Fizika | Felsőoktatás » BME Sörlei József - Fizika

FIZIKA BME Gépészmérnöki Kar főiskolai szintű képzés kísérleti jegyzet szerző: Sörlei József (Zalaegerszeg) 1 Mechanika 1. Kinematika 1.1 Matematikai alapismeretek Koordinátarendszerek Egy geometriai pont helyét ill. mozgását szükségszerűen mindig valamilyen más ponthoz viszonyítva, azaz egy bizonyos vonatkoztatási rendszerben tudjuk vizsgálni. Attól függően, hogy milyen adatokat (koordinátákat) használunk a matematikai leírásban, különféle koordinátarendszerekről beszélünk. Síkmozgás esetén ez lehet a már jól ismert síkbeli derékszögű koordináta-rendszer vagy az ún. polárkoordináta-rendszer A síkbeli polárkoordináta-rendszerben egy pont helyzetét az O (origó, pólus) ponttól mért távolság (r – P(r,ϕ) rádiusz) és egy, az origóból kiinduló félegyenessel (x tengely, polártengely) bezárt szög (ϕ – poláris szög) y r határozza meg. Az áttérés egyik rendszerből a másikra az alábbi összefüggések

segítségével történhet (1.1 ábra alapϕ ján): O y x r = x 2 + y 2 ; ϕ=arc tg x 1.1 ábra x=r⋅cosϕ; y=r⋅sinϕ z P(x,y.z) r k i O j x 1.2 ábra y A vektorokat félkövér betűvel jelöljük. A térbeli helyzet megadásához leggyakrabban a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszert használjuk. A P pontot a koordináta-tengelyekre eső merőleges vetületeivel, (x, y, z), írjuk le Az r helyvektort a tengelyek irányába mutató egységvektorokkal (i,j,k) a következőképpen kapjuk meg: r = x⋅i + y⋅ j+ z⋅k . Két vektor szorzata lehet skalár- vagy vektormennyiség. Skalárszorzat: a = b ⋅ c ≡ b⋅c⋅cosϕ, ahol b és c rendre a b és c vektorok nagysága (hossza) és ϕ a két vektor által bezárt szög. Innen következik, hogy két vektor skalárszorzata akkor is lehet zérus, ha egyikük sem nullvektor, amennyiben φ=90o vagy 270o. Továbbá 0o≤φ<90o és 270o< φ≤360o esetén a skalárszorzat pozitív, míg 90o>φ>270o

esetén negatív. Vektorszorzat: a = b × c (b kereszt c) olyan vektort eredményez, melynek nagysága a=b⋅c⋅sinϕ, iránya pedig a b és c vektorok által meghatározott síkra merőleges, és ha b-t a kisebb szög alatt c-be forgatjuk, a jobbmenetű csavar haladási irányával egyezik meg. A tényezők sorrendje nem cserélhető fel, mert akkor az eredmény iránya megváltozik: b × c = −c × b . Nyilvánvaló, hogy két párhuzamos állású vektor vektoriális szorzata nullvektort eredményez. A későbbiekben többször kihasználjuk majd, hogy az így definiált szorzat műveletekre a vektorok összeadásával és számmal való szorzásával kapcsolatban ugyanolyan szabályok (kommutativitás, asszociativitás) állnak fent, mint a számok halmazán értelmezett szorzás esetében. 2 Differenciálszámítás A fizikában gyakran valamely mennyiség (y) változását vizsgáljuk egy másik mennyiség (x) függvényében. A változást a görög delta (∆) betűvel

jelöljük, ami matematikailag különbséget jelent úgy, hogy a mennyiség későbbi értékéből kivonjuk a korábbi értékét A két menynyiség megváltozásának hányadosa a differenciahányados, ∆y/∆x Ha a független változó megváltozása (∆x) nagyon kicsi (differenciálisan kicsi), akkor a változást d betűvel jelöljük és a dy/dx hányados dx0 határértékét differenciálhányadosnak nevezzük. A derivált függvény megadja a differenciálhányadosokat a független változó függvényében. Az f függvény deriváltját f’-vel jelöljük Egy mennyiség idő szerinti deriváltját a fölé írt ponttal is szokás jelölni (pl.: r& ) Fontosabb deriválási szabályok: Konstans függvény deriváltja: Ha f(x)=c, akkor f’(x)=0 Függvények összegének deriváltja: (f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x) Hatványfüggvény deriváltja: Ha f(x)=xn, akkor f’(x)=n⋅xn-1 Konstanssal szorzott függvény deriváltja:Ha f(x)= c⋅g(x), akkor f’(x)=c⋅g’(x)

Alapvető trigonometrikus függvények deriváltja: Ha f(x)=sinx, akkor f’(x)=cosx, ha f(x)=cosx, akkor f’(x)=–sinx Közvetett függvény deriváltját úgy kapjuk meg, hogy a belső függvény deriváltját szorozzuk a külső függvény deriváltjával (pl.: ha f(x)=sin(k⋅x), akkor f’(x)=k⋅cos(k·x) Egy függvény adott pontban vett érintőjének meredekségét a derivált függvény helyettesítési értéke adja meg. Integrálszámítás Az integrálás a differenciálás inverze: azon F függvényt, melyre fennáll, hogy F’(x) = f(x), az f határozatlan integráljának nevezzük és az F(x)= ∫f(x)dx kifejezéssel jelöljük. Ha egy függvényhez egy konstanst hozzáadunk, akkor az eredeti függvény deriváltja egyenlő a konstanssal bővített függvény deriváltjával, ezért F(x) csak egy konstans erejéig meghatározott. Nyilvánvaló viszont, hogy az F függvény bármely két pontban felvett értékének különbsége, F(a,b)≡F(a)-F(b), egyértelműen

adott. Ezért az F(a,b) mennyiséget az f függvény (a,b) szakaszon vett határozott integráljának nevezzük Az összegzést a görög Σ betűvel jelöljük, és a jelentésének megfelelően ’szummá’-nak mondjuk. Ha valamely függvény alatti területet akarjuk kiszámítani az (a,b) szakaszon, akkor az x tengely megfelelő részét feloszthatjuk ∆x szakaszokra, és a területet közelíthetjük az f(x) magasságú és ∆x szélességű téglalapok területének összegével. Egy téglalap területe f(x)·∆x, n így az összeg ∑ f(xi)·∆x, ahol az (a,b) szakaszt n egyenlő részre osztottuk fel. Ha a felosz- i =1 tást differenciálisan kicsi dx intervallumokat véve finomítjuk, akkor könnyen belátható, hogy a függvény alatti területet a függvény határozott integrálja adja meg: b F (a, b) = ∫ f ( x)dx . a Fontosabb függvények határozatlan integrálja: x n +1 n Hatványfüggvény integrálja: ∫ x dx = n ≠ −1; n +1 Trigonometrikus

függvények integrálja: ∫ cos x = sin x, 3 1 ∫ x dx = ln x ∫ sin x = − cos x 1.2 Az anyagi pont mozgásának kinematikai jellemzése A kinematika a mechanikának olyan része, ami a mozgások időbeli lefolyását vizsgálja, de nem foglalkozik a mozgást okozó hatásokkal. A test anyagi pontnak tekinthető, ha kiterjedése a mozgásra jellemző egyéb méretek (a pálya hoszza) mellett elhanyagolható. Pálya: A mozgó pont által leírt görbe. Az origóból a testhez mutató helyvektor végpontja is ezen mozog. A pályaegyenlet ezt a görbét adja meg A testek pályája lehet kötött (pl: vasúti sín, úthálózat, versenypálya), vagy szabad (pl.: elhajított kő, Föld körül keringő űrhajó) Ívhossz: egyirányú mozgás esetén azon pályaszakasz hossza, melyen az anyagi pont végighaladt. Út: (előjeles skalár mennyiség) , az anyagi pont mozgása során egy adott idő alatt mért pályamenti távolság. Jele: s, mértékegysége az 1 méter [m] Görbe

vonalú mozgásnál a görbét egy adott hely kicsiny környezetében a simulókörével helyettesíthetjük (1.3 ábra) Ez a pálya legnagyobb sugarú kör, ami az adott pontban (a konvex oldalról) érinti a görbét. A pálya görbülete a simulókör sugarának reciproka: G=1/R [1/m] simulókör A szögelfordulás mértékegysége SI mértékrendszerben a R radián [rad]. Általános görbevonalú mozgás esetén a szöget kicsiny elmozdulás során tudjuk értelmezni úgy, hogy az ív1.3 ábra hosszt elosztjuk a sugárral: ϕ=i/R=s/R [m/m]=[1] =[rad]. Körmozgás esetén természetesen tetszőleges idejű mozgásra értelmezhető a szögelfordulás y Az elmozdulásvektor a mozgás vizsgált részének kezdőpontjából a végpontjába mutató vektor. Ezt úgy kaphatjuk meg, ∆r r(t) ha a t+∆t időpontban levő helyvektorból r (t + ∆t ) kivonjuk a t r(t+∆t) időpontbeli helyvektort r (t ) : 1.4 ábra x ∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) 1.21 Sebesség Az átlagsebesség a

megtett összes út és a közben eltelt idő hányadosa, skalár mennyiség: ∆si s i v= = [m/s] . t ∑ ∆t i i y ∆r2 ∆r1 x 1.5 ábra A pillanatnyi sebességet megkapjuk, ha a nagyon rövid idő alatt vett elmozdulásvektort elosztjuk ∆r a közben eltelt idővel: v = . Az 15 ábrán látható, ∆t hogy ha egyre rövidebb időtartamokat veszünk, akkor ∆r , következésképpen v iránya egyre jobban közeledik az érintő felé. Pontosabban fogalmazva a pillanatnyi sebesség egyenlő az elmozdulás vektor idő szerinti első deri- 4 dr = r& dt A pillanatnyi sebesség nagyságát a megtett út idő szerinti első deriváltja adja: v=ds/dt= s& . A sebességvektor koordinátáit a helykoordináták idő szerinti első deriváltjai határozzák meg: váltjával: v= vy=dy/dt= y& vx=dx/dt= x& vz=dz/dt= z . Ha ismerjük a mozgás v(t) sebesség-idő függvényét, akkor a deriválás és integrálás kapcsolata alapján (l. 11 pont) a ta és tb

időpillanatatok közötti elmozdulást a következőképpen számíthatjuk ki: n r (t b ) − r (t a ) = ∑ v (t i )∆t i =1 (t1 = t a , t 2 = t a + ∆t ,K, t n = tb ) tb ill. r (t b ) − r (t a ) = ∫ v (t )dt , ahol r (ta ) az anyagi pont helyvektora a ta időpillanatban. Koordinátákként kiírva, n x(tb ) − x(ta ) = ∑ v x (ti )∆t i =1 n y (tb ) − y (ta ) = ∑ v y (ti )∆t i =1 ta n z (tb ) − z (ta ) = ∑ v z (ti )∆t i =1 ill. tb x(t b ) − x(t a ) = ∫ v x (t )dt n y (t b ) − y (t a ) = ∑ v y (t i )∆t i =1 ta n z (t b ) − z (t a ) = ∑ v z (t i )∆t . i =1 Az elmozdulás bármely derékszögű komponense tehát az adott sebességkomponens-idő függvény alatti (előjeles) területtel egyezik meg. ( A területet oly módon kell értelmezni, hogy a tengelyekkel párhuzamos távolságokat a tengelyeken levő fizikai mennyiségekkel azonosítjuk!) Nyilvánvaló, hogy valamely tengelyre vonatkoztatva visszafelé történő

mozgásnál az elmozdulás negatív értéket is felvehet. Ezzel szemben a megtett út nemnegatív mennyiség, melyet a tb n s = ∑ v(t i )∆t ill. i =1 s = ∫ v(t )dt , ta kifejezések definiálnak, ahol v(t)=|v(t)|. 1.22 Gyorsulás A gyorsulás a sebességváltozás és a közben eltelt idő hányadosa, a sebességváltozás irányába ∆v a= [m/s2] mutató vektor: ∆t Ha differenciálisan kicsi változásokat v1 veszünk, akkor azt mondhatjuk, hogy a gyorsulás a sebesség idő szerinti első deriváltja, ill. az elmozdulás idő szerinv1 ti második deriváltja: ∆ vi dv d 2r & & & a=r= 2 . a=v= v1 dt dt ∆v v2 v2 Mivel a sebességnek a nagysága és az iránya is változhat, célszerű a gyorsulást komponensenként meghatározni. Az 1.6 ábrán látható, hogy ha a görbe vonalú pályán mozgó test sebességének ∆vt 1.6 ábra 5 a nagysága és iránya is változik, akkor a ∆v sebességváltozás összetehető egy csak a nagyság

változásából származó ∆vt, és egy, az irány változásából származó ∆vi komponensből. A nagyság változásából származó gyorsuláskomponens érintő irányú (tangenciális). d v dv ∆v t . A tangenciális gyorsulás nagysága: at = ill. at = = ∆t dt dt A sebesség irányának változáv 1 sából származik a centripetális v1 gyorsulás. ∆ϕ ∆v2 v ∆ϕ Az 1.7 ábra alapján belátható, 2 v2 v3 hogy ha a ∆t időtartamot rövidítR jük, akkor a ∆v sebességváltozás ∆v3 iránya a kezdeti sebesség irányára merőleges lesz. v3 Ha a sebesség nagyságát v-vel jelöljük, akkor kis szögelfordulás esetén ∆ϕ=∆s/R≈∆v/v. Ebből a 1.7 ábra sebességváltozás: ∆v=∆s⋅v/R. Mindkét oldalt ∆t-vel osztva, és annak figyelembe vételével, hogy v=∆s/∆t, a centripetális gyorsulás nagyságára v2 acp = R adódik. Ugyanakkor az 17 ábrából az is nyilvánvaló, hogy a centripetális gyorsulás a görbületi kör középpontja felé

mutat Ha ismerjük az anyagi pont gyorsulását az idő függvényében, akkor a sebességet a gyorsulás idő szerinti integrálja adja meg. Az integrálási konstans értékét a kezdeti feltétel, azaz a kezdősebesség határozza meg: tb v(t b ) = v(t a ) + ∫ a(t )dt . ta Ismételten koordinátákként kiírva, tb v x (t b ) = v x (t a ) + ∫ a x (t )dt ta tb v y (t b ) = v y (t a ) + ∫ a y (t )dt ta tb v z (t b ) = v z (t a ) + ∫ a z (t )dt , ta tehát a sebességkomponensek megváltozását a gyorulás-idő függvény alatti (előjeles) terület adja meg. Amennyiben csak a sebesség nagyságának megváltozására vagyunk kiváncsiak, elegendő a tangenciális gyorsulást ismerni az idő függvényében, tb v(t b ) = v(t a ) + ∫ a t (t )dt . ta 1.3 Speciális mozgások kinematikai vizsgálata 1.31 Galilei transzformáció Vizsgáljuk meg a mozgások kinematikai jellemzőit egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerekben.Legyen adott egy K

koordinátarendszer, amelyben a mozgó test helyvektora r (t ) A K-hoz képest csak haladó mozgást (transzláció) végző K’ rendszerben a mozgó test helyvektora r ′(t ) . K rendszerből nézve K’ origójának helyvektora r0 (t ) 6 A 2.1 ábra alapján látható, hogy r (t ) = r0 (t ) + r (t ) . Az összegfüggvény deriválására vonatkozó szabály szerint, r& (t ) = r&0 (t ) + r& (t ) , azaz v (t ) = v 0 (t ) + v (t ) , tehát a sebességvektorok összeadódnak. Újabb differenciálás után kapjuk, hogy a gyorsulásvektorok is összeadódnak: a(t ) = a 0 (t ) + a (t ) . y’ y r’(t) r0(t) x’ r(t) 2.1 ábra x 1.32 Egyenes vonalú egyenletes mozgás v s t t 2.2 ábra Az jellemzi, hogy a sebességvektor állandó, a gyorsulása zérus. Az átlagsebesség egyenlő a pillanatnyi sebesség nagyságával. A megtett út egyenlő az elmozdulás nagyságával: s=v⋅t . 1.33 Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás Akkor jön létre,

ha a gyorsulásvektor állandó, és a kezdősebesség a gyorsulással egy egyenesbe esik: a =áll. Idő szerint integrálva kapjuk a sebességet: t v (t ) = v 0 + ∫ a ⋅ dt = v 0 + a ⋅ (t − t 0 ) , t0 ill. skalár alakban: v(t) = v0 + aּ(t - t0) , ahol v0 a t0 időpillanatban mért kezdősebesség, v(t0) = v0 Az elmozdulás a sebesség idő szerinti integrálja: t t t t0 t0 t0 r (t ) = r0 + ∫ v (t )dt = r0 + ∫ v 0 dt + ∫ a ⋅ (t − t 0 )dt 1 = r0 + v 0 (t − t 0 ) + a ⋅ (t − t 0 ) 2 , 2 ami skalár alakban a megtett utat adja: 1 s (t ) = v 0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 ) 2 . 2 7 A mozgás út – idő, sebesség – idő és gyorsulás – idő függvényeit a 2.3 ábrán látjuk s a v v0 t 2.3 ábra t t0 t t A megtett út kiszámítható a sebesség – idő függvény alatti terület segítségével is: v +v s= 0 ⋅ (t − t 0 ) . 2 1.34 Hajítások A hajítás olyan mozgás, melynek gyorsulásvektora állandó, nagysága

g=9,81m/s2≈10m/s2, iránya függőlegesen lefelé mutat. A legegyszerűbb hajítás a szabadesés, ami kezdősebesség nélküli esetben jön létre. Tehát egy g gyorsulású egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás függőlegesen lefelé. A függőleges hajítás is egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás, de van függőleges kezdősebessége. Fölfelé hajításnál a kezdősebesség a gyorsulással ellentétes irányú és ellentétes előjelű, lefelé hajításnál pedig azonos irányúakFüggőlegesen felfelé hajításkor a test pillanatnyi sebessége a keydőpillanatot zérusnak választva: v = v 0 − g ⋅ t ,a kezdőponttól mért magasság: y = v 0 ⋅ t − g ⋅ t 2 / 2 . Az emelkedés idejét abból a feltételből kapjuk meg, hogy a legmagasabb pontban a pillanatnyi sebesség nulla: t e = v 0 / g . Az emelkedés magassága pedig y max = v 02 / 2 g . A ferde hajítás összetehető egy vízszintes irányú egyenes vonalú egyenletes és egy függőleges

irányú egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásból. Ferdén fölfelé hajításnál a 2.4 ábra alapján írhatjuk, hogy v0x = v0 cosα és v0y = v0 sinα , t idő alatt az x irányú elmozdulás x = v0x t = v0 cosα t , az y irányú elmozdulás pedig y = v 0 y ⋅ t − g ⋅ t 2 / 2 = ⋅v 0 sin α ⋅ t − g ⋅ t 2 / 2 . y v0 v0y α 0 v0x x 2.4 ábra y= ill. v0y v0x Ez a pálya idő-paraméteres egyenletrendszere. Ebből t kiküszöbölésével kapjuk a pályaegyenletet: g x2 x− ⋅ 2 , 2 v0x g x2 y = x ⋅ tgα − ⋅ 2 . 2 v 0 cos 2 α A függőleges sebesség vy = v0y – g t = v0 sinα– g t . 8 A emelkedés idejét abból a feltételből kapjuk meg, hogy a pálya legmagasabb pontján a függőleges sebesség zérus: te= v0 sinα /g . Innen a maximális emelkedés, y = v 02 sin 2 α / 2 g , és az ezalatt vízszintes irányban megtett távolság, x = v 02 cos α sin α / g = v 02 sin 2α / 2 g . Egy adott pontban a pálya görbületét úgy

határozhatjuk meg, hogy először kiszámítjuk ott a sebességének a vízszintes és a függőleges komponensét. A vx 2.5 ábra alapján gn ϕ tg ϕ = vy / vx . vy ϕ A gravitációs gyorsulás vektorát pedig felbontjuk tangenciális és normális (érintő irányú és rá merőleg t ges) komponensekre. A normális irányú komponens g a centripetális gyorsulás: és gn = v2/R gn = g⋅cosϕ Ezekből a görbület: 1 g ⋅ cos ϕ 2.5 ábra G= = . R v2 1.35 Egyenletes körmozgás A mozgás pályája kör, és a sebesség nagysága állandó. Periódusidő (T): egy körülfordulás ideje Fordulatszám (f; n):megadja az időegység alatt megtett fordulatok számát: f = 1/T [1/s] A gyakorlatban használják az 1/min mértékegységet is, amit rpm-mel is szoktak jelölni (rot per min= fordulat /perc). Az egyenletes körmozgás sebessége (kerületi sebesség vagy pálya menti sebesség): v = s / t = 2⋅R⋅π / T . A körmozgás vizsgálatánál célszerű

polár-koordinátarendszert használni, mivel a sugár R=állandó. A szögelfordulás egyenesen arányos az eltelt idővel Szögsebesség (ω): a szögelfordulás idő szerinti első deriváltja, dϕ ∆ϕ ill. = ϕ& [1/s] . ω= ω= ∆t dt A szögsebességet szokás vektormennyiségként is definiálni. Iránya a kör síkjára merőleges, és a jobb kéz szabállyal állapítható meg: ha a jobb kezünk 4 ujját a szögelfordulás irányába teszszük, akkor a kinyújtott hüvelykujjunk mutatja a szögsebesség irányát. (Az óramutató járásával ellentétes irányú forgás esetén a szögsebesség vektor felénk mutat) Tetszőleges görbevonalú mozgás esetén a pillanatnyi szögsebesség általános definíciója: 1 ω = n× v , R ahol R a görbületi sugár, n a görbületi kör középpontjából a pálya adott pontjába mutató egységvektor, v pedig a pillanatnyi sebességvektor. 2 ⋅π = 2 ⋅π ⋅ f . Egyenletes körmozgásnál a szögsebesség állandó és ω =

T A szöghelyzet a szögsebesség idő szerinti integrálja: 9 t ϕ = ϕ 0 + ∫ ω (t )dt = ϕ 0 + ω (t − t 0 ) , t0 ahol a kezdeti t0 időpillanatban vett szöghelyzet ϕ 0 . A kerületi sebesség a fenti kifejezések figyelembevételével v = R⋅ω . Az egyenletes körmozgás gyorsuló mozgás, mert változik a sebesség iránya. A centripetális gyorsulás a kör közepe felé mutat, és a már ismert képlettel számítható ki: v2 . a cp = R 1.36 Egyenletesen gyorsuló körmozgás A mozgás pályája kör, és a tangenciális gyorsulása állandó. Polár-koordinátarendszerben vizsgálva a mozgást bevezethetjük a szöggyorsulás fogalmát, ami ennél a mozgásnál szintén állandó. A szöggyorsulás (β) a szögsebesség idő szerinti első deriváltja, ∆ω dω 1 β= ill. β= = ω&  2  . ∆t dt s  A szögsebességet megkapjuk a szöggyorsulás idő szerinti integrálásával, t ω (t ) = ω 0 + ∫ β (t )dt = ω 0 + β (t − t 0 ) , t0

ahol ω0 a kezdeti szögsebesség. A szögelfordulás (szöghelyzet) a szögsebesség idő szerinti integrálásával számítható, 1 ϕ (t ) = ϕ 0 + ω 0 (t − t 0 ) + β (t − t 0 ) 2 , 2 ahol ϕ0 a kezdeti szöghelyzet. A megtett út és a sebesség az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásnál használt összefüggésekkel számítható ki azzal a különbséggel, hogy a gyorsulás itt a tangenciális (érintő irányú) gyorsulás. A haladó mozgás és a szögjellemzők kapcsolata: s = Rϕ v = Rω at = Rβ , azaz minden esetben a sugár az arányossági tényező. Az egyenletesen változó körmozgásnak a tangenciális gyorsuláson kívül van centripetális gyorsulása is: acp v2 at = R⋅ω2 . a cp = a R R Az eredő gyorsulás a 2.6 ábra alapján a Pitagorasz –tétel segítségével számítható ki: a = at2 + a cp2 2.6 ábra 1.37 A harmonikus rezgőmozgás A rezgés tágabb értelemben egy fizikai mennyiség egyensúlyi helyzet körüli ingadozása. Villamos

rezgés például a hálózati váltakozó feszültség. Mechanikai rezgést végez a rugóra akasztott test, ha egyensúlyi helyzetéből kitérítjük és magára hagyjuk. Harmonikus rezgésről beszélünk, ha a kitérés az időnek szinuszos függvénye. 10 A harmonikus rezgés jellemzői: Kitérés (y): Az egyensúlyi helyzettől mért távolság. Amplitúdó (A): A legnagyobb kitérés. Periódusidő (T): Egy teljes rezgés ideje (Egy teljes rezgés két, egymást követő azonos fázisú állapot között megy végbe. Az azonos fázis azt jelenti, hogy a rezgő test ugyanott van, és ugyanabba az irányba mozog.) Frekvencia (f): Megadja az időegység alatti rezgések számát. 1 [1/s=Hz] f = T Körfrekvencia (ω): A frekvencia 2⋅π-szerese, ω=2⋅π⋅f = 2⋅π / T [1/s] Minden harmonikus rezgéshez található egy olyan egyenletes körmozgás, amelynek a merőleges vetülete együtt mozog a rezgő testtel. R A α y 2.7ábra A 2.7 ábrán az α szöghöz tartozó

y kitérés a körmozgás alapján: y=R⋅sinα, de R=A és α=ω⋅t, így a rezgés kitérése: y(t)=A⋅sin(ω⋅t) . Ha a t = 0 időpontban a kitérés nem zérus, akkor y(t)=A⋅sin(ω⋅t+ϕ0) , ahol ϕ0 a kezdeti fázis. A kitérés idő szerinti első deriváltja adja a sebességet, v(t)= y& (t ) = A⋅ω⋅cos(ω⋅t+ϕ0) , ahol a legnagyobb sebesség: vmax = A⋅ω . A sebesség idő szerinti deriváltja a gyorsulás, a= –A⋅ω2⋅sin(ω⋅t+ϕ0) ahol a legnagyobb gyorsulás: amax = A⋅ω2 . Nyilvánvalóan fennáll az a = – ω2⋅y összefüggés, azaz a gyorsulás (és, mint nemsokára látni fogjuk, a mozgást létrehozó erő is) a kitéréssel egyenesen arányos és ellentétes irányú. 11 2. Dinamika 2.1 Inerciarendszer Dinamika: A mozgást okozó hatásokat kutatja. A testeket most tömegpontoknak tekintjük, ami azt jelenti, hogy a kiterjedésüket elhanyagoljuk, de a tömegüket figyelembe vesszük A mozgásokat mindig valamilyen vonatkoztatási

rendszerben vizsgáljuk. Az inerciarendszer olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a meglökés után magára hagyott pontszerű test egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. Ilyen rendszernek tekinthető az állócsillagokhoz rögzített koordinátarendszer A legtöbb esetben a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer is ilyennek tekinthető Egy inerciarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző rendszer is inerciarendszer. (Ez igaz akkor is, ha a két rendszer relatív sebessége megközelíti a fénysebességet, csupán az előző fejezetben tárgyalt Galilei transzformációt kell ’lecserélnünk’ az ún. Lorentz transzformációra) A dinamika alaptörvényei inerciarendszerben érvényesek. 2.2 A dinamika alaptörvényei (Newton törvényei) 2.21 A dinamika I alaptörvénye Ezt a törvényt tehetetlenségi törvénynek is szokás nevezni: Minden test nyugalomban marad, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez a kezdeti állapotától

függően mindaddig, amíg valamely más testtel való kölcsönhatása annak megváltoztatására nem kényszeríti. Ez azt jelenti, hogy a nyugalom és az egyenesvonalú egyenletes mozgás dinamikai szempontból megkülönböztethetetlen. Más megfogalmazásban: Minden test nyugalomban marad, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez a kezdeti állapotától függően mindaddig, amíg a ráható erők eredője nulla. v = állandó , ha ΣF = 0 Matematikai formában: Ha az állandó zérus, akkor nyugalomban van a test. A fenti törvény felfedezése azért volt nehéz feladat, mert azt tapasztaljuk, hogy az ellökött és „magára hagyott” test megáll. A valóságban azonban az ilyen test csak látszólag magára hagyott, ténylegesen kölcsönhatásban van a talajjal, a súrlódás fékezi le. 2.22 A dinamika II alaptörvénye Ahhoz, hogy egy test mozgásállapotát megváltoztassuk, egy másik testtel való kölcsönhatásra van szükség, melyet kvantitatíven erőként

értelmezünk. Az erő vektormennyiség, mérése különböző fizikai hatásokon keresztül lehetséges. A tapasztalat szerint ugyanazon a testen nagyobb erő nagyobb gyorsulást hoz létre. Ugyanakkora erő viszont a különböző testeket általában különböző mértékben gyorsítja – pl ha egy azonos mértékben összenyomott rugóval különböző testeket ellökünk. A testek tehetetlenségének a mértéke a tömeg, jele: m, mértékegysége 1 kg. Az a test tehetetlenebb, amelyik ugyanakkora erő hatására kevésbé gyorsul. A dinamika II. alaptörvénye, az erő értelmezése: A testre ható erő egyenesen arányos az általa okozott gyorsulással, és az arányossági tényező a test tehetetlen tömege. Az erő és a gyorsulás egyirányúak: F = m⋅a . Ezt az egyenletet mozgásegyenletnek is nevezik. 12 Ezen törvény lehetőséget ad a tömeg mérésére anélkül, hogy az erőhatást konkrétan ismernénk. Ha ugyanis különböző testeket azonos erővel

gyorsítunk, akkor F=m1⋅a1 és F=m2⋅a2. Ebből a gyorsulások mérésével meghatározhatjuk a tömegek arányát: m1 a 2 = . m2 a1 Ha az m2 tömeget egységnyinek választjuk, akkor egy tetszőleges test tömege az előbbi összefüggés alapján meghatározható. A tömeg egységének az 1dm3 térfogatú 4,2 °C hőmérsékletű desztillált víz tömegét választották, és 1kg-nak nevezték el. Etalonja egy platina-iridium ötvözetből készült henger, amit Sevres-ben őriznek Ha a tömeg egységét megválasztottuk, akkor az erő mértékegysége a fenti egyenlettel ugyancsak rögzíthető. Megállapodás szerint, az egységnyi erőhatás 1 kg tömeget 1 m/s2 gyorm 1 newton. sulással mozgat. Az erő mértékegysége tehát 1 kg ⋅ 2 =1 N s m Sűrűség A test tömegének és térfogatának hányadosa az átlagos sűrűség: ρ = mérV kg tékegysége az 1 3 . A helyi (lokális) sűrűség az anyag egy infinitezimális, dm tömegű és dV m dm térfogatú, darabjára

vonatkozik: ρ (r ) = , és az anyagon belül helyről helyre változhat. dV 2.23 A dinamika III alaptörvénye Hatás - ellenhatás (akció - reakció) törvénye: Ha egy test erőt fejt ki a másikra, akkor az visszahat az elsőre. Ez a két erő közös hatásvonalú, egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, és a két különböző testre hat: F1, 2 = −F2,1 ., ahol F1,2 az 1-es test által a 2-es testre kifejtett erőt, F2,1 pedig a 2-es test által az 1-es testre kifejtett erőt jelöli. Felmerülhet a kérdés, hogy akkor miért a ló húzza el a kocsit, és miért nem a kocsi a lovat? Erre a kérdésre a harmadik test, a talaj figyelembevételével adhatjuk meg a választ. A ló és a kocsi egymásra egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erőt fejt ki. A ló azonban nyomja a talajt hátrafelé a lábával, ezért a talaj ugyanakkora erővel nyomja előre a lovat. Ha ez az erő nagyobb, mint amit a kocsi fejt ki a lóra, akkor a ló előrefelé fog haladni

(gyorsulni). 2.24 A dinamika IV alaptörvénye Szuperpozíció elv, az erőhatások függetlenségének elve: Ha egy testre több erő hat (Fi , i=1,,n) akkor a test gyorsulását megkaphatjuk úgy, hogy az egyes erők által okozott gyorsulásvektorokat összegezzük, vagy először meghatározzuk az erők vektori összegét, az eredő erőt, és ezzel számítjuk a test gyorsulását: n ∑F i =1 i = m⋅a Mivel az erők egymástól függetlenül fejtik ki hatásukat, ezért több erőt helyettesíthetünk a vektori összegével (eredő erő), vagy egy erőt vektori összetevőivel. Mindig a számunkra kedvezőbb, egyszerűbb eljárást választjuk Pl. a ferde hajításnál a vízszintes és függőleges irányú mozgás a függetlenségi elv miatt vizsgálható külön Ha egy testet felemelünk, akkor viszont a gyorsulása úgy határozható meg 13 egyszerűen, hogy először kiszámítjuk az eredő erőt (ΣF=Femelő-m⋅g), és ezzel számítjuk a mozgásegyenletből a

gyorsulást. Impulzus (lendület; mozgásmennyiség): a test tömegének és sebességének szorzata, a sebesség irányába mutató vektormennyiség. I = m ⋅ v , mértékegysége: kg⋅m/s Ha a mozgásegyenletbe behelyettesítjük a gyorsulás differenciális értelmezését, ∆v ∑ F = m ⋅ a = m ⋅ ∆t , akkor átrendezve kapjuk, hogy ∑ F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v = ∆(m ⋅ v) = ∆I . Az egyenlet bal oldalán álló mennyiséget lökésnek nevezzük. Pl: a bobosok annál nagyobb lökést fejtenek ki a bobra, minél nagyobb erőt képesek kifejteni rá, és minél hosszabb ideig hat az erő. A jobb oldalon álló mennyiség a test lendületváltozása Az így kapott törvényt lendület-tételnek nevezzük, mely szerint tehát egy test lendületének megváltozása egyenlő a rá ható erők lökésével. 2.3 A dinamika alaptörvényei a mozgásmennyiség alapján Vizsgáljunk olyan kölcsönhatást, amelyben csak két test vesz részt (párkölcsönhatás). Ilyenkor a két

test sebességváltozása mindig ellentétes irányú. A tehetetlenebb test sebességváltozása kisebb Párkölcsönhatásban a testek tömegének és sebességváltozásának szorzata egyenlő nagyságú, vagyis: m1 ⋅ ∆v 1 = − m2 ⋅ ∆v 2 m1 ⋅ ∆v 1 + m2 ⋅ ∆v 2 = 0 ∆I 1 + ∆I 2 = 0 . Ez azt jelenti, hogy párkölcsönhatás esetén az impulzusok vektori összege állandó, hiszen a lendületváltozások összege nulla. Ez a lendület-megmaradás törvénye Azt a hatást, amikor egy test megváltoztatja a másik test mozgásállapotát, erőhatásnak nevezzük. Az erő mértéke az általa okozott impulzusváltozás sebessége, valamint az erő és az impulzusváltozás egyirányúak: dI & F= =I . dt Ha ide beírjuk a lendület értelmezését, és figyelembe vesszük, hogy a tömeg állandó és ezért a differenciáláskor kiemelhető, akkor dv F = m⋅ = m⋅a , dt vagyis visszakaptuk Newton II. törvényét dv = 0 , amiből következik, hogy v = állandó ,

vagyis megkaptuk Ha m≠0 és F=0, akkor dt Newton I. törvényét: Két test kölcsönhatásánál m1 ⋅ dv 1 = − m2 ⋅ dv 2 .Mindkét oldalt dt-vel osztva kapjuk Newdv = F , tehát F1, 2 = −F2,1 : ton III. törvényét, mert m ⋅ dt Szuperpozíció (Newton IV. törvénye): A tapasztalat szerint ha egy testre több erő hat, akkor azok hatásai egymást nem zavarva összegződnek: F = I& . 14 2.4 Erőtörvények 2.41 Gravitációs erő (tömegvonzás) Minden test a másikra a tömegeikkel (m1, m2) egyenesen arányos vonzóerőt fejt ki. Ez az erő fordítottan arányos a pontszerű testek közötti távolság (r) négyzetével. Pontszerűnek tekinthetjük a testeket ilyen szempontból, ha a köztük lévő távolsághoz képest a testek mérete kicsi. m ⋅m m ⋅ m r1, 2 m ⋅m ill. vektorosan: F1, 2 = − f ⋅ 1 2 2 ⋅ = − f ⋅ 1 3 2 ⋅ r1, 2 F= f⋅ 1 2 2, r r r r r1, 2 A képletben szereplő F1,2 az 1 jelű test által a 2 jelű testre kifejtett erő, az 1

jelű anyagi r ponttól a 2 jelű felé mutató egységvektor, a negatív előjel pedig az ezzel ellentétes irányt, a Nm 2 , amit először vonzást fejezi ki. Az f gravitációs állandó értéke: f = 6,67 ⋅ 10 −11 kg 2 Cavendish határozott meg torziós ingával. Magát a törvényt Newton fedezte fel. Felismerte, hogy a Föld által a Holdra kifejtett erő, ami a pályáján tartja a Holdat, azonos fajta erő azzal, ami a Föld közelében a magára hagyott testeket „g” gyorsulással gyorsítja. Eötvös Loránd igen nagy pontossággal kimutatta, hogy a gravitációs vonzóerő független a testek anyagi minőségétől, valamint, hogy az erőtörvényben szereplő (gravitációs) tömeg a tehetetlen tömeggel egyezik meg. Gömbszimmetrikus homogén héjakból álló testeket a gömbön kívüli testre gyakorolt hatás szempontjából a középpontjukba helyezett összes tömeggel helyettesíthetjük. Általában azonban nem igaz az, hogy egy kiterjedt testet a

gravitációs erő szempontjából a tömegközéppontjába képzelt tömegével helyettesíthetünk Homogén gömbhéj üregében bármely pontban egy pontszerű tömegre a gömbhéj által gyakorolt gravitációs erő nulla. 2.42 Nehézségi erő, súly, súlytalanság A Földön, adott helyen, légüres térben minden magára hagyott test azonos gyorsulással mozog. Ezt a gyorsulást nevezzük gravitációs gyorsulásnak (g) Értéke függ a földrajzi helyzettől, a tengerszint feletti magasságtól, a Föld helyi összetételétől, a Földnek a Naphoz ill a Holdhoz viszonyított helyzetétől A nehézségi erő az az erő, ami a Föld közelében a magára hagyott testeket gyorsítja: Fn=m⋅g . Ez az erő a Föld gravitációs vonzóerejéből származik elsődlegesen, de a Föld forgása miatt nem egyenlő vele (l később) Ha a testet alátámasztjuk, ugyanekkora erővel kell tartani A súly az az erő, amellyel egy test a vízszintes alátámasztást nyomja, vagy a

függőleges felfüggesztést húzza. Szokásos jele: G Testek súlya függőlegesen gyorsuló rendszerben: Ha egy vízszintesen alátámasztott nyugvó testet vizsgálunk, Ft akkor azt mondhatjuk, hogy hat rá a nehézségi erő és a tartóerő, amelyek kiegyenlítik egymást: m ⋅ g + Ft = 0 a m m ⋅ g = − Ft . mg A tartóerő ellenereje a test súlya, vagyis G = − Ft = m ⋅ g , ami az alátámasztást nyomja. G 2.1 ábra 15 Ha azonban az alátámasztott test pl. egy gyorsuló liftben van, akkor megváltozik a test súlya Gyorsuljon a lift fölfelé. Vele együtt gyorsul a test is Tekintsük ezt az irányt pozitívnak A 3.2 ábra alapján felírhatjuk a mozgásegyenletet: Ft – m⋅g = m⋅a . Ebből Ft = m⋅g + m⋅a = m⋅(g+a) , vagyis a test súlya megnövekedett, mert G = Ft . Ha a lift lefelé gyorsul, akkor a gyorsulás negatív előjelű, ezért, Ft = m⋅(g–a), tehát ilyenkor a test súlya csökken. Ha a lift szabadon esik, akkor a=g , és így Ft=0.

Ilyenkor a test nem nyomja az alátámasztást, tehát súlytalan 2.43 Rugalmas erő; lineáris erőtörvény Ha egy csavarrugóra húzóerőt fejtünk ki, akkor az megnyúlik. Ez a nyúlás addig tart, amíg a rugó által fordított irányban kifejtett erő a húzóerőt ki nem egyenlíti. A nyúlás bizonyos határig egyenesen arányos a húzóerővel. A rugóerő tehát a megnyúlással (∆l) egyenesen arányos, és vele ellentétes irányú: F = − D ⋅ ∆l . Az arányossági tényezőt direkciós állandónak (D) vagy rugóállandónak nevezzük, ami a rugó egységnyi megnyújtásához szükséges erőt adja meg. Mértékegysége 1N/m Megjegyzendő, hogy D elnevezése nem egységes. Szokás D-t rugómerevségnek, a reciprokát pedig rugóállandónak nevezni. A mértékegységéből derül ki, hogy melyik értelmezési módról van szó. A rugóerő és a megnyúlás közötti egyenes arányosság teszi lehetővé, hogy lineáris skálájú rugós erőmérőt

készíthessünk. (Léteznek nemlineáris karakterisztikájú rugók is, például változó keresztmetszetűek) 2.44 Szabaderők és kényszererők Szabaderők: Olyan erők, amelyek nagyságát és irányát valamilyen erőtörvénnyel adhatunk meg, más erőktől ill. külső körülményektől függetlenek Ilyenek pl a már megismert gravitációs vonzóerő vagy a rugóerő. Szabad mozgás esetén a testre csak szabaderők hatnak (pl. vákuumban elhajított kő, égitestek mozgása) Kényszermozgásról beszélünk akkor, ha a test csak valamilyen előre meghatározott pályán ill. geometriai feltétel (vonal vagy felület) mellett mozoghat Ilyen pl egy merev lejtőn vagy sínen való mozgás, vagy a fonalinga lengése. A mozgást korlátozó geometriai feltételek a kényszerfeltételek. Kényszererők: Azon erők, amelyek - a szabaderőkkel együtt - biztosítják, hogy a test a kényszerfeltételeknek megfelelően mozogjon. Értelemszerűen csak kényszermozgás esetén

lépnek fel. A kötélerő mindig fonalirányú Vizsgáljuk meg egy kényszerfelület által kifejtett erőt! A szabaderők eredőjét (F) felbonthatjuk a felülettel párhuzamos és a felületre merőleges (Fn) komponensekre. Legyen a kényszererő Fk, a felületre merőleges gyorsuláskomponens an Ekkor a normálirányú mozgásegyenlet: Fk+ Fn=m⋅an, és ebből Fk= m⋅an–Fn. 16 Nyugvó, merev, súrlódásmentes sima felület a felületre merőleges kényszererőt fejt ki a mozgó testre. mert an=0, és így Fk= –Fn v2 , ezért a kényszererő a sebességtől is függ, de Nyugvó, görbült felület esetén a n = a cf = r még mindig merőleges a kényszerpályára. 2.45 Súrlódás 2.451 Csúszási súrlódás Ha egy test egy másik testen csúszik, akkor fellép egy, a felülettel párhuzamos kényszererő is, amit csúszási súrlódási erőnek nevezünk. Ez az erő egyenesen arányos a felületekre merőleges nyomóerővel (Fn), valamint függ az érintkező anyagok

fajtájától és érdességétől Iránya a viszonylagos elmozdulással ellentétes irányú. v Fs =µ⋅Fn ill. vektorosan Fs = − µ ⋅ Fn ⋅ , v ahol µ a csúszási súrlódási tényező és v a két felület relatív sebessége. Azt is szokták mondani, hogy a súrlódás mozgást akadályozó erő. Ez csak annyiban igaz, hogy a felületek viszonylagos elmozdulását akadályozza, de nem jelenti azt, hogy egy test inerciarendszerhez képesti sebességét nem növelheti. Például egy ékszíjnál mindig van egy kis csúszás, mégis mozgásba hozza a hajtott tárcsát. Ha egy füzetre ráteszünk egy könyvet, és a füzetet megrántjuk, akkor a könyv az asztalhoz képest a füzettel egy irányba mozdul el, de a füzethez képest hátrafelé. Mivel a viszonylagos elmozdulást akadályozza a súrlódási erő, a könyvre a füzet mozgásával megegyező irányba hat. 2.452 Tapadási súrlódás Olyan, az érintkező felületekkel párhuzamos erő, ami megakadályozza a

felületek viszonylagos elmozdulását. Ha az érintkezési hely inerciarendszerbeli gyorsulásának a felületekkel párhuzamos komponense ap, a többi erő eredőjének a felülettel párhuzamos komponense Fp, akkor Fts + F p = m ⋅ a p Ha nincs gyorsulás, akkor a tapadási súrlódás kiegyenlíti a többi erő eredőjének a felületekkel párhuzamos komponensét: Fts = − F p . Ftsmax = µ0⋅Fn A tapadási súrlódási erő maximuma: A tapadási súrlódási erő: Fts ≤ µ0⋅Fn , ahol µ0 a tapadási súrlódási tényező. Azonos anyagok esetén a csúszási súrlódási tényező mindig kisebb mint a tapadási súrlódási tényező. 2.453 Közegellenállás Ha egy test az őt körülvevő közeghez képest mozog, akkor a közeg akadályozza a mozgását. A közegellenállási erő egyenesen arányos a relatív sebességgel (v), az áramlásra merőleges keresztmetszettel (A), és a közeg sűrűségével (ρ): F = −c ⋅ A ⋅ ρ ⋅ v , F=c⋅A⋅ρ⋅v2 ill.

vektorosan ahol c az ún. alaktényező 2.5 Mozgások dinamikai leírása egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerekben Jelöljön K egy inerciarendszert, amihez képest a K’ vonatkoztatási rendszer mozog. A dinamikai egyenletek tárgyalásánál az 131 pontban bevezetett jelöléseket ill Galilei transzformációt fogjuk alkalmazni 17 2.51 Az inerciarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszer A K’ rendszer egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, ezért a = a , m ⋅ a = m ⋅ a ; F = m ⋅ a ′ . Az inerciarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző koordinátarendszerben az anyagi pont mozgását ugyanaz a dinamikai egyenlet írja le, mint az inerciarendszerben. Az egymáshoz képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszerek egyenértékűek Semmilyen dinamikai kísérlettel nem dönthető el, hogy egy rendszer egy inerciarendszerhez képest áll, vagy egyenesvonalú

egyenletes mozgást végez. Ezt nevezzük Galilei-féle relativitáselvnek 2.52 Az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló vonatkoztatási rendszer Az 1.31 pontban láttuk, hogy a K rendszerben a gyorsulás a K’ rendszer gyorsulásának és a test K’-beli gyorsulásának vektori összege: a = a 0 + a′ . Mindkét oldalt szorozva a tömeggel: m ⋅ a = m ⋅ a 0 + m ⋅ a′ , amiből következik, hogy F − m ⋅ a 0 = m ⋅ a′ A K’ gyorsuló rendszerben tehát nem igaz, hogy a tömeg és gyorsulás szorzata megegyezik a testre ható erővel (ill. azok eredőjével), hanem ahhoz hozzá kell adnunk az Ft = − m ⋅ a 0 , tehetetlenségi (fiktív) erőt. Ekkor teljesül, hogy F + Ft = F ′ = m ⋅ a ′ . A gyorsuló rendszer tehát nem inerciarendszer. A gyorsuló rendszerben a testre ható valóságos erőkön kívül hat a tehetetlenségi erő is A tehetetlenségi erőnek nincs ellenereje Ez az az erő, amelyik például egy fékező autóbuszon az embereket előredönti,

vagy egy nagy gyorsulással induló autóban az utasok ettől süppednek az ülésbe. Kívülről nézve az utóbbi esetet, azt mondhatjuk, hogy ahhoz, hogy az utas az autóval együtt gyorsuljon, kell egy előre ható erő, amit az ülés fejt ki a testre. A gyorsuló autóból szemlélve ugyanezt úgy fogalmazhatunk, hogy az utasra hat előre az ülés által kifejtett erő, valamint a − m ⋅ a 0 nagyságú tehetetlenségi erő, amelyek eredője nulla, és az utas az autóhoz képest egyensúlyban marad. 2.53 Egy helyben forgó állandó szögsebességű vonatkoztatási rendszer 2.2 ábra 2.531 Egyenletesen forgó rendszerben nyugvó testre ható tehetetlenségi erő Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor egy egyenletesen forgó korongon nyugalomban van egy test. Például egy rugó egyik végét rögzítsük a tengelyhez, a másik végéhez pedig rögzítsünk egy golyót a 2.2 ábrának megfelelően. A golyó a koronggal együtt egyenletesen forog, a rugó nyújtott állapotban

van. Kívülről, inerciarendszerből nézve azt mondhatjuk, hogy a golyóra a nehézségi erőn és a tartóerőn kívül hat a rugóerő, ami az egyenletes körmozgáshoz szükséges 18 centripetális erőt biztosítja: F = D ⋅ ∆l = m ⋅ r ⋅ ω 2 = m ⋅ a cp . A forgó rendszerből vizsgálva a jelenséget úgy fogalmazhatunk, hogy a golyóra kifelé hat egy – m⋅acp nagyságú tehetetlenségi erő, és ezt kiegyensúlyozza a rugóerő, így a golyó egyensúlyban van. Ezt a forgó rendszerben kifelé ható tehetetlenségi erőt centrifugális erőnek nevezzük Ez az erő viszi ki a centrifugában nagy sebességgel forgó ruhából a vizet, vagy ez az erő viszi jobban kifelé a nagyobb sűrűségű anyagot egy folyadékban, és így lehetőség van a különböző sűrűségű anyagok szétválasztására. Ez a berendezés a centrifugális szeparátor 2.532 Egyenletesen forgó rendszerben mozgó testre ható tehetetlenségi erők Ha a koronghoz képest a test mozog

is, akkor egy másik tehetetlenségi erő is fellép. Nézzük meg a 23 ábrán levő kísérletet Az egyenletesen forgó korong P pontjából az A pont felé elgurítunk egy golyót v kezdősebességgel. A golyó és a korong közötti súrlódást tekintsük elhanyagolhatónak. Ha a golyó a B pontban esik le a korongról és eközben a P pont a P’ pontba ér, a golyó P’B görbét (parabolát) súrolja végig a koronC gon. B r⋅ω Kívülről, inerciarendszerből nézve azt P’ mondhatjuk, hogy a golyónak volt a r A P v körmozgásból származó r⋅ω nagyságú R kezdősebessége, és ehhez adódik hozzá vektoriálisan a v sebesség. Mivel elhanyagolható a súrlódás, a golyó az eredő sebességgel egyenesvonalú egyenletes mozgással halad a B Forgó pont felé. rendszerből vizsgálva a kísérletet, 2.3 ábra ugyancsak a függetlenségi elvet alkalmazhatjuk. Miközben a P pontból a golyó sugárirányban egyenletesen halad, az A pont a C R−r . A golyó azonban a

C pont hehelyére, a P pont P’ helyére jut A közben eltelt idő t = v lyett B-nél esik le, tehát egy tehetetlenségi erő eltérítette a sebességre merőlegesen. Ezt az erőt Coriolis -erőnek nevezzük. A sugárra merőleges irányban a golyó egyenletesen gyorsuló mozgást végez kezdősebesség nélkül. A t idő alatt megtett útja a ϕ ⋅ (R − r) = ω ⋅ t ⋅ (R − r) = C ⋅ t 2 . 2 FC= 2⋅m⋅v⋅ω. Ebből a Coriolis-gyorsulás aC= 2⋅v⋅ω , a Coriolis-erő pedig F = 2 ⋅ m ⋅ v × ω A 2.3 ábra alapján vektoriálisan: . C Az egyenletesen forgó rendszerben a v sebességgel mozgó testre tehát a valódi erőkön (Fv) kívül a centrifugális erő (Fcf) és a Coriolis-erő hat. Ebben a rendszerben a test mozgásegyenlete: Fv + Fcf + FC = m ⋅ a′ . 3. A mozgásegyenlet alkalmazásai 19 3.1 A perdület (impulzusmomentum) és forgatónyomaték Írjuk fel a mozgásegyenletet a lendületváltozás segítségével, és szorozzuk meg balról

vektoriálisan az r vektorral, ami egy kiválasztott pontból a testhez irányított helyvektor: m ⋅ ∆v ∆( r× mv) r× = r× F , ill. = r× F ∆t ∆t Az egyenlet bal oldalán szereplő N = r × m ⋅ v mennyiséget perdületnek nevezzük. Egy test adott pontra vonatkoztatott perdülete (impulzusmomentuma) a pontból a testhez irányított helyvektor és a test lendületének vektorszorzata: m2 N = r× m ⋅ v , ill. N=r⋅m⋅v⋅sinα , mértékegysége kg ⋅ s ahol α-az r és v vektorok által bezárt szög. Az impulzusmomentum vektor az r és v vektorok síkjára merőleges, és irányát a jobbmenetű csavar haladási iránya adja meg, ha az r vektort a kisebb szög alatt v-be forgatjuk. A k=r⋅ sinα szorzat megadja az impulzusvektor hatásvonalának a ponttól mért merőleges távolságát. Ezt az impulzusvektor karjának nevezzük Az egyenlet jobb oldalán szereplő mennyiség az erő pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka: M = r× F , ill. M=F⋅r⋅sinα , k=r⋅

sinα - az erő karja A forgatónyomaték mértékegysége 1 newtonméter [Nm] A forgatónyomaték nagysága egyenlő az erő és az erőkar szorzatával, iránya az r és F vektorok által meghatározott síkra merőleges, és ha r vektort a kisebb szög alatt F-be forgatjuk, a jobbmenetű csavar haladási irányával egyezik meg. m ⋅ ∆v = r × F egyenlet azt jelenti, hogy a forgatónyomaték egyenlő a test időegyAz r × ∆t ∆N ség alatt bekövetkező perdületváltozásával: M= = N& ∆t Ezt átrendezve a lendülettétellel analóg összefüggést kapunk, amit perdülettételnek nevezünk: A test perdületének megváltozása egyenlő a testre ható forgatónyomaték és a hatás időtartamának szorzatával (a forgatólökéssel): M ∆t = ∆ N 3.2 Centrális erők A területi sebesség Centrális erők tétele Az olyan erőt, amelyiknek a hatásvonala mindig ugyanazon a ponton megy keresztül, centrális erőnek, azt a pontot pedig, amelyiken keresztülmegy,

centrumnak nevezzük. Ilyen erő pl. egy pontszerű test vagy egy homogén gömb által egy másikra kifejtett gravitációs vonzóerő, vagy a pontszerű töltések által egymásra kifejtett vonzó vagy taszítóerő A centrális erőtérben mozgó test impulzusmomentuma állandó, ugyanis a centrális erő r {F(r)} felírható a következő alakban: F (r ) = f (r ) ⋅ r ahol f(r) – az erő nagysága a távolság függvényében, r pedig az erőcentrumból kifelé mutató helyvektor. r dv A mozgásegyenlet : f ( r ) ⋅ = m ⋅ a = m r dt Szorozzuk meg balról vektoriálisan mindkét oldalt r - rel, ekkor r dv r × f (r ) ⋅ = r × m r dt 20 Mivel az egyenlet bal oldalán szereplő két vektor párhuzamos, a vektorszorzatuk nulla, dv = 0 , amit integrálva kapjuk, hogy r × m ⋅ v = c = áll . vagyis r × m dt A konstans vektor azt is jelenti, hogy a centrális erőtérben való mozgás síkmozgás a c-re merőleges ∆r síkban. (Kepler 0 törvénye: A bolygómozgás síkv

mozgás) A területi sebesség egy olyan vektor, melynek ∆A nagysága megadja a centrumból a testhez húzott vektor (vezérsugár) által időegység alatt súrolt terü1 letet: f = ⋅ r × v 2 Iránya az r és v vektorok által meghatározott síkra merőleges, és a vektorszorzat szabálya szerint állapítható meg. A 31 ábrán felénk mutat A perdület állandóságának következménye, hogy a centrális erőtérben mozgó test centrumra 3.1 ábra vonatkoztatott területi sebessége állandó. ∆r r × ∆r = m⋅ N = r × mv = m ⋅ r × v = m ⋅ r× ∆t ∆t Mivel kis ∆t idő esetén a háromszög területe ∆A=r⋅∆r/2, a perdület 2∆A ∆A = állandó (Kepler II. törvénye: A Naptól a bolygóhoz N = m⋅ = állandó , vagyis ∆t ∆t húzott vezérsugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol.) Centrális erők tétele: A centrális erőtérben a tömegpont síkmozgást végez úgy, hogy a centrumra vonatkoztatott területi sebessége

állandó. 3.3 A munka és a teljesítmény 3.31 A munka A munka egyenlő az erő és az elmozdulás skalárszorzatával: W = F ⋅ ∆ r , ill. W=F⋅∆r⋅cosα ahol α– az erő és az elmozdulás által bezárt szög. Más megfogalmazásban a munka egyenlő az erő, és az erő irányába történő elmozdulás szorzatával. Skalár mennyiség W=F⋅∆r, ha F párhuzamos ∆r-rel Mértékegysége: [Nm=J] 1 joule (dzsúl) Nincs munkavégzés akkor, ha az erő merőleges az elmozdulásra. Ha egy testre több erő hat, akkor az eredő erő munkája egyenlő az erők munkáinak összegével. Ha az erő nem állandó, de párhuzamos az elmozdulással, akkor az elemi munkavégzés egy rövid ∆s úton: F ∆W=F⋅∆s ill. dW=F⋅ds Mindkét oldalt integrálva kapjuk a végzett összes B munkát: W = ∫ F d s W A s 3.2 ábra 21 Ennek szemléletes jelentése: Ha ismerjük az erőt a vele párhuzamosan megtett út függvényében, akkor a grafikon alatti terület megadja a

végzett munkát (3.2 ábra) 3.32 A teljesítmény Az átlagteljesítmény megadja az egységnyi idő alatt végzett munkát: W P= t J Mértékegysége:   = [W ] 1 watt. s  A pillanatnyi teljesítmény egyenlő a végzett munka idő szerinti első deriváltjával: ∆W dW ill. P= P= ∆t dt Ha egy v sebességű testre F erő hat, akkor a pillanatnyi teljesítménye: F⋅ ∆r ∆r P= = F⋅ = F⋅ v ∆t ∆t Az erő pillanatnyi teljesítménye egyenlő az erő és a sebesség skalárszorzatával. 3.33 Hatásfok A hasznos munka és az összes (befektetett) munka, ill. a hasznos teljesítmény és az összes W P teljesítmény hányadosa: η= h = h Wö Pö Ideális esetben η=1, a valóságban azonban η<1. 3.4 Energia Néhány erőfajta munkája Mechanikai energiafajták Munkatétel Az energia = munkavégző képesség Egy test vagy rendszer energiája egyenlő azzal a munkával, amit végezni képes, miközben egy meghatározott alapállapotba jut, vagy azzal a

munkával, amit ideális esetben végeznünk kell ahhoz, hogy a testet az alapállapotból egy adott állapotba juttassuk. Jele: E, mértékegysége: [J] 1 joule Konzervatív erők: Azok az erők, amelyek által végzett munka csak a kezdő és a végponttól függ, de független attól, hogy milyen úton jutott a test az egyik pontból a másikba. Ez azt is jelenti, hogy egy zárt görbe mentén végzett összes munka zérus (pl.: nehézségi erő munkája) A konzervatív erőteret potenciálos erőtérnek nevezzük. Ez azt jelenti, hogy az erőtér minden pontjához megadhatunk egy potenciált (potenciális energia), ami egyenlő azzal a munkával, amit a konzervatív erő végez, miközben a test az adott pontból egy választott vonatkoztatási pontba jut Ha egy test konzervatív erőtérben az A pontból a B pontba jut, akkor a konzervatív erőtér által kifejtett erő munkája egyenlő a test potenciális energiája megváltozásának mínusz egyszeresével: W A 0 = W A B + W

B 0 Ebből: W A B = W A0 − WB 0 = W A − WB = −(WB − W A ) = − ∆W Disszipatív erők: A végzett munka nagysága nem csak a szélső pontok helyzetétől függ, hanem attól is, hogy milyen úton jut el a test az egyik pontból a másikba (pl. súrlódási erő munkája). A disszipatív erő a mechanikai energiát szétszórja (disszipál = szétszór), rendezetlenné teszi, hővé alakítja 22 3.41 A rugóerő munkája, a rugalmas energia Ha egy rugót megnyújtunk, munkát végzünk, miközben a rugóban energia tárolódik. A rugó összehúzódásakor ideális esetben ugyanennyi munkát képes végezni. Ez kiszámítható a ∆l W 3.2ábrán látható trapéz területeként: Fr1 F + Fr 2 Fr2 W = ∆E = r1 ⋅ (∆l 2 − ∆l1 ) 2 Mivel Fr=D⋅∆l, a végzett munka és a rugalmas energia vál3.3 ábra tozása: 1 1 W = ∆E = ⋅ D ⋅ (∆l1 + ∆l 2 ) ⋅ (∆l 2 − ∆l1 ) = ⋅ D ⋅ ∆l 22 − ∆l12 2 2 1 Ha a nyújtatlan rugó rugalmas energiája zérus,

akkor a rugalmas energia: E r = ⋅ D ⋅ ∆l 2 2 Fr ∆l1 ∆l2 ( ) 3.42 A nehézségi erő munkája, a helyzeti (potenciális) energia Ha egy testet állandó sebességgel felemelünk h magasságba, a nehézségi erő egyenlő az emelőerő nagyságával. A végzett munka és a test helyzeti energiájának megváltozása: W=∆Eh=m⋅g⋅h , független az úttól, tehát a nehézségi erő konzervatív. A helyzeti (potenciális) energia egy általunk szabadon választott nulla szinthez értendő: Eh=m⋅g⋅h Ha a test a nulla szint alatt van, akkor a potenciális energiája negatív, ha fölötte van, pozitív előjelű. 3.43 A gravitációs erő munkája A gravitációs erőtér szintén konzervatív. A gravitációs erő által végzett munka: R2 R2  1 m1 ⋅ m2 1   m1 ⋅ m2  = f ⋅ m1 ⋅ m2⋅  −  Wg = ∫ − f ⋅ dr =  f ⋅ 2  r  R1 r   R2 R1  R1 A gravitációs potenciális energia legyen nulla a tér végtelen távoli

pontjaiban (R2=∞, és 1/R2=0) . Ekkor a gravitációs mezőben levő m tömegű test potenciális energiája: 1 E gr = − f ⋅ m ⋅ m2 ⋅ R A rugalmas energiát, a nehézségi erőtérben levő magassági energiát és a gravitációs erőtérben lévő energiát gyűjtőnéven szokás helyzeti vagy potenciális energiának nevezni, hiszen az első esetben a rugó megnyújtott helyzetéből, a másik két esetben a testnek az erőtérben lévő helyzetéből származik az energiája. 3.44 A kényszererő munkája Ha a kényszererő merőleges a sebességre, akkor nem végez munkát. Ilyen kényszererőt fejt ki egy inerciarendszerben a nyugvó merev kényszerfelület a rajta mozgó testre, de ilyen az inga fonala által kifejtett erő is. 23 3.45 A gyorsító erő munkája, a mozgási energia Munkatétel Ha egy v0 kezdősebességű testet a sebességgel párhuzamos állandó erővel (a testre ható eredő erő) gyorsítunk, akkor a test egyenesvonalú egyenletesen

változó mozgást végez. Ekkor v +v v− v 0 a végzett munka: W = F ⋅ s = F ⋅ 0 ⋅ t , a munkavégzés ideje t = , a mozgásegyenlet 2 a pedig: F=m⋅a v+ v 0 v− v 0 ⋅ A gyorsító erő munkája W = m ⋅ a ⋅ , amiből egyszerűsítés és rendezés után 2 a 1 kapjuk, hogy W = ⋅ m ⋅ v 2 − v 02 . 2 A kapott egyenletet munkatételnek is szokás nevezni. Ez azt mondja ki, hogy a testre ható erők eredőjének munkája (vagy a testre ható erők munkáinak összege) egyenlő a test mozgási energiájának megváltozásával 1 Mozgási (kinetikus) energia: E m = ⋅ m ⋅ v 2 2 Egy test mozgási energiája nem lehet negatív előjelű mert negatív tömeg nincs, v2 pedig csak pozitív lehet. Mivel a sebesség függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától, a mozgási energia is rendszerfüggő ( ) 3.46 A mechanikai energia-megmaradás elve Ha egy pontszerű testre csak konzervatív erők hatnak, akkor a mechanikai energiáinak összege állandó. A

munkatétel alapján ugyanis ha egy test az A pontból a B pontba jut egy tetszőleges pá1 1 lyán, akkor W A B = E pA − E pB = ⋅ m ⋅ v 2B − ⋅ m ⋅ v 2A . 2 2 Ezt átrendezve kapjuk, hogy Ep+Em=állandó Ep - az összes potenciális energia, Em – a mozgási energia. 4. Pontrendszerek dinamikája Pontrendszer: Egymással valamilyen kapcsolatban álló tömegpontok halmaza. A rendszer elemeit tetszőlegesen választhatjuk meg Kötött pontrendszer: Amelynek tagjai valamilyen kényszer mentén egymáshoz képest nem mozdulhatnak el. Szabad pontrendszer: A rendszer elemei közötti távolság szabadon változhat. Belső erők: Amelyeket a rendszer tagjai fejtenek ki egymásra. Fik jelenti az i-edik testre a k-adik test által kifejtett belső erőt. Külső erők: Amelyeket a rendszerhez nem tartozó testek fejtenek ki a rendszer bármelyik elemére. Fi-vel jelöljük az i-edik testre ható külső erők eredőjét Zárt rendszer: Amelyre ható külső erők eredője nulla.

4.1 Pontrendszer mozgásának vizsgálata mozgásegyenlet-rendszerrel A véges számú elemből álló pontrendszer minden elemére felírhatjuk a mozgásegyenletét. Az i-edik tömeg mozgásegyenlete: Fi + Fik = mi ⋅ a i 24 Ha ismerjük a belső és külső erőket, akkor az egyenletrendszerből a gyorsulások meghatározhatók. Ezek és a kezdeti feltételek ismeretében a többi kinematikai jellemző is kiszámítható Leegyszerűsíti a feladatot, ha a pontrendszer kötött, mert a kényszerfeltételek miatt a gyorsulások, a sebességek ill. az elmozdulások között a kényszertől függő meghatározott öszszefüggések írhatók fel Fn Fk Fs m1⋅g Fk m2 m2⋅g 4.1 ábra Az 4.1 ábrán két testből álló kötött pontrendszert látunk A két test gyorsulása nyújthatatlan fonal esetén közös. A mozgásegyenlet-rendszer: Fk − Fs = m1 ⋅ a m2 ⋅ g − Fk = m2 ⋅ a A tömegek és a súrlódási tényező ismeretében ebből az egyenlet-rendszerből a

kötélerő és a gyorsulás meghatározható. 4.2 A pontrendszer impulzusa (lendülete; mozgásmennyisége) A pontrendszer impulzusa egyenlő a rendszer tagjai lendületeinek vektori összegén vel: I = ∑ mi ⋅ v i i =1 Írjuk fel minden test mozgásegyenletét, majd a kapott egyenletrendszert adjuk össze: n n n ∆I + F Fik = ∑ ∑ ∑ i ∆t i =1 i =1 k =1 Az egyenlet bal oldalán a második összegzésben a belső erők vektori összege szerepel, de a hatás – ellenhatás törvényét figyelembe véve ez az összeg zérus, ezért: n ∆I & Fi = =I ∑ ∆t i =1 Ez azt jelenti, hogy a rendszer összes mozgásmennyiségének megváltozását a külső erők eredője határozza meg. Impulzustétel pontrendszerre: A rendszer összes lendületének idő szerinti első deriváltja egyenlő a külső erők eredőjével. (A rendszer összes impulzusának időegység alatti megváltozása egyenlő a külső erők eredőjével) n Átrendezve: ∑F i =1 i ⋅ ∆t = ∆I A

külső erők által okozott lökés egyenlő a rendszer összes impulzusának megváltozásával. Lendületmegmaradás tétele: Az impulzustétel következménye, hogy zárt mechanikai rendszerben (ha a külső erők eredője nulla) a rendszer összes impulzusa állandó. Ezen alapul a rakétahajtás is. Ott a rakétából a hozzá képest állandó u sebességgel kiáramló forró gáz hajtja a rakétát A rakétához rögzített rendszerben az impulzusmegmaradás, ha ∆mhajtógáz nagyon kicsi a rakéta tömegéhez képest: mrakéta⋅∆v+∆ mhajtógáz⋅u=0 , ill. mrakéta⋅dv=-dmhajtógáz⋅u 1 Átrendezve: d v = −u ⋅ dm m 25 v Mindkét oldalt integrálva: : ∫ d v = −u ⋅ v0 mr 1 dm m ∫ m0 Ebből a rakéta sebességének megváltozása: v − v 0 = u ⋅ ln m0 mr m0 – a rakéta kezdeti tömege v0 sebességnél mr – a rakéta megmaradt tömege 4.3 Tömegközéppont Tömegközépponti tétel 4.31 A tömegközéppont definíciója és mozgása

Írjuk fel a pontrendszer minden tagjának mozgásegyenletét, és a kapott egyenletrendszert adjuk össze. Vegyük figyelembe, hogy a belső erők eredője zérus, így a következő egyenletet kapjuk: n d n d2 n d 2 n mi ⋅ ri = ⋅ = ⋅ = ⋅ F r m m m v , ahol ∑ ∑ i i dt 2 ∑ ∑ i i i dt i =1 dt 2 i =1 m i =1 i =1 m=Σmi - a rendszer összes tömege. A gyorsulás a test helyvektorának idő szerinti második deriváltja. A fenti összefüggésben ez a helyvektor a rendszer tömegközéppontjának helyvektora. n A tömegközéppont: rTKP = ∑m i =1 i ⋅ ri n ∑m i =1 i Tömegközépponti tétel: A rendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha ebben a pontban lenne a rendszer összes tömege, és erre hatna a külső erők eredője. A tömegközéppont moz- gásegyenlete tehát: n n n i =1 i =1 i =1 ∑ Fi = ∑ mi ⋅ &r&TKP = ∑ mi ⋅ aTKP n a TKP = Ebből a tömegközéppont gyorsulása: ∑F i =1 n i ∑m i =1 i A tömegközéppont

gyorsulása egyenlő a külső erők eredőjének és a rendszer összes tömegének a hányadosával. Zárt rendszer esetén a külső erők eredője nulla, ezért aTKP=0, és v TKP = állandó , tehát zárt mechanikai rendszerben a tömegközéppont a kezdeti feltételtől függően vagy nyugalomban van, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. 4.32 A pontrendszer tömegközéppontjának meghatározása n A tömegközéppont definíciója: rTKP = ∑m i =1 i ⋅ ri n ∑m i =1 i Ez a vektoregyenlet három skalár egyenlettel egyenértékű, amelyekből megkapjuk a tömegközéppont koordinátáit: 26 n ∑m xTKP = i =1 i n ⋅ xi ∑m i =1 yTKP = , n ∑m i =1 i ∑m i =1 zTKP = , n i n ⋅ yi i ∑m i =1 i ⋅ zi n ∑m i =1 i Két tömegpontból álló rendszer tömegközéppontja a tömegeket összekötő szakaszon van a nagyobb tömeghez közelebb úgy, hogy ezt a szakaszt a tömegekkel fordított arányban osztja. Vegyük föl az x

tengelyt úgy, hogy a tömegeken menjen keresztül. Az 52 ábra jelöléseivel xTKP-x1 x2-xTKP m ⋅ x + m2 ⋅ x2 . A nevezővel beszorozxTKP = 1 1 m1 m2 m1 + m2 va mindkét oldalt: xTKP x2 x 0 x1 m1⋅xTKP+m2⋅xTKP=m1⋅x1+m2⋅x2 , ahonnan xTKP − x1 m2 4.2 ábra = x 2 − xTKP m1 Kiterjedt testek tömegközéppontja: Középpontosan szimmetrikus homogén testek tömegközéppontja a szimmetriacentrum. Általános esetben a testet feloszthatjuk olyan kicsi részekre, amelyeken belül a sűrűség már állandónak tekinthető, és az így kapott pontrendszer tömegközéppontját határozzuk meg. n Ekkor: rTKP = ∑ mi ⋅ ri i =1 n ∑m i =1 Koordinátái: xTKP = = ∑ρ i =1 i ⋅ ∆Vi ⋅ ri m , ill. rTKP = ∫ ρ ⋅ r dV m i ∫ ρ ⋅ xdV m n yTKP = ∫ ρ ⋅ ydV m z TKP = ∫ ρ ⋅ zdV m 4.4 Pontrendszer perdülete, sajátperdület és pályaperdület 4.41 Pontra vonatkozó perdület A pontrendszer adott pontra vonatkozó impulzusmomentuma egyenlő

a tömegpontok n ugyanerre a pontra vonatkoztatott perdületeinek vektori eredőjével: N = ∑ ri × mi v i i =1 A pontrendszer adott pontra vonatkoztatott perdülete egyenlő a sajátperdület és a pályaperdület vektori összegével. N = N s + N p A sajátperdület: A rendszer elemeinek a saját tömegközéppontra vonatkoztatott perdülete. A pályaperdület: A rendszer összes tömegét a tömegközéppontba képzeljük, ami a tömegközéppont sebességével mozog. Ennek a testnek az adott pontra vonatkoztatott perdülete a pályaperdület. 4.42 Pontrendszerre vonatkozó impulzusmomentum-tétel (perdület-tétel) Írjuk föl a pontrendszer mozgásegyenlet-rendszerét: Fi + Fik = mi ⋅ a i Szorozzuk meg mindkét oldalt balról vektoriálisan ri -vel, és az egyenleteket adjuk össze: 27 r d n d ri ×mi ⋅ v i (a = v) ∑ dt i =1 dt i =1 i =1 k =1 A bal oldalon álló első tag a külső erők forgatónyomatékainak vektori összege az origóra vonatkoztatva. n n n

∑ r × F + ∑∑ r × F i i n ∑r × F i =1 i i i ik = =M Ha a belső erők centrálisak, akkor Fik = − Fki , ezért a bal oldal második tagja zérus. Az egyenlet jobb oldalán a rendszer origóra vonatkoztatott perdületének idő szerinti első d n & deriváltja áll: N = ∑ ri ×mi ⋅ v i dt i =1 Mivel az origót tetszőleges helyen felvehetjük, a fenti egyenlet fizikai tartalma az, hogy a pontrendszerre ható külső erők tetszőleges pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak vektori eredője egyenlő a pontrendszer ezen pontjára vonatkozó impulzusmomentumának idő szerinti első deriváltjával. (A pontrendszerre ható külső erők tetszőleges pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak vektori eredője egyenlő a pontrendszer impulzusmomentumának idő∆N egység alatti megváltozásával.) ill. ∑ M külső = ∑ M külső = N& , ∆t Mindkét oldalt ∆t-vel szorozva: ∑ M külső ⋅ ∆t = ∆N , azaz a külső erők által okozott

forgatólökés egyenlő a rendszer perdületének megváltozásával. 4.43 Az impulzusmomentum megmaradásának elve (perdületmegmaradás elve) Az impulzusmomentum-tétel miatt ha M külső = 0 , akkor ∆N = 0 , azaz ha a külső erők forgatónyomatékainak eredője egy választott pontra vonatkoztatva nulla, akkor a rendszer perdülete ugyanezen pontra vonatkoztatva nem változik: Ha ∑ M külső = 0 , akkor ∑ N = állandó , 4.44 Tengelyre vonatkoztatott perdület és forgatónyomaték Pontrendszer vagy merev test síkmozgásán olyan mozgást értünk, amikor minden pont egymással párhuzamos síkokban mozog. Ilyen esetben a síkokra merőleges tengelyre vonatkoztatott perdületet ill forgatónyomatékot célszerű vizsgálni A tengelyre vonatkoztatott perdület és forgatónyomaték is előjeles skalár mennyiségek. Tengelyre vonatkoztatott forgatónyomaték: Határozzuk meg az erőnek a tengelyre merőleges síkra eső vetületét (Fxy)! A z tengelyre csak ez a

komponens fejt ki forgatónyomatékot. Ez egyenlő az erő és az erőkar (k) szorzatával Az erőkar az Fxy erő hatásvonalának a forgástengelytől mért merőleges távolsága (4.3 ábra) k F M= Fxy⋅k A forgatónyomaték pozitív előjelű, ha a Fxy tengely irányából nézve az óramutató járásával ellentétes irányba forgat. ( A 43 ábrán látható erő nyomatéka negatív előjelű) 4.3 ábra Hasonló módon a tengelyre vonatkoztatott 28 perdület esetén is először az impulzusvektornak a tengelyre merőleges síkra eső vetületét kell meghatározni. A tengellyel párhuzamos komponensnek nincs perdülete a tengelyre vonatkoztatva A vetület impulzusvektornak a karja itt is a hatásvonalnak a tengelytől mért merőleges távolsága. A tengelyre vonatkoztatott perdület egyenlő a vetület impulzusvektor és a karjának szorN= Ixy⋅k zatával: Az előjelet a nyomatékhoz hasonlóan kell megállapítani. A pontra és a tengelyre vonatkoztatott mennyiségek

kapcsolata: z A z tengelyen helyezkedik el az O pont. Az Fxy erő a z tengelyre merőleges síkban hat. A 4.4 ábra alapján írhatjuk, hogy a tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatéka: Mz=Fxy⋅k=Fxy⋅r⋅sinα=M⋅ sinα Az O pontra vonatkoztatott forgatónyomaték: M= Fxy⋅r Egy tengelyre merőleges síkban ható erő forgatónyomatéka a tengelyre vonatkoztatva egyenlő a tengelyen levő pontra vonatkoztatott forgatónyomaték tengelyirányú vetületével. Hasonló módon az O pontra vonatkoztatott perdület z tengely irányú vetülete egyenlő a z tengelyre vonatkoztatott perdülettel. Fxy k r α α M 4.4 ábra O 4.5 Pontrendszerekre vonatkozó energetikai tételek A pontrendszer mozgási energiája egyenlő a tömegpontok mozgási energiáinak összegén 1 2 vel: E m = ∑ ⋅ mi ⋅ v i 2 i =1 A pontrendszer mozgási energiája megadható a tömegközéppont mozgási energiája és a tagok tömegközépponthoz viszonyított mozgásából származó kinetikus energia

összegeként is: n 1 1 2 E m = ⋅ m ⋅ v TKP + ∑ ⋅ mi ⋅ v ′i 2 2 i =1 2 v ′ - a tömegpont sebessége a tömegközépponthoz viszonyítva. Pontrendszerre vonatkozó munkatétel: Ha minden tömegpontra felírjuk a munkatételt, és a kapott egyenleteket összeadjuk, azt kapjuk, hogy a rendszer összes mozgási energiájának megváltozása egyenlő a külső és belső erők munkáinak összegével E m 2 − E m1 = Wkülső + Wbelső F12 F21 A belső erők munkái nem mindig kompenzálják egymást, csak abban az esetben, ha a testek ugyanakkora sebességgel mozognak ugyanabban az irányban. Ha pl két testet fonallal összekötünk, és egy asztalon húzzuk őket, akkor a fonalerő belső erő, és a F 4.5 ábra 29 két testre ható belső erők munkáinak összege zérus. (45 ábra) Ellenben ha pl. egy nyugvó gránát felrobban, és két részre szétesik, akkor a két darab elmozdulása ellentétes irányú, de a belső erők is ellentétes irányúak, ezért

mindkét belső erő munkája pozitív lesz. Itt a rendszer összes mozgási energiáját a belső erők változtatták meg Természetesen ez összhangban van az energia megmaradásának tételével, mert itt a rendszer mozgási energiáját a robbanószer kémiai energiája változtatta meg. Pontrendszerre vonatkozó mechanikai energia megmaradásának tétele: Írjuk fel a rendszerre a munkatételt: E m 2 − E m1 = Wkülső + Wbelső Ha a belső és külső erők konzervatívak, akkor az általuk végzett munka egyenlő a belőlük származtatható potenciális energiák megváltozásával. Ha a potenciális energiát U-val jelöljük, Em+ΣUbelső+ΣUkülső=állandó akkor azt kapjuk, hogy: Ha a pontrendszerre ható belső és külső erők is mind konzervatívak, akkor a rendszer mechanikai energiáinak összege állandó. 5. Merev testek A merev test olyan idealizált kiterjedt test, amelynek pontjai a ráható erők hatására egymáshoz képest nem mozdulnak el. Egy végtelen

sok pontból álló kötött pontrendszernek tekinthető Helyzetét a térben 3 nem egy egyenesen elhelyezkedő pontja határozza meg. Ez 9 koordinátát jelent, de csak 6 független egymástól, mert a pontok közötti távolság állandó 5.1 Rögzített tengely körül forgó merev test dinamikája A rögzített tengely körül forgó merev test pontjai egymással párhuzamos síkokban mozognak. 5.11 Rögzített tengely körül forgó merev test perdülete Osszuk fel a merev testet nagyon kicsi térfogatelemekre. A tengelyre vonatkozó impulzusmomentumát megkapjuk az egyes térfogatelemek perdületeinek összegeként: n n n i =1 i =1 i =1 N = ∑ ri ⋅mi ⋅ v i = ∑ ri ⋅mi ⋅ ri ⋅ ω = ∑ mi ⋅ ri 2 ⋅ ω = Θ ⋅ ω A képletekben ri az i-edik térfogatelemnek a tengelytől mért távolságát, mi a tömegét, ω a szögsebességét jelenti (ω=állandó). n Tehetetlenségi nyomaték (Θ ): Θ = ∑ mi ⋅ ri 2 mértékegysége: kg⋅m2, skalár mennyiség i =1

A tehetetlenségi nyomaték a tömegelemek tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomatékainak összege. 5.12 A testek tehetetlenségi nyomatéka A pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka a fenti definíció alapján: Θ=m⋅r2 Két tömegpontot kössünk össze egy elhanyagolható tömegű merev rúddal. Ennek a merev testnek a tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton d átmenő tengelyre vonatkoztatva (a tengely merőleges a tömegpontokat összekötő egyenesre): Θ=m1⋅r12 + m2⋅r22 m 2 m1 Az ezzel a tengellyel párhuzamos, tőle d távolságra leTKP vő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a 5.1 ábra jelöléseivel: r1 r2 5.1 ábra 30 Θ=m1⋅(r1 +d)2 + m2⋅(r2 -d)2 A négyzetre emelés elvégzése és kiemelés után: Θ=m1⋅r12 + m2⋅r22 +(m1+m2)⋅d2 +2⋅d⋅(m1⋅r1-m2⋅r2) A tömegelemek elsőrendű nyomatékainak összege a tömegközéppontra vonatkoztatva nulla, m1⋅r1-m2⋅r2=0, ezért az utolsó tag zérus. azaz A

tömegközépponton átmenő tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték: Θ=m1⋅r12 + m2⋅r22 +(m1+m2)⋅d2 =ΘTKP+m⋅d2 . A kapott összefüggés általában is igaz és Steiner tételnek nevezzük: : Θ=ΘTKP+m⋅d2 . Ha ismerjük egy test tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát, akkor a vele párhuzamos, tőle d távolságra levő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték egyenlő a tömegközépponti tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték, plusz a rendszer összes tömegének és a tengelytávolság négyzetének szorzata. Ennek következménye, hogy az egymással párhuzamos tengelyek közül a tömegközépponti tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. Ha azonos ponton átmenő különböző irányú tengelyekre számítjuk ki a tehetetlenségi nyomatékot, akkor azt tapasztaljuk, hogy három egymásra merőleges tengely esetén ennek helyi szélsőértéke van.

Ezeket a tengelyeket főtengelyeknek, az ezekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. Általában egy test adott tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka integrálással számítható ki: Θ = ∫ ρ ⋅ r 2 dV V ρ – sűrűség, r – a dV infinitezimális térfogatelem távolsága a tengelytől. N=Θ⋅ω A rögzített tengely körül forgó merev test perdülete: Néhány szabályos homogén test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontján átmenő tengelyre vonatkoztatva: 1 Hosszú vékony rúd, a tengely merőleges a rúdra: Θ = m ⋅ l 2 12 1 Tömör henger, korong, a tengely a szimmetriatengely: Θ = m ⋅ R 2 2 2 Tömör gömb: Θ = m ⋅ R 2 5 5.13 Rögzített tengely körül forgó test mozgásegyenlete A merev test kötött pontrendszernek tekinthető. Írjuk fel a pontrendszerre a perdület-tételt: ∆N Θ ⋅ ω 2 − Θ ⋅ ω1 ∆ω M = = = Θ⋅ = Θ⋅β ∆t ∆t ∆t A kapott összefüggés a

forgómozgás mozgásegyenlete: M = Θ ⋅ β A szöggyorsulás okozója a testre ható eredő forgatónyomaték. A forgatónyomaték és a szöggyorsulás egyenesen arányosak, arányossági tényező a test forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Ez az összefüggés analóg a haladó mozgásra vonatkozó mozgásegyenlettel: F=m⋅a A két egyenletet összehasonlítva azt látjuk, hogy a forgómozgás esetén a tehetetlenség mértéke a tehetetlenségi nyomaték. Ez nem csak a tömegtől függ, hanem attól is, hogy a tömegelem milyen messze van a forgástengelytől 31 5.14 A forgási energia (rotációs energia) n 1 2 ⋅ mi ⋅ v i 2 i =1 A rögzített tengely körül forgó test minden pontja azonos szögsebességgel forog, ezért vi=ri⋅ω n 1 1 Ezt behelyettesítve: E rot = ∑ mi ⋅ ri 2 ⋅ ω 2 = Θ ⋅ ω 2 2 i =1 2 1 A forgási (rotációs) energia: E rot = Θ ⋅ ω 2 2 Ha az F erő karja r, és ∆s úton munkát végez a rögzített tengely

körül forgó testen akkor a végzett munka: W=F⋅∆s=F⋅r⋅∆ϕ=M⋅∆ϕ, tehát a végzett munka a forgatónyomaték és a szögelfordulás szorzatával egyenlő. A munkatétel alapján ez a munka egyenlő a test forgási (rotációs) energiájának megváltozásával: M ⋅ ∆ϕ = ∆E rot A pontrendszer mozgási energiája: : E m = ∑ 5.21 Merev test síkmozgása A merev test síkmozgása azt jelenti, hogy pontjai egymással párhuzamos síkokban mozdulnak el. A merev test mozgása mindig összetehető a tömegközéppont haladó mozgásából (transzláció), és a tömegközéppont körüli forgásból (rotáció). Ez a mozgás úgy is vizsgálható, hogy felírjuk a tömegközéppont haladó mozgására a mozgásegyenletet, és a tömegközéppont körüli rotációra a forgómozgás mozgásegyenletét: F = m ⋅ aTKP és M = Θ TKP ⋅ β 5.22 Merev test egyensúlyának feltételei Egyensúly esetén a merev testnek semmilyen gyorsulása nincs. Ez akkor lehetséges,

ha a ráható erők eredője nulla, és a ráható forgatónyomatékok egy tetszőleges tengelyre vonatkoztatva nulla: és M =0 ∑F = 0 5.3 Speciális problémák a tömegpont és pontrendszerek mechanikájából 5.31 A bolygók mozgása (Kepler törvényei) Kepler részben saját megfigyelései, részben korábbi csillagászati adatok elemzése alapján a bolygók mozgására vonatkozó törvényszerűségeket állapított meg. Ezek a törvények Newton törvényei alapján levezethetők. Nem csak a Naprendszer bolygóira érvényesek, hanem minden olyan rendszerre, ahol egy nagy tömegű égitest körül nála sokkal kisebb tömegű égitestek keringenek (pl.: egy bolygó körül keringő természetes és mesterséges holdak). A 3.2 fejezetben már láttuk, hogy a bolygómozgás síkmozgás (centrális erőtérben való mozgás). Ezt szokás Kepler 0 törvényének is nevezni Kiegészítés: A bolygók pályái közel egy síkban vannak. A Föld pálya síkjával (ekliptika) bezárt

legnagyobb szög 17 ° a Plútónál. Kepler I. törvénye: A bolygók olyan ellipszis alakú pályákon keringenek, amelyek egyik fókuszpontjában (gyújtópont) van a Nap. 32 Kiegészítés: A bolygók pályái csak kis mértékben térnek el a körtől. Kepler II. törvénye: A Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol (a területi sebesség állandó): r1⋅v1=r2⋅v2 Ezt is láttuk a 3.2 fejezetben Ebből következik, hogy a bolygó pillanatnyi sebessége Napközelben (perihélium) maximális, Naptávolban (afélium) minimális Megjegyzés: A tél és a nyár nem a Naptól mért távolsággal van kapcsolatban, hanem attól függ, hogy a napsugarak délben milyen szögben érik az adott helyet. Ez a Föld tengelyének ferdeségével függ össze. Az 5.2 ábrán láthatjuk, hogy Napközelben a déli féltekét, Naptávolban az északi féltekét süti a merőlegeshez közelebb a Nap, mert a Föld tengelye ferde, és a

pálya síkjával állandó szöget zár be. A Naptól mért távolság változása miatt a déli féltekén a tél hidegebb, a nyár pedig melegebb. Kepler III. törvénye: A bolygók keringési idejeinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, T 2 r3 mint a pályasugarak (fél nagytengely) köbei: 12 = 13 T2 r2 Ha a bolygók pályáit körnek tekintjük, akkor azt mondhatjuk, hogy a Nap által a bolygóra kifejtett gravitációs vonzóerő egyenlő a centripetális erővel: M Nap ⋅ mb1 f⋅ = mb1 ⋅ r1 ⋅ ω 2 2 r1 Egyszerűsítés után és a szögsebességet a periódusidővel kifejezve kapjuk, hogy M Nap r13 f⋅ = 4 ⋅ π 2 T12 A másik bolygóra hasonló egyenletet felírva megállapíthatjuk, hogy a bal oldalon levő mennyiség mindkét esetben azonos, tehát a jobb oldalak is egyenlők. Ezzel a törvényt bebizonyítottuk 5.32 Tehetetlenségi erők a forgó Földön A Föld a saját tengelye körül forog, az állócsillagokhoz viszonyított egyéb mozgásaitól most

eltekintünk. A csillagnap (két csillagdelelés között eltelt idő) 23 óra 56 perc, és ebből a szögsebessége ω=7,29⋅10-5 1/s. Ebben a forgó rendszerben a testekre a valódi erőkön kívül tehetetlenségi erők is hatnak. Ezek mozgó Fny test esetén a centrifugális erő és a Coriolis erő. Először vizsgáljunk egy testet, ami a Föld felszíFny FgrF nén nyugszik. Ekkor nincs Coriolis-erő Az 5.3 ábrán látható, hogy a forgó Földön F cF r levő testre hat a Föld gravitációs vonzóereje ϕ FgrF ( FgrF ), és a sarkok kivételével a centrifugális FcF É É R FgrF F erő ( FcF ). Ezek eredőjét egyenlíti ki a nyony N móerő. D D − Fny = F grF + FcF ill. m ⋅ mF R ⋅ + m ⋅ r ⋅ω 2 2 R R Az ábrából az is látszik, hogy ez a nyomó− Fny = − f ⋅ 5.2 ábra 5.3 ábra 33 erő a centrifugális erő változása miatt a Föld különböző helyein más és más, és nem pontosan sugárirányú a sarkok és az egyenlítő kivételével. Ha a

Föld gravitációs vonzóereje által okozott gyorsulást g 0 -lal jelöljük, valamint a körpálya sugarát (r) a Föld sugarával (R) és a földrajzi szélességgel (ϕ) fejezzük ki (r=R⋅cosϕ), akkor r − Fny = m ⋅ g 0 + m ⋅ ω 2 ⋅ R ⋅ cosϕ ⋅ r A Föld nem pontosan gömb alakú, hanem geodéta, azaz a sarkokon kissé belapult (vagy inkább a centrifugális erő miatt az egyenlítő környékén kissé megnyújtott), ezért R és g0 nem állandó értékű. Ha az alátámasztást megszűntetjük, akkor a testet ugyanekkora erő gyorsítja Ez a nehézségi erő. A Földhöz képest v sebességgel mozgó testre a centrifugális erőn kívül a Coriolis-erő is hat. Ez az erő merőleges a Föld forgástengelyére (a szögsebesség vektorra), tehát párhuzamos az Egyenlítő síkjával: FC=2⋅m ⋅ω⋅ v⋅sinα v⋅sinα – a test sebességének az egyenlítővel párhuzamos komponense. A Föld tengelyével párhuzamos sebességkomponens nem befolyásolja a

Coriolis-erőt. Ha egy test egy délkör mentén mozog az északi féltekén, akkor a mozgás irányától függetlenül a Coriolis-erő a testet jobbra téríti el, a déli féltekén pedig balra. Ez az erő okozta Foucault ingájának a Földhöz képesti eltérülését, ami a Föld forgásának ékes bizonyítéka. 5.33 A harmonikus rezgés dinamikája Az 1.37 pontban már vizsgáltuk a harmonikus rezgőmozgás időbeli lefolyását: A kitérés – idő függvény: y=A⋅sin(ω⋅t+ϕ0) A sebesség – idő függvény: v= A⋅ω⋅cos(ω⋅t+ϕ0) A gyorsulás – idő függvény: a= –A⋅ω2⋅sin(ω⋅t+ϕ0) A gyorsulás – kitérés függvény: a= –ω2⋅y Helyettesítsük be a mozgásegyenletbe (F=ma) a gyorsulást: F= –m⋅ω2⋅y A harmonikus rezgés dinamikai feltétele, hogy az eredő erő a kitéréssel egyenesen arányos és ellentétes irányú legyen. Ezt a feltételt kielégíti a rugóerő: F = − D ⋅ y Az erő két kifejezését egyenlővé téve a rugón

rezgő test körfrekvenciáját kapjuk meg: D –m⋅ω02⋅y = –D⋅y, és ebből ω 0 = m m D Csillapítatlan rezgés esetén – nincs súrlódás, közegellenállás – a rezgő rendszer összes energiája állandó. Szélső helyzetben a sebesség zérus, a kitérés pedig maximális (y=A), ezért csak rugalmas 1 energia van: E összes = D ⋅ y 2 2 A középső, egyensúlyi helyzetben a kitérés zérus, a sebesség pedig maximális, csak moz1 gási energia van: E összes = m ⋅ v 2max 2 1 1 Egy tetszőleges kitérésnél rugalmas és mozgási energia is van: E összes = D ⋅ y 2 + m ⋅ v 2 2 2 A rezgés periódusideje: T = 2π 34 5.34 Fonalinga (matematikai inga) Elhanyagolható tömegű nyújthatatlan fonal végére rögzítsünk egy kis méretű testet (tömegpontot). A fonal másik véα gét rögzítsük, majd a testet stabil egyensúlyi helyzetéből kiFk csit kitérítve engedjük el. Az inga állandó periódusidejű leny gésbe jön. A 6.3 ábra alapján az

ingára a nehézségi erő és a kötélerő hat, melyek eredője érintő irányú a szélső helyzetben, és m⋅g nagysága Fé=m⋅g⋅sinα. m⋅g⋅sinα y A kitérés: y=l⋅sinα, amiből = sin α l 6.3 ábra Kis kitérés esetén az érintőirányú erő és a kitérés közelítőleg ellentétes irányú, így írhatjuk, hogy y m⋅g Fé = − m ⋅ g ⋅ = − ⋅y l l Ez az összefüggés a harmonikus rezgés dinamikai feltételének felel meg (az erő a kitéréssel egyenesen arányos és ellentétes irányú), ezért Fé = −mω 2 ⋅ y g 2π ω 2 = , de ω = , így A két egyenlet jobb oldalainak egyenlővé tételéből l T l A fonalinga lengésideje: T = 2π ⋅ g l 5.35 A fizikai inga tengely s α TKP k mg 5.4 ábra A fizikai inga redukált hossza: Ha egy merev testet a súlypontja fölötti tengely körül kis kitérésű lengésbe hozunk, fizikai ingát kapunk. Minden fizikai ingához található egy olyan matematikai inga, amelyik vele együtt leng. A 6.4

ábrán látható fizikai ingára ható nehézségi erő M=m⋅g⋅s⋅sinα nagyságú forgatónyomatékot fejt ki a tengelyre. M m ⋅ g ⋅ s ⋅ sin α A fizikai inga szöggyorsulása: β = = Θ pill Θ pill A vele együtt lengő fonalinga szöggyorsulása: m ⋅ g ⋅ l ⋅ sin α M = F β= Θ pill mF ⋅ l 2 Az együttlengő ingák szöggyorsulásai is megegyeznek, Θ pill l m⋅ g ⋅s g = ill. amiből = , g m⋅g ⋅s Θ pill l lr = Θ pill m⋅s A fonalinga lengésidejére vonatkozó képlet segítségével a fizikai inga lengésideje: Θ pill T = 2π ⋅ m⋅ g ⋅s 35 5.36 Torziós (csavarási) inga Egy huzal vagy spirálrugó megcsavarásához szükséges forgatónyomaték egyenesen arányos a szögelfordulással, a rugó pedig ezzel egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú forgatónyomatékot fejt ki. A torziós rugó nyomatéka tehát: M = − D ∗ ⋅ ϕ A forgómozgás mozgásegyenlete alapján M = − D ∗ ⋅ ϕ = Θ ⋅ β D* –direkciós nyomaték:

megadja a torziós rugó egységnyi szöggel való elcsavarásához szükséges forgatónyomatékot. A szöggyorsulást a fonalinga szöggyorsulásával egyenlővé téve D ∗ ⋅ ϕ m F ⋅ g ⋅ l ⋅ sin ϕ 5.5 ábra = Θ mF ⋅ l 2 Egyszerűsítés után, és figyelembe véve, hogy kis szögek esetén a szög szinusza közel g D∗ , amiből egyenlő a radiánban mért szög nagyságával (sinϕ=ϕ) azt kapjuk, hogy = Θ l Θ a torziós inga lengésideje: T = 2π ⋅ D∗ 5.37 Az egyenletes körmozgás dinamikája Amint azt az 1.35 fejezetben láttuk, az egyenletes körmozgás gyorsuló mozgás, mert válv2 = r ⋅ω 2 tozik a sebesség iránya, és ebből származik a centripetális gyorsulás: a cp = r A mozgás dinamikai feltétele: a testre ható eredő erő mindig a kör közepe felé mutató állandó nagyságú erő legyen, amit centripetális erőnek nevezünk: v2 Fcp = m ⋅ r ⋅ ω 2 = m ⋅ r A vízszintes úton kanyarodó jármű esetén a centripetális erőt a

tapadási súrlódásnak kell biztosítania, hogy a jármű ne csússzon ki, azaz Fts=Fcp v2 tehát µ 0 ⋅ m ⋅ g = m ⋅ Vízszintes talajon: Ftsmax=µ0⋅m⋅g, r Ebből adott tapadási súrlódási tényező esetén a kanyarban lehetséges legnagyobb sebesség a megcsúszás veszélye nélkül: v = µ 0 ⋅ g ⋅ r Versenypályákon, autópályákon, éles kanyarokban gyakran megdöntik az utat, hogy a kanyar nagyobb sebességgel is biztonságosan bevehető legyen. 5.38 Példák kényszermozgásokra Súrlódásmentes lejtőn csúszó test: Az 5.6 ábrán látható test súrlódásmentesen csúszik le a lejtőn Függőlegesen lefelé hat rá a nehézségi erő (mg), és a lejtőre merőleges kényszererő (Fny). A két erő ere- Fny Fp Fn α mg α 36 5.6 ábra dője biztosan a lejtővel párhuzamos, mert a test lejtőirányban gyorsul. A nehézségi erő felbontható a lejtővel párhuzamos (Fp) és a lejtőre merőleges (Fn) komponensekre. A lejtőre merőleges erők

eredője nulla, ezért Fn=Fny. Az eredő erő a lejtővel párhuzamos komponens, ami az ábra alapján: Fp=mg⋅sinα A mozgásegyenlet: Fp=ma, ill. mg⋅sinα=ma A test gyorsulása: a= g⋅sinα A leérkezés idejét és sebességét a kezdeti feltételek figyelembevételével az egyenletesen gyorsuló mozgásnál megismert kinematikai összefüggésekkel számolhatjuk ki. Súrlódásos lejtőn csúszó test: Fny Fs Fp Fn α α mg 5.7 ábra ( F p − Fs ) ⋅ s = ( ) 1 m v 2 − v 02 , 2 Az 5.7 ábrán már súrlódási erő is szerepel A test nyugalmi állapotában a tapadási súrlódási erő egyenlő a lejtővel párhuzamos erőkomponenssel, tehát Fts=mg⋅sinα. A megcsúszás határán Fts=µ0⋅Fny=µ0⋅mg⋅cosα A két egyenletet egymással egyenlővé téve kapjuk, hogy a megcsúszás határán µ0=tg α Ha a test lefelé gyorsul, akkor Fp – Fs=ma mg⋅sinα – µ⋅mg⋅cosα=ma Ebből a gyorsulás: a= g⋅(sinα – µ⋅cosα) Ha a lejtővel párhuzamos,

lefelé mutató v0 kezdősebességgel indítjuk a testet, akkor a leérkezés sebességét a munkatétel alkalmazásával is kiszámíthatjuk: 1 (mg ⋅ sin α − µmg ⋅ cos α ) ⋅ s = m v 2 − v 02 2 ( ) Ebből a sebesség: v = 2 g (sin α − µ cos α ) ⋅ s + v 02 Ha a test h magasságból indul, akkor s = A leérkezés ideje: t = v− v 0 a h sin α A lejtőn csúszásmentesen gördülő henger: A hengerre ható erők a 6.8 ábrán láthatók A forogva haladó mozgást két mozgásegyenlettel írhatjuk le. A tömegközéppont haladó mozgásának mozgásegyenlete: F p − Fts = m ⋅ a , ahol Fp=mg⋅sinα A tömegközéppont körüli forgás mozgásegyenlete: Fts ⋅ r = Θ ⋅ β , mert a többi erő hatásvonala átmegy a tömegközépponton. Csúszásmentes esetben a henger szélső pontjai érintőirányú gyorsulásának meg kell egyeznie a tömegközéppont gyorsulásával: a = r ⋅ β Fny Fts Fp Fn α mg α mg ⋅ sin α − Fts = ma a Fts ⋅ r = Θ r

5.8 ábra 37 Ebből az egyenletrendszerből a tömegközéppont gyorsulása: a = mg ⋅ sin α Θ m+ 2 r mg ⋅ sin α mr 2 1+ Θ Az ehhez szükséges súrlódási tényező abból a feltételből számítható ki, hogy µ 0 ⋅ mg ⋅ cos α ≥ Fts A tapadási súrlódási erő: 5.39 Ütközések Ütközéskor a testek egymásra viszonylag rövid ideig jelentős erőt fejtenek ki egymásra, Ezt a hatást pillanatszerűnek tekintjük. Ütközés normálisa: Az érintkezési felületre állított merőleges Centrális ütközés: Az ütközési normális átmegy mindkét test tömegközéppontján. Egyenes ütközés: A sebességvektorok az ütközés normálisával párhuzamosak. Abszolút rugalmatlan ütközés: A testek összekapcsolódnak, a sebességük közössé válik. Rugalmatlan ütközés: A mechanikai energia egy része másfajta energiává alakul át. Abszolút rugalmas ütközés: A testek szétpattannak, és nincs mechanikai energiaveszteség. Tökéletesen

rugalmatlan centrális egyenes ütközés: A rendszer impulzusa változatlan marad. Ha a kezdeti sebességeket v, az ütközés utáni sebességeket u betűvel jelöljük, akkor a 6.9 ábra irányai és jelölései alapján m1 v1 m2 v2 I. a lendületmegmaradás törvénye: m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = (m1 + m2 ) ⋅ u Ebből a közös sebesség kifejezhető: m1+m2 m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 u = u II. m1 + m2 A mechanikai energia csökkenése: 1 1 1  5.9 ábra ∆E = (m1 + m2 )u 2 −  m1 v12 + m2 v 22  2 2 2  Tökéletesen rugalmas centrális egyenes ütközés: I. II. m1 v1 m1 u 1 m2 m2 Az 5.10 ábra alapján felírhatjuk a mozgási energia megmaradását és a lendületmegmaradást: 1 1 1 1 m1 v12 + m2 v 22 = m1u12 + m2 u 22 2 2 2 2 m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u 2 Egyszerűsítés után rendezzük úgy az egyenleteket, hogy a bal oldalon legyenek az 1 indexű, a jobb oldalon pedig a 2 indexű tagok: m1 v12 − u12 = m2 u 22 − v 22 m1 v1 − u1 = m2

u 2 − v 2 v2 u2 ( 5.10 ábra 38 ( ) ( ) ( ) ) A v 2 − u 2 = (v − u )(v + u ) azonosság figyelembevételével a két egyenletet elosztva egymással: : v1 + u1 = v 2 + u 2 tehát az ütközés előtti sebességek összege egyenlő az ütközés utáni sebességek összegével. Ebből u2-t kifejezve és az impulzus-megmaradás tételbe visszahelyettesítve: m1 v1 − u1 = m2 v1 + u1 − v 2 − v 2 , amelyből (m − m2 ) v1 + 2m2 v 2 u1 = 1 m1 + m2 ( ) ( ) 6. Mechanikai hullámok A hullám egy rezgés vagy helyi zavar térbeli terjedése (nem az anyag terjed, hanem a rezgési fázis). Az energia fajtájától függően a gyakorlatban legfontosabb hullámok lehetnek mechanikai vagy elektromágneses hullámok. Az elektromágneses hullámokkal majd később fogunk foglalkozni A mechanikai hullámok terjedéséhez valamilyen közvetítő közegre van szükség Attól függően, hogy a tér mely részén terjednek a hullámok, lehetnek: • Vonalmenti hullámok (pl.

egy kifeszített rugalmas kötél egyik végét rezgésbe hozzuk, vagy egy vonat a sínt rezgésbe hozza, és ez terjed a sín mentén) • Felületi hullámok (pl. a víz felületén terjedő hullámok, vagy ha egy kifeszített sátorra ráütünk, a felületén terjedő hullámok) • Térhullámok (pl. a hanghullámok) A felületi és térhullámok esetén az egymás mellett azonos fázisban rezgő pontokat hullámfrontnak nevezzük. A hullám terjedési iránya a hullámfrontra merőleges egyenes (a hullámfront normálisa) a terjedési sugár Síkhullám: Ha a térbeli hullám hullámfrontjai egymással párhuzamos egyenesek. Gömbhullám: Ha a térbeli hullám hullámfrontjai koncentrikus gömbök. Attól függően, hogy a rezgésirány és a terjedés iránya egymáshoz képest milyen, lehetnek: • Transzverzális (keresztirányú): A rezgésirány merőleges a terjedés irányára. Szemléletesen a hullámban hullámhegyek és hullámvölgyek terjednek (61 ábra) A

transzverzális mechanikai hullámok terjedéséhez rugalmas közegre van szükség (pl. a víz felületén 7.1 6.1 ábra ábra terjedő hullámok. • Longitudinális (hosszirányú): A rezgésirány és a terjedés iránya megegyezik, az anyag sűrűsödésében és ritkulásában nyilvánul meg. (Pl: A 62 ábrán egy vízszintes rugón terjedő longitudinális hullám látható, ami úgy jött létre, hogy a rugó egyik végét hirtelen megrántottuk, majd elengedtük. Rugalmatlan közegben, gázokban is ter- 39 jedhetnek. (pl levegőben terjedő hanghullám) Periodikus hullám: A hullámforrás rezgése periodikus Harmonikus hullám: A rezgés kitérése az időnek szinuszos függvénye. A hullámmozgásnál is használjuk a rezgésnél már megismert kitérés (y), amplitúdó (A), frekvencia (f), körfrekvencia (ω), periódusidő (T) fogalmakat. Hullámhossz (λ): A terjedés irányában mérve egymáshoz két legközelebbi azonos fázisban rezgő pont távolsága. (A

terjedés irányában mérve azon pontok távolsága, amelyek rezgései között a fáziskülönbség 2π) Terjedési sebesség (c): Homogén és izotrop közegben a hullám egyenes vonalban és egyenletesen terjed, a sebessége állandó. Ha t idő alatt x utat tett meg a rezgési fázis, akkor a x λ terjedési sebesség: c = = = λ ⋅ f t T 6.2 ábra Hullámegyenlet: Megadja a hullámforrástól x távolságra levő pont kitérését a t időpillanatban harmonikus vonalmenti hullám esetén. A hullámforrás rezgésének kitérés-idő függvénye legyen: y=A⋅sin(ω⋅ t+ϕ). Ez a fázis a vonal mentén az x távolságot t’ idő alatt teszi meg, ezért az x helyen a rezgés kitérése: y=A⋅sin{ω(t-t’)+ϕ}. A t’=x/c, ω=2π/T és c⋅T=λ összefüggések behelyettesí  t x  tésével a hullámegyenlet: y = A ⋅ sin 2π  −  + ϕ   T λ   Ha bevezetjük a hullámszám fogalmát: k=2π/λ , mértékegysége: [1/m], akkor a

hullámegyenlet: y = A ⋅ sin (ω ⋅ t − kx + ϕ ) 6.1 Polarizáció Síkban polarizált hullám: A polarizáció egysíkú rezgést jelent. A hullámban a rezgési sík időben állandó. Csak transzverzális hullámok polarizálhatók Ha pl. egy hosszú kötél végét össze-vissza minden irányba rezgetjük, – amint az a 73 ábrán látható – akkor a kötélen végigfutó hullám nem polarizált. Ha azonban a kötelet egy hosszú keskeny résen fűzzük keresztül, akkor a rés mögött a kötél pontjai már csak a réssel párhuzamos síkban rezegnek. Ha a rés függőleges helyzetű, akkor a hullám függőlegesen polarizált Ha távolabb még egy függőleges rést helyezünk el (analizátor), akkor az a hullámot nem 6.3 ábra változtatja meg. Ha azonban az analizátort forgatjuk, akkor az amplitúdó az analizátor után csökken, és keresztezett állásnál (amikor az analizátor rése vízszintes) az analizátor mögött a hullámzás megszűnik. Cirkulárisan

polarizált hullám: Ha a kötél végét egyenletesen körbeforgatjuk, akkor a rezgési amplitúdók vetülete a terjedésre merőleges síkban egy körön helyezkednek el. 40 Elliptikusan polarizált hullám: Ha a kötél végét egyenletesen egy ellipszisen mozgatjuk, akkor a rezgési amplitúdók vetülete a terjedésre merőleges síkban egy ellipszisen helyezkednek el. 6.2 Doppler-effektus Ha akár a hullámforrás, akár az észlelő mozog a közeghez képest, akkor az észlelt frekvencia megváltozik. Ezért halljuk a közeledő motorkerékpár hangját magasabbnak, távolodáskor pedig mélyebbnek. Ha a hullámforrás mozog az észlelő felé, akkor a hullám végét már az észlelőhöz közelebbről bocsátja ki, ezért a 6.4 ábra alapján λ=λé+vf⋅T 1 c c λ= , λé = , és T = f fé f c c vf = + f fé f forrás észlelő vf⋅T λ λé 6.4 ábra Ebből az észlelt frekvencia: fé = c ⋅f c−vf A képletekben: f - a hullámforrás frekvenciája, λ - a

hullámforrás hullámhossza fé – az észlelt frekvencia, λé – az észlelt hullámhossz vf – a hullámforrás sebessége, c – a hullám terjedési sebessége Ha az észlelő mozog a hullámforrás felé, akkor az észlelt hullámhossz, és az észlelés periódusideje alatt megtett út összege egyenlő a hullámhosszal, tehát λé+vé⋅t=λ c vé c A fenti összefüggéseket ide behelyettesítve: + = fé fé f c + vé fé = ⋅f Ebből az észlelt frekvencia: c Ha a hullámforrás és az észlelő egymás felé mozognak (mindkettő mozog a közeghez vf c v = − álló észlelő λ1 = λ − hulképest), akkor a hullámforrás mozgása miatt az f f f lámhosszt érzékelne. Az észlelő mozgása miatt λ2=λ1-vé⋅Té az észlelt hullámhossz, ahol Té=1/fé, és λ2=c/fé c c v f vé Ezekből = − − fé f f fé Az észlelt frekvencia: c ± vé fé = ⋅f cmvf A képletben a fölső előjelek érvényesek közeledéskor. 41 6.3 A harmonikus mechanikai hullámok

energiája Miközben egy kis ∆V térfogatú közegen hullám halad át, a közeg deformálódik, részecskéi mozgási és rugalmas energiára tesznek szert. Harmonikus hullám esetén a ∆m tömegű v rezgési sebességű közegrész mozgási energiája: x 1 1 E m = ⋅ ∆m ⋅ v 2 = ⋅ ∆m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 [ω ⋅ (t − )] 2 2 c Látható, hogy a mozgási energia a hely és idő függvénye. A rugalmas energia a harmonikus hullámban a mozgási energiával egyenlő nagyságú, és azonos fázisú: x 1 E r = ⋅ ∆m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 [ω ⋅ (t − )] 2 c Ezt beláthatjuk egy vonalmenti longitudinális hullám példáján. Vizsgáljuk a 6.4 ábrán látható ∆V térfogatelemet, melynek hossza – ∆x, keresztmetszete – q (ne legyen összekeverhető az amplitúdóval) A ∆x hosszúságú közegelem kezdő és végpontjának megnyúlása eltérő, hiszen eltérő fázisban rezegnek, mert a hullámforrástól eltérő távolságra vannak. A c megnyúlás

∆ξ=ξ2-ξ1. Ha a távolság nagyon kicsi, akkor a sebesség nem változik számottevően, ezért q ∆x c 2 A rugalmas energia E r = 12 D∆ξ , ahol D - a di∆ξ = v⋅ ∆t = v⋅ ξ1 ξ2 rekciós állandó. ∆x A Hooke-törvény alapján 6.4 ábra F ξ , ahol , Y – a =Y ⋅ q ∆x Young-modulus. Ebből a direkciós állandó: D= A rugalmas energia: Er = ξ = Y ⋅q ∆x x 1 Y ⋅ q ∆x 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 [ω (t − )] 2 ∆x c t A longitudinális hullám terjedési sebessége: Er = F c= Y ρ ρ -a közeg sűrűsége. x 1 Y ⋅ q ∆x 2 ⋅ ⋅ ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 [ω (t − )] Y t 2 ∆x ρ Egyszerűsítés után, és figyelembe véve, hogy ρ⋅q⋅∆x=∆m, kapjuk, hogy Er = x 1 ⋅ ∆m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 [ω ⋅ (t − )] 2 c A rugalmas energia tehát a mozgási energiával egyenlő nagyságú és azonos fázisú, amit igazolni akartunk. Az összes energia a mozgási és a rugalmas energia összege: x E =

∆m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 ⋅ cos 2 [ω ⋅ (t − )] c Az összes energia tehát a hely és az idő függvénye. A ∆V térfogatban levő átlagos energia az összes energia amplitúdójának fele, mert cos2α átlaga 0,5. 42 E= 1 ⋅ ∆m ⋅ A 2 ⋅ ω 2 2 Az átlagos energiasűrűség: w= E 1 = ⋅ ρ ⋅ A2 ⋅ ω 2 ∆V 2  J   m 3  A sugárzási teljesítmény megadja a q felületen időegység alatt átáramló energiát: P = E ∆t E w ⋅ q ⋅ ∆x = = w ⋅q⋅c ∆t ∆t A sugárzás intenzitása (energiaáram-sűrűség): Megadja az egységnyi felületen időegység alatt átáramlott energiát. Iránya a terjedési sebesség irányába mutat P W  S = = w ⋅c ill. S = w ⋅c  m 2  , q P= Ez kifejezhető az energiasűrűséggel is, mert: Az intenzitás és az amplitúdó távolságfüggése: Pontszerű hullámforrás esetén a térhullámok hullámfrontjai koncentrikus gömbök. A gömbhullám intenzitását megkapjuk, ha a

sugárzási teljesítményt elosztjuk a gömb felszínéP 1 vel: S G = = ⋅ ρ ⋅ A2 ⋅ ω 2 ⋅ c 2 2 4 ⋅π ⋅ r 1 Ebből látható, hogy a gömbhullám amplitúdója fordítottan arányos a távolsággal: AG ~ r Ha a hullámforrás vonalszerű (hosszú vékony rúd), akkor a térben hengerhullámok alakulnak ki, a hullámfrontok koaxiális hengerek. ∆h magasságú henger esetén az intenzitás: P SH = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ∆h A pontszerű hullámforrás esetén keletkező felületi hullám (pl. vízbe kavicsot ejtünk) hullámfrontjai koncentrikus körök, amik tekinthetők egy vékony ∆h magasságú rétegben terjedő hengerhullámnak. Ennek intenzitása: P 1 SH = = ⋅ ρ ⋅ A2 ⋅ ω 2 ⋅ c 2 ⋅ π ⋅ r⋅ ∆h 2 Ebből látszik, hogy pontszerű hullámforrás esetén a felületi hullám amplitúdója a távolság 1 négyzetgyökével fordítottan arányos: AF ~ r A valóságban a belső súrlódások és egyéb veszteségek miatt az amplitúdók a fenti képletekből

számíthatónál jobban csökkennek. 6.4 A mechanikai hullámok terjedése 6.41 Terjedési tulajdonságok Huygens-elv Homogén (egynemű, egyenletes anyageloszlású) és izotrop (a közeg tulajdonságai minden irányban azonosak) közegben a hullámok egyenes vonalban terjednek. Ha a hullám egy közeghatárhoz érkezik, akkor egy része visszaverődik, a másik része behatol az új közegbe. A két közegben a terjedési sebesség és a hullámhossz eltérő, de a frekvencia változatlan Ha a hullám olyan közegbe érkezik, ahol a terjedési sebessége nagyobb, mint az előző közegben volt, akkor ellentétes fázisban verődik vissza. Ha az új közegben kisebb a terjedési 43 sebessége, akkor a visszaverődés azonos fázisú. Pl egy kötélen vagy acéldróton terjedő transzverzális hullámnál jól megfigyelhető, hogy rögzített vég esetén a hullám ellentétes fázisban verődik vissza, szabad vég esetén pedig azonos fázisban. akadály hullámfrontok 6.5

ábra Ha egy felületi- vagy térhullám keskeny résen halad keresztül, vagy egy akadály mellett halad el, melynek mérete a hullámhosszal öszszemérhető, akkor ott is tapasztalunk hullámjelenséget, ahová egyenes terjedéssel a hullám nem juthatna el. Ez a jelenség jól megfigyelhető a víz felületén terjedő hullámok esetén (6.5 ábra). Huygens (hajgensz) – elv: Egy hullámfront minden egyes pontja elemi gömbhullámok kiindulópontja, és ezek burkoló felülete adja a későbbi hullámfrontot. Ezzel nem csak a terjedés, hanem a törés és visszaverődés törvénye is magyarázható. A 6.6 ábrán látható, hogy a beeső hulbeeső hullámfront lámfront A pontja éppen eléri a visszaverő elemi gömbfelületet. hullám Egy periódusidő elteltével a belőle kiinbeeső sugár duló elemi gömbhullám hullámhossznyi A távolságot tesz meg visszafelé. Ezalatt a B pontból kiinduló elemi gömbhullám éppen B eléri a visszaverő felületet a C pontban. C A

C pontból tehát most indul visszafelé visszavert sugár az elemi gömbhullám. Az A és C pontok közötti elemi hullámok a visszaindulástól eltelt időtől függő távolságokat tesznek meg. visszavert hullámfront A C ponttól az A középpontú körhöz húzott érintő adja a visszavert hullámfrontot 6.6 ábra egy periódusidő múlva. A beesési és visszaverődési szög egyenlő A 6.7 ábrán a hullámok törése figyelhető meg A beeső hullámfront N pontja éppen eléri a közeghatárt. Amíg ez a hullámfront megtesz λ1 hullámhossznyi távolságot az első közegben T idő alatt, addig a második közegben a hullám λ2 hullámhossznyi távolságot tesz meg. Az NOP derékszögű háromszögből sin α = λ1 , az NPQ háromszögből pedig sin β = λ2 . x x A két egyenletet elosztva egymással megkapjuk a Snellius – Descartes törvényt, a hullámok sinα λ1 c1 n 21 = = = , törési törvényét: sinβ λ 2 c 2 mert c=f⋅λ és f=állandó. n21 a második

közegnek az elsőre vonatkoztatott törésmutatója, c pedig a terjedési sebesség az egyes közegekben. 44 Beeső sugár N λ2 α Q α Beesési merőleges x β O β λ1 P Megtört sugár közeghatár 6.7 ábra 6.42 Hullámok szuperpozíciója Interferencia Szuperpozíció: A hullámok találkozásakor a tényleges kitérés minden pillanatban az egyes hullámok kitéréseinek vektori összege. A szuperpozíció megfigyelhető, ha pl egy kötél két végéről hullámhegyeket indítunk egymással szemben A találkozáskor a két kitérés összeadódik Ha egyik végről hullámhegyet, a másikról hullámvölgyet indítunk, akkor találkozáskor a két kitérés különbsége figyelhető meg. Interferencia: Koherens hullámok találkozásakor lejátszódó jelenség, melynek eredményeként a hullámok egymást erősíthetik, vagy gyengíthetik. Az azonos fázisban találkozó hullámok interferenciája maximális erősítést eredményez, az azonos amplitúdójú,

ellentétes fázisú hullámok pedig kioltják egymást. A koherencia interferencia-képességet jelent, azaz azonos fajta hullámok tartósan – az észlelési időn túl – azonos fáziskülönbséggel találkoznak. Ehhez a hullámok frekvenciájának ill. hullámhosszának meg kell egyeznie, és a hullámforrások kezdőfázisainak is állandónak kell lennie. Az egymásra merőlegesen polarizált hullámok nem koherensek Ha két pontszerű forrásból kiinduló hullám találkozását vizsgáljuk egy P pontban, és az egyik kezdőfázisát nullának választjuk, akkor az általuk okozott kitérések: y1= A1⋅ sin(ω⋅ t-k⋅x1), és y2= A2⋅ sin(ω⋅ t-k⋅x2+ϕ) A két hullám fázisának különbsége: ω⋅ t-k⋅x1-(ω⋅ t-k⋅x2+ϕ)=k⋅(x2- x1)-ϕ. Látható, hogy a fáziskülönbség csak az útkülönbségtől és a kezdőfázistól függ. Azonos fázisú hullámforrások esetén ϕ=0, így azonos fázisban találkoznak a hullámok és maximális erősítést kapunk,

ha az útkülönbség a fél hullámhossz páros számú többszöröse: ∆s = 2k λ , k=0, 1, 2, . Ezek a k-adrendű erősítési helyek 2 A maximális gyengítés (azonos amplitúdó esetén kioltás) ott keletkezik, ahol ellentétes fázisban találkoznak a hullámok. Ennek feltétele, hogy az útkülönbség a fél hullámhossz páratlan számú többszöröse legyen: ∆s = (2k − 1) λ , k=1, 2, 3, . 2 k-adrendű maximális gyengítési helyek. 45 A 6.8 ábrán felületi hullámok hullámfrontjai láthatók A folytonos vonal hullámhegyet, a szaggatott hullámvölgyet jelent. A nulladrendű maximális erősítésű helyek a hullámforrásokat összekötő szakasz felezőmerőlegesén helyezkednek el, a többi maximális erősítési hely pedig hiperbola-íveken található. Max. erősítésű helyek Ha vízbe egyszerre érkezik két kavics, akkor ezen ívek mentén látjuk mozogni a kidudorodásokat és bemélyedéseket. 6.8 ábra 6.43 Huygens-Fresnel elv 7.9

ábra S e 0 α α ∆s A Huygens elvet Fresnel (frenel) pontosította úgy, hogy a hullámtér pontjai elemi gömbhullámok kiindulópontjai, és ezen elemi hullámok interferenciája határozza meg a hullámtér későbbi állapotát. Ha víz felületén pl. egyenes hullámfrontokat keltünk egy beejtett pálcával, és néhány hullámhossznyi szélességű résen mennek át a hullámok, akkor elhajlás jön létre. Meghatározott irányokban maximális erősítéseket ill kioltásokat figyelhetünk meg. Az intenzitás irányfüggő, a nulladrendű elhajlásé a legerősebb. A Huygens-Fresnel elv alapján az elhajlási irányok és az intenzitás is meghatározható A réstől távoli e egyenesen vizsgáljuk az interferencia eredményét. Ebben az esetben a résből kiinduló hullámok csak nagyon kis szöget zárnak be egymással, ezért közel párhuzamosoknak tekinthetők. A rés két széléből kiinduló hullámok útkülönbsége ∆s. Ha ez a távolság a fél

hullámhossz páros számú többszöröse, akkor a hullám olyan páros számú nyalábra osztható, amelyeken belül minden sugárnak van olyan párja, amelyek útkülönbsége éppen fél hullámhossznyi, ezért kioltják egymást (6.9 ábrán ∆s=λ) 6.9 ábra 46 A nulladrendű elhajláshoz ∆s = d ⋅ sin α ki = 2n ⋅ λ 2 képest ez az irány d résszélesség esetén a n=1, 2, 3, , összefüggésből határozható meg a 7.9 ábra alap- ján. A maximális erősítési helyeket akkor kapjuk, ha ∆s a félhullámhossz páratlan számú többszöröse, mert ilyenkor a két szomszédos zóna sugarai kioltják, a harmadik nyaláb sugarai pedig erősítik egymást, mert az útkülönbségük biztosan kisebb mint a hullámhossz fele: ∆s = d ⋅ sin α er = (2n + 1) ⋅ λ , n=0, 1, 2, 3, 2 Az intenzitás eloszlása is látható a 7.9 ábrán 6.44 Állóhullámok Egydimenziós (vonalmenti) állóhullámok: Egymással szemben haladó azonos amplitúdójú

hullámok interferenciája állóhullámot eredményez. Ilyen állóhullám létrehozható pl úgy, hogy egy kötél egyik végét rögzítjük, a másik végét pedig állandó amplitúdójú rezgésbe hozzuk. Bizonyos feltételek teljesülése esetén állóhullámok alakulnak ki Az l hosszúságú kötél egyik végétől x távolságra levő pont kitérését az y1=A⋅sin(ω⋅t-k⋅x), ill. az y2=–A⋅sin[ω⋅t-k⋅(2l–x)] hullámegyenletekből lehet meghatározni A második egyenlet a visszavert hullám egyenlete, ami 2l–x utat tett meg odáig, a negatív előjel pedig azért van, mert a rögzített végről visszavert hullám ellentétes fázisban verődik vissza. A kitérés: y=y1+y2 . Ha A-t kiemeljük és felhasználhatjuk a α−β α+β sin α − sin β = 2 sin trigonometrikus azonosságot, akkor a hullámegyenle⋅ cos 2 2 α+β=2(ω t-kl), tekből: α-β=2k(l-x) és így a kitérés: y=2Asin[k(l-x)]⋅cos(ω t-kl) A képletből látható, hogy az ω

körfrekvenciájú rezgés amplitúdója a hely függvényében szinuszosan változik, maximuma 2A. 2π λ Mivel k = , az l − x = n helyeken a rezgés amplitúdója nulla, λ 2 az l − x = (2n − 1) λ 4 helyeken pedig az amplitúdó maximális. (n=1, 2, 3, ) Azokat a helyeket, ahol az amplitúdó maximális: duzaadóhelynek nevezzük. Azokat a helyeket, ahol az amplitúdó minimális: csomópontoknak nevezzük. Két egymáshoz legközelebbi csomópont és duzzadóhely távolsága a hullámhossz negyede. A 6.10 ábrán a mindkét végén rögzített kötél, a 6.11 ábrán a mindkét végén szabad kötél illetve a nyitott síp, a 6.12 ábrán pedig az egyik végén rögzített, másik végén szabad kötél ill. a zárt síp állóhullámai láthatók 7.10 ábra 6.10 ábra 47 7.11 ábra 7.12 ábra 6.12 ábra 6.11 ábra A rögzítési pontokban természetesen csomópontok vannak, a szabad végeknél pedig duzzadóhelyek. Kétdimenziós (felületi), és 3

dimenziós állóhullámok: + + + – – + + Ha egy keretre tapadó szappanhártyán állóhullámokat keltünk, akkor csomóvonalak figyelhetők meg. Téglalap alakú keret szappanhártyáján a legegyszerűbb csomóvonalak egyenesek, amelyek néhány lehetséges esete a 6.13 ábrán látható A + jelek kidudorodást, a – jelek behorpadást (ellentétes irányú kidudorodást) jelentenek egy adott pillanatban. Kör alakú keret esetén a csomóvonalak körök és egyenesek is lehetnek. – + – – + 7.13 ábra 6.13 ábra Háromdimenziós állóhullámok jöhetnek létre egy merev falú rugalmas közeggel kitöltött test belsejében. Ilyen esetben csomófelületek alakulnak ki. Egy merev falú gömbbel határolt rugalmas közegben a csomófelületek csomósíkok és csomógömbök lehetnek. 48 Hőtan (termodinamika) 7. Empírikus hőtan A hőtan első főtétele 7.1 Hőtani alapfogalmak Hőmérséklet: A hőmérséklet fogalma a hőérzetünk alapján alakult

ki. A különböző állapotú testeket hidegnek vagy melegnek érezzük, néha fázunk, néha melegünk van A hőérzet azonban szubjektív Ha pl. egyik kezünket meleg, a másikat hideg vízben tartjuk, majd mindkettőt langyos vízbe tesszük, akkor az egyik kezünkkel ezt melegnek, a másikkal hidegnek érezzük Az is megfigyelhető, hogy a testek fizikai tulajdonságai megváltoznak, ha a hőérzetünk változik. Ezek a fizikai tulajdonság változások már lehetővé teszik a hőmérséklet mérését A termodinamika nulladik főtétele: Legyen egy A és egy B test. Egy kis méretű harmadik testet (C) – ami csak elhanyagolhatóan változtatja meg a másik testek hőállapotát – hozzunk termikus egyensúlyba először az A, majd a B testtel. Ha C fizikai tulajdonságai a két esetben megegyeznek, akkor az A és B testek egymással hőegyensúlyi állapotban vannak, hőmérsékletük egyenlő. Ezt a tapasztalati tényt a termodinamika nulladik főtételének nevezzük. Ha a

C test fizikai tulajdonságai a két esetben eltérőek, akkor A és B hőmérséklete is különböző. A hőmérséklet mérésére a C test fizikai tulajdonságainak változásai alkalmasak A Celsius-féle hőmérsékleti skála két alappontja normál légköri nyomáson a jég olvadáspontja (0 °C) és a víz forráspontja (100 °C). Ha higanyos hőmérőt termikus egyensúlyba hozunk az alappontokat meghatározó testekkel, és megjelöljük az egyensúlyi állapotokban a higany szintjét, majd a kapott távolságot 100 egyenlő részre osztjuk, akkor megkapjuk a Celsius-féle hőmérsékleti skálát. A °C-ban mért hőmérséklet jele: t A gyakorlatban használnak a folyadékos hőmérőkön kívül ellenállás-, ikerfémes-, hőelemes-, tenziós és egyéb hőmérőket is. Magas hőmérsékletek mérésére a sugárzásmérésen alapuló pirométerek alkalmasak. A különböző hőmérsékleti tartományokban eltérő fizikai tulajdonságok változásait használjuk a

hőmérséklet mérésére. Ha különböző kezdeti állapotú gázok nyomását vizsgáljuk a hőmérséklet függvényében állandó térfogaton, akkor azt tapasztaljuk, hogy csökkenő hőmérséklettel lineárisan csökken a nyomásuk is. A kezdeti állapottól függetlenül azonos hőmérsékleten lenne a nyomásuk nulla W. Thomson (Lord Kelvin) javasolta, hogy a Celsius-féle beosztást megtartva a skála kezdőpontját ide célszerű eltolni Az így kapott hőmérséklet a termodinamikai vagy abszolút hőmérséklet. Jele: T, mértékegysége: kelvin [K] A két skálán a változás azonos, tehát: ∆T=∆t A kezdőpontok különbsége miatt T=(t+273) [K] A hőmérséklet állapotjelző, csak a test állapotától függ, nem függ az anyagától vagy a méretétől. Az anyagok részecskéi rendezetlen mozgást végeznek. A testek abszolút hőmérséklete az egy részecskére jutó átlagos rendezetlen mozgási energiával arányos. Hőmennyiség (Q): A hőmennyiség egy

energiafajta, ami a hőfolyamatok során egyik testről a másiknak adódik át, vagy más energiafajtából állítható elő. A tapasztalat szerint két különböző hőmérsékletű test érintkezésekor a hidegebb felmelegszik, a melegebb pedig lehűl Eközben a melegebb test hőenergiát, hőmennyiséget ad át a hidegebbnek. 49 Ha két testet összedörzsölünk, a súrlódás miatt felmelegszenek. Ha egy ellenálláson villamos áramot vezetünk át, akkor is melegedést tapasztalunk Ezekben az esetekben is hőenergia fejlődik. A testek által felvett hőenergia a növelheti a testek részecskéinek átlagos mozgási energiáját (hőmérsékletét), megváltoztathatja a részecskék közötti kapcsolatokat, a részecskék egymáshoz viszonyított potenciális energiáját (halmazállapot változás, fázisátalakulás), de fordítódhat munkavégzésre is. A hőmennyiség nem állapotjelző, hanem útfüggvény (A hőmennyiség attól is függ, hogy milyen úton, milyen

állapotváltozásokon keresztül jutott a test a kezdeti állapotból a végállapotba.) Belső energia (U): Egy test belső szerkezetével, belső tulajdonságaival összefüggő energiát belső energiának nevezzük. Egy test belső energiája a részecskék egymáshoz viszonyított potenciális és rendezetlen mozgási energiáinak összege A belső energia összetett állapotjelző (l 73) Térfogati munka (W): Egy hengerbe zárt gáz térfogatát csökkentsük a 7.1 ábrának megfelelően úgy, hogy közben a gáz nyomása ne változzon meg (nagyon lassú és kicsi elmozdulás, és közben a gázt hűteni kell) A gázon végzett munka: ∆W=F⋅∆s. Ha a dugattyú egyenletesen mozog, akkor F=–p⋅A, mert a dugattyúra a gáz nyomása ∆s kifelé ható erőt fejt ki. A gázon végzett munka így: F A ∆W== –p⋅A⋅∆s= – p⋅∆V ∆V Differenciálisan kicsi elmozdulás esetén: dW= – p dV, V2 7.1 ábra ill. W = − ∫ pdV V1 Ez azt jelenti, hogy ha ismerjük a

nyomást a térfogat függvényében, akkor a grafikon alatti terület megadja a térfogati munka abszolútértékét. A térfogati munka összenyomáskor pozitív (∆V negatív), táguláskor negatív előjelű A térfogati munka nem állapotjelző, hanem útfüggvény. 7.2 A termodinamika I főtétele Az általános energiamegmaradás elve A termodinamika I. főtétele: Egy test belső energiájának megváltozása (∆U) egyenlő a közölt hőmennyiség (Q) és a testen végzett térfogati munka (W) összegével: ∆U=Q+W A felvett hőmennyiség, és az összenyomáskor végzett munka pozitív előjelű. A térfogati munka negatív értékét tágulási munkának (Wt) nevezzük: Wt= – W A hőtan I. főtétele a tágulási munkával: Q= ∆U+ Wt Ezt az alakot a hőerőgépészek szeretik elsősorban. Fizikai tartalma: A gázzal közölt hőmennyiség (a tüzelőanyag elégetése során fejlődött hőenergia) tágulási munkát végez, egy része pedig a gáz belső energiáját

növeli. Ez a törvény nem vezethető le, de ezzel ellentéteset még senki nem tapasztalt. Az általános energiamegmaradás elve: Zárt rendszerben a folyamatok jellegétől függetlenül a rendszer összes energiája állandó. Nyitott rendszer esetén ez azt jelenti, hogy a rendszer energiája pontosan annyival változik, amennyi a környezetből felvett vagy leadott energia. Energia tehát nem keletkezhet, és nem is tűnhet el. 50 7.3 Állapotjelzők Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyek a rendszer egyensúlyi állapotát egyértelműen meghatározzák, állapotjelzőknek nevezzük. Ha megváltozik a rendszer állapota, akkor az állapotjelzők értéke csak az új állapottól függ, és nem függ attól, hogy milyen állapotváltozásokon keresztül jutott a rendszer ebbe az állapotba. Ilyen pl a hőmérséklet, a nyomás, a térfogat, stb Azokat a mennyiségeket, amelyek értéke függ attól, hogy egy rendszer milyen változásokon keresztül került az új

állapotba, útfüggvényeknek nevezzük. Ilyen pl a hőmennyiség és a térfogati munka. Extenzív állapotjelzők: Azokat az állapotjelzőket, amelyek a rendszereket elválasztó szigetelések megszűntetésekor összeadódnak, extenzív állapotjelzőknek nevezzük. Ilyenek például a tömeg, részecskeszám, térfogat, belső energia Intenzív állapotjelzők: Azokat az állapotjelzőket, amelyek az egyensúlyi rendszereket elválasztó szigetelések feloldásakor kiegyenlítődnek, intenzív állapotjelzőknek nevezzük. Ilyenek pl a hőmérséklet és a nyomás A gázok állapotjelzői: – Térfogat (V): A tárolóedény térfogatát tekintjük az ideális gáz térfogatának. – Nyomás (p): Abból származik, hogy a gázrészecskék az edény falával abszolút rugalmasan ütköznek, és közben erőt fejtenek ki az edény falára: F N  , ha F ⊥ A , mértékegysége:  2  = [Pa ] pascal p= A m  – Hőmérséklet (T ): Az egy részecskére jutó

átlagos mozgási energiával arányos – Anyagmennyiség (n): 6,02⋅1023 db részecske = 1 mol (Avogadro-szám: NA=6⋅1023 1/mol) – Részecskeszám (N ) N m = , n= NA M ahol M – moláris tömeg [kg/mol], mely megadja 1 mol anyag tömegét. – Sűrűség (ρ): ρ=m/V 7.4 Szilárd testek és folyadékok hőtágulása Térfogati hőtágulás: Ha szilárd testeket vagy folyadékokat melegítünk, akkor megváltozik a térfogatuk. A legtöbb esetben növekvő hőmérséklettel a térfogat növekszik (Eléggé közismert az is, hogy a víz térfogata 4 °C alatt csökkenő hőmérséklettel növekszik) A térfogatváltozás (∆V) egyenesen arányos a kezdeti térfogattal (V0) és a hőmérsékletváltozással (∆t): ∆V = β ⋅ V0 ⋅ ∆t ill. V=V0(1+β⋅∆t) β – térfogati hőtágulási tényező, mely megadja, hogy 1°C hőmérsékletváltozás mekkora ∆V V 1 1 relatív térfogatváltozást okoz. β = 0 Mértékegysége: = ∆t K °C A térfogati hőtágulást

használjuk pl. a folyadékos hőmérőkben Az üreges testek hőtágulásakor az üreg ugyanúgy tágul, mint ha ott is anyag lenne. Mivel a hőmérsékletváltozás nem okozza a testek tömegének változását, a hőtágulás a tes- 51 ρ0 m m = = V V0 ⋅ (1 + β ⋅ ∆t ) 1 + β ⋅ ∆t A víz megfagyásakor és a jég hűlésekor bekövetkező térfogat növekedés okozza télen az utak fagykárait. Lineáris hőtágulás: Hosszú, vékony, rúdszerű testek esetén a keresztirányú kezdeti méretek kicsik, ezért az ilyen irányú hosszváltozások is elhanyagolhatók. Az ilyen testeknél csak a hosszméret változása (∆l) számottevő, ami a kezdeti hosszúsággal (l0) és a hőmérsékletváltozással (∆t) egyenesen arányos: ∆l = α ⋅ l 0 ⋅ ∆t , ill. l=l0(1+α⋅∆t) tek sűrűségét is megváltoztatja: ρ= α – lineáris hőtágulási tényező, mely megadja, hogy 1°C hőmérsékletváltozás mekkora relatív hosszváltozást okoz.

Mértékegysége: 1 1 = K °C Adott anyag esetén β≅3α A lineáris hőtágulást hasznosítják pl. az ikerfémeknél Két különböző hőtágulási tényezőjű fémet egymásra hengerelnek, és egyik végét rögzítik. Növekvő hőmérséklet hatására a nagyobb hőtágulási együtthatójú fém jobban megnyúlik, ezért a szabad vég a kisebb hőtágulási tényezőjű fém felé elhajlik. Gyakran használják a hőtágulást csapágyak tengelyvégre való rögzítésekor. A tengelyt lehűtik, majd ráhúzzák a csapágyat A tengely felmelegedésekor a csapágy rászorul A hordókra az abroncsot felmelegítve húzzák rá, ami lehűléskor összeszorítja a dongákat. 7.5 Az ideális gázok állapotegyenletei Az ideális gázoknál a részecskék egymással és az edény falával abszolút rugalmasan ütköznek. Két ütközés között egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek, tehát egymásra ilyenkor nem fejtenek ki erőt. Ezt a mozgást rendezetlen

hőmozgásnak nevezzük, mert az ütközések miatt a részecskék sebességének mind a nagysága, mind az iránya változik, az átlagsebesség nagysága pedig a hőmérséklettől függ. 7.51 Boyle – Mariotte törvény (izoterm állapotváltozás) Ha egy jó hövezető anyagból készített mozgatható falú tartályban (7.1 ábra) a bezárt gáz térfogatát nagyon lassan változtatjuk úgy, hogy a gáz hőmérséklete állandó maradjon, akkor azt tapasztaljuk, hogy a nyomás és a térfogat szorzata állandó: p⋅ V= állandó, ha T=állandó Ez azt jelenti, hogy a gáz nyomása és térfogata között fordított arányosság van: állandó p= , ha n = állandó és V T=állandó. A p - V diagramon ez hiperbolákat eredményez A magasabb hőmérséklethez tartozó hiperbola feljebb van Ezeket a görbéket izotermáknak nevezzük. Az izotermák egymást nem metszik Ilyen izotermák láthatók a 7.2 ábrán p T2 izotermák T1 V 7.2 ábra 52 Az állandó mennyiségű

gáz állandó hőmérsékleten bekövetkező állapotváltozását izoterm állapotváltozásnak nevezzük. 7.52 Gay-Lussac I törvénye (izobár állapotváltozás) Izobár állapotváltozás: Az állandó mennyiségű gáz állandó nyomáson végbemenő állapotváltozása (n=állandó és p p=állandó). p Ha egy jó hővezető anyagból készült mozgatható falú tartályban (7.1 ábra) a gázt nagyon lassan összenyomjuk és közben hűtjük úgy, hogy a nyomás állandó maradjon, vagy a gázt lassan melegítjük, miközben a külső nyomás állandó, akkor azt tapasztaljuk, hogy a gáz térfogatának és abszolút hőmérsékletéV1 V2 V nek hányadosa állandó: 7.3 ábra V = állandó , ha n=állandó és p=állandó T Ez azt is jelenti, hogy a térfogatváltozás és a hőmérsékletváltozás között egyenes arányosság van: ∆V = β ⋅ V0 ⋅ ∆t ill. V=V0(1+β⋅∆t) 1 Ha az alaphőmérséklet 0 °C, akkor a gáz anyagi minőségétől függetlenül β = 273°C

Ennek az állapotváltozásnak a p – V diagramja látható a 7.3 ábrán 7.53 Gay-Lussac II törvénye (izochor állapotváltozás) Izochor (izokór) állapotváltozás: Állandó mennyiségű gáz állandó térfogaton bekövetkező állapotváltozása p (n=állandó és V=állandó). p2 Ha egy zárt, merev, hővezető falú tartályban levő gázt melegítünk, akkor a gáz nyomásának és abszolút hőmérsékletének hányadosa állandó: p1 p = állandó , ha n=állandó és V=állandó T V V Ez azt is jelenti, hogy a nyomásváltozás egyenesen arányos a hőmérsékletváltozással és a kezdeti nyomással. 7.4 ábra ∆p = β ⋅ p 0 ⋅ ∆t Ha az alaphőmérséklet 0 °C, akkor a gáz anyagi minőségétől függetlenül az arányossági 1 tényező ebben az esetben is β = . 273°C Ennek az állapotváltozásnak a p – V diagramja látható a 7.4 ábrán p 7.54 Az általános gáztörvény A p1, V1, T1 kezdeti állapotú állandó mennyiségű gázt juttassuk el a p2,

V2, T2 végállapotba. Mivel a kezdeti és végállapotot is az állapotjelzők határozzák meg, a két állapot között tetszőleges utat választhatunk. Legyen az útfüggvény a 75 ábra szerinti izobár majd izoterm folyamat. p1 T1 T2 p2 V1 V 7.5 ábra V2 V 53 V1 V = , a másodikra pedig hogy p1 ⋅ V = p 2 ⋅ V2 . T1 T2 Ha a két egyenletet összeszorozzuk, majd V-vel egyszerűsítünk, akkor megkapjuk az állandó mennyiségű ideális gázokra vonatkozó általános gáztörvényt: Az első változásra felírhatjuk, hogy p1 ⋅ V1 p 2 ⋅ V2 p ⋅V = , ill.: = állandó T1 T2 T Mérések alapján a fenti egyenlet jobb oldalán levő állandó értéke 1 mol gáz esetén a gáz J fajtájától függetlenül R ≈ 8,31 . mol ⋅ K n mol gáz esetén az állandó értéke n⋅R. R – univerzális (egyetemes; moláris) gázállandó, mely csak a mértékrendszertől függ, a gáz fajtájától mennyiségétől független. m Az egyetemes gázállandó segítségével

írhatjuk, hogy: p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T = ⋅ R ⋅T M Ezt az összefüggést az ideális gázok állapotegyenletének nevezzük, mert megadja a gáz adott állapotában az állapotjelzők közötti matematikai kapcsolatot. m Mindkét oldalt V-vel osztva, és a sűrűség értelmezését figyelembe véve ( ρ = )kapjuk az V állapotegyenlet másik alakját: p = ρ M ⋅ R ⋅T Az általános gáztörvény nem állandó mennyiségű gáz esetén: : 7.6 p1 ⋅ V1 p 2 ⋅ V2 = n1 ⋅ T1 n 2 ⋅ T2 A fajhő és a fázisátalakulási hők A termodinamika I. főtétele alapján egy test belső energiaváltozása egyenlő a közölt hőmennyiség és a testen végzett munka összegével Mivel a belső energia állapotjelző, a változása is csak a kezdeti és végállapottól függ Ha szilárd testeket vagy folyadékokat melegítünk, akkor a test térfogata kis mértékben változik. Eközben a test a környező közeg nyomása ellenében munkát végez A kicsi térfogatváltozás

miatt azonban ez a munka nem számottevő, így jó közelítéssel azt mondhatjuk, hogy a felvett hőmennyiség a test belső energiáját növelte: ∆U≈Q. A melegedéskor felvett hőmennyiség (Q) egyenesen arányos a test tömegével (m) és a hőmérsékletváltozással (∆t) A különböző anyagok esetén az arányossági tényező méréssel határozható meg. Ezt az anyagi állandót fajhőnek nevezzük (c), ami megadja, hogy mennyi hőenergia kell az 1kg tömegű anyag hőmérsékletének 1 °C-kal való megváltoztatásához Q=c⋅m⋅∆t A C=Q/∆t mennyiséget hőkapacitásnak nevezzük, melynek mértékegysége: J/kg. Gázok fajhöi: Gázok esetén a térfogatváltozás jelentős lehet, ezért a munkavégzés nem mindig elhanyagolható. A hőmennyiség útfüggvény, ezért azonos kezdeti és végállapotok esetén a felvett hőmenynyiség attól is függ, hogy a gáz milyen állapotváltozásokon keresztül jutott az kezdetiből a végállapotba. Állandó

térfogaton nincs munkavégzés, ezért Q=∆U. Ezt a hőmennyiséget az előzőhöz hasonlóan számíthatjuk, de a fajhőt állandó térfogaton mért fajhőnek (cv) nevezzük: ∆U= Q=cv⋅m⋅∆t 54 Ha a hőfelvétel állandó nyomáson történik, akkor azonos hőmérsékletváltozáshoz a belső energia megváltoztatásán kívül még munkát is kell végezni, ezért több hőre van szükség. A felvett hőmennyiség ilyenkor Q=cp⋅m⋅∆t Egy gáz állandó nyomáson mért fajhője (cp) mindig nagyobb, mint az állandó térfogaton mért fajhő. Állandó nyomáson a felvett hőmennyiség: Q= ∆U+ Wt = cv⋅m⋅∆T + p⋅∆V= cv⋅m⋅∆T + n⋅R⋅∆T A fenti két egyenletből: cp⋅m⋅∆T= cv⋅m⋅∆T + n⋅R⋅∆T m n= ill.: cp⋅m⋅∆T – cv⋅m⋅∆T = n⋅R⋅∆T és M R Ezekből a két fajhő különbsége: c p − cv = M Fázisátalakulás, halmazállapot-változás Ugyanaz az anyag különböző körülmények között eltérő halmazállapotban

fordul elő, de egy kristályos anyag belső szerkezete is eltérő lehet. A kénnek pl két allotrop módosulata van, egy rombuszos ill. egy monoklin szerkezet A grafit és a gyémánt is szénatomokból áll A halmazállapot vagy a belső szerkezet megváltozását fázisátalakulásnak is nevezzük. A fázisátalakulás állandó hőmérsékleten megy végbe, és hőfelvétellel vagy hőleadással jár. Ez a hőmennyiség egyenesen arányos az anyag tömegével, és függ az anyag fajtájától: Q=L⋅m Az L arányossági tényező a fázisátalakulási hő, amit halmazállapot-változáskor az átalakulás fajtájától függően olvadáshőnek (Lo), párolgáshőnek (Lp), vagy forráshőnek (Lf), nevezünk. Mértékegysége J/kg Megadja az 1 kg tömegű anyag halmazállapotának megváltoztatásához szükséges hőmennyiséget Ha egy szilárd testet lassan melegítünk, a felvett hőmennyit ség függvényében a hőmérséklete és a halmazállapotai a 7.5 ábrának megfelelő

módon változik. Ha a test halmazállapota nem változik, akkor a felvett hőmenypárolgás forrás Olvadás gőz nyiség a test hőmérsékletét növefagyás li, a részecskék átlagos mozgási Folyadék energiája növekszik + Ha halmazállapot-változás gőz vagy fázisátalakulás van, akkor a folyadék Szilárd felvett energia a részecskék + egymáshoz viszonyított potenQ folyadék ciális energiáját változtatja meg, szilárd a test hőmérséklete állandó. 7.5 ábra 55 8. Az ideális gázok belső energiája Nyílt folyamatok A valóságos gáz állapotegyenlete 8.1 Az ideális gázok belső energiája Az ekvipartíció –tétel A 7.6 fejezetben láttuk, hogy az ideális gázok belső energiaváltozása kiszámítható a ∆U=Q=cv⋅m⋅∆T képlettel. Ha T=0 hőmérsékleten U=0, akkor az ideális gázok belső energiája: U= cv⋅m⋅T Az ideális gázok belső energiája azonban a modell alapján is kiszámítható. Szabadsági fok (f): Egy részecske

szabadsági fokán azt értjük, hogy a mozgása hány egymástól független mozgásból tehető össze. Más megfogalmazásban a szabadsági fok megadja, hogy a részecske hány négyzetes energiataggal leírható energiát tárol. (Négyzetes energiatagok: mozgási energia, forgási energia, rugalmas energia) Egyatomos gázok esetén f=3. A gázatomot ugyanis úgy tekinthetjük, hogy az elhanyagolható méretű, de nagy tömegű atommagot elhanyagolható tömegű elektronfelhő veszi körül Egy ilyen részecske csak haladó mozgást (transzláció) végezhet, a sebessége pedig a tér három irányába mutató sebességkomponensből tehető össze. Ha egy részecske tömege µ, akkor 1 1 1 1 a tárolt energia: E = µ ⋅ v 2 = µ ⋅ v 2x + µ ⋅ v 2y + µ ⋅ v 2z 2 2 2 2 Kétatomos gázok esetén f=5. A kétatomos molekulát a súlyzómodellel jellemezhetjük A két atom magjában van két jelentős tömeg, és őket összeköti az elhanyagolható tömegű merev rúdnak

tekinthető elektronfelhő. z Olyan ez, mint a súlyemelők súlyzója (8.1 ábra) Egy ilyen részecske a haladó mozgáson kívül foroghat is. A r r tér három irányába mutató sebességkomponens 3 szabadsági foy kot jelent. Az atommagokat összekötő szakasz két egymásra mex rőleges felezőmerőlegese körüli forgás újabb 2 szabadsági fokot 8.1 ábra jelent (az ábrán az x és z tengely körüli forgás) A forgási energia 1 1 Ex = Ez = Θ ⋅ω 2 = 2 ⋅ µ ⋅ r 2 ⋅ω 2 2 2 A harmadik tengely (az ábrán az y tengely) körüli forgás nem tárol energiát, mert r≈0, a tengely átmegy a magokon. 1 Ekvipartíció-tétel (egyenlő rész): Minden részecske minden szabadsági fokára k ⋅ T 2 energia jut. k – Boltzmann-állandó. f Az N részecskéből álló ideális gáz belső energiája: U = ⋅ N ⋅ k ⋅ T 2 f Mivel N⋅k=n⋅R, a belső energia az U = ⋅ n ⋅ R ⋅ T képlettel is kiszámítható. 2 8.2 Nyílt folyamatok ideális gázokkal Azt a

folyamatot, amelynek végén a rendszer eredeti állapotába kerül vissza, körfolyamatnak nevezzük. Azt a folyamatot, amelynek végén a rendszer az eredetitől eltérő állapotba kerül, nyílt folyamatnak nevezzük. 56 8.21 Izoterm folyamat Állandó mennyiségű gáz állandó hőmérsékleten végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy ilyen változásnál a p⋅V szorzat állandó. Mivel állandó a hőmérséklet, ∆T=0, ezért ∆U=0 A termodinamika I. főtétele alapján a felvett hőmennyiség munkavégzésre fordítódik: Q= –W V2 A gázon végzett munka kiszámítható a W = ∫ − pdV összefüggéssel. Az állapotegyenletből V1 p= V n ⋅ R ⋅T 1 , ezért W = −n ⋅ R ⋅ T ∫ dV = −n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 2 V V V1 V1 V2 Tehát izoterm állapotváltozáskor a gázon végzett munka: V p W = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 1 = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 2 V2 p1 8.22 Izobár folyamat Állandó mennyiségű gáz állandó nyomáson végbemenő

állapotváltozása. Már láttuk, hogy V ilyen esetben a hányados állandó. T W= – p⋅(V2–V1)=n⋅R⋅ (T2–T1), A gázon végzett térfogati munka: mert a nyomás állandó, és p⋅V=n⋅R⋅T f m f A belső energia változása: ∆U = c v ⋅ m ⋅ ∆T = ⋅ ⋅ R ⋅ ∆T = ⋅ p ⋅ ∆V , 2 M 2 mert a belső energia állandó gázmennyiség esetén csak a hőmérséklettől és a gáz fajtájától függ. f R Ebből az egyenletből az állandó térfogaton mért fajhő: cv = ⋅ 2 M A felvett hőmennyiség: Q=cp⋅m⋅∆T, valamint az I. főtétel alapján Q=∆U + p∆V Az I. főtételbe a belső energia-változást és a végzett munkát behelyettesítve: f f +2 f +2 Q = ⋅ p ⋅ ∆V + p ⋅ ∆V = ⋅ p ⋅ ∆V = ⋅ n ⋅ R ⋅ ∆T 2 2 2 f +2 R Ezekből kapjuk az állandó nyomáson mért fajhőt: c p = ⋅ 2 M cp f +2 = A két fajhő hányadosát adiabatikus kitevőnek (κ) nevezzük: κ = cv f 8.23 Izochor (izokór) folyamat Állandó mennyiségű gáz

állandó térfogaton végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy p ilyen esetben a hányados állandó. T A térfogat állandósága miatt nincs elmozdulás, ezért nincs munkavégzés sem: W=0 A belső energia változása egyenlő a felvett hőmennyiséggel: ∆U=Q=cv⋅m⋅∆T 57 8.24 Adiabatikus folyamat Az adiabatikus állapotváltozásnál a rendszer és környezete között nincs hőcsere. Ez nagyon jó hőszigetelő falú tartály esetén valósítható meg, ill. ha a változás nagyon gyors, és nincs idő a hőcserére. p adiabata Adiabatikus folyamatnak tekinthető, amikor a szódás szifon patronját kibökjük, és a széndioxid gáz hirtelen kitágul. Azt T2 tapasztaljuk, hogy a gáz lehűl, mert a végizotermák zett tágulási munka a saját belső energiáját csökkenti. Adiabatikusnak tekinthető az is, amikor T1 a pumpában hirtelen összenyomjuk a levegőt, ami ekkor felmelegszik, mert a gázon végzett munka növeli a gáz belső energiáját. V Az

adiabatikus állapotváltozásnál tehát: 8.2 ábra Q=0 ∆U=W=cv⋅m⋅∆T Az adiabatikus változást a p – V síkon a 8.2 ábra mutatja Az adiabata meredekebb, mint az izotermák, ezért metszi őket Ha egy differenciálisan kicsi térfogatváltozást vizsgálunk, akkor a nyomást állandónak tekinthetjük. Ekkor a végzett munka kifejezhető a nyomással, de ez egyenlő a belső energia megváltozásával is, mert Q=0: – pdV= cv⋅mdT ( 8.1 ) m ⋅ R ⋅T R Az állapotegyenletből p = M , valamint c p − cv = V M m ⋅ (c p − c v ) ⋅ T Ezekből p = V m ⋅ (c p − c v ) ⋅ T − dV = cv ⋅ mdT Visszahelyettesítve a 8.1 egyenletbe: V cp = κ kapjuk, hogy Mindkét oldalt cv⋅ m – mel osztva, és figyelembe véve, hogy cv κ −1 1 − dV = dT V T κ −1 1 dV = ∫ dT Mindkét oldalt integrálva: − ∫ V T Az integrálást elvégezve: − (κ − 1) ln V = ln T + ln C , C – integrálási konstans 1 e-adik hatványra emelve mindkét oldalt: V −(κ −1) = κ

−1 = CT V κ −1 ( 8.2 ) Ebből T ⋅ V = állandó p ⋅V T= Mivel , ezért n⋅R p ⋅ V κ = állandó ( 8.3 ) A 8.2 és 83 egyenletekből V eliminálásával kapjuk, hogy: 58 Tκ = állandó p κ −1 8.25 Politropikus állapotváltozás A gyakorlatban az adiabatikus állapotváltozás pontosan nem valósítható meg, mert tökéletes hőszigetelés nincs, és minden folyamat lejátszódásához időre van szükség. Politrop állapotváltozásról beszélünk akkor, ha a végzett munkának mindig ugyanannyiad része távozik a rendszerből hőfolyamat során. A végzett munka nem egyenlő a belső energia megváltozásával, hanem annál kisebb: W=α⋅∆U és Q=(1-α)⋅∆U α<1, megadja, hogy a gázon végzett munka hányad része alakul át a gáz belső energiájává. 1−κ A politropikus kitevő: n = 1− . α A adiabatikus kitevő helyett a politrop kitevőt kell használni ennél az állapotváltozásnál: Tn T ⋅ V n −1 = állandó p ⋅ V n =

állandó = állandó p n −1 Ha α=1, akkor n=κ tehát adiabatikus állapotváltozás Ha α=∞, akkor n=1, ezért pV=állandó, tehát izoterm állapotváltozás Ha α=1-κ, akkor n=0, ezért p=állandó, tehát izobár állapotváltozás V V Ha α=0, akkor n=-∞, ezért 1 = 0 = állandó tehát izochor állapotváltozás p p∞ 8.3Reális gázok Telítetlen és telített gőzök Az ideális gázok térfogatán a tároló edény térfogatát értettük. A valóságban a gáz részecskéinek van saját térfogatuk is, ezért a mozgáshoz rendelkezésre álló hely ennél kisebb A térfogat csökkenése arányos a részecskék számával (N ), ill. a gáz tömegével (m) és függ a gáz fajtájától. A valódi gázrészecskék egymásra gyenge vonzóerőt fejtenek ki. Ez a vonzóerő arányos a N térfogategységben levő részecskeszámmal   , ami csökkenti a nyomást. Mivel a falba ütV  2 N N köző részecskék száma is arányos   -vel,

így a nyomáscsökkenés   − nel arányos. V  V  Ezek figyelembevételével a valódi gázok viselkedését pontosabban adja meg a 2   N    p + a⋅  ⋅ (V − b N ) = N ⋅ k ⋅ T van der Waals állapotegyenlet:   V    N m Adott gáz esetén az   hányados arányos   -vel, V  V  2   m    így a van der Waals egyenlet szokásos alakja: p + a ⋅   ⋅ (V − b ⋅ m ) = n ⋅ R ⋅ T   V    Az egyenletben „a” és „b” anyagi állandók 59 n ⋅ R ⋅T m − a ⋅  V −b⋅m V  A p – V síkon különböző állandó hőmérsékleteken ábrázolva az állapotváltozást, azt tapasztaljuk, hogy magas hőmérsékleten a görbe alakja jó közelítéssel hiperbola, olyan mint az ideális gázoké. pp Alacsonyabb hőmérsékleten a T>Tkr görbe eltér a hiperbolától. A kritikus hőmérsékletű (Tkr) izotermának

egy bizonyos térfogaton inflexiós T=Tkr pontja van. Ehhez a ponthoz tartopkr zik a kritikus nyomás (pkr). A kritikus hőmérséklet alatt a görbe alakja kicsit eltér a méréssel T<Tkr felvehető görbétől, mert a valóságV ban egy szakaszon összenyomáskor V Vkr 9.5ábra állandó nyomáson lecsapódás, táguláskor pedig forrás következik be. 8.3 ábra Mindez a 8.3 ábrán látható A kritikus hőmérsékletnél kisebb hőmérsékletű izotermán a vastagabb vízszintes vonal a méréssel felvehető, halmazállapotváltozással járó folyamatot mutatja. A keletkező folyadék már nagyon nagy nyomással is csak kicsit nyomható össze. A kritikus hőmérséklet felett a légnemű anyagot gáznak nevezzük. A gázok semekkora nyomással sem cseppfolyósíthatók. A kritikus hőmérséklet alatt a légnemű anyagot gőznek nevezzük. A gőzöknek két jól megkülönböztethető állapota lehetséges. Telítetlen gőz: Ha a gőzt állandó hőmérsékleten

összenyomjuk, és közben a nyomása növekszik, akkor a gőz telítetlen. Telített gőz: Ha a gőzt állandó hőmérsékleten összenyomva a nyomása állandó marad, de eközben a halmazállapota változik meg, mert lecsapódik, akkor a gőz telített. Az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásán térfogatnöveléskor a párolgás biztosítja a nyomás állandóságát 2 A valódi gáz nyomása a van der Waals – egyenletből: p = 8.4 Halmazállapot-változások Olvadás, fagyás: A szilárd – folyadék átalakulást olvadásnak nevezzük. Az a hőmérséklet, amelyen ez bekövetkezik, az olvadáspont A folyadék hűtésekor az olvadásponton a folyadék megfagy. A nagyon tiszta folyadék rázkódásmentesen túlhűthetö, ami azt jelenti, hogy a fagyáspontja alatti hőmérsékleten is folyadék halmazállapotú. Ha a túlhűtött folyadékot megmozgatjuk, azonnal megfagy, és felmelegszik a fagyáspontjára. A melegedéshez szükséges hőmennyiséget a

fagyás miatt felszabaduló energia biztosítja A nem kristályos szerkezetű szilárd testeket amorfnak nevezzük. Ilyen anyag pl a bitumen és az üveg. Az amorf testeknek nincs határozott olvadáspontjuk, hanem melegítéskor fokozatosan lágyulnak, egyre kisebb lesz a viszkozitásuk 60 Párolgás, lecsapódás: A folyadékokban a részecskék energiája állandó hőmérsékleten eltérő. A felszínhez közeli nagy mozgási energiájú részecskék ezért képesek legyőzni a többi molekula kohéziós erejét, és légneművé válnak. Állandó hőmérsékleten a párolgási sebesség függ a hőmérséklettől, és a felület nagyságától. Ha a folyadék fölötti gőzt eltávolítjuk, akkor a párolgási sebesség növekszik Ezért szárad gyorsabban a nedves ruha, ha fúj a szél. Forrás: A párolgásnak van egy speciális esete. Ha a folyadék telített gőzének a nyomása az adott hőmérsékleten éppen meghaladja a külső nyomást, akkor a folyadék forrni

kezd. Ez abban nyilvánul meg, hogy a folyadékban buborékok keletkeznek, és felszállnak. Általában a folyadékokban találhatók apró buborékok, amelyek a felületi feszültség miatt az edény falához tapadnak. Ha állandó nyomáson a folyadékot melegítjük, az adott nyomáshoz tartozó forrásponton nem csak a folyadék felszínéről lépnek ki részecskék, hanem a folyadék belsejében ezekbe a pici buborékokba is megindul a párolgás, mert a külső nyomás már ezt nem tudja megakadályozni. A buborékokban a folyadék telített gőze van A rohamos növekedés miatt a hidrosztatikai felhajtóerő is gyorsan nő, ezért a buborék felszáll. Forráspont: Forrás közben a folyadék hőmérséklete a hőfelvétel ellenére állandó nyomáson állandó. A forráspont növekvő nyomással növekszik Túlhevített folyadék: Ha a folyadék nem tartalmaz semmiféle szennyeződést és teljesen buborékmentes, akkor a forráspontja fölé növelhető a hőmérséklete. A

buborékmentes folyadék többszöri átforralással és lassú hűtéssel állítható elő A túlhevített folyadék rázás vagy más zavar hatására robbanásszerűen forrásba jön. Szublimáció: A szublimáció azt jelenti, hogy a szilárd test közvetlenül légneművé alakul. Szokták mondani, hogy „eltűnt mint a kámfor”. Szobahőmérsékleten és légköri nyomáson ugyanis a kámfor szublimál. Megfelelő hőmérsékleten és eléggé alacsony nyomáson minden anyag szublimál. 9. A hőtan II főtétele Az Entrópia 9.1 Kvázisztatikus reverzibilis és irreverzibilis folyamatok A lassan változó, egyensúlyi állapotokon keresztül végbemenő folyamatokat kvázisztatikus folyamatoknak nevezzük. Megfordítható (reverzibilis) folyamatok: Ha egy rendszert eredeti állapotába úgy tudjuk visszajuttatni, hogy a környezetében maradandó változás nem következik be, akkor a folyamat reverzibilis. Ilyennek tekinthető pl egy gáz kvázisztatikus izoterm

állapotváltozása. Ha nagyon lassan izotermikusan a gázt összenyomjuk, akkor a környezete melegszik. Ha ezután a gáz izotermikusan eredeti térfogatára tágul, akkor pontosan annyi hőt vesz fel, mint amennyit az összenyomáskor leadott. Ha a dugattyú súrlódása elhanyagolható, akkor a környezetben a folyamat végén nincs maradandó változás Irreverzibilis (nem megfordítható) folyamatok: A valóságos folyamatok mind irreverzibilisek, mert ha egy rendszer állapotát megváltoztatjuk, majd eredeti állapotát visszaállítjuk, akkor a környezetben maradó állapotváltozás történik. Mozgások esetén a súrlódás, közegellenállás miatt a környezet melegszik Két különböző hőmérsékletű test termikus kölcsönhatásakor a hőmérséklet kiegyenlítődik. Ez a folyamat önként megy végbe. Jó hőszigetelő merev falú tartályban a felvett és leadott hőmennyiségek egyenlők. Ahhoz azonban, hogy az eredeti hőmérsékleteket visszaállítsuk, 61

jelentős energia befektetés szükséges, mert a hűtés csak energia befektetésével valósítható meg. 9.2 A termodinamika II főtétele Ez a főtétel a természetben önként végbemenő folyamatok irányára vonatkozik, melynek többféle megfogalmazása is ismert. Clausius – féle megfogalmazás: Hő magától csak a melegebb helyről a hidegebb helyre mehet át, ezért a természeti folyamatokban a hőmérséklet-különbségek kiegyenlítődésre törekszenek. Planck – féle megfogalmazás: Nem lehet olyan periodikusan működő hőerőgépet készíteni, amelyik egyetlen hőtartály lehűlése árán munkát végezne. Az ilyen gépet másodfajú perpetuum mobilének nevezzük, A periodikus működésű gép úgy kerül vissza eredeti állapotába, hogy nullánál nagyobb eredő munkát végez. Ha létezne ilyen gép, akkor például az óceánok lehűlése árán mechanikai munkát végezhetne. Ez a főtétel nem zárja ki, hogy egy gép egyirányban működve a

hőtartály leadott energiáját teljes egészében mechanikai energiává alakítsa, de a folyamat végén a gép leáll, így folyamatos munkavégzésre nem használható. Ilyen gép lenne egy izotermikusan táguló gáz dugattyúja A periodikus működéshez azonban vissza kell vinni a dugattyút az eredeti állapotába 9.3 A Carnot körfolyamat A hőerőgépek olyan periodikus működésű gépek, amelyek 2 hőtartállyal vannak kapcsolatban. Mivel a ciklus végére eredeti állapotukba kerülnek vissza, a p – V p diagrammon a működésüket zárt görbe írja le. Az ilyen A folyamatokat körfolyamatoknak nevezzük. T2 A Carnot (karnó) körfolyamat két izoterm és két adiabatikus állapotváltozásB D ból áll. A 9.1 ábrán látható a körfolyamat ciklusa T1 Az A – B változás egy C izoterm tágulás a magasabb hőmérsékleten. Ilyenkor a V belső energia nem változik, a 9.1 ábra felvett hőmennyiség teljes egészében mechanikai munkavégzéssé alakul. A B – C

állapotváltozás adiabatikus tágulás. Itt nincs hőcsere, a munkavégzés a gáz belső energiájának rovására történik, ezért a gáz lehűl. A C – D állapotváltozás egy izoterm összenyomás az alacsonyabb hőmérsékleten. A végzett munka egyenlő a leadott hőmennyiséggel Ilyenkor a környezet melegszik 62 A D – A állapotváltozás adiabatikus összenyomás. A végzett munka a gáz belső energiáját növeli, ezért növekszik a gáz hőmérséklete. Mivel az adiabatikus változások azonos hőmérsékleti határok között történtek, az összenyomáskor végzett munka egyenlő a táguláskor a gáz által végzett munka nagyságával: cv⋅m⋅∆T= – WBC=WDA Az izoterm munkavégzések azonban különbözők, a magasabb hőmérsékleten végzett munka nagyobb (görbe alatti területek). Az összes munkavégzés, a hasznos munka egyenlő a bezárt területtel: Wh=WAB+WBC–WCD–WDA Wh =WAB–WCD Mivel az adiabatikus változásoknál nincs hőcsere, az

izoterm változásoknál pedig a belső energia állandó, a hasznos munkavégzés kiszámítható a felvett és a leadott hőmennyiségek abszolútértékének kűlönbségeként is: Wh=ΣQ=Qfel –  Qle 9.4 A hőerőgépek termodinamikai hatásfoka Egy ideális Carnot – gép a betáplált és a leadott hőmennyiség különbségét mechanikai Q fel − Qle Qle W ΣQ munkává alakítja. A hatásfoka: η = h = = = 1− Q fel ΣQ fel Q fel Q fel Ez a hatásfok független a használt gáz anyagi minőségétől. Adott hőmérsékleti határok között működő hőerőgépek közül a Carnot – gép a legjobb hatásfokú. V n ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ln C VD η = 1− V n ⋅ R ⋅ T2 ⋅ ln B VA Az adiabatikus folyamatokra felírhatjuk, hogy: T2 ⋅ VBκ −1 = T1 ⋅ VCκ −1 , ill. T2 ⋅ V Aκ −1 = T1 ⋅ VDκ −1 V V A két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy: B = C V A VD T T −T A Carnot – körfolyamat hatásfoka az egyszerűsítések után: η = 1− 1 = 2 1 T2

T2 Tehát az ideális Carnot – gép hatásfoka csak a hőmérsékleti határoktól függ, és annál nagyobb, minél nagyobb a hőmérsékletek különbsége. 9.5 Entrópia Az entrópianövekedés és az entrópiamaximum elve Jelöljük a T2 hőmérsékleten felvett hőmennyiséget Q2-vel, a T1 hőmérsékleten leadott hőmennyiséget Q1-gyel. A Carnot – gép hatásfokára kapott kétféle összefüggést egyenlővé téve : Q2 Q1 T Q Q2 Q = − 1 , ill.: 1− 1 = 1+ 1 , majd rendezve + =0 . T2 T1 T2 Q2 T2 T1 Q hányadosok összege zéEz általánosan is igaz: Bármely reverzibilis körfolyamatban a T rus. (Bármelyik folyamat megközelíthető nagyon finom felosztású izoterm és adiabatikus részfolyamatokkal): 63 ∆Qi reverzibilis = 0 i =1 Ti Irreverzibilis folyamatoknál a Clausius - féle egyenlőtlenség érvényes: n ∆Qi −irreverzibilis <0 ∑ Ti i =1 azaz az irreverzibilis folyamatokban több a leadott hőmennyiség (a leadott hőmennyiség előjele negatív)

Ha egy rendszert „A” állapotból „B” állapotba juttatjuk reverzibilis „a” úton, majd reverzibilis módon visszajuttatjuk eredeti állapotába egy másik „b” úton, akkor ∆Qi ∆Qi ∆Qi ∆Qi + ∑ = − ∑ =0 ∑ ∑ A B b úton Ti A B a úton Ti B A b úton Ti A B a úton Ti n ∑ Bármilyen reverzibilis úton juttatjuk is el a rendszert egyik állapotából a másikba, a ∆Qi hányados állandó, tehát állapotjelző. ∑ reverzibilis i =1 Ti Ez a hányados megadja a kezdeti és végállapot közötti entrópia különbségét. Az entrópia jele S, mértékegysége: [J/K], skalár mennyiség Az entrópia változása egyenlő a reverzibilis módon felvett hőmennyiség és a hőmérséklet n ∆Qi dQ hányadosával: ∆S = ∑ reverzibilis , ill. dS = T reverzibilis i =1 Ti Mivel az entrópia állapotjelző, a megváltozása független attól, hogy egy állapotváltozás reverzibilis vagy irreverzibilis úton történt, csak a kezdeti és végállapottól

függ. Reverzibilis körfolyamatban: ∆S=0 Redukált hőmennyiség: ∆Qi Ha a rendszer állapotváltozása irreverzibilis, akkor a irreverzibilis hányadost redukált Ti hőmennyiségnek nevezzük. A Clausius féle egyenlőtlenség alapján a redukált hőmennyiségek összege kisebb mint a ∆Qi rendszer entrópiaváltozása: ∑ irreverzib ilis < S B − S A Ti A termodinamika II. főtétele ezek alapján úgy is megfogalmazható, hogy: Zárt rendszerben önként lezajló folyamatok esetén a rendszer entrópiája nem csökkenhet (a valóságos folyamatok irreverzibilisek, ezért az entrópia csak növekedhet). Ez az entrópianövekedés elve. Egyensúlyi állapotban a rendszer entrópiája maximális. Ez az entrópiamaximum elve Ez tekinthető a hőtan II. főtétele matematikai megfogalmazásának is: ∆Qi zárt rendszerben önként végbemenő folyamatok esetén. ∆S ≥ ∑ Ti 9.6 A termodinamika III főtétele n A termodinamika III. főtétele (Nernst-tétel): A

kémiailag egységes anyagok hőmérsékletét nullához közelítve az entrópiájuk is nullához tart: lim S = 0 T 0 Ebből következik, hogy a fajhőjük is tart a zérushoz, ezért a 0 K nem érhető el, csak megközelíthető. (A nagyon kis fajhő miatt az anyag nagyon könnyen vesz fel hőt, ezért a hőmérséklete növekszik) 64 9.7 Nyílt rendszerek egyensúlyának feltétele Termodinamikai potenciálok Kémiai potenciál 9.71 Termodinamikai potenciálok Nyílt rendszer: Ha a rendszer és környezete között legalább egyféle kölcsönhatás lehetséges (pl. hőcsere, munkavégzés, részecske áramlás, stb) Egy rendszer entrópiája növekedhet, csökkenhet, vagy változatlan maradhat attól függően, hogy a rendszer és környezete között milyen folyamatok mennek végbe. A belső folyamatokban azonban a rendszer entrópiája csak növekedhet Jelöljük ezt az entrópia növekedést σ-val (szigma). σ>0 Q Ekkor a rendszer entrópiaváltozása: ∆S = + σ T A

felvett hőmennyiség pozitív, a leadott pedig negatív előjelű. Bizonyos speciális esetekben az új összetett állapotjelzők bevezetésével a nyitott rendszer egyensúlyi állapotának feltétele matematikailag egyszerűen megfogalmazható. a.) p=állandó és T=állandó esetén: Gyakran megy végbe olyan folyamat, amikor a környezet hőmérséklete és nyomása is állandónak tekinthető (pl. légköri nyomás, szobahőmérséklet) Vizsgáljunk tehát állandó hőmérsékleten és állandó nyomáson végbemenő állapotváltozást Az I. főtételből a hőmennyiség Q=∆U+p∆V, és ezzel az entrópiaváltozás: ∆U + p ⋅ ∆V ∆S = +σ T Átrendezve: − σ ⋅ T = ∆U + p ⋅ ∆V − T ⋅ ∆S ill. − σ ⋅ T = ∆(U + p ⋅ V − T ⋅ S ) < 0 Mivel σ és T csak pozitív lehet, az egyenlet bal oldalán negatív szám van, tehát a jobb oldal is csak negatív lehet. Entalpia: Az U+p⋅ V=H összetett állapotjelzőt entalpiának nevezzük. Szabadentalpia:

G = U + p ⋅ V − T ⋅ S , összetett extenzív állapotjelző, mértékegysége: joule [J] Tehát állandó nyomású és állandó hőmérsékletű környezetben csak olyan irreverzibilis folyamatok mehetnek végbe, amelyekben a ∆G = −σ ⋅ T szabadentalpia-változás negatív, tehát a rendszer szabadentalpiája csökken. Egyensúlyi állapotban a szabadentalpia minimális b.) V=állandó és S=állandó esetén: Energiaminimum elve: Ha a rendszer térfogata és entrópiája állandó, akkor p⋅∆V=0 és T⋅∆S=0, ezért − σ ⋅ T = ∆U < 0 Állandó entrópiájú és állandó térfogatú rendszerben csak olyan folyamatok mehetnek végbe, amelyekben a rendszer belső energiája csökken. Egyensúlyi állapotban a belső energia minimális. c.) V=állandó és T=állandó esetén: Ha állandó térfogaton (merev falú tartályban) és állandó hőmérsékleten megy végbe nyílt p⋅∆V=0, és − σ ⋅ T = ∆(U − T ⋅ S ) < 0 folyamat, akkor

Szabadenergia: F=U – TS Állandó térfogaton és állandó hőmérsékleten nyílt rendszerben irreverzibilis módon csak olyan folyamatok mehetnek végbe, amelyek eredményeként a rendszer szabadenergiája csökken. Egyensúlyi állapotban a rendszer szabadenergiája minimális d.) T=állandó esetén: ∆U + Wt Állandó hőmérsékleten, ha van munkavégzés, akkor a II. főtétel: ∆S = +σ T 65 Ebből a tágulási munka: Wt = T ⋅ ∆S − ∆U − σ ⋅ T = ∆(T ⋅ S − U ) − σT = ∆F − σ ⋅ T Mivel σ és T csak pozitív lehet a tágulási munka kisebb mint a szabadenergia megváltozása: Wt<∆F Tehát állandó hőmérsékleten a rendszer által végzett munka csak kisebb lehet a szabadenergia megváltozásánál. 9.72 Kémiai potenciál Valamely kémiai anyag különböző halmazállapotokban illetve fázisokban fordulhat elő. Ha pl. csak víz és vízgőz van egy zárt edényben, akkor az egy 1 komponensű 2 fázisú rendszer Ha a gőz nyomása

nem egyenlő az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásával, akkor a rendszer nincs egyensúlyban. Ekkor a párolgás vagy lecsapódás addig tart, amíg a nyomás el nem éri a telített gőz nyomását. Eközben mindkét fázis részecskeszáma változik A víz belső energiája nem csak hőközlés vagy munkavégzés miatt változhat, hanem azért is, mert a fázisátalakulás miatt változik a részecskeszám. A részecskeszám változása miatti kémiai munka (Wk) arányos a részecskeszám változásával: Wk=–µ⋅∆N ( a víz belső energiája csökken az eltávozó részecskék miatt) µ–kémiai potenciál , intenzív, kiegyenlítődő mennyiség. A víz belső energiaváltozása: ∆U=Q+W–µ⋅∆N A párolgás vagy lecsapódás addig tart, amíg a víz és gőz fázisban a kémiai potenciálok ki nem egyenlítődnek. Ha a rendszeren belül kémiai folyamatok is lejátszódnak, akkor az egyes komponensek részecskeszámai és a komponensek belső

energiája is változik. Egyensúly akkor alakul ki, ha az egyes komponenseken belül a különböző fázisok kémiai potenciáljai megegyeznek, vagyis a részecskék a kisebb kémiai potenciálú hely felé áramlanak. 66 Elektrodinamika 10. Elektrosztatika 10.1 Elektrosztatikai alapjelenségek vákuumban Coulomb Törvény Az elektromos töltés. Az elektrosztatika a nyugvó töltések közötti kölcsönhatásokkal foglalkozik. Már az ókorban ismert volt a dörzselektromosság (érintkezési elektromosság) jelensége. A gyapjúval megdörzsölt borostyánkő a selyemszálra függesztett bodzabél golyót magához vonzza. A borostyánkő görög neve elektron Gilbert a megdörzsölt borostyánkőnek ezt a tulajdonságát elektromos hatásnak nevezte el Az is közismert, hogy a testeknek kétféle elektromos állapota lehet. Az azonos elektromos állapotú testek taszítják, a különböző elektromos állapotúak pedig vonzzák egymást. A gyapjúval dörzsölt ebonit rúd

és a bőrrel dörzsölt üvegrúd ellentétes elektromos állapotú, ellentétes töltésű. A töltések tehát egymásra erőt fejtenek ki. Mivel a vonzó és taszító erőhatás alapján a töltések két csoportba sorolhatók, Franklin a bőrrel dörzsölt üveg töltését pozitívnak, a gyapjúval dörzsölt ebonit vagy borostyánkő töltését negatívnak nevezte el. Az egymáshoz dörzsölt testek ellentétes töltésűek lesznek, azaz a dörzsöléskor nem töltések keletkeznek, hanem a töltések szétválasztódnak. Ha ellentétes töltésű fémeket összeérintünk, akkor a töltések lerontják, semlegesítik egymást Ha egy kisméretű töltött fémgolyóhoz egy azonos méretű semleges fémgolyót érintünk, akkor a két golyón a töltések egyenlő arányban oszlanak meg. Ilyen módon egy töltött fémgolyóhoz azonos méretű semleges fémgolyókat érintve a töltést sok különböző kisebb részre tudjuk osztani. A villamos töltés (Q). Coulomb

törvénye Két pontszerű töltés által egymásra kifejtett erő nagyságát Coulomb francia hadmérnök vizsgálta kísérletileg torziós mérleggel. (A töltések akkor tekinthetők pontszerűnek, ha a testek mérete elhanyagolható a köztük levő távolsághoz képest) Ez az erő (F) egyenesen arányos mindkét test töltésével (Q1, Q2), és fordítva arányos a köztük levő távolság (r) négyzetével. Az arányossági tényező vákuumban SI mértékrendszerNm 2 ben k = 9 ⋅ 10 9 C2 Q ⋅Q Q ⋅Q 1 A pontszerű töltések által egymásra kifejtett erő: F = k ⋅ 1 2 2 ill. F = ⋅ 1 2 2 4 ⋅π ⋅ ε 0 r r ε 0 − vákuum dielektromos állandója (permittivitása; abszolút permittivitás) Ha a fenti módszerrel ismert a töltések aránya, akkor ezen törvény alapján a töltés mérhető. A villamos töltés jele: Q, mértékegysége: coulomb [C] Millikan amerikai Nobel-díjas fizikus bizonyította, hogy a töltésnek létezik egy természetes elemi egysége,

ami egy proton, illetve egy elektron töltésének abszolútértékével egyenlő. Olajcseppeket porlasztott kondenzátorlemezek közé, amik a porlasztástól enyhén negatív töltésűvé váltak A rá ható erők alapján az olajcseppek töltése meghatározható Azt tapasztalta, hogy az olajcseppek töltése ugyan különböző volt, de mindegyik csepp töltése egy elemi egységnek egész számú többszöröse. Ezt az értéket elemi töltésegységnek nevezzük, melynek értéke e=1,6⋅10-19 C. 67 10.2 Villamos térerősség Erővonalak, a térerősség fluxusa A Coulomb törvény vizsgálatakor azt mondtuk, hogy két egymástól távoli töltés hat egymásra. Ezt a távolba hatás elméletét Michael Faraday (feredé) megváltoztatta Bevezette az elektromos és mágneses erőtér (elektromos és mágneses mező) fogalmakat. Az elektromos kölcsönhatást nem úgy értelmezte, hogy két távoli töltés hat egymásra, hanem hogy egy töltés maga körül elektromos

erőteret (mezőt) hoz létre, és az ebben a mezőben levő másik töltésre a vele érintkező mező fejt ki erőhatást. Ez a közelhatás elmélete Az elektromos mezőt jellemezhetjük a villamos térerősség vektorral (E): A villamos térerősség megadja a vizsgált pontban a pozitív egységnyi mérőtöltésre ható F  N  V  erő nagyságát és irányát: E =  C  =  m  Q A mező minden pontjához rendelhető egy térerősség vektor, amit úgy lehet megmérni, hogy elosztjuk a mérőtöltésre ható erő (F) nagyságát a mérőtöltéssel (Q). Iránya a pozitív mérőtöltésre ható erő irányával egyezik meg Villamos térerősség-vonalak: A villamos erőteret szemléltethetjük erővonalakkal. Ilyen jellegű vonalak mentén rendeződnek például az elektromos mezőben levő olajra szórt daraszemcsék Az erővonalak tulajdonságai elektrosztatikus térben: – Sűrűségük arányos a villamos térerősség nagyságával –

Érintőjük az adott helyen megadja a villamos térerősség irányát. – Mindig pozitív töltésből indulnak, és negatív töltésen záródnak – A fémekből (vezetőkből) merőlegesen lépnek ki, vagy be. Azt az erőteret ahol a villamos térerősség mindenütt azonos nagyságú és irányú, homogén erőtérnek nevezzük. A homogén erőteret egymással párhuzamos, egymástól azonos távolságra levő erővonalakkal jellemezhetjük. Pontszerű töltés villamos tere: Q A 10.1 ábrán egy pozitív pontszerű töltés erővonalképe látható, ami gömbszimmetrikus Az erővonalak sugárirányban kifelé mennek. A pontszerű negatív töltés erővonalai ugyanilyen alakúak, de befelé mutatnak. A villamos térerősség a töltéstől r távolságban: 1 Q ⋅ Qm ⋅ 4 πε0 r2 F r E= ⋅ = Qm Qm r Egyszerűsítés után: 1 Q r E= 4πε 0 r 2 r + 10.1 ábra Szuperpozíció: E E2 E1 A villamos térerősséget a mérőtöltésre ható erő alapján határoztuk meg.

Ha az erőteret több töltés létesíti, ak- +Q1 +Q2 10.2 ábra 68 kor a mérőtöltésre ható erők vektoriálisan összegződnek, ezért a villamos térerősség vektorok is a vizsgált pontban összegződnek (10.2 ábra) A villamos térerősség fluxusa (ψ) Az elektromos fluxus (Ψ) (pszí) megadja az A felületen merőlegesen átmenő villamos tér Nm 2  erősség-vonalak számát. Ψ = E n ⋅ A ,   = [Vm]  C  10.3 Forráserősség Gauss tétel (Maxwell I törvénye) Vizsgáljuk meg a ponttöltés elektromos fluxusát egy őt körülvevő gömb esetén! A gömb középpontja a ponttöltés helyén van. 1 1 Q Ekkor Ψ = E n ⋅ A = ⋅ 2 ⋅4 ⋅π ⋅r2 = ⋅Q ε0 4ππ0 r Mivel az elektromos mező forrása a Q töltés, a belőle kiinduló összes erővonalszám független a távolságtól, vákuum esetén csak a töltés nagyságától függ. Ezt a mennyiséget forráserősségnek nevezzük 1 A Q töltés forráserőssége: N E = ⋅ Q ε0

Gauss-tétel: Ha a villamos teret több töltés létesíti, akkor meghatározhatjuk egy tetszőleges V térfogatban levő töltések forráserősségét. Vegyük körül a töltéseket egy tetszőleges zárt felülettel. Osszuk fel olyan felületelemekre, amelyeken belül a térerősség állandónak tekinthető. Szorozzuk meg a felületre merőleges térerősség-komponenst a felületelemmel, és az így kapott szorzatokat adjuk össze a teljes zárt felület mentén. Ez az összeg egyenlő a felület által bezárt térfogatban levő töltések előjeles összegének és a vákuum permittivitásának hányadosával. 1 Matematikai alakban: ∑ E n ⋅ ∆A = ⋅ ∑ Q zárt felületre ε0 V Ezt a tételt Maxwell I. törvényének is nevezik, melynek fizikai jelentése: A sztatikus elektromos tér forrásai és nyelői a villamos töltések. (James Clerk Maxwell foglalta egységes elméletbe az elektrodinamikát, ami 4 egyenletből és még 3 anyagi egyenletből áll.) 10.4 Az

elektromos mező munkája, feszültség és potenciál Juttassunk el egy +Q mérőtöltést az A pontból a B pontba a 10.3 ábrának megfelelő módon A vizsgált helyen az E térerősséggel megegyező irányú erő a kicsi ∆s úton ∆W = F ⋅ ∆s ⋅ cos ϕ = E ⋅ Q ⋅ ∆s ⋅ cos ϕ munkát végez. A végzett összes munka Q kiemelése után: ∆s B B B ϕ W = Q ∑ E ⋅ ∆s ⋅ cos ϕ ill. W = Q ∑ E⋅ ∆s Q A A E A 10.3 ábra A sztatikus elektromos erőtér konzervatív, azaz a végzett munka független az úttól, csak a kezdő és végpont helyzetétől függ. 69 A villamos feszültség: A villamos erőtér 2 pontja között mérhető. Megadja, hogy az elektromos mező mennyi munka árán képes elvinni a pozitív egységnyi mérőtöltést az egyik pontból a másikba. Skalár mennyiség (nincs térbeli iránya) W Értelmező egyenlete: U = mértékegysége 1 volt [V] Q Szokás a két pont közötti feszültséget nyíllal jelölni, és a feszültség

irányáról beszélni, ez azonban nem térbeli irányt jelent, hanem a feszültség előjelét határozza meg. Ilyen értelemben a feszültség iránya a pozitívabb ponttól a negatívabb pont felé mutat. (Két pont közül az a pozitívabb, amelyikből az elektromos tér képes a másikba elvinni a pozitív mérőtöltést.) Egy zsebrádió működése függ attól, hogy az elemet hogyan tesszük bele, a + és – pólus nem cserélhető fel, de a térbeli elforgatása nem befolyásolja a működést, ha az antenna irányérzékenységétől eltekintünk. A villamos munka: A végzett villamos munka egyenesen arányos a két pont közötti feszültséggel, és a mozgatott töltéssel. W = U ⋅ Q A feszültség és a térerősség kapcsolata: Ha a feszültség értelmező egyenletébe behelyettesítjük a villamos munkára kapott összeB függést, akkor U = W = Q Q ⋅ ∑ E ⋅ ∆s A . Q Egyszerűsítés után: U = ∑ E ⋅ ∆s , B ill. U = ∫ E ⋅ ds A Két pont

közötti feszültség egyenlő a villamos térerősség és az elmozdulás skalárszorzatainak összegével. Homogén mezőben egy erővonal d távolságú pontjai között a feszültség: U = E ⋅ d Ponttöltés elektromos erőterében (centrális erőtér) a két pont közötti feszültséget integrálszámítással határozhatjuk meg. B Ha az A és B pontok egy erővonalon vannak a 10.4 ábrárA A nak megfelelően, akkor: r rB rB rB Q  1 B 1 Q dr = − U = ∫ Eds = ∫ 4πε r 2 4πε  r  rA rA 0 0 rA 1 1 Q −  4πε 0  rA rB  10.4 ábra A képlet akkor is igaz, ha a pontok az adott sugarú gömbök tetszőleges pontjaiban vannak. Ha ugyanis a mérőtöltést egy gömb felszínén mozgatjuk, akkor nem végzünk munkát, mert az elmozdulás merőleges az erőre. Így tetszőleges kezdeti helyzetből a 10. 4 ábrának megfelelő „A” pontba vihetjük a mérőtöltést az „rA ” sugarú gömbön munkavégzés nélkül Potenciál:

A potenciál egy választott nullponthoz viszonyított feszültség. A nullpont nem geometriai pont, hanem egy nívófelület. Ha egy töltést az erővonalakra merőlegesen mozgatunk, akkor a villamos erőtér nem végez munkát, vagyis az ilyen pontok között nincs feszültség. Az ilyen felületeket nívófelületeknek vagy ekvipotenciális felületeknek nevezzük. A gyakorlatban szokás a földet, vagy a villamos berendezés legnagyobb kiterjedésű fémrészét (test) nulla potenciálú pontnak választani. A fizikában általában a tér végtelen távoli pontját választjuk nulla potenciálúnak. U= 1 70 A feszültség és potenciál kapcsolata: Juttassuk el az „A” pontból a „B” pontba a pozitív mérőtöltést. A végzett munka független az úttól, mert a sztatikus elektromos mező konzervatív erőtér. Először vigyük a töltést a nulla potenciálú helyre. Ekkor a végzett munka: W A B = W A0 + W0 B = W A0 − WB 0 Az egyenlet mindkét oldalát Q-val

osztva kapjuk, hogy U AB = U A − U B , vagyis a két pont közötti feszültség egyenlő a két pont potenciáljának különbségével. Pontszerű töltéstől r távolságra levő pont potenciálja (a nulla potenciálú pont a végtelenben van): Ha a ponttöltés feszültségére kapott összefüggésben rB ∞ , akkor a potenciál: 1 Q U= 4πε 0 r A ponttöltés terében a potenciál egyenesen arányos a forráserősséggel, és fordítva arányos a forrástól mért távolsággal. 10.5 Örvényerősség Maxwell II törvénye B Az elektromos tér által két pont között végzett munka: W = Q ∑ E⋅ ∆s , amint azt a A 10.3 ábra alapján már beláttuk Mivel a nyugvó (sztatikus) elektromos tér konzervatív, a zárt W = Q⋅ görbe mentén végzett munka zérus: . ∑ E ⋅ ∆s = 0 zárt görbére Mivel Q≠0, ezért ∑ E ⋅ ∆s = 0 zárt görbére Ezt a kifejezést az elektromos tér örvényerősségének (cirkuláció) nevezzük: A villamos

térerősség és a pillanatnyi elmozdulás skalárszorzatának zártgörbére vett összege. Az örvényerősség értelmező egyenlete: ÖE = ∑ E ⋅ ∆s zárt görbére Maxwell II. törvénye: Az elektrosztatikus tér örvénymentes, tehát az örvényerősség bármely zárt görbére zérus: ÖE = ∑ E ⋅ ∆s = 0 zárt görbére Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy az elektrosztatikus tér erővonalai nem lehetnek zárt görbék. Ha ugyanis zárt görbe lenne egy erővonal, amely mentén kiszámítanánk az örvényerősséget, akkor az E ⋅ ∆s szorzatok azonos előjelűek lennének, és így az összeg nem lehetne nulla. 10.6 Vezetők elektrosztatikus mezőben Vezetők: Olyan anyagok, amelyekben szabadon mozoghatnak a töltések. Elsődleges vezetők a fémek, amelyek rácspontjaiban helyhez kötött fémionok rezegnek, a köztük levő térben pedig szabad (delokalizált ) elektronok rendezetlen hőmozgást végeznek. Másodlagos vezetők az

elektrolitok, az ionokat tartalmazó folyadékok. Ilyenek a fémek olvadékai, valamint a sók, savak és bázisok vizes oldatai, olvadékai Vizsgáljuk meg, hogy a semlegesítetlen töltések hol helyezkednek el egy fémtárgyon? Ha egy fémgömbre pl. egyetlen elektron többlettöltést viszünk fel, akkor az bárhol lehet 71 Ha viszont 2 ilyen elektron van, akkor azok taszítása miatt már a külső felületen helyez- - kednek el. Természetesen ugyanez érvényes a - --semlegesítetlen pozitív töltésekre is. A szabad töltések a fémek külső felületén - - helyezkednek el. Gömb esetén a felületi töltéssűrűség állandó, a töltések eloszlása a felületen egyenletes. 10.5 ábra Q  C  Felületi töltéssűrűség: D = m2  A   Csúcshatás: Ha a tárgynak hegyes csúcsai, élei vannak, akkor a taszítás miatt ott a töltéssűrűség nagyobb. Ezt látjuk a 105 ábrán Villamos megosztás (influencia): Ha villamos térbe teszünk egy semleges

fém tárgyat, akkor benne a töltések szétválasztódnak. A keletkező belső villamos tér a külsővel ellentétes irányú, így a külső teret gyengíti. Ez a folyamat addig tart, amíg a fém belsejében az eredő villamos térerősség nulla nem lesz. Ez látható a 10.6 ábrán Földelés: A föld jó vezető, mert vízben oldott ásványi anyagokat tartalmaz. Ha egy fémtárgyat vezető anyaggal összekötünk a földdel, azt földelésnek nevezzük A földelő rúdnak olyan mélyen kell lennie, hogy mindig nedves talajjal érintkezzen. Ha egy semleges fémet egy töltött test közelébe viszünk, akkor benne a töltések szétválasztódnak (influencia). Ha ezt a megosztott testet rövid ideig leföldeljük, akkor a megosztó töltéssel egynemű töltések a földbe távoznak, így az eredetileg semleges fém a megosztó testtel ellentétes töltésű lesz. A Földkéreg nem semleges, hanem negatív töltéstöbblete van, ezért a felszín közelében lefelé mutató

villamos térerősség mérhető. Árnyékolás: Ha egy elektronikus eszközt E külső vagy vezetőt zárt fémburokkal vagy fémháEkülső lóval veszünk körül, akkor az megvédi a belsejében levő berendezéseket a külső + elektromos mezőktől. A zárt fémburkolatot + + általában leföldelik. A villamos megosztásnál már láttuk, hogy a külső töltések nem létesítenek villamos Megosztás Megosztás teret a zárt fém belsejében, mert az erővonaelőtt miatt lak a fémen záródnak, vagy a fémből indulnak. 10. 6 ábra A vasbeton épületek árnyékoló hatása csökkenti a hordozható rádiók vételi lehetőségét. Az árnyékolt kábelek belső ereit sűrű szövésű rézháló, vagy félig átlapoltan alufólia veszi körül. A zárt fémburok védi az embereket a villámcsapástól a repülőgépekben és a gépkocsikban. Faraday-kalickát használnak a nagyfeszültségű távvezetékek átvizsgálásához is. Villámhárító: A villámhárító egy hegyes

fémrúd, amelynek a másik vége földelve van. Működése a megosztáson és a csúcshatáson alapul. A megosztás miatt a csúcs a felhővel ellentétes töltésű lesz, a csúcshatás miatt pedig a térerősség nagyon nagy. Ez az erős inhomogén villamos tér hozza létre az átütést, a villámot 72 Tükörtöltés: +Q –Q 10.7 ábra Ha egy nagy kiterjedésű fémlap vagy fémtest fölött elhelyezünk egy pontszerű töltést, akkor az a fémlapban megosztást okoz. A villamos térerősségvonalak a fém felületénél sztatikus térben a fémre merőlegesek, mert ha lenne párhuzamos komponens, akkor az a töltések elmozdítását okozná. Olyan erővonalkép alakul ki, mint ha a fém felülete mögött, tőle azonos távolságban egy, az eredetivel azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés lenne. Ezt tükörtöltésnek nevezzük (107 ábra). 10.7 Szigetelők elektrosztatikus mezőben Szigetelő anyagok: Nincs bennük szabadon mozgó töltés. Ilyenek az

atomrácsos, molekularácsos és ionrácsos szilárd testek, valamint a csak atomokat vagy molekulákat tartalmazó folyadékok és gázok. Dipólus: Egy semleges atom pozitív és negatív töltésközéppontja egy pontba esik. Ha villamos térbe tesszük, akkor a negatív töltésközéppont a térerősséggel ellenkező, a pozitív töltésközéppont pedig a térerősséggel megegyező irányba eltolódik Az olyan részecskéket, amelyek össztöltése nulla, de a töltésközéppontok nem egy pontba esnek, dipólusoknak nevezzük Vannak olyan molekulák, amelyek eleve dipólus szerkezetűek (pl. vízmolekula) Ha szigetelőanyagot villamos térbe teszünk, akkor benne dipólus láncok alakulnak ki a polarizáció miatt, illetve ha eleve dipólus molekulákból állt, akkor a dipólusok rendeződnek, befordulnak a tér irányába. Átütés: Az erős villamos tér képes kiszakítani elektronokat a dipólusokból. Töltéshordozók keletkezhetnek a gázokban úgy is, hogy inhomogén

térben a dipólusok nagyon felgyorsulnak, és egymással ütköznek Űtközéskor elektron mehet át egyik dipólusról a másikra, vagy kiszakadhat a kötésből és szabaddá válhat. Ez az ütközési ionizáció A mező a fémekből is képes elektronokat kiszakítani, amik a környező szigetelőt vezetővé teszik. Az erős villamos tér hatására tehát a szigetelők vezetővé válhatnak, szikrakisülés, villám vagy egyéb kisülés keletkezhet. Átütési szilárdság: Az a legkisebb térerősség, amelynél az átütés bekövetkezik. 10.8 Kondenzátorok Kapacitás Kondenzátor: Töltések tárolására alkalmas eszköz. Felépítése: Két jó vezető (fegyverzetek) között szigetelő anyag található. A kondenzátorok töltéstároló képességét a kapacitással jellemezzük -Q Kapacitás (C): megadja, hogy egységnyi feszültség +Q hatására mennyi töltést képes tárolni a kondenzátor. ÉrA A d 10.8 ábra 73 telmező egyenlete: C = Q U C

mértékegysége:   = [F] farad V Q – az egyik lemezen tárolt töltés (csak az egyik kondenzátorlemez vesz fel töltést, a másikon megosztással keletkezik) U – a lemezek közötti feszültség. A gyakorlatban főleg pF, nF és µF (pikofarad, nanofarad, mikrofarad) nagyságrendű kapacitásokkal találkozhatunk. Beszélhetünk egy fémtárgy földhöz viszonyított, ill. a tér végtelen távoli pontjához viszonyított kapacitásáról is Ekkor Q a fémen levő töltés, U a potenciál Határozzuk meg a 10. 8 ábrán látható síkkondenzátor kapacitását, ha a lemezek között vákuum van. A lemezek között az erőtér homogén, az erővonalak párhuzamosak, és sűrűségük állandó. Az összes erővonal a pozitív töltésű lemezről indul ki, és a negatív töltésű lemezen végződik, ha a lemezek elég közel vannak egymáshoz. Vegyük körül a pozitív töltésű lemezt a szaggatott vonallal rajzolt téglatesttel, és alkalmazzuk a Gauss-tételt.

A téglatestnek csak a jobboldali „A” felületű lapján nem nulla a térerősség, Q ezért E ⋅ A = ε0 A térerősség és feszültség kapcsolatából: E ⋅ d = U Az egyenletrendszerből E kiküszöbölésével kapjuk a síkkondenzátor kapacitáQ A sát: C = = ε 0 ⋅ U d A szigetelőanyag hatása a kapacitásra: Ha a két lemez közötti teret valamilyen szigetelőanyag tölti ki, akkor a kapacitás megnövekszik. Ekülső Ennek az az oka, hogy a szigetelőanyagban a 10.9 ábrán látható módon dielektromos polarizáció jön + – – + – + – + létre. A szigetelőanyagban az ellentétes töltések Epolarizációs lerontják egymást, de a széleken semlegesítetlenül maradt polarizációs töltések a külső térrel ellentétes teret hoznak létre, így az eredő térerősség csökken. 10.9 ábra Emiatt csökken a feszültség, és növekszik a kapaciQ Q tás: C = = U E ⋅d A kapacitás növekedésének mértéke a szigetelőanyag fajtájától függ.

Relatív dielektromos állandó (relatív permittivitás; ε r ): Megadja, hogy hányszorosra növekszik a síkkondenzátor kapacitása, ha a lemezek közötti C teret vákuum helyett az adott szigetelőanyag tölti ki: ε r = r [puszta szám] C0 Dielektromos állandó: ε = ε 0 ⋅ ε r A szigetelőanyag tehát lecsökkenti a térerősséget, és növeli a kapacitást a vákuumhoz képest. 1 Emiatt Maxwell I. törvénye is megváltozik dielektrikum esetén: ∑ E n ⋅ ∆A = ∑Q ε0 ⋅εr V zárt felületre Az így kapott egyenlet anyagfüggő. Célszerű bevezetni egy olyan mennyiséget, amellyel anyagtól függetlenül lehet jellemezni az elektrosztatikus teret. 74 Dielektromos eltolás vektor (D): D = E ⋅ ε  C  m2    Q   A Gauss-tételből következik, hogy egy fém felületén a felületi töltéssűrűség  D =  ∆A   megegyezik a közvetlenül a fém mellett a szigetelőanyagban a dielektromos eltolás nagyságával. Maxwell I.

törvénye a dielektromos eltolással: Dn ⋅ ∆A = Q zárt felületre V A dielektromos eltolás zárt felületre vett fluxusa egyenlő az ezen felület által bezárt térben levő töltések összegével. 10.9 Szigetelő fólia Alumíniumfólia Kondenzátorok fajtái A legtöbb kondenzátor lényegében síkkondenzátornak tekinthető, mert a fegyverzetek egymással párhuzamosak. A két fegyverzet alumíniumfólia-szalag, amelyek közé papírt, olajjal átitatott papírt, műanyag fóliát (polisztirol, polietilén) tesznek, majd az így kapott szalagszendvicset összehajtogatják, vagy feltekercselik (10.10 ábra) Gyakran két kivezetéssel látják el. A két kivezetés lehet az egyik homlokfelületen, vagy mindkét alaplapon egy – egy Lehetséges, hogy csak egy kivezetés található, mert a másik maga a fémház, amelyhez fém bilinccsel tudunk csatlakozni. 10.10 ábra Elektrolit kondenzátor (Polaritásfüggő) Nagy kapacitást kis térfogatban úgy lehet

előállítani, hogy nagy felületeket hozunk létre, és azokat nagyon közel helyezzük el egymáshoz. Egy sík lap felülete sokszorosára növelhető, ha a felületén domborzatot hozunk létre. Ez kémiai maratással megoldható. Az alumíniumoxid (Al2O3) jó szigetelő, amit megfelelő vastagságban elektrolízissel lehet létrehozni. Az atomos oxigén, ami az elektródánál kiválik, bediffundál az alumínium elektródába, és oxidálja azt A másik elektródának fel kell vennie pontosan a domborzat negatívjának alakját, különben a két elektróda távolabb lenne egymástól, de a közeli csúcsok miatt az átütési szilárdság is kicsi lenne. Ez úgy valósítható meg, ha a másik elektróda egy vezető folyadék, amit itatóspapírban felitatnak A pozitív elektróda az alumínium, a negatív elektróda az elektrolit. Ellentétes polaritásnál az elektrolitban gáz fejlődik, ami a kondenzátort szétrobbantja. Forgókondenzátor (10.11 ábra) A változtatható

kapacitású kondenzátorok leggyakrabban forgatható kivitelben készülnek. Egymástól meghatározott távolságra levő, egymás fölé rögzített és villamosan összekötött fémlemezek közé közös tengelyen levő, egymással szintén fémes kapcsolatú lemezsort lehet 10.11 ábra 75 be- illetve kihajtani. A két lemezsor természetesen egymástól szigetelt A lemezek elforgatásával változik a szembenálló felület nagysága, és emiatt a kapacitás is. 10.10 Kondenzátorok kapcsolásai C Kondenzátor rajzjele: Eredő kapacitás: Egy kondenzátor csoportot helyettesíthetjük egyetlen olyan kapacitással, amelyik ugyanakkora feszültség esetén ugyanannyi töltést tárol, mint a kondenzátorcsoport (ugyanannyi töltést vesz fel a tápegységből, mint a kondenzátor csoport). Soros kapcsolás: A soros kapcsolást az jellemzi, hogy a kondenzátorok között nincs elágazás (10.12 ábra) Ennek következménye, hogy minden kondenzátorlemezen ugyanannyi töltés

található: Q=állandó. Ha ugyanis erre a kondenzátorcsoportra egyenfeC1 szültséget kapcsolunk, akkor a negatív pólusból a C2 C2 +Q –Q +Q –Q jobboldali lemezére –Q töltés megy, ami C2 baloldali + lemezéről –Q töltést eltaszít, így C2 baloldali lemeze U +Q töltésű lesz. Ugyanígy megosztás jön létre C1 U2 U1 kondenzátornál is. – Q Mivel U 1 + U 2 = U , és U= C 10.12 ábra Q Q Q + = . C1 C 2 C Egyszerűsítés után: 1 1 1 = + , C C1 C 2 C= ill. 1 n 1 ∑C i =1 i Sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása egyenlő a részkapacitások reciprokai összegének reciprokával. Párhuzamos kapcsolás: A párhuzamos kapcsolást az jellemzi, hogy a kondenzátorok azonos 2 ponthoz kapcsolódnak (10.13 ábra) Ebből az következik, hogy a feszültségük közös. C1 –Q1 +Q1 A felvett töltés a villamosan összekapcsolt lemezeken eloszlik, tehát Q=Q1+Q2 C ⋅ U = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U C = C1 + C 2 C2 U –Q2 +Q2 n ill. C = ∑ C i i =1

A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása egyenlő a részkapacitások összegével. 10.13 ábra 76 10.11 Az elektromos mező energiája és energiasűrűsége Egy síkkondenzátort töltsünk fel úgy, hogy gondolatban egyenként vigyük át az elektronokat egyik lemezéről a másikra. A kapacitás állandó, mert csak a kondenzátor felépítésétől függ. A feszültség egyenesen arányos az átW vitt töltéssel. U Egy-egy töltés átvitelekor annál nagyobb munkát végzünk, minél nagyobb a feszültség a lemezek között. A 10.14 ábra végzett munkát a 10.14 ábrán látható egyenes szakasz 1 alatti terület adja meg: W = Q ⋅ U 2 1 Mivel Q = C ⋅ U , a végzett munka és a tárolt energia: W = C ⋅ U 2 2 A A tárolt energia kifejezhető a villamos térerősséggel is. Az U = E ⋅ d és C =ε d 1 A összefüggéseket a tárolt energia képletébe helyettesítve: W = ε E 2 d 2 . 2 d A homogén elektromos mező energiája egyszerűsítés

után, valamint V=Ad figyelembe1 1 vételével: W = ε ⋅ E 2 ⋅V = E ⋅ D ⋅V 2 2 A homogén elektromos mező energiája egyenesen arányos a térfogatával és a térerősség négyzetével, arányossági tényező a permittivitás. Az elektromos mező energiasűrűsége: megadja a térfogategységben tárolt energiát: ∆W w = ρ el = , ha ∆V 0 ∆V 1 1 Az elektromos mező energiasűrűsége: w = ρ el = ε ⋅ E 2 = E ⋅ D 2 2 Q 11. Egyenáramú hálózatok 11.1 Az elektromos áram Áramerősség (I) A villamos áram a töltések egyirányú rendezett mozgása. Az áramerősség megadja a vezető teljes keresztmetszetén időegység alatt átáramlott töltésmennyiséget Q [A] amper I= t Skalár mennyiség, nincs térbeli iránya. A technikai áramirány (nem térbeli irány, csak előjelet határoz meg) a pozitív töltések mozgásával megegyező, illetve a negatív töltések mozgásával ellentétes irány Az időben állandó áramot stacionárius áramnak, vagy

egyenáramnak nevezzük. (Tágabb értelemben minden olyan áram egyenáram aminek nem változik az iránya.) A fémekben a villamos áram úgy jön létre, hogy az elektromos mező gyorsítja a szabad elektronokat, amik viszont ütköznek a fémionokkal, és energiájukat leadva lelassulnak, sebességük iránya és nagysága is változik. A mező hatására tehát egy rendezetlen mozgáshoz egy rendezett, egyirányú mozgás is társul. 77 N , V az elemi töltésegységgel (e), a vezeték keresztmetszetével (A), és az elektronok rendezett mozgásának átlagsebességével (v ) : I = n ⋅ e ⋅ A ⋅ v N – a vezetőben levő szabad elektronok száma, V – a vezető térfogata. A rendezett mozgás átlagsebessége a szokásos áramoknál cm/s nagyságrendű. A vezető árama kifejezhető a térfogategységben levő szabad elektronok számával n = 11.2 A villamos ellenállás Ohm törvénye Mint láttuk, a vezetőben az elektronok ütköznek a fémionokkal, és ez a

rendezett mozgást akadályozza. Villamos ellenállás (R): A vezetőknek azt a tulajdonságát, hogy a töltések mozgását akadályozzák, villamos ellenállásnak nevezzük. Egy vezető ellenállása annál kisebb, minél nagyobb áram folyik rajta azonos feszültség hatására Rajzjele: R Ohm-törvény: Ohm német fizikus megállapította, hogy fémek esetén állandó hőmérsékleten a vezető két végpontja közötti feszültség (U) és a vezetőn folyó áram (I) hányadosa állandó. Ez a hányados jellemzi a villamos ellenállást (rezisztencia): U [Ω] ohm R= I A vezető ellenállása állandó hőmérsékleten a vezető hosszúságától (l), keresztmetszetétől (A), és anyagi minőségétől függ. Az anyagra jellemző állandót fajlagos ellenállásnak (ρ) nel vezzük: R= ρ⋅ A A vezető ellenállása egyenesen arányos a vezető hosszával, fordítottan arányos a vezető keresztmetszetével, arányossági tényező a fajlagos ellenállás. A fajlagos

ellenállás megadja az egységnyi hosszúságú és egységnyi keresztmetszetű Ωmm 2 anyag ellenállását. Mértékegysége: Ωm A gyakorlatban azonban inkább az egységet m használják, mert a vezetékek keresztmetszetét általában mm 2 − ben adják meg. A vezetők fajlagos ellenállása, és ezért az ellenállása is függ a hőmérséklettől: ρ = ρ 20 (1 + α 20 ∆t ) , ill. R = R20 (1 + α 20 ∆t ) α 20 – a 20 °C-hoz tartozó ellenállás-hőfoktényező (temperatúra-koefficiens) ρ 20 – a 20 °C-hoz tartozó fajlagos ellenállás ∆t – hőmérsékletváltozás Vezetőképesség (G): Az ellenállás reciproka: G = 1 R [S ] Fajlagos vezetőképesség (γ): A fajlagos ellenállás reciproka: γ = siemens 1 ρ Áramsűrűség (J): megadja a vezető egységnyi keresztmetszetén átfolyó áramerősséget (az egységnyi keresztmetszeten időegység alatt átáramló töltésmennyiséget): I  A J=  m 2  A 78 A felületre

merőleges, a technikai áram irányába mutató vektor. Az Ohm-törvénybe helyettesítsük be az ellenállást a vezető adataival kifejezve: ρ l U = A I 1U I = = γE A ρ l Az Ohm-törvény (Maxwell egyik anyagi egyenlete is): J = γ E Az áramsűrűség egyenlő a fajlagos vezetőképesség és a villamos térerősség szorzatával. Az áramsűrűség és a villamos térerősség egyirányúak. Átrendezve: 11.3 A villamos munka és teljesítmény A feszültség definíciójából kifejezhetjük a villamos munkát: W = U ⋅ Q A villamos áram definíciójából a töltés: Q = I ⋅ t , így a villamos munka: W = U ⋅ I ⋅ t U Az Ohm-törvényből I = ill. U = I ⋅ R R U2 ill. W = I 2 ⋅ R ⋅t ⋅t R Joule-törvény: A villamos ellenálláson a villamos munka teljes egészében hővé alakul. Amint már láttuk, az elektromos tér gyorsítja a szabad elektronokat a vezetőben, de az ütközések miatt az energiát az elektronok átadják a fémionoknak, ami a

hőmérséklet emelkedésében nyilvánul meg. A villamos teljesítmény W A teljesítmény definíciója P = figyelembevételével, a villamos teljesítmény: t U2 P =U ⋅I = = I2 ⋅R R A villamos berendezéseknek egy fontos jellemzője a névleges teljesítményük. A villamos munka: W = 11.4 Valódi feszültségforrások A leggyakrabban használt egyenáramú (DC) villamosenergia-források a galvánelemek és az akkumulátorok. Galvánelem: Ha egy elektrolitba (ionokat tartalmazó folyadékba) jó vezető anyagot (fémet, vagy grafitot) merítünk, akkor vagy a fémből mennek pozitív ionok az elektrolitba, vagy az elektrolitból válnak ki pozitív ionok a vezető elektródán. Az elektródán ezért vagy elektrontöbblet, vagy elektronhiány alakul ki, és így az elektrolit és az elektróda között feszültség keletkezik. Ahhoz, hogy ezt a feszültséget hasznosíthassuk, még egy elektródára van szükség A két elektródának különböző anyagúnak kell lennie, mert

azonos anyag esetén a két feszültség eredője nulla. A galvánelemek tehát valamilyen elektrolitba merülő két különböző anyagú elektródából állnak. Ha a galvánelemre fogyasztót kapcsolunk, akkor áram jön létre, ami az elektrolitban ionvándorlást, az elektródoknál pedig az ionok semlegesítődését és kémiai változást okoz. A galvánelemekben ez a kémiai folyamat nem megfordítható. A szárazelemben a cink tartály a negatív elektróda, a pozitív elektróda pedig egy réz sapkával ellátott grafitrúd. Az elektrolit szalmiáksó (ammóniumklorid) vizes oldata keményítőben felitatva A grafit rudat barnakőpor (MnO2) veszi körül, mert a használat során itt hidrogén keletkezik, ami az elem feszültségét csökkentené A barnakőpor (depolarizátor) oxidálja a hidrogént, ezért a használat során az elektrolit hígul. 79 Alkálimangán elem: A tartós elem elektrolitja káliumhidroxid itatóspapírban felitatva, belül van a negatív

elektródát alkotó cinkpaszta, amihez egy fém tüske kivezetés csatlakozik. A pozitív elektróda mangándioxid edény, melyet acél burkolat vesz körül. Higanyoxid elem: Acél házban a negatív elektróda cinkpor, a pozitív elektróda higanyoxid, az elektrolit káliumhidroxid. Telep: Nagyobb feszültséget úgy hoznak létre, hogy az elemeket sorba kapcsolják. Akkumulátorok: A galvánelemekhez hasonló felépítésűek, de a bennük lejátszódó kémiai folyamatok megfordíthatók. Töltéskor a villamos energiát kémiai energiává alakítják, majd kisütéskor visszaalakítják villamos energiává. Az egyszerű áramkör: A 11.1 ábrán látható a legegyszerűbb áramkör, ami egy feszültségforrásból, egy ellenállásból és két vezetékI ből áll. U A villamosenergia-forrás feszültsége és árama ellentéUR tes irányú, míg a fogyasztó (itt ellenállás) feszültsége és I árama megegyező irányú. A valódi áramkör azonban ettől eltérő, mert az

áramforrás anyagának van saját ellenállása, amit belső ellenál11.1 ábra lásnak nevezünk. A 11.2 ábrán már a belső ellenállással kiegészített áramkört láthatjuk. Az U0–t nyugalmi, vagy üresjárási feszültségnek nevezzük, mert akkor mérhető, ha az energiaRb forrásban nem folyik áram. Ezzel egyenlő nagyságú és ellentétes irányú Rk + UK az elektromotoros erő (E), ami a galvánelemben kémiai energia hatására a pozitív töltéseket az U0 alacsonyabb potenciálú helyről a magasabb po– tenciálú helyre mozgatja, tehát szétválasztja a E= – U0 töltéseket: Az elem kivezetései között mérhető a kapocs11.2 ábra feszültség (Uk). Rk - a külső, vagy terhelő ellenállás. A belső ellenállásra jutó feszültséget belső feszültségesésnek (Ub) is szokták nevezni, mert a kapocsfeszültséget csökkenti: U k = U 0 − U b = U 0 − I ⋅ Rb 11.5 Kirchhoff törvényei Csomóponti törvény I. Csomópontban töltés nem halmozódhat

föl és nem nyelődhet el. Ennek következménye, hogy a csomópontba befolyó és onnan kifolyó áramok előjeles összege nulla. (A befolyó és kifolyó áramok ellentétes előjelűek.) Csomópontban ∑ I = 0 ill. I be = I ki E törvény következménye, hogy csomóponttól csomópontig az áram változatlan. II: Huroktörvény Zárt hurokban a feszültségek előjeles összege nulla. (Maxwell II törvényéből következik) Zárt hurokban ∑ U = 0 80 A huroktörvény alkalmazásakor az a szokás, hogy miközben a hurkot körüljárjuk, a körüljárással megegyező irányú feszültségeket pozitív, az ellentétes irányúakat negatív előjellel vesszük figyelembe. 11.6 Eredő ellenállás Ellenállások kapcsolásai Eredő ellenállás: Az az ellenállás, amellyel egy ellenálláscsoportot helyettesítve az áramkör többi részén semmilyen változást nem tapasztalunk. Soros kapcsolás: Az ellenállások között nincs elágazás, az áramuk közös

(I=állandó) A 11.3 ábra A és B pontjai között levő ellenálláscsoportra felírhatjuk a huroktörR1 R3 R2 I A vényt: U 1 + U 2 + U 3 − U = 0 B Az Ohm-törvény alkalmazásával: U3 U2 U1 I ⋅ R1 + I ⋅ R2 + I ⋅ R3 − I ⋅ Re = 0 U Ebből az eredő ellenállás: 11.3 ábra Re = R1 + R2 + R3 Soros kapcsolásnál az eredő ellenállás n a részellenállások összege: Re = ∑ Ri i =1 Párhuzamos kapcsolás: Párhuzamos kapcsolásnál az ellenállások azonos két pont közé csatlakoznak, ezért a feszültségük közös (U=állandó) R1 I1 A 11.4 ábra kapcsolására a csomóponti törvényt alkalmazva: I=I1+I2+I3 Az ohm-törvényből az áramokat behelyettesítve: I R2 I2 U U U U = + + Re R1 R2 R3 I3 R3 Egyszerűsítés után az eredő ellenállás: 1 Re = 1 1 1 U + + R1 R2 R3 11.4 ábra Párhuzamos kapcsolásnál az eredő ellenállás egyenlő a részellenállások reciprokai összegének reciprokával: 1 Re = n 1 ∑ i =1 Ri R ⋅R Re = 1 2 Két ellenállás

esetén közös nevezőre hozás után: R1 + R2 Vegyes kapcsolás: az ellenállások vegyes kapcsolása esetén tisztán soros vagy tisztán párhuzamos kapcsolású ellenálláscsoportokat helyettesítünk a részeredőjükkel. Az eljárást addig folytatjuk, amíg a teljes hálózat eredőjét meg nem kapjuk. Léteznek olyan áramkörök is, amelyek nem bonthatók fel csak soros vagy csak párhuzamos kapcsolású részekre. Ilyenkor az eredő ellenállás meghatározásánál a delta – csillag, vagy a csillag – delta átalakítás segíthet. Ilyen áramkör például a 117 ábrán látható Wheatstonehíd is (a galvanométernek is van ellenállása) 81 Háromszög (delta) – csillag (Y) átalakítás: A 11.5 ábra bal oldalán látható delta kapcsolású három ellenállás helyettesíthető egyenértékű három csillagkapcsolású ellenállással Mivel az áramkör többi részén semmilyen változást nem tapasztalhatunk, speciális esetet használunk a levezetésnél

Rendre A, B, C, pontoknál legyen szakadás. Ekkor a másik két pont közötti eredő ellenállásnak a két kapcsolásban meg kell egyeznie: A A ( R2 + R1 ) ⋅ R3 = R23 + R13 R1 + R2 + R3 R12 R1 R2 R23 B B C R3 R13 ( R2 + R3 ) ⋅ R1 = R12 + R13 R1 + R2 + R3 C ( R1 + R3 ) ⋅ R2 = R12 + R23 R1 + R2 + R3 11.5 ábra A második egyenletből R13-t, a harmadikból R23-t kifejezve és az elsőbe behelyettesítve: ( R2 + R1 ) ⋅ R3 ( R2 + R3 ) ⋅ R1 ( R + R3 ) ⋅ R2 = − R12 + 1 − R12 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 R1 ⋅ R3 R2 ⋅ R3 R1 ⋅ R2 , továbbá: R13 = , R23 = Ebből: R12 = R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 Csillag – háromszög átalakítás: Ha a csillagkapcsolású ellenállásokat ismerjük, és abból akarjuk a háromszögkapcsolás ellenállásait meghatározni, akkor a vezetőképességekkel célszerű dolgozni. Az előző levezetéshez hasonlóan felírhatjuk az eredő vezetőképességek azonosságát úgy, hogy AB, BC, CA pontokat

rövidrezárjuk A levezetés mellőzésével a vezetőképességek kiszámíthatók a 11.6 ábra indexei használatával: G12 = G1 ⋅ G2 , G1 + G2 + G3 G13 = G1 ⋅ G3 , G1 + G2 + G3 A G23 = A R1 R2 B R12 R3 C B R13 R23 11.6 ábra 82 C G 2 ⋅ G3 G1 + G2 + G3 és G = 1 R 11.7 Wheatstone – híd A Wheatstone – híd kapcsolási rajza a 11.7 ábrán látható A G jelű galvanométer igen érzékeny árammérő Ha a galvanométeren áram folyik, akkor a híd kiegyenlítetlen Sok mérőáramkörben az egyik ellenállás változik a négy közül (pl. hőmérsékletváltozás hatására), és a kiegyenlítő áramot mérjük. Ellenállásmérésre a kiegyenlített hidat szokták használni. A híd akkor kiegyenlített, ha a galvanométeren nem folyik áram. Ha R1 a mérendő ellenállás, R2 pedig egy nagy pontossággal ismert normálellenállás, akkor a potenciométer csúszkáját addig mozgatjuk, amíg a galvanométeren nem folyik áram. Kiegyenlített híd

esetén a galvanométer végpontjainál nincs áramelágazás, ezért R1 és R2 árama közös (I12). Ugyanez érvényes R3 és R4-re is (I34) R1 és R3 valamint R2 és R4 párhuzamosan vannak kapcsolva, mert a galvanométeren nem folyik áram, a két végpontja azonos potenciálú. A feszültségek egyenlősége felírható: I 12 ⋅ R1 = I 34 ⋅ R3 , és I 12 ⋅ R2 = I 34 ⋅ R4 . A két egyenletet elosztva egymással: R1 R2 R1 R3 = R2 R4 Az egyenletet a nevezők szorzatával beszoG rozva: R1 ⋅ R4 = R2 ⋅ R3 A kiegyenlített híd szemközti ellenállásaiR3 R4 nak szorzatai egymással egyenlők. R Az R1 ismeretlen ellenállás: R1 = 3 ⋅ R2 R4 U A mérési módszer előnye, hogy független a tápfeszültség ingadozásától, és ha a hidat az R3 és R4 közepe táján tudjuk kiegyenlíteni, akkor 11.7 ábra a mérés hibája csak R2 pontatlanságától függ. 12. Mágneses tér 12.1 I Mágneses alapjelenségek. A mágneses indukció I I I Közismert, hogy az állandó

mágnesek egymásra vonzó vagy taszító erőt fejtenek ki attól függően, hogy ellentétes vagy azonos pólusaik vannak egymáshoz közelebb. Két párhuzamos árammal átjárt vezeték is egymást vonzza, ha azonos irányú áram folyik bennük, és egymást taszítja, ha ellentétes irányú az áramuk (12.1 ábra) Mágneses mező: Olyan mező, amelyet mozgó töltések keltenek, és a mozgó töltésekre erőt fejt ki. Az állandó mágnesekben a mágneses tér az elektronok mozgására vezethető vissza. 12.1 ábra 83 A mágneses tér irányán azt az irányt értjük, amerre az adott helyen az iránytű északi pólusa mutat. (A Föld Északi sarkán tehát déli mágneses pólus van) A mágneses teret szemléltethetjük a mágneses indukcióvonalakkal. Az indukcióvonalakhoz hasonló vonalak mentén helyezkednek el a vasreszelék szemcséi, ha mágneses mezőbe szórjuk őket. A mágneses indukcióvonalak tulajdonságai: – Önmagukban zárt görbék. – Sűrűségük

arányos a mágneses tér erősségével (a mágneses indukció nagyságával). – Érintőjük megadja az adott helyen a mágneses tér irányát. – A mágnesből a felületre merőlegesen lépnek ki, vagy be. – A mágnesből az északi pólusnál lépnek ki, és a déli pólusnál lépnek be. Egyenes vezető áramának mágneses tere: Tegyünk a vezető közelébe egy iránytűt, majd mozdítsuk el egy kicsit abba az irányba, amerre az északi pólusa mutat. Az iránytű ezzel a módszerrel lassan körbefordul, I vagyis az egyenes vezető áramának indukcióvonalai a vezetőre merőleges síkban koncentrikus körök (12.2 ábra) A körök körüljárási irányát a jobbkéz-szabállyal tudjuk megállapítani. Ha a jobb kezünk hüvelykujját az áram irányába tesszük, akkor a másik 4 ujjunk mutatja az indukcióvonalak körüljárási irányát. 12.2 ábra Tekercs (szolenoid) áramának mágneses tere: A tekercs belsejében a mágneses tér homogénnek tekinthető

(mindenütt azonos nagyságú és irányú). A tekercs belsejében a mágneses tér irányát szintén a I jobbkéz-szabállyal tudjuk meghatározni, de most a jobb kezünk 4 ujját kell az áram irányába tenni, és a kinyújtott hüvelykujj B mutatja az indukció irányát (12.3 ábra) (Az x a tőlünk távolodó, a ⋅ a felénk mutató irányt jelöli.) 12.3 ábra A mágneses indukció (B) A mágneses indukció vektormennyiség, iránya az az irány, amerre az iránytű északi pólusa mutat az adott helyen, illetve a jobbkéz-szabállyal állapítható meg. Nagyságának meghatározásához egy kis méretű, szabadon elfordulni képes lapos mérőtekercs szükséges. A mérőtekercs (magnetométer) stabil egyensúlyi helyzetében a saját mágneses terének iránya megegyezik a vizsgált mágneses tér irányával. Ha ebből a helyzetből 90°-kal elforgatjuk, akkor a tekercsre maximális forgatónyomaték hat, ami vissza akarja fordítani az egyensúlyi helyzetbe. Ez a

forgatónyomaték (Mmax) egyenesen arányos a vizsgált mágneses tér indukciójával (B), a mérőtekercs keresztmetszetével [egy menet által körülzárt felülettel] (A), a menetszámával (N) és az áramával (I): M max = B ⋅ A ⋅ N ⋅ I Ebből az indukció: B= M max , A⋅ N ⋅ I  Nm   Vs  mértékegysége:  2  =  2  = [T ] m A m  84 tesla Mágneses nyomaték (mágneses momentum) (m): A mérőtekercs mágneses momentuma egyenlő a keresztmetszetének, menetszámának és áramának szorzatával: m = A ⋅ N ⋅ I , irányát pedig a jobbkéz-szabállyal állapíthatjuk meg. A mérőtekercsre ható forgatónyomaték általános esetben az M = m× B vektorszorzattal határozható meg. Ha az indukcióvektor a magnetométer tengelyével α Bsinα szöget zár be, akkor a nyomaték nagysága: B M = B ⋅ A ⋅ N ⋅ I ⋅ sin α α Az indukcióvektor ugyanis felbontható a tekercs tengelyével megegyező, és rá merőleges irányú

összetevőkre Bcosα (12.4 ábra) Nyomatékot csak a tekercs tengelyére merőleges (a tekercs síkjával párhuzamos) összetevő fejt ki 12.4 ábra 12.2 A mágneses fluxus és forráserősség Maxwell III törvénye A mágneses fluxus (Φ): Megadja az A felületen merőlegesen átmenő indukcióvonalak számát: Φ=B⋅A ha B⊥A mértékegysége: [Vs] = [Wb ] weber Inhomogén mező esetén: Φ = ∑ Bn ⋅ ∆A Bn – a felületre merőleges indukciókomponens A forráserősség (Maxvell III. törvénye) Megállapítottuk, hogy az indukcióvonalak zárt görbék. Ez azt jelenti, hogy ha egy zárt felületet vizsgálunk, a ki és belépő indukcióvonalak száma egyenlő Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy a mágneses tér forrásmentes: NB=0 Ez Maxwell III. törvénye: Bármely zárt felületre számított mágneses fluxus nulla, tehát bármely térfogat mágneses forráserőssége zérus: ill. ∑ Bn ⋅ ∆A = 0 ∫ Bn dA = 0 A zárt felületre A mágneses tér tehát

forrásmentes, lényegesen különbözik a sztatikus elektromos tértől, amelynek forrásai a töltések. Nincs mágneses monopólus, minden északi pólusnak van egy déli párja. 12.3 A mágneses örvényerősség Gerjesztési törvény (Maxwell IV törvénye) A mágneses indukcióvonalak a mágneses mezőt keltő áramokat zárt görbékként körülveszik. Másként fogalmazva azt mondhatjuk, hogy a mágneses mező örvényeit az áramok keltik  Vs  Ö B = B⋅ d s A mágneses mező örvényerőssége: ÖB = ill. B⋅ d s , m   zárt görbére Speciális esetekben zárt görbének általában célszerű egy indukcióvonalat választani. Egyenes vezető áramának mágneses indukciója: Mérések alapján megállapítható, hogy a mágneses indukció örvényerőssége egyenesen arányos a vezetőben folyó árammal (I). Az arányossági tényezőt vákuum esetén abszolút permeabilitásnak (vákuum permeabilitása) neVs vezzük. Jele: µ 0 Értéke: µ 0 = 4π

⋅ 10 −7 Am A mágneses mező örvényerőssége: ÖB = µ 0 ⋅ I 85 A vezetőtől r távolságra nyilvánvalóan az indukció mindenütt azonos nagyságú, ezért kiemelhető, a zárt görbére vett Σ∆s pedig a kör kerülete. Az örvényerősség kétféle kifejezését egyenlővé téve: B ⋅ 2π ⋅ r = µ 0 ⋅ I Ebből a mágneses indukció: B= µ0 ⋅I 2πr Gerjesztési törvény vákuumban: Ampere megállapította, hogy általánosan is igaz az, hogy vákuum esetén egy tetszőleges zárt görbére az örvényerősség egyenlő az abszolút permeabilitás és a görbe által körülzárt felületen átfolyó áramok összegének szorzatával: ∑ B⋅ ∆ s = µ 0 ∑ I zárt görbére A Mágneses gerjesztés (Θ): A zárt görbe által kifeszített felületen átfolyó áramok előjeles összege. Θ = ∑I [A] A 12.4 Permeabilitás Mágneses térerősség A különböző anyagok megváltoztatják a mágneses teret. Ha valamilyen anyag tölti ki az áramok

körüli teret, akkor a mágneses indukció: B = µ r ⋅ B0 µr – relatív permeabilitás (puszta szám). Megadja, hogy a mágneses indukció hányszorosra változik a vákuumhoz képest, ha az adott anyag tölti ki a teret Permeabilitás: µ = µ 0 ⋅ µ r A relatív permeabilitás alapján az anyagok 3 csoportba oszthatók. A diamágneses anyagok relatív permeabilitása nagyon kicsit kisebb, mint 1 (µr<1) és állandó. A diamágnesek tehát csökkentik a mágneses indukciót A paramágneses anyagok relatív permeabilitása nagyon kicsit nagyobb mint 1 (µr>1) és állandó. Ezek az anyagok tehát nagyon kicsit növelik az indukciót Ide tartozik a levegő is Mivel a dia és paramágneses anyagok relatív permeabilitása csak nagyon kicsit tér el 1-től (az eltérés kisebb mint 0.1%), ezeket az anyagokat a hétköznapi életben nem mágneses anyagoknak nevezzük A ferromágneses anyagok relatív permeabilitása sokkal nagyobb mint 1 (µr»1), de nem állandó, hanem a

korábbi állapot és a mágneses térerősség függvénye. Pontosan csak grafikusan adható meg a térerősség függvényében. B A Mágneses térerősség (H): mértékegysége:   H= µ m A mágneses térerősség és a mágneses gerjesztés segítségével a gerjesztési törvény a következő módon is megfogalmazható: Vegyük körül a mágneses teret gerjesztő áramokat egy tetszőleges zárt görbével (általában célszerű egy indukcióvonalat választani). Osszuk fel a görbét olyan részekre, amelyeken belül a mágneses térerősség állandónak tekinthető. Szorozzuk meg a térerősséget a szakasz hosszával (skalárszorzat), és az így kapott szorzatokat adjuk össze Ez az összeg egyenlő a mágneses gerjesztéssel: ∑ H ⋅ ∆ l = ∑ I = Θ zárt görbére A Ha a mágneses körben különböző anyagok vannak, akkor a gerjesztési törvény csak ebben az alakban alkalmas arra, hogy adott mágneses fluxus létesítéséhez meghatározzuk

a szükséges mágneses gerjesztést. 86 12.5 Biot – Savart törvény A gerjesztési törvény egy zárt görbe mentén alkalmazható, nem alkalmas mindig arra, hogy a mező egy pontjában meghatározzuk a térerősség vagy az indukció nagyságát. Biot (bió) és Savart (szavár) kísérletek alapján megállapították, hogy egy I áramú, kicsi ∆l hosszúságú áramvezető a tőle r távolságra levő pontban mekkora mágneses indukciót (B) létesít vákuumban. Az I ∆l áramelemvektor nagysága I⋅∆l, hatásvonala a vezető érintője, irányát pedig a technikai áramirány határozza meg. Biot – Savart törvény: I∆ l I r P ϕ ∆B 12.5 ábra Az áramelemvektor által a P pontban létesített mágneses indukció a 12.5 ábrának megfelelően µ I∆ l × r µ I ⋅ ∆l ⋅ sin ϕ ∆B = 0 ∆B = 0 ill. 3 4π r 4π r2 Az elemi indukció egyenesen arányos az áramerősséggel, az elemi vezetékszakasz hosszával, az áramelem és az r (∆l

középpontjából a P pontba mutató) helyvektor által bezárt szög szinuszával, és fordítottan arányos a távolság négyzetével. Iránya merőleges az r és ∆l által meghatározott síkra, és a jobbkéz-szabállyal határozható meg. µ I ⋅ sin ϕ dl Az indukció: B = 0 ∫ 4π r2 12.6 Speciális áramelrendezések mágneses tere 12.61 Mozgó ponttöltés mágneses tere Mint már láttuk a 11.1 fejezetben, a vezető árama felírható az I=n⋅e⋅A⋅v alakban Ezt a µ n ⋅ e ⋅ A ⋅ v⋅ ∆l ⋅ sin ϕ Biot – Savart törvénybe beírva: ∆B = 0 4π r2 Mivel A⋅∆l=V és az elemi vezetékszakaszban levő töltések száma N=n⋅V=n⋅A⋅∆l, így az ∆B ∆B elemi töltés által keltett mágneses indukció a P pontban B = : = n ⋅ ∆l ⋅ A N µ e⋅v B = 0 2 sin ϕ Egy mozgó elektron által keltett indukció: 4π r 12.62 Végtelen hosszú egyenes vezetőn kívül a vezetőtől r távolságra levő pontban a mágneses indukció B= µ0 ⋅ I , amint

ezt a 12.2 pontban már láttuk Iránya a jobbkéz-szabállyal határozható 2πr meg. 87 12.63 Szolenoid (hosszú egyenes tekercs) belsejében a mágneses indukció: Az l hosszúságú tekercs belsejében a mágneses tér homogénnek tekinthető, a tekercsen kívül pedig az indukció elhanyagolhatóan gyenge. I A légmagos szolenoid síkmetszete és mágneses indukcióvonalai a 12.6 ábrán látható Ha alkalmazzuk a gerjesztési törvényt zárt görbének B egy indukcióvonalat kiválasztva, akkor azt 2 részre oszthatjuk. A tekercs belsejében az indukció B, a tekercsen kívül pedig Bk≈0. N menetű tekercs esetén a körülzárt áramok összege, l azaz a mágneses gerjesztés Θ=N⋅I A gerjesztési törvény tehát: B⋅l=µ0⋅N⋅I 12.6 ábra Ebből a szolenoid belsejében a mágneses indukció: N ⋅I B = µ0 l Az indukció egyenesen arányos a tekercs menetszámával és áramával, fordítottan arányos a tekercs hosszával, arányossági tényező a vákuum

permeabilitása. N ⋅I A szolenoid belsejében a mágneses fluxus Φ = µ 0 ⋅A l 12.64 Toroid (körtekercs) belsejében a mágneses indukció A 12.7 ábrán látható a légmagos toroid síkmetszete és képe. A gyűrű alakú csévetest körbe van tekercselve. Gyakorlatilag az összes indukcióvonal a Rk tekercs belsejében B megy, de az erőtér nem homogén, mert az inI dukcióvonalak eltérő 12.7 ábra hosszúságúak, és az indukció iránya is változik. Ha a közepes indukcióvonalat választjuk zárt görbének, akkor a gerjesztési törvény alapján írhatjuk, hogy B ⋅ 2π ⋅ Rk = µ0 N ⋅ I , N ⋅I ahonnan B = µ0 2π ⋅ Rk 12.65 Körvezető középpontjában a mágneses indukció B r dl A 12.8 ábrán látható körvezetőre alkalmazzuk a Biot – Savart törvényt. Mivel dl és r mindenütt merőleges egymásra, sinϕ=1. I=állandó és r=állandó, ezért az integráljel elé kivihetők Az integrálást a kör kerületére kell elvégezni. I 12.8 ábra 88

B= µ0 I 4π r 2 2 rπ µ0 I ∫ dl = 4π 0 r2 ⋅ 2 rπ Egyszerűsítés után a kör középpontjában a mágneses indukció: B = µ0 ⋅ I 2r 12.7 Erőhatások mágneses mezőben 12.71 Mágneses Loretz-erő Ha egy l hosszúságú egyenes vezetőt rá merőleges B indukciójú homogén mágneses térbe helyezünk, majd I B egyenáramot vezetünk bele, a mágneses mező erőt fejt ki rá F a 12.9 ábrán látható módon l Az erő merőleges az l és B által meghatározott síkra, és irányára több szabályt is szoktak megfogalmazni. I 1.) A vezető saját mágneses tere bal oldalon a külső mágneses teret erősíti, a jobb oldalon gyengíti. Az erő iránya az erősítéstől a gyengítés felé mutat 2.) Ha a balkezünk 3 ujjából térbeli derékszögű koordi129 ábra náta-rendszert formálunk, a hüvelykujj az erő (F), a mutatóujj az indukció (B), a középsőujj az áram (I) irányát mutatja. Az erő nagysága: F=I⋅ l⋅B, ha l és B egymásra

merőleges. Általános esetben az indukcióvektor felbontható a vezetővel párhuzamos és a vezetőre merőleges összetevőkre, és így az erő: F=I⋅ l⋅B⋅sinϕ ill. F = I ⋅ l× B , ahol ϕ az l és B által bezárt szög. Ha a vezető áramát I=n⋅A⋅e⋅v alakban behelyettesítjük a Lorentz-erő képletébe, akkor F = n ⋅ A ⋅ e ⋅ v⋅ l⋅ B ⋅ sin ϕ összefüggést kapunk. Ebből a v sebességgel mozgó elemi töltésre ható erő: F = e ⋅ v ⋅ B ⋅ sinϕ , ill. F = e ⋅ v × B Mivel ez az erő a sebességre mindig merőleges, a sebességnek csak az irányát változtatja meg, és nem változtatja meg a sebesség nagyságát, nem végez munkát. 12.72 Lorentz-erő Mozgás elektromos és mágneses térben Ha a mozgó Q töltés egyszerre van elektromos és mágneses térben, akkor az elektromos és mágneses erők vektori összege hat rá: F = Q ⋅ (E + v × B ) Ha v0 kezdősebességű Q töltés az elektromos mező U feszültségű pontjai között

mozog, 1 1 akkor a sebességét kiszámíthatjuk a munkatétel segítségével: U ⋅ Q = m ⋅ v 2 − m ⋅ v 02 2 2 (Az elektromos mező munkája egyenlő a mozgási energia megváltozásával, a mágneses Lorentz-erő nem végez munkát) 2U ⋅ Q + m ⋅ v 02 m Az elért sebesség független a pálya alakjától. Így gyorsítják az oszcilloszkópokban vagy a tv-képcsövekben az elektronokat. Az elektronok eltérítése történhet elektromos vagy mágneses úton Ebből a töltés sebessége: v = 89 Elektromos eltérítésnél az elektronnyaláb a haladás irányára merőleges homogén villamos térben mozog, pályája parabola. Az l hosszúságú d távolságú lemezek közé v0 kezdősebességgel érkező elektron a lemezekkel párhuzamosan egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, rá merőlegesen pedig kezdősebesség nélkül egyenletesen gyorsul (12.10 ábra) A függőleges gyorsulás: F E ⋅Q U Q a= = = ⋅ m m d m l ideig halad. Az elektron a lemezek között t =

v0 függőleges sebesség: U ⋅Q l vy = a ⋅t = ⋅ d ⋅ m v0 A kilépés sebessége az ábra alapján: A + + + + ++ d +Q v0 E v0 α – – – – – – l v = v 2y + v 02 vy v Az eltérülés szöge: α = arc tg vy v0 Mágneses eltérítés: Ha az elektronnyaláb az indukcióra merőlegesen berepül homogén mágneses térbe, akkor a mágneses Lorentz-erő körpályára 12.10 ábra kényszeríti (12.11 ábra) Mivel ez az erő merőleges a sebességre, csak a mozgás irányát változtatja meg, a sebesség nagyságát nem. Biztosítja az egyenletes körmozgáshoz szükséges centripetális erőt: v2 Fcp = FL m = e ⋅ v⋅ B r m⋅v Ebből a körív sugara: r = e⋅ B v l hosszúságú mágneses tér esetén a szögele- v B l fordulás: α = arc sin r r v e⋅ B A szögsebesség: ω = = r m Az ív befutásához szükséges idő: t = α ω α Ha a mágneses térbe ferdén érkezik az elektronnyaláb (12.12 ábra), akkor a sebesség felbontható az indukcióval

párhuzamos (vp) és az indukcióra merőleges összetevőkre (vm). Az indukcióra merőleges sebességkomponenssel a töltés körpályára kényszerül, és 90 r l 12.11 ábra v vm +Q vp v h egyenletes körmozgást végez. A periódusidő: 2π 2πm = T= ω QB A párhuzamos összetevőre nem hat mágneses erő, ezért a töltés egyenesvonalú egyenletes mozgást végez ebben az irányban. A két mozgás eredője spirális pályán való mozgás. A menetemelkedés: h = v p ⋅ T B 12.12 ábra 12.73 Párhuzamos áramvezetők között ható erő A 12.1 fejezetben már volt arról szó, hogy a párhuzamos vezetők áramai egymásra erőt fejted B1 nek ki. Ez az erő a mágneses Lorentz-erő F A 12.13 ábrán látható két párhuzamos vezető közül az egyik árama felfogható úgy, hogy mágF I1 I2 neses teret létesít, és ebben a mezőben van a másik áram. Az l hosszúságú vezetők egymástól d távolságra vannak Az I1 áram által keltett B1 indukció: 12.13 ábra

µ ⋅I B1 = 0 1 2π ⋅ d µ ⋅I 4π ⋅ 10 −7 ⋅ I 1 ⋅ I2 ⋅l Az I2 áramú vezetőre ható Lorentz-erő: F = B1⋅ I 2 ⋅ l = 0 1 ⋅ I 2 ⋅ l = 2π ⋅ d 2π ⋅ d Egyszerűsítés és rendezés után kapjuk, hogy két párhuzamos vezető által egymásra kifejtett l erő: F = 2 ⋅ 10 −7 ⋅ I 1 ⋅ I 2 d Tehát ez az erő egyenesen arányos mindkét vezeték áramával és a párhuzamos vezetékek hosszával, és fordítottan arányos a vezetékek távolságával. Ez az összefüggés alapján definiálják az 1 ampert. 1 A erősségű az a két végtelen hosszú, kicsi kör keresztmetszetű párhuzamos vezető árama, amelyek egymástól 1 m távolságban vannak, azonos áramúak, és 1 m hosszú szakaszukra 2⋅10-7 N erő hat. 12.8 Mozgási indukció Helyezzünk el egy vezetőt az indukcióvonalakra merőlegesen, és mozgassuk úgy, hogy a sebesség mindkettőre merőleges legyen (12.14 ábra) (Szemléletesen azt is szokták mondani, hogy egy vezetőt mozgassunk

úgy a mágneses térben, hogy metssze az indukcióvonalakat.) A vezető mágneses térben levő hossza l. A vezető mozgó elektronjaira hat a Lorentz-erő: F=Q⋅v⋅B, ami a vezetőben töltésszétválasztást okoz. 91 + É v – B D 12.14 ábra A keletkező villamos tér az elektronokra ellentéU tes irányú erőt fejt ki: F = E ⋅ Q = i ⋅ Q l A töltések szétválasztása addig tart, amíg a két ellentétes irányú erő egyenlő nem lesz. EkU kor: Q ⋅ v⋅ B = i ⋅ Q . l Ebből a vezetőben indukált feszültség: U i = B ⋅ l ⋅ v , ha B, l és v egymásra páronként merőleges. A töltések szétválasztásakor az egységnyi töltés szétválasztásához szükséges munkát elekt- romotoros erőnek nevezzük: E= – Ui A mozgási indukció hozza létre a villamos feszültséget a generátorokban, a villamos forgógépekben. A mozgási indukcióra is érvényes, hogy az indukált feszültség egyenlő a mágneses fluxus váltoB + ∆Φ zási

sebességével: U i = ∆t I A FL v Ha ugyanis az l hosszúságú vezető ∆t idő alatt U R egyenletesen ∆s utat tesz meg, akkor „A” felületet l I vesz körül az indukcióra merőlegesen (13.15 ábra) – A fluxusváltozás ∆t idő alatt: ∆Φ=B⋅A=B⋅l⋅∆s ∆s B ⋅ l ⋅ ∆s Az indukált feszültség: U i = = B ⋅l ⋅ v ∆t 12.15 ábra Az indukált feszültség irányát a Lenz – törvény alapján lehet megfogalmazni, ami az energiamegmaradás törvényéből következik. Lenz – törvény: Az indukált feszültség zárt áramkörben olyan irányú áramot létesít, ami mágneses terével akadályozza az indukált feszültséget létrehozó hatást, azaz a fluxusváltozást. A Lenz – törvény alkalmazásához tehát legalább gondolatban zárt áramkört kell létrehozni. A 12.15 ábrán a vezetéket jobbra mozgatjuk A zárt áramkörben áram jön létre, ezért a vezetőre hat a Lorentz – erő Ez az erő akadályozza a mozgatást Ha nem így lenne,

akkor a vezető egyre gyorsulna, és a fékezésével energiához jutnánk, elkészíthetnénk a perpetuum mobile-t. 12.9 Váltakozó feszültség előállítása A váltakozó feszültség periodikusan előjelet vált, tehát a pozitív és negatív pólusok periodikusan felcserélődnek. Az idő függvényében szinuszosan változó feszültséget harmonikus váltakozó feszültségnek nevezzük. Ez előállítható úgy, hogy homogén mágneses térben megforgatunk egy tekercset (A 12.16 ábra bal oldalán látható csúszógyűrűk és kefék a forgórész áramának kivezetésére szolgálnak. Az erőművi generátorokban a forgórészen van a mágnes, az állórészen pedig a tekercs. Ez nem jelent elvi különbséget 92 A 3 fázisú feszültség előállításához 3 db tekercset helyeznek el v az állórészen, amelyek tengelyei α 120°-os szöget zárnak be egymással.) vn A 12.16 ábra jobb oldalán látα ható módon a vezető sebességét B felbonthatjuk az

indukcióval párhuzamos, és rá merőleges összeteB vőkre. Feszültséget csak az indukcióra merőleges vn sebesség-összetevő indukál: v n = v⋅ sin α Egyenletes körmozgásnál a 12.16 ábra szögelfordulás: α = ω ⋅ t Egy vezetőben indukált feszültség: U i1 = B ⋅ l ⋅ v n = B ⋅ l ⋅ v⋅ sin (ω ⋅ t ) N menetű tekercs esetén 2N számú vezető sorba van kapcsolva, ezért a tekercs feszültsége: U i = 2 N ⋅ B ⋅ l ⋅ v⋅ sin (ω ⋅ t ) Mivel sinα maximuma 1, az indukált feszültség maximuma (csúcsértéke): U max = 2 N ⋅ B ⋅ l ⋅ v A harmonikus váltakozó feszültség pillanatnyi értéke: u = U max ⋅ sin (ω ⋅ t ) Ha fogyasztót kapcsolunk egy ilyen generátorra, akkor az áram pillanatnyi értéu U ke: i = = max sin (ω ⋅ t ) = I max ⋅ sin (ω ⋅ t ) R R Effektív érték: A váltakozó feszültség ill. áram pillanatnyi értéke állandóan változik, ezért jellemzésére olyan i p mennyiséget használunk, ami az p

egyenáraméval megegyezik. A váltakozóáram effektív értéke i egyenlő azzal az egyenfeszülttt séggel, amelyik ugyanazon az ellenálláson ugyanannyi idő alatt ugyanannyi hőt fejleszt, mint a váltakozóáram. Ez matematikai1217 ábra 13.17 ábra lag négyzetes középértéket jelent. A 12.17 ábrán az idő függvényében egy ellenálláson folyó váltakozóáram és a teljesítmény pillanatnyi értékei láthatók A teljesítmény, és emiatt a fejlődő hőmennyiség is független az áram irányától, csak a nagyságától függ. u2 u2 A pillanatnyi teljesítmény: p = i 2 ⋅ R = , a fejlődő hőmennyiség: Q = ∫ i 2 ⋅ Rdt = ∫ dt R R A harmonikus váltakozóáram effektív értéke: T I eff T 1 2 1 2 = i dt = I max sin 2 (ωt )dt = ∫ T 0 T ∫0 2 I max 2π 93 2π ∫ sin (α )dα 2 0 = 2 I max 2π 2π 1 − cos 2α dα 2 0 ∫ I eff = 2 I max 2π 2π α   2 − sin (2α ) = 0 2 I max I = max 2 2 Tehát a harmonikus

váltakozóáram és feszültség effektív értéke: I eff = I max 2 U eff = U max 2 13. Időben változó mágneses tér 13.1 Elektromágneses indukció Elektromágneses indukció: Ha egy vezető által körülzárt felületen megváltozik a mágneses fluxus, akkor a vezetőben feszültség indukálódik. Ha a felületet egy N menetű tekerccsel dΦ ∆Φ zárjuk körül, akkor az indukált feszültség: U i = N , ill. U i = N ∆t dt Az indukált feszültség egyenesen arányos a fluxusváltozás sebességével (a fluxus idő szerinti első deriváltjával), arányossági tényező a tekercs menetszáma. Ez az összefüggés általános érvényű, független attól, hogy mi hozza létre a fluxusváltozást. Az indukált feszültség iránya a 12.8 fejezetben tárgyalt Lenz – törvénnyel határozható meg. 13.2 Nyugalmi indukció Általában akkor nevezzük az indukciós jelenséget nyugalmi indukciónak, ha nem a saját áramváltozás, és nem is mozgás hozza létre a

fluxusváltozást. Vizsgáljuk meg egy zárt vezetőhurok esetén a fluxusváltozás hatását a 13.1 ábra alapján! Az egyetlen menetben – a görbe alakjától függetlenül – feszültség indukálódik, ami a zárt áramkörben áramot létesít. Ennek az áramnak a I mágneses tere akadályozza a fluxusváltozást. Az ábrán a ΦI fluxusváltozás felfelé, az I áram fluxusa lefelé mutat. Ha a vezető ellenállása R, akkor az áram nagysága: 13.1 ábra U 1 ∆Φ I= i = R R ∆t A jelenség úgy is felfogható, hogy a vezetőben a töltéseket az indukált elektromotoros erő E= – Ui hozza mozgásba. Ha egy szolenoidot egy búra alá teszünk, és a búrából kiszivattyúzzuk a levegőt, akkor a vákuumban nincsenek töltések, de fluxusváltozáskor indukált elektromos mező keletkezik. Indukált elektromos mező keletkezik a szigetelőanyagokban is. ∆Φ A ∆Φ fluxusváltozás által indukált elektromos mező ilyenkor koncentrikus kör alakú villamos

térerősség-vonalakkal jellemezhető a fluxusváltozásra merőleges síkban (13.2 ábra) Ez azt is jelenti, hogy az indukált elektromos meE ző örvényes. Egy térerősség vonal mentén a térerősség szimmetria-okokból állandó, ezért az örvényerősség: 13.2 ábra ÖE = E ⋅ ∆s = E ⋅ 2rπ ∆Φ zárt görbére 94 ∆Φ ∆t 1 ∆Φ Az örvényerősség kétféle felírásából az indukált elektromos térerősség: E = − 2rπ ∆t A negatív előjel azt jelenti, hogy a fluxusváltozás irányához képest a villamos térerősségvonalak balsodrású rendszert alkotnak. Ha a balkezünk hüvelykujját a fluxusváltozás irányába tesszük, akkor a másik 4 ujjunk mutatja a térerősségvonalak körüljárási irányát. Faraday indukciós törvénye (Maxwell II. törvényének kiegészítése változó mágneses mező esetére): Általános esetben azt mondhatjuk, hogy ha a mágneses fluxus változik egy görbe által körülzárt felületen, akkor

örvényes elektromos mező keletkezik, melynek örvény∆Φ erőssége egyenesen arányos a fluxusváltozás sebességével: ÖE=E = − ∆t Az örvényes elektromos tér nem konzervatív, két pont közötti feszültség függ a pályagörbétől. Két pont közötti feszültség akkor lesz egyértelmű, ha a pályagörbét egy tekercs vezetékével előírjuk Ha a fluxusváltozást nyitott tekercs veszi körül, akkor az indukált örvényes elektromos tér addig választja szét a vezető töltéseit, amíg az ebből származó sztatikus mező térerőssége egyensúlyba nem kerül az indukált elektromos mező térerősségével. Az örvényerősség azonban egyenlő az indukált elektromotoros erővel is: ÖE=E = − 13.3 Önindukció Önindukció akkor jön létre, ha egy tekercs belsejében a fluxusváltozást a saját áram változása hozza létre. Az önindukciós feszültség (Ui) egyenesen arányos a tekercs áramváltozásával (∆i), és fordítottan arányos az

áramváltozás idejével (∆t), arányossági tényező a tekercs induktivitása (L): ∆i di Ui = L ill. Ui = L ∆t dt Más megfogalmazásban az önindukciós feszültség egyenesen arányos az áram idő szerinti első deriváltjával, arányossági tényező a tekercs induktivitása. Induktivitás (önindukciós tényező): ∆i ∆Φ Ha az U i = L ill. Ui = N egyenletekből Ui-t elimináljuk, akkor az induk∆t ∆t ∆Φ L=N tivitás értelmező egyenletét kapjuk meg: ∆i  Vs  mértékegysége:   = [Ωs ] = [H ] henry A Az induktivitás a tekercsre jellemző állandó, a tekercs felépítésétől függ. (A vasmagos tekercsek esetén a vas telítődő mágnesezési görbéje miatt függ az áram nagyságától is) N menetű, l hosszúságú, A keresztmetszetű légmagos tekercs induktivitása: N ⋅ ∆i A µ0 A ∆Φ l =N = µ0 ⋅ N 2 L=N l ∆i ∆i Egy tekercs egy soros RL áramkörnek tekinthető (13.5 ábra) (A huzal rezisztens ellenállásának és a

tekercs ideális induktivitásának soros kapcsolásával helyettesíthető) 95 Az önindukciós feszültség a Lenz – törvény értelmében akadályozza az áram változását. Ez azt eredményezi, hogy a bekapcsolás pillanatában a tekercs árama változatlanul nulla mat −  U rad, és exponenciálisan növekszik, amíg el nem éri az állandósult értékét: i = 1 − e τ  R  L τ = - időállandó R A tekercsben indukált feszültség: u i = U ⋅ e − t τ A tekercs árama és indukált feszültsége az idő függvényében a 13.3 ábrán látható uuu ii 13.3 ábra t tt t 14.3 13.3 ábra ábra t t Bekapcsoláskor a tekercs sarkain a tápfeszültség mérhető, ami az önindukciós feszültség és az ohmos ellenállás feszültségének az összege. Kikapcsoláskor viszont az önindukciós feszültség nem engedi az áram azonnali megszűnését, hanem az első pillanatban az áram változatlan marad, és csak fokozatosan tud

megszűnni. Kikapcsoláskor az áram fennmaradása érdekében igen nagy önindukciós csúcsfeszültség keletkezik, ami az érintkezők között szikrakisülést hoz létre, hogy az áram fennmaradhasson. Ha egy tekerccsel párhuzamosan kapcsolunk egy ködfény-lámpát, amelynek a gyújtófeszültsége 100 V, és 12 V-os tápfeszültséget be- és kikapcsolunk, akkor kikapcsoláskor a Glimm-lámpa felvillan. Ezt a nagy önindukciós feszültséget a gyors fluxusváltozás, a világításhoz szükséges energiát a tekercsben tárolt mágneses energia biztosítja 13.4 Kölcsönös indukció Ha két tekercs áramának mágneses tere részben közös, akkor bármelyik áram megváltozása mindkét tekercsben feszültséget indukál. Ez a jelenség a kölcsönös indukció. A 13.4 ábrán az N1 menetszámú tekercs indukcióvonalainak egy része az N2 menetszámú tekercs belsejében is létesít mágneses fluxust. A csatolási tényező megadja, hogy az összes indukcióvonal hányad

része megy át a másik tekercsen. Szoros csatolásról beszélünk, ha a csatolási tényező k≈1, és laza a csatolás, ha k<<1. I1 N1 N2 13.4 ábra 96 I1 megváltozásakor az N1 menetszámú tekercsben önindukciós, az N2 menetszámú tekercs∆I ∆I U i2 = L12 1 ben kölcsönös indukciós feszültség keletkezik: U i1 = L1 1 ∆t ∆t L12 – kölcsönös induktivitás [H]. Természetesen hasonló módon a másik tekercs áramváltozása is mindkét tekercsben indukál feszültséget. A Ha a mágneses térben nincs ferromágneses anyag, akkor L12 = kµ 0 N 1 N 2 1 l1 13.5 A mágneses mező energiája vákuumban Egy tekercsnek van induktivitása és a huzalának van ohmos (rezisztens) ellenállása. A tekercs tehát egy ellenállás és induktivitás soros kapcsolásával helyettesíthető (13.5 ábra) A hurok-törvény alapján: u = u R + u L di Az árammal kifejezve: u = i ⋅ R + L ⋅ dt I U UR UL 13.5 ábra A dt idő alatt végzett villamos munka:

dW=u⋅i⋅dt ezért szorozzuk meg mindkét oldalt i⋅dtdi vel: dW = u ⋅ i ⋅ dt = i 2 ⋅ R ⋅ dt + L ⋅ ⋅ i ⋅ dt dt A jobboldal első tagja a fejlődő Joule – hőt adja meg, ami eltávozik a rendszerből. A második tag mágneses energiává alakul Egyszerűsítés után a mágneses energia megváltozása: dW = L ⋅ idi Mindkét oldalt integrálva és az áram kezdeti értékét nullának választva kapjuk a tekercsben I i 2  1 felhalmozott mágneses energiát: W = ∫ L ⋅ idi = L ⋅   = L ⋅ I 2  2 0 2 0 1 A mágneses energia tehát: W = E m = L ⋅ I 2 2 I A l Ezt a mágneses energiára kapott összefüggésbe behelyettesítve és csoportosítva, valamint l N ⋅I N ⋅I N ⋅I N ⋅I 1 − lel szorozva: E m = µ 0 A ⋅ l B = µ0 , H= , V = A⋅l l l l l l 2 A mágneses energia tehát kifejezhető a mágneses tér jellemzőivel: 1 1 Em = B ⋅ H ⋅V = B 2 ⋅V 2 2µ 0 A homogén térrész mágneses energiája egyenesen arányos az indukció

négyzetével és a 1 térfogattal, arányossági tényező . 2µ 0 A mágneses tér energiasűrűsége: (az egységnyi térfogatban levő mágneses energia): W 1 1 = B⋅H = B2 w= V 2 2µ 0 A 13.2 fejezetben láttuk, hogy a légmagos tekercs induktivitása: L = µ 0 N 2 97 13.6 Az energia terjedése az áramforrástól a fogyasztóig A Poynting-vektor Azt már láttuk, hogy a vezetőben terjedő energia hővé alakul a vezető ellenállásán. Akkor hogyan jut el az energia a fogyasztóhoz? A 13.6 ábra alapján vizsgáljuk meg az energia terjedését két téglalap keresztmetszetű b szélességű, egymástól d távolságra levő párhuzamos vezető esetén. Az energia a vezetékek közötti szigetelőanyagban terjed. A vezetőkben folyó áram a vezetékek közötti térben I I mágneses teret kelt, amelynek indukciója: B = µ 0 a I + b B gerjesztési törvény alapján. (A vezetékek között a két – d mágneses tér erősíti egymást, a vezetékeken kívül peE dig

gyengíti, ezért az energia a két vezeték között számottevő, kívül pedig elhanyagolható.) b B ⋅b Ebből az áramerősség: I = µ0 13.6 ábra U A villamos térerősség a vezetékek között: E = , d amiből a feszültség: U = E ⋅ d B ⋅b A villamos teljesítmény: P = U ⋅ I = E ⋅ d , és µ0 An = d ⋅ b az energia terjedésére merőleges felület. 1 A villamos teljesítmény: P = E ⋅ B ⋅ An = E ⋅ H ⋅ An µ0 Az An felületen időegység alatt merőlegesen átáramló energia egyenesen arányos a villamos térerősséggel, a mágneses térerősséggel és a felület nagyságával. A levezetésnél E és B egymásra merőlegesek, a terjedés iránya pedig mindkettőre merőleges. A 136 ábrán az energia tőlünk távolodik, ami a bejelölt polaritásból és áramirányból következik. Ezt a terjedési irányt adja meg a Poynting-vektor is Energiaáramsűrűség vagy Poynting-vektor (S): Megadja az egységnyi felületen időegyP 1 W  ség alatt

átáramló energiát: S = = E ⋅ B = E ⋅ H , ha E ⊥ B  m 2  An µ 0 1 E×B = E×H Általános esetben a Poynting-vektor vektorszorzattal adható meg: S = µ0 14. Az időben változó elektromos mező 14.1 Az időben változó elektromos mező Az eltolási áram Faraday indukciós törvénye azt tartalmazza, hogy az időben változó mágneses mező for∆Φ rásmentes, örvényes elektromos mezőt létesít: ÖE = ∑ E ⋅ ∆s = − ∆t zárt görbére Maxwell feltételezte, hogy ennek a fordítottja is igaz, tehát az időben változó villamos tér, örvényes mágneses teret hoz létre. 98 Ha egy kondenzátort töltünk, a vezetőkben áram folyik, de a fegyverzetek között szigetelőanyag van, ott nincs rendezett, egyirányú töltésmozgás. Pontosabban a feszültség változása miatt a dipólusok töltésközéppontjai eltolódnak, de ha vákuum van a lemezek között, akkor már ez sem mondható. Akkor nincs is zárt áramkör? ∆Q A kondenzátor

töltőárama: i = ∆t A fegyverzetek töltésének megváltozása a lemezek közötti villamos teret is megváltoztatja. 1 A Gauss-tétel alapján: ∆E n ⋅ A = ∆Q ε0 ∆E n ⋅ A ∆Ψ = ε0 A két egyenletből a töltésváltozást kiküszöbölve az áramerősség: i = ε0 ∆t ∆t Ezt az áramot eltolási áramnak nevezzük, ami egyenesen arányos az elektromos fluxus változási sebességével, arányossági tényező a permittivitás. Az eltolási áram által létesített mágneses indukció örvényerőssége: ∆Ψ ÖB = µ 0 ⋅ i = µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ ∆t Maxwell IV. törvénye az eltolási áram figyelembevételével: örvényes mágneses teret kelt a vezetőben folyó áram, valamint az eltolási áram, azaz a változó elektromos fluxus is: ∆Ψ ÖB = µ0 (i + ε0 ) ∆t 14.2 Maxwell törvényeinek teljes rendszere Maxwell I. törvénye: N E = ∑E n zért felületre ⋅ ∆A = 1 ε0 ∑Q V ill. ∑D n zárt felületre ⋅ ∆A = ∑ Q V A nyugvó

töltések elektromos teret létesítenek. A sztatikus elektromos mező forrásai a nyugvó töltések. A V térfogatot elhagyó összes villamos térerősségvonalak száma egyenlő a bezárt összes töltés és a permittivitás hányadosával. ∆Φ Maxwell II. törvénye: ÖE = ∑ E ⋅ ∆s = − ∆t zárt görbére A mágneses fluxusváltozás örvényes elektromos teret létesít. (A sztatikus elektromos mező örvénymentes.) Maxwell III. törvénye: N B = ∑ B ⋅ ∆A = 0 zárt felületre A mágneses mező forrásmentes. Maxwell IV. törvénye: ÖB = ∑ zárt görbére B⋅ ∆s = µ 0 ( I + ε 0 ∆Ψ ) ∆t ill. ∑ H ⋅ ∆s = I + ε zárt görbére ∆Ψ ∆t Örvényes mágneses mezőt létesít a vezetőben folyó áram és az eltolási áram, azaz az elektromos fluxusváltozás is. 99 Az anyagi egyenletek: A dielektromos eltolás-vektor és a villamos térerősség kapcsolata: D = ε ⋅ E A mágneses indukció és a mágneses térerősség

kapcsolata: B = µ ⋅ H Az Ohm-törvény (az áramsűrűség, a fajlagos vezetőképesség és a villamos térerősség kapcsolata: J = σE 14.3 Az elektromágneses hullámok A rezgőkörök induktivitást és kapacitást tartalmazó áramkörök. Vizsgáljunk egy ideális rezgőkört! (Az áramkör rezisztens ellenállásától eltekintünk.) Ha feltöltjük a kondenzátort, és rákapcsoljuk a tekercsre, akkor a tárolt villamosenergia mágneses energiává alakul a tekercsben, majd az induktivitás fenntartja az áramot, és a kondenzátor ellentétes polaritással feltöltődik. Ezután a folyamat ellentétes irányban hasonlóan játszódik le. A rezgőkör feszültsége és árama is periodikusan változik E E E 14.1 ábra Ha a kondenzátor lemezeit eltávolítjuk egymástól, akkor a villamos térerősségvonalak megnyúlnak. Ez látható a 141 ábrán Az így kapott nyitott rezgőkör helyettesíthető egyetlen fémpálcával, amit dipólantennának neveE zünk. Az antenna

végének felületei tekinthetők a kondenzátor fegyverzeteinek, a vezetékdarab pedig az induktivitás. B A dipólantenna villamos térerősségvonalai folytonos, indukcióvonalai szaggatott vonalakkal vannak ábrázolva egy adott pillanatban a 14.2 ábrán A villamos és mágneses erővonalak egymásra merőlegesek 14.2 ábra Ezek az erővonalak azonban a dipólantennáról leszakadhatnak, így elektromágneses sugárzás keletkezik. A mágneses tér változása villamos teret, a villamos tér változása pedig mágneses teret kelt. A 14.3 ábrán egy vonal mentén azonos időpontban látható a villamos E térerősség és a mágneses indukció változása, ami meghatározza a terjedés irányát is. c B 100 14.3 ábra Az elektromágneses hullámok tehát transzverzálisak, az elektromos és a mágneses térerősség a hullámban egymásra merőleges, a terjedés iránya pedig mindkettőre merőleges. Egy adott helyen a villamos térerősségnek és a mágneses indukciónak

azonos időpontban van nullaátmenete, illetve azonos időpontban van a maximumuk is (azonos fázisúak) 1 E × B , ezért a hullám az ábrán A terjedés irányát a Poynting-vektor határozza meg: S = µ0 jobbra halad. A terjedési sebesség meghatározható Maxwell II. és IV egyenletének alkalmazásával Kicsiny ∆t idő alatt a hullám jobbra Q P ∆s utat tesz meg, és a terjedési sebes∆s ség: c = T U ∆t A rövid idő alatt E és B nem váltoE zik lényegesen egy adott helyen. l1 c A 14.4 ábra alapján az NOPQ téglalapra írjuk fel Maxwell II törvényét: l2 B∆sl1 ∆Φ B − El1 = − =− . ∆s ∆t ∆t O N Az E⋅ l skalárszorzat csak a QN szakaszon nem zérus, mert NO és PQ S R merőleges E-re, OP-ig pedig a hullám E még nem jutott el. Ebből: B = 14.4 ábra c E∆sl 2 ∆Ψ = µε , mert az antennától Maxwell IV. törvénye az RSTU téglalapra: Bl 2 = µε ∆t ∆t távol csak az eltolási áram keltette mágneses tér jelentős. Ebből B = εµEc Az

indukcióra kapott két összefüggést egymással egyenlővé téve az elektromágneses hul1 lám terjedés sebessége: c = µr≅1 a szigetelőanyagok esetén εµ Vákuum esetén az így kapott sebesség nagyon jól egyezett a fény vákuumbeli terjedési sebességével, amiből arra lehetett következtetni, hogy a fény is elektromágneses hullám. A különböző szigetelőanyagokban való terjedésnél ismert a törésmutató, ami a terjedési c sebességekkel is kifejezhető: n21 = 1 c2 A törésmutatóval számítható terjedési sebességek lényegesen eltértek a permittivitás és permeabilitás segítségével számítható terjedési sebességektől. Ennek az a magyarázata, hogy a relatív permittivitást és permeabilitást sztatikus tereknél mérték, vagy esetleg kisfrekvenciás változásoknál. A relatív permittivitás frekvenciafüggő, amit bizonyít a fény diszperziója is. Ennek figyelembevételével a két számítási mód már nincs ellentétben

egymással. Az elektromágneses hullámokat kísérletileg először Hertz vizsgálta. Kimutatta, hogy a fényhez hasonlóan verődnek vissza fémlemezekről (a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel). Paraffinból készített prizmával eredeti irányuktól eltéríthetők, megtörnek Az adóantennával szemben elhelyezett fémlapról visszaverődő hullámok az eredeti hullámokkal állóhullámot hozhatnak létre, aminek csomópontjai és duzzadóhelyei a vevőantenna mozgatásával kimutathatók a 14.5 ábrának megfelelő módon 101 adó vevő A duzzadóhelyeknél a vett jel amplitúdója maximális, a kioltási helyeken nincs vett jel. A vevőantenna azért van középen megszakítva, mert ott van az áramának maximuma, és ezt hasznosítjuk. A dipól feszültségmaximuma a csúcsoknál van Az elektromágneses hullámok polarizálhatók. Ha az adó és a vevő dipólantenna egymással párhuzamos, akkor a vett jel normális teljesítményű, míg ha a vevő

dipól merőleges az adóra, akkor a vett jel teljesítménye gyakorlatilag nulla. A mágneses indukció síkját polarizációs síknak, a villamos térerősségét rezgési síknak nevezzük. Erősítő és kijelző Erősítő és kijelző fémlap 14.5 ábra 14.4 Az elektromágneses hullámok dinamikai tulajdonságai 14.41 Az elektromágneses hullám energiasűrűsége A elektromágneses hullámok az antennában villamos rezgéseket keltenek, elnyelődve felmelegítik a testeket, tehát energiát hordoznak. Az időegység alatt egységnyi felületen merőlegesen átáramló energiát a Poynting – vektor 1 adja meg: S = E× B = E× H µ0 Mivel a villamos térerősség és a mágneses indukció fázisban vannak, 1 E = E max sin(ωt ) és B = Bmax sin (ωt ) S = E max Bmax sin 2 (ωt ) µ0 Ennek átlaga az egységnyi felületen időegység alatt merőlegesen átáramló energia: 1 1 S = S max = E max Bmax 2 2µ 0 Az elektromágneses hullám energiasűrűsége (egységnyi

térfogatra jutó energia) a villa1 1 B2 mos és mágneses energiasűrűség összege: w = ε 0 E 2 + 2 2µ 0 1 B A 14.3 fejezetben láttuk, hogy E = cB = ε0µ0 Ezt az energiasűrűség képletébe behelyettesítve kapjuk, hogy: w = 1 2µ 0 B2 + 1 2µ 0 B 2 , te- hát a villamos és mágneses energiasűrűség nagysága egyenlő. A nagyon kicsi ∆V térfogatban (ahol a tér homogénnek tekinthető) lévő összes energia: 1  1 W =  ε 0 E 2 + B 2  2µ 0 2  102 P ⋅ ∆t S ⋅ An ⋅ ∆t S = = An ⋅ c ⋅ ∆t c V 14.42 Az elektromágneses hullám impulzusa és impulzussűrűsége Az energiasűrűség a Poynting – vektorral kifejezve: w = Vizsgáljuk meg egy foton kölcsönhatását egy fém szabad elektronjával (14.6 ábra) Tekintsük az elektront kezdetben nyugvónak A nagyon kicsi ∆t időtartam alatt az elektromos térerősség hatására a -e töltésű elektron a villamos térerősséggel ellentétes irányba gyorsul E és v

átlagsebességgel mozog. A mozgó töltésre FB c a mágneses tér erőt fejt ki, ami a foton mozgás-e irányával megegyezik. A villamos tér munkája: v B FE ∆W = FE ⋅ v⋅ ∆ t = e ⋅ E ⋅ v⋅ ∆ t A mágneses erő által okozott impulzusváltozás: 14.6 ábra ∆I = FB ⋅ ∆t = e ⋅ v⋅ B⋅ ∆ t ∆W eE v ∆ t E = = =c A két mennyiség hányadosa: ∆I evB ∆ t B ∆W w = =c Ez az arány egyenlő az energiasűrűség és az impulzussűrűség arányával: ∆I g Impulzussűrűség (g): megadja térfogategységre jutó impulzust. S Helyettesítsük be az energiasűrűség Poynting-vektoros kifejezését: c = c g S Ebből az impulzussűrűség: g = 2 c   1 Ha a Poynting – vektort a térjellemzőkkel  S = E × B  , a hullám terjedési sebességét a µ0    1 vákuum permittivitásával és permeabilitásával kifejezzük  c =  ε0µ0  g = ε 0 EB ill.vektoriálisan: g = ε0 E × B A nagyon kicsi ∆V térfogat teljes

impulzusa: G = g⋅ ∆V   , az impulzussűrűség:   Mivel E és B az idő függvényében szinuszosan változik: g = ε0 E max Bmax sin 2 (ωt ) 1 Az átlagos impulzussűrűség: g = ε 0 E max Bmax 2 14.43 A fénynyomás és az elektromágneses tömeg Az elektromágneses hullámok elnyelődésekor az impulzusváltozásból származó erő és a g∆V F gA∆s = g ⋅c merőleges felület hányadosa a sugárnyomás (fénynyomás): p = = ∆t = A A A∆t 103 S c Visszaverődéskor az impulzusváltozás kétszeres, ezért a sugárnyomás is kétszeres. A korábbiakban már láttuk, hogy az energiasűrűség és az impulzussűrűség hányadosa épw =c pen a fény terjedési sebességével egyenlő: g mc A ∆V térfogatban lévő energia: E = W = w∆V = gc∆c = c∆V ∆V Ebből kapjuk az Albert Einsteintől származó híres E = m ⋅ c 2 összefüggést, ami a tömeg és energia egyenértékűségét, ekvivalenciáját fejezi ki. A fénynek tehát nem csak

energiája, hanem tömege is van A fény elnyelődésekor tehát a fénynyomás: p = g ⋅ c = 15. Hullámoptikai jelenségek 15.1 A fény terjedése homogén közegben A 14.3 fejezetben meghatároztuk az elektromágneses hullámok terjedési sebességét A 1 1 . = fény is elektromágneses hullám, a terjedési sebessége tehát c = εµ ε 0 ε r µ0 µ r Mivel az átlátszó anyagok relatív permeabilitása µr≈1, a terjedési sebesség: c 1 = 0 , ahol c0 – a fény vákuumbeli terjedési sebessége, c= ε rε 0 µ 0 εr εr – a fény frekvenciáján mért relatív permittivitás. A fény terjedési sebességét először Olaf Römer dán csillagász határozta meg a Jupiter bolygó Io nevű holdja eltűnési idejeinek vizsgálatával. Földi körülmények között először Fizeau (fiző) mérte meg forgó fogaskerékkel 1849-ben két hegycsúcs között az Alpokban, majd laboratóriumban Foucault (fukó) forgó tükörrel. A fény homogén és izotrop közegben egyenes

vonalban terjed. Mivel εr>1 minden anyag esetén, a fény minden anyagban kisebb sebességgel terjed, mint vákuumban. 15.2 A fény két közeg határán Ha a fény két közeg határához érkezik, akkor egy része visszaverődik, egy része pedig általában behatol az új közegbe. A beeső sugár, a beesési merőleges, a visszavert sugár és a megtört sugár egy síkban vannak A beesési merőleges a beesés helyén a közeghatár érintősíkjának normálisa (az érintősíkra merőleges egyenes). A beesési, a visszaverődési és a törési szögeket a beesési merőlegestől mérjük. Fényvisszaverődés: Sima felületről a mechanikai hullámoknál megismert visszaverődési törvény szerint verődik vissza, azaz a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel. Érdes felületről szétszórtan, diffúz módon verődik vissza, mert az egymáshoz közeli beesési merőlegesek eltérő irányúak. Fénytörés: Ha a fény behatol egy új közegbe, az anyag

töltéseivel kölcsönhatásba kerül. Ez okozhatja a fény elnyelődését, illetve a terjedés tulajdonságainak megváltozását. Átlátszó anyagokba való belépéskor megváltozik a terjedés sebessége, a fény hullámhoszsza, megváltozhat a terjedés iránya, de a frekvenciája változatlan marad. 104 Abszolút törésmutató (n): Ha a fény vákuumból megy valamilyen anyagba, akkor a terjedési sebessége lecsökken. Az abszolút törésmutató megadja, hogy a vákuumbeli terjedési sec besség (c0) hányszorosa az anyagbeli sebességnek (ca): n = 0 ≈ ε r ca Minden anyagra n>1. Relatív törésmutató (n21) – a második közegnek az elsőre vonatkoztatott törésmutatója Ha a fény egyik anyagból a másikba megy, a terjedési sebességek aránya a relatív törésc λ mutató: n 21 = 1 = 1 , mert c=f⋅λ és f=állandó. c 2 λ2 A relatív törésmutató kifejezhető az abszolút törésmutatókkal is. Ha a számlálót és a nevezőt elosztjuk a fény

vákuumbeli terjedési sebességével, akkor: c1 1 c n n 1 , ahol n12 – az első közegnek a másodikra vonatkoztatott törésn21 = 0 = 1 = 2 = c2 1 n1 n12 n2 c0 mutatója. sinα , ahol α - beesési szög, β - törési szög. A hullámtanból ismert, hogy n21 = sinβ A relatív törésmutatóra kapott összefüggésekből következik, hogy ha egy fénysugarat viszszafelé ugyanabba az irányba indítunk, mint amilyen irányból érkezett, akkor ugyanazon az úton megy visszafelé is. Ezt az optikai sugármenetek megfordíthatóságának nevezzük Teljes visszaverődés (totális reflexió): Optikailag sűrűbb az a közeg, amelyiknek az abszolút törésmutatója nagyobb, illetve amelyikben a fény terjedési sebessége kisebb. Ha optikailag sűrűbb közegből optikailag ritkább közegbe megy a fény, akkor a relatív törésmutató egynél kisebb. A Snellius – Descartes törvényből a törési szög szinusza: sinα sinβ = , így β > α . n21 Található egy olyan

beesési szög, amelyiknél a törési szög 90°. Ezt a beesési szöget a teljes visszaverődés határszögének nevezzük, ami kiszámítható: α h = arc sin(n21 ) Ha a fény a teljes visszaverődés határszögénél nagyobb beesési szöggel érkezik a közeghatárhoz, akkor teljes egészében visszaverődik a visszaverődési törvénynek megfelelő módon. A fény útja planparalel lemezen (síkpárhuzamos lemezen) A planparalel lemez két párhuzamos sík lappal határolt, optikailag átlátszó test (15.1 ábra) A beeső fény mindkét határfelületen megtörik. Ha α a lemez két oldalán azonos közeg van, akkor a kilépő A sugár az eredetivel párhuzamosan megy tovább. Az eltolódás (D) a következő módon határozható meg a beesési szög (α),a lemez vastagsága (d) és a relatív s C d β törésmutató (n21) ismeretében. Az első határfelületre a törési törvényből sinα B sinβ = D n21 α 15.1 ábra 105 A lemezben megtett fényút és a

lemezvastagság segítségével cosβ = Az ABC háromszögből az eltolódás: D = s ⋅ sin (α − β ) d s Prizma: Egymást metsző sík lapokkal határolt optikailag átlátszó anyagból készült eszköz. törőél A prizma a beeső fénysugarat kétszer töri meg (15.2 ábra). Ez a két lap által bezárt szög a prizma törőszöge (ϕ), metszésvonaluk a prizma törőéle, az erre merőleges sík a prizma fősíkja. ϕ 15.2 ábra ϕ δ α ϕ β α-β ε γ-ε 15.3 ábra zöld γ A fősíkban haladó beeső és kétszer megtört sugár által bezárt szög az eltérítés szöge (deviáció szöge - δ). sinα A 15.3 ábra alapján sinβ = n21 sinε 1 ϕ= β+ε = sinγ n21 A deviáció szöge: δ = α − β + γ − ε , mert egy háromszög külső szöge. Tehát a deviáció: δ = α + γ − ϕ 15.3 Színek, diszperzió sárga kékeszöld kék bíbor 15.5 ábra 15.4 ábra Vörös Narancs Sárga Zöld Kék Ibolya A 14.3 fejezetben említettük, hogy a

fény terjedési sebessége egy adott anyagban függ a frekvenciájától Ezt diszperziónak nevezzük Ebből következik, hogy a törésmutató is frekvenciafüggő Ezért egy anyag törésmutatóját mindig meghatározott vörös frekvenciájú fényre adják meg. A fény színe függ a frekvenciájától. A látható fény frekvenciatartománya 7,9⋅1014Hz I 14 3,9⋅10 Hz, hullámhossza 380 nm <λ< 780 nm. Ha egy prizmán fehér fény halad át, akkor a különböző színű fények különböző mértékben törnek meg, így a kétszeres törés után a kilépő fény szivárványszínű lesz (15.4 ábra) Legkevésbé a vörös, legjobban a kék színű fény törik meg. A fehér fény tehát összetett fény. A homogén színek tovább nem bonthatók Ha a prizmával felbontott fényt egy lencsével ismét egyesítjük, akkor újra fehér fényt kapunk Az egyszínű, pontosabban egy hullámhosszú vagy egy frekvenciájú fényt monokromatikus fénynek nevezzük. A

színeket ábrázolhatjuk a 15.5 ábrának megfelelően egy háromszög csúcsainál és oldallapjainál A háromszög csúcsaiban elhelyezkedő három alapszín az összegző (additív) 106 színkeverés alapja. Kettőt összekeverve a köztük levő színt kapjuk meg, mindhármat összekeverve pedig fehér fényt kapunk A csúcs és a szemközti oldal színeit kiegészítő színeknek (komplementer színeknek) nevezzük. Additív színkeveréssel, azaz ha egymásra vetítjük a komplementer színeket, szintén fehéret kapunk. A komplementer színek: vörös – kékeszöld, sárga – kék, zöld – bíbor. Az átlátszatlan tárgyak színe attól függ, hogy milyen színű fényt vernek vissza. A fekete minden fényt elnyel, a fehér pedig minden színt visszaver, vagy csak a háromszög csúcsaiban levő színeket, vagy csak az alapszíneket veri vissza. A szürke tárgy minden színt azonos arányban ver vissza, de a beeső fény egy részét elnyeli. Az átlátszó

tárgyak színe az áteresztett fények színétől függ. 15.4 A fény polarizációja A 6.1 fejezetben megismerkedtünk a síkban, cirkulárisan és elliptikusan polarizált mechanikai hullámok fogalmaival A fény is transzverzális hullám, a fény is polarizálható Ha egy üveglapra úgy esik be egy párhuzamos fénynyaláb, hogy a visszavert és megtört sugár egymásra merőleges, akkor a visszavert sugár síkE ban polarizált lesz. A megtört sugár csak részben polarizált. Több (10 – 20) üveglapot egymásra téve a megtört sugár is majdnem teljesen polari90° zálttá tehető. A 15.6 ábrán a beeső, a visszavert és a megtört sugár a szürke síkban van. A visszavert sugár elektromos rezgései az üveglap síkjával párhuzamosak. A megtört sugárban a fő rezgésirány merőleges a visszavert fény rezgési síkjára. 15.6 ábra Azt a beesési szöget, amelyiknél a visszavert sugár merőleges a megtört sugárra, Brewster-szögnek (brjúszter-szög)

nevezzük. A Brewster – szögnél α+β=90°, illetve β=90°– α, ezért sinα sinα sinα n21 = = = = tgα sinβ sin (90° − α ) cosα Ha az üveglapról (polarizátorról) visszavert síkban polarizált fényt egy másik üveglapra (analizátorra) ejtjük úgy, hogy a beesési szög a Brewster – szög, akkor a következő jelenséget figyelhetjük meg: Ha a polarizátor és az analizátor párhuzamosak, akkor az analizátorról visszavert fény intenzitása egyenlő a rá beeső fény intenzitásával. Ha az analizátort a beeső fénysugár, mint tengely körül forgatjuk, akkor a visszavert sugár intenzitása csökken, és 90°-os szögelfordulásnál nulla lesz. Polarizáció kettőstöréssel: Léteznek olyan kristályok (pl. mészpát), amelyek a rá beeső párhuzamos nyalábot két részre bontják. Az egyik sugár követi a fénytörés törvényét, és merőleges beesésnél irányváltoztatás nélkül megy tovább. Ezt ordinárius vagy rendes sugárnak

nevezzük A másik sugár még merőleges beesésnél is megtörik. Ezt extraordinárius vagy rendellenes sugárnak nevezzük. Erre a sugárra nézve a törésmutató a beesési szögtől függően változik A rendes és a rendellenes sugár egymásra merőlegesen polárosak. 107 A megfelelő szögben csiszolt mészpátkristályt kettévágva és kanada-balzsammal összeragasztva polarizált fény előállítására alkalmas eszközt kapunk (Nicol-prizma) A ráeső természetes fényből a rendes sugár átmegy rajta, a rendellenes sugár pedig a kanada-balzsamon teljesen visszaverődik. Polaroidszűrők (polárszűrők): Léteznek olyan kettőstörő anyagok, amelyek az egyik sugarat már kis vastagság esetén is jelentősen elnyelik (pl. turmalin kristály, de PVC-ből is készíthető ilyen lemez) Az átengedett sugár csaknem teljesen polarizált 15.5 A fény interferenciája A mechanikai hullámoknál megismertük az interferencia fogalmát. Láttuk, hogy az egy pontból

kiinduló koherens hullámok találkozásakor az útkülönbségtől függ az erősítés és gyengítés mértéke. Interferencia koherens hullámokkal hozható létre, ami azt jelenti, hogy tartósan azonos fáziskülönbséggel kell találkozniuk a hullámoknak. Polarizált hullámoknál a polarizáció síkjának is meg kell egyeznie a frekvencián illetve a hullámhosszon kívül A fény esetében azonban egyéb feltétel is van. A közönséges fényforrásokban a gerjesztett atomok spontán fénykibocsátása kb. 10-8 – 10-9 s-ig tart, a következő hullámvonulat már ettől eltérő fázisú. Ezen idő alatt a fény által megtett utat koherenciahosszúságnak nevezzük Az egymástól távolabbi atomok fénykibocsátási fázisa között semmilyen kapcsolat nincs. Közönséges fényforrásoknál tehát a koherencia feltétele, hogy a fényforrás pontszerű legyen, és a hullámok útkülönbsége kisebb legyen a koherenciahossznál. A lézerek által kibocsátott fény az

indukált emisszió miatt igen nagy kohorenciahosszal rendelkezik. Interferencia egy tükörrel ernyő s2 tükör x d l s1 Ha egy pontszerű fényforrásból egy enyhén széttartó nyaláb egyik sugara közvetlenül, a másik a tükörről visszaverődve jut az ernyő azonos pontjára, akkor az útkülönbség a 15.7 ábra jelöléseivel meghatározható s1 = l 2 + (d − x ) A tükröt érintő sugár úgy megy, mintha a tükörképből indult volna ki, ezért 2 fényforrás 15.7 ábra s 2 = l 2 + (d + x ) 2 ( ) s 22 − s12 = s 2 + s1 (s 2 − s1 ) = 4dx , és s 2 + s1 ≈ 2l , mert a nagyon kis szögek miatt mindkét út közelítőleg egyenlő a fényforrás ernyőtől mért távolságával. 2dx Ezekből az útkülönbség: ∆s = s 2 − s1 = l l λ λ , k=1, 2, 3, A maximális erősítési helyeknél: ∆s = 2k , ebből x maxe = k 2 d 2 l λ λ A kioltási helyeknél: ∆s = (2k − 1) , ebből x ki = (2k − 1) 2 d 4 108 Interferencia két tükörrel Ha egy

pontszerű fényforrás keskeny nyalábja két, egymással kis szöget bezáró tükörről verődik egy ernyőre, akkor szintén interferencia jön létre. Az útkülönbség legegyszerűbben úgy határozható meg, ha a fényutakat a fényforrás tükörképeiből kiindulónak tekintjük. F” F’ tükrök α ernyő F Monokromatikus fénynél sötét és világos csíkokat látunk az ernyőn, fehér fény esetén pedig a világos csíkok szivárvány színűek. Ha ugyanis az útkülönbség nem nulla, akkor a különböző színek esetén a maximális erősítés helye eltérő. A Fresnel – féle kettőstükör a 15.8 ábrán látható 15.8 ábra Interferencia vékony hártyákon 15.9 ábra Ha a víz felületén olaj vagy benzin terül szét, akkor azt szivárvány színű és sötét csíkokból állónak látjuk. Hasonló jelenség figyelhető meg a szappanbuborékoknál is. A vékony hártya felületéről közvetlenül visszaverődő, valamint a hártyába behatoló és

a másik felületről visszaverődő fény különböző irányokból eltérő útkülönbséggel érkezik a szemünkbe, és ez okozza az interferenciát. 15.6 A fény elhajlása (diffrakció) Ha egy hullám egy akadály mellett halad el, vagy egy keskeny résen halad át, akkor elhajlás jön létre. A lézerek párhuzamos és monokromatikus fényt bocsátanak ki. Ha egy lézerrel egy függőlegesen kifeszített drótot megvilágítunk (15.10 ábra), akkor a drót mögötti ernyőn a drót dróttal szemben függőleges helyzetű sötét és világos csíkokat figyelhetünk meg nagyítón keresztül. A drót közepénél fénynyaláb világos csík van, pedig azt várnánk, hogy ott sötét árnyék keletkezik. Ennek az a magyarázata, hogy a drót két széléről az erny ő nek erre a helyére útkülönbség nélkül érkeznek az elhaj15.10 ló fénysugarak. A többi hely intenzitásváltozását is a drót széleiről elhajló fény interferenciája határozza meg. 109

Elhajlás optikai résen Ha a fény egy keskeny függőleges résen halad keresztül, akkor vízszintes irányban elhajlik. A 15.11 ábrán csak az egyik irányú elhajlást tüntettük fel, de természetesen az elhajlás szimmetrikus. A d szélességű réssel szemközt intenzitásmaximum van, amit nulladrendű elhajlásnak nevezünk. Ennek két oldalán gyengítéα sek és erősítések váltják egymást. d A k-adrendű erősítési maximum (k= ±1, ±2, ±3, ) irányát a következő gondolatmenettel határozhatjuk meg: A résből egy irányba kiinduló fénynyalábot osszuk fel 2k+1, (2k + 1) λ azaz páratlan számú részre. (Az ábrán k=1, 2k+1=3) 2 Keressük meg azt az irányt, amerre a résből kiinduló szom15.11 ábra szédos fénynyalábok között az útkülönbség a hullámhossz fele. Két ilyen nyaláb sugarai egymást kioltják, így a páratlan nyaláb maximális erősítést eredményez. Természetesen minél több részre osztjuk a nyalábot, annál jobban

csökken a maximális erősítési helyen az intenzitás. λ (2k + 1) 2 A maximális erősítési irányok az ábra alapján: α maxe = arc sin d A kioltási irányokat úgy kapjuk meg, ha a nyalábot páros számú részre osztjuk: λ 2k 2 α ki = arc sin d Elhajlás kettősrésen 7.9 ábra d 15.12 ábra Ha két párhuzamos keskeny rést megvilágítunk, akkor a beeső fény a réseken elhajlik, és a két résből kiinduló fénynyalábok egymással interferálnak. A rések középvonalával szemben van a nulladrendű erősítés, hiszen itt a résekből kiinduló fénysugarak között nincs útkülönbség. Fehér fény esetén ez fehér színű A többi erősítési hely szivárványszínű úgy, hogy legkevésbé az ibolya, legjobban a vörös fény térül el, ellentétben a prizmán való eltérüléssel. A kioltási és erősítési helyeket az útkülönbség határozza meg. Ha az ernyő a résektől nagyon távol van, akkor a 1512 ábra jelöléseivel: ∆s = sinα , és

kis szögek esetén d ∆s x x = . tgα = ≈ sinα , ezért d l l l Ebből: x = ∆s d A maximális erősítési helyeknél az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse, 110 l λ , k= 0, ±1, ±2, ±3, ) d A kioltási helyeknél az útkülönbség a fél hullámhossz páratlan számú többszöröse: l λ x ki = (2k − 1) d 2 ezért: x maxe = k Elhajlás optikai rácson Az optikai rács üveglapra készített párhuzamos karcolásokból áll. A karcolás a fényt szétszórja, a karcolások közötti rész pedig átengedi Milliméterenként több ezer karcolás készíthető A rácsállandó egy karcolás és egy fényáteresztő rész szélességének összege, azaz a milliméterenkénti karcolások számának reciproka Pl 1000 vonal/mm esetén a rácsállandó d=0,001 mm. Az optikai rács maximális erősítési és kioltási irányai megegyeznek a kettős rés irányaival, de a kapott színkép sokkal fényerősebb. 15.7 Színképek Az előzőekben

láttuk, hogy a prizmán áthaladó fehér fény szivárvány színűre bomlik. Az optikai rács nem nulladrendű erősítési helyei is szivárvány színűek. Az ernyőn a rácsvonalakra merőleges irányban minden ponthoz (minden színhez) más frekvencia illetve hullámhossz tartozik. Ezt színképnek vagy spektrumnak nevezzük Ha egy fényforrás által kibocsátott fény intenzitását a hullámhossz (vagy a frekvencia) függvényében jelenítjük meg, akkor ezt emissziós színképnek nevezzük. Az abszorpciós vagy elnyelési színképet úgy kapjuk, hogy azt vizsgáljuk meg, hogy a fehér (azaz minden hullámhosszt tartalmazó) fényből a vizsgált anyag milyen hullámhosszúságú fényt nyel el. Folytonos színkép: A kibocsátott fény intenzitása a hullámhossznak folytonos függvénye, tehát minden frekvenciájú komponenst tartalmaz. Ilyen általában az izzó szilárd testek és folyadékok emissziós színképe (pl izzólámpa) Vonalas színkép: Csak

meghatározott frekvenciákat tartalmaz. Az atomokból álló izzó gázok és gőzök emissziós színképe vonalas. A valóságban a színképvonalak egy nagyon keskeny frekvenciatartományt illetve hullámhossztartományt jelentenek Ha izzó gázt vagy gőzt fehér fénnyel megvilágítunk, akkor azokon a helyeken, ahol az emissziós színképben vonalakat kapunk, ott fekete vonalakat látunk az abszorpciós színképben, tehát ugyanazokat a frekvenciákat nyeli el, mint amiket kibocsátani képes. A fekete vonalaknak az a magyarázata, hogy az elnyelt frekvenciájú fényt nagyon rövid időn belül kisugározza az atom, de ez az energia a teljes térszögbe sugárzódik szét, így a spektroszkóp felbontó optikai rácsára csak nagyon kis intenzitás jut belőle, míg a többi frekvenciájú összetevő irányítottan érkezik a megvilágító fényforrásból. A színképvonalak frekvenciája jellemző a kibocsátó elemre, ezért az anyagok meghatározására alkalmas. A Nap

színképe abszorpciós színkép. A Nap belsejéből érkező fényből a külső hidegebb gázok elnyelik a rájuk jellemző hullámhosszú összetevőket. Ebből a gáz összetevőire következtethetünk (H, He, Li, Na) Sávos színkép: Bizonyos intervallumokban az intenzitás nullánál nagyobb, míg más intervallumokban nulla. Nagyobb felbontóképességű spektroszkópokkal kimutatható, hogy egy – egy sáv sok egymáshoz közeli „vonalból” áll. Az izzó gázok molekulái sávos színképet bocsátanak ki 111 15.8 A teljes elektromágneses spektrum Az elektromágneses hullámok tulajdonságai változnak a frekvencia, illetve a hullámhossz függvényében. Ez a két mennyiség között a c=f⋅λ összefüggés teremt kapcsolatot Technikai váltakozóáram: A hálózati áram frekvenciája 50 Hz, de ettől eltérő frekvenciákat is használnak a villamos vontatásban és az iparban is (16,66 Hz, 400 Hz, frekvenciaváltók 0,5-100 Hz). Környezetünkben megjelennek

ezen frekvenciák felharmonikusai is Ezeket a hullámokat kisfrekvenciás zajhullámoknak is nevezzük, mert zavarják a rádió és tv vételt. A rádióhullámokat több résztartományra osztjuk: Hosszúhullám: 100 km – 1 km hullámhossz, ill. 3 kHz – 300 kHz frekvencia tartomány A hosszúhullámok felületi hullámkén terjednek, követik a Föld görbületét, ezért alkalmasak pl. a tengeri hajózásban az információ továbbítására. Középhullám: (1000 m – 100 m; 300 kHz – 3 MHz) Átmenetet képeznek a hosszú és rövidhullámok között. Részben felületi hullámként, részben egyenes vonalban terjednek, és az ionoszféráról visszaverődnek. Rövidhullám: A levegőben egyenes vonalban terjednek, de az ionoszféráról többszörös törés után visszaverődnek, így nagy távolságú irányított rádióadásra alkalmasak. Az ionoszféra a Föld felszíne fölött kb 40 km – 100 km magasságban levő változó méretű és helyzetű, erősen ionizált

réteg. Ultrarövid hullám (URH): (30 MHz – 3 GHz) két tartománya a VHF (10 m – 1 m) és UHF (1 m – 1 dm). Egyenes vonalban terjednek, az ionoszféráról nem verődnek vissza, ezért gyakorlatilag a vevőnek az adóra rá kell látnia. Mikrohullámok: Sokszor ide sorolják a dm-es (UHF) tartományt is, de ide tartozik a 10 cm – 1 mm közötti cm-es és mm-es hullámhossztartomány (3 GHz – 300 GHz). Az ionoszférán áthatolnak, és a felhők vízcseppjein viszonylag kevésbé szóródnak. Ebben a tartományban működnek többek között a radarok, a mobiltelefonok, és a műholdas összeköttetések. Elnyelődve a testeket felmelegítik Infravörös fény: (500 µm – 780 nm; 600 GHz – 3,9⋅1014 Hz). Hősugaraknak is nevezik őket, mert szemmel nem láthatók, de a bőrünket felmelegítik. Épületek hőszigetelésének vizsgálatára, testek hőtérképének elkészítésére vagy éjjel látó készülékek működtetésére alkalmasak Látható fény: (780 nm

-380 nm; 3,9⋅1014 Hz - 7,9⋅1014 Hz) Ultraibolya, vagy ultraviola fény: (380 nm – 10 nm; 7,9⋅1014 Hz - 3⋅1016 Hz). Az üveg elnyeli, a kvarcüveg átengedi (kvarclámpa). Szemünk nem érzékeli A Nap jelentős mennyiségű uv fényt bocsát ki, amit az ózonréteg gyengít A kisebb frekvenciájú uv sugárzás szükséges a szervezetben a D vitamin képződéséhez Az ózonlyuk miatt megnövekedett a nagyobb frekvenciájú uv B sugárzás, ami leégést és bőrrákot okozhat. Röntgensugárzás (X – sugarak): (10 nm – 1pm; 3⋅1016 Hz - 3⋅1020 Hz). A 10 000 V – 100 000 V feszültséggel gyorsított elektronok lefékeződésekor keletkezik a fékezési röntgensugárzás. Ez folytonos spektrumú Emellett keletkeznek a fékező anyagra (antikatódra) jellemző diszkrét hullámhosszak is, amit karakterisztikus sugárzásnak nevezünk. A röntgensugarakat orvosi vizsgálatokhoz és anyagvizsgálatokhoz használnak. Rákos daganatok sugárkezelését is végzik vele

Gammasugárzás: (1018 Hz – 1022 Hz) radioaktív sugárzás. Az α- és β-bomlás során keletkezett gerjesztett állapotú atommagok gammasugarak kibocsátásával kerülnek alapállapotba Anyagvizsgálatra és élelmiszerek csírátlanítására használják Kozmikus sugarak: (1022 Hz - 1024 Hz) Elsősorban a világűrből érkezik, másrész az atmoszféra atomjaiba ütköző nagy energiájú részecskék hatására keletkezik. 112