Fizika | Tanulmányok, esszék » Palásthy Béla - Kinematikai alapfogalmak. A pálya, a sebesség és a gyorsulás definíciója. Sebesség, és gyorsulás lokális koordinátái. Mozgás leírása különböző koordináta-rendszerekben.

1. Kinematikai alapfogalmak A pálya, a sebesség és a gyorsulás definíciója Sebesség, és gyorsulás lokális koordinátái. Mozgás leírása különböző koordináta-rendszerekben. A kinematika a mozgás matematikai leírása, az ok feltárása nélkül. Mozgásról akkor beszélünk, ha egy test változtatja a helyzetét más testekhez képest. Tekintsünk a továbbiakban tömegpontokat. A tömegpont olyan test, melynek jellemző méretei kicsik a pálya méreteihez képest. Ellentétben a geometriai ponttal a tömegpontnak van kiterjedése. Például egy eldobott kréta darabka mérete, eltörpül a hajítás pályájának méretéhez képest, ezért tömegpontnak tekinthető. A tömegpont mozgása során érintett pontok halmazát pályának nevezzük. Vonatkoztatási testnek nevezzük azt a merev testet, amihez a többi test mozgását viszonyítjuk. A merev test tetszőleges két pontjának távolsága időben állandó Vonatkoztatási rendszer z r (t ) pálya

Koordináta rendszer x O y Vonatkoztatási test A vonatkoztatási test és egy hozzá rögzített koordinátarendszer együttese a vonatkoztatási rendszer (VR). Ebben a tömegpont pillanatnyi helyzetét egy rendezett számhármassal, a koordinátáival adhatjuk meg. A leggyakrabban használt koordináta rendszerek: - Derékszögű, vagy Descartes koordináta rendszer, - Síkbeli polár koordináta rendszer, - Henger koordináta rendszer, és - Gömbi koordináta rendszer. A helyvektor a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz húzott vektor r = r ( t ) . Ha a tömegpont mozog, akkor a helyvektor az idő függvénye. Tegyük fel, hogy a tömegpont elmozdul a pálya mentén az 1. pontból a 2 pontba Ekkor az elmozdulásvektor: Δr Vonatkoztatási rendszer Δs z Δr r ( t1 ) pálya r ( t2 ) y Δr = r ( t2 ) − r ( t1 ) , t2 > t1 Ívkoordináta alatt a pályagörbén egy tetszőleges ponttól mért előjeles ívhosszat értjük, és s-sel jelöljük. Az út az

ívkoordináták adott idő alatti megváltozása Δ s ≥ Δr A helyvektor x O megadható az ívkoordináta függvényében is: r = r ( s ) . Tekintsük most a tömegpont elmozdulását Δt idő alatt: z x Δr r (t ) r ( t + Δt ) O pálya y Ekkor az átlagsebesség definíció szerint: vátl = A pillanatnyi sebességvektor pedig: Δr , a pillanatnyi sebességvektor pedig: Δt Δr dr i = =r Δt 0 Δt dt v = lim Mivel az elemi elmozdulás vektor dr egybeesik a pálya ívelemével, így a sebességvektor mindig érintő irányú. Ha a helyvektort az ívkoordináta segítségével írjuk fel, akkor: r = r (s) v= dr dr ds = dt ds dt Az érintő irányú egységvektor definíciója: τ = dr , és τ = 1 ds A pályasebesség, a sebességvektor hossza: v =v= A sebességvektor: ds ≥0 dt v = vτ Az érintő irányú egységvektor pedig: v v A pályasebesség az ívkoordináta idő szerinti differenciálhányadosa, a befutott út a pályasebesség idő szerinti

integrálja a megfelelő időintervallumra. Figyelembe véve az integrál geometriai jelentését, az a pályasebesség idő grafikon görbe alatti területe. ds i v= =s dt τ = t2 s = ∫ vdt t1 v(t ) s t1 A gyorsulásvektor definíciója: t2 t Δv dv i ii = =v =r Δt 0 Δt dt a = lim A sebesség és gyorsulás természetes, vagy lokális koordinátái: v = vτ dv d dτ i dτ ds i dτ a= = ( vτ ) = vτ + v = vτ + v = vτ + v2 dt dt dt ds dt ds i mivel dτ 1 = n , ahol ρ a görbületi sugár, n pedig a normális egységvektor, így: ds ρ i v2 a = vτ + n ρ i Az érintő vagy pálya menti gyorsulás: at = v . A normális vagy centripetális gyorsulás: an = v2 . ρ Egyenletes mozgás esetén a pályagyorsulás zérus. Egyenletesen változó mozgás esetén a pályagyorsulás zérustól különböző állandó (v lineárisan változik az idő függvényében). Egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a = 0 . A mozgás leírása derékszögű Descartes

koordinátarendszerben: A koordináták: x, y, z , az egységvektorok: i , j , k , az egységvektorok ilyen sorrendben { } jobbsodrású rendszer alkotnak i , j , k . A mozgást akkor ismerjük, ha tudjuk a helyvektor időfüggését: r = r ( t ) . z ( x, y , z ) r (t ) k y i O x A pálya paraméteres egyenletrendszere: j x = x (t ) y = y (t ) z = z (t ) A helyvektor, illetve a helyvektor hossza: r = xi + yj + zk , r = x2 + y2 + z 2 A sebességvektor definíciója: dr d v= = xi + yj + zk dt dt Az egységvektorok mind irányukat, mind nagyságukat tekintve állandóak, így deriváltjuk ( i i ) i eltűnik: i = j = k = 0 . i i i v = xi + y j + z k , v = vx i + v y j + vz k i i i A sebesség koordináták: vx = x , v y = y , és vz = z . A pályasebesség: i i i v = vx2 + v y2 + vz2 , vagy v = x 2 + y 2 + z 2 A gyorsulás definíciója: a= i i dv d ⎛ i ⎞ = ⎜ xi + y j + zk ⎟ dt dt ⎝ ⎠ ii ii ii a = xi + y j + zk , a = ax i + a y j + az k ii ii

ii A gyorsulás Descartes koordinátái: ax = x , a y = y , és az = z . A gyorsulásvektor hossza: ii ii ii a = x2 + y 2 + z 2 . A mozgás leírása henger koordinátarendszerben: A koordináták: ρ , ϕ , z , az egységvektorok: eρ eϕ k , az egységvektorok ilyen sorrendben { } jobbsodrású rendszer alkotnak: eρ , eϕ , k . ( ρ ,ϕ , z ) z k eϕ r (t ) eρ k O ϕ ϕ =0 A pálya paraméteres egyenletrendszere: ρ ρ = ρ (t ) ϕ = ϕ (t ) z = z (t ) A helyvektor: r = ρ eρ + zk . A sebességvektor a definícióból következően: i i i v = ρ eρ + ρ ϕ eϕ + z k Az eρ , eϕ egységvektorok változtatják az irányukat, így a deriváltjuk már nem zérus. i i Körmozgás esetén: ρ = R = állandó , így ρ = 0 , v = R ϕ eϕ = Rω eϕ , ahol a szögsebesség: ω= dϕ i = ϕ , így: dt vϕ = Rω A szöggyorsulás a szögsebesség változási gyorsasága: β = Egyszerű mozgások: dω i =ω dt 1. egyenes vonalú egyenletes mozgás: v =

áll. s = vt 2. egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás a a = állandó , v = v0 + at , és s = v0t + t 2 2 3. egyenletes körmozgás: ω = áll. ϕ = ω t 4. egyenletesen változó körmozgás: β = állandó , ω = ω 0 + β t , és ϕ = ω0t + β 2 t2