Tartalmi kivonat
Elsőfokú függvények Alap függvény: y = x Ugyanannyi az érték, mint a hely. (Minden számhoz saját magát rendeljük) Df = N Df = Z Df = Q x 0 1 2 3 4 5 y 0 1 2 3 4 5 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -3 -2 -1 0 1 2 3 Df = R Feladat: 1. Ábrázoljuk ugyanabban a koordinátarendszerben a következő függvényeket! yx y 2x y 5x xR y 3x Ez ugyanazt jelenti, min t : x x x 2x vagy f (x) x f(x ) 2x x 5x x 3x f(x) 5 x f(x) 3x Mindegyik függvény grafikonja egyenes. Az elsőfokú függvényeket lineáris függvényeknek is nevezik. Megfigyelhető, hogy a függvény bármelyik egész koordinátájú pontjából, ha egyet jobbra lépünk, és annyit fel amennyivel az x szorozva van, akkor a függvény egész koordinátájú pontjába jutunk. Ha az x együtthatója negatív, akkor lefelé kell menni Minél nagyobb az x együtthatója, annál meredekebb az egyenes, ezért az egyenes meredekségének nevezzük. Jele: m 2.
Ábrázoljuk ugyanabban a koordinátarendszerben a következő függvényeket! f x 2x f x 2x 3 xR f x 2x 5 –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) = 2x –6 –4 –2 0 2 4 6 f(x) = 2x+3 –3 –1 3 5 7 8 x 1 f(x) = 2x– 5 –11 – 9 – 7 – 5 – 3 – 1 1 Ha az f(x) = 2x függvény grafikonját 3-mal feltoljuk, akkor az f(x) = 2x + 3 függvény grafikonjához jutunk. Naná! Ha minden helyen hárommal növeljük az f(x) = 2x függvény értékét, akkor az f(x) = 2x + 3 függvény értékeit kapjuk. f(x) = 2x + 3 ha x = 0 f(0) = 2·0 + 3 = 3 A függvény 3-nál metszi az y tengelyt. f(x) = 2x – 5 ha x = 0 f(0) = 2·0 – 5 = – 5 A függvény – 5-nél metszi az y tengelyt. Az elsőfokú függvények általános alakja: y mx b m a meredekség x 0 f(x) m 0 b b b az egyenes y tengelymetszete Ábrázoljuk az f x 2x 5 függvényt! Kapásból is ábrázolhatjuk!
A függvény 5-nél metszi az y tengelyt, és a meredeksége –2. 2 x 4 függ3 vényt! A függvény 4-nél metszi az y 2 tengelyt, és a meredeksége . 3 3. Ábrázoljuk az f x Mit lehet tenni, ha a meredekség tört? 2 -t nem tudunk felfelé menni. 3 De ha az y tengely metszettől hármat megyünk jobbra és kettőt fel, az ugyanaz, mintha egyet megyünk jobbra és kétharmadot fel. (Hasonló háromszögek!) Ha a függvény y tengely metszete sem egész szám, akkor keresni kell a függvénynek egy egész koordinátájú pontját (ha van) és abból kell kiindulni a meredekséggel! A továbbiakban tudnod kell, hogy mi az elsőfokú függvény meredeksége, és az y tengely metszete. Összefoglalás: Az elsőfokú függvények általános alakja: y mx b , ahol m a meredekség és b az egyenes y tengelymetszete. Ha a függvény bármelyik egész koordinátájú pontjából, egyet jobbra lépünk, és a meredekséggel fel (ha m>0), akkor a függvény
egész koordinátájú pontjába jutunk. Ha a meredekség negatív, akkor lefelé kell menni Az elsőfokú függvényeket úgy ábrázoljuk, hogy az y tengelymetszetéből indulunk a meredekséggel (ha a b egész szám). Feladatok: 1. Ábrázolja az f(x) = – 2x és az f(x) = 3x függvényeket! Mennyi a függvény értéke az x = 2 helyen? Melyik helyen (hol?) 12 a függvény értéke? 1 4 3 2. Ábrázolja az f(x) x , x x , y x függvényeket! 2 3 2 3. Ábrázolja az x 2x 3 , f(x) = 3x – 6 függvényeket! Mennyi a függvény értéke az x = 2 helyen? Melyik helyen (hol?) 12 a függvény értéke? 4. Ábrázolja az f x 3 x 4, 2 és az f x 1 x 2 függvényeket! 4 5. Adott a függvény grafikonja Adja meg a függvények képletét! Megoldások: 1. Ábrázolja az f(x) = – 2x és az f(x) = 3x függvényeket! Mennyi a függvény értéke az x = 2 helyen? f(x) = – 2x f(2) = – 2·2 = – 4 Melyik helyen
(hol?) 12 a függvény értéke? f(x) = – 2x 2. Ábrázolja az f(x) 1 x, 2 x 3 x, 2 y 12 = – 2x x=–6 4 x függvényeket! 3 f(x) = 3x – 6 függvényeket! Mennyi a függvények értéke az x = 3. Ábrázolja az x 2x 3 , 2 helyen? Melyik helyen (hol?) 12 a függvények értéke? Mennyi a függvények értéke az x = 2 helyen? f(x) = 3x – 6 f(2) = 3·2 – 6 = 0 f(x) = – 2x + 3 f(2) = – 2·2 + 3 = – 1 Melyik helyen (hol?) 12 a függvények értéke? f(x) = 3x – 6 12 = 3x – 6 x = 6 f(x) = – 2x + 3 12 = – 2·x+ 3 x = – 4,5 4. Ábrázolja az f x 3 x4, 2 és az f x 1 x 2 függvényeket! 4 5. Adott a függvény grafikonja Adja meg a függvények képletét! A fekete grafikonnal megadott függvény képlete: y = x + 4 A kék grafikonnal megadott függvény képlete: y = 3x + 1 A lila grafikonnal megadott függvény 1 képlete: y x 2 4 A zöld
grafikonnal megadott függ2 vény képlete: y x 3 5