Matematika | Középiskola » Fábián Zoltán - Matematika kisérettségi tételek, 9. osztály

9. évfolyam Fogalmak, tételek a szóbeli vizsgához Halmazok: Halmaz fogalma: A halmaz annyira alapvető és egyszerű fogalom, hogy egyszerűbben nem tudjuk definiálni. Ezért a halmazt alapfogalomnak tekintjük. Két halmaz egyenlő: Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz Elemeivel azonosak. Vagyis: az M és N halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha a ε M esetén A ε N is teljesül, és ha b ε N akkor b ε M is igaz. Részhalmaz fogalma: Az A halmazt a H halmaz részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz minden eleme a H Halmaznak is eleme. Jelölése: A ⊆ H / Az A halmaz részhalmaza a H halmaznak / Számhalmazok és kapcsolatuk: Természetes Számok (N) : „+” „x” -ra nézve zárt. Egész Számok (Z): „+” „-„ „x” -ra nézve zárt. Racionális Számok (Q): A 4 alapműveletre nézve zárt. Azokat a számokat, amelyek a alakúak, ha a és b egész számok (b≠0), racionális számoknak

nevezzük. Valós Számok (R): A végtelen tizedes törtekkel megadható számokat valós számoknak nevezzük. Üres halmaz (Ǿ): Pl. 0-nál kisebb pozitív számok, üres tanterem A nem periodikus, végtelen tizedes törteket irracionális számoknak nevezzük. Unió és tulajdonságai: Két halmaz uniója az a szám, ami a két halmaz közül legalább az egyiknek eleme. Tulajdonságai: 1. AuB = BuC -kommutatív (felcserélhető) 2. (AuB)uC = Au(BuC) -asszociatív 3. AuǾ = A 4. AuA = A Metszet és tulajdonságai: Két halmaz metszete az az elem, amely a mindkét halmaz elem. Tulajdonságai: 1. AПB = B П A 2. AПBПC = (AПB)ПC = AП(BПC) 3. AПǾ = Ǿ 4. AПA = A 5. AПB = Ǿ -kommutatív -asszociatív -Diszjunkt halmaz Két halmaz különbsége és tulajdonságai: A és B halmaz különbsége az a szám, amely eleme az A halmaznak, De nem eleme a B halmaznak. Tulajdonságok: 1. AA = Ǿ 2. A Ǿ = A 3. ǾA = Ǿ Komplementer halmaz és tulajdonságai: Egy H (nem üres)

halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. Az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének nevezzük a HA Halmazt. Jelölése: ĀH Tulajdonságai: 1. ĀuB = ĀПB 2. AПB = AuB 3. A = A 4. H = Ǿ 5. Ǿ = H Két ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza síkban: Olyan pontok halmaza a síkban, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra vannak. (szakaszfelező merőleges) Két ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza térben: Egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a szakaszt felező és a szakaszra merőleges sík. Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza síkban: A háromszög belső szögeinek szögfelező félegyeneseit röviden a háromszög szögfelezőinek nevezzük. Két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza térben (szögfelező sík): A A kör, mint ponthalmaz: Egy adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkban. A gömb, mint

ponthalmaz: A tér olyan pontjainak halmaza, amelyek egy megadott ponttól megadott távolságra vannak. Adott r sugarú körvonaltól adott d távolságra levő pontok halmaza síkban: Egy adott r sugarú kört kívülről érintő d sugarú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör. Egy adott r sugarú kört belülről érintő d <r sugarú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r-d sugarú kör. 1. A háromszög oldalfelező merőlegeseinek bizonyítása A háromszög 3 oldalfelező merőlegese 1 pontban metszi egymást. Bizonyítás: Az ABC háromszög AB oldalának felezőmerőlegese az e , a BC oldalának felezőmerőlegese az f egyenes. Az e egyenes bármely P pontjára: AP=BP Az f egyenes bármely Q pontjára: BQ=CQ Legyen e ∏ f = M . Természetes, hogy M ε e és M ε f, ezért: AM=BM és BM=CM Ebből következik: AM=CM, azaz az M pont az AC oldal felezőmerőlegesének is pontja. Így ez a pont a

háromszög köré írható kör középpontja. 2, A háromszög belső szögfelezőinek bizonyítása A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást. Bizonyítás: Tudjuk, hogy a szögfelező bármely két pontja egyenlő távolságra van a szög két szárától. fα szögfelező bármely P pontjára: d(P,b) = d(P,c) fβ szögfelező bármely Q pontjára: d(Q,c) = d(Q,a) Legyen fα Π fβ = M. Természetes, hogy M ε fβ és M ε fα , ezért: d(M,b) = d(M,c) és d(M,c) = d(Ma) Ebből következik: d(M,b) = d(M.a), azaz az fβ és az fα szögfelezők metszéspontja egyenlő távol van az a és a c Szögszártól, tehát az M pont pontja az y szög felezőjének, az fy –nak is. A háromszög szögfelezőinek metszéspontja a beírt körének középpontja. Oszthatóság: Legnagyobb közös osztó ( ): A prímtényezős felbontásban levő közös prímszámok a legkisebb hatványon. Legkisebb közös többszörös [ ]: A prímtényezős felbontásban szereplő

minden prímszám a legnagyobb hatványon. Relatív prím: Ha két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója 1. Prímszám (Törzsszám): Azok a természetes számok, amelyeknek pontosan 2 osztójuk van. Összetett szám: Azok az 1-nél nagyobb természetes számok, amelyeknek 2-nél több osztójuk van. Az 1 nem prímszám, de nem is összetett szám. Prímtényezős felbontás: Amikor valamilyen számot felírunk pírszámok szorzataként. A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám ,a tényezők sorrendjétől eltekintve, egyértelműen felírható, Prímszámok szorzataként. Hatványozás, azonosságok: 0 a =1 -n n a = 1a Többtagú algebrai kifejezés: Egytagú algebrai kifejezés: Olyan algebrai kifejezés, amiben nincs „+” és „-„, de van „*” és „” Egész algebrai kifejezés: Minden olyan algebrai kifejezés, amiben nincs betű. Szorzat hatványozása: A hatványok szorzásánál minden tényező azonos, és összesen m+n tényező van

Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük. m n m+n aεR a a =a Tört hatványozása: Ha m>n, akkor a törtben a –nel egyszerűsíthetünk. Ekkor a számláló eredeti m darab tényezőjéből n –nel kevesebb, azaz m-n marad. Ezzel beláttuk, hogy azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a számláló és a nevező hatványkitevőjének a különbségére emeljük. m n m-n a ε R {0} a a = a n Hatvány hatványozása: A hatványozás nem kommutatív és nem asszociatív művelet, így a szorzatot tényezőként különkülön is hatványozhatjuk. Azonos kitevőjű hatványok szorzata egyenlő az alapok szorzatának ugyanilyen kitevőjű hatványával. n n n (ab) = a b m n (a ) = a n mn n (a) = a b n Két tag összegének négyzete: Kéttagú összeg négyzete háromtagú kifejezésként felírható. Ez a három tag: Az első tag négyzete, az első és a második tag kétszeres szorzata

és a második tag négyzete. ( Ez a teljes négyzet ) 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b Két tag különbségének és összegének szorzata: Ha két tag különbségét szorozzuk ugyanannak a két tagnak az összegével, akkor a szorzat felírható a két tag négyzetének különbségeként. 2 2 (a - b) (a + b) = a – b Két tag összegének köbe: Négytagú kifejezésként is felírható. Ez a négy tag: az első tag köbe, az első tag négyzetének és a második tagnak háromszoros szorzata, az első tagnak és második tag négyzetének háromszoros szorzata, A harmadik tag köbe. 3 3 2 2 3 (a + b) = a + 3a b + 3ab + b Három tag összegének négyzete: A tagok négyzetének összegéhez hozzáadjuk a két-két tag kétszeres szorzatait. 2 2 2 2 (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc Számok normálalakja: Ha a számokat 10 egész kitevőjű hatványa segítségével írjuk fel, akkor azt úgy tesszük, hogy a hatvány szorzója 1 és 10 között legyen. k Egy x>0 szám

normálalakja x = N · 10 , ahol 1 ≤ N < 10 és k ε Z. Négyzetgyök: Értelmezési tartománya: a ≥0 a fogalma: Az abszolút érték fogalma: Pozitív szám abszolút értéke magával a számmal, negatív szám abszolút értéke ellentettjével, a nulla abszolút értéke pedig nullával egyenlő. Ha két ellentett szám a számegyenes 0 pontjától különböző irányban, de azonos távolságra van, akkor abszolút értékük azonos. Nevező gyöktelenítése: Mint feladatmegoldás. Bizonyítások: Szorzat négyzetgyöke: A szorzat négyzetgyökét felírhatjuk a tényezők négyzetgyökének szorzataként is, ha a tényezők nemnegatív számok. Az azonosság ellenkező irányban is igaz: Ha 0≤a és 0≤b, akkor Hányados négyzetgyöke: A tört négyzetgyöke felírható a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosaként, illetve két négyzetgyökös kifejezés hányadosa felírható a négyzetgyök alatti kifejezések hányadosának

négyzetgyökeként, ha sem a számláló, sem a nevező nemnegatív szám, azaz 0≤a és 0<b esetén Geometria: Pontok, egyenesek, síkok kölcsönös helyzete: - Két pontra egyetlen egyenes illeszkedik. - Ha három pont nem illeszkedik egy egyenesre, akkor a három pontra egyetlen sík illeszkedik. - Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes illeszkedik a síkra. - Egy egyenesre és egy nem rajta levő pontra egyetlen sík illeszkedik. - Két metsző egyenesre egyetlen sík illeszkedik. - Egy adott pontra egyetlen olyan egyenes illeszkedik, amely egy adott egyenessel párhuzamos. Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van. Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nem metszik egymást. Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban. Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van. Két sík párhuzamos, ha nem metszik egymást. Egy egyenes vagy illeszkedik a síkra, vagy a síkot egy pontban metszi, vagy nincs a

síkkal közös pontja, ekkor az egyenes és a sík párhuzamosak. Szögpárok: Csúcsszögek: Szárai egymás meghosszabbításai. (A csúcsszögek egyenlők) Mellékszögek: egyik szára közös, másik szára egymás meghosszabbítása. (A mellékszögek összege 180˚) Kiegészítő szögek: 180˚ -ra egészítik ki egymást. Tehát a mellékszögek kiegészítő szögek Egyállású szögek: Szárai egymással párhuzamosak és megegyező irányúak. Váltószögek: Szárai egymással párhuzamosak és ellentétes irányúak. Társszögek: Az a párhuzamos szárú szögek, melyeknek egyik száruk megegyező, a másik száruk azonban ellentétes Irányú. Pótszögek: Olyan szögpár, melyek összege 90˚. Háromszögek megadása: Egy háromszöget egyértelműen meghatározza: - három oldala - két oldala és a közbezárt szöge - egy oldala és a rajta fekvő két szöge - két oldala és a hosszabb oldallal szemközti szöge. Derékszögű háromszögbe írható kör

sugarának meghatározása az oldalak ismeretében: a + b – c 2 Paralelogramma tulajdonságai: A paralelogramma olyan négyszög, amelyben a szemközti oldalak párhuzamosak. Tulajdonságok: - Szemközti szögei egyenlők Bármely két szomszédos belső szögének összege 180˚. Szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak és párhuzamosak Két átlója felezi egymást Sokszög átlóinak száma: Az N-oldalú konvex sokszög bármely csúcsából n-3 átló húzható. Bizonyítandó tételek: A HÁROMSZÖG BELSŐ SZÖGEINEK ÖSSZEGE Egy elfogadott alaptétel szerint, egyetlen olyan egyenest húzhatunk, amely az ABC háromszög A csúcsára illeszkedik és párhuzamos a BC oldallal. Az ábrán ez az e egyenes Az ott látható ß és ß’ szögek váltószögek, tehát egyenlők, a y és a y’ szögek egyállású szögek, azok is egyenlők. A háromszög A csúcsánál levő három darab szög együttvéve egyenesszög: α + ß’ + y’ = 180˚. Mivel ß=ß’ és y=y’,

ezért α + ß + y = 180˚. Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180˚. -5A HÁROMSZÖG KÜLSŐ SZÖGEINEK ÖSSZEGE Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360˚. Bizonyítás: HÁROMSZÖG KÜLSŐ ÉS BELSŐ SZÖGEINEK ÖSSZEGE A háromszög oldalegyeneseinek megrajzolásával minden belső szög mellett két-két külső szöget kapunk. Egy belső szög melletti két külső szög egyenlő, hiszen azok csúcsszögek. Emiatt a háromszög külső szögeinek említésekor egy-egy belső szög egy-egy külső szögére gondolunk. Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével. PITAGORASZ TÉTELE Tétel: Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével. Vagy: A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területének összege megegyezik az átfogójára emelt négyzet területével. Vegyünk két négyzetet, mindkettő oldalhossza legyen a +

b. Ezeket bontsuk részekre az itt látható módon A bal oldali négyzetet gondolatban feldaraboltuk négy darab olyan derékszögű háromszögre, amelyek befogói a és b. 2 2 Ezek azonos méretűek. Az átfogójukat jelöljük c-vel Ezen kívül két négyzetet kaptunk, az egyik a , a másik b területű A jobb oldali négyzetet 5 részre daraboltuk. Ebből 4 olyan derékszögű háromszög, amilyent az előző felbontásnál kaptunk. Befogóik a és b, átfogójuk c Ha mindkét „nagy” négyzetből elvesszük az egybevágó háromszögeket, akkor a 2 2 maradék területeknek is egyenlőnek kell lenniük. A baloldalon maradt: a + b A jobb oldali négyzetből marad a középső négyszög. Ennek minden oldala c Minden szöge 90̊ A maradék négyszög 2 négyzet, területe c . NÉGYZET ÁTLÓJA, SZABÁLYOS HÁROMSZÖG MAGASSÁGA ÉS AZ OLDAL KAPCSOLATA SOKSZÖG KÜLSŐ SZÖGEINEK ÖSSZEGE Minden csúcsnál a külső és belső szögek összege 180˚. Akkor n csúcsnál

n∙180˚ Ha ebből kivonjuk a belső szögek összegét: 180n-(n-2)∙180=360˚. A SOKSZÖG BELSŐ SZÖGEINEK ÖSSZEGE Tétel: Az N-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2) ∙ 180˚. Konvex sokszög bármely csúcsából n-3 átló húzható. Ezek a sokszöget n-2 darab háromszögre bontják Ezek belső szögeinek összege azonos az N-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összegével, tehát az összegük (n-2) ∙ 180˚. THALÉSZ TÉTELE Tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója) Bizonyításához az O középpontú kör átmérőjére rajzolt megfelelő ABC háromszög A-nál levő szögét α –val, a B-nél levő szögét ß-val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszögeket kapjuk Az ábrán láthatók az egyenlő szögek. Ezek alapján a belső

szögek összege: α + ß +(α + ß) = 180˚ α + ß = 90˚ Tehát az ABC háromszög valóban derékszögű. THALÉSZ TÉTELÉNEK MEGFORDÍTÁSA Ha az AB átmérő két végpontját a kör egy belső Pb pontjával kötjük össze, akkor az APbB szög derékszögnél nagyobb. Az APbB szög az AMB derékszögű háromszög egyik hegyesszögének a mellékszöge, tehát valóban nagyobb derékszögnél. Ha az AB átmérő végpontjait egy külső Pk ponttal kötjük össze, akkor az APkB szög a derékszögnél kisebb. Az APkB szög a PkMB derékszögű háromszög egyik hegyesszöge, tehát valóban kisebb derékszögnél. A HÁROMSZÖG MAGASSÁGVONALAI A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. Az ABC háromszög mindhárom oldalával húzzunk egy-egy olyan párhuzamost, amely a szemközti csúcsra illeszkedik. Ezek metszéspontjaival az A’B’C’ háromszöget kapjuk. A párhuzamosak húzása közben több

paralelogramma keletkezett. Például paralelogramma az ABA’C és az ABCB’ négyszög is. Emiatt az AB szakasszal egyenlő hosszúságú az A’C is, a B’C is, tehát az A’B’ szakasznak C a felezőpontja Az elmondottak miatt, az A’B’C’ háromszög oldalfelező merőlegesei az ABC háromszög magasságvonalai. Az oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást, ezért az ABC háromszög magasságvonalai is egy pontban metszik egymást. Függvények: A függvény fogalma: Adott két halmaz, H és K. Ha H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét. Az alaphalmaz: Értelmezési tartomány: A változó lehetséges értékeinek halmaza. Értékkészlet: A lehetséges függvényértékek halmaza. Zérushely: Az a pont, ahol a függvény az X tengelyt metszi. (Helyettesítési értéke 0) Tengelypont: Az a pont, ahol a függvény az Y tengelyt metszi. Minimumhely: Ennél a függvényértéknél kisebb értéket sehol

nem vesz fel a függvény Maximumhely: Ennél a függvényértéknél nagyobb értéket sehol nem vesz fel a függvény Elsőfokú függvény(R R): Ezeknek a függvényeknek képe egyenes. Hozzárendelési szabálya: f(x) = ax + b Lineáris függvény: Amelyeknek képe egyenes. Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek aránya állandó. Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó. Monoton növekedés: Ha a függvény meredeksége pozitív. Monoton fogyás: Ha a függvény meredeksége negatív. Abszolútérték függvény: Geometriai transzformációk: A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk, értékkészletük is ponthalmaz. Egybevágóság: Ha van olyan távolságtartó transzformáció, amely az egyik alakzatot a másik alakzatba viszi át. Alakzatok egybevágósága: Háromszög (4 alapeset): - Oldalaik hossza páronként egyenlő -

Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és az ezek által bezárt szögek egyenlők - Egy-egy oldaluk hossza és a rajta fekvő két szögük páronként egyenlő - Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők. Sokszög: - Megfelelő oldalaik és átlóik hossza egyenlő - Megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők. Egyb. Transzf Tulajdonságai: egyenes képe egyenes Szögtartó Tengelyes tükrözésnél egy síkidomnak és képének a körüljárási iránya ellentétes. Középpontos tükrözésnél az O középpontra nem illeszkedő e egyenes e’ képe párhuzamos az e egyenessel. Szimmetrikus alakzatok: Vannak síkbeli alakzatok, amelyekhez található olyan síkbeli egybevágósági transzformáció, amelynél az alakzat képe önmaga. Eltolás: A P ponthoz a P ponttól megadott irányban és megadott távolságban levő P’ pontot rendeljük hozzá. (vektorral

adjuk meg.) Tulajdonságai: Fixpont: nincs, de ha az eltolás vektora nullvektor, akkor minden pont fix. Fixegyenes: a vektorral (v) párhuzamos egyenes. Fixsík: Minden v vektorral párhuzamos sík. Tengelyes tükrözés: - Körüljárása fordított Ha A képe A’, akkor A’ képe A Ha e ║ t, akkor e és e’ a tengely ugyanazon pontján megy át Ha f║t, akkor a képe is párhuzamos lesz. Fixpont: a t tengely pontjai Fixegyenes: t és vele párhuzamos egyenesek Fixsík: t-re illeszkedő síkok Tengelyesen szimm: Található hozzá olyan egyenes, amelyre az alakzatot tengelyesen tükrözve az alakzat képe önmaga. Középpontos tükrözés: - Körüljárását megtartja Ha P ráesik O-ra, képe önmaga Ha P nem esik rá O-ra, PO és P’O távolsága egyenlő. Fixpont: Minden O ponton átmenő egyenes. Fixegyenes: Az O pont. Fixsík: O-ra illeszkedő síkok. Középp. Szimm: Található hozzá olyan pont, amelyre középpontosan tükrözve az idom és képe megegyezik. Pont

körüli forgatás: Meg kell adni a forgatás: középpontját, mértékét, irányát. Balra: pozitív, Jobbra: negatív - Ha P≠0, akkor OP’ és OP α szöget zár be. Körüljárását megtartja Fixpont: O pont, ill. minden pont ahol a forg szöge 360˚ egész számú többsz Fixegyenes: nincs, viszont minden ahol a forg. szöge 360˚ egész számú többsz Fixsík: ami illeszkedik O-ra, és minden sík ahol a forg. szöge 360˚ egész számú többsz Forgás szimm.: Ha található hozzá olyan középpont és szög, mellyel elforgatva az alakzat képe önmaga lesz. (önmagába megy át) Pl. (n∙90˚) (n∙180˚) (n∙120˚) (n∙60˚) Körhöz külső pontból húzott érintő szerkesztése: Lépések: A külső pont összekötése a kör középpontjával. Az így kapott szakasz elfelezése (s –felezőpont). Az így kapott pontból Thalész kör rajzolása PS sugárral Ahol a két kör metszi egymást, azokkal összekötve P pontot érintőket kapunk. (2db) Körív

hossza: r π α 180˚ Körcikk területe: r π α 360˚ 2 Bizonyítandó tételek: A paralelogramma középvonala: Két oldal felezési pontját összekötő szakasz. A háromszög középvonala: A háromszög középvonala párhuzamos a 3. Oldallal és feleakkora ( AB ) 2 A háromszög súlyvonala: Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Bizonyítás: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Összekötve Fac-t Fcb-vel megkapjuk az ABC háromszög egyik középvonalát. Így k1 párh AB és feleakkora Megfelezve az AS és BS szakaszokat, kapjuk a P és Q pontot. Ezeket összekötve az ABS háromszög középvonalához jutunk. Így k2 párh. AB és feleakkora És k2 párh k1 és egyenlő is vele Fac S Fcb háromszög egybevágó QSP háromszöggel, mert megegyeznek 1 oldalban és 2 szögben. Ezért PS=S Fcb ill. Q=S Fac De P és Q felezőpontok, ezért AP=PS=S Fcb ill. BQ=QS=S Fac Tehát S a súlyvonalak harmadolópontja. A súlypont a súlyvonalon úgy helyezkedik el, hogy

a csúcstól távolabbi, és a felezőponttól közelebbi harmadolópont. A trapéz középvonala: Made by Fábián Zoltán (Pocok) in 1998. V A szerzőt az adatok kapcsán felelősség nem terheli. A helyesírási hibák az 1998-05-13-as Pocok nyelvkönyv szerint kerültek leírásra. Pocok is registered trademark of Fábián Co. International Was printed by a Canon BJC-240 printer. (In parallel port)