Fizika | Felsőoktatás » Bevezetés a kvantummechanikába

Kvantum jegyzet módosítva: 2003.0923 Bevezetés Ezt a jegyzetet tanárképzõ fõiskolák fizika szakos hallgatóinak szántuk a választható speciálkollégiumukhoz segédletként. A fõiskolák jelenlegi képzésében a kísérleti fizika dominál amit elsõsorban az általuk tanított korosztály életkori sajátossága indokol. A fizikatanár-képzés azonban nem mondhat le arról, hogy olyan nagy és a fizika szerves részét képezõ elméleti fizikai területekkel -legalább körvonalaiban- ne ismertesse meg hallgatóit, mint az elektrodinamika, statisztikus fizika vagy a kvantummechanika. A modern fizikai tanítása ma már elképzelhetetlen a mikrofizikai alapok ismerete nélkül, ez pedig a kvantummechaika alapvetõ ismeretét feltételezi. Igen sokat jelenthet az tanár számára az a különbözõség is, amit az elméleti fizika tanulása tud nyújtani a kísérleti fizika mellett. A tanítás induktív és deduktív módszereinek élményszerû öszehasonlítását

teszi lehetõvé, amitõl a módszertani kultúrájuk további fejlõdését várhatjuk. A jegyzetben tárgyalt anyag mindegyike megtalálható valahol, szerencsére nagyon jó szakkönyveink vannak, de ezek összeszedése, a lényeg kiemelése már alkotó matematikai ismereteket feltételez, -merthogy az elméleti fizika nyelve a matematika-, és ez még a matematika-fizika szakos hallgatóknak is gondot okoz néha. A tanárképzõ fõiskolák szakpárosításaiban pedig a fizika mellett sokszor nem a matematika, hanem más szak szerepel. Úgy gondoltuk, hogy noha egy alapvetõ matematikai kurzuson minden fizika szakos hallgató átesett a kezdetekben, ez csak a differenciál és integrálszámítást alapozta meg a kísérleti fizikához szükséges mértékben, a kvantummechanikához azonban ez vajmi kevés. Fontosnak tartottuk tehát, hogy legalább a komplex számokkal és a vektoranalízis elemeivel a bevezetõben részletesebben is foglalkozzunk fõleg a nem matematika szakosok

kedvéért, s csak ezek után térjünk rá a kvantummechanika bemutatására. A kvantummechanikából elsõsorban a kísérleti fizikától eltérõ tárgyalás módot kívántuk hangsúlyozni. A tárgyalás során az egyszerübben kezelhetõ, Schrödingertõl származó differenciálegyenletet vezetjük be, és olyan igen egyszerû esetekben oldjuk meg, amelyekbõl a fizikára nézve általános érvényû következtetéseket tehetünk. A Heisenberg féle mátrix-reprezentáció bemutatására a megfelelõ matematikai ismeretek és idõ hiányában a két féléves speciálkollégium során nem tudtunk sort keríteni. Ezek ellenére is azt hisszük hogy az érdeklõdõ hallgatókkal sikerült a kvantummmechanika mibenlétét megismertetni, további tanuláshoz pedig az alapokat lerakni. Bevezetés a kvamtummechanikába Tartalomjegyzék 1. Matemetikai alapok: A komplex számok Binom- és hatványalak Euler összefüggés 2. Alapmûveletek vektororkkal (összeadás, kivonás,

nyújtás, skalár- és vektorszorzat, deriválás). 3. Vektor-skalár, vektor-vektor függvények Vonalintegrál kiszámítása 4. A nabla-operátor Formális mûveletek a nabla-operátorral A gradiens- függvény és fizikai tartalma. 5. A divergencia fogalma, kiszámítása Konzervatív tér Gauss tétele 6. A rotáció fogalma és kiszámítása Stookes-tétele Példák az örvényes térre 7. A kvantummechanika fogalmi rendszere: Operátorok, sajátfügyvény, sajátérték, fizikai mennyiség. Reguláris függvények, hermitikus oprátorok 8. Fizikai mennyiségek operátorai (x,t,p,E operátorai) A Laplace-operátor A hullámfüggvény és a Schrõdinger -egyenlet. 9. Kétszeres nabla operációk Kontinuitási egyenlet A |Ψ|2 értelmezése 10. Az impulzusmomentum vetületének és négyzetének operátora Felcserélési törvények. 11. A Schrõdinger egyenlet megoldása egydimenziós esetekben (szabad tömegpontra és végtelenfalú potenciálgödörben. 12. A Schrõdinger

egyenlet megoldása háromdimenziós végtelenfalú potenciáldobozban. 13. A Schrõdinger egyenlet megoldása véges nagyságú potenciálgát elõtt (kavantummechanikai alagúteffektus). 14. A Schrõdinger egyenlet megoldása lineáris harmonikus oszcillátorra 15. Merev falú gömmbe zárt tömegpont energiaállapotai (merev rotátor) 16. Egydimenziós lineáris rács rezgései azonos tömegpontok esetén A fonon fogalma 17. Egydimenziós lineáris rács rezgései kétféle tömegpont esetén (akusztikus és optikai ágak). 18-19. A H-atom Scrõdinger egyenletének megoldása, a kvantumszámok fizikai jelentése. 20. Az állapotfüggvény és fizikai jelentése Fizikai mennyiség várható értéke, átlaga 21. Fizikai mennyiség átlagának idõbeli változása konzervatív erõtér esetén Ehrenfesttétele 22. Fizikai mennyiség "szórása" Szórás saját állapotban, a stacionárius állapot 23. Fel nem cserélhetõ operátorok fizikai mennyiségeinek szórása A

Heisenberg-féle határozatlansági relációk. 2. Komplex számok: A számfogalom absztrakciójaként az ember megalkotta a "tört" és negatív számokat is. Az így kapott racionális számok halmaza már "mindenütt sûrûn" befedi a számegyenest, de még mindig "végtelenül sok" pontja marad ki, mely nem írható fel két egész szám hányadosaként. (Sõt, ezek az "irracionális számok többen" vannak a racionális számoknál." A racionális és iracionális számokat együtt valós-számoknak nevezzük. A valós számok együttese teljesen befedi a számegyenest A valós számoknak a 0 ponttól mért "távolságát" -annak elõjelétõl függetlenül- a szám abszolút-értékének nevezzük, és így jelöljük: |k|. Kiszámítása: k = k 2 (ez a jelölés akkor célszerû, ha még nem tudjuk elõre, hogy a jelzett k valós szám pozitív vagy negatív lesz-e). A −5 alakú számoknak nincs értelme a valós számok

halmazán, mert nincs olyan valós szám melynek a négyzete -5 lenne. A számfogalom további absztrakciójaként bevezethetjük az −1 nem valós számot. Ezt "imaginárius" (magyarul képzetes) számnak nevezzük, s röviden i-vel jelöljük. Az eddigi megismert algebrai mûveletek segítségével a képzetes számokkal ugyanúgy számolhatunk, mint a valós számokkal. pl: −5 = ( −1) ⋅ (5) = −1 ⋅ 5 = i 5 ; i+3i=4i, i 3 = i 2 ⋅ i = − i, stb. Minden képzetes szám felírható egy valós szám és az i imaginárius egység szorzataként.: − k = i k A képzetes számokkal való mûveletek eredménye olykor valós szám lesz: pl.: −5 ⋅ −5 = ( i 5 )2 = −5 ezért célszerû olyan számfogalom kialakítása, melyek halmaza magában foglalja mind a képzetes, mind a valós számokat egyaránt. Erre a következõ geometriai absztrakcióval juthatunk el a legszemléletesebben: A valós számok számegyenesére merõlegesen vagyük fel a képzetes számok

számegyenesét, s a két egyenes által kifeszített sík pontjait nevezzük "komplex-szám"síknak [2.1 ábra] 2.1 ábra itt minden P pont egy komplex számnak felel meg, s két "koordinátával" jellemezhetõ pl. az (21ábra) C pontja a C= 3+2i komplex szám A "komplex számsíkon" tehát minden szám két -egy valós (Reális) Re(C)=3 és egy (imaginárius) im(C)=2i- szám összegeként írható fel, ezért ezt binom (kéttagú) alaknak nevezzük. (A tiszta képzetes számok reális tagja Re(C)=0. A valós számoknak a képzetes tagja im(C)=0) Általánosítások: Komplex konjugált: 1., A valós számok körében a k és -k számok a O pontra vonatkoztatva egymás "tükörképei". Ennek általánosítása a komplex számokra: a C pont a C* tükörképe a valós tengelyre tükrözve, - és viszont -. Komplex számoknál azt mondjuk P és P* egymás "komplex konjugáltjai". (A komplex konjugáltat egy * felsõ index-el

jelöljük.) A komplex konjugált képzése egyszerû binom alakban: az imaginárius tag elõjelét egyszerûen ellentétesre változtatjuk: C = a + ib C* = a − ib A konjugált szám konjugáltja maga a szám (C*)=C. A komplex konjugált képzés függvényekre is értelmezve van: Φ*(C)=Φ(C). 2., A valós szám abszolút értéke: a szám 0 ponttól mért távolsága, komplex szám abszolút értékén is értsük ezt, a szám origótól mért "távolságát" [2.1 ábra] |C|=d, ahol d a Pythagoras tétel segítségével: d = a 2 + b2 . Vigyázzunk az általánosításokkal! A k = k 2 kiszámítása jó volt a k valósszám esetében, de a c=a+ib komplex szám esetén ez hibás eredményre vezet, mert C 2 = ( a + ib)2 = a 2 + 2 iab + b 2 ≠ a 2 + b 2 , de ha képezzük a CC* szorzatot: CC = ( a + ib)( a − ib) = a 2 + b 2 = d 2 így C = CC kiszámítása már jó. Ez az általánosítás a valós számokra is megfelel, hiszen valós 2 számoknál k*=k miatt k = k ⋅ k

ugyanazt adja, tehát a C = CC általánosítás az egész komplex számsíkra érvényes. Komplex számok ábrázolására a derékszügü Descartes-koordinátarendszer helyett gyakran alkalmazzák a polárkoordináta rendszert: a Re(c) +Im(c) binom forma helyett a komplex szám A abszolutértékét és a + valós tengellyel bezárt ϕ "azimut-szögét" adják meg egy hatványforma alakjában: C=Ae±iϕ a két formula közötti transzformációt az Euler-összefüggés segítségével tehetjük meg: e±iϕ= cosϕ±isinϕ Ez a forma különösen alkalmas hatványozási valamint integrál és differenciálszámítási célokra a nehézkes binomiális formula helyett. A hullámfüggvény trigonometrikus alakja y=A. sin(ϖt-kx) helyett is célszerübb a ϕ=Aei(ϖt-kx) alak alkalmazása 3. A vektoranalízis alpfogalmai: A fizikában az irányított fizikai mennyiségek (pl.: erõ, sebesség,stb ) szemléltetésére általánosan alkalmazott eljárás a vektori írásmód.

A vektorokkal való alapmûveletekre (vektoralgebra) nem térünk ki, hiszen tanulmányaink során ezzel sokszor találkoztunk már. A továbbiakban a vektoranalízis alapfogalmait foglaljuk össze röviden A vektor jelölésére az A vagy az A(Ax,Ax,Az) 1 A fizikai terek P pontjainak helyét legtöbbször egy (derékszögû) koordinátarendszer origójához viszonyítjuk, az origóból a P(x,y,z) pontba mutató helyvektor r, vagy r(x,y,z). Ha a fizikai tér skalár (hõmérséklet, potenciál, stb) akkor a tér minden egyes helyvektorához egy skalár számot rendelünk ez a skalártér, röviden Φ = Φ(r) 2 Ha a leírandó fizikai mennyiség vektor (gyorsulás, térerõ, ), akkor vektortérrõl beszélünk: A = A(r) =A{Ax(r),Ay(r),Az(r)} = A{Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)} 3.1 Vektor deriváltja: Ha az A vektort fel tudjuk írni valamilyen t skalár paramétereként, A(t), vagy A{x(t),y(t),z(t)} 1 2 A továbbiakban a vektorokat vastag dõlt (bold, italic) betükkel jelöljük A

skalár függvények jelölésére a Φ -t, annak egy konkrét pontbeli értékére latin nagybetüt használunk akkor az A skalár szerinti deriváltján a ∂ A( t ) ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az = A, ( , , ) vektort-t értjük ∂t ∂t ∂t ∂t Megjegyzés: Az A(t) annak a térgörbének az egyenlete, melyet az origóból kiindúló A végpontja bejár, miközben a t egy folytonos értéksokaságon fut át. Következmények: a vektorok skaláris, vektoriális és vegyesszorzatainak derivátjai a már tanult szorzatok deriválásainak szabályai szerint történik: ∂ ∂A ∂B ( A. B) = B+ A ∂t ∂t ∂t ∂ ∂A ∂B [ A xB] = [ xB] + [ A x ] ∂t ∂t ∂t ∂ ∂A ∂B ∂C {[ A xB]. C } = [ xB]. C + [ A x ] + [ A xB] ∂t ∂t ∂t ∂t Vonalintegrál a vektortérben: Az F(r) erõtérben egy g görbe mentén végzett munkát mi-alatt a görbe egy P1 pontjából eljutunk a P2 pontig- úgy számítjuk ki, hogy hogy a görbét felosztjuk olyan kis dr útszakaszokra, melyeken belül

az F már állandónak tekinthetõ. Ezken az elemi útszakaszokon végzett elemi munkák dW=Fdr öszzege (integrálja) adja az összes munkát. Mivel a dW az F és a dr vektorok skaláris szorzata, szorzatuk így is írható dW=Fsds ahol Fs az F vektor ds utszakasz irányába esõ vetülete. A munka tehát: W = ∫ F.dr = ∫ Fs ds g g Tetszõleges A vektor vonalintegrálja a vektortérben ennek általánosítása, függetlenül attól, hogy mit jelent az A vektor. W = ∫ A.dr = ∫ As ds g g Ez a skalárszorzat kiszámítási szabálya szerint három integrál összegeként is felírható, ha az egyes komponensek csak a megfelelõ koordinátáknak függvényei: x2 y2 z2 x1 y1 z1 W = ∫ Ax ( x).dx + ∫ Ay ( y )dy + ∫ Az ( z )dz 3.0 Felületvektor: Definiáljuk elõször a felületelem-vektorát: Vegyük a felület olyan kis darabkáját, amely már síknak tekinthetõ. Ekkor rendeljük a felülethez azt a vektort, amelynek nagysága a felület-elem területével azonos

mértékszámú, iránya olyan, hogy a felületet határoló görbe körüljárási irányával jobbsodrádú rendszert alkot. Ekkor a felület "külsõ" oldalának nevezzük azt az oldalt, amelyik felé a nyíl hegye mutat [3.1 ábra] 3.1ábra Ezen dF felületelem vektorok összege (integrálja) a teljes felületre adja a felület vektorát: F = dF z F 3.2ábra A felületvektor komponensei Fx,Fy,Fz az F vektor megfelelõ koordinátatengelyekre esõ vetületei Fz= k.F = |k||F|cosϕ = |F|cosϕ, de ez éppen az F felület x-y síkra vetített vetülete; hasonló módon F többi komponense is az F felület megfelelõ koordináta síkokra esõ vetületét adja [3.2ábra], (ahol az i ,j, k rendre az x,y,z tengelyek egységvektorai). Következmények: Zárt felület felületvektora mindíg 0. 3.3 ábra A felületet vetítsük le az x-y sikra. A felületet határoló legnagyobb zárt görbe körüljárási iránya alulról nézve ellentétes mint felülrõl nézve, a

vetületük azonban egyforma, ennek megfelelõen a két felület -az alsó és a felsõ- felületvektorainak Fz komponensei egyenlõ nagyságuak [3.3 ábra], de ellentétes irényúak, így összegük zérus. Hasonlóan a többi komponens is zérus, következetesen az F felületvektor is az 3.0 A fluxus fogalma: Tekintsük az A vektortérben egy F felületre az alábbi integrált: Φ = ∫ A.dF = ∫ A n dF F F A fenti integrál neve fluxus, és jelentése az F felületen a felület normálisa irányában átáramló A "vektorfolyam". Az An az A vektornak a felület normálisa irányába esõ komponense az AdF skalárszorzat kifejtése szerint. Noha a zárt felület felületvektora zérus, nem biztos, hogy a zárt felületre vett fluxus is az! Ha a felületbõl kifelé irányúló A több mint amennyi befelé irányúl -Φ>0- akkor az mondjuk, hogy a zárt térfogaton belül "forrás" helyezkedik el, de ha Φ<0 akkor "nyelõ"-rõl (negatív

forrás) beszélünk. Ha a fluxus=0, akkor forrásmentes térrõl van szó (pontosabban a források -beleértve a negatív forrásokat azaz nyelõket is- összege zérus). 3.5 A nabla-operátor (∇): a vektoranalízisben gyakran használt fogalom, melyet a következõképpen definiálunk: ∂ ∂ ∂ ∇≡( , (3.51) , ) ∂x ∂y ∂z A ∇ operátor felfogható egy pszeudo- (ál-) vektorként is, hiszen három komponense van, ezek a komponensek azonban önmagukban semmit sem jelentenek, csak akkor lesz "értelmük", ha "valamire" majd hatnak. Az mondhatjuk, a nabla vektor komponensei a koordináták szerinti parciális deriválásra "éhesek". Attól függõen, hogy skalárral, vektorral skalárisan, vagy vektorral vektoriálisan "szorzunk" meg a ∇ operátort, az eredmény más és más lesz: 3.6 Gradiens vektor fogalma: (A ∇ vektor "nyújtása" skalár számmal) A gradiens vektor a Φ(x,y,z) skalártérhez hozárendeli az

A(x,y,z) vektorteret a következõképpen: ∂Φ ∂Φ ∂Φ Definició: gradΦ ≡∇Φ ≡ A( ) (3.61) ; ; ∂x ∂y ∂z Állítás: A gradiens vektor merõleges a nívófelületre, a skalártér leggyorsabb változásának irányába mutat, s nagysága a Φ egységnyi elmozdulásra esõ megváltozásával egyenlõ. Bizonyítás: Essék az elmozdulás iránya dr a Φ = const irányába azaz a nívófelület irányába, ekkor a Φ megváltozása 0: dΦ = ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∆x + ∆y + ∆z = 0 ∂x ∂y ∂z ami így írható: dΦ=∇Φ .dr =0, ez csak ugy lehetséges, ha a ∇Φ merõleges dr -re, azaz a nívófelületre is. Ha a dr elmozdulás a ∇Φ vektor irányában történik, akkor a dΦ=Φ .∇dr = /∇Φ//dr/cosϕ jelöléssel élve cosϕ =1, s ekkor dΦ valóban a legnagyobb, egységnyi útra esõ dΦ megváltozása pedig: amivel utolsó állításunkat is igazoltuk. = /∇Φ/ dr A gradiens vektor alkalmazására tipikus példák: 1. Az sztatikus elktromos térben

az E térerõsség a potenciál negatív gradiense: E=-gradU, vagy 2. a domborzati térképépeken az azonos magasságok ábrázolására használt szintvonalak mint "ekvipotenciális vonalak" szerepelnek, a rájuk merõleges irányok a "gradiens vonalak" kijelölik a lejtõk legmeredekebb irányát stb. 3.7 Divergencia fogalma: (A ∇ vektor "skaláris szorzása" vektorral) A nabla operátornak az A vektorral való formális skalárszorzatát nevezzük divA-nak azaz ∇A ≡ divA ∂A y ∂A z ∂ ∂ ∂ ∂A divA = ( , , ) (Ax,Ay,Az) = ( x + + ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z (3.71) A divergencia a vektortér mindenegyes pontjához egy skalár számot rendel hozzá. Fizikai jelentése: pontbeli forráserõsség. A 2. fejezetben láttuk, hogy egy térfogatrész forráserõsségét jellemzi a térfogatot körülhatároló zárt felület fluxusa. A térfogaton belül még a forrás eloszlása különbözõ lehet, ezért képezzük az átlagos

forráserõsséget a következõ módon: ρ ‡tlagos = ∫ A dF n dV ebbõl a pontbeli forráserõsség határértékként képezhetõ, ha a térfogatot ponttá húzzuk össze: ∫ An dF ρ = lim dV 0 dV 3.4 ábra Vegyünk fel az A vektortér r(x0,y0,z0) pontjában egy olyan kis dV térfogatot, melynek határoló felületein a fluxus már állandónak tekinthetõ. Az A vektortér felületi integrálja most a kis kocka 6 lapján számított fluxusok összege. Az alsó, a hátsó és a baloldali lapok felületén az A értéke annyi mint az r0 pontban. A felsõ, elülsõ és jobboldali lapokon pedig az r0-hoz képest rendre dz, dy és dx értékekkel megváltozott helyen Taylor-sorfejtéssel közelítjük meg az aktuális A értékeket. A fluxus tehát Φ = -Az(x0,y0,z0)dx.dy+Az(x0,y0,z0+dz)dxdy-Ay(x0,y0,z0)dxdz+Ay(x0,y0+dy,z0)dxdz-Ax(x0,y0,z0)dzdy+Ax(x0+dx,y0,z0)dzdy (a negatív elõjel a felületetlem -dFz = dx.dy; stb, irányítása miatt van) ebbõl sorfejtéssel az

Az(x0,y0,z0) környezetében (a magasabbrendû tagokat ∂ Az dz }dx.dy, elhanyagoltuk) Az(x0,y0,z0+dz)dx.dy={Az(x0,y0,z0)+ ∂z hasonló módon a többi tag sorfejtésével és behelyettesítésével több tag összege 0, majd mindkét oldalt dV = dx.dydz térfogatelemmel végigosztva és képezve a határátmenetet Φ ∂ Az ∂ Ay ∂ Ax lim = + + = divA dV 0 ∂z ∂y ∂x dx . dy dz amit éppen bizonyítani akartunk. Tipikus példák e fogalmak alkalmazására a Maxwell-egyenletek tömör, differenciális alakjai divD = ρ és divB = 0 ahol az elsõ egyenlet azt fejezi ki, hogy az elektrosztatikus tér forrásos, a D elektromos indukció forrása a ρ pontbeli töltéssürüség, a második pedig azt, hogy a B mágneses tér forrásmentes, mert divergenciája 0. Természetesen más fizikai térek leírására is alkalmasak e fogalmak, ha megfelelõen definiáljuk a tömeg, hõ, vagy elektromos töltés áramlás-sûrûségének vektorvonalait -jt- , akkor a divj ennek az

áramnak az "okát" a pontbeli (tömeg, hõ, töltés)-sûrûség idõbeli megváltozását adja, s mivel kifelé áramláskor a pontbéli sürüségnek idõben csökkenie kell: ∂ρ (3.71) − = divj ∂t Ez a tömeg, energia, töltés, stb, általánosan az "anyagmegmaradás" leírására szolgáló formula, amit kontinuitási egyenlet-nek nevezünk. 3.8 Rotáció fogalma: A ∇ vektor "vektoriális szorzása" vektorral) A rotA eredménye vektor, melyet a vektorszorzás szabályai szerint a következõképpen számíthatunk ki:  i j k  ∂ ∂ ∂   ∂ Az ∂ Ay ∂ Ax ∂ Az ∂ Ay ∂ Ax  = − − − rot A=[∇xA] =  , , ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y  ∂ x ∂ y ∂ z   ∂ y  Ax Ay Az  Örvényes fizikai terek leírására alkalmas, mert a rotA adott pontban a pontbeli örvényerõsséget adja. Az A vektortér egy pontjában definiáljuk a pontbeli örvényerõsséget a következõképpen :

Fektessünk az adott ponton át egy síkot, vegyük körbe a pontot egy zárt görbével és vegyük a a vektortér vonalintegrálját a zárt görbére. Az így számított vonalintegrált osszuk el a zárt görbe által határolt felülettel, ez az átlagos örvényerõsség a pont környezetében. Képezzükaz átlagos örvényerõsség határértékét, miközben a zárt görbét a pontra zsugorítjuk. Az adott ponton át a legkülönbözõbb irányú síkokat vehetjük fel, mindre végezzük el eljárásunkat. Ezek között akad olyan amelyikre a számított határérték a legnagyobb. Ezt nevezzük a az adott pont pontbeli örvényerõsségnek, az örvényvektor iránya pedig az így kiválasztott sík normálisának iránya legyen úgy ahogy azt a körüljárás iránya a jobbsodrású rendszerben meghatározza. A bizonyítást csak a [rotA]x komponensére végezzük el, a többi komponensre a bizonyítás teljesen hasonló: 3.2 ábra Legyen a térbeli P pontot körülzáró

térbeli zárt görbe y-z síkra vett vetülete egy olyan kis dy.dz oldalhosszúságú téglalap, amelynél az A értéke már alig változik Így az Ö örvényerõsség = ∫ A s .ds G vonalmenti integrálja ilyenkor négy egyszerû szorzat összegeként adódik, ahol az vektor ertéke a téglalap alsó és baloldali oldalán a vektor r(xo,yo,zo)-beli értékével számolunk, a jobboldali és felsõ oldalán pedig dy és dz értékkel megváltozott értékeket Taylor-sorfejtéssel kapjuk meg (a magasabbrendû tagokat itt is elhanyagoljuk): Öx = Ay(xo,yo,zo).dy+Az(xo,yo+dy,zo)dz-Ay(xo,yo,zo+dz)dy-Az(xo,yo,zo)dz Ö Öx Az átlagos örvényerõsség: Ö átl = x = d Fx dy . dz sorfejtés után: Öx = Ay(xo,yo,zo).dy+{Ay(xo,yo,zo)+ -{Ay(xo,yo,zo)+ ∂ Ay ∂z ∂ Az ∂y dy }dz- dz }.dy - Az(xo,yo,zo)dz összevonás után végigosztva a dFx = dy.dz felületelemmel és képezve a határátmenetet: ∂ Az ∂ Ay = [rot A]x lim Ö átl = − dF 0 ∂y ∂z ugyanígy a többi

komponenst is kiszámítva: Öpontbeli = rot A A rotáció fogalmának alkalmazására példának ismét a Maxwell egyenleteket hozzuk fel: ∂B (3.72) rot E = ∂t ∂D rot H = j + (3.73) ∂t Az elsõ azt fejezi ki, hogy a mágneses tér megváltozása örvényes elektromos teret indukál, a második pedig azt, hogy a mágnese tér örvényes, az örvények forrása az konvekciós áram, meg az elektromos indukcióvektor idõbeli megváltozésa (eltolódási áram). Most pedig lássunk két fontos tételt a divergencia,és a rotáció fogalmával kapcsolatban: 3.4 Gauss tétele: Az A vektortér egy térfogatában a divA térfogati integrálja egyenlõ a az A vektornak a térfogatot határoló zárt felületre vett felületi integráljával. képletben: ∫ div A.dv = ∫ An dF V F 3.6 ábra Bizonyítás: osszuk fel a kiszemelt tétfogatot olyan infinitezimális kis kocka alakú térfogatelemkre, melyen belül az A vektor divergenciája már állandónak tekinthetõ [3.6ábra] A

térfogatelem teljes foráserõssége: divAdv= Σ Andf Ha ezt az egész térfogatra összegezzük, a balodal: ∫ div A.dv V a jobboldalon pedig -mivel a kis kockák határoló lapjain a fluxusok összege zérus a felületelemek ellentétes irányítása miatt- csak a kiválasztott térfogatnak a felülettel határos fluxusai maradnak meg, ez pedig nem más mint: ∫ An .dF , ahol F a V F térfogatot határoló felület, s ezzel állításunkat igazoltuk. 3.10 Stookes-tétel: A vektortér egy felületdarabján a vektor rotációjának felületi integrálja egyenlõ a vektornak a felületet határoló zárt görbe menti vonalintegráljával. ∫ rotA.dF = ∫ A ds Képletben: s F G Bizonyítás: osszuk be a kiszemelt felületet olyan infinitézimális kis négyzetekre, melyen belül már a vektor rotációja állandónak tekinthetõ [3.7] ábra 3.7ábra A rotáció definíciója szerint a kis négyzetek örvényerõssége: [∇xA]n= ∫ As .ds , ahol ds s a kis négyzetek

kerülete. Ha ezt összegezzük az egész felületre, akkor a baloldal: ∫ rotA.dF , a jobboldalon pedig a kis négyzetek közös határvonalain a vonalintegrál az F ellentétes irányú ds útszakaszok miatt zérus, csak a felületet határoló G görbe menti integrál marad meg, ami: ∫ As .ds , így tehát: ∫ rotAdF = ∫ As ds , amit bizonyítani G G F akrtunk. A Stookes tétel alkalmazásával, felhasználva a a Maxwell integrális alakjai így néznek ki: ∂B ∫G E s .ds = −∫F ∂ t dF és I-és II. egyenletek ∂D ∫ B .ds = ∫ ( j + ∂ t )dF s G F Gyakorlás: Alkalmazzuk a nabla-operátort kétszer egymás után a következõ a késõbbiekben még igen fontos esetekben a, ∇∇Φ olvasd: divgradΦ ∂2 Φ ∂2 Φ ∂2 Φ ( amegoldása: 2 + amit gyakori alkalmazása miatt így rövidítünk: + ∂x ∂ y 2 ∂ z2 ∇2Φ = ∆Φ, olvasd: LaplaceΦ ) (3.74) b, ∇∇A olvasd: graddivA, c, ∇[∇xA] olvasd: divrotA, ( a megoldása 0.) (3.75) d,

bizonyítsuk be, hogy a (divgradΦ)Ψ − Ψ(divgradΦ) = div(gradΦ.Ψ − Ψ gradΦ ), (3.76) (útmutatás:ez utóbbi feladathoz: végezzül el a kijelölt mûveleteket mindkét oldalon -nagyon ügyelve az operációk alkamazási sorrendjére-, és tagonként hasonlítsuk össze a két oldalt!) 4.1 Függvények: A kantummechanikában csak olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyek: egyértéküek, folytonosak, négyzetesen integrálhatóak 3 A fenti kikötéseknek eleget tevõ függvényeket reguláris függvényeknek nevezzük. 4.2 Operátorok: Operátorok közül sem alkalmazhatunk mindenfélét, a fizikában csak olyan operátorokat használunk, amlyekre fennáll: O(ψ1+ψ2) = Oψ1+Oψ2 (4.21) O(kψ) = k(Oψ) (4.22) Ezen tulajdonságoknak eleget tevõ operátorokat lineáris operátoroknak nevezzük. Nézzünk meg néhány szabályt az operátorokkal való mûveletekre: két operátor összegén értjük: (O1+O2)ψ = O1ψ+O2ψ Két operátor szorzatán: O1O2ψ = O1(O2ψ) (azaz:

az operátorok egymás után való alkalmazását) Az operátorok alkalmazásának sorrendje általában nem cserélhetõ fel, ezért különösen ügyeljünk a szorzásokra! Különlegesen fontos eset a fizikában az, amikor az operátor a függvényt annak konstans-szorosába viszi át, azaz az O operátor alkamazása a függvényre a függvény k számmal való szorzásának felel meg: 3 Létezik az abszolut értékük négyzetének a teljes térre vett integrálja, és az véges. Oϕ = k.ϕ (4.23) A (4.3) egyenlet neve sajátértékegyenlet, a ϕ neve: sajátfüggvény, a k az O operátor sajátértéke. Definíció: Két függvény skalárszorzatát a következõképpen jelöljük: ( ψ1, ψ2) és a skalárszorzaton egy olyan mûveletet értünk, mely a két függvényhez egy számot rendel a következõképpen: +∞ ( ψ1, ψ2)= ∫ψ 1 * ( x).ψ 2 ( x) dx (4.24) −∞ itt a ψ* a ψ koplex konjugáltját jelöli. ( Háromdimenziós függvényeknél természetesen mind

a három változó szerint kell integrálni) A (4.4) definició segítségével igazolhatók az alábbi tulajdonságok: ( ψ1, ψ2 +ψ3 ) = ( ψ1, ψ2) + ( ψ1, ψ3) (4.25) ( ψ1, ψ2) = ( ψ2, ψ1)* (4.26) ( ψ1, kψ2) = k( ψ1, ψ2) (4.27) ( kψ1, ψ2) = k*( ψ1, ψ2) (4.28) ( ψ1, 0) = 0 (4.29) Gyakorlás: igazoljuk a fenti azonosságokat! (útmutatás:használjuk fel a skalárszorzat definicióját) A mûvelet a "skalárszorzat" elnevezést onnan kapta, hogy ezen eljárások nagyon hasonlítanak a vektorok skaláris szorzásának szabályaihoz. A fenti analógiát folytatva két függvényt ortogonálisnak mondunk akkor, ha a skaláris szorzatuk 0. Egy függvény önmagával vett skalárszorzata mindíg pozitív, s ennek a pozitív négyzetgyökét a függvény "normájának" nevezzük, és a következõképpen jelöljük: //ψ// = ( ψ1, ψ2)1/2 (4.210) (Ez számok esetében azok abszolutértékének felelne meg) Az O+ operátort az O adjungáltjának

nevezzük, ha minden olyan ψ1 és ψ2 függvényekre, amelyekre az O értelmezve van, fenáll az alábbi azonosság: (ψ1,Oψ2) = (O+ψ1,ψ2) Gyakorlás: mutassuk meg, hogy ha az O≡c. azaz egy számmal való szorzásnak felel meg (lineáris operátor), akkor az O adjungált operátora: O+≡c*, ahol c a c szám komplex konjugáltja A fizikai mérések során mindíg valós adatokat kapunk, ezért a valós számoknak kitüntetett szerepe van. Ugyanilyen kitüntetett szerepe van az operátorok között azon operátoroknak, amelyek megegyeznek saját adjungáltjaikkal, ezeket hermitikus operátoroknak nevezzük: O+ = O (4.211) A hermitikus operátorok kitüntetett szerepe abban rejlik, hogy sajátértékei mindíg valós számok, így alkalmasak fizikai mennyiségek leírására. Gyakorlás: mutassuk meg, hogy a hermitikus operátorok sajátértékei valósak! (útmutatás: alkalmazzuk a (3.4) és (35) összefüggéseket, és használjuk ki hogy O+=O, ezáltal a sajátértékekre k*=k

adódik) 5.1A fizikai mennyiségek mint operátorok: Hogyan lehet meghatározni, hogy egy fizikai mennyiségnek mi legyen az operátora? Ennek megállapítása nem egyszerû feladat, de a kavantummechanika kialakulása során akadt több "kapaszkodó" s ezek segítségével sikerült több fizikai mennyiség operátorát megállapítani. Majd kiderült, hogy néhány alavetõ fizikai mennyiség operátorából a többi operátor ugyanúgy leszármaztatható mint ahogyan pl. a különbözõ fizikai mennyiségek mértékegységei az SI rendszerben az alapmértékegységekbõl (m, kg, s, stb) leszármaztat-hatóak. Ezen operátorok mennyiségét optimalizálva axiomatikusan fel lehetett építeni egy zárt kvantummechanikát. Ilyen "alapvetõ" operátorok az egydimenziós térben: a hely koordináta operátora: x ≡ x. (szorzás balról a helykoordinátával) az idõ operátora: idõkoordinátával) t ≡ t. (szorzás balról az az impulzus operátora: p≡

∂ i ∂x az energia operátora: E≡ − ∂ i ∂t Hogyan lehetett ilyeneket kitalalni? Vegyük figyelembe, hogy az elektron hullámE p természetét leíró hulámegyenletben a körfrekvencia ω = és a hullámszám k =   helyettesítésével a ψ =e i (ωt − kx ) =e E p   i( t − x) egyenletet adódik, valamint elvégezve a megfelelõ koordináták szerinti  differenciálást és a ± -val való szorzást, valóban az impulzus és az energia i "sajátértékeit" kapjuk. Az így definiált operátorok alkalmazási sorrendje -mint általában az operátoroké- nem mindegy! A kvantummechanikában különös jelentõsége van annak, ha valamely két fizikai mennyiség operátora nem felcserélhetõ. Pl.: Mutassuk meg, hogy az x helykoordináta és a px impulzuskoordináta operátorai nem cserélhetõek fel, azaz: x. px - px x ≠ 0 alkalmazzuk valamely ψ függvényre a definiált operációkat a fenti sorrendben: ∂ ψ  

∂ ∂ ∂ψ x.( ψ) − (ψ + x )=− ψ (x.ψ) = x i ∂x i i i ∂x i ∂x ∂x (vegyük észre, hogy a második tagban szorzatot kellett deriválnunk tagonként) a két  operátor sorrendjét felcserélve olyan, mintha egyetlen operációt, a − -vel való i szorzást hajtottuk volna végre, ezért az x és px operátorok kommutátorának nevezett  [x. px - px x] operáció − -vel való szorzással azonos értékû mûvelet i Gyakorlás: a fentiek alapján mutassuk meg: a, hogy az x , y és z koordináták operátorai egymással is, valamint a t idõ-operátorral is felcserélhetõk b, az E energia-operátor a t operátorral nem cserélhetõ fel ( a [t.E - Et] kommutátor nem 0), de az E és px pl már felcserélhetõek! A fenti operációk valós fizikai mennyiségeket kell hogy adjanak sajátértékül, ezért azok hermitikus operátorok. Az x és t operátorai nyilvánvalóan azok, de mutassuk meg a px operátoráról is, hogy hermitikus; használjuk fel a

skalárszorzat (4.24) definícióját a bizonyításhoz: +∞ (Ψ1 , p x Ψ2 ) = * ∫ Ψ1 .p x Ψ2 dx = −∞ +∞ ∂ Ψ2  Ψ1* .dx ∫ i −∞ ∂x hajtsunk végre parciális integrálást: +∞   ∂ Ψ1* [Ψ1 , Ψ2 ] +−∞∞ − ∫ .Ψ2 dx = (p x Ψ1 , Ψ2 ) , i i −∞ ∂ x amivel állításunkat igazoltuk (az integrálás során kihasználtuk a Ψ függvény reguláris voltát, azaz az integrációs határokon a függvény eltûnik, ezért az elsõ tag zérus.) Gyakorlás: Bizonyítsuk be az E operátor hermitikus voltát! A fenti "alap-operátorok" segítségével írjuk fel néhány gyakrabban alkalmazott fizikai mennyiség operátorát: Konzervatív erõterek esetében, amikor a potenciális energia az idõtõl nem, csak a helykoordinátától függ (annak valamilyen függvénye) a potenciális energia operátora a megfelelõ potenciális energia függvényével való szorzás lesz: W ≡ W(x). A kinetikus energia az impulzus

segítségével így írható fel: Ekin= p2 , ennek 2m analógiájára: 2 ∂2 p2  2 ahol p az impulzus operátor négyzete, tehát Ekin = − adódik. Ekin ≡ 2m ∂ x2 2m A teljes energia Eö = Ekin + Wpot az operátora pedig így alakul: 2 ∂2  + W(x). H=− 2m ∂ x2 (5.11) Ezt az operátort megalkotójáról Hamilton-operátornak hívjuk. Az eddigiek alapján a teljes energiát megkapjuk, ha a sajátérték egyenletben a H operátort alkalmazzuk a megfelelõ sajátfüggvényre: 2 ∂ 2 ψ(x) −  + W ( x ). ψ ( x ) = E ö ψ ( x ) 2m ∂ x2 (5.12) Ezt az egyenletet nevezik kidolgozójáról Schrõdinger egyenletnek. Az energia sajátérték meghatározása tehát egy másodfokú parciális differeciálegyelet megoldására vezethetõ vissza, amire vannak receptek. Tudnunk kell, hogy az operátorok meghatározásának sem ez az egyetlen útja, differenciáloperátorok helyett alkalmazhatunk mátrix-operátorokat is, Heisenberg ezt az utat választotta. A

kétféle reprezentáció egyenértékûségét, és annak matematikai alapjait Neumann János [Neu.1] dolgozta ki részletesen, és megtaláljuk Wigner Jenõ [Wig.1] híres tankönyvében is Ha háromdimenziós térben dolgozunk, akkor a Ψ(x,y,z) háromváltozós függvény stacionárius esetben, illetve idõtõl függõ esetben még t-nek is függvénye. Az impulzus vektora: p = (px , py, pz )  ∂ ∂ ∂ ennek megfeleõen az impulzus operátora: p ≡ ( , , ) i ∂x ∂y ∂z  vagy a 3. fejezetben megismert jelölésekkel: p ≡ ∇ ; ennek megfelelõen a p2 i operátora ∂2 ∂2 ∂2 p2 ≡ − 2 ( 2 + 2 + 2 ) ≡ − 2 ∆ ∂x ∂y ∂z a Schrõdingeregyenlet háromdimenzióa alakja pedig: 2 (5.13) − ∆Ψ + Wpot Ψ = E ö Ψ 2m Impulzusmomemntum operátora: Az impulzusmomentum L vektora a vektorszorzás szabálya szerint: L=[r x p], ennek analógiájára legyen az impulzusmomentum operátora L=[r x p] , i  L= x i ∂ ∂x j y ∂ ∂y k z ∂ ∂z

Ennek megfelelõen az egyes impulzusmomentum-komponensek operátorai:  ∂ ∂   ∂ ∂   ∂ ∂   ; L y =  z  ; L z =  x  (5.14) −x −y L x =  y −z i ∂x ∂z i ∂y ∂ x  i ∂z ∂ y az egyes impulzusmomentum-komponensek operátorai között egymás között nem cserálhetõk fel, rájuk is a Heisenberg-fále felcserélési szabályok érvényesek, kommutátoruk az indexek megfelelõ ciklikus permutációjával állíthatók elõ:    [LxLy-LyLx]= − Lz, [LyLz-LzLy]= − Lx, [LzLx-LxLz]= − Lz (5.15) i i i Gyakorlás: az (5.21) képletek felhasználásával mutassuk meg, hogy a fenti felcserélési törvények igazak! (útmutatás: végezzük el a kijelölt mûveleteket, bontsuk fel a zárójeleket, vonjunk össze, majd  átcsoportosítás után ismét kiemelve − -t a kívánt összefüggést nyerjük). i Fontos operátor még az impulzusmomentum négyzetének operátora L2. Ezt

is az impulzusmomentum vektorából származtathatjuk: mivel L2 = L2x + L2y + L2z , ezért L2 = − 2 ( y ∂ ∂ 2 ∂ ∂ ∂ ∂ 2 −z ) + (z − x )2 + ( x −y ) ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x (5.16) 5.2 Operátorok polárkoordináta-rendszerben: Eddig a Descartes -féle derékszögû koordinátarendszerben az x,y,z komponensekkel dolgoztunk, olykor azonban célszerûbb a térbeli polárkoordináták r, θ és ϕ használata. A transzformációs egyenletek meghatározásához tekintsük a következõ [5.2 ábrát] 5.1 ábra A megfelelõ transzformációs egyenletek polárkoordinátából derékszögû rendszerbe: x=r.sinθcosϕ (5.21) y=r.sinθsinϕ (5.22) z=r.cosθ (5.23) derékszögü rendszerbõl polárkoordinátákba: r= x 2 + y 2 + z 2 (5.24) θ=arcos(z/ x 2 + y 2 + z 2 ) ϕ=arctg(y/z) Nézzük meg, az Lz operátor polárkoordinátás alkját: (5.14)-bõl  ∂ ∂   L x =  y −z i ∂z ∂ y  (5.25) (5.26) a közvetett deriválás

szabályai szerint kifejtett :  ∂  ∂ ∂x ∂ ∂ y ∂ ∂z  kifejezésbe helytettesítsük be a (5.21) =  + + i ∂ ϕ i  ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ϕ ∂ z ∂ ϕ  (5.23) transzformációs egyenletekbõl kifejezett ∂x ∂y ∂z = 0 értékeket, akkor az egyszerûbb = − r .sin ϑsin ϕ , = r .sin ϑcos ϕ , és a ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂   ∂  ∂  =Lz =− y+ x =  x −y (5.27) i ∂ϕ i ∂y ∂x ∂y ∂ x  kifejezést kapjuk. 5.3 A sajátfüggvény értelmezése: Amint azt a bevezetõben kifejtettük, a fizikai mennyiségeket a sajátértékegyenlet megoldásával kapjuk meg. Ha az energia operátorát alkalmazzuk a sajátfüggvényre, akkor a sajátérték energia lesz. De mi az energia operátora? Azeddigiek során kettõt is felírtunk, a Hamilton operátor H az (5.13)-ból is energiát ad eredményül, de az ∂ E≡ − operátor is. Nyilván csak azokat a megoldásokat fogadjuk el, amelyek i ∂t

mindkét operátornál ugyanazokat az adatokat eredményezik, így mindkét sajátértékegyenlet azonos: 2 ∂ Ψ − ∆Ψ + Wp Ψ = − 2m i ∂t vagy 0-ra redukálva: − (5.31) 2 ∂ Ψ ∆Ψ + Wp Ψ + =0 2m i ∂t (5.32) ha igaz egy komplex kifejezére hogy az összege 0, akkor igaz a komplex konjugáltjára is: 2 *  ∂ Ψ − =0 ∆Ψ* + Wp Ψ − (5.33) 2m i ∂t i * i szorozzuk meg az (5.32) egyenletet + Ψ -vel az (533) egyenletet − Ψ -vel, és   * i ∂Ψ * ∂Ψ ∆ΨΨ * − ∆Ψ Ψ + Ψ + Ψ = 0 , ami ilyen alakba adjuk össze õket: 2m ∂t ∂t ( ) ∂ ( ΨΨ* ) i  + ( divgradΨ* . Ψ − Ψ*divgradΨ ) = 0 is írható: ∂t 2m vegyük észre, hogy ez épp a (3.71) alatt kimondott kontinuitási egyenlet, ha a ΨΨ*=ρ jelöléssel élünk, a (3.76) felhasználáséval pedig a j= i ( gradΨ* . Ψ − Ψ*gradΨ ) 2m jelölést vezetjük be. Az így kapott egyenlet azt sugallja, hogy a ΨΨ*=|Ψ|2 mennyiség sûrûség

jellegû kifejezés, a másik j tag pedig valamilyen anyagáramsûrûség. Sok vita után a fizikusok Heisenberg interpretációját fogadták el, miszerint a ΨΨ*=ρ kifejezés valószínüségi sûrûség, annak valószínûsége, hogy a szóbanforgó fizikai mennyiség azon a helyen helyen az adott sajátértéket veszi fel. A merev falú gömbbe zárt tömegpont energiaállapotai (merev rotátor) Vegyünk egy középpont körül szabadon forgó tömegpontot, amely a középponttól mindíg r távolságra van (merev rotátor). Erõtér hijján ennek csak mozgási energiája van, így a sajátérték egyenlete: 2 (15.1) − ∆ψ = Eψ 2m Mivel az r állandó, a Laplace-operátorban az r szerinti deriváltak eltûnnek. Kiírva a 2m r 2 Laplace-operátor térbeli polárkoordinátás alakját, mindkét oldalt beszorozva − 2  el a következõ egyenletet kapjuk: ∂ψ  1 ∂  1 ∂ 2ψ 2mr 2 sin ϑ + = − 2 Eψ (15.2) sinϑ ∂ ϑ  ∂ ϑ  sin 2 ϑ ∂ ϕ

2  Mivel a ψ hullámfüggvény csak a ϕ és ϑ változók függvénye, megpróbálhatjuk szeparálni az egyenletet, s keressük a megoldást a ψ ( ϕ, ϑ ) = F ( ϕ )T ( ϑ ) alakban. Behelyettesítve a megoldásfüggvényt (15.2)-be, sin 2 ϑ-val végigszorozva és F ( ϕ )T ( ϑ ) -vel végigosztva mindkét oldalt, szeparálás után: 1 ∂2T 1 ∂2F ∂ T 2 mr 2 2 2 (15.3) + + = − sin ϑ cos ϑ sin ϑ E sin ϑ 2 T ∂ ϑ2 ∂ϑ F ∂ ϕ2 Mivel a tömegpont tehetetlenségi nyomatéka a középpontra (r=constans) Θ = mr 2 , a továbbiakban ezt a jelölést használjuk. A jobboldal csak ϕ -t tartalmazza változóként, ez a baloldal tetszõleges ϑ értéke mellett csak úgy lehet igaz, ha az egy constanssal 1 ∂2F egyenlõ. Jelöljük ezt a constanst m2-el, az így kapott = m2 2 F ∂ϕ (15.4) imϕ egyenlet megoldása már ismerõs: F = Ae (helyettesítéssel igazoljuk!). Tekintve, hogy most a ϕ azimutszög 2π-szerese ugyanazt a fizikai állapotot jelenti, a két

megoldásnak is ugyanazt kelleredményeznie: (15.5) Ae imϕ = Ae im ( ϕ + 2 π ) imϕ im2 π Egyszerûsítve F = Ae -vel: e = 1, alkalmazzuk az Euler-összefüggést: (15.6) 1 = cos m 2 π ± 1 = cos m 2 π + i sin m 2 π aminek csak akkor van megoldása, ha m=0,±1,±2,±3.stb egész számok Amint azt a (*) fejezetben láttuk a (15.4) egyenlet az impulzusmomentum z irányú vetületének megoldását adja, F tehát nem más mint Lz, ezért az m neve vetületi (mágneses) kvantumszám. Most térjünk vissza a (15.3) egyelet baloldalának megoldásához: 1 ∂2T ∂ T 2 mr 2 2 + cos sin + 2 E sin 2 ϑ = m 2 sin ϑ ϑ ϑ (15.7) 2  T ∂ϑ ∂ϑ vezessük be a ξ = cos ϑ változót. Ekkor közvetett deriválással: ∂T ∂T ∂ξ ∂T ∂T (15.8) = =− sin ϑ = − 1 − ξ 2 , valamint ∂ϑ ∂ξ ∂ϑ ∂ξ ∂ξ ∂2T ∂2T ∂ ξ ∂2T ∂T = ⋅ = 2 ⋅ sin 2 ϑ − cos ϑ = 2 ∂ϑ ∂ϑ ∂ξ ∂ϑ ∂ξ ∂ξ ∂2T ∂T (15.9) cos ϑ . = 2 (1 − ξ 2 ) − ∂ξ ∂ξ

Ezeket visszahelyettesítve a (15.7) elsõ és második deriváltjai helyére, majd szorozva T-vel és osztva 1 − ξ 2 -el:  2Θ m2  ∂ 2T ∂T 2 ( 1 ) 2 − − + E − (15.10) ξ ξ  2 T = 0 ∂ξ (1 − ξ 2 )  ∂ξ 2  Az egyenletnek a ξ 2 = 1 helyen szingularitása van. Azért, hogy a megoldás itt is véges legyen, a T(ξ) -függvényt a |m | (15.11) T ( ξ ) = (1 − ξ 2 ) 2 v ( ξ ) alakban próbáljuk elõállítani. Készítsük el a T(ξ) elsõ és második deriváltjait, |m | |m | −1 ∂T ∂v = −| m |(1 − ξ 2 ) 2 v ( ξ ) + (1 − ξ 2 ) 2 valamint (15.12) ∂ξ ∂ξ 2 |m | |m | |m | −2 −1 ∂v ∂2T 2 2 ∂ v 2 2 2 2 = | m | ⋅ (| m | − 2 ) ( 1 − ) v ( ) − 2 | m |( 1 − ) ⋅ + | m |( 1 − ξ ) (15.13) ξ ξ ξ ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂ξ (15.12) és (1513)-at a (1510) egyenletbe helyettesítve a v(ξ)-re egy másod-rendû differenciálegyenletet kapunk erdményül: ∂v ∂ 2v  2ΘE  (15.14) (1 − ξ 2 ) + 2(| m |

+1)ξ +  2 − | m | (| m | +1) ⋅ v = 0 2 ∂ξ ∂ξ    Ennek megoldását ismét egy hatványsor alakjában keressük: legyen: v (ξ) = ∑ c r ξ r r =0 elkészítve a v(ξ) elsõ és másodrendû deriváltjait: ∂2 v (ξ) ∂v ( ξ ) = ∑ r ( r − 1)ξ r − 2 , = ∑ r c r ξ r −1 és 2 r r ∂ξ ∂ξ r vagy átalakítva, az azonos fokszámú ξ tagk együtthatóival kifejezve: ∂2 v (ξ) ∂v ( ξ ) = ∑ ( r + 2 )( r + 1)ξ r = ∑ ( r + 1) c r +1ξ r és 2 r r ∂ξ ∂ξ majd ezeket behelyettesítve a (15.14) egyenletbe:  2ΘE    (15.15) ∑r (r + 2)(r + 1)c r + 2 − (r + | m |)(r + | m | +1) −  2 c r  ⋅ξ r = 0   Ez az egyenlet akkor teljesül ξ minden értékére, ha annak valamennyi hatványa zérus együtthatóval rendelkezik. A kapcsos zárójelben lévõ tag zérus voltából a c együtthatókra egy rekurziós formulát találtunk: 2ΘE ( r +| m |)( r +| m | +1) − 2  c (15.16) c r +2 = r ( +2 )( r

+ 1) Ez azt jelenti, hogy tetszõleges r-edik együtthatóból ki tudjuk számítani az r+2-ik együtthatót, a hatványsorunk pedig végtelenül nõ. Ahhoz, hogy a megoldásfüggvény a kvantummechanika törvényének megfelelõen reguláris legyen, meg kell követelnünk, hogy a hatványsor valahol megszakadjon. Az r-edik tag még nem, de a rákövetkezõ r+2 -ik együtthatója már zérus legyen. Legyen ez a legmagasabb fokszámu tag r=k Ekkor az r+2 tag ugy lesz zérus, ha a (15.16) tört kitevõje zérus, amibõl: 2 (15.17) E= ( k +| m |)( k +| m | +1). 2Θ A k+|m|≥0 tagot eljelölve l-el: 2 (15.18) E= l ( l + 1) 2Θ feltételre jutunk. Az l lehetséges értékei: l=0,1,2,., (15.19) Az l neve rotációs kvantumszám, s a (15.18) képlet azt fejezi ki, hogy a forgómozgás energiája is kvantált. Két egymást követõ rotációs energianívó szintvonala függ az l kvantumszámtól, növekvõ l-ekre a távolság nõ, tehát nem egyenlõ közû szintekrõl van szó,

mint a harmonikus oszcillátornál! Visszatérve a (15.1) sajátértékegyenletre, látjuk, hogy az energiát az l kvantumszám határozza meg, de mivel az l az m-tõl függ a (15.17) szerint, egy adott l esetén m lehetséges értékei: l= m, m-1, m-2,.,0, -1,-2,-m; (15.20) Ψ = T( ϑ ) ⋅ F(ϕ). és mivel: összesen 2(l+1) féle Ψ függvény tartozik azonos E energia sajátértékhez. Az m=0 értéket kivéve minden esetben elfajult (degenerált) állapotokról van szó tehát. 16? fejezet A fizikai mennyiségek klasszikus meghatározása során általában több mérést végzünk. Az egyes mért adatok számunkra ismeretlen okok miatt "véletlenszerûen" szóródnak. Feltételezzük, hogy ezek a fizikai mennyiség valódi értéke körül ingadoznak, ezért annak értékéül a mért adatok számtani közepét fogadjuk el. Ha egyes adatok többször fordulnak elõ a mérés során, úgy azokat az elõfordulás gyakoriságának megfelelõen "súlyozottan"

vesszük figyelembe: legyenek az i-ik mért mennyiség ki ennek elõfordúlási gyakorisága ci, akkor az átlag kiszámítása: n k= ∑ ci k i i =1 n (16.1) 16. fejezet Egydimenziós rács rezgései Vegyünk egy egyszerûség kedvéért egydimenziós lineáris pontrácsot, ahol a tömegpontok azonosak, nagyságuk m, egymástól való távolságuk nyugalmi állapotban d. A tömegpontok közötti összetartó erõ legyen egyszerû rugóerõ, mely a megnyúlással arányos nagyságú, de vele ellentétes irányú, a rugóállandót pedig jlölje: D [16.1] ábra 16.1 ábra Ha a tömegpontok a nyugalmi helyzetükbõl kissé kimozdulnak, rájuk egy visszatérítõ erõ hat. Az n-dik tömegpont mozgásegyenlete: m.a= - Ddx 2 ∂ x m 2 = − D[( x n +1 − x n ) − ( x n − x n −1 )] (16.1) ∂t Keressük az x kitérést mint mint hullámfüggvényt: x n = A ⋅ e i ( ωt − kx ) x n = A ⋅ e i ( ωt − ndx ) alakban, ahol xn = nd; xn+1 = (n+1)d; xn-1 = (n-1)d; stb. Az x

megfelelõ értékeit behelyettesítve, deriválás után: m ⋅ i 2 ω 2 Ae i ( ωt − knd ) = − D ⋅ A ⋅ e iωt [ e − ik ( n +1)d + e − ik ( n −1)d − 2 e − iknd ] egyszerûsítve − Ae i ( ωt − ndx ) -vel, és a zárójelben lévõ exponenciális tagokra alkalmazva az Euler-összefüggést, összevonás után: (16.2) m ⋅ ω 2 = 2 D[cos kd − 1] 2 alkalmazva a (cosα-1)/2 = sin α/2 trigonometrikus összefüggést, gyökvonás után: D kd (16.3) ω=2 ⋅|sin | m 2 Ami a klasszikus mechanikai szemlélet után igen meglepõ, azt mondja ki, hogy az ω D nem vehet fel tetszõleges értéket, az ω max = 2 lehet csak, hiszen a szinuszos tag m maximális értéke 1. Az ω egyébként most egy folytonos, de véges tartományt foghat át lásd [16.2] ábrát Ez az oka annak is, hogy pl. az emberi testrõl nem lehet igen finom felbontású ultrahangképet készíteni. A finomabb felbontáshoz rövidebb hullámhossz, azaz magasabb frekvencia szükséges, de a testet

felépítõ -a lágyrészek nagyobb része vízmolekulák tömege és a közöttük ható kötés erõssége adott, ami az alkalmazható felsõ határfrekvenciát megszabja. Ábrázoljuk az ω körfrekvenciát a részecskék d távolságának függvényében: 16.2 ábra A hullámok fázissebessége : D kd kd kd sin sin sin ω D m 2 2 2 (16.4) v fázis = = =d = v0 kd k k m kd 2 2 D (16.5) ahol :v o = d m A fázissebesség a k hullámszám függvénye, tehát diszperzió lép fel, a csoportsebesség: kd ∂ω v csop = = v 0 cos (16.6) ∂k 2 a [16.3] ábráról látható, hogy kis hullámszámokra a csoport- és fázissebesség közel azonos, a k növekedtével a csoportsebesség nullára, a fázissebesség pedig 2 D π értékre esik vissza a k = helyen, vagyis a csoportsebesség mindíg v fázis = d π m d kisebb mint a fázissebesség, azaz a diszperzió normális. 2 16.3 ábra Ismét egy érdekesség a klasszikus és a kvantummechanika viszonyáról: a (16.5) képlet a

maximális hullám terjedési sebességére vonatkozik. Emlékezzünk a klasszikus mechanikai levezetésre, ahol az anyag folytonos eloszlását feltételezve a hangsebességre: E -t (16.6) c= ρ kaptuk, ahol E a Yang-modulus, ρ az anyag sûrûsége. Ha az m tömegpontot a d távolságon egyenletesen "elkenve" képzelnénk el, akkor az anyag vonalmenti sûrûsége m (egydimenziós esetet vizsgálunk) ρ = , ebbõl m=ρd a D rugóállandó az E Yangd modulus segítségével kifejezve: D=E/d, ha ezt a (16.5) képletbe helyettesítjük, akkor a (16.6)-ot kapjuk A kvantummechanikai kép tehát nem mond ellent a klasszikus eredménynek, ami csak közelítésként helyes amikoris makroszkopikus léptekkel haladva az anyag tényleg folytonosnak tûnik. A mikroszkopikus világban a klasszikus mechanika viszont már nem ad helyes képet, a kvantummechanikai megoldás azonban itt is helyes. 21. fejezet A fizikai mennyiség idõbeni változása, Ehrenfest-tétele Legyen az O fizikai

mennyiség átlaga O , ennek idõbeli változását a skalárszorzat deriválási szabálya szerint a következõképpen számítjuk ki: Ψ )  ∂ O ∂ ( Ψ, O ∂Ψ  ∂O ∂ Ψ ) (21.1) = =( , OΨ ) + ( Ψ , Ψ ) + ( Ψ, O ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t operátor nem függ explicit módon az idõtõl, akkor Ha a terünk konzervatív, azaz az O az összeg második tagja 0. ∂ Ψ  A − = HΨ egyenletbõl, és annak komplex konjugáltjából adódik: i ∂t ∂Ψ i  ∂ Ψ* i  =− H Ψ és = HΨ ∂t  ∂t  a fenti kifejezéseket (21.1) jobboldalába helyettesítve: ∂O i   i Ψ ) = i ( Ψ, ( HO − OH )Ψ ) = i ( Ψ,[ H , O ]Ψ ) (21.2) = ( HΨ, OΨ ) − ( Ψ, OH ∂t      Hamilton operátornak kiemelkedõ jelentõsége van az Ez azt mutatja, hogy a H operátorok között, mert bármely fizikai mennyiség átlagának idõbeli változását az illetõ fizikai mennyiség operátorának és a Hamilton

operátornak a kommutátora szabja meg! 1. Ha történetesen a kérdéses O fizikai mennyiség az energia, ennek operátora maga a Hamilton operátor, mely önmagával felcserélhetõ, s mivel a kommutátoruk 0, ∂O = 0 azaz O = így a skalárszorzat is az, aminek az lesz a következménye, hogy: ∂t konstans, vagyis a fizikai mennyiség átlaga idõben nem változik. Ezt az állapotot nevezzük stacionárius állapotnak, amint azt már korábban is láttuk. 2. Második példánkban legyen a vizsgált fizikai mennyiség az x ∂ helykoordináta: ennek operátora x= x ⋅, az impulzus opeátora pedig p ; = x i ∂x képezzük a kommutátorukat:   − pH )Ψ = Hp Ψ − pH Ψ = H ∂ Ψ − ∂ ( HΨ ) = , p]Ψ = ( Hp [H x x x x x i ∂x i ∂x   ∂ Ψ ∂ H ∂ Ψ ∂ H (21.3) Ψ− H = H − =− i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x Helyettesítsük be ezt a (21.2) egyenletbe:  ∂ px ∂H (21.4) = −( Ψ, Ψ)

∂t ∂x az impulzus átlaga m tömegû tömegpont esetében úgy értelmezhetõ, mint p x = m ⋅ v , ennek idõszerinti deriváltja pedig mint tömegszer gyorsulás, azaz  ∂ p ∂ mv ∂2 x ∂H (21.5) Ψ) = = m 2 = − m ( Ψ, ∂t ∂t ∂t ∂x 2 x = p Vegyük figyelembe, hogy a Hamilton-operátor H + V ( x ) kifejezésében a 2m konzervatív tér feltételezése miatt csak a V(x) potenciál tartalmazza explicite az x helykoordinátát, emiatt a (21.5) jobboldala -alkalmazva az átlagszámítás módját∂2 x ∂V ∂V (21.6) = − m ( Ψ, Ψ) = − m 2 ∂t ∂x ∂x ∂2 y ∂V ∂2 z ∂V , ami végül is az = − m és = −m 2 2 ∂t ∂y ∂t ∂z ∂2 x ∂2 y ∂2 z a = 2 + 2 + 2 = − m ⋅ gradV = m ⋅ F (21.7) ∂t ∂t ∂t alakban nem más mint Newton II. tétele, hiszen a potenciál negatív gradiense az erõteret adja a bevezetõben tanultak szerint. A kvantummechanika tehát itt sincs ellentmondásban a klasszikus mechanika törvényeivel, de annál

jóval általánosabb érvényû, a klasszikus mechanika tételei "levezethetõek" a kvantummechanika törvényeibõl. A fenti törvény az egyedi részekre nem "abszolut" törvény, hanem tendencia jellegû, az egyedi részek eltérõ gyorsulásainak "átlagára" vonatkozik, egy makroszkópikus test sok-sok millió részecskéjére viszont a nagy számok miatt viszont már mnaga a "bizonyosság". (Megmutatható, hogy a fenti összefüggés nem csak konzervatív erõterekre igaz, hanem a lassanváltozó un. "kvázistacionárius" terekre is, valamint ha a tér lassan változik abban a mikroszkópikus tartományban, ahol az állapotfüggvény még nem zérus. Nyugodtan alkalmazható tehát a klasszikus mechanika a katódsugárcsõben repûlõ elektronra , de nem alkalmazható az atomban alakbanírható. Hasonló módon: bezárt elektronra, mert itt már rövid távon jelentõsen változik a tér!). A (216) törvényt

értelmezõjérõl Ehrenfest- tételnek nevezzük. 22. Fejezet Fizikai mennyiség "szórása". Szórás saját állapotban, a stacionárius állapot Egy A fizikai mennyiség megismerésére általában több mérést végzünk, s a mennyiség értékéül a mért adatok átlagát fogadjuk el. A mérés "jóságának" jellemzésére az egyes mért adatoknak az átlagtól való eltéréseinek átlagát használjuk fel a -szórást- amit a következõképp definiáltunk: ∑ (A n ∆A = i −A ) i 2 2 (A − A) 2 = i n  Ennek analógiájára az A operátor által leírt fizikai mennyiség Ψ állapotban lévõ elmosódottságára is a közepes négyzetes eltérést használjuk, amit a következõképp képezünk az átlagképzésre megtanult szabályok szerint: (∆A)2 = (Aˆ − A) 2 (22.1) = (Ψ , [ Aˆ − A]2 Ψ ) 1. Példa: nézzük meg, mennyi a sajátállapotban lévõ mennyiség szórása: 2 (22.2) (∆A)2 = Ψ,[ Aˆ − A]2 Ψ = Ψ, Aˆ 2 Ψ

− 2 A(Ψ, Aˆ Ψ ) + A (Ψ, Ψ )  Tekintve, hogy az A operátor sajátértéke k, s mivel sajátállapotban van A = k , ezért ( (Ψ, Aˆ Ψ ) = A ) ( ) 2 = k 2 , a rendszer ortonormált állapota miatt (Ψ,Ψ)=1 így a (22.2) jobboldalán lévõ tagok összege k2-2k2+k2=0, azaz sajátállapotban a szórás mindíg zérus! 2 2. Példa: nézzük meg két, egymással fel nem cserélhetõ operátor szórásnégyzetének szorzatát:  és B Legyen a két fel nem cserélhetõ operátor A , a kommutátoruk pedig C≠ 0 , / = A − A és B/ = B− B , e két operátor vezessük be a következõ két operátort: A szintén hermitikus ( ennek bizonyítása egyszerû, a kedves olvasóra bízzuk szorgalmi / /  B / − B A / = C feladatként). Ezeknek az operátoroknak is ugyanaz a kommutátoruk: A (ennek bizonyítása is egyszerû, ezt is az olvasóra bízzuk). Az operátorok hermitikussága miatt a négyzetes eltérések így is írhatóak: (∆A)2

= Ψ, Aˆ / 2 Ψ = Aˆ / Ψ, Aˆ / Ψ (∆B )2 ( ) ( ) = (Ψ, Bˆ Ψ ) = (Bˆ Ψ , Bˆ Ψ ) /2 / / 21 Alkalmazzuk a Schwarz-Bunyakovszkij egyegyenlõtlenséget: / Ψ és g = B/ Ψ ahol: f = A ( f , f )(g , g ) ≥ ( f , g )( f , g ) =| ( f , g ) | 2 , (∆A)2 (∆B )2 ≥| Aˆ / Ψ, Bˆ / Ψ | 2 =| Ψ, Aˆ / Bˆ / Ψ | 2 (22.3) ( ) ( ) / / / /   A B / + B A/ A B / − B A/ /  Az A azonosság felhasználásával a (22.3) a B/ = + 2 2 következõképp alakítható át: