Betekintés: Farkas István - Függvények határértéke és folytonossága

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!




Függvények határértéke és
folytonossága
7. előadás
Farkas István
DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék

Függvények határértéke – p. 1/1



Függvény határértéke az x0 helyen
Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R adott függvény és x0 a D
halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke
az x0 -ban A, ha minden xn ∈ D (xn = x0 ), lim xn = x0 sorozat
n→∞

esetén az (f (xn )) sorozat konvergens és lim f (xn ) = A. Jele:
n→∞

lim f (x) = A,

x→x0

és ezt úgy olvassuk, hogy „limesz x tart x0 esetén f (x) egyenlő A-val”.
Megjegyzés.Véges x0 helyen a határérték nemcsak véges lehet, hanem
±∞ is.

Függvények határértéke – p. 2/1



A jobb- és bal oldali határérték
Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R, x0 ∈ R torlódási pontja az
]x0 , +∞[ ∩ D-nek. Az f függvénynek x0 -ban létezik a jobb oldali
határértéke, ha az f függvény [x0 , +∞[ ∩ D-re való leszűkítésének létezik a
határértéke. Jele:
lim

x→x0 +0

f (x) = y0 .

Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R, x0 ∈ R torlódási pontja az
]−∞, x0 [ ∩ D-nek. Az f függvénynek x0 -ban létezik a bal oldali
határértéke, ha az f függvény ]−∞, x0 ] ∩ D-re való leszűkítésének létezik a
határértéke. Jele:
lim

x→x0 −0

f (x) = y0 .

Tétel. Az f függvénynek pontosan akkor létezik a határértéke az x0 -ban, ha
itt létezik a bal- ill. jobb oldali határértéke, és ezek egyenlőek. Ez a közös
határérték lesz az f függvény x0 -beli határértéke.

Függvények határértéke – p. 3/1



A jobb- és bal oldali határérték szemléltetése
∞ ← f (xn )

f (x5 )

Y

−1

−1 ← xn = −1 +

1
n

1
n

f (xn )

0

2

2.

− 12

3

3.

− 23

4

f (x1 )

4.

− 34

5

x1

5.
..
.

− 45

6





−1



f (x3 )
f (x2 )

x2

xn = −1 +

1.

f (x4 )

x5 x4x3

n

X

Függvények határértéke – p. 4/1



A jobb- és bal oldali határérték kiszámítása
Jobb oldali határérték: áttérünk az xn = −1 +

1
n

sorozatra.

1
1
1
+ 1 = lim 1 + 1 =
lim
+ 1 = lim
n→∞ −1 + 1 + 1
n→∞
x→1+0 x + 1
n
n
= lim n + 1 = ∞.
n→∞

Bal oldali határérték: áttérünk az xn = −1 −

1
n

sorozatra.

1
1
1
+
1
=
lim
+1=
+ 1 = lim
1
1
n→∞ −1 −
n→∞ −
x→1−0 x + 1
n +1
n
lim

= lim −n + 1 = −∞.
n→∞

A jobb- és a bal oldali határérték nem egyenlő, így a függvénynek az x0 = −1
helyen nincs határértéke.

Függvények határértéke – p. 5/1



Határérték a végtelenben
Definíció. Legyen D ⊂ R felülről nem korlátos halmaz, f : D → R adott
függvény, továbbá xn ∈ D olyan sorozat, amelyre lim xn = ∞. Ha az
n→∞

(f (xn )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (xn ) sorozat esetén konvergens és
lim f (xn ) = A (A ∈ R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek

n→∞

létezik a határértéke a végtelenben és ez A-val egyenlő. Jele:
lim f (x) = A.

x→∞

Definíció. Legyen D ⊂ R alulról nem korlátos halmaz, f : D → R adott
függvény, továbbá xn ∈ D olyan sorozat, amelyre lim xn = −∞. Ha az
n→∞

(f (xn )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (xn ) sorozat esetén konvergens és
lim f (xn ) = A (A ∈ R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek
n→∞

létezik a határértéke a mínusz végtelenben és ez A-val egyenlő. Jele:
lim f (x) = A.

x→−∞

Függvények határértéke – p. 6/1



A végtelenben vett határérték kiszámítása
1
1 + (x + 1)
+ 1 = lim
=
x→∞ x + 1
x→∞
x+1
x+2
=
= lim
x→∞ x + 1
x · (1 + x2 )
1+
= lim
= lim
x→∞ x · (1 + 1 )
x→∞ 1 +
x
lim

2
x
1
x
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


r />1
1 + (x + 1)
lim
+ 1 = lim
=
x→−∞ x + 1
x→−∞
x+1
x+2
=
= lim
x→−∞ x + 1
x · (1 + x2 )
1+
= lim
= lim
1
x→−∞ x · (1 + )
x→−∞ 1 +
x

= 1.

2
x
1
x

= 1.

Függvények határértéke – p. 7/1



Függvény ábrázolása a határérték ismeretében
Összefoglalva:
• A jobb oldali határérték a szakadási helyen: ∞.
• A bal oldali határérték a szakadási helyen: −∞.
• A határérték a ∞-ben és a −∞-ben: 1.

Ennek alapján a függvény képe:

4

2

0 y
-6

-4

-2

0

2

4

x
-2

-4

Függvények határértéke – p. 8/1



Egy gyakorlati alkalmazás
Egy üzem termelési volumenének alakulásában általában három
jellegzetes szakasz figyelhető meg. A termelés megindulása utáni
szakaszban a termelés még lassan emelkedik. Később a növekedés
gyorsabb. A harmadik szakaszban a termelés mennyiségi növekedése
rendszerint újra lassul (pl. a kereslet lanyhulása, vagy a piac telítettsége
miatt). Itt a termelés egyre inkább egy állandó mennyiség felé tart. A
termelésnek ezt a mennyiségi alakulását az idő függvényében az
a
, a > 0,
f (t) =
1 + b · e−λ·t

λ > 0.

ún. logisztikus függvény írja le, ahol t jelenti az eltelt időt, f (t) pedig a
termelés mennyiségét. A harmadik szakaszbeli állandó termelési
mennyiséget a függvény végtelenben vett határértéke adja meg.

Függvények határértéke – p. 9/1



Egy gyakorlati alkalmazás
35

30

A konkrét logisztikus függvény:

25

20

f (t) =

15

195
.
−0.5278·t
5 + 56 · e

10

5
0

2

4

6

8

10

12

14

evek

Az állandó termelt mennyiség:
195
195
lim f (t) = lim
=
= 39.
−0.5278·t
t→∞
t→∞ 5 + 56 · e
5
A harmadik szakaszban a termelt mennyiség 39 ezer termék.

Függvények határértéke – p. 10/1



Függvény folytonossága
Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D → R adott függvény és x0 ∈ D. Az
f függvény folytonos az x0 -ban, ha f -nek létezik a határértéke x0 -ban
és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz
lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt
mondjuk, hogy az f folytonos az értelmezési tartományán, vagy
röviden: f folytonos függvény.
Megjegyzés. Ha az f függvény az értelmezési tartományának valamely
pontjában nem folytonos, akkor a függvénynek ott szakadási helye van.

Függvények határértéke – p. 11/1



Szakadási helyek típusai
Y

Az f függvénynek x0 -ban elsőfajú szakadása
van, ha x0 -ban létezik a jobb-, illetve bal
oldali véges határértéke.
x0

X

Y

Ha még az is teljesül, hogy a jobb-, illetve bal
oldali véges határérték megegyezik, akkor ez
a szakadás megszüntethető.
x0

X

Y

A függvény szakadási helye másodfajú, ha
nem elsőfajú.
x0

X

Függvények határértéke – p. 12/1