Matematika | Középiskola » dr. Leitold Adrien - Koordináta-geometria

Koordináta-geometria Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09 06 1 Vektorok a koordináta-rendszerben P = (v1, v2) y v A síkbeli vektorokat helyvektorokként helyezzük el a síkbeli, derékszögű (Descartes-féle) koordinátarendszerben. 1 j i 1 x Ekkor minden síkbeli vektor egyértelműen felbontható a koordináta-tengelyek irányába eső összetevőkre: v = v1·i + v2·j Koordináta-geom./2 Vektorok koordináta-rendszerben (folyt.)     A v vektor koordináta-tengelyek irányába eső összetevői: v1·i , v2·j A v vektor koordinátái: v1, v2 Megjegyzés: A v helyvektor koordinátái azonosak végpontjának koordinátáival. Jel.: v = (v1, v2) A v vektor hossza (a Pitagorasz-tétel alapján): v  v12  v 2 2 Koordináta-geom./3 Vektorműveletek koordinátákkal Legyenek a = (a1, a2) és b = (b1, b2) síkbeli vektorok,  R skalár.     Összeadás: a + b = (a1+ b1, a2+ b2) Skalárral való

szorzás: ·a = (·a1, ·a2) A különbség: a  b = (a1  b1, a2  b2) Skaláris szorzás: a · b = a1 · b1 + a2 · b2 Koordináta-geom./4 Ponthalmaz, görbe egyenlete Egy adott görbe egyenletének azt az egyenletet nevezzük, amelyet a görbéhez tartozó összes pont koordinátái, és csak ezen pontok koordinátái elégítenek ki. Vizsgált görbék:  egyenes  kör Koordináta-geom./5 Egyenes Általános egyenlet: a xb y  c  Ha a = 0 és b  0, akkor az x tengellyel párhuzamos az egyenes,  Ha a  0 és b = 0, akkor az y tengellyel párhuzamos az egyenes,  Ha c = 0, akkor az origón áthaladó az egyenes,  Az a és b egyszerre nem lehet nulla. Koordináta-geom./6 Az egyenes különböző egyenletei y  m xb 1. Meredekség, tengelymetszet alapján:  m: az egyenes meredeksége,  b: megmutatja, hogy az egyenes hol metszi az y tengelyt. Ez az alak nem használható, ha az egyenes párhuzamos az y tengellyel. 2.

Meredekség, adott pont alapján: y  y 0  m  ( x  x0 )  m: az egyenes meredeksége,  P0(x0, y0) az egyenes egy adott pontja. Ez az alak nem használható, ha az egyenes párhuzamos az y tengellyel. Koordináta-geom./7 Az egyenes különböző egyenletei (folyt.) 3. Két adott pont alapján:  y 2  y1 y  y1   ( x  x1 ) x2  x1 P1(x1,y1) és P2(x2,y2) az egyenes két adott pontja. Az y tengellyel párhuzamos egyenes esetén a fenti egyenlet az alábbi formában használható: ( y  y1 )( x 2  x1 )  ( x  x1 )( y 2  y1 ) 4. Egy adott pont és egy irányvektor alapján: v2 x  v1 y  v2 x0  v1 y0 P0(x0,y0) az egyenes egy adott pontja,  v(v1,v2) az egyenes egy irányvektora.  Koordináta-geom./8 Az egyenes különböző egyenletei (folyt.) 5. Egy adott pont és egy normálvektor alapján: A x  B y  A x0  B y 0 P0(x0,y0) az egyenes egy adott pontja,  n(A,B) az egyenes egy normálvektora. 

Koordináta-geom./9 Egyenesek párhuzamossága, merőlegessége   Két egyenes párhuzamos, ha  irányvektoraik párhuzamosak,  normálvektoraik párhuzamosak,  meredekségük egyenlő, vagy nincs nekik. Két egyenes merőleges, ha  irányvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0),  normálvektoraik merőlegesek (skaláris szorzatuk 0),  meredekségük szorzata 1, vagy az egyiknek 0 és a másiknak nincs. Koordináta-geom./10 Kör egyenlete 2 2 2 Kör egyenlete: ( x  u )  ( y  v )  r ahol:  K(u,v) a kör középpontja,  r a kör sugara. Koordináta-geom./11