Matematika | Felsőoktatás » Elekes Márton - Baire 1 függvények rendtípusai

Baire 1 fggvnyek rendtpusai SZAKDOLGOZAT Elekes Mrton Tmavezet: Laczkovich Mikls egyetemi tanr 1998 Bevezets Az X alaphalmazon rtelmezett vals rtk fggvnyek halmazn tekintsk a pontonknti parcilis rendezst: f g ha 8x 2 X f (x) g(x) azaz f < g ha 8x 2 X f (x) g(x) s 9x 2 X f (x) 6= g(x): Ha csak karakterisztikus fggvnyekre szor tkozunk, akkor pp X rszhalmazainak tartalmazs szerinti parcilis rendezshez jutunk. Tekinthetjk ezen parcilis rendezsek megszor tst bizonyos konkrt fggvnyosztlyokra. Ebbl a szempontbl a Baire 1 fggvnyek osztlya klnsen rdekesnek bizonyult Kuratowski klasszikus ttele szerint vals Baire 1 fggvnyeknek nincs !1 t pus teljesen rendezett (a tovbbiakban: rendezett) halmaza. Laczkovich Mikls fogalmazta meg a krdst, hogy pontosan milyen rendt pusak lehetnek vals Baire 1 fggvnyek rendezett halmazai, azaz mely rendt pusok reprezentlhatk vals Baire 1 fggvnyekkel. A jelen dolgozatban ezzel a

krdssel s hozz kapcsold problmkkal foglalkozunk. Az els fejezetben konkrt fggvny- s halmazosztlyokat vizsglunk meg, s rvilg tunk, hogy mirt a Baire 1 osztllyal foglalkozunk rszletesebben. Ezt a fggvnyosztlyt a msodik, harmadik s negyedik fejezetben trgyaljuk. Elbb bebizony tjuk a vals Baire 1 fggvnyekkel val reprezentci kt klasszikus ttelt, majd sszefoglaljuk az ezzel kapcsolatos egyb eredmnyeket, ezutn megvizsgljuk a problmt ltalnos alapterek esetn. Vgl az tdik fejezetben sszegyjtjk a dolgozatban felmerl nyitott problmkat. Ezton szeretnk ksznetet mondani Laczkovich Miklsnak a dolgozat meg rshoz nyjtott felbecslhetetlen rtk seg tsgrt. 2 1. Vals f ggvnyosztlyok rendt pusai 1.1 Ttel Folytonos fuggvenyekb}ol allo rendezett halmaz hasonlo a valos szamok egy reszhalmazahoz. Bizonyts. Legyen ff :  2 ;g folytonos fuggvenyek egy rendezett halmaza s legyen : (0 1) ! R egy szigoruan monoton

nov}o homeomorzmus. Feltehet}o, hogy a fuggvenyek a (0 1) intervallumon vannak ertelmezve es 0 es 1 kozotti ertekeket vesznek fel, hiszen a f;1  f  :  2 ;g folytonos fuggvenyekb}ol allo fuggvenyhalmaz az eredetihez hasonloan van rendezve. Legyen tehat f : (0 1) ! (0 1) folytonos ( 2 ;), s tekintsuk az f 7! Z1 0 f ( 2 ;) hozzarendelest. Ez nyilvan rendezestarto, es a fuggvenyek folytonossaga miatt injektv, azaz hasonlosag. Ha a folytonossgot a valamivel gyengbb Darboux-tulajdonsggal helyettes tjk, a helyzet lnyegesen bonyolultabb vlik. 1.2 Ttel Intervallumon rtelmezett Darboux fggvnyekkel ugyanazok a rendt pusok reprezentlhatk, mint tetszleges vals fggvnyekkel. Bizonyts. Az egyik irny nyilvnval A msik irny bizony tshoz legyen ff :  2 ;g vals fggvnyek egy rendezett halmaza. Ha F : C ! R egy bijekci, ahol C -vel a Cantorhalmazt jelljk, akkor az ff  F :  2 ;g fggvnyhalmazra ttrve feltehet, hogy f ( 2

;) a Cantor halmazon van rtelmezve. Ha (a b) 0 1] a Cantor halmaz egy kiegeszt}o intervalluma, akkor terjesszuk ki ide az osszes f -t ugy, hogy a kozos kiterjesztes (a b)-n folytonos legyen es x & a illetve x % b eseten a lim sup-ok +1-ek, a lim inf-ek ;1ek legyenek. Ez az x1 sin x1 (0 1)-be es}o darabjanak megfelel}o linearis transzformaltjainak segtsegevel megtehet}o. Ezzel a rendezest nem befolyasoltuk Azt kell meg belatni, hogy Darboux fuggvenyeket kaptunk. Ha x es y ugyanabban a kiegeszt}o intervallumban vannak, akkor a folytonossag miatt ervenyes x y]-ban a Darboux-tulajdonsag. Ha nem ez az eset all fenn, de legalabb az egyik pont egy kiegeszt}o intervallumban van, akkor annak a kiegeszt}o intervallumnak az x y]-ba es}o reszen a fuggveny minden valos erteket felvesz, 3 gy ervenyes a Darboux-tulajdonsag. Ha pedig mindket pont a Cantor halmazban van, akkor van kozottuk egy teljes kiegeszt}o intervallum,

mivel a Cantor halmaz sehol sem s}ur}u, gy x y]-ban megint minden erteket felvesz a fuggveny. Hasonl ll ts igaz a gyakran vizsglt Darboux Baire 1 fggvnyek osztlyra. 1.3 Ttel Intervallumon ertelmezett Darboux Baire 1 fuggvenyekkel ugyanazok a ren- dezett halmazok reprezentalhatoak, mint Baire 1 fuggvenyekkel. Bizonyts. Mint azt majd a 33 ttelben ltni fogjuk, feltehet, hogy a Baire 1 fggvnyek a Cantor halmazon vannak rtelmezve Ekkor azonban az elz ll tsban adott konstrukci most is megfelel, felhasznlva a 3.2 ttelt kvet megjegyzst Megjegyzs. Ismeretes, hogy a Darboux Baire 1 fggvnyek grfjai sszefgg halmazok a s kon, ezrt meglep mdon a harmadik fejezetben konstrult bonyolult rendezseket "egyms fltt elhelyezked}o" sszefgg fggvnygrfokkal is meg lehet vals tani. Ha azzal a valamivel ersebb feltevssel lnk, hogy a reprezentl fggvnyek derivltak, a helyzet egyszersdik. 1.4 Ttel Minden derivaltakbol allo

rendezett halmaz hasonlo a valos szamok egy reszhalmazahoz. Bizonyts. Legyen X a rendezett halmaz s f 2 X Jeloljuk F -fel f egy primitv fuggvenyet. Tekintsuk a kovetkez}o lekepezest: f 7;! 1 X n=1 arctg (F (n) ; F (;n)) : 2n Legyen f < g es jelolje g egy primitv fuggvenyet G. Ekkor a G ; F fuggveny monoton nov}o, hiszen a derivaltja g ; f  0. Emellett nem konstans, hiszen akkor g ; f  0 lenne, ami lehetetlen. Igy tehat (G;F )(;n) (G;F )(n), amib}ol F (n);F (;n) G(n);G(;n) es elegend}oen nagy n-re szigoru egyenl}otlenseg ervenyes. Innen kihasznalva, hogy az arctg fuggveny korlatos es szigoruan monoton nov}o azt kapjuk, hogy a fent denialt lekepezes ertelmes, es valoban rendezestarto injekcio. A folytonos fggvnyek osztlynak ktfle ltalnos tsa k nlkozik. Az egyik lehetsg a (klnfle rtelemben) mrhet fggvnyek osztlya, a msik pedig a Baire  osztlyok hierarchija. Kvetkez clunk megmutatni, hogy a Baire 1

osztly kivtelvel valamennyi problma tisztzottnak tekinthet Ko] legfbb eredmnye, hogy a Baire  osztly (  2) esetn mr a jlrendezsek krdse sem vlaszolhat meg a ZFC aximarendszerben, emellett a 46 kvetkezmnyben ltni fogjuk, hogy a Borel-mrhet fggvnyekre ugyanez ll. Ezeket egybevetve a kvetkez kt ttellel lthat, hogy csak a Baire 1 fggvnyek esete vr mg vlaszra. 4 1.5 Ttel Lebesgue-merhet}o fuggvenyekkel ugyanazok a rendtpusok reprezentalhatoak mint tetsz}oleges valos fuggvenyekkel. Bizonyts. Csak a nem nyilvanvalo iranyt bizonytjuk Legyen C a Cantor halmaz (tetsz}oleges kontinuum szamossagu nullmertek}u halmaz megfelel}o), es legyen f : C ! R egy bijekcio. Ha ff :  2 ;g egy rendezett fuggvenyhalmaz, akkor fg :  2 ;g ugyanilyen rendt pus, ahol  f  f C -n" g := 0 R n C -n, emellett minden  2 ;-ra g majdnem mindentt nulla, gy Lebesgue-mrhet. Az Lp fggvnyterek vizsglathoz rtelemszeren mdos tanunk kell

a rendezs den cijt. Ezen fggvnyterek elemei ugyanis csak majdnem mindentt vannak meghatrozva, ezrt az edig hasznlt rendezs most nem rtelmezhet Ehelyett termszetes mdon addik, hogy egy f 2 Lp-t akkor mondjunk kisebbnek egy g 2 Lp-nl, ha majdnem mindentt kisebb vagy egyenl nla, emellett mint Lp elemei klnbzek, azaz pozit v mrtk halmazon trnek el. 1.6 Ttel Brmely 1 p 1-re Lp minden rendezett rszhalmaza hasonl a vals szmok egy rszhalmazhoz. Bizonyts. Az f 7! Z ;=2=2] arctg  f  tg hozzrendels knnyen lthatan hasonlsg, felhasznlva, hogy a tangens s az arctg fggvnyek szigoran monoton nvek, s pozit v mrtk halmazt pozit v mrtk halmazba kpeznek. Most rtrnk a tetszleges vals fggvnyekkel val reprezentci problmjra. #rdemes megeml teni, hogy itt valjban egy tisztn halmazelmleti problmrl van sz Elszr a jlrendezsek krdsvel foglalkozunk. 1.7 Ttel Vals fggvnyekkel a rendszmok kzl pontosan a

kontinuumnl nem na- gyobb szmossgak reprezentlhatk. Bizonyts. Legyen  egy rendszm s ff :  < g egy  t pus fggvnyhalmaz A rendezs den cija szerint a subgraf f+1 n subgraf f ( < ) halmazok pronknt diszjunktak s nem resek, eszerint  elemeihez hozzrendelhetjk R2 nem res, diszjunkt rszhalmazait, amibl kvetkezik, hogy  legfeljebb kontinuum szmossg. Legyen most  egy legfeljebb kontinuum szmossg rendszm s :  ! H R egy bijekci. Deniljuk a kvetkez fggvnyeket f := fx2H :;1 (x)<g ( < ): Ekkor ff :  < g vals fggvnyek egy  t pus halmaza. 5 Megjegyzs. A bizony tsbl az is addik, hogy minden legfeljebb kontinuum szmossg rendezett halmaz reprezentlhat vals fggvnyekkel. Termszetes volna azt gondolni, hogy ez megford that, azaz pontosan a legfeljebb kontinuum szmossg rendezsek reprezentlhatk. Ez azonban nem igaz 1.8 Ttel Ltezik vals fggvnyekbl ll (2@0 )+ szmossg rendezett halmaz

Bizonyts. Legyen := minf : 2 > 2@0 g s  a legkisebb szmossg rendszm Nyilvnval, hogy @0 < 2@0 . Legyen H := ff j f :  ! f0 1g 9 <  8   f ( ) = 0g: jH j = 2@0 , mivel @0 < -bl kvetkezen jH j  2@0 , emellett X jj jH j 2  2@0 2@0  2@0 = 2@0  < hiszen j j < . Elegend teht H -ban konstrulni rszhalmazok egy 2@0 szmossg rendezett halmazt, mivel egy H s R kzti bijekci seg tsgvel ez tvihet a vals szmokra, ahol ezen halmazok karakterisztikus fggvnyei teljes teni fogjk az ll ts feltteleit. Legyen teht g :  ! f0 1g tetszleges s Ag := ff 2 H : f < g a lexikograkus rendezs szerintg: Knnyen lthat, hogy gy 2 > 2@0 klnbz rszhalmazt kaptuk H -nak, melyek rendezett halmazt alkotnak, teht kivlaszthatjuk ennek egy (2@0 )+ szmossg rszt. A kvetkez kt ll ts rmutat a fggvnyekkel s a halmazokkal val reprezentci szoros kapcsolatra. 1.9 Denci Legyen X metrikus tr Egy f : X ! R fggvnyt Baire 12

fggvnynek neveznk, ha minden zrt halmaz f ltal vett skpe F . Megjegyzs. Az elnevezst indokolja, hogy a Baire 12 fggvnyek osztlya a folytonos, azaz Baire 0, s a Baire 1 fggvnyek osztlya kztt helyezkedik el, mivel a den ci knnyen lthatan ekvivalens azzal a felttellel, hogy a ny lt halmazok skpei ambigusak. 1.10 Ttel Baire 12 fuggvenyekkel ugyanazok a rendtpusok reprezentalhatoak mint ambigus halmazokkal. Bizonyts. Az egyik irany nyilvanvalo, mivel egy halmaz karakterisztikus fuggvenye pontosan akkor Baire 12 , ha a halmaz ambigus. A masik irany igazolasahoz legyen ff :  2 ;g Baire 21 fuggvenyek egy rendezett halmaza. Egy R es (0 1) kozotti homeomorzmussal elkesztve az alkalmas kompozciokat feltehet}o, hogy a fuggvenyek (0 1)-en vannak ertelmezve es (0 1)-be kepeznek. Legyen frn : n 2 Ng = (0 1) Q: 6 f -hoz rendeljuk hozza a kovetkez}o halmazt: H := ; n2N Konnyen lathato, hogy f < f , (H mivel R n H =

(;1 0)  Z azert R n H is F , azaz H G .  f ;1 ((rn  1)) + n : H es H 6= H ). H nyilvanvaloan F , es  ; n2N   (0 1) n f ;1 ((rn  1)) + n 1.11 Ttel Borel-mrhet fggvnyekkel, illetve tetszleges vals fggvnyekkel ugyan- azok a rendt pusok reprezentlhatk, mint Borel-halmazokkal, illetve tetszleges halmazokkal. Bizonyts. Az egyik irny a karakterisztikus fggvnyekre ttrve nyilvnval A msik irny abbl addik, hogy ha a szubgrfokat egy Peano-grbe seg tsgvel visszahzzuk a szmegyenesre, akkor az eredetihez hasonl rendezst kapunk. Most rtrnk a halmazokkal val reprezentls krdsre. Az ambigus halmazokkal reprezentlhat rendezsek egy karakterizcijt a 3.33 ttelben adjuk meg 1.12 Ttel Nylt halmazokbol allo rendezett halmaz hasonlo a valos szamok egy reszhalmazahoz Bizonyts. Legyen fG :  2 ;g egy nylt halmazokbol allo rendezett halmaz, es legyen fUn : n 2 Ng a ter egy megszamlalhato bazisa. Tekintsuk a G 7!

hozzarendelest, ahol 1 " X n n n=0 2 ( 2 ;)  1 Un G " "n = 0 ha egyebkent. Ez rendezestarto lekepezes, es nyilvan injektv is. 1.13 Kvetkezmny Zart halmazokbol allo rendezett halmaz hasonlo a valos szamok egy reszhalmazahoz. Bizonyts. Ha fF :  2 ;g egy zrt halmazokbl ll rendezett halmaz, akkor az fR n F :  2 ;g halmazhoz az el}oz}o alltas miatt letezik egy f : fR n F :  2 ;g ! R hasonlosag, es ekkor F 7! ;f (R n F ) szinten hasonlosag. 1.14 Ttel F halmazoknak ltezik !1 t pus sorozata Bizonyts. Transznit indukcival knnyen denilhatjuk megszmllhat halmazok !1 t pus sorozatt, amely nyilvnvalan megfelel. 7 1.15 Ttel G halmazoknak ltezik !1 t pus sorozata Bizonyts. Nullmrtk G halmazok sorozatt deniljuk transznit rekurzival H0 legyen az res halmaz. Ha az -nl kisebb rendszmokra mr deniltuk a sorozatot, akkor H legyen a < H nullmrtk halmaz s mg egy rajta k vli pont

unijnak egy G burka. Knnyen ellenrizhet, hogy a konstrukci megfelel Megjegyzs. A 44 ttel bizony tsbl addik, hogy mind az F , mind a G halmazosztly esetn fggetlen a ZFC aximarendszertl, st ZFC + (2@0 = @2 )-tl is, hogy ltezik-e !2 t pus sorozat. Ko] eredmnyeibl knnyen addik ugyanez az ll ts minden ms Borel-osztlyra is. Emellett a 45 ttelben ltni fogjuk, hogy a Borel-halmazok problmja sem vlaszolhat meg a halmazelmlet szoksos aximarendszerben. 8 2. Kuratowski s Komjth ttelei Clunk a Baire 1 fggvnyekkel reprezentlhat jlrendezett halmazok le rsa. Minden megszmllhat rendszm hasonl a racionlis szmok egy rszhalmazhoz, gy ezek mr konstans fggvnyekkel is reprezentlhatk, eszerint a kvetkez klasszikus ttel (Ku. II.24III2]) teljesen megvlaszolja a krdst 2.1 Ttel (Kuratowski) !1 nem reprezentalhat lengyel tren rtelmezett Baire 1 fggvnyekkel. Bizonyts. Legyen X egy lengyel tr s ff :  < !1g Baire 1 fggvnyek

egy monoton nv sorozata. Azt kell igazolni, hogy a sorozat stabilizldik, azaz egy indextl kezdve a fggvnyek megegyeznek. Elegend ehhez megmutatni, hogy minden n 2 N-re ltezik egy n rendszm, amelytl kezdve brmely kt fggvny brmely pontban 1=n -nl kevesebbel tr el egymstl. Valban, ha  > n (n = 1 2 : : :), akkor -tl kezdve a fggvnyek mind megegyeznek. Legyen teht n 2 N rgz tett, s legyen G := fG X : G ny lt 9 < !1 8   8x 2 G f (x) ; f (x) < 1=ng: G zrt a megszmllhat unira, hiszen a megszmllhatan sok index szuprmuma teljes ti a felttelt. Emellett X rklden Lindelf tulajdonsg, gy G 2 G Megmutatjuk, hogy G = X . Tegyk fel indirekt, hogy F := X n G egy nem res zrt halmaz Meg fogjuk mutatni, hogy F -nek van egy U relat ve ny lt s nem res rszhalmaza, melyen egy alkalmas indextl kezdve a fggvnyek 1=n-nl kevesebbel trnek el. Ez azonban ellentmondsra vezet, hiszen ha U -t fel rjuk U = G F alakban, ahol G X ny lt

halmaz, akkor az U -hoz s G -hez tartoz indexek kzl a nagyobbikat vlasztva G 2 G addik, ami azonban F den cija miatt lehetetlen. Mivel F maga is lengyel tr, elg igazolni, hogy ha egy lengyel tren adott egy !1 t pus rendezett fggvnyhalmaz, akkor tallhat egy nem res ny lt halmaz a fenti tulajdonsggal. Indirekt ton bizony tunk Legyen M a tr egy megszmllhat sr rszhalmaza Minden x 2 M -hez tallhat egy index, ami felett az f (x) rtkek mind megegyeznek, hiszen a vals szmok minden A jlrendezett rsze megszmllhat. (Ellenkez esetben ugyanis minden x 2 A ponthoz hozzrendelve az (x x0 ) intervallumot, ahol x0 jelli x rkvetkezjt A-ban, diszjunkt nem res ny lt intervallumoknak egy nem megszmllhat 9 rendszert kapjuk, ami lehetetlen.) Ha ezen megszmllhatan sok index szuprmumt -vel jelljk, akkor  felett M pontjaiban az sszes fggvny megegyezik f -vel. Az indirekt feltevs szerint minden G nem res ny lt halmazhoz tallhat egy  > 

rendszm s egy x 2 G pont, melyre f (x) ; f (x)  1=n. Ezen pontok teht sr halmazt alkotnak a trben, gy kivlaszthat bellk egy M 0 megszmllhat sr rszhalmaz. Jelljk -val az M 0 pontjaihoz tartoz megszmllhatan sok  index szuprmumt. Ekkor azonban M -en f egybeesik f -vel, M 0 -n pedig legalbb 1=n-nel eltr tle, gy az f ; f Baire 1 fggvnynek nincs folytonossgi pontja, ami azonban a teljessg miatt lehetetlen. 2.2 Kvetkezmny Ambigus halmazoknak nincs sem nv sem fogy !1 t pus rendezett halmaza Megjegyzs. A szeparbilits szksges is, hiszen egy metrikus tr pontosan akkor szeparbilis, ha rendelkezik a ccc-tulajdonsggal, ezrt ha a tr nem szeparbilis, akkor lteznek G ( < !1) nem res diszjunkt ny lt halmazok, de ekkor f ( G ) :  < !1g < Baire 1 fggvnyeknek, st valjban ambigus halmazok karakterisztikus fggvnyeinek egy !1 t pus halmaza. Emellett, mint azt a 43 ttelben majd ltni fogjuk, a teljessg sem hagyhat el. 2.3

Kvetkezmny Legyen X egy Baire 1 fggvnyekkel reprezentlhat rendezett halmaz, s tekintsk X -et a rendezstopolgival. Ekkor X parakompakt, emellett ersen parakompakt, gyengn parakompakt s Dieudonn teljes, mivel ezek a fogalmak a rendezstopolgik krben ekvivalensek. Specilisan X homeomorf teljes metrikus terek szorzatnak egy zrt altervel. Bizonyts. A parakompaktsg knnyen addik En 5522(e)]-bl A den cik valamint az ekvivalencik igazolsa megtallhat En. 5], En 5522] illetve En 8513]-ban Most bebizony tjuk Komjth ttelt. 2.4 Denci Legyen X egy rendezett halmaz X szeparbilis, ha van megszmllhat sr rszhalmaza, azaz olyan megszmllhat rszhalmaza, amelynek minden nem res ny lt intervallumban van pontja. X rendelkezik a ccc-tulajdonsggal, ha nem adhat meg benne diszjunkt ny lt nem res intervallumok megszmllhatnl nagyobb szmossg rendszere. X Szuszlin-egyenes, ha ccc-tulajdonsg, de nem szeparbilis A szeparbilitsbl knnyen

lthatan kvetkezik a ccc-tulajdonsg, azonban az, hogy ennek az ll tsnak a megford tsa igaz-e, azaz hogy ltezik-e Szuszlin-egyenes, fggetlen a ZFC aximarendszertl. Ennek bizony tsa, valamint a forszolssal kapcsolatos fogalmak s ll tsok megtallhatak Je]-ben. 10 2.5 Ttel (Komjth) Szuszlin egyenes nem reprezentlhat Baire 1 fggvnyekkel Bizonyts. Tegyk fel, hogy X Baire 1 fggvnyekbl ll Szuszlin-egyenes Ismeretes, hogy ekkor X bizonyos intervallumait a ford tott tartalmazs szerint rendezve egy (T ) Szuszlin-ft kapunk. Forszoljunk T -vel A kapott ZFC -modellben a generikus lter egy konlis gat ad T -ben, amely teht X intervallumainak egy fI :  < !1 g !1 t pus fogy sorozata. Az I n I +1( < !1 ) halmazok nem resek, ezrt I +1-tl balra vagy jobbra tartalmaznak elemet. Feltehet, hogy @1 esetben az intervallum bal oldaln Most ezekbl az elemekbl transznit rekurzival kivlasztunk egy !1 t pus sorozatot. Tegyk fel, hogy minden <  <

!1-re mr vlasztottunk egy  -t s egy x 2 I n I +1, I +1-tl balra es elemet. Mivel f : <  g korltos !1-ben, vlaszthatunk egy  -t, amelyre  <  ( <  ) s I  n I  +1-nek van eleme I  +1-tl balra. Legyen ekkor x egy tetszleges ilyen elem. Beltjuk, hogy valban egy !1 t pus sorozatot kaptunk Legyen <  . Mivel x 2= I +1  I  , s a pontok a megfelel intervallumoktl balra helyezkednek el, gy x < x . Megmutatjuk, hogy ez a sorozat a forszolt modellben Baire 1 fggvnyek egy !1 t pus sorozata, ami azonban Kuratowski ttele szerint lehetetlen. Mivel a Szuszlin-fa den cija szerint T ccc, !1 nem omlik ssze, ezrt a sorozat az j modellben is !1 t pus. Elg teht beltni, hogy a forszolt modell s az eredeti modell Baire 1 fggvnyei megegyeznek. Legyen teht M az eredeti s M G az j modell, ahol G T a generikus lter. Azt mutatjuk meg, hogy egy H 2 M halmaznak M G -ben nincsenek j megszmllhat rszhalmazai. Legyen teht S = fnG : n 2 !g 2 M

G egy megszmllhat halmaz, ahol n 2 M nv s nG 2 H 2 M . Minden n 2 !-re vlaszthatunk a Zorn-lemma szerint egy An maximlis antilncot a fp 2T: 9x 2 H p  n = xg halmazbl, azaz azokbl a felttelekbl, amelyek eldntik n rtkt. Mivel T ccc, An minden n-re megszmllhat, gy valamely  < !1-re n2! An rsze az els  szintnek. Rgz tsnk egy p 2 T felttelt valamelyik -nl magasabb szintrl. Megmutatjuk, hogy minden rgz tett n-re pontosan egy p-vel kompatibilis q 2 An ltezik. Mivel T egy fa, kt felttel kompatibilitsa azt jelenti, hogy a parcilis rendezs szerint sszehasonl thatak. Ebbl ltszik, hogy p legfeljebb egy Anbelivel lehet kompatibilis, hiszen ellenkez esetben a kt felttel egymssal is kompatibilis lenne. Tegyk fel indirekt, hogy p nem kompatibilis egyetlen An-beli elemmel sem Ismeretes, hogy ekkor tallhat egy q p felttel,amelyre q  n = x valamely x 2 H -ra Ekkor a fa tulajdonsg miatt q sem kompatibilis egyetlen An-beli elemmel sem. Ezekbl

kvetkezik, hogy S = fx 2 H : 9n 2 ! 9q 2 An p q q  n = xg, itt azonban a jobb oldal egy M -beli halmaz, gy S 2 M . Mivel ! abszolt, a racionlis szmok halmaza ugyanaz a kt modellben, ezrt a vals szmok halmaza is, hiszen egy vals szm nem ms mint a racionlis szmok egy megszmllhat rszhalmaza. Ebbl kvetkezik, hogy a ny lt intervallumok halmaza is megegyezik a kt modellben, gy a ny lt halmazok rendszere is, hiszen egy ny lt halmaz elll megszmllhatan sok ny lt intervallum unijaknt. Ugyan gy addik, hogy a G halmazok rendszere is ugyanaz. Teht a kt modell Baire 1 fggvnyei ugyanazon a halmazon vannak rtelmezve, ugyanabba a halmazba kpeznek s az ff cg illetve ff  cg (c 2 R) n vhalmazoknak ugyanabba a halmazrendszerbe kell esnik. Teht a Baire 1 fggvnyek halmaza a kt modellben megegyezik. 11 3. Vals Baire 1 f ggvnyek rendt pusai Elksz tsknt bebizony tunk kt gyakran alkalmazhat ll tst. 3.1 Ttel Legyenek X s Y metrikus terek, f : X ! R egy

Baire 1 fggvny s g : Y ! X egy folytonos lekpezs. Ekkor f  g : Y ! R Baire 1 Bizonyts. Brmely c 2 R-re Y (f  g < c) = fy 2 Y : f (g(y)) < cg = fy 2 Y : g(y) 2 X (f < c)g = g;1(X (f < c)) ami egy F halmaz folytonos fggvny ltali skpe, gy maga is F . Hasonlan Y (f > c) is F , teht f  g Baire 1. Megjegyzs. Az ll ts ers thet, mivel elegend, ha g Baire 12 Bizonyts. A fenti bizony ts jellsei mellett 1 1   ; 1 ; 1 g (X (f < c)) = g ( Fn) = g;1(Fn) n=1 n=1 ahol Fn zrt (n 2 N). 3.2 Ttel Legyen X egy metrikus tr s X = S1n=1 Xn, ahol minden n 2 N-re Xn X F halmaz. Ha f : X ! R minden n 2 N-re relat ve Baire 1 Xn-en, akkor f Baire 1 Bizonyts. Lthat, hogy brmely c 2 R-re X (f < c) = 1  n=1 Xn (f < c) = 1  (Xn Hn) n=1 ahol Hn X (n 2 N) F , hiszen f minden n 2 N-re relat ve Baire 1 Hn -en. Azonban kt F halmaz metszete is F , gy X (f < c) s hasonlan X (f > c) F halmazok, azaz f Baire 1. 12 Megjegyzs. Az ll

tst gyakran abban a specilis esetben alkalmazzuk, amikor az alaptr vges sok diszjunkt ambigus halmazra van felosztva, melyeken a fggvny Baire 1. Elsknt azt a krdst vizsgljuk, hogy melyek azok a metrikus terek, amelyek Baire 1 fggvnyekkel val reprezentci szempontjbl a vals szmokhoz hasonlan viselkednek. Nyilvnval, hogy ha az alaptr megszmllhat, akkor az f 7! 1 X n=1 arctg f (xn ) 2n lekpezs, ahol fxn : n 2 Ng az alaptr egy felsorolsa, hasonlsgot ltes t R egy rszhalmazval. Eszerint clszer feltenni, hogy az alaptr egy nem megszmllhat metrikus tr. Knnyen lthat, hogy elegenden nagy szmossg diszkrt metrikus tren minden rendezett halmaz reprezentlhat Baire 1 fggvnyekkel, gy rdemes valamifle megszor tst tenni az alaptrre vonatkozan. A 22 kvetkezmny utn tett megjegyzs szerint mindenekeltt rdemes szeparbilis metrikus terekre szor tkozni. Ennek rszletes vizsglatra a negyedik fejezetben trnk vissza Azonban a 43 ttelben

majd ltni fogjuk, hogy a szeparbilits sem elegend. #ljnk ezrt ehelyett azzal az ersebb feltevssel, hogy az alaptr egy X kompakt metrikus tr. Felmerl a krds, hogy a problma szempontjbl hogyan viszonyul X a vals szmokhoz , vagy a 0 1] intervallumhoz. Megmutatjuk, hogy ebben az rtelemben a kompakt, st a -kompakt metrikus terek mind ekvivalensek. 3.3 Ttel Nem megszmllhat -kompakt metrikus tren rtelmezett vals rtk Baire 1 fggvnyekkel pontosan azok a rendt pusok reprezentlhatk, mint vals Baire 1 fggvnyekkel. Bizonyts. Legyen X egy nem megszmllhat -kompakt metrikus tr Azt mutatjuk meg, hogy X -en ugyanazok a rendt pusok reprezentlhatk, mint a Cantor-halmazon Ebbl X = R vlasztssal addik majd az ll ts. Legyen elszr X kompakt, s jellje C a Cantor-halmazt. Ismeretes, hogy ekkor ltezik F : C ! X folytonos rkpezs La. 48] Ha ff :  2 ;g X -en rtelmezett Baire 1 fggvnyek egy rendezett halmaza, akkor F szrjektivitst felhasznlva

knnyen lthat, hogy az ff  F :  2 ;g C -n rtelmezett fggvnyekbl ll halmaz hasonl az eredeti fggvnyhalmazhoz. Emellett f  F a 31 ttel alapjn minden  2 ;-ra Baire 1, hiszen F folytonos. Tekintsk most az ltalnos esetet, azaz legyen X = 1 n=1 Xn , ahol Xn X kompakt, s legyen ismt ff :  2 ;g X -en rtelmezett Baire 1 fggvnyek egy rendezett halmaza. Megmutatjuk,hogy ez a halmaz reprezentlhat a 0 1] intervallumon, amibl az elzek szerint kvetkezni fog, hogy a Cantor-halmazon is, mivel 0 1] egy nem megszmlhat 1  1 ) Cantor-halmazzal kompakt metrikus tr. Vlasszunk minden n-re egy Hn ( n+1 n homeomorf halmazt, s legyen gn : Hn ! C egy homeomorzmus. Vlaszthatunk ezenk vl egy Fn : C ! Xn folytonos rkpezst, hiszen Xn kompakt metrikus tr. Most megadjuk a keresett reprezentcit. Ha  2 ;, akkor legyen  f  F  g H -en (n 2 N)" g := 0 n n 0n1] n 1 Hn-en. n=1 13 Knnyen lthat, hogy a fg :  2 ;g fggvnyhalmaz hasonl ff :  2 ;g-hoz,

elg teht Smegmutatni, hogy minden  2 ;-ra g : C ! R Baire 1. Tekntsnk egy  2 ;-t f0g 1 H zrt, gy 0 1] n1 n=1 Hn ambigus, teht F , s itt a fggvny Baire 1, hiszen n=1 n azonosan nulla. )gy a 32 ttel alapjn elegend igazolni, hogy g minden n-re Baire 1 a Hn zrt, azaz F halmazon. Ez azonban ko:nnyen addik a 31 ttelbl, felhasznlva, hogy Fn  gn folytonos. A msik irny igazolshoz legyen ff :  2 ;g a Cantor halmazon rtelmezett Baire 1 fggvnyek egy halmaza. Imeretes, hogy minden nem megszmllhat kompakt metrikus tr tartalmaz C -vel homeomorf rszhalmazt La. 64], ami knnyen ltalnos that -kompakt metrikus terek esetre, ugyanis ha X = 1 n=1 Xn , akkor legalbb az egyik Xn kompakt rszhalmaz nem megszmllhat. Legyen teht h : C ! Y X egy homeomorzmus, s minden  2 ;-ra deniljuk a kvetkez fggvnyt.  f  h;1 Y -on" g := 0 X n Y -on. Knnyen lthat, hogy az gy add fggvnyhalmaz az eredetivel megegyez rendt pus, ezrt csak azt kell bizony

tani, hogy minden  2 ;-ra g : X ! R Baire 1. Y zrt halmaz, hiszen kompakt az X Hausdor* trben. Eszerint Y s X n Y ambigusak, emellett g nyilvn relat ve Baire 1 X n Y -on, gy elegend igazolni, hogy Y -on is az. Ez azonban h;1 folytonossgt felhasznlva a 3.1 ttel alapjn nyilvnval 3.4 Kvetkezmny Ambigus halmazokkal val reprezentls szempontjbl is ekviva- lensek a -kompakt metrikus terek. Bizonyts. Ha a fenti bizony tsban f egy karakterisztikus fggvny, azaz csak 0 s 1 rtkeket vesz fel, akkor a konstrult g is ilyen tulajdonsg. 3.5 Krds Igaz-e, hogy Baire 1 fggvnyekkel val reprezentci szempontjbl a nem megszmllhat lengyel terek ekvivalensek? Megjegyzs. Ennek igazolshoz elegend lenne megmutatni, hogy minden irracionlis szmokon rtelmezett Baire 1 fggvnyekbl ll rendezett halmaz reprezentlhat vals Baire 1 fggvnyekkel. Bizonyts. Egyfell ismeretes, hogy minden nem megszmllhat lengyel tr tartalmaz a Cantor halmazzal homeomorf

rszhalmazt La 64], msfell minden lengyel tr elll az irracionlis szmok halmaznak folytonos kpeknt La. 63], gy a fenti ll ts gondolatmenete alkalmazhat. A kvetkezkben megvizsgljuk, hogy a reprezentlhat rendezett halmazok zrtak-e bizonyos opercikra. Ezen opercik jl hasznlhatak bonyolult struktrj reprezentlhat rendezett halmazok konstrulsra 3.6 Denci Ha (X ) egy rendezett halmaz, akkor X  f0 1g-et a lexikograkus rendezessel (X ) duplazottjanak nevezzuk. 14 3.7 Krds Igaz-e, hogy reprezentlhat rendezett halmaznak a duplzottja is reprezentlhat? Ez a krds szinte minden esetben helyettes thet az albbi ll tssal. 3.8 Ttel Ha X duplazottja reprezentalhato Baire 1 fuggvenyekkel, akkor az a rendezett halmaz is reprezentalhato, melyet ugy kapunk, hogy minden x 2 X helyebe egy Ax reprezentalhato rendezett halmazt teszunk. (Tehat az f(x y) : x 2 X y 2 Axg halmaz a lexikograkus rendezessel.) Bizonyts. A szamegyenes

minden pontjat helyettestjuk egy nem megszamlalhato zart halmazzal a kovetkez}okeppen. Tekintsunk egy Peano-gorbet, azaz egy P : 0 1] ! 0 1]2 folytonos rakepezest es legyen P = (P1  P2) a koordinatafuggvenyeivel megadva. Ekkor P1 : 0 1] ! 0 1] egy folytonos szurjekcio, melynel minden a 2 0 1] szam }oskepe egy Fa := P1;1 (fag) nem megszamlalhato zart halmaz. A lljon X duplazottjanak reprezentacioja az fx < gx (x 2 X ) parokbol A 31 ttelben lttuk, hogy az fx  P1 illetve gx  P1 fuggvenyekre ttrve ismet Baire 1 fuggvenyeket kapunk, melyek az eredetihez hasonlan vannak rendezve. Azonban fx es gx mar elternek egymastol egy nem megszamlalhato zart halmazon, ugyanis ha fx es gx elternek ax-ben, akkor fx  P1 es gx  P1 elternek Fax en. Mivel Fax kompakt metrikus ter, feltehet}o, hogy Ax Fax -en ertelmezett fuggvenyekkel van reprezentalva. Ezek valaszthatok ugy is, hogy 0 1]-be kepezzenek, gy egy linearis

transzformacioval elerhetjuk, hogy csak szigoran fx(ax ) es gx(ax) kozotti erteket vegyenek fel. Ha x 2 X s y 2 Ax , akkor legyen f P h(xy) := x 1 0 1] n Fax -en" az y-t reprezentl fggvny Fax -en. Azt alltjuk, hogy ez a keresett reprezentacio. Mivel Fax es 0 1] n Fax ambigus halmazok es h(xy) ezeken kulon-kulon relatve Baire 1, ezert az union, vagyis 0 1]-en is az Ha x1 < x2, akkor h(x1y1 ) < h(x2y2 ), mivel fx  P1 < h(xy) < gx  P1 a fggvny-rendezs szerint. Ha pedig x1 = x2 = x, akkor h(xy1) es h(xy2) csak Fax -en ter el, es ott Ax rendezesenek megfelel}oen vannak denialva, azaz ha y1 < y2 , akkor h(xy1) < h(xy2). Megjegyzs. Ambigus halmazokkal valo reprezentalasra ugyanez all 3.9 Krds Igaz-e, hogy egy A reprezentlhat rendezett halmaznak az A~ teljess ttele is reprezentlhat? 3.10 Denci Legyenek X s Xn (n 2 N) rendezett halmazok Azt mondjuk, hogy X elll az Xn halmazok

sszefslseknt, ha lteznek olyan diszjunkt Hn X halmazok, melyekre X = 1 n=1Hn , s Hn hasonl Xn -hez. 15 3.11 Ttel Tegyk fel, hogy a reprezentlhat rendezett halmazok teljess ttele s duplzottja is reprezentlhat. Ekkor az Xn reprezentlhat rendezett halmazok sszefslseknt elll X rendezett halmaz maga is reprezentlhat Bizonyts. A felttel szerint Hn  f0 1g teljess ttele minden n-re reprezentlhat, gy feltehetjk, hogy az (n n + 1) intervallumon van reprezentlva, hiszen minden nem elfajul intervallum egy nem megszmllhat -kompakt metrikus tr. Legyen x 2 X a rendezett halmaz egy eleme, azaz legyen valamely n-re x 2 Hn , s rendeljnk x-hez egy vals Baire 1 fggvnyt a kvetkezkppen. 8 (n n + 1)-en" < az (x 0)-t reprezentl fggvny fx := : a supf(y i) 2 Hm  f0 1g : y xg-et reprezentl fggvny (m m + 1)-en" 0 egybknt, ahol a szuprmum Hm  f0 1g teljess ttelnek rendezse szerint rtend. A 32 ttel alapjn

lthat, hogy a fentiekben Baire 1 fggvnyeket konstrultunk, teht csak azt kell ellenrizni, hogy X -hez hasonlan vannak rendezve. Legyen x 2 Hk , y 2 Hl s x < y. Ha k = l, akkor nyilvnval, hogy fx fy , s eltrnek (k k + 1)-en Ha k 6= l, akkor (k k + 1)-en, (l l + 1)-en s a kt halmaz unijnak komplementern kln-kln ellenrizhet, hogy fx fy , emellett ismt eltrnek (k k + 1)-en, mivel fy itt nem kisebb az (x 1)-et reprezentl fggvnynl. A kvetkezkben egy konkrt konstrukcit adunk reprezentlhat rendezett halmazokra, amelyrl az sejthet, hogy elegenden gazdag ahhoz, hogy elvezessen az sszes reprezentlhat halmaz le rshoz. 3.12 Denci Legyen  egy rendszam es I = 0 1] Jeloljuk I -val az  tpusu I -ben halado sorozatok halmazt a lexikograkus rendezessel. Megjegyzs. Ha   !1 , akkor Kuratowski ttele (21) alapjn I nem reprezentlhat, mivel tartalmaz !1-hez hasonl rszhalmazt. Azonban igaz a kvetkez 3.13 Ttel I reprezentalhato

Baire 1 fuggvenyekkel minden  < !1 -re Bizonyts. Q1  < !-ra az ll ts teljes indukcival azonnal adodik a 3.8 ttelbl Jelolje H = n=10 1] a Hilbert kockat, azaz a 0,1] intervallum mint topologikus ter megszamlalhato sok peldanyanak topologikus szorzatat. Ismeretes, hogy H kompakt metrikus ter, ezert elegend}o H -n ertelmezett fuggvenyekkel reprezentalni I -t. Azt mutatjuk meg, hogy ez karakterisztikus fuggvenyekkel is lehetseges, azaz leteznek H -ban a tartalmazas szerint I tpusban rendezett ambigus halmazok. Rendezzuk el}oszor H -t I tpusban. Mivel  < !1, letezik egy : N !  bijekcio Minden a = (a1  a2  : : :) 2 H -hoz rendeljuk hozza az x = fa(n) : n 2 Ng transznit sorozatot, es huzzuk vissza I rendezeset H -ra. Mivel a fenti lekepezes bijekcio, gy egy (H <H ) I tpusu rendezett halmazt kapunk. Azt alltjuk, hogy a Ha := fb 2 H : b <H ag (a 2 H ) halmazok megfelel}oek. Mivel Ha  Ha0 () a H a0 , ezert ez egy

I tpusu 16 halmazrendszer. Azt kell meg belatni, hogy minden a 2 H -ra Ha ambigus El}oszor belatjuk, hogy F . Ha = 0 1  @     (b1  b2  : : :) 2 H : b; () = a; () b; () < a; () A : < < 1 1 1 1 Mivel az unio tagjai ugy allnak el}o, mint egy nylt es meg zart halmazok metszete, ezert ez egy F halmaz, gy ilyenek megszamlalhato unioja, azaz Ha is F . Hasonloan fb 2 H : a <H bg is F , es mivel fag maga is F , ezert fb 2 H : b <H ag egy F halmaz komplementere, azaz G . Megjegyzs. Valojaban itt ambigus halmazokkal reprezentaltunk 3.14 Ttel I -nak nincs I +1-hez hasonlo resze semmilyen  < !1-re Bizonyts. Indirekt, legyen f : I +1 ! I egy rendezestarto injekcio Legyenek a koordinatafuggvenyei f = (f0  f1  : : :  f  : : :) ( < ). f0 : I +1 ! I monoton lekepezes, melynl klnbz a 2 0 1] pontokra az f0 (fx0  : : :  x  : : :  x : x0 = ag) halmazok konvex burkai diszjunkt belsej intervallumok

R-ben, gy legfeljebb megszmllhatan sok nem elfajul lehet kztk. Rgz thetnk teht egy a0 2 0 1] pontot, melyre f0 ((a0  x1  : : :  x  : : :  x )) konstans. Ha <  -ra mr rgz tettk a -t gy, hogy f ((a0  : : :  a  x+1  : : :  x )) konstans, akkor x -t klnbz 0 1]-beli rtkeknek rgz tve megint olyan kphalmazokat kapunk, melyeknek a konvex burkai diszjunkt belsej intervallumok, ezrt rgz thetnk egy a -t, melyre f ((a0  : : :  a  x+1 : : :  x )) konstans. De ekkor az indukcis lpst minden  < -ra elvegezve f ((a0  : : :  a  : : :  0)) = f ((a0  : : :  a  : : :  1))  addik, ami lehetetlen. Felmerul a kerdes, hogy tallhat-e minden reprezentalhato rendezett halmazhoz hasonlo reszhalmaz alkalmas  < !1-re I -ban. A valasz nemleges 3.15 Ttel Letezik olyan reprezentalhato rendezett halmaz, amely semmilyen  < !1 -re nem hasonlo I egy reszhalmazahoz. Bizonyts. Mivel R duplazottja reprezentalhato,

hiszen hasonlo I 2 egy reszhalmazahoz, ha R-nek @1 pontjat helyettestjuk az I ( < !1 ) halmazokkal, egy reprezentalhato halmazt kapunk. Ha ez hasonlo volna valamely -ra I egy reszhalmazahoz, akkor I +1 is az volna, ez azonban az elz ttel szerint lehetetlen. Megjegyzs. Ez valojaban ambigus halmazokkal valo reprezentacio Eddigi mdszereink ismtelt alkalmazsval jabb reprezentlhat halmazokat konstrulhatunk. 17 3.16 Denci Legyen H rendezett halmazok egy halmaza Denialjunk egy R b}ovul}o halmazsorozatot transznit rekurzioval. R0 := H" R azokbol a rendezett halmazokbol, amelyek el}oallnak ugy, hogy egy X 2 S alljon S R pontjait A 2 R x <  <  (x 2 X ) rendezett halmazokkal helyettestjuk. 3.17 Ttel A sorozat stabilizalodik, azaz letezik egy  rendszam, melyre    eseten R = R all. Bizonyts. Legyen  jH j (H 2 H) egy szamossag Transznit indukcival addik, jX j . Legyen ugyanis X azS a rendezett halmaz, hogy ha

valamely -ra X 2 R , akkor S amelyet gy kapunk, hogy egy Y 2 < R halmaz pontjait Ay 2 < (y 2 Y ) halmazokkal helyettes tjk. Ekkor jX j  = , hiszen jY j s jAy j (y 2 Y ). Legyen most  egy olyan szmossg, melynekS konalitsa nagyobb -nl, pldul  := 2 . S Elszr beltjuk, hogy R = R . Legyen X 2 < R s legyen Ax 2 S R (x 2 X ). Mivel jX j s<cf  > , ezrt ha minden Ax-hez rgz tnk egy <  x < -t, melyre Ax 2 Rx , akkor fx : x 2 X g korltos -ban. Ltezik teht egy kzs  < , melyre Ax 2 R (x 2 X ), emellett nyilvn X 2 R is feltehet. Ekkor viszont az a rendezett halmaz, melyet gy kapunk, hogySX pontjait az Ax (x 2 X ) halmazokkal helyettes tjk, maga is eleme R+1-nek, s gy < R -nak is. Transznit indukcival igazoljuk, hogy   -ra R = R . Legyen <  -ra RS = R , s legyen X 2 R X lljon el Y s Ay (Sy 2 Y ) sszetevseknt, ahol Y S , Ay 2 < R (y 2 Y ). SMivel R = R ( <  ), gy < R = R , emellett R =

< R . Teht Y , Ay 2 < R , amibl X2R . 3.18 Denci Legyen H rendezett halmazok egy halmaza R(H) := S R Megjegyzs. A fenti ll ts szerint ez valban egy halmaz, hiszen  2On R =  <2 R: 3.19 Ttel R(fRg) elemei reprezentlhatak Baire 1 fggvnyekkel A bizony tst valamivel ltalnosabban vgezzk el: 3.20 Ttel Legyen H rendezett halmazok egy olyan halmaza, hogy minden elemnek a duplzottja reprezentlhat Baire 1 fggvnyekkel. Ekkor R(H) minden eleme reprezentlhat Baire 1 fggvnyekkel Bizonyts. Azt mutatjuk meg transznit indukcival, hogy R(H) elemeinek a duplzottja reprezentlhat Baire 1 fggvnyekkel.  = 0-ra ezt feltettk Legyen -ra S R iselemeinek a duplzottja reprezentlhat s X 2 R . X lljon el gy, hogy <  S S egy YS2 < R -ba Ay 2 < R (y 2 Y ) rendezett halmazokat tesznk. Mivel Ay 2 < R , a duplzottja, Ay  f0 1g is reprezentlhat az indukcis feltevs szerint. De ha Y S -ba az y pont helyre Ay  f0 1g-et tesszk,

ppen X duplzottjt kapjuk. Mivel Y 2 < R , ezrt Y -ba reprezentlhatakat tve reprezentlhatt kapunk, azaz X duplzottja reprezentlhat. 18 Megjegyzs. Ambigus halmazokkal val reprezentlsra ugyanez rvnyes Felmerl a krds, hogy R(fRg) egybeesik-e a reprezentlhat halmazok halmazval. A vlasz nemleges: 3.21 Ttel R(fRg)-ben nincs I ! -hoz hasonl rendezett halmaz Bizonyts. Transznit indukcival igazoljuk, hogy R egyetlen eleme sem tartalmaz I ! hoz hasonl rszhalmazt  = 0-ra ez abbl kvetkezik, hogy R rszhalmazai szeparbilisak Tegyk fel, hogy az -nl kisebb rendszmokra mr belttuk az ll tst, s legyen X 2 R . Az, hogy X elll Y -bl az Ay -ok betevsvel, egyenrtk azzal, hogy X felbonthat Iy intervallumokra, melyek Y -hoz hasonlan rendezettek, s Iy hasonl Ay -hoz. Tegyk fel, hogy X tartalmaz egy H , I ! -hoz hasonl rszhalmazt. I ! minden legalbb ktpont intervalluma tartalmaz I ! -hoz hasonl rszt, ezrt egy Iy H -nak legfeljebb egy

pontjt tartalmazhatja, hiszen Iy -ban az indukcis feltevs szerint nincs I ! -hoz hasonl rszhalmaz. Ekkor viszont a H -t metsz Iy -okhoz tartoz y-ok Y -nak egy I ! -hoz hasonl rszhalmazt alkotjk, ami az indukcis feltevs miatt lehetetlen. A 3.20 ttel szerint R(fI :  < !1g) elemei reprezentlhatak, hiszen I duplzottja I +1 ( < !1 ). Szemlletesnek tnik az a megllap ts, hogy az ly mdon add kombincii az I halmazoknak elll tanak szinte minden rendezett halmazt, ami nem tartalmaz !1 t pus rszhalmazt. Ha ezt Kuratowski ttelvel (21) egybevetjk, indokoltt vlik a kvetkez krds. 3.22 Krds R(fI :  < !1g) egybeesik-e a reprezentlhat rendt pusokkal? Most rtrnk a problma egy ms megkzel tsi mdjra, amely amely egy R(H)-hoz hasonl fogalomhoz vezet. 3.23 Ttel M2 tren rtelmezett Baire tulajdonsg fggvnyekbl ll rendezett hal- maz, melynek brmely kt eleme msodik kategrij halmazon tr el, hasonl a vals szmok egy rszhalmazhoz.

Bizonyts. Ismeretes, hogy egy rendezett halmaz pontosan akkor hasonl a vals szmok egy rszhalmazhoz, ha szeparbilis, s nincs benne megszmllhatnl tbb szomszdos pontpr. Elszr beltjuk, hogy a rendezett halmaz szeparbilis. Legyen X az alaptr, s tegyk fel egyelre, hogy X Baire tr, azaz minden nem res ny lt altere msodik kategrij. Legyen B a tr egy megszmllhat bzisa, melyrl feltesszk, hogy nem tartalmazza az res halmazt. Ha U V 2 B-hez s p q 2 Q-hoz van a rendezett halmaznak olyan h eleme, amelyre U egy rezidulis rszn h > p s V egy rezidulis rszn h < q, akkor vlasszunk egy ilyen fggvnyt. Azt ll tjuk, hogy az gy kivlasztott M megszmllhat halmaz sr a rendezett halmazban. Legyen teht (f g) a rendezett halmaz egy nem res ny lt intervalluma, s h0 2 (f g) a rendezett halmaz egy eleme. Azt kell megmutatnunk, hogy tallhat egy h 2 (f g) M a rendezett halmazban. Knnyen lathat, hogy X (f < h0) =  p2Q 19 X (f < p <

h0) s X (h0 < g) =  q2Q X (h0 < q < g) ahol a felttel szerint az egyenlsgek bal oldaln msodik kategrij halmazok llnak, gy valamely p-re s q-ra X (f < p < h0) illetve X (h0 < q < g) msodik kategrijak. Nyilvnval, hogy egy msodik kategrij s Baire tulajdonsg halmaz rezidulis valamely nem res ny lt halmazban, gy valamely B-beli elemben is. Az X (f < p < h0) s X (h0 < q < g) halmazok Baire tulajdonsgak, hiszen f g s h0 Baire tulajdonsg fggvnyek, tallhat teht hozzjuk egy U illetve V B-beli elem, melyben rezidulisak. Ekkor U V 2 B-hez s p q 2 Q-hoz van a rendezett halmazban fenti tulajdonsg elem, hiszen h0 > p s h0 < q U illetve V egy rezidulis rszn, gy M den cija szerint ltezik egy h 2 M fggvny ugyanezzel a tulajdonsggal. Megmutatjuk, hogy h 2 (f g) X Baire tr, gy U nem els kategrij, ezrt ltezik egy x 2 U , melyre f (x) < p < h(x), s hasonlan ltezik egy y 2 V , melyre h(y)

< q < g(y). Eszerint csak f < h < g lehetsges, ami bizony tja a szeparbilitst. Legyenek most f < g ( 2 ;) klnbz szomszdos pontprok. A fentiekhez hasonlan minden  2 ;-ra X (f < g ) =  p2Q X (f < p < g ) ezrt alkalmas p -ra X (f < p < g ) msodik kategrij. Rgz thetnk teht -hoz egy U 2 B-t, amelyben ez a halmaz rezidulis. Nyilvnval, hogy ha  6=  , akkor -hoz s  -hoz nem rendelhettk ugyanazt a (p U ) prt, mivel ekkor felhasznlva hogy U msodik kategrij azt kapnnk, hogy egy x 2 U pontban f < p < g s f < p < g , ami szomszdos pontprok esetn lehetetlen. Ebbl azonban kvetkezik, hogy ; megszmllhat Ha X nem Baire tr, akkor Banach ttelnek kvetkezmnyeknt fel rhat X = A  G alakban, ahol A els kategrij s G olyan ny lt halmaz, amely altrknt Baire tr La. 112] Ha a rendezett fggvnyhalmaz elemeit megszor tjuk G-re, a kapott rendezett halmaz hasonl lesz az eredetihez, mivel a fggvnyek G-n

is eltrnek egymstl, hiszen A els kategrij. Valjban ugyan gy addik az is, hogy a megszor tott fggvenyek G-n msodik kategrij halmazon trnek el egymstl. Alkalmazhatjuk teht az elz esetet, amibl azt kapjuk, hogy a leszk tett fggvnyek halmaza hasonl a vals szmok egy rszhalmazhoz, de ebbl kvetkezen az eredeti fggvnyhalmaz is az, amivel az ll tst bizony tottuk. Legyen adva Baire 1 fggvnyek egy X rendezett halmaza. A Zorn lemma szerint kivlaszthatjuk ennek egy maximlis rszrendszert, melyben brmely kt fggvny msodik kategrij halmazon tr el egymstl. Az elz ttelben lttuk, hogy ez a rszrendszer szeparbilis, legyen teht M ennek egy megszmllhat sr rszhalmaza. Ekkor X n M maximlis intervallumai bizonyos rtelemben egyszerbb szerkezetek X -nl, hiszen egy ilyen intervallum brmely kt eleme csak egy els kategrij halmazon klnbzik, st, Kuratowski ttelt (2.1) felhasznlva addik, hogy az egsz intervallum sszes eleme

megegyezik egy kzs rezidulis halmazon Ez motivlja a kvetkez denicit 20 3.24 Denci Legyen H egy rendezett halmazokbl ll halmazrendszer, melyrl feltesszk, hogy tartalmazza az res halmazt Nevezzk H elemeit 0 rang halmazoknak Legyen  egy rendszm. Azt mondjuk, hogy egy X rendezett halmaz rangja legfeljebb , ha tallhat egy M X megszmllhat halmaz, hogy X n M minden I maximlis intervallumnak a rangja legfeljebb  , alkalmas (I -tl fgg)  < -ra. Ez teht egy transznit rekurzi. A legfeljebb  rang halmazok osztlyt jellje R Jellje R (H) azon rendezett halmazok osztlyt, amelyeknek van rangja, azaz  R (H) := R : Meg fogjuk mutatni, hogy R (H) egy halmaz s hogy R (H) R(H), ha R 2 H. 3.25 Lemma Legyen X Segy rendezett halmaz, melynek rangja legfeljebb  Ekkor X elll gy, hogy R pontjait < R -beli beli rendezett halmazokkal helyettes tjk. Bizonyts. Legyen M X a den ciban szerepl megszmllhat rszhalmaz Ismeretes, hogy minden

megszmllhat rendezett halmaz hasonl Q egy rszhalmazhoz, legyen teht : M ! Q egy hasonlsg. X n M egy I maximlis intervalluma kt rszre osztja M -et. Jelljk az I -tl balra es rszt M1-gyel, s legyen F (I ) = supf(x) : x 2 M1 g. Feltehetjk, hogy M1 = 6  s a szuprmum vges, hiszen X -hez hozzvehetnk egy legkisebb s egy legnagyobb elemet, s ezekrl feltehetjk, hogy M elemei. Ha I1, I2, I3, klnbz maximlis intervallumok ebben a sorrendben rendezve, akkor a maximalits miatt lteznek x 2 M s y 2 M elemek I1 s I2 illetve I2 s I3 kztt, ezrt F (I1) < F (I3 ), hiszen (x) < (y). Hasonlan addik, hogy ha F (I1) = F (I2), akkor I1 s I2 kztt pontosan egy x 2 M tallhat. Lekpeztk teht X -et s F seg tsgvel rendezstart mdon a vals szmok egy rszhalmazba gy, hogy egy c 2 R skpe a kvetkezk valamelyike: egy pont, egy maximlis intervallum, egy maximlis intervallum s mg eltte vagy utna egy pont, kt intervallum s kztk S egy pont vagy

az res halmaz. Ezen rendezett halmazok knnyen lthatan elemei < R -nak. Ha most visszafel, minden c 2 R szmot a fenti lekpezseknl vett skpvel helyettes tnk, X -et kapjuk. 3.26 Kvetkezmny Ha R 2 H, akkor minden  rendszmra R R , emellett R (H) R(H) s R (H) halmaz. Bizonyts. Transznit indukcival nyilvnval 3.27 Kvetkezmny Ha H elemeinek a duplzottjai reprezentlhatak Baire 1 fggvnyekkel, akkor R (H) elemei is Megjegyzs. Ltezik H, melyre R (H) =6 R(H) -lljon pldul H I ! rszhalmazaibl Transznit indukcival kny megmutatni, hogy R (H) = H, mivel ha R pontjait I ! rszhalmazaival helyettes tjk, a kapott halmaz hasonl lesz R  I ! egy rszhalmazhoz, ami (0 1)  I ! I  I ! = I 1+! = I ! -val megegyez rendt pus. Azonban I !+1 2 R1(H) R(H), amelyrl a 3.14 ttelben lttuk, hogy nem hasonl I ! egyetlen rszhalmazhoz sem 21 3.28 Ttel R (fRg) minden eleme hasonl I ! egy rszhalmazhoz Bizonyts. Transznit indukcival addik,

felhasznlva, hogy R  I ! hasonl I ! egy rszhalmazhoz. 3.29 Ttel R(fRg) minden eleme hasonl I egy rszhalmazhoz alkalmas  < !1-re Bizonyts. Transznit indukcival megmutatjuk, hogy minden  < !1 -hez tallhat egy 0 0  < !1 , amelyre R minden eleme hasonl I egy rszhalmazhoz.  = 0-hoz 0 = 1 megfelel. Ha  =  +0 1 < !1, akkor legyen 0 : =  0  2. Ez knnyen lthatan teljes 0 02 ti    a felttelt, mert ha I pontjait I -hz hasonl halmazokkal helyettes tjk, egy I -hz hasonl rendezst kapunk. Legyen vgl  < !1 egy limeszrendszm, s legyen n %  (n 2 N) egy hozz konvergl sorozat. Ekkor a fenti gondolatmenethez hasonlan addik, hogy 0 := supf0n : n 2 Ng  2 megfelel. A reprezentlhat rendezsek konstrukciival kapcsolatban utolsknt megeml tnk egy krdst. 3.30 Krds R(fI :  < !1g) = R (fI :  < !1 g) ? Azt llap thatjuk meg teht a konstrukcik sszefoglalsaknt, hogy tbb jel is arra mutat, hogy ha egy rendezett halmaz nem

tartalmaz !1 t pus nv vagy fogy sorozatot, akkor reprezentlhat. Ezt Kuratowski ttelvel (21) egybevetve megkaphatnnk a reprezentlhat halmazok karakterizcijt. Azonban az albbi ttel szerint ez nem lehetsges. 3.31 Ttel A ZFC -aximarendszerben nem bizony that, hogy pontosan azok a ren- dezett halmazok reprezenrlhatk Baire 1 fggvnyekkel, amelyek nem tartalmaznak !1 t pus nv vagy fogy rszt. Bizonyts. Szuszlin-egyenes nem tartalmazhat !1 t pus fx :  < !1g nv sorozatot, hiszen ekkor f(x  x +2) :  < !1 limeszrendszmg diszjunkt nem res ny lt intervallumoknak egy megszmllhatnl nagyobb szmossg rendszere lenne, ami ellentmondana a ccc-tulajdonsgnak. Hasonlan igazolhat, hogy nem tartalmazhat !1 t pus fogy sorozatot sem Eszerint, ha a fenti karakterizci bizony that lenne, akkor azt is bebizony tannk, hogy minden Szuszlin-egyenes reprezentlhat. Ez azonban Komjth ttele (25) szerint azt jelenten, hogy bebizony tottuk, hogy nem ltezik

Szuszlin-egyenes, ami ellentmonds. Ezek szerint a fent eml tett karakterizci nem bizony that. Ez azonban mg nem ad vlaszt a kvetkez krdsre. 3.32 Krds Konzisztens-e, hogy pontosan azok a halmazok reprezentlhatak Baire 1 fggvnyekkel, amelyek nem tartalmaznak !1 t pus nv vagy fogy sorozatot? A fejezet htralv rszben megadjuk az ambigus halmazokkal reprezentlhat rendezett halmazok egy karakterizcijt. Az eddigi peldak altalaban olyanok voltak, hogy 22 egy kompakt metrikus ternek az alaphalmazat rendeztuk ugy, hogy a rendezes bizonyos szeletei ambigus halmazok voltak. A szeletek alkotta rendtpus tehat reprezentalhato volt Ez megfordthato. 3.33 Ttel Egy X rendezett halmaz pontosan akkor reprezentalhato ambigus halmazokkal, ha van egy kompakt metrikus ternek egy olyan rendezese, melyben bizonyos szeletek ambigusak es a tartalmazas szerint X -hez hasonloan vannak rendezve. Bizonyts. Ha van ilyen rendezes, akkor a szeletek

karakterisztikus fuggvenyei megfelelnek Legyen most adott egy fH :  2 ;g ambigus halmazokbol allo reprezentacio, es denialjunk egy relaciot a metrikus ter pontjai kozott. Legyen x <0 y ha 9 2 ; melyre x 2 H s y 2= H : Ez konnyen lathatoan parcialis rendezes, hiszen amellett, hogy az irre.exivitas trivialis, fH :  2 ;g rendezettsege miatt teljesul a tranzitivitas es az antiszimmetria. A Zorn-lemma szerint minden parcialis rendezes kiterjeszthet}o rendezesse, ugyhogy vegyuk <0 -nek egy tetsz}oleges < kiterjeszteset. Megmutatjuk, hogy ez jo Mivel ez valoban rendezes, es minden  2 ;-ra H ambigus, csak azt kell megmutatni, hogy H egy szelete <-nak. Azt kell belatni tehat, hogy ha x 2 H es y  x, akkor y 2 H , ami azzal ekvivalens, hogy ha y 2= H es x 2 H , akkor x < y. Ez pedig nyilvanvalo A fejezet lezrsaknt megeml tnk egy krdst, amely rvilg t az ambigus halmazokkal val reprezentls jelentsgre. 3.34 Krds

Egybeesnek-e az ambigus halmazokkal s a Baire 1 fgvnyekkel reprezentlhat rendt pusok? 23 4. Szeparbilis metrikus tereken rtelmezett Baire 1 f ggvnyek rendt pusai E fejezet tmja a szeparbilis metrikus tereken rtelmezett rendezett fggvnyhalmazok problmja. Elszr az 11 ttelt ltalnos tjuk 4.1 Ttel Szeparbilis metrikus tren rtelmezett folytonos fggvnyek rendezett halmaza hasonl a vals szmok egy rszhalmazhoz Bizonyts. Legyen fxn : n 2 Ng a tr egy sr megszmllhat rszhalmaza Ekkor az f 7! 1 X n=1 arctg f (xn ) 2n lekpezs, ahol f a rendezett halmaz elemein fut vgig, hasonlsgot ltes t a rendezett halmaz s a vals szmok egy rszhalmaza kztt, hiszen ha kt folytonos fggvny nem esik egybe, akkor eltrnek a sr halmaz valamely elemn is. A kvetkez ll ts szerint a megford ts is igaz. 4.2 Ttel Nem szeparbilis metrikus tren minden legfeljebb @1 szmossg rendezett halmaz, gy specilisan !1 is reprezentlhat folytonos

fggvnyekkel. Bizonyts. Legyen X egy nem szeparbilis metrikus tr Metrikus terek krben a szeparbilits ekvivalens a ccc-tulajdonsggal, ezrt ltezik diszjunkt nem resSny lt halmazoknak egy fG :  < !1 g rendszere. Ez a halmazrendszer tekinthet az <!1 G metrikus tr ny lt fedsnek. Stone ttele szerint egy metrikus tr minden ny lt fedsnek ltezik -diszkrt nom tsa En. 441], amelybl knnyen lthatan kivlaszthat egy fH X :  < !1g nem res ny lt halmazokbl ll diszkrt halmazrendszer. Mivel az alaptr egy metrikus tr, minden  < !1-hez rgz thetnk egy : X ! 0 1] folytonos fggvnyt, amely H -n k vl nulla, de H -n nem azonosan nulla. Legyen most A egy legfeljebb @1 szmossg rendezett halmaz s F : A ! !1 egy injekt v lekpezs. Az X a 7! F (b) (a 2 A) b<a 24 hozzrendels rtelmes, hiszen minden pontban az sszegnek legfeljebb egy tagja nem nulla, emellett nyilvnvalan hasonlsg. Annak S igazolsa van mg htra, hogy minden a 2 A-ra

folytonos a fenti sszeg. Azonban <!1 H pontjaiban a folytonossg nyilvnval, az ezen k vli pontokban pedig knnyen addik a halmazrendszer diszkrtsgbl. Most rtrnk a szeparbilis metrikus tereken rtelmezett Baire 1 fggvnyekre. Mint azt mr a msodik fejezetben eml tettk, ez az eset mr a jlrendezsek szempontjbl is lnyegesen bonyolultabb, mint ha azt tesszk fel, hogy az alaptr egy lengyel tr. 4.3 Ttel Van olyan szeparbilis metrikus tr, amelyen ltezik Baire 1 fggvnyeknek !1 t pus sorozata. Bizonyts. A bizony ts azon alapul, hogy van olyan nem megszmllhat szeparbilis metrikus tr, amelynek minden megszmllhat rszhalmaza G . Ugyanis ha ebben transznit rekurzival deniljuk megszmllhat halmazok egy !1 t pus nv sorozatt, akkor ezen halmazok karakterisztikus fggvnyei megfelelnek a feltteleknek, hiszen minden megszmllhat halmaz F is, azaz ambigus. Fenti tulajdonsg metrikus tr konstrulshoz deniljuk elszr a vals szmok G

rszhalmazainak egy !1 t pus nv sorozatt transznit rekurzival. Legyen G0 az res halmaz Ha  < !1, akkor G legyen az < G nullmrtk halmaz s mg egy rajta k vli pont unijnak nullmrtk G burka. )gy knnyen lthatan egy keresett tulajdonsg, radsul nullmrtk halmazokbl ll sorozatot kapunk. Legyen most x 2 G +1 n G R ( < !1) s H : = fx :  < !1g. Azt ll tjuk, hogy a H szeparbilis metrikus tr megfelel. Legyen teht M H egy megszmllhat rszhalmaz, azaz M = fx :  2 Ag, ahol A !1 megszmllhat. A korltos !1 -ben, gy valamely  < !1-re M G . A G H = fx :  < g halmaz megszmllhat s H -ban G . Ekkor azonban M is G H -ban, hiszen elll M = (G H ) x2G nM (R n fxg) alakban. 4.4 Ttel Az az ll ts, hogy van olyan szeparbilis metrikus tr, amelyen ltezik Baire 1 fggvnyeknek !2 t pus sorozata, fggetlen a ZFC aximarendszertl, st fggetlen ZFC + (2@0  @2 )-tl is. Bizonyts. A Baire 1 fggvnyek halmaza kontinuum

szmossg, gy a kontinuumhipotzisbl nyilvnvalan kvetkezik, hogy Baire 1 fggvnyeknek nincs !2 t pus sorozata Ez az ll ts teht konzisztens ZFC -vel Most beltjuk, hogy konzisztens ZFC + (2@0  @2 )-vel is. So] szerint konzisztens, hogy 2@0 = @2 s szeparbilis metrikus trben Borel halmazoknak nincs !2 t pus jlrendezett rendszere. Tekintsnk egy ilyen tulajdonsg modellt, s tegyk fel, hogy ltezik egy szeparbilis metrikus tren Baire 1 fggvnyeknek egy !2 t pus halmaza. Ekkor az X  R szeparbilis metrikus trben a fggvnyek szubgrfjai F halmazok egy !2 t pus halmazt alkotjk, ami a szbanforg modellben lehetetlen. Mieltt igazolnnk az ll ts tagadsnak konzisztencijt, bevezetnk egy den cit. Egy topologikus tr egy altert Q-halmaznak nevezzk, ha minden rszhalmaza relat ve 25 G . Egy H Q-halmaz minden A H rszhalmaza relat ve ambigus, hiszen H n A H is relat ve G , azaz A H relat ve F . Ha 542] alapjn konzisztens, hogy 2@0 = @3 s ltezik a vals

szmoknak egy H @2 szmossg rszhalmaza, amely Q-halmaz. Legyen H = fh :  < !2g egy jlrendezse H -nak. Ekkor a H szeparbilis metrikus tren a f fh :< g :  < !2 g fggvnyhalmaz Baire 1 fggvnyek egy !2 t pus sorozata, teht az ll tst igazoltuk. Megjegyzs. Ha csak a ZFC -tl val fggetlensget igazoltuk volna, akkor nem zrnnk ki azt a lehetsget, hogy pontosan a legfeljebb kontinuum szmossg rendszmok reprezentlhatk, s ekkor az ll ts nem volna ms, mint a kontinuum hipotzis nyilvnval tfogalmazsa. Megjegyzs. Ambigus halmazokkal val reprezentcirl ugyanez mondhat Utolsknt a Borel-mrhet fggvnyek osztlyval foglalkozunk. A folytonos fggvnyek vizsglata utn a Baire 1 osztly helyett a mrhet fggvnyek osztlya is termszetes tovbblpsi lehetsg. Mint azt az 15 ttelben mr lttuk, nem jelent megszor tst, ha felteszk, hogy a reprezentl fggvnyek Lebesgue-mrhetek, ezrt clszerbb a Borelmrhet fggvnyek osztlyt

tekinteni. Az 114 ttelben mr bizony tottuk, hogy vals Borel fggvnyeknek ltezik !1 t pus sorozata. A most kvetkez ll tsok lnyegben megtallhatk Ko]-ban, mivel az ott az -adik Borel-osztlyokra kimondott ll tsok knnyen tvihetk a jelen esetre. 4.5 Ttel Az az ll ts, hogy van olyan szeparbilis metrikus tr, amelyen Borel mrhet fggvnyeknek ltezik !2 t pus rendezett halmaza, fggetlen ZFC + (2@0 = @2 )-tl. Bizonyts. Az egyik irny ugyangy addik, mint az elz ll tsban A msik irny igazolshoz tekintsnk egy olyan modellt, melyben 2@0 = @2 , s minden kontinuumnl kisebb szmossgra teljesl a Martin-axima. Ekkor @2 -nl kevesebb nullmrtk halmaz unija is nullmrtk, gy az 1.15 ttel gondolatmenett alkalmazva G halmazok egy !2 t pus sorozatt kapjuk. Ezen halmazok karakterisztikus fggvnyei megfelelnek. A Baire 1 fggvnyek esettl eltren most a vals fggvnyek problmjnak fggetlensge is addik. 4.6 Kvetkezmny Fggetlen ZFC + (2@0 =

@2 )-tl, hogy ltezik-e vals Borelfggvnyeknek !2 t pus sorozata 26 5. Nyitott problmk Ebben a fejezetben felsoroljuk, hogy mely problmk vrnak mg megoldsra. 1) Igaz-e, hogy Baire 1 fggvnyekkel val reprezentci szempontjbl a nem megszmllhat lengyel terek ekvivalensek? 2) Igaz-e, hogy reprezentlhat rendezett halmaznak a duplzottja is reprezentlhat? 3) Igaz-e, hogy egy A reprezentlhat rendezett halmaznak az A~ teljess ttele is reprezentlhat? 4) R(fI :  < !1 g) egybeesik-e a reprezentlhat rendt pusokkal? 5) R(fI :  < !1 g) = R (fI :  < !1g) ? 6) Konzisztens-e, hogy pontosan azok a halmazok reprezentlhatak Baire 1 fggvnyekkel, amelyek nem tartalmaznak !1 t pus nv vagy fogy sorozatot? 7) Egybeesnek-e az ambigus halmazokkal s a Baire 1 fgvnyekkel reprezentlhat rendt pusok? 27 Felhasznlt irodalom En] R. Engelking: General Topology PWN-Polish Scientic Publishers, Warszawa, 1977 Je] T. Jech: Set Theory Academic Press, 1978

Ko] P. Komjth, Ordered families of Baire-2-functions Real Analysis Exchange, Vol 15 (1989-90), 442-444. Ku] K. Kuratowski: Topology Academic Press, 1966 La] Laczkovich Mikls: Vals fggvnytan (egyetemi jegyzet). Budapest, ELTE, 1995 So] R. Solovay publiklatlan eredmnye Ha] Handbook of Set-Theoretic Topology. Szerkesztette K Kunen s J E Vaughan Elsevier Science Publishers B. V, 1984 28 Tartalom 1. 2. 3. 4. 5. Bevezets . Vals fggvnyosztlyok rendt pusai . Kuratowski s Komjth ttelei . Vals Baire 1 fggvnyek rendt pusai . Szeparbilis metrikus tereken rtelmezett Baire 1 fggvnyek rendt pusai Nyitott problmk . Felhasznlt irodalom . 1 . . . . 2 3 9 12 24 . 27 . 28