Gazdasági Ismeretek | Operációkutatás » Termelésprogramozási feladatok

Termelésprogramozási feladatok 1). Egy üzemben 4 terméket állítanak elő Összesen 5 féle alapanyagot használnak, és 3 gépsoron történik a gyártás. A fajlagos bérköltségeket és erőforrás szükségleteket és eladási árakat az alábbi táblázat tartalmazza: T1 T2 T3 T4 Egységár (Ft/egys.) G1 (perc/egys.) 12 8 G2 10 1 22 G3 23 30 15 A1 (egys./egys) 4 6 2 A2 18 A3 22 A5 Eladási ár 210 24 A4 Bérköltség (Ft/egys.) 5 6 10 15000 Gyártandó mennyiség 115 6 180 5 300 15 3000 3500 3200 120 410 900 18000 16500 5000 52 80 210 Határozzuk meg a termelési terv erőforrásszükségletét, a termelési terv anyagköltségét, a termelési terv bérköltségét, a termelési terv megvalósításából származó hasznot. Input adatok 1) Technológiai mátrix T1 T2 G1 12 0 G2 0 10 G3 23 0 A1 4 0 A2 0 18 A3 24 0 A4 0 22 A5 10 0 T3 8 1 30 6 5 0 6 15 T4 0 22 15 2 0 6 5 0 =T 2) Alapanyagok egységárai: ca*= G1 0 G2

0 G3 0 A1 120 A2 210 A3 180 3) Egyéb költségek : ce*= T1 3000 T2 3500 T3 3200 T4 900 T1 15000 T2 18000 T3 16500 T4 5000 T2 52 T3 80 T4 210 4) Eladási árak: p*= 5) Termelési terv: terv*= T1 115 A4 300 A5 410 Output (eredmények) 1) A termelési terv erőforrásszükséglete: q=T.terv 2) A termelési terv anyagköltsége: ttak=ca*.q 3) A termelési terv bérköltsége: ttbk=ce*.terv 4) Haszon= a termelési terv bevétele- a termelési terv költsége ttbev=p*.terv tth=ttbev-ttak-ttbk A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 16 B C D E F 12 0 23 4 0 24 0 10 0 10 0 0 18 0 22 0 8 1 30 6 5 0 6 15 0 22 15 2 0 6 5 0 cacs 0 0 0 120 cecs 3000 3500 3200 900 pcs 15000 18000 16500 5000 T q 2020 5220 8195 1360 1336 4020 2674 2350 ttak 293060 ttek 972000 ttbev 5031000 G H I terv 115 52 80 210 210 180 300 tth 1125940 410 Oldjuk meg az előző feladatot azzal a módosítással, hogy nincsenek megadava a bérköltségek, hanem

azt ismerjük, hogy mennyi az egyes gépeken dolgozók órabérei. Legyenek ezek rendre 400 Ft, 500 Ft és 350 Ft. A következőket kérdezzük: a) Mennyi az egyes termékek fajlagos anyagköltsége, és mennyi az egyes termékek fajlagos bérköltsége? b) Mennyi az egyes termékek fajlagos költsége? T 12 0 23 4 0 24 0 10 0 10 0 0 18 0 22 0 8 1 30 6 5 0 6 15 0 22 15 2 0 6 5 0 0 6,66666 6,66666 0 8,33333 8,33333 0 5,83333 5,83333 120 0 120 fak*= cacs.T 8900 10380 9720 2820 fbk*= cbcs.T 214,166 83,3333 236,666 270,833 9114,16 10463,3 9956,66 3090,83 cacs cbcs cecs a) b) fk*= cecs.T terv 115 52 80 210 210 0 210 180 0 180 300 0 300 410 0 410 2) Egy termelési folyamatban a közvetlen ráfordítások mátrixa: 0 2 5 3 2  0 0 1 2 3    K = 0 0 0 4 0    0 0 0 0 0  0 0 0 2 0 a) Határozzuk meg, hogy melyik sor(oszlop) felel meg erőforrásnak, félkész terméknek, illetve végterméknek. b) Rajzoljuk fel a

közvetlen ráfordítások gráfját. c) Ha az alapanyagból 20 egységnyit, a félkész termékekből 8-8 egységnyit akarunk tartalékolni, és a végtermékből 20 egységnyit akarunk előállítani, akkor mennyi alapanyagot kell beszereznünk, és az egyes félkész termékekből mennyit kell gyártanunk? A 0 0 0 0 0 A F1 F2 VT F3 A * terv =[20 F1 8 F1 2 0 0 0 0 F2 8 VT 20 F2 5 1 0 0 0 F3 8] 1. Ha T a teljes ráfordítások mátrixa, akkor q=T.terv 2. Meghatározzuk a teljes ráforditások mátrixát −1 T = (E − K ) VT 3 2 4 0 2 F3 2 3 0 0 0 =K 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5 1 0 0 0 3 2 4 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -2 1 0 0 0 -5 -1 1 0 0 -3 -2 -4 1 -2 -2 -3 0 0 1 k 2 3 0 0 0 terv 20 8 8 20 8 E emk T 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 7 1 1 0 0 51 12 4 1 2 8 3 0 0 1 q 1176 A 280 F1 88 F2 20 VT 48 F3 3) Egy üzem egy késztermék előállításához három féle alapanyagot használ fel. A közvetlen ráfordításokat az

alábbi gráf szemlélteti: Az A1 alapanyag egységára 120 Ft, az A2 alapanyagé 150 Ft, az A3-é pedig 200 Ft. a) Mennyi az egységnyi késztermék anyagköltsége? b) Hány egységre van szükségünk az egyes alapanyagokból, ha 100 egységnyi végterméket akarunk gyártani? c) Mennyibe kerül a terv megvalósításához szükséges összes alapanyag? 1) Felírjuk a gráf alapján K-t. 2) Meghatározzuk T-t. 3) ca*= [120 150 200 0 0 0] 4) t*= 0 0 0 0 0 100 a) Az egységnyi késztermék alapanyag-költsége fak*=ca.T vektor utolsó eleme b) q=T.terv c) ttak=ca*.q K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 0 0 3 0 3 2 2 0 0 0 0 4 2 3 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -5 -3 0 1 -3 0 -3 -2 -2 0 1 0 0 -4 -2 -3 -2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 14 9 6 1 3 0 3 2 2 0 1 0 48 35 24 3 11 1 cacs 120 150 200 0 0 0 fak* 120 150 200 4230 1060 15810 E emk tt

t q 4800 3500 2400 300 1100 100 ttak 1581000 0 0 0 0 0 100 Ágazati kapcsolatok mérlege 1) Tegyük fel, hogy 3 szektor bruttó kibocsátása a vizsgált időszakban 100 b0 =  60 . 400 Ennek eléréséhez a következő inputokra volt szükségük: 50 0 40 M 0 = 25 30 0  0 30 160 a) Mit jelent az M0 mátrix második sorában álló 30-as érték? b) Hány százalékkal kell növelni az egyes szektorok bruttó kibocsátásait, ha változatlan technológiai feltételek mellett a nettó kibocsátásokat az egyes szektorokban a következőképpen kívánják növelni: I. szektorban II. szektorban III. szektorban 10%-kal, 120%-kal, 10%-kal. 1) A b0-hoz tartozik n0, tf0. tf0: az M0 mátrix sorait összegzem, n0 = b0-tf0. 2) n1: az n0 vektorból és a novn= 1.1 2.2 1.1 vektorból komponensenkénti szorzással adódik. 3) b1=(E-K)-1⋅ n1, K=M0⋅B0-1, B0-1= 1/100 0 0 0 0 1/60 0 0 1/400 4) novb: a b1 és a b0

vektorokból határozhatom meg. m0 nnov 50 25 0 0 30 30 40 0 160 tfh0 bru0 1. 100 60 400 bru1 net0 2. 90 55 190 9. net1 112 78 450 b0inv 3. 11 11 231 4. 0,01 0 0 0 0,016667 0 0 0 0,0025 1 0 0 0 1 0 0 0 1 emkinv 8. 2,181818 1,090909 0,909091 0,363636 2,181818 1,818182 0,363636 0,181818 1,818182 e 1,1 2,2 1,1 6. 10 5 210 bnov 10. 0,12 0,3 0,125 K 5. 0,5 0,25 0 emk 0 0,5 0,5 0,1 0 0,4 0 0,5 -0,5 -0,1 0 0,6 7. 0,5 -0,25 0 2) Az előző feladattal kapcsolatban vizsgáljuk meg a következő kérdést. Mekkora lehet a III szektor bruttó kibocsátása, ha az I. szektoré 120 egység, a II-é pedig 90 egység A kérdéses bruttó kibocsátások vektora 100 b 2 =  90   x  Ez a terv csak akkor valósítható meg, ha a hozzá tartozó nettó kibocsátások vektora csak nemnegatív elemeket tartalmaz. 0 − 0.1 100  60 − 01x   60 − 01x   0.5  ≥0 n 2 = (E − K ) ⋅ b 2 = − 0.25 05 0  ⋅

 90  =  − 30 + 45  =  15   0 − 0.5 06   x  − 45 + 06 x  − 45 + 06 x  60 − 0.1x ≥ 0, − 45 + 0.6 x ≥ 0, vagyis 75 ≤ x ≤ 600, tehát a III. szektornak legalább 75 egységet kell termelnie (ez éppen fedezi az adott bruttó kibocsátások esetén az első két szektor termelő felhasználását), és legfeljebb 600 egységnyi lehet ( több azért nem lehet, mert ehhez az I. szektor 100 egységnyi termelése nem elegendő) 2) 5 szektorra bontunk egy gazdaságot. Az egyes szektorok 100-100 eFt bruttó termelési érték eléréséhez egymás termékeiből 100 eFt-ban kifejezve a következő termelési értékekre van szükségük: I II III IV V I 0.1 0 0.2 0 0.1 II 0 0.25 0.15 0 0 III 0.3 0 0 0.05 0.4 IV 0.2 0.1 0 0 0.2 V 0 0.1 0 0.3 0 Mekkora a termelő felhasználás és a bruttó kibocsátás értéke, ha az egyes szektorok nettó kibocsátásai: I. II. III. IV. V. 2 300 000 Ft

1 400 000 Ft 800 000 Ft 12 500 000 Ft 8 000 000 Ft Az adott bruttó kibocsátásnál az egyes szektorok egymás termékeiből milyen értékút használnak fel? A kapott termelő felhasználások egyes szektoronként hogyan oszlanak meg? k 0,1 0 0,2 0 0,1 0 0,25 0,15 0 0 0,3 0 0 0,05 0,4 b n 23 14 8 125 80 0,2 0,1 0 0 0,2 3.73,026 58,624 31,398 166,51 133,16 0 0,1 0 0,3 0 tf 4 50,026 44,624 23,398 41,519 53,166 e 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 emk 1. 0,9 0 -0,2 0 -0,1 0 0,75 -0,15 0 0 -0,3 0 1 -0,05 -0,4 -0,2 -0,1 0 1 -0,2 0 -0,1 0 -0,3 1 emkinv 1,2127 0,0428 0,2489 0,0837 0,2376 2. 0,0825 1,3529 0,2194 0,0423 0,1044 0,4127 0,0978 1,0972 0,2116 0,5224 0,2685 0,1818 0,0809 1,0870 0,2766 0,0888 0,1898 0,0462 0,3303 1,0934 bb 5. 73,026 0 0 0 0 m 6. 7,3026 0 14,605 0 7,3026 0 58,624 0 0 0 0 0 31,398 0 0 0 0 0 166,51 0 0 0 0 0 133,16 0 14,656 8,7937 0 0 9,4196 0 0 1,5699 12,559 33,303 16,651 0 0 33,303 0 13,316 0 39,949 0 Lineáris

egyenletrendszerek 3) Oldjuk meg a következő egyenletrendszert! 30x1 38 x1 66 x1 - 30 x2 - 20x3 + 200 x3 - 48 x3 + 50x3 - 720x3 30 10 0 38 66 90 30 17 0 -30 -20 200 -48 50 -720 50 -40 32 0 210 140 80 0 60 -60 1050 910 18 488 800 30 0 0 0 0 90 0 17 -114 -228 -20 206,666 -48 75,3333 -676 50 -56,6666 32 -63,3333 100 140 33,3333 0 -117,333 -368 1050 560 18 -842 -1510 10 x1 + 90x2 + 30 x2 17 x2 50x4 -40x4 + 32x4 + 210x4 140x5 = 1050 80x5 = 910 = 18 + 60x5 = 488 - 60x5 = 800 A fenti táblázatban az oszlopcserék előtt a formulákat az értékükre cseréljük. ( másolás és irányított beillesztés ugyanoda) ! x1 30 0 0 0 0 x1 x3 -20 206,666 -48 75,3333 -676 x3 x2 90 0 17 -114 -228 x4 50 -56,6666 32 -63,3333 100 x5 140 33,3333 0 -117,333 -368 1050 560 18 -842 -1510 30 0 0 0 0 0 206,666 0 0 0 x2 90 0 17 -114 -228 x4 44,5161 -56,6666 18,8387 -42,6774 -85,3548 x5 143,225 33,3333 7,74193 -129,483 -258,967 1104,19 560 148,064 -1046,12 321,741 x1 30 0 0 0 0

x3 0 206,666 0 0 0 x2 0 0 17 0 0 x4 -55,2182 -56,6666 18,8387 83,6527 167,305 x5 102,239 33,3333 7,74193 -77,5673 -155,134 320,322 560 148,064 -53,2258 2307,54 x1 30 0 0 0 0 x3 0 206,666 0 0 0 x2 0 0 17 0 0 x4 0 0 0 83,6527 0 x5 51,0377 -19,2110 25,2102 -77,5673 0 285,188 523,944 160,051 -53,2258 2414 Az együtthatómátrix rangja 4. x1 30 0 0 0 0 x3 0 206,666 0 0 0 x2 0 0 17 0 0 x4 0 0 0 83,6527 0 x5 51,0377 -19,2110 25,2102 -77,5673 0 285,188 523,944 160,051 -53,2258 2414 x1 30 0 0 0 0 x3 0 206,666 0 0 0 x2 0 0 17 0 0 x4 0 0 0 83,6527 0 285,188 523,944 160,051 -53,2258 2414 x5 51,0377 -19,2110 25,2102 -77,5673 0 A kibővített mátrix rangja 5. Az egyenletrendszernek nincs megoldása. 4) x1 x2 x3 x4 87 0 15 -54 -180 0 120 -45 20 1400 25 -50 42 -88 -1860 87 0 15 -54 -180 0 120 -45 20 1400 0 -50 37,6896 -72,4827 -1808,275 87 0 15 -54 -180 0 120 -45 20 1400 0 0 18,9396 -64,1494 -1224,942 Az együttható

mátrix rangja 3. A kibővített mátrix rangja 3. Az egyenletrendszer megoldható. 3<4, tehát végtelen sok megoldás van. s=4-3=1, tehát 1 szabad ismeretlen van és 3 kötött. Az általános megoldásban az x4-et választjuk szabad ismeretlennek. 87 0 0 -3,19435 790,1411 0 120 0 -132,416 -1510,423 0 0 18,9396 -64,1494 -1224,942 0 1 0 0 -0,03671 9,082081 0 1 0 -1,10347 -12,58686 0 0 1 -3,38704 -64,67607 x1 = 9.082+0037x4 x2= - 12.587+1103x4 x3= -64.676+3,387x4 5) x1 x2 x3 x4 x5 b 22 -52 0 -45 0 -2009 30 23 -87 0 12 -3519 104 0 258 0 -123 16868 232 48 -82 358 45 32326 400 -20 21 -15 -802 69177 Ax=b x=A-1b -4,66649 A-1 13 A-1b 0,00653 0,01269 0,00457 8,02091 -0,01382 0,01538 0,00467 -0,00176 -5,85593 -45 -9,00319 -0,00220 0,00313 -1,34991 -5,20836 22 -0,00304 -0,01156 -0,00316 0,00242 4,48546 103 0,00363 0,00610 0,00230 3,95039 -0,00148 -80 Lineáris programozás 1)Egy

telefonközpontban folyamatos munkarendben, 8 órás műszakokban dolgoznak. Az egyes időszakokban szükséges operátorok számát a következő táblázat tartalmazza: Időszak 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 Operátorok száma 2 4 20 16 12 6 Műszakkezdési időpontok: 0, 4, 8, 12, 16, 20 óra. Az egyes műszakkezdési időpontokban hány embert állítsunk munkába, hogy a lehető legkevesebb dolgozóval biztosítani tudjuk a szükséges létszámokat? 0 x1 4 8 12 16 20 24 x2 x3 x4 x5 x1+x6 2 x1+x2 4 x1 x2+x3 20 x2 x3 x3+x4 16 x4 x6 x5+x6 6 x4+x5 12 x5 x6 1 1 1 1 1 1 min 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 2 4 20 16 12 6 Megoldás: c 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 x z 1 1 0 0 0 0 km kbo #ÉRTÉK! 0 1 1 0 0 0 #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 0 0 1 1 0 0 2 4 20 16 12 6 Eszközök, Solver. c 1 x 2 10 10 6 6 0 1 1 z c.x

34 0 0 1 1 0 0 km 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 kbo km.x 2 12 20 16 12 6 2 4 20 16 12 6 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 Oldjuk meg a feladatot a következő esetben is. Időszak 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 Operátorok száma 2 4 20 16 12 6 Órabér (Ft/óra) 3200 3200 1600 1600 2400 3200 Az egyes műszakkezdési időpontokban hány embert állítsunk munkába, hogy a lehető legkisebb bérköltség mellett tudjuk biztosítani a szükséges létszámokat? c 3200 x 3200 z 1600 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 kbo #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 2 4 20 16 12 6 0 0 1 1 0 0 A megoldás: z 2 2 18 6 6 0 2400 3200 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 #ÉRTÉK! km x 1600 65600 2) Egy gazdaságban két műtrágya-keverékre ( A és B) van szükség, amelyeknek a következő előírásoknak kell megfelelniük: Keverék Min. nitrogén tart Min. foszfor tart A 30% 20% B 40% 10% A kereskedelemben két féle keverék

kapható(1, 2): Keverék Nitrogén tart. Foszfor tart. Ár(Ft/kg) 1 50% 20% 240 2 20% 40% 200 Az A keverékből 5000kg-ra, a B-ből pedig 3000 kg-ra van szükségük. Hogyan állítsák elő a szükséges keverékeket, hogy a költségük minimális legyen? Keverési terv: A B 1 x1 x3 2 x2 x4 Szükséges mennyiség(kg) 5000 3000 Költség = 240(x1+x3)+200(x2+x4)=240x1+200x2+240x3+200x4 min A nitrogéntartalma: B nitrogéntartalma: A foszfortartalma: B foszfortartalma: 0.5 x1 + 0 2 x 2 ≥ 0.3 x1 + x 2 0.5 x 3 + 0 2 x 4 ≥ 0. 4 x3 + x 4 0. 2 x1 + 0 4 x 2 ≥ 0. 2 x1 + x 2 0. 2 x 3 + 0 4 x 4 ≥ 0.1 x3 + x 4 x1 x2 x3 x4 240 200 240 200 1 0 0.2 0 0 0 1 0 -0.1 0 0.2 0 0 1 0 0.1 0 0.1 0 1 0 -0.2 0 0.3 240 c 200 min = = ≥ ≥ ≥ ≥ 240 5000 3000 0 0 0 0 200 x z c.x km kbo km.x 1 0 0,2 0 0 0 #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 1 0 -0,1 0 0,2 0 #ÉRTÉK! 0 1 0 0,1 0 0,1 0 1 0 -0,2 0 0,3 200 240 200 z c.x

1746666, 5000 3000 0 0 0 0 A megoldás: c 240 x 1666, 3333, 2000 1000 A B 1 1666.67 2000 2 3333.33 1000 3) Egy kereskedőnek 4 városban van üzlete. Egy bizonyos árucikket 3 raktárból szerezhet be A fajlagos szállítási költségeket és az egyéb információkat az alábbi táblázat tartalmazza: R1 R2 R3 Igényelt mennyi-ség Eladási ár Ü1 24 28 14 3200 Ü2 35 16 26 2500 Ü3 20 25 30 1650 Ü4 15 15 28 2400 220 250 200 220 Beszerzési ár Raktá-ron lévő mennyiség 150 130 170 3400 3800 4500 Az egyes raktárakból mennyit szállítson, hogy a haszna a lehető legnagyobb legyen? Szállítási terv: Ü1 x1 x5 x9 R1 R2 R3 Ü2 x2 x6 x10 Ü3 x3 x7 x11 Ü4 x4 x8 x12 Összes kiszállítható mennyiség: 11 700 egység Összes igényelt mennyiség: 9 750 egység ⇓ Minden üzletbe kiszállítja az igényelt mennyiséget, és lesz olyan raktár, amelyikből nem szállítunk ki mindent. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 ≤ 3400 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 ≤ 3800 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ≤ 4500 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 = 3200 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 2500 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 1650 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 2400 Haszon=bevétel - költség =bevétel- beszerzési költség - szállítási költség max Bevétel: (bev) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 220 250 200 220 220 250 200 220 220 250 200 220 Beszerzési költség: (bk) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 150 150 150 150 130 130 130 130 170 170 170 170 Szállítási költség: (szk) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 24 35 20 15 28 16 25 15 14 26 30 28 bev bk szk 220 150 24 250 150 35 200 150 20 220 150 15 220 130 28 250 130 16 200 130 25 220 130 15 220 170 14 250 170 26 200 170 30 220 170 28 c 46 65 30 55 62 104 45 75 36 54 0

22 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x #ÉRT z 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 kbo #ÉRT #ÉRT #ÉRT #ÉRT #ÉRT #ÉRT #ÉRT 3400 3800 4500 3200 2500 1650 2400 km 1 0 0 0 0 1 0 A megoldás: bev bk szk 220 150 24 250 150 35 200 150 20 220 150 15 220 130 28 250 130 16 200 130 25 220 130 15 220 170 14 250 170 26 200 170 30 220 170 28 c 46 65 30 55 62 104 45 75 36 54 0 22 z 589200 x 650,000 0 1650 1100 0 2500 0 1300 2550 0 0 0 R1 R2 R3 Ü1 650 0 2550 Ü2 0 2500 0 Ü3 1650 0 0 Ü4 1100 1300 0 4) Egy vállalatnak olyan szerződése van, hogy a következő négy hónapban 120 traktort kell szállítania. Az előírt szállítási ütemezést, az anyagfelhasználást és a bérköltségeket az alábbi táblázat tartalmazza. Hónap 1. 2. 3. 4 Szállítandó Anyagköltség mennyiség ($/db) 16 200 36 220 28 240 40 220 Bérköltség normál túlóra

200 300 220 330 200 300 240 360 Normál munkaidőben legfeljebb 24 traktort tudnak gyártani havonta, és túlórában legfeljebb 10-et. A raktározási költségek traktoronként havonta 50 $-t jelentenek. Raktározási költséget csak teljes hónapokra számolunk. A kiszállítás a hónap végén történik Határozzuk meg azt az ütemezést, amely esetén a költségek minimálisak! Ütemterv Hónap Normál Túlóra 1. 2. 3. 4. x1 x3 x5 x7 x2 x4 x6 x8 Korlátozó feltételek: x1 ≤ 24 x 2 ≤ 10 x3 ≤ 24 x 4 ≤ 10 x5 ≤ 24 x6 ≤ 10 x7 ≤ 24 x8 ≤ 10 x1 + x 2 ≥ 16 x1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 52 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≥ 80 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = 120 Célváltozó: z=költség min költség=ak+bk+rk ak=200(x1+x2)+220(x3+x4)+240(x5+x6)+220(x7+x8) bk=200x1+300x2+220x3+330x4+200x5+300x6+240x7+360x8 rk Hónap Teljes hónapban raktározott mennyiség Költség 1. 2. 3. 4. x1+x2-16 x1+x2+x3+x4-52 x1+x2+x3+x4+x5+x6 -80

(x1+x2-16)50 (x1+x2+x3+x4-52)50 (x1+x2+x3+x4+x5+x6 -80)50 Hónap Költség 1. 2. (x1+x2)50-800=rk2-800 3. (x1+x2+x3+x4)50-2600=rk3-2600 4. (x1+x2+x3+x4+x5+x6)50-4000=rk3-4000 rk=rk2+rk3+rk4-7400 z=ak+bk+rk2+rk3+rk4-7400 min min z=ak+bk+rk2+rk3+rk4 z min = z ′min − 7400 ak bk rk2 rk3 rk4 c 200 200 50 50 50 550 x 24 0 24 4 24 10 24 10 200 300 50 50 50 650 220 220 0 50 50 540 z 63260 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 km 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 kbo 24 0 24 4 24 10 24 10 24 52 86 120 24 10 24 10 24 10 24 10 16 52 80 120 220 330 0 50 50 650 240 200 0 0 50 490 240 300 0 0 50 590 220 240 0 0 0 460 220 360 0 0 0 580 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Optimális ütemterv Hónap Normál Túlóra 1. 2. 3. 4. 24 24 24 24 0 4 10 10 Optimális ütemezés költsége: zmin = 63260 − 7400 = 55860 Gyakorló feladatok 1) Az ábrán feltüntetett

gráfon látható a beépülések iránya, valamint a beépülések mennyisége. a) Határozzuk meg a teljes ráfordítások mátrixát. b) Ha a végtermékből 3 darabot, a közbülső termékekből 10-10 darabot, az alaptermékből pedig 20 darabot kívánunk előállítani, illetve tar tartalékolni, akkor hány darabot kell termelnünk az egyes termékekből, illetve az alaptermékekből hány darabra van szükségünk? A1 alapanyag A2, A3,A4 félkész termékek, A5 végtermék 0 0  K = 0  0 0 4 0 0 3 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 20 10    terv = 10    10   3  2 5 2 ,  2 0 T = (E − K ) , q = T ⋅ terv −1 k terv 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 5 2 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -4 1 0 -3 0 -2 -2 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 -5 -2 -2 1 1 0 0 0 0 10 1 0 3 0 22 2 1 6 0 2 0 0 1 0 100 9 2 29 1 20 10 10 10 3 e emk t q 660 57 16 187

3 2) A festékgyártáskor, amíg az alapanyagokból a kívánt festék (FT) elkészül, az alapanyagok különböző technológiai folyamatokon mennek keresztül. Bizonyos félkésztermékek is keletkeznek, amelyeket további technológiai folyamatoknak vetnek alá. Ezeket különböző arányban keverhetik, sőt alapanyagokat is adhatnak hozzájuk. Az ábra egy ilyen egyszerüsített folyamatot szemlélteti. A festék egységnyi mennyisége 1 kg .A gráfon látható, hogy az egyes anyagokból hová hány egység épül be Az A1, A2 alapanyagokat, az F1, F2 és F3 félkész termékeket jelentenek. Ha az A1 alapanyag egy egysége 15 Ft-ba, az A2 és alapanyag egy egysége 10 Ft-ba kerül, akkor a) 1 kg festék az egyes alapanyagokból hány forint értékűt tartalmaz? b) Ha 1m2 nagyságú felület befestéséhez annyi festékre van szükség, amely összesen 300 Ft értékű alapanyagot tartalmaz, akkor 100 m2 nagyságú felület festéséhez hány kg festékre van szükség? c)

Mekkora felületet lehet lefesteni azzal a festékkel, amelynek elkészítéséhez 100 000 Ft értékű A1 alapanyagot használtak fel? 0 0  0 K= 0 0  0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 3 3 0 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 2  3 2  0 ca * = [15 10 0 0 0 0] fak * = ca ⋅ T, T = (E − K ) −1 k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 3 3 0 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 2 3 2 0 15 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -2 -1 1 0 0 0 -1 -3 -3 1 -2 0 0 -2 -2 0 1 0 -2 0 -2 -3 -2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 15 14 7 1 2 0 4 4 2 0 1 0 59 52 27 3 8 1 15 10 40 365 100 cacs 0 e emk t fakcs 1405 a) 1 kg festék 1405 Ft értékű alapanyagot tartalmaz. b) 100m2 felület festéséhez 100 ⋅ 300 ≈ 21.35 Ft értékű festék szükséges 1405 c) 1kg festék 59 ⋅ 15 = 885 Ft értékű A1-et tartalmaz. 100000 kg festékkel mekkora

felületet lehet lefesteni. A kérdés az, hogy 885 100000 1 ⋅ ⋅ 100 ≈ 529 m2 nyit lehet lefesteni. 885 21.35 3) Egy bizonyos gyógyszer előállítására három alapterméket használnak fel. Az I alaptermék egységnyi mennyisége 75 Ft-ba, a II. alapterméké 12 Ft-ba, a III alapterméké 10 Ft-ba kerül Az ábra mutatja, hogy melyik termékből hova, hány egységnyi épül be, amelynek eredményeként 1 adag gyógyszert (végterméket) kapunk. a) Hány forint értékű alapterméket tartalmaz egy adag gyógyszer? b) Az egyes alaptermékekből hány forint értéküt kell felhasználni, ha 2000 adag gyógyszert akarunk előállítani? c) Ha az I. alaptermékből 300 000 Ft értékű áll rendelkezésre, a II és a III alaptermékből mennyit kell beszereznünk, hogy a lehető legtöbb adag gyógyszert készíthessük el? 0 0  0 K= 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 3 0 2 0 0 4 1 0 0 0 3 4  0  2 1  0 ca *

= [75 120 100 0 0 0] a) fak * = ca ⋅ T b) q1 = T ⋅ terv1 , terv1* = [0 0 0 0 0 2000] utolsó eleme. 0 0 0 0 75 0  0 120 0 0 0 0   0 0 100 0 0 0 F=  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  0 Az F ⋅ q1 vektor első három eleme. 300000 ≈ 571 adag készítését teszi lehetővé. c) A készlet 75 ⋅ 7 terv2* = [0 0 0 0 0 571] q2 = T ⋅ terv2 Az F ⋅ q2 vektor második és harmadik eleme. k terv1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 75 0 0 0 0 0 0 120 2 1 3 0 2 0 100 0 4 1 0 0 0 0 3 4 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -2 -1 -3 1 -2 0 0 -4 -1 0 1 0 -3 -4 0 -2 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 9 5 1 2 0 0 4 1 0 1 0 7 26 11 2 5 1 75 qq1 =T.terv1 14000 52000 22000 4000 10000 2000 F.qq1 1050000 6240000 2200000 0 0 0 terv2 0 0 0 0 0 571 120 100 1730 580 4745 75 0 0 0 0 0 0 120 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0

0 cacs e 0 0 0 0 0 2000 0 emk T fakcs F qq2 =T.terv2 3997 14846 6281 1142 2855 571 F.qq2 299775 1781520 628100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4) Egy farmon az állattenyésztéshez szükséges két legfontosabb takarmánynövény - a kukorica és a lucerna - kiválóan termeszthető. Az évek során szarvasmarha-törzsállományt sikerült kialakítani. Így a tejtermelés és - a szaporulatból - a hústermelés biztosítva van A hízott szarvasmarhákat egy közeli vágóhíd vásárolja fel. A következő évre szóló szerződés szerint a farmnak élősűlyban 100 000 kg szarvasmarhát kell a vágóhídnak átadni. Ezenkívül reálisnak látszik az évi 1 000 000 liter tej termelése. A farm takarmánykeverő üzemmel is rendelkezik., amelynek kapacitása lehetőséget ad arra, hogy a farm igényein felül még eladásra is termeljen évi 500 000 kg takarmánykeveréket. A nyilvántartásukból kitűnik, hogy 1 kg szarvasmarha-élősűly előállításához 3 kg

takarmánykeverékre, 3 kg lucernalisztre, 1 kg kukoricadarára, 10 kg (zöld) lucernára van szükség. 2 liter tej előállításához pedig 1kg takarmánykeveréket, 2 kg kukoricadarát, 8 kg (zöld) lucernát használnak fel. 1 kg lucernalisztet 8 kg (zöld) lucernából nyernek szárítással és őrléssel. 10 kg takarmánykeverék 6 kg lucernalisztet, 2 kg kukoricadarát, 2 kg egyéb adalékanyagot tartalmaz. Úgy becsülik, hogy 1 ha szántón átlagosan 4000 kg morzsolt kukorica vagy 40000 kg (zöld) lucerna terem évente. Határozzuk meg, hogy a farmnak hány hektáron kell kukoricát és hány hektáron kell lucernát termelni, ha az előirányzott hús- és tejtermelést, valamint az 500 000 kg takarmánykeverék eladását teljesíteni akarja. Egységnyi mennyiségek: szarvasmarha élősúly(szm) 1kg, tej (t) 1 liter lucernaliszt (ll) 1 kg kukoricadara (kd) 1kg szántó kukoricához (szk) 1 ha szántó zöld lucernához (szzl) 1ha. egyéb adalék (ea) 1kg zöld lucerna

(zl) 1 kg takarmánykeverék (tk) 1kg. A közvetlen ráfordítások mátrixa: szkd szkd szll ea tk kd zl ll szm t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 szll 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ea 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tk 0 0 0.2 0 0.2 0 0.6 0 0 kd 1/4000 0 0 0 0 0 0 0 0 zl 0 1/40000 0 0 0 0 0 0 0 ll szm 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 3 1 10 3 0 0 t 0 0 0 0.5 1 4 0 0 0 terv * = [0 0 0 500000 0 0 0 100000 1000000] q = T⋅t k terv 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2 0 0,2 0 0,6 0 0 0,00025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,000025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 3 1 10 3 0 0 0 0 0 0,5 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,2 1 -0,2 0 -0,6 0 0 -0,00025 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -0,00002 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 1 0 0 0 0 0 -3 -1 -10 -3 1 0 0 0 0 -0,5 -1 -4 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,00005 0,00012 0,2 1 0,2 4,8 0,6 0 0 0,00025 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0,000025 0 0 0 1 0 0 0 0 0,0002 0 0 0 8 1 0 0 0,0004 0,00121 0,6 3 1,6 48,4 4,8 1 0 0,000275 0,00016 0,1 0,5 1,1 6,4 0,3 0 1 0 0 0 500000 0 0 0 100000 1000000 e emk t q 340 341 260000 1300000 1360000 13640000 1080000 100000 1000000 5) Egy terméket kétféle technológiai eljárással lehet termelni. Az első eljárás 80%-ban első osztályú, 20%-ban másod osztályú terméket ad; a második eljárás 60%-ban első osztályút, 40%-ban másodosztályút A két eljárás esetén a közvetlen ráfordítások mátrixai a következők: 1.Eljárás 2.Eljárás  0 0 2 3 5  0 0 4 7 1   0 0 0 2 3   0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0  0  0 0 0 0 6 4 0 0 3 5 0 0 2 7  0 0 0 3 0 0 0 0 Az alapanyagok beszerzési ára - a mátrixban szereplő sorrendnek megfelelően - az 1. eljárás esetén 20 Ft/db,

illetve 30 Ft/db, a 2. eljárásnál 10, 10 és 40 Ft/db ( A két eljárásnál különböző alapanyagokból indulnak ki.) A gyártás során kifizetett munkabér egyenesen arányos a végtermékbe beépült összalapanyag-darabszámmal., éspedig az 1 eljárásnál 110 Ft/db, a 2. eljárásnál 200 Ft/db Az első osztályú végtermék eladási ára 15 000 Ft, a másodosztályúé 13 00 0Ft. Az anyag és bérköltségeken kívüli költségtényezők szempontjából nincs lényeges különbség a két technológia között. Melyik technológia esetén lesz kedvezőbb a nettó árbevétel (árbevétel mínusz bér- és anyagköltség)? A közvetlen ráfordítások mátrixa: A11 A21 F11 F21 T1 A12 A22 A32 F12 T2 A11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F11 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 F21 3 7 2 0 0 0 0 0 0 0 T1 5 1 3 3 0 0 0 0 0 0 A12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F12 0 0 0 0 0 6 3 2 0 0 T2 0 0 0 0 0 4 5 7 3 0 ca * = [20 30 0 0 0 10 10 40

0 0] b1* = [1 1 0 0 0 0 0 0 0 0] b2 * = [0 0 0 0 0 1 1 1 0 0] t 5 a T mátrix 5. oszlopa t 10 a T mátrix 10. oszlopa Fajlagos bérköltségek: b1* ⋅ t 5 megadja, hogy az 1. eljárás esetén a termék összesen hány darab alapanyagot tartalmaz. b2* ⋅ t 10 megadja, hogy a 2. eljárás esetén a termék összesen hány darab alapanyagot tartalmaz bk1 = 110 ⋅ b1* ⋅ t 5 bk 2 = 200 ⋅ b2 * ⋅ t 10 fak * = ca ⋅ T Fajlagos haszon: 1. eljárásnál I. osztályú termék 15000-bk1-( fak * 5.eleme)=fh11 II. osztályú termék 13000-bk1-( fak * 5.eleme)=fh12 2. eljárásnál I. osztályú termék 15000-bk2-( fak * 10.eleme)=fh21 II. osztályú termék 13000-bk2-( fak * 10.eleme)=fh22 Ha az 1. eljárással N1 darab terméket állítanak elő, akkor az egy termékre eső átlagos haszon 0.8 N1 fh11 + 02 N1 fh12 = 0.8 fh11 + 02 fh12 = 2320 N1 Hasonló meggondolással a 2. eljárásnál az egy termékre eső átlagos haszon 0.6 fh11 + 04 fh12 = 3520 , tehát a 2. eljárás a

kedvezőbb k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 2 0 0 0 0 0 0 0 5 1 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 3 2 0 0 0 0 0 0 0 4 5 7 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 -3 -7 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -6 -3 -2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 1 0 0 0 0 0 0 0 7 15 2 1 0 0 0 0 0 0 -5 -1 -3 -3 1 0 0 0 0 0 tt5 32 58 9 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6 3 2 1 0 0 0 0 0 0 -4 -5 -7 -3 1 tt10 0 0 0 0 0 22 14 13 3 1 e emk t cacs b1cs b2cs 20 1 0 30 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 10 0 1 40 0 1 0 0 0 0 0 0 fakcs 20 30

160 590 2380 10 10 40 170 880 b1*.t5 bk1 90 9900 1.elj b2cs.t10 bk2 fh11 fh12 2720 720 átl. haszon 2320 49 9800 2. elj fh21 fh22 4320 2320 átl. haszon 3520 6) Egy gépipari vállalat készterméke (T) az ábrán látható technológia alapján készül. Az alkatrészek (A1, A2, A3) előállításához kétféle alapanyagot (AG1, AG2) használnak fel az alábbi mennyiségben: A1 kg/db 3 1 AG1 AG2 A2 kg/db 1 1 A3 kg/db 5 2 ár Ft/kg 2 5 Az alkatrészek előállításában hegesztő- (G1) és eszterga-gépek (G2) vesznek részt, amelyek idejét az alábbi táblázat mutatja: G1 G2 A1 perc/db 1 2 A2 perc/db 0 5 A3 perc/db 2 1 ár Ft/óra 50 20 Az egyes gyártmányok (T, B1, B2, SZ) szerelési ideje: T perc/db 25 B1 perc/db 8 B2 perc/db 10 SZ perc/db 5 ár Ft/óra 30 a) Hány kg anyagot tartalmaz 1 darab szerelvény (SZ)? b) Hány kg anyagot tartalmaz 1 darab késztermék (T)? c) Hány gépóra szükséges 1 darab késztermék előállításához?

d) Mennyi az összköltsége ( anyagköltség+ gépköltség+ szerelési költség) 1 darab készterméknek és 1 darab szerelvénynek? A közvetlen ráfordítások mátrixa: AG1 AG2 G1 G2 Szi A1 A2 A3 B1 B2 Sz T AG1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AG2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Szi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A1 3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 A2 1 1 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 A3 5 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B1 0 0 0 0 8 1 0 0 0 0 3 0 B2 0 0 0 0 10 0 2 2 0 0 2 0 Sz 0 0 0 0 5 1 2 3 0 0 0 0 T 0 0 0 0 25 0 3 0 3 3 0 0 ca * = [2 5 50 / 60 20 / 60 30 / 60 0 0 0 0 0 0 0] a) A T mátrix 11. oszlopának 1 és 2 eleme b) A T mátrix 12. oszlopának 1 és 2 eleme c) A T mátrix 12. oszlopának 3 és 4 Eleme d) A fak * = ca ⋅ T vektor 12. és 11 eleme k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 10 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 5 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 25 0 3 0 3 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 5 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 63 28 22 47 23 4 6 9 1 0 3 0 52 24 18 42 20 2 6 8 0 1 2 0 20 9 7 15 5 1 2 3 0 0 1 0 348 159 120 282 154 18 39 51 3 3 15 1 2 5 0,833 0,333 0,5 0 0 0 0 0 0 0 2 5 0,833 0,333 0,5 12,5 8,666 22 311,5 263 98,33 1762 t cacs d) fakcs 7) Egy üzemben három erőforrás felhasználásával négyféle terméket állítanak elő. A termékegységre vonatkozó ráfordításokat, az erőforrások egységárait (Ft-ban), valamint az egyes termékekből gyártandó mennyiségeket (az adott egységekben kifejezve) az alábbi táblázat mutatja: 1. termék 2.termék 4 1 2 100 3 3 1 200 I.erőforrás II.erőforrás III.erőforrás Gyártandó mennyiség 3. termék 4 termék 5 0

2 300 2 3 2 100 Erőforrás ára (Ft/egys.) 6 10 12 Számítsuk ki mátrixműveletek segítségével az adott termelési program Ft-ban kifejezett erőforrásszükségletét. A technológiai mátrix  4 3 5 2 T = 1 3 0 3 2 1 2 2 ca * = [6 10 12], terv * = [100 200 300 100] q = T ⋅ terv, ttek = ca * ⋅ q t 4 1 2 cacs ttek 3 3 1 5 0 2 2 3 2 6 10 12 40600 terv 100 200 300 100 q 2700 1000 1200 8) Valamely termék előállításának technológiai sémája a következő: A fenti gráfon jelezzük, hogy az egyes szögpontok milyen szerepet játszanak a folyamatban (A1,A2,.alapanyagok, F1,F2, félkész termékek, T1, T2, végtermékek jelöléseket alkalmazzuk.) Határozzuk meg, hogy a végtermék egy egységének mekkora az alapanyagszükséglete Egy egységnek az a mennyiség minősül, amelyet a fenti séma meghatároz k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 8 0 0 0 0 0 6 10 0 0 0 3 0 0 15 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -12 0 1 0 -2 0 0 0 -3 0 0 1 0 0 0 0 -5 0 0 -8 1 0 0 0 0 -6 -10 0 0 1 -3 0 0 -15 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 -2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 70 0 1 16 2 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 29 0 0 8 1 0 0 0 700 51 10 160 20 1 3 0 0 15 0 0 0 0 1 0 2800 234 40 640 80 4 14 1 e emk t 9) Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 28 x1 + 32 x 2 − 56 x 3 + 40 x 4 = 120 12 x1 − 25x 2 − 42 x 4 = 200 30 x 2 + 130 x 3 − 24 x 4 = 230 40 x1 + 37 x 2 + 74 x 3 − 26 x 4 = 550 10 x1 + 20 x 2 − 30 x 3 − 40 x 4 424 28 12 30 40 10 32 -25 0 37 20 -56 0 130 74 -30 40 -42 -24 -26 -40 120 200 230 550 424 28 0 0 0 0 32 -38,7143 -34,2857 -8,71429 8,571429 -56 24 190 154 -10 40 -59,1429 -66,8571 -83,1429 -54,2857 120 148,5714 101,4286 378,5714 381,1429 28 0 0 0 0 0 -38,7143 0 0 0

-36,1624 24 168,7454 148,5978 -4,68635 -8,88561 -59,1429 -14,4797 -69,8303 -67,3801 242,8044 148,5714 -30,1476 345,1292 414,0369 28 0 0 0 0 0 -38,7143 0 0 0 0 0 168,7454 0 0 -11,9886 -57,0835 -14,4797 -57,0794 -67,7822 236,3438 152,8592 -30,1476 371,6772 413,1997 28 0 0 0 -38,7143 0 0 0 168,7454 0 0 0 158,2788 -218,845 -124,433 0 0 0 0 0 0 -57,0794 0 371,6772 -28,1699 ρ (A ) = 4 ~ ρ A =5 nincs megoldás ( ) x1 + 2 x2 − 3x3 + x4 − x5 = 3 2 x1 − x2 + 2 x3 + 2 x4 − 2 x5 = 2 − x1 + 3x2 − 5x3 − x4 + x5 = 1 4 x1 + 3x2 − 4 x3 + 4 x4 − 4 x5 = 8 3x1 + 6 x2 − 9 x3 + 3x4 − 3x5 = 9 1 2 -1 4 3 2 -1 3 3 6 -3 2 -5 -4 -9 1 2 -1 4 3 -1 -2 1 -4 -3 3 2 1 8 9 1 0 0 0 0 2 -5 5 -5 0 -3 8 -8 8 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 3 -4 4 -4 0 1 0 0 0 -5 0 0,2 8 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 x3 0,2 -1,6 0 0 x4 1 0 0 0 x5 -1 0 0 0 0 0 x1 x2 1 0 0 1 Az általános megoldás: x1= 1.4-0,2x3-x4+x5 x2= 0.8+16x3 1,4 -4 ρ (A ) = 2 ~ 0 ρA =2 0 2<5 0 s=3 ( ) 1,4 0,8

5x2 − 4 x3 + 2 x4 = −1 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 0 2 x1 − x2 + 2 x3 = 1 − x1 + 3x2 − 3x3 + x4 = −1 3x1 + x2 + x3 + x4 = 1 5 1 2 -1 3 -4 2 -1 3 1 0 -1 2 -3 1 2 1 0 1 1 -1 0 1 -1 1 5 0 0 0 0 -4 2,8 0,6 2,2 3,4 0 -1 2 -3 1 2 0,6 -0,8 1,4 -0,2 -1 0,2 1,4 -1,2 1,6 5 0 0 0 0 0 2,8 0 0 0 -1,42857 -1 2,214286 -2,21429 2,214286 2,857143 0,6 -0,92857 0,928571 -0,92857 -0,71429 0,2 1,357143 -1,35714 1,357143 5 0 0 2,258065 0 2,8 0 0 0 2,214286 0 0 0 0 0 0 x1 x2 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Az általános megoldás: x1= 0.032-0452x4 x2= 0.290-0065x4 x3= 0.613+0419x4 0,180645 -0,92857 0 0 x4 0,451613 0,064516 -0,41935 ~ 0,16129 ρ (A ) = 3, ρ A =3 0,812903 van megoldás 1,357143 3<4 végtelen sok megold. 0 0 s=4-3=1 ( ) 0,032258 0,290323 0,612903 x1 − 2 x 2 + x3 − x 4 + 2 x5 = 2 2 x1 + x 2 + 2 x3 − 2 x 4 − x5 = 1 3x1 + 4 x 2 + 3 x3 − 3x 4 − 4 x5 = 0 1 2 3 -2 1 4 1 2 3 -1 -2 -3 2 -1 -4 2 1 0 1 0 0 -2 5 10 1 0 0 -1 0 0 2 -5 -10 2 -3 -6 1 0

1 -1 0 0 5 0 0 0 0 x1 x2 x3 1 0 1 0 1 0 Az általános megoldás: x1= 0.8-x3+x4 x2= -0.6+x5 0 0 x4 -1 0 -5 0 x5 0 -1 ( ) ~ 0,8 ρ (A ) = 2, ρ A =2 -3 van megoldás 0 2<5 végtelen sok megoldás van s=5-2=3 0,8 -0,6 2 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 0 − x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0 x1 − x2 + 3x3 − x4 = 0 4 x1 − x2 + 4 x3 − x4 = 0 2 x2 + 4 x3 = 0 2 -1 1 4 0 1 3 -1 -1 2 -2 1 3 4 4 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 3,5 -1,5 -3 2 -2 0 4 8 4 1 1,5 -1,5 -3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3,5 0 0 0 -2 0 4 8 4 0,571429 1,5 -0,85714 -1,71429 -0,85714 0 0 0 0 0 2 0 0 3,5 0 0 0 0 x1 x2 1 0 0 1 0 0 Az általános megoldás: x1= -0.072x4 x2= -0.429x4 x34= 0.215x4 0 0,142857 0 4 0 x3 0 0 1 1,5 -0,85714 0 x4 0,071429 0,428571 -0,21429 ( ) ~ 0 ρ (A ) = 3, ρ A =3 0 van megoldás 0 3<4 végtelen sok megoldás 0 s=4-3=1 0 0 0 2 x1 + 3x2 − 4 x3 + x4 + x5 = 0 3x1 − x2 + x3 − x4 − 2 x5 = 0 7 x1 + 5x2 − 7 x3 + x4 + 8 x5 = 0 8 x1 + x2 − 2 x3 − x4 + x5 = 0 − x1

+ 4 x2 − 5x3 + 2 x4 7 x5 = 0 2 3 7 8 -1 3 -1 5 1 4 -4 1 -7 -2 -5 1 -1 1 -1 2 1 -2 8 1 7 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 -5,5 -5,5 -11 5,5 -4 7 7 14 -7 1 -2,5 -2,5 -5 2,5 1 -3,5 4,5 -3 7,5 0 0 0 0 0 2 0 -0,18182 0 -5,5 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 x2 x5 2 0 -0,90909 0 -5,5 -3,5 0 0 8 0 0 4 0 0 4 x1 x2 x5 2 0 0 0 -5,5 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 x1 x2 x5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Az általános megoldás: x1= 0.091x3+0181x4 x2= 1.273x3-0455x4 x5= 0 -0,36364 -2,5 0 0 0 x3 -0,18182 7 0 0 0 x3 -0,18182 7 0 0 0 x3 -0,09091 -1,27273 0 -0,90909 -3,5 8 4 4 x4 -0,36364 -2,5 0 0 0 x4 -0,36364 -2,5 0 0 0 x4 -0,18182 0,454545 0 0 Értékekre cserélünk, 0 majd oszlopcsere! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ (A ) = 3, ρ (A ) = 3 0 van megolodás 0 3<5 végtelen sok megold. 0 s=5-3=2 0 0 0 0 10) Határozzuk meg, hogy a 2   1  −1  3 1 −1  2  −1 b 1 =  , b 2 =  , b 3 =  , b 4 =   1  1  −2   −2       

   3 −1  1  −1 vektorok milyen lineáris kombinációja állítja elő a  0  −2 c=   −5     −8  vektort. x1b1 + x 2 b 2 + x3 b 3 + x 4 b 4 = c 2 1 1 3 1 -1 1 -1 -1 2 -2 1 3 -1 -2 -1 0 -2 -5 -8 2 0 0 0 1 -1,5 0,5 -2,5 -1 2,5 -1,5 2,5 3 -2,5 -3,5 -5,5 0 -2 -5 -8 2 0 0 0 0 0,666667 1,333333 -1,5 2,5 -2,5 0 -0,66667 -4,33333 0 -1,66667 -1,33333 -1,33333 -2 -5,66667 -4,66667 2 0 0 0 0 -1,5 0 0 0 0 -0,66667 0 -3 -18,75 -4,33333 9,5 -7 -23,25 -5,66667 9,5 2 0 0 0 0 -1,5 0 0 0 0 -0,66667 0 -4 -4,5 -1,33333 9,5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 9,5 0 0 0 0 1 -2 3 2 1 − 2b1 + 3b 2 + 2b 3 + b 4 = c 11) Igazoljuk, hogy ( A + B ) = A 2 + AB + BA + B 2 , ahol A és B azonos típusú négyzetes 2 mátrixok. (A + B )2 = (A + B ) ⋅ (A + B ) = AA + AB + BA + BB = A 2 + AB + BA + B 2 12 Bizonyítsuk be, hogy ha a B mátrix k-adik oszlopának minden eleme zérus, akkor az A.B szorzatmátrix

k-adik oszlopa a zérusvektor. Legyen A m×n-, B n×p típusú mátrix. AB = C = [cik ] cik = a *i ⋅ b k = a i ⋅ 0 = 0, i = 1,2, K, m . Tehát  c1k  0 c k =  M  =  M  c mk  0 13) Milyen feltételek mellett állnak fenn a következő egyenlőségek: a) ( A + B ) = A 2 + 2 A. B + B 2 2 b) ( A − B ) = A 2 − 2 A. B + B 2 2 c) ( A + B )( A − B ) = A 2 − B 2 a), b), c) teljesülnek, ha A ⋅ B = B ⋅ A . 14) Határozzuk meg a következő mátrixpolinomok által előállított mátrixot: a) A − 4 A + 3A 2 3 b) B − 2B − 9B 8 2 1 2 2  ha A = 2 1 2  2 2 1 2 1 3 ha B = 1 −1 2  1 2 1 a) a aaa 128 126 126 1 2 2 2 1 2 2 2 1 aa 9 8 8 8 9 8 8 8 9 41 42 42 42 41 42 42 42 41 126 128 126 126 126 128 2 1 1 1 -1 2 3 2 1 bm 8 3 5 7 6 1 11 3 8 140 57 83 109 60 49 197 75 122 bny 42164 17625 24539 31453 13488 17965 59789 24879

34910 31430 13485 17945 59740 24855 34885 b) b bn 42130 17610 24520 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS 1) Egy gazdaság 800 ha-nyi területen takarmánynövényeket (búzát, kukoricát, borsót és lucernát) kíván termeszteni. Az egész területet ki kell használnia, és az a célja, hogy termelési költsége minimális legyen. Figyelembe kell vennie az alábbi feltételeket A búza által elfoglalt terület legalább 200 ha legyen, a kukoricáé pedig legfeljebb 200 ha. A takarmánynövények által adott keményítőérték 1500-1600 tonna között lehet, a fehérje pedig legalább 200 t legyen. A rendelkezésre álló munkanapok száma 6800 Ismerjük az egyes növények fajlagos termesztési mutatóit: Búza Kukorica Borsó Lucerna Költség eFt/ha Kem. t/ha Fehérj t/ha Munkanap mnap/ha 5.5 6.2 5.3 4.4 2.6 3.8 1.6 1.1 0.3 0.3 0.4 0.4 12 17 2 3 Vetési terv: x1 ha x2 ha x3 ha x4 ha búza kukorica borsó lucerna Célfüggvény: z = 5.5 x1 + 62 x 2 + 53x3 + 44 x 4 min

Korlátozó feltételek: x1 x1 + x2 + x3 + x4 + 1.6 x3 + 1.6 x3 + 0.4 x3 + 2 x3 + 1.1x 4 + 1.1x 4 + 0.4 x 4 + 3x4 x2 2.6 x1 2.6 x1 0.3 x1 12 x1 + 3.8 x 2 + 3.8 x 2 + 0.3 x 2 + 17 x 2 = 800 ≥ 200 ≤ 200 ≤ 1600 ≥ 1500 ≥ 200 ≤ 6800 c 5,5 x km kbo #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 6,2 z 1 1 0 2,6 2,6 0,3 12 5,3 #ÉRTÉK! 1 0 1 3,8 3,8 0,3 17 1 0 0 1,6 1,6 0,4 2 800 200 200 1600 1500 200 6800 Megoldás: x 200 118,5185 0 481,4815 z 4,4 3953,333 1 0 0 1,1 1,1 0,4 3 2) Egy húsüzem kenőmájas, virsli, főzőkolbász és szalámi előállítására alkalmas gépsorokkal rendelkezik, melyek napi kapacitása rendre 5000 kg, 2000 kg, 8000 kg és 15000 kg. Az egyes termékek 1 kg-jának nyersanyagigénye a következő: Kenőmájas Virsli Főzőkolbász Szalámi Sertéshús 0.3 0.5 0.4 0.7 Máj 0.5 Marhahús 0.4 0.5 Szalonna 0.4 0.2 0.3 0.6 A vágóhídról naponta maximum 12 t sertéshúst, 2.5 t májat, 14 t

marhahúst és 10 t szalonnát rendelhetünk. Szerződés miatt viszont sertés- és marhahúsból összesen legalább napi 10 tonnát át kell venni. A kereskedelem napi igénye a késztermékekből bizonyos határok között adott: kenőmájasból 2 - 5 t, virsliből 1.5 - 2 t, főzőkolbászból 4 - 6 t és szalámiból 10 - 20 t Az üzem keresi azt a termelési programot, amely esetén a késztermék összsúlya maximális. Termekéi terv: x1 kg x2 kg x3 kg x4 kg kenőmájas virsli főzőkolbász szalámi Célfüggvény: z = x1 + x 2 + x3 + x 4 max Korlátozó feltételek: A technológiai mátrix: 0.3 05 04 07 0.5 0 0 0   T=  0 0.4 05 0    0.4 02 03 06 A termelési terv megvalósításához szükséges alapanyagok: 0.3 x1 + 05 x 2 + 04 x3 + 07 x 4  0.5 x  1  q = T⋅x =  0.4 x 2 + 05 x3    0.4 x1 + 02 x 2 + 03 x3 + 06 x 4  0.3 x1 0.5 x1 0.4 x1 0.3 x1 + 0.5 x 2 + 0.4 x3 + 0.7 x 4 0.4 x 2 + 0.2 x 2 +

0.9 x 2 + 0.5 x3 + 0.3 x3 + 0.9 x3 + 0.6 x 4 + 0.7 x 4 x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 c 1 x km kbo #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 1 z 0,3 0,5 0 0,4 0,3 1 1 0 0 0 0 0 0 12000 2500 14000 10000 10000 2000 5000 1500 2000 4000 6000 10000 20000 1 1 0,4 0 0,5 0,3 0,9 0 0 0 0 1 1 0 0 0,7 0 0 0,6 0,7 0 0 0 0 0 0 1 1 #ÉRTÉK! 0,5 0 0,4 0,2 0,9 0 0 1 1 0 0 0 0 ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ 12000 2500 14000 10000 10000 2000 5000 1500 2000 4000 6000 10000 20000 Megoldás: x z 4500 2000 6000 10000 22500 3) Egy gazdaság négyféle növény (A, B, C, D) termesztésével maximális nyereséget biztosító termesztési tervet kíván készíteni Az egyes növények nyeresége hektáronként: 20, 10, 6 és 9 eFt. Az A növény terméshozama 3.4 t/ha, a B növény terméshozama 2.8 t/ha A növények termesztéséhez három erőforrást (E1, E2, E3) használnak fel,

amelyek kapacitása: 3600, 3400 és 3800 munkanap. Az egyes növények fajlagos erőforrásigényét a következő táblázat mutatja munkanap/ha-ban: A B C D E1 2 3 0 4 E2 0 2 3 2 E3 5 4 3 2 A gazdaság rendelkezésére álló terület 1000 ha. További kikötések: a B növény max. 400 ha-on termeszthető; a C növény számára nem használható fel több terület, mint a B területének fele; az A növény termésmennyisége legalább 400 t legyen; a B termésmennyisége pedig nem lehet több, mint 700 t. Termelési terv:  x1  x  x =  2  x3     x4  ha A ha B , ha C ha B fh * = [20 10 6 9] A technológiai mátrix:  2 3 0 4 T = 0 2 3 2 5 4 3 2 A célfüggvény: z = fh * ⋅ x max A korlátozó feltételek:  2 x x + 3 x 2 + 4 x 4  3600 q = T ⋅ x =  2 x 2 + 3 x3 + 2 x 4  ≤ 3400 5 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 2 x 4  8000 x1 + x 2 + x3 + x 4 ≤ 1000 x 2 ≤

400 − x 2 + 2 x3 ≤ 0 3.4 x1 ≥ 400 2.8 x 2 ≤ 700 c 20 x 10 z km 2 0 5 1 0 0 3,4 0 kbo #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! z 1000 0 0 0 9 0 3 3 1 0 2 0 0 4 2 2 1 0 0 0 0 #ÉRTÉK! 3 2 4 1 1 -1 0 2,8 3600 3400 8000 1000 400 0 400 700 Megoldás: x 6 20000 4) Egy konzervgyár a maximális termelési érték elérésére törekszik. A kereskedelemtől egy adott hónapban három termékre kap megrendelést, mégpedig az A-ból legfeljebb 200 db-ra, a B-ből legalább 100 db-ra, a C-ből 200 és 400 db között. További kikötés, hogy a C termék összmennyisége nem lehet több, mint a B-nek a háromszorosa. Az egyes termékek termelési értékei: 100, 50 és 200 Ft/db. Az egyes termékek előállításához szükséges műveletek közül csak hármat veszünk figyelembe, amelyek az I., II és III jelű gépsorokon történnek Az A termék három technológiai változatban készíthető, amelyek a gépsorokat az

alábbi időkkel terhelik (óra/darab): 1.technológia 2.technológia 3.technológia I. II. III. 0.4 0.7 1.2 0.8 0.6 0.9 0.5 A B termék csak egy változatban készülhet, amelynek időigénye (óra/db) I. 0.6 II. 0.5 III. 0.6 A C termék kétféle technológiával készülhet, amelyek a következő időket igénylik (óra/db): I. 0.8 0.3 1.technológia 2.technológia II. 1.5 0.4 III. 0.6 0.5 II 500 óra III 400 óra. A gyár gépsorainak kapacitása: I .600 óra A termelési terv:  x1  x   2 x  x =  3  x4   x5     x6  A1 (db) A2 (db) A3(db) B (db) C1(db) C 2(db) c * = [100 100 100 50 200 200] A technológiai mátrix: I. II. III. A1 0.4 1.2 0.8 A2 0.7 0 0.6 A3 0 0.5 0.9 B 0.6 0.5 0.6 C1 0.8 1.5 0.6 C2 0.3 0.4 0.5 =T A célfüggvény: z = c * ⋅ x max A korlátozó feltételek: 0.4 x1 + 07 x 2 + 06 x 4 + 08 x5 + 03 x6   600   ≤ 500  1.2 x1 + 05 x3 + 05 x 4 + 15 x5 + 04

x6 q = T⋅x =     0.8 x1 + 06 x 2 + 09 x3 + 06 x 4 + 06 x5 + 05 x 6  400 x1 + x 2 + x3 ≤ 600 x 4 ≥ 100 x5 + x6 ≥ 200 x5 + x6 ≤ 400 − 3x 4 + x5 + x6 ≤ 0 c 100 x 100 z km 0,4 1,2 0,8 1 0 0 0 0 kbo 0 0,5 0,9 1 0 0 0 0 600 500 400 600 100 200 400 0 A megoldás: x z 0 200 0 133,3333 0 400 50 200 200 0,6 0,5 0,6 0 1 0 0 -3 0,8 1,5 0,6 0 0 1 1 1 0,3 0,4 0,5 0 0 1 1 1 #ÉRTÉK! 0,7 0 0,6 1 0 0 0 0 #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 100 106666,7 5) Egy gazdaságban a napi takarmányozáshoz szükséges takarmánykeveréket minimális költségekkel kívánják összeállítani. A keverékben háromféle (A, B, C) takarmány használható fel. Ismeretes, hogy az egyes beltartalmakból (BT1, BT2, BT3, BT4) legalább mennyit kell tartalmaznia a napi keveréknek, azaz rendre 820, 4180, 100 és 75 gr-ot. Az egyes takarmányok fajlagos beltartalmi értékeit a következő

táblázat mutatja gr/kg-ban: A B C BT1 200 100 150 BT2 300 400 500 BT3 20 30 BT4 10 20 Az egyes takarmányok beszerzési költsége rendre: 3, 5 és 4 Ft/kg A C takarmány egy jobb minőségben is beszerezhető 6Ft/kg-os áron, amelynek BT2 beltartalma 120gr/kg-mal nagyobb. További kikötések: - a naponta szükséges takarmánykeverék összsúlya nem lehet több, mint 10 kg; - a B mennyisége nem lehet több a keverékben, mint az összes C harmadrésze; - a B-ből, valamint a jobb minőségű C-ből legfeljebb 6 kg használható fel. A keverési terv:  x1  x  x =  2  x3     x4  A B C1 C2 (kg) (kg) (kg) (kg) ca * = [3 4 5 6] A beltartalmi értékeket megadó mátrix: BT1 BT2 BT3 BT4 A 200 300 0 10 B 100 400 20 0 C1 150 500 30 20 C2 150 620 =B 30 20 A korlátozó feltételek:  200 x1 + 100 x 2 + 150 x3 + 150 x 4   820  300 x + 400 x + 500 x + 620 x  4180 1 2 3 4  B⋅x =  ≥  20 x 2 +30 x3 + 30

x 4   100      10 x1 + 20 x3 + 20 x 4   75   x1 + x 2 + x3 + x 4 ≤ 10 3x 2 − x3 − x 4 ≤ 0 x2 4 ≤ 6 x4 ≤ 6 c 3 x 4 z km 200 300 0 10 1 0 0 0 kbo #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! z 0 1,15 0 6 6 150 500 30 20 1 -1 0 0 150 620 30 20 1 -1 0 1 #ÉRTÉK! 100 400 20 0 1 3 1 0 820 4180 100 75 10 0 6 6 A megoldás: x 5 40,6 6) Egy gazdaság folyamatosan üzemeltetett üvegházaiban 3 féle ( A, B, C ) növényt termeszt. Olyan tervet keres, mely megadja, hogy az egyes időszakokban mely növényeket, mekkora területen érdemes termeszteni, a maximális árbevétel biztosítása érdekében. Az egyszerűség kedvéért az ütemezést negyedéves bontásban végezzük, vagyis minden negyedév elején ültethetjük el a növényeket. Az egyes növények tenyészideje: 3, 2 és 2 negyedév. Értékesítésük a tenyészidő utolsó negyedévében történik. A termesztés

sajátosságai miatt az A növényt a IV., a C-t pedig az I és a IV negyedév elején nem ültethetjük. Az egyes növények eladási árai az év folyamán változnak A hektáronkénti árbevételek (eFt/ha) az alábbiak: I. 15 6 A B C II. III. 19 5 18 3 IV. 25 10 24 Az egyes negyedévekben különböző nagyságú területek állnak rendelkezésre: I. negyedévben 100 ha II. negyedévben 150 ha III. negyedévben 115 ha IV. negyedévben 80 ha Az egyes növények tenyészidejük folyamán hektáronként az alábbi munkaóra-ráfordítást igénylik(óra/ha): az A növény a termesztés első negyedévében középső negyedévében utolsó negyedévében 100 50 100 a B növény a termesztés első negyedévében utolsó negyedévében 60 60 a C növény a termesztés első negyedévében utolsó negyedévében 120 140. A munkaerő-gazdálkodás által adott korlátok a II. negyedévben maximum 15 000 munkaórát, a IV. negyedévben minimum 10 000 munkaórát kell

kihasználni Vetési terv: A I. X1 II. III. IV. I. X1 X2 II. X3 X4 X4 X5 X5 X6 X6 X7 C IV. X2 X3 B III. X7 X8 X8 X9 100 ha 150 ha X9 115 ha 80 ha A célfüggvény: z = 19 x1 + 25 x 2 + 19 x3 + + 3 x 4 + 5 x5 + 10 x6 + 6 x7 + + 18 x8 + 24 x9 max A korlátozó feltételek: x + x3 + x 4 + x7 ≤ 100 x1 + x 2 + x 4 + x5 + x8 ≤ 150 x1 + x 2 + x3 + x5 + x6 + x8 + x9 ≤ 115 x 2 + x3 + x 6 + x7 + x9 ≤ 80 100 x1 + 100 x3 + 60 x 4 + 60 x7 ≤ 15000 100 x 2 + 50 x3 + 60 x6 + 60 x7 + 140 x9 ≥ 10000 c x 19 25 z 15 3 5 10 24 #ÉRTÉK km 1 1 1 0 100 0 0 1 1 1 0 100 kbo #ÉRTÉK #ÉRTÉK #ÉRTÉK #ÉRTÉK #ÉRTÉK #ÉRTÉK 100 150 115 80 15000 10000 1 1 0 1 1 0 1 0 100 160 50 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 60 0 60 60 A megoldás: x 0 21,25 0 93,75 0 0 0 35 58,75 6 18 z 2852,5 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 140 7) Egy napra szükséges tápkeveréket kívánunk készíteni 7 különféle összetevő (A, B, C, D, E, F, G) felhasználásával úgy ,hogy

az összsúly a lehető legkisebb legyen, de teljesüljenek a táplálkozásra előírt feltételek: 1. A keverék napi adagjának energiatartalma min 9MJ és max 14 MJ lehet. 2. Az összes energiának legfeljebb 30%-a származhat zsírból 3. Az összes energiának legalább 12%-át fehérjéből kell biztosítani 4. A szénhidrát és a fehérje mennységének aránya ne legyen több, mint 3 Energiatartalom (MJ/kg): Zsír Fehérje Szénhidrát 17 40 17 Az egyes komponensek beltartalmi értékei: A B C D E F G Zsír kg/kg 0.1 0.04 Fehérje kg/kg 0.2 0.2 0.1 Szénhidrát kg/kg 1.0 0.2 0.02 1.0 0.5 0.2 A keverési terv:  x1  kg A  x  kg B  2  x3  kg C   x =  x 4  kg D  x5  kg E    x 6  kg F  x  kg G  7 A célfüggvény: z = x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 + x7 min A komponensek beltartalmi értékeit megadó mátrix: 0 1 0 0 0  0.1 004  B = 0.2 02 01 0 0 02 002  0 0 0 0 1 0.5 02

a keverék zsírtartalma (kg) 0.1x1 + 004 x 2 + x 4   m = B ⋅ x = 0.2 x1 + 02 x 2 + 01x3 + 02 x6 + 002 x7  a keverék fehérjetartalma (kg)   a keverék szénhidráttartalma (kg) x5 + 0.5 x6 + 02 x 7 A keverék energiatartalma (MJ): [40 17 17] ⋅ m = 40(0.1x1 + 004 x 2 + x ) + 17(02 x1 + 02 x 2 + 01x3 + 02 x 6 + 002 x7 ) + + 17( x5 + 0.5 x6 + 02 x7 ) = 74 x1 + 5 x 2 + 17 x3 + 40 x 4 + 17 x5 + 119 x6 + 374 x7 A keverék zsírból adódó energiatartalma (MJ): [40 0 0] ⋅ m = 40(0.1x1 + 004 x 2 + x 4 ) = 4 x1 + 16 x 2 + 40 x 4 A keverék zsírból adódó energiatartalma (MJ): [0 17 0] ⋅ m = 17(0.2 x1 + 02 x 2 + 01x3 + 02 x6 + 002 x7 ) = 34 x1 + 34 x 2 + 17 x3 + 34 x6 + 034 x 7 A keverékben lévő szénhidrát mennyisége: m3 A keverékben lévő fehérje mennyisége: m 2 A korlátozó feltételek: 7.4 x1 + 5 x 2 + 17 x3 + 40 x 4 + 17 x5 + 119 x6 + 374 x7 ≥ 9 7.4 x1 + 5 x 2 + 17 x3 + 40 x 4 + 17 x5 + 119 x6 + 374 x7 ≤ 14 4 x1 + 1.6 x 2

+ 40 x 4 ≤ 0.3 7.4 x1 + 5 x 2 + 17 x3 + 40 x 4 + 17 x5 + 119 x 6 + 374 x7 3.4 x1 + 34 x 2 + 17 x3 + 34 x6 + 034 x 7 ≥ 0.12 7.4 x1 + 5 x 2 + 17 x3 + 40 x 4 + 17 x5 + 119 x 6 + 374 x7 x 5 + 0.5 x 6 + 02 x 7 ≤3 0.2 x1 + 02 x 2 + 01x3 + 02 x6 + 002 x7 Az utóbbi három egyenlőtlenség átalakítása után a korlátozó feltételek végleges alakja: 7.4 x1 + 5 x 2 + 17 x3 + 40 x 4 + 17 x5 + 119 x6 + 374 x7 ≥ 9 7.4 x1 + 5 x 2 + 17 x3 + 40 x 4 + 17 x5 + 119 x6 + 374 x7 ≤ 14 1.78 x1 + 01x 2 − 051x3 + 28 x 4 − 51x5 − 357 x6 − 1122 x 7 ≤ 0 2.512 x1 + 28 x 2 + 1496 x3 − 48 x 4 − 204 x5 + 1972 x 6 − 01088 x7 ≥ 0 − 0.6 x1 − 06 x 2 − 03x3 + 1x5 − 01x6 + 014 x7 ≤ 0 c 1 x 1 z km kbo 7,4 7,4 1,78 2,512 -0,6 1 1 1 1 1,7 1,7 -0,51 1,496 -0,3 40 40 28 -4,8 0 17 17 -5,1 -2,04 1 11,9 11,9 -3,57 1,972 -0,1 3,74 3,74 -1,122 -0,1088 0,14 #ÉRTÉK! 5 5 0,1 2,8 -0,6 #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 1 9 14 0 0 0 A megoldás: x z 0

0 0 0,0675 0,046324 0,463235 0 kg D kg E kg F 0,577059 8) Takarmánytermesztési tervet kívánunk készíteni a termelési költség minimalizálása mellett. A termelendő takarmányféleségek takarmány búza kukorica * takarmány borsó lucerna * vörös here silókukorica * A *-gal megjelölt takarmányfélék több technológiai változatban termeszthetők Kukorica hagyományos, kézi művelésű (A) öntözetlen, istállótrágyázott, kézi művelésű (B) komplex gépesített, öntözetlen (C) nyomócsöves, félstabil öntözéses (D) hordozható berendezéssel öntözött (E) Lucerna öntözetlen (A) félstabil rendszerrel öntözött (B) hordozható berendezéssel öntözött (C) Silókukorica fővetésű (A) másodvetésű (B) Beltartalmi értékek: Takarmány búza Kukorica A B C D E Takarmány borsó Lucerna A B C Vörös here Silókukorica A B Keményítőérték (t/h ) 2.61 3.80 4.34 3.8 5.02 5.02 1.60 1.11 2.87 2.87 3.55 6.00 2.58 Emészthető fehérje

(t/ha) 0.35 0.34 0.39 0.34 0.45 0.45 0.43 0.41 1.08 1.08 0.97 0.44 0.15 Átlagos termés (t/ha) 3.65 4.87 5.56 4.87 6.43 6.43 2.26 3.69 9.57 9.57 10.44 40.72 19.14 Segédmunka igény (nap/ha) 2 17 17 3 5 7. 2. 2. 6 8 6 5. 4. Összes költség (Ft/ha) 5436 5704 6783 6435 10912 9318 5378 4481 10367 8709 10120 8651 3607 Az állattenyésztési ágazat igényei: Kukoricából legalább 2000 t és legfeljebb 2400 t szükséges és még hozzá kell számítani azt a 980 t kukoricát, amit a gazdaság a koncentrátumokért ad cserébe. Lucernából legalább 2150 t és legfeljebb 2475 t szükséges. A termesztést befolyásoló korlátok: Legalább Termőterület (ha) Öntözött terület (ha) Másodvetésű silókukorica (ha) Kézi műv. kuk összesen (ha) Segédmunka napokban 259 12 000 Legfeljebb 1360 460 57.5 12 000 A megtermelt évi takarmánynak tartalmaznia kell legalább 5120 t keményítőt és 640 t emészthető fehérjét. A vetési terv: Takarmány búza Kukorica A B C D

E Takarmány borsó Lucerna A B C Vörös here Silókukorica A B x1 ha x2 ha x3 ha x4 ha x5 ha x6 ha x7 ha x8 ha x9 ha x10 ha x11 ha x12 ha x13 ha : A beltartalmi értékek mátrixa 6 2.58  2.61 38 434 38 502 502 16 111 287 287 355 B= 0 0.35 034 039 034 045 045 043 041 108 108 097 044 015 a megtermelt takarnányban lévő keményítő mennyisége   B⋅x =   a megtermelt takarnányban lévő emészthető fehérje mennyisége A célfüggvény: z = 5436 x1 + 5704 x 2 + 6783 x3 + 6435 x 4 + 10912 x5 + 9318 x 6 + 5378 x 7 + 4484 x8 + 10367 x9 + + 8709 x10 + 10120 x11 + 8651x12 + 3607 x13 min A korlátozó feltételek: 3.65 x1 + 487 x 2 + 556 x3 + 487 x 4 + 643x5 + 643x 6 ≥ 2980 3.65 x1 + 487 x 2 + 556 x3 + 487 x 4 + 643x5 + 643x 6 ≤ 3380 3.69 x8 + 957 x9 + 957 x10 ≥ 2150 3.69 x8 + 957 x9 + 957 x10 ≤ 2475 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 ≤ 1360 x5 + x6 + x9 + x10 ≤ 460 x13 ≤ 57.5 x 2 + x3 ≥

259 2 x1 + 17 x 2 + 17 x3 + 3x 4 + 5 x5 + 7 x 6 + 2 x7 + 2 x8 + 6 x9 + 8 x10 + 6 x11 + 5 x12 + 4 x13 = 12000 2.61x1 + 38 x 2 + 434 x3 + 38 x 4 + 502 x5 + 502 x6 + 16 x 7 + 111x8 + 287 x9 + 287 x10 + 355 x11 + + 6 x12 + 2.58 x13 ≥ 5120 0.35 x1 + 034 x 2 + 039 x3 + 034 x 4 + 045 x5 + 045 x6 + 043 x7 + 041x8 + 108 x9 + 108 x10 + 097 x11 + + 0.44 x12 + 015 x13 ≥ 640 c 5436 x 5704 z 6783 6435 10912 9318 5378 4817 10367 8709 10120 8651 3607 4,87 4,87 0 0 1 0 0 0 3 3,8 0,34 6,43 6,43 0 0 1 1 0 0 7 5,02 0,45 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1,6 0,43 0 0 3,69 3,69 1 0 0 0 2 1,11 0,41 0 0 9,57 9,57 1 1 0 0 8 2,87 1,08 0 0 0 0 1 0 0 0 5 6 0,44 0 0 0 0 1 0 1 0 4 2,58 0,15 #ÉRTÉ km 3,65 3,65 0 0 1 0 0 0 2 2,61 0,35 kbo 4,87 4,87 0 0 1 0 0 1 17 3,8 0,34 5,56 5,56 0 0 1 0 0 1 17 4,34 0,39 #ÉRTÉ 2980 #ÉRTÉ 3380 #ÉRTÉ 2150 #ÉRTÉ 2475 #ÉRTÉ 1360 #ÉRTÉ 460 #ÉRTÉ 57,5 #ÉRTÉ 259 #ÉRTÉ 12000 #ÉRTÉ 5120 #ÉRTÉ 640 A megoldás: x z 0 455,4133 0 156,4964 0 0 0 0 0

258,6207 2,992341 340,3132 0 8831391 6,43 6,43 0 0 1 1 0 0 5 5,02 0,45 0 0 9,57 9,57 1 1 0 0 6 2,87 1,08 0 0 0 0 1 0 0 0 6 3,55 0,97 10) Egy cégnek három városban (V1, V2, V3) van tejüzeme, ahol vajat gyártanak. Négy különböző városban lévő szupermarketekbe szállítanak vajat (S1, S2, S3, S4) A szállítási költségek, az üzemek kapacitása, a szupermarketek kereslete: V1 V2 V3 Kereslet (egység/hó) S1 S2 S3 S4 7 8 5 150 6 10 6 300 10 4 5 300 3 9 11 200 S3 x3 x7 x11 S4 x4 x8 x12 Kapacitás (egység/hó) 300 400 250 Adjuk meg az optimális szállítási tervet. A szállítási terv: V1 V2 V3 S1 x1 x5 x9 S2 x2 x5 x10 A célfüggvény: z = 7 x1 + 6 x 2 + 10 x3 + 3x 4 + 8 x5 + 10 x6 + 4 x7 + 9 x8 + 5 x9 + 6 x10 + 5 x11 + 11x12 A korlátozó feltételek: x1 + x 2 + x3 + x 4 = 300 x5 + x6 + x7 + x8 = 400 x9 + x10 + x11 + x12 = 250 x1 + x5 + x9 = 150 x 2 + x6 + x10 = 300 x3 + x7 + x11 = 300 x 4 + x8 + x12 = 200 min c 7 x 6 z km 10 1 0 0 0

1 0 0 kbo #### #### #### #### #### #### #### 300 400 250 150 300 300 200 1 0 0 0 0 1 0 A megoldás: z 0 100 0 200 100 0 300 0 50 200 0 0 8 10 4 9 5 6 5 11 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 #### 1 0 0 1 0 0 0 x 3 4650 11) Egy cég két telephelyén gyártanak egy bizonyos terméket és ezt a terméket négy városba szállítják. A szállítási költségek ($/egység) T1 T2 Igény(egys./hét) V1 5 2 800 V2 7 6 800 V3 3 8 600 V4 10 5 900 Kapacitás(egys./hét) 1000 1500 A termék eladási ára városonként, illetve az előállítási költsége telephelyenként különböző: V2 28 V3 32 T1 Előállítási költség ($/egys.) 15 T2 13 Ár ($/egység) V1 30 V4 30 Adjuk meg azt a szállítási tervet, amely esetén a heti haszon maximális.(költség: előállítási költség+szállítási költség) . A szállítási terv: T1 T2 V1 x1 x5 V2 x2 x6

V3 x3 x7 V4 x4 x8 szk * = [5 7 3 10 2 6 8 5] fak * = [15 15 15 15 13 13 13 13] p * = [30 28 32 30 30 28 32 30] A célfüggvény: ( ) z = bev − kolts = p * ⋅ x − fak ⋅ x − szk ⋅ x = p − fak − szk ⋅ x max A korlátozó feltételek: x1 + x 2 + x3 + x5 = 1000 x5 + x6 + x7 + x8 = 1500 x1 + x5 ≤ 800 x 2 + x6 ≤ 800 x3 + x7 ≤ 600 x 4 + x8 ≤ 900 p fak szk 30 15 5 28 15 7 32 15 3 30 15 10 30 13 2 28 13 6 32 13 8 30 13 5 c 10 6 14 5 15 9 11 12 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 x z #ÉRTÉK! km 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 kbo #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 1000 1500 800 800 600 900 1 0 0 0 1 0 A megoldás: x z 200 200 600 0 600 0 0 900 31400 12) Három nagykereskedelmi raktárból (R1, R2, R3)kell egy bizonyos terméket négy szupermarketbe szállítanunk. Az egységnyi mennyiségre eső szállítási költségeket, a raktárakba rendelkezésre álló termék

mennyiségét és az egyes szupermarketek által igényelt mennyiségeket a következő táblázatban foglaltuk össze: SZ1 SZ2 SZ3 SZ4 Mennyiség R1 R2 R3 20 10 14 16 24 10 18 15 15 22 8 32 200 450 560 Rendelés 80 110 165 220 Adjuk meg a minimális szállítási költséggel járó szállítási tervet. A szállítási terv: R1 R2 R3 SZ1 SZ2 SZ3 SZ4 x1 x5 x9 x2 x6 x10 x3 x7 x11 x4 x8 x12 A célfüggvény: z = [20 16 18 22 10 24 15 8 14 10 15 32] ⋅ x min A korlátozó feltételek: x1 + x 2 + x3 + x 4 ≤ 200 x5 + x6 + x7 + x8 ≤ 450 x9 + x10 + x11 + x12 ≤ 560 x1 + x5 + x9 = 80 x 2 + x 6 + x10 = 110 x3 + x7 + x11 = 165 x 4 + x8 + x12 = 220 c 20 x 16 z km kbo 18 24 15 8 14 10 15 32 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ###### ###### ###### ###### ###### ###### ###### 200 450 560 80

110 165 220 z 0 0 0 0 80 0 0 220 0 110 165 10 ###### A megoldás: x 22 6135 13) Egy üzemben 4 nyersanyag felhasználásával három különböző terméket állítanak elő. Az egyes termékek 1 kg-jának nyersanyagigényét a táblázat mutatja. T1 T2 T3 NY1 (kg/kg) 1.25 NY2 (kg/kg) 2.7 1.5 NY3 (kg/kg) 2.2 1.6 NY4 (kg/kg) 0.3 4 2.0 A T1 termékből naponta legalább 120 kg-ot és legfeljebb 200 kg-ot állíthatnak elő. A T2 termékből napi 150 kg szállítására kötöttek szerződést. A T3 termékből napi 300 kg-nál nem termelhetnek többet. Az egyes nyers-anyagokból naponta maximálisan fel-használható mennyiségek rendre 600 kg, 850 kg, 500 kg és 1200 kg. Az egyes termékek eladási ára 430 Ft/kg, 500 Ft/kg, 400 Ft/kg. Adjuk meg a maximális árbevételt biztosító napi termelési tervet. A technológiai mátrix: 0 1.6 1.25  2.7 15 0  T=  0 2.2 0   4 2  0.3 p * = [430 500 1200] A termelési terv:  x1  T1 (kg)

x =  x 2  T2 (kg)  x3  T2 (kg) A célfüggvény: z = p * ⋅ x = 430 x1 + 500 x 2 + 400 x3 max A terv megvalósításához szükséges mennyiségek és a rájuk vonatkozó korlátozó feltételek:  1.25 x1 + 16 x3   600   2.7 x1 + 15 x 2   850   q = T⋅x =  ≤  2.2 x 2   500      0.3x1 + 4 x 2 + 2 x3  1200 További korlátozó feltételek: x1 ≥ 120 x1 ≤ 200 x 2 = 200 x3 ≤ 300 c 430 x 500 z 400 #ÉRTÉK! km 1,25 2,7 0 0,3 1 1 0 0 0 1,5 2,2 4 0 0 1 0 kbo #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 600 850 500 1200 120 200 200 300 1,6 0 0 2 0 0 0 1 A megoldás: x z 200 200 170 254000 14) Egy nagykereskedőtől egy bizonyos termékből 1200 darabot rendeltek, amit a következő 5 hónapban kell. leszállítania A terméket a nagykereskedő egy tételben tudta beszerezni 230 Ft-os egységáron. Szezonális cikkről lévén szó

az egyes hónapokban a nagykereskedő a következő eladási árakat fogja alkalmazni: 1. hónap 320 Ár (Ft/db) 2. hónap 350 3. hónap 400 4. hónap 300 5. hónap 480 Éves raktározási költségként a raktárkészlet értékének 20%-a számítandó fel. Raktárkészletnek a raktározási költségek szempontjából csak az számít, amely készlet az adott hónapban végig raktáron van. A kiszállítás minden hónap elején történik Havonta legfeljebb 500 darab terméket tud a nagykereskedő kiszállítani. A vevő az első és a második hónapban legalább 200-200 darabot , de legfeljebb 300-300 darabot igényel. Milyen ütemezés szerint szállítson a nagykereskedő, hogy a haszna a lehető legnagyobb legyen? A szállítási terv:  x1  db az 1. hónapban  x  db a 2. hónapban  2 x =  x3  db a 3. hónapban    x 4  db a 4. hónapban  x5  db az 5. hónapban A célfüggvény: z=bevétel - beszerzési költség -

raktározási költség max bevétel= 320 x1 + 350 x 2 + 400 x3 + 300 x 4 + 480 x5 beszerzési költség= 1200 ⋅ 230 = 276000 Raktározási költség 250 ⋅ 0.2 12 250 ⋅ 0.2 2. hónapban: r 2 = ( x3 + x 4 + x5 ) ⋅ 12 250 ⋅ 0.2 3. hónapban: r 3 = ( x 4 + x5 ) ⋅ 12 250 ⋅ 0.2 4. hónapban: r 4 = x5 ⋅ 12 z=bevétel - 276000 - raktározási költség 1. hónapban: r1 = ( x 2 + x3 + x 4 + x5 ) ⋅ A fenti függvénynek ugyanott van maximuma, mint a z’=bevétel - raktározási költség függvénynek. max A korlátozó feltételek: x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 = 1200 x1 ≤ 500 x 2 ≤ 500 x3 ≤ 500 x 4 ≤ 500 x5 ≤ 500 x1 ≥ 200 x1 ≤ 300 x 2 ≥ 200 x 2 ≤ 300 bev r1 r2 r3 r4 320 0 0 0 0 350 4,166667 0 0 0 400 4,166667 4,166667 0 0 300 4,166667 4,166667 4,166667 0 480 4,166667 4,166667 4,166667 4,166667 c 320 345,8333 391,6667 287,5 463,3333 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x km kbo z 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK!

#ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! #ÉRTÉK! 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1200 500 500 500 500 500 200 300 200 300 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A megoldás: x z 482333,3 200 200 300 0 500 A maximális haszon: 482333-276000=206333 Ft