Betekintés: Kinematika

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


2. fejezet
Kinematika

2.1. Az anyagi pont kinematikája
Az anyagi pont helyzetét valamely
O kezd őpontú vonatkoztatási rendszer
ben a t idő függvényeként r t   helyzetvektorával adhatjuk meg. Az anyagi
pont pillanatnyi sebessége az r t  — feltétel szerint kétszer differenciálható
— függvény idő szerinti elsőrendű deriváltja
v  r˙ 

dr
dt 

míg gyorsulása az
d2r
dt 2
másodrendű derivált. A mozgó pont felületi sebessége
a  r¨ 

dA 1

r  v
dt
2
A mozgáshoz tartozó sebesség-, illetve gyorsuláshodográf az origóba ekvipolensen eltolt sebesség-, illetve gyorsulásvektorok végpontjának mértani
helye.
Ha egy Descartes-féle
vonatkoztatási
rendszerben a pont helyzetét az id ő
 


függvényeként r  x t  y t  z t  derékszögű koordinátáival adjuk meg,


akkor a sebesség koordinátái:
vx

K O R R E K T Ú R A



ẋ vy




ẏ vz







2006. március 2.



28

2. Kinematika

v

a sebesség v 

nagyságára pedig

 ẏ  ż
A gyorsulás skaláris összetevői és a  a nagyságára
a
ẍ a
ÿ a

a
ẍ  ÿ 
v2

ẋ2



2

2





x 



y 

2

z 



2





2

z̈2 





Ha a mozgó pont pályájához kapcsolt, a ponttal együtt mozgó t n b
 
Frenet-féle kísérőtriéder tengelyeire vetítjük a sebességet és a gyorsulást,
akor az érintő menti, főnormális és binormális irányú komponensek:
vt



ds
vn
dt 

v



0 vb




0

és

dv
v2
an 
ab  0
dt 
R

ahol s az ívhossz (a megtett út egy kiindulási ponttól), R pedig a görbületi
sugár.

Ha r  r q1 q2 q3  görbevonalú koordinátákat használjuk, akkor a Hi 


∂r
1 ∂r
Hi ∂ai , i  1 2 3 segítségé∂ai Lamé-féle együtthatók, valamint az e i 


at

  
 

v̇ 









vel a sebességvektor v  ∑3i 1 Hi q̇i ei alakban írható. Ha görbevonalú koordináták rendszere ortogonális, azaz az e i egységvektorok páronként merőlegesek egymásra, akkor a gyorsulás görbevonalú komponensei
ai

∂v2
∂q̇i

1 d
2Hi dt


∂v2
∂qi





i  1 2 3






Sajátosan, az r θ  síkbeli polárkoordináták esetében


vr
ar







ṙ vθ


rθ̇2 aθ






rθ̇


 

1d 2
r θ̇
r dt



A mozgás síkjára merőleges felületi sebességvektor el őjeles hosza r 2 θ̇.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



29

2. Kinematika

Megoldott gyakorlatok és feladatok
M 2.1. Igazoljuk, hogy egy anyagi pont sebessége nem függ a helyzetvektor
kezdőpontjának a megválasztásától.
Megoldás. Legyen O és O két, egymáshoz viszonyítva nyugalomban
levő pont (2.1. ábra).
 pont helyzetvektora a két vonatkoztatási
 A P mozgó
pontra
nézve r  OP és r  O P, amely vektorokra r  OO r , ahol az

OO vektor állandó. Így ddtr  ddtr  .







r 



O



  P

 r

v










O
  



OO


2.1. ábra. Az M 2.1. feladathoz



M 2.2. Egy egyenes mentén mozgó pont helyzetét az x  t 3 3t 2 9t 30
összefüggés értelmezi, ahol x méterben, a t  0 id ő pedig másodpercben van kifejezve. Határozzuk meg:
(a) azt az időpontot, amikor a sebesség nulla lesz;
(b) a pont pozícióját ebben a pillanatban és az addig megtett út hosszát;
(c) a pont gyorsulását ebben a pillanatban;
(d) a pont által t  2 s-tól t  5 s-ig megtett távolságot.
Megoldás. A pont mozgásegyenlete, sebessége és gyorsulása



x  t 3 3t 2 9t 30

dx
2
v
 3t
6t 9
dt

dv
a
 6t 6 
dt

K O R R E K T Ú R A

(2.1)
(2.2)
(2.3)

2006. március 2.



30

2. Kinematika

(a) Azon időpont, amikor v  0. A (2.2) egyenletbe v  0 helyettesítéssel
3t 2

9 0

6t

t

 

13







A mozgás t  0 kezdete utáni megfelelő megoldás t  3 s. Ha t
0 3 ,

akkor v 0 és a pont a tengelyen negatív irányba mozog, ha t 3, akkor
v 0 és a pont pozitív irányba mozog.
(b) A pont helyzete v  0-kor és az addig megtett út. A t  3 s-ot (2.1)-be
helyettesítve

x 3   3 m,







míg induláskor


x 0



40 m.



Mivel a 0 3  időintervallumban a sebesség sehol sem nulla, mindvégig ne
gatív, így x mindvégig csökken és az indulástól megtett út hossza

 ∆x    x  3 



x 0

(c) A gyorsulás, amikor v  0. A t


a 3







37 m.

3 s-ot (2.3)-be helyettesítve
12 m/s2 .

a pont negatív irányba
(d) A t  2 s-tól t  5 s-ig megtett út hossza. Mivel

mozog, amíg t 2 3  , majd pozitív irányba t
3 5 esetén, a megtett utak


hosszát külön-külön kiszámoljuk és összegezzük:

 

 x  3





x 2

   x  5



x 3

   3 8    35 3  

37 m.

M 2.3. Egy labdát 9 m/s-os kezdősebességgel feldobnak a talajtól 18 m magasban levő ablakból. Tudva azt, hogy a labda 9,81 m/s 2 -es állandó
nagyságú gyorsulása mindvégig lefelé mutat, határozzuk meg:
(a) a labda v sebességét és talaj fölötti y magasságát minden t id őpillanatra;
(b) a labda által elért maximális magasságot és a megfelel ő időpontot;
(c) azt az időpontot, amikor a labda földet ér és a sebességét, amellyel
leesik.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



31

2. Kinematika

Megoldás. (a) Sebesség és magasság. A labda helykoordinátáját (magasságát) adó y koordináta tengely O kezd őpontját a talaj szintjénél választjuk, pozitív irányát pedig függőlegesen felfelé. A pont gyorsulása ezek
9 81 m/s2 , kezdeti helyzete és sebessége pedig a t  0 kezszerint a 

deti időpontban: y0  18 m, v0  9 m/s. A dv dt  a egyenletet integrálva


v

t




dv 

9 81 dt

v0 9

A dy dt





0

v 9

9 81t 

(2.4)



v egyenletet integrálva


y

t 




dy 

18 

y0 18

9

0

y

9t

9 81t  dt


4 905t


2




(2.5)

(b) A legnagyobb magasság. A legnagyobb magasságot a labda akkor
éri el, amikor a (2.5) trinomnak maximuma van. Ez a t max  2 49905 




9
9 91 









0 917 s-kor lesz. A megfelelő maximális érték ymax  22 89 m. (A


megfelelő időpont azonnal adódik abból a feltételb ől, hogy ekkor a sebesség
nulla.)
(c) A labda földetér. A labda leesésekor y  0. Ezt behelyettesítve a (2.5)
összefüggésbe a
18 9t 4 905t 2  0






másodfokú egyenletet kapjuk amelynek gyökei t 1 
1 206 s és t2  3 041


s. A t  3 041 s időpont felel meg a mozgás kezdete utáni földetérésnek.

Ekkor a sebesség
v 9
Tehát a lefelé eső (v



9 81 3 041 






20 83 m/s.


0) labda 20,83 m/s sebességgel ér földet.

M 2.4. Határozzuk meg az ágyúcsőnek a vízszintessel bezárt α szögét ahhoz, hogy a v0 kezdeti sebességű lövedék eltalálja a d távolságnál h
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


magasságban levő célpontot. (Ismert, hogy a lövedék gyorsulása a
függőlegesen lefelé mutató g állandó nagyságú nehézségi gyorsulás

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



32

2. Kinematika

és a mozgás síkmozgás. A légellenállást elhanyagoljuk.) Mekkora
lesz a keresett szög v0  240 m/s, d  3600 m, h  600 m esetében?
Megoldás. A mozgás függőleges síkjában vezessük be a vízszintes irányú
Ox és függőlegesen felfelé irányított Oy tengelyeket, az O kezd őpontot a kiindulási pontba választva. A feladat adatai alapján a következ ő matematikai
modell (peremérték-feladat) írható fel:






ẍ   0 ÿ   g


x  0   0 y 0   0


x t   d y t    h


ẋ 0   v0 cos α ẏ 0 









v0 sin α




ahol α és t (a célbaérés pillanata) ismeretlenek. Az x y koordinátákat adó

differenciálegyenleteket integrálva a megadott kezdeti feltételek figyelembevételével


x t


y t

v0 cos αt
g 2 
t
v0 sin αt
2








összefüggéseket kapjuk. A célbatalálás feltételei a t pillanatban
g
t
2

 

v0 cos αt



v sin αt 

2





0



d


h



Az első egyenletből kifejezve t -ot és a másodikba helyettesítve, a
g
2

d
v0 cos α

2



v0 sin α

d
v0 cos α

egyenlethez jutunk, amelyből az 1 cos 2 α  1
a
gd 2 tan2 α 2dv20 tan α gd 2









h

tan2 α összefüggés alapján
2hv20


0

egyenletet kapjuk. A
 0 feltétel teljesülése esetén a keresett α szög egy vagy két megoldása a
v40



tan α 

g2 d 2

12 


K O R R E K T Ú R A

2ghv20

v20



v40

g2 d 2

2ghv20

gd

2006. március 2.



2. Kinematika

egyenletek alapján határozható meg.

A megadott számértékekre tan α  1  2 6876 és tan α 

nan a két lehetséges megoldás
α1

69 58o és α2






2

33

0 57436, ahon

29 87o 


M 2.5. Ha egy adott pillanatban ismert az M anyagi pont sebesség- és gyorsulásvektora, szerkeszzük meg a pálya görbületi középpontját.
M4
M

b

 a


an
M3

M 




 

t



v



M1

M2

n
O

2.2. ábra. Az M 2.5. feladathoz







Megoldás. A t n b kísérőtriéderhez viszonyított Frenet-féle koordiná



dt
1
ta-rendszerben (2.2. első ábra) alkalmazva a Frenet-féle ds
 R
n összefüggést, meghatározzuk a sebesség-, illetve gyorsulásvektortok komponenseit:

v
dv
dt

a


s̈t





dr
dt


 

d r ds
ds dt






ṡ t, ṡ  v




d
dt
dt
ṡt  s̈t ṡ  s̈t ṡ
dt
dt
ds
2
d
t

ṡ2  s̈t
n, at  v̇, an 
ds
R

K O R R E K T Ú R A





ds
dt
v2
R

2006. március 2.



34

2. Kinematika

ahonnan

v2

an

R

(2.6)

A szerkesztés alapötletét a gyorsulás normális vetületére vonatkozó (2.6)
összefüggés adja, ahol R a görbületi sugár. A sebesség- és gyorsulásvektorok által meghatározott
a következ ő szerkesztéseket végez simulósíkban

zük: Bevezetjük az MM1  v; MM2  a jelöléseket (2.2. második ábra).Az
MM1 érintő egyenesre az M-ben merőlegest állítunk és jelöljük M3 -mal a
gyorsulásvektor M2 végpontjának a vetületét erre az egyenesre. Legyen
továbbá M4 az M3 -nak M-re vonatkozó szimetrikusa. Meghúzzuk az M 1 ből az M4 M1 -re merőleges egyenest, amely az MM3 félegyenest O -ban
metszi. Igazoljuk, hogy az így megszerkesztett O pont a keresett görbületi
középpont. Alkalmazzuk az M4 OM1 derékszögű háromszögben a magasság
tételét: MM12  MM4 MO. Tehát v2  MO an mivel az MM4  MM3  an .
2
Innen következik, hogy az MO  avn ami valóban azt mutatja, hogy MO

egyenlő a görbületi sugárral.








M 2.6. Egy anyagi pont az y  px2 p 0  egyenletű parabolán v állandó
nagyságú sebességgel mozog. Határozzuk meg a pont gyorsulását
amikor az a parabola csúcsában található.
Megoldás. A gyorsulás érintő menti komponense egyenlő nullával, mivel
2
a sebesség nagysága állandó. Tehát az a  a n  vR . Ahhoz, hogy
a gyorsulást

meghatározzuk, ki kell számítsuk a parbola csúcsához, az O 0 0  ponthoz

tartozó R görbületi sugarat. Ezt az
R


 yy 
1

2

3
2



x 0

ismert összefüggésből határozhatjuk meg, ahol y


0 és y
a  an





x 0 

2pv2 .

d2 y



d2 x x 0



2p. Innen R



1
2p .





x 0 



dy
dx x 0 



2px x



0 

Tehát a gyorsulás nagysága

M 2.7. Határozzuk meg a sebességvektor és gyorsulásvektor komponenseit
gömbi koordinátákban.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



35

2. Kinematika

z
z




 P



θ



r




O
x



ϕ




y


y





x
2.3. ábra. M 2.7. Gömbkoordináták
Megoldás. A helyzetvektor derékszögű komponenseinek kifejezése gömbi koordinátákkal az


r

r sin θ cos ϕ y  r sin θ sin ϕ z  r cos θ 






képlettel adható meg (lásd . ábra). Ennek alapján a Lamé-féle együtthatók
Hr











 ∂r 

 ∂r  
 ∂r 
 ∂θ  
 ∂r 
 ∂ϕ  








sin θ cos ϕ 


2



r cos θ cos ϕ 




2

r sin θ sin ϕ 

sin θ sin ϕ 


2





2



r cos θ sin ϕ 




2

r sin θ cos ϕ 

cos θ 


2





2



1


r sin θ 

2



r


r sin θ 

A sebesség megfelelő komponensei:
vr



Hr ṙ  ṙ, vθ

nagysága pedig
v2


K O R R E K T Ú R A

Hθ θ̇  rθ̇, vϕ


ṙ2



r2 θ̇2





Hϕ ϕ̇  r sin θ ϕ̇


r2 sin2 θ ϕ̇2 

2006. március 2.



36

2. Kinematika

A gyorsulás komponensei (mivel a rendszer ortogonális):
ar











1
2Hr
1
2Hθ
1
2Hϕ

d
dt
d
dt
d
dt

∂v2
∂ṙ
∂v2
∂θ̇
∂v2
∂ϕ̇

∂v2
∂r
∂v2
∂θ
∂v2
∂ϕ








r sin2 θ ϕ̇2

 





rθ̇2





1d 2
r θ̇
r sin θ cos θ ϕ̇2
r dt

1 d 2 2
r sin θ ϕ̇ 
r sin θ dt





M 2.8. Egy M anyagi pont az y2 2px  0 egyenletű parabolán mozog oly
módon, hogy az origóra vonatkoztatott sebesség-hodográf megegyezik az adott parabolával. Határozzuk meg:
(a) a mozgásegyenleteket, a sebesség és gyorsulás nagyságát, ha tudjuk, hogy a t  0 időpontban az M pont az M0 2p p pozícióban van;

(b) a sebesség- és gyorsulásvektorok végpontjának mértani helyét!

 

Megoldás. (a) A feltételeket matematikai formulákba öntve az alábbi
Cauchy-feladathoz jutunk:






y2 2px  0

ẏ2 2pẋ  0

x  0   2p

y 0  p 

Az első egyenletet deriválva kapjuk: 2yẏ 2p  0  yẏ  pẋ  Ezt a második egyenletbe helyettesítve ẏ2 2yẏ  0, ahonnan ẏ ẏ 2y   0. Két eset
lehetséges:
I. ha ẏ  0, akkor a kezdeti feltételeket használva az y  p x  2p moz
gásegyenleteket kapjuk. Ebben az esetben az anyagi pont az M 0 pontban
áll, vagyis a megadott koordináta-rendszerhez képest a pont nem mozog,
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


nyugalomban van.
II. ha ẏ  2y, akkor 1y dy  2dt
ln y ln p  2t
y  pe2t
ẏ  2pe2t 
Az y kifejezését az első egyenletbe helyettesítve meghatározzuk az x-et: x 
p 4t
. Ebben az esetben tehát az anyagi pont mozgásegyenletei x t   2p e4t ;
2e

y t   pe2t . A sebességvektor komponensei: ẋ  2pe 4t ; ẏ  2pe2t , és a
sebesség nagysága v  2pe2t 1 e4t . A gyorsulásvektor komponensei: ẍ 
8pe4t , ÿ  4pe2t és a gyorsulás nagysága a  4pe2t 1 e4t .



K O R R E K T Ú R A



2006. március 2.



37

2. Kinematika

(b) A sebességvektor végpontjának helyzetvektora az r
nek koordinátái


x1
y1





x
y

 2p e

 p
p

ẋ 
ẏ 

4t 
2t
2p  e 

 2



v vektor, amely-

5p 4t
2 e 
3pe2t 

A végpont pályaegyenletét megkapjuk, ha az egyenletrendszerb ől kiküszöböljük az időt:
5p
x1
2


y21
3p  2 
tehát a mértani hely az 5y21 18px1  0 egyenletű parabola. Hasonlóan
járunk el a gyorsulásvektor esesetén is. A gyorsulásvektor végpontjának helyzetvektora az r a vektor, az



x2
y2




x
y




ẍ 
ÿ 

 p
p

 2

 8p e

4t 
4p  e2t 

17p 4t
2 e 
5pe2t



koordinátákkal. A gyorsulásvektor végpontjának implicit pályaegyenlete
x2
y22



tehát a keresett mértani hely a 17y22

17p
2
2

5p 

50px2



0 egyenletű parabola.

M 2.9. Határozzuk meg egy nyújthatatlan fonál végéhez rögzített P anyagi
pont pályáját, ha a fonál másik végét a vízszintes síkon egy egyenes
mentén adott irányba mozgatjuk. Az így keletkezett görbe neve traktrix.
Megoldás. A P pont pályájának tetsz őleges pontjában a sebesség által
meghatározott érintő egybeesik a PT fonállal. A mozgás síkjában megadott
egyenest válasszuk Ox tengelynek. A fonál hossza legyen a és a P pont
kezdetben legyen az Oy tengelyen a 0 a  pontban (2.1. ábra). A görbe

értelmezése szerint PT  a (állandó). Legyen N a P pont vetülete az Ox
tengelyre. A PNT háromszögben felírható a traktrixot leíró
y
y

K O R R E K T Ú R A

2



y2


a2

(2.7)

2006. március 2.



38

2. Kinematika

y




P x y


a
a


O

N

T

x

2.4. ábra. M 2.9. feladat: a traktrix
egyenlet, ahol y  dy dx. A kapott differenciálegyenletet integrálva adódik
a traktrix egyenlete:
x  a ln

a




a2
y

y2


a2


y2


ahol a négy lehetséges előjelkombináció a görbe különböző negyedekbe eső
íveit adja.
M 2.10. Egy anyagi pont az R sugarú gömbfelületen mozog úgy, hogy a
sebességvektor és a gömb hosszúsági körei mindig állandó mértékű α
szöget zárnak be. Határozzuk meg az anyagi pont pályáját.
Megoldás. Egy adott pillanatban a sebességvektort vetítjük a ponton átmenő szélességi illetve hosszúsági körök érint őire. Bevezetve a 2.5. ábrán

látható jelöléseket, könnyen belátható, hogy u 1  R dθ
dt ; u2  R cos θ dt  Másfelől viszont a feltétel alapján u1  v cos α; u2  v sin α  A felírt összefüggések alapján az alábbi egyenletrendszert kapjuk:
R dθ
dt  v cos α 
R cos θ dϕ
dt  v sin α 
A két egyenlet megfelelő oldalait elosztva egymással, a

cos θ

K O R R E K T Ú R A



cot αdϕ

2006. március 2.



2. Kinematika

39

2.5. ábra. Az M 2.10. feladathoz
differenciálegyenlethez jutunk. Ez utóbbi egyenletet az



cos θ





1
1
dθ  ln
θ
2
tan 2
1

1
cos2 θ2 1




ln tan

π
4

ln tan

π
4





θ
2



tan θ2
tan θ2



C

C

alapján integrálva

 

M 2.11. Egy vonat v



θ
2



ϕ cot α

C

a pont pályája a
  e 0, akkoregyenletű
görbe.

72 km/h sebességgel közeledik az állomáshoz. Eköz-

Ha feltételezzük, hogy
kezdetben θ 

ln tan π4 θ2  cot α  ϕ, vagy tan




π
4

0 és ϕ
θ
2







cot α ϕ


ben ∆t  5 s ideig tartó hangjelet bocsát ki. Mennyi ideig hallja a
hangot az állomás előtt álló vasutas? A hang sebessége c  320 m/s.
Megoldás.
Amikor a vonat a V pontban van megkezdi a hangjel kibocsátását (2.6.
ábra).
Ezt a jelt az állomás előtt álló vasutas t1  xc0 idő múlva hallja. Amikor
a vonat a P-be érkezik befejezi a hangjel küldését, amit a vasutas a hangjel

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



40

2. Kinematika

2.6. ábra. Az M 2.11. feladathoz



kibocsátása után a t2  ∆t
vasutas ∆t  t2 t1  ∆t



x1
c



hallja a hangjelt. A megadott számértékek alapján ∆t 
5 1


x1
c

időpontban érzékel. Következésképpen a
∆t cs  ∆t 1 vc időintervallumban

x0
c 



72
3 6 320






4 687 s.


M 2.12. Egy fecske valamilyen különleges szembetegség folytán minden tárgyat a helyes iránytól jobbra lát 30 o -kal. Most a fecske fészektől
100 méterre van és 10 m/s-os állandó nagyságú sebességgel repül.
Odatalál-e a fecske a fészkéhez? Ha igen, akkor mennyi id ő alatt és
mennyi utat tesz meg a fészekig?

2.7. ábra. Az M 2.12. feladathoz
Megoldás. Észrevehető, hogy a fecske helyzetvektor irányába es ő sebessége állandó (2.7. ábra) vr  v cos 300  v 2 3 . A sebességvektor polárko

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



41

2. Kinematika

ordinátákban az alábbi alakban írható:
v  ṙer



rθ̇eθ 

Következésképpen
v 3
2

ṙ 

r

v 3
t
2


r0

r



v 3
t
2

r0

Kezdetben r0  100 m és amikor a fecske a fészkéhez ér, akkor r  0. Tehát
a t  v2r03  102003 11 34 s. Mivel a fecske sebessége állandó következik,






hogy a megtett út: s  vt  10  203 115 4 m.

A sebesség vetülete a helyzetvektorra mer őleges irányba is állandó vθ
v sin 300  2v . Következésképpen






rθ̇ 
θ̇ 
θ



1
ln 2r0
3

v
v 3
v
r0
t θ̇ 
2
2
2
v
v
dθ 
dt
v 3t
2r0 v 3t


2r0

v 3t






1
ln 2r0 
3

1
ln 1
3

θ

v 3
t
2r0




A fecske mozgásegyenletei:


θ



r









1
ln 1
3
r0 v 2 3 t 


v 3
2r0 t



A fecske pályájának egyenlete:
θ

1
r
ln
r
3
0

θ 3


r  r0 e






M 2.13. Egy repülő egyenes vonalú, egyenletes mozgását az x B  ut x0 ,
yB  y0 egyenletek írják le. A t  0 időpontban az O 0 0  pontból egy

hőrakétát indítnak, hogy kilőjjék a repülőt. Tudva azt, hogy a rakéta
állandó v sebességgel mindig a célpont felé tart, határozzuk meg a
rakéta mozgásegyenleteit és a pályaegyenletet.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



42

2. Kinematika

y

yB



y0

célpont

u

B





elfogás


vA
yA


A


O

xA x0

x

xB

2.8. ábra. Az M 2.13. feladathoz
Megoldás. A követési feladatoknál általában az r A helyzetvektorú A üldöző ismeri a B célpont rB helyzetét és r˙B sebességét egy kezdeti időponttól
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


az aktuális t időpontig és célja utolérni a célpontot. A legjobb stratégia
az, ha

az üldöző minden pillanatban a célpont irányában repül, azaz r˙A rB rA 
(2.8. ábra).  Az üldöző sebességének nagyságát is ismertnek tekinthetjük,
legyen ez vA t  . Az R  rB rA relatív helyzetvektor segítségével a követési
feladat az




R t
˙
˙
R t   rB t  v A t  
(2.8)
R t
egyenlettel modellezhető.

A repülő és rakéta síkjában bevezetve az R  X Y 

koordinátákat, a (2.8) egyenlet vetülete a tengelyekre






ẋB

vA t 





ẏB

vA t 









xB

xA xB


xA 

X
X2



Y2 

Y
X2

Y2



A fenti egyenletekbe behelyettesítve a megadott
ẋB



K O R R E K T Ú R A

u ẏB






0és vA t 



v

2006. március 2.



2. Kinematika

43

mennyiségeket, az






vX

u

X2

Y2 



vY




X2

(2.9)

Y2

egyenleteket kapjuk. Célszerű a R θ polárkoordináták bevezetése, amelye
kre X  R cos θ és Y  R sin θ. Ezekre a változókra az
Ṙ cos θ

R sin θ θ̇  u

Ṙ sin θ 

v cos θ

R cos θ θ̇ 

(2.10)

v sin θ 



Az (2.10) egyenletrendszert megoldva az Ṙ θ̇ ismeretlenekre


Ṙ  u cos θ

v Rθ̇ 

u sin θ 



Ezek alapján az üldöző pályaegyenlete meghatározható a
dR





θ̇




u cos θ v  R
u sin θ

hányados integrálásával. Az




dR
R

cot θ



ln sin θ 

ln R 

ln sin θ

összefüggésből
v
cot θ u sin
θ dθ 


















v
u



v

u sin θ


ln csc θ

v
θ
ln tan
u
2

cot θ 



C


ahonnan, az A  eC jelöléssel



R
Az A  eC integrálási állandó a t
R0



 x
2
0

y20 cos θ0


K O R R E K T Ú R A



v

tan θ2 u
A
sin θ




(2.11)



0 időpontra felírható
x0

 
x20

y20 

sin θ0


y0

 
x20

y20

2006. március 2.



44

2. Kinematika

kezdeti feltételek alapján számolható ki:
A

x0

  x
y 
2
0

0

y20

v
u

, ha y0

v u
u



0


Ha y0  0, akkor θ  0 vagy θ  π, és az üldöző pályája a célponttal együtt
az Ox tengelyen van.
Az elfogás akkor következik be, amikor (2.11)-ban R  0. Ha v u, akkor
ez soha sem következhet be, amint azt el is várhattuk, mivel ekkor az üldöz ő
sebessége kisebb, mint a célpont sebessége.


2.2. A merev test kinematikája

 
 

Az S merev anyagi rendszer olyan diszkrét vagy folytonos (merev test)
pontrendszer, amelyben tetszőleges két pont távolsága állandó, azaz PQ 
konst  , bármely P Q S esetén. Egy merev test (általában merev pont
rendszer) helyzete valamely i1 j1 k1 egységvektor-rendszerrel megadott


O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva hat független paraméter segítségével adható meg, amelyek lehetnek például:







a rendszer tetszőlegesen választott O pontjának helyzetvektorának három koordinátája

x01 y01 z01   r01 ;








és a ϕ θ ψ  Euler-szögek (2.9. ábra), amelyek megadják a testhez
 
kapcsolt Oxyz derékszögű koordináta-rendszer tengelyeinek helyzetét
az O1 x1 y1 z1 rendszer tengelyeihez viszonyítva.


Ha x y z  , illetve x1 y1 z1  a merev test valamely pontjának koordi 


nátái a testhez kapcsolt Oxyz, illettve a „rögzített” O 1 x1 y1 z1 rendszerben,
akkor:










x1
y1
z1










cos ϕ
sin ϕ
0
cos ψ
sin ψ
0

K O R R E K T Ú R A

sin ϕ 0
cos ϕ 0
0
1
sin ψ 0
cos ψ 0
0
1





1
0
0 cos θ
0 sin θ
















x
y
z



0
sin θ
cos θ






x10
y10
z10


2006. március 2.



2. Kinematika

45

z1



z 




 z1 



 
k1 

r 1






O1

θ






r

y3



ψ

  k


j

O  

θ

  




ϕ

r10

ϕ


 x1



ψ

x



y1

j1

i

y2

 y
1









M
 

 y

x2



i1

x1

2.9. ábra. Az Euler-féle szögek
A merev testhez kapcsolt és azzal együtt mozgó Oxyz rendszer tengelyeit
kijelölő i j k változó egységvektorok idő szerinti deriváltjai









di
dt




ω


i


dj
dt




ω


j

dk
dt







ω


k


alakban fejezhetők ki (Poisson-képletek), ahol az ω szögsebességvektor a
test forgását
jellemzi. A szögsebességvektor Oxyz-ben, illetve O 1 x1 y1 z1 -ben

vett p q r  , illetve p1 q1 r1  komponensei kefejezhetők az Euler-szögek
 


segítségével:





p  ϕ̇ sin θ sin ψ θ̇ cos ψ

q  ϕ̇ sin θ cos ψ θ̇sin ψ

r  ϕ̇ cos θ ψ̇











p1  ψ̇ sin θ sin ϕ θ̇ cos ϕ

q1 
ψ̇ sin θ cos ϕ θ̇sin ϕ

r1  ψ̇ cos θ ϕ̇ 



A merev test (pontrendszer) mozgásegyenletei:






x10  x 10 t  y10   y10 t  z10   z10 t 


ϕ  ϕ t
θ  θ t
ψ  ψ t


K O R R E K T Ú R A







t



I



t  t
0

v 

2006. március 2.



46

2. Kinematika



A merev test P
v  v0





ω


r

S pontjának sebessége, illetve gyorsulása:




a  a0





˙
ω



r



ω

 ω r











a0

˙
ω


ω2 d

r



ahol d az O-n áthaladó, ω irányú tengelytől mutat a P pont felé.
A merev test
 azon Q pontjainak mértani helye, amely pontok sebessége
párhuzamos ω -val egy egyenes, a pillanatnyi csavartengely. Egyenletei:
rQ





r Q0



λ ω , ahol rQ0

illetve, az Oxyz rendszerben:
v0x



qz
p

ry

v0y




1 
ω
ω2





rx
q

pz



v0

v0z




 λ 


py
p



qx

(2.12)


ahol v0x v0y v0z az O pont sebességének komponensei a testtel mozgó rend

szerben.
A pillanatnyi forgástengely által a térben leírt vonalfelület neve herpolhodia kúp, a testhez kapcsolt rendszerben leírt vonalfelület neve polhodia
kúp. A pillanatnyi csavarmozgás jellemezhet ő az ω szögsebességvektorból
és a pillanatnyi csavartengely mentén elhelyezked ő pontok vtr transzlációs
sebességéből álló vektorkettőssel.
Ha a merev test O pontjának v0 transzlációs sebessége, illetve a forgást jellemző ω szögsebességvektor bizonyos feltételeknek engedelmeskedik, akkor a merev test sajátos mozgásairól beszélünk. A fontosabb sajátos mozgások:





Transzlációs mozgás: ω t 




0, v0 t  tetszőleges;


Rögzített tengely körüli forgás: v0 t 
egységvektor;





0, ω t 






Gömbi mozgás (rögzített pont körüli mozgás ˙): v0 t 
szőleges;





Síkmozgás: ω t 








ω t  u, v0 t 




ω t




ω t  u, u adott






0, ω t  tet-

0, u állandó egységvektor.

Síkmozgás esetén minden pillanatban létezik olyan I pont, amelyre v I  0,
ez a pillanatnyi forgáscentrum (pólus), amelynek mértani helye az O 1 x1 y1

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



2. Kinematika

47

rendszerben az
dy10
dϕ 
dx10
y1  y10

egyenletekkel leírható álló pólusgörbe, míg I mértani helye az Oxy testtel
mozgó rendszerben az
dx10
dy10
x
sin ϕ
cos ϕ



dx10
dy10
y
cos ϕ
sin ϕ


egyenletekkel meghatározott mozgó pólusgörbe. Az egyenletekben használt
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


ϕ paraméter az O1 x1 , illetve Ox tengelyek szögének mértéke, x 10 y10 pedig

az O pont koordinátái az O1 x1 y1 rendszerben (2.10. ábra).
x1



x10





y
y 1


I

y1



 
 
x

 

x
 
 

O
 

ϕ
 

y



O1

x1

x1

2.10. ábra. A síkmozgás koordináta-rendszerei
Megoldott gyakorlatok és feladatok
M 2.14. Ismerve a csavarmozgás vtr ω vektorkettősét, határozzuk meg
azon pontok mértani helyét, amelyek sebességének hossza a vtr transzlációs sebesség n-szerese.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



48

2. Kinematika

Megoldás. A merev test elemi mozgását pillanatnyi csavarmozgásként
fogva fel, tetszőleges pontjának v sebessége felbontható a pillanatnyi csavartengely irányába eső vtr transzlációs és az erre merőleges vrot  ω  R
forgási sebességkomponensekre, ahol R a forgástengelytől a pontig mutató
vektor (2.11. ábra):
v  vtr ω  R 



vrot és ω

Ezek szerint a sebesség nagysága, figyelembe véve a vtr

R


v






vtr






vtr



C





d




 


vrot



2.11. ábra. M 2.14. feladat: pillanatnyi csavarmozgás
összefüggéseket
v



2
vtr



ω2 R2 





2
vtr

A feladat feltétele szerint v  n vtr , azaz
R

vtr
ω

ω2 R2

n vtr , ahonnan



n2

1

állandó. Így a keresett mértani hely az R  vωtr n2
amelynek forgástengelye az ω irányú csavartengely.






1 sugarú körhenger,


M 2.15. Egy merev test M1 1 0 0  , M2  0 1 0  M3 0 0 1  pontjainak
se
 
 

 
bessége egy adott pillanatban v1  1 2 1  , v2  2 0 1  , v3  1 1 2  ,


K O R R E K T Ú R A











2006. március 2.



2. Kinematika

49

a komponensek a testhez kapcsolt Oxyz koordináta-rendszerben adottak. Írjuk fel a pillanatnyi csavartengely egyenletét, valamint határozzuk meg a transzlációs sebesség és szögsebesség nagyságát!
Megoldás. A pillanatnyi csavartengely egyenletei az Oxyz rendszerben a
(2.12) képlet szerint



v0x

qz
p

ry

v0y




rx
q

pz



v0z


py
p

qx


amelyhez szükségesek az O pont sebességének v ox , voy , voz , valamint a szögsebesség p q r komponensei. Ezek a sebesség-komponenseket adó


vx







v0x

qz



ry vy




v0y

rx



pz vz


v0z



py

qx

összefüggésekből határozhatók meg, alkalmazva azokat rendre a megadott
három pontra. A megfelelő rendszerek:







2  v0x

2  v0y r

2  v0z q


3  v0x r

1  v0y

1  v0z p









ahonnan v0  v0x v0y v0z   2 1 0  , ω 




alapján a pillanatnyi csavartengely egyenletei
2

 2z 

y

1


1

x
2

z





0


4  v0x q

2  v0y p

0  v0z

p q r







y







12




1  . Ezek

2x


1

vagy az Oxy síkkal való metszéspontnak megfelel ő kanonikus alakban



x

1
1

y




2
2

z
.
1




Az ω  1 2 1  szögsebesség nagysága ω
 
transzlációs sebesség
vtr







prω v0 



ω v0
ω






6. A csavartengely menti
0
6


0.

Az utólsó eredmény azt mutatja, hogy a merev test megfelel ő elemi mozgása tiszta forgás, mivel a transzláció sebessége nulla.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



50

2. Kinematika

M 2.16. Igazoljuk, hogy a pályája mentén v sebességgel mozgó ponthoz
rendelt t n b kísérőtriéder mozgása csavarmozgás, amelynek pa 
raméterei

vR
t
b
ω  v
vtr 
2
2

T
R

R T













és a csavartengely áthalad a



1


PH

R
n
R2 T 2

helyzetvektorú H ponton, ahol R illetve T a görbület, illetve a torzió
reciproka.

 H









 v tr


 n







P





 ω









b

t



 

vtr




v


ω

2.12. ábra. M 2.16. feladat: a kísér őtriéder csavarmozgása
Megoldás. A kísérő triéder egységvektoraira vonatkozó



dt
n
dn
t
b
db
n



ds R  ds
R T  ds
T
Frenet-féle összefüggések a ds  v dt változócserével, valamint a
dt
dt


ω  t,

K O R R E K T Ú R A

dn
dt


ω  n,

db
dt


ω  b,

2006. március 2.



2. Kinematika

51

Poisson-féle formulák segítségével a
dt
dt
dn
dt
db
dt

v
n  ωb n ωn b
R

t
b
v

ωb t
R T








vn
T


ωn t






ωt b


ωt n

alakra hozhatók, ahonnan
ωt
azaz
ω  ωt t





v
, ωn
t



ωn n



0, ωb

v
R


1
t
T

ωb b  v



1
b
R

A csavartengely menti transzlációs sebesség a v
tülete az ω irányú forgástengelyre:
vtr



v ω ω  vt




1
t
T



1
b
R



RT
R2

T2





vt sebességvektor ve-



vR


R2

T2



A csavartengely egy H pontjára


PH



1
ω v
ω2

v
ω2

1
t
T



1
b
R


 
vt



v2 n
ω2 R


1

nR

R2 T 2

M 2.17. Egy falhoz támasztott l hosszúságú létra elcsúszik a padló és fal
mentén a falra és padlóra merőleges síkban mozogva. Ha tudjuk,
hogy valamely helyzetben a létra talppontjának sebessége v, határozzuk meg:
(a) a pillanatnyi forgáscentrumot;
(b) a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket!
Megoldás. Vizsgáljuk a létra mozgását a függ őleges falhoz és vízszintes
padlóhoz kapcsolt Oxy koordináta-rendszerben (2.13. ábra). A testtel együtt
mozgó rendszer kezdőpontja legyen A, Ax tengelye pedig erre mer őleges. Az
Ax tengelynek az O1 x1 tengellyel bezárt szöge legyen ϕ.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



52

2. Kinematika

 y1
y


I







B








vB


x



l








ϕ




A

O1







vA

x1

2.13. ábra. M 2.17. feladat: síkmozgás
(a) Mivel a létra végpontjai egyenes vonalú mozgást végeznek a padlón
és a falon, így sebességvektoruk iránya is állandó és az I pólus az A és B
végpontokban a tengelyekre emelt mer őlegesek végpontja lesz.
(b) Az A pont koordinátái a rögzített rendszerben kifejezhet ők az


x1A

l sin ϕ, y1A


0

összefüggésekkel, ahonnan
dx1A



l cos ϕ,

dy1A



0.

Az álló pólusgörbe egyenletei:


x1
y1




x1A
y1A



dy1A

dx1A 
dϕ 

x1  l sin ϕ

y1  l cos ϕ



x21



x22


l2





vagyis az álló pólusgörbe az O középpontú, l sugarú kör.
A mozgó pólusgörbe egyenletei:


x
y

dx1A

dx1A


sin ϕ
cos ϕ



dy1A
dϕ cos ϕ 
dy1A
dϕ sin ϕ 

K O R R E K T Ú R A

x
y



l

2 sin

l 
1
cos 2ϕ 
2


2006. március 2.



2. Kinematika

ahonnan
x2



2

l
2

y

2

l
2


53

ami azt mutatja, hogy a mozgó pólusgörbe a létrára mint átmér őre szerkeszthető kör.

2.3. Az összetett mozgás kinematikája
Az anyagi pont mozgását az O1 x1 y1 z1 és Oxyz, egymáshoz viszonyítva
ismert módon mozgó rendszerekben vizsgáljuk (2.14. ábra). Az egyik rendszerhez – legyen ez O1 x1 y1 z1 – viszonyított mozgást hagyományosan abszolút mozgásnak, míg az Oxyz-hez viszonyított mozgást relatív mozgásnak
nevezzük. A megfelelő r1 , va , aa illetve r, vr ar mennyiségeket abszolút,
illetve relatív helyzetvektornak, sebességnek és gyorsulásnak nevezzük.
z 


 z1 



 
k1 
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


i1





r 1



O1

j1





M
 










r



 y


  k





ro



ω


 

O

j
i



x
y1



x1
2.14. ábra. Az összetett mozgás koordináta-rendszerei
Az abszolút és relatív sebességek és gyorsulások kapcsolata a
va

K O R R E K T Ú R A



vv



vr ,

(2.13)

2006. március 2.



54

2. Kinematika

ahol


vv

v0



ω  r – a vezetési sebesség;

illetve
aa
ahol
av
ac









˙  r
a0 ω
2ω  v r





ω



av

 a

ac

r

ω  r

(2.14)

(2.15)

– a vezetési gyorsulás;
– a Coriolis gyorsulás.

(2.16)

A fenti összefüggésekben v0 , illetve a0 az O pont abszolút sebessége és
gyorsulása, ω pedig az Oxyz rendszernek, mint merev tesnek az O 1 x1 y1 z1 hez viszonyított szögsebessége.
Megoldott gyakorlatok és feladatok



M 2.18. Az O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva az Oxyz rendszer az ω̃  2i
j k szögsebességgel mozog. Számítsuk ki a mozgó rendszerben megadott r  et i sint j lnt k vektor
(a) idő szerinti deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben;
(b) idő szerinti másodrendű deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben.



Megoldás. Az Oxyz rendszerből szemlélve az i j k egységvektorok iránya
 
is állandó, így az r relatív deriváltja, azaz az Oxyz-ben számolt deriváltja:
∂r
∂t


dr
dt




i j k  állandó





et i



cost j

1
k
t



Az O1 x1 y1 z1 rendszerhez viszonyítva az i j k egységvektorok iránya válto 
zik. Ezek változását a Poisson-féle összefüggések írják le, amelyek alapján
az O1 x1 y1 z1 -hez viszonyított abszolút derivált és az Oxyz-beli relatív derivált
kapcsolata
d r ∂r

ω  r
dt
∂t



K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



55

2. Kinematika

A megadott konkrét esetben:

et i





et



dr
dt



1
k
t

cost j

  e 

lnt

t

sint i



∂r
∂t


ω r



i
2
et



2 lnt

j
1
sint

 

d2r
d 2t






i j k  állandó


et i


d
dt






sint j

et i





d
dt

a mi esetünkben:
d2r
d 2t



et






et

1
t



et




∂t


et





2
t



dr
dt

sint

j
1
2 lnt cost et







dr
dt

ω

j

2
2 cost 2 sint 2 lnt i
t
1
4 cost 5 lnt sint k 
t2

 

2 sint k 

1
k
t2

dr
dt

i
2
lnt sint et



4et

cost i



1
k
t

cost j

A másodrendű abszolút derivált:
d2r
d 2t

1
t

et

cost j

A másodrendű relatív derivált:
∂2 r
∂2 t

k
1
lnt



 1

et

1
t



2 cost k

t2

k
1

4
t

2 sint
6 sint



lnt

j

M 2.19. Igazoljuk, hogy az Oz tengelye körül ω állandó szögsebességgel
forgó rendszerben mozgó anyagi pont abszolút sebességére érvényes
a következő összefüggés:
v2a


ẋ2

 ẏ  ż 

K O R R E K T Ú R A

2

2


 y

ω2 x2

2



2ω ẋy

ẏx 


2006. március 2.



56

2. Kinematika

ahol r





x y z  a forgó rendszerben felvett helyzetvektor.
 

Megoldás. Az összetett
mozgás esetén érvényes (2.13, 2.14) összefüggé
seket használjuk az ω  0 0 ω  szögsebességvektorral és az O pont v o  0
 
sebességével.
Ha a pont relatív helyzetvektora és sebessége r  x y x  ,

 
vr  ẋ ẏ ż  , akkor




va



vo

Innen azonnali a
v2a


ẋ2





ω r

 ẏ  ż 
2




vr

ωy ẏ






 y

ω2 x2

2



ωx ż 




2

2ω ẋy



ẏx 

összefüggés.
M 2.20. Az R sugarú korong állandó ω szögsebességgel forog az O középpontja körül. Az M anyagi pont a korong egyik átmér
ője mentén mo
zog, az O középpontból kiindulva, az s  R sin ωt  törvény szerint,
ahol s a kiindulási ponttól mért távolság. Határozzuk meg az M pont
abszolút pályáját, sebességét és gyorsulását.
Megoldás. A koronggal együtt forgó rendszer Ox tengelye essen egybe a

 z1  z

0










 y







ϕ

M



 

y1

x



x1
2.15. ábra. Az M 2.20. feladathoz
mozgó M pont irányával, és ezen legyen x

K O R R E K T Ú R A



s. Az Oz tengely egybeesik a

2006. március 2.



2. Kinematika

57

rögzített rendszer Oz1 tengelyével és Oxyz jobbrendszer. Az Ox 1 y1 és Oxy
koordináta síkok egybeesnek a korong síkjával (2.15. ábra). Legyen ϕ 
m Ox Ox1 a korong elfordulási szöge, ϕ  ωt.

Az x1  x cos ϕ  s cos ϕ és y1  x sin ϕ  s sin ϕ összefüggések alapján





x1
y1









R sin ωt  cos ωt 

R sin2 ωt 


ahonnan
x21



2

R
2

y21

 




2

R
2


R
2 sin 2ϕ 
R 
2 1 cos 2ϕ  



x1
y1




vagyis az abszolút pálya a C 0 R2 középpontú R2 sugarú kör az Ox1 y1 sík
ban.
Az abszolút sebesség
a va  vv  vr  vo ω  r vr összefüggés
szerint,


a vo  0, r  R sin ωt  0 0  , ω  0 0 ω  és vr  ẋi  ωR cos ωt  i alapján


va









ωR cos ωt  i

v
a  a 

va


A Coriolis tétel szerint aa











ahonnan

av
ar
ac





v





a







sin ωt  j

aa



ac , ahol

r





2ω2 R sin ωt  i

és
aa

K O R R E K T Ú R A

a


a



ωR 

˙  r ω   ω  r 
ao ω

ω2 R sin ωt  i


2ω  vr  2ω2 R cos ωt  j 

Így







ω2 R sin ωt  i



cos ωt  j





2ω2 R 

2006. március 2.



58

2. Kinematika

2.4. Kitűzött gyakorlatok és feladatok
2.4.1.

Az anyagi pont kinematikája





K 2.1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x  12 t 2 2t 
egyenlet írja le (x a megtett út hossza méterben, t pedig az indulástól
eltelt idő másodpercben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni harmadik másodpercben.
K 2.2. Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez. Tudva azt, hogy a
gyorsulás arányos a sebességgel, határozzuk meg a pont sebességét és
mozgásegyenletét, ha kezdetben t  0, x 0  0 és v0 0.
K 2.3. Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez. Tudva azt, hogy
a gyorsulás arányos a sebesség négyzetével, határozzuk meg a pont
sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t  0, x 0  0 és v0 0.
K 2.4. Egy anyagi pont egyenes vonalú mozgást végez. Tudva azt, hogy a
gyorsulás fordítottan arányos a sebességgel, határozzuk meg a pont
sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t  0, x 0  0 és v0 0.
K 2.5. Egy repülőgép gyorsulása 2 5 m/s2 . Milyen hosszú kifutópálya szü
kséges ahhoz, hogy egyenletesen felgyorsuljon a felszáláshoz szükséges 200 km/h sebességre?
K 2.6. Egy ember az AB lejtőn C kocsit húz fel kötél segítségével. A kötél
át van vetve a lejtő tetejére felerősített kis B csigán, egyik vége a kocsihoz van erősítve, másik végét az ember fogja. Jelöljük az embernek a lejtő B alatti D talppontjától való távolságát x-szel, a BD szintkülönbséget pedig h-val. Ha az ember a vízszintes síkban egyenletes
u sebességgel halad, mekkora a kocsi v sebessége mint x függvénye?
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


K 2.7. A körmozgást egyenesvonalú mozgássá alakító csuklós szerkezet a
rögzített O körül forgó OA és a hozzá csatlakozó AB hajtókarokból
áll. A második rúd B végpontja egy, az O-n áthaladó egyenesen
mozog. A két kar hossza: OA  R l  AB. Határozzuk meg a
B pont sebességét az ω szögsebességgel egyenletesen forgó OA rúd
ϕ  m AOB elfordulási szöge függvényeként!
















K 2.8. Egy anyagi pont az xOy síkban mozog, az 1 2  koordinátájú pontból

indulva. Tudva azt, hogy a sebességvetor összetev ői vx  4t 3 4t és
vy  4t, határozzuk meg a pálya Descartes-féle egyenletét.

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



2. Kinematika

59

K 2.9. Egy anyagi pont az Oxy koordináta-rendszer síkjában mozog az O
kezdőpontból kiindulva. Tudva azt, hogy az Ox tengellyel θ  λt összefüggés szerint változó szöget bezáró sebesség nagysága v állandó,
határozzuk meg:
(a) a pont mozgástörvényeit;
(b) a pont pályáját;
(c) azokat az időpillanatokat, amikor a pont áthalad az Oy tengelyen;
(d) a pont gyorsulásának nagyságát!
K 2.10. Mutassuk meg, hogy az
r





a cos ωt  i







a sin ωt  j

a ωállandó 


helyzetvektorú anyagi pont pályája egy kör. Határozzuk meg a pont
sebességét és gyorsulását és igazoljuk, hogy v a  0.


K 2.11. Mozgó pont gyorsulásvektorának nagysága állandó, egyenl ő a-val és
ez a gyorsulásvektor állandó ω szögsebességgel forog. Milyen görbe
lesz a sebességhodográf és hogyan helyezkedik el a térben?
K 2.12. Igazoljuk, hogy a repülőtér felett h magasságban, a sugarú körpályán,
v állandó nagyságú sebességgel mozgó helikopter r helyzetvektora a
t idő függvényében kifejezhető a következő formában:



vt
i
a

r  a cos



sin

vt
j
a



hk 

Határozzuk meg a helikopter sebességvektorát illetve gyorsulásvektorát.
K 2.13. Egy anyagi pont helyzetvektora





r  a cos ωt  i





sin ωt  j



bt k


ahol a, b és ω állandók. Rajzoljuk meg a pont pályáját és határozzuk
meg a pont sebesség- és gyorsulásvektorát.
K 2.14. Egy anyagi pont helyzetvektora







r  a cos ωt  sin Ωt  i

K O R R E K T Ú R A







sin ωt  sin Ωt  j





cos Ωt  k


2006. március 2.



60

2. Kinematika

ahol a, ω, Ω valós állandók. Igazoljuk, hogy a pont egy a sugarú
gömb felszínén mozog, és számítsuk ki sebességének nagyságát. Mutassuk meg, hogy a sebesség mértéke a legkisebb a gömb legalsó illetve legfelső pontjaiban (a pólusokban) és legnagyobb az egyenlít őn
(a pólusokat összekötő tengelyre merőleges főkörön).
K 2.15. Egy mozgó anyagi pont helyzetvektora
r





a cos ωt  i





b sin ωt  j




K 2.16.

ahol a, b és ω valós állandók. Mutassuk meg, hogy:
2
2
(a) a pont pályájának egyenlete ax 2 by 2  1;
(b) a gyorsulásvektor mindig az origó felé mutat;
(c) tt τ r  d r  ωabτk. Mit jelent ez az egyenlőség kinematikai
szempontból?
Ismerve egy anyagi pont sebességét és gyorsulását, igazoljuk, hogy a
3
pálya görbületi sugara kiszámítható az R  ṽv ã képlettel.
Egy síkmozgást
végző pont sebességének Ox tengelyre es ő vetülete

állandó vx  c  . Igazoljuk, hogy ebben az esetben a pont gyorsulásának
v3
nagysága kifejezhető az a  cR
alakban, ahol v a sebesség hossza, R
pedig a görbületi sugár!
Az R sugarú körön mozgó pont kezdeti sebessége zérus, gyorsulásának
érintő menti komponense at  a állandó. Mennyi időnek kell eltelni a
mozgás kezdetétől addig, amíg az érintő menti és normális gyorsulás
komponensek nagysága egyenlő lesz?
Határozzuk meg a sebesség- és gyorsulásvektorok vetületeit a következő görbevonalú koordináta-rendszerekben:
(a) hengerkoordinátákban;
(b) polárkoordinátákban.
Egy részecske pályája egy archimedesi spirális. A részecske mozgását
az r  10t, θ  2πt egyenletek értelmezik, ahol r milliméterben, t másodpercben és θ radiánban van kifejezve. Határozzuk meg a részecske
sebességét és gyorsulását amikor (a) t  0 s, (b) t  0 3 s.

Egy anyagi pont polárkoordinátáit az id ő függvényében az r  et és
θ  t összefüggések adják. Határozzuk meg a sebesség- és gyorsulásvektor radiális és tranzverzális komponenseit.


K 2.17.

K 2.18.

K 2.19.

K 2.20.

K 2.21.

K O R R E K T Ú R A



2006. március 2.



2. Kinematika


61



K 2.22. Az M anyagi pont az x  R θ sin θ  y  R 1 cos θ  egyenletű

cikloison mozog oly módon, hogy a gyorsulás normális komponensének végpontja mindvégig az Ox tengelyen van. A kezdeti id őpontban
az M pont az origóban van.
(a) Fejezzük ki θ-t az idő függvényében és szerkesszük meg geometriai úton az érintőleges és normális gyorsulásvektorokat!
(b) Legyen Oz az Oxy síkra merőleges tengely. Az M ponton átmenő,
Oz-vel párhuzamos egyenesen felvesszük a z pozitív szintű P pontot. Határozzuk meg z-t az idő függvényében oly módon, hogy a P
pont 2 2R állandó sebességű egyenletes mozgást végezzen. A kezdeti időpontban a P pont az Oxy síkban van. A P pont gyorsulásvektora az Oxy síkot egy H pontban metszi. Határozzuk meg a H pont
mértani helyét!
K 2.23. Egy M anyagi pont úgy mozog
a síkban, hogy sebességének hossza

a helyzetvektor hosszának n 1  -edik hatványával arányos, (az arányossági tényező k) és felületi sebessége állandó. Fejezzük ki a pont
gyorsulásának nagyságát a helyzetvektor hosszának függvényében és
határozzuk meg a pályáját!
K 2.24. Az M anyagi pont egy olyan körkúpon mozog, amelynek tengelye
az Oz egyenes, az origóban elhelyezked ő csúcsánál lévő szög mértéke 2α. Határozzuk meg a pont mozgásegyenleteit és a sebességhodográfot tudva azt, hogy a pont v sebessége valamint az Oxy síkra
eső vetületének felületi sebessége C állandó!
K 2.25. Az R sugarú körön mozgó pont gyorsulásának nagysága a állandó.
Határozzuk meg a sebesség-hodográfot és vizsgáljuk meg, hogy a
pont bejárja-e az egész kört.

K 2.26. Egy anyagi pont állandó v sebességgel mozog az r  a 1 cos θ 
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


v
egyenletű kardioidon. Igazoljuk, hogy a pont szögsebessége 2a
sec θ2 ,
és határozzuk meg a gyorsulásvektor radiális és normálisra vetületét.
K 2.27. Egy hajó állandó 12 km/h sebességgel észak felé halad és pontosan
12:00 órakor halad el egy világítótorony mellett. Egy másik hajó
állandó 16 km/h sebességgel kelet felé halad és pontosan 12:50-kor
halad el ugyanazon világítótorony mellett. Melyik id őpontban a legkisebb a távolság a két hajó között? Határozzuk meg ennek a távolságnak a nagyságát.



K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



62

2. Kinematika

K 2.28. Egy hajó az A kikötőből indul és állandó 32 km/h sebességgel nyugat felé halad. Egy órára rá az A kiköt őtől 160 km távolságra, délre
fekvő B repülőtérről egy repülő indul egyenes vonalú pélyán úgy,
hogy utolérje a hajót. Tudva azt, hogy a repül ő sebessége 360 km/h,
határozzuk meg a repülési irányt és hajó helyzetét amikor repül ő beéri
a hajót.
K 2.29. Igazoljuk, hogy egy pont síkmozgásánál a pályasebesség kifejezhet ő
a v  R dψ
dt alakban, ahol R a pálya görbületi sugara, ψ pedig az a
szög, amelyet a sebességvektor egy olyan mozdulatlan egyenessel zár
be, amely ugyanabban a síkban fekszik, amelyben a pont mozog!
K 2.30. Egy anyagi pont az R sugarú körön mozog oly módon, hogy sebessége
és gyorsulása állandó α szöget zár be. Határozzuk meg a sebesség
nagyságát az idő függvényében, v t  0   v0 !
2.4.2.

A merev test kinematikája

K 2.31. Igazoljuk, hogy egy merev test valamely egyenese mentén elhelyezkedő pontjai sebességének vetületei az illet ő egyenesre egyenlők.
K 2.32. A csavartengelytől R távolságra levő pont v nagyságú sebessége a tengellyel α szöget zár be. Határozzuk meg a transzlációs sebesség és a
szögsebesség nagyságát.



K 2.33. Egy merev test M1 0 0 0  , M2 1 1 0  M3 1 1 1  pontjainak
sebessége

 
 

 
egy adott pillanatban v1  2 1 3  , v2  0 3 1  , v3 
1 2 1
 
 
 
a komponensek a testhez kapcsolt Oxyz koordináta-rendszerben adottak. Írjuk fel a pillanatnyi csavartengely egyenletét, valamint határozzuk meg a transzlációs sebesség és szögsebesség nagyságát!
K 2.34. Ismerve egy adott pillanatban egy merev test három pontjának sebességét, határozzuk meg a pillanatnyi forgástengely irányát és a forgástengely menti transzlációs sebességet.
K 2.35. Egy merev test az Oy és Oz tengelyek körüli ω 1 és ω2 szögsebességű
forgó mozgást, valamint Oy menti v sebességű transzlációs mozgást
végez. Határozzuk meg a pillanatnyi csavarmozgás tengelyét, a csavartengely menti transzlációs sebességet és a szögsebességét!
K 2.36. Egy merev test másodpercenként 50 fordulatot tesz meg az x  y  z
egyenletű egyenes körül. Határozzuk meg a test P 1 1 0  pontjának
 
sebességét és gyorsulását!

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



2. Kinematika

63

K 2.37. Egy R sugarú vízszintes tengelyű kerékre csavart fonal szabad végén
egy nehezék csüng. Egy adott pillanatban szabadon engedve a nehezék egyenletesen gyorsulva kezd ereszkedni, forgásba hozva a kereket. Határozzuk meg a kerék kerületén lév ő valamely M pont gyorsulását a nehezék által t idő alatt megtett h szintkülönbség függvényében, ha a nehezék gyorsulása c 0.
K 2.38. Az r sugarú vízszintes tengelyre csavart fonálon csüng ő nehezék kezdeti sebesség nélkül szabadon engedve állandó gyorsulással mozog
lefelé a függőleges mentén. Határozzuk meg a tengely szöggyorsulását, ha a nehezék az indulástól mért t id ő alatt h szintkülönbséget
tesz meg.
K 2.39. Határozzuk meg a rögzített O pont körül mozgó merev test pillanatnyi
forgástengelyét és szögsebességének nagyságát egy t id őpontban,
ha

0
0
2
tudjuk, hogy a testtel
mozgó
Oxyz
rendszerben
megadott
M
1


 
pont sebessége v1 1 2 0  , és az M2 0 1 2  pont sebességének irány 
 
2 2
1
koszinuszai ugyanabban a koordináta-rendszerben
3 3
3 .
K 2.40. Egy egyenes mentén csúszás nélkül guruló, R sugarú korong középpontjának sebessége u. Határozzuk meg: a korong pillanatnyi forgáscentrumát, az álló és mozgó pólusgörbéket; valamint a szögsebességet
és a szöggyorsulást.
K 2.41. Egy rúd az Ox1 y1 síkban mozog oly módon, hogy érinti az O középpontú r sugarú kört és A végpontja az Ox 1 tengelyen csúszik. Ha
tudjuk, hogy az A pont sebessége v, határozzuk meg a rúd pillanatnyi
szögsebességét, valamint a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket!

K 2.42. Az Oxy koordináta-renszerhez viszonyított
mozgó Q  sík és az O 1 x1 y1

rendszerhez viszonyított rögzített
P  sík Ox illetve O 1 x1 tengelyeinek

hajlásszöge
ϕ. Legyen
A a 0  és B a 0  a mozgó sík két pontja,




a 0. Q  -nak P  -hez viszonyított mozgását a következ ő feltételek
határozzák meg: a) az A pont a nagyságú állandó sebességgel egyenletesen mozog az O1 y1 tengelyen; b) az A és B pontok sebességének
hossza egyenlő; c) a t  0 kezdeti időpontban ϕ  0. Határozzuk meg
a mozgáshoz tartozó álló és mozgó pólusgörbéket!
K 2.43. A 2R hosszúságú AB rúd A végpontja a C középpontú, R sugarú körön
egyenletesen mozog ω szögsebességgel. A rúd mozgása során mind-









K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



64

2. Kinematika

végig áthalad a kör rögzített O pontján. Határozzuk meg a rúd B végpontjának sebességét, a rúdnak a kör O pontjához tartozó átmér őjével
bezárt ϕ szögének függvényében, majd határozzuk meg az álló és mozgó pólusgörbéket.
K 2.44. Adottak a C1 és C2 középpontú, azonos a sugarú metsző körök. A
C1C2 hosszúságú AB rúd végpontjaival a körökre támaszkodva mozog
oly módon, hogy mozgása nem egyszerű transzláció. Határozzuk meg
az álló és mozgó pólusgörbéket.
K 2.45. A 2α nyílásszögű, h magasságú egyenes körkúp csúszás nélkül gurul
egy vízszintes síkon, rögzített csúcsa körül Ω szögsebességgel járva
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


be a síkot. Határozzuk meg a kúp tengelye körüli forgásának ω 0 szögsebességét és ω abszolút szögsebességét.
K 2.46. Egy h magasságú, 2α nyílásszög, O csúcsú egyenes körkúp csúszás
nélkül gurul egy olyan síkon, amely a rá mer őleges Oz1 tengely körül
ω1 állandó szögsebességgel forog. Határozzuk meg a kúp alapkörének a síkkal való érintkezési pontjával átmér ősen ellentett pontjának
centripetális és érintőleges gyorsulását!
2.4.3.

Az összetett mozgás kinematikája



K 2.47. Az O1 x1 y1 z1 inerciarendszerhez viszonyítva az Oxyz rendszer az ω 
i j 2k szögsebességgel mozog. Számítsuk ki a mozgó rendszerben
megadott r  sint i cost j e t k vektor
(a) idő szerinti deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben;
(b) idő szerinti másodrendű deriváltját a mozgó és rögzített rendszerekben.


K 2.48. Egy Oz cső O pontja körül állandó ω szögsebességgel forog vízszintes síkban. A csőben az A golyó gurul állandó v0 sebsséggel. Milyen
pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyel őhöz képest, és mekkora a golyó sebessége mint az idő függvénye?
K 2.49. Az OA félegyenes egy vízszíntes síkban állandó ω szögsebességgel
forog O kezdőpontja körül. Egy adott kezdeti id őpntban egy M pont
elindul az O pontból a félegyenes mentén. Határozzuk meg az M pont
abszolút pályáját és gyorsulását oly módon, hogy abszolút sebességének hossza v-vel egyenlő álladó legyen!

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



2. Kinematika

65

K 2.50. Egy egyenes cső a vízszintes síkban állandó ω szögsebességgel forog
egy  függőleges tengely körül. A cső belsejében egy golyó az

x t   a eωt e ωt  törvény szerint mozog, ahol x a golyó forgástengelytől mért távolsága. Határozzuk meg a golyó abszolút sebességét
és gyorsulását x függvényében!
K 2.51. Az O-ban derékszögű OAB egyenl ő szárú háromszög állandó ω szögsebességgel forog saját síkjában O csúcsa körül. Egy M pont egyenletesen mozog a c hosszúságú AB oldal mentén a B pontból indulva, ezt
a távot pontosan egy fordulat alatt téve meg. Határozzuk meg az M
pont abszolút sebességét és gyorsulását abban a pillanatban, amikor
az az A ponttal esik egybe!
K 2.52. Egy M anyagi pont v állandó nagyságú sebességgel mozog egy kúp alkotóján, az O csúcspontból kiindulva. A kúp ω állandó szögsebességgel egyenletesen forog tengelye körül. Határozzuk meg az M pont
abszolút gyorsulását!
K 2.53. Egy parabola, síkjára az F fókuszban mer őlegesen emelt tengely körül
forog. Határozzuk meg egy M pont relatív mozgását a parabolán
úgy, hogy abszolút sebessége a mozgás ideje alatt végig párhuzamos
legyen a parabola szimmetriatengelyével!
K 2.54. Az R sugarú gömb O középpontja egybeesik az Oxyz abszolút vonatkoztatási rendszer origójával. Legyenek E, M 0 , N a gömb metszéspontjai az Ox, Oy és Oz tengelyekkel. A kezdetben M 0 -ban tartózkodó
M pont egyenletesen mozog az M0 N főkörön az N pont felé, ω állandó
szögsebességgel. Ugyanazon időben a kezdetben OM0 N helyzetű sík
is elfordul ON körül, szintén ω szögsebességgel az OEN sík irányába.
(a) Határozzuk meg az M pont abszolút mozgásegyenleteit, abszolút
sebességét és gyorsulását, valamint a tangenciális és normális sebességeket.
(b) Határozzuk meg az M pont pályájának vetületét a három koordinátasíkra.
(c ) Ha az abszolút gyorsulásvektor tartóegyenese az Oxy síkot a P
pontban metszi, határozzuk meg a P pont mozgását.
(d) Igazoljuk, hogy találkozik egy rögzített egyenessel.
K 2.55. Az M pont egyenletesen mozog v sebességgel egy R sugarú gömb
meridiánja mentén, míg a gömb függőleges átmérője körül állandó ω





K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



66

2. Kinematika

szögsebességgel forog. Határozzuk meg a pont abszolút gyorsulásának
nagyságát az egyenlítőtől mért ϕ szögtávolságának függvényében.
K 2.56. Egy folyóban, amely vizének sebessége v 2 állandó nagyságú a folyó teljes d szélességében, egy csónak halad v 1 állandó nagyságú sebességgel. Számítsuk ki:
(a) a csónak abszolút sebességét, ha relatív sebessége a folyó sebességével α szöget zár be;
(b) milyen irányban kell haladjon a csónak ahhoz, hogy az indulási
pontban a partra emelt merőleges mentén érjen a túlsó partra?
(c) milyen irányban kell haladjon a csónak ahhoz, hogy az átkelési
idő a lehető legrövidebb legyen?
K 2.57. Egy csónak 2l szélességű folyót keresztez. A csónak sebessége az
áramló vízhez képest állandó, nagysága u és iránya mer őleges a víz
áramlásának irányára. A víz sebessége változó. Iránya ugyan mindenhol ugyanaz, de nagysága a középt ől számított y távolságban
v  v0 1

y2
l2


(a) Határozzuk meg a csónak pályáját olyan koordináta-rendszerre vonatkozólag, amelynek kezdőpontja a csónak kiinduláspontjával egymagasságban felkvő pont a folyó közepén, x tengelye párhuzamos a
folyó partjával, y tengelye pedig rá mer őleges!
(b) Mennyivel viszi le a víz a csónakot, míg az egyik partról a túlsó
partra ér?
K 2.58. Egy anyagi pont egy földi meridián mentén délr ől észak felé mozog
10 m/s sebességgel a 60 -os északi szélességen. Határozzuk meg a
pont abszolút sebességét és gyorsulását, ha tudjuk, hogy a Föld forog.
Oldjuk meg a feladatot amikor a pont a 60-os szélességen nyugatkelet irányban mozog. A Föld sugarát állandónak tekintjük (R  6375
km).
K 2.59. Egy A anyagi pont állandó v sebességgel mozog egyenesvonalú pályán olyan S síkban, amely az O ponton átmen ő, S-re merőleges tengely körül állandó ω szögsebességgel forog. Mi lesz a pont pályájának
egyenlete olyan r θ polár-koordinátarendszerre vonatkozólag, amely


K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.



2. Kinematika

67

a térben rögzített, pólusa O, polárisa pedig a térben úgy van irányítva,
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


hogy abban a pillanatban, amikor a mozgó pont O-hoz legközelebb
van, θ  0?

K O R R E K T Ú R A

2006. március 2.