Matematika | Analízis » Analízis tételek, jól érthető példafeladatokkal

Egyváltozós függvények határozatlan integrálja A primitív függvény. Alapintegrálok • az F(x) függvényt az f(x) függvény primitív függvényének nevezzük valamely (véges vagy végtelen) intervallumon, ha az intervallum minden pontjában igaz, hogy F′( x ) = f ( x ) • F(x)-t határozatlan integrálnak is nevezzük, jelölése: ∫ f ( x )dx • ha F(x) az f(x)-nek primitív függvénye és C tetszőleges állandó, akkor F(x) + C is primitív függvénye f(x)-nek. minden elemi függvény differenciálhányadosa elemi függvény, fordítva ez nem igaz • • ha ∫ f ( x )dx létezik, akkor ∫ cf ( x )dx is létezik és igaz: ∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx • ha ∫ f ( x )dx illetve ∫ g( x ) dx létezik, akkor ∫ (f ( x ) ± g( x ) ) dx is létezik és igaz: ∫ (f ( x ) ± g( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g( x ) dx • Alapintegrálok: Minthogy a határozatlan integrálás a differenciálás fordított művelete, az egyszerűbb

integrálokat az elemi alapfüggvények differenciálási szabályainak megfordításával kapjuk: x n +1 ∫ x dx = n + 1 + C (n ≠ − 1) 1 ∫ x dx = ln x + C ax x a dx = +C ∫ ln a x x ∫ e dx = e + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C 1 ∫ cos 2 x dx = tgx + C 1 ∫ sin 2 x dx = −ctgx + C 1 * ∫ 1 + x 2 dx = arctgx + C = −arcctgx + C 1 dx = arcsin x + C = − arccos x + C* ∫ 2 1− x n 1 ∫ 1 x ±1 2 dx = ln x + x2 ±1 + C Példák: ∫e x (1 − e−x x −2 ) dx = ∫ (e x − x −2 )dx = = ∫ e x dx − ∫ x − 2 dx = e x − 1 x − 2 +1 + C = ex + + C − 2 +1 x 2 3 x x x x ∫ (2 + 3 ) dx = ∫ 2 dx + ∫ 3 dx = ln 2 + ln 3 + C x x cos 2 x cos 2 x − sin 2 x dx = ∫ cos2 x sin 2 x ∫ cos2 x sin 2 x dx = cos 2 x sin 2 x =∫ dx − ∫ dx = cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 1 1 = ∫ 2 dx − ∫ dx = −ctgx − tgx + C sin x cos 2 x Integrálás helyettesítéssel • legyen y = f(x) folytonos az [α,β]-n és z = g(x)

folytonosan differenciálható [a,b]-n és ott α ≤ g ( x ) ≤ β . Akkor [a,b]-n létezik ∫ f (g( x ) )g′( x )dx és igaz: ∫ f (g( x ) )g ′( x )dx = ∫ f (z)dz A helyettesítéses intágrálás különböző tipikus esetei 1 ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C ugyanis ∫ f (ax + b)dx = ax + b = t  = = adx = dt  1 1 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t )dt = a a 1 1 = F( t ) + C = F(ax + b) + C a a Példák: 2  3x = t    1 1 ∫ cos 3x dx =  3dx = dt  = ∫ 3 cos tdt = 3 ∫ cos tdt = 1   dx = 3 dt  1 1 = sin t + C = sin 3x + C 3 3  − 3x = t    1  1 −3x = − = e dx 3 dx dt   = ∫  − e t dt = − ∫ e t dt = ∫ 3  3 1   = − dt dx  3  1 1 = − e t + C = − e −3x + C 3 3 ∫ 4 x − 1 = t   1  4 x − 1 dx =  4dx = dt  = ∫ t dt = 1  4  dx dt =  4  1 = ∫ 4 ∫ 1 t2 3 1 t2 3 12 2 1 dt = t +C= +C= 43 43 6 2

(4x − 1)3 + C  1 − 4x = t    1 1 1 dx =  − 4dx = dt  = − ∫ dt = 1 − 4x 4 t 1   dx = − 4 dt  1 = − ∫t 4 − 1 2 dt 1 1 t2 1 1 1 =− + C = − t2 + C = − 1 − 4x + C 1 4 2 2 2 f ′( x ) ∫ f ( x ) dx = ln f ( x )  cos x = t  sin x   ∫ tgx dx = ∫ cos x dx = − sin x dx = dt  =  sin x dx = −dt  1 = − ∫ dt = − ln t + C = − ln cos x + C t 3 +C ∫ ctgx dx = ∫ cos x  sin x = t  dx =  = sin x cos xdx = dt  1 = ∫ dt = ln t + C = ln sin x + C t  1 − 3e 2 x = t    e 2x =  dx 6 e dx dt = − = ∫ 1 − 3e 2 x 1   2x e dx = − 6 dt  1 1 1 1 = − ∫ dt = − ln t + C = − ln 1 − 3e 2 x + C 6 6 t 6 2x cos 2 x cos 2 x ∫ cos x sin x dx = ∫ 1 2 dx = sin 2 x    sin 2 x = t  cos 2 x dx =  2 cos 2 x dx = dt  = = 2∫  sin 2 x 1  cos 2 x dx = dt   2  1 1 = 2 ∫ dt = ln t + C

= ln sin 2 x + C 2 t  = ln 2 sin x cos x + C =    = ln sin x cos x + ln 2 + C = ln sin x cos x + C  Az előbbi feladat más módon: cos 2 x cos 2 x − sin 2 x ∫ cos x sin x dx = ∫ cos x sin x dx =  cos 2 x sin 2 x   dx = = ∫  −   cos x sin x cos x sin x  cos x sin x  = ∫  −  dx =  sin x cos x  = ln sin x − (− ln cos x ) + C = ln sin x cos x + C α ∫ f ( x )f ′( x ) dx = 4 f α +1 ( x ) +C α +1  cos x = t    ∫ cos x sin x dx = − sin x dx = dt  =  sin x dx = −dt  3 t4 1 = − ∫ t dt = − + C = − cos 4 x + C 4 4 3  ln x = t  ln 2 x ∫ x dx =  1 dx = dt  =  x  = ∫ t 2dt = ∫x =− t3 1 + C = ln 3 x + C 3 3 5 − x2 1 2∫ 1 t 2 dt   2  5− x = t  dx =  − 2 x dx = dt  =  1   x dx = − dt   2  =− 3 1 t2 23 2 +C=− 1 (5 − x 2 )3 + C 3 ∫ f (g( x ) )g′( x )dx   7  x

+1 = t  6 7 6 ∫ x sin( x + 1) dx =  7 x dx = dt  = 1  x 6 dx = dt   7  1 1 1 = ∫ sin tdt = − cos t + C = − cos( x 7 + 1) + C 7 7 7  2   x =t  5x ∫ x 4 + 1 dx =  2x dx = dt  = 1  x dx = dt   2  5 dt 5 5 = ∫ 2 = arctgt + C = arctgx 2 + C 2 t +1 2 2 Parciális integrálás 5 Legyen u(x) v(x) [a,b]-n differenciálható és létezzen ∫ u ′( x ) v( x )dx . Ekkor [a,b]-n létezik ∫ u ( x ) v′( x )dx és ∫ u ( x ) v′( x )dx = u ( x ) v( x ) − ∫ u ′( x ) v( x )dx Példák: u = ln x u′ = 1   = ln x dx x = ∫  v′ = 1 v = x  1 = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C x ∫ xe x  u=x dx =  x  v′ = e u′ = 1  = v = e x  = xe x − ∫ e x dx =xe x − e x +C u′ = 1   u=x 2x 1 xe dx = =  2 x ∫ v′ = e v = e 2x     2 x 1 x 1 = e 2 x − ∫ e 2 x dx = e 2 x − e 2 x +C 2 2 2 4  u=x ∫ x cos x dx = v′ = cos

x u′ = 1  = v = sin x   = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C  u = x2 u ′ = 2x  ∫ x cos x dx = v′ = cos x v = sin x  =   u′ = 2   u = 2x = x 2 sin x − ∫ 2 x sin x dx =  =  v′ = sin x v = − cos x  2 = x 2 sin x − {2 x (− cos x ) − ∫ 2(− cos x ) dx} = = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + C 6 u = sin x u ′ = cos x  x e sin x dx = = ∫  v′ = e x v = e x   u = cos x u ′ = − sin x  = e x sin x − ∫ e x cos x dx =  = x v = e x   v′ = e { } = e x sin x − e x cos x − ∫ e x (− sin x ) dx = = e x sin x − e x cos x − ∫ e x sin x dx innen átrendezéssel kapjuk: 2 ∫ e x sin x dx = e x sin x − e x cos x vagyis: ∫e x sin x dx = ( ) 1 x e sin x − e x cos x + C 2 1  u = ln 2 x u ′ = 2 (ln x )  2  ln x dx = x = ∫  v′ = 1  v=x 1 = x ln 2 x − ∫ 2 (ln x ) x dx = x felhasználva a korábbi

eredményt: = x ln 2 x − 2(x ln x − x ) + C = = x ln 2 x − 2 x ln x + 2 x + C u′ = 1  v = −ctgx  =  cos x = − xctgx − ∫ (− ctgx ) dx = − xctgx + ∫ dx = sin x 1  sin x = t  = = − xctgx + ∫ dt =  t cos xdx = dt   u=x ∫ sin 2 x dx =  v′ = 12  sin x x = − xctgx + ln t + C = − xctgx + ln sin x + C Racionális törtfüggvények integrálása Ha a függvény áltört, először polinomosztással szétválsztjuk racionális egész és valódi tört kifejezéssé. A maradék elemi törtek (parciális törtek) összegére bontható: véges számú Ai ( x − α )i és B jx + C j ( x 2 + px + q ) j tört keletkezik, ahol A, B, C, α, p, q valós, i, j, pozitív egész, és p2–4q<0. 7 A keletkezett törtek integrálása: A ∫ x − a dx = A ln x − a B ∫ ( x − a ) k dx = B∫ ( x − a ) −k dx = +C B ( x − a ) −k +1 + C − k +1 A ∫ x 2 + px + q dx Itt két eset lehetséges. Ha a

nevező szorzattá alakítható a valós számok körében, elemi törtekre bontás (lsd. példákban) Ha a nevezőben nincs valós gyök, az integrandus helyettesítés után 1 ∫ 1 + t 2 dt alakú lesz, amely alapintegrál. Ax + B ∫ x 2 + px + q dx Itt is két eset lehetséges. Ha a nevező szorzattá alakítható a valós számok körében, elemi törtekre bontás (lsd. példákban) Ha a nevezőben nincs valós gyök, az integrál átalakítható R ( 2 x + p) ∫ x 2 + px + q dx és M ∫ x 2 + px + q dx alakú integrálok összegére, amely alakok integrálhatóak (logaritmus ás arctg függvényt kapunk). Ax + B ∫ ( x 2 + px + q)k dx Ezen alak integrálása: lsd. irodalom Példák: 8 8   3 2  x : (x − 2) = x + 2x + 4 + x − 2    3 2   x − 2x   2x 2   x3 2 =  2x − 4x ∫ x − 2 dx =   4 x     4x − 8   8       8   = ∫  x 2 + 2x + 4 +  dx = x − 2

 = x3 + x 2 + 4 x + 8 ln x − 2 + C 3 2x + 1 ∫ ( x − 2)(x + 5) dx = 2x + 1 A B A( x + 5) + B( x − 2)   ( x − 2)( x + 5) ≡ ( x − 2) + ( x + 5) = ( x − 2)( x + 5)  2 x + 1 ≡ A( x + 5) + B( x − 2) = 5 5 = 7A A= x = 2 : 7   9  x = −5 : − 9 = −7 B B = 7 9   5   5 9 = ∫  7 + 7  dx = ln x − 2 + ln x + 5 + C 7 7  ( x − 2) ( x + 5)      x +1 ∫ ( x − 2) 3 dx = 9     =     A B C   x +1   ( x − 2) 3 ≡ ( x − 2) + ( x − 2) 2 + ( x − 2) 3 =     A( x − 2) 2 + B( x − 2) + C  = ( x − 2) 3     2 = =  x + 1 ≡ A( x − 2) + B( x − 2) + C  x = 2 : 3=C   2 = A−B+3  x = 1 :  x = 0 : 1 = 4A − 2B + 3   (1) − (2) : − 2A = 0 A = 0  (1) : 2A − 2B = −2 (2 ) : 4A − 2B = −2 A (1) : − 2B = −2 B = 1  1 3  1 3  dx = − − +C = ∫

 + 2 3 2 x − 2 ( x 2 ) ( x 2 ) 2 ( x − 2 ) − −   ugyanez más módon: x +1 ∫ ( x − 2) 3 dx =  x +1 x−2+3 1 3  = = = + = 3 ( x − 2) 3 ( x − 2) 2 ( x − 2) 3   ( x − 2)  1 3  1 3  dx = − − +C = ∫  + 2 3 2 − x 2 ( x 2 ) ( x 2 ) − 2 ( x 2 ) − −   vagy x − 2 = t  x +1 t + 2 +1 1 3   ∫ ( x − 2)3 dx =  x = t + 2 = ∫ ( t )3 dt = ∫ t 2 + t 3 dt = dx = dt  1 3 1 3 =− − 2 +C=− − +C t 2t x − 2 2 ( x − 2) 2 10 2 x+ 5x + 2 ∫ x 2 + 2x + 3 dx = 5∫ x 2 + 2x5+ 3 dx = 4 4 2x + 2x + 2 − 2 + 5 5 5 dx = 5 dx = = ∫ 2 ∫ 2 2 x + 2x + 3 2 x + 2x + 3 10 4 − + 5 2x + 2 5 dx + ∫ 2 5 5 dx = = ∫ 2 2 x + 2x + 3 2 x + 2x + 3 6 − 5 2x + 2 5 5 dx + ∫ dx = = ∫ 2 2 x + 2x + 3 2 (x + 1)2 + 2 5 2x + 2 1 dx − 3∫ dx = = ∫ 2 2 x + 2x + 3 (x + 1)2  2 + 1  2  5 2x + 2 3 1 dx − ∫ dx = ∫ 2 2 x + 2x + 3 2  x + 12 

 + 1   2    x +1 = t  2 2x + 2 3 =5 = dx dt = − 2 ∫ ∫   2 x 2 + 2x + 3 2 t2 + 1 dx = 2dt  = 5 3 = ln x 2 + 2 x + 3 − arctgt + C = 2 2 5 3 x +1 = ln x 2 + 2 x + 3 − +C arctg 2 2 2 11 Determinánsok. Háromdimenziós vektorok Vektoralgebra I. Determinánsok Háromdimenziós vektorok Az n-edrendű determináns • n-edrendű determinánsnak nevezzük az n2 számú elemből álló, n sorba és n oszlopba rendezett D=  a1n a11 a12 a 21  a 22  a 2 n    a n1 a n 2  a nn alakú táblázatot, melynek a következő értéket tulajdonítjuk: n ∑ a ik Aik D = k =1 , A a ahol ik az ik elemhez tartozó (n-1)-edrendű előjeles aldeterminánst jelenti. Ezt a determinánst az eredeti determinánsból az ii+k edik sor és k-adik oszlop elhagyásával kapjuk, előjele pedig: (− 1) . E (rekurzív) definíció a b = ad − bc szerint a másodrendű determináns értéke: c d , a harmadrendű

értéke: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 = (a11a 22a 33 + a12a 23a 31 + a13a 21a 32 ) − − (a11a 23a 32 + a12a 21a 33 + a13a 22a 31 ) • Tétel: A determináns értéke nem változik, ha valamelyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk valamelyik másik sorának (oszlopának) valahányszorosát. Példák: −1 2 2 −1 2 2 D = 2 −1 2 = 0 3 6 = 2 2 −1 0 6 3 ♦ = −(9 − 36) = 27 12 6 − 4 0 − 2 − 36 D= 6 4 4 = 0 0 − 12 = ♦ 3 2 8 = 3(−2)(−12) = 72 3 2 8 1 1 2 3 4 −2 1 −4 3 = 3 − 4 −1 2 4 3 3 −1 1 2 3 4 D= ♦ 0 5 2 11 = 0 − 10 − 10 − 10 0 − 5 − 9 − 17 = 1 2 3 4 0 5 2 11 = 5(36 + 84) = 600 0 0 − 6 12 0 0 −7 −6 = Háromdimenziós vektorok Definíciók, jelölések, megállapítások • Legyen P1, a tér két különböző pontja. Adjunk a szakasznak irányítást úgy, hogy a a szakasz kezdő-, a szakasz végpontja legyen. Az irányított szakaszt " vektornak" nevezzük és -, vagy -val

jelöljük. • A fentiek szerint tehát beszélünk az vektor hosszáról, irányáról, irányításáról. • Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha a fenti három adat azonos, vagyis van olyan párhuzamos eltolás, amellyel a két vektor pontosan fedésbe hozható. kezdőpontú vektorokat helyvektoroknak nevezzük. • A rögzített • Az vektor hosszát az vektor abszolút értékének nevezzük, jele: Megj.:A vektoralgebrában a számokat - a vektormennyiség ellentettjeként - skalárnak nevezzük. • Azt a vektort, amelynek abszolút értéke nulla, null- vagy zérusvektornak nevezzük. • Azt a vektort, amelynek abszolút értéke egységnyi, egységvektornak nevezzük. Az vektorral azonos irányú és irányítású egységvektort -val szokás jelölni. • Az vektornak a derékszögű koordinátarendszer tengelyeire eső irányított vetületeit az vektor , , vektoriális komponenseinek nevezzük. A végpontú vektor vektoriális komponenseinek hossza nyilván:

kezdőpontú, , , , azaz a vektor skaláris komponensei, vagy koordinátái. Jelük: , , . Az vektor iránya a vektornak a koordinátatengelyekkel bezárt szöge. Az irányt a szögek koszinuszaival is szokás megadni, ekkor iránykoszinuszokról beszélünk. Az iránykoszinuszok a koordinátákkal arányosak, azaz ha a fent említett szögek rendre α, β, γ, akkor: , Nyilván: , . , valamint: • Tétel: 2 • A fentiek alapján belátható, hogy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés hozható létre az irányított szakaszként definiált vektorok és a valós számokból képzett számhármasok között, azaz: . Hasonlóan: . A derékszögű koordinátarendszer x, y, z, tengelyei irányába mutató egységvektorok pedig: , , II. Vektoralgebra Vektorok összeadása, szorzása skalárral • Hozzuk a vektor kezdőpontját párhuzamos eltolással fedésbe az vektor végpontjával. Az és vektorok összegén azt az vektort értjük, amely az vektor kezdőpontjából

a vektor végpontjába mutat, vagy másképp: ha akkor , , . Hasonlóan az és vektorok különbségén azt az vektort értjük, amelyet a vektorhoz hozzáadva összegként az vektort kapjuk, vagy másképp : ha , , akkor valamint az vektor additív inverze a A fenti műveletre érvényes: , vektor. • adott vektor és λ valós szám szorzatán azt λ vektort értjük, amelynek hossza λ , iránya megegyezik irányával, irányítása pedig λ előjelétől függ. Nyilván érvényes: 3 , illetve Vektorok lineáris függetlensége • adott a térbeli , és vektor. A a három vektor lineáris kombinációja • Tétel: A térbeli , és vektor lineárisan független, ha csak úgy állhat elő, ha lineárisan függő • nyilván az alapegységvektorok lineárisan függetlenek. • legyen , ellenesetben csak akkor lehet most tetszőleges térbeli vektor. Az , , ha és vektor , azaz vektorok lineárisan függenek, hiszen az egy nem triviális

előállítás. • lássuk a lineáris függetlenséget és függést két, három és négy térbeli (háromdimenziós) vektor esetében: - ha két vektor lineárisan függő, akkor párhuzamosak, uis: úgy, hogy pl. , ekkor: , - ha viszont lineárisan függetlenek, akkor nem párhuzamosak, azaz síkot határoznak meg, - fordítva, a síkban két nem párhuzamos vektor lineárisan független - ha két lineárisan független vektorhoz hozzáveszünk ugyanebben a síkban egy harmadik vektort, lineárisan függő rendszert kapunk: , illetve - fordítva, ha három vektor lineárisan függő, akkor egy síkban vannak. - ha három vektor lineárisan független, akkor nincsenek egy síkban, velük bármely negyedik vektor kifejezhető: Vektorok skaláris szorzata • két tetszőleges térbeli számot értjük, ahol • nyilván: és vektor skaláris szorzatán az az és vektorok hajlásszögét jelöli 4 , másrészt úgy is lehet nulla, hogy • vetület,

vetületvektor számítása: az vektornak a vektorra vonatkoztatott vetületének hossza: , a szorozzuk a irányú vektort pedig úgy kapjuk, hogy a hosszt irányú egységvektorral , így: Vektorok vektoriális szorzata • a térbeli és vektorok vektoriális szorzata az -vel jelölt vektor. a vektor hossza: , irányítása pedig olyan, hogy merőleges az és vektorok síkjára, az , és vektorok ebben a sorrendben jobbsodrásúak. A vektoriális szorzat kiszámítása: • geometriai jelentése: az és vektorok által meghatározott paralelogramma területe • a vektoriális szorzat nem kommutatív (de: ), nem asszociatív, de: Vektorok vegyes szorzata • a térbeli , és vektorokból képzett szorzatot az , és vektorok vegyes szorzatának nevezzük. Az vegyes szorzatot megkapjuk, ha kiszámítjuk az determináns értékét. • nyilván: (a determináns kifejtése az első és harmadik sor szerint) • geometriai jelentés: a vegyes szorzat a vektorok által

kifeszített test (paralelepipedon) térfogatának mérőszámát adja, a vegyes szorzat egyhatoda pedig a vektorok által meghatározott 5 tetraéder térfogatának mérőszáma lesz (ha a determináns értéke negatív, az azt jelenti, hogy a vektorok balsodrású rendszert alkotnak, a térfogat a kapott érték abszolút értéke). • alkalmazás: legyen skalárisan: és . Szorozzuk mindkét oldalt -vel , ekkor kapjuk: hasonló eljárással: Példák: vektor irányába eső merőleges ♦ Határozza meg az vektornak a vetületének hosszát és a vetületvektort! , , miatt , ♦ Számítsuk ki az ,a meghatározott háromszög területét! Ekkor és a pontok által , , innen: ♦ Számítsuk ki az , a kifeszített paralelepipedon térfogatát! és a 6 vektorok által azaz: ♦ Legyen adott az , a és a vektor. Fejezzük ki a vektort az előző három lineáris kombinációjaként! Tehát , ahol , , A fentiek miatt: , , azaz: ami igaz, hiszen: 7

. Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai. A konvergencia fogalma. Nevezetes határértékek I. Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai • Legyen A véges vagy végtelen számhalmaz, N legyen természetes számokból álló halmaz. Ha N egyértelműen leképezhető az A halmazra, azaz N minden eleméhez hozzárendeljük valamely a ∈ A − t , akkor az A halmaz elemei számsorozatot alkotnak. n ∈ N − hez a n a hozzárendelt elem. A sorozat szokásos jelölése: {a n }, a n − el pedig a sorozat elemeit jelöljük Ha N véges, a sorozatot végesnek, ellenesetben a sorozatot végtelennek nevezzük. • Monoton sorozatok: a n +1 ≥ a n monoton növekvő, ha a n +1 ≤ a n monoton csökkenő, ha a n +1 > a n szigorúan monoton növekvő, ha a n +1 < a n szigorúan monoton csökkenő, ha • Egy sorozat korlátos, ha a n ≤ K an ≤ K egy sorozat felülről korlátos, ha egy sorozat alulról korlátos, ha a n ≥ K a felső korlátok

közül a legkisebb: felső határ, az alsó korlátok közül a legnagyobb: alsó határ. Megjegyzés: korlátos sorozat nem feltétlenül monoton, korlátos • monoton sorozat nem feltétlenül Tekintsük most az a1 + a 2 + a 3 +  (ahol a i szám) végtelen tagú összeget, más szóval végtelen numerikus sort. Jelöljük: S1 = a 1 S1 = a1 + a 2 S1 = a1 + a 2 + a 3 S = a + a +  + a n 1 2 n ezzel kölcsönösen egyértelműen megfeleltettük egymásnak az a1 + a 2 + a 3 +  végtelen numerikus sort és az {Sn } végtelen számsorozatot. Ezért a számsorozatokra érvényes tulajdonságok érvényesek lesznek numerikus sorokra is, hiszen a tulajdonságokat mindig át tudjuk fogalmazni numerikus sorokra a fenti megfeleltetés alapján. • Egy sorozat torlódási helye (pontja) olyan szám, amelynek környezetében a számsorozatnak végtelen sok eleme található IV. A konvergencia fogalma Nevezetes határértékek 1 • Ha a végtelen számsorozatnak

csak egy torlódási helye (pontja) van, akkor azt a sorozat határértékének nevezzük, lim a jele: n ∞ n és egy ilyen sorozatot konvergensnek nevezünk. Egy sorozatnak azt a tulajdonságát, hogy konvergens az alábbi két, egymással egyenértékű definícióval adjuk meg • • • Def: Az {a n }sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy bármely ε > 0 -hoz megadható olyan ν = ν(ε) küszöbszám, hogy a n − A < ε , mihelyst n > ν . Def: Az {a n }sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy A bármely környezetébe a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme beletartozik. Néhány fontos tétel: monoton növekvő (csökkenő) felülről (alulról) korlátos sorozat konvergens; ha lim b n = B n ∞ , akkor lim ( a n ± b n ) = A ± B n ∞ lim ( a n ⋅ b n ) = A ⋅ B , n ∞ , a  A lim  n  = n ∞ b  n B ha B ≠ 0 ; ha a n = lim b n = C a n ≤ c n ≤ b n nlim n ∞ ∞ akkor lim c n = C n

∞ 2 • Néhány nevezetes határérték:   0, ha q < 1  lim q n = 1, ha q = 1 n ∞  divergens,  ha q < 1 vagy q = −1  n lim a = 1 (a > 0) , n ∞ n lim n = 1 n ∞ n 1 lim 1 +  = e n ∞ n , k n lim n = 0 (a > 0) n ∞ a , n a lim = 0 (a > 0) n ∞ n! , k n lim =0 n ∞ n! , n! lim n = 0 n ∞ n Példák: an = n +1 2n 2 − 1 ha n = 1, 2, . ♦ Legyen adott az {a n }sorozat a következő módon: 3 2 4 a1 = a 2 = a3 = Ekkor: 1 17 , stb. azaz a sorozat minden tagja pozitív 7, a n +1 − a n = Monotonitás vizsgálata: = n +1 (n + 1) + 1 − 2 = 2 2(n + 1) − 1 2n − 1 (n + 2) * (2n 2 − 1) − (n + 1) (2(n + 1) − 1) = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) 2 = (2n 3 + 4n 2 − n − 2) − (n + 1) * (2n 2 + 4n + 1) = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) = (2n 3 + 4n 2 − n − 2) − (2n 3 + 6n 2 + 5n + 1) = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) − 2n 2 − 6n − 3 = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) 3

− 2n 2 − 6n − 3 2 2 Ez utóbbi (2(n + 1) − 1) * (2n − 1) kifejezés minden n > 0 értékre negatív, hiszen számlálójában csupa negatív szám áll, nevezője pedig két pozitív szám szorzata. Azt kaptuk tehát, hogy minden n > 0 értékre a n +1 − a n < 0, azaz minden n > 0 értékre a n +1 < a n . Ez pedig azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat szigorúan monoton csökkenő. Viszont láttuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, tehát monoton csökkenő, alulról korlátos sorozattal állunk szemben, ami a korábban elhangzott tétel szerint a sorozat konvergens voltát jelenti. Vizsgáljuk meg a határértéket: 1 n 1 +  n +1 n lim 2 = = lim  n ∞ 2 n − 1 n ∞  1 n  2n −  n  1 + 1    = lim  n  0 n ∞  1  2n −  n  Azt a tényt, hogy a sorozat nullához tart, sejteni lehet néhány első tagjának megvizsgálásával is (a nevező gyorsabban nő, mint a számláló),

és be lehet látni a definíció alapján is: a n − 0 < ε an = n +1 n +1 = 2 <ε 2 2n − 1 2n − 1 ε− n +1 >0 2n 2 − 1 2n 2ε − ε − (n + 1) >0 2n 2 − 1 Ez a tört pozitív, ha számlálója pozitív, azaz: 2n 2ε − n − (ε + 1) > 0 Ez pedig igaz, ha n nagyobb, mint 1 + 1 + 8ε(ε + 1) 1 ε= egész része. Lássuk most mennyi lesz a küszöbindex, ha 4ε 100 , azaz a 1 ε= sorozatnak hány db. tagja marad határértéke 100 sugarú környezetén kívül. Ekkor: 1 n +1 − 2 >0 100 2n − 1 azaz 2n 2 − 100n − 101 > 0 Ez utóbbi teljesül, ha n nagyobb, mint 4 100 + 10000 + 808 ≈ 50,9 4 Tehát a sorozat küszöbindexe 50, azaz az a 50 = de a 51 = 50 + 1 51 51 = ≈ 0,0102 > = 0,01 2 5100 2 * 50 − 1 4999 51 + 1 52 52 = ≈ 0,0099 < = 0,01 2 5200 2 * 51 − 1 5201 A sorozat első 50 db. tagja marad határértéke 2n + 5  lim   ♦ n ∞  2n + 1  2n + 5  lim   n ∞  2 n + 1 

ε= n +1 =? n +1 2n + 1 + 4  = lim   n ∞  2 n + 1  n +1 =  4 =1   2n + 1 k  n +1 4     = 4k = 2n + 1 = = lim 1 +  n ∞  2n + 1   1 n = 2k − 2  1 = lim 1 +  k ∞  k 1 = lim 1 +  k ∞  k 1 2 k − +1 2 2k 2k 1 1 1 2 = lim 1 +  1 +  = k ∞  k  k 1 1 2 lim 1 +  = e 2 k ∞  k 5 1 100 sugarú környezetén kívül. Egyváltozós függvények. Az elemi függvények tulajdonságai I. Egyváltozós függvények • • • • • A függvény fogalma: két halmaz közötti kapcsolat Legyen X és Y valamilyen elemek halmaza. Ekkor az (x,y)-t rendezett elempárnak nevezzük, ha x∈X és y∈Y. Függvénynek nevezzük az (x,y) rendezett elempárok halmazát, ahol az első helyen álló elemek az X, a második helyen álló elemek a Y halmazt képezik úgy, hogy minden x∈X és y∈Y legalább egy

(x,y) elempárban szerepel. Ha X, Y valós számokból áll, akkor valós változójú, valós értékű függvényről beszélünk. A függvény jelölése: y = f(x) vagy x f(x) Explicit módon adott a függvény, ha y = f(x) pl. y = 3x2+5 Implicit módon adott a függvény, ha F(x,y) = 0 pl. x3y3+10x2y+1 = 0 A függvény megadása történhet: a) képlettel, b) grafikonnal, c) táblázattal, d) utasítással pl. 2 x ha 0 ≤ x ≤ 1 y=  x + 1 ha x > 1 • Összetett függvény: y = f [g(x)] pl. y = tg(x3–lnx) speciális összetett függvény az ún. paraméteres függvénykapcsolat x = ϕ( t ) y = ψ(t ) Pl1 : x = a cos ϕ y = b sin ϕ ez az x 2 y2 + =1 a 2 b2 ellipszis Pl2: Adjuk meg a következő implicit módon adott függvény egy paraméteres előállítását x3y3+10x2y+1 = 0 legyen t = xy, ekkor t3+10tx+1 = 0 innen: 1 x=− • 1+ t3 10 t y=− 10 t 2 1+ t3 Inverz függvény Az (x,y) rendezett elempárok halmazát az y = f(x) függvénykapcsolat

írja le. Ha most az (y,x) rendezett elempárok halmazát definiáló függvényt akarjuk leírni, azt az x = f –1(y) módon tehetjük. Tekintsük pl. az y = x2+1 függvényt Az inverz függvényt az x = f –1(y) alakban úgy kapjuk, hogy az egyenlőséget átrendezve kifejezzük az x–et: x = ± y −1 vagy, ha ezt a függvényt az eredeti függvénnyel közös koordináta-rendszerben akarjuk ábrázolni, akkor megcseréljük az x és y szimbólumokat azzal összhangban, hogy általában az x változóval a független változót, az y változóval pedig a függő változót szokás jelölni: y = ± x −1 • Néhány függvényekkel kapcsolatos fogalom: értelmezési tartomány a független változó (x) lehetséges értékeinek halmaza értékkészlet a függő változó (y) lehetséges értékeinek halmaza páros tulajdonság: f(x) = f(–x) példák páros függvényekre: y = x 2 n y = cos x y = x páratlan tulajdonság: f(x) = –f(–x) példák páratlan függvényekre: y

= x 2 n +1 y = sin x y = sgn x periodikus tulajdonság: f(x) = f(x+p) ahol p a periódus példák periódikus függvényekre: a trigonometrikus fgv-ek monotonitás pl: a függvény szigorúan monoton nő, ha értelmezési tartományába tartozó x1<x2 értékekre f(x1)<f(x2) szélső érték 2 pl: helyi (lokális) maximum legyen az értelmezési tartományba tartozó x0 egy környezete a H halmaz pontjai. Ekkor minden x∈H esetén f(x) ≤ f(x0) ( vagy f(x) < f(x0) ) zéruhely legyen x0 az értelmezési tartomány olyan elem, amelyre: f(x0) = 0 alaki viszonyok (konvex, konkáv szakaszok) • elemi alapfüggvények: - hatványfüggvények: y = xn x - exponeciális függvények: y = a a>0 y = loga x a > 0, a ≠ 1 - logaritmus függvények: - trigonometrikus függvények és inverzeik • az elemi függvények az elemi alapfüggvényekből a négy alapművelet és az összetett függvény képzésének véges számú alkalmazásával nyerhetők 3 II. Az

elemi függvények tulajdonságai Az elemi függvények osztályozása: Algebrai függvények: a független változóval és tetszőleges állandókkal véges számú algebrai műveletet végzünk (négy alapművelet, egész kitevőjű hatványozás és gyökvonás) Racionális egész függvények: Racionális tört függvények: Irracionális függvények: osztás (a független változóval) és gyökvonás nem szerepel benne a független változóval osztunk is gyökvonás is szerepel benne Racionális egész függvények n y = f (x) = ∑ a i x i i =0 ahol ai valós szám, n természetes szám A racionális egész függvények más neve: polinom. Grafikonja: n-edfokú parabola Pl: y = x2 1 Pl: y = x3 Példa: Melyik az a legalacsonyabb fokszámú polinom, amelynek gyökei: ± 1, ± 3 és f(0) = 2! f(x) = a·(x–1)·(x+1)·(x–3)·(x+1) f(x) = a·(x2–1)·(x2–9) A megadott feltételt figyelembe véve: 9·a = 2, tehát a keresett polinom: 2 2 f ( x ) = ( x 2 − 1)( x

2 − 9) = ( x 4 − 10 x 2 + 9) 9 9 Racionális tört függvények f (x) = = g( x ) = h(x) a n x n + a n −1x n −1 +  + a 1x + a 0 b m x m + b m −1x m −1 +  + b1x + b 0 Ha n ≥ m akkor a függvényt áltört függvénynek nevezzük, egyébként valódi tört függvényről beszélünk. Ha n ≥ m, akkor f(x) polinomosztással átalakítható: g( x ) r(x) = g1 ( x ) + f (x) = h(x) h(x) g(x) = 0 a függvény zérushelyei h(x) = 0 a függvény pólusai szinguláris hely: közös zérushely és pólus (ha ezek azonos multiplicitással bírnak a számlálóban és a nevezőben) aszimptoták: 2 n < m pólusok és y = 0 n = m pólusok és y = an /bn n > m pólusok és y =g1(x) Példák: y= x 2 − x − 6 ( x + 2)( x − 3) = x+2 x+2 y= x+2 x+2 = x − x − 6 ( x + 2)( x − 3) ha x ≠ –2 akkor y = x–3 2 ha x ≠ –2 akkor y = (x–3)–1 aszimptota: x = 3 y= ha x ≠ 0, akkor y = x5–1 3 x7 − x2 x2 x = 0 kétszeres szinguláris hely x 3

−1 y= x az x ≠ 0 miatt x = 0 egyszeres pólus, x = 1 egyszeres zérushely aszimptoták: x = 0 és y = x2 y= x +1 x +1 = x − 9 x + 20 ( x − 4)( x − 5) 2 x = –1 egyszeres zérushely x = 4, x = 5 egyszeres pólusok, aszimptoták: x = 4, x = 5 és y = 0 (vízszintes) 4 Irracionális függvények Példák: y 2 − 6y − x + 8 = 0 ( y − 3) 2 − x − 1 = 0 y = 3± y= x x − 5x + 4 2 x +1 x = x 1− 5 4 + x x2 x 2 − 5x + 4 = ( x − 4)( x − 1) > 0 5 az egyenlőtlenség igaz, ha x < 1, vagy x > 4 x = 0 zérushely 6 Transzcendens függvények Transzcendens az a függvény, amelyik nem algebrai. Trigonometrikus függvények és inverzeik a arcus függvények y = sin(x) y = tg(x) y = cos(x) y = ctg(x) A trigonometrikus függvények inverzei: pl. y = sin(x) függvény inverze az y = Arcsin(x) függvény E függvény értelmezési tartománya: – 1≤x≤1. Az Arcsin(x) azt a –π/2 és π/2 közé eső szöget jelenti, amelynek sinusa

x, azaz π π − ≤ Arcsin x ≤ 2 2 valamint mindazon szögek, amelyek sinusa x, a következő alakban állíthatók elő: Arcsinx +2kπ, ill. (π–Arcsinx)+2kπ Az y = cos(x) függvény inverze az y = Arccos(x) függvény. E függvény értelmezési tartománya: –1≤x≤1. Az Arccos(x) azt a 0 és π közé eső szöget jelenti, amelynek cosinusa x, azaz: 0 ≤ Arccosx ≤ π, valamint mindazon szögek, amelyek cosinusa x, a következő alakban állíthatók elő: Arccosx + 2kπ, ill. -Arccosx + 2kπ y = arcsin(x) y = arccos(x) 1 Az y = tg(x) függvény inverze az y = Arctg(x) függvény. E függvény értelmezési tartománya az összes valós szám. Az Arctg(x) azt a –π/2 és π/2 közé eső szöget jelenti, amelynek tangense x, azaz: –π/2 < Arctgx < π/2, valamint mindazon szögek, amelyek tangense x, a következő alakban állíthatók elő: Arctgx +kπ Az y = ctg(x) függvény inverze az y = Arcctg(x) függvény. E függvény értelmezési tartománya az

összes valós szám. Az Arctg(x) azt a 0 és π közé eső szöget jelenti, amelynek cotangense x, azaz: 0 < Arcctgx < π, valamint mindazon szögek, amelyek tangense x, a következő alakban állíthatók elő: Arcctgx +kπ y = arctg(x) y = arcctg(x) 2 Példa: Adja meg az y = sinArccosx függvény algebrai alakját! Legyen adott az alábbi derékszögű háromszög: Most cos(α) = x, innen α = Arccos(x) Vegyük mindkét oldal sinusát: y = sin(α) = sinArccos(x) = 1− x 2 Exponenciális függvények és inverzeik a logaritmus függvények Exponenciális függvény: y = ax ahol a > 0 Példa: y = e –x cos(2x) 3 y = log a x ahol a>0 és x>0 Hiperbolikus függvények és inverzeik az area függvények A hiperbolikus függvények: 1 y = shx = (e x − e − x ) 2 1 y = chx = (e x + e − x ) 2 4 y = thx = shx chx y = cthx = chx shx Példa: y = ch 2 x − sh 2 x ch 2 x − sh 2 x = 2 2 1 1 = e x + e −x − e x − e −x = 4 4 1 2x x −x =

e + 2e e + e − 2 x − 4 1 − e 2 x − 2e x e − x + e − 2 x = 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) A hiperbolikus függvények inverzei az area függvények Pélául az 1 y = shx = (e x − e − x ) 2 fügvény inverze: 1 x = (e y − e − y ) 2 2 x = (e y − e − y ) ey = x ± e 2 y − 2 xe y − 1 = 0 De e y > 0 ey = x + ( miatt: x2 + 1 y = ln x + ( ) x 2 + 1 = arshx archx = ln x ± x −1 2 ) x ≥1 5 x2 + 1 1+ x 1− x x +1 arcthx = ln x −1 arthx = ln x <1 x >1 Függvény határértéke Az y = f(x) függvény legyen értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az A szám az y = f(x) függvény határértéke az x0 pontban, ha valahányszor lim x n = x 0 n ∞ mindannyiszor lim f ( x n ) = A n ∞ Az y = f(x) függvény határértéke az x0 pontban az A szám, ha bármely ε > 0-hoz meghatározható olyan δ > 0, hogy valahányszor x − x0 < δ teljesül, mindannyiszor f (x) − A < ε is teljesül. Jelölése: lim f ( x

) = A xx 0 6 Megjegyzés: ha az { x n } sorozat x0-hoz csak az egyik oldalról tart, beszélünk jobb-, illetve bal oldali határértékről. Jelben: lim f ( x ) x x 0± Példák: x3 − 8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) = lim = 12 x 2 x − 2 x 2 x−2 lim x2 −1 =1 x 0 2 x 2 − x − 1 lim x2 −1 ( x + 1)( x − 1) 2 = lim = 2 x 1 2 x − x − 1 x 1 ( 2 x + 1)( x − 1) 3 lim 1 1− 2 x2 −1 1 x lim lim = = 1 1 x ∞ 2 x 2 − x − 1 x ∞ 2− − 2 2 x x 7 sin x tgx cos x = lim = lim x π sin 2 x x π 2 sin x cos x 1 1 = lim = 2 x π 2 cos x 2 lim x 0 = lim x 0 x = 3x + 1 − 1 x ⋅ 3x + 1 − 1 3x + 1 + 1 = 3x + 1 + 1 ( 3x + 1 + 1) = 2 x ( 3x + 1 + 1) = lim x 0 (3x + 1) − 1 x 0 3 3 = lim x −1   lim−  x 2 + =? x −1  x 1  x −1   lim+  x 2 + =? x −1  x 1  8 9 Egyváltozós függvények folytonossága • Az y =f(x) függvény az x = x0 helyen folytonos, ha az x0 valamely környezetében

értelmezve van és érvényes: lim f ( x ) = f ( x 0 ) x x 0 Másszóval az y =f(x) függvény folytonos az x = x0 ha értelmezve van az x0 helyen és az x0 valamely környezetében, létezik a bal- és jobboldali határérték az x0 helyen, ez lim f ( x ) a két határérték egyenlő egymással, azaz létezik a x x 0 lim f ( x ) = f ( x 0 ) határérték és érvényes: xx 0 • Az y =f(x) függvényt az [a,b] intervallumon folytonosnak nevezzük, ha az (a,b) intervalumon, az intervallum baloldali végpontjában jobbról, a jobboldali végpontjában pedig balról folytonos • Zárt intervallumon folytonos függvény tulajdonságai: Legyen az y =f(x) függvény a (zárt) [a,b] intervallumon folytonos. Ekkor: – f(x) korlátos az [a,b] intervallumon, – f(x) felvesz minden az f(a) és f(b) közé eső értéket, – f(x) felveszi az [a,b] intervallumon maximumát és minimumát. • Az y =f(x) függvény az x0 pontban nem folytonos (szakadása van), ha – f(x)-nek az

x0-ban létezik a kétoldali határértéke, ezek megegyeznek, de a függvény vagy nincs értelmezve x0-ban, vagy a függvényérték nem egyenlő a határértékkel (elsőfajú megszüntethető szakadás), – f(x)-nek az x0-ban létezik a kétoldali határértéke, de ezek nem egyeznek meg egymással (elsőfajú szakadás), – f(x)-nek az x0-ban nincs, vagy nincs véges határértéke (másodfajú szakadás). Példák: Elsőfajú, megszüntethető szakadás y= 1 x x  1 ha x ≠ 0 y = sgn 2 ( x ) =  0 ha x = 0 Elsőfajú szakadás y= x x  1 ha x > 0  y = sgn( x ) =  0 ha x = 0 − 1 ha x < 0  2 Másodfajú szakadás y= 1 x 1 y = sin   x Példák: Vizsgálja az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából. Adja meg a függvények szakadási helyeit, a szakadási helyek típusát! 3 4 x−4 4   lim+  =∞ x 4  x − 4  4  lim−   = −∞ x 4  x − 4  y= Az x = 4

helyen másodfajú szakadás (páratlan pólus) y= x +1 x +1 = = 3 x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) = x +1 2  1  3 ( x + 1)   x −  +  2  4      1 x +1 1    = = lim  lim  2 x −1 ( x + 1)( x 2 − x + 1)   x −1 ( x − x + 1)  3 Az x = –1 helyen elsőfajú megszüntethető szakadás y = (1 + x )− 2 = 4 1 (1 + x ) 2  1  =∞ lim  x −1  (1 + x ) 2   Az x = –1 helyen másodfajú szakadás (páros pólus)  sin x  y= x  1 ha x ≠ 0 ha x = 0  sin x   sin x  = 1 lim   = lim   x 0  x  x 0  x  lim f ( x ) = f (0) x 0 A függvény folytonos az x = 0 helyen, mivel itt teljesül: e − x y=  0 ( lim e x0 − x −2 ) −2 ha x ≠ 0 ha x = 0  − 12  = lim e x x 0   5  =0   ( )  − 12  = lim e x x 0     =1   A függvény folytonos az

x = 0 helyen, mivel itt teljesül: vízszintes aszimptota x 0 lim e x ∞ − x −2 lim f ( x ) = f (0) , az y = 1 pedig Egyváltozós függvények differenciálhányadosa • Legyen az y = f(x) függvény az x = x0 hely valamely H környezetében értelmezett, vagyis legyen x∈H és teljesüljön: x ≠ x0. Képezzük az ∆y f ( x ) − f ( x 0 ) = ∆x x − x0 differencia, vagy különbségi hányadost. Ha létezik a f (x) − f (x 0 ) x x 0 x − x0 lim határérték, akkor az y = f(x) függvény az x = x0 helyen differenciálható és a különbségi hányados határértéke az y = f(x) függvény x = x0-ban vett differenciálhányadosa, vagy deriváltja. Jelölése: f ′( x 0 ) , vagy y′( x 0 ) , vagy df ( x ) dx x = x 0 • A differenciálhányados geometriai jelentése: az y = f(x) függvény x0-beli érintőjének meredeksége: tg (α) = f ′( x 0 ) 6 ugyanis: f (x) − f (x 0 ) = tg (α) x − x0 és emiatt: f (x) − f (x 0 ) xx 0 x − x0 lim

az érintő iránytangense. Példa: Legyen y = 2x2+1 és x0 = 1 A függvény x0 helyhez tartozó differencia- és differenciálhányadosa: ∆y f ( x ) − f ( x 0 ) 2 x 2 + 5 − ( 7 ) = = = ∆x x − x0 x −1 2 x 2 − 2 2( x 2 − 1) 2( x − 1)( x + 1) = = = = x −1 x −1 x −1 = 2( x + 1) = 2 x + 2 f (x) − f (x 0 ) 2 x 2 + 5 − (7 ) = lim = x 1 x 1 x − x0 x −1 lim 2( x − 1)( x + 1) = lim (2 x + 2) = 4 x 1 x 1 x −1 = lim Az y = 2x2+1 függvény érintőjének egyenlete az x0 = 1 helyen (felhasználva az egy ponton átmenő, adott meredekségű egyenes egyenletének képletét): y − y0 = m( x − x 0 ) y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) y − 7 = 4( x − 1) y = 4x + 3 7 • Legyen az y = f(x) függvény az x = x0 hely valamely H környezetében értelmezett, vagyis legyen x∈H és teljesüljön: x ≠ x0. Képezzük az ∆y f ( x ) − f ( x 0 ) = ∆x x − x0 • Beszélünk még a függvény jobb- ill. baloldali

differenciálhányadosáról az alábbiak szerint: lim + f (x) − f (x 0 ) = f +′ ( x 0 ) x − x0 lim − f (x) − f (x 0 ) = f −′ ( x 0 ) x − x0 xx 0 xx 0 • · f ′( x 0 ) akkor és csakis akkor létezik, ha létezik f +′ ( x 0 ) és f −′ ( x 0 ) , valamint f +′ ( x 0 ) = f −′ ( x 0 ) = f ′( x 0 ) • Az f(x) differenciálhányados függvénye az f ′( x ) függvény, amely értelmezett azokban a pontokban, ahol f(x) differenciálható, és értéke egy ilyen pontban f(x) adott pontbeli differenciálhányadosa Példa:  x2 y= 2 ( x − 4) f −′ ( x 0 ) = lim− x 2 ha ha x<2 x≥2 x2 − 4 = lim ( x + 2) = 4 x − 2 x 2− 8 ( x − 4) 2 − 4 = x−2 x 2 x 2 − 8x + 16 − 4 = lim+ = x−2 x 2 x 2 − 8x + 12 ( x − 2)( x − 6) = lim+ = lim+ = x−2 x−2 x 2 x 2 = lim+ ( x − 6) = −4 f +′ ( x 0 ) = lim+ x 2 Általános differenciálási szabályok (λf ( x ) )′ = λ(f ( x ) )′ (f ( x ) + g( x ) )′ = (f

( x ) )′ + (f ( x ) )′ (f ( x )g( x ) )′ = (g( x ) )′ g( x ) + f ( x )(g( x ) )′ d  f ( x )  (f ( x ) )′ g ( x ) − f ( x )(g ( x ) )′  = dx  g ( x )  (g( x ) )2 (f {g( x )})′ = f ′{g( x )}g′( x ) Az elemi függvények differenciálása (c )′ = 0 (x n )′ = nx n −1 (a x )′ = a x ln a (loga x )′ = 1 1 ln a x ( a > 0) ( x > 0) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x, (tgx )′ = 9 1 cos 2 x −1 sin 2 x (ctgx )′ = (arcsin x )′ = (arccos x )′ = 1 (−1 < x < 1) 1 − x2 −1 (−1 < x < 1) 1 − x2 (arctgx )′ = 1 1+ x2 (arcctgx )′ = −1 1+ x2 (shx )′ = chx (chx )′ = shx (arshx )′ = (thx )′ = 1 ch 2 x (cthx )′ = −1 sh 2 x 1 (minden x2 + 1 (archx )′ = (arthx )′ = 1 x2 −1 1 1 − x2 (arcthx )′ = −1 x −1 2 10 x − re) ( x > 1) ( x < 1) (x > 1) Különböző differenciálási eljárások • Logaritmikus differenciálás Legyen h ( x

) = f ( x ) . Vegyük mindkét oldal e alapú logaritmusát Differenciáljuk mindkét oldalt, majd fejezzük ki h ′( x ) -et g(x) ln(h ( x )) = g ( x ) ln(f ( x )) h ′( x ) f ′( x ) = g ( x ) ln(f ( x )) + g ( x ) h(x) f (x) • f ′( x )   h ′( x ) = f ( x ) g ( x ) g′( x ) ln(f ( x )) + g ( x ) f ( x )   Példa: y = sin x cos x ln y = cos x ⋅ ln(sin x ) 1 y′ = − sin x ⋅ ln(sin x ) + cos x ⋅ ⋅ cos x sin x y 1 ⋅ cos x  y′ = sin x cos x − sin x ⋅ ln(sin x ) + cos x ⋅ sin x   • Implicit módon adott függvény differenciálása Legyen F(x,y) = 0. Ekkor: y′ = − Fx′ Fy′ Példa: xy + y + x y = 0 2 • 2 y′ = − y + 2 xy x + x 2 + 2y Paraméteres módon adott függvény differenciálása Legyen x = x(t), y = y(t). Ekkor: 1 y ( t ) y′( x ) = x ( t ) Példa: x = rcost, y = rsint y ( t ) r cos t y′( x ) = = = −ctgt x ( t ) − r sin t Függvény differenciálja Legyen az y =

f(x) függvény differenciálható. Legyen ∆x az x független változó tetszőleges növekménye és ∆y az y változó megfelelő növekménye. Az dy = f ′( x ) ⋅ ∆x kifejezés az y változó x pontban vett x-szerinti differenciáljának nevezzük. Geometriai jelentés: Az ábrából látszik, hogy ha az x-változó növekménye kicsi, akkor az y-változó növekményét jól közelíti az f ′( x ) ⋅ ∆x . Magasabbrendű differenciálhányadosok Ha az y = f ( x ) és az y′ = f ′( x ) függvények differenciálhatók az x0 pontban, akkor az y′ = f ′( x ) függvény x0 pontbeli differenciálhányadosát az y = f ( x ) függvény x0 helyen vett második differenciálhányadosának nevezzük. Hasonló módon jutunk el az n-edik deriválthoz, illetve az n-edik derivált függvényhez. Jelölésük: y′ f ′( x ) y′′ y′′′ . (n ) . y . f (n ) (x) 2 dy dx . dn y dx n . Példa: y = ln x y′ = ( 1 = x −1 x ) y′′ = − 1 x2 y ( n

) = (−1) n +1 (n − 1)!x −n A differenciálszámítás középérték tételei Rolle tétel: Legyen f(x) folytonos az [a,b], differenciálható (a,b)-n. Legyen f(a) = f(b) Ekkor létezik ξ∈(a,b) úgy, hogy f ′(ξ) = 0 (ez azt jelenti, hogy az f(x) érintője ξ-ben párhuzamos az x-tengellyel). Lagrange-féle középérték-tétel: Legyen f(x) folytonos az [a,b], differenciálható (a,b)-n. Ekkor létezik olyan ξ∈(a,b), hogy f ′(ξ) = f ( b ) − f (a ) b−a (ez azt jelenti, hogy az f(x) érintője ξ-ben párhuzamos az f(a), f(b) húrral). 3 A differenciálszámítás alkalmazásai 1. Határozatlan alakok határértékének kiszámítása (a L’Hospital szabály)  0 , ∞ , 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, ∞ 0 , 00 , 1∞ alakok      0 ∞ Legyenek f(x) és g(x) az x = a pont környezetében differenciálhatók és lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 x a (vagy x a lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ x a x a ) és az x = a pont környezetében g

( x ) ≠ 0, g ′( x ) ≠ 0 f ′( x ) f (x) lim Ha létezik a x a g ′( x ) , akkor létezik a xa g ( x ) és lim f ′( x ) f (x) = lim x a g ( x ) x a g ′( x ) lim Példák: x 2 − 5x + 6 2x − 5  0 alak  = −1 = lim  lim 2   x 2 x − 3x + 2 x 2 2 x − 3  0 ex − 1 ex lim = lim 2 = ∞ x 0 x 3 x 0 3x x 1  ∞ alak    lim x = lim x = 0 x ∞ e  ∞  x ∞ e 1 ln x  ∞  =   = lim x = lim (− x ) = 0 lim x ln x = lim x 0 x 0 1  ∞  x 0 − 1 x 0 ( 0 ⋅ ∞ alak ) x x2 ( ∞ − ∞ alak ) 1 − cos x x − sin x  0  1 1 = =   = lim −  = lim lim  x 0  sin x x  x 0 x sin x  0  x 0 sin x + x cos x sin x = lim =0 x 0 cos x + cos x − x sin x 4 lim x sin x = lim+ esin x ln x = lim+ x 0 + ( 00 alak ) x 0 = lim+ x 0 lim x x ∞ ( ∞0 alak ) ( 1∞ alak ) = lim x ∞ lim x 1 1 x cos x − 2 e sin x = lim+ x 0 x = lim x ∞ 1 x e1 1 − 1 x x x 0 1 x x

− sin 2 x e x cos x = lim x ∞ ln x 1 sin e x = lim+ e 1 ln x x e = − sin x tgx x x 0 = lim x ∞ ln x e x = e0 = 1 = = e0 = 1 = lim x 1 1 ln x − 1 e x = lim x 1 ln x 1 e −x = lim x 1 1 x e −1 = e −1 2. A függvénygörbe vizsgálata a.) Monotonitás • ha f(x) az [a,b]-n folytonos, (a,b)-n differenciálható (a vagy b végtelen is lehet) és itt f ′( x ) > 0 ( f ′( x ) < 0 ), akkor f(x) szigorúan monoton nő (csökken) [a,b]-n Példa: y = x 3 + 3x 2 + 1 y′ = 3x 2 + 6 x = 3x ( x + 2) y′ < 0 ha − 2 < x < 0 ⇒ f ( x ) itt szig. mon csökken y′ > 0 ha x < −2 vagy x > 0 ⇒ f ( x ) itt szig. mon növekszik b.) Szélsőérték • Az y = f(x) függvénynek (helyi) szélsőértéke lehet azon P pontban, melyre f ′(P) = 0 . Ha f ′′(P) ≠ 0 , szélsőértéke van P-ben mégpedig maximuma ill. minimuma aszerint, hogy f ′′(P) < 0 ill. f ′′(P) > 0 5 • • Ha f(x) differenciálható

x0 valamely környezetében, továbbá f ′( x ) x0-ban előjelet vált, akkor f(x)-nek x0-ban (helyi) szélsőértéke van ( n −1) ( x 0 ) = 0, de Legyen f(x) x0-ban n-szer differenciálható és f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) =  = f f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 . Az f(x)-nek akkor és csakis akkor van x0-ban helyi szélsőértéke, ha n páros szám Példa: y′ = 3x 2 + 2 x = x (3x + 2) y = x 3 + x 2 + 1 y′′ = 6 x + 2 2 y′ = 0 ha x = 0 vagy x = − 3 y′′(0) = 2 > 0 ⇒ min imum a (0,1) pontban 2 31 2 y′′ −  = −2 < 0 ⇒ max imum a  − ,  pontban  3 27   3 Példa: y′ = 3x 2 − 12 x + 12 = 3( x − 2) 2 y′′ = 6 x − 12 y = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 3 y′ = 0 ha x = 2 y′′(2) = 0 ⇒ nincs itt szélső érték b.) Alaki viszonyok 6 • • • • • Az y = f(x) függvényt [a,b]-n alulról konvexnek nevezzük, ha bármely a ≤ x 1 ≤ x ≤ x 2 ≤ b re f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x ) ≤ f ( x1 ) +

(x − x1 ) x 2 − x1 f (x 2 ) − f (x1 ) f ( x ) ≥ f ( x1 ) + (x − x1 ) x 2 − x1 illetve alulról konkáv, ha . Ha egyenlőség nem állhat fenn, akkor a függvény szigorúan konvex, illetve konkáv f(x)-nek x0-ban inflexiós pontja van, ha x0-ban konvexből konkávba, vagy fordítva megy át Ahhoz, hogy a [a,b]-n kétszer differenciálható f(x) függvény ott konvex (konkáv) legyen szükséges és elegendő, hogy f ′′( x 0 ) ≥ 0 ( f ′′( x 0 ) ≤ 0 ) teljesüljön bármely x 0 ∈ [a , b]-re. Ha f ′′( x ) ≠ 0 [a,b] egyetlen részintervallumán sem, akkor ott f(x) szigorúan konvex, vagy konkáv Ηa f(x)-nek az x0 pont valamely környezetében kétszer differenciálható és f ′′( x 0 ) = 0 , valamint f ′′(x ) x0-ban előjelet vált (vagy f ′′′( x 0 ) ≠ 0 ), akkor az f(x)-nek az x0 helyen inflexiós pontja van ( n −1) ( x 0 ) = 0, de Legyen f(x) az x0-ban n-szer differenciálható és f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) =  = f f ( n ) ( x 0

) ≠ 0 . Az f(x)-nek akkor és csakis akkor van x0-ban inflexiós pontja, ha n páratlan szám Példa: y′ = 3x 2 + 2 x = x (3x + 2) y′′ = 6 x + 2 3 2 y = x + x + 1 y′′′ = 2 1 y′′ = 6 x + 2 > 0 ha x > − ⇒ konvex 3 1 y′′ = 6 x + 2 < 0 ha x < − ⇒ konkáv 3 1 inf lexió x=− 3 7 Függvény teljes vizsgálata • Meghatározandó: - értelmezési tartomány - zérushelyek - szimmetria tulajdonság (páros, páratlan, periódikus) - folytonosság, határérték vizsgálata, asszimptoták - monotonitás, szélsőérték - függvény alakja, inflexiós pont - grafikon - értékkészlet Példa: y= x 2 − 3x + 2 30 = x−7+ x+4 x+4 8 f (x) c xα ex ax ln x loga x sin x cos x tgx ctgx arcsin x arccos x arctgx arcctgx shx chx thx cthx arshx archx arthx arcthx Deriválás f 0 (x) 0 αxα−1 ex x a ln a 1 x 1 x ln a cos x − sin x 1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2 chx shx 1 ch2 x 1 − 2 sh x

1 √ 1 + x2 1 √ 2 x −1 1 |x| < 1 1 − x2 1 |x| > 1 1 − x2 Deriválási szabályok 0 (cf ) = cf 0 0 (f ± g) = f 0 ± g 0 0 (f g) = f 0 g + f g 0 µ ¶0 f 0 g − f g0 f = g g2 0 0 (f ◦ g) = (f ◦ g) g 0 ¡ ¢0 1 f¯ = 0 ¯ f ◦f Paraméteres  megadású függvény: x = ϕ(t) ψ̇(t) f (x) : f 0 (x) = y = ψ(t) ϕ̇(t) Kiegészı́tések 1 + cos 2x 1 − cos 2x cos2 x = sin2 x = 2 2 ch2x − 1 ch2x + 1 2 2 ch x = sh x = 2 2 2 sin α sin β = cos (α − β) − cos (α + β) 2 cos α cos β = cos (α − β) + cos (α + β) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α − β) Integrálás F (x) xα+1 α 6= −1 α+1 ln |x| f (x) xα 1 x ex ex ax ln a − cos x sin x ax sin x cos x 1 tgx cos2 x 1 − ctgx sin2 x shx chx chx shx 1 thx ch2 x 1 − cthx sh2 x 1 √ arcsin x 1 − x2 1 √ arshx 1 + x2 1 √ archx x2 − 1 1 arctgx 1 + x2 ¯ ¯ 1 1 ¯¯ 1 + x ¯¯ ln 1 − x2 2 ¯1 − x¯ Integrálási szabályok R F (ax + b) +C f (ax + b) dx = a

α+1 R α f (x) f (x) f 0 (x) dx = +C α+1 ha α 6= −1 Z 0 f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) R f (g (x)) g 0 (x) dx = F (g (x)) + C R 0 u (x) v (x) dx = R = u (x) v (x) − u (x) v 0 (x) dx x t = tg helyettesı́tés: 2 2t 1 − t2 sin x = cos x = 1 + t2 1 + t2 Rb 2 V = π f (x)dx a Rb q 2 L= 1 + (f 0 (x)) dx a q Rb 2 F = 2π f (x) 1 + (f 0 (x)) dx a  x = ϕ(t) y = ψ(t) Rt2 2 V = π ψ (t)ϕ̇(t)dt t1 Rt2 q L= ϕ̇2 (t) + ψ̇ 2 (t)dt t1 q Rt2 F = 2π ψ(t) ϕ̇2 (t) + ψ̇ 2 (t)dt t1 Laplace-transzformáció f (t) f¯ (s) = L [f (t)] 1 eat s−a a sin (at) s2 + a 2 s cos (at) 2 s + a2 n! tn sn+1 a sh(at) s2 − a 2 s ch(at) 2 s − a2 eat f (t) f¯ (s − a) dn f¯(s) tn f (t) (−1)n dsn f 0 (t) sf¯ (s) − f (0) f 00 (t) s2 f¯ (s) − sf (0) − f 0 (0) (n) f (t) sn f¯ (s) − sn−1 f (0) − . . − f (n−1) (0) t R 1¯ f (s) f (u) du s 0 f (t − a) e−as f¯ (s) Taylor-sorok ∞ P xn ex = n! n=0 x2n+1 (2n + 1)! n=0 2n ∞ P n x cos x = (−1) (2n)! n=0

∞ ¡ ¢ P α α n (1 + x) = |x| < 1 n x ¡α¢ ¡α¢n=0 α(α−1)·.·(α−n+1) n! 0 =1 n = sin x = ∞ P n (−1) Fourier-sorok f (x) = a0 + ∞ P + (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 1 a0 = T 2 an = T bn = 2 T a+T Z a+T Z f (x) dx a f (x) cos (nωx) dx a a+T Z f (x) sin (nωx) dx a f (x + T ) = f (x) és ω = Vektoranalı́zis Rt2 s = |ṙ| dt t1 ¯ |ṙ × r̈| G = ¯ 3¯ T = |ṙ| µ ¶ ¯ ∂ ∂ ∂ ∇= , , ∂x ∂y ∂z 2π T . ṙ r̈ r ¯¯ ¯ 2 |ṙ × r̈| ¯ ¯ gradu = ∇u divv = ∇v rotv = ∇ × v