Betekintés: Algebrai egész kifejezések

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!




Algebrai egész kifejezések
(polinomok)



Betűk használata a matematikában
Feladat
Mekkora a 107m x 68m oldalhosszúságú
téglalap alakú focipálya kerülete,
területe?

a = 107 m
b = 68 m

Terület
T = a ⋅ b = 107m ⋅ 68m = 7276m2
Kerület
K = 2 ⋅ (a + b) = 2 ⋅ (107m + 68m) = 350m



Az összeadás és a szorzás
műveletének tulajdonságai
összeadás

szorzás

kommutatív

a+b=b+a

a·b=b·a

asszociatív

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b) · c = a · (b · c)

A szorzás disztributív az összeadásra nézve.
a · (b + c) = a·c + b·c



Egy-egy matematikai probléma általánosítása esetén gyakran
használunk betűket.
Ezt a problémától függően nevezhetjük változónak,
határozatlannak vagy ismeretlennek.

A betűs kifejezések használatakor minden esetben fontos
megadnunk, hogy az általunk használt betűk mely számhalmaz
elemeit helyettesítik.
Ez a számhalmaz az alaphalmaz.



Algebrai kifejezés
Algebrai kifejezést kapunk, ha a benne szereplő
mennyiségeket (számokat, betűket), illetve azok egész
kitevőjű hatványait vagy gyökeit a négy alapművelet véges
számú alkalmazásával kötünk össze.

Például:
3a2b

2x3 + 4xy

(2x – y)(3a2 + 7b)

2x – 3y2 + 5a4



A betűket szorzó számokat együtthatónak nevezzük.

Együttható

Változó

3⋅ x

A szorzás jelét általában nem tesszük ki:
3x = 3x ; 6 · a · b = 6ab ; a · b · c = abc



Egyváltozós és többváltozós kifejezések
Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak
egy betű szerepel.

5b + 3
2
pl.: 3x, 16y + 1, a ,
11
3

A több különböző betűt tartalmazó kifejezést
többváltozós kifejezésnek nevezzük.
pl.: 6a + 7b, 3x + 4xy + 5y,

5yxz



Algebrai egész kifejezés
Algebrai egész kifejezésről beszélünk akkor, ha az
algebrai kifejezésben nincs tört, vagy az előforduló
tört nevezőjében nincs változó.

2
5b + 3
a ,
pl.: 3x, 16y + 1,
11
3



Algebrai tört kifejezés
Algebrai törtkifejezésről beszélünk akkor, ha az
algebrai kifejezésben előforduló tört nevezőjében
van változó.
pl.:

1
,
x

2x + 1
,
y

x 2 + 3xy − 5y 2
xy

Egy algebrai tört értelmezési tartományán a valós számoknak
azt a legbővebb részhalmazát értjük, melynek elemeit a változó
helyére beírva a kifejezésben szereplő műveletek
elvégezhetőek.



Egytagú kifejezés
Olyan algebrai kifejezések, melyekben a számokat és a
számokat helyettesítő betűket, illetve azok pozitív egész
kitevőjű hatványait csak a szorzás műveletével kötjük össze.

Például:
3a2b

12x3y7

x2

5ab2c3



Fokszám
Egytagú kifejezések fokszáma a benne szereplő betűk
kitevőinek összege.

Például:
32xy4

ötödfokú

8x3

harmadfokú

12a2b5

nyolcadfokú

15x

elsőfokú

9

nulladfokú



A polinom
A polinom egytagú algebrai kifejezések összege.

Például:
7x4 – 9x3 + 3x2 – 3x + 4
Azokat a tagokat, melyek csak együtthatóban térnek el
egymástól, egynemű tagoknak nevezzük.

Például:
3x2y

5yx2

8x2y

A polinomban az egynemű tagokat összevonhatjuk.



A polinom fokszáma
A polinomban szereplő legnagyobb fokszámú tag fokszámával
egyenlő.

Például:
másodfokú:

3x2 – 2x + 1;

3y2 + a2 + xy

harmadfokú:

6a3 – 5xa + 2

5x2y – 3x

Csak egy betűt tartalmazó polinomok tagjait olyan sorrendben
szoktuk írni, hogy a tagok fokszáma csökkenjen.

Például:
7x5 + 8x3 – 4x2 + x – 12



A P(x) = anxn + an–1xn–1 + a2x2 + a1x + a0
alakú kifejezés egyváltozós polinom, ahol
x∈R, an, an–1, a2, a1, a0 valós számok a polinom
együtthatói, an ≠ 0 és n∈N+.
n a polinom fokszáma.



Algebrai törteknek, felírhatók két polinom hányadosaként,
ahol a nevezőben lévő polinom legalább elsőfokú.
(Nevezőben van bet
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


.)

x
y

3x − 5x + 2
x −3
2

3xy − 5x + 6y
4x + y



Műveletek polinomokkal



Egynemű tagok összeadása,
kivonása
Egynemű tagok között el lehet végezni az összevonást.
(Az együtthatókat összevonjuk, és a kapott számot megszorozzuk
a közös betűkifejezéssel.)

Például:
4x2y + 7x2y – 5x2y = 6x2y
3a3b + 6ab2 – 5a3b + 7 a3b – 7ab2 = 5a3b – ab2



Feladat:
5x2y + 6x2y + xy2 – 2x2y – 8xy2 = 9x2y – 7xy2
(célszerű az egynemű tagokat azonos módon aláhúzni.)
4x5 – 3x2 + 2x5 + 6x4 – x2 – 7x5 + 2 + 3x4 = (– x5) + 9x4 – 4x2 + 2
3p2q – 2p2q2 + 6pq2 – (4p2q + 3p2q2 – 5pq2) =
(először a zárójelet kell felbontani; ha a zárójel előtt – jel van, akkor
a zárójel elhagyásakor minden tag előjelét ellentétesre változtatjuk.)
3p2q – 2p2q2 + 6pq2 – 4p2q – 3p2q2 + 5pq2 = 7p2q – 5p2q2 + 11pq2



Egy tag szorzása egy taggal
Egy tagot egy taggal úgy szorzunk, hogy az együtthatókat
összeszorozzuk, majd az azonos betűkkel is elvégezzük a
szorzást.

Például:
3x2ay3 ⋅ 5a2x3y = 15a3x5y4



Feladat:
5a2b3c ⋅ 4a3b6c4 = 5 ⋅ 4 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ b3⋅ b6 ⋅ c ⋅c4 = 20a5b9c5

3 3 6
3 3 3 5 6 4
3 6 11 5
2x y z ⋅ x y z = 2 ⋅ ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⋅ z ⋅ z = x y z
4
4
2
3

5 4

5 5 2 6 2 2 4 7 5 2 5 2 2 4 6 7 5 7 6 13
p q r ⋅ p q r = ⋅ ⋅p ⋅p ⋅q ⋅q ⋅r ⋅r = p q r
6
3
6 3
9



Egy tag szorzása több taggal
Egy tagot több taggal úgy szorzunk, hogy az egy taggal a több tag
minden tagját megszorozzuk.

Például:
3x2y ⋅ (2x2y2 – 5xy + xy2) = 6x4y3 – 15x3y2 + 3x3y3



Feladat:
a ⋅ (3b − 2c ) = 3ab − 2ac

(

)

2xy 2 ⋅ 3x 2 − 4y + 6z 2 = 6x 3 y 2 − 8xy 3 + 12xy 2 z 2
2 2 
7 3 3
8 3 14 2 4
2
k n ⋅  4k − n + km  = k n − k n + k 3 m 2 n
3
5
2
15

 3
5 2 3 4
3 3 2 1 2 2
1 3 4 3 5 5 5 4 5
− x y ⋅  xy − x y + x y  = − x y + x y − x y
8
5
3
6
8
24
 15




Több tag szorzása több taggal
Több tagot több taggal úgy szorzunk, hogy az egyik többtagú
összeg minden tagját a másik többtagú összeg minden tagjával
megszorozzuk.

Például:
(2a + 3b) ⋅ (3a – 5ab + b) = 6a2 – 10a2b + 2ab +
+ 9ba – 15 ab2 + 3b2 =

összevonás után:

6a2 – 10a2b + 11ab – 15 ab2 + 3b2



Feladat:
(2a − b ) ⋅ (a − 3b ) = 2a 2 − 6ab − ba + 3b 2 = 2a 2 − 7ab + 3b 2

(3xy − 4y )⋅ (5x
2

(x

2

2

)

− 2y = 15x 3 y − 6xy 2 − 20y 2 x 2 + 8y 3

)

+ 4xy − 3y 2 ⋅ (2x − 5y ) =

2x 3 − 5x 2 y + 8x 2 y − 20xy 2 − 6y 2 x + 15y 3 = 2x 3 + 3x 2 y − 26xy 2 + 15y 3

2 2  
7 3 3

2
2
 4km − k n  ⋅  2kn − n + km  =
3
5
2

 

28
4 3 2 14 2 4
2
2
2 3
2
4
8k m n − km n + 6k m − k n + k n − k 3 m 2 n
5
3
15