Betekintés: Palásthy Béla - Kinematikai alapfogalmak. A pálya, a sebesség és a gyorsulás definíciója. Sebesség, és gyorsulás lokális koordinátái. Mozgás leírása különböző koordináta-rendszerekben.

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


1. Kinematikai alapfogalmak. A pálya, a sebesség és a gyorsulás definíciója.
Sebesség, és gyorsulás lokális koordinátái. Mozgás leírása különböző
koordináta-rendszerekben.
A kinematika a mozgás matematikai leírása, az ok feltárása nélkül. Mozgásról akkor
beszélünk, ha egy test változtatja a helyzetét más testekhez képest.
Tekintsünk a továbbiakban tömegpontokat. A tömegpont olyan test, melynek jellemző
méretei kicsik a pálya méreteihez képest. Ellentétben a geometriai ponttal a tömegpontnak
van kiterjedése. Például egy eldobott kréta darabka mérete, eltörpül a hajítás pályájának
méretéhez képest, ezért tömegpontnak tekinthető. A tömegpont mozgása során érintett pontok
halmazát pályának nevezzük.
Vonatkoztatási testnek nevezzük azt a merev testet, amihez a többi test mozgását
viszonyítjuk. A merev test tetszőleges két pontjának távolsága időben állandó.
Vonatkoztatási
rendszer
z

r (t )

pálya

Koordináta rendszer
x

O

y
Vonatkoztatási test
A vonatkoztatási test és egy hozzá rögzített koordinátarendszer együttese a vonatkoztatási
rendszer (VR). Ebben a tömegpont pillanatnyi helyzetét egy rendezett számhármassal, a
koordinátáival adhatjuk meg. A leggyakrabban használt koordináta rendszerek:
- Derékszögű, vagy Descartes koordináta rendszer,
- Síkbeli polár koordináta rendszer,
- Henger koordináta rendszer, és
- Gömbi koordináta rendszer.
A helyvektor a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz húzott vektor r = r ( t ) . Ha

a tömegpont mozog, akkor a helyvektor az idő függvénye. Tegyük fel, hogy a tömegpont
elmozdul a pálya mentén az 1. pontból a 2. pontba. Ekkor az elmozdulásvektor: Δr .
Vonatkoztatási
rendszer
Δs
z
Δr
r ( t1 )
pálya

r ( t2 )
y
Δr = r ( t2 ) − r ( t1 ) , t2 > t1
Ívkoordináta alatt a pályagörbén egy tetszőleges ponttól mért előjeles ívhosszat értjük, és s-sel
jelöljük. Az út az ívkoordináták adott idő alatti megváltozása. Δ s ≥ Δr . A helyvektor

x

O

megadható az ívkoordináta függvényében is: r = r ( s ) .
Tekintsük most a tömegpont elmozdulását Δt idő alatt:



z

x

Δr

r (t )

r ( t + Δt )

O

pálya

y

Ekkor az átlagsebesség definíció szerint: vátl =
A pillanatnyi sebességvektor pedig:

Δr
, a pillanatnyi sebességvektor pedig:
Δt

Δr dr i
=
=r
Δt →0 Δt
dt

v = lim

Mivel az elemi elmozdulás vektor dr egybeesik a pálya ívelemével, így a sebességvektor
mindig érintő irányú. Ha a helyvektort az ívkoordináta segítségével írjuk fel, akkor:
r = r (s)

v=

dr dr ds
=
dt ds dt

Az érintő irányú egységvektor definíciója:

τ =

dr
, és τ = 1
ds

A pályasebesség, a sebességvektor hossza:

v =v=
A sebességvektor:

ds
≥0
dt

v = vτ

Az érintő irányú egységvektor pedig:

v
v
A pályasebesség az ívkoordináta idő szerinti differenciálhányadosa, a befutott út a
pályasebesség idő szerinti integrálja a megfelelő időintervallumra. Figyelembe véve az
integrál geometriai jelentését, az a pályasebesség idő grafikon görbe alatti területe.
ds i
v=
=s
dt

τ =

t2

s = ∫ vdt
t1

v(t )

s

t1

A gyorsulásvektor definíciója:

t2

t

Δv dv i ii
=
=v =r
Δt →0 Δt
dt

a = lim

A sebesség és gyorsulás természetes, vagy lokális koordinátái:



v = vτ
dv d
dτ i
dτ ds i

a=
= ( vτ ) = vτ + v
= vτ + v
= vτ + v2
dt dt
dt
ds dt
ds
i

mivel

dτ 1
= n , ahol ρ a görbületi sugár, n pedig a normális egységvektor, így:
ds ρ
i
v2
a = vτ + n

ρ

i

Az érintő vagy pálya menti gyorsulás: at = v .
A normális vagy centripetális gyorsulás: an =

v2

.
ρ
Egyenletes mozgás esetén a pályagyorsulás zérus. Egyenletesen változó mozgás esetén a
pályagyorsulás zérustól különböző állandó (v lineárisan változik az idő függvényében).
Egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a = 0 .
A mozgás leírása derékszögű Descartes koordinátarendszerben:
A koordináták: x, y, z , az egységvektorok: i , j , k , az egységvektorok ilyen sorrendben

{

}

jobbsodrású rendszer alkotnak i , j , k . A mozgást akkor ismerjük, ha tudjuk a helyvektor
időfüggését: r = r ( t ) .
z

( x, y , z )
r (t )

k

y

i O

x
A pálya paraméteres egyenletrendszere:

j

x = x (t )
y = y (t )
z = z (t )

A helyvektor, illetve a helyvektor hossza:
r = xi + yj + zk ,
r = x2 + y2 + z 2
A sebességvektor definíciója:
dr d
v=
=
xi + yj + zk
dt dt
Az egységvektorok mind irányukat, mind nagyságukat tekintve állandóak, így deriváltjuk

(

i

i

)

i

eltűnik: i = j = k = 0 .
i

i

i

v = xi + y j + z k ,
v = vx i + v y j + vz k
i

i

i

A sebesség koordináták: vx = x , v y = y , és vz = z .
A pályasebesség:



i

i

i

v = vx2 + v y2 + vz2 , vagy v = x 2 + y 2 + z 2
A gyorsulás definíciója:

a=

i
i
dv d ⎛ i

= ⎜ xi + y j + zk ⎟
dt dt ⎝

ii

ii

ii

a = xi + y j + zk ,
a = ax i + a y j + az k
ii

ii

ii

A gyorsulás Descartes koordinátái: ax = x , a y = y , és az = z .
A gyorsulásvektor hossza:
ii

ii

ii

a = x2 + y 2 + z 2 .

A mozgás leírása henger koordinátarendszerben:
A koordináták: ρ , ϕ , z , az egységvektorok: eρ eϕ k , az egységvektorok ilyen sorrendben

{

}

jobbsodrású rendszer alkotnak: eρ , eϕ , k .

( ρ ,ϕ , z )

z

k



r (t )



k
O

ϕ

ϕ =0
A pálya paraméteres egyenletrendszere:

ρ

ρ = ρ (t )
ϕ = ϕ (t )
z = z (t )

A helyvektor:

r = ρ eρ + zk .
A sebességvektor a definícióból következően:
i

i

i

v = ρ eρ + ρ ϕ eϕ + z k

Az eρ , eϕ egységvektorok változtatják az irányukat, így a deriváltjuk már nem zérus.
i

i

Körmozgás esetén: ρ = R = állandó , így ρ = 0 , v = R ϕ eϕ = Rω eϕ , ahol a szögsebesség:

ω=

dϕ i
= ϕ , így:
dt
vϕ = Rω

A szöggyorsulás a szögsebesség változási gyorsasága: β =
Egyszerű mozgások:

dω i

dt



1. egyenes vonalú egyenletes mozgás:

v = áll. s = vt
2. egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás
a
a = állandó , v = v0 + at , és s = v0t + t 2
2
3. egyenletes körmozgás:
ω = áll. ϕ = ω t
4. egyenletesen változó körmozgás:

β = állandó , ω = ω 0 + β t , és ϕ = ω0t +

β

2

t2