Betekintés: Farkas István - Függvények határértéke és folytonossága, oldal #2

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!

/>1
1 + (x + 1)
lim
+ 1 = lim
=
x→−∞ x + 1
x→−∞
x+1
x+2
=
= lim
x→−∞ x + 1
x · (1 + x2 )
1+
= lim
= lim
1
x→−∞ x · (1 + )
x→−∞ 1 +
x

= 1.

2
x
1
x

= 1.

Függvények határértéke – p. 7/1



Függvény ábrázolása a határérték ismeretében
Összefoglalva:
• A jobb oldali határérték a szakadási helyen: ∞.
• A bal oldali határérték a szakadási helyen: −∞.
• A határérték a ∞-ben és a −∞-ben: 1.

Ennek alapján a függvény képe:

4

2

0 y
-6

-4

-2

0

2

4

x
-2

-4

Függvények határértéke – p. 8/1



Egy gyakorlati alkalmazás
Egy üzem termelési volumenének alakulásában általában három
jellegzetes szakasz figyelhet˝o meg. A termelés megindulása utáni
szakaszban a termelés még lassan emelkedik. Kés˝obb a növekedés
gyorsabb. A harmadik szakaszban a termelés mennyiségi növekedése
rendszerint újra lassul (pl. a kereslet lanyhulása, vagy a piac telítettsége
miatt). Itt a termelés egyre inkább egy állandó mennyiség felé tart. A
termelésnek ezt a mennyiségi alakulását az id˝o függvényében az
a
, a > 0,
f (t) =
1 + b · e−λ·t

λ > 0.

ún. logisztikus függvény írja le, ahol t jelenti az eltelt id˝ot, f (t) pedig a
termelés mennyiségét. A harmadik szakaszbeli állandó termelési
mennyiséget a függvény végtelenben vett határértéke adja meg.

Függvények határértéke – p. 9/1



Egy gyakorlati alkalmazás
35

30

A konkrét logisztikus függvény:

25

20

f (t) =

15

195
.
−0.5278·t
5 + 56 · e

10

5
0

2

4

6

8

10

12

14

evek

Az állandó termelt mennyiség:
195
195
lim f (t) = lim
=
= 39.
−0.5278·t
t→∞
t→∞ 5 + 56 · e
5
A harmadik szakaszban a termelt mennyiség 39 ezer termék.

Függvények határértéke – p. 10/1



Függvény folytonossága
Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R adott függvény és x0 ∈ D. Az
f függvény folytonos az x0 -ban, ha f -nek létezik a határértéke x0 -ban
és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz
lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt
mondjuk, hogy az f folytonos az értelmezési tartományán, vagy
röviden: f folytonos függvény.
Megjegyzés. Ha az f függvény az értelmezési tartományának valamely
pontjában nem folytonos, akkor a függvénynek ott szakadási helye van.

Függvények határértéke – p. 11/1



Szakadási helyek típusai
Y

Az f függvénynek x0 -ban els˝ofajú szakadása
van, ha x0 -ban létezik a jobb-, illetve bal
oldali véges határértéke.
x0

X

Y

Ha még az is teljesül, hogy a jobb-, illetve bal
oldali véges határérték megegyezik, akkor ez
a szakadás megszüntethet˝o.
x0

X

Y

A függvény szakadási helye másodfajú, ha
nem els˝ofajú.
x0

X

Függvények határértéke – p. 12/1



«« Előző oldal