Betekintés: dr. Leitold Adrien - Koordináta-geometria

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!




Koordináta-geometria

Összeállította: dr. Leitold Adrien
egyetemi docens

2013. 09. 06

1



Vektorok a koordináta-rendszerben

P = (v1, v2)

y
v

A síkbeli vektorokat helyvektorokként helyezzük el a
síkbeli, derékszögű
(Descartes-féle) koordinátarendszerben.

1

j
i

1

x

Ekkor minden síkbeli vektor
egyértelműen felbontható a
koordináta-tengelyek
irányába eső összetevőkre:
v = v1·i + v2·j
Koordináta-geom./2



Vektorok koordináta-rendszerben (folyt.)







A v vektor koordináta-tengelyek irányába eső
összetevői: v1·i , v2·j
A v vektor koordinátái: v1, v2
Megjegyzés: A v helyvektor koordinátái azonosak
végpontjának koordinátáival.
Jel.:
v = (v1, v2)
A v vektor hossza (a Pitagorasz-tétel alapján):
v  v12  v 2 2
Koordináta-geom./3



Vektorműveletek koordinátákkal
Legyenek a = (a1, a2) és b = (b1, b2) síkbeli vektorok,
 R skalár.








Összeadás:
a + b = (a1+ b1, a2+ b2)
Skalárral való szorzás:
·a = (·a1, ·a2)
A különbség:
a  b = (a1  b1, a2  b2)
Skaláris szorzás:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2
Koordináta-geom./4



Ponthalmaz, görbe egyenlete
Egy adott görbe egyenletének azt az egyenletet nevezzük,
amelyet a görbéhez tartozó összes pont koordinátái, és csak
ezen pontok koordinátái elégítenek ki.
Vizsgált görbék:

egyenes

kör

Koordináta-geom./5



Egyenes
Általános egyenlet:
a xb y  c
 Ha a = 0 és b  0, akkor az x tengellyel párhuzamos az
egyenes,
 Ha a  0 és b = 0, akkor az y tengellyel párhuzamos az
egyenes,
 Ha c = 0, akkor az origón áthaladó az egyenes,
 Az a és b egyszerre nem lehet nulla.

Koordináta-geom./6



Az egyenes különböző egyenletei
y  m xb
1. Meredekség, tengelymetszet alapján:
 m: az egyenes meredeksége,
 b: megmutatja, hogy az egyenes hol metszi az y tengelyt.
Ez az alak nem használható, ha az egyenes párhuzamos az y tengellyel.

2. Meredekség, adott pont alapján: y  y 0  m  ( x  x0 )
 m: az egyenes meredeksége,
 P0(x0, y0) az egyenes egy adott pontja.
Ez az alak nem használható, ha az egyenes párhuzamos az y tengellyel.

Koordináta-geom./7



Az egyenes különböző egyenletei (folyt.)
3. Két adott pont alapján:


y 2  y1
y  y1 
 ( x  x1 )
x2  x1

P1(x1,y1) és P2(x2,y2) az egyenes két adott pontja.

Az y tengellyel párhuzamos egyenes esetén a fenti egyenlet az alábbi
formában használható: ( y  y1 )( x 2  x1 )  ( x  x1 )( y 2  y1 )

4. Egy adott pont és egy irányvektor alapján:

v2 x  v1 y  v2 x0  v1 y0
P0(x0,y0) az egyenes egy adott pontja,
 v(v1,v2) az egyenes egy irányvektora.



Koordináta-geom./8



Az egyenes különböző egyenletei (folyt.)
5. Egy adott pont és egy normálvektor alapján:

A x  B y  A x0  B y 0
P0(x0,y0) az egyenes egy adott pontja,
 n(A,B) az egyenes egy normálvektora.


Koordináta-geom./9



Egyenesek párhuzamossága, merőlegessége




Két egyenes párhuzamos, ha
 irányvektoraik párhuzamosak,
 normálvektoraik párhuzamosak,
 meredekségük egyenlő, vagy nincs nekik.
Két egyenes merőleges, ha
 irányvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0),
 normálvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0),
 meredekségük szorzata 1, vagy az egyiknek 0 és a
másiknak nincs.

Koordináta-geom./10



Kör egyenlete
2
2
2
Kör egyenlete: ( x  u )  ( y  v )  r
ahol:
 K(u,v) a kör középpontja,
 r a kör sugara.

Koordináta-geom./11