Matematika | Középiskola » A csonkakúp felszíne és térfogata

A csonkakúp felszíne és térfogata A csonkakúp térfogata R2 π ( m + x ) V = Vnagy − Vkicsi = 3 − r2 π ⋅ x = 3 Az x-t helyettesíteni kéne a csonkakúp adataival. A háromszögek hasonlóságát kihasználva: x x+m = r R /⋅ Rr xR = xr + mr xR − xr = mr x (R − r ) = mr x= ( mr (R − r ) )) = mR π 2 π 2 π 2 R m + R 2 x − r 2= x R m + x R 2 − r 2= ( R − r ) ( R + r= )  R m + 3 3 3 R −r  = mπ 2 π 2 R m + mR ( R + = r) R + Rr + r 2 3 3 ( ( ) ) ( ( ) = V ( mπ 2 R + r R + r2 3 ) A felszín: A körgyűrűcikk a csonkakúp palástja. i= 1 2Rπ i2= 2rπ Körgyűrű területe = nagy körcikk területe – kis körcikk területe tkörcikk = sugár ⋅ ívhossz 2 P = ( y + a ) ⋅ i1 2 − y ⋅ i2 = 2 ( y + a ) ⋅ 2Rπ 2 − y ⋅ 2rπ = yRπ + aRπ − yrπ= 2 = π ( y ( R − r ) + aR ) = y − t ki kell fejezni a csonkakúp adataival! y y+a = r R Ry = ry + ra / − yr Ry − ry = ra y (R − r ) = ra

y= ra R −r  ra = π a (r + R ) ( R − r ) + aR  =π R −r  A= R 2 π + r 2 π + aπ ( r + R ) Feladatok 1. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 18 cm és 12 cm, magassága 5 cm Megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. Számítsa ki az így keletkezett csonkakúp felszínét és térfogatát! a2= 9 + 25 = a = 34 A= 92 ⋅ 3,14 + 62 ⋅ 3,14 + 34 ⋅ 3,14 ( 6 + 9 ) = = V mπ 2 R + Rr + = r2 3 ( ) 2. Egy csonkakúp alap-, illetve fedőkörének sugara 18 cm, illetve 10 cm, alkotója 28 cm Számítsa ki a térfogatát és a felszínét! V = ( mπ 2 R + r R + r2 3 ) A térfogathoz kell a testmagasság. 2 28 = m2 + 82 m= = V 282 − 82= 26,83 26,83 ⋅ 3,14 182 + 18 ⋅ 10 + 102= 28,08 ⋅ 604 = 16960,32 cm3 3 ( ) A= R 2 π + r 2 π + aπ ( r + R ) 3. Egy csonkakúp alap-, illetve fedőkörének sugara 10,5 cm, illetve 4,5 cm, a csonkakúpot kiegészítő kúp alkotója 6 cm. Mekkora a csonkakúp felszíne és térfogata? 36 4,52 + x 2 = x =

15,75 3,97 = 6 6+a = 4,5 10,5 14= 6 + a 8=a /⋅ 10,5 64 = 62 + m2 m2 = 28 m = 5,29 A= R 2 π + r 2 π + aπ ( r + R= ) 10,52 ⋅ 3,14 + 4,52 ⋅ 3,14 + 8 ⋅ 3,14 ( 4,5 + 10,5=) = 346,185 + 63,585 + 25,12= ⋅ 15 786,57 cm2 V= mπ 2 5,29 ⋅ 3,14 R + rR + r 2 = 10,52 + 10,5 ⋅ 4,5 + 4,52 = 5,54 ⋅ 177,75= 3 3 ( ) ( ) 3 984,735 cm 4. Egy egyenes körkúp alapjának sugara 24 cm, magassága 36 cm Ebből a kúpból az alapjával párhuzamos síkkal egy 12 cm magasságú csonkakúpot vágunk le. Mekkora a csonkakúp térfogata és felszíne? x = 36 – 12 cm r = x r = 24 = V R M 24 36 ⇒= r 16 mπ 2 12 ⋅ 3,14 2 = R + rR += r2 242 + 24 ⋅ 16 + 16 15272,96 cm3 3 3 ( ) ( ) 2 a = m2 + 82 = a2 144 + 64 a2 = 208 a = 14, 42 A= R 2 π + r 2 π + aπ ( r + R= ) 242 ⋅ 3,14 + 162 ⋅ 3,14 + 14, 42 ⋅ 3,14 (16 + 24=) 4423,632 cm2 5. Egy csonkakúp térfogata 544,5 cm3, magassága 6 cm, az alap- és fedőkör sugarainak különbsége 5 cm. Mekkorák a sugarak? V =

544,5cm3 m=6 R −r = 5 ⇒ R = 5+r 2 a= 62 + 52 a2 = 61 a = 7,81 Adott a térfogat, helyettesítsünk be a képletébe! V = mπ 2 R + rR + r 2 3 544,5 = ( 6π 3 ((5 + r ) 2 ) + (5 + r ) r + r2 ( ) 544,5 =2π 25 + 10r + r 2 + 5r + r 2 + r 2 ) = 15r + 3r 2 61,7 −61,7 + 15r + 3r 2 0= r1 = 2,68 r2 ≠ −7,68 R= 5 + r R= 5 + 2,68 = 17,68 6. Egy csonkakúp alkotójának és fedőlapjának átmérője egyenlő Magassága 3 m, tengelymetszetének kerülete 15m. Mekkora a felszíne és térfogata? d=a ⇒ + 3a 2r = a A tengelymetszet kerülete 15 m ⇒ 15 = 2R + 2a + 2r = 2R ( 2r )2 = m2 + ( R − r ) 2 4r 2 = m2 + R 2 − 2Rr + r 2 3r 2 = m2 + R 2 − 2Rr 3r 2 = 32 + R 2 − 2Rr 9 =R 2 − 2Rr − 3r 2 A R és a r között kell kapcsolatot teremteni: 15 = 3a + 2R 15 =3 ⋅ 2r + 2R 15 = 6r + 2R 2R = 15 − 6r = R 7,5 − 3r = R 7,5 − 3r  2 2 9 =R − 2Rr − 3r  9 =R 2 − 2Rr − 3r 2 2 9 = ( 7,5 − 3r ) − 2 ( 7,5 − 3r ) r − 3r 2 9=

56,25 − 45r + 9r 2 − ( 15 + 6r ) r − 3r 2 9= 56,25 − 45r + 9r 2 − 15r + 6r 2 − 3r 2 −47,25 = −60r + 12r 2 12r 2 − 60r + 47,25 = 0 r1;2 60 ± 602 − 4 ⋅ 12 ⋅ 47,25 60 ± 36,5 = 2 ⋅ 12 24 r1 = 4,02 ⇒ a1 = 8,02 r2 = 0,98 ⇒ a2 = 1,96 V1 = A1 = V2 = A2 = R1 = 7,5 − 3r1 = R 2 = 7,5 − 3r2 =