Gazdasági Ismeretek | Vállalkozási ismeretek » Beruházási számítások jegyzet

Beruházási számítások jegyzet A beruházási projekt megtérülésének várható értéke nem megfelelő döntési kritérium olyan esetben, ha a projektek meghatározott sorozata ugyanolyan várható kimenettel jellemezhető. Szükség van tehát egy olyan kritériumra, ami kiküszöböli a várható megtérülés szelekciós hiányosságát. A befektetési projektek kockázata (relatív kockázatossága) az a mérőszám, amely segítséget adhat e probléma kiküszöböléséhez. Arra a következtetésre jutottunk az elmúlt alkalommal, hogy egy olyan mérőszámra van szükségünk, amely együtt jeleníti meg a projekt megtérülését, hozamát és kockázatosságát. Ma megvizsgáljuk ennek a mutatónak, a hasznosságnak a legfontosabb jellemzőit, majd a várható megtérülés helyére a várható hasznosságot helyezzük döntési kritériumként. Először azt nézzük meg, hogy mi az elméleti alapja annak, hogy a várható megtérülés, tehát a projekt várható

értéke, miért nem lehet helyes döntési kritérium. Ennek a problémának a vizsgálatához a Bernoulli-féle ’Szentpétervár-paradoxont’ vesszük szemügyre. A játékban pénzérmét dobnak fel. A játékban való részvételért belépési díjat kell fizetni Van egyszer egy játék, amely egy bizonyos eredmény sorozattal jellemezhető, és van egy potenciális játékos, aki részt akar venni valamilyen feltételek mellett ebben a játékban. A kérdés az, hogy milyenek ezek a belépési feltételek. A játék lényege: a pénzérmét addig dobják fel, amíg mondjuk fej nem lesz. Ehhez az eredményhez kapcsolódik a kifizetés/hozam. Minél később következik be a fej dobás, annál nagyobb lesz a kifizetés. Abban az esetben, ha ez elsőre megtörténik, aminek ½ a valószínűsége, akkor a kifizetés 1$, stb: Írás 0. 1. 2. 3. . . . n R (n) = 2 n Kifizetés 1 2 4 16 . . . 2n Valószínűség ½ ¼ ⅛ 1/16 . . . (½ )n+1 Valószínűség · Kifizetés ½ ½ ½

½ . . . ½ Ha 0 írás után jön a fej, akkor a kifizetés 1$. Ha egy írás után, akkor 2$, és így tovább Mivel ezek független események, így a valószínűség ½ · ½ · ½ stb. Ha a valószínűségeket és a kifizetéseket összeszorozzuk, akkor látható, hogy minden egyes esetben a várható kifizetés ugyanakkora lesz. A várható megtérülés tehát mindenesetben ½ A várható megtérülést a valószínűség-sorozat és a kifizetés-sorozat szorzatösszegzésével nyerve végtelen összeget kapunk. A paradoxon tehát abban áll, hogy ennek a játéknak a várható értéke végtelen nagyságú: ∞ E ( R ) = ∑ P (n) R (n) =½ + ½ + . = ∞ n=0 Kérdés: vajon a befektető a játékba való belépésért mennyit hajlandó fizetni? Hogyan határozza meg a befektető ezt az összeget? Azt gondolnánk, hogy ha ilyen nagy összeget nyerhet, akkor nagy összeg feláldozására hajlandó. A valóságban azonban a befektetők többsége nem lesz hajlandó nagy

összeg feláldozására, mert tisztában vannak azzal, hogy ez a játék rendkívül kockázatos. Másrészt, a befektető részvételi hajlandósága nagymértékben függ attól, hogy milyen a befektető kockázati attitűdje. A probléma lényege az, hogy a minden egyes következő kifizetés mint eredmény, a 1 befektető szempontjából nem ugyanolyan elbírálás alá kerül. A különböző kimeneti értékekhez más és más mérlegelés kapcsolódik. Tehát ha a befektetőnek jelentős a vagyona, akkor számára a későbbi pótlólagos egységek (nagy dobásszám utáni) relatív hasznossága lényegesen kisebb lesz. A kérdés lényege tehát az, hogy az egyes kifizetési szintekhez hozzá kell rendelnünk egy minősítő kritériumot: meg kell határoznunk, hogy mit jelent a pótlólagos hozamegység megnyerése a befektető részére, vagyis mi a hasznossága. Egy szubjektív mérlegelés lép be: az egyes fizetési tételek nem homogének, nem ugyanakkora

haszonértékkel bírnak a befektető szempontjából. Íme két szélsőséges példa: Van két egyén, az A jelű 1,000$ vagyonnal rendelkezik, a B jelű egyén pedig 200,000$-ral. A pótlólagos (az 1001-edik, illetve a 200001-edik) dolláregység megszerzéséért, mennyi erőfeszítést hajlandó tenni az egyik és a másik egyén? Nyilvánvalóan akinek kisebb a vagyona, valószínúleg nagyobb hajlandóságot mutat a pótlólagos egység megszerzésére: nagyobb szüksége van az 1000$ mellé a pótlólagos 1$ megszerzésére. A vagyon függvényében értékelt hasznosság kérdésköre a hasznosság csökkenő marginális elvéből vezethető le, és függvény formájában is ábrázolható: U(W) KT/2 W Ez tulajdonképpen egy logaritmusfüggvény. A vízszintes tengely a gazdagságot mutatja, ami a befektető számára a megelégedettség, hasznosság forrását jelenti. Kérdés: a gazdagság növekedésével ez a nyerhető haszosság milyen pályát ír le? A

függőleges tengelyre felmért megelégedettségi/hasznossági mérték a gazdagság alacsonyabb és magasabb fokán eltérő hasznosság konzekvenciával jár. A befektető szempontjából a gazdagság egyre magasabb szintje egyre kisebb marginális hasznosságot hoz. A hasznosság növekvő ugyan, de csökkenő ütemben Konkáv lefutású görbét kapunk, ami nagy valószínűséggel nem illeszthető minden befektetőre. Ahány befektető, annyi féle görbelefutás lehetséges. Ha a befektetőre a kockázat elutasítása lesz jellemző, akkor a csökkenő marginális hasznosság elve fog érvényesülni. Egy játéknak a következő induló feltétele és két következménye lehetséges: 100 000 p=½ 150 000 p=½ 50 000 Feltételezzük, hogy a játékban való részvételre szánt összeg 100,000$. A döntési fa elágazása mutatja, hogy a játéknak két lehetséges kimenete van. Vagy 150,000$ nyeremény 50%-os valószínűséggel, vagy 50,000$ szintén 50%-os

valószínűséggel. Ennek a játéknak a várható értéke 100,000$, tehát ugyanannyit kap, mint amennyit befektet. Ezt a szituációt méltányos játéknak nevezik, aminek az a lényege, hogy a kockázat ellenére semmi profit nem jelentkezik. A méltányos játékot a kockázatkerülő befektető nyilvánvalóan elveti. Most bevezetjük a várható hasznosság fogalmát. Miért nem fogadja el a kockázatkerülő befektető a méltányos játékot? 2 Továbbra is azt feltételezzük, hogy a szóban forgó befektető kockázati attitűdje logaritmikus függvénnyel írható le, amelyre a marginális hasznosság elve jellemző. (Az ábra nem méretarányos!) U(W) A vízszintes tengely a befektető vagyonát jelzi. A játéknak két kimenete lehet: 50,000$ vagy 150,000$. Ebből milyen befektetői mérlegelés következik? Hogyan ragadhatjuk meg a függőleges tengelyen feltüntetett hasznossági következményeket? Milyen hasznosság-hatása lesz az 50,000$nak, a 100,000$-os

várható bekövetkezésnek (ez a játék várható értéke), illetve a 150,000$-nak? A várható értéktől való negatív irányú elmozdulás azt jelenti, hogy 100,000$-ral szálltunk be a játékba, 50,000$-t nyerünk, tehát végeredményben 50,000$-t elveszítünk (W 1 ). A pozitív irányú elmozdulás esetén az eredeti befektetésünkhöz képest 50,000$-t nyerünk. A 100,000$ feláldozásával tehát vagy veszítünk, vagy nyerünk 50,000$-t. Ennek a két kimenetnek nem ugyanolyan a hasznossági következménye, mert az 50,000$ elveszítéséből adódó hasznosságcsökkenés nagyobb lesz, mint a 100,000$ feláldozásával megnyert plusz 50,000$ esetében bekövetkező hasznosság-növekedés. A nyerés és a vesztés hasznosság-következménye nem ugyanolyan. A 100,000$ hasznossági következménye úgy határozható meg, hogy megkeressük azt a kitevőt, ami ln 100 000 -el egyenlő. Ez ennek a lépésnek a hasznossága ln 100 000 = 1151 = U(100 000). Ez a várható

értéknek és egyben beszállási összegnek a hasznossága A 150,000$-os kimenet hasznossága = ln 150 000 = 11.92 , vagyis a 100,000$ befektetésével a 150,000$ megnyerése a 11.92 és a 1151 közötti hasznosság-növekmény megnyerésével lesz egyenértékű: G = 11.92 − 1151 . = 041 Tehát a hasznossági növekmény 0.41 hasznosság egység Mivel 50% a valószínűsége annak, hogy ez az állapot bekövetkezik, így a hasznosságnövekmény várható értéke: U(150,000) = 11.92 P ⋅ G = 0.5 ⋅ G 0.41 = 021 U(100,000) = 11.51 A negatív irányú elmozdulás esetén: E[U(W)] = 11.37 Y 100 000 – ln 50 000 =L11.51 – 1082 = 069 ln Tehát a vesztésnek (azaz 100,000$ feláldozásával szemben csak 50,000$ megnyerésének) a következménye 0.69 hasznosság-egység csökkenés lesz, a nyerés esetén keletkező 041 hasznosságU(50,000) = 1052 növekedéssel szemben. Ez a csökkenő marginális hasznosság elvének a szükségszerű következménye. Ennek a

valószínűségét tekintve: W1(50,000) WCE (1-P)LW= · 0.69 E(W)=100,000 150,000 (W)= 2 = 0.5 3 0.35 vagyis 0.35 hasznosság egység csökkenés várható A kedvezőtlenebb kimenet esetén többet veszítünk, mint amennyit a kedvező kimenet esetén nyerünk. Kérdés: vajon hogyan határozható meg az az indikátor, amely ennek a játéknak a következményét a lehető leghitelesebben mutatja be? Láttuk, hogy nem elegendő várható kimenetben gondolkodni. A korábbiakban mindig várható megtérülést számoltunk, most viszont a befektetők preferenciáinak a mérlegelése szükségessé teszi egy új indikátor bevezetését. A kedvező és a kedvezőtlen eredmény hasznossági következményeit tehát egyszerre kell figyelembe venni, ami azt jelenti, hogy várható hasznosságot kell számítanunk. Nem várható kimenetet, nem várható eredményt, hanem ennek az eredménynek a várható hasznosságát. A hasznosság várható értéke E[U(W)] (vagy a várható

hasznosság) nem más, mint a lehetséges hasznossági kimenetek súlyozott értéke 1: KT/4 E[U(W)] = pU(W 1 ) + (1-p)U(W 2 ) = ½ ln 50 000 + ½ ln 150 000 = 11.37 ln (WC E ) = 11.37 vagyis ennek a játéknak a várható hasznossága 11.37 hasznosság egység Az ábrán látható, hogy a 11.37 hasznosság-érték a legalsó pontot és a G pontot összekötő húr középpontjában található. Ez a 100,000$ belépési összeghez, illetve - mivel méltányos játékból indultunk ki - , a legvalószínűbb kimenethez tartozik. Mindezek alapján még mindig nem tudunk dönteni, mert nem tudjuk, hogy a 11.37 értéket mihez kell viszonyítanunk. Látható, hogy a várható hasznosság a játék középértékétől, tehát a várható kimenettől balra helyezkedik el. A várható érték hasznossága U(100,000) 1151 hasznosság egység, a játék várható hasznossága viszont kevesebb: 11.37 Ez 1137 egyben a mi befektetési áldozatunknak a haszonhatása is, hiszen 100,000$-t

áldoztunk a játékért. A 1137 hasznosság egység azt mutatja, hogy a befektető kevesebbet nyer hasznosságban, mint amekkora az áldozat hasznossága. A befektető tehát elutasítja a játékot, mert kevesebb mérlegelt hasznosságot ígér a játék, mint amekkora az ő áldozatából adódó hasznoság. A kockázatkerülő befektető tehát elveti ezt a játékot Mennyit hajlandó a befektető teljes bizonyossággal feláldozni arra, hogy ezt a kockázatos eredményt megnyerje? Az ábrán látható balra történő elmozdulás azt szimbolizálja, hogy az egyenértékűséghez nem a 100,000$ áldozat tartozik, hanem egy kisebb érték. Ez az érték a biztonsági ekvivalens, amit a függőleges tengelyen a várható hasznosság értékétől a görbéhez vízszintest húzva, majd a vízszintes tengelyre merőlegest engedve metszhetünk ki. A 1137 várható hasznosság tehát a kettő tekintetében a befektető közömbösségét alapozza meg a két lehetőség közüli

választásban. A két lehetőség: játszani, vagy nem játszani. Ebben a álasztásban döntő szerepe van ennek a biztonsági ekvivalensnek. Kérdés: ezt a bizonyossági egyenértékest hogyan határozhatjuk meg? W CE = e11.37 = 86 68186 (CE-index = certainty equivalent). A biztonsági ekvivalens tulajdonképpen azt jelzi, hogy a befektető szempontjából ez az az összeg, amit hajlandó feláldozni egy olyan játékban való részvételért, aminek 50 000$ vagy 100,000$ kimenete van 50-50%-os valószínűséggel. Ez a választás tehát azt jelenti, hogy a befektető közömbös a tekintetben, hogy belép a játékba, de ezért csak 86 ezer $-t hajlandó fizetni, a 100,000$ várható kimenetűjátékban való részvételért. Mi a jelentése a kettő különbségének? Az Y jelentése nagyon fontos: azt mutatja, hogy ezt a játékot a befektető kockázatosnak véli. A kockázat pedig annak az esélye, hogy veszítünk A hasznosságunkra ez a potenciális kockázat csökkentő

(negatív) hatást gyakorol. Y = E(W) – W CE = 100 000 – 86 681.86 = 13 31813$ 1 A várható érték hasznossága U(W) mást jelent, nem összetévesztendő a hasznosság várható értékével! 4 Az Y-nal jelzett különbség tehát a kockázati prémium. Ez az a rizikóprémium, ami a játékba való belépés tekintetében közömbössé teszi a befektetőt a tekintetben, hogy vállalja-e a játékot, vagy sem. Ez a különbség a vízszintes tengelyen érzékelhető: a várható kimenet és a biztonsági egyenértékes különbsége. A befektető tehát annak alapján dönt, hogy milyen viszonyban van egymással a várható hasznosság (a hasznosság várható értéke), illetve a várható érték hasznossága (a bizonyossági egyenértékesből nyerhető hasznosság). Minden olyan esetben, a mikor a várható érték hasznossága (az induló összeg hasznossága) nagyobb, mint a játék várható hasznossága, akkor a játékot elutasítja a befektető. A

kockázatkerülő döntéshozó csak akkor fogadja el a kockázatos játékot, ha a várható hasznosság nagyobb a biztonsági ekvivalens hasznosságánál. 5 Ha a befektetés várható hasznossága meghaladja a teljes bizonyossággal várható kimenet hasznosságát, akkor a projekt elfogadható. A kockázatkerülő befektető tehát prémiumot követel a vállalt kockázat fejében. A kockázat-kereső befektető hasznossági függvénye a következőképpen néz ki: UT/4 U U = x2 W A kockázatbarát befektető számára a gazdagság hatása a hasznosságra egy negatív rizikóprémiumban fejeződik ki, hiszen a kockázatkereső fizet azért, hogy részt vehessen és többletkockázatot vállalhasson a játékban. Az üzleti élet nem ilyen szereplőkből áll; ez a szerencsejáték világa. A kockázatközömbös befektető hasznossági függvénye: UT/5 U U=x W A kockázatközömbös befektetőt nem zavarja a kockázat, vagyis nincs összefüggés a kockázat és annak

kompenzációja között. Itt nincs rizikóprémium, a kockázatközömbös játékos elfogadja a méltányos játékot, vagyis annyit kap vissza, amennyit befektet. Nincs kockázatvállalás * Vajon miként alkalmazhatjuk a várható hasznosság gondolatmenetét a beruházási változatok közüli választás esetén? Tisztáztuk, hogy a hasznosság a vagyonból nyerhető, a befektető vagyona különböző szintjei más és más pótlólagos hasznosságot biztosítanak a befektető számára. Ezt a következő formában fejezhetjük ki: VHB/1 u = U(W) vagyis az ’u’ a vagyonból nyerhető hasznosság-egységet (utilis) jelöl. A befektetők nem a várható megtérülést, hanem a hasznosságot maximalizálják; tehát annak a vagyonnövekménynek a hasznosság-növekményét, amely a vagyon hasznosításából származik. Tegyük fel, hogy van egy kockázatos befektetésünk, amelynek két kimenete lehet: vagy nyerünk, vagy veszítünk rajta egy dollárt. A projekt

kockázatosságára az utal, hogy egynél több 6 kimenete van. Hogyan minősíthető ez a beruházás? A projekt várható hasznosságát úgy kapjuk meg, hogy a vonatkozó valószínűségekkel súlyozzuk az egyes kimenetek hasznosságát: E[U(B)] = pU · (+1) + (1-p) · U(-1) = 0.5 · U(+1) + (05) · U(-1) a nyerés hasznossága + a vesztés hasznossága A várható érték hasznossága nem más, mint a lehetséges kimeneteknek a vonatkozó valószínűségekkel súlyozott értéke: U[E(B)] = U{[p · 1] + [(1-p) · (-1)]} U[E(x)] = U{[0.5 · 1] + [05· (-1)]} = U[0] Eredményül 0-t kaptunk, és ennek a hasznosságát állítjuk majd szembe a várható hasznossággal (vagyis a kockázatmentes befektetést állítjuk szembe a kockázatos projekttel). A második számítás tehát a várható érték hasznosságát mutatja. Ha pedig a hasznosság várható értéke meghaladja a várható érték hasznosságát, akkor a projekt elfogadható. A kockázatkerülő befektető

csökkenő marginális hasznosságot mérlegel. Induljunk ki abból, hogy van egy teljesen biztonságos állapot, vagyis rendelkezünk valamilyen összeggel. Mozduljunk ki ebből a biztonságos állapotból és legyen W 0 az az összeg, amennyit a játékos hajlandó fizetni a belépésért. Két eset lehetséges: a) ha veszítünk, akkor x-el csökken a biztonsággal rendelkezésre álló vagyon (-x) b) ha nyerünk, akkor W 0 x-el megnövekszik. A két eshetőség azonos valószínűséggel következik be. Mit jelent akkor a következő egyenlőtlenség? [0.5 · U(W 0 – x)] + [05 · U(W 0 + x)] < U(W 0 ) A kockázatos projekt várható hasznosságát úgy határozzuk meg, hogy a vesztési állapot (W 0 – x) illetve a nyerési állapot (W 0 + x) hasznosságának a vonatkozó valószínűségekkel súlyozott értékét kiszámítjuk. Ha a várható hasznosság kisebb a W 0 hasznosságánál, akkor a befektetésbe nem érdemes belemenni. Ha a bal oldali kifejezés a nagyobb, akkor

a projekt elfogadható A kockázatkerülő befektető ebben az esetben azt tapasztalja, hogy a beruházás várható hasznossága kisebb a várható érték hasznosságánál, emiatt elutasítja a projektet: U(W 0 ) > E[U(W 0 )] A várható hasznosság a várható megtérülés és a kimenet kockázatának a függvénye: E(U) = f[E(r), σ] ahol E(U) = a várható hasznosság, E(r) = a várható megtérülés, σ = a megtérülési variabilitás A két tényezőnek egymással ellentétes hatása van a hasznosságra: a várható megtérülés növekedése (ceteris paribus) emeli, a kockázat növekedése pedig csökkenti a hasznosságot. Nézzünk meg egy számszerű példát arra, hogy különböző beruházási változatok közül milyen döntést hozhatunk erre a modellre alapozva! Tekintsünk három beruházási változatot a következő becsült paraméterekkel: 7 Beruházási kimenetek és valószínűségek Kimenet -3% 0 3% 6% 9% Σp i = 1 Beruház ás A ↑ B 0.5

Valószín űség C 0.5 0.5 ↓ 0.5 1 Σp i = 1 Σp i = 1 Σp i = 1 Jellemzők E(r) σ E(r A ) = σA = 3% 6% E(r B ) = σB = 3% 3% E(r C ) = σC = 3% 0% Ahhoz, hogy a projektek besorolása elvégezhető legyen, a következő három paraméter becslésére van szükség: a várható megtérülés, a kockázat és az egyes kimenetekhez kapcsolódó valószínűségek. Az A, B és C beruházási változatnak 5 lehetséges megtérülési kimenete van: - veszteség (-3%), - 0, - + 3% nyereség, - + 6% nyereség és - + 9% nyereség. Az A projekt bekövetkezési valószínűségeire vonatkozó becslések: - 50% eséllyel – 3% nyereség, - 50% eséllyel 9% nyereség. És így tovább. Az utolsó két oszlop értékei szémított értékek (a módszer már ismert). A három beruházásnak ugyanakkora a várható megtérülése. σ A = [05 · (-3 – 3)2 + 05 · (9-3)2]1/2 = 6% A kockázat tekintetében viszont különböznek a projektek. Nézzük meg, hogy a három különböző

befektetői típus hogyan viszonyul e három projekthez? 1) Kockázatkerülő befektető A következő hasznossági függvényt feltételezzük: U = 100r – 50r2. Ennek megfelelően a várható hasznosságok: VHB/2 A) az A projektből vagy 3%-os veszteség, vagy 9%-os nyereség származik. Ebből: [ ] 2 E U ( A ) = ∑ pi [U (ri )] = 12 [U ( −0.03)] + 1 2 [U (009)] = 1 2 ( −3045) + 1 2 (8595) = 2785 utilis i =1 A várható hasznosságot úgy határozzuk meg, hogy az egyes hasznossági kimeneteket súlyozzuk a bekövetkezés valószínűségével. Az U(-003) a hasznossági függvény értéke a –3%-os megtérülési érték mellett. A – 003 és a 009 értékeket be kell helyettesíteni a 100r – 50r2 egyedi hasznossági függvény képletébe, így kapjuk meg a – 3.045 és a 8595 értékeket A veszteség kimenet hasznossága tehát –3.045 = ½×100×(-003) – 50(-003)2 Ugyanez érvényes a 8595 érték esetében. B) a B projekt kimenete vagy 0, vagy +6%. Ennek

alapján: [ ] E U ( B ) = 12 [U (0)] + 1 2 [U (0.06)] = 0 + 1 2 (582 . ) = 291 utilis A B projekt hasznosság hatása tehát jobb, mint az A projekté. C) A projekt megtérülése teljes bizonyossággal 3%, tehát: [ ] E U ( C ) = 12 [U (0.03)] = 1[2955] = 2955 utilis 8 A kockázatkerülő befektető számára annak a projektnek a legnagyobb a hasznossága, amelyiknek a legkisebb a kockázata, hiszen a várható megtérülés mindhárom esetben ugyanakkora volt. U U = 100r – 50r2 r A hasznossági függvény becslésen alapul; ahány befektető, annyiféle hasznossági függvény. A vízszintes tengelyen a hozamráta szerepel és nem a gazdagság. Itt előfordulhat az is, hogy a befektetésnek van olyan kimenete, amely negatív hozammal és negatív hasznossággal jellemezhető. A függvény növekvő, tehát ha a hozam növekszik, akkor ennek a csökkenő marginális hasznosság elve alapján emelkedő hasznossági görbe felel meg. A függvény konkáv jellegű, tehát

minden pótlólagos hozamegységnek egyre kisebb a hasznossági következménye. 2) Kockázatközömbös befektető VHB/3 Hasznossági függvénye lineáris: U = 100r 50 A) Az U = 100r függvénybe behelyettesítve a –0.03 és a 009 hozamértékeket: 40 [ ] 0.09)] = 1 2 ( −3) + 1 2 (9) = 3 utilis E U ( A) = 12 [U ( −0.03)] + 1 2 [U (30 20 B) vagy 0, vagy 6%: 10 [ ] -0.45 -0.30 -0.15 0.15 0.30 0.45 E U ( B ) = 12 [U (0)] + 1 2 [U-10 (0.06)] = 0 + 1 2 ( 6) = 3 utilis A hasznosság ugyanakkora,-20mint az A projekt esetében -30 C) a 3% teljes bizonyossággal várható: [ ] E U ( C ) = 1[U (0.03)] = 1[3] = 3 utilis 9 A kockázatközömbös befektető számára mindegyik projektnek ugyanakkora hasznossági következménye van, hiszen érzéketlen a kockázatra; nincs kockázati prémium. Elfogadja a méltányos játékot, vagyis nem kockáztat és nem vár kompenzációt. U U = 100r 0.45 3) Kockázatkedvelő befektető VHB/4 Feltételezett (becsült)

hasznossági függvénye: U = 100r + 5r2 A) a kimenet vagy –3%, vagy +9%: [ ] E U ( A ) = 12 [U ( −0.03)] + 1 2 [U (05009)] = 1 2 ( −2055) + 1 2 (9405) = 3225 utilis 40 B) a kimenet 0, vagy 6%: [ 30 20 ] E U ( B ) = 12 [U (0)] + 1 2 10 . ) = 309 utilis [U (0.06)] = 0 + 1 2 (618 r -0.45 számára -0.30 -015 0.30hasznosságot eredményez, A kockázatkereső befektető ez a projekt 0.15 kisebb mint az A. -10 -20 Ez a növekvő marginális hasznosság-feltételezés irreális az üzleti életben. -30 C) teljes bizonyossággal 3%: [ ] E U ( C ) = 1[U (0.03)] = 1[3045] = 3045 utilis A kockázatkereső befektető a legkockázatosabb projektet preferálja. U = 100r + 5r2 U 10 r 50 Befektető Kockázatkerülő Kockázatközömbö s Kockázatkedvelő A 40 a legkockázatosabb30 [ ] E [U ] = 3 E [U ] = 3.225 20 E U ( A ) = 2.785 -0.45 ( A) ( A) -0.30 10 -0.15 C B közepes kockázatú [ ] E [U ] = 3 E [U ] = 3.09 E U ( B ) = 2.91 -10 -20 -30 0.15( B ) 030 (

B) 0.45 a legkevésbé kockázatos [ ] E [U ] = 3 E [U ] = 3.045 E U ( C ) = 2.955 ( C) ( C) A kockázatkerülő befektető a többlethozamot preferálja, a kockázatkereső pedig a többletkockázatot. A kapott hasznossági értékek azt mutatják, hogy a különböző kockázati attitűddel jellemezhető befektetők más és más hasznosság mennyiséget származtatnak a projektekből: a kockázatkerülő befektető a C változatot értékeli a legtöbbre, a kockázatkereső pedig az A változatot. Azonos várható megtérülésű projektek esetében az eltérő kockázatosság eltérő hasznosság-következménnyel jár. A várható hasznosság maximalizálásában érdekelt befektető aszerint választ, hogy milyen a kockázattal szembeni magatartása. 11 Hogyan építhető be a kockázati tartózkodás a döntéshozatalba? Már tisztáztuk, hogy a kockázattól tartózkodó befektető legfőbb jellemzője az, hogy csak akkor hajlandó pótlólagos kockázatvállalásra,

ha ezt megfelelő mértékű hozam kompenzálja. A kockázattól tartózkodó befektető “bünteti”, levonással sújtja a kockázatos beruházási projekt vagy portfólió várható megtérülési rátáját. A várható megtérülés kedvező, a kockázat pedig negatív hatást gyakorol a hasznosságra. A levonás összege a kockázati prémium szerepét játsza, a kockázat miatt ugyanis a megtérülés kevesebbet ér hasznossági szempontból. Minél nagyobb a mérlegelt kockázat, annál nagyobb lesz a büntető korrekció. A különböző projekt-alternatívák közüli választás alapja az lesz, hogy mekkora a várható hasznosságuk. Ez nyilvánvalóan két dolog eredője: mekkora a hozamot milyen kockázattal ígérnek Hogyan lehetne ezt számszerűsíteni? U = E (r ) − 0.005Aσ 2 A hasznosság egyrészt függvénye a várható hozamnak, másrészt függ egy negatív előjelű, három komponensből álló tagtól. Ez egyszer tartalmaz egy konstans értéket, ami

egyfajta konvenció, ami kapcsolatot teremt a százalékos mértékben megadott várható megtérülési és kockázati értékek között. A levonás mértéke másodsorban függ az ’A’-val jelölt kockázati tartózkodási indextől, ami azt mutatja meg, hogy a befektető milyen mértékben tartózkodik a kockázattól. Minél nagyob az A mértéke, annál fokozottabb a befektető tartózkodása a kockázattól A kockázati tartózkodás más szóval azt fejezi ki, hogy mekkora a befektető hajlandósága adott kockázatosság mellett a pótlólagos összegek beruházására. A harmadik tényező a variancia, vagyis a megtérülés változékonyságát kifejező mérték. Látható, hogy a hasznosságot kedvezően érinti a várható megtérülés és hátrányosan érinti a negatív előjellel szereplő, három komponens szorzataként előálló büntetés, levonás. Ebben nemcsak a projekt vagy a portfólió immanens kockázata (σ2) játszik szerepet, hanem a befektető

szubjektív kockázati viszonyulása is. A rizikóprémium tehát függ attól, hogy milyen a befektető kockázati tartózkodási foka. Az így kapott hasznossági érték alapul szolgál a változatok közötti választáshoz; az a projekt/portfólió lesz a legvonzóbb, amelynek a legmagasabb a hasznossága. Példa: Egy kockázatos beruházás/portfólió adatai: E(r) = 22% σ = 34% r f = 5% (a kockázatmentes papírok hozama) A befektető tehát két beruházási lehetőség közül választhat: vagy befektet kockázatmentes papírba, vagy a 22%-os megtérülést 34%-os szórással ígérő projekt/portfólió mellett dönt. A két lehetséges megtérülés között 17%-os a különbség. Elképzelhető, hogy ez megfelelő kompenzációja a 34%-os szórásnak. Legyen: A=3 Mekkora lesz ennek a kockázatos projektnek a hasznossága? U = 22 − 0.005 ⋅ 3 ⋅ 34 2 = 466% hasznosság-egység Ezt össze kell vetni a kockázatmentes lépés hasznosságával, ami 5% (nincs kockázat,

vagyis a büntetés mértéke: 0.005·A·0 = 0) A kockázatos befektetés hasznossága ebben az esetben kisebb, mint a kockázatmentes eszköz hasznossága, így a befektető elutasítja a kockázatos portfóliót. A büntetés mértéke: 0.005 ⋅ 3 ⋅ 34 2 = 1734% Ha csökkenne a kockázati tartózkodás mértéke, akkor a büntetés mértéke természetesen csökkene. Ha A = 2 lenne, akkor a kockázatos portfóliót el kellene fogadni: U = 22 − 0.005 ⋅ 2 ⋅ 34 2 = 1044% 12 2. Példa: legyen most A = 4! Nézzük meg, hogy a különböző várható megtérülés-szórás kombinációk milyen mérlegelési lehetőségeket teremtenek a döntéshozó számára: Várható megtérülés E(r)% Szórá s % 10 20.0 15 25.5 20 30.0 25 33.9 Hasznosság 10 – 0.005·4·400 15 – 0.005·4·650 20 – 0.005·4·900 25 – 0.005·4·1150 = = = = = E(r) – 0.005·A·σ2 2 2 2 2 A kockázat megtérülés értékpárok mesterségesen úgy lettek megválasztva, hogy a

hasznosság minden esetben 2 legyen. Mindez azt illusztrálja, hogy elképzelhető olyan várható megtérülés-szórás ponkombináció sorozat, amely azonos hasznosságot biztosít a befektető számára. Azt a pontsorozatot, amely a szórás-várható megtérülés koordinátarendszerben az alábbi görbére illeszkednek, közömbösségi görbének nevezzük. Ezek a befektető szempontjából azonos hasznosságot biztosítanak (mindegy, hogy kisebb kockázat nagyobb hozammal, vagy nagyobb kockázat kisebb hozammal). E(r) közömbösségi görbe Q E(rp) P σp σ Gyakorlati példák 1. E(r) = 10% σ = 15% r f = 8% Mekkora a kockázati tartózkodás ama maximális mértéke, amely mellett a kockázatos portfólió még preferálható a kockázatmentes eszközzel szemben? Tehát az A egyfajta határértékét keressük. A kockázatmentes eszköz hasznossága pontosan egyenlő annak várható hozamával (= 8%). U = 10 − 0.005 ⋅ A ⋅ 152 = 10 − 1125 . ⋅A 13 10 −

1125 . ⋅ A>8 A < 2 / 1125 . = 1.778 A kockázati tartózkodási index nem haladhatja meg az 1.778 értéket 2. A vállalati döntéshozók a következő adatokat becsülték különböző beruházáso változatokkal kapcsolatban, feltételezve, hogy e hasznossági függvény azzal a megjegyzéssel érvényes, hogy a befektető fokozott kockázati tartózkodást mutat: Beruházás Várható megtérülés Szórás (σ) E(r) 1 12% 30% 2 15% 50% 3 21% 16% 4 24% 21% U = E (r ) − 0.005 ⋅ A ⋅ σ 2 , ahol A = 4 a) ha a kiválasztást a hasznossági formulára alapozzuk, akkor a kockázattól tartózkodó befektető melyik beruházási változatot választja? A 3. számút: U 1 = 12 − 0.005 ⋅ 4 ⋅ 900 = −6 U 2 = 15 − 0.005 ⋅ 4 ⋅ 2500 = −35 U 3 = 21 − 0.005 ⋅ 4 ⋅ 256 = 1588 U 4 = 24 − 0.005 ⋅ 4 ⋅ 441 = 1518 . b) melyik beruházást választaná a kockázatsemleges befektető? Ebben az esetben a befektető érzéketlen a kockázatra, A = 0, így számára

a döntés kritériuma a várható megtérülés lesz. Ezért a döntéshozó a 4 beruházási változatot fogadja el c) Mit reprezentál a formula ’A’ változója? - a befektető megtérülési követelményét, - a befektető kockázati tartózkodását, - a portfólió bizonyossági egyenértékes rátáját, - egységnyi megtérülés preferálását 4 egység kockázatának viszonylatában. 3. Múltbeli adatok alapján a vállalati részvények nagy piaci portfóliójának hosszú távú átlagos megtérülési rátája 8.5 százalékponttal volt nagyobb a kormányzati kötvények azonos mutatójánál Ennek a piaci portfóliónak a szórása éves viszonylatban 21% volt. Feltételezzük azt, hogy eme múltbeli értékek jól reprezentálják a befektetők jövőbeli teljesítményekkel kapcsolatos várakozásait 2. A kockázatmentes befektetés jelenlegi hozama 6% A befektető a piaci indexből és a kockázatmentes kötvények meghatározott körére alapozva portfóliót

formál a következő súlyarányok szerint: 0.0 / 10 0.2 / 08 0.4 / 06 0.6 / 04 0.8 / 02 1.0 / 00 Piaci indexnek azt a részvénykompozíciót tekintjük, amely a kockázatos papírok összességét mutatja. a) Mekkora a különböző súlyarányok mellett képzett 6 portfólió várható megtérülése, illetve varianciája (relatív kockázata)? Próbáljuk meg tisztázni azt, hogy mennyi a két komponens hozzájárulása különböző portfólió-súlyarányok mellett. 6 különböző hozzájárulás feltételezhető A kockázatmentes 2 Ha a jövőbeli teljesítmény levezethető tükre a múltbeli teljesítménynek, akkor ez gyenge piaci hatékonyságot jelent. 14 megtérülési értéke 6%, a piaci indexé 14.5%; ennyi a várható megtérülés akkor, ha vagy az egyik, vagy a másik szerepel 100%-os arányban a portfólióban (szélsőértékek). Kötvény súlya 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Megtérülési hozzájárulás (%) 0.0 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 Piaci index súlya 1.0 0.8

0.6 0.4 0.2 0.0 Megtérülési hozzájárulás (%) 14.5 11.6 8.7 5.8 2.9 0.0 Portfólió várható megtérülése (%) 14.5 12.8 11.1 9.4 7.7 6.0 A két megtérülési hozzájárulás összegzése megadja a portfólió várható megtérülés értékeit. Minél nagyobb a kockázatmentes komponens súlya, annál kisebb a portfólió várható megtérülése. A portfólió kockázatának meghatározásához abban az esteben, ha a portfólió egyik eleme kockázatmentes, nincs szükség arra a bonyolult portfólió-kockázati képletre, amely tartalmazza a kovarianciát is. A szórás arányosan attól függ, hogy mekkora a kockázatos komponens súlya a portfólión belül, hiszen kockázati szempontból ezek a portfóliók egyelemű portfólióknak számítanak. A 4 oszlop 1 sorában a portfólió szórás azért 21%-os, mert ebben az esetben kizárólag kockázatos papírok vannak a portfólióban, és a piaci index szórása 21%-os. 20%-os kockázatmentes részvétel mellett a

portfólió szórása: 21% × 0.8 = 168%, és így tovább Kötvény Piaci index σ σ2 U(A=3) U(A=5 E(r) súlya súlya ) 0.0 1.0 14. 21. 441.0 7.885 3.475 5 0 0.2 0.8 12. 16. 282.2 8.566 5.774 8 8 4 4 0.4 0.6 11. 12. 158.7 8.718 7.131 1 6 6 6 0.6 0.4 9.4 8.4 70.56 8.341 7.636 6 0.8 0.2 7.7 4.2 17.64 7.435 7.259 4 1.0 0.0 6.0 0.0 0.0 6.0 6.0 b) Számítsuk ki mindegyik portfólió hasznossági mértékét A = 3 kockázati tartózkodási index feltételezésével! Ha a 6 portfólióváltozatot egybevetjük, milyen következtetéseket vonhatunk le ebből? A hasznosság meghatározásánál a kiindulás a hasznossági alapösszefüggés: U = E(r) – 0.015·σ2 Kötvény súlya 0.0 Piaci index súlya 1.0 0.2 0.8 0.4 0.6 0.6 0.4 E(r) 14. 5 12. 8 11. 1 9.4 15 σ σ2 21. 0 16. 8 12. 6 8.4 441.0 282.2 4 158.7 6 70.56 U(A=3) U(A=5 ) 7.885 3.475 8.566 4 8.718 6 8.341 6 5.774 7.131 7.636 0.8 0.2 7.7 4.2 17.64 1.0 0.0 6.0 0.0 0.0 7.435 4 6.0 7.259 6.0 Ha a

portfólió csak kockázatos papírt tartalmaz a portfólió, a hasznosság 7.885 Ha a kockázatmentes elem súlya 60%-ra növekszik, akkor bekövetkezik a fordulat, a hasznosság kisebb lesz az előzőnél. A = 3 értéknél az optimális súlyarány-kombináció: 40% kockázatmentes, 60% kockázatos komponens. c) Végezzük el a számítást egy nagyfokú, A = 5 kockázati tartózkodási mértékre is és vonjuk le ebből is az adódó következtetéseket! Itt A = 5, így: U = E (r ) − 0.025 ⋅ σ 2 Ebbe behelyettesítve kapjuk meg az utolsó oszlop adatait. Ha nincs kockázatmentes tartalom a portfólióban, a hasznosság 3.475 És így tovább A különböző kockázati tartókodási értékek melletti eredményeket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy ha növekszik a kockázati tartózkodás indexe, akkor növekszik az a súlyarány, amit a kockázatmentes papírba befektetett összegek jelentenek. A = 5 értéknél az optimlis súlyarány a 7.636 hasznossági egységhez

tartozó tőkestruktúránál lesz: 60% kockázatmentes, 40%-ban kockázatos papír. HF: Feltételezzük, hogy a hasznossági függvény: U = W . 1. Mekkora a hasznosság 50 000$-os és 150 000$-os gazdagsági szint mellett? 2. Mekkora a várható hasznosság, ha a bekövetkezés valószínűsége 50%-os? (Ha azonos az esélye a 2 gazdagsági szintnek). 3. Mekkora a bizonyossági egyenértékese a kockázatos kilátásnak? 4. Vajon ez a hasznossági függvény ugyancsak kockázati tartózkodást mutat-e? 5. Hasonlítsuk össze ezt a hasznossági függvényt a logaritmus hasznossági függvénnyel! Nagyobb, vagy kisebb mérvű kockázati tartózkodást tükröz? 16 Az elmúlt félévben amikor a kockázat problémáit vizsgáltuk akkor megismerkedtünk a tőkepiaci értékelés egyensúlyi modelljével, az ún. CAPM modellel Most a kettőt összekapcsoljuk, megnézzük, hogy a CAPM miként használható, alkalmazható a tőkepiaci befektetési döntéshozatalban. Nyilvánvaló,

hogy a CAPM modell lényegéből következően a kockázatos projektek minősítésében, sorolásában betöltött szerepét vizsgáljuk. Nézzük meg indulásul azt, hogy hogy néz ki a tőkepiaci értékelés alapmodellje: Σ E(CF t ) NPV = -I 0 + -----------------(1+WACC)t (Σ alatt: t=1, felett: n) NPV: nettó jelenérték E (CF t ): várható pénzáram E(CF t ) / (1+WACC)t: várható pénzáramok tőkésített összege. A nettó jelenlegi érték úgy számítható, ha egybevetjük a negatív előjellel szereplő kezdeti tőkekiadást a várható pénzáramok tőkésített összegével. A tőkésítést a tőke súlyozott átlagköltségével végezzük, tehát a számlálóban szerepel a várható pénzáram (a t-edik év, a cash flow) az E pedig ennek a pénzáramnak a várható értékét jelöli. A tőkésítés a megfelelő nevezőhatvánnyal történik. A döntési szabály ennek alapján: egy projekt akkor elfogadható, ha pozitív a nettó jelenértéke, és akkor

pozitív a nettó jelenértéke, ha a summa jel segítségével összegzett tőkésített hozamáram nagyobb a kezdeti tőkekiadásnál. Ha nem haladja meg, akkor a nettó jelenérték negatív, a projektet el kell utasítani. A kulcskérdés az, hogy amikor mi a számlálóban várható értéket szerepeltetünk, akkor azt juttatjuk kifejezésre, hogy a beruházási projektnek 1-nél több lehetséges kimenete van, tehát a projekt kockázatos. (Erre utal az E(CF t ), tehát a projekt kockázatos, nem látjuk teljes bizonyossággal előre a projektből származó hozamáramot.) A kérdés az, hogy ezt a kockázatosságot hogyan juttathatjuk kifejezésre: hogyan mérhetjük a projektben megtestesülő kockázat mértékét. A kulcskérdés az, hogy milyen diszkontrátát alkalmazunk. A tőke súlyozott átlagköltsége (WACC) tulajdonképpen a komponensköltségek súlyozásával állítható elő: WACC = K b * (1-T) B / (B+S) + K s S / (B+S) B / (B+S) : a kölcsöntőke

össztőkéhez viszonyított aránya S / (B+S) a részvénytőke össztőkéhez viszonyított súlyaránya A komponensköltség a kölcsöntőke költsége (K b - bond) és a részvénytőke (K s - share) költsége. Az (1-T) funkciója, hogy a kamat adózás előtt levonható (a kamatot az adózás előtti profitból fizetik), tehát a kamat reális költsége az adókorrekcióval alakítható ki. Tehát az egyes tőkekomponensek költségét súlyozom a tőkestruktúrán belüli aránnyal és megkapom a tőke súlyozott átlagköltségét. Az 1. sz modellünkben a tőke súlyozott átlagköltsége annak kifejezésére szolgál, hogy a vállalati tevékenység egészét, vagy a projektet finanszírozó tőkeszerkezet milyen mértékben függ a kölcsöntőke komponenstől, ill. a részvénytőke komponenstől A kérdés az, hogy ha a tőkepiaci értékelés egyensúlyi modelljét alkalmazzuk tőkeköltségvetési problémák megoldására, akkor a kockázat megjelenítése,

figyelembevétele kétféle módon történhet: 1.) A kockázat kifejezésre juttatható azáltal, hogy korrekciót hajtunk végre a pénzáramban, egy bizonytalan pénzáram bizonyossági egyenértékesét (biztonsági ekvivalens) kell majd keresnünk, 17 tehát korrigálnunk kell a kockázatos pénzáramot, (ez valamiféle levonást jelent). A levonás mértéke pontosan a kockázati prémiummal lesz egyenlő. 2.) A kockázat kifejezésre juttatásának másik módja a diszkontráta korrekciója Ott növelnünk kell a diszkontrátát, hisz az relatíve leértékeli a kockázatos pénzáramot, tehát ha a nevezőben hajtjuk végre a korrekciót a kockázat kifejezésre juttatása a pénzáram relatív leértékelése révén történik. Nézzük meg, hogy a jelenérték és a nettó jelenérték meghatározása ennek figyelembevételével hogyan történik. 1.) Először a kockázattal korrigált diszkontráta esetét vizsgáljuk meg részletesen Vegyünk egy 1 periódusú

beruházást. E(CF) PV= ------------1+E(R j ) A várható kockázatos pénzáramot [E(CF)] az E(R j ) megkövetelt / elvárt megtérülési rátával (kockázattal korrigált rátával) diszkontáljuk. (ez volt az SML egyenesnek a várható megtérülési rátája) E(R j )= R f + (E(R m ) - R f )*β i . (E( Rm ) - R f ): piaci kockázati prémium Vegyünk egy további egyszerűsítést: a projekt működését kizárólag részvénytőkével finanszírozzák. (Konvenció alapján a kölcsöntőkét általában kockázatmentesnek tekintik, abból indulnak ki, hogy aki hitelez az nem vállal kockázatot, ezért csak a kockázatos részvénytőkét vesszük alapul.) Tehát a K s (a részvénytőke költsége) az SML egyenes egyenlete alapján a CAPM modell segítségével ily módon történik: K s = E(R j ) = R f + [E(R m ) - R f ] * β i . Ha egy kockázattal korrigált diszkontrátát alkalmazunk a hozamáram tőkésítéséhez, akkor a modell megváltozik Nettó jelenérték

meghatározása: E(CF) NP = --------------------------1+R f +[E(R m )+R f ] β j Ez a hagyományos tőke-költségvetési eljárástól abban különbözik, hogy a diszkontráta kockázattal korrigált időtényező nemcsak a pénz egyszerű időértékét fejezi ki, hanem relatív kockázatosságot is a béta segítségével. 18 Példa A projekt várható pénzárama: 1000 $ A kockázatmentes ráta: 10% A várható piaci megtérülés: 17 % adott projekt β-ja: 1,5 Mekkora lesz a projekt jelenlegi értéke? Ha behelyettesítünk azt tapasztaljuk, hogy 20,5%-os diszkontráta lesz a kockázati korrekció után, ami azt jelenti, hogy a kockázatmentes rátát 10,5 %-os rizikóprémiummal pótlékoljuk: K s = 10 + (17-10) * 1,5 = 20,5 A jelenérték ebből adódóan: 1000 PV = ------------------------------- = 829,88 1+0,1+(0,17-0,1)*1,5 Tételezzük fel, hogy a Kezdeti tőkekiadás 800 $: I = 800 Ebben az esetben a nettó jelenérték pozitív lesz: NPV = PV - I = 829,88-800 = 29,88

Tehát minden egyéb feltételt változatlannak tekintve a projekt elfogadható. Mindenkinek szeretném felhívni a figyelmét az alkalmazott diszkontráta mértékére. Az alkalmazott diszkontráta 20,5 %-os, ami a 10%-os kockázatmentes rátából és a 10,5 %-os kockázati prémiumból adódik. A korrekciót úgy hajtottam végre, hogy kockázattal korrigált diszkontrátát alkalmaztam emiatt a bizonytalan pénzáramot fokozottabb mértékben leértékeltem, mintha kockázatmentes rátát alkalmaztam volna. Tehát a kockázati korrekció figyelembevételével a projekt elfogadhatónak tekinthető. 2.) A másik megközelítés, amikor korrekciót a számlálóban hajtjuk végre: A bizonytalan pénzáramból pontosan meghatározható rizikóprémium levonására kerül sor. Ehhez szükségünk van a β szerepének a felidézésére. COV (R j , R m ) β j = -----------------------σ2 m A béta érzékenységi index, mely az egyedi projekt-megtérülés és a piaci megtérülés

közötti kovarianciának és a piaci kockázatnak a hányadosa. A lényeg az, hogy a projektet összekapcsoljuk a piaci értékítélettel, a piaci megtérülés-változás az etalon, amihez viszonyítjuk a projekt megtérülését. Ebben a projekt megtérülésben a kulcskérdés az R j , hogy ebben a megkövetelt megtérülésben milyen változás foglaltatik benne. Hogyan határozhatjuk meg tehát az R j -t Egy számítási módot vizsgáltunk már az előbb, amikor kockázattal korrigált diszkontrátaként mutattuk be. Nézzük meg egy statikus megközelítés segítségével, hogy ez az Rj másképp is definiálható. A periódusvégi pénzáramból kivonom a periódus eleji ismert jelenértéket, és ezt viszonyítom a jelenértékhez: (CF-PV) CF R j = ----------------- = -------- -1 PV PV 19 Így egy rátát kapunk, egy százalékos részarányt, hogy a projektnek milyen a becsült megtérülési rátája. Helyettesítsük be a megtérülési ráta (Rj) helyébe azt, amit

itt kapunk: COV (CF/PV-1, R m ) β j = ----------------------------σ2 m A kovarianciát a projekt becsült megtérülési rátája és a piaci megtérülés között mérjük, a nevezőben továbbra is a piaci megtérülés varianciája szerepel. Mit állapíthatunk meg a zárójelben szereplő 4 tényezőről? A kovarianciáról megállapítottuk, hogy csak véletlen változók (kockázatos bekövetkezést mutató változók) között feltételezhetünk kovarianciát. A konstans nem véletlen változó A jelenérték sem A kovariancia tehát a pénzáram és a piaci megtérülés kapcsolatára egyszerűsödik: COV (CF, R m ) β j = (1/PV) * ------------------σ2 m A beruházási projekt (dologi tőke projekt) esetében azt mutatja a kovariancia, hogy a piaci megtérülés változás hogyan hat a projekt pénzáramára. A projekt eredményességét mindig a pénzáramon keresztül mérhetjük le. (Az értékpapírok eredményességét mindig a megtérülési ráta mutatja.) Tehát

megváltozik a β formulája dologi tőke projektek esetében Ezt érvényesítve a nettó jelenérték kiszámításában, helyettesítsünk be: E(CF) PV = ----------------------------------------------------------1+R f +[E(R m )-R f ] * (1/PV) [COV(CF, R m )/σ2 m ] A projekt kockázatos pénzáramát diszkontáljuk egy olyan megkövetelt megtérülési rátával, amiben a β módosított változata szerepel. Ha célirányosan csoportosítjuk ezeket a tényezőket, akkor kapunk egy olyan formulát, amit ismerünk a korábbiakból: [(E(R m )-R f ] λ= -------------------σ2 m Ha elosztjuk a piaci kockázati prémiumot a piaci varianciával, akkor a kockázat piaci árát kapjuk eredményül, ezt jelöljük λ-val. (ez a CML meredekségét jelölte, a piaci kockázat egységére mennyi piaci kockázati prémium jut.) Ezt elvégezve: E(CF) - λ * COV(CF,R m ) PV = ------------------------------1+R f A számláló: a bizonytalan Cash flowt csökkentjük egy összeggel, amit a kockázat

piaci ára és a pénzáram valamint a piaci megtérülés közötti kovariancia határoz meg Tehát a λ*COV a kockázati prémium, a rizikó. A nevező: kockázatmenetes kamatráta, ezzel diszkontálunk. Azért nem a kockázattal korrigált rátával diszkontálunk, mert a számlálóban a kockázatot már számba vettem. Ha végrehajtjuk a korrekciót, akkor az, amit különbségként kapunk, az lesz a biztonsági egyenértékes.(certainty equivalent) 20 Egyperiódusú beruházás esetén a kétfajta korrekciónak egyenértékűnek kell lenni. Ez többperiódusú esetén nem igaz. 829,88 volt ennek az egyperiódusú beruházásnak a jelenértéke. R f = 10% Kockázattal korrigált kamatráta 20,5% Ha behelyettesítünk akkor csak a kockázati prémium, tehát a λ*COV marad ismeretlenként. E(CF) E(CF) - λ*COV(CF,R m ) PV= --------------------------------- = ----------------------------1+R f +[E(R m ) + R f ] β j 1+R f 1000 - λ * COV(CF,R m ) 829,88 = 1000 / 1,205 =

-----------------------------------1,1 Ha kifejezzük a kockázati prémiumot: λ * COV(CF,R m ) = 87,13 Ez a számszerűsített kockázat. A korrekció értelme: vessük össze egymással ezt a két lehetőséget: • Az 1000 $-os bizonytalan pénzáramot csökkentjük a 87,13-as kockázati prémiummal, az úgy kapott eredmény a projekt biztonsági ekvivalense. 1000 - 87,13 = 912,87 A döntéshozó két dolog közül választhat: vagy teljes bizonyossággal vár (tehát kockázatmentes pénzáramként vár) 917,82 $-t • vagy vállalja a pénzáram kockázatosságát, és 1000 $-t vár, de ezt egy 1,5 β-jú projekt szolgáltatja, erre a projektre az jellemző, hogy a piaci megtérülés-változásra 1,5-ször nagyobb megtérülés változással válaszol, ami a pénzáram ingadozásában jut kifejeződésre. Amikor a korrekciót a nevezőben végezzük el, akkor olyan eljárást alkalmazunk ami elméleti problémát vet fel: a kockázattal korrigált kamatráta abban az esetben ha

ez a projekt több periódusú lenne akkor két változót egymással összegyúrna. Ez a két változó a kockázat és az idő A kockázat és az idő a döntéshozatalban egymástól különálló két változó. A kockázat időben növekedhet, csökkenhet, vagy változatlan maradhat. De az idő és a kockázat nem egy és ugyanaz Ez pl. indokolatlanul veszteségesnek mutathat projekteket Ez nem okoz problémát akkor, ha a számlálóban hajtjuk végre a korrekciót. 21 Példa Nézzük meg a sajátos változatát a többperiódusú beruházási projektnek, mégpedig az előző példánkat egy olyan feltevéssel módosítjuk, hogy az 1000 $ bizonytalan pénzáram a 2. év végén jelentkezik. Milyen következményei lesznek ennek a változásnak? 1.) A második év végének megfelelő diszkontálást végzünk, tehát a 20,5%-os rátát a második hatványra emeljük. E(CF t ) PV = Σ ------------------ = 1000 / (1,205)2 = 1000 / 1,452 = 688,7 [1+E(R j )]t (Σ alatt t=0,

felett:n) Ha I = 800 (kezdeti tőkekiadás) akkor ez a projekt ilyen feltételek mellett veszteségesnek látszik, tehát el kell utasítani: NPV = 688,7 - 800 = -111,3 2.) Ha a biztonsági egyenértékes megközelítést ugyanarra a projektre alkalmazzuk, csak olyan esetben kapnánk azonos elutasítási vagy elfogadási minősítést, ha olyan biztonsági ekvivalens korrekciót hajtunk végre, amely nem egy, hanem két periódus kockázatát veszi figyelembe. Ha a biztonsági egyenértékes korrekciót nem abszolút összeg levonásaként végezzük, hanem biztonsági egyenértékes faktor (relatív mérce, hányados - CEF: Certainty Equivalent Factor) segítségével fejezzük ki, akkor milyen korrekciót kell végrehajtanunk a pénzáramban? Viszonyítsuk a bizonyossági egyenértékes összeget a bizonytalan pénzáramhoz (számlálóban: korrigált pénzáram található): E(CF) - λ * COV(CF, R m ) CEF = -------------------------------- = (1000 - 87,13) / 1000 = 0,91287 E(CF) Egy

szorzótényezőt kapunk eredményül, ami a korrekciót nem abszolút összeg levonásaként, hanem ennek relatív mértékeként fejezi ki: a bizonytalan pénzáramhoz viszonyítunk. Ilyen körülmények között a kockázati korrekció módosulni fog. A számlálót a CEF vonatkozó hatványával korrigáljuk E(CF t ) (CEF)t * E(CF t ) PV = Σ ----------------- = Σ --------------------[1+E(R j )]t [1+(R f )]t (Σ alatt t=0, felett:n) PV= [(0,91287)2*1000] / (1,1)2 = (0,83331000) / 1,21 = 688,7 A számértékeket behelyettesítve ugyanazt az értéket kell hogy kapjuk, mint amikor a két év figyelembevételével korrigáltuk a bizonytalan pénzáramot. Ez az egyenértékűség csak úgy biztosítható, ha ezt a CEF-t a vonatkozó hatványra emeljük. 22 Projekt vizsgálat Most azt vizsgáljuk, hogy vannak olyan megfontolások, melyek alapján a kockázatot az idő csökkenő függvényeként ábrázolja. A projekt: döntési fa alkalmazásával történik az illusztráció.

Van egy olyan projekt ami egy 1,25 milliós kezdeti beruházás eredményeként az első 5 évben 0,5 milliós jövedelmet hoz (net cash flow), de meglehetősen kockázatos körülmények között, mivel β=2. 5 év elteltével a projektnek 2 lehetséges folytatási szcenáriója képzelhető el, az egyiknek 40%-os az esélye: itt szükségünk van egy 5 millió dolláros újabb beruházásra, s ennek eredményeképp sikeresen folytatódik a projekt, további 10 éven keresztül évi 1 milliós jövedelmet eredményez 0,3-as β mellett (a szisztematikus kockázat szinte elhanyagolható: pl. a termék bejáratódik, megismeri a piac, fix értékesítési pozíció) A másik lehetőség 60%-os, eszerint kikerül a projekt a piacról, nettó jelenértéke nulla, nincsen többletérték, s ha nincs üzleti eredmény, a béta is nulla lesz. Tehát a projekt két fázisra bontható, van egy felszálló ág, a piacra való bekerülés és az évi 0,5 milliós jövedelemmel van eredménye az

1,25 milliós beruházásnak. Ahol a döntési fa ágai szétválnak, ott a projekt jövőbeli sorsa bizonytalanná válik. 5 M beruházás, β=0,3 1 M jöv. 10 évig 0,4 1,25 M beruházás, β=2,0 0,5 M éves jöv. 5 évig 0,6 Leszálló ág: NPV=0; β=0 Hogyan minősíti a döntéshozó ezt a projektet? Alapvetően ide van szükségünk olyan döntési változókra, amelyek meghatározzák a projekt pozícióit. Ezek a következők: Rf = 10% R m = 20% β = 2 (felszálló ágban) szisztematikus kockázat duplája a piacinak. Határozzuk meg azt a kockázattal korrigált rátát, amellyel a pénzáramot kezelnünk kell. Ezt a CAPM modellel határozhatjuk meg (SML egyenlet) A megkövetelt megtérülési ráta: E(R j ) = R f + [E(R m ) - R f )*β i = 0,10 + (0,20-0,10)0,2 = 30% Ez a viszonylag magas megtérülési ráta a 2-es β-nak köszönhető. Mi történik akkor, ha abból indulunk ki, hogy a kockázat az idő növekvő függvénye? Akkor ezt a 30%-os rátát a projekt egész

élettartamára érvényesnek kell tekinteni. Tehát akkor most elkövetünk egy döntési hibát, hogy nem disztingválunk. Így a 15 éves időhorizont egészére vonatkoztatjuk a 30%-os megtérülést, tehát a következő számítást végezzük el: 23 E(Rj)=30% E(CF) 500.000 1.000000 5.000000 NPV=Σ --------------- = -1250000 + Σ ------------ + Σ --------------- - ---------------- = [1+E(R j )]t (1,3)t (1,3)t (1,3)5 = -1.250000 + 1217785 + 832641 - 1346645 = -546219 (1.Σ alatt : t=0, felett:15; 2Σ alatt t=1, felett:5; 3 Σ alatt t=6, felett:15) Az első 5 évben a tőkésített jövedelem 1.217785; ezután elkövetjük a hibát, mert úgy tekintjük, hogy a kockázat az idő növekvő függvénye, pedig a β már bizonytalan, nem biztos, hogy az történik. A 30%-os elvárt megtérülési rátával a projekt veszteségesnek látszik Mi van akkor, ha a 30%-os megtérülés csak az első 5 évre vonatkozik? Ha a felszálló ágat (termék piacra történő bevezetését)

önmagában tekintenénk, akkor is veszteséges lett volna a projekt: NPV = -32.215 Ez egyáltalán nem szokatlan az üzleti gyakorlatban. A második szakaszra az adott kockázatnak megfelelő megkövetelt megtérülési rátát érvényesítjük. 40%-os valószínűségű a projekt sikere. 60 %-os valószínűségű a siker elmaradása. Mi a következménye annak, ha a projekt kikerül a piacról? A várható pénzáram zérus lesz, így a nettó jelenérték is nulla. Ha a projekt sikeres, a következő paraméterek érvényesülésével kell számolnunk: R f = 10% E(R m ) = 20% β = 0,3 Ezért a CAPM alapján a megkövetelt megtérülés lényegesen kisebb: E(R j ) = R f + [E(R m ) - R f ]*β j = 10% + (20% - 10%)0,3 = 13% Tehát a pénzáram sor diszkontálása a második szakaszban (6-15 év) ezzel a megtérülési rátával történik. NPV maradó = Σ 1.000000 / (1,13)t - 5000000 / (1,13)5 = 2.945148 - 2713800 = 231348 (Σ alatt: t=6, felett:15) Tehát pozitív nettó jelenlegi

értéket biztosít. A fordulatot annak a felismerése okozza, hogy a kockázat nem az idő növekvő függvénye, hanem a kockázat az idő múlásával mérséklődhet is. A teljes 15 éves időhorizontot értékelve: 1. szakasz: bevezetés, felfutás ideje 1.217785 tőkésített jövedelemmel szemben 1250000 beruházás áll: NPV bevezetési = 1.217785 - 1250000 = -32215 Itt a 30%-os rátával diszkontáltunk, mert a felszálló ágban a β 2-es értékű. Ebből az következik, hogy a projekt első szakasza veszteséges. 2. szakasz: Két ága volt a döntési fának: 24 • kikerül a piacról, NPV = 0 • sikeres marad a projekt. NPV maradó = 0,6*(leállás NPV-je) + 0,4(sikeresség NPV-je) = 0,6*(0) + 0,4(231.348) = 92539 Vonjuk össze a bevezető szakaszt és a folytatást: NPV projekt = NPV(bevezetési) + NPV (megmaradó) = -32.215 + 92539 = 60324 Ha a kockázatot reálisan értékelve határozzuk meg a megkövetelt megtérülési rátát, akkor a projektet nem kell

elvetni. A projekt teljes 15 éves időtartamán pozitív nettó jelenérték várható Tehát a hosszabb időhorizont, és ezáltal hosszabb pénzáram nem szükségképpen jár együtt a kockázatosság növekedésével. Ez az a kiindulópont melynek nyomvonalán haladva a további elemzést végezzük. A CAPM modell alkalmas dologi tőke projektek kockázatosságának mérésére, és a kockázat figyelembevételével és annak helyes értelmezésével a döntéshozók hitelesen hajtanak végre projektválasztást. Ezáltal hozzájárulhatnak a vállalati érték növekedéséhez, pozitív nettó jelenérték meghatározásával Nézzük meg, hogy a projektértékelésben hogyan történhet a tőkepiaci értékelés egyensúlyi modelljének az alkalmazása olyan feltételezéssel, hogy a kockázatot figyelembe véve nem a súlyozott átlagköltség, vagy a vállalati tőkeköltség, vagy valamilyen mérlegelt minimálisan megkövetelt ráta képezi a változatok közüli

választást, hanem a CAPM modell segítségével meghatározott megkövetelt megtérülési ráta. Példa Alapgondolat: minden projektnek legalább akkora megtérülést kell biztosítani, amilyet a piac az azonos kockázatú projektektől, értékpapíroktól, bármilyen befektetéstől elvár. Egyenlőre nem teszünk különbséget a vállalati megkövetelt megtérülési ráta és a projekt ráta között, most csak azt tekintjük lényegesnek, hogy a projektek kiválasztásakor minden projekthez hozzá kell rendelnünk a kockázatosságának megfelelő megkövetelt megtérülési rátát, tehát minden projektet relatív kockázatossága alapján szükséges mérlegelni. Ez burkoltan magában foglalja azt a megfontolást is, hogy az egyes projektek kockázatossága eltérhet a vállalat, mint egész kockázatosságától, hiszen a vállalatra, mint egészre a tőke súlyozott átlagköltségét alkalmazhatjuk, amelyik a vállalat összes eszközét portfóliónak tekintve az

összes eszköz megkövetelt megtérülési rátáját mutatja. Nem biztos azonban, hogy ez a vállalati átlagos hozamkövetelmény vonatkoztatható valamennyi projektre. Tehát meg kell engednünk azt, hogy a projektek kockázatossága eltér a vállalat kockázatosságától. A vállalat négy projekt megvalósítását mérlegeli, a döntés előkészítése során a piaci portfólió várható eredménye, aktuális kimenetei mellett becsülték, szubjektív valószínűségekre alapozva az egyes projektek lehetséges hozamkimeneteit, megtérülési értéksorát is. A projektek mérlegelésekor a következőkből indultak ki: négy lehetséges működési állapota van annak a gazdaságnak, amelyben ez a vállalkozás elhelyezkedik: 1. a gazdaság súlyos visszaesést él át 2. a gazdaság enyhe visszaesést él át 3. mérsékelt fellendülés 4. nagymérvű fellendülés Állapot Valószínűség (S) (Ps) Piaci megtérülés (Rm) Projekt megtérülés 1 2 25 3 4 1 2 3

4 0,1 0,3 0,4 0,2 -0,15 0,05 0,15 0,20 -0,30 0,10 0,30 0,40 -0,30 -0,10 0,30 0,40 -0,09 0,01 0,05 0,08 -0,05 0,05 0,10 0,15 A döntéshozók számára indokolt 5%-os kockázatmentes ráta alkalmazása. Rf = 5% A négy projekt kezdeti tőkekiadása ugyanakkora. Nem kell a projekteket sorba rendezni a megvalósíthatóság szempontjából, abban az értelemben, hogy lesz-e elegendő forrás vagy nem. Ha mind a négy megfelel, akkor mind a négy végrehajtható. A vállalati tőke súlyozott átlagköltsége 10 % WACC = 10% β = 1 (vállalaté) A projektek egymástól függetlenek, nem zárják ki egymást. Mely projekteket fogadhatjuk és utasíthatjuk el? Válasz a hagyományos tőke-költségvetési gondolat alapján: mindazok, amelyek pozitív nettó jelenértékkel bírnak, ill. amelyek belső kamatlába nagyobb, mint a tőke súlyozott átlagköltsége, azok elfogadhatók. Nézzük azt az esetet, amikor érzékenyek vagyunk a projektek relatív kockázatosságára. Ahhoz,

hogy a kockázat figyelembevételével minősíthessünk projekteket a piacra van szükség. A piacról azt feltételezzük, hogy befolyásolja az egyes projekteken elérhető hozam nagyságát. Ezért először arra kell válaszolni, hogy mekkora a piac várható megtérülése, és mekkora ennek a variabilitása. S 1 2 3 4 Rm Ps * R m (R m - Ř m ) (R m - Ř m )2 P s *(R m -Ř m )2 -0,15 -0,015 -0,25 0,0625 0,00625 0,05 0,015 -0,05 0,0025 0,00075 0,15 0,060 0,05 0,0025 0,00100 0,20 0,040 0,10 0,0100 0,00200 E(R m ) = Ř m = 0,10 VAR (R m ) = 0,01 σ Rm = 0,1 Ps 0,1 0,3 0,4 0,2 A várható piaci megtérülés 10% (súlyozott átlagolással számolható ki). A piaci megtérülés varianciája 1%, szórása 10%. Ez a viszonyítási alap. Azt kell megnéznünk, hogy a piac milyen erővel befolyásolja az egyes projektek megtérülési ingadozását/variabilitását. Erre a kérdésre a kovariancia ad választ Előjele arra utal, hogy a projekt megtérülés és a piaci megtérülés

egy irányba, ellentétes irányba mozog-e vagy nincs köztük kapcsolat. Az egyes projektek várható megtérülésének, valamint a kovarianciának a kiszámítása következik. S Ps Rj Ps*Rj 1 2 3 4 0,1 0,3 0,4 0,2 -0,3 0,1 0,3 0,4 1 0,1 2 0,3 -0,9 -0,1 -0,03 0,03 0,12 0,08 Ř 1 =0,2 -0,03 -0,03 (Rj - Řj) * (Rm - Řm) = Szorz. (-0,5) (-0,1) (+0,1) (+0,2) * * * * (-0,25) (-0,05) (+0,05) (+0,10) = = = = 0,125 0,005 0,005 0,020 (-0,44) (-0,24) * * (-0,25) (-0,05) = = 0,110 0,012 26 Ps*(Rj - Řj) (Rm Řm) 0,0125 0,0015 0,0020 0,0040 COV(R 1 R m )=0,0200 0,0110 0,0036 3 0,4 4 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 0,1 -0,09 0,3 0,01 0,4 0,05 0,2 0,08 1 2 3 4 0,1 -0,05 0,3 0,05 0,4 0,10 0,2 0,15 0,12 0,08 Ř 2 =0,14 -0,009 0,003 0,020 0,016 Ř 3 =0,03 -0,005 0,015 0,040 0,030 Ř 4 =0,08 (+0,16) (+0,26) * * (+0,05) (+0,10) = = 0,008 0,026 (-0,12) (-0,02) (+0,02) (+0,05) * * * * (-0,25) (-0,05) (+0,05) (+0,10) = = = = 0,030 0,001 0,001 0,005 (-0,13) (-0,03) (+0,02)

(+0,07) * * * * (-0,25) (-0,05) (+0,05) (+0,10) = = = = 0,0325 0,0015 0,0010 0,0070 0,0032 0,0052 COV(R 2 R m )=0,0230 0,0030 0,0003 0,0004 0,0010 COV(R 3 R m )=0,0047 0,00325 0,00045 0,00040 0,00140 COV(R 4 R m )=0,00550 Mindegyik projektnél pozitív a kovariancia. A kovariancia a β kiszámításának az alapja Csak a β az, ami differenciálja az egyes projekteket (SML). Tehát a megkövetelt megtérülést csak a β befolyásolja módosító erővel. A négy projekt szisztematikus kockázata: β 1 = 0,02 / 0,01 = 2,00 az 1. projekt kockázata kétszerese a piacénak, túlreagálja a piaci megtérülés változását, ez egy kockázatos projekt β 2 = 0,023 / 0,01 = 2,30 a 2. projekt még kockázatosabb, jelentősebb megtérülési kompenzációt követel meg. β 3 = 0,0047 / 0,01 = 0,47 egységnyi piaci megtérülés változásra fél egységnyi megtérülés változás a válasz, legkevésbé kockázatos projekt. β 4 = 0,0055 / 0,01 = 0,55 Szabad-e a kockázat alapján

választani? Ezt nem tehetjük meg. A megkövetelt megtérülést kell ahhoz hasonlítani, hogy a projekt mennyit ígér. A megkövetelt megtérülés meghatározása a CAPM modell segítségével: kockázatmentes ráta + kockázati prémium kockázati prémium = piaci kockázati prémium és a β szorzata A piaci többletmegtérülés mind a 4 projekt esetében ugyanakkora: [E(R m ) - R f ] = 10% - 5% = 5% A megkövetelt megtérülési ráták: Projekt P1 P2 P3 P4 Megkövetelt megtérülés E(R j ) Becsült megtérülés Rj E(R 1 ) = 0,05 + 0,05*(2,0) = 0,15 E(R 2 ) = 0,05 + 0,05*(2,3) = 0,165 E(R 3 ) = 0,05 + 0,05*(0,47) = 0,0735 E(R 4 ) = 0,05 + 0,05*(0,55) = 0,0775 0,2 0,140 0,030 0,080 Megtérülési többlet (%) +5,00 -2,50 -4,35 +0,25 A megkövetelt megtérüléseket összevetjük a várható megtérülésekkel, így megkapjuk a megtérülési többletet. Az 1 és 4 projekt többet ígér, mint a megkövetelt megtérülés A második és harmadik viszont kevesebbet, az SML

alatt helyezkednek el, túlértékeltek. Most helyezzük el a négy projektet 27 a kockázat - megtérülés koordinátarendszerben. A CAPM modell a megtérülést a szisztematikus kockázat függvényében ábrázolja. megtérülés P1 SML P4 P2 0,05 P3 1 2 βi ACAPM grafikonnak van egy bizonyos meredeksége: [E(R m ) - R f ] a piaci többletmegtérülés Az első és a negyedik projektnek pozitív megtérülési többlete volt, emiatt ezek az SML egyenes fölé kerülnek. Ezek a CAPM szempontjából alulértékeltek A második és harmadik projekt viszont az SML alá került, mert negatív megtérülési többletük van, kevesebbet ígérnek, mint amennyi a piac által a kockázatnak megfelelően megkövetelt érték. Most nézzük meg, mi történt volna akkor, ha a döntést a tőke súlyozott átlagköltsége alapján hoztuk volna meg. WACC= 10% Ha ez alapján döntöttünk volna, akkor az első kettőt fogadtuk volna el (20%, 14%), és a második kettőt utasítottuk

volna vissza (3%, 8%). Ez azonban figyelmen kívül hagyja a projektek kockázatosságát. Vitán felül elfogadható lett volna az első projekt (mindkettő alapján jobb). A harmadik vita nélkül elutasítható, mindkettő alapján el kell utasítani. Azonban van két projekt, amellyel kapcsolatban téves döntést hoznánk. Ez a kettes és a négyes A kettest tévesen elfogadnánk, a négyest tévesen elutasítanánk a WACC alapján. A két kritériumot a következőképpen kell elképzelni: Ři I K Rc L Rf J βi 28 A két kritérium azonos irányú döntést hoz: a törésvonal alatt és fölött. Az I-t mindkettő alapján elfogadnánk, a J-t mindkettő alapján elutasítanánk. Sorolási konfliktus a közbezárt területen van A konfliktus lényege: az L hibásan elutasított a WACC által (SML felett van), a K pedig hibásan elfogadott a WACC által (SML alatt van) A közbezárt zóna nagysága függ: * SML egyenes meredekségétől (minél kisebb a meredekség,

annál szűkebb az a terület) * A kockázatmenetes kamatráta (minél nagyobb az R f , annál kisebb ez a terület.) A finomabb döntést a kockázatot figyelembe vevő SML egyenes alapján hozhatjuk. Ez megfelel annak a követelménynek, hogy minden projekt legalább akkora megtérülést hozzon, mint amekkora a vele azonos kockázatú projektekkel elérhető. Az SML egyenest és a CAPM modellt egyensúlyi modellként írtuk le az előző félévben. Feltételként szabtuk, hogy minden projekt, minden értékpapír előbb-utóbb rá kell hogy kerüljön az SML egyenesre, el kell hogy fogadja azt a kockázat-megtérülés átváltási relációt, amit az SML megszab. Itt viszont nem egyensúlyi állapottal foglalkoztunk. A gondot az okozza, hogy a piac ezt a tényt csak rövid ideig fogadhatja el. Ha ilyen projektek megjelennek, erre sokan pályáznak, többletkereslet nyilvánul meg, felverik az árakat, lenyomják a hozamot. Az SML alattiakra pedig éppen az ellenkezője

érvényesül. Ez a folyamatos piaci korrekció az értékpapíroknál várható minden alappal, mert azok korlátlanul oszthatók, napi piaci megmérettetés következik be, azonban a dologi tőke projekteknél nem így van. Ezek nincsenek napi értékelés alá vetve, a korrekció nem olyan gyakoriságú, mint az értékpapíroknál. De minden egyes projektnek a saját kockázatosságának megfelelő hozamot kell ígérnie. Eszerint történjen kiválasztásuk 29 A mai alkalommal a projekt autonóm jövedelmezőségének az elvéről lesz szó. Döntéshozáskor célszerű megkülönböztetni a projekt jövedelmezőségét és kockázatát a vállalat egészének a megtérülésétől és kockázatától. A rutinberuházások esetében minden alapunk megvan annak feltételezésére, hogy a projekt kockázatossága nem tér el a vállalat egészének (eszközállományának, illetve tevékenységének kockázatosságától. Ebben az esetben az adott vállalatra számított tőke

súlyozott átlagköltsége minden további nélkül alkalmazható az új projektre is. Rutinberuházások esetében tehát a kockázat azonossága megengedi a megkövetelt megtérülési ráta azonosságának a feltételezését. Ha viszont a projekt láthatóan más kockázati osztályba tartozik mint a vállalat eszközállománya illetve a vállalati tevékenység egésze, akkor e feltevést fel kell adnunk és a projektre/projektekre egyenként jellemző megkövetelt megtérülési rátát szükséges alkalmazni a projekt pénzáramának diszkontálásakor. A hozamok tőkésítését olyan diszkonttényezővel/kamatlábbal kell elvégeznünk, amely a projekt relatív kockázatosságát kifejezi. Abban az esetben, ha a tervezett projekt pénzáramával kapcsolatban nem feltételezünk bizonytalanságot, akkor a megfelelő diszkontráta a kockázatmentes ráta lehet. Nézzünk meg egy ettől eltérő vállalati lehetőséget! Tegyük fel, hogy egy vállalat végrehajt egy

kockázatmentes projektet (rutinberuházás), például a meglévő termelési vonalakon gépcserét, eszközpótlást hajt végre. Ebben az esetben felmerül a kérdés, hogy ha ez a projekt beépül egy egyébként kockázatos vállalati működésbe, akkor milyennek kell tekintenünk a kapcsolódás jellegét? Magyarul a kockázatmentes projekt kockázatos közegbe beépülve kockázatosnak tekinthető-e, vagy pedig a projektet önmagában tekintve kockázatmentes befektetésként kezelhető. Egy kockázatmentes projekt beépülése egy kockázatos közegbe értelmezhető úgy, hogy a tőkejuttatók nem projektet finanszíroznak, hanem vállalatot. Úgy gondolhatjuk, hogy a projekt beleolvad a vállalat meglevő tevékenységébe, tehát arra következtethetünk, hogy a projektet kockázatmentessége ellenére kockázatosnak tekintjük. Ennek megfelelően nem a kockázatmentes diszkontrátát, hanem a tőke súlyozott átlagköltségét használjuk a hozam tőkésítésére. A

kérdés az, hogy ezt a helyzetet hogyan kezeli a piac. A piac vajon a kockázatmentes projektet (az új tőkeaddíciót) a beolvadás argumentumát elfogadva kockázatosnak, vagy kockázatmentesnek véli a projektet? Konkrétabban a kérdés az, hogy a kockázatmentes ráta, vagy a tőke súlyozott átlagköltsége lesz az a tőkeköltség, amit a hozamáram tőkésítéséhez célszerű felhasználunk? Ebben a gondolatmenetben nyilvánvalóan jelen van egy hibás értelmezés a beolvadással kapcsolatban. Ha egy kockázatos alaptevékenységhez hozzáillesztünk egy kockázatmentes tőkeaddíciót, akkor egy olyan portfólió keletkezik, amelynek a nagyobbik komponense a kockázatos átlagtevékenység/összes rendelkezésre álló eszköz, a másik komponens pedig kockázatmentes. Hogyan reagál minderre a piac? Tegyük fel, hogy valaki megvásárolja ezt a vállalatot a kockázatmentes projekttel együtt. Ekkor a vevő egy olyan projekt-portfóliót vásárol, amelynek van egy

kockázatos és egy kockázatmentes eleme. A projekt-portfólió megvásárlásával a vevő számára egy nagyon fontos lehetőség adódik: a vevő kettéválasztja a projekt-portfóliót és két független vállalatot képez belőle. Nézzük meg számadatok alapján ezt a vállalati esetet! Feltételezzük, hogy a meglevő (a tőkeaddíció előtti) eszközállomány 2 millió $, ennek a működése kockázatos. Tegyünk ehhez hozzá egy viszonylag nagy tőkeaddíciót: legyen a kockázatmentes projekt ugyanakkora, mint a régi volt, tehát a növekmény 2 millió $. Az egyszerőség kedvéért egyperiódusú beruházásból indulunk ki. A periódus végén a 2 millió $-os tőkeaddíció 2.4 millió $-os pénzbeáramlást eredményez (net cash flow) A kockázatmentes kamatláb legyen 10%, a vállalati súlyozott átlagköltség 15%-os. Nézzük először a hibás gondolatmenetet! [1/(1+R f )t] SAP/1 2,000,000 eszközállomány (kockázattal) 2,000,000 2,400,000 30 r f = 10%

WACC = 15% Vállalat értéke a kockázatmentes projekt elkészülte után 4,086,956 Új vállalat értéke Vállalat értéke a kockázatmentes projekt előtt 2,000,000 2,000,000 = = = = Biztonságos pénzáram 1+r f Kockázatment + es projekt értéke + 2,400,000/1.15 + 2,086,956 = 2,400,000 1.10 = 2,181,81 8 A kockázatmentes projekt értékét úgy számítjuk ki, hogy tőkésítjük a pénzáramot: 2,400,000/1+0.15 4,086,956$ lesz a vállalat értéke azzal a feltételezéssel, hogy a tőkejuttató nem projektet, hanem vállalatot finanszíroz, ezért a vállalati tőkeköltséget kell a diszkontáláshoz felhasználni. Vajon mi a piac ítélete? A projekt-portfólió létéből következően olyan befektetők veszik meg a vállalatot, akik ki akarják használni a kockázattal kapcsolatos félreértéseket, vagyis úgy akarnak profithoz jutni, hogy nem vállalnak többletkockázatot. Ezeket a tőkepiaci szereplőket nevezik arbitrazsőröknek A fenti projektet tehát az a

befektető fogja megvásárolni, aki tudja, hogy ez a vállalati érték hamis. A vállalat ennél többet ér, mert nem 15%-os rátával kellett volna a hozamot tőkésíteni, mivel a projekt nem olyan kockázatos, mint a vállalat egésze. Bármikor, bármilyen entitás felfogható portfólióként, vagyis autonóm alkotóelemek kompozíciójaként. Az arbitrazsőr tehát megveszi ezt a vállalatot és szervez belőle két különálló vállalatot. Hogyan értékelődik helyesen a meglevő és az új projekt? A meglevő projekt értéke adottság, 2 millió $. Az új érték eszerint a 10%-os kockázatmentes kamatráta alkalmazásával határozható meg. A pótlólagos kockázatmentes tőkenövekménynek a valódi értéke nem 2,086,956$, hanem 2,181,818$ lesz. Ebből a következő adódik, hogy az arbitrazsőr 94,862$ profitot realizálhat, ha a vállalatot megvásárolja, két részre bontja és egyenként továbbadja: - 4,086,956 +4,181,818 = 94,862 A projekt-portfólió

szemlélet megengedi azt, hogy bármely vállalkozást portfólióként fogjunk fel. A vállalat története nem más, mint megszámlálható halmazt alkotó projektek sorozata. Az egyes projektek megkövetelt megtérülése tulajdonképpen az adott projekt relatív kockázatosságától, nem pedig a vállalat egészétől függ. Példa: WACC = 10% A vállalat olyan projektbe tervez beruházást, amelynek kockázati osztálya lényegesen magasabb a vállalati alaptevékenységénél: β = 3, vagyis a piaci variabilitás háromszorosa. E ( Rm ) − r f = 9% , vagyis a piaci kockázati prémium 9% r f = 8% Kérdés: mekkora a feltétlenül alkalmazandó megkövetelt megtérülés? Ezt a CAPM modellel határozhatjuk meg: [ ] E (R ) = r f + E (R m ) − r f ⋅ β = 8% + (9% ⋅ 3) = 35% 31 A rendkívüli β érték rendkívül magas, 35%-os megtérülési rátát eredményez. Az átlagos kockázatosságú (10%-os tőkeköltségű) vállalat egy nagyon kockázatos, magas

megkövetelt megtérülésű projektet akar megvalósítani. Ez azt jelenti, hogy a piac a 3-as β értékű befektetésektől minimum 35%-os megtérülést vár el. Ha a projekt ennél kevesebbet eredményez, akkor ezáltal csökkenni fog a vállalat értéke. Mi történik abban az esetben, ha az előző példával ellentétes hibát követünk el, vagyis a döntéshozó nem veszi figyelmbe azt, hogy ez a projekt nagyon kockázatos. Ismét azt feltételezzük, hogy a projekt beolvad a vállalati alaptevékenységbe és a 10%-os vállalati tőkeköltséggel próbáljuk meg diszkontálni. Legyen 400,000,000$ a projekt költsége, ami egy periódus után 444,000,000$-os bruttó hozamot eredményez: 400,000,000$ 444,000,000$ Kérdés: milyen rátával diszkontáljuk ezt a 444 millió dolláros hozamot? 444,000,000 NPVWACC = −400,000,000 + = −400,000,000 + 404,000,000 = 4,000,000 1 + WACC Mínusz 400 millió az egyszeri tőkekiadás, ezzel szemben áll a 444 milliós periódusvégi

pénzáram jelenlegi értéke. Ha ez a diszkontálás 10%-os rátával történik, akkor a döntéshozók jövedelmezőnek fogják ítélni a projektet, mert nettó jelenértéke nagyobb nullánál. Ez egy kicsit félrevezető, mivel ezt a nagyon kockázatos beruházást úgy tekintjük, mintha ugyanolyan kockázatú lenne, mint a vállalati alaptevékenység. A tőkepiac viszont az ilyen kockázatos befektetéstől nem 10%-os, hanem 35%-os megtérülést várnak el, ennek megfelelően a valóságos helyzet a következő: 400,000,000 444,000,000 β=3 E(R) = 35% 400,000,000×(1 + 0.35) = 540,000,000, vagyis ennyinek kellett volna lennie a kezdeti tőkekiadás felkamatolt értékének (net cash flow); ez a 35%-nak megfelelő hozamtöbblet. Ehelyett az eredmény csak 444 millió volt. 540,000,000 – 444,000,000 = 96,000,000 , vagyis 96 millió dollárral kevesebb a pénzbeáramlás. Milyen hatása volna ennek a tévedésnek a vállalat értékére? Végezzük el a számítást 35%-os

megkövetelt megtérülési ráta figyelembe vételével! 444,000,000 NPV35% = −400,000,000 + = −400,000,000 + 329,000,000 = −71,000,000 1 + 0.35 Valós megkövetelt megtérülési ráta alkalmazásával tehát a vállalat értéke nem növekedni, hanem csökkenni fog, így a projekt megvalósítása a 444 millió dolláros pénzbeáramlás mellett 71 millióval csökkentené a vállalat értékét. A projektet el kell utasítani Ha viszont az indokoltnál nagyobb diszkontrátát alkalmaztunk volna, akkor indokolatlanul elutasítottuk volna a projektet. A hibás döntés tehát abból adódik, hogy nem a projekt relatív kockázatosságának megfelelő megkövetelt megtérülési rátát alkalmazzuk. A projekt autonóm jövedelmezőségének elve azt mondja ki, hogy a vállalat annak alapján fogadhat el vagy utasíthat el projekteket, hogy egybeveti azokat az azonos kockázati osztályba tartozó befektetésekkel. Nem a vállalat átlagkockázatához, hanem a vele azonos

kockázati osztályba tartozó (azonos β értékű) befeketésekhez kell viszonyítani a projektet. Az SML egyenletében egyedül a β változik értékpapíronként és projektenként. A projekttel azonos β értékű befektetések megkövetelt megtérülésével azonos hozamot kell elvárni. Példa: 32 Feltételezzük, hogy a vállalatot kizárólag részvénytőkéből finanszírozzák, nincs adósság. Ennek következtében a részvénytőke költsége egyenlő lesz a vállalat egészének a költségével: [ R S = r f + β E (R M ) − r f ] SAP/4 R S = rate of return of share capital = WACC A vállalati β (a vállalat egésze, mint önálló projektek halmaza): β = 1, vagyis a vállalatot pontosan ugyanolyan megtérülési változékonyság jellemzi ezt a vállalatot, mint a piac egészét. r f = 7% E(R M ) – r f = 8% (ez a piaci kockázati prémium) WACC = 15% A vállalat négy projekt megvalósítását mérlegeli, a kezdeti tőkekiadás mindegyiknél 100$. A

várható pénzáram egy év múlva következik, tehát ez egy egyperiódusú beruházás. A projektek közül egyiknek sem olyan a szisztematikus kockázata, mint a projekteket megvalósító vállalatnak. A 4 projekt β értékei a következők: β A = 0.5 β B = 0.6 β C = 1.2 β D = 2.0 Mekkora az alkalmazandó megkövetelt megtérülési ráta az A projekt esetében? [ ] rSA = r f + β A E (R M ) − r f = 7% + 0.5 ⋅ (8%) = 11% Az A projekt esetében ez azt jelenti, hogy a 7%-os kockázatmentes rátát mekkora prémiummal egészítjük ki. Az A projekt megkövetelt megtérülési rátája tehát 11% Ezzel kell tehát az A projekt pénzáramát diszkontálni, ami után a következő nettó jelenértéket kapjuk: E (C1 ) 112 NPV A = C0 + = −100 + = 0.9 A 111 . 1 + rS [ ] Kezdeti tőkekiadás, plusz a megkövetelt megtérülési rátával tőkésített pénzáram. Az A projekt várható megtérülése 12%, ami azt jelenti, hogy 112$ lesz a periódusvégi nettó

pénzbeáramlás. Az A projekt nettó jelenértéke tehát 09$ Ez egy helyes számítás, mert az A projektnek megfelelő β értéken alapul a diszkontráta meghatározása. Az alábbi táblázat tartalmazza a négy projektre vonatkozó számításokat: Várható Projekt R pr β pr E(R) Igazi NPV Téves NPV CF A 11.0% 0.5 12% 0.9 -2.6 112 B 11.8% 0.6 14% 2.0 -0.9 114 C 16.6% 1.2 16% -0.5 0.9 116 D 23.0% 2.0 20% -2.4 4.3 120 A második oszlopban a projekttől megkövetelt megtérülés található. A négy projekt jövőbeli pénzáram-hatása a 4. oszlopban található Ehhez kapcsolódik az utolsó oszlop: a 100$ összeget szorozzuk az 1+E(R) értékekkel. Ha az A projekt esetében hibásan számoltunk volna, akkor a nettó jelenértékre a következő értéket kaptuk volna: 112 NPV = −100 + = −100 + 97.40 = −260 115 . A 112$-os periódusvégi pénzáramot a tőke súlyozott átlagköltségével, tehát a vállalat egészére vonatkozó diszkontrátával diszkontáltuk. Ez

azért hamis, mert a projekt feleannyira kockázatos, mint a vállalat egésze. A projekt autonóm jövedelmezősége és kockázata megkülönböztetendő a vállalat egészének jövedelmezőségétől és kockázatától. A hibás számítás eredményeképpen az A projekt nettó jelenértéke –2.60$, mivel a 15%-os rátával jobban leértékeltük a pénzáramot, mint a valódi, a projekt relatív kockázatosságát mutató rátával (11%). 33 A B projekt esetében 11.8% = r f + 06(piaci kockázati prémium) A B projekt várható megtérülése: 14%, tehát ha a 11.8%-kal diszkontálunk, akkor 20$ pozitív nettó jelenértéket kapunk, ha 15%-kal, akkor -0.9$-t És így tovább E(R) SML = rS D C 15% A WACC = rS = 15% B 7% 0.5 06 1.0 1.2 2.0 β Az ábrán látható, hogy a négy projekt közül egyik sem, amit a két módszerrel (WACC és SML) egyformán minősítenénk. A WACC diszkontálási módszer érzéketlen a kockázatra A szaggatott vonal a részvénytőke

költségét fejezi ki. A közbezárt zónában sorolási konfliktius keletkezik: amit az egyik módszer elfogad, azt a másik módszer elutasítja. Az A projekt elfogadhatatlan a WACC alapján, mert a hozama kisebb 15%-nál. Az A projekt az SML alapján elfogadható, mert a 0.5 β értékhez 11( megkövetelt megtérülés adódik, tehát hiába kisebb a hozama 15%-nál, 20% a relatív kockázatossága 0.5-es β értéknél kisebb a vállalat, mint egész kockázatosságánál A B projekt esetében a helyzet ugyanaz, csak a β értéke más. A C projektet a WACC alapján el lehetne fogadni, de az 1.2 β alapján nagyobb megkövetelt hozamnak kell, hogy megfeleljen, így az SML alapján nem fogadható el. A D esetében β=2 mellett hiába van jóval a WACC egyenese fölött, az SML egyenes alatt van, mert a megkövetelt megtérülésének 23%-osnak kellett volna lennie. A közbezárt zónában tehát inkább a kockázatérzékeny kritériumot (SML) kell elfogadnunk. A közbezárt zóna

nagysága függ az SML meredekségétől (egyenlő a piaci kockázati prémiummal), illetve függ attól, hogy a kockázatmentes ráta milyen messze van a súlyozott átlagköltségtől. 34 Hogyan alkalmazható az opció-értékelési modell a beruházási projektek kiválasztásában? A korábbiakban a kockázati analízisnek egy olyan módját vettük alapul, amely egy bizonyos értelemben leegyszerűsíti a valóságot: a valószínűségi eloszlást minden esetben diszkrét értékek sorozataként ábrázoltuk, tehát a normális eloszlást ábrázoló görbének a ordinátáiból indultunk ki. Ennek alapján definiáltuk a ’z’ standard normál változót, amin keresztül a görbe alatt elhelyezkedő lehetséges értékekhez tartozó magasságot (ordináta) vettük alapul és ennek alapján vizsgáltunk döntési szabályokat. Egy másik lehetőség nem az ordinátát veszi alapul, hanem a görbe alatti területből indul ki. Magyarul, egy bizonyos intervallumba tartozó

valószínűségi értékeknek az összegeződését veszi számításba. Ebben minden lehetséges kimenet valószínűsége szerepet játszik Amikor tehát nem diszkrét változók sorozataként, hanem folytonos függvényként vesszük figyelembe a kimeneti eloszlást, akkor a görbe alatti terület összegzése lesz a megoldás. A kérdés megvilágításához a normális eloszlási görbét vesszük alapul. Feltételezzük, hogy a projektből származó kimenetek egy folytonos függvény mentén normális eloszlást követnek. AR/1 10 15 20 25 30 Kimenetek (X értékek) A vízszintes tengelyen kimeneti értékeket találunk; ha értékpapírokkal foglalkoznánk, akkor ezek volnának a százalékban kifejezett megtérülési ráták. Ha viszont dologi tőkeprojektből indulunk ki, akkor az x valamilyen cash flow kimeneti értékeket vehet fel. Ennek az eloszlásnak a középpontjában egy 20$-ból álló középérték helyezkedik el, ezt neveztük várható értéknek. A

várható érték nem mindig esik egybe a lehetséges indikátorok másik két változatával: ezek a módusz (a leggyakrabban bekövetkező kimenet), illetve a medián (az az érték, amihez viszonyítva ugyanannyi kisebb és ugyanannyi nagyobb érték helyezkedik el). Mi eddig a várható értéket vettük alapul elsősorban azért, mert a várható értékben a valószínűségekkel való súlyozás eltérése is kifejezésre jut. Egy olyan projektet veszünk tehát alapul, amelynek 20 egység a várható értéke és 5 egység a szórása. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a projekt kimenet 15 és 30 egység közé esik? Nyilvánvaló, hogy az egész görbe alatti terület 1-gyel egyenlő, így a görbe két szimmetrikus fele 0.5 és 05 valószínűséget reprezentál A kérdés az, hogy mekkora az a hányada ennek a görbe alatti területnek, amelyik a 15 és a 30 egység közé esik? Ennek a kiszámítása integrálással történhet, amire létezik egy konvención alapuló

formula: 2 2 1 f ( x) = e − ( x − µ ) / 2σ 2 2πσ Mivel rendelkezésünkre áll egy előre kiszámított értékeket tartalmazó táblázat, ezért a fenti formulától inkább eltekintünk. Az Euler-féle szám a z2 felére van hatványozva Hogyan történjék a görbe alatti terület nagyságának a mérése? Táblázatból kiválasztott értékek segítségével: 35 A keresett pont távolsága a várható ordináta értéktől 0.0 0.0000 0.3989 0.5 0.1915 0.3521 1.0 0.3413 0.2420 1.5 0.4332 0.1295 2.0 0.4773 0.0540 2.5 0.4938 0.0175 A z jelentése: (aktuális bekövetkezés – várható bekövetkezés)/szórás: x−µ z= z σ A z sztenderd normális változó másszóval az a szórásérték egység, amennyire a tényleges bekövetkezési érték a várható értéktől elhelyezkedik. Ez a távolság ± 3σ értéken túl már indifferens. A fenti görbe alapján látható, hogy annak nagyobb a valószínűsége, hogy a középérték közelébe esik egy bizonyos

érték (itt magasabbak az ordináták), és egyre kevesebb a valószínűsége annak, hogy egyre távolabb kerülünk a középértéktől. A táblázat 2. oszlopa a görbe alatti terület összegzett értékét, vagyis az intervallumba esés valószínűségét mutatja. Ezt az értéket az f(x) függvény meghatározozz intervallumra vonatkozó görbe alatti terület integrálásával kaptuk meg (az 1. kiosztott táblázatban szerepelnek) A hozzájuk tartozó ordináták a görbe és a vízszintes tengely közötti távolságot mutatják. A 3. oszlop, az ordináta, pedig az adott értékhez tartozó magasságot mutatja Látható, hogy z = 2.5 értéknél már majdnem a teljes görbe alatti félterület ott van AR/2 z= x−µ σ (1) Térjünk most vissza arra a kérdésre, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy a kimenet 15 és 30 egység közé esik. Az opció azt jelenti, hogy vásárolunk egy vételi jogot egy később lebonyolítandó tranzakcióra. Ahhoz, hogy tudjuk

azt, hogy mekkora változás és mekkora eséllyel következik be az adott porjekt vagy értékpapír árában, ismernünk kell a változások teljes sorozatát és azok összegét: meg kell becsülni azt, hogy a kötés időpontja nap és az opció érvényesítésének időpontja közötti időszak összes történésének (részvény áresése, emelkedése) mekkora a valószínűsége. Ezért van szükségünk a sűrűségfüggvényre: nem tudhatjuk, hogy egy ma megkötött megállapodás eredményeként a harmadik évben milyen kötési áron kerül sor az adott tranzakció lebonyolítására. A normális eloszlású görbe segítségével meghatározhatjuk ezt az intervallumot Nézzük tehát a 15$ és a 30$ közé kerülés valószínűségét! 15 − 20 30 − 20 = −1.0 = 2.0 z1 = z2 = 5 5 A z 1 = -1.0 azt jelenti, hogy a 15$-os eredménybekövetkezés egy szórásnyira helyezkedik el a középértéktől. A 30$-os bekövetkezés 2 szórásegységre található a

középértéktől A normális eloszlás szimmetrikus jellegéből adódóan az előjel indifferens. A z = 1-hez tartozó görbe alatti terület értéke: 0.3413 2σ esetén a görbe alatti terület nagysága: 0.4772 Az első valószínűség tehát azt mutata meg, hogy a 15$ alsó határ és a középérték közötti görbe alatti területnek mekkora a valószínűsége. A második érték pedig a 20$ középérték és a 30$ felső határ közötti görbe alatti terület valószínűsége. Az egész sávozott terület valószínűsége tehát: 0.3413 + 04772 = 08185 Ezek szerint tehát 8185% a valószínűsége annak, hogy a projekt eredménye 15$ és 30$ közé esik. Mekkora az esélye annak, hogy 15$-nál nagyobb lesz a kimenet értéke? Egyszer a 15$ és 20$ közötti rész valószínűsége (34.13%), majd ehhez hozzá kell adni a középértéktől jobbra eső 36 egész görbe alatti terület valószínűségét (50%). A kettő összege: 03413 + 05000 = 08413, tehát 84.13%

annak a valószínűsége, hogy a projekt kimenete 15$-nál nagyobb lesz A 3σ szabály lényege az alábbi grafikon alapján jobban megérthető: 68.26% 95.46% 99.74% -3σ -2σ -1σ μ +1σ +2σ +3σ A –1σ és a +1σ közötti nyil azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy a kimenet a ± 1σ sávba esik, 68.26% Ez a 03413 (a ± 1σ értékhez tartozó valószínűség) megkétszerezéséből adódik A kimenetek 95.46% valószínűséggel esnek ± 2σ határon belül És így tovább Példa: Van két projektünk, ezek legyenek A és B. A két projektre vonatkozóan a cash-flow kimenetek várható értékét a (2) formulával határozhatjuk meg: n F j = ∑ FjS ⋅ PS (2) S =1 A j-edik projekt S státuszú kimenete a P valószínűséggel súlyozva a fenti várható értéket és az alábbi szórást adja meg: σj= n ∑ (F S =1 jS − F j ) 2 ⋅ PS (3) Nézzük meg a projekthez kapcsolódó lehetséges kimeneteket! AR/3 Állapot A projekt Recesszió

Normális Fellendülés Szórás = σ A = 63.20 B projekt Recesszió Normális Fellendülés Szórás = σ B = 126.50 Bekövetkezés valószínűsége PS Megtérülés (dollár) F jS F jS ·P S 0.2 0.6 0.2 1.0 400 500 600 Várható érték: 80 300 120 500 0.2 0.6 0.2 1.0 300 500 700 Várható érték: 60 300 140 500 Háromféle gazdasági állapotot feltételezünk 2 projektre vonatkozóan. A B projekt szórása kétszerese az A projekt szórásának, mert míg az A projekt kimenetei 400 és 600 között ingadoztak, 37 addig a B projektnél ez a sáv szélesebb: 300 és 700 közötti. Ugyanazt a várható cash-flow bekövetkezést kétszer akkora szórás kíséri. Ábrázoljuk ezt normális eloszlású görbék segítségével! F(x) I J K I’ J’ A projekt K’ B projekt H 200 300 400 450 500 L 575 600 700 K 800 Megtérülés Az ábrán látható, hogy ugyanaz a várható érték, csak lényegesen különböző szórásokkal. A kevésbé kockázatos A

görbe a csúcsosabb, a B projekt pedig laposabb. Az ábra a két normális eloszlású görbét mutatja különböző lehetséges kimenetek (200, 300,, 800) mellett. Ebból világosan látszik, hogy a normális valószínűségi eloszlást a várható megtérülés és a kockázat segítségével konstruálhatjuk. A másodikként kiosztott, az ordináta értékeket tartalmazó táblázat a relatív magasságokat adja meg a különböző z pontokra vonatkozóan. A relatív magasság meghatározása egy olyan közbülső segítő eljárás, aminek szintén haszát vehetjük a normális eloszlású kimenetek vizsgálatakor. Nézzük meg, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy egy viszonylag szűk sávban szóródik a projekt lehetséges eredményessége! Legyen ez a sáv mondjuk 450$ és 575$ között. Az ebbe az intervallumba kerülés valószínűségére vagyunk kíváncsiak. Első lépésként nézzük meg a vonatkozó valószínűségi eloszlásokat a projektek alsó és

felső értékére! Mekkora az esélya az alsó, illetve felső határ bekövetkezésének? A szűk intervallumnak az a jelentősége, hogy viszonylag közeli érték-szóródást engedünk meg a várható érték körül. 1. kiadott táblázat [AR/4] mellékelve! AR/4 Meghatároztuk a standard normál változókat. Miután a relatív magasságok érdekelnek bennünket, tehát a valószínűségi függvény meghatározott z értéknél esedékes relatív magasságát keressük, ezt az f(x) = 1/σ értékkel határozhatjuk meg, amit a z érték ordinátájaként értelmezhetünk. Nézzük meg a két projektre vonatkozó lehetséges értékeket! (középső). Az 500$-os középérték esetében a z = 0, az ehhez tartozó ordináta 0.3989 A ± 1σ-nál az ordináta érték 02420, és így tovább. Ha az f(x) = 1/σ relatív magasság meghatározást alkalmazzuk, akkor a 3 és a 4 oszlop, vagyis az ordináta és a függvényérték szorzataként megkapjuk az A és a B projektre vonatkozó

relatív magasságokat. Nyilvánvaló, hogy ezek a B esetében a harang alakú görbe laposságából adódó kisebb magasságok. Az alsó részben teljessé tesszük a számításokat. A z értékeket tartalmazó tábla segítségével meghatározható a görbe alatti terület. A teljes terület az A projekt esetében 06682, vagyis az idetartozás valószínűsége az A projekt esetében 66.82%, a B projekt esetében pedig 3778% 38 Látható, hogy a kevésbé kockázatos A projekt esetében e két intervallum-határ közé esés valószínűsége nagyobb, mint a laposabb és kockázatosabb B projekt esetében. A szórás kiszámítása az A projektre: (400 − 500) 2 ⋅ 0.2 + (500 − 500) 2 ⋅ 06 + (600 − 500) 2 ⋅ 02 Térjünk vissza az ábrához és értelmezzük a betűjelzéseket! Melyik két terület kiszámítása szükséges ahhoz, hogy a kb. 6682%, illetve a 3778%-ot, vagyis az intervallumba esés valószínűségét a görbe alatti területre támaszkodva

meghatározhassuk? Az A projekt esetében a határoló pontok: H – L – K – J – I. 6682% az esélye annak, hogy az A projekt kimenete 450$ és 575$ közé esik. A B projekt esetében a határoló pontok: H – L – K’ – J’ – I’. A 450$ - 575$ intervallumba kerülés esélye a B projektnél 37.78% A görbe alatti számítás lényege a valószínűség kumulálása, hiszen a görbe alatti területen rendkívül sok bekövetkezési lehetőség adódik. Ahhoz, hogy egy bizonyos intervallumon belül meg tudjuk határozni a lehetséges bekövetkezés esélyét, gyakorlatilag a teljes görbe alatti területet összegezni kell. A döntést tehát a kumulált valószínűség alapján hozzuk meg és ez vezethet el a tőkeprojektek esetében az opció-értékelési modell megértéséhez tudniillik, hogy folyamatos és kumulált bekövetkezési esélyekből indulunk ki. Végül mi a valószínűsége annak, hogy az A projektből nyerhető pénzáram legalább 100$, vagy

legalább 150$, stb. Határozzuk meg ezt a “legalább” értéket a projektre vonatkozóan! Nyilvánvaló, hogy nagyobb lesz a 150$ bekövetkezésének a valószínűsége, mint a 150 dolláré. A “legalább” típusú kérdések megválaszolása a kumulált valószínűségi eloszlással adható meg: 2. kiadott táblázat [AR/5]mellékelve! AR/5 Mindkét projekt beruházási költsége 450$. Ez a lehetséges pénzbeáramlási lista a 450 dolláros kezdeti tőkekiadás ellentétele. A 450$ a fedezeti pont: ha 450$-os pénzbeáramlás történik, akkor éppen megtérül a kiadás. A fedezeti pontok nyilvánvalóan nem azonos valószínűséggel következnek be a különböző kockázatú projektek esetében. A z értékeket az A projekt esetében 300$ és 700$ között, a B esetében pedig 200$ és 800$ között helyezzük el. A 300$-os kimenethez -306 z érték tartozik A kérdés: mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a projekt legalább 300$ megtérülést eredményez?

Ennek a kumulált valószínűsége 0.9990, azaz 999% Ez a következőképpen adódik: a görbe alatti terület z = -316 értéknél 0.4992 Így a kumulált valószínűség = 05000 + 04992 = 09990 400$-nál z = -1.58, ennél az értéknél a görbe alatti terület 04429, így a kumulált valószínűség: 0.4429 + 05000 = 09429 500$-nál a z értéke 0, így a kumulált valószínűség 05000, hiszen ez a legvalószínűbb érték azt jelenti, hogy a görbe alatti területnek a felét foglalja el. 575$ esetében: mivel az 575$ a középértéktől jobbra helyezkedik el, így 0.5000 – 03830 = 01170 39 AR/6 Kumulált valószínűség 100 A projekt 90 80 70 60 50 40 30 20 B projekt 10 0 200 300 400 450 500 600 700 800 Megtérülés Ha kumuláljuk a valószínűségi értékeket, akkor az A projekt fedezeti pontjának a valószínűsége 78.5% A B esetében csak 6517% a valószínűsége annak, hogy a fedezet bekövetkezik. Mekkora az esélye annak, hogy az A projekt

650$-nál többet hoz? Nagyon kicsi. A B változat esetében pedig kb. 5%-os a valószínűsége annak, hogy 700$-nál nagyobb megtérülést fog eredményezni. A kumulált valószínűség görbéi összegezve mutatják annak az esélyét, hogy valamit meghalad, vagy valamilyen befektetési eredményszintet nem ér el a beruházás. 40 A beruházási változatok közüli választás egyik legnehezebb területe az opciók értékelése. A tőkejavak piaci adásvétele esetében az adott tőkejószágnak van egy kínálata, amivel szemben áll az adott tőkejószág iránti kereslet. A piaci tranzakció során a tőkejószág a vevő birtokába kerül egy egyensúlyi tranzakciós áron. Ez a beruházási eszközök és tőkejavak adásvételének a legalapvetőbb formája. Ugyanakkor, van egy újabb tranzakciós forma is, amely nem abből a feltételezésből indul ki, hogy a kereslet és a kínálat egy adott pillanatban találkozik és a tőkejószág meghatározott tranzakciós

áron létrejött cseréje bekövetkezik. Olyan tranzakciók is megjelentek 25-30 évvel ezelőtt, ahol az ún. alapul szolgáló eszköz (értékőpapír, tőkejószág, stb) adásvételére nem biztos, hogy sor kerül, hanem az adott tőkejószág eladásának vagy vételének a jogával történik kereskedés. A dologi tőkejavak szempontjából ez nyilvánvalóan halasztást jelent: egy későbbi időpontban vagy megtörténik az adásvétel, vagy nem. Magyarul az általunk vizsgált befektetési akciónak teljes, ma mérlegelt értékéhez hozzátartozik a halasztás lehetősége is. Így válik teljessé az a nettó jelenérték, melyet úgy számítunk ki, hogy a tőkésített hozamáramból levonjuk a kezdeti tőkekiadást. Az opciós modellben ez annyival bonyolultabb, hogy megtehetjük azt, hogy egy birtokolt tőkejószágot egy bizonyos idő után elvetünk, kivonunk a működtetésből (pl. kapacitást) Ugyanakkor azt is megtehetjük, hogy egy későbbi időpontra

halasztjuk ennek megvalósítását. Viszont ha ma akarjuk mérlegelni a teljes értéket, akkor ennek a halasztásnak a lehetőségét is figyelembe kell venni. Ma a világ tőkepiacain a megkötött tranzakciók volumene jórészt származékos ügyletekből adódik, a prompt ügyletek száma elmarad ettől. Az opció mint tőkepiaci tranzakciós forma jogot biztosít az opció tulajdonosa számára ahhoz, hogy vagy eladjon, vagy vásároljon egy, az opció alapját képező eszközt (részvényt, kötvényt, dologi tőkeprojektet, stb), mégpedig rögzített áron. Ez az n exercise right, egy jövőre vonatkozó rögzített kötési árnak tekintjük. Ennek az érvényesítése az opció lejáratakor is történhet, de az amerikai opcós formánál a lejáratot megelőzően is érvényesíthető. Az alapul szolgáló eszköz eladása vagy vétele nem kötelezettség, hanem jog! A döntés alapját, azaz hogy érvényesíti-e az opció tulajdonosa a vételi vagy eladási jogot az

fogja képezni, hogy milyenek lesznek az értékviszonyok. Ennek a lehetőségnek két alapvető változatát különböztetjük meg: az egyik a vételi opció (jogot biztosítunk adott tőkeeszköz megvételére), illetve az eladási opció (a tulajdonos eladhatja a jogot). Mivel az általunk vizsgált modell vételi opció értékelésére épül, vizsgáljuk meg először a vételi opció lényegét! A vételi opció jogot ad az opció vásárlója számára megvásárolni az alapul szolgáló eszközt az opció lejárata előtt vagy pontosan az opció lejárata időpontjában. A vevő fizet ennek a jognak a megszerzéséért, tehát kompenzáció szükséges ennek a jognak a megvásárlásáért. A jog lejáratakor két indikátort kell együtt vizsgálnunk: ezek az alapul szolgáló eszköz piaci értéke (a részvények, kötvények folyamatos tőzsdei adásvétele folyik). Amennyiben az aktuális piaci érték az opció lejáratakor meghaladja a kötési árat (exercise price),

akkor a vevőt illeti a különbség (S – share, az alapul szolgáló eszköz értéke; K – kötési érték). Ebben az esetben az S – K különbség a vevőt illeti. Ha viszont az alapul szolgáló eszköz értéke a részvény áresése következtében kisebb a kötési árnál, abban az esetben a vevő nem érvényesíti az opciót. Általánosított formában is ki tudjuk fejezni ezt a két lehetőséget. A vételi opció értéke növekszik akkor, ha az alapul szolgáló eszköz értéke növekszik. A vételi opció ára csökken, ha az alapul szolgáló eszköz értéke csökken A vételi opció kifizetési grafikonja A vételi opció Nettó kifizetése Kötési ár 41 Alapul szolgáló eszköz ára Az alapul szolgáló eszköz árának a növekedése a vízszintes tengely alatti kifizetési folyamat képe. A vételi opció nettó kifizetése egyre nagyobb lesz, ha nyílik az olló az alapul szolgáló eszköz értéke. Az eladási opció kifizetési grafikonja Az

eladási opció Nettó kifizetése Kötési ár Alapul szolgáló eszköz ára Az eladási opció jogot biztosít az opció vevője számára arra, hogy rögzített áron eladja az alapul szolgáló eszközt. A vevő árat kell, hogy fizessen ennek a jognak a megszerzéséért A lejáratkor, ha az alapul szolgáló eszköz értéke (S) kisebb a kötési árnál (K), akkor K – S különbség a vevőt illeti. Ha viszont az S meghaladja a kötési árat, akkor a vevő nem fogja érvényesíteni az opciót. Általánosítva tehát az eladási opció értéke csökken akkor, ha az alapul szolgáló eszköz értéke növekszik. Pontosan a fordítottja a vételi opciónak Az eladási opció értéke egyre nagyobb lesz akkor, ha az alapul szolgáló eszköz értéke csökken. Mind a vételi, mind az eladási opciónak van vevője és eladója, tehát normális piaci adásvételről van szó. Minden tőkepiaci szereplőnek tiszteletben kell tartania a következő szabályt: a vevőnek joga

van az opció értékesítésére, nem korlátozható a jog megszerzésében, illetve az opció érvényesítésében. Az eladó viszont, akit az opció kiírójának, felajánlójának neveznek, köteles a tranzakció végrehajtására, ha az opció tulajdonosa értvényesíteni akarja az opciót. A vállalat, amelynek az eszközeire vonatkozik az opció, nem szerezhet tőkét ezen keresztül, nincs semmiféle érintettésége/teendője ezzel kapcsolatban. Az ilyen vállalat nem hajt végre semmilyen módon ilyen tranzakciót. Az opció nem a tőzsdei tőkeszerzés módja annak a kibocsátónak a szempontjából, amely az adott értékpapírt először a tőkepiacon megjelentette. Az opcióérték legfontosabb determinánsai (az alapul szolgáló eszköz értékváltozása hatással van az opció értékváltozására): Az alapul szolgáló eszköznek van napi piaci adásvételi ára, ez állandóan változik, ingadozik. Ha ez az érték növekszik, akkor a rögzített áron

történő vásárlás joga (vételi vagy call opció) értékesebbé válik. Ezzel szemben a rögzített áron történő eladás joga (eladási vagy put opció) egyre kisebb lesz, ha az alapul szolgáló eszköz értéke növekszik. Az opcióérték második meghatározó tényezője ennek az alapul szolgáló eszköz értékének a kockázata, varianciája, vagyis hogy milyen tág határok között megy végbe ez a tőkepiaci ingadozás. Ha ez a variancia növekszik, akkor mind a vételi, mind az eladási opció értéke növekszik. Ennek az a magyarázata, hogy mindegyik opciónak a lefelé irányuló változásai korlátozottak, a felfelé 42 irányuló árváltozékonyság pedig lényegesen nagyobb, ahogyan ezt a kifizetési grafikonon is láthattuk (az olló kinyílásával lényegesen tágabb határok között következhet be). A harmadik tényező a részvényosztalék. Az osztalék várhatóan csökkenti az eszköz árnövekmény-komponensét: a nagyobb osztalékfiozetés

a részvényár süllyedésével jár, így minél magasabb az osztalékvárakozás, annál kisebb lesz a vételi opció és annál nagyobb az eladási opció értéke. Ez a három opcióértéket befolyásoló tényező az alapul szolgáló eszközhöz kapcsolható Az opció értékének alakulását opcióhoz kapcsolódó változók is befolyásolják. Az egyik ezek közül az opció kötési ára (exercise price). A rögzített áron való eladás joga értékesebbé, az eladás joga pedig kevésbé értékessé válik, ha a kötési ár alacsonyabb lesz. A másik tényező az opció élettartama, ez mind a vételi, mind az eladási opcióra kedvező hatást gyakorol. A kamat szintén fontos befolyásoló tényező. A modellben tiszta (kockázatmentes) kamatlábat fogunk alkalmazni. Ha a kamat növekszik, akkor a vételi opció joga értékesebb lesz, az eladás joga pedig csökken. Az érvényesítés szempontjából kétféle opciót különböztetünk meg. Az amerikai opció a

lejárat előtt bármikor érvényesíthető, ezzel szemben az európai opció csak a lejáratkor érvényesíthető. Az általunk vizsgált Black-Scholes modell európai opcióra vonatkozik Mi ennek a kétféle opció létének a hatása? A korábbi érvényesítés lehetősége értékesebbé teszi az opciót. Másrészt, a hátralévő időhöz kapcsolódó prémium miatt ez a korai érvényesítés szuboptimális, vagyis az optimálistól elmaradó lehetőséget biztosít az opció birtokosa számára. Nézzük meg az opciós prémiumnak a befolyásoló tényezőit, amelyek az opció tulajdonosa szempontjából alapvetően fontosak. Építsük fel az opciós prémiumot alkotóelemeire! Két alkotóelemet különböztethetünk meg: az egyik a benső érték (intrinsic value), a másik pedig az idő. A benső értékből és az időprémiumból tevődik össze az opciós prémium egésze A benső érték vételi opció esetén: Benső érték = max [0, S – K] A benső érték a

két lehetőség közül a nagyobbik: vagy érvényesítjük az opciót (ha az alapul szolgáló eszköz értéke meghaladja a kötési árat). Ekkor a vételi opció prémiuma S – K > 0 Ellenkező esetben az opciót nem érvényesítjük. A benső érték eladási opció esetén: Benső érték = max [0, K – S] Itt is két lehetőségünk van: vagy nem érvényesítjük az opciót, vagy ha a kötési ár nagyobb az alapul szolgáló eszköz értékénél, akkor a kettő közül a nagyobbikat kiválasztva határozhatjuk meg az eladási opció értékét. Az in-the-money pozíció azt jelenti, hogy az opciónak pozitív benső értéke van. Az out-of-the-money opciós helyzetben a benső érték zérussal egyenlő, nincs prémium. Az at-the-money opciós helyzetben S = K, tehát az alapul szolgáló eszköz értéke pontosan megegyezik a kötési árral, vagyis változás nem következik be. Amennyiben az opciós prémium meghaladja a benső értéket, azt a többletet az idő

szerepének tulajdonítjuk: minél hosszabb ideig áll fenn, annál értékesebbé válik mind a vételi, mind az eladási opció. Az időprémium tehát a benső érték mellett az opciós prémium másik alkotóeleme Foglaljuk össze ezeknek a tényezőknek a hatásait! Az opció érték determinánsainak összegzése Tényező Részvényár növekszik ↑ Kötési ár növekszik ↑ Alapul szolgáló eszköz varianciája növekszik ↑ Lejáratig tartó idő növekszik ↑ 43 Vételi opció értéke Növekszik ↑ Csökken ↓ Növekszik ↑ Eladási opció értéke Csökken ↓ Növekszik ↑ Növekszik ↑ Növekszik ↑ Növekszik ↑ Kamatráták növekszik ↑ Kifizetett osztalék növekszik ↑ Növekszik ↑ Csökken ↓ Csökken ↓ Növekszik ↑ A Black-Scholes modell Ez a modell a ma ismert legalkalmasabb mérési módja annak, hogy egy befektetési változatot mi módon lehet a halasztás segítségével még értékesebbé tenni. Az opció értékének a

mérése szorosan kapcsolódik a befektető profitmaximalizáló magatartásához. A modell csak az európai típusú vételi opcióra érvényes. Az első lehetőség abból a feltevésből indul ki, hogy a részvényár nem ingadozik: K (1) VC = S − (1 + r ) t K Az S a beruházási jószág aktuális értéke, a kötési ár jelenértéke pedig a . Ebben az (1 + r ) t esetben diszkrét, évente egyszer történő kamatozásról van szó. Megtehetjük azt is, hogy folyamatos kamatozást feltételezünk: (2) VC = S − K ⋅ e − rt Ez abban az esetben érvényes, ha a kamat felszámítása bármely nap bármely órájában folyamatosan megtörténhet. A valósághoz közelebb álló feltevés az, hogy a részvényárak időben ingadozhatnak. Ebben az esetben szükség van a (2) egyenlet módosítására. Az árváltozás megengedése bizonytalanságot, kockázatot fejez ki. A korrekció tehát a jövőbeli árváltozás kockázatosságára kell, hogy vonatkozzon. A korrekció

mindkét tényezőt érinti: mind az alapul szolgáló eszközt, mind a kötési árat. Feltételezzük, hogy ezek az áringadozások normális eloszlást követnek (ezt a valóság valóban visszaigazolja). Ennek alapján a (2) korrekciója így néz ki: (3) VC = S ⋅ N (d1 ) − K ⋅ e − rt N (d 2 ) Az N (d1 ), N (d 2 ) módosító tényezők ugyanolyan sztenderd normális változón alapulnak, mint a korábbi méréseink (az elmúlt alkalommal a z mutatót vizsgáltuk). Az N (d1 ), N (d 2 ) tulajdonképpen a korrekció eszköze, ahol: d1 = [ln(S / K ) + (r + 0.5σ 2 ] ⋅ t σ t d 2 = d1 − σ t A d 1 ugyanolyan standard normális változó, mint a z: azt mutatja meg, hogy mekkora a görbe alatti terület nagysága. Tehát nem az ordináta, hanem a sűrűségfüggvény alatti területnek integrálással meghatározott értéke. Az r a kockázatmentes kamatráta, a t pedig az opció lejáratáig terjedő idő. Ez utóbbi mértékegység az évet tizedestörtben fejezi ki A

két korrekciós faktor a kumulált standard normális eloszlási függvény görbe alatti terület egészét reprezentálja. Mindkettő azt jelenti, hogy a d 1 -nél és a d 2 -nél nem nagyobb ez a görbe alatti terület. Magyarul a kilengés nem lesz nagyobb egy bizonyos határnál, tehát a d 1 -nél és a d 2 -nél kisebb értéket méri majd az N(d 1 ) és az N(d 2 ). Visszagondolva az elmúlt órára, a várható rtéktől való eltérésnek két mérőszámát juttattuk kifejezésre: hány szórásegységre helyezkedünk el a középértéktől, illetve hogy mekkora egy választott érték és egy határ közötti teljes görbe alatti terület. Ez a folyamatos kamatozással mutat szoros összefüggést. Az összes lehetséges részvényár-kilengést figyelembe vesszük és azt, hogy a kamatot folyamatosan felszámíthatjuk. Az integrálás logikájának megfelelően a haranggörbe alatti összes történés figyelembe vétele az, ami az N(d 1 ) és az N(d 2 ) változókban

megfogalmazódik. Példa: 44 Van egy 2001. február 22-ére vonatkozó vételi opciónk Határozzuk meg az elméleti értéket úgy, hogy az opció 2001 szeptemberében jár le. Pontosan 052 évet fogunk alapul venni Kötési ár (K) = 55$ A részvény értéke (S) = 54.875$ σ = 0.1434 r = 5.63% t = 0.52 év Vételi jogot értékelünk egy fél évvel előttünk álló időpontra vonatkozóan. Határozzuk meg a kumulált standard normál változókat, tehát azokat az értékeket, aminél valéószínűleg nem nagyobb az a teljes ingadozási mező, amit le kell fednünk: [ln(54.875 / 55) + (00563 + 05 ⋅ 01434) 2 ] ⋅ 052 d1 = = 0.313 0.1434 ⋅ 052 A d ugyanaz, mint korábban a z, csak ez nem diszkrét, hanem folytonos változót veszünk alapul; az összes lehetséges bekövetkezést tartalmazza. Korábban már megállapítottuk, hogy a teljes görbe alatti terület egységnyi. A 0313 tehát egy kumulált standard valószínűségi változó, amely megmutatja annak a

valószínűségét, hogy ennél a d 1 értéknél kisebb értékű változások következnek be. d 2 = 0.313 − (01434) 052 = 021 Ez az érték ugyanúgy értékelendő, mint a z a diszkrét esetben, vagy a kumulált változó a görbe alatti területet illetően a korábbi vizsgálódásaink során. Amennyiben d 1 és d 2 értéke tisztázódik, akkor táblázat segítségével megkaphatjuk annak az integrált értéknek a felső határát, amin nem lépnek túl a részvényárral kapcsolatos mozgások. Nézzük először az N(d 1 ) magyarázatát! N (d1 ) = P( z < d1 ) = P( z < 0) + P(0 < z < d1 ) = 0.5 + 01231 = 06231 Az N(d 1 ) tartalma: annak a valószínűsége, hogy a d 1 -nél kisebb lesz a standard normál valószínűségi változó (ennek a normális eloszlásnak 0 a középértéke, mivel a piaci áringadozásnak az a természete, hogy a lefelé és felfelé irányuló eltérések kiolthatják egymást). Ez két komponensből tevődik össze: egyrészt annak

az esélye, hogy a z kisebb nullánál, vagyis a standard normális eloszlás bal féltekéje, plussz amennyivel kisebb, tehát a zérus középérték és a d 1 közötti nagyság. A következő ábra szemlélteti mindezt: μ=0 d1 Legyen μ a legvalószínűbb érték. A d 1 azt jelenti, hogy benne van a teljes 0-nál kisebb plussz a 0 és d 1 közötti változás mértéke. A baloldali félteke 05 (mivel az egész görbe alatti terület értéke 1), plussz 0.1231 Az N(d 1 ) itt azt jelenti, hogy a d 1 -nél kisebb érték valószínűsége 6231% (azaz a görbe alatti terület 62.31%-át fedi le ez a d 1 érték, ami az adott értékpapírra jellemző) Az N(d 2 ) azt jelenti, hogy a z kisebb d 2 -nél. Az érték a 021 alapján táblázatból (interpolációval) határozható meg: N (d 2 ) = P( z < d 2 ) = P( z < 0) + P(0 < z < d 2 ) = 0.5 + 00832 = 05832 vagyis 58.32% a valószínűsége annak, hogy a kötési ár nem lépi túl a d 2 értékét Az N(d 1 ) és az N(d 2

) korrekciós tényezője valójában két, a standard normális eloszlású görbe alatti terület 45 nagyságát fejezi ki. Ez a nagyság a korrekciós tényező Most már egyetlen lépésre vagyunk az opció értékeének meghatározásától: VC = (54.875) ⋅ (06231) − (55) ⋅ (05832) ⋅ e − ( 00563)( 052 ) = 304 $, vagyis az 54.875$ aktuális részvényár szorozva saját korrekciós tényezőjével (ekkora az esélye annak, hogy nem halad túl egy bizonyos határt a változás). Az 55$ kötési árra 5832%-os valószínűséggel vonatkozik a d 2 túllépésének az elmaradása. Az eredmény: 304$ értékű az a vételi opció, amit erre az alapul szolgáló eszközre kiírtak. A jog ennyit érne abban az esetben, amennyiben a vételi opció tulajdonosa érvényesítené azt. A származékos piacnak az az érdekessége, hogy a tranzakció (adásvétel) többnyire nem történik meg, a joggal való kereskedés volumene azonban dollár-tízmilliárdokra rúg. A kockázat

is óriási. 46 A reáleszközökkel kapcsolatos opcióértékelés (opcióárazás) problémája különbözik a nem dologi jellegű opciók értékelésétől. Eddig az opcióértékelés szempontjából kulcsfontosságú szerepet tulajdonítottunk az alapul szolgáló eszköznek. A dologi tőkeprojektek esetében az alapul szolgáló eszköz általában nem vesz részt a piaci adásvételi folyamatban. l egy nagy termelő komplexumot nem adnak-vesznek napi gyakorisággal a piacon, egy értékpapírt viszont igen. Ez dologi tőkeprojekteknél nyilvánvalóan megnehezíti az alapul szolgáló eszköz értékének és az érték varianciájának a becslését egyaránt. Minthogy nincs folyamatos piaci megméretés, az eszköz ára nem folytonos alakulású, így az előző alkalommal tanult opcióértékelési modell alkalmazását a folyamatosság hiánya megnehezíti. A folyamatosság volt az oka annak, hogy az Euler-szám bizonyos hatványára emelt értéket vettünk alapul a

felkamatoláshoz, illetve a diszkontáláshoz. A reáleszközök esetében tehát nem beszélhetünk folyamatos áralakulásról. Az érték varianciája nehezen, vagy egyáltalán nem becsülhető reáleszközök esetében. Ha viszont ismert, akkor előfordulhat, hogy időben változó a variancia. A Black-Scholes modell vizsgálatakor abból a feltevésből indultunk ki, hogy ez a variancia becsülhető és időben változatlan. Míg egy részvény adásvétele esetén a kötés (a tranzakció létrehozása) egy pillanat alatt lejátszódó tranzakció, a reáleszközök esetében ez nem pillanatnyi, hanem elhúzódó folyamat. Ez szintén hatással van az opció értékére. Végül vannak olyan komplex reál-opciók, amelyekből újabb opciók következnek. Ez nyilvánvalóan megnehezíti a kiinduló helyzet pontos értékelését. Mi teszi indokolttá opció alkalmazását a reáleszközök esetében? Mi a reáleszközökre vonatkozó opció lényege? A hagyományos beruházási

analízis alapvető korláta az, hogy statikus jellegű: egy adott eszköz/projekt adott pillanatra vagy adott periódusra vonatkozó megvalósíthatóságát mérlegeli. Arra adja meg a választ, hogy a mai ismeretek szerint, a mai körülményeket alapul véve érdemes-e végrehajtani a beruházást, vagy sem. Ez a statikus jelleg a tőkeköltségvetési mérlegelés dinamikus jellege ellenére is fennáll, mert attól, hogy a jövőre vonatkozóan pénzáram-becslést végzünk (vagyis a beruházásnak nemcsak egy adott időpillanatra vonatkozó hatását mérlegeljük), attól még a beruházás körülményei változhatnak az idő múlásával. Pl ha nekem van egy jogom természeti kincsek kitermelésére, vagy egy projekt halasztására, akkor ezt a hagyományos tőkeköltségvetési analízis nem képes kezelni. Az opciókat, a lehetséges változási kondíciókat a tradicionális beruházás-elemzés nem kezeli. Az első ilyen opció a halasztás lehetősége. Ez azt jelenti,

hogy nem ebben a pillanatban hajtunk végre egy projektet, hanem egy meghatározott jövőbeli időpontra halasztjuk azt. Ezt akkor tehetjük meg, ha a projektre vonatkozóan kizárólagos jogunk van. A másik ilyen lehetőség, hogy a reálberuházást olyannak tekintjük, amely megengedi számunkra más jövőbeli lehetőség(ek)ből való előnyöket szerzését. A harmadik az elvetés lehetősége. Ha egy bizonyos idő eltelte után kiderül, hogy a vele kapcsolatos pénzáram-várakozások nem teljesülnek (például a piaci kondíciók megváltozása miatt), akkor célszerűbb (profitábilisabb) a projekt elvetése, mint a további folytatása. A reáleszközökkel kapcsolatos opció lényege tehát a következő: az opció lehetősége értékforrás, értéket teremt a projekt értékéhez. Egy tradicionális analízis által a mai napon nem profitábilisnak ítélt beruházást jó beruházássá tehet a hozzá kapcsolódó jogok adásvétele. A halasztási opció néhány

jellemző vonása. Amennyiben az üzleti vállalkozásnak kizárólagos joga van adott projektre vagy termékre meghatározott időszakra, akkor halasztást kezdeményezhet olyan értelemben, hogy egy későbbi időpontban valósíthatja meg a projektet. Ha egy projektről kideríti a hagyományos tőkeköltségvetés, hogy az az adott pillanatban nem elfogadható (azaz nettó jelenértéke negatív, vagy a belső jövedelmezőségi rátája kisebb a minimálisan elvárt megkövetelt megtérülési rátánál), akkor ezt a projektet nem érdemes megvalósítani. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a projektre vonatkozó jogok sem hordoznak 47 értéket. A vállalat által birtokolt kizárólagos jogok értékforrásként tekinthetők; ez a halasztás értelme. A vételi opció analógiájára, ez a következőket jelenti: A projekthalasztás opciójának az értékelése A projekt pénzáramának jelenértéke A projekt kezdeti kiadása A projekt NPV értéke negatív e zónában

jelenértéke A projekt NPV értéke pozitívra vált e zónában A termék várható pénzáramának jelenértéke A projekt halasztás opcióját vételi opcióként felfogva van egy projekt nettó jelenérték a negatív zónában. Abban az esetben, ha a termék várható pénzáramának jelenértéke javuló tendenciát mutat (halasztjuk a beruházást), akkor a vételi opció értékének megfelelően egyre nagyobb jelenérték realizálható belőle. Ha tehát a projekt halasztását vételi opcióként fogjuk fel, akkor a jogok birtoklása és az ezekkel a jogokkal való élés értéket hoz létre. Ha egy projektre/termékre vonatkozóan a cégnek kizárólagos jogai vannak, akkor ezt annak ellenére is értéket hordoz, hogy a termék/projekt jelenleg nem életképes. E jogok értéke növekszik, ha a volatilitás, vagyis az alapul szolgáló üzlet variabilitása növekszik: minél nagyobb az alapul szolgáló eszköz kockázata, annál nagyobb lesz ennek a jognak az

értéke. Ezt a jogot meg kell vásárolni egy bizonyos összegért, illetve pénzt kell költeni akkor, ha mi akarjuk kifejleszteni a terméket. Ezt szembeállítjuk azokat az előnyökkel, amelyek az opcióból származnak. A megvásárlásra fordított összeg az az áldozat, ami az előnyök megszerzését lehetővé teszi. Nyilvánvaló, hogy az előnyök ezzel az összeggel kisebbednek Példa: termékszabadalom opcióként való hasznosítása A vállalat csak akkor fejleszti ki és dobja piacra szabadalmas termékét, ha a termék eladásából származó várható pénzáram jelenértéke meghaladja a fejlesztés, vagy a szabadalom megvásárlásának költségét. Ha a vállalat ezt nem teszi meg, tehát félreteszi vagy eladja a szabadalmat, akkor nyilvánvalóan nem kell ezzel összefüggésben költséget viselnie. A szabadalom birtoklásából haszon származhat. Legyen I = a kifejlesztésre fordított ráfordítások jelenértéke. V = a termékszabadalom

hasznosításából származó pénzáramok mára diszkontált értéke. Ekkor a szabadalom tulajdonosa számára történő kifizetés a következőképpen írható fel: V– I a vételi opció értéke, ha V > I 0 a vételi opció értéke, ha V≤I A vételi opció logikája alapján ez a következőket jelenti: 48 Bevezetés nettó kifizetése Termék bevezetés költsége A termék pénzáramának jelenértéke A bevezetés költsége magában foglalja az összes kezdeti kutatási-fejlesztési, bevezetési érőfeszítést. Minél inkább nő a projekt realizálását követően a termék pénzáram-jelenértéke, annál nagyobb lesz az a nettó kifizetés, ami ennek a szabadalomnak a hasznosulásából származik. Tehát amennyiben a várható pénzáram diszkontált tőkésített összege meghaladja a kezdeti erőfeszítéseket, akkor a vételi opció értéke = V – I, ellenkező esetben pedig zérus. Miként történik a vételi opció alkalmazásához az input

adatok előállítása? ROV/2! Ezek olyan lépések, amelyek a lap jobb oldalán található becslési eléjárás eredményeként jönnek létre. Az üzleti világ és a K+F világa nagyon sok olyan termékleírást ismer, amelynek azonnali realizálására nem került sor, hanem opcióként tekintik, és évekkel később veszik elő. Példa: Feltételezzük, hogy a vállalatnak 20 éves időtartamú szabadalmi joga van egy olyan termék előállítására, amelynek kifejlesztése 1.5 milliárd dollárba kerül A mára diszkontált pénzáramsorozat (amennyiben ma vinnénk piacra az így előállított terméket) csak 1 milliárd dollár Bizonyos szimulációs eljárás (lehetséges kimenetek vizsgálata különböző piaci kondíciók esetén) segítségével a pénzáramok jelenértékének a varianciáját 0.03 értékben határozták meg A jelenlegi kockázatmentes kamatráta (a 20 éves lejáratú államkötvény kamatrátája) 10%. Ezek az opcióértékelés input adatai. Az

alapul szolgáló eszköz értéke (a hasznosulásból származó pénzáramok jelenértéke) 1 milliárd$, a kötési ár (a kifejlesztéshez használt költségvolumen) 1.5 milliárd$ Az opció lejáratának ideje megegyezik a jog birtoklásának az idejével: 20 év. Az alapul szolgáló eszköz értékének a varianciája megegyezik a pénzáram jelenértékének a varianciájával: 0.03 Ezzel azonosítottuk a szabadalomra vonatkozó opció input adatait A vételi opció értéke a Black-Scholes modell alapján: 1,000,000,000 ⋅ e − ( 0.05)( 20 ) ⋅ (08759) − 1,500,000,000 ⋅ e − ( 010 )( 20 ) ⋅ (06481) = 190,660,000 $ A szabadalmi jognak, mint opciónak a birtoklása és a húszéves időhorizonton belül bármely időpontban való hasznosítása 190 millió dolláros vételi opció értéket ad szabadalmi jog birtokosa számára. A 08759 és a 06481 a standard kumulált valószínűségi értékek, amelyek a görbe alatti terület teljes nagyságát juttatják

kifejezésre. A 190 milliós vételi opció érték az az érték, ami abból származik, hogy ezt a projektet nem érdemes realizálni, mert a 1.5 milliárd$ beruházás nem térülne meg az 1 milliárd$ mára diszkontált pénzáram-sorozatból. A jogot viszont 20 éven belül bármikor hasznosíthatjuk. Ennek a jognak a birtoklásából pedig érték származik, ami 190 millió dolláros nettó hozam esélyt biztosít számunkra. Hogy ezt mikor hívjuk le (azaz mikor érvényesítjük a 20 éves időhorizont bármely pontján), az az anticipált pénzáram esélyek időbeli alakulásától függ. Amennyiben a piaci feltételek nem javulnak, hanem éppenséggel tovább romlanak, akkor az egész 1.5 milliárd$ összeg is elveszthető Ez a tulajdonos számára óriási kockázatot is jelent, viszont megvan az opció (lehetőség) arra, hogy bárki hozzákezdhet a realizáláshoz, aki ezt a projektet jobban megvalósíthatja. Az összkockázat tehát gyakorlatilag nem növekszik Ez

ugyanaz, 49 mint a vállalatvásárlások problematikája: nem mindegy, hogy egy vállalatot mely másik vállalat vásárolja meg, melyik tudja kihozni belőle a szinergiahatást. Az opció tehát végeredményben kockázatcsökkentő és nem kockázatnövelő hatású. Rövid távon valóban igaz, hogy a befektető számára rövid távon nagyobb veszteség származhat abból, ha semmi nem térül meg a befektetésből, viszont bármikor eladhatja: a kötési ár 1.5 milliárd dollár, amit a befektető vissza akar kapni Példa: természeti erőforrások opcióként való hasznosítása A természeti erőforrások kinyeréséhez kapcsolódó befektetésben az alapul szolgáló eszköz maga a természeti kincs. Az eszköz értékét két változó befolyásolja: a rendelkezésre álló természeti erőforrás mennyisége, illetve az erőforrásnak a kitermelés esetén érvényes ára. Ilyen befektetések esetén költségek kapcsolódnak az erőforrások feltárásához. A

kinyert javak értéke és a kutatásfeltárás költsége közötti különbség lesz a profit Jelöljük a kutatás-feltárás költségeit X-szel, az erőforrások becsült értékét pedig V-vel. A természeti erőforrás vételi opcióként történő értelmezése esetén: a természeti erőforrás kifizetése = V – X , ha V > X 0, ha V < X Ezt a korábbiakhoz hasonlóan vételi opcióként is ábrázolhatjuk: Kitermelés nettó kifizetése Feltárási költség A becsült termelési erőforrás értéke A feltárási költségekkel szemben áll a kitermelésből származó nettó kifizetés a tulajdonos/kitermelő számára. A vételi opció akkor lesz nagyobb a birtokos szempontjából, ha a becsült erőforrás értéke (pl. egy olajmező kitermeléséből származó pénzáramok mára diszkontált értéke) egyre nagyobb lesz. Az input adatokat itt is azonosítani kell (ROV/4!) Csak akkor érdemes kezdeményezni a természeti kincs piacra hozását, ha az

összérték meghaladja az előzetes beruházásokat. Példa: Van egy 50 millió barrel (hordó) értékű offshore olajfúró kapacitás. A kutatás-feltárás költségének jelenértéke barrelenként 12$. A kutatási időkésedelem két év, vagyis mához viszonyítva két év szükséges a kitermelés megindításához. A kitermelési jog 20 évre szól A kinyert olaj barrelenkénti marginális értéke (tehát minden pótlólagos hordónyi kitermelés és piacra vitel) 12$ értékű. A marginális a barrelenkénti ár és a barrelenkénti marginális költség különbsége. [A piaci ár ebből következően (ceteris paribus) 24$]. A kutatás-feltárást követően az évenkénti nettó termelési jövedelem (profit) a tartalék 5%-a lesz. A kockázatmentes ráta 8%-os, az olajár varianciája pedig 0.03 Mekkora ennek a kitermelési vételi opciónak az értéke? A termék piacra vitele kétéves időkésedelemmel (time lag) valósulhat meg. Az alapul szolgáló eszköz folyó

értéke a feltárt természeti kincs becsült értéke. Ennek a meghatározása a 50 kétéves időkésedelem figyelembe vételével történik. Tehát mától kezdve két évet számítunk és a jelenre diszkontálás a második év végétől történik. Az alapul szolgáló eszköz folyó értéke tehát: 12 dollár × 50,000,000/(1.05)2, vagyis a 12$ szorozva 50 millió barrellel az 5%-os hozamráta/osztalékhozam segítségével mára diszkontálva = 544,220,000 értékű feltárt természeti kincset tesz lehetővé. Miért az 5%-os profitrátával diszkontálunk? A kétéves késedelem azt jelenti, hogy itt haszonáldozati költségről van szó: ezt a profitot veszítjük el két éven keresztül az időkésedelem miatt. A kötési árban vissza kell kapnunk mindazt, amit ráfordítottunk a kitermelhetőség érdekében. A feltárási költségek és a kincs értékének a szorzata megadja a kötési árat: 12 × 50,000,000 = 600,000,000 Ezt a ráfordítást MA fejtjük ki,

tehát a 12$ feltárási költség az 50 millió barrellel szorozva 600 millió dolláros értéket ad. Ez lesz a vételi opció kötési ára Az opció lejáratáig elvileg 20 év telhet el. Az alapul szolgáló eszköz varianciája 3%. A kockázatmentes kamatráta 8%. Az osztalékhozam 5%. Mindezek alapján: ROV/5 d 1 = 1.0359 N(d 1 ) = 0.8498 d 2 = 0.2613 N(d 2 ) = 0.6030 N(d 1 ) és N(d 2 ) azt a görbe alatti területet adja meg, a középértéktől való standard normális eltérést mutatja meg, tehát az alapul szolgáló eszköz értékalakulására durván 85%-os, a kötési árra pedig durván 60%-os valószínűség vonatkozik. Ez a két korrekciós tényező a Black-Scholes modellbe helyettesítendő, amely minden, időközben lejátszódó lehetséges eltérés-változást figyelembe vesz: a harang alakú görbe alatti terület egészének az összege mutatja azt, hogy milyen korrekciót kell alkalmaznunk. Ez alapul szolgál a vételi opció értékének

meghatározásához Vételi opció értéke = 544,000,000 ⋅ e − ( 0.05)( 20 ) ⋅ (08498) − 600,000,000 ⋅ e − ( 008)( 20 ) ⋅ (06030) = 97,080,000 $ A 85%-os valószínűséggel történő korrekció a változás felső határát mutatja meg. A 600 millió$ a kitermelés költsége (kötési ár), ezt vissza kell kapnunk, itt 60%-os standard normál eloszlású valószínűségi korrekciót kell tennünk. Ennek az olajmező-kitermelési opciónak az értéke 97,080,000$, amely 20 éves időhorizonton bármikor lehívható. Hogyan áll össze egy szabadalom, vagy természeti kincs kitermelési jog valós nettó jelenlegi értéke több komponensből áll. Minden projektnek van egy alap NPV-je; ez az, amit a tradicionális tőkeköltségvetési számítás előállít. Erről kiderülhet, hogy a piaci körülmények nem teszik célszerűvé a megvalósítást. Ha a projektet már elkezdtük, akkor egy bizonyos idő után elvethetjük Az elvetési opciónak szintén van NPV-je.

Ugyancsak nettó jelenértéket hordoz a projekt folytatása Valós NPV = Alap NPV + elvetési opció NPV + folytatás NPV Vessük egybe az értékpapírokra és a reáleszközökre vonatkozó kiinduló értékeket! A részvény esetében az alapul szolgáló eszköz ára a részvény mindenkori piaci értéke. Dologi tőkeprojekt esetén a várható pénzáram jelenértéke képviseli az alapul szolgáló eszköz értékét. A részvény esetében a kötési ár az, amennyiért a részvényt x év után megveszik. A reálberuházás esetén a kötési ár a beruházási költség. A lejárati idő a részvényopció esetében az, amit megszabunk az opció megnyitásakor. A reáleszköz beruházása esetén a lejárati idő az, amíg fennáll a jog. A részvényárnál a bizonytalanságot az árfolyam varianciája, a reáleszköznél pedig a projektérték varianciája jelenti. A kockázatmentes kamatráta mindkettőnél ugyanazt jelenti. 51