Matematika | Középiskola » 120 Matek érettségi feladat és megoldásaik

Matek feladatok 1/72 120 Matek érettségi feladat és megoldása Matek feladatok 2/72 1. Mit értünk két vagy több szám legnagyobb közös osztóján? Hogyan határozható meg? 6 2. Mit értünk két vagy több egész szám legkisebb közös többszörösén? Hogyan határozható meg? . 6 3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két vagy több egész szám relatív prím? . 6 4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributív? . 6 5. Definiálja az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalmát! 7 6. Hogyan definiáljuk az a valós szám pozitív egész kitevõjû hatványát? 7 7. Igazolja a következõ azonosságokat (a, b valós számok, n, k pozitív egész)! 7 8. Definiálja a nemnegatív valós szám négyzetgyökét! Mivel egyenlõ ?. 8 9. Definiálja a racionális szám fogalmát! 8 10. Mi a számelmélet

alaptétele? . 8 11. 12. Bizonyítsa be, hogy a irracionális szám! . 8 Hogyan definiálja egy pozitív szám 0, negatív egész és racionális kitevõjû hatványát? 9 13. Mit értünk egy valós szám n-edik gyökén (n pozitív egész)? Határozza meg ; ; értékét!. 9 14. Igazolja a következõ azonosságokat! Milyen kikötéseket kell tenni a-ra, b-re, n-re és k-ra? 10 15. Mit nevezünk egy valós szám normálalakjának? Írja fel a következő számok normálalakját!. 11 16. Mit jelent log b? Milyen kikötéseket kell tenni a-ra és b-re?. 11 17. Igazolja a következõ azonosságokat! Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra és kra? 11 18. Definiálja a következõ fogalmakat! . 13 19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet ekvivalens? . 13 20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét! . 13 21. Mit ért a másodfokú egyenlet diszkriminánsán? . 14 22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet

gyökei és együttható közötti összefüggéseket! (Viète képletek) . 15 23. Hogyan definiálja két nemnegatív szám számtani, illetve mértani közepét? . 15 24. Mit ért a) pont és egyenes távolságán; b) párhuzamos egyenesek távolságán; c) pont és sík távolságán; d) párhuzamos síkok távolságán?. 15 25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán? . 17 26. Mit ért a) egyenes és sík hajlásszögén; b) két sík hajlásszögén? . 17 27. Mit ért két kitérõ egyenes hajlásszögén?. 18 28. Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a háromszögek egybevágóságának alapeseteit!. 19 29. Osztályozza a síknégyszögeket a) az oldalak párhuzamossága; b) az oldalak egyenlõsége szerint! . 19 30. Milyen négyszöget nevez húrnégyszögnek, illetve érintõnégyszögnek? . 19 31. Mit nevez középvonalnak a) paralelogramma; b) trapéz; c) háromszög esetén? Számítsa ki ezeknek a hosszát az oldalak ismeretében! . 19 32. Igazolja,

hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, és fordítva! . 21 33. Határozza meg a következõ ponthalmazokat! . 21 34. Határozza meg a következõ ponthalmazokat! . 22 Matek feladatok 3/72 35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást! . 24 36. Igazolja, hogy a háromszög belsõ szögfelezõi egy pontban metszik egymást! . 24 37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást!. 25 38. Igazolja Thalész tételét és a tétel megfordítását! . 26 39. Bizonyítsa be, hogy egy konvex síknégyszög akkor és csak akkor érintõnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlõ! . 27 40. Igazolja, hogy egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°!. 28 41. Bizonyítsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bármelyik kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög!. 30 42.

Bizonyítsa be, hogy az n oldalú konvex sokszög belsõ szögeinek összege (n - 2) × ! . 31 180°, átlóinak száma pedig 43. Mi az összefüggés két (nemnegatív) szám számtani és mértani közepe között? Igazolja az összefüggést!. 32 44. Mi az egybevágósági transzformáció? . 32 45. A sík melyik transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait! . 33 46. A sík melyik transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait! . 33 47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, illetve egy egyenesére szimmetrikusnak? Soroljon fel középpontosan, illetve tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket! . 34 48. A sík melyik transzformációját nevezzük pont körüli forgatásnak? Sorolja fel a tulajdonságait! . 34 49. Hogyan mérünk szögeket? . 35 50. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos

hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait! . 36 51. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlõ két vektor? . 37 52. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, illetve különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! . 37 53. Mit értünk egy vektor számszorosán? . 38 54. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást! . 38 55. Bizonyítsa be a Pitagorasz-tételt és a tétel megfordítását! . 39 56. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását! . 40 57. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belsõ szögfelezõje a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja! . 40 58. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! . 41 59. Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög (ívhossz) segítségével! . 41 60. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak

szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen?. 42 61. Bizonyítsa be, hogy minden a, b, c vektor esetében (a + b) c = ac + bc, vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris szorzata széttagolható!. 42 62. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorok koordinátáinak segítségével! . 43 63. Mit ért egy alakzat egyenletén? . 43 64. Írja fel az A(a ; a ) és B(b ; b ) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét! . 43 Matek feladatok 4/72 65. Írja fel egy szakasz felezõpontjának, illetve harmadolópontjának koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival, és igazolja a felírt formulákat!. 44 66. Adottak egy háromszög csúcspontjainak a koordinátái. Bizonyítsa be, hogy a súlypont koordinátái kiszámíthatók a csúcsok koordinátáinak számtani közepeként! . 45 67. Definiálja egy egyenes iránytangensét! . 45 68.

Bizonyítsa be, hogy a P (x ; y ) ponton átmenõ v (v ; v ) irányvektorú egyenes egyenlete v x - v y = v x - v y ! . 45 69. Bizonyítsa be, hogy a P (x ; y ) ponton áthaladó, n (n ; n ) normálvektorú egyenes egyenlete n (x - x ) + n (y - y ) = 0 ! . 46 70. Bizonyítsa be, hogy a P (x ; y ) ponton átmenõ m iránytangensû egyenes egyenlete y - y = m (x - x ) ! . 47 71. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merõlegességének - a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét! . 47 72. Bizonyítsa be, hogy a C(u ; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x - u) + (y - v) = r ! 47 73. Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk parabolának? . 48 74. A p paraméterû F(0 ; ) fókuszpontú parabola tengelypontja a koordinátarendszer kezdõpontja, tengelye az ordinátatengely. Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete x = 2py ! 48 75. Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk ellipszisnek? . 49 76. Milyen tulajdonságú

ponthalmazt nevezünk hiperbolának? . 49 77. 78. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege ! 49 Egy számtani sorozat első eleme a , különbsége d. Bizonyítsa be, hogy a = a + (n - ! . 50 1)d és S = n 79. Egy mératni sorozat első eleme a , hányadosa q. Bizonyítsa be, hogy a = a q és S =a ! . 51 80. Bizonyítsa be, hogy az S = 1 + q + q + . + q + mértani sor |q| < 1 esetén konvergens! Határozza meg az S összeget! . 52 81. Hogyan adható meg egy függvény? (A válaszban térjen ki a jelölésekre is!) . 52 82. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, illetve értékkészletén? . 52 83. Mikor nevezünk egy függvényt elsõfokúnak? . 53 84. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak? . 53 85. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x |x| függvényt! . 53 86. Ábrázolja és jellemezze a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x függvényt! . 54 87. Mikor mondjuk egy függvényrõl,

hogy a) periodikus; b) páros; c) páratlan; d) korlátos? . 54 88. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy [a ; b] intervallumban monoton növekszik, illetve csökken? . 55 89. Mit nevezünk egy függvény a) zérushelyének; b) szélsõértékének? . 55 90. Mit értünk egy függvény inverzén? A derékszögû koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverze grafikonja között? . 55 91. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x a függvényt (a > 1, illetve 0 < a < 1)! . 56 92. Ábrázolja és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett x log x függvényt (a > 1, illetve 0 < a < 1)! . 56 Matek feladatok 5/72 93. 94. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x sinx függvényt! 57 cosx függvényt! 57 95. Ábrázolja és jellemezze a intervallumban értelmezett x tgx függvényt! 58 96. Milyen

sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak? . 59 97. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a kúpot? 59 98. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületû, m magasságú hasáb térfogata V = Tm! . 59 99. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V = r pm! 60 100. 101. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületû, m magasságú gúla térfogata V = !. 61 Bizonyítsa be, hogy ha a csonkagúla alapjai T és t, magassága m, akkor térfogata Vcs = (T + + t) ! . 62 102. Bizonyítsa be, hogy ha a forgáskúp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata V = 103. 104. ! . 63 Bizonyítsa be, hogy az r sugarú gömb térfogata V = ! . 63 Bizonyítsa be, hogy ha a csonkakúp alapjai r és R sugarú körök, magassága pedig m, akkor térfogata V = (R + Rr + r ) ! . 64 105. Egyenes csonkakúp alapjai r, illetve R sugarú körök, az alkotók hossza a Bizonyítsa be, hogy felszíne A = p[R + r +

(R + r) a] ! . 64 106. Határozza meg a következõ fogalmakat! a) biztos esemény; b) lehetetlen esemény; c) egymást kizáró események; d) komplementer események. 65 107. Határozza meg a következõ fogalmakat! a) egy esemény bekövetkezésének gyakorisága; b) egy esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága. 65 108. Bizonyítsa be, hogy n különbözõ elem összes permutációinak száma n! = n(n - 1)(n 2) 3 × 2 × 1 ! 66 109. Bizonyítsa be, hogy n különbözõ elem k-ad osztályú variációinak száma !. 67 110. Bizonyítsa be, hogy n különbözõ elem k-ad osztályú kombinációinak száma = !. 68 111. Bizonyítsa be a binomiális tételt! 68 112. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlõ két halmaz? 69 113. Legyen A és B két tetszõleges halmaz Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek? 69 114. Legyen A és B két tetszõleges halmaz Mit értünk A és B direkt (Descartes-féle) szorzatán? . 69 115. Definiálja a

következõ halmazmûveleteket: unió-, metszet-, különbségképzés! A három mûvelet közül melyik kommutatív, melyik asszociatív? . 70 116. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy ez a mûvelet kommutatív és asszociatív! 70 117. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy ez a mûvelet kommutatív és asszociatív! 71 118. Mi a negáció? Legyen P és Q két állítás Bizonyítsa be, hogy ù (P Ù Q) = ùP Ú ùQ ! 71 119. Határozza meg egy véges halmaz részhalmazainak számát! 71 120. Mit nevezünk gráfnak? Mi az n pontú teljes gráf? Mi az egyszerû gráf? Mi az összefüggõ gráf? . 72 Matek feladatok 6/72 1. Mit értünk két vagy több szám legnagyobb közös osztóján? Hogyan határozható meg? Két vagy több egész szám legnagyobb közös osztóján azt a legnagyobb számot értjük, amelyik mindegyiknek osztója. Meghatározás: A számok prímtényezõs felbontása után vesszük a közös prímtényezõket az elõforduló legkisebb hatványon, és

összeszorozzuk õket. 2. Mit értünk két vagy több egész szám legkisebb közös többszörösén? Hogyan határozható meg? Két vagy több egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az adott számok mindegyike osztója. Jele: [a,b] Meghatározása: a számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és a bennük szereplõ összes prímtényezõt az elõforduló legmagasabb hatványkitevõre emelve összeszorozzuk. 3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két vagy több egész szám relatív prím? A prímszám olyan természetes szám, amelynek pontosan 2 osztója van. Relatív prímek: Az 1-en kívül nincs közös osztójuk. 4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributív? Ha az összeadandók sorrendjét felcseréljük, az összeg nem változik, az összeg független az összeadás

sorrendjétõl, felcserélhetõ (kommutatív). a+b=b+a a, b ÎR Az összeadandókat tetszés szerint csoportosíthatjuk, az összeg nem változik (asszociatív). (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c ÎR A szorzat értéke független a tényezõk sorrendjétõl (kommutatív). Matek feladatok 7/72 a×b=b×a a, b ÎR A tagokat tetszés szerint csoportosíthatjuk, az összeg nem változik (asszociatív). a (b × c) = (a × b) × c a, b, c ÎR A szorzás az összeadásra nézve széttagolható (disztributív). a × (b + c) = a × b + a × c 5. a, b, c ÎR Definiálja az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalmát! Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek az aránya állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség egyenesen arányos. Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek a szorzata állandó, akkor azt mondjuk, hogy az a két mennyiség fordítottan arányos. 6. Hogyan definiáljuk az a valós szám pozitív egész

kitevõjû hatványát? a egy olyan n tényezõs szorzatot jelent, amelynek minden tényezõje a. 7. Igazolja a következõ azonosságokat (a, b valós számok, n, k pozitív egész)! a) (ab) = a × b b) = (b ¹ 0) c) (a ) = a a) a × b = (a × a × . × a) × (b × b × × b) = (ab) × (ab) × × (ab) = (ab) ß n-szer b) n-szer Ý ß n-szer ß n-szer Matek feladatok 8/72 = = ß ß n-szer n-szer n-szer c) n-szer Ý Ý n-szer Ý (a ) = a × a × . × a = (a × a × × a) × (a × a × × a) × × (a × a × × a) =a 8. ß ß k-szor k-szor Definiálja a nemnegatív valós szám négyzetgyökét! Mivel egyenlõ Az a nemnegatív szám, amelynek a négyzete a. =k (k ³ 0) k² = a - a ³ 0, mert egy szám négyzeteként áll elõ - = |a|, mert a gyökvonás eredménye nemnegatív szám 9. Definiálja a racionális szám fogalmát! Két egész szám hányadosaként felírható számok a racionális számok. 10. Mi a számelmélet alaptétele?

Minden összetett szám a sorrendtõl eltekintve egyértelmûen írható fel prímszámok hatványainak szorzataként. 11. Bizonyítsa be, hogy a p, q ÎZ Indirekt bizonyítás: irracionális szám! q ¹ 0 (p ; q) = 1 (tört egyszerûsítve) ? Matek feladatok 9/72 Tfh.: ekvivalens, mert mindkét oldalon pozitív szám van Ebbõl következik, hogy p páros, tehát felírhatjuk p = 2a alakban. 4a = 2q 2a = q Ebbõl következik, hogy q is páros, de ez ellentmondás, mert (p ; q) = 1 Tehát 12. Hogyan definiálja egy pozitív szám 0, negatív egész és racionális kitevõjû hatványát? Egy pozitív szám 0 kitevõjû hatványa a° = 1, ha a ¹ 0 | a ÎR {0} Egy pozitív szám negatív kitevõjû hatványa a = | a ÎR {0} Ù n ÎN Egy pozitív szám racionális kitevõjû hatványa a = k (>0) p, q ÎZ q ¹ 0 k =a 13. Mit értünk egy valós szám n-edik gyökén (n pozitív egész)? Határozza meg ; ; értékét! egy olyan nemnegatív szám, melynek n-edik

hatványa a. = k (³0) k = a n ÎN | n ³ 2 a³0 Matek feladatok 10/72 = 14. =3 = =±4 = = -2 (páratlan kitevõjû gyök alatt állhat negatív szám) Igazolja a következõ azonosságokat! Milyen kikötéseket kell tenni a-ra, bre, n-re és k-ra? a) = a³0 × b³0 n ÎN = (ab) = a × b = × n³2 A hatványozás azonosságai miatt b) a³0 = b>0 n ÎN n³2 = = = A hatványozás azonosságai miatt c) = a³0 Matek feladatok 11/72 k ÎN k³2 n ÎR = = = = A hatványozás azonosságai miatt 15. Mit nevezünk egy valós szám normálalakjának? Írja fel a következő számok normálalakját! Egy valós szám normálalakja: egy olyan a = x × 10 alak, ahol 1 £ |x| < 10, nÎZ 0,000173 = 1,73 × 10 58200000 = 5,82 × 10 16. Mit jelent log b? Milyen kikötéseket kell tenni a-ra és b-re? Az a alapú logaritmus b egy olyan kitevőt jelent, amire a-t emelve b-t kapjuk. Kikötések: a¹1 a>0 b>0 17. Igazolja a következõ azonosságokat!

Milyen kikötéseket kell tenni x-re, yra, a-ra és k-ra? a) log xy = log x + log y b) log = log x - log y c) log x = k × log x Matek feladatok 12/72 a) a>0 a¹1 x>0 y>0 log xy = a - a = xy log x = b - a =x log y = c - a =y a = xy = a × a = a exp. szig mon a=b+c b) a>0 a¹1 x>0 y>0 log =a - a = log x = b - a =x log y = c - a =y a = =a = exp. szig mon a=b+c c) a>0 a¹1 x>0 Matek feladatok 13/72 log x = a - a = x log x = b - a =x a = x = (a ) = a exp. szig mon a=b×c 18. Definiálja a következõ fogalmakat! a) polinom; b) algebrai tört. a) Az x változó n-ed fokú polinomja P (x) = a x + a x ¹ + . + a x + a ahol n ÎN és a ÎR b) Az algebrai tört két polinom hányadosa. 19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet ekvivalens? Az egyenlet egy olyan állítás, amely két algebrai kifejezés közötti relációval kapcsolatos. Egyenlet igazsághalmazán a változóknak

azokat az értékeit értjük, amelyek igazzá teszik a relációt. Két egyenlet ekvivalens, ha megegyezik igazsághalmazuk. 20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét! ax² + bx + c = 0 (a¹ 0) hiányos: b vagy c = 0 I. c = 0 ax² + bx = 0 x (ax + b) = 0 x =0 x = Matek feladatok 14/72 II. b = 0 ax² + c = 0 ax² = -c x² = |x| = x =± III. c ¹ 0, b¹ 0 21. Mit ért a másodfokú egyenlet diszkriminánsán? A másodfokú egyenlet diszkriminánsa a b² - 4ac kifejezés. Jele: D A D = b² - 4ac diszkriminánstól függ, hogy az ax² + bx + c = 0 (a ¹ 0) egyenletnek van-e valós gyöke vagy nincs valós gyöke. Ha D = b² - 4ac < 0, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke. Ha D = b² - 4ac = 0, akkor az egyenletnek egy megoldása van. Ha D = b² - 4ac > 0, akkor az egyenletnek két megoldása van. Matek feladatok 15/72 22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyökei és együttható közötti összefüggéseket! (Viète képletek) ax² + bx + c

= 0 $ x , x megoldások I. x = x = x +x = + = × = = x +x = II. x = x = x ×x = x ×x = 23. Hogyan definiálja két nemnegatív szám számtani, illetve mértani közepét? Számtani közép: Mértani közép: 24. , a két szám összegének 1/2-szerese. | a ³ 0, b ³ 0, a két szám szorzatának négyzetgyöke. Mit ért a) pont és egyenes távolságán; b) párhuzamos egyenesek távolságán; c) pont és sík távolságán; d) párhuzamos síkok távolságán? a) Pont és egyenes távolságán a pontból derékszögben az egyenesre állított szakasz hosszát értjük. = Matek feladatok 16/72 I. PÎe d (P,e) = 0 II. PÏe b) Párhuzamos egyenesek távolságát egyik egyenes egy pontjából a másik egyenestõl való távolsága adja. c) Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott derékszögû szakasz hossza. I. PÎa II. PÏa d (P,a) = 0 Matek feladatok 17/72 d) Párhuzamos síkok távolsága az egyik sík egy pontjának a másik síktól

való távolságával egyenlõ. 25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán? Két kitérő egyenes távolsága annak a szakasznak a hossza, amely mindkét egyenesre merőleges. Két kitérő egyenes távolsága a rájuk fektetett párhuzamos síkok távolságával egyenlő. 26. Mit ért a) egyenes és sík hajlásszögén; b) két sík hajlásszögén? a) Ha párhuzamosak: a hajlásszög 0° Ha metszik egymást: Egyenes és sík hajlásszögén az egyenesnek és az egyenes síkra merõleges vetületének a hajlásszögét értjük. Egy egyenes akkor merõleges egy síkra, ha az összes döfésponton áthaladó síkbeli egyenesek merõlegesek rá. Tétel: Egy egyenes akkor és csak akkor merõleges egy síkra, ha a döfésponton Matek feladatok 18/72 áthaladó 2 különbözõ síkbeli egyenesre merõleges. b) Ha párhuzamosak: a hajlásszög 0° Ha metszõek: Két metszõ sík hajlásszögén metszésvonaluk egy P pontjában a metszésvonalra állított két merõleges

síkbeli egyenes hajlásszögét értjük. 27. Mit ért két kitérõ egyenes hajlásszögén? Két kitérõ egyenes hajlásszögének nevezzük azt a szöget, amelyet egy tetszõleges ponton átmenõ, velük párhuzamos egyenesek alkotnak. Matek feladatok 19/72 28. Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a háromszögek egybevágóságának alapeseteit! Két síkidom akkor egybevágó, ha egybevágósági transzformációkkal (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, helybenhagyás) egymásba juttathatók. Háromszögek egybevágósági alapesetei: 1. Mindhárom oldal megyegyezik 2. Két-két oldal és a közbezárt szög megegyezik 3. Két-két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik 4. Egy oldal és a rajta fekvő két szög megegyezik 29. Osztályozza a síknégyszögeket a) az oldalak párhuzamossága; b) az oldalak egyenlõsége szerint! Trapéz: két szemközti oldala párhuzamos Deltoid:

két-két szomszédos oldala egyenlõ Paralelogramma: két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlõ Téglalap: két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlõ (szögei 90°-osak) Rombusz: két-két szemközti oldala párhuzamos és minden oldala egyenlõ Négyzet: két-két szemközti oldala párhuzamos és minden oldala egyenlõ (szögei 90°-osak) 30. Milyen négyszöget nevez húrnégyszögnek, illetve érintõnégyszögnek? Húrnégyszög: Az a négyszög, ami köré kör írható. Oldalai az adott kör húrjai Érintõnégyszög: Olyan négyszög, amelybe szekreszthetõ mind a négy oldalát érintõ kör. 31. Mit nevez középvonalnak a) paralelogramma; b) trapéz; c) háromszög esetén? Számítsa ki ezeknek a hosszát az oldalak ismeretében! a) A paralelogramma középvonala az õt nem metszõ oldalakkal párhuzamos és Matek feladatok 20/72 ugyanolyan hosszú. Az ABF F négyszög paralelogramma, F F || AB és F F = AB b) A trapéz szárakhoz tartozó

középvonala párhuzamos az alappal, és a két alap számtani közepe. k || a k= c) A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezõpontját összekötõ szakasz. A háromszög középvonala párhuzamos, és fele akkora, mint az õt nem metszõ oldal. Az ABAC négyszög paralelogramma k || c 2k = c k=c/2 Matek feladatok 21/72 32. Igazolja, hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, és fordítva! I. Ha a > b a>b a>e e=b+c e>b a>b II. Ha a > b a>b a=b a = b ellentmondás a<b a < b ellentmondás a>b 33. Határozza meg a következõ ponthalmazokat! a) Két adott ponttól egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a síkban és a térben. b) Két adott egyenestõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a síkban. a) Az A és B ponttól egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a síkban az AB szakasz felezõmerõleges egyenese. Az A és B ponttól egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza

a térben az AB szakasz Matek feladatok 22/72 felezõmerõleges síkja. b) I. Ha e és f párhuzamosak: Az e és f egyenesektõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza egy olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos és távolságukat felezi. II. Ha e és f metszik egymást: Két metszõ egyenestõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelezõi. 34. Határozza meg a következõ ponthalmazokat! a) Három ponttól egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a síkban és a térben. b) Egy sík három egyenesétõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a síkban. a) A, B, C pontok I. Síkban: Az A és B ponttól egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza az AB szakasz felezõmerõlegese. A B és C ponttól egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a BC szakasz felezõmerõlegese. A keresett ponthalmaz a két egyenes közös pontjai. Matek feladatok 23/72 Ha a három pont háromszöget alkot, akkor a

felezõmerõlegesek egy pontban metszik egymást. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a felezõmerõlegesek párhuzamosak, ezért a keresett ponthalmaz nem létezik. II. Térben: Az A, B és C ponttól egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a térben az AB szakasz felezõmerõleges síkjának és a BC szakasz felezõmerõleges síkjának a közös pontjai. Ha a három pont háromszöget alkot, akkor a felezõmerõleges síkok egy egyenesben metszik egymást, amely egyenes merõleges az ABC háromszög síkjára. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a felezõmerõleges síkok párhuzamosak, ezért a keresett ponthalmaz nem létezik. b) a, b, c egyenesek Ha a három egyenes párhuzamos, akkor a keresett ponthalmaz nem létezik. Ha két egyenes egybeesik és a harmadik párhuzamos: Ha két egyenes párhuzamos és a harmadik metszi õket: A b és c egyenestõl egyenlõ távolságra levõ pontok halmaza a d egyenes. Az a és c egyenestõl egyenlõ távolságra levõ

pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelezõi. A szögfelezõk és a d egyenes metszéspontjai a keresett ponthalmaz. Ha a három egyenes egy pontban metszi egymást: Matek feladatok 24/72 Ha a három egyenes három különbözõ pontban metszi egymást: A keresett pontok: a belsõ szögfelezõk metszéspontja és a külsõ szögfelezõk által kiadott metszéspontok. 35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást! Legyen az ABC háromszög AB oldalának felezőmerőlegese e. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A BC oldal felezőmerőlegese legyen f. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel AB és BC metszi egymást, a felezőmerőlegeseik is metszik egymást, mert a metsző egyenesekre merőlegesek. A felezőmerőlegesek M metszéspontja egyenlő távolságra van A-tól, B-től és C-től is, tehát rajta van az AC oldal felezőmerőlegesén is. Az M metszéspont

rajta van mindhárom felezőmerőlegesen, így egyenlő távolságra van A, B és C csúcstól. Tehát ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. 36. Igazolja, hogy a háromszög belsõ szögfelezõi egy pontban metszik egymást! Matek feladatok 25/72 Mivel K ráesik az f -re, K egyenlõ távolságra van b-tõl és c-tõl. Mivel K ráesik az f -re, K egyenlõ távolságra van a-tól és c-tõl. Ezért K egyenlõ távolságra van a-tól és b-tõl, és ráesik a c szög szögfelezõ egyenesére is. Mivel K egyenlõ távolságra van mindhárom oldaltól, ez a pont megfelel a háromszögbe írható kör középpontjának. 37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást! Párhuzamost húzunk B-n keresztül AC szakasszal Párhuzamost húzunk C-n keresztül AB szakasszal Párhuzamost húzunk A-n keresztül CB szakasszal ABAC paralelogramma (szembelévõ oldalai párhuzamosak) CA = AB AC = BA Hasonlóan belátható, hogy BC = AB CB

= AC BA = CB AC = CB Matek feladatok 26/72 A, B, C az ABC háromszög oldalfelezõ pontjai m ^ AB és AB || AB m ^ AB m az ABC háromszög egyik oldalfelezõ merõlegese Hasonló módon belátható, hogy m , m szintén oldalfelezõ merõleges. Így az ABC háromszög oldalfelezõ merõlegesei egybeesnek az ABC háromszög magasságvonalaival. Mivel az oldalfelezõ merõlegesek egy pontban metszik egymást, az ABC háromszög magasságvonalai is. 38. Igazolja Thalész tételét és a tétel megfordítását! Tétel: Ha egy kör AB átmérõjének végpontjait összekötjük a kör egy tetszõleges, Atól B-tõl különbözõ pontjával, derékszögû háromszöget kapunk. A tétel látószögre fogalmazva: Azon pontok halmaza a síkban, amelybõl egy szakasz derékszög alatt látszik, a szakaszra, mint átmérõre rajzolt kör, kivéve a szakasz végpontjait. OCB háromszög és AOC háromszög egyenlõ szárú 180° - 2a = 180° - (180° - 2b) = 2b 2a + 2b = 180° a + b =

90° Matek feladatok 27/72 Megfordítás: Ha egy háromszög derékszögû, akkor a köré írható kör középpontja az átfogó felezõpontja. a + b = 90° A-nál, B-nél, C-nél a szögek 90°-osak d = 90° ABCD téglalap A téglalap átlói felezik egymást. 39. Bizonyítsa be, hogy egy konvex síknégyszög akkor és csak akkor érintõnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlõ! Ha egy konvex négyszög érintõnégyszög, akkor két-két szemközti oldalának összege egyenlõ. Külsõ pontból a körhöz húzott érintõ szakaszok egyenlõ hosszúak. a+c=x+q+y+z b+d=x+y+z+q a+c=b+d Matek feladatok 28/72 Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlõ, akkor a négyszög érintõnégyszög. I. Nincs legnagyobb oldal négyzet rombusz deltoid II. Van legnagyobb oldal a+c=b+d a-b=d-c a a legnagyobb oldal, ezért a - b > 0 d-c>0 d>c A BCK, CDP és APK háromszögek egyenlõ szárúak. Ezen háromszögek

magasságai az ABCD négyszög szögfelezõi és a PKC háromszög oldalfelezõ merõlegesei. Viszont az oldalfelezõ merõlegesek egy pontban metszik egymást. 40. Igazolja, hogy egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°! Egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°. Egy négyszög húrnégyszög, ha írható köré kör. Matek feladatok 29/72 I. Ha húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180° Kerületi és középponti szögek tétele miatt 2a + 2c = 360° a + c = 180° II. Ha a szemközti szögeinek összege 180°, akkor húrnégyszög errõl a körívrõl is c szög alatt látszana, de akkor nem lenne a négyszög konvex errõl a körívrõl c szög alatt látszik Kerületi és középponti szögek tétele miatt a + c = 180° Az ABD köré kört szerkesztünk C-nek is rajta kell lennie a köríven Matek feladatok 30/72 41. Bizonyítsa be, hogy a kör

egy ívéhez tartozó bármelyik kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög! I. OBC háromszög egyenlõ szárú OBC szög is b a külsõ szöge az OBC háromszögnek a = 2b II. AOC háromszög egyenlõ szárú OAC szög is b a külsõ szöge az OAC háromszögnek a = 2b OBC háromszög egyenlõ szárú OBC szög is b a külsõ szöge az OBC háromszögnek a = 2b a + a = 2(b + b ) a = 2b III. OAC háromszög egyenlõ szárú OAC szög is b a külsõ szöge az OAC háromszögnek a = 2b OBC háromszög egyenlõ szárú OBC szög is b Matek feladatok 31/72 a külsõ szöge az OBC háromszögnek a = 2b a - a = 2(b - b ) a = 2b IV. Érintõszárú kerületi szög esete: AOB háromszög egyenlõ szárú b-k merõleges szárú szögek a = 2b 42. Bizonyítsa be, hogy az n oldalú konvex sokszög belsõ szögeinek összege (n - 2) × 180°, átlóinak száma pedig ! I. n darab háromszög n × 180°, de a középsõ szögeket le

kell vonni 180° - 360° Tehát a szögek összege 180° × (n-2). II. n× Matek feladatok 32/72 Mindegyik csúcsból n - 3 darab átló húzható n × (n - 3), de így minden átlót kétszer számoltunk 43. Mi az összefüggés két (nemnegatív) szám számtani és mértani közepe között? Igazolja az összefüggést! Számtani közép (ált. eset): Mértani közép (ált. eset): | a, b ³ 0 Tétel: Indirekt bizonyítás: a négyzetre emelés ekvivalens, mert a kikötés miatt az Thf. egyenlőtlenség mindkét oldalán nemnegatív szám van ab > 4ab > a + 2ab + b 0 > a - 2ab + b 0 > (a - b) ellentmondás, mert négyzetszám nem lehet negatív Miután csupa ekvivalens átalakítást hajtottunk végre, csak úgy kaphattunk hamis állítást, ha a kiindulás is hamis. Tehát 44. . Mi az egybevágósági transzformáció? Az egybevágósági transzformáció olyan transzformáció, mely távolságtartó, azaz bármely szakasz képe ugyanolyan

hosszúságú szakasz lesz. P, Q pontok képe P, Q d (P,Q) = d (P,Q) Matek feladatok 33/72 45. A sík melyik transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait! Geometriai transzformáció: olyan leképezés, amely ponthalmazt ponthalmazba visz át. Tengelyes tükrözés: j függvény: P ® P | PP ^ t Ù PT = PT Tulajdonságok: 1. Egy-egy értelmű függvény 2. Szimmetrikus transzformáció: (P) = P 3. Fix pontok: t 4. Távolságtartó, tehát egybevágósági transzformáció 5. Körüljárási irányt megfordítja 46. A sík melyik transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait! j függvény: A ® A | A Î e(O,A) Ù O Î AA Ù OA = OA Tulajdonságok: 1. Egy-egy értelmû függvény 2. Fix pontja: O 3. Távolságtartó, tehát egybevágósági transzformáció 4. Egy egyenes képe vele párhuzamos egyenes lesz 5. Körüljárási irányt megtartja

Matek feladatok 34/72 6. Bármely középpontos tükrözés elõállítható két egymásra merõleges tengelyre való tengelyes tükrözés szorzataként. 47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, illetve egy egyenesére szimmetrikusnak? Soroljon fel középpontosan, illetve tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket! Tengelyesen szimmetrikus egy ponthalmaz, ha létezik olyan t tengely, melyre vonatkozó tükörképe önmaga. Középpontosan szimmetrikus egy ponthalmaz, ha létezik egy olyan O pont, melyre vonatkozó tükörképe önmaga. Tengelyesen szimmetrikus: háromszögek: egyenlõ szárú (egy szimmetriatengelye van), egyenlõ oldalú (három sz.tengelye van); négyszögek: deltoid, szimmetrikus trapéz, rombusz, téglalap, négyzet; sokszögek: szabályos sokszögek (annyi szimmetriatengely, ahány oldal); kör: bármely átmérõre. Középpontosan szimmetrikus: háromszög nem lehet középpontosan szimmetrikus; négyszögek:

paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet sokszögek: páros oldalú szabályos sokszögek (középpont az átellenes átlók metszéspontja); kör: középpontra. 48. A sík melyik transzformációját nevezzük pont körüli forgatásnak? Sorolja fel a tulajdonságait! Az O pont körüli a szögû adott irányú forgatás a sík tetszõleges A (A¹O) pontjához azt az A-t rendeli, melyre teljesül, hogy AOA szög irány és nagyság szerint a, OA = OA. Matek feladatok 35/72 Tulajdonságok: 1. Egy-egy értelmû függvény 2. Fix pont: O 3. Távolságtartó, tehát egybevágósági transzformáció 4. Identikus transzformáció, ha a = n × 360° n ÎZ 5. Középpontos tükrözés, ha a = 180° × (2n + 1) nÎZ 6. Körüljárási irányt megtartja 7. n oldalú szabályos sokszöget forgatva önmagát kapjuk, ha k × nagyságú szöggel forgatjuk el 8. Két metszõ egyenesre történõ tükrözés szorzata helyettesíthetõ középpontos forgatással A v vektorral való

eltolás a tér tetszõleges P pontjához azt a P-t rendeli, amelyre =v Tulajdonságok: 1. Egy-egy értelmû függvény 2. Antiszimmetrikus 3. Fix pontja nincs 4. Távolságtartó, tehát egybevágósági transzformáció 5. Egy egyenes eltolt képe párhuzamos önmagával 6. Az eltolás vektorával párhuzamos egyenesek, síkok, tér invariánsak 7. Több eltolás szorzata helyettesíthetõ egyetlen eltolással 8. Körüljárási irányt megtartja 9. Két párhuzamos tengelyre történõ tükrözés egymásutánja mindig helyettesíthetõ egy eltolással, melynek iránya merõleges a tengelyekre és nagysága kétszer akkora, mint a tengelyek távolsága 49. Hogyan mérünk szögeket? Minden szöghöz hozzárendelhetõ egy olyan nemnegatív valós szám, amelyet a szög mértékszámának nevezünk. Matek feladatok 36/72 Erre a számra teljesül, hogy egybevágó szögek mértékszáma egyenlõ, és hogy bármely szöget a csúcsból kiinduló félegyenes két olyan szögre

bont, amelyek mértékszámának összege az eredeti szög mértékszámával egyenlõ. A szögek mértékegysége lehet a fok: 1° a teljes kör 360-ad része 1° hatvanad része a perc (1), ennek hatvanad része a másodperc (1) Így az egyenesszög 180°, a teljesszög 360°, a derékszög 90°. A szögek mértékegysége lehet a radián: a = (szög ívmértéke) 360° ® 2p 180° ® p 50. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait! Középpontos hasonlóságot akkor adunk meg, ha megadjuk középpontját és egy l számot. I. l>0 =l nagyítás: l > 1 kicsinyités: 0 < l < 1 II. l<0 = |l| nagyítás: l < -1 Matek feladatok 37/72 kicsinyités: -1 < l < 0 III. l = 1 identikus transzformáció IV. l = -1 középpontos tükrözés Tulajdonságok: 1. Minden pontra értelmezett, ha O képe önmaga (O fix pont, ezért képe mindig önmaga) 2. Síknak önmagára

történõ egy-egy értelmû leképzése, ezért létezik inverze, az arányú hasonlóság 3. Szakasz vagy egyenes képe önmagával párhuzamos szakasz vagy egyenes lesz 4. Nem távolságtartó, tehát nem egybevágósági transzformáció 5. Aránytartó 6. Szögtartó 7. Körüljárási irányt megtartja 51. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlõ két vektor? Minden eltolást egy irányított szakasszal adunk meg, amelyet vektornak nevezünk. Ellentett vektor: hosszuk megegyezik, de irányuk ellentétes. Nullvektor: hosszúsága 0, iránya tetszõleges. Két vektor egyenlõ, ha hosszuk és irányuk megegyezik. 52. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, illetve különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! Ha az a és b vektorokat közös pontból indítjuk ki, akkor az a + b vektor a végpontokat összekötõ vektor, mégpedig úgy, hogy a b-be mutasson. Ha az a és b vektorokat közös pontból indítjuk ki, akkor az a - b vektor a végpontokat

összekötõ vektor, mégpedig úgy, hogy az a-ba mutasson. Matek feladatok 38/72 Vektorösszeadás tulajdonságai: 1. Kommutatív: a + b = b + a 2. Asszociatív: (a + b) + c = a + (b + c) 53. la Mit értünk egy vektor számszorosán? lÎR I. l = 0 la = 0 II. l > 0 la egy olyan vektor, ami párhuzamos és egyirányú a-val, és hossza a-nak l-szorosa. III. l < 0 la egy olyan vektor, ami párhuzamos és ellentétes irányányú a-val, és hossza a-nak |l|-szorosa. 54. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást! F F az ABC háromszög középvonala F F || 2a F F || F F 2a F F = a F F az OAB F F || három- 2a szög középvonala F F =a F F || 2a F F || F F F F négyszög paralelogramma Matek feladatok 39/72 F F = a F F =F F F = F a A paralelogramma átlói felezik egymást OF = y OF = x 55. Bizonyítsa be a Pitagorasz-tételt és a tétel megfordítását! A derékszögû háromszög befogóinak négyzetösszege

egyenlõ az átfogó négyzetével. a + b = 90° a² + b² + 4t = c² + 4t a² + b² = c² Megfordítás: Ha egy háromszög oldalaira igaz, hogy a² + b² = c², akkor a háromszög derékszögû. a² + b² = c² a² + b² = c*² Matek feladatok 40/72 c = c* A két háromszög egybevágó c = 90° 56. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását! Ha két egyenest párhuzamos egyenesekkel metszünk, akkor az egyes egyeneseken létrejövő szakaszok aránya megegyezik. = = Megfordítás: Ha két egyenest egyenesekkel metszünk, és az egyeneseken létrejövő szakaszok aránya megegyezik, akkor a metsző egyenesek párhuzamosak. = 57. k || g Bizonyítsa be, hogy a háromszög belsõ szögfelezõje a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja! c oldalt meghosszabbítjuk a-val CBD háromszög egyenlõ szárú, külsõ szöge B-nél b, ezért az alapon fekvõ szögek b/2 szögek egyállású szögek f || CD Matek

feladatok 41/72 Párhuzamos szelõk tétele miatt 58. = Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Két alakzat hasonló, ha létezik olyan hasonlósági transzformáció (középpontos hasonlóságok és egybevágósági transzformációk egymásutánja), amely egyiket a másikba viszi át. Háromszögek hasonlóságának alapesetei: 1. Két szögük megegyezik 2. Két oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik 3. Megfelelõ oldalaik aránya megegyezik 4. Megegyeznek két nagyobbik oldal arányában és a szemközti szögben 59. Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög (ívhossz) segítségével! I. a) Ha a = 1°, akkor a terület T= ×a b) t a kör területe, T a körcikk területe T= A körszelet területét úgy számítjuk ki, hogy az õt tartalmazó körcikk II. T= területébõl kivonjuk az ábrán szürke háromszög területét. ×a- = - Matek

feladatok 42/72 60. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen? Két n dimenziós vektor skaláris szorzata a megfelelõ koordináták szorzatának összege. ab = a b + a b + . + a b Két egymással a szöget bezáró a és b vektor skaláris szorzata ab = |a| × |b| × cosa. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merõleges egymásra. 61. Bizonyítsa be, hogy minden a, b, c vektor esetében (a + b) c = ac + bc, vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris szorzata széttagolható! |e| = 1 ex = 1 × x × cosa = x cosa Egy vektor egységvektorral való skalárszorzata a vektor az egységvektor egyenesére esõ merõleges vetülete. (a + b) c = ac + bc e c |e| = 1 c = le c= |c| e elég belátni, hogy (a + b) e = ae + be Vegyük fel az a, b vektorokat, összegük a + b. Képezzünk ezeknek az e egyenesére vonatkozó

skalárfelületeiket. Az összeg skalárvetülete egyenlõ a tagok skalárvetületének összegével. Ezért (a + b) e = ae + be Matek feladatok 43/72 62. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorok koordinátáinak segítségével! Két n dimenziós vektor skaláris szorzata a megfelelõ koordináták szorzatának összege. ab = a b + a b + . + a b 63. Mit ért egy alakzat egyenletén? Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, melyet az alakzat pontjainak koordinátái kielégítenek, és más pontok koordinátái nem elégítenek ki. 64. Írja fel az A(a ; a ) és B(b ; b ) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét! d(A ; B) = d = (b - a ) + (b - a ) d= Matek feladatok 44/72 65. Írja fel egy szakasz felezõpontjának, illetve harmadolópontjának koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival, és igazolja a felírt formulákat! A (a ; a ) B (b ; b ) F( ) =a-b = (a - b) / 2 f = b + (a - b) / 2

= (2b + a - b) / 2 = (a + b) / 2 Ami a vektorokra igaz, az igaz a koordinátákra is. A (a ; a ) B (b ; b ) H( ) H ( ) =a-b = (a - b) / 3 h = b + (a - b) / 3 = (3b + a - b) / 3 = (a + 2b) / 3 h = b + 2(a - b) / 3 = (3b + 2a - 2b) / 3 = (2a + b) / 3 Ami a vektorokra igaz, az igaz a koordinátákra is. Matek feladatok 45/72 66. Adottak egy háromszög csúcspontjainak a koordinátái. Bizonyítsa be, hogy a súlypont koordinátái kiszámíthatók a csúcsok koordinátáinak számtani közepeként! A (a ; a ) B (b ; b ) C (c ; c ) S( ) f vektor a CB szakasz felezõpontjába mutató vektor, ezért f = (b + c) / 2 s vektor az AF szakasz harmadolópontjába mutató vektor, ezért s = (2f + a) / 3 = (b + c + a) / 3 Tehát s = (a + b + c) / 3 Ami a vektorokra igaz, az igaz a koordinátákra is. 67. Definiálja egy egyenes iránytangensét! Az (xy) síkban tekintsük az egyenes irányszögének az egyenes és az x tengely pozitív iránya által bezárt szöget. Az irányszög

tangensét (ha az létezik) az egyenes iránytangensének nevezzük, jele m. 68. Bizonyítsa be, hogy a P (x ; y ) ponton átmenõ v (v ; v ) irányvektorú egyenes egyenlete v x-v y=v x -v y ! Matek feladatok 46/72 v (v ; v ) irányvektor n (v ; -v ) normálvektor =r-r n ×n=0 (r - r ) n = 0 (r - r ) vektor koordinátái: (x - x ; y - y ) n vektor koordinátái: (v ; -v ) (x - x ) v + (y - y ) (-v ) = 0 v x-v x -v y+v y =0 v x-v y=v x -v y 69. Bizonyítsa be, hogy a P (x ; y ) ponton áthaladó, n (n ; n ) normálvektorú egyenes egyenlete n (x - x ) + n (y - y ) = 0 ! =r-r n ×n=0 (r - r ) n = 0 (r - r ) vektor koordinátái: (x - x ; y - y ) n vektor koordinátái: (n ; n ) (x - x ) n + (y - y ) n = 0 Matek feladatok 47/72 70. Bizonyítsa be, hogy a P (x ; y ) ponton átmenõ m iránytangensû egyenes egyenlete y - y = m (x - x ) ! Az egyenes irányvektora: v (1 ; m) Az egyenes normálvektora: n (m ; -1) A P (x ; y ) ponton áthaladó n (m ; -1) normálvektorú

egyenes egyenlete az Ax + By = Ax + By alak felhasználásával: mx - y = mx - y y - y = m (x - x ) 71. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merõlegességének - a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét! Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha iránytangenseik megegyeznek. Két egyenes akkor és csak akkor merõleges egymásra, ha iránytangenseik szorzata -1. 72. Bizonyítsa be, hogy a C(u ; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x - u) + (y - v) = r ! Matek feladatok 48/72 A kör definíciója alapján CP = r Két pont távolsága alapján: =r Mivel mindkét oldal pozitív, a négyzetreemelés ekvivalens: (x - u) + (y - v) = r 73. Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk parabolának? A parabola azon pontok halmaza a síkon, melyek a sík egy adott egyenesétől és egy rajta kívül eső ponttól egyenlő távolságra vannak. 74. A p paraméterû F(0 ; ) fókuszpontú parabola tengelypontja a

koordinátarendszer kezdõpontja, tengelye az ordinátatengely. Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete x = 2py ! A parabola definíciója alapján d(F ; Q) = d(Q ; v) =y+ x + (y - ) = (y + x + y - py + ( 2py = x ) ) = y + py + ( ) Matek feladatok 49/72 75. Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk ellipszisnek? Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, melyeknek a sík két adott pontjától mért távolságösszegük a két pont távolságánál nagyobb állandó. 76. Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk hiperbolának? A hiperbola azon pontok halmaza a síkon, melyek a sík két adott pontjától mért távolságainak különbségének abszolútértéke a két pont távolságánál kisebb állandó. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege 77. ! 0 = (1 - 1) = 1 - 3 × 1 × 1 + 3 × 1 × 1 - 1 1 = (2 - 1) = 2 - 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 - 1 2 = (3 - 1) = 3 - 3 × 3 × 1 + 3 × 3 × 1 - 1 3 = (4 - 1) = 4 - 3 × 4 × 1 + 3 × 4

× 1 - 1 . (n - 1) = (n - 1) = n - 3n × 1 + 3n × 1 - 1 S =S S =S - 3S 0 = n - 3S 3S =n + 3S = 3S = + 3S - n + n - 3S + 3S - n + 3S - n -n Matek feladatok 50/72 2n + 3n + 1 = 0 n = n = -1 n =2 (n + 3S S 78. )(n + 1) = (2n + 1)(n + 1) = = Egy számtani sorozat első eleme a , különbsége d. Bizonyítsa be, hogy a = a + (n - 1)d és S = n a = a + (n - 1)d Teljes indukció n = 1 -re a =a igaz Tfh. n-re igaz, nézzük n + 1 -re a = a + d = a + (n - 1)d + d = a + nd S = a + a + . + a S = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + . + (a + (n - 1)d) S = a + (a - d) + (a - 2d) + (a - 3d) + . + (a - (n - 1)d) ! Matek feladatok 51/72 2S = (a + a ) + (a + a ) + (a + a ) + . + (a + a ) 2S = n(a + a ) S =n Egy mératni sorozat első eleme a , hányadosa q. 79. Bizonyítsa be, hogy a = a q és S = a ! a =a q Teljes indukció n = 1 -re a =a q =a q =a igaz Tfh. n-re

igaz, nézzük n + 1 -re a =a q=a q S =a q=a q (q ¹ 1) S = a + a q + a q + a q + . + a q q S = a q + a q + a q + . + a q +a q +a q +a q qS -S =a q -a S (q - 1) = a (q - 1) S =a q¹1 Ha q = 1, akkor S = n a Matek feladatok 52/72 80. Bizonyítsa be, hogy az S = 1 + q + q + . + q + mértani sor |q| < 1 esetén konvergens! Határozza meg az S összeget! Elemi módszerekkel csak a 0 < q < 1 esetben tudjuk bebizonyítani a tételt. y = qx + 1 egyenes lesz, mert tga = q, azaz q a meredeksége y = qx + 1 y=x qx + 1 = x qx - x = -1 x(q - 1) = -1 x= 81. Hogyan adható meg egy függvény? (A válaszban térjen ki a jelölésekre is!) 1. Értéktáblázattal 2. Hozzárendelési szabállyal: pl x x+3 xÎR 3. Képlettel: pl f(x) = x + 3 x Î R Mindhárom esetben meg kell adni értelmezési tartományt. 82. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, illetve értékkészletén? Adott A halmaz és B halmaz. Az

f függvény az A halmaz minden x eleméhez a B halmaz pontosan egy f(x) elemét rendeli. Az A halmaz az f függvény értelmezési tartománya. A B halmaznak azok az elemei, amelyek a hozzárendelésnél föllépnek, alkotják az f függvény értékkészletét. Matek feladatok 53/72 83. Mikor nevezünk egy függvényt elsõfokúnak? Egy függvény elsõfokú, ha egy nem üres H halmazt képez le a valós számok halmazába. A H halmaz a valós számok részhalmaza f(x) = ax + b a ¹ 0 ; a, b ÎR Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor az elsõfokú függvény grafikonja olyan egyenes, melynek meredeksége a. 84. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak? Egy függvény másodfokú, ha egy nem üres H halmazt képez le a valós számok halmazába. A H halmaz a valós számok részhalmaza f(x) = ax + bx + c a ¹ 0 ; a, b, c ÎR Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a másodfokú függvény grafikonja y tengellyel

párhuzamos tengelyû parabola. 85. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x függvényt! Df: x ÎR Rf: y ÎR | y ³ 0 Zh.: x = 0 Mon.: ha x < 0, akkor szig mon csökken ha x ³ 0, akkor szig. mon nõ Szélsõérték: minimum: helye: x = 0 értéke: y = 0 Paritás: páros |x| Matek feladatok 54/72 Korlátosság: alulról korlátos Töréspont: (0 ; 0) 86. Ábrázolja és jellemezze a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x függvényt! Df: x ÎR | x ³ 0 Rf: y ÎR | y ³ 0 Zh.: x = 0 Mon.: szig mon nõ Szélsõérték: minimum: helye: x = 0 értéke: y = 0 Korlátosság: alulról korlátos 87. Mikor mondjuk egy függvényrõl, hogy a) periodikus; b) páros; c) páratlan; d) korlátos? a) Az f: R R függvény periodikus és periódusa t (¹0), ha minden x-re f(x + t) = f(x). b) Az f: R R függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden x ÎR -re f(x) = f(- x). c) Az f: R R függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha

minden x ÎR -re f(x) = -f(-x). d) A függvény korlátos, ha van olyan M szám, hogy minden x Î Df -re | f(x) | £ M. M a függvény korlátja. Matek feladatok 55/72 88. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy [a ; b] intervallumban monoton növekszik, illetve csökken? Az f: [a ; b] x ; x Î [a ; b ] Az f: [a ; b] x ; x Î [a ; b ] 89. R függvényt monoton növekvõnek nevezzük, ha minden ; x < x -re f(x ) < f(x ). R függvényt monoton csökkenõnek nevezzük, ha minden ; x < x -re f(x ) > f(x ). Mit nevezünk egy függvény a) zérushelyének; b) szélsõértékének? a) Egy függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre f(x) = 0. A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel. b) Az f függvénynek kétféle szélsõértéke lehet: minimuma és maximuma. Az f függvénynek az x pontban minimuma van, ha a függvény értelmezve van x -ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére f(x)

³ f(x ). Az f függvénynek az x pontban maximuma van, ha a függvény értelmezve van x ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére f(x) £ f(x ). 90. Mit értünk egy függvény inverzén? A derékszögû koordinátarendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverze grafikonja között? Ha egy függvény kölcsönösen egyértelmû, tehát a megfordítottja is függvény, inverze a megfordítottja. Mivel az egy-egy értelmû függvény szigorúan monoton, csak a szigorúan monoton függvénynek van inverze. Az inverz függvények grafikonjai egymásnak tükörképei az y = x egyenesre. Matek feladatok 56/72 91. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x függvényt (a > 1, illetve 0 < a < 1)! x a a a>1 x a 0<a<1 Df: x ÎR Rf: y ÎR | y > 0 Zh.: Mon: ha a > 1, akkor szig mon nõ ha 0 < a < 1, akkor szig. mon csökken Asszimptota: x tengely Korlátosság: alulról korlátos 92. Ábrázolja és

jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett x log x függvényt (a > 1, illetve 0 < a < 1)! a>1 Df: x ÎR | x > 0 Rf: y ÎR 0<a<1 Matek feladatok 57/72 Zh.: x = 1 Mon.: ha a > 1, akkor szig mon nõ ha 0 < a < 1, akkor szig. mon csökken Asszimptota: y tengely 93. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x függvényt! sinx Df: x ÎR Rf: y ÎR | -1 £ y £ 1 Zh.: x = kp k ÎZ Mon.: ha - + k2p < x < + k2p kÎZ , akkor szig. mon nõ máshol szig. mon csökken Szélsõérték: maximum: helye: x = + k2p kÎZ értéke: y = 1 minimum: helye: x = + k2p kÎZ értéke: y = -1 Paritás: páratlan Korlátosság: alulról és felülrõl korlátos Inflexiós pontok: zérushelyek Periodikus: 2p szerint 94. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x függvényt! cosx Matek feladatok 58/72 Df: x ÎR Rf: y ÎR | -1 £ y £ 1 Zh.: x = + kp kÎZ Mon.: ha 0 + k2p < x <

p + k2p k ÎZ , akkor szig. mon csökken máshol szig. mon nõ Szélsõérték: maximum: helye: x = k2p kÎZ értéke: y = 1 minimum: helye: x = p + k2p k ÎZ értéke: y = -1 Paritás: páros Korlátosság: alulról és felülrõl korlátos Inflexiós pontok: zérushelyek Periodikus: 2p szerint 95. Ábrázolja és jellemezze a függvényt! Df: x ÎR | - <x< Rf: y ÎR Zh.: x = 0 Mon.: szig mon nõ Paritás: páratlan Asszimptota: x = Inflexiós pont: x = 0 ; x= intervallumban értelmezett x tgx Matek feladatok 59/72 96. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak? Egy sorozatot számtani sorozatnak nevezünk, ha létezik olyan d szám, hogy a sorozat minden elemére teljesül az a = a + d egyenlet. Egy sorozatot mértani sorozatnak nevezünk, ha létezik olyan q szám, hogy a sorozat minden elemére teljesül az a 97. = a × q egyenlet. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a kúpot? Adott

a síkon egy önmagát nem átmetszõ zárt görbe. Ha ezen a görbén önmagával párhuzamosan körbevezetünk egy a síkra nem illeszkedõ egyenest, akkor egy végtelen hengerfelülethez jutunk. Ha ezt a hengerfelületet egy az eredeti síkkal párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor ez a két sík és a hengerfelület egy hengert vág ki a térbõl. Ha a görbe sokszög, akkor hasábot kapunk. Adott a síkon egy önmagát nem átmetszõ zárt görbe és a síkon kívül egy P pont. Ha egy egyenest úgy hordozunk körbe a görbén, hogy közben mindig áthaladunk a P ponton, akkor egy végtelen kúpfelületet kapunk. A kúpfelület és a sík által kimetszett térrész a kúp. Ha a görbe sokszög, akkor gúlát kapunk. 98. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületû, m magasságú hasáb térfogata V = Tm! 1. Háromszög alapú egyenes hasáb Vtéglatest = aMm Vtéglatest = 2V V = Vtéglatest / 2 = aMm / 2 = Tm Matek feladatok 60/72 2. Bármely sokszög alapú egyenes hasáb

Bármilyen sokszög felbontható háromszögekre, ezért bármilyen sokszög alapú egyenes hasáb térfogata V = Tm 3. Bármely egyenes hasáb Bármilyen görbe közelíthetõ sokszögekkel, ezért bármilyen egyenes hasáb térfogata V = Tm 4. Bármely ferde hasáb t merõleges vetülete: Tcosa V = ta V = aTcosa m / a = cosa a = m / cosa V = Tcosa × m / cosa = Tm 99. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V = r pm! A henger térfogatképlete: V = Tm T=r p V = r pm Matek feladatok 61/72 100. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületû, m magasságú gúla térfogata V = ! 1. Cavalieri-elv: Ha két test ugyanazon a síkon áll, megegyezik az alapterületük és a magasságuk, valamint az összes az alapsíkkal párhuzamos síkmetszetük területe is, akkor a két test térfogata egyenlõ. 2. Ha két kúpszerû test alapterülete és magassága megegyezik, akkor a térfogatuk is egyenlõ. g és g hasonló, mert A pontból vannak

középpontosan kivetítve h és h hasonló, mert B pontból vannak középpontosan kivetítve Þ = Þ = t =T t =T Þ t =t 3. Minden háromszög alapú gúla térfogata Matek feladatok 62/72 V(ABCD) = V(DEFC) mert - t(ABC) = t(DEF) mivel a két háromszög egybevágó - a magasságok egyenlõk, mivel mindkettõ a gúla magassága V(DEFC) = V(BECD) mert - t(BEC) = t(FEC) mivel a két háromszög egybevágó - a magasságuk közös Vhasáb = Tm V= Ha igaz háromszög alapú gúlára, akkor bármilyen sokszögalapúra, mert összerakható háromszögekbõl. Ekkor viszont tetszõleges kúpra is igaz, mert azt lehet sokszögekkel közelíteni. 101. Bizonyítsa be, hogy ha a csonkagúla alapjai T és t, magassága m, akkor térfogata Vcs = (T + + t) ! m = M - lM = M(1 - l) = =l * = =l * * mert középpontosan hasonlók (egy pontból vannak kinagyítva) Matek feladatok 63/72 Vcs = V - v = V - Vl = V(1 - l ) = = T+ ( T + T) = (T + (1 - l) (l + l + 1) = (l T +

lT + T) = + t) 102. Bizonyítsa be, hogy ha a forgáskúp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata V = ! A kúp térfogatképlete: V = T=r p V= 103. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú gömb térfogata V = ! 1. Cavalieri-elv: Ha két test ugyanazon a síkon áll, megegyezik az alapterületük és a magasságuk, valamint az összes az alapsíkkal párhuzamos síkmetszetük területe is, akkor a két test térfogata egyenlõ. 2. Állítás: Vfg = Vh - Vk a = 45°, mert az r oldalú négyzet Matek feladatok 64/72 r =d +R átlójával és alapjával bezárt szög R =r -d t = (r - d )p r = d t = r p - r p = r p - d p t = (r - d )p t =t Vfg = Vh - Vk = r pr - = V = 2 × Vfg = 104. Bizonyítsa be, hogy ha a csonkakúp alapjai r és R sugarú körök, magassága pedig m, akkor térfogata V = (R + Rr + r ) ! A csonkakúp térfogatképlete: V = (T + + t) T=R p t=r p V= (R p + Rrp + r p) = (R + Rr + r ) 105. Egyenes csonkakúp alapjai r, illetve R sugarú

körök, az alkotók hossza a. Bizonyítsa be, hogy felszíne A = p[R + r + (R + r) a] ! Matek feladatok 65/72 Segédtétel: T= d T= = = d a = i x=i d+i x x (i - i ) = i d A=R p+r p+ a = R p + r p + Rpa + rpa = p[R + r + (R + r) a] 106. Határozza meg a következõ fogalmakat! a) biztos esemény; b) lehetetlen esemény; c) egymást kizáró események; d) komplementer események. a) A biztos esemény olyan esemény, amely biztosan bekövetkezik. Jele: 1 b) A lehetetlen esemény olyan esemény, amely biztosan nem következik be. Jele: 0 c) Egymás kizáró események olyan események, amelyek egyszerre nem következhetnek be. d) Egy E esemény komplementere olyan esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha az E esemény nem következik be. 107. Határozza meg a következõ fogalmakat! a) egy esemény bekövetkezésének gyakorisága; b) egy esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága. a) Ha n megfigyelésbõl álló megfigyelés-sorozatban egy esemény

k-szor következik be, akkor k-t az esemény gyakoriságának nevezzük az illetõ megfigyelés-sorozatban. Matek feladatok 66/72 b) Ha n megfigyelésbõl álló megfigyelés-sorozatban egy esemény k-szor következik be, akkor a hányadost az esemény relatív gyakoriságának nevezzük az illetõ megfigyelés-sorozatban. 108. Bizonyítsa be, hogy n különbözõ elem összes permutációinak száma n! = n(n - 1)(n - 2) . 3 × 2 × 1 ! n különbözõ elem egy ismétlés nélküli permutációja az n elem egy adott sorrendje, melyben minden elemet csak egyszer használunk fel. 1. 2 3. . n - 1 n n - 1 n - 2 . 2 n. helyre 1 féleképpen Mivel mindegyik esethez mindegyik tartozhat, a lehetõségek összeszorzódnak: n(n - 1)(n - 2) . 3 × 2 × 1 P = n(n - 1)(n - 2) . 3 × 2 × 1 = n! n különbözõ elem egy ismétléses permutációja az n elem egy adott sorrendje, melyben egy elemet többször is felhasználhatunk. 1. 2 3 n - 1 n. helyre n n n . n n féleképpen

Mivel mindegyik esethez mindegyik tartozhat, a lehetõségek összeszorzódnak: n × n × n × . × n = n P =n Matek feladatok 67/72 109. Bizonyítsa be, hogy n különbözõ elem k-ad osztályú variációinak száma ! n különbözõ elem ismétlés nélküli k-ad osztályú variációit úgy kapjuk, hogy az n elembõl az összes lehetségesféleképpen kiválasztunk k darabot úgy, hogy egy elemet csak egyszer választunk ki, és ezeknek az összes lehetséges sorrendjét tekintjük. 1. 2 3. . k - 1 k. helyre n n - 1 n - 2 . n - k + 2 n - k + 1 féleképpen Mivel mindegyik esethez mindegyik tartozhat, a lehetõségek összeszorzódnak: n(n - 1)(n - 2) . (n - k + 1) V = n(n - 1)(n - 2) . (n - k + 1) = = n különbözõ elem ismétléses k-ad osztályú variációit úgy kapjuk, hogy az n elembõl az összes lehetségesféleképpen kiválasztunk k darabot úgy, hogy egy elemet többször is kiválaszthatunk, és ezeknek az összes lehetséges sorrendjét tekintjük.

1. 2 3 k - 1 k. helyre n n n . n n féleképpen Mivel mindegyik esethez mindegyik tartozhat, a lehetõségek összeszorzódnak: n × n × n × . × n = n V =n Matek feladatok 68/72 110. Bizonyítsa be, hogy n különbözõ elem k-ad osztályú kombinációinak száma = ! azt jelenti, hogy n különbözõ elembõl hányféleképpen tudunk kiválasztani k darabot úgy, hogy a sorrendre nem vagyunk tekintettel. 1. 2 . k 3. helyre n n - 1 n - 2 . n - k + 1 féleképpen Mivel mindegyik esethez mindegyik tartozhat, a lehetõségek összeszorzódnak: n(n - 1)(n - 2) . (n - k + 1) de ekkor figyelembe vettük a sorrendet, ezért le kell osztani a sorrendek számával: C = 111. = × = Bizonyítsa be a binomiális tételt! (a + b) = a b + a b + a b + . + a b + Felhasznált azonosságok: =1 =1 = + Teljes indukció n = 1 -re (a + b) = a b + Thf. n-re igaz, nézzük n + 1 -re a b =a+b igaz a b Matek feladatok 69/72 (a + b) = (a + b)(a + b) = = (a +

b) [ a b + = a + a b + = a b = b + b + a a b + a b + . + a b b + a b + . + a b + a b +[ + a ]a b +[ b + . + + ]a a b + b + . + [ a b ]= + a b + a b = + ]a b + a = a b + a b + a b + . + a b + a b 112. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlõ két halmaz? A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} B = {"x ÎN | x < 5} C = {prímszámok} Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlõnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemeivel azonosak. 113. Legyen A és B két tetszõleges halmaz Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek? Az A halmaz részhalmaza B-nek, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme. 114. Legyen A és B két tetszõleges halmaz Mit értünk A és B direkt (Descartes-féle) szorzatán? Az A ´ B halmaz összes olyan rendezett párból áll, ahol a pár elsõ eleme az A-nak eleme, és a második eleme B-nek eleme. A ´ B = {"(a ; b) | a ÎA Ù b ÎB} Matek feladatok 70/72 115. Definiálja a

következõ halmazmûveleteket: unió-, metszet-, különbségképzés! A három mûvelet közül melyik kommutatív, melyik asszociatív? Az A és B halmaz uniójába tartoznak mindazon elemek, amelyek elemei A-nak vagy B-nek. Az A és B halmaz metszetébe tartoznak mindazon elemek, amelyek elemei A-nak és B-nek. Az A és B halmazok különbségébe tartoznak mindazon elemek, amelyek elemei Anak és nem elemei B-nek. Kommutatív: unió-, metszetképzés Asszociatív: unió-, metszetképzés 116. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy ez a mûvelet kommutatív és asszociatív! A Ù B logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha A logikai értéke is, B logikai értéke is igaz. A B C A Ù B B Ù C (A Ù B) Ù C A Ù (B Ù C) A Ù B Ù C 111 1 1 1 1 1 101 0 0 0 0 0 011 0 1 0 0 0 001 0 0 0 0 0 110 1 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 Az értelmezésbõl következik, hogy a konjunkció kommutatív és asszociatív mûvelet.

Matek feladatok 71/72 117. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy ez a mûvelet kommutatív és asszociatív! A Ú B logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha A és B logikai értéke közül legalább az egyik igaz. A B C A Ú B B Ú C (A Ú B) Ú C A Ú (B Ú C) A Ú B Ú C 111 1 1 1 1 1 101 1 1 1 1 1 011 1 1 1 1 1 001 0 1 1 1 1 110 1 1 1 1 1 100 1 0 1 1 1 010 1 1 1 1 1 000 0 0 0 0 0 Az értelmezésbõl következik, hogy a diszjunkció kommutatív és asszociatív mûvelet. 118. Mi a negáció? Legyen P és Q két állítás Bizonyítsa be, hogy ù (P Ù Q) = ùP Ú ùQ ! ùA logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha A értéke hamis. P Q ùP ùQ P Ù Q ù (P Ù Q) ùP Ú ùQ 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 119. Határozza meg egy véges halmaz részhalmazainak számát! Egy n elemû halmaz összes részhalmazainak száma 2 . Matek feladatok 72/72 n-szerinti teljes indukció n

= 0 A = {} R: {} 1=2 n = 1 A = {a } R: {}, {a } 2=2 n = 2 A = {a ; a } R: {}, {a }, {a }, {a ; a } 4=2 Thf. n-re igaz, nézzük n + 1 -re A = {a ; a ; . ; a ; a } n-re igaz, ezért n elemûnek 2 részhalmaza van. Az új elemet minden eddigi részhalmazhoz hozzávesszük: 2 + 2 = 2 × 2 = 2 120. Mit nevezünk gráfnak? Mi az n pontú teljes gráf? Mi az egyszerû gráf? Mi az összefüggõ gráf? A gráf véges számú pont, melyek közül egyeseket vonalak kötnek össze. Az n pontú teljes gráf minden pontjából pontosan egy él megy az összes többihez. Egy n pontú teljes gráf éleinek száma . Az egyszerû gráf bármely két pontja között legfeljebb egy él halad. Az összefüggõ gráf bármelyik pontjából élek mentén bármely másik pontjába eljuthatunk