(0, b) = 0, és c ∈ L2 tetszőleges másik elem, akkor ennek c = b(b−1 c) előállításából φ multiplikativitása miatt az következik, hogy φ(0, c) = 0. Tehát φ az L2 -beli elemeken konstans 0, ezért teljességgel meghatározza őt a φ1 = φ|L1 megszorítása. A másik esetben viszont analóg módon a φ2 = φ|L2 megszorításról mondható el ugyanez. Ezzel bijekcióba állítottuk Homk (L1 × L2 ) és Homk (L1 ) t Homk (L2 ) elemeit. ii) Tekintsük az φ : L1 ks és a ψ : L2 ks k-algebra homomorfizmusokat; ezek φ ⊗ ψ : L1 ⊗ L2 ks ⊗ ks tenzori szorzatát komponálva a ks -beli szorzásnak, mint bilineáris függvénynek megfelelő ks ⊗ ks ks homomorfizmussal egy π : L1 ⊗ L2 ks k-algebra homomorfizmus kapunk, amelyre: π(a ⊗ b) = φ(a)ψ(b) A fordított irányban,

ha π adott, akkor φ és ψ az alábbi definíciókkal nyerhető vissza: φ(a) = π(a ⊗ 1) ψ(b) = π(1 ⊗ b) Mivel az L1 ⊗k L2 gyűrű szorzási szabálya szerint (a⊗1)(1⊗b) = a⊗b, azonnal látható, hogy a fenti két megfeleltetés egymás inverze; a Γ-ekvivariancia itt is triviális. 15 http://www.doksihu 1.6 Következmény Ha L étale k -algebra és k 0 ≤ ks a k szeparábilis bővítése, akkor Homk0 (L ⊗k k 0 , ks ) ∼ = Homk (L, ks ) Bizonyítás. Egyfelől nyilvánvaló, hogy ha A egy algebra k 0 felett, akkor k felett is az, és ha φ egy k 0 -algebra homomorfizmus, akkor k-algebra homomorfizmus is; ezért Homk0 (A, ks ) ⊆ Homk (A, ks ) Legyen most A = L⊗k k 0 és komponáljuk ezt a beágyazást az iménti állításban leírt Homk (A, ks ) ∼ = Homk (L, ks ) × Homk (k 0 , ks ) izomorfizmussal. Ez utóbbi izomorfizmusról láttuk, hogy a π 7 (φ, ψ) szabállyal adható meg, ahol φ(a) = π(a ⊗ 1) és ψ(b) = π(1 ⊗ b) minden a ∈ L és b ∈ k

0 esetén. Mármost a π : A ks típusú k-homomorfizmus akkor lesz csak k 0 -homomorfizmus is egyben, ha azt az A-n belüli, k 0 -el izomorf részalgebrát, ami az (1 ⊗ b) alakú elemekből áll, identikusan képezi k 0 ≤ ks -re, vagyis ha π(1 ⊗ b) = b minden b ∈ k 0 -re. De ekkor ψ = id, így a fenti kompozíciónál Homk0 (A, ks ) pontosan a Homk (L, ks ) × {id} halmazra képződik. Az állítás ebből következik Tekintsük most itt a k 0 = ks speciális esetet; az állítás ekkor lényegében azt mondja ki, hogy az X fibrum-funktor felbontható egy kompozícióra: a ks fölé való báziskiterjesztésre, majd ezt követően a ks feletti étale-algebrák fibrum-funktorára. Ebből továbbá egy újabb ekvivalens jellemzést adhatunk az étale algebrákra. Tudjuk ugyanis, hogy ha L = k(α) egy véges bővítés, ahol α minimálpolinomja f ∈ k[x], akkor X(L) elemszáma f k̄-beli különböző gyökeinek a számával azonos. Ez viszont csak akkor egyezik meg f

fokszámával, ha f -nek nincs többszörös gyöke, azaz ha szeparábilis – különben pedig kevesebb annál. Mármost L-nek, mint k feletti vektortérnek a dimenzióját az f minimálpolinom foka adja meg, ezért tetszőleges véges testbővítésre teljesül az, hogy: dimk (L) ≥ |Homk (L, k̄)| ≥ | Homk (L, ks )| Itt egyenlőség akkor teljesül, ha L szeparábilis, mert az f minimálpolinom k̄-beli gyökei csak ekkor mind különbözők és ks -beliek. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy ez a jelenség általában is karakterizálja az étale-algebrákat: 1.7 Állítás A k feletti véges dimenziós, féligegyszerű, kommutatív L algebra akkor és csak akkor étale, ha |X(L)| = dimk (L). 16 http://www.doksihu Bizonyítás. Láttuk, hogy a felsorolt tulajdonságokkal rendelkező algebra L ∼ = L1 × . × Ln alakú, ahol mindegyik Li |k véges bővítés A 15 Állítás szerint X(L) = X(L1 ) t . t X(Ln ) A bevezetőben említettek szerint az Li testekre külön-külön

teljesül az, hogy X(Li ) ≤ dimk (Li ), ahol egyenlőség csak akkor áll, ha Li szeparábilis. Az ezekből összegzéssel kapott |X(L)| ≤ dimk (L) egyenlőtlenség tehát csak akkor teljesülhet egyenlőséggel, ha mindegyik Li szeparábilis. A megfordításhoz abból indulunk ki, hogy ha L étale, akkor az 1.5 Állítás Következménye szerint X(L) = Homks (L ⊗k ks , ks ); tudjuk viszont, hogy L ⊗k ks = ks × . × ks , ahol ks pontosan dimk (L) példányban szerepel Ezért a Homks funktor additivitását felhasználva arra jutunk, hogy: X(L) = Homks (ks , ks ) t . t Homks (ks , ks ) Itt persze Homks (ks , ks ) = {id}, ezért X(L) elemszáma annyi, mint a tagok száma ebben a diszjunkt unióban, vagyis éppen dimk (L). 1.4 Leszállás (descent) Számos algebrai konstrukció van, amit mindig egy k alaptest „felett” definiálunk: ilyenek például a vektorterek, euklideszi terek, asszociatív algebrák, projektív geometriák, a legkülönfélébb algebrai varietások,

stb. Természetes a kérdés, hogy ezen objektumok mely tulajdonságai múlnak a k alaptesten, és melyek magán a konstrukción? E kérdés megválaszolására a bevett heurisztika az, hogy más k 0 testek felett is elvégezzük ugyanazt a konstrukciót – lehetőleg úgy, hogy az eredmény minél egyszerűbb legyen –, majd a k 0 feletti prototipikus objektumok tulajdonságait megpróbáljuk „visszavetíteni” az eredeti k feletti esetre; ezt a heurisztikát hívják „leszállásnak”. A mi esetünkben a lehető legegyszerűbb étale-algebrák a ks felettiek; továbbá az L 7 L ⊗k ks bázisextenzióval minden étale-algebrának megfeleltethető egy ilyen; a leszállás kérdése itt tehát az, hogy erről az L ⊗k ks ks -algebráról milyen információk olvashatók le az eredeti L-re nézve? Az alábbiakban erre az a válasz fog adódni, hogy ez a bázisextenzióval nyert ks algebra, ha önmagában még nem is, de a Γ = Gal(ks |k) csoport rajta adott hatásával együtt

már izomorfizmus erejéig teljesen meghatározza a kiinduló L-et. Γ hatásának megértéséhez a kínai maradék tételből kapott L ⊗k ks ∼ = ks (α1 ) × . × ks (αr ) felbontásból kell kiindulunk, ahol az αi ∈ ks elemek az 17 http://www.doksihu L = L1 × . × Ls direkt felbontásban szereplő véges szeparábilis testbővítések minimálpolinomjainak a gyökei. Γ itt külön-külön hat az egyes ks -el izomorf tagokon. De mivel Γ bármelyik αi -t csak valamelyik αj -be viheti át, ezért hatása egyenértékű azzal, mintha ks -nek ezeket az izomorf példányait egymás közt permutálná. Mégsem mondhatjuk azonban, hogy Γ hatása kimerülne a (ks )r vektortér báziselemeinek a permutálásában, hiszen ahhoz a skaláris szorzásnak minden σ ∈ Γ és a ∈ ks esetén teljesítenie kellene σ ·(av) = a(σ ·v) linearitási feltételt. Mivel azonban σ bármelyik v = (a1 , , ar ) vektort a σ · v = (σ · a1 , ., σ · ar ) vektorba viszi, ezért itt a

linearitás helyett csak az alábbi gyengébb tulajdonság teljesül: 1.6 Definíció Ha L|k egy testbővítés és V egy L feletti vektortér, akkor a Γ = Gal(L|k) csoport egy V feletti folytonos hatását szemilineárisnak nevezzük, amennyiben minden σ ∈ Γ, v ∈ V és a ∈ L esetén: σ · (av) = σ(a)(σ · v) Másrészt a ks -algebraként tekintett ks ⊗k L-en Γ a σ · (a ⊗ v) = σ(a) ⊗ v szabály szerint hat. Ezért aztán (ks ⊗k L)Γ ∼ = L. Ebből sejthető, hogy a ks -re való báziskiterjesztésnek a Γ szerinti fixpontképzés az „inverze”; ezt mondja ki a Speiser-lemma, amelyet [12] 18 § nyomán igazolunk. (Egy modernebb bizonyítás található [9]-ban). Kiindulópontunk az alábbi klasszikus eredmény (lásd pl. [13] 64): 1.8 Lemma (Artin) Ha G csoport, k test, akkor a χi : G k × csoporthomomorfizmusok (az ún karakterek) lineárisan függetlenek k felett Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy n 6= 0 minimális olyan szám, amelyre minden x ∈

G esetén teljesül az alábbi k-beli együtthatós összefüggés: a1 χ1 (x) + a2 χ2 (x). + an χn (x) = 0 Mivel ezek a karakterek különbözőek, létezik z ∈ G amelyre χ1 (z) 6= χ2 (z). Így a fenti összefüggésben x helyére xz-t írva, a karakterek multiplikativitását, és k × elemeinek invertálhatóságát felhasználva azt kapjuk, hogy: a1 χ1 (x) + a2 χn (x) χ2 (x) . + an =0 χ1 (z) χ1 (z) Ezt a két összefüggést kivonva egymásból egy rövidebb, de a z-re tett feltétel miatt még mindig nem triviális összefüggést kapunk, ami ellentmondás. 18 http://www.doksihu 1.9 Lemma (Dedekind) Az L|k véges szeparábilis bővítésnek legyen a1 , ., ar egy bázisa és Gal(L|k) = {σ1 , , σr } Ekkor az alábbi mátrix invertálható:   σ1 (a1 ) . σ1 (αr )   . . . D=  . . . σr (a1 ) . σr (αr ) Bizonyítás. Minden j = 1, , r számra tekintsük a σi 7 σi (αj ) szabállyal definiált χj : Γ L× karaktert. Ha a fenti mátrix

oszlopai közt létezne egy L-lineáris összefüggés, akkor ezek a karakterek összefüggők lennének, ez viszont az előző lemma szerint lehetetlen. 1.10 Lemma (Speiser) Ha Γ = Gal(ks |k) a ks feletti V vektortéren szemilineárisan hat, akkor az a⊗v 7 av leképezés egy ks ⊗k V Γ V izomorfizmus Bizonyítás. Vegyünk egy tetszőleges v ∈ V vektort Γ folytonosan, azaz valamely véges Gal(L|k) faktorán keresztül hat, melynek elemei σ1 , , σr és σ1 = id. Képezzük ezekkel az F = (σ1 · v||σr · v) mátrixotPAz előző lemmában szereplő D-vel kapott F D j-edik oszlopa uj = ri=1 (σi · v)σi (aj ). Pmátrix A szemilinearitás miatt uj = ri=1 σi ·(aj v), ezért uj ∈ V Γ , minden j = 1, ., r esetén. Dedekind lemmája szerint képezhetjük az (F D)D−1 szorzatot, amiből azP látszik, hogy mindegyik σi · v ∈ V vektor, így speciálisan σ1 · v = v is előáll rj=1 cj uj alakban a D−1 megfelelő P oszlopából vett cj ∈ L együtthatókkal. Ez azonban

nem más, mint a rj=1 cj ⊗ uj elem képe az a ⊗ v 7 av leképezésnél; ez a leképezés tehát szürjektív. Az injektivitáshoz tegyük fel indirekten, hogy e leképezés magja nem üres. Ez azt jelenti, hogy léteznek olyan v1 , ., vs ∈ V Γ vektorok, amelyek L felett lineárisan Ps függetlenek, de valamely b1 , ., bs ∈ ks nem-nulla együtthatókkal már a i=1 bi vi = 0 összefüggésben állnak. Alkalmazva erre a σ1 , , σr csoportelemek hatását, a szemilinearitás és a vi vektorok Γ-invarianciája miatt Ps azt kapjuk, hogy minden j = 1, ., r indexre i=1 σj (bi )vi = 0 Ezt az r darab egyenletet összegezve, a kapott összefüggésben az egyes vi vektorok Pr a ci = j=1 σj (bi ) együtthatókkal fognak szerepelni. Ezek láthatólag Γinvariánsak, ezért minden i-re ci ∈ L, és így ci = 0 – hiszen a feltevés szerint a v1 , ., vs vektorok L-lineárisan már függetlenek voltak Ekkor viszont a χi : σj 7 σj (bi ) karakterek L-lineárisan összefüggőek

lennének, ami pedig Artin lemmája szerint lehetetlen. Ezzel megtettünk az előkészületeket ahhoz, hogy megadjuk az X fibrumfunktor M inverzét, és az étale algebrák antiekvivalenciáját a Γ-halmazokkal: 19 http://www.doksihu 1.7 Definíció Minden X véges Γ-halmazhoz rendeljük hozzá a Hom(X, ks ) halmazt, ami a ks -ből örökölt műveltekkel egy ks -algebra, és amelyen Γ a szokásos (σ·f )(x) = σ·f (σ −1 ·c) képlet szerint hat. Az M (X) = Hom(X, ks )Γ hozzárendelést leszállási funktornak hívjuk. 1. Tétel (A Galois elmélet főtétele, I rész) A leszállási és a fibrum-funktor kategoriális antiekvivalenciát létesít a k test feletti étale-algebrák és a véges Γ-halmazok között, ahol Γ = Gal(ks |k). Bizonyítás. Az 15 Állítás Következménye szerint X az L 7 L ⊗k ks = A és az A 7 Homks (A, ks ) funktorok kompozíciójára bomlik; definíció szerint M is az X 7 Hom(X, ks ) = A és az A 7 AΓ funktorok kompozíciójaként adódik.

Így a tételbeli antiekvivalencia is felbomlik az L ↔ A ekvivalencia és az A ↔ X antiekvivalencia kompozíciójára. Egyfelől igazoltuk, hogy vektortérként tekintve (L ⊗k ks )Γ ∼ = L illetve Γ ∼ hogy L ⊗k ks = L. De az algebrák tenzori szorzata nem több, mint az alapul szolgáló vektorterek tenzori szorzata, amelyet utólag látunk el egy kompatibilis szorzási művelettel – tehát e két állítás az algebrák esetére is automatikusan kiterjed. Így a 11 definícióból közvetlenül következik, hogy a k feletti étale algebrák kategóriája ekvivalens a szemilineáris Γ-hatással ellátott ks feletti étale algebrák kategóriájával. Másfelől minden ks feletti A étale algebra ks × . × ks szerkezetű, így izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározza a dimenziója; az 1.7 Állítás szerint viszont |X(A)| = dimks (A), ezért M (X(A)) ∼ = A. Azt kell tehát csak ellenőrizni, hogy Γ hatása A-n illetve X(A)-n kölcsönösen meghatározzák

egymást. Ehhez idézzük fel, hogy az A felbontásában szereplő ks példányok igazából ks (αi ) alakban álltak elő, ahol az αi ∈ ks elemek az eredeti L = L1 × . × Ln algebra komponenseihez tartozó minimálpolinom gyökei Mivel az X(A) fibrum elemei azonosíthatók ezekkel a gyökökkel, amiket a Γ egymás közt permutál, ezért elég arra hivatkoznunk, hogy bármelyik σ ∈ Γ relatív test-automorfizmust teljes egészében meghatározza az αi elemek nála felvett képei. Minden L étale k-algebra esetén létezik tehát egy ΦL : L ∼ = M (X(L)) izomorfizmus; ennek explicit alakját is leolvashatjuk. Ha ugyanis vektortérnek tekintenénk az A = (ks )r algebrát, akkor az X(A) véges halmaz helyett az A∗ duális teret kapnánk; ezért ΦA az A ∼ = A∗∗ izomorfizmus analógiájára értelmezhető minden a ∈ A és f ∈ Homk (A, ks ) esetén a Φa (f ) = f (a) képlettel. A ΨY : Y ∼ = X(M (Y )) izomorfizmus leírása ezzel teljesen analóg. 20

http://www.doksihu 1.5 A Galois algebrák struktúrája A véges szeparábilis bővítések között az N |k Galois-bővítést az tünteti ki, hogy a G = Gal(N |k) csoport a k alaptesten kívül semmit sem hagy fixen, azaz N G = k. A klasszikus esetben ez implikálja azt, hogy dimk (N ) = |G| (vö. [13] 618) Az étale algebrák körében ez már nem igaz (Gondoljunk pl. az M = (ks )n étale algebrára, amin az Sn szimmetrikus csoport a báziselemek permutációjával hat; itt csak ks 1 marad fixen, miközben |Sn | = n! és dim(M ) = n). A jelen fejezetben viszont megmutatjuk, hogy azok az étale algebrák, amelyek egyszerre teljesítik mindkét fenti feltételt, a Galois bővítéseknél ugyan kissé még mindig általánosabb struktúra-osztályt alkotnak, ám azokból egy egyszerű művelet, az indukálás útján származtathatóak. 1.8 Definíció Ha a k feletti M étale algebrán adott egy G Autk (M ) csoporthatás, akkor M -et k feletti G-algebrának nevezzük. Ha továbbá ez

a csoporthatás az M G = k és a dimk (M ) = |G| feltételeket is teljesíti, akkor M -et Galois G-algebrának nevezzük. A Galois-algebrákat a nekik megfeleltetett véges Γ-halmazokkal fogjuk jellemezni. Tudjuk, hogy ha h : M N étale k-algebrák homomorfizmusa, akkor X(h) egy Γ-ekvivariáns X(N ) X(M ) függvény lesz Ezt az M = N speciális esetre alkalmazva egy Autk (M ) ∼ = AutΓ (X(M )) csoportizomorfizmust kapunk: a h : M M k-automorfizmusnak megfeleltetett X(h) függvény az f ∈ X(M ) fibrumokat az f 7 f ◦ h szabály szerint, Γ-ekvivariáns módon permutálja, vagyis teljesül az alábbi szabály: (σ f )τ =σ (f τ ) σ ∈ Γ, τ ∈ G E két csoporthatás eltérő jelölése azt hangsúlyozza ki, hogy míg Γ balról, G jobbról hat a fibrumokon (ti. az f 7 σ ◦ f ill az f 7 f ◦ τ definícióval) A Γ-ekvivarianciából azonnal következik, hogy ha x, y ∈ X(M ) azonos Γ-orbithoz tartozik, akkor x és y G-orbitja is izomorf lesz; ha ugyanis az x

G-orbitját egyes τi ∈ G elemekkel az {xτ1 , ., xτr } halmaz teszi ki, akkor bármely σ ∈ Γ, amelynél y = σ x, ezt a halmazt egy olyan, azonos elemszámú halmazba viszi, amelyben a Γ-ekvivariancia miatt az összes y τ elemnek elő kell fordulnia, tetszőleges τ ∈ G-re. Ha ugyanezt x és y szerepét felcserélve is elismételjük, máris beláttuk, hogy σ ∈ Γ nem csak x-et viszi y-ba, hanem x G-orbitját is y G-orbitjába. Ezt az észrevételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy Γ az X(M )-en belüli G-orbitok halmazán is hat, amelyet X/G-vel jelölünk. Speciálisan minden G-orbit része egy Γ-orbitnak 21 http://www.doksihu 1.11 Lemma Ha L egy k feletti G-algebra, akkor a Φ : L ∼ = M (X(L)) kanonikus izomorfizmusnál: 1) x ∈ k akkor és csak akkor, ha Φx konstans 2) x ∈ LG akkor és csak akkor, ha Φx a G-orbitokon konstans Bizonyítás. Emlékeztetőül Φ tetszőleges x ∈ L elemhez a Φx (f ) = f (x) függvényt rendeli, ahol f a Homk (L, ks )

halmazon fut végig. Φ izomorfizmus voltából mindenekelőtt az következik, hogy ha valamely x, y ∈ L elemekre minden f -nél f (x) = f (y), akkor függvényként Φx = Φy , és így x = y. Ha most x ∈ k, akkor minden f -re definíció szerint f (x) = x, tehát Φx valóban konstans. Megfordítva, ha minden f -re az f (x) = y érték ugyanaz, akkor szükségképp y ∈ k, mert különben f -et komponálhatnánk ks egy olyan k-automorfizmusával, ami y-t nem hagyja fixen. Ekkor viszont minden f -re f (x) = f (y), amiért x = y, tehát x ∈ k. Végül x ∈ LG azt jelenti, hogy minden τ ∈ G esetén τ (x) = x; ez viszont ekvivalens azzal, hogy minden f ∈ X(L) esetén f (τ (x)) = f (x). Definíció szerint f τ = f ◦ τ , így az x ∈ LG feltétel azzal ekvivalens, hogy Φx konstans az X(L)-beli G-orbitokon. 1.12 Állítás A k feletti G-algebrák körében az LG = k feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha G tranzitíven hat az X(L) véges Γ-halmazon. Bizonyítás.

Ha X(L)-ben egyetlen G-orbit van, és x ∈ LG , akkor a Lemma 2. pontja szerint Φx konstans ezen az egy orbiton, vagyis az egész X(L)-en, így a Lemma 1. pontja szerint x ∈ k A megfordításhoz azt igazoljuk, hogy ha legalább két G-orbit van X(L)ben, akkor létezik olyan Ψ ∈ Hom(X(L), ks )Γ függvény, ami a G-orbitokon konstans, de egészében nem konstans; ennek ugyanis a Φ izomorfizmusnál egy olyan x ∈ L elem felel meg, amire a Lemma szerint x ∈ LG de x ∈ / k. Ha Γ-nak egynél több orbitja van, azaz létezik X(L) = X1 t X2 felbontás kisebb Γ-halmazokra, akkor legyen Ψ(f ) = 1, ha f ∈ X1 , és Ψ(f ) = 0 ha f ∈ X2 . Ez a Ψ nyilvánvalóan Γ-invariáns, és mivel minden G-orbit része egy Γ-orbitnak, ezért a G-orbitokon konstans; de egészében nem konstans. Feltehetjük tehát, hogy Γ hatása tranzitív. Tekintsünk most egy Y Gorbitot; láttuk, hogy Γ az X/G halmazon is hat, ezért Y stabilizátora egy ∆ ≤ Γ részcsoport. Feltevés szerint Y 6=

X, de Γ mégis tranzitíven hat X-en, ezért ∆ 6= Γ. Így a klasszikus Galois-elmélet szerint ks∆ 6= k, azaz választhatunk egy a ∈ ks∆ k elemet. Legyen továbbá f ∈ Y tetszőleges; mivel feltevés szerint X bármely eleme előáll σ f alakban alkalmas σ ∈ Γ 22 http://www.doksihu elemmel, ezért a Ψ(σ f ) = σ(a) definícióval megadott függvény a teljes X-en értelmezett. Ezen túl láthatólag Γ-invariáns is, és a ∈ / k miatt nem konstans X-en, miközben Y -on valamint annak Γ szerinti képeiként előálló többi Gorbiton már konstans. Ha G tranzitívan hat X-en, akkor minden x ∈ X elem Gx stabilizátora konjugált egymással, és Lagrange tétele miatt |X| = |G| : |Gx |. Tekintve, hogy |X(L)| = dimk (L) ezért a dimk (L) = |G| feltétel egyidejű teljesülése kikényszeríti, hogy minden stabilizátor triviális legyen. Az olyan Γ-halmazokat, amin adott egy hűséges G-hatás, Γ feletti G-torzoroknak nevezzük, kategóriájukat pedig T orΓ

(G) jelöli (lásd 1.19); a k feletti Galois G-algebrák kategóriáját pedig Galk (G) (a morfizmusok mindkét esetben a G-ekvivariáns homomorfizmusok). Ezekkel a jelölésekkel tehát az alábbi eredményre jutottunk: 1.13 Következmény (A Galois elmélet főtétele, II rész) Az X és M funktorpár kategoriális antiekvivalenciát létesít Galk (G) és T orΓ (G) között. Cayley tétele voltaképp azt mondja ki, hogy bármely G csoport, pontosabban annak alaphalmaza egy G-torzor; ez tehát majdnem ugyanaz, mint a G csoport maga, a különbség pusztán az, hogy nincs egységeleme. Ugyanígy ha H ≤ G egy részcsoport, akkor a H szerinti (jobboldali) mellékosztályok H-torzorok. Pontosabban szólva bármely X H-torzor és Hσ mellékosztály között megadható egy H-ekvivariáns izomorfizmus; ehhez válasszunk egy tetszőleges x0 ∈ X elemet, és írjuk elő, hogy φ(x0 ) = σ; a H-hűség miatt minden x ∈ X egyértelműen írható x = τ · x0 alakba egy τ ∈ H elemmel,

ezért a H-ekvivariancia következtében φ(x) = στ máris adott. Ez a φ : X Hσ H-izomorfizmus viszont nem egyértelmű, hiszen annyi különböző módon adható meg, ahányféleképp a σ reprezentáns megválasztható. Ezért az Y = HomH (X, G) halmaz elemszáma is pontosan |G| lesz; mivel továbbá bármely másik σ 0 ∈ G által meghatározott H-ekvivariáns X G beágyazás egy G-beli elemmel való szorzás útján átvihető az iménti φ-be, ezért Y szintén tranzitív, sőt hűséges G-halmaz, azaz G-torzor. (A HomH (X, Hσi ) részhalmazok formájában ez [G : H] darab X-el izomorf H-torzort tartalmaz; de nem a diszjunkt úniójuk, hisz az csak egy H-halmaz volna.) Ezzel a konstrukcióval végeredményben minden H-torzornak kanonikus módon megfeleltettünk egy G-torzort, amelyet az X-ből indukált G-torzornak nevezünk. A fenti antiekvivalenciánál mármost X az M (X) Galois H-algebrának, az 23 http://www.doksihu indukált Y pedig az M (Y ) Galois

G-algebrának felel meg; M definíciójára tekintettel meggondolható, hogy e két algebra kapcsolata az alábbiakban áll: 1.9 Definíció Legyen N egy k feletti Galois H-algebra, és G ≥ H egy bővebb csoport; értelmezzük a HomH (G, N ) halmazt az N -ből örökölt műveletekkel k feletti algebraként; ennek tetszőleges f elemén definiáljuk továbbá σ ∈ G hatását a (σ · f )(τ ) = f (τ σ) képlettel; az így kapott Galois G-algebrát az N -ből indukált G-algebrának nevezünk és IndG H (N )-el jelöljük. Tehát k-algebraként IndG H (N ) = N × . × N , ahol [G : H] darab N példány szerepel; itt tehát inkább az az érdekes, ahogy G elemei ezeket az N -példányokat különféle N N automorfizmusok révén egymásra képezik. Ez a konstrukció izomorfizmus erejéig egyértelmű is. Ugyanis az ∼ X = X(N ) H-torzorból indukált Y G-torzor az X = HomH (X, H) HomH (X, G) kanonikus beágyazással együtt adott, amit jelöljünk φ-vel; ha most Y 0 egy másik

G-torzor egy ψ : X Y 0 beágyazással, akkor azonnal látszik, hogy az Im(φ) ⊆ Y halmazon értelmezett ψ ◦ φ−1 függvény G-ekvivariáns módon csak egyfeléképp terjeszthető ki a teljes Y -ra. Mivel pedig elemi megfontolásból az (X, M ) antiekvivalenciánál a monomorfizmusoknak epimorfizmusok felelnek meg, és viszont – máris megkaptuk az alábbi univerzális tulajdonságot: 1.14 Lemma Ha H ≤ G csoportok, L Galois G-algebra és N Galois Halgebra a k test felett, amelyek közt van egy szürjektív, H-ekvivariáns L N homomorfizmus, akkor L ∼ = IndG H (N ), és ez az izomorfizmus egyértelmű. Ezek alapján már könnyű lesz belátni a Galois-algebrák struktúrájának alábbi jellemzését (lásd [15] A.5, [12] 1818): 2. Tétel (Struktúratétel) Az L k feletti Galois G-algebrának legyen e ∈ L egy primitív idempotense. Legyen H ≤ G az e stabilizátora valamint N = eL Ekkor N |k Galois testbővítés, amelynek a csoportja H, és L∼ = IndG HN

Bizonyítás. Az e G-orbitja álljon az e = e1 , , er primitív idempotensekből; ezek összege, u = e1 + . + er tehát G-invariáns, így az LG = k feltétel szerint u ∈ k; másrészt u maga is idempotens és u 6= 0, így a k testben csak az lehet, hogy u = 1. Következésképp L = e1 L × × er L A Wedderburn-Artin tétel következtében itt mindegyik ei L test. 24 http://www.doksihu Tekintsünk most egy a ∈ N H elemet; legyen σ1 , ., σn a G : H (baloldali) mellékosztályok reprezentáns-rendszere, és a képei ezeknél a = a1 , ., an ; ekkor a v = a1 + + an összeg szintén G-invariáns, így az LG = k feltétel miatt v ∈ k. Viszont ev = a, hiszen ha i 6= j akkor ei ej = 0, márpedig GH elemei H definíciója szerint az a ∈ e1 L elemet csak egy másik ei L komponensbe képezhetik. Ezzel beláttuk, hogy N H = k; ezért a klasszikus elmélet szerint N |k egy H csoportú Galois-bővítés. Végül az e-vel való szorzás egy szürjektív L N k-algebra homomorfizmus,

ami láthatólag H-ekvivariáns is, ezért az L ∼ = IndG H N izomorfizmust az előző lemma állítja elő. 1.10 Definíció A fenti állításban az L|k Galois G-algebra dekompozíciócsoportjának nevezzük az e primitív idempotens stabilitizátorát Az alábbi állítás révén az indukálás és a bázisextenzió műveletei között létesítünk kapcsolatot: 1.15 Lemma Legyen s|k egy Galois G-algebra, K egy k-t tartalmazó test, és S = s ⊗k K az efölé vett bázisextenzió. Ekkor S dekompozíciócsoportja része s dekompozíciócsoportjának. Bizonyítás. Alkalmazzuk s|k esetére a Galois-algebrák struktúratételét (lásd 2): eszerint létezik egy h ≤ G csoportú l|k Galois testbővítés, amellyel s = IndG h (l). Analóg módon S|K is valamely H ≤ G csoportú L|K Galoisbővítésből áll elő indukálással Tekintsük ezen algebrák diagramját (itt minden nyíl beágyazás): O / IndG (L) HO lO LO k /K IndG h (l) Φ A felső sorban Φ-vel jelöltük az s

, S beágyazást. A struktúratételből tudjuk, hogy létezik olyan u ∈ s és v ∈ S primitív idempotens, amellyel l = us és L = vS. Ekkor v képei a σi ∈ G elemeknél szintén S primitív idempotensei, és a dimK (S) = |G| feltétel miatt, S-nek nincsen más primitív idempotense ezeken kívül. Φ(u) is idempotens, de ő már nem feltétlenül primitív; mindenesetre mindenesetre előáll primitívek összegeként, azaz 25 http://www.doksihu Φ(u) = v + σ1 · v + . + σm · v alakban, alkalmas σj ∈ G elemekkel Ha most τ ∈ H azaz τ definíció szerint fixen hagyja v-t, akkor A kommutativitása miatt fixen hagyja ezt az összeget is; így Φ injektivitása és G-ekvivarianciája miatt fixen hagyja u-t is; tehát h definíciója alapján H ≤ h. A jelen fejezetet a k feletti Galois G-algebrák fenti struktúratételéből adódó újabb ekvivalens jellemzésével zárjuk. Szokás ezt venni eleve a definíciójuknak is (lásd pl [15] p 32); a Galois-algebrák

műveleteit kiszámoló hatékony algoritmusok mindenesetre ezen alapulnak: 1.16 Állítás (Normálbázis tétel) Az L k fölötti G-algebra pontosan akkor Galois, ha létezik normálbázisa, azaz egy olyan u ∈ L eleme, amelynek Gorbitja L-ben bázis. Bizonyítás. Először legyen N |k egy Galois testbővítés; ekkor a 11 Lemma értelmében N ⊗k N = N (αi ) × . × N (αr ), ahol az αi ∈ N elemek az N |k bővítés minimálpolinomjának a gyökei; ezeket a σi ∈ Gal(N |k) elemeivel αi = σi (α1 ) alakba írva egy izomorfizmust kapunk az N [G] csoport-algebra és N ⊗k N között. Másfelől ha N elemeit k-vektorokként írjuk fel, egyszerű átrendezéssel adódik, hogy N [G] = k[G] × . × k[G] Végül a Krull-RemakSchmidt tételre hivatkozunk (lásd [13] 1072), mely szerint egy Noetherés Artin-modulus (esetünkben N [G]) direkt felbontása izomorfizmus erejéig egyértelmű; így azt kapjuk, hogy N ∼ = k[G], egy ilyen izomorfizmus léte pedig ekvivalens egy olyan u

∈ N elem létezésével, amelynek G-orbitja bázis N |k-ban. (Ez a gondolatmenet Noether és Deuring érdeme, lásd pl [4]; az elemibb bizonyítás megtalálható pl. [17] p52-3 alatt) Az általános esetben tekintsük a struktúratétel szerinti L ∼ = IndG H N előállítást; ebből világos, hogy ha u ∈ N H-orbitja normálbázis N -ben, akkor u G-orbitja normálbázis L-ben. Végül a fordított implikáció triviális 26 http://www.doksihu 1.6 Csoportbővítések és a kohomológia alapjai A csoport-kohomológia alapjainak megértéséhez a definícióknál jobb kiindulópont, ha megnézünk egy konkrét példát, ahol természetes módon merülnek fel az alacsony dimenziós kohomológia-csoportok jelenségei. Ilyen kiindulópont lehet a csoportbővítések osztályozásának a feladata, amelyet [5] IV fejezete és [8] IX. fejezete alapján ismertetünk Arra a kérdésre keressük a választ, hogy adott G és N csoporthoz hányféle olyan E csoport konstruálható, amire

N / E és E/N ∼ = G? Pontosabban, mivel E-nek több N -el izomorf normálosztója is lehet, ezért a beágyazás módját is a konstrukció részének tekintjük: 1.11 Definíció A G csoport bővítése az N csoporttal az alábbi egzakt sor: 1 /N i /E π /G /1 (1) Minden itt szereplő csoportról feltesszük, hogy véges vagy provéges. Továbbá minden szóba jövő, provéges csoporton értelmezett függvényről hallgatólagosan feltételezzük, hogy folytonos (azaz egy véges faktoron átvezethető) Vizsgálódásunkat arra az esetre szűkítjük, amikor N abeli – ezért a továbbiakban inkább A-val jelöljük és additívan írjuk. Ekkor ugyanis egyből adódik egy legelső osztályozási szempont az alábbi tényből: 1.17 Állítás Legyen s : G E egy olyan függvény, amire πs = 1G (s egy ún. szelés); ekkor az (1) egzakt sor meghatároz egy G Aut(A) hatást úgy, hogy tetszőleges a ∈ A és g ∈ G esetén: i(g · a) = s(g)i(a)s(g)−1 (2) Bizonyítás.

Az egyszerűség kedvéért azonosítsuk A-t az i(A) képével Mivel A normálosztó E-ben, ezért a konjugálás E bármelyik elemével A-t önmagába képezi; vagyis az e · a = eae−1 definícióval E hat A-n. Amikor e ∈ A, akkor a kommutativitás miatt e hatása triviális; ha tehát e és e0 azonos A szerinti mellékosztályba tartoznak, akkor a hatásuk is megegyezik. Ezért ezt az E/A = G csoport hatásának is tekinthetjük. Az s : G E szelés pusztán egy reprezentáns rendszert jelöl ki, amin keresztül az E/A mellékosztályok kifejtik a hatásukat. Ezzel az eredeti feladatunkat leszűkítettük arra, hogy A-hoz és az őrajta előre megadott G Aut(A) hatáshoz keressük az összes olyan E bővítést, ami ezt az előre megadott G-hatást indukálja A-n. 27 http://www.doksihu 1.12 Definíció G-modulusnak nevezünk egy A Abel-csoportot, amelyen adott egy β : G Aut(A) hatás. Egy G-modulus a hagyományos értelemben véve is modulus, nevezetesen a Z[G] gyűrű

felett. Egy f : A B csoporthomomorfizmus pedig akkor mondjuk, hogy megőrzi a G-modulus struktúrát, ha az α : G Aut(A) és β : G Aut(B) hatásokkal kompatibilis, azaz f ◦α = β; ez a G-ekvivariancia korábban említett fogalmával esik egybe. A G-hatás definíciójában használt s : G E szelés ugyan nem feltétlenül csoport-homomorfizmus, de mivel s(G) elemei az E/A mellékosztályok egy reprezentáns-rendszerét alkotják, ezért bármely két x, y ∈ G elem esetén s(x)s(y) és s(xy) kongruensek modulo i(A). Ezért megadható egy olyan f : G × G A függvény, amelyre: i(f (x, y)) = s(x)s(y)s(xy)−1 (3) A G-beli csoportművelet asszociativitásából adódóan f teljesíti azt, hogy: f (x, y) + f (xy, z) = f (x, yz) + x · f (y, z) (4) Végül ha a konstrukcióban csak olyan normált szelést használunk, amelyre teljesül az, hogy s(1) = 1, akkor: f (1, y) = f (x, 1) = 0 (5) 1.13 Definíció A fenti tulajdonságokkal rendelkező f : G × G A függvényeket

faktorrendszernek nevezzük; ezek halmazát Z 2 (G, A) jelöli Mivel e két definiáló tulajdonsággal rendelkező függvények különbsége is láthatólag rendelkezik velük, ezért Z 2 (G, A) egyúttal Abel-csoport is. Vizsgáljuk meg ezek után, hogy egy faktorrendszer milyen mértékig jellemzi azt a csoportbővítést, amiből megkonstruáltuk. i i0 π π0 1.14 Definíció Az A E G és A E 0 G csoportbővítés izomorf, ha adott egy olyan α : E E 0 csoport-izomorfizmus, amire i0 = αi és π 0 α = π. 1.18 Állítás Ha adott egy G Aut(A) csoporthatás és egy f : G × G A faktorrendszer, az bővítés-izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározza azt a bővítést valamint azt a szelést, amiből megkonstruáltuk. 28 http://www.doksihu Bizonyítás. Az i0 : A E 0 és π 0 : E 0 G által alkotott csoportbővítésben E 0 bármely eleme egyértelműen írható fel i0 (a)π 0 (g) alakba, ahol a ∈ A és g ∈ G; ezzel megadtunk egy α : A × G E 0

bijekciót. Tekintsük most az i(a) = (a, 1), π(a, g) = g, és s(g) = (0, g) definíciókkal megadott függvények diagramját: 0 /A i /A×G q s π /G /1 Itt Im(i) = Ker(π) azaz a sor egzakt. A célunk az lesz, hogy ezen az A× alaphalmazon definiáljunk egy olyan csoportműveletet, amire nézve i és π homomorfizmusokként viselkedik, valamint a G-hatást jellemző (2) és az f -et definiáló (3) azonosság is teljesül rá. Mindezen kívánalmak együttes teljesülése viszont már egyértelműen meghatározza két tetszőleges i(a)s(x) és i(b)s(y) elem szorzatát: i(a)s(x)i(b)s(y) = i(a)i(x · b)s(x)s(y) = i(a + x · b)i(f (x, y))s(xy) = i(a + x · b + f (x, y))s(xy) Az α definíciója szerint i0 = αi és π 0 α = π automatikusan teljesül. Sőt a fenti számolásban az a = b = 0 helyettesítéssel kapott s szelésből s0 = αs alakban visszakapjuk az f -et definiáló eredeti szelést is.) Hogyan viszonyul egymáshoz két olyan f és f 0 faktorrendszer, amit

ugyanabból a bővítésből, de két különböző s, s0 : G A szeléssel kapunk? Mivel s(g) és s0 (g) ugyanabba az E/i(A) mellékosztályba esik, a két szelés kapcsolata egy h : G A normált függvénnyel írható le: s0 (x) = i(h(x))s(x) Ha a fenti számolásba s0 -nek ezt az alakját helyettesítjük, azt kapjuk, hogy s0 (x)s0 (y) = i(h(x) + x · h(y) + f (x, y) − h(xy))s0 (xy). Ebből pedig azonnal adódik, hogy e két faktorrendszer különbsége az alábbi alakú: f 0 (x, y) − f (x, y) = h(x) + x · h(y) − h(xy) (6) 1.15 Definíció Ha A egy G-modulus és h : G A tetszőleges normált függvény, akkor az ebből származó f (x, y) = h(x)+x·h(y)−h(xy) függvényt transzformáció-halmaznak nevezzük; ezek az összeadásra nézve nyilvánvalóan csoportot alkotnak, amelynek jelölése B 2 (G, A). 29 http://www.doksihu Rövid számolással ellenőrizhető, hogy bármely transzformációhalmaz kielégíti a faktorrendszerek tulajdonságait, azaz B 2 (G, A) ≤ Z

2 (G, A). Az azonos bővítéshez, de különböző szelésekhez tartozó faktorcsoportok tehát B 2 (G, A) elemeivel vihetőek át egymásba; pontosan ezektől kell tehát eltekintenünk ahhoz, hogy a bővítések osztályozását megkapjuk. Ezzel beláttuk: 1.19 Állítás Azon 0 A E G 1 csoport-bővítések izomorfiatípusainak EG,A halmaza, amelyek A-n egy megadott G-modulus-struktúrát indukálnak, bijekcióba állítható az alábbival: EG,A ∼ = Z 2 (G, A)/B2 (G, A) Tegyük most fel, hogy a kiindulópontként vett s : G E szelés homomorfizmus volt. Ekkor definíció szerint minden x, y ∈ G esetén f (x, y) = 0 Ezzel a 1.18 Állításban megadott csoportművelet némileg leegyszerűsödik, ugyanis az i(a)s(g) ↔ (a, g) bijekció révén az alábbi alakba írhatjuk: (a, g)(a0 , g 0 ) = (a + g · a0 , gg 0 ) (7) 1.16 Definíció Adott α : G Aut(A) mellet az A × G alaphalmazon a fenti (7) csoportművelettel megadott csoport az A oα G szemidirekt szorzat. Az

elnevezést az indokolja, hogy amikor A triviális G-modulus, akkor itt a direkt szorzat definícióját kapjuk vissza. Egyedül a szemidirekt szorzatnak van tehát olyan szelése, ami homomorfizmus (amikor is hasításnak hívjuk). Persze az azonos bővítésből különböző szelésekkel képzett faktorrendszerek átmenetét leíró (6) képlet itt is érvényes, de mivel most f (x, y) = f 0 (x, y) = 0, ezért a h : G A függvény itt olyan, hogy a belőle képzett transzformációhalmaz eltűnik: 1.17 Definíció Z 1 (G, A)-val jelöljük az olyan, csavart homomorfizmusnak nevezett h : G A függvények additív csoportját, amelyekre teljesül: h(xy) = h(x) + x · h(y) Ezek tehát az s, s0 : G A o G hasítások közötti átmeneteket írják le. A legegyszerűbb példa ilyenre a a = (b, 1) ∈ i(A) elemmel való konjugálás; ez ugyanis egy i(A)s(x) mellékosztályt az ai(A)s(x)a−1 = i(A)as(x)a−1 mellékosztályba viszi át, amiért is az s0 (x) = as(x)a−1 elemek (ahol x

végigfut G-n) e mellékosztályok egy másik reprezentáns rendszerét adják. Ha s(x) = (c, x) 30 http://www.doksihu alakban áll elő valamely c ∈ A-val, akkor a szemidirekt szorzat csoportművelete szerint: (b, 1)(c, x)(b, 1)−1 = (b + c − x · b, x). Következésképp: s(x) − s0 (x) = i(x · b − b) A fenti definíciókkal analógiában ezek után itt is bevezethetünk két új csoportot: 1.18 Definíció A valamely b ∈ A elemmel g(x) = x · b − b alakban előálló függvények halmazát jelölje B 1 (G, A). Azon a ∈ A elemek halmazát pedig, amelyre x · a = a minden x ∈ G esetén, Z 0 (G, A) jelöli. Az A o G szemidirekt szorzatnak csak azokat a hasításait tekintjük lényegesen különbözőeknek, amelyeket nem lehet ilyen egyszerűen konjugálással átvinni egymásba. Ez indokolja az alábbi észrevételt: 1.20 Állítás Jelölje SG,A jelöli az s : G A o G hasítások A-konjugált osztályainak halmazát; ezt bijekcióba állíthatjuk ekképp: SG,A

∼ = Z 1 (G, A)/B 1 (G, A) A fenti példákat megfigyelve a Z i -vel illetve B i -vel jelölt csoportok sorozatában felfigyelhetünk egyfajta szabályszerűségre. Ennek megfogalmazásához a Gi A függvények halmazát jelölje C i (G, A), ahol i ∈ N és speciálisan G0 = {1}. (Ezeket inhomogén koláncoknak nevezzük) Definiáljuk ezután a ∂ r : C i (G, A) C i+1 (G, A) függvény-sorozatot az alábbi módon: (∂ 0 f )(x) = x · f − f (∂ 1 f )(x, y) = x · f (x) − f (xy) + f (y) (∂ 2 f )(x, y, z) = x · f (y, z) − f (xy, z) + f (x, yz) − f (x, y) a sor pedig láthatólag úgy lehet folytatni, hogy (∂ i f )(x1 , ., xi+1 ) = x1 · f (x2 , ., xi+1 ) + i X f (x1 , ., xj xj+1 , , xi+1 ) + (−1)i+1 f (x1 , , xi ) j=1 Ezek a leképezések egy olyan sorozatot alkotnak, ahol minden i-re teljesül az, hogy ∂ i+1 ◦ ∂ i = 0; ezen tulajdonság teljesülése esetén lánckomplexusról beszélünk. Az alacsonyabb dimenziós példák alapján az i-koláncok illetve

az i-kohatárok csoportját a Z i (G, A) = ker(∂ i ) B i (G, A) = Im(∂ i−1 ) 31 http://www.doksihu definíciókkal adjuk meg. Végül pedig a kohomológiacsoportokat a H i (G, A) = Z i (G, A)/Bi (G, A) képlettel vezetjük be. Ezeknek az alábbi három tulajdonságát egy absztraktabb felépítésben akár a definíciójuknak is vehetnénk: 1. H 0 (G, A) = AG 2. az A B egy G-modulus homomorfizmus indukál egy H 1 (G, A) H 1 (G, A) csoport-homomorfizmust 3. ha 0 A B C 0 G-modulusok rövid egzakt sora, akkor létezik a kohomológia-csoportok alábbi hosszú egzakt sora: δ H 0 (G, A) H 0 (G, B) H 0 (G, C) H 1 (G, A) H 1 (G, B) . Ez utóbbi tény bizonyításához, illetve a δ határátmeneti függvények tekintsük a ∂ függvényekből indukált di : C i /B i Z i+1 függvényeket. Rutin feladat annak ellenőrzése, hogy ezekkel a kígyó-lemma diagramja kommutál: C i (G, A)/B i (G, A) diA 0  / Z i+1 (G, A) / C i (G, B)/B i (G, B) diB  / Z i+1 (G, B) / C

i (G, C)/B i (G, C) diC  / Z i+1 (G, C) A definíciókból rögtön látható, hogy Coker(di ) = H i+1 és ker(di ) = H i . Ezért a kígyó-lemma egyszeri alkalmazásával megkapjuk a hosszú egzakt sor egy 6 tagú szakaszát. Ezeket összeilletve pedig a teljes hosszú egzakt sor előáll A δ határátmenetek pedig a közismert diagram-vadászat eredményeként állnak elő. Fontos megjegyezni, hogy a 2) tulajdonság csak olyan g : A B homomorfizmusokra teljesül, amelyek G-ekvivariánsak. Ennek okát számolással láthatjuk be; ha ugyanis f ∈ H 1 (G, A), akkor (gf )(xy) = g(f (x)+x·f (y)) = (gf )(x) + x · (gf )(y), ahol az utolsó lépésben volt szükségünk az ekvivarianciára. 32 /0 http://www.doksihu 1.7 A Galois-algebrák osztályozása A fő ok, ami miatt a csoport-kohomológia eszközei relevánsak a számunkra az az, hogy a G-torzorok, és ezen keresztül a k feletti Galois G-algebrák a H 1 (k, G) csoport elemei révén klasszifikálhatóak. Ennek a

kapcsolatnak köszönhetően tehát H 1 (k, G) elemeire úgy gondolhatunk, mint a k feletti Galois G-algebrák izomorfia-típusainak a képviselőire. 1.19 Definíció Legyen A egy Γ-modulus; az X Γ-halmazt A feletti homogén térnek nevezzük, ha adott rajta egy jobboldali A-hatás , ami tranzitív, és emellett kompatibilis Γ hatásával, azaz minden σ ∈ Γ, x ∈ X, a ∈ A esetén: σ (xa ) = (σ x)σ·a Ha továbbá A hatása hűséges is, akkor X-et principális homogén térnek, vagy más néven A-torzornak nevezzük. Ezen objektumok kategóriáját, amiben a morfizmusok az egyszerre Aés Γ- ekvivariáns leképezések, T orΓ (A) jelöli. Tekintve, hogy a H 1 (Γ, A) csoportot eredetileg az A o Γ szemidirekt szorzat hasításai révén definiáltuk, amely objektumok első látásra semmi közvetlen kapcsolatban sem állnak az A-torzokkal, ezért felettébb meglepő az alábbi tény: 1.21 Állítás Halmazként H 1 (Γ, A) és T orΓ (A) bijekcióban áll Bizonyítás.

Legyen X egy A-torzor, és x ∈ X ennek egy eleme; bármely σ ∈ Γ esetén az A-hatás tranzitivitása és hűsége miatt pontosan egy olyan aσ ∈ A létezik, ami x-et σ x-be viszi át: σ x = xaσ . Ez a σ 7 aσ hozzárendelés 1-kociklus, hiszen τ (σ x) =τ (xaσ ) = (τ x)τ ·aσ = xaτ +τ ·aσ , másfelől viszont τσ x = xaτ σ , ami az A-hatás hűsége miatt csak úgy lehet, hogy aτ σ = aτ +τ ·aσ teljesül minden τ, σ ∈ Γ esetén. Ez a kociklus azonban függ x választásától is; ha most y ∈ X egy másik elem, akkor y = xb valamely b ∈ A-val, így σ y = (σ x)σ·b = xaσ +σ·b = y −b+aσ +σ·b ; tehát y-ból kiindulva olyan 1-kociklus az eredmény, ami az előzőtől csak egy 1-kohatárban különbözik. Ezzel az A-torzorokhoz jóldefiniált módon hozzárendeltük H 1 (Γ, A) elemeit. A fordított irányban adott aσ ∈ Z 1 (Γ, A) kociklushoz konstruálunk egy A-torzort; A alaphalmazát jelölje X, amelyen a a Cayley tétel szerint A

tranzitívan és hűségesen hat a jobbról való szorzással, azaz xa = x + a minden x, a ∈ A esetén. Ezután Γ eredeti A-ra gyakorolt hatásából kiindulva definiáljuk az alábbi „csavart” hatását X-en: σ x = aσ + σ · x 33 http://www.doksihu Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban csoporthatás; ha ugyanis τ, σ ∈ Γ, akkor τ (σ x) = τ (aσ + σ · x) = aτ + τ · (aσ + σ · x) = aτ σ + (τ σ) · x = τ σ x. Az A- és a Γ-hatás kompatibilitása a definíciójukból nyilvánvaló, ezzel tehát valóban A-torzort kaptunk. Legyen most bσ az aσ -val kohomológ kociklus, és Y belőle kapott A-torzor. Ekkor létezik egy c ∈ A, amelyre aσ −bσ = σ ·c−c Az x 7 c + x szabállyal megadott X Y leképezés A-torzor izomorfizmus; ugyanis A-ekvivariáns, mert c + (x + a) = (c + x) + a, és Γ-ekvivariáns, mert bσ + σ · (c + x) = (aσ + c − σ · c) + (σ · c + σ · x) = c + (aσ + σ · x). 1.22 Következmény Ha A triviális

Gal(k)-modulus, akkor a k feletti Galois A-algebrák izomorfia-típusainak halmaza bijekcióban áll H 1 (k, A)-val: H 1 (k, A) ∼ = Galk (A) Bizonyítás. (I) Abban a speciális esetben, amikor A triviális Γ-modulus, a kompatibilitási kikötés arra egyszerűsödik, hogy σ · xa = (σ · x)a , vagyis arra, hogy Γ és A hatása felcserélhető. Pontosan ezek a fajta torzorok voltak azok, amelyekről az 1.13 Állításban kimutattuk, hogy Galk (A)-val ekvivalens kategóriát alkotnak; így az állítás az iménti eredményből következik. Bizonyítás. (II) Jelentősége miatt egy másfajta bizonyítást is adunk a fenti tényre. A G-hatás trivialitása miatt H 1 (k, A) = Hom(Gal(k), A) Mivel itt csakis folytonos f : Gal(k) A homomorfizmusok jönnek szóba, ezért bármely f átvezethető Gal(k) valamelyik véges Gal(L|k) faktoron. Tekintsük most az Epi(Gal(L|k), A) halmaz elemeit; ezek a szürjektív homomorfizmusok kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők a

magjaikkal; viszont ezek a ker(f ) / Gal(L|k) normálosztók az elemi Galois-elmélet szerint kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek az L|k bővítés köztes testeinek. Az általános esetben pedig, amikor f nem epimorfizmus, akkor is létezik egy olyan B ≤ A részcsoport, amellyel f előáll egy f 0 ∈ Epi(Gal(L|k), B) szürjekció, valamint a B , A injekció kompozíciójaként. Áttekintve az előző állítás bizonyítását, meggyőződhetünk róla, hogy a B , A injekció által indukált kanonikus H 1 (k, B) H 1 (k, A) homomorfizmusnak a Galois-algebrák szintjén az L 7 IndA B (L) indukálási operáció felel meg. Így Hom(Gal(k), A) minden eleme egy k feletti Galois A-algebrának felel meg, és viszont. 34 http://www.doksihu Ezek után természetes a kérdés, hogy a H 1 kohomológia-csoportokkal végezhető műveleteknek mi felel meg a Galois-algebrák szintjén, és viszont. Egy ilyen párhuzamot már az eddigiek alapján is megállapíthatunk: 1.23

Állítás Legyen Res : H 1 (k, A) H 1 (k 0 , A) az a művelet, amellyel a Gal(k) A 1-kociklusokat megszorítjuk Gal(k 0 )-re. Ennek a Galois-algebrák szintjén az L 7 L ⊗k k 0 bázisextenzió felel meg. Bizonyítás. Az 16 Következmény szerint Homk (L, ks ) ∼ = Homk0 (L ⊗k k 0 , ks ) . Itt a bal oldalon egy Gal(k)-halmaz áll, a jobb oldalon pedig egy Gal(k 0 )halmaz Ha most L|k történetesen egy Galois A-algebra, akkor a Homk (L, ks ) halmaz egy k feletti A-torzor. Mivel pedig ekkor az A csoport az L ⊗k k 0 tenzor-szorzat első tagján keresztül hat, a kompatibilitás a Homk0 (L⊗k k 0 , ks ) halmaz esetén is teljesül, tehát ez is egy A torzor, de Gal(k 0 ) felett. Ez a két torzor tehát majdnem identikus, az egyetlen különbség köztük az, hogy az előbbi esetében a teljes Gal(k) hatását, míg az utóbbiéban csupán Gal(k 0 ) hatását vettük tekintetbe. Ezen kívül számos további párhuzam is feltárható a torzorok szerkezete alapján. mivel ezek

könnyen meggondolhatók, ezért bizonyítás nélkül közlünk egy párat (vö [15] A9i, A11, [24] ch 5): 1) Legyen L|k Galois G-algebra és H / G. Ekkor LH egy k feletti Galois G/H-algebra, a fixalgebra-képzés műveletének pedig a kohomológiacsoportok szintjén a G G/H projekció által indukált H 1 (k, G) H 1 (k, G/H) homomorfizmus felel meg. 2) Tekintsük a nyilvánvaló H 1 (k, A) × H 1 (k, B) ∼ = H 1 (k, A × B) izomorfizmust. Ha N |k egy Galois A-algebra és M |k egy Galois B-algebra, akkor ezeknek az a M ⊗k N k feletti algebra fog megfelelni, amelyen az A × B csoport, értelemszerű jelölésekkel, a (x ⊗ y)(α,β) = xα ⊗ y β képlet szerint hat. 3) Ez után H 1 csoportműveletét is leírhatjuk a Galois-algebrák szintjén. Azt ugyanis az előbb két homomorfizmus kompozíciójaként írhatjuk fel: H 1 (k, A) × H 1 (k, A) ∼ = H 1 (k, A × A) H 1 (k, A) ahol az A × A A „projekció” nem más, mint A csoportművelete. Ennek a magja nem más, mint a

∆(A) = {(a, −a) : a ∈ A} részcsoport. Ha tehát M és N két k feletti Galois A-algebra, akkor H 1 csoportművelete ezeknek a (M ⊗k N )∆(A) algebrát fogja megfeleltetni. 35 http://www.doksihu 2. A Galois-algebrák paraméterezése Ebben a részben megadjuk az előszóban a 4 oldalon felsorolt esetekre a Galois-algebrák paraméterezését. A klasszikus eredmény e téren Kummer elmélete, amelyre minden más esetet visszavezetünk a későbbiekben. 2.1 A körosztási bővítések A jelen fejezet célja áttekinteni, hogy mikor milyen Galois-csoportja van egy körosztási bővítésnek. Ezek részint közismert, részint teljesen elemi tények, egy helyen való átismételésük talán mégsem felesleges. Mivel az xn − 1 polinom deriváltja, nx 6= 0 ha char(k) - n, ezért ekkor a 0 k = k(µn ) test Galois-bővítése k-nak. A g = Gal(k 0 |k) csoport µn -en kifejtett hatásának a leírásához abból indulhatunk ki, hogy a µn ∈ k̄ egységgyökcsoport bármilyen k

test esetén ciklikus ; legyen tehát ζ az egyik generátora Ekkor bármely τ ∈ g permutáció µn ciklikussága folytán ζ-t csakis valamelyik hatványába viheti át; létezik tehát egy modulo n egyértelmű t ∈ Z/nZ szám amelyre: τ · ζ = ζt Ekkor viszont τ bármelyik másik ζ j ∈ A elemen is csak t-edik hatványozásként hathat, hiszen τ · (ζ j ) = (τ · ζ)j = ζ tj = (ζ j )t . Tehát g bármelyik τ eleme egy csakis tőle függő t számmal való hatványozásként hat; ezzel a τ 7 t szabállyal tehát egy jóldefiniált függvényt kapunk. Itt persze t nem lehet más, mint egy Z/nZ-ben invertálható elem lehet, hiszen τ −1 -nek a t−1 számmal való hatványozásként kell hatnia. Legyen az így kapott függvény χn : G (Z/nZ)× . Erről azonnal látszik, hogy voltaképp csoport-homomorfizmus, hiszen bármely σ, τ ∈ G és ξ ∈ A elemekre: ξ χ(στ ) = (στ ) · ξ = σ · (τ · ξ) = σ · ξ χ(τ ) = ξ χ(τ )χ(σ) . Végül

triviális, hogy ez a homomorfizmus injektív, hiszen ha valamely τ ∈ g esetében τ 7 1, akkor τ identikusan hat µn -en, márpedig ez csak a g egységeleme esetén lehetséges. 2.1 Állítás Létezik egy χn : Gal(k 0 |k) (Z/nZ)× injekció, amivel rögzített ζ primitív n-edik egységgyök mellett minden τ ∈ g esetén τ · ζ = ζ χn (τ ) . 2.2 Következmény Ha az n = pν prímhatványra teljesül, hogy p > 2 vagy ν ≤ 2, akkor a g = Gal(k(µn )|k) Galois-csoport ciklikus. Bizonyítás. Ez a feltétele ugyanis annak, hogy (Z/nZ)× ciklikus legyen (lásd [7] p. 112-117); márpedig ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus 36 http://www.doksihu Természetes módon felmerül a kérdés, hogy vajon χn szürjektív-e? A válasz a k alaptesttől függően eltérő, amire két példát mutatunk. (1) Ha k = Q, akkor a χn beágyazás szürjektív (vö. [29] p 7 és 10) A Φpν körosztási polinom foka ugyanis pontosan φ(n). Mivel pedig a Q(µn )|Q bővítés

Galois, ezért a foka megegyezik a (Z/nZ)× csoport rendjével. Ezért számossági okból a χn beágyazás szürjektív. (2) Ha k = Fr , ahol r = q m egy p-től különböző q prímszámmal, akkor |Gal(Fr (µn )|Fr )| = on (r). Ez abból látszik, hogy a Gal(k(µn )|k) Galois-csoportot az x 7 xr hozzárendelés generálja, mint az könnyen meggondolható. Mivel pedig általában on (r) 6= φ(n), ezért χn sem feltétlenül szürjektív, Amikor tehát (Z/nZ)× nem ciklikus (azaz p = 2 és ν > 2), nem lehetünk biztosak χn szürjektivitásában, ezért Gal(k 0 |k) szerkezetének megállapításához ekkor más megközelítés szükséges. Ebben forrásunk [2] X1 fejezete, illetve [27] p. 210-2 Válasszunk minden r ∈ N számhoz egy ξr ∈ k̄ primitív 2r -edik egységgyököt úgy, hogy minden r-re ξr2 = ξr−1 teljesül. A ξ2 primitív 4-edik egységgyököt jelöljük a megszokott módon i-vel. Definiáljuk a k̄ algebrai lezárt alábbi elemeit: ηr = ξr + ξr−1 r

∈ N Ekkor ην , illetve a ν > 2 feltevés miatt i is eleme a k(ξν ) testnek, azaz k(i)k(ην ) ⊆ k(ξν ). Belátjuk, hogy ennek a fordítottja is igaz A definícióból ugyanis azonnal adódik, hogy r ≥ 2 esetén: ηr2 = ηr−1 + 2 ξr ηr = ξr−1 + 1 (8) (9) Legyen most L|k tetszőleges bővítés, amelyre i, ην ∈ L. A (8) értelmében ην ∈ L azt implikálja, hogy minden r ≤ ν indexre ηr ∈ L. Ekkor viszont, mivel r 6= 1 esetén ηr 6= 0 és így a (9) leoszthatunk vele, a ξ2 ∈ L feltételből az következik, hogy minden t = 2, ., ν indexre ξt ∈ L Ezzel beláttuk, hogy k(ξν ) = k(i)k(ην ) (10) A k(i)|k körosztási bővítés normális. Belátjuk, hogy nemkülönben a k(ην )|k bővítés is normális. Ehhez elég megmutatni, hogy ezt a köztes testet bármely τ ∈ Gal(k(ξν )|k) automorfizmus önmagába képezi, azaz a t = χn (τ ) jelöléssel τ (ην ) = ξνt + ξν−t ∈ k(ην ) 37 (11) http://www.doksihu Ez t szerinti

indukcióval látható be, hiszen a t = 0, 1 kezdőesetekben definíció szerint igaz az, hogy ξ t + ξ −t ∈ k(η), különben pedig, ha t ≥ 2, akkor: (ξ t−1 + ξ −(t−1) )(ξ + ξ −1 ) = (ξ t + ξ −t ) + (ξ t−2 + ξ −(t−2) ) A (11) képlet szerint τ és τ −1 megszorításai a k(ην ) testre, vagyis a Gal(k(ξν )|k) Gal(k(ην )|k) projekciónál vett képe egybeesik. Mivel χn ezt a két elemet egymás −1-szeresébe viszi, ezért a Gal(k(ην )|k) faktorcsoport (Z/nZ)× /h−1i = h5i csoportba képződik, és így χn injektivitása miatt ciklikus. Határozzuk meg a Gal(k(ην )|k) csoport rendjét Mivel ξ1 = −1 ∈ k ezért η1 ∈ k; ha pedig a k(ην )|k bővítés nem triviális, akkor ην ∈ / k. Ezért a (8) egyenletre való tekintettel létezik egy csakis a k alaptesttől függő 1 ≤ µ < ν index úgy, hogy ηr ∈ k ⇔ r ≤ µ Sőt az is igaz, hogy ha r ≥ µ, akkor ηr+1 ∈ / k(ηr ). Ha ugyanis indirekten feltesszük, hogy

ηr+1 ∈ k(ηr ), akkor ηr+1 = a + bηr valamely a, b ∈ k elemekkel. Négyzetre 2 és ηr2 tagokat, emelve, majd az eredményből (8) révén kiküszöbölve az ηr+1 2 az (1 − 2ab)ηr = a + ηr−1 összefüggésre jutunk, ami azt mutatja, hogy ηr ∈ k(ηr−1 ). Ennek az érvnek az ismételt alkalmazásával pedig arra jutunk, hogy ηµ+1 ∈ k(ηµ ) = k, ami ellentmondás. Ha tehát r ≥ µ, akkor mindegyik k(ηr+1 )|k(ηr ) bővítés foka 2, így a teljes k(ην )|k bővítés foka 2ν−µ . Ezek után több esetet különíthetünk el: (1) ha i ∈ k, akkor (1.15) szerint k(ξν ) = k(ην ), a Galois csoport az előző bekezdés szerint 2ν−µ rendű ciklikus. (2) Ha viszont i ∈ / k, és közben k(ξν )|k mégis ciklikus, akkor csak egyetlen k fölött 2 fokú köztes teste lehet, ezért szükségképp k(i) = k(ηµ+1 ). (3) Végül ha a bővítés nem ciklikus, akkor az eddigiek miatt i ∈ / k(ην ), tehát k(i) ∩ k(ην ) = k, és így alkalmazható a

Galois-elmélet alábbi egyszerű eredménye (lásd pl. [13] 6114): 2.3 Lemma Ha A|k és B|k két Galois-bővítés, akkor AB|k szintén Galoisbővítés, és ha ezen túl A ∩ B = k akkor Gal(AB|k) = Gal(A|k) × Gal(B|k) Ekkor tehát az (1.15) előállításból azt látjuk, hogy a körosztási bővítés Galois-csoportja Z/2Z × Z/2ν−µ Z. Foglaljuk össze mindezt: 2.4 Állítás Legyen k egy test, char(k) 6= 2, ν > 2, ξν primitív 2ν -edik egységgyök és i = ξ2 . Legyen ην = ξν + ξν−1 , és az r < ν indexekre ηr = 2 ηr+1 − 2. Ekkor létezik egy olyan, csak a k testtől függő µ ∈ N konstans, amely a Gal(k(ξν )|k) csoportot meghatározza az alábbi szabály szerint:  ha ν ≤ µ  0 Z/2ν−µ Z ha i ∈ k vagy k(i) = k(ηµ+1 ) Gal(k(ξν )|k) =  ν−µ Z/2Z × Z/2 Z máskülönben 38 http://www.doksihu 2.1 Definíció Ha p = 2, akkor a g = Gal(k 0 |k) csoport τ elemét kivételesnek nevezzük, amennyiben χn (τ ) = −1 A g

csoportot magát pedig akkor nevezzük kivételesnek, ha van kivételes eleme. Az elnevezés onnan ered, hogy a Wang féle ellenpéldák olyan testek esetén lépnek fel, amelyek körosztási bővítése kivételes. Az előző állítás szerint ha g nem kivételes, akkor ciklikus – de a megfordítás nem igaz Így a nem-kivételesség erősebb feltétele azt jelenti, hogy p 6= 2 vagy i ∈ k. A kivételességét az alábbi számelméleti eljárással lehet tesztelni: 2.5 Lemma (Saltman) Legyen τ ∈ g, a rendje s A χn (τ ) = t maras dékosztálynak létezik T ∈ Z egész reprezentánsa, amire az l = T n−1 szám invertálható modulo n – kivéve ha p = 2, s = 2 és t = −1 mod pν . Bizonyítás. (vö [15] p 11, illetve [22]) Azt fogjuk megmutatni, hogy a kivételes esettől eltekintve, t-nek létezik olyan t̃ ∈ Z/pν+1 Z felemeltje, amire t̃s 6= 1 mod pν+1 . Ekkor t̃ bármely T egész reprezentánsa megfelel az állításnak A feltételek szerint t 6= 1 mod pν de ts

= 1 mod pν , továbbá s | φ(pν ) Az érvünk innen [10] 8.3 fejezetén alapul: ha t̃ tetszőleges felemeltje t-nek, akkor a többi előáll t̃+pν q alakban, ahol q = 1, ., p−1 Fejtsük Taylor-sorba az f (x) = xs − 1 polinomot t̃ körül: f (t̃ + pν q) = f (t̃) + f 0 (t̃)pν q + . mod pν+1 ahol a többi tag már biztosan osztható pν+1 -el. A bal oldal q azon értékeire lesz 0, amelyek megoldásai a −f (t̃) = f 0 (t̃)pν q mod pν+1 lineáris kongruenciának. Ha most f 0 (t̃) 6= 0 mod p, akkor csak egyetlen megoldás létezik q-ban, így t bármelyik másik felemeltje a többi p − 1 ≥ 1 közül megfelel az állításnak. Ha viszont f 0 (t̃) = 0 mod p, akkor két lehetőség van: vagy f (t̃) 6= 0, és ekkor nincs megoldás q-ban, tehát mindegyik felemelt megfelel, vagy f (t̃) = 0, azaz t̃s = 1 mod pν , és emiatt az f 0 (t̃) = st̃ = 0 mod p egyenlet csak úgy teljesülhet, ha s = 0 mod p. Belátjuk, hogy ez utóbbi eset ellentmondásra vezet.

Tekintsük ugyanis ekkor a w = ts/p elemet; ennek rendje p modulo pν . Ha p > 2, akkor tudjuk, hogy (Z/pν Z)× ciklikus csoport, és ebben egyetlen p rendű részcsoport létezik, nevezetesen az, amit az 1 + apν−1 alakú elemek alkotnak, ahol a = 0, ., p − 1 Tehát w = 1 + apν−1 mod pν alakú, ahol a 6= 0, mivel az elején leszögeztük, hogy u 6= 1 mod pν . A w bármelyik felemeltje w̃ = 1 + apν−1 + bpν alakú, és w̃p == 1 + apν 6= 1 mod pν ; 39 http://www.doksihu csakhogy konstrukció szerint w̃p = t̃s a t valamelyik felemeltjére, ez pedig ellentmond annak, hogy t minden felemeltjére t̃ = mod pν . Ha viszont p = 2, akkor (Z/2ν Z)× -ben három p-rendű elem van, nevezetesen 2ν−1 ± 1 és −1. Ha w = ts/2 = 2ν−1 ± 1 mod 2ν , akkor érvelhetünk ugyanúgy mint fent Ha viszont ts/2 = −1 mod pν akkor amiatt, hogy s | φ(2ν ) = 2ν−1 , csak az lehet, hogy s = 2, mert különben −1 kvadratikus maradék volna modulo 2ν , márpedig nem az.

2.2 Kummer-elmélet Kiindulópontunk az alábbi egyszerű, de alapvető jelentőségű megfigyelés: 2.6 Állítás (Hilbert 90) Legyen L|k véges Galois-bővítés és G = Gal(L|k) Ekkor: H 1 (G, L× ) = 0 Bizonyítás. Legyen σ 7 aσ egy 1-kociklus, ami H 1 (G, L× ) valamelyik elemét P reprezentálja. Képezzük ezzel és valamely c ∈ L elemmel az s = σ∈G aσ σ(c) a karakterek lineáris függetlensége miatt (lásd 1.8 ) c ∈ L megválasztható úgy is, hogy s 6= 0. Erre az s ∈ L elemre tetszőleges τ ∈ G automorfizmust alkalmazva, az 1-kociklusok számolási szabálya szerint: P P τ (aτ σ )τ σ(c) = a−1 τ (s) = τ (aσ )τ σ(c) = a−1 τ s τ Tehát aσ előáll σb/b alakban (ahol b = s−1 ), azaz 1-kohatár. P A fenti s összeg voltaképp a ζ ∈ µn egységgyökkel képzett σ∈G σ(ζ)σ(c) Lagrange-rezolvens általánosítása. Ebből azonnal adódik az alábbi eredmény, ahol a bevezetőben felvázolt 1. és 2 eset elkülönül egymástól: 3. Tétel

(Kummer) Minden olyan k test esetén, amelyre char(k) - n: k × /k ×n ∼ = H 1 (k, µn ) Bizonyítás. Kiindulópontunk az alábbi egzakt sorozat a Gal(k)-modulusok kategóriájában: / µn /1 / k× n / k× (12) 1 s s ahol is az utolsó előtti nyíl az n-el való hatványozást képviseli, a magja ezért nyilván µn . Szürjektív pedig azért lesz, mert a ks szeparábilis lezárt definíció 40 http://www.doksihu szerint minden szeparábilis f ∈ k[x] polinomnak tartalmazza a gyökeit, márpedig a char(k) - n feltétel miatt az xn − a polinom szeparábilis, azaz ks -ben minden a ∈ k elemnek létezik n-edik gyöke. (Különben, ha char(k) = p és n = pν , akkor k[x]-ben érvényes az xn −1 = (x−1)n átalakítás; így ekkor nincs is értelme egységgyökökről beszélni, hisz egyedül az 1 volna az.) A 12 sorban szereplő homomorfizmusok továbbá mindannyian Gal(k 0 )-ekvivariánsak, hiszen bármely τ ∈ Gal(k 0 ) automorfizmusnál τ · (an ) = (τ · a)n

tetszőleges a ∈ ks0× esetén. Következésképp a modulusok ezen rövid egzakt sorozata meghatározza a kohomológia-csoportok hosszú egzakt sorát, amelynek a bennünket érdeklő szakasza az alábbi: H 0 (k, ks× ) n∗ / H 0 (k, k × ) s d / H 1 (k, µ ) n / H 1 (k, k × ) s (13) Itt azonban az utolsó tag a Hilbert 90-es tétel következtében lenullázódik, az előző kettő pedig a H 0 definíciója, valamint a Galois-elmélet főtétele következtében nem más, mint H 0 (k, ks× ) = (ks× )Gal(k) = k × . (Jegyezzük meg, hogy ez itt nem pusztán izomorfizmus, hanem szorosan értelmezett azonosság!). Ezzel végső soron az alábbi egzakt sorozatot állítottuk elő: k× n / k× d / H 1 (k, µ ) n /0 (14) A k × /k ×n ∼ = H 1 (k, µn ) csoport-izomorfizmus, ami a fenti sorozat egzaktságából adódik, az ún. Kummer-izomorfizmus A d explicit alakját is megkaphatjuk; ugyanis a d leképezés egy hosszú egzakt sor határátmeneti függvényeként állt

elő, ezért a kígyó-lemma alkalmazását visszafele követve könnyen belátható (lásd pl. [9] 324), hogy a d Kummer-leképezés az a ∈ k × elemhez a √ σ· na σ 7 √ n a √ szabállyal megadott fa : Gal(k) µn függvényt rendeli hozzá. Itt n a az egyik tetszőleges olyan α ∈ ks elemet jelöl, amire αn = a. Ennek bármelyik másik konjugáltját is használhattuk volna, de mivel σ · ζ = ζ, ez az eredményen mit sem változtatna. Ugyanígy ha a helyett valamely acn értékből indulunk ki, az eredmény akkor is ugyanaz, ezért d a mod k ×n osztályokon konstans függvény, és így tekinthetjük a k × /k ×n halmazon értelmezettnek is. Az eddigiekből máris leolvasható az inverz Galois-probléma megoldása az 1a. esetre: 41 http://www.doksihu 2.7 Állítás Minden k feletti Z/nZ csoportú L|k Galois-algebra L ∼ = k(α) n × ×n alakban áll elő, ahol α = a ∈ k ; az a elem egyértelmű modulo k . Ezt az a elemet az L|k Galois-algebra

Kummer-paraméterének nevezzük. Bizonyítás. (vö [9] 439) Gal(k)-modulusként tekintve Z/nZ mellett a µn is triviális, ezért a köztük menő Lζ : µn Z/nZ izomorfizmus Gal(k)ekvivariáns. Következésképp csoportként tekintve (de csakis akként, modulusként már nem!) H 1 (k, µ) ∼ = H 1 (k, Z/nZ). Ez utóbbi viszont az 121 állítás szerint a Gal(k)-hatás triviálisa miatt kölcsönösen egyértelmű megfelelésben áll a k feletti Z/nZ csoportú Galois-algebrákkal. Így az állítás az előző tétel alapján H 1 (k, µn ) és k × /k ×n bijekciójából következik. 2.3 Albert féle eset A µn * k eset legegyszerűbb alesete az, amikor n = p prímszám. Ennek a tárgyalása Alberttől származik (lásd [1]), aminek itt [28] nyomán egy modernebb változatát adjuk meg. Jóllehet ez csak egy speciális eset, az eltérő bizonyítási technika miatt érdemes talán röviden kitérni rá. 2.2 Definíció Legyen H / G véges indexű normálosztó, és R = {r1 , , rs

} ennek egy reprezentáns rendszere. Legyen A egy G-modulus, P és tekintsük −1 ∼ azt az IndG (A) A modulus-izomorfizmust, amit a φ 7 = H ri ∈R ri φ(ri ) leképezés létesí, ahol φ ∈ Hom(G, A). Az ezáltal indukált H 1 (H, A) / H 1 (H, IndG (A)) ∼ = H / H 1 (G, A) homomorfizmus korestrikciónak hívjuk (ez utóbbi a Shapiro-izomorfizmus, vö. [9] 332) 2.8 Állítás Jelölje Nk0 |k : k 0 k a norma-leképezést Ekkor az alábbi két diagramm, ahol a függőleges nyilak a Kummer-izomorfizmusok, kommutál: k × /k ×n    H 1 (k, µn ) Res / k 0× /k 0×n k 0× /k 0×n  / H 1 (k 0 , µ ) n H 1 (k 0 , µn )  Bizonyítás. lásd [9] p 107, 462 42 Nk0 |k Cor / k × /k ×n  / H 1 (k, µ ) n http://www.doksihu 2.9 Következmény Legyen g = Gal(k 0 |k) és d = |g| Jelölje Cor megszorítását a H 1 (k 0 , µ)g rész g-modulusra Cor∗ , illetve a d ∈ Z számmal való szorzás által képviselt homomorfizmust jelölje ×d; ekkor: Res ◦ Cor∗ =

×d Cor ◦ Res = ×d Bizonyítás. triviális az előző Állításból és az Nk0 |k norma definíciójából 2.10 Következmény Ha n = p prímszám, akkor Res izomorfizmus Bizonyítás. A 21 Állításban láttuk, hogy Gal(k 0 |k) ≤ (Z/nZ)× , és ezért d|φ(n). Ha n = p prímszám, akkor φ(p) = p − 1, tehát (d, p) = 1 Így d-nek létezik inverze modulo p, és ezzel Res inverze a fentiek szerint d−1 Cor∗ . Mivel tehát a k és k 0 feletti Galois A-algebrák kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak, ezért k 0 felettiek Kummer-paramétereit egyúttal a k felettiek paramétereinek is tekinthetjük. Az általános esetben viszont, amikor Res sem nem injektív, sem nem szürjektív, ennél bonyolultabb az összefüggés (vö. 5 Tétel) 2.4 A Hochschild-Serre egzakt sorozat A µn * k esetben nem várhatjuk, hogy általában is teljesülnek mindazok a kedvező feltételek, mint az Albert féle esetben. Viszont a klasszikus Kummerelmélet révén teljes

áttekintésünk van a k 0 feletti Z/nZ csoportú Galoisbővítések halmazáról – ezért kézenfekvő, hogy erre próbáljuk visszavezetni a k feletti, azonos csoportú Galois-bővítések kérdését is. Ennek a visszavezetésnek az eszköze a Hochschild-Serre sorozat, amelynek a bennünket érdeklő kezdőszelete az alábbi: 2.11 Állítás Legyen A egy G-modulus, és H egy normálosztó G-ben Az alábbi sor egzakt: 0 / H 1 (G/H, AH ) Inf / H 1 (G, A) Res / H 1 (H, A) (15) Bizonyítás. Legyen π : G/H A és i : AH A a kanonikus szürjekció ill beágyazás; Inf definíció szerint az f : G/H AH kociklusnak az i ◦ f ◦ π : G A kociklust felelteti meg, és kohatárt kohatárba visz, ezért jóldefiniált. Másrészt a Res függvény a g : G A kociklusnak a g|H megszorítást felelteti 43 http://www.doksihu meg, és a jóldefiniáltság itt is triviális. A bizonyítást ezek után [23] p 125 nyomán közöljük. Tegyük fel, hogy f : G/H AH olyan kociklus,

amelyre f˜ = Inf (f ) 0-kohomológ; ez azt jelenti, hogy létezik olyan a ∈ A, amelyre f˜(σ) = σ · a − a minden σ ∈ G esetén. De konstrukció szerint f˜ az egyes H szerinti mellékosztályokon konstans, így bármely τ ∈ H esetén σ · a − a = στ · a − a, amiért is τ · a = a azaz a ∈ AH . Következésképp f˜ 0-kohomológ H 1 (G/H, AH )-ban, és így Ker(Inf ) = 0. Tegyük fel, hogy az f : G A kociklust H-ra megszorítása egy 0-homológ g : H kociklust kapunk; mivel f − g ugyanazt az osztályt reprezentálja, ezért feltehető, hogy f |H = 0. A H-szerinti mellékosztályok egy ρi reprezentáns rendszerét választva G minden eleme τ ρi alakba írható valamely τ ∈ H elemmel; ezért az f (τ ρi ) = f (τ )+τ ·f (ρi ) átalakításból látható egyfelől, hogy f konstans a H szerinti mellékosztályokon és másfelől, hogy az általa felvett f (ρi ) ∈ A értékek H-invariánsak. Tehát f értelmezhető G/H AH típusú kociklusnak, és

ezzel beláttuk, hogy Ker(Res) ⊆ Im(Inf ); a megfordítás triviális. Mi a fenti eredményt arra a speciális esetre akarjuk majd alkalmazni, amikor G = Gal(k), H = Gal(k 0 ) és A = Z/nZ triviális G-modulus. Tekintettel arra, hogy a k 0 |k Galois bővítés, a főtétel szerint H / G, és ezért lesz alkalmazható itt a fenti állítás; továbbá szintén a főtétel szerint G/H nem más lesz, mint a g = Gal(k 0 |k) csoport, azaz a körosztási bővítés Galois-csoportja, amit a 2.1 fejezetben vettünk szemügyre közelebbről 2.5 A transzgresszió Mivel a Hochshield-Serre sorozatban Res általában sem nem nem injektív, sem nem nem szürjektív, ezért szeretnénk megtalálni az egzakt folytatását. Ez az alább bemutatandó, transzgressziónak nevezett T r : H 1 (H, A)G/H H 2 (G/H, AH ) homomorfizmus lesz. Gondolatmenetünkben ennek explicit leírása fontos szerepet játszik. Ehhez azonban nem vezet "királyi út": egyik fő forrásunk, [9] ennek a

transzgressziós leképezésnek eleve csak a létezését igazolja (prop. 3314); Neukirch konstrukciója ugyan nem használ túl nehéz fogalmi apparátust, cserébe viszont eléggé körülményes számolásba torkollik; Hochschild konstrukciója (lásd [11]) sokkal elegánsabb, ám előfeltételezi a csoportbővítések beható ismeretét. Mi azt a megoldást választjuk, hogy 44 http://www.doksihu mindkét alternatív konstrukciót ismertetjük – de csupán azon speciális esetekben, amelyeket a későbbiekben fel is használunk. A Neukirch féle konstrukció leírásával kezdjük (lásd [19] prop. 165), míg Hochschildét a következő fejezetre halasztjuk. Mivel ez a számolásigényesebb módszer, ezért a másiknál némileg restriktívebb egyszerűsítő feltételek mellet fogjuk csak levezetni. Ez annyi megszorítást jelent, hogy AG = A, azaz G triviálisan hat A-n. Ezek persze nem előfeltétele a transzgresszió konstrukciójának, hanem csupán a mi

leegyszerűsített tárgyalásunk kerete Az AG = A feltevés következtében H 1 (G, A) ∼ = Hom(G, A), továbbá nincs nemnulla 1-kohatár, ezért arra sincs szükség arra, hogy jelölésünkben megkülönböztessük az 1-kocilusokat az osztályaiktól, hiszen minden osztály egyelemű. A ciklikusság pótfeltevése pedig azt teszi majd lehetővé, hogy felhasználjuk a H 2 (g, A) Ag /Ng (A) izomorfizmusnak a 2.6 fejezetben levezetett explicit képletét; ezzel a transzgresszióra egy figyelemre méltóan egyszerű formulát fogunk kapni alább a 4. Tételben A transzgressziós leképezés csak a G/H-hatásra invariáns f : H A homomorfizmusokon van értelmezve; az alábbi állítás először is ennek az invarianciának a jelentését fejti ki: 2.12 Állítás Az AH = A feltevés mellett f ∈ H 1 (H, A)G/H pontosan akkor teljesül, ha bármely u ∈ H és x ∈ G esetén: x · f (u) = f (xux−1 ) Bizonyítás. Tudjuk, hogy tetszőleges xH ∈ G/H mellékosztály hatását az

őt reprezentáló x ∈ G révén lehet megadni, méghozzá a következő képlettel: (x f )(u) = x · f (x−1 ux); így f invarianciájának feltétele egyet jelent azzal, hogy f és x f csupán egy 1-kohatárban térhet el egymástól, azaz létezik olyan a ∈ A elem, amellyel: x · f (x−1 ux) − f (u) = u · a − a De itt AH = A miatt a jobb oldal 0, és az állítás ebből következik. Ha tehát a fentinél erősebb AG = A feltétel teljesül, akkor f invarianciája annyit jelent, hogy bármely u ∈ H és x ∈ G esetén f (u) = f (xux−1 ), azaz f konstans G-nek a H-ba eső konjugált-osztályain (f ún. „osztályfüggvény”) T r(f ) lényegében arra szolgál, hogy a fenti f : H A homomorfizmus Gre való kiterjesztésének az útjában álló obstrukciókat jellemezze; ezért T r(f ) konstrukciójában először is megpróbálunk egy ilyen kiterjesztést létrehozni: 45 http://www.doksihu 2.3 Konstrukció Legyen s : G/H G egy normált szelés (ez automatikusan

folytonos, mivel G/H véges); ennek a képe meghatározza a G/H faktorcsoport R = {1, r1 , ., rs−1 } reprezentáns-rendszerét; ezzel bármelyik x ∈ G elem egyértelműen írható x = ri u alakba úgy, hogy ri ∈ R és u ∈ H. Tetszőleges f ∈ H 1 (H, A) kociklusból kiindulva legyen fb : G A az a függvény, ami minden ilyen alakban előálló x ∈ G elemre azt teljesíti, hogy: fb(ri u) = f (u) Az nyilvánvaló, hogy fb|H = f , hiszen a H mellékosztály reprezentánsának épp az 1 ∈ R egységelemet választottuk. Arra viszont az fb függvénynek semmi oka sincs, hogy csoport-homomorfizmus is legyen. Némely esetekben azonban mégis ahhoz hasonlóan viselkedik: 2.13 Állítás Tetszőleges f ∈ H 1 (H, A)G/H homomorfizmus fb kiterjesztése teljesíti az fb(xy) = fb(x) + fb(y) azonosságot, hogyha x ∈ H vagy y ∈ H. Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy y = v ∈ H és az x ∈ G elem egyértelmű felírása x = ri u (ri ∈ R, u ∈ H). Ekkor fb definíciójára

tekintettel: fb(xy) = fb(ri uv) = f (uv) = f (u) + f (v) = fb(ri u) + fb(v) Legyen most fordítva x = u ∈ H és y ∈ G. Ekkor, mivel H normálosztó volta miatt y −1 uy ∈ H, a már igazolt első eset alapján azt kapjuk, hogy fb(uy) = fb(yy −1 uy) = fb(y) + fb(y −1 uy) = fb(y) + fb(u) ahol az utolsó lépésben a 2.12 állítás következményét alkalmaztuk, mivel a feltevés szerint az f homomorfizmus G/H-invariáns és AG = A. Ezek után azt is kiszámolhatjuk, hogy fb „mennyire áll távol” attól, hogy homomorfizmus legyen. Az ezt kifejező ∂ fb : G × G A függvényre az alábbi előállítást kapjuk: 2.14 Állítás HA AG = A akkor tetszőleges f ∈ H 1 (H, A)G/H homomorfizmusra és x, y ∈ G elemekre (∂ fb)(x, y) = −f (u(xH, yH)) ahol u ∈ Z 2 (G/H, G) az R reprezentáns-rendszerből nyert faktorrendszer. 46 http://www.doksihu Bizonyítás. Legyen x és y egyértelmű felírása a rögzített R reprezentáns rendszerrel és a megfelelő u, v ∈ H

elemekkel x = ri u illetve y = rj v Ekkor a a 2.13 állítás kétszer használva: fb(ri urj v) = fb(ri uri−1 )+ fb(ri rj )+ fb(v), hiszen H normálosztó volta miatt ri uri−1 ∈ H. Ezt pedig a fb definíciójára és a 212 Állításra tekintettel így alakíthatjuk tovább: fb(xy) = fb(x) + fb(y) + fb(ri rj ) Mivel definíció szerint ∂ fb = fb(x) + fb(y) − fb(xy), arra az eredményre jutottunk, hogy: (∂ fb)(x, y) = −fb(ri rj ) A jobb oldalon álló kifejezést pedig már könnyű kiszámolni az R reprezentáns rendszerből nyert u faktorrendszer révén. Ha ugyanis s : G/H G az a szelés, amiből R-et kaptuk, akkor ri rj = s(xH)s(yH) = u(xH, yH)s(xyH) de itt s(xyH) ∈ R ezért fb definíciója alapján fb(ri rj ) = f (u(xH, yH)). Ezzel az állítást beláttuk. Ebből speciálisan az is látható, hogy ∂ fb(x, y) értéke az x, y elemeknek csupán a H szerinti mellékosztályaitól függ, így tekinthetjük őt a G/H ×G/H halmazon értelmezett függvénynek is. Ez

teszi értelmessé az alábbi definíciót: 2.4 Definíció Legyen AG = A; ekkor tetszőleges f ∈ H 1 (H, A)G/H kociklus T r(f ) ∈ H 2 (G/H, A) transzgressziója az f 23 konstrukció szerinti fb kiterjesztéséből képzett ∂ fb 2-kohatárnak az osztálya: T r(f ) = [∂ fb] Eddig tehát annyit tettünk, hogy az f : H A homomorfizmust egy kézenfekvő módon kiterjesztettük egy fb : G A függvénnyé, majd T r(f ) konstrukciója révén „lemértük”, hogy ez a fb mennyire nem homomorfizmus. Szándékunk szerint a T r(f ) 6= 0 feltételnek azt kellene kifejeznie, hogy az ilyen kiterjesztés általában is lehetetlen. Attól azonban, hogy a 23 egyszerű módszerével nem sikerült ilyen kiterjesztést előállítani, még nem zárhatjuk ki valamely fe : G A homomorfizmus létezését, amelyre fe|H = f . Azt kellene ugyanis bebizonyítani ehhez, hogy ha f -et nem lehet kiterjeszteni ezzel az egyszerű módszerrel, amivel próbálkoztunk, akkor egyáltalán sehogy sem lehet

kiterjeszteni. Ez a tartalma annak az állításnak, hogy T r egzakt folytatása Res-nek, vagyis hogy T r(f ) akkor és csakis akkor 0, ha f -nek létezik kiterjesztése G-re. Az egzaktság bizonyítását [19] prop 166 nyomán adaptáltunk az általunk vizsgált egyszerűbb esetre: 47 http://www.doksihu 2.15 Állítás Legyen AG = A Ekkor T r : H 1 (H, A)G/H H 2 (G/H, A) a Res : H 1 (G, A) H 1 (H, A) egzakt folytatása. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f ∈ Im(Res) azaz létezik egy fe ∈ Hom(G, A) kociklus, amelyre f = fe|H . Ekkor ∂ fe = 0, továbbá minden x = ri u ∈ G elemre fe(x) = fe(ri ) + f (u). Másfelől az f -ből a 23 szerint konstruált fb függvény definíció szerint teljesíti azt, hogy fb(x) = f (u). Következésképp a d(x) := (fe − fb)(x) = fe(ri ) függvény x-nek csupán a H szerinti mellékosztályától függ, vagyis tekinthetjük d : G/H A típusú függvénynek. Ekként tekintve d homomorfizmus, hiszen ha y = rj v egy másik elem G-ből, akkor

d(x) + d(y) = fe(ri ) + fe(rj ) = fe(ri rj ) = d(ri rj ) = d(xy), ahol az utolsó lépés azon alapul, hogy ri rj és xy = ri urj v ugyanabba a H szerinti mellékosztályba esnek. Ha viszont d homomorfizmus, akkor ∂(fe − fb) = ∂d = 0, és így T r(f ) = ∂ fb = ∂ fe = 0. Ezzel beláttuk, hogy Im(Res) ⊆ Ker(T r) A megfordításhoz legyen az f ∈ H 1 (H, A)G/H olyan kociklus, amire T r(f ) = 0. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy ∂ fb = 0, amikor is fb egy homomorfizmus, és így fb ∈ H 1 (G, A) Mivel pedig konstrukció szerint fb|H = f , ezért f ∈ Im(Res), és ezzel a fordított irányt is beláttuk. A fejezet hátralévő részében a transzgresszió Hochschild féle konstrukcióját mutatjuk be ([11] p. 190-192) Először is a G/H-hatásra invariáns kociklusokat jellemzését (2.12) fogalmazzuk át: 2.16 Állítás Az AH = A feltétel mellett f ∈ H 1 (H, A)G/H akkor és csak akkor teljesül, ha az f -ből képzett Hf = {(f (x), x) : x ∈ H} halmaz

normálosztó a szemidirekt szorzatban, azaz Hf / A o G. Bizonyítás. Mivel az x 7 (x, f (x)) hozzárendelés az AH = A feltétel szerint egy csoport-homomorfizmus, ezért Hf részcsoport aoG-ben. Legyen ugyanis (a, u) ∈ A o G egy tetszőleges elem; ekkor: (a, u)(f (x), x)(a, u)−1 = (a + u · f (x), ux)(−u−1 · a, u−1 ) = (a + u · f (x) − uxu−1 · a, uxu−1 ) = (u · f (x), uxu−1 ) ahol az utolsó lépésben azt használtuk fel, hogy H / G miatt uxu−1 ∈ H és a feltevés szerint AH = A. A 212 állítás szerint viszont u · f (x) = f (uxu−1 ) 48 http://www.doksihu pontosan akkor teljesül, ha f invariáns G/H-ra nézve, ez tehát annak is szükséges és elégséges feltétele, hogy (f (x), x) fenti konjugáltja szintén Hf eleme legyen. 2.5 Konstrukció Legyen AH = A és f ∈ H 1 (H, A)G/H tetszőleges 0 /A /AoG 0  / A0  / A o G/Hf π πf /G /1  / G/H /1 A π : A o G G kanonikus projekció magja az (a, 1) alakú elemekből áll és izomorf

A-val. Mivel π(Hf ) = H, továbbá H és Hf normálosztók G-ben illetve A o G-ben, ezért π indukál egy πf : A o G/Hf G/H szürjektív homomorfizmust, amelynek a magja az A0 = {(a, 1)Hf : a ∈ A} halmaz. Mivel az a 7 (a, 1)Hf hozzárendelés könnyen láthatólag bijekció, azaz A ∼ = A0 , ezért az alsó sort tekinthetjük G/H egy A-val való bővítésének; ezt nevezzük az f által meghatározott transzgressziós csoport-bővítésnek. A fenti f 7 A o G/Hf szabállyal definiált H 1 (H, A)G/H EG/H,A leképezésnek az 1.6 fejezetben leírt EG/H,A H 2 (G/H, A) kompozíciójáról belátható, hogy az ugyanaz, mint a fejezet első felében definiált transzgressziós leképezés. Gondoljuk át ugyanis e két konstrukció kapcsolatát Induljunk ki egy s : G/H G egy szelésből; az H G G/H bővítés általa meghatározott faktorrendszerét jelölje u. Az s szelés révén egy sf : G/H A o G/Hf szelést is megadhatunk a τ 7 (0, s(τ ))Hf definícióval; a πf sf = 1G/H

azonosság ugyanis egyenes következménye a feltevés szerint érvényes πs = 1G azonosságnak. Mi lesz ezek után az sf szelésből származó uf faktorrendszer? Az a definíciókból azonnal látszik, hogy bármely x, y ∈ G/H esetén: uf (x, y) = (0, u(x, y))Hf Mivel u(x, y) ∈ H, ezért Hf definíciója szerint (f (u(x, y)−1 ), u(x, y)−1 ) ∈ Hf . Ez utóbbi elemmel a szemidirekt szorzat szabálya szerint beszorozva (0, u(x, y))-et, az eredmény az AH = A egyszerűsítő feltételre tekintettel (−f (u(x, y)), 1). Végeredményben tehát uf (x, y) nem más, mint az −f (u(x, y)) ∈ A elem képe az a 7 (a, 1)Hf bijekciónál. Ezzel az uf 2-kociklusra, ami nem más, mint a transzgressziós bővítés képe az EG/H,A ∼ = H 2 (G/H, A) izomorfizmusnál, az aábbi előállítást kaptuk: 49 http://www.doksihu 2.17 Állítás Ha AH = A, és f ∈ H 1 (H, A)G/H , akkor az f által meghatározott transzgressziós bővítést az alábbi 2-kociklus írja le: uf (τ, σ) =

−f (u(τ, σ)) τ, σ ∈ G/H ahol h ∈ Z 2 (G/H, H) a H G G/H bővítést jellemző 2-kociklus. Ezzel újra megkaptuk a 2.14 Állítást úgy, hogy közben jobban megérthettük, mi áll e formula hátterében A következő fejezetben azzal folytattuk a gondolatmenetünket, hogy G/H ciklikusságának feltevése mellett megadjuk a H szerinti mellékosztályok egy kézenfekvő reprezentáns rendszerét, majd annak alapján a hf egy teljesen explicit leírását. Ez eddig elmondottak azonban olyan G/H csoportokra is érvényesek, amelyek nem ciklikusak 2.6 A ciklikus eset Ebben a fejezetben rátérünk annak az esetnek a vizsgálatára, amikor a Gal(k 0 |k) Galois-csoport ciklikus. Az alábbi technikai eredménnyel kezdjük: 2.18 Lemma Legyen G egy véges ciklikus csoport, amelynek a rendje s és egyik generátora τ . Tekintsük Z-t triviális G-modulusnak Ekkor az a w : G × G Z függvény, amelyet a   i+j i j w(τ , τ ) = s képlettel definiálunk, faktorrendszer, azaz w

∈ Z 2 (G, Z). Bizonyítás. Úgy tekintjük, hogy az állításban szereplő i, j kitevők értékei nem Z/sZ elemei, hanem az azokat reprezentáló 1, 2, ., s egészek közül valók Felhasználva, hogy τ s = 1, és hogy bx − bycc = bxc − byc, ahol x, y ∈ Q, egy rövid számolás azt mutatja, hogy:  i + j + k   j+k−sb j+k i j k i c s = − w(τ j , τ k ) w(τ , τ τ ) = w τ , τ s Ugyanilyen számolással meghatározhatjuk w(τ iτ j , τ k ) értékét is, majd az így  i+j+k kapott két egyenletből kifejezve a közös tagot, a kapott egyenletből s azt látjuk, hogy w kielégíti a faktorrendszerek (4) asszociálási szabályát. 50 http://www.doksihu 2.19 Állítás Legyen G véges ciklikus csoport, amelynek a rendje s, A egy G-modulus, és w a 2.18 Állításban definiált 2-kociklus Ekkor az az AG /N (A) H 2 (G, A) leképezés, amit a Φ : a 7 a ⊗ [w] hozzárendelés indukál, izomorfizmus. Bizonyítás. Az állítás ellenőrzését több apró

lépésre bontjuk: 1) Φ szürjektív. Legyen ugyanis u egy 2-kociklus, ami H 2 (G, A) tetszőleges elemét reprezentálja; ennek az H 2 (G, A) ∼ = EG,A izomorfizmusnál egy konkrét bővítés fog megfelelni: π 0 A E hτ i 1 Válasszunk most egy τ̃ ∈ E elemet úgy, hogy π(τ̃ ) = τ . Ennek hatványai, az 1, τ̃ , ., τ̃ s−1 ∈ E elemek az A szerinti mellékosztályok egy reprezentáns rendszerét alkotják. Az ebből származó v faktorrendszer szemmel láthatólag az alábbi módon viselkedik:  0 ha i + j < s i j v(τ , τ ) = τ̃ s ha i + j ≥ s Mivel τ rendje s, ezért π(τ̃ s ) = 1, és így a sorozat egzaktsága miatt τ̃ s ∈ A. Mi több, τ̃ s ∈ AG , hiszen mindegyik τ i ∈ G a felemeltjével való konjugálás révén hat A-n, az pedig nyilvánvaló, hogy τ̃ i τ̃ s τ̃ −i = τ̃ s . Következésképp az a = τ̃ s elemmel a fenti v kociklus a v(τ i , τ j ) = a ⊗ w(τ i , τ j ) alakba írható; hiszen egyfelől a⊗1 nem más,

mint a képe az A ∼ = A⊗Z Z izomorfizmusnál, és másfelől a⊗0 = 0. Az mármost általában nem igaz, hogy u = v teljesülne, de mivel mindketten ugyanannak a bővítésnek a faktor-rendszerei, ezért az 1.18 szerint u−v ∈ B 2 (G, A). Tehát H 2 (G, A)-ra Φ már szürjektíven képezi AG -t 2) ker(Φ) ⊆ N (A). Tekintsünk egy a ∈ AG elemet, amelyre az a⊗w(x, y) kociklus a H 2 (G, A) csoport nullelemét reprezentálja. Ez azt jelenti, hogy létezik egy olyan f : G A függvény, amelyre tetszőleges x, y ∈ G esetén x · f (y) + f (x) − f (xy) = a ⊗ w(x, y) Legyen most y = τ és emellett x értéke rendre 1, τ, ., τ s−1 Ezen behelyettesítések útján az alábbi egyenletrendszert kapjuk:  0 ha 1 ≤ i ≤ s − 1 i i i+1 τ · f (τ ) + f (τ ) − f (τ ) = a ha i = s 51 http://www.doksihu Összegezve a fenti s darab egyenletet, azt kapjuk, hogy N (f (τ )) = a. 3) N (A) ⊆ ker(Φ). Tegyük fel, hogy létezik egy olyan b ∈ A elem, amellyel a = N

(b). Az f : G A függvényt ekkor definiáljuk az alábbi képlettel: f (τ i ) = b + τ · b + .τ i · b Ekkor f (τ i ) + τ i · f (τ j ) = (b + . + τ i−1 · b) + (τ i · b + + τ i+j−1 · b) Itt a jobb oldal értéke nem más, mint f (τ i τ j ) valahányszor i + j < s, illetve N (b) + f (τ i τ j ) valahányszor i + j ≥ s. Ez viszont definíció szerint azt jelenti, hogy f (x) + x · f (y) − f (xy) = a ⊗ w(x, y), tehát Φ(a) ∈ B 2 (G, A), ami pedig azt jelenti, hogy a ∈ ker(Φ). Magát a fenti izomorfizmusnak a tényét a [9] 3.411 alatt bemutatott absztrakt módszerrel sokkal elegánsabban is igazolni lehetne Itt azért választottuk mégis ezt a nagyobb számolásigényű levezetést, mert ebből az is kiderül, hogy a a 2.14 illetve a 217 Állításokban levezetett 2-kociklus pontosan mire képződik a fenti izomorfizmusnál. Ennek a képlete hf (x, y) = −f (h(x, y)) volt, ahol f egy rögzített elem H 1 (H, A)G/H -ban, h : G/H G pedig tetszőleges

szelés. Ha most bekapcsoljuk azt a többletfeltevést is, hogy G/H ciklikus, és egyik generátora τ H, akkor feltehetjük, hogy h nem más, mint az 1, τ, τ 2 , ., τ s−1 reprezentáns rendszerhez tartozó faktorrendszer Ennek a viselkedését leírtuk a bizonyításban: h(τ i H, τ j H) értéke 0 ha i + j < s, és τ s különben. Következésképp:  0 ha 1 ≤ i ≤ s − 1 i j hf (τ H, τ H) = s −f (τ ) ha i = s Ez viszont nem más, mint a −f (τ s ) ⊗ w(x, y) kociklus, amiről az előző állítás pontosan megmondja, hogy AG /N (A) melyik elemének a képeként áll elő a Φ által indukált izomorfizmusnál. Ezzel bebizonyítottuk az alábbit: 4. Tétel Legyen AG = A és G/H ciklikus, a rendje s, és τ ∈ G olyan elem, amire τ H generálja G/H-t; legyen továbbá f ∈ H 1 (H, A)G/H tetszőleges. Ekkor a fentebb definiált Φ és a T r homomorfizmusoknál: Φ−1 ◦ T r(f ) := −f (τ s ) 52 mod sA http://www.doksihu 2.7 Tate csavarás 2.6

Definíció Legyen G = Gal(ks |k), µn ⊆ ks , n - char(k); legyen továbbá A egy véges G-modulus, amelyre nA = 0. Ennek i-edik illetve −i-edik Tatecsavarása (i > 0) az alábbi G-modulus: A(i) = µ⊗i n ⊗Z A A(−i) = Hom(µ⊗i n , A) 2.20 Állítás Ha nA=0, akkor csoportként A ∼ = A(i) minden i ∈ Z-re. Bizonyítás. Indukció miatt elég az i = ±1 esetekkel foglalkozni Az i = −1 esetben rögzítsük le µn egy ζ generátorát, és minden a ∈ A elemhez rendeljük hozzá azt a ā ∈ Hom(µn , A) homomorfizmust, amelynél ζ 7 a. Mivel Hom(µn , A) bármelyik elemét teljes egészében meghatározza a ζ generátor képe, ezért az a 7 ā homomorfizmus szürjektív, a magja pedig láthatólag 0, így ez egy izomorfizmus. Az i = 1 esetben az a 7 ζ ⊗ a leképezés fog izomorfizmust létesíteni A és A(1) között. Ugyanis ez a leképezés egyfelől szürjektív, hiszen bármely ζ j ⊗ a = ζ ⊗ ja elem előáll képként. Másfelől injektív is, mert ha

történetesen ζ ⊗ a = 0 jóllehet ζ 6= 0 és q 6= 0, az csak úgy lehetséges, ha e két elem egyike osztható a másik rendjével; ez azt jelenté, hogy létezik olyan a0 ∈ A, amelyre a = na0 és ezért a bilinearitás miatt b ⊗ ζ = nb0 ⊗ ζ = b0 ⊗ ζ n = 0 teljesülne. Csakhogy az nA = 0 feltevés miatt, a nem lehet osztható n-el, ezért a⊗ζ = 0 csak úgy lehetséges, ha a = 0. Következésképp f ⊗id szintén injektív, és ezzel az i > 0 esetet is beláttuk. A Tate-csavarás tehát a csoport-struktúrát változatlanul hagyja, viszont a G-modulus struktúrában változást hoz. Ennek jellemzését akár a csavarás alternatív definíciójának is vehetnénk, amint az pl. [19] 736 alatt történik: 2.21 Állítás G-modulusként tekintve A és A(i) eltérőek, amennyiben a Ghatás ez utóbbiban tetszőleges τ ∈ G-re, a t = χn (τ ) jelöléssel: τ a = ti (τ · a) Bizonyítás. Itt is elég csak az i = ±1 esetekkel foglalkozni Az i = −1 esetben az a

7 ā izomorfizmus fenti konstrukcióját felhasználva: (τ ā)(ζ) = −1 τ · ā(τ −1 · ζ) = τ · ā(ζ χ(τ ) ) = χ(τ )−1 (τ · ā(ζ)) vagyis az állítás az i = −1 esetben teljesül. Az i = 1 esetben az a 7 ζ ⊗ a izomorfizmust vizsgálva azt látjuk, hogy: τ (ζ ⊗ a) = (τ · ζ) ⊗ (τ · a) = ζ t ⊗ (τ · a) = t(ζ ⊗ τ · a) = ζ ⊗ t(τ · a) és ezzel az állítást az i = 1 esetre is beláttuk. 53 http://www.doksihu A Tate-csavarást felfoghatjuk az n exponensű G-modulusok kategóriáján értelmezett funktornak is; az objektumok körében az A 7 A(i) szabály szerint működik, a G-modulus homomorfizmusok körében pedig mindegyikhez önmagát rendeli. Ezért triviális, hogy a Tate-csavarás mint funktor, egzakt Ha továbbá f : A B egy G-ekvivariáns csoport-homomorfizmus, akkor ez G-nek az A és B feletti csavart hatása szerint is ekvivariáns marad; ezt másképp úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a τ · f (a) = f (τ · a)

azonosság implikálja ti f (τ ·a) = f (ti (τ ·a)) azonosságot, ami f homomorfizmus voltából következik. A Tate-csavarásról szerzett fenti ismereteinket alapvetően a µn és a Z/nZ együtthatós kohomológia-csoportok viszonyának a tisztázására fogjuk használni. Ehhez először is néhány jelölést vezetünk be; legyen Lζ : µn Z/nZ a ζ j 7 j szabállyal definiált függvény; ez nyilván csoport-izomorfizmus, ha ζ primitív. Mivel alaptestünk k, aminek ζ-val való bővítése k 0 , ezért a µn csoport a természetes módon felfogható Gal(k)-modulusnak A Z/nZ csoportot pedig triviális Gal(k)-modulusnak tekintjük. Nézzük meg először is, hogy mi lesz ekkor µn (−1)? Csoportként tekintve a fenti állítás szerint µn (−1) izomorf µn -el, ami Lζ révén izomorf Z/nZvel. Ugyanígy a fenti képlet adja meg tetszőleges τ ∈ Gal(k) elemnek a ζ generátorra gyakorolt csavart hatását: τ −1 (ζ) = (τ · ζ)t −1 = ζ tt =ζ Vagyis µn

(−1) és Z/nZ-vel egyaránt triviális Gal(k)-modulusok, és így a köztük menő Lζ csoport-izomorfizmus egyúttal Gal(k)-ekvivariáns is. Természetesen mivel k 0 minden n-edik egységgyököt tartalmaz, és ezeket Gal(k 0 ) fixen hagyja, ezért µn (−1) mellett már µn is triviális lesz, ha Gal(k)-modulus helyett Gal(k 0 )-modulusnak tekintjük őt. Ezért a fentivel analóg megfontolásból az Lζ csoport-izomorfizmus Gal(k 0 )-ekvivariáns lesz. Következésképp a H 1 természetessége alapján belőle indukált L∗ζ : H 1 (k 0 , µn ) H 1 (k 0 , Z/nZ) leképezés úgyszintén csoport-izomorfizmus. Mivel ez a két kohomológiacsoport Gal(k)-modulusnak is tekinthető, felvetődik a kérdés, hogy vajon L∗ζ esetén teljesül-e a Gal(k)-ekvivariancia? Ehhez először is azt vegyük szemügyre, hogyan hat a fenti két kohomológia-csoporton Gal(k) egyik tetszőleges τ eleme. Azt tudjuk, hogy τ 54 http://www.doksihu konjugálással hat Gal(k 0 )-en; ha tehát u ∈

H 1 (k 0 , µn ) és σ ∈ Gal(k 0 ) tetszőleges, akkor a t = χn (τ ) rövidítéssel: (τ u)(σ) = τ · u(τ −1 στ ) = u(τ −1 στ ) t ahol is az utolsó lépésben t definíciójára támaszkodtunk, tekintettel arra, hogy az u függvény µn -beli értékeket vesz fel, és ezeken τ t-edik hatványozásként hat. Ezzel szemben ha v ∈ H 1 (k 0 , Z/nZ), akkor (τ v)(σ) = τ · v(τ −1 στ ) = v(τ −1 στ ), ahol az utolsó lépést az indokolja, hogy Gal(k) triviálisan hat Z/nZ elemein. Legyen most v = L∗ (u) = Lu (ahol a ζ alsó indexet mellőztük); ekkor a fentiek szerint L(τ u)(σ) = t v(τ −1 στ ) = t (τ Lu)(σ), és ez minden σ ∈ Gal(k 0 )-re igaz, amiért is azt kapjuk, hogy L(τ u) = t (τ Lu) Tehát a jobb oldalon fellépő t szorzó miatt L csakis akkor lehet ekvivariáns, ha a képtartományának H 1 (k 0 , Z/nZ) helyett a vele csoportként izomorf, de Gal(k)-modulusként már eltérő H 1 (k 0 , Z/nZ)(1)-et vesszük, hisz ebben τ hatását

a 2.21 állítás szerint épp a jobb oldalon álló képlet írja le Végezetül ha az így kapott Gal(k)-ekvivariáns L∗ζ : H 1 (k 0 , µn ) H 1 (k 0 , Z/nZ)(1) izomorfizmusra egy (−1)-es Tate-csavarást alkalmazunk, akkor az 54 állítás szerint az eredmény is Gal(k)-ekvivariáns lesz. Természetesen mivel Gal(k 0 ) triviálisan hat mind a két fenti Gal(k) moduluson, ezért ezeket a g = Gal(k)/Gal(k 0 ) = Gal(k 0 |k) csoport modulusainak is tekinthetjük. Ezzel bizonyítást nyert az alábbi tény: 2.22 Állítás g-modulusként H 1 (k 0 , µn )(−1) ∼ = H 1 (k 0 , µn (−1)), ahol az izomorfizmust a ζ j 7 j hozzárendelés által indukált L∗ζ izomorfizmus létesíti. 2.8 A csavart norma Ezen a ponton mindenekelőtt a (k 0× /k 0×n )(−1)g modulus mibenlétét kell megértenünk: melyek azok az osztályok, amelyek invariánsak a g Galoiscsoport csavart hatására nézve? Ezekre az osztályokra könnyen adódik az alábbi kézenfekvő jellemzés: 2.23 Állítás

Az [a] ∈ (k 0× /k 0×n )(−1) osztály pontosan akkor invariáns g csavart hatására, ha bármely a eleméhez létezik egy egyértelmű b ∈ k 0× elem úgy, hogy bármely α ∈ ks esetén, amire αn = a, az teljesül, hogy: τ · α = αT b ahol T ∈ Z tetszőleges egész reprezentánsa a χn (τ ) ∈ Z/nZ mellékosztálynak. 55 http://www.doksihu Bizonyítás. Valamely [a] ekvivalencia-osztály g csavart hatására való invari−1 anciája azt jelenti, hogy bármely τ ∈ g esetén τ · [a]t = [a], vagyis, hogy [τ · a] = [a]t . Itt a t ∈ Z/nZ maradékosztállyal való hatványozás azért értelmes, mert modulo n-edik hatványok szerint vett osztályokra alkalmaztuk, nem pedig az egyes a ∈ k 0× elemekre magukra. Ha viszont ennek a t maradékosztálynak kiválasztjuk egy T ∈ Z reprezentánsát, azzal már írhatjuk azt, hogy [aT ] = [a]t , az így kapott [τ · a] = [aT ] egyenlet pedig azt jelenti, hogy létezik egy olyan b ∈ k 0× elem, amellyel τ · a =

aT bn . Ha itt a két oldalból n-edik gyököt vonunk, és α-val jelöljük ks -nek az egyik olyan elemét, amire αn = a, akkor azt kapjuk, hogy τ · α = αT b0 , ahol b0 a b egyik konjugáltja. De mivel feltevés szerint a k 0 test már tartalmaz minden n-edik egységgyököt, ezért arra jutunk, hogy b0 ∈ k 0 . Végül mivel τ · ζ = ζ T ezért b0 nem függ attól, hogy α melyik konjugáltját használtuk Ezzel a g-invariáns osztályoknak megkaptuk a fenti jellemzését. Ha mármost konkrét példákat kell adnunk ilyen g-invariáns osztályokra, akkor a legkézenfekvőbb ötlet az, ha egy tetszőleges [a] osztály összes csavart hatás szerinti képének a szorzatát tekintjük. Pontosabban fogalmazva (−1) vezessük be ([28] 2.-3 fejezete nyomán) az Ng : k 0× /k 0×n k 0× /k 0×n ún. csavart normát az alábbi definícióval: "s−1 # s Y Y Y −i j τ [a] = [τ i · a]t = Ng(−1) [a] = τ −j · aT (16) τ ∈g i=1 j=0 ahol az első szorzat-formula

tetszőleges, a második pedig a τ által generált ciklikus g esetére vonatkozik, a harmadik pedig arra szolgál, hogy megad(−1) ja az Ng [a] osztály egy konkrét reprezentánsát. (Itt a futó indexben a j = s − i helyettesítést alkalmaztuk, T ∈ Z pedig a t = χn (τ ) ∈ Z/nZ maradékosztály korábban bevezetett egész reprezentánsa.) Ez a szorzat-formula azért értelmes, mert a g csoport véges. A képletből rögtön látszik az is, hogy (−1) (−1) (−1) Ng [ab] = Ng [a]Ng [b], ez tehát egy multiplikatív kifejezés, és ennyiben jogos rá a „norma” elnevezés. Mivel pedig tetszőleges σ ∈ g elemmel való szorzás csupán permutálja a τ ∈ g elemeket, ezért azonnal látszik az is, hogy (−1) valóban ImNg ⊆ (k 0× /k 0×n )(−1)g . Felvetődik azonban a kérdés, hogy vajon előáll-e (k 0× /k 0×n )(−1)g minden eleme ilyen csavart normaként? Ha pedig nem, akkor miről lehet felismerni a csavart normaként előálló osztályokat? Ez utóbbi

kérdésre az iménti állításból kaphatunk egyfajta választ: ha ugyanis az [a] osztály csavart normaként áll, akkor 2.23 szerint meghatároz egy b ∈ k 0 konstanst, ami τ hatását írja le; ezt pedig könnyen kiszámolhatjuk: 56 http://www.doksihu (−1) 2.24 Állítás Tegyük fel, hogy [a] = τ −1 · Ng [c] valamely c ∈ k 0 elemmel Ekkor [a] invariáns g csavart hatására nézve, és a 2.23 Állítás szerint ebből következően adott b ∈ k 0 konstans értéke a ζ primitív n-edik egységgyökkkel b = ζ m c−l alakba írható, ahol az m ∈ Z érték csak a-tól függ és ahol l = T s −1 n ∈ Z. Bizonyítás. Az [a] osztály g-invarianciája a csavart normákéból következik (−1) Az a 2.23 Állítás szerint ehhez társítható elemet az Ng [c] osztálynak az (16) definícióban megadott reprezentánsa révén határozhatjuk meg; a behelyettesítések után ugyanis az alábbi teleszkópos szorzatot kapjuk: s−1 c (τ −1 · cT ).(τ −(s−1)

· cT ) c τ ·a s = = −s T s = c1−T = c−ln 2 s T −1 T −1 T −(s−1) T a τ ·c τ · (c )(τ · c ).(τ ·c ) Itt a két oldalból n-edik gyököt vonva azt kapjuk, hogy τ · α/αT = ζ m c−l . Itt m értéke nem függ attól, hogy α konjugáltjai közül melyiket választottuk, hiszen ezek legfeljebb csak egy egységgyökökben térnek el egymástól; márpedig χn (τ ) és T definíciója alapján τ · ζ/ζ T = ζ χn (τ ) /ζ T = 1. Felhasználtuk végül azt is, hogy feltevés szerint τ s = 1, ezért χn (τ )s = 1, aminek a következtében s T s ≡ 1 mod n, tehát az l = T n−1 definícióval megadott szám valóban egész, és ezért van jogunk hatványozni vele. Az egyik legfontosabb példa arra, hogy hol jönnek elő csavart normák, az alábbi lemmában található, ami a ciklikus Galois algebrák paraméterezéséhez vezető úton döntő fontosságúnak fog majd bizonyulni: 2.25 Lemma (Gille) Tegyük fel, hogy g = Gal(k 0 |k) ciklikus, a rendje s,

egyik generátorának az ősképe pedig τ ∈ Gal(k). Legyen [a] egy g-invariáns osztály és αn = a; végül legyen T ∈ Z a χn (τ ) mellékosztály egész reprezens tánsa, és l = T n−1 ∈ Z. Ekkor létezik egy olyan b ∈ k 0× elem, amelyre [τ s · α/α] [al ] τ −1 · Ng(−1) [b] = Bizonyítás. Az invariancia feltevése a 223 állítás szerint ekvivalens azzal, hogy létezik olyan b ∈ k 0× , amellyel τ · α = αT b. Ha itt a két oldalon r-szer ismételten hatunk τ -val, akkor azt látjuk, hogy minden r = 1, ., s esetén: τr · α = αT r r Y i=1 57 τ i−1 · bT r−i (17) http://www.doksihu Ha ugyanis r szerinti indukciót alkalmazunk, akkor az r = 1 kezdőesetet már láttuk, ha pedig a képlet r-ig bezárólag már igazolva van, és mindkét oldalon τ -val hatunk, akkor ezt követően az i változóban végrehajtott helyettesítés után azt kapjuk, hogy: ! r+1 r r Y Y Y r−i i T r−i T r+1 T Tr Tr i−1 T r−i τ i−1 · bT τ ·b

=α = (α b) τ· α τ ·b i=1 i=1 i=1 és ezzel a fenti (17) képletet beláttuk. Itt az r = s esetben, miután átosztunk α-val, a csavart hatás illetve a csavart norma definícióját felhasználva, arra az eredményre jutunk, hogy: " # s s Y Y s s−i −i [τ s ·α/α] = αT −1 τ i−1 · bT = [αln ] [τ i−1 ·b]χn (τ ) = [al ]τ −1 ·Ng(−1) [b] i=1 i=1 És pontosan ez a formula az, amit be kellett látnunk. 2.9 Paraméterezés Most az inverz Galois-problémát arra az esetre is szeretnénk megoldani, amikor µn * k. Ezért módosítanunk kell a korábbi gondolatmenetet A Kummer-izomorfizmus szerkesztési lépéseit most k helyett a k 0 = k(µn ) testtel végezzük el. Tekintettel arra, hogy k 0 ⊆ ks , így ks0 = ks , és ezért ugyanazt a (12) sorozatot kapjuk, mint a Kummer-elméletről szóló fejezetben: 1 / µn / k× s n / k× s /1 (18) Csakhogy a korábbi esethez képest itt egy többlet-struktúra is megjelenik, nevezetesen az, hogy ennek

a sorozatnak a tagjain mára bővebb Gal(k) csoport is hat a természetes módon, miközben Gal(k 0 ) hatása triviális. Ezt tehát g-modulusok egzakt sorának is tekinthetjük, ahol g = Gal(k 0 |k). Az ekvivariancia itt is magától értetődő. Ha most e g-modulusok rövid egzakt sorozatából képezzük a kohomológia-csoportok hosszú egzakt sorozatát, a gekvivariancia erre is átöröklődik az alábbi könnyű lemma miatt (bizonyítását lásd pl. [9] 3313 alatt): 2.26 Lemma H /G és adott H-modulusok egy 0 A B C 0 rövid egzakt sorozata. Az ebből származó hosszú egzakt sorozat homomorfizmusai G-ekvivariánsak. 58 http://www.doksihu Az így kapott hosszú egzakt sorozatból kiválasztva a bennünket érdeklő részt, végezzük el a H 0 (k 0 , ks0× ) = k 0× helyettesítést, ami azonosság, nem puszta izomorfizmus, ezért ez is megőrzi a g-ekvivarianciát. Így a (14) sorozat helyett az alábbi g-ekvivariáns egzakt sorozatot kapjuk: / k 0× n k 0× d / H 1

(k 0 , µ ) n /0 (19) Így megint csak a sor egzaktságának a definíciója szerint az alábbi Gal(k)modulus izomorfizmust kapjuk: d ∼ = k 0× /k 0×n / H 1 (k 0 , µ ) n (20) Erre a diagramra alkalmazhatjuk a (−1)-es Tate-csavarást, hiszen itt mindegyik tag n-torzió-modulus. (Ugyanezt a k 0× g-modulusról már nem lehet elmondani, ezért pl. a (19) sorozatot nem állt volna jogunkban így végigcsavarni.) Az eredményül kapott izomorfizmust ezután összefűzhetjük a 2.22 állításban nyert g-modulus-izomorfizmussal: d ∼ = (k 0× /k 0×n )(−1) / H 1 (k 0 , µ )(−1) n L∗ ∼ = / H 1 (k 0 , Z/nZ) (21) Mivel a 2.7 állítás szerint a csavarás egzakt funktor, ami a 221 állítás szerint megőrzi az ekvivarianciát is, ezért itt a kompozícióként adódó leképezés g-ekvivariáns lesz. Márpedig ezen ekvivariancia következtében az egyes tagok g által fixált részei a fenti izomorfizmusnál pontosan egymásnak felelnek meg. Ezzel beláttuk az

alábbit: 2.27 Állítás L∗ ◦ d megszorítása egy (k 0× /k 0×n )(−1)g ∼ = H 1 (k 0 , Z/nZ)g izomorfizmus. A (k 0× /k 0×n )(−1)g modulust, és az ezen belül található csavart normákat az előző fejezetben írtuk le. Ezek meglepő kapcsolatára a transzgresszióval most fog fény derülni. Elérkezett az ideje ugyanis annak, hogy összekapcsoljuk a korábbi fejezetekben leírt, és az alábbi diagrammon összefoglalt leképezéseket: tr k 0× /k 0×n (−1)g / Z/sZ = L∗ ◦d ∼ 1 0  i ∼ = Tr g H (k , Z/nZ) 59  / H 2 (g, Z/nZ) http://www.doksihu Az ábrán szaggatott vonallal jelölt tr = i−1 ◦T r◦L∗ ◦d kompozíció jelentőségét az adja a számunkra, hogy ker(tr) és ker(T r) elemei pontosan egymásnak felelnek meg az L∗ ◦ d izomorfizmusnál. A tr kiszámolásához idézzük fel, hogy a d : (k 0× /k 0×n ) ∼ egyes = H 1 (k 0 , µn ) Kummer-homomorfizmus minden √ [a] osztályhoz a σ 7 σ · α/α függvényt

rendeli hozzá, ahol α = n a. Ezután a (k 0× /k 0×n )(−1) ∼ = H 1 (k 0 , µn )(−1) izomorfizmusra térünk át, amelyet - mint láttuk - pontosan ugyanez a d függvény létesíti. Ezt kell komponálnunk a ζ j 7 j szabállyal megadott L függvénnyel, majd az így kapott f = Lfa függvényre alkalmazhatjuk a transzgressziót leíró eredményünket, miszerint i−1 ◦ T r(f ) = −f (τ s ); (emlékeztetünk rá, hogy itt τ a g egyik generátorának Gal(k)-beli ősképe, valamint s = |g|); mindezt összevetve: tr([a]) = −L (τ s · α/α) (22) A zárójelben található kifejezésre viszont az előző fejezetben a 2.25 Lemma adott egy explicit kifejtést Ennek ismerete immár lehetővé teszi, hogy kimerítő jellemzést adjunk a bennünket elsősorban érdeklő, a tr([a]) = 0 feltételnek eleget tevő osztályokról: 2.28 Állítás Ha g nem kivételes (lásd 21), a rendje s és d = az alábbi sorozat egzakt: 0 / µd n / k 0× /k 0×n (−1) τ −1 ·Ng / k 0×

/k 0×n (−1)g tr n , (n,s) akkor / Z/sZ Bizonyítás. Több lépésben bizonyítunk: 1) ker(tr) ⊆ Im(τ −1 ·Ng−1 ) . Tekintsünk egy olyan a ∈ k 0 elemet, amelyre tr([a]) = 0; ez (22) alapján csakis úgy lehetséges, ha [τ s · α/α] = [1], ahol αn = a. Ezt viszont behelyettesítve a 225 képletbe, átrendezés után azt kapjuk, hogy [a−l ] = τ −1 · Ng(−1) (b) Ha tehát az l egész szám ¯l ∈ Z/nZ maradékosztálya történetesen invertálható lenne, akkor a fenti egyenletet −¯l−1 -edik hatványra emelve máris megkapnánk [a] egy olyan előállítását, ami azt bizonyítja, hogy az Im(τ −1 · Ng−1 ) halmazba esik. Ehhez a T egész reprezentánst kell úgy megválasztani, hogy s a belőle képzett l = T n−1 szám teljesítse az (n, l) = 1 feltételt. T ilyen megválasztásának a lehetőségét Saltman lemmája mondja ki (lásd 2.5) 2) Im(τ −1 · Ng−1 ) ⊆ ker(tr). Ha [a] egy olyan osztály, ami valamely (−1) c ∈ k 0× elemmel

előáll [a] = τ −1 · Ng [c] alakban, akkor a 2.24 állítás szerint 60 http://www.doksihu az a b ∈ k 0× elem, ami τ hatását leírja α-n a τ · α = αT b képlettel, nem más, mint b = ζ m c−l . Ezt behelyettesítve a 225 képletbe: [τ s · α/α] = [al ]τ −1 · Ng(−1) [ζ m c−l ] = [al ][a−l ]τ −1 · ζ ms = ζ mst −1 Ezt beírva az (22) képletbe, azt kapjuk, hogy tr([a]) = −mst−1 = 0, hiszen a tr függvény képtartománya Z/sZ. (−1) 3) Tekintsük végül a τ −1 · Ng [c] = [1] egyenletet. A 224 Állítás szerint ha c ∈ k 0× kielégíti ezt az egyenletet, akkor τ hatását az 1-en a τ · 1 = 1T (c−l ζ m ) egyenlet írja le. Tehát cl = ζ m Mivel a Saltman-lemma szerint l-nek létezik inverze modulo l, ezért azt látjuk, hogy c ∈ µn . Azonban nem minden n-edik egységgyöknek lesz a csavart normája 1. Ha ugyanis (−1) ξ ∈ µn tetszőleges, akkor Ng [ξ] = [ξ s ] ami csak akkor lesz [1], hogyha n ξ ∈ hζ (n,s) i. Ez

az eredmény teszi lehetővé a számunkra, hogy fel tudjuk ismerni azokat a k 0 feletti ciklikus Galois-algebrákat, amelyek egy k felettiekből származnak bázisextenzióval. Illesszük ugyanis össze a 228 Állításban szereplő egzakt sorozatot a Hochschild-Serre sorozattal: µdn   H 1 (g, Z/nZ)   / k 0× /k 0×n   P  / H 1 (k, Z/nZ) (−1) τ −1 ·Ng Res / k 0× /k 0×n (−1)g  tr ∼ = / H 1 (k 0 , Z/nZ)g Tr / Z/sZ  ∼ = / H 2 (g, Z/nZ) Az alsó sor egzaktsága miatt Im(Res) = ker(T r); ugyanakkor ker(T r) ∼ = (−1) −1 ker(tr); a felső sor egzaktsága miatt pedig ker(tr) = Im(τ · Ng ). Ebből tehát az alábbi következtetést vonhatjuk le: 2.29 Következmény Im(Res) elemei pontosan azok a σ · α/α alakú ko(−1) ciklusok, amelyekhez létezik olyan b ∈ k 0×n , amellyel αn ∈ τ −1 · Nτ [bm ] Az itt előállt konkrét k 0 [α] algebra azonban fontos többletinformációkat is hordoz, amelyek nem fejeződnek ki abban, hogy

ennek az algebrának az izomorfiatípusát H 1 (k, Z/nZ) melyik eleme képviseli. Megmutatjuk azonban, hogy ez a k 0 [α] algebra a k test felett már egy Z/nZ × g csoportú Galois-algebrának tekinthető, a szóban forgó többletinformáció pedig abban őrződik meg, hogy a H 1 (k, Z/nZ×g) elemei által képvisel szűkebb izomorfiaosztályok közül k 0 [α] melyikbe sorolódik be. 61 http://www.doksihu (−1) 2.30 Állítás A b 7 k 0 [α] hozzárendelés, ahol αn = τ −1 · Nτ [b] egy k 0× /k 0×n H 1 (k, Z/nZ × g) típusú csoport-homomorfizmust határoz meg. Bizonyítás. A k 0 [α] algebrán a σ ∈ Z/nZ k 0 elem egy olyan k 0 -automorfizmus útján hat, ami α-t egy egy csak σ-tól függő ξσ ∈ µn egységgyökkel való konjugáltjába viszi. A g = Gal(k 0 |k) Galois-csoport viszont nem csupán a k 0 |k körosztási bővítésen hat, hanem mivel konstrukció szerint τ · α = αT b teljesül, ahol τ ∈ Gal(k) a g generátorának egyik rögzített

ősképe és bqink 0 ; ezzel a képlettel g hatása kiterjeszthető k 0 -ről a teljes k 0 [α]-ra. Rövid számolás mutatja, hogy τ -nak ez a kiterjesztett hatása bármely σ ∈ Z/nZ hatásával felcserélhető α-n, és ezáltal a teljes k 0 [α] algebrán: στ · α = σ · (αT b) = (σ · α)T b = ξσT αT b = (τ · ξσ )(τ · α) = τ · (ξσ α) = τ σ · α Ezáltal k 0 [α] tekinthető egy olyan k feletti Z/nZ × g csoportú Galoisalgebrának, amelyben Z/nZ elemei nem pusztán k-, hanem k 0 -algebra automorfizmusok útján hatnak. Írjuk most fel azt a kociklust, ami a k 0 [α] algebrának megfelel a 1 H (k, Z/nZ × g) csoportban. Az X(k 0 [α]) fibrumnak ns eleme van, amit s darab n elemű részre oszthatunk; ezeken az egyes részeken külön-külön Z/nZ tranzitívan és hűen hat konjugálással, míg magukat a részeket g elemei viszik át egymásba Z/nZ-ekvivariáns módon. Ennek a torzornak az 121 Állításban leírt eljárás feleltet meg egy kociklust.

Ennek azt kell leírnia, hogy Gal(k) elemei hogyan hatnak a fibrum egy rögzített elemén, pl. α-n Tekintve, hogy Gal(k) bármely eleme a rögített τ -al egyértelműen írható στ i alakba, ahol σ ∈ Gal(k 0 ), ezért az α 7 στ i · α átmenet egyenértékű azzal, mintha előbb a τ i -nek megfelelő g-beli elem kiterjesztett hatását alkalmaztuk volna α-ra, majd ezután a σ · α/α egységgyöknek megfelelő Z/nZ-beli elem hatását az eredményre. Tehát a k 0 [α]|k algebrát leíró kociklus ez: σ · α  i , τi στ 7 α Ebből a csavart norma multiplikativitása révén azonnal látszik, hogy az állításban megadott függvény csoport-homomorfizmus. Ha az L = k 0 [α] algebra történetesen test, akkor az L|k 0 |k bővítéstoronyban L|k 0 és k 0 |k egy Z/nZ/ illetve g csoportú Galois-bővítés, de ezen 62 http://www.doksihu túl, mint az a bizonyításból kiderült, L|k is Galois-bővítés, amelynek a csoportja Z/nZ × g. Ezért az Lg fixtest a

Galois-elmélet főtétele értelmében egy k feletti, A = Z/nZ csoportú Galois bővítés lesz: L AA A AA AA AA k 0 AA Lg AA AA AA A k Ha viszont L egy ilyen testbővítésből indukált Galois-algebra, akkor az Lg fixalgebra nem más, mint az L-et képviselő kociklus képe a kanonikus Z/nZ× g Z/nZ projekció által indukált H 1 -homomorfizmusnál. 2.7 Definíció A 230 állításban defininált k 0× /k 0×n H 1 (k, Z/nZ × g) homomorfizmus kompozícióját a kanonikus H 1 (k, Z/nZ × g) H 1 (k, Z/nZ) projekcióval paraméterezési függvénynek nevezzük, és P -vel jelöljük 5. Tétel (Paraméterezés) A fent definiált P epimorfizmus Bizonyítás. Legyen N |k egy tetszőleges Galois Z/nZ-algebra, és N 0 jelölje az N ⊗k k 0 tenzorszorzatot. A Z/nZ × g csoport az N 0 felett a természetes (σ, τ ) · (x ⊗ y) = (σ · x) ⊗ (τ · y) definíció szerint hat, és N 0 |k erre a hatásra nézve Galois-algebra. A képlet szerint Z/nZ elemei nem pusztán k-, hanem k

0 -automorfizmusok révén hatnak. Ezért ugyanez az N 0 algebra a bővebb k 0 test feletti Z/nZ csoportú Galois-algebrának is tekinthető. Ekként tekintve N 0 |k 0 nem más, mint N |k bázisextenziója, ezért 2.29 értelmében N 0 |k 0 előáll k 0 [α] alakban, ahol α egy csavart normából származik. Az N 0 ∼ = k 0 [α] izomorfizmus így elsődlegesen k 0 feletti Galois Z/nZ-algebrák izomorfizmusa. De a g csoport is hat ezen a két algebrán, ráadásul a közös k 0 részalgebrára megszorítva ugyanazon a módon. Mint az könnyne látható, g hatása k 0 |k-ról a teljes k 0 [α]|k-ra – illetve egy azzal k 0 -izomorf algebrára – csak egyféleképp terjeszthető ki. Ezért az N 0 ∼ = k 0 [α] izomorfizmus k feletti Galois Z/nZ × galgebrák izomorfizmusa is. A g szerinti fixalgebra képzés végül N 0 |k-ból az eredeti N |k algebrát, k 0 [α]-ból pedig Im(P ) egy elemét állítja elő. Ugyanez az eredmény [15] Prop. 8 alatt az alábbi formában szerepel: 63

http://www.doksihu 2.31 Állítás (Lorenz-Roquette) Ha a g = Gal(k 0 |k) csoport nem kivételes, (−1) akkor minden [b] ∈ k 0× /k 0×n esetén az [αn ] = τ −1 · Ng [b] feltételnek eleget tevő paraméterrel k 0 [α]g egy k feletti Galois Z/nZ-algebra. És megfordítva, minden k feletti Galois Z/nZ-algebra előáll így. Az itt alkalmazott módszerünkkel ehhez képest annyi többlet adódott, hogy sikerül a kociklusok szintjén is megadni a paraméterezési leképezést, nevezetesen megmutattuk, hogy a [b] ∈ k 0× /k 0×n osztálynak a σ · α στ i 7 L α szabállyal megadott Gal(k) Z/nZ homomorfizmus fog megfelelni (ahol L : ζ i 7 i). Ebből azonnal adódott, hogy a paraméterezés nem pusztán egy függvény, hanem egy csoport-homomorfizmus, sőt a fenti kociklus alapján akár ker(P )-t is meghatározhatnánk. Leginkább azonban az látszik belőle, hogy a Lorenz és Roquette féle paraméterezési eljárás a klasszikus Kummer-elmélet természetes

általánosításának tekinthető az egységgyökök nélküli esetre. 2.10 Artin-Schreier-Witt elmélet Tegyük fel, hogy char(k) = p. Most is k-nak az n = pν rendű ciklikus bővítéseit keressük. A feladatot Artin és Schreier oldotta meg arra az esetre, ha ν = 1. Tekintsük ugyanis a ks szeparábilis lezárton értelmezett ℘(x) = xp − x függvényt. Mivel p karakterisztikában (x + y)p = xp + y p , ezért ks additív csoportjának ℘ homomorfizmusa. Mivel ks prímteste, Fp az xp − x polinom felbontási teste, ezért ker(℘) egy p elemű részcsoport ks -ben, s mint ilyen, szükségképp ciklikus: ker(℘) ∼ = Z/pZ. Az alábbi sor tehát egzakt: 0 / Z/pZ /k s ℘ /k s /0 Mivel ℘ nyilvánvalóan Gal(k)-ekvivariáns, ezért képezzünk ebből a hosszú egzakt sort. Könnyen látható, hogy az itt fellépő H 1 (k, ks ) csoport triviális Ennek elemeit ugyanis tekinthetjük k fölötti Gal(ks |k) csoportú Galois-algebráknak; ezek dekompozíciócsoportja

szükségképp triviális, ezért Gal(k) Ind1 (k) alakban állnak elő. Az indukálásról mondattak szerint tehát az őket képviselő kohomológia-osztályok a H 1 (k, 1) H 1 (k, ks ) kanonikus beágyazás képébe esnek, de az nyilvánvaló, hogy H 1 (k, 1) = 0. (Ez az érv az 64 http://www.doksihu ún. Shapiro lemma, lásd [9] p61) A hosszú egzakt sor bennünket érdeklő szakasza ezek alapján tehát így alakul: k ℘ /k / H 1 (k, Z/pZ) /0 Gal(k) ahol felhasználtuk azt is, hogy definíció szerint H 0 (k, ks ) = ks = k. Ezzel az alábbi, a klasszikus Kummer-elmélettel analóg eredményre jutottunk: 2.32 Állítás (Artin-Schreier) Ha char(k) = p, akkor H 1 (k, Z/pZ) ∼ = k/℘(k) Hogyan általánosítsuk mindezt p magasabb hatványaira? Az ehhez szükséges eszközt a Witt-vektorok adják a kezünkbe; ezeket csak nagy vonalakban ismertetjük [14] és [20] alapján. A formális hatványsorok k[[x]] gyűrűjében az 1 + xk[[x]] halmaz a szorzásra nézve csoportot

alkot, amit jelöljön Λ(k). Ezen belül 1 + xn k[[x]] nyilván normálosztó; a szerinte vett faktor Λn (k). 2.33 Állítás Λ(k) illetve Λn (k) bármely eleméhez létezik egy olyan egyértelmű b1 , b2 , ∈ k sorozat, amellyel szorzat alakba írható: 1+ ∞ X ai x i = ∞ Y (1 − bi xi ) i=1 i=1 Bizonyítás. Bármely 1 + pxi alakú hatványsor egyértelmű (1 − bxi )(1 + qxi+1 ) alakba írható, ahol p, q ∈ k[[x]]. Ebből indukcióval következik az állítás A szorzat alakra alkalmazzunk logaritmikus deriváltat; a (logf )0 = szabály, valamint a mértani sor képlete szerint ekkor ezt kapjuk: !0 ∞ ∞ ∞ ∞ Y X X X ibi xi−1 −1 log (1 − bi xi ) = = −x i bji xj i 1 − b x i i=1 i=1 i=1 j=0 f0 f P m/i Ebben a hatványsorban xm együtthatója wm = i|m ibi . Az így kapott (w1 , w2 , .) sorozatokat nevezzük Witt-vektoroknak, a halmazuk W (k), a véges, n hosszúságú Witt-vektoroké pedig Wn (k). A fent leírt eljárás egy Λ(k) W (k) függvényt

definiál; ez bijektív, mint azt pl. Möbius féle inverzióval láthatjuk Ez egyúttal egy Λn (k) ∼ = Wn (k) bijekciót is indukál. E 65 http://www.doksihu bijekció révén Λ(k) csoportművelete átvihető W (k)-ra is. Definiáljuk ezután minden n-re az Fn : Λ(k) Λ(k) függvényt az alábbi szabállyal: Fn (1 − axi ) = 1 − an xi Λ(k) elemeinek egyértelmű szorzat-alakja miatt Fn jóldefiniált. A definícióból azonnal adódik, hogy Fnm = Fn ◦Fm . A fenti számolásba való behelyettesítés útján pedig azonnal meggyőződhetünk róla, hogy: 2.34 Állítás Ha p = char(k), akkor az f 7 Fp (f )/f hozzárendelésnek p a Λν (k) ∼ = Wν (k) bijekciónál a ℘ν : (w1 , ., wν ) 7 (w1 − w1 , wνp − wν ) hozzárendelés felel meg. Ebből látható, hogy ℘ν magja a Fnp halmaz; de ℘ν homomorfizmus volta miatt ennek egy részcsoport felel meg a Λn (k) Abel-csoportban, ami végessége folytán szükségképp ciklikus, ezért ker(℘n ) ∼ = Z/pν Z.

Így az alábbi egzakt sort kaptuk: 0 / Z/pν Z / Wν (ks ) ℘ν / Wν (ks ) /0 Mivel Gal(k)-modulusként Wν (ks ) = ksν , így H 1 (k, Wν (ks )) = 0. Hasonlóan az is világos, hogy H 0 (k, Wν (ks )) = Wν (k). Következésképp ugyanazt az érvet alkalmazhatjuk, mint az Artin-Schreier elméletnél, és ezzel megkapjuk a Kummer-tétel megfelelőjét a moduláris esetre: 2.35 Állítás Ha char(k) = p akkor H 1 (k, Z/pν Z) ∼ = Wν (k)/℘ν (Wν (k)) Itt a H 1 H 2 határátmenet konstrukcióját a kígyó-lemma diagramján végigkövetve meggyőződhetünk róla, hogy a w = (w1 , ., wν ) Witt-vektornak a k(w1 , ., w2 ) testbővítés, vagy egy abból indukált algebra fog megfelelni 66 http://www.doksihu 3. A Grunwald-Wang tétel Mivel a lokális testek előzetes ismeretét előfeltételezzük, ezért az alapfogalmakat csak a jelölések rögzítése végett soroljuk fel. A k test diszkrét értékelésének egy olyan v : k × Z csoporthomomorfizmust nevezünk,

amelyre: v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) Konvenció szerint v(0) = ∞. Az Ov = {x ∈ k : v(x) ≥ 0} halmaz egy főideálgyűrűt alkot k-ban, aminek a hányadosteste k. EZ egyúttal lokális gyűrű is, mert egyetlen maximális ideálja van, nevezetesen a Mv = {x ∈ k : v(x) > 0} halmaz. Az egységek csoportja Ov Mv , az ún a maradék-test pedig k̄v = Ov /Mv . Bármely v értékelés esetén az |x| = −v(x) definíció (ahol  > 0) egy abszolút értéket határoz meg, és ezen keresztül egy metrikus topológiát a k test felett; k teljessé tételét, vagy röviden: telítettjét, b kv jelöli. Amennyiben k teljes, a benne lévő „egészekre”, azaz Ov elemeire úgy gondolhatunk, mint egy π ∈ Ov elem k̄v -együtthatós formális hatványsoraira. (Itt π egy ún uniformizáló elem, azaz v(π) egy generátora a v(k) ≤ Z részcsoportnak) Ebben a szemléletben a v-ből származtatott topológia különösen egyszerű alakot ölt, nevezetesen az O ⊇ πO ⊇ π 2 O

⊇ . halmaz-sorozat, ún "filtráció" a 0 egy környezetbázisa; ebből a k × topologikus csoport minden elemének előáll egy környezetbázisa. Tekintsük ezek után a φm : O/π m+1 O O/π m O szürjekciók végtelen sorozatát (ez egy ún. "szürjektív rendszer") Ha (xn ) egy Cauchy-sorozat, az azt jelenti, hogy a sorozat tagjainak egy bizonyos küszöbindextől kezve minden tagja ekvivalens modulo π m O egy meghatározott ξm ∈ O/π m O elemmel. A (xn ) sorozatnak ilymódon megfeleltetett (ξn ) sorozat pedig minden m ∈ N esetén teljesíti azt, hogy φm (ξm+1 ) = ξm , vagyis ún koherens rendszer. Ezek halmaza evidens módon gyűrű, és ezt nevezzük a fenti szürjektív rendszer projektív limesének, ami tehát definíció szerint nem más, mint az O gyűrű telítése a v szerinti topológiában: b = lim O/π m O O ←− b hányadostesteként (lásd még [3] ch. 10) és ennek fényében b k definiálható O 67 http://www.doksihu A

diszkrét értékelésből származó abszolút értékek teljesítik az ultrametrikus egyenlőtlenséget: |x + y| ≤ max(x, y). Ha ehelyett csupán a gyengébb |x + y| ≤ |x| + |y| háromszög egyenlőtlenséget teljesíti, akkor ún. archimédeszi értékelésről beszélünk Mindazt, amit erről az anomáliáról algebrai szempontból tudni érdemes, azt Osztrovszkij tétele tartalmazza; eszerint ha a k testnek létezik archimédeszi értékelése, akkor k = R vagy k = C. 3.1 Az approximációs lemma A lokális testek algebrai és topológiai struktúráinak szoros összefüggése miatt lehetőség nyílik rá, hogy az analízisből ismert egyszerű approximációs eljárásokat itt algebrai eszközökkel értelmezzük újra. 3.1 Állítás Ha 0 (An ) (Bn ) (Cn ) 0 szürjektív rendszerek egy egzakt sora, akkor 0 lim An lim Bn lim Cn 0 is egzakt. ←− ←− ←− Bizonyítás. ([3] 10 2 nyomán) Tekintsük az alábbi szürjektív rendszert: πn /A n . / . / An−1

π1 /A 0 Q Ennek projektív limesét az A = Ai végtelen direkt szorzat faktoraként is elő lehet állítani. Tekintsük ugyanis azt a dA : A A homomorfizmust, amit koordinátánként definiálunk az an 7 an − πn+1 (an+1 ). Valamely (an ) sorozat pontosan akkor koherens (avagy Cauchy), ha ker(dA )-hoz tartozik. Továbbá Coker(dA ) = 0, azaz dA szürjektív, hiszen az an = xn − πn+1 (xn+1 ) rekurziót az xn ismeretlenekben mindig meg lehet oldani. Ezután alkalmazzuk a kígyólemmát az alábbi diagrammra: A 0  dA /A /B  dB /B /C  /0 dC /C 3.2 Következmény Legyen An és Bn két szürjektív rendszer Ekkor: lim(An × Bn ) = lim An × lim Bn ←− ←− ←− ι π n n Bizonyítás. Bn = An × Cn azt jelenti, hogy a 0 An Bn Cn 0 sorozat egzakt és felhasad. Az pedig nyilvánvaló, hogy a ιn , illetve a πn homomorfizmusok sorozata szürjektív rendszerek közti morfizmus. 68 http://www.doksihu 3.3 Állítás (Approximációs lemma) Legyen a k

testen adott a v1 , vr inekvivalens diszkrét értékelés, és k ezek szerint vett telítéseit jelölje K1 , , Kr Ekkor az k , K1 × . × Kr diagonális beágyazásnál k képe sűrű részhalmaz. Bizonyítás. (Artin-Whaples analízisbeli bizonyítását lásd pl [13] 1212 alatt; ehelyett [23] p. 23-4 gondolatára támaszkodunk) Legyen A az a gyűrű, amelynek a hányadosteste k; a v1 , , vr értékelések inekvivalenciája azt jelenti, hogy a hozzájuk tartozó p1 , ., pr értékelésideálok különbözőek Ezek prímideálok A-ban ezért páronként koprímek. Emlékeztetünk arra, hogy ekkor pi pj = pi ∩ pj , minden i, j -re Ha továbbá n-edik hatványra emeljük a pi + pj = (1) egyenletet, a binomiális tételben az első n − 1 tagot egy helyre csoportosítva azt látjuk, hogy pi + pnj = (1), így ezek is koprimek. Ezek után a p = p1 .pr szorzatról a tényezők száma szerinti indukcióval láthatjuk, hogy p = p1 p2 .pr = p1 (p2 ∩ ∩ pr ) = p1 ∩ p2 ∩ pr

Végül ha n-edik hatványra emelünk, akkor a kitevő szerinti indukció azt mutatja, hogy pn = (p1 .pr )(pn−1 ) = (p1 .pr−1 )(pn−1 ∩ pnr ) = . = ∩ . ∩ pn−1 ∩ . ∩ pn−1 1 1 r r n n p1 ∩ . ∩ pr Mindebből a kínai maradék tétel alapján azt kapjuk, hogy: A/pn = A/pn1 ∩ . ∩ pnr = A/pn1 × × A/pnr Tekintve, hogy az A/pn illetve az A/pni gyűrűk sorozata, ahol n = 1, 2, ., szürjektív rendszert alkot, a két oldalon inverz limest képezve, és a jobb oldalon 3.2 alapján a limest felcserélve a direkt szorzással, azt kapjuk, hogy: b = lim A/pn = lim A/pn × . × lim A/pn = A c1 × . × A cr A 1 r ←− ←− ←− Itt a bal oldalon az A gyűrűnek a p ⊇ p2 ⊇ p3 ⊇ . filtrációból származó topológia szerinti telítése áll, a jobb oldal pedig hasonlóan értelmezendő. c1 × . × A cr -ban. Mivel pedig a k test Ki telítései Tehát A sűrű részhalmaz A ci gyűrűk hányadostestei – ezért az definíció szerint nem egyebek, mint a A

állítást beláttuk. A bizonyítás gondolatmenetét számos olyan szituációra alkalmazhatjuk, amikor egy L testen több inekvivalens értékelés adott. Ilyen eset például az is, amikor egy k értékelt testnek adott egy L|k Galois-bővítése. Ekkor a v értékelés a k alaptestről L-re több inekvivalens módon terjesztjük ki, hiszen ha v1 egy kiterjesztés, és σ ∈ Gal(L|k), akkor v1 ◦ σ is egy kiterjesztés. Ha 69 http://www.doksihu most A ≤ k az egészek gyűrűje, és B ≤ L ennek integrális lezártja, akkor a v értékelésnek megfelelő p / A ideál "felett" a v1 , ., vr kiterjesztett értékeléseknek megfelelő p1 , , pr / B prímideálok helyezkednek el úgy, hogy p = ∩ri1 pi Ekko p a B-nek is prímideálja, ezért a p ⊇ p2 ⊇ . filtráció az L-en is megad egy topológiát, amelyet a p1 , ., pr által hasonló módon meghatározott topológiák "keverékének" nevezünk (Az elnevezést az indokolja, hogy ha | · |i az i = 1,

.r értékelésekhez tartozó abszolút értékek, akkor a µ(x) = maxri=1 |x|i definícióval megadott függvény, jóllehet nem abszolút érték, de a háromszög egyenlőtlenséget kielégíti, vagyis egy metrika – méghozzá enm más, mint amit a p filtrációja hoz létre). Természetes módon felvetődik a kérdés, hogy mib telítés, az egyes ként viszonyul az ezen keverék-topológia szerint képezett L c c v1 , ., vr értékelések szerint külön-külön képzett L1 , , Lr telítésekhez? 3.4 Állítás Ha k egy diszkrét értékelési test, L|k ennek egy Galois bővítése, és ezen v1 , ., vr a k értékelésének inekvivalens kiterjesztései, akkor L telítése ezek keverék-topológiájában: b∼ b∼ L = L ⊗k K = r Y bi L i=1 Bizonyítás. Definíció szerint minden n-re az alábbi sorozat egzakt: 0 / pn A b / b A / A/pn A /0 Ebből az L-el tenzori szorzat jobbegzakt művelete révén egy újabb egzakt sort kapunk minden n-re, amely az értelemszerű

homomorfizmusokkal szürjektív rendszerek egzakt sorává áll össze. Ebben L-et A-modulusnak tekintve, elemi megfontolás mutatja, hogy (A/pn A) ⊗k L = L/pn L, az eredmény tehát: b ⊗k L pn A /A b ⊗k L φn / L/pn L /0 Itt a φn homomorfizmusok sorozata a nyilvánvaló módon szürjektív rendszen rek közti homomorfizmussá áll össze, amelynek a magja 0, mivel ∩∞ i=0 p = 0. A középső sorozat konstans, a limese így nyilvánvaló. A jobb oldali sorozat inverz limese pedig definíció szerint nem más, mint L-nek a p filtrációja b Ezzel beláttuk, hogy A b ⊗k L = L. b szerinti telítése, azaz lim L/pn L = L. ←− Tekintve, hogy definíció szerint p = p1 .pr , a kínai maradék tétel szerint L/pn L = L/pn1 L × . × L/pnr L, így a direkt szorzat és a limesképzés felcserélb∼ c1 × . × L cr . hetőségé adódóan végül azt kapjuk, hogy L =L 70 http://www.doksihu Ez az állítás azt mutatja, hogy a telítés az egyik legfontosabb példa a b∼

b előállításból ugyanis rögtön Galois-algebrák keletkezésére. Az L = L ⊗k K b b látszik, hogy L étale-algebra K felett (vö. 11); ezen a tenzor-szorzaton a G = bG = k⊗k Gal(L|k) csoport az első tényezőn keresztül hat, így az is igaz, hogy L b∼ b ezen túl a dimenzióra vonatkozó megkötés is evidens, így L b valóban K = K; b felett. A direkt összeg előállítás pedig azt mutatja, hogy Galois G-algebra K b testbővítések Galois-csoportja nem más, mint az egymással izomorf Lbi |K bK b Galois-algebrának a dekompozíció-csoportja. A bevezetőben ennek a L| b∼ b alakú bázisextenzió viszont megállapítottuk (lásd 1.15), hogy a L = L ⊗k K dekompozíciócsoportja egy részcsoport L|k dekompozíciócsoportjában, ami történetesen épp Gal(L|k). Mivel pedig mindez bármely véges szeparábilis L|k testbővítés esetén elmondható, ezért az alábbi észrevételt tehetjük: 3.5 Következmény Legyen Ki a k alaptest telítése a vi értékelés

szerint Ekkor Gal(Ki ) ≤ Gal(k) 3.2 Lokális gyökvonás Az alábbiakban [6] ch. I6 alapján megvizsgáljuk, hogy ha K egy diszkrét értékelési test, akkor abban hogyan lehet p-edik gyököt vonni. Itt több alesetet kell elkülönítenünk aszerint, hogy p hogyan viszonyul a K test illetve a K̄ maradéktest karakterisztikájához: 1. ha char(K) = 0 nagy p - char(K) (a) ha char(K̄) = 0 nagy p - char(K̄) (b) ha char(K̄) = p 2. ha p | char(K) Az 1. esetben K prímtestének elemeként p 6= 0, és ezért v(p) < ∞ A 2 esetnek azért nincs két aleset, mert nyilvánvaló, hogy ha char(K̄) = p, akkor char(K) = p. A gyökvonás vizsgálatában a teljes K × helyett annak alábbi részcsoportjaira szorítkozunk: 3.1 Definíció A főegységek csoportja Ui = 1 + Oπ i , ahol i ≥ 1 3.6 Állítás Az 1a esetben az Ui csoport osztható p-vel 71 http://www.doksihu Bizonyítás. Tekintsük azt az Ui K̄ + leképezést, amit az 1 + aπ i + 7 a szabály definiál, ahol is a ∈

K̄. Ez homomorfizmus, mint arról könnyen meggyőződhetünk: (1 + aπ i + .)(1 + bπ i + ) = 1 + (a + b)π i + mod π i+1 feltéve hogy i ≥ 1 és ezért 2i ≥ i + 1. Az ezáltal indukált Ui /Ui+1 K̄ homomorfizmus pedig nyilvánvalóan izomorfizmus. Tekintettel arra, hogy feltevés szerint K̄ + -ban nincs nem-triviális p-torzió, ezért Ui /Ui+1 -ben sem lehet. Következésképp a p-edik hatványozás Ui /Ui+1 -nek egy automorfizmusát indukálja Ez azt jelenti, hogy bármely η ∈ Ui elemhez található egy olyan γ1 ∈ Ui és η1 ∈ Ui+1 elem, amellyel η = γ1p η1 . De ugyanezt η1 -re is elismételhetjük, így rekurzíven egy η = γ1p η1 = γ1p γ2p η2 = . sorozatot kapunk, Q+∞ ahol γj ∈ Uj és ηj ∈ Ui+j . A j=1 γj sorozat tehát nyilvánvalóan Cauchy, ezért ha K teljes, akkor konvergens. Ha most char(K̄) = p, akkor p-t mint K egyik elemét hatványsorba fejtve a főegyüttható szükségképp 0, ezért p ∈ M, és így v(p) ≥ 1. 3.2 Definíció Ha

char(K) = 0 de char(K̄) = p akkor az e = v(p) számot a K test abszolút elágazási indexének nevezzük. Legyen továbbá θ ∈ O× az az egyértelműen adott elem, amellyel p hatványsora p = θπ e alakba írható. 3.7 Állítás Az 1b esetben ha K teljes és i > e , p−1 p akkor Ui+e ∼ = Ui . Bizonyítás. Legyen 1 + α ∈ Ui , azaz v(α) = i, és így α = βπ i alakba írható egy β ∈ O× elemmel. Ekkor a binomiális tétel szerint:     p p p (1 + α) = 1 + α + . + αp−1 + αp 1 p−1 Mivel minden binomiális együttható osztható p-vel, de p magasabb hatványával már nem, ezért a jobb oldali összeg tagjainak az v szerinti értékelése rendre: 0, e + i, e + 2i, . e + (p − 1)i, pi Ezért az i nagyságrendjére tett kikötés miatt: v((1 + α)p − 1) = min(e + i, pi) = e + i. Ekkor viszont: (1 + βπ i )p = 1 + θβπ i+e mod π i+e+1 Ezzel beláttuk, hogy a p-edik hatványozás egy injektív Ui Ui+e homomorfizmus. Ezen kívül a fenti

képletről az is leolvasható, hogy miként határozható meg egy tetszőleges η ∈ Ui+e elem közelítő p-edik gyöke, vagyis hogy hogyan 72 http://www.doksihu írható fel η = γ1p η1 alakba egy alkalmas γ1 ∈ Ui és η1 = Ui+e+1 elemmel. De a fenti gondolatmenetet η1 -re is elismételhetjük, hisz a nagyságrendi kikötés itt is teljesül, és így tovább. Ez a rekurzió pedig, K teljessége miatt ugyanúgy előállítja η p-edik gyökét, mint 3.6 esetében 3.8 Állítás Az 1 esetben, ha K teljes test, akkor K ×n nyílt normálosztó K × -ban. Bizonyítás. Az triviális, hogy K ×n /K × , ezért csak a nyíltságot kell ellenőrizni Ha K értékelése arhimédeszi, akkor Osztrovszkij tétele miatt K nem más, mint C egyik részteste, így ebben az esetben az állítás nyilvánvaló. Ha az értékelés nem archimédeszi, akkor a 3.6 Állítás szerint U1 ≤ K ×n vagy a 37 szerint U1+νe ≤ K ×n . Következésképp tetszőleges x ∈ K ×n pontnak xUi egy

nyílt környezete, ha i elég nagy, és ezzel beláttuk hogy K ×n nyílt. Megjegyzés. A fenti eredményeket kevésbé direkt módon a Hensel-lemma segítségével is le lehetne vezetni Ez azt mondja ki, hogy ha az f ∈ K[x] polinomnak létezik olyan u ∈ K „közelítő gyöke”, amelyre |f (u)| < |f 0 (u)|2 , akkor létezik f (v) = 0 pontos gyöke is. Ha ezt az f (x) = xn − a polinomra alkalmazzuk, amelynek deriváltja f 0 (x) = nxn−1 , akkor ennek helyettesítési értéke az x = 1 helyen: f (1) = a − 1 és f 0 (1) = n. Ha tehát teljesül az, hogy |a − 1| < |n|2 , (ez csak úgy lehet ha n relatív prím a char(K)-hoz), akkor a Hensel-lemma előállítja a számunkra az f (x) = 0 egyenlet egy megoldását, azaz a-nak egy K-beli n-edik gyökét. Tehát ezen az úton is azt kapnánk, hogy |a − 1| elegendően kicsi, azaz a ∈ Ui valamely i-re, akkor a-nak létezik n-edik gyöke K-ban. Ha char(k) = p, akkor a p-edik hatványozás k additív csoportjának

endomorfizmusa. Ezért ha α ∈ O, akkor (1 + απ i )p = 1 + αp π ip Mivel O-ban nincs nem triviális p-torzió, ezért azt látjuk, hogy a p-edig hatványozás egy Ui , Ui+p injekció. De az is evidens, hogy nem szürjekció, mivel ha j ≥ i + p de közben p - j, akkor ezek szerint 1 + π j ∈ Ui+p . A moduláris esetben ezért ℘ veszi át a p-edik gyökvonás szerepét, hisz erre teljesül az, hogy: 3.9 Állítás Ha char(K) = p és K teljes, akkor πO bármely eleme előáll képként a ℘(x) = xp − x leképezésnél. Bizonyítás. Tekintsük az αi+1 = αi + ℘(αi ) rekurzióval megadott sorozatot, ahol α0 = α ∈ πO. Ez utóbbi feltétel miatt αp ∈ π p O, és ezért α+℘a ∈ π p O Ebből pedig i szerinti indukcióval látszik, hogy αi ∈ π ip O. Vagyis |αi | 0, 73 http://www.doksihu P ezért a ∞ i=0 αi sorozat Cauchy, és K teljessége folytán konvergens. Ha tehát a rekurziót megadó egyenleteket összegezzük P az i = 0, 1, 2, . indexekre,

akkor P ∞ azt kapjuk, hogy α0 = − ∞ ℘(α ) = ℘(− i i=0 i=0 αi ). 3.10 Következmény Ha char(K) = p és K teljes, akkor ℘ν Wν (K) nyílt normálosztó Wν (K)-ban. Bizonyítás. A 210 fejezetben láttuk, hogy a Λν (K) ∼ = Wν (K) izomorfizmust Qν P m/i i a i=1 (1 − bi x ) 7 (wm )m=1,.,ν leképezés létesíti, ahol wm = . i|m ibi Ebből kitűnik, hogy Wν (K) topologikus csoport a Λν (K)-ból örökölt műveletére nézve. Ezért elég azt megmutatni, hogy 0-nak létezik egy nyílt környezete a ℘ν Wν (K) részcsoporton belül Ilyen környezetet alkotnak mindazon w = (w1 , ., wν ) Witt-vektorok, amelyek minden koordinátájára wm ∈ πO Ezeknek ugyanis a fenti izomorfizmusnál Λν (K) olyan elemei felelnek meg, amelyek szorzatalakjában minden együtthatóra szintén igaz, hogy bi ∈ πO. Azt viszont a 2.34 Állításban láttuk, hogy ℘ν -nek a szorzatalakok szintjén a ν ν Y Y 1 − api xi i (1 − ai x ) 7 1 − ai x i i=1 i=1

hozzárendelés felel meg. Mindezt a ν = 1 esetre alkalmazva, az előző állítás értelmében minden a bi ∈ πO együtthatóhoz található olyan ai ∈ K, amellyel a (1−bi xi ) tényező (1−api xi )/(1−ai xi ) alakba írható. De akkor ezek szorzata is előáll képként a fenti leképezésnél, ezért aztán w ∈ ℘ν Wν (K). 3.11 Lemma Legyen A és B topologikus csoport és N /B nyílt normálosztó Ha ι : A , B sűrű beágyazás, akkor az indukált i∗ : A/N ∩ A , B/N leképezés izomorfizmus. Bizonyítás. Az érvet az alábbi diagrammon követhetjük: A π   /B A/N ∩ A   π / B/N Mivel ι∗ nyilván injektív, ezért elég a szürjektivitását ellenőrizni. Legyen u ∈ B/N egy tetszőleges pont. Ennek ősképe, az U = π −1 (u) halmaz egy N szerinti mellékosztály, ezért B csoportműveletének folytonossága miatt U nyílt halmaz. A ι beágyazás sűrűsége következtében léteznie kell tehát olyan a ∈ A elemnek, amelyre ι(a) ∈

U . Felhasználva a négyzet kommutativitását, azt látjuk, hogy π(a) képe az ι∗ beágyazásnál nem más, mint u. 74 http://www.doksihu 3.12 Következmény Ha a k testen v1 , , vr inekvivalens nemarchimédeszi értékelések, akkor k 0× /k 0×n W/℘ν W ∼ = K10× /K10×n × . × Kr0× /Kr0×n ∼ = W1 /℘ν W1 × . × Wr /℘ν Wr ahol a W = Wν (k) és Wi = Wν (Ki ) rövidítéssel éltünk. Megjegyzés. A fenti állítás érvényben marad akkor is, ha az értékelések egyike, pl. v1 archimédeszi és K1 = R Tudjuk továbbá, hogy a többi értékelések ekkor p-adikusak valamely p2 , ., pr prímekkel; ha most x ∈ k egy olyan pont, ami az y ∈ K2 × . × Kr pont -sugarú környezetébe esik, az azt jelenti, hogy vi (x − y) > m valamely elég nagy m-re és i = 2, ., r-re Az ez utóbbi feltétel kielégítő pontok halmaza viszont láthatólag mindenütt sűrű R-ben, ezért az approximációs lemma itt is érvényben marad. Az pedig nem igényel külön

indoklást, hogy R×n nyílt. 3.3 A bizonyítás A dolgozatunk tárgyát képező Grunwald-Wang tétel bizonyításának a döntő lépését az alábbi speciális eset igazolása képezi: 3.13 Állítás Legyen k test, v1 , , vr ennek inekvivalens értékelései, és k telítettjei ezekre nézve K1 , ., Kr ; legyen továbbá C = Z/pν Z egy ciklikus csoport. Feltesszük, hogy p > 2 vagy ν ≤ 2 Rögzítsünk minden i = 1, , r indexre egy Li |Ki Galois C-algebrát. Ekkor megkonstruálható egy olyan l|k Galois C-algebra, amelynek minden vi szerinti telítettje izomorf az előre megadott Li -vel. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy p - char(k) és egyik értékelés sem archimédeszi Azt fogjuk belátni, hogy az alábbi diagram komutál: ∼ = k 0× /k 0×n  H 1 (k, Z/nZ) Q i Resi / K 0× /K 0×n × . × K 0× /K 0×n 1 1 r r  / H 1 (K , Z/nZ) × . × H 1 (K , Z/nZ) 1 r Mivel 3.5 alatt láttuk, hogy Gal(Ki ) ≤ Gal(k), ezért itt az alsó sorban értelmezve vannak a Resi : H

1 (k, C) H 1 (Ki , C) restrikciók A fölső sorban az 75 http://www.doksihu imént igazol 3.12 izomorfizmus áll, a függőleges nyilak pedig a paraméterezési homomorfizmusok, amelyekről az 5 Tételben beláttuk, hogy a jelen állítás feltételei mellett szürjektívek. Ugyanitt láttuk azt is, hogy a paraméterezés (−1) a b ∈ k 0× elemhez a k 0 [α]g Galois-algebrát rendeli, ahol αn = τ −1 · Nτ (b). Az 1.6 Állításból tudjuk, hogy ennek Resi -nél egy bázisextenzió fog megfelelni, nevezetesen: Ki ⊗k k 0 [α]g = (Ki ⊗k k 0 [α])g ∼ = Ki0 [α]g ahol az első egyenlőség abból következik, hogy g triviálisan hat Ki -n. Vegyük azonban észre, hogy itt a jobb oldalon nem más áll, mint a b paraméterű Ki feletti Galois-algebra. Ezzel a diagram kommutativitását beláttuk Qr Ebből viszont azonnal adódik, hogy a Resi homomorfizmusok szorzata, i=1 Resi szürjektív; hiszen a jobb oldali paraméterezési függvény szürjektív, és az így kapott r

darab paraméter lecserélhető egy közös k 0× -beli „közelítő értékre”, ami csak n-edik hatványokban tér el ezektől, így izomorfizmus erejéig ugyanazon algebrákat határozza meg. A moduláris esetben a 3.12 izomorfizmust az Artin-Schreier-Witt elméletből származó a 235 izomorfizmussal kapcsoljuk össze: ∼ = W/℘ν W O / W1 /℘ν W1 × . × Wr /℘ν Wr O ∼ = ∼ = Q H 1 (k, Z/nZ) i Resi / H 1 (K , Z/nZ) × . × H 1 (K , Z/nZ) 1 r A diagram kommutativitása itt abból adódik, hogy a w = (w1 , ., wν ) Wittvektorral paraméterezett k-algebra nem más, mint k[w1 , , wν ], és ezt bármelyik Ki -vel tenzorozva ismét a megfelelő Ki [w1 , , wν ] algebrát kapjuk A Q r i=1 Resi homomorfizmus szürjektivitása itt is a fenti approximációs érvvel adódik. Nézzük meg azt az esetet is, amikor az értékelések egyike, pl. v1 archimédeszi Ekkor Osztrovszkij tétele értelmében K1 = C vagy K1 = R Az első esetben Gal(L1 |K1 ) csakis triviális

lehet, amikor nincs mit bizonyítani; a második esetben pedig, mint azt korábban megjegyeztük, a 3.12 Állítás érvényes marad, így a fenti bizonyítás ezt az esetet is lefedi. Végül [18] észrevétele alapján elég azt megjegyezni, hogy az előírt lokális viselkedésű Qr Galois-algebra konstrukciós feladatának megoldhatósága egyet jelent a i=1 Resi szürjektivitásával. 76 http://www.doksihu 3.14 Állítás A 313 állítás olyan A Abel-csoporttal is igaz, amelynek az A = C1 × . × Cd direkt felbontásában szereplő prímhatvány rendű ciklikus csoportok mindegyike kielégíti a p > 2 vagy ν ≤ 2 feltételt. Bizonyítás. Az előző állításban beláttuk, hogy minden j = 1, , d indexre a Qm Q 1 H 1 (k, Cj ) − m i=1 Resi,j : i=1 H (Ki , Cj ) homomorfizmus szürjektív. Az mármost teljes általánosságban nyilvánvaló, hogy ha f : X Y és f 0 : X 0 Y 0 két szürjektív függvény, akkor az az f ⊕ f 0 : X × X 0 Y × Y 0 függvény, amit az (x,

x0 ) 7 (f (x), f 0 (x0 )) szabállyal adunk meg, szintén szürjektív lesz. Ezt alkalmazva a fenti r darab szürjekcióra azt kapjuk, hogy az alábbi homomorfizmus is szürjektív: Qr Qm Qr Lr Qm 1 1 j=1 i=1 H (Ki , Cj ) j=1 H (k, Cj ) − j=1 i=1 Resi,j : Itt most mindkét oldalon alkalmazhatjuk a nyilvánvaló Qr Q (23) H 1 (k, rj=1 Cj ) ∼ = j=1 H 1 (k, Cj ) Q 1 izomorfizmust; ezzel egy H 1 (k, A) − m i=1 H (Ki , A) szürjekciót kapunk, ami azt mutatja hogy a 3.13 állítás az A = C1 ××Cr csoporttal is igaz Az iménti bizonyítás érvét [15] 1.2 alapján a H 1 csoport által képviselt Galois-algebrák szintjén is előadhatjuk. Ha ugyanis N Galois A-algebra a Ki teljes test felett, és A = A1 × A2 egy direkt felbontás két másik Abelcsoportra, akkor N1 = N A1 Galois A2 -algebra, N2 = N A2 Galois A1 -algebra, N maga pedig az iménti (23) izomorfizmusnál előáll N1 ⊗Ki N2 alakban, mint ezt korábban megmutattuk (lásd p. 35) Ha most a 313 Állítás módszerével

előállítottunk egy L1 |k illetve L2 |k Galois A1 - illetve A2 -algebrát úgy, hogy c1 = A1 és L c2 = A2 , akkor ezek lokális viselkedés az előírttal azonos, azaz L könnyen látható, hogy e kettő tenzori szorzatának a telítése épp az eredeti c1 ⊗K L c2 ∼ N algebra lesz: L1 ⊗k L 2 = L = N1 ⊗Ki N2 = A. i 3.15 Állítás Legyen a k test és annak K1 , , Kr telítettje olyan, mint a 3.13 Állításban, míg a Li |Ki Galois testbővítések Ai Galois-csoportjai ezúttal különböző, a 314 Állítás feltételét kielégítő Abel-csoportok Legyen A olyan Abel-csoport, ami tartalmazza mindegyik Ai -t, és azok generálják őt. Ekkor konstruálható egy olyan A csoportú l|k Galois testbővítés, amelynek minden vi szerinti telítettje izomorf az előre megadott Li -vel. 77 http://www.doksihu Bizonyítás. Készítsük el a Qi = IndA Ai (Li ) indukált Galois A-algebrákat a megadott Li |Ki Galois-bővítésekből. Ezekre már alkalmazhatjuk a 314 Állítást,

amelynek eredményeként kapunk egy olyan q|k Galois A-algebrát, amelynek a telítése minden i = 1, ., r indexre megegyezik az előre megadott Qi -vel Qi |Ki dekompozíciócsoportja nem más, mint Ai , a kapott q|k algebráét pedig jelölje B. Ekkor egyfelől B ≤ A másfelől a az 115 Lemma szerint Ai ≤ B minden i = 1, , r indexre; feltevés szerint viszont az Ai részcsoportok generálják A-t, tehát A = B. Ebből viszont az következik, hogy q = l, vagyis a 3.13 és a 314 Állítások alkalmazása révén előállított q|k Galois-algebra már eleve egy Galois testbővítés volt. Az q = l algebra márpedig konstrukció szerint olyan, hogy l ⊗k Ki ∼ = Ai , minden i-re. De itt egyfelől Qi = Li × × Li , másfelől viszont a 34 értelmében l ⊗k Ki = b l × . × b l. Ez pedig csakis úgy lehetséges, ha itt a direkt összeadandók száma azonos, és ezen túlmenően b l = Li . 3.16 Állítás Tegyük fel, hogy a k alaptestnek végtelen sok inekvivalens értékelése

van (speciálisan k algebrai számtest vagy függvénytest) Ekkor a 315 Állítás igaz anélkül is, hogy Ai ≤ A részcsoportok generálnák az A-t. Bizonyítás. ([15] p 5 Corollary 3 alapján) Tegyük fel, hogy az A1 , , Ar csoportok által generált Br csoport valódi része A-nak. [A : Br ] szerinti indukciót alkalmazunk. Ha [A : Br ] = 1, akkor visszajutunk a 315 állításra Különben válasszunk egy tetszőleges a ∈ ABr elemet, és legyen Ar+1 = hai. Mivel az A1 , , Ar+1 részcsoportok generátuma, Br+1 szigorúan bővebb, mint Br , ezért [A : Br+1 ] < [A : Br ]. Feltevés szerint a k testnek vehetjük egy vr+1 értékelését, ami a korábbiakkal inekvivalens (és a kivételes eset elkerülése vége a maradékteste sem 2 karakterisztikájú); k eszerint vett telítésének pl. a Kummer-elmélet révén megadhatjuk egy Lr+1 |Kr+1 Galois-bővítését, amelynek az Ar+1 ciklikus csoport a Galois-csoportja. Ezt hozzávéve az Li |Ki (i = 1, .r) bővítések

listájához, az előírt lokális viselkedésű l|k Galois-bővítést az indukciós hipotézis szolgáltatja Mindezt összefoglalva az alábbi tételhez jutottunk: 6. Tétel (Grunwald-Wang) Legyen k algebrai számtest, v1 , , vr ennek értékelései; a k ezek szerint vett telítettjei K1 , , Kr ; legyen A véges Abel-csoport úgy, hogy a rendjét osztó legnagyobb 2-hatvány legfeljebb 4. Rögzítsünk minden i = 1, , r indexre egy Li |Ki Galois-bővitést, amelynek Ai Galois csoportja beágyazható A-ba Ekkor létezik olyan L|k Galois-bővités, amelynek a Galois-csoportja A, és bármely vi szerinti telítettje izomorf az előírt Li -vel. 78 http://www.doksihu Hivatkozások [1] A. A Albert: Modern Higher Algebra Chicago, 1934, Chicago University Press. [2] Emil Artin – John Tate: Class field theory. Advanced book program sorozat Reading, Massachusetts, 1967, W A Benjamin, Inc [3] M. F Atiyah – I G McDonald: Introduction to commutative algebra Addison-Wesley Series in

Mathematics sorozat. 1969, Addison-Wesley [4] Dieter Blessenohl: On the normal basis theorem. 27 évf (2007), Note di Matematica, 5–10. p URL http://siba2unileit/ese/issues/ 1/690/Notematv27n1p5.ps [5] Kenneth S. Brown: Cohomology of Groups Graduate texts in matematics sorozat, 87 köt Berlin, Heidelberg, New York, 1982, Springer Verlag. [6] I.B Fesenko – SV Vostokov: Local Fields and Their Extensions 2 kiad 2002, American Mathematical Society. URL http://wwwmathsnott ac.uk/personal/ibf/book/bookhtml [7] Róbert Freud – Edit Gyarmati: Számelmélet. Budapest, 2000, Nemzeti tankönyvkiadó. [8] László Fuchs: Infinite Abelian Groups. I köt New York, London, 1970, Academic Press. [9] Philippe Gille – Tamás Szamuely: Central Simple Algebras and Galois Cohomology. Cambride Studies in Advanced Mathematics sorozat, 101 köt. 2006, Cambridge University Press [10] G. H Hardy – E M Wright: An Introduction to the theory of Numbers Oxford, 1979, Oxford University Press. [11] G.

Hochschild: Basic construction in group theory In Contributions to algebra (collection of papers dedicated to Ellis Kolchin. New York, 1977, Academic Press, 183–201. p 79 http://www.doksihu [12] Max Albert Knus – Alexander Merkurjev – Markus Rost – Jean Pierre Tignol: The Book of Involutions. AMS Colloquium Publications sorozat, 44 köt Rhode Island, 1998, American Mathematical Society [13] Serge Lang: Algebre. 3 kiad Paris, 2004, Dunod [14] Hendrik Lenstra: Construction of the ring of Witt vectors. URL http://math.berkeleyedu/~hwl/papers/wittpdf kézirat [15] Falko Lorenz – Peter Roquette: The theorem of Grunwald-Wang in the setting of valuation theory. 2006, Fields Institute Communications URL http://citeseer.istpsuedu/488242html megjelenés előtt [16] James S. Milne: Algebraic number theory (v300) 2008 URL http: //www.jmilneorg/math/CourseNotes/math676html kézirat [17] James S. Milne: Fields and galois theory (v420) 2008 URL http:

//www.jmilneorg/math/CourseNotes/math594fhtml kézirat [18] Jürgen Neukirch: Eine Bemerkung zum Existenzsatz von GrunwaldHasse-Wang. 262/263 évf (1973), Journal für die reine und angewendte Mathematik. [19] Jürgen Neukirch – Alexander Schmidt – Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften sorozat, 323 köt Berlin, Heidelberg, New York, 2000, Springer Verlag [20] Joe Rabinoff: The theory of witt vectors. 2008 URL http://shadowfax.homelinuxnet/papers/wittps kézirat [21] Peter Roquette: The Brauer-Hasse-Noether Theorem in Historical Perspective. Schriften der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften sorozat, 15. köt Berlin Heidelberg, 2005, Springer Verlag [22] David J. Saltman: Generic Galois extensions 43 évf (1982), Advances in Mathematics. [23] Jean Pierre Serre: Corps locaux. Actualités Scientifiques et Industrielles sorozat, 1296. köt Paris, 1962, Hermann 80 http://www.doksihu

[24] Jean Pierre Serre: Cohomologie Galoisienne. Lecture Notes in Mathematics sorozat New York, 1964, Springer Verlag [25] Jean Pierre Serre – Henri Damon: Topics in Galois Theory. Research Notes is Mathematics sorozat, 1. köt Boston London, 1992, Jones and Bartlett Publishers. [26] Tamás Szamuely: Galois groups and fundamental groups. 2008 URL http://www.renyihu/~szamuely/fgpdf kézirat [27] G. Tomanov: On Grunwald-Wang’s theorem 389 évf (1988), Journal für die reine und angewendte Mathematik, 209–220. p [28] Uzi Vishne: Galois cohomology of fields without roots of unity. 279(2) évf. (2004), Journal of Algebra, 451–492 p [29] Laurence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fileds Graduate Texts in Mathematics sorozat. New York, 1997, Springer Verlag [30] William C. Waterhouse: Introduction to Affine Group Schemes Graduate texts in mathematics sorozat, 66 köt 1979, Springer-Verlag 81