Betekintés: Határozatlan integrál

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!




✶✷✳ ❢❡❥❡③❡t

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧
❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧

❆③t ♠♦♥❞❥✉❦✱ ❤♦❣② ❛③ ❡❣②✈á❧t♦③ós ✈❛❧ós f ❢ü❣❣✈é♥②♥❡❦ ❛ H ❤❛❧♠❛③♦♥ ♣r✐♠✐tí✈
❛③ F ❢ü❣❣✈é♥②✱ ❤❛ ❛ H ❤❛❧♠❛③♦♥ f és F ért❡❧♠❡③✈❡ ✈❛♥✱ t♦✈á❜❜á F ❞✐✛❡r✲
❡♥❝✐á❧❤❛tó ❛ H ❤❛❧♠❛③♦♥✱ ♠é❣♣❡❞✐❣

❉ ✶✷✳✶

❢ü❣❣✈é♥②❡

F ✭x✮ ❂ f ✭x✮,

❤❛

x∈H.

❆③ ❡❣②✈á❧t♦③ós ✈❛❧ós f ❢ü❣❣✈é♥② ♣r✐♠✐tí✈ ❢ü❣❣✈é♥②❡✐♥❡❦ öss③❡ssé❣ét ❛③ f ❤❛tár♦③❛t❧❛♥
✐♥t❡❣rá❧❥á♥❛❦ ♥❡✈❡③③ü❦ és ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❥❡❧ö❧❥ü❦✿
f ✭x✮ dx✱ ✈❛❣② f ✳
❚ ✶✷✳✷ ❍❛ ❛③ ❡❣②✈á❧t♦③ós ✈❛❧ós f ❢ü❣❣✈é♥②♥❡❦ ✈❛❧❛♠❡❧② I ✐♥t❡r✈❛❧❧✉♠♦♥ ♣r✐♠✐tí✈ ❢ü❣❣✈é♥②❡
F és G✱ ❛❦❦♦r ✈❛♥ ♦❧②❛♥ ✈❛❧ós C s③á♠✱ ❤♦❣② ❛③ I ✐♥t❡r✈❛❧❧✉♠ ♠✐♥❞❡♥ x ❡❧❡♠ér❡ G✭x✮ ❂
F ✭x✮ ✰ C ✳
❉ ✶✷✳✸ ❆③ ❡❧❡♠✐ ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧ás✐ s③❛❜á❧②❛✐❜ó❧ ❛❞ó❞ó ✐♥t❡❣rá❧ás✐ ❦é♣❧❡t❡❦❡t ❛❧❛♣✲
✐♥t❡❣rá❧♦❦♥❛❦ ♥❡✈❡③③ü❦✳ ❆ ❢♦♥t♦s❛❜❜❛❦✿
xn dx ❂

xn✰✶
n✰✶

✰C





✱ ❤❛ n ❂ −✶,

x

dx ❂ ❧♥ |x| ✰ C ∗ ❀
ax
❧♥ a

ex dx ❂ ex ✰ C ✱

ax dx ❂

❝♦s x dx ❂ s✐♥ x ✰ C ✱

s✐♥ x dx ❂


❝♦s✷



x



dx ❂ t❣ x ✰ C ∗ ✱


✶ − x✷

dx ❂ ❛r❝s✐♥ x ✰ C



− ❛r❝❝♦s x ✰ C ✱

❝❤ x dx ❂ s❤ x ✰ C ✱

❝❤






x



x✷

−✶


✶−

x✷

s❤

x✷ ✰ ✶| ✰ C

❂ ❛rs❤ x ✰ C ✱

dx ❂ ❧♥ |x ✰

x✷ − ✶| ✰ C

❂ ❛r❝❤ x ✰ C ✱




❧♥

x✰✶
x−✶

dx ❂ − ❝t❣ x ✰ C ∗ ❀

✶ ✰ x✷



dx ❂ ❧♥ |x ✰

dx ❂

− ❝♦s x ✰ C ❀

dx ❂ ❛r❝t❣ x ✰ C ❀

s❤ x dx ❂ ❝❤ x ✰ C ❀

dx ❂ t❤ x ✰ C ✱

x✷ ✰ ✶

s✐♥✷ x


✰ C❀

✰C





❛rt❤ x ✰ C ∗ ,

❛r❝t❤ x ✰ C ∗ ,
✶✷✲✶



x

dx ❂ − ❝t❤ x ✰ C ❀

❤❛ |x| < ✶✱
❤❛ |x| > ✶✳



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ❆③ ✐♥t❡❣rá❧ás á❧t❛❧á♥♦s s③❛❜á❧②❛✐

❆❤♦❧ C ∗ ❥❡❧ö❧✐ ❛③ ✐♥t❡❣rá❝✐ós ❦♦♥st❛♥st✱ ♦tt ❡③③❡❧ ❛③t ❥❡❧❡③③ü❦✱ ❤♦❣② ❛③ ✐♥t❡❣r❛♥❞✉s ért❡❧♠❡③és✐
t❛rt♦♠á♥②❛ tö❜❜ ✐♥t❡r✈❛❧❧✉♠❜ó❧ á❧❧ ✭❛③ xn ❢ü❣❣✈é♥②♥é❧ ❝s❛❦ ♥❡❣❛tí✈ n ❡s❡té♥✮✱ ❛③ öss③❡❢ü❣❣és
♣❡❞✐❣ ❝s❛❦ ❡❣②✱ ❞❡ ❜ár♠❡❧②✐❦ ✐♥t❡r✈❛❧❧✉♠♦♥ ér✈é♥②❡s✳ ❆③ ❡❣és③ ért❡❧♠❡③és✐ t❛rt♦♠á♥②♦♥
ér✈é♥②❡s öss③❡❢ü❣❣ést ú❣② ❦❛♣✉♥❦✱ ❤❛ ♠✐♥❞❡♥ ✐♥t❡r✈❛❧❧✉♠♦♥ ❦ü❧ö♥ ❦♦♥st❛♥st ❤❛s③♥á❧✉♥❦✳
P❧✳✿

❧♥ x,
❤❛ x > ✵✱
dx ❂
❧♥✭
−x

,
❤❛ x < ✵✳
x
❆ ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧ás✐ s③❛❜á❧②❛✐❜ó❧ ❦ö③✈❡t❧❡♥ü❧ ❛❞ó❞♥❛❦ ❛③ ✐♥t❡❣rá❧ás ❛❧á❜❜✐

❚ ✶✷✳✹
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


/>
á❧t❛❧á♥♦s s③❛❜á❧②❛✐✿

✭f ✭x✮ ± g ✭x✮✮ dx ❂

✭✶✮
✭✷✮

f ✭x✮ dx ±

· f ✭x✮✮ dx ❂ k ·

✭k

f ✭x✮ dx

f v✰✶ ✭x✮
v✰✶

f v ✭x✮f ✭x✮ dx ❂

✭✸✮

g ✭x✮ dx ❀

✰C

✭k

∈ ❘✮ ❀

✭v

,

∈ ❘, v



−✶✮ ❀

f ✭x✮
dx ❂ ❧♥ |f ✭x✮| ✰ C .
f ✭x✮

✭✹✮

❍❛ f ✭x✮ dx ❂ F ✭x✮ ✰ C ✱ ❛❦❦♦r ❜ár♠❡❧② a és b ✭a ❂ ✵✮ ❦♦♥st❛♥s♦❦❦❛❧
✭✺✮

❍❛

f ✭ax ✰ b✮ dx ❂



F ✭ax ✰ b✮ ✰ C, s♣❡❝✐á❧✐s❛♥



F ✭ax✮ ✰ C.
a
a
f ✭u✮ du ❂ F ✭u✮ ✰ C ✱ ❛❦❦♦r ❜ár♠❡❧② ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❤❛tó g ❜❡❧s➤ ❢ü❣❣✈é♥♥②❡❧

✭✻✮

f ✭ax✮ dx ❂

f ✭g ✭x✮✮g ✭x✮ dx ❂ F ✭g ✭x✮✮ ✰ C .

❙③á♠íts✉❦ ❦✐ ❛③

P ✶✷✳✺

dx


✭s✐♥ x✮ ✹ ❝t❣ x

③✉❦✿


❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧❥át✳ ❆ ✭✸✮ s③❛❜á❧②t ❛❧❦❛❧♠❛③✲
x✮ ✹ ❝t❣ x

✭s✐♥


− ✹✶



✭❝t❣ x✮



x✮

❂ ✷ s✐♥ x ❝♦s x✱



· ✭❝t❣ x✮ dx ❂ −

s✐♥ x · ❝♦s x

✶ ✰ s✐♥ x

❙③á♠íts✉❦ ❦✐ ❛③ f ✭x✮ ❂

P ✶✷✳✻

✭✶ ✰ s✐♥





✭❝t❣ x✮ ✹



✰C ❂



✹ ✹


❝t❣✸ x ✰ C

❢ü❣❣✈é♥② ❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧❥át✳ ▼✐✈❡❧

❛ ✭✹✮ s③❛❜á❧② ❛❧❛♣❥á♥

f ✭x✮ dx ❂



✷f ✭x✮ dx ❂ ❧♥



✶ ✰ s✐♥✷ x ✰ C

.

dx

❙③á♠íts✉❦ ❦✐ ❛③
✱ ✭a , b > ✵✮ ❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧t✳ ➪t❛❧❛❦ítás ✉tá♥ ❛③
a ✰ bx✷
✭✺✮ s③❛❜á❧②t ❛❧❦❛❧♠❛③③✉❦✿


P ✶✷✳✼

f ✭x✮ dx ❂

P ✶✷✳✽



a

dx

b
ax

✶✰

▲❡❣②❡♥ f ✭x✮ ❂








x

f ✭x✮ dx ❂
x✰

✰x✰✶





a





b
a









b 
x ✰C
a

❛r❝t❣

✳ ➪❧❧íts✉❦ ❡❧➤

dx





f ✭x✮ dx✲❡t✦ ❆
dx

✶✰
✶✷✲✷



✷x√✰ ✶
















ab

✭✺✮

❛r❝t❣

b
x✰C.
a

s③❛❜á❧❧②❛❧✿

❛r❝t❣

✷x ✰ ✶





✰C

.

.



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ❆③ ✐♥t❡❣rá❧ás á❧t❛❧á♥♦s s③❛❜á❧②❛✐
❙③á♠íts✉❦ ❦✐ ❛③

s✐♥ x

dx ❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧t✳ ❆ ✭✻✮ s③❛❜á❧❧②❛❧✿

s✐♥ x


f ✭x✮ dx ❂
dx ❂ − √
· ✭ ✷ ❝♦s x✮ dx ❂


✷ ❝♦s✷ x − ✶
✭ ✷ ❝♦s x✮✷ − ✶


❂ − √ ❛r❝❤✭ ✷ ❝♦s x✮ ✰ C.

P ✶✷✳✾



❝♦s ✷x



❋❡❧❛❞❛t♦❦
❆③ öss③❡❣✲ és ❦ü❧ö♥❜sé❣❢ü❣❣✈é♥②✱ ✐❧❧❡t✈❡ ❛ ❦♦♥st❛♥ss❛❧ s③♦r③♦tt ❢ü❣❣✈é♥② ✐♥t❡❣rá❧ás✐
s③❛❜á❧②át ❛❧❦❛❧♠❛③✈❛ ♦❧❞❥✉❦ ♠❡❣ ❛③ ❛❧á❜❜✐ ❢❡❧❛❞❛t♦❦❛t✳

Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


❆ ❣②ö❦ös ❦✐❢❡❥❡③és❡❦❡t

ír❥✉❦ át tört❦✐t❡✈➤s ❛❧❛❦❜❛✳✮

x✹ dx✱

✶✳
✸✳

t✷ ✰ ✻t − ✺✮ dt✱

✹✳


x x x dx✱

✻✳



✺✳




x dx✱



x ✰ x✷ ✮ dx✱


✷✳



ex ✰





x







❝♦s

x

dx✳

❖❧❞❥✉❦ ♠❡❣ ♠❛r❛❞é❦♦s ♦s③tás ✉tá♥ ❛③ ❛❧á❜❜✐ ❢❡❧❛❞❛t♦❦❛t✿


✼✳
✶✵✳

✶✸✳


x✷ − ✸x ✰ ✹
dx✱
x√
x✷ − ✷ ✷x ✰ ✷

dx✱
x− ✷
e✸x ✰ ✶
dx✳
ex ✰ ✶

❚ ✶✷✳✹

x✸

✽✳

✶✶✳

dx✱
x✰✺
x✹
dx✱
x✷ ✰ a✷

✾✳

✶✷✳

x✷
dx✱

✶ −x
x✺
dx✱
x✸ − a✸

❛❧❛tt✐ ✭✸✮ és ✭✹✮ ✐♥t❡❣rá❧ás✐ s③❛❜á❧②♦❦ ❛❧❛♣ ❥á♥ ♦❧❞❥✉❦ ♠❡❣ ❛③ ❛❧á❜❜✐

❢❡❧❛❞❛t♦❦❛t✿

✶✹✳

✶✼✳

x − ✸✮✶✵✵ dx✱

✭✷

x✷ dx
x


✷✵✳

r✷

✷✸✳

s✐♥

✷✻✳

s✐♥

✶✰

✸✷✳

r✸ dr✱

✷✶✳

x✸ dx


✸ ✹
x ✰✶

x ❝♦s x dx✱

✷✹✳

❝♦s



x dx✱

✷✼✳

s✐♥

✸✵✳



s✐♥

x

dx✱

− ❝♦s x
dx



s✐♥ x ❝♦s x


✶✽✳

x
dx✱
✷ ✸
✭✷ ✰ ✸x ✮


✶ − ✸x dx✱






✷✾✳

✷✱

✸ ✰ ✷✼✮ ✸
✭✽

✶✺✳



✷✷✳



s✐♥

✷✺✳



x ❝♦s✸ x dx✱

✷✽✳

x




x

x

x

dx✱

dx✱

✶✷✲✸

a ✰ bx✮n dx✱



x dx✱

❝♦s

✸✸✳



x
dx✱
✷ ✷
✭✶ ✰ x ✮

✶✾✳



s✐♥

❧♥

✶✻✳

✸✶✳

✸✹✳

x
dx✱

✶−x


x dx✱



x
dx✱
x
s✐♥ x ✰ ❝♦s x

dx✱

s✐♥ x − ❝♦s x
dx



x ❧♥ x
s✐♥


❝♦s



✶✷✳
✸✺✳
✸✽✳

✹✶✳
✹✹✳

✹✼✳


❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ P❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ás


s❤

x ❝❤✸ x dx✱



✸✻✳

dx✱

x−✶
✸ − ✹x
dx✱

✷x − ✸x ✰ ✶
dx

s✐♥ x ❝♦s x
dx

s❤ x


❚ ✶✷✳✹

✸✾✳

✹✷✳
✹✺✳

✹✽✳

❝❤





x dx✱

✸✼✳

x−✼
dx✱
x − ✼x ✰ ✶✶
x
dx✱
x✷ ✰ a✷
dx

s✐♥ x
e✷x
dx✱
✷x
✶✰ e





✹✵✳

✹✸✳
✹✻✳

✹✾✳

❝❤

x ✰ ✶ dx✱

x✰✸
dx✱
x
x − ✶✵
✸x
dx✱
a✸ ✰ x✸
dx

s❤ x ❝❤ x
ax
dx✱
ax ✰ ✶


✷ ✰✸


❛❧❛tt✐ ✭✺✮ és ✭✻✮ ✐♥t❡❣rá❧ás✐ s③❛❜á❧②♦❦ ❛❧❛♣ ❥á♥ ♦❧❞❥✉❦ ♠❡❣ ❛③ ❛❧á❜❜✐

❢❡❧❛❞❛t♦❦❛t✿

✺✵✳
✺✸✳

✺✻✳



✺✾✳

✻✷✳

✻✺✳
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!



✻✽✳

✼✶✳

dx



✺✶✳

dx✱
x − ✷x − ✸
x
dx✱

a − x✹
dx



✾x − ✻x ✰ ✺
dx



✸x − ✶

e x
√ dx✱
x
s✐♥ ❧♥ x
dx✱
x
dx

x ❧♥ x · ❧♥ ❧♥ x

✺✹✳


✷✰✸

x




✺✼✳



✻✵✳

✻✸✳

✻✻✳

✻✾✳

✼✷✳

dx

x
x✰✺
dx


x − ✻x − ✶✻
x✸
dx✱
x✽ − ✷
dx



✾x − ✻x − ✸
dx



✷ − ✸x
ex

dx✱
✷x
✶ −e
s❤ x

dx✱
❝❤ ✷x
dx



s✐♥ x ✰ ✷ ❝♦s x
✷ ✰✻


✺✷✳



✺✺✳

✺✽✳



✻✶✳

✻✹✳

✻✼✳

✼✵✳

✼✸✳

dx

x − ✷x − ✶
x dx


✹✰ x
dx



✾x − ✻x ✰ ✷
dx



✸ ✰ ✻x − ✾x
dx
√ ✱
✭✶ ✰ x✮
x
dx
dx✱
−x
a ✰ ax
dx

x ❧♥ x
a✷ b✷ dx

a✷ s✐♥✷ x ✰ b✷ ❝♦s✷ x



P❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ás
❉ ✶✷✳✶✵❆

s③♦r③❛t❢ü❣❣✈é♥② ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧ás✐ s③❛❜á❧②á❜ó❧ ♥②❡r❤❡t➤
f ✭x✮g ✭x✮ dx ❂ f ✭x✮g ✭x✮ −

f ✭x✮g ✭x✮ dx

❦é♣❧❡t❡t ❛ ♣❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ás ❦é♣❧❡té♥❡❦ ♥❡✈❡③③ü❦✱ és ❤❛ ❡③t ❛ ❦é♣❧❡t❡t ❛❧❦❛❧♠❛③③✉❦✱
❛❦❦♦r ❛③t ♠♦♥❞❥✉❦✱ ❤♦❣② ❛③ ✐❧❧❡t➤ ❢ü❣❣✈é♥②t ♣❛r❝✐á❧✐s❛♥ ✐♥t❡❣rá❧❥✉❦✳
❆ ♣❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ásr❛ ❦ü❧ö♥ös❡♥ ❛❧❦❛❧♠❛s ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ tí♣✉s❛✐✿
✶. tí♣✉s✳ ❆
p✭x✮ · t✭ax ✰ b✮

✭a, b

∈ ❘ ❀ a ❂ ✵✮

❛❧❛❦ú ❢ü❣❣✈é♥②❡❦✱ ❛♠❡❧②❡❦❜❡♥ p✿ ♣♦❧✐♥♦♠❢ü❣❣✈é♥②✱ t✿ ❛ s✐♥✱ ❝♦s✱ s❤✱ ❝❤✱ ❡①♣ ✈❛❧❛♠❡❧②✐❦❡✳
❊❜❜❡♥ ❛③ ❡s❡t❜❡♥ ❧❡❣②❡♥ f ✭x✮ ❂ t✭ax ✰ b✮ és g ✭x✮ ❂ p✭x✮✳ ❆♥♥②✐ ♣❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ásr❛
✶✷✲✹



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ P❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ás

❧❡s③ s③ü❦sé❣ü♥❦✱ ❛♠❡♥♥②✐ p ❢♦❦❛✳
✷. tí♣✉s✳ ❆③
xv ❧♥n x

✭n

∈ ◆, v ∈ ❘, v

❛❧❛❦ú ❢ü❣❣✈é♥②❡❦✳ ❊❜❜❡♥ ❛③ ❡s❡t❜❡♥ ❧❡❣②❡♥ f ✭x✮
✐♥t❡❣rá❧ásr❛ ❧❡s③ s③ü❦sé❣✳
✸. tí♣✉s✳ ❆
t✶ ✭ax ✰ b✮ · t✷ ✭cx ✰ d✮

✭a, b, d





−✶✮

xv és g ✭x✮

n x✳

❂ ❧♥

■tt n ♣❛r❝✐á❧✐s

∈ ❘❀ a ❂ ✵, c ❂ ✵✮

❛❧❛❦ú ❢ü❣❣✈é♥②❡❦✱ ❛❤♦❧ t✶ és t✷ ❛③ ✶. tí♣✉s♥á❧ ❛ t✲❦é♥t ❢❡❧s♦r♦❧t öt ❢ü❣❣✈é♥② ✈❛❧❛♠❡❧②✐❦❡✳
✭❆③ f ✭x✮ és g ✭x✮ ♠❡❣✈á❧❛s③tásá❤♦③ ❧ás❞ P ✶✷✳✶✶✳✮
✹. tí♣✉s✳ ❆
p✭x✮ · a✭x✮

❛❦❛❦ú ❢ü❣❣✈é♥②❡❦✱ ❛♠❡❧②❡❦❜❡♥ p✿ ♣♦❧✐♥♦♠❢ü❣❣✈é♥②✱ a✿ ❛r❦✉s③✲ ✈❛❣② ❛r❡❛❢ü❣❣✈é♥②✳ ❊❜❜❡♥
❛③ ❡s❡t❜❡♥ ❧❡❣②❡♥ f ✭x✮ ❂ p✭x✮ és g ✭x✮ ❂ a✭x✮✳
P ✶✷✳✶✶ ❆ ✸✳

tí♣✉sú ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ♣❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ásá♥á❧ ❡❣②❡♥❧❡t❡t ír❤❛t✉♥❦ ❢❡❧ ❛ ❦✐s③á♠ít❛♥❞ó
❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧r❛✱ ♠❡❧② ❡❣②❡♥❧
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


t❤❡③ ❦ét ♠ó❞♦♥ ✐s ❡❧❥✉t❤❛t✉♥❦✳ ❙③❡♠❧é❧t❡ssü❦ ❡③t ❛③
I



eax s✐♥ bx dx

✭a, b ❂ ✵

❦♦♥st❛♥s✮

❦✐s③á♠ításá♥✳ ❊❧❥ár❤❛t✉♥❦ ú❣②✱ ❤♦❣② I ✲t ❦ét ❦ü❧ö♥❜ö③➤ ♠ó❞♦♥ ♣❛r❝✐á❧✐s❛♥ ✐♥t❡❣rá❧❥✉❦✱
❡❣②s③❡r f ✭x✮ ❂ s✐♥ bx és g ✭x✮ ❂ eax ✈á❧❛s③táss❛❧✱ ♠❛❥❞ f ✭x✮ ❂ eax ✱ g ✭x✮ ❂ s✐♥ bx
✈á❧❛s③táss❛❧✿
I



−eax

I



eax
a

❝♦s bx

b



s✐♥ bx −

a
b

eax ❝♦s bx dx ,

b
a

eax ❝♦s bx dx .

a
b

b
a

❆③ ❡❧s➤ ❡❣②❡♥❧❡t❡t ✲✈❛❧✱ ❛ ♠ás♦❞✐❦❛t ✲✈❡❧ s③♦r♦③✈❛ és öss③❡❛❞✈❛ ❦❛♣❥✉❦✱ ❤♦❣②
b
a
I✰ I
a
b



a✷ ✰ b✷
I
ab



eax
b

s✐♥ bx−

eax
a

❝♦s bx,

❛♠✐❜➤❧ I



eax
✭a s✐♥ bx−b ❝♦s bx✮ ✰ C.
a✷ ✰ b✷

❊❧❥ár❤❛t✉♥❦ ú❣② ✐s✱ ❤♦❣② ❛ ❢❡♥t✐ ❡❧s➤ ❡❣②❡♥❧❡t❜❡♥ t♦✈á❜❜ ✐♥t❡❣rá❧❥✉❦ ♣❛r❝✐á❧✐s❛♥ ❛ ♠ás♦❞✐❦
t❛❣♦t f ✭x✮ ❂ ❝♦s bx✱ g ✭x✮ ❂ eax ✈á❧❛s③táss❛❧✿
I



−eax

❝♦s bx

b



a ax s✐♥ bx a
e

b
b
b

❊❜❜➤❧ ✐s♠ét
I



eax s✐♥ bx dx



eax
a✷
✭a s✐♥ bx − b ❝♦s bx✮ −
I.
b✷
b✷

eax
✭a s✐♥ bx − b ❝♦s bx✮ ✰ C.
a✷ ✰ b✷

✶✷✲✺



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ■♥t❡❣rá❧ás ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧

❋❡❧❛❞❛t♦❦
❆ ♣❛r❝✐á❧✐s ✐♥t❡❣rá❧ás ♠ó❞s③❡ré✈❡❧ ♦❧❞❥✉❦ ♠❡❣ ❛③ ❛❧á❜❜✐ ❢❡❧❛❞❛t♦❦❛t✿

✼✹✳

x ❝♦s x dx✱

✼✺✳

x s✐♥ ✷x dx✱

✼✻✳

x✷ ❝♦s ✷x dx✱

✼✼✳

x ❝♦s ✷x dx✱

✼✽✳

x✷ s✐♥ ✷x dx✱

✼✾✳

x✸ s✐♥ x dx✱

✽✵✳

x✸ ❝♦s x dx✱

✽✶✳

x ❝♦s✷ x dx✳

✽✷✳

x · ✸x dx✱

✽✸✳

xe−x dx✱

✽✹✳

x✷ e−✷x dx✱

✽✺✳

e−x s✐♥ x dx✱

✽✻✳

e✷x ❝♦s x dx✱

✽✼✳

eax ❝♦s bx dx✱

✽✽✳

e✻x ❝♦s ✹x dx✱

✽✾✳

ex s✐♥✷ x dx✱

✾✵✳

❛r❝s✐♥

✾✸✳

❛r❝❝♦s



✾✷✳







x
dx✱
✶ −x

❛r❝s✐♥

x dx✱


✾✹✳

❛r❝t❣

x−✶
dx✱
x✰✶

✾✼✳

❛r❝t❣

✶✵✵✳

❧♥

x

x ❛r❝t❣ x dx✱

✾✻✳

❛r❝t❣

✾✽✳

x✷ ❛r❝t❣ x
dx✱

✶✰ x

✾✾✳

x ❛r❝t❣ x

dx✱

✶✰ x

✶✵✶✳

❧♥

✶✵✹✳

✶✵✼✳

✶✶✵✳

✶✶✸✳

x dx✱

✶✵✷✳

❧♥

❧♥✭

✶✵✺✳

❧♥

x✷ ❧♥✭✶ ✰ x✮ dx✱

✶✵✽✳

x✷ ✰ ✶✮ dx✱

x
dx✱

❝♦s x

❧♥ ❝♦s

x − x✷ ✮ s❤ x dx✱

✭✷

❝♦s

✶✶✻✳ ■❣❛③♦❧❥✉❦✱ ❤♦❣②

s✐♥

n

x dx✱



−x


x

❧♥

dx✱

dx✱



x

x s❤ x dx✱

✶✶✹✳

❝❤
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


r />


x dx ❂



n


n

x✮✷ dx✱

x

dx✱





x dx✱

x dx✱
x
x

❧♥

✶✵✸✳

✶✶✶✳

n x dx

✶✶✺✳ ■❣❛③♦❧❥✉❦✱ ❤♦❣②



✭❛r❝s✐♥

dx✱

✾✺✳



✾✶✳





dx✱

dx✱

✶✵✻✳

❧❣

✶✵✾✳

xv ❧♥ x dx✱ ✭v

✶✶✷✳

x✸ ❝❤ ✸x dx✱

x



−✶✮✱

x ❝♦s ✺x dx✳
n−✶ x s✐♥ x ✰ n−✶
n

❝♦s

n−✶

s✐♥

✶✷✲✻

x ❝♦s x ✰

n−✶
n

n−✷ x dx

❝♦s

n−✷

s✐♥

n ∈ ◆✰ ✮✳



x dx ✭n ∈ ◆✰ ✮✳



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ■♥t❡❣rá❧ás ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧

■♥t❡❣rá❧ás ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧
❉ ✶✷✳✶✷❆③

f ✭x✮ ❢ü❣❣✈é♥② ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧ törté♥➤ ✐♥t❡❣rá❧ásáró❧ ❜❡s③é❧ü♥❦✱ ❤❛
✶✳ ❛③ x ✈á❧t♦③ó ❤❡❧②é❜❡ ✈❛❧❛♠❡❧② t ✈á❧t♦③ó♥❛❦ ❡❣② ✐♥✈❡rtá❧❤❛tó és ❞✐✛❡r❡♥❝✐á❧❤❛tó u✭t✮
❢ü❣❣✈é♥②ét ❤❡❧②❡tt❡sít❥ü❦❀ ❦✐♠✉t❛t❤❛tó✱ ❤♦❣② ❡❦❦♦r ❛ dx ❤❡❧②é❜❡ ❛③ u ✭t✮ dt ❦✐❢❡❥❡③ést
❦❡❧❧ ír♥✉♥❦✱ és ❛ s③á♠ítást ❛ ❦ö✈❡t❦❡③➤❦é♣♣❡♥ ❦❡❧❧ ❢♦❧②t❛t♥✉♥❦✿
✷✳ ❡❧✈é❣❡③③ü❦ ❛ t s③❡r✐♥t✐ ✐♥t❡❣rá❧ást❀
✸✳ ✈é❣ü❧ ❛③ u ❢ü❣❣✈é♥② u ✐♥✈❡r③ét ✈é✈❡ ❛ t ❂ u✭x✮ ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧ ✈✐ss③❛ír❥✉❦ ❛③ ❡r❡❞❡t✐ x
✈á❧t♦③ót✳ ❑é♣❧❡t❜❡♥✿
f ✭x✮ dx ❂

f ✭u✭t✮✮u ✭t✮ dt

.
t❂u✭x✮

▼❡❣❥❡❣②③és✳ ❆ ❣②❛❦♦r❧❛t❜❛♥ ❡s❡t❡♥❦é♥t ♥❡♠ ❦ö③✈❡t❧❡♥ü❧ ❛③ x ✈á❧t♦③ó ❤❡❧②é❜❡ ✈❡③❡t❥ü❦
❜❡ ❛③ u✭t✮ ❢ü❣❣✈é♥②t✱ ❤❛♥❡♠ ❛③ f ✈❛❧❛♠❡❧② ❜❡❧s➤ ❢ü❣❣✈é♥②ét ❤❡❧②❡tt❡sít❥ü❦ ✈❛❧❛♠❡❧②
♠ás ❢ü❣❣✈é♥♥②❡❧✱ ✈❛❣② ❡❣②s③❡r➯❡♥ x ✈❛❧❛♠❡❧② ❢ü❣❣✈é♥②❡ ❤❡❧②é❜❡ ír❥✉❦ ❛ t ✈á❧t♦③ót✳ ❊③
❛③ ✉tó❜❜✐ ❡s❡t ❛③♦♥♦s ❛ ✭✻✮ ❦é♣❧❡t❜❡♥ ❧❡írtt❛❧✳
▲❡❣②❡♥ R✭x, y ✮ ❡❣② r❛❝✐♦♥á❧✐s tört❢ü❣❣✈é♥②✳
❆③ ❛❧á❜❜ ❦♦♥❦rét❛♥ ♠❡❣♥❡✈❡③❡tt f és g ❢ü❣❣✈é♥②❡❦❜➤❧ ❢❡❧é♣ít❡tt R✭f, g ✮ ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ✐♥✲
t❡❣rá❧ásá❤♦③ ❤❛s③♥á❧❛t♦s ❤❡❧②❡tt❡sítés❡❦✿
x
❆③ R✭s✐♥ x , ❝♦s x✮ tí♣✉s ❡s❡té♥ ❛ t❣ ❂ t ❤❡❧②❡tt❡sítés✳ ❊❦❦♦r

❚ ✶✷✳✶✸ ❆ ❧❡❣❣②❛❦♦r✐❜❜ ❤❡❧②❡tt❡sítés❡❦✿



s✐♥ x ❂

✷t
✶✰t

,


❝♦s x ❂

✶ − t✷
✶ ✰ t✷

✷dt

, dx ❂

✶ ✰ t✷

.

❍❛ R✭s✐♥ x, ❝♦s x✮ ❂ R✭− s✐♥ x, − ❝♦s x✮✱ ❛❦❦♦r ❤❛s③♥á❧❤❛tó ❛③ á❧t❛❧á❜❛♥ ❡❣②s③❡r➯❜❜ t❣ x ❂
t ❤❡❧②❡tt❡sítés ✐s✳ ❊❦❦♦r
s✐♥



x❂

t✷
✶ ✰ t✷

,

❝♦s



x❂


✶ ✰ t✷

, dx ❂

dt
✶ ✰ t✷

.

❆③ R✭s❤ x, ❝❤ x✮ tí♣✉s ❡s❡té♥ ✈❛❣② ❛③ ✭R✭ex ✮ ❡s❡t❜❡♥ ❤❛s③♥á❧❤❛tó✮ ex
❛♠✐❦♦r dx ❂ dtt ✱ ✈❛❣② ❛ t❤ x✷ ❂ u ❤❡❧②❡tt❡sítés✱ ❛♠✐❦♦r
s❤ x ❂

❆③ R
❆③ R
❆③ R
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


r />❛③ R

x,

✶ − x✷

x,

x✷ ✰ ✶

x,

x✷ − ✶

x,

x✷ − ✶
a

c

✷u
✶−u

,


❝❤ x ❂

✶ ✰ u✷
✶ − u✷

, dx ❂

✷du
✶ − u✷



t ❤❡❧②❡tt❡sítés✱

.

❡s❡té♥ ❛ ❤❡❧②❡tt❡sítés x ❂ s✐♥ t✳
❡s❡té♥ ❛ ❤❡❧②❡tt❡sítés x ❂ s❤ t✳
❡s❡té♥ ❛ ❤❡❧②❡tt❡sítés x ❂ ❝❤ t✱ ❤❛ x ≥ ✵✱ és
❡s❡té♥ ❛ ❤❡❧②❡tt❡sítés x ❂ − ❝❤ t✱ ❤❛ x ≤ ✵✳
k

❆③ R x b , x d , . . . , x l ✭a, b, c, d, . . . , k, l ∈ ◆✰ ✮ ❡s❡té♥ ❛ ❤❡❧②❡tt❡sítés x
❦✐t❡✈➤❦ ♥❡✈❡③➤✐♥❡❦ ❧❡❣❦✐s❡❜❜ ❦ö③ös tö❜❜s③örös❡✳
✶✷✲✼



uλ ✱ ❛❤♦❧ λ ❛



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ■♥t❡❣rá❧ás ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧

P ✶✷✳✶✹ ●②❛❦r❛♥

❛③ ❛❧❦❛❧♠❛s ❤❡❧②❡tt❡sítés ♠❡❣t❛❧á❧ásá❤♦③ ❛③ ✐♥t❡❣rá❧❛♥❞ó ❢ü❣❣✈é♥②❡♥
át❛❧❛❦ítást ❦❡❧❧ ✈é❣❡③♥ü♥❦✳ ❑❡r❡ssü❦ ♣é❧❞á✉❧ ❛ ✶ ✰ ✷x − x✷ ❢ü❣❣✈é♥② ❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥✲
t❡❣rá❧❥át✳ ❊❧➤❜❜ át❛❧❛❦ít❥✉❦ ❛ ❢ü❣❣✈é♥②t✿
I

✶ ✰ ✷x − x✷ dx ❂



✷ − ✭x − ✶✮



dx ❂





x−✶


✶−



dx.





x−✶

❊③ ✉tó❜❜✐ ❛❧❛❦ ❛③ u ❂ √ ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧ R u, ✶ − u✷ tí♣✉sú ❧❡s③✱ ❛♠❡❧②r❡ ❛ ❚

✶✷✳✶✸ s③❡r✐♥t ❛③ u ❂ s✐♥ t ❤❡❧②❡tt❡sítést ❛❧❦❛❧♠❛③③✉❦✳ ❆ tö❜❜ ❧é♣és❜➤❧ á❧❧ó ❤❡❧②❡tt❡sítés

x−✶
❡❣② ❧é♣és❜❡♥ ✐s ❡❧✈é❣❡③❤❡t➤✿ √ ❂ s✐♥ t✳ ❊❦❦♦r dx ❂ ✷ ❝♦s t dt✱ és
I







❝♦s t ·





✷ ❝♦s t dt ❂ ✷

❝♦s



❂ ❛r❝s✐♥

x−✶


✰ s✐♥ t · ❝♦s t ✰ C ❂ ❛r❝s✐♥

❂ ❛r❝s✐♥

x−✶


✰ ✭x − ✶✮




✶ ✰ ❝♦s ✷t

t dt ❂ ✷



x−✶



✶ ✰ ✷x − x✷ ✰ C



dt ❂ t ✰

x−✶


✶−



s✐♥ ✷t


x−✶


✰C ❂



✰C ❂



.

P ✶✷✳✶✺ ❊❧➤❢♦r❞✉❧❤❛t✱

❤♦❣② ❛ ❢❡♥t✐❡❦❜❡♥ ❛❥á♥❧♦tt ❤❡❧②❡tt❡sítés♥é❧ ❦❡✈❡s❡❜❜ s③á♠♦❧áss❛❧
dx

✭x > ✶✮ ✐♥t❡❣rá❧t✳
❥áró ❤❡❧②❡tt❡sítést ✐s t❛❧á❧❤❛t✉♥❦✳ ❙③á♠íts✉❦ ❦✐ ♣é❧❞á✉❧ ❛③

❆③ ❛❥á♥❧♦tt ❤❡❧②❡tt❡sítés✿ x ❂ ❝❤ t✳ ❊❦❦♦r dx ❂ s❤ t dt és I
dt

❝❤ t

t

❊③ ✉tó❜❜✐t ♠❡❣♦❧❞❤❛t❥✉❦ ❛ t❤
✷ ❛r❝t❣ u ✰ C ✳

❆ ❝❤ t ❂

x−✶
x✰✶

✷ ❛r❝t❣



✶ ✰ u✷
✶−

u✷





t

❝❤ t − ✶

❡❣②❡♥❧❡t❜➤❧ u ❂

❝❤ t ✰ ✶



s❤ t dt



u ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧✿ ❛ ✭✶✸✮ ❦é♣❧❡t❡❦ s③❡r✐♥t I

❝❤ t s❤ t



x−✶
✱ t❡❤át
x✰✶

✷du
✶ ✰ u✷

dx

x x✷ − ✶




t✷

· −
−✶



t✷






x
dt ❂ −



❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧✳ ❊❦❦♦r dx ❂ −
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


✷ ✱ és


t

dt
✶−

t✷

❂ ❛r❝❝♦s t ✰ C ❂ ❛r❝❝♦s



x

✰C

▲át❤❛tó✱ ❤♦❣② ❡③ ✉tó❜❜✐ ❤❡❧②❡tt❡sítés ❦❡✈❡s❡❜❜ s③á♠♦❧áss❛❧ ❥ár✳
dt
▼❡❣❥❡❣②③és✳ ❆③
✐♥t❡❣rá❧t ♠ás ♠ó❞♦♥ ✐s ❦✐s③á♠ít❤❛t❥✉❦✳ ❇➤✈ít✈❡ ❛ tört❡t
és ❝❤✷ t ❤❡❧②ér❡



✰ C✳

❙③á♠íts✉❦ ❦✐ ✉❣②❛♥❡③t ❛ ❢❡❧❛❞❛t♦t t ❂
I



x x −✶
dx

x x✷ − ✶

❝❤ t

✭✶ ✰ s❤ t✮✲❡t

.

❝❤ t✲✈❡❧

ír✈❛✱ u ❂ s❤ t ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧
du

❂ ❛r❝t❣ u ✰ C ❂ ❛r❝t❣✭s❤ t✮ ✰ C ❂ ❛r❝t❣ x✷ − ✶ ✰ C .
I❂

✶ ✰ u✷
✶ ✰ s❤ t
▼ás át❛❧❛❦ításs❛❧ és u ❂ et ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧✿
dt
et
du
dt
t
I❂

❂✷
dt ❂ ✷
❂ ✷ ❛r❝t❣✭e ✮ ✰ C .


t
t ✰ e−t ✮
❝❤ t
e
✰✶
✶ ✰ u✷

e

❝❤ t dt

❆③ x ❂ ❝❤ t ❡❣②❡♥❧➤sé❣❜➤❧ t ❂ ❛r❝❤ t ❂ ❧♥ x ✰ x✷ − ✶ ✱ t❡❤át I ❂ ✷ ❛r❝t❣ x ✰ x✷ − ✶ ✰
C✳
❉✐✛❡r❡♥❝✐á❧áss❛❧ ♠❡❣❣②➤③➤❞❤❡tü♥❦ ❛rró❧✱ ❤♦❣② ♠✐♥❞ ❛ ♥é❣② ♠ó❞♦♥ ❛ ♠❡❣❛❞♦tt ❢ü❣❣✈é♥②
✶✷✲✽



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ■♥t❡❣rá❧ás ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧

❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧❥át ❦❛♣t✉❦ ♠❡❣ ❛③ ✭✶, ∞✮ ✐♥t❡r✈❛❧❧✉♠❜❛♥✳ ❊③ ❛③t ✐s ❥❡❧❡♥t✐✱ ❤♦❣② ❛③
❡r❡❞♠é♥②❡❦ ❥♦❜❜ ♦❧❞❛❧á♥ ❡❧s➤ t❛❣❦é♥t á❧❧ó ❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ❧❡❣❢❡❧❥❡❜❜ ❦♦♥st❛♥s öss③❡❛❞❛♥❞ó❜❛♥
tér❤❡t♥❡❦ ❡❧ ❡❣②♠ástó❧✳

❋❡❧❛❞❛t♦❦


❚ ✶✷✳✶✸

❛❧❛tt ❢❡❧s♦r♦❧t ❤❡❧②❡tt❡sítés❡❦ ✈❛❧❛♠❡❧②✐❦é✈❡❧ ✈❛❣② ♠ás ❛❧❦❛❧♠❛s ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧

a b✱ c

♦❧❞❥✉❦ ♠❡❣ ❛③ ❛❧á❜❜✐ ❢❡❧❛❞❛t♦❦❛t ✭ ✱

− x✷ dx✱

✶✶✽✳

✶✶✼✳



✶✷✵✳

✺✰✸

✶✷✶✳

✶✷✸✳

dx


x c✰x

✶✷✹✳

x✷ dx✱

✶✷✻✳

✶✷✾✳

✶✰

x dx✱

x
dx✱
✶−x

✶✸✷✳

x✷ ✰ ✷x ✰ ✷ dx✱

✶✸✺✳

✶✺ ✰ ✷

✶✸✼✳

✶✶✾✳

x✷
dx✱
a✷ − x✷

✶✷✷✳



✶✹✵✳

✶✹✸✳

✶✹✻✳

✶✹✾✳

✶✺✷✳

✶✺✺✳

x✷ ✰ ✶
dx✱
x✷

✶✸✵✳



✶✸✸✳



− ❝♦s✷ x
dx✱

✶ ✰ ❝♦s x
dx

❝♦s x
dx


✶ − s✐♥ x
❧♥ ❧♥ x
dx✱
x


✶✹✶✳

✶✹✹✳

✶✹✼✳

✶✺✵✳

✶✺✸✳

✶✺✻✳

e
ex

✰✶

dx✱

dx

✶✷✺✳



− ✷x − x✷ dx✱

✶✸✶✳



− ✸x✷ dx✱

x✷ − ✸x ✰ ✶ dx✱

✶✸✹✳



− ✷x ✰ x✷ dx✱

✷ ✰


a

x✸ dx



✶✰ x
dx

√ ✱
x✰ ✹x

x

dx✱
✹ ✸
x ✰✶
dx

✶ ✰ s✐♥ x
dx

✺ ✰ ✸ ❝♦s x
dx



s✐♥ x ❝♦s x
dx




dx




✷✮

a✷ ✰ x✷
x✸ dx
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


/>√
✶✸✾✳


✶ ✰ ✷x
dx

√ ✱
✶✹✷✳
x ✭✶ ✰ ✸ x✮
dx
✶✹✺✳

s✐♥ x ✰ ❝♦s x
x

✶✹✽✳

✶✺✶✳

✶✺✹✳

dx
✶ ✰ ❝♦s

x



dx
x

✺ ✰ ✹ s✐♥ ✷

x✷ − ✶



✶✺✼✳

x

dx✱

✶✷✲✾

✶✻✵✳



dx✱

x✷ ✰ ✶✮

ex − ✶ dx✱


− s✐♥ x


s❤



− x✷ ✮

x
dx✱
x−✶



✶✺✾✳


x c ✰ x dx✱

✶✷✽✳

✶✸✻✳

✶✸✽✳

a✷ ✰ x✷ dx✱

✭✶

✶✷✼✳

✷x

✶✺✽✳



x✷ − ✶✮ dx✱



x − x✷ dx✱

dx


x x✷ ✰ a✷
dx


x ✰x

x
dx✱
x✭x ✰ ✶✮

a > ✵✮✳

a✷ − x✷ dx✱




❦♦♥st❛♥s♦❦ és

dx

c ✰ b ❝♦s x



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ❘❛❝✐♦♥á❧✐s tört❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ✐♥t❡❣rá❧ás❛

❘❛❝✐♦♥á❧✐s tört❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ✐♥t❡❣rá❧ás❛
❚ ✶✷✳✶✻ ❆

✈❛❧ós ❡❣②ütt❤❛tós r❛❝✐♦♥á❧✐s R✭x✮ tört❢ü❣❣✈é♥② ♠❛r❛❞é❦♦s ♦s③táss❛❧
P ✭x✮
Q✭x✮

R✭x✮ ❂ g ✭x✮ ✰

❛❧❛❦r❛ ❤♦③❤❛tó✱ ❛❤♦❧ P ✭x✮ ❢♦❦s③á♠❛ ❦✐s❡❜❜ Q✭x✮ ❢♦❦s③á♠á♥á❧✳
❚ ✶✷✳✶✼ ❆

Q✭x✮ ✈❛❧ós ❡❣②ütt❤❛tós ♣♦❧✐♥♦♠❢ü❣❣✈é♥② ❡❣②ért❡❧♠➯❡♥ ❡❧➤á❧❧ít❤❛tó ❡❧s➤❢♦❦ú✱ és
♥❡❣❛tí✈ ❞✐s③❦r✐♠✐♥á♥sú ♠ás♦❞❢♦❦ú ♣♦❧✐♥♦♠❢ü❣❣✈é♥②❡❦ s③♦r③❛t❛❦é♥t✿
Q✭x✮ ❂ a✵ ✭x − x✶ ✮α✶ · · · ✭x − xk ✮αk ✭x✷ ✰ b✶ x ✰ c✶ ✮

β✶

β

· · · ✭x✷ ✰ bl x ✰ cl ✮ l .

❚ ✶✷✳✶✽ ❍❛ Q✭x✮✲♥❡❦ ❛③ ❡❧➤③➤ tét❡❧ s③❡r✐♥t✐ ❢❡❧❜♦♥tás❛ ✐s♠❡r❡t❡s✱



P ✭x✮
Q✭x✮

✭✶✮



A✶
x − x✶

··· ✰

A✶
x − xk

✭✶✮



A✷
✭x − x✶ ✮✷



A✷
✭x − xk ✮✷

✭k ✮

✭✶✮



✭✶✮

✭l✮

··· ✰

Aα✶
✭x − x✶ ✮α✶

✰ ··· ✰

Aαk

✭x − xk ✮αk

✭l✮

B✶ x ✰ C✶
x✷ ✰ bl x ✰ cl

✭✶✮

B✷ x ✰ C✷


x✷ ✰ b✶ x ✰ c✶
✭l✮



✰ ···

✭k ✮

✭✶✮



P ✭x✮
tört❢ü❣❣✈é♥②t
Q✭x✮

✭✶✮

✰ ··· ✰

✭k ✮

B✶ x ✰ C✶
x✷ ✰ b✶ x ✰ c✶

❛❦❦♦r

x✷ ✰

✰ ··· ✰

bl x ✰ cl



✰ ··· ✰

✭✶✮





β✶

x✷ ✰ b✶ x ✰ c✶
✭l✮

✭l✮

l

l

x✷ ✰

bl x ✰ cl

✭l✮

B✷ x ✰ C✷

✭✶✮

Bβ x ✰ Cβ
Bβ x ✰ Cβ

βl

✰ ···

✰ ···

❦é♣❧❡t s③❡r✐♥t ❡❧❡♠✐ tört❢ü❣❣✈é♥②❡❦ ✭♣❛r❝✐á❧✐s tört❡❦✮ öss③❡❣ér❡ ❜♦♥t❤❛t❥✉❦✳ ❆③ ✐tt ♠é❣
✐s♠❡r❡t❧❡♥ A✭i✮ ✱ B ✭i✮ ✱ C ✭i✮ s③á♠♦❦ ♠❡❣❤❛tár♦③ásár❛ ❡❣②❡♥❧❡tr❡♥❞s③❡rt ír❤❛t✉♥❦ ❢❡❧✳
P ✶✷✳✶✾ ❙③á♠íts✉❦

❦✐ ❛③



x✻ ✰

❢ü❣❣✈é♥② ❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧❥át✳

x✹

❆ ♥❡
Figyelem! Ez itt a doksi tartalma kivonata.
Kérlek kattints ide, ha a dokumentum olvasóban szeretnéd megnézni!


❡③➤t ❛ ❚ ✶✷✳✶✼ s③❡r✐♥t✐ ❛❧❛❦r❛ ❤♦③③✉❦✿ x✻ ✰ x✹
❢ü❣❣✈é♥②t ❡❧➤á❧❧ít❥✉❦ ❡❧❡♠✐ tört❡❦ öss③❡❣❡❦é♥t✿


x✹ ✭x✷ ✰ ✶✮

A✶
x





A✷
x✷



A✸
x✸





A✹
x✹

x✹ ✭x✷



✰ ✶✮.

❊③t ❢❡❧❤❛s③♥á❧✈❛ ❛

Bx ✰ C
.
x✷ ✰ ✶

❆ ❥♦❜❜ ♦❧❞❛❧t öss③❡✈♦♥✈❛✱ ❛ ❦ét ♦❧❞❛❧ s③á♠❧á❧ó❥á♥❛❦ ❛③♦♥♦s❛♥ ❡❣②❡♥❧➤♥❡❦ ❦❡❧❧ ❧❡♥♥✐❡✿
A✶ x✸ ✭x✷ ✰ ✶✮ ✰ A✷ x✷ ✭x✷ ✰ ✶✮ ✰ A✸ x✭x✷ ✰ ✶✮ ✰ A✹ ✭x✷ ✰ ✶✮ ✰ ✭Bx ✰ C ✮x✹ .
➪tr❡♥❞❡③✈❡ x ❤❛t✈á♥②❛✐ s③❡r✐♥t✿




✶ ❂ ✭A✶ ✰ B ✮x ✰ ✭A✷ ✰ C ✮x ✰ ✭A✶ ✰ A✸ ✮x ✰ ✭A✷ ✰ A✹ ✮x ✰ A✸ x ✰ A✹ .
✶❂

❆ ♠❡❣❢❡❧❡❧➤ ❡❣②ütt❤❛tó❦ öss③❡❤❛s♦♥❧ításá✈❛❧✿
A✹

❂ ✶,

A✸

❂ ✵,

A✶ ✰ B

❂ ✵,

A✷ ✰ C

❂ ✵,

❊③❡❦❜➤❧ A✶ ❂ ✵, A✷ ❂ −✶, B ❂ ✵, C ❂ ✶✳ ❚❡❤át
dx
x✻ ✰

x✷







x✷





x✹





x✷ ✰ ✶

A✶ ✰ A✸

dx ❂



x



❂ ✵,


✸x✸

A✷ ✰ A✹

❂ ✵.

✰ ❛r❝t❣ x ✰ C.

❆♠❡♥♥②✐❜❡♥ Q✭x✮ ❣②ö❦❡✐ ❦ö③ött tö❜❜ ❡❣②s③❡r❡s ❣②ö❦ ✈❛♥✱ ❛③ A✭ji✮ ✱ Bj✭i✮ ✱ Cj✭i✮ s③á♠♦❦
♠❡❣❤❛tár♦③ását ❝é❧s③❡r➯❜❜❡♥ ❛③ ❛❧á❜❜✐ ♣é❧❞á❜❛♥ s③❡♠❧é❧t❡t❡tt ♠ó❞♦♥ ✈é❣❡③❤❡t❥ü❦✳
✶✷✲✶✵



✶✷✳

❍❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧ ✖ ❱❡❣②❡s ❢❡❧❛❞❛t♦❦✳
x✷

P ✶✷✳✷✵ ❙③á♠íts✉❦

❦✐ ❛③
❢ü❣❣✈é♥② ❤❛tár♦③❛t❧❛♥ ✐♥t❡❣rá❧❥át✳ ❊❧❡♠✐ tört❡❦ öss③❡❣ér❡
✶ − x✹
❜♦♥t❥✉❦ ❛ ❢ü❣❣✈é♥②t✿
x✷
✶ − x✹



−x✷
x✹ − ✶



−x✷
✭x✷ − ✶✮✭x✷ ✰ ✶✮



A
x−✶

B



x✰✶

Cx ✰ D
.
x✷ ✰ ✶



❊❜❜➤❧ −x✷ ❂ A✭x ✰ ✶✮✭x✷ ✰ ✶✮ ✰ B ✭x − ✶✮✭x✷ ✰ ✶✮ ✰ ✭Cx ✰ D✮✭x✷ − ✶✮✳
▲❡❣②❡♥ x ❂ ✶ ❀ ❛❦❦♦r −✶ ❂ ✹A ✱ ❛③❛③ A ❂ − ✶✹ ✳
▲❡❣②❡♥ x ❂ − ✶❀ ❛❦❦♦r −✶ ❂ −✹B ✱ ❛③❛③ B ❂ ✶✹ ✳
▲❡❣②❡♥ x ❂ ✵ ❀ ❛❦❦♦r ✵ ❂ A − B − D✱ ❛③❛③ D ❂ − ✶✷ ✳
❆ C ✲t ❛③ x ❡❣②ütt❤❛tó✐❜ó❧ á❧❧❛♣ít❥✉❦ ♠❡❣✿ A ✰ B − C ❂ ✵✱ ❛③❛③ C ❂ ✵✳ ❚❡❤át
x✷
dx ❂
✶ − x✹







❧♥ |x − ✶| ✰

−x✷
dx ❂
x✹ − ✶





❧♥ |x ✰ ✶| −




✹✭x − ✶✮




✹✭x ✰ ✶✮


❛r❝t❣ x ✰ C ❂








✷✭x✷ ✰ ✶✮

x✰✶

x−✶

❧♥




dx ❂

❛r❝t❣ x ✰ C

.

❋❡❧❛❞❛t♦❦
■♥t❡❣rá❧❥✉❦ ❛③ ❛❧á❜❜✐ r❛❝✐♦♥á❧✐s tört❢ü❣❣✈é♥②❡❦❡t✱ ✐❧❧❡t✈❡ ❤❡❧②❡tt❡sítéss❡❧ ✐❧②❡♥❡❦r❡
✈✐ss③❛✈❡③❡t❤❡t➤ ❢ü❣❣✈é♥②❡❦❡t✳

✶✻✶✳

✶✻✹✳

✶✻✼✳

✶✼✵✳

✶✼✸✳





✶✻✷✳



x −✽
x−✸