Matematika | Felsőoktatás » Seprényi Csilla - Kettős integrálás

Seprényi Csilla menedzser hallgató KETTŐS INTEGRÁLÁS a A kettős integrál értelmezése párhuzamba állítható a már tanult ∫ f ( x)dx integrál értelmezésével. Itt azonban az b integrandusz függvényben a független változók száma és az alaptartománynál a dimenziószám eggyel több. Legyen adva a z= f(x,y) kétváltozós függvény, ,és tegyük fel. Hogy ez az (x, y) síkon lévő értelmezési tartományának valamely T részén folytonos, korlátos és nem negatív. A T tartományról feltételezzük, hogy véges számú normális tartományra bontható. Ki akarjuk számítani azt a V köbtartalmat, melyet alulról az (x,y) sík T tartománya, oldalról a T tartomány határgörbéjén átmenő és a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelület, felülről pedig a z=f(x,y) egyenletű felület T tartomány felett lévő része határol. A kettős integrál tulajdonságai: • hasonlóak az egyváltozós integrál tulajdonságaihoz, •

integrálható a függvények összege, • konstansszorosa is integrálható, • az összeg integrálja a tagok integráljának összege, • konstansszorzó kiemelhető az integrál jel elé. Integrálás definíciója: Egy kétváltozós függvény integrálja a sík valamely A tartományán: . kettős sor Az f(x;y) kétváltozós függvényt a deriválásához hasonló elv szerint integráljuk. Előbb az egyik változó szerint integrálunk az adott határokon, majd a kapott kifejezést mégegyszer integráljuk a másik változó szerint, annak a határain: d b ⎛d ⎞ ⎛ ⎞ & ⎜ ⎟ ⎜ ∫ f (x; y)dy ⎟dx. = f ( x ; y ) dx dy ∫a ⎜⎝ ∫c ∫ ⎟ ⎜ ⎟ c⎝a ⎠ ⎠ b Definíció: Legyen f értelmezett a tartományon integrál minden x ∈ [ a; b ] esetén létezik és q(x) [a; b] -n integrálható, akkor az b d bd ⎛ ⎞ ( ) q x dx = f x ; y dy dx = ( ) ⎟ ∫ ∫ ⎜∫ ∫ ∫ f ( x; y)dydx integrált f kettős integráljának nevezzük. ⎠ a a⎝c ac b

Példa: az f(x;y)=3x2siny+5xy3+2 függvényt integráljuk úgy, hogy az x határai 0 és 2, az y határai pedig 0 és π. ⎛2 ⎞ (x szerint integrálunk) 2 3 ⎜ ⎟dy = + + 3 x sin y 5 xy 2 dx ∫0 ⎜⎝ ∫0 ⎟ ⎠ π ( ) π 2 ⎡ ⎤ x2 3 = ∫ ⎢x 3 sin y + 5 y + 2x ⎥ dy = 2 ⎦0 0⎣ π 5π ⎤ ⎡ y4 + 4π . 8 sin y + 10 y + 4 dy = ⎢− 8 cos y + 5 + 4 y⎥ = 16 + 2 2 ⎣ ⎦0 π ( =∫ 0 ) 3 4 Ha fordított sorrendben integrálunk, azaz először y szerint, az eredmény ugyanaz lesz. A határozott kettős integrál geometriai jelentése: az f(x;y) által meghatározott felület alattitérfogat mérőszáma az x,y koordináta síkon felvett, az a,b,c,d határok által meghatározott síkidom felett. KETTŐS INTEGRÁLÁS ALKALMAZÁSAI 1. Térfogatszámítás V= ∫∫ f ( x, y)dxdy T Például : a, Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amelyet alulról a T:-{x,y}, -1= x =2x2+ y2 felület határol. 2 1 2 2 ∫ ∫ (2 x + y )dxdy = V= − 2

−1 2 2 −2 −2 =1, -2= x =2} tartomány, felülről z 3 2 1 2 ∫ (2 x / 3 + y x) −1dy = ∫ 4 / 3 y + 2 y )dy = 8 / 3 + 16 / 3 − (−8 / 3 − 16 / 3) = 16 b. Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amelyet felülről z=9-x2+y2 paraboloid alulról (x,y) sík, oldalról pedig az x2+y2=4 henger határol. V= ∫∫ (9 − ( x 2 + y 2 ))dx dy= x2 + y 2 =4 Polár koordinátába történő átírás X= rcos fi Y=rsin J =r 0<=r<=2 origótól vett távolság 0<= fi<=2pi 2 pi 2 ∫ ∫ (9 − r 0 0 2 )rdrdϕ = 2 PI ∫ [9r 0 2 / 2 − r 4 / 4]02 dϕi = [14ϕ ]02π = 28π c, Tekintsük az x2 + y2 + z2 = 1 egyenletű egységgömböt, és távolítsuk el belőle az x2 − x + y2 = 0 és az x2 + x + y2 = 0 egyenletű egyenes hengerekbe eső részt. A test kivetítve az xy síkba A T tartomány feletti rész a nyolcadrésze a testnek, mert a test szimmetrikus (4-4 ilyen egybevágó darab van az xy sík alatt és felett is). Területi

integrállal(kettős integrál)számolunk Ez azt jelenti, hogy a gömb egyenletét átrendezve kapjuk, hogy . Innen a kettős integrált felírva a Viviani-test térfogata: Polártranszformáció segítségével számolunk. A két kör poláregyenlete r(α)=1 és r(α)=cosα. Ebből a térfogat: Két felület közötti térfogat ∫∫ ( f ( x, y) − 9( x, y)dxdy T Például: a. Számítsuk ki a z=2- x 2 + y 2 kúp felület és z=1 sík közötti térrész térfogatát T: (metszés tartomány) 2- x 2 + y 2 =1 1= x 2 + y 2 = 1=x2+y2 V= ∫∫ (2 x 2 + y 2 <=1 2π 1 x + y − 1)dxdy = 2 2 ∫ ∫ (1 − r )rdrdϕ = ∫ [r 0 0 1 2π 0 2 ] / 2 − r / 3 dϕ = [1 / 6ϕ ]0 = 2 / 6π = π / 3 3 2π 0 b, Számítsuk ki a z= 4 − x 2 − y 2 és a z= x 2 + y 2 kúp közötti térrész térfogatát. T: 4 − x 2 − y 2 = x 2 + y 2 4=2x2+2y2 2= x2+ y2 ∫∫ ( V= 4 − x 2 − y 2 − x 2 + y 2 )dxdy = x 2 + y 2 <= 2 x = r cos ϕ y = r sin ϕ J =r

2 2 PI = ∫ 0 0≤ϕ ≤ 2 0 ≤ ϕ <= 2π 3 ⎡ ⎤ 2 2 PI 2 PI 2 2 3 ⎢ ⎥ 1 ( 4 ) 8 8 8 − r r 2 ( 4 ) ((− ) − (− ))dϕ = − r − r rdrd ϕ = − − d ϕ = − ⎥ ∫0 ∫0 ⎢ 2 3 ∫ 3⎥ 3 3 3 0 ⎢ 2 ⎣ ⎦0 2π ⎡8 − 2 8 ⎤ 8−2 8 ϕ⎥ = 2ρ =⎢ 3 ⎣ 3 ⎦0 2. Felszínszámítás F= ∫∫ 1 + ( z ′x) 2 + ( z ′y ) 2 dxdy T Számítsuk ki annak a felületdarabnak a felszínét, amelyet a z=9-x2-y2 felülről az x2+ y2=4 henger kivág. T: x2+ y2<=4 z ′x = −2 x z ′y = −2 y x = r cos ϕ y = r sin ϕ F= ∫∫ 1 + 4 x + 4 y dxdy = J = r x 2 + y 2 <= 4 2 2 0≤r ≤2 0 ≤ ϕ <= 2π 2π 2 = ∫∫ 0 0 3 ⎡ 2π 2 2 1 ⎢ (1 + 4 r ) 1 + 4 r 2 rdr ϕ = ∫ ⎢ 3 8⎢ 0 2 ⎣ A kettős integrálokéhoz hasonló gondolatmenettel értelmezhetők az ú.n hármas (vagy akár n-es) integrálok is, három (illetve n) változós függvényekre. 2 ⎤ ⎥ 2π ⎥ = [5,83ϕ ]0 = 5,83 2PI ⎥ ⎦0