Fizika | Felsőoktatás » Kísérleti fizika képletek

Kísérleti fizika (mechanika) Kinematika mozgás jellemzése: • vektorokkal 3 dimenzióban (x, y, z koordinátatengelyek) • egységvektorok: e x = i, e y = j , e z = k helyvektor ( r ): • r = xi + y j + zk ⎧ x( t ) ⎪ • r ( t ) = ⎨ y( t ) ⎪ z( t ) ⎩ sebesség: dr = r& • v= dt • v = x& , y& , z& ( ) gyorsulás: • a = && x , && y , && z ( ) Magasabb deriváltakat nincs értelme használni. Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgások ( a( t ) konstans): Ha a koordinátarendszert felvehetem úgy, hogy csak az egyik koordináta ( y ) függjön az időtől. ay 2 • y( t ) = t + v0 t + y0 2 • v( t ) = a y t + v 0 • a = ay Ha a mozgás így nem írható le, akkor az alábbiak szerint érdemes felvenni a koordinátarendszert: • a = ( 0, y ,0) ( • v (t ) = v x0 , v y0 + yt , v z0 ) y ⎛ ⎞ • r ( t ) = ⎜ x 0 + v x0 t , y 0 + v y0 t + t 2 , z 0 + v z 0 t ⎟ ⎝ ⎠ 2 Koordinátarendszerek: Fázistér

(harmonikus rezgőmozgás esetében): • y( t ) = A sin(ωt + ϕ ) • v y = Aω cos(ωt + ϕ ) • a y = − Aω 2 sin(ωt + ϕ ) • y 2 = A 2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 ⎛ y⎞ • ⎜ ⎟ = A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) ⎝ω⎠ 2 ⎛ vy ⎞ • y + ⎜ ⎟ = A2 ⎝ω⎠ 2 2 2 ⎛ y ⎞ ⎛ vy ⎞ • ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⎝ A ⎠ ⎝ Aω ⎠ • Ha a koordináták y és v y , akkor ez egy ellipszist alkot. Polárkoordináta-rendszer ( r( t ) ,ϕ ( t ) ): r( t ) = r( t ) e r ( t ) • e r = ( cos ϕ ( t ),sin ϕ ( t )) • e& r = ( − ϕ& sin ϕ ,ϕ& cos ϕ ) = ϕ&( − sin ϕ , cos ϕ ) = ϕ eϕ ( eϕ e r = 0 ) & r + re& r = re & r + rϕ& eϕ ( r és ϕ irányú komponensekre bontható) • v = re • e&ϕ = ( − ϕ& cos ϕ ,−ϕ& sin ϕ ) = −ϕ& e r & & r + r&ϕ& eϕ + rϕ&&eϕ + rϕ& e&ϕ = e r ( && re r + re r − rϕ& 2 ) + eϕ ( 2r&ϕ& + rϕ&&) • a = &&

• pld.: Derivátor csigái Térbeli polárkoordináta-rendszer ( r ,ϑ ,ϕ ): • z = r cos ϑ • y = r sin ϑ cos ϕ • x = r sin ϑ sin ϕ Hengerkoordináta-rendszer: r ,ϕ , z Kísérő triéder (természetes koordinátarendszer): • O középpontú R sugarú simulókör illeszthető a pályára minden pontban • legyen n sugárirányú O felé mutató egységvektor • legyen vt = v & + vt& • a = vt • O középpontú polárkoordináta-rendszerben: • t = eϕ v n R • harmadik koordináta b • t , n, b jobbsodrású rendszert alkot • t& = ϕ& n = A mozgásokat leíró törvények (Newton-törvények) Létezik olyan koordinátarendszer, amiben a magára hagyott test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. (Newton I) • innerciarendszernek nevezzük • csak kísérleti úton lehet megállapítani, hogy egy adott rendszer, bizonyos pontossággal, bizonyos idő- és hosszúságskálán innerciarendszernek tekinthető-e A külső kényszerítő

hatás arányos a helyvektor második deriváltjával és az arányossági tényező csak a testtől függ (Newton II.) F • F = ma , = f = a m • [ F ]=kgm/s2=N • F nem függ a gyorsulástól és annak idő szerinti deriváltjaitól, tehát nincs értelme ezeket használni • F ( t , x , x& ) = mx&& • F = ma , mert: • F a mindig • a vektorösszeadás szerint adódnak össze az erők (szuperpozíció elve, az erők függetlenségének elve) • F ( r , r&, t ) = mr&& Két test kölcsönhatásakor, ha az egyik F erővel hat a másikra, a másik ugyanolyan nagyságú de ellentétes irányú erővel fog visszahatni rá (Newton III.) Kísérleti fizika (mechanika) 2 Rezgések Legegyszerűbb eset: • mx&& = − Dx D • legyen: ω 0 = m 2 • && x = −ω 0 x • hogyha: x = sin ωt ( x&& = −ω 2 sin ωt = −ω 2 x ) D • tehát ω = ω0 = m • x = A sin(ωt + ϕ ) Ha külső erő is hat a rendszerre: Állandó erő:

• mx&& = − Dx + Fk F • x = A sin(ωt + ϕ ) + x 0 = A sin(ωt + ϕ ) + k m Súrlódás: • mx&& = − Dx − Fs vv (a sebességgel ellentétes irányú az erő) ⎡ F F⎤ • ⎢− s , s ⎥ szakaszon bizonytalan lesz ⎣ D D⎦ Folyadékos súrlódás: • mx&& = − Dx − λx& • legyen 2β = λ m • x&& + 2βx& + ω x = 0 2 0 • ha x = A sin(ωt + ϕ ) • x& = A& sin(ωt + ϕ ) + Aω cos(ωt + ϕ ) − ω 02 A sin(ωt + ϕ ) − 2βA& sin(ωt + ϕ ) − 2βAω cos(ωt + ϕ ) = && x= • ebből: 2 && sin(ωt + ϕ ) + 2 A& ω cos(ωt + ϕ ) − Aω sin(ωt + ϕ ) =A && − Aω 2 = −ω 2 A − 2βA& ⎧A 0 • ebből: ⎨ & ω = −2βAω 2 A ⎩ • A& = − βA • tehát: A = A0 e − βt • ebből: A& = − A βe − βt 0 && = A β 2 e − βt • és: A 0 • behelyettesítve: A0 β 2 e − βt − A0ω 2 e − βt = − A0ω 0 e − βt + 2β 2 A0 e −

βt • ebből: ω = ω 02 − β 2 1. ω 0 > β ( • x = A0 e − βt sin ω 02 + β 2 t + ϕ ) • legyen x n a maximális kitérés az n -edik periódusban x 2πβ • ln n = βT = x n+1 ω 2. ω 0 < β (túlcsillapított rezgés) • legyen x = A0 e − λt • ekkor: − ω 02 A0 e − λt + 2βλA0 e − λt = && x = A0 λ2 e − λt • ebből: λ2 − 2βλ + ω 02 = 0 • λ1, 2 = β ± β 2 − ω 02 ( −β + β 3 −ω 02 ) ( −β − β 3 −ω 02 ) • x = A1e + A2 e • komplex számokkal is kihozható Folyadékos súrlódás és a rezgéssel azonos periódusú erő (kényszerrezgés): • mx&& = − Dx − λx& + F ( t ) F( t) • legyen f ( t ) = = f 0 sin ωt m • ekkor: x&& = −ω 02 x − 2βx& + f ( t ) • ha x = A sin(ωt + ϕ ) • − A sin(ωt + ϕ ) = && x = −ω02 A sin(ωt + ϕ ) − 2βωA cos(ωt + ϕ ) + f 0 sin(ωt ) • A(ω02 − ω 2 ) sin(ωt ) cos ϕ + A(ω02 − ω 2 ) cos(ωt )

sin ϕ = = −2βωA cos(ωt ) cos ϕ + 2βωA sin(ωt ) sin ϕ ⎧⎪ A(ω 02 − ω 2 ) cos ϕ − 2βAω sin ϕ = f 0 • ebből: ⎨ 2 2 ⎪⎩ A(ω 0 − ω ) sin ϕ − 2βAω cos ϕ = 0 • négyzetre emelve és összeadva: A 2 (ω 02 − ω 2 ) + 4β 2 A 2ω 2 = f 02 f0 • ebből: A = (ω 02 − ω 2 ) 2 + 4β 2ω 2 2 • és az egyenleteket osztva: ϕ = ar ctg 2βω ω 2 − ω 02 • t ∞ ⇒ x A sin(ωt + ϕ ) rezonancia: • ddω A = 0 ( A maximális) f0 d = dω (ω 2 − ω 2 ) 2 + 4β 2ω 2 r r 0 • f0 d 2 2 2 ω ω =− − + 4β 2ωr 2 = 0 ( ) 0 r 2 2 2 ω d 2 (ω02 − ωr ) + 4β 2ωr ( ( ) d 2 ω 02 − ωr 2 ) + 4β 2ωr 2 = 0 ( dω • ebből: 2(ω 02 − ω r2 )( − 2ω r ) + 8β 2ω r = 0 • tehát: ) • tehát: ω r = ω 02 − 2β 2 • általában β >> 0 • ekkor ω r ≈ ω 0 f • A(ω r ) ≈ 0 2βω 0 • β 0 ⇒ A(ω r ) ∞ • sávszélesség ( Δ ω = ω2 − ω1 ): • A(ω 2 ) = A(ω1 ) = A(ω r ) 2 • ebből a

másodfokú egyenlet amelynek megoldásai: ω 4 + ( 4β 2 − 2ω 02 )ω 2 + ω 04 − β 2ω 02 + 8β 4 = 0 • ebből: ω 22 − ω12 = 4β ω 02 − β 2 • Δω = 2 2 ω 22 − ω12 4β ω 0 − β ≈ 2ω r ω1 + ω 2 Rezgések összetétele: Egyirányú, azonos frekvenciájú rezgések: x1 = A1 sin(ωt + ϕ1 ) • x 2 = A2 sin(ωt + ϕ 2 ) x = x1 + x 2 = A1 sin(ωt + ϕ1 ) + A2 sin(ωt + ϕ2 ) = • = A1 sin(ωt ) cos ϕ1 + A1 cos(ωt ) sin ϕ1 + A2 sin(ωt ) cos ϕ2 + A2 cos(ωt ) sin ϕ2 = = ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 ) sin(ωt ) + ( A2 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 ) cos(ωt ) = = A cos ϕ sin(ωt ) + A sin ϕ cos(ωt ) = A sin(ωt + ϕ ) • A 2 = ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 ) + ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 ) = = A12 + A22 + 2 A1 A2 ( cos ϕ1 cos ϕ 2 + sin ϕ1 sin ϕ 2 ) = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ) • A= A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ) A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 A sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 • ϕ = arctg 1 A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 • az

ilyen rezgések összeadása komplex számokkal reprezentálható Két ugyanolyan rezgőmozgást végző testek közti rezgés: mx&&1 = − Dx1 + k ( x 2 − x1 ) • mx&&2 = − Dx 2 − k ( x 2 − x1 ) • tg ϕ = • • x&&1 = −ω 02 x1 + Ω 2 ( x 2 − x1 ) x&&2 = −ω x − Ω ( x 2 − x1 ) 2 0 2 2 x&&1 = −(ω 02 + Ω 2 ) x1 + Ω 2 x 2 x&&1 = Ω 2 x1 − (ω 02 + Ω 2 ) x 2 ( Ω2 = k ) m • ha • • • • x1 = A1 sin ωt (csak egyenlő frekvenciájú ugyanolyan fázisú rezgésekre x 2 = A2 sin ωt vizsgáljuk, fáziseltolódással is számolható, ekkor lesz két cosinus-os tag is, de az eredmény, bonyolultabban bár, de kijön) − ω 2 A1 sin ωt = −(ω 02 + Ω 2 ) A1 sin ωt + Ω 2 A2 sin ωt − ω 2 A2 sin ωt = −(ω 02 + Ω 2 ) A2 sin ωt + Ω 2 A1 sin ωt − ω 2 A1 = −(ω 02 + Ω 2 ) A1 + Ω 2 A2 − ω 2 A2 = −(ω 02 + Ω 2 ) A2 + Ω 2 A1 (ω (ω A1 2 2 − ω 02 − Ω 2 ) A1 + Ω

2 A2 = 0 − ω 02 − Ω 2 ) A2 + Ω 2 A1 = 0 Ω 4 − (ω 2 − ω 02 − Ω 2 ) 2 =0 Ω2 Ω 4 − (ω 2 − ω 02 − Ω 2 ) 2 =0 Ω2 • A1 = A2 = 0 megoldás triviálisan adódik • másik megoldás: A1 = ± A2 , ω12 = ω 02 , ω 22 = ω 02 + 2Ω 2 x1 = B1 sin ω1t + B2 sin ω 2 t • x 2 = B1 sin ω1t − B2 sin ω 2 t • a többi esetben nem harmonikus rezgőmozgás alakul ki0 lebegés: x1 = B1 sin ω1t + B2 sin ω 2 t = B + B2 B − B2 B + B2 B − B2 sin ω1t + 1 sin ω1t + 1 sin ω 2 t + 1 sin ω 2 t = • = 1 2 2 2 2 ⎛ ω − ω2 ⎞ ⎛ ω + ω 2 ⎞ ⎛ ω1 − ω 2 ⎞ ⎛ ω + ω2 ⎞ = ( B1 + B2 ) sin ⎜ 1 t ⎟ cos⎜ 1 t ⎟ + ( B1 − B2 ) cos⎜ 1 t ⎟ sin ⎜ t⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ • egymásba burkolt rezgések ω − ω2 t 0 : gyenge csatolás • Ω 0 ⇒ ω1 ω 2 ⇒ 1 2 Nem egyirányú rezgések összetétele (azonos frekvencia esetén): x = A1 sin ωt • y = A2 sin(ωt + ϕ ) = A2 (sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ ) A2

• y x x2 = cos ϕ + 1 − 2 sin ϕ A2 A1 A1 2 ⎛ y ⎞ ⎛ x2 ⎞ x • ⎜ − cos ϕ ⎟ = sin 2 ϕ ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ A2 A1 ⎠ ⎝ A1 ⎠ y 2 x 2 2xy + − cos ϕ = sin 2 ϕ A22 A12 A1 A2 • ez egy ferde elipszis speciális esetek: • 1. ϕ = 0 x y − =0 • A1 A2 • egyenes egy részlete 2. ϕ = π2 y2 x2 + =1 A22 A12 • ellipszis Nem egy irányba eső különböző frekvenciájú görbékre (Liszarra-görbék) példa: x = A1 cos ωt • y = A2 cos( 2ωt ) = A2 ( cos 2 ωt − sin 2 ωt ) = A2 ( 2 cos ωt −1) • y x2 = 2 2 −1 A2 A1 • parabola részlete Nem harmonikus rezgőmozgások ( T szerint periodikusak): • f ( t + T ) = f (t) Fourier-sorok: 2π • legyen ω = T ( ) • f t = a 0 + a1 cos ωt + a 2 cos ωt +.+ a n cos ωt + b1 sin ωt + b2 sin ωt ++ bn sin ωt • T • an = 1 f ( t ) cos( nωt ) dt T ∫0 T 1 • bn = ∫ f (t ) sin( nωt ) dt T0 Kísérleti fizika (mechanika) 3. impulzus: • F = mr&& = d dt mr& = dp •

tehát: p = mr& p dt dr m dt • p( t + Δ t ) = p( t ) + FΔ t • = • r ( t + Δ t ) = r( t ) + p Δt m • ha F = 0 , akkor p állandó impulzusmomentum és forgatónyomaték: • N = r× p • M = r × F = r × mr&& = d dt ( r × mr&) = dtd ( r × p) = N& • ha M = 0 , akkor N állandó • polárkoordináta-rendszer: & r + rϕ& eϕ • N = m( r × v ) = m re r × re ( ( )) = mr ϕ&(e 2 r × eϕ ) • ekkor, ha M = 0 , akkor N = mr 2ϕ& állandó r 2Δ ϕ 2 • a területi sebesség t& = 12 r 2ϕ& állandó • egyenes vonalú egyenletes mozgásnál: • N = r × mv • legyen d a mozgás egyenesének távolsága az origótól d • N = r mv sin ϕ = r mv = dm v r teljesítmény és kinetikus energia: • P = v F = mvv& = dtd 12 mv 2 = T& • a súrolt terület: Δ t = ( ) munka: t2 • W = ∫ F vdt = 12 mv 22 − 12 mv 12 t1 r2 • mivel r + Δ r = r + vΔ t , Δ T = ∫ r1 G konzervatív erőterek:

• r2 ∫ r1 G r1 F (r )d r = − ∫ r2 G F (r )d r t2 F ( r ) d r = ∫ F vdt = W t1 • • r2 ∫ r2 F (r )dr = ∫ r1 G1 r1 G2 r2 r1 ∫ F (r ) d r + ∫ r1 G1 • tehát: F (r )dr F (r ) d r = 0 r2 G2 ∫ F ( r )d r = 0 potenciális energia (konzervatív erőtérben): r • V ( r ) = − ∫ F ( r )d r r0 ⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞ ,− ,− ⎟ = − grad V • F = ⎜− ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ′ • áttérés r 0 -ról r 0 ′ -re: V (r ) − V (r ) = r1 r2 r0 r1 r0 ∫ F (r )d r r 0′ • V (r 2 ) = − ∫ F ( r ) dr − ∫ F ( r ) dr • V ( r 2 ) = V ( r 1 ) − W12 • W12 = V ( r 1 ) − V ( r 2 ) • E = T + V ( r ) állandó Konkrét példák: 1. matematikai inga: • E = 12 mv 2 + mgl (1 − cos ϕ ) & r + rϕ& eϕ = rϕ& eϕ • v = re • v 2 = r 2ϕ& 2 • E = 12 ml 2ϕ& 2 + mgl (1 − cos ϕ ) ≈ 12 ml 2ϕ& 2 + 12 mglϕ 2 konstans • ϕ& = • • • 2. • • • 2E 2 g − (1 − cos

ϕ ) integrációs konstansok: E,ϕ 0 ml 2 l dE & && + mglϕϕ& = 0 = ml 2ϕϕ dt g ebből: ϕ&& + ϕ = 0 (harmonikusan változik) l g ϕ ( t ) = ϕ 0 sin(ωt + α ) , ahol ω = l rezgőmozgás súrlódással: F = − Dx D V ( x) = x 2 2 2 2 1 1 2 DAn − 2 DAn +1 = Fs ( An + An +1 ) 2Fs D gerjesztéses csillapított rezgőmozgás: mx&& + αx& + Dx = F ( t ) Fv = αv 2 + mvv& + Dxv T 1 legyen: ∫ f ( t ) dt = f T0 • An − An+1 = 3. • • • • Fv = αv 2 + d 1 dt 2 mv 2 + d 1 dt 2 Dx 2 • az utolsó két tag az energiamegmaradás elve miatt nulla • p = α v2 2π • legyen ω = , ekkor sin(ωt + ϕ ) = 0,5 T • legyen v = Aω sin(ωt + ϕ ) • p = 12 αA 2ω 2 = βmA 2ω 2 • Wtárolt = 12 mv 2 + 12 Dx 2 • Wtárolt • p Wtárolt mA 2 2 = mA ω + DA = ω + ω 02 ) ( 4 2 4βω = 2 ω + ω 02 1 4 • ha β 0 , 2 p Wtárolt 2 1 4 2 = 2β 0 Kísérleti fizika (mechanika) 4. Bolygómozgás és

gravitáció Kepler-törvények: 1. ellipszispálya 2. területi sebesség állandó T2 3. 3 állandó a Körpályán mozgó testre ható gravitációs erő: 4π 2 m 2 2 & && • Fg = ma r = m( r − rϕ ) = mrω = mr 2 = 2 c T r Gravitációs erőtörvény: 1 r • F = −γ m1m2 2 r r • érdekesség: gravitációs töltés arányos a tömeggel • γ : gravitációs állandó (Cavendish mérte meg, Eötvös bizonyította be, hogy nem anyagfüggő) Gravitációs erőtér: mm • V ( r ) = −γ 1 2 (nullpont a végtelenben van) r V (r ) m • Φ( r ) = = −γ 2 m1 r m r • gravitációs térerősség: g = − grad Φ( r ) = −γ 22 r r • Földön, ha h << R : mm mm mm ⎞ mm ⎛ V ( h) = V ( R + h) − V ( R) == −γ 1 2 + γ 1 2 = dRd ⎜ − γ 1 2 ⎟ h = γ 1 2 2 h = ⎝ R R+h R R ⎠R = m1 gh Bolygómozgás: • mivel rN = r ( r × mv ) = 0 síkmozgás alakul ki, tehát használhatunk síkbeli polárkoordinátákat Mm állandó • energiamegmaradás: E

= 12 mv 2 − γ r • Kepler 2.: c = r 2ϕ& állandó 2E c 2 2μ 2 • legyen h = =h és μ = γ M , ekkor: r& + 2 − m r r c 2 2μ 2 zárt formában nem megoldható • r& = h − 2 + r r pályaegyenlet megadása: • r( t ) = r(ϕ ( t ) ) • r& = dr dr c d ⎛ c⎞ ϕ& = ⎜− ⎟ 2 = dϕ dϕ r dϕ ⎝ r ⎠ • d ⎛ c⎞ c 2μ ⎜− ⎟ = h − 2 + ⎝ ⎠ dϕ r r r • d ⎛ μ c⎞ μ2 ⎛ μ c⎞ h − = + −⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ dϕ ⎝ c r ⎠ c2 ⎝ c r ⎠ μ • legyen K = • d dϕ c − 2 c μ2 és B 2 = h + 2 c r K = B − K2 2 • K (ϕ ) = B sin(ϕ + δ ) c • r= μ − B sin(ϕ + δ ) c Bc c2 • legyen ε = , p = , δ = 90° és ε ′ = −ε μ μ c 2 μ p 1 − ε sin(ϕ + δ ) 1 + ε ′ cos ϕ a pályaegyenlet értelmezése: • r= = r ϕ x e a b • x = r 2 + e 2 − 2re cos ϕ • d = r + r 2 + e 2 − 2re cos ϕ • ( d − r ) = r 2 + e 2 − 2re cos ϕ • d 2 + r 2 − 2dr = r 2 + e 2 − 2re cos ϕ d

2 − e2 2 2 d −e 2d • r= = e 2d − −2e cos ϕ 1 − cos ϕ d 2 2 d d −e • a tengelyek b 2 = és a = 2 4 b2 a • r= e 1 − cos ϕ d c 2 b2 = • ebből esetünkben: μ a abπ • de c = r 2ϕ& = 2T& = 2 T 2 b 2 4 a 2 b 2π 2 • tehát: = T2 a T 2 4π 2 4π 2 • ebből: 3 = (Kepler 3.) = a μ γM • a pályaegyenlet egy kúpszelet egyenlete: r = p 1 − ε cos ϕ • ε > 1 esetén ellipszis ( d > e ): E < 0 • ε = 1 esetén parabola ( d = e ): E = 0 • ε < 1 esetén hiperbola ( d < e ): E > 0 Gömb gravitációs tere: vékony homogén gömbhéj gravitációs tere: R Δϕ r’ ϕ r • r ′ = r 2 + R 2 − 2rR cos ϕ • Δ A = R 2 Δ ϕ 2π sin ϕ Δ AM MR 2 Δ ϕ 2π sin ϕ 1 • ΔM = = = 2 MΔ ϕ sin ϕ 4πR 2 A ΔM M sin ϕ = −γ Δϕ • Δ φ = −γ r′ 2 r 2 + R 2 − 2Rr cos ϕ π φ ( r ) = ∫ − 12 γ M 0 • = −γ π ⎛ r 2 + R 2 − 2rR cos ϕ ⎞ 1 ⎟ dϕ = = − d ϕ γ M ∫0 2 ⎜⎜⎝ ⎟ rR r 2 + R

2 − 2rR cos ϕ ⎠ sin ϕ M ⎛ r 2 + R 2 + 2rR r 2 + R 2 − 2rR ⎞ M ⎛r+ R R−r ⎞ ⎟ = −γ ⎜ − − ⎜ ⎟= ⎟ ⎜ rR rR rR ⎠ 2 ⎝ 2 ⎝ rR ⎠ M (r + R − R − r ) 2rR • 1. eset: r > R M • φ ( r ) = −γ r M • g( r ) = −γ 2 r • 2. eset: R > r M • φ ( r ) = −γ R • g( r ) = 0 • r = R a valóságban nem fordul elő homogén gömb gravitációs tere: 1. eset: r > R = −γ 3 4 M 3 πR ρ • g = −γ 2 = −γ r r2 2. eset: R > r 3 4 m 4π 3 πr ρ = − γ = − γ rρ • g = −γ be 2 2 r r 3 nem homogén gömbszimmetrikus gömb gravitációs tere: 1. eset: r > R 3 4 M 3 πR ρ • g = −γ 2 = −γ r r2 2. eset: R > r m • g = −γ be r2 Kísérleti fizika 5 Gyorsuló koordináta-rendszerek Forgó koordinátarendszerek ( ω szögsebeséggel): ω r ϕ A d′A = 0 d ′ -vel jelölve a forgó koordinátarendszerben történő deriválást dt • r = A sin ϕ • ha • Δ A = A sin ϕ ω Δ t ΔA = A

sin ϕ ω = ω × A • Δt dA =ω × A • dt d A d′A • ebből: = +ω × A dt dt • általánosan: dtd = ddt′ + ω × d2r d ′2 r d ′r d ′ d′ d′ + (ω × r ) + ω × (ω × r ) = 2 = ( dt + ω × )( dt + ω × )r = 2 +ω × dt dt dt dt • d ′2 r d ′r ⎞ d ′ω ⎛ × r + ω × (ω × r ) = 2 + 2⎜ ω × ⎟+ ⎝ dt dt ⎠ dt d ′ω • szöggyorsulás: β = dt 2 d r = a + 2(ω × v ) + β × r + ω × (ω × r ) • dt 2 Gyorsuló és forgó koordinátarendszer: d2r = a + 2(ω × v ) + β × r + ω × (ω × r ) + a 0 • dt 2 • F = ma + 2 m(ω × v ) + mβ × r + mω × (ω × r ) + ma 0 • ma = F − ma 0 + 2m( v × ω ) + mr × β − mω × (ω × r ) tehetetlenségi erők: • ha egyenletesen gyorsuló mozgást is végez: − ma 0 • Coriolis-erő: 2 m( v × ω ) • gyorsuló forgómozgást végző rendszerben: mr × β • centrifugális erő: − mω × (ω × r ) = − m(ω (ω r ) − r (ωω )) = mrω 2 − mω (ω r ) = mω 2 s • s r -nek

a v -re merőleges komponense • innerciarendszerben álló testre egyenletesen forgó koordinátarendszerben ható erők: F = −2mrω 2 + mrω 2 = − mrω 2 , tehát forogni fog Jelenségek a forgó földön: • mr × β elhanyagolható • mr&& = mg − mω × (ω × r ) + 2m( v × ω ) • mr&& = mg ′ + 2m( v × ω ) • mivel ω << 1 : g = g ′ r = g + 2( v × ω ) • && • koordinátarendszer: x z y ψ • && r = ( && x , && y , && z) • g = ( 0,0,− g) • v = ( x& , y& , z&) • ω = ( − ω cosψ ,0,ω sin ψ ) x& • v × ω = − ω cosψ i y& z& 0 ω sin ψ j k • v × ω = ( y& ω sin ψ ,− z&ω cosψ − x&ω sin ψ , y& ω cosψ ) • x&& = 2 y& sin ψ • && y = −2z&ω cosψ − 2x&ω sin ψ z = − g + 2 y& ω cosψ • && • &&& y = −2&& zω cosψ − 2 && xω sin ψ •

&&& y = 2 gω cosψ − 4 y& ω 2 • v&&y = 2 gω cosψ − 4v y ω 2 g cosψ 2ω • csak látszólag van 7 db integrációs konstans, behelyettesítésekkel egyik kiejthető • Kezdeti feltételek: x&( 0) = 0 ∧ z&( 0) = 0 ⇒ && y( 0) = 0 ⇒ ϕ = 0 és g cosψ y& = 0 ⇒ A = − 2ω g cosψ • vy = (1 − cos( 2ωt )) 2ω • v y = A cos( 2ωt + ϕ ) + • ha Δ t kicsi a már feltett g = g ′ ⇒ ω 2 ≈ 0 szerint sorbafejtést végezve: cos α = 1 − α2 2 g cosψ 4ω 2 t 2 • vy = = g cosψωt 2 2ω 2 3 g cosψωt • y= 3 • && x arányos ω -val ezért && x = 0 és mivel x&( 0) = x 0 = 0 : x = 0 g • ugyanígy && z = − g , ebből z = h − t 2 2 Fucho-inga: • mr&& = mg + 2mv × ω + K , ahol K = mλ r • kényszerfeltétel: l 2 = x 2 + y 2 + z 2 • ezekből: && r = g + 2v × ω + λ r • • • • • • • • • • • • x&& = 2ω sin ψy&

+ λx && y = −2ω sin ψx& − 2ω cosψz& + λy && z = − g + 2ω cosψy& + λz x2 y2 de z = ± l − x − y = ± l 1 − 2 − 2 ≈ ± l , esetünkben z = − l l l ebből z& = 0 és && z=0 2ω cosψy& << g , tehát elhanyagolható mellette && x = 2ω sin ψy& + λx && y = 2ω sin ψx& + λy g λ=− l legyen ω1 = ω sin ψ g && x = 2ω1 y& − x l g &&y = 2ω1 yx& − y l x ′ = x cos(ω1t ) − y sin(ω1t ) legyen (forog a vesszős koordinátarendszerünk az y ′ = x sin(ω1t ) + y cos(ω1t ) eredetihez képest) x& ′ = ( x& − yω1 ) cos(ω1t ) − ( y& + xω1 ) sin(ω1t ) y& ′ = ( x& − yω1 ) sin(ω1t ) + ( y& + xω1 ) cos(ω1t ) 2 2 2 x&&′ = ( && x − 2 y& ω1 − xω12 ) cos(ω1t ) − ( && y + 2 x&ω1 − yω12 ) sin(ω1t ) && y ′ = ( x&& − 2 y& ω1 − xω12 ) sin(ω1t ) + (

&& y + 2 x&ω1 − yω12 ) cos(ω1t ) ⎛g ⎞ && x ′ = −⎜ + ω12 ⎟ x ′ ⎝l ⎠ • ⎛g ⎞ &&y ′ = −⎜ + ω12 ⎟ y ′ ⎝l ⎠ g && x′ = − x′ g l • mivel ω12 << : g l && y′ = − y′ l ⎛ g ⎞ x ′ = x 0 sin⎜ t + ϕ1 ⎟ ⎝ l ⎠ • ⎛ g ⎞ y ′ = y 0 cos⎜ t + ϕ2⎟ ⎝ l ⎠ • kezdeti feltételek: x ( 0) = a , x& ( 0) = 0 , y ( 0) = 0 , y& ( 0) = 0 • átírva: x ′( 0) = a , x& ′( 0) = 0 , y ′( 0) = 0 , y& ′(0) = aω1 ⎛ g ⎞ x ′ = a cos⎜ t⎟ ⎝ l ⎠ • ebből: ⎛ g ⎞ g y′ = aω1 sin⎜ t⎟ l ⎝ l ⎠ • ellipszist alkot • az egész egy forgó ellipszis lesz g • lengésidő ≈ l • körbefordulási idő: ω1 = ω sin ψ , a mi szélességi körünkön kb. 35 óra Eötvös Lóránd kísérletei: 1. Coriolis-erő kimutatása • ha elkezdünk forgatni egy rudat két tömeggel a végén, akkor meg fog billenni, mert amikor a délkörök

irányába áll be különböző Coriolis-erő hat rá • legszembetűnőbb az egyenlítőn (ellenkező irányúak az erők) • ha úgy forgatjuk, hogy a rezonanciafrekvenciájával billegjen, akkor láthatóvá tehető 2. tehetetlen és súlyos tömeg egyenlőségének kimutatása (nem anyagfüggőek): • egyenértékű azzal, hogy a gravitációs állandó nem anyagfüggő • F = mT a = mS g + mT ω 2 s • ha egy rúd két végére egy A és B megegyező tömegű, de más anyagú testet m teszünk, akkor ha az S nem egyezik meg a két testre, akkor ők elfordulnak mT • ha megcseréljük a két testet, akkor a két egyensúlyi helyzet között eltérés lesz • bebizonyította, hogy 8 jegy pontossággal megegyeznek 3. Eötvös-inga • g magasságfüggésének megmérésére használható • pld. olajlelőhelyek felfedezésére használható • egy középen felfüggesztett rúd egyik végére egy tömeget teszünk, a másikra pedig egy tömeget függesztünk, úgy, hogy

egyensúlyban legyen normál esetben Kísérleti fizika (mechanika) Pontrendszerek mechanikája • mi && r i = F i + ∑ K ij j≠ i • ∑ m &&r = ∑ F + ∑ K i i i i i ij ij j≠i • mivel Newton 3. törvénye szerint K ij = − K ji és értelemszerűen ∑K ij ebből: ∑K ij =0 ij • ∑ m &&r = ∑ F i i i • ∑ mi &&r i = i i d dt i ⎛ ⎞ ⎜ ∑ mi v i ⎟ = ⎝ i ⎠ d2 dt 2 ⎛ ⎞ ⎜ ∑ mi r i ⎟ = ∑ mi ⎝ i ⎠ i • tömegközéppont mozgásegyenlete: ∑F d2 dt 2 ∑m r ∑m i i i rt = M && i i i = M && rt i • lendületekre vonatkozó mozgásegyenlet: ∑F i i = d dt ⎛ ⎞ ⎜ ∑ pi ⎟ ⎝ i ⎠ Rakéta mozgása: • mivel nem hat külső erő: d dt ⎛ ⎞ ⎜ ∑ pi ⎟ = 0 ⎝ i ⎠ • ebből: mΔ v + uΔ m = 0 Δm • Δ v = −u m v m u • ∫ dv = − ∫ dm m v0 m0 m0 m m0 • v = v 0 + u ln m Kéttest-probléma: • v − v 0 = u ln •

feltételezve a tér homogenitását: m1 r&&1 = F (r 1 − r 2 ) m2 && r 2 = − F (r 1 − r 2 ) • m1 && r 1 + m2 r&&2 = 0 rt = 0 • ebből: && • legyen r = r 1 − r 2 és r = F ( r) • ekkor: m∗ && 1 1 1 + ∗ = m m1 m2 • sikerült a két egyenletünket függetlenné tenni ij = ∑ K ji , ij • visszavezetés egytest-problémára: • tegyük föl, hogy r 2 = 0 • ekkor: m1 && r 1 = F(r 1 ) • ha gravitációs kölcsönhatás hat a két test között: mm r • m∗ && r = −γ 1 2 2 r r m +m r • ebből: && r = −γ 1 2 2 r r • a két test egymás és a tömegközéppont körül ellipszispályán mozoghat • következmény: ha a kisebb test tömege nem hanyagolható el a nagyobbé mellett Kepler 3. törvénye nem igaz Perdület: • mi && r i = F i + ∑ K ij j≠ i • r i × mi r&&i = r i × F i + ∑ r i × K ij j≠i • d dt (r • d dt (N ) = M + ∑ r

i × mi v i ) = r i × F i + ∑ r i × K ij i i j≠i j≠i i × K ij • összegezve minden pontra: d dt ⎛ ⎞ ⎜ ∑ N i ⎟ = ∑ M i + ∑ r i × K ij ⎝ i ⎠ i ij j ≠i • Newton 3. törvénye miatt: ∑r i × K ij = ∑ r j × K ji = − ∑ r j × K ij ij j≠i ij j≠i ij j≠i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ • ebből: ∑ r i × K ij = ⎜ ∑ r i × K ij − ∑ r j × K ij ⎟ = ⎜ ∑ r i − r j × K ij ⎟ 2 ⎜ ij ⎟ 2 ⎜ ij ⎟ ij ij ⎝ j ≠i ⎠ ⎝ j≠i ⎠ j≠i j≠i • d dt ⎛ ⎞ ⎜ ∑ N i ⎟ = ∑ M i + 12 ∑ r i − r j × K ij ⎝ i ⎠ i ij j ≠i • Ha a belső erők centrálisak: • r i − r j × K ij = 0 ⎛ ⎞ ⎜∑ N i⎟ = ∑ M i ⎝ i ⎠ i • az impulzusmomentum függ a koordinátarendszertől • átalakítva: • legyen: r i = ρ i + r t és v i = ρ& i + r& t • d dt ( ) ( ) N = ∑ r i × mi v i = ∑ ρ i + r t × mi ρ& i + r& t = ∑ ρ i × mi ρ& i + ∑ r t × mi

ρ& i + i i i i • + ∑ ρ i × mi r& t + ∑ r t × mi r t = ∑ ρ i × mi ρ& i + r t × ∑ mi ρ& i + ∑ mi ρ i × r& t + i i + r t × ∑ mi r& t = N s + r t × M r& t i i i i • az impulzusmomentum felbontható saját-impulzusmomentumra ( N s ) és pályaimpulzusmomentumra ( r t × M r& t ), melyek közül csak az utóbbi függ a pályától • ekkor az előbb igazolt egyenlőség így módosul: dNs d + dt ( r t × M r& t ) = ∑ r i × F i dt i dNs • ebből: + r t × M && rt = ∑ ρi × F i + rt × ∑ F i dt i i dNs • és: = ∑ ρ i × F i = ∑ M i ′ , amely egyeneltben szereplő mennyisáégek dt i i nem függenek a koordinátarendszertől • Az állítás nem triviális, mert a tömegközépponti rendszer nem biztos, hogy innerciarendszer és azt jelenti, hogy a tömegközépponti rendszerben a tehetetlenségi erőknek nincs forgatónyomatéka Energia: • az eredeti egyenletből: ∑ mi v i v& i =

∑ F i v i + ∑ K ij v i i • tehát: d dt i ij ⎛ 1 2⎞ ⎜ ∑ 2 mi v i ⎟ = ∑ Pki + ∑ Pbij ⎠ ⎝ i i ij • kiintegrálva: Δ Ekin = Wk + Wb • amennyiben a külső és belső erők is konzervatívak érvényesül az energiamegmaradás elve: E kin + ∑ Vki + ∑ Vbij állandó i i< j Kényszererők • olyan erők, amiket ahhoz kell felvennünk, hogy a mozgást egy adott felületen tartsuk • virtuális munka elve: ∑ K i Δ s i = 0 érvényesül minden az adott felületen történő i elmozdulásra Ütközések rugalmas ütközés: az ütköző testek közti kölcsönhatás konzervatív • ekkor érvényesül az energiamegmaradás: 12 m1 v12 + 12 m2 v 22 + V (r 1 − r 2 ) állandó • kezdeti állapot: V = 0 , a sebességek legyenek: v 1 , v 2 • végállapot: V = 0 , a sebességek legyenek: v ′1 , v ′ 2 • 4 egyenletünk van 6 ismeretlennel • térjünk át tömegközépponti rendszerbe, ekkor: m v + m2 v 2 m2 ρ& 1 = v1 − 1 1 = (v −

v 2 ) m1 + m2 m1 + m2 1 m v + m2 v 2 m1 =− ρ& 2 = v 2 − 1 1 (v − v 2 ) m1 + m2 m1 + m2 1 p t = m1 ρ& = − m2 ρ& 1 2 • és: p ′ t = m1 ρ& ′1 = − m2 ρ& ′ 2 • az előbbiek szerint: 12 m1 ρ& 12 + 12 m2 ρ& 22 = 12 m1 ρ& ′12 + 12 m2 ρ& ′ 22 ⎛ 1 ⎛ 1 1⎞ 1⎞ • ebből: 12 ⎜ + ⎟ p 2t = 12 ⎜ + ⎟ p′ 2t ⎝ m1 m2 ⎠ ⎝ m1 m2 ⎠ • amiből: p t = p ′ t • ekkor: p t = m1 m2 v 1 − v 2 ) = m∗ ( v 1 − v 2 ) ( m1 + m2 • és p ′ t = m∗ v 1 − v 2 n , ahol n = 1 b ϕ • ϕ ( b) -t a kölcsönhatás határozza meg m v + m2 v 2 m1 p ′ 1 = m∗ v 1 − v 2 n + 1 1 m1 = m∗ v 1 − v 2 n + p − p2 m1 + m2 m1 + m2 1 • m v + m2 v 2 m2 p ′ 2 = − m∗ v 1 − v 2 n + 1 1 m2 = − m∗ v 1 − v 2 n + p − p2 m1 + m2 1 m1 + m2 m v + m2 v 2 m2 v ′1 = v1 − v 2 n + 1 1 m1 + m2 m1 + m2 • m v + m2 v 2 m1 v′2 = − v1 − v 2 n + 1 1 m1 + m2 m1 + m2 ( ) ( p’2 ( m1 p − p2 m1 +

m2 1 p’1 ) r = m∗ v 1 − v 2 ( m2 p − p2 m1 + m2 1 • ha p 2 = 0 ( ) ( ) m1 p m1 + m2 1 • m2 p ′ 2 = − m∗ v 1 n + p m1 + m2 1 • ekkor az ábra p ′ 1 = m∗ v 1 n + ) ) • ha még azt is feltesszük, hogy m1 = m2 az ábra így alakul: • a két test sebessége az ütközés után mindig merőleges lesz nem rugalmas ütközés (nem konzervatív erők): • ütközési számmal jellemezhetők ( k ) τ m1 v1 = − m2 v 2 = ∫ F (t ) dt 0 • τ∗ m1 v1′ = − m2 v 2′ = ∫ F (t )dt τ • legyen m2 = ∞ , ekkor: τ∗ v′ • k= 1 = v1 ∫τ F ( t ) dt τ ∫ F ( t ) dt 0 az ütközés τ ∗ -ig tart Kísérleti fizika (mechanika) 7 Merev testek mechanikája Merev test: • olyan pontrendszer, melynél tetszőleges két pont távolsága állandó • 6 változóval leírható • alapegyenletek: rt = ∑ Fi • M && i dN s dN = ∑ M i (esetleg = ∑ M ′i ) • dt dt i i merev test helyváltoztatása: • a merev test

elmozdulása felírható egy eltolás és egy tetszőleges pont körüli forgatás összegeként: Δ r = Δ r 0 + Δ ϕ × ( r − r 0 ) • ebből: v = v 0 + ω × ρ ( • egy másik pontra felírva (a két pont távolsága a ): v = v ′ 0 + ω × ρ + a ) • ebből: v 0 = v ′ 0 + ω × a • ha ez a kiválasztott pont a középpont: v = v t + ω × ρ • tehát tömegközépponti koordináta-rendszerben: ρ& = ω × ρ • ( ) ( ) N s = ∑ mi ρ i × ρ& i = ∑ mi ρ i × ω × ρ i = ω ∑ mi ρ i2 − ∑ mi ω ρ i ρ i = i i ( ) i i $ω = ω ∑ mi ρ i2 E$ − mi ρ i o ρ i = Θ i ( $ = ∑ m ρ 2 E$ − m ρ o ρ • tehetetlenségi tenzor: Θ i i i i i i ) • minden pont körüli forgásra lehet csinálni ilyet ⎛ ⎞ 2 2 − ∑ mi x i y i − ∑ mi x i z i ⎟ ⎜ ∑ mi ( y i + z i ) i i ⎜ i ⎟ 2 2 $ • Θ = ⎜ − ∑ mi x i y i − ∑ mi y i z i ⎟ mi ( x i + z i ) ∑ i i i ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ − ∑ mi x i z i + − ∑ mi y i

z i m x y ( ) ∑i i i i ⎟⎠ ⎝ i i • a főátlóban a tengelyektől való távolság szerepel, a többit hívjuk deviációs nyomatékoknak Forgási energia: E kin = ∑ 12 mi v i2 = i 1 2 ∑ m (v i i t )( ) + ω × ρi vt + ω × ρi = ( ) 2⎞ ⎛ ⎛ ⎞ • = 12 ⎜ M v 2t + 2v t ⎜ ω × M ∑ ρ i ⎟ + ∑ mi ω × ρ i ⎟ = ⎝ ⎠ i ⎝ ⎠ i ( ( )) $ω = 12 M v 2t + 12 ∑ mi ρi × ω × ρ i ω = 12 M v 2t + 12 N s ω = 12 M v 2t + 12 ωΘ i $ω • E forg = 12 ωΘ • csak tömegközéppontra igaz merev test dinamikája: • alapegyenletek: • M && rt = ∑ Fi i dN = ∑ M i = ∑ r i × F i vagy N& s = ∑ M ′ i dt i i i • erők a hatásvonaluk mentén eltolhatók • az egyenletek jobb oldalát helyettesíthetem egy erővel és egy forgatónyomatékkal: • ∑Fi = F • i • ∑M i =M i • (r × F ) = M felírás csak akkor lehet, ha F M = 0 és ez nem teljesül mindig • F támadáspontját szabadon eltolhatom

s -el, ekkor a forgatónyomaték: M = M′ + s× F • ebből: M ′ = M − + s × F • tehát mindig meg tudom úgy választani F támadáspontját, hogy M ′ F teljesüljön merev test egyensúlya: • feltételek: ∑ F i = F = 0 és ∑ M i = M = 0 i i • mivel a belső erők kényszererők a merev testnél: ∑K ij d si = 0 ij • dE mozg = ∑ F i d s i + ∑ K ij d s i = ∑ F i d s i = 0 i ij i • Ha a külső erők konzervatívak, akkor ez azt jelenti, hogy ilyen helyeken potenciálminimum, vagy maximum van • egyensúlyi helyzetek (a potenciálgörbét ábrázolva): • stabil: • E a test energiája, ennél magasabb energiaszintre nem juthat • ha az egyensúlyi helyzetből kibillentjük, akkor harmonikus rezgőmozgást fog végezni E • labilis: • indifferens: • metastabil a merev test szabadsági fokai: • 6 darab • r t és az Euler-szögek vagy a quaterniók egységköre (nem ugrik teljes elfordulásoknál) • Euler szögek: z z’ θ

y’ x y x’ rögzített tengely körüli forgás • az erők osztályozhatók a tengely által és a környezet által kifejtett erőkre F’i Fi y zx • M ′z = 0 • a rendszernek egy szabadsági foka van ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ • ez az egyenlet írja le a rendszert: N& z = ⎜ ∑ M i + ∑ M ′ j ⎟ = ⎜ ∑ M i ⎟ ⎠z ⎝ i ⎠z ⎝ i j $ω • N = ∑ m r × v = ∑ m r × (ω × r ) = Θ i i i i i i i i • mivel ω = ( 0,0,ω ) N z = Θ zzω , ahol Θ zz = ∑ mi ( x i2 + y i2 ) = ∑ mi l i2 i • E kin = 12 Θ zzω 2 • M z = N& z = Θ zzω& = Θ zz β fizikai inga: ϕ s S G • ∑ m g = G = mg i i i • kis szögekre véve: Θ zzϕ&& = Θ zz β = M z = − mgs sin ϕ ≈ − mgsϕ • megoldás ϕ = A sin(ωt + α ) , ahol ω = mgs Θ zz • az elemi munka (nem potenciálból származtatható): δW = ∑ F i v i dt = ∑ F i (ω × r i ) dt = ∑ ω ( r i × F i ) dt = ω ∑ M i dt = d ϕ ∑ M i i i i i i merev test

síkmozgása: • 3 szabadsági foka van • 3 egyenlettel írható le: ⎞ ⎛ • N& z = ⎜ ∑ M i ⎟ ⎠z ⎝ i ⎞ ⎛ • Mr&&tx = ⎜ ∑ F i ⎟ ⎠x ⎝ i ⎞ ⎛ • Mr&&ty = ⎜ ∑ F i ⎟ ⎠y ⎝ i ⎛ ⎞ • N& Sz = ⎜ ∑ M ′ i ⎟ ⎝ i ⎠z • mivel ω = ( 0,0,ω ) : N Sz = Θ zzω • Θ zz = ∑ mi ( x i2 + y i2 ) = ∑ mi l i2 függhet az időtől i i Steiner-tétel: • az S súlypontra vett ehetetlenségi nyomatékot ismerjük ( Θ zz = Θ S ) és ki akarjuk számolni egy másik T pontra ( Θ ) • legyen l = ( l ,0) az S-ből T-be mutató vektor, ekkor: ( ) • Θ = ∑ mi ( x i + l ) + y i2 = ∑ mi ( x i2 + y i2 ) + Ml 2 + 2l ∑ mi x i = Θ S + Ml 2 i 2 i i Pörgettyű mozgása: • pörgettyű: olyan merev test, aminek egy pontja rögzített $ ne legyen időfüggő: • térjünk át a testhez rögzített koordináta rendszerre, hogy Θ d N d ′N • = +ω × N = ∑ Mi dt dt i ω d ′ $ $ω = M +ω ×Θ • Θ dt

$ • úgy veszem fel a koordinátatengelyeket, hogy azok egybeessenek Θ főtengelyeivel ⎛ Θ1 0 0⎞ ⎟ ⎜ $ =⎜ 0 Θ • legyen Θ 0 ⎟ és ω = (ω1 ω 2 ω3 ) 2 ⎟ ⎜ 0 Θ3⎠ ⎝ 0 dω1 + ( Θ 3 − Θ 2 )ω 2ω3 = M1 dt dω 2 + ( Θ1 − Θ 3 )ω1ω3 = M 2 • Euler-féle pörgettyű-egyenletek: Θ 2 dt dω3 Θ3 + ( Θ 2 − Θ1 )ω 2ω1 = M 3 dt • szimetrikus pörgettyű: Θ1 = Θ 2 • erőmentes pörgettyű: M = 0 szimmetrikus erőmentes pörgettyű mozgása: dω 3 = 0 -ből: ω 3 konstans • Θ3 dt dω Θ1 1 + ( Θ 3 − Θ1 )ω 2ω3 = 0 dt • dω 2 Θ1 + ( Θ1 − Θ 3 )ω1ω3 = 0 dt dω dω 2 • ebből: ω1Θ1 1 + ω 2Θ1 =0 dt dt • Θ1 12 dtd (ω12 + ω 22 ) = 0 Θ1 • tehát ω12 + ω 22 konstans, amiből ω konstans • mivel erőmentes N konstans, ebből: Ekin = 12 ω N is konstans • ω egy N körüli kúpon mozog • viszont ω a szimmetriatengely körüli kúpon is mozog az előbbiek miatt • tehát a test úgy mozog, hogy N egy kúpot ír le

a szimmetriatengely körül (lutáció) nem szimmetrikus erőmentes pörgettyű mozgása: • N ω konstans (energia-megmaradás elve miatt), tehát ω egy síkon van rajta $ ω állandó, de a tehetetlenségi nyomaték • a forgási energiát másképp felírva ωΘ időben változik, ha mozog a test, csak a testhez rögzített koordináta-rendszerben állandó • tehát ω -t úgy lehet leírni, hogy egy ellipszoid gördül egy síkon Súlyos szimmetrikus pörgettyű: 1. ω N : dN • N = M N = 0 , tehát N z konstans dt • átírva: 12 dtd N 2 = 0 , tehát N állandó • ezekből N -nek a szimmetriatengellyel bezárt szöge állandó, tehát egy akörüli kúpon fog mozogni (precesszió) 2. egyébként: • rotációs precesszió jelensége lép fel A merev testek a legnagyobb tehetetlenségi nyomatékú tengely körül szeretnek legjobban forogni a három főtengely közül, egy bizonyos forgási energia után a másik két főtengely körüli forgás átfordul ebbe

Kísérleti fizika (mechanika) 8. Rugalmas alakváltozások Nyújtás: A, l • Δl = F 1F l , E a rugalmassági modulus E A F = σ : (húzó)feszültség A Δl = ε : relatív megnyúlás, deformáció • l 1 • ε= σ E térfogatnövekedés: Δa = −νε , 0 < ν < 12 Poisson-szám (nagyon • keresztirányú átmérő változása: a speciális anyagokra lehet negatív is) • kis nyújtások esetén a másodrendűen kis tagokat elhanyagolva téglatestnél a térfogatnövekedés: 2 Δ V = ( l + Δ l )( a + Δ a ) − la 2 = ( l + Δ l )( a 2 + 2aΔ a ) − la 2 = Δ la 2 − 2alΔ a ΔV Δl Δa Δl (1 − 2ν ) = −2 = • l a l V Nyírás: • A F γ • γ = • γ = 1 F , G a nyírási modulus GA σ τ σ vagy τ a nyírófeszültség G G Rugalmas energia: • folyáshatárig vizsgáljuk a rendszert (eddig lineárisan rugalmas (van nem lineárisan rugalmas alakváltozás)) • dW = F ( x ) dx = Δl • W = ∫ F ( x ) dx 0 Δl x AE Δ l 2 AE xdx = •

mivel F = A E : W = l l ∫0 l 2 2 W ⎛ Δl⎞ • az energiasűrűség: u = = 12 E ⎜ ⎟ = 12 Eε 2 = 12 σε ⎝ l ⎠ V Deformációs tenzor: u(r) r dS ds u(r’) r’ • r ′ = r + d r , ahol d r = ds , reprezentálva x i′ = x i + dx i • r + u( r ) reprezentációja x i + ui ( r ) ( ) ( ) ∂u • r ′ + u r ′ reprezentációja x i′ + ui r ′ = x i′ + ui (r ) + i dx k ∂x k ∂u • kivonva őket egymásból: dS = ∑ x i′ − x i + i dx k ∂x k i ⎞ ⎛ ⎞⎛ ∂u ∂u • ebből: dS 2 = ⎜ dx i + i dx k ⎟ ⎜ dx i + i dx l ⎟ ∂x k ∂x i ⎠ ⎝ ⎠⎝ • és ds 2 = dx i dx i ∂ui ∂u ∂u ∂u dx k dx i + i dx l dx i + i dx k i dx l − dx i dx i = ∂x k ∂x l ∂x k ∂x l • ∂u ∂u ∂u ∂u = i dx k dx i + k dx k dx i + mi dx i m dx k = 2ε ik dx i dx k ∂x k ∂x i ∂x i ∂x k dS 2 − ds 2 = dx i dx i + ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ∂u • deformációs tenzor: ε ik = 12 ⎜ i + k ⎟ + 12 m m ∂x i ∂x k ⎝ ∂x k ∂x

i ⎠ • dS 2 = dx i dx i + 2ε ik dx i dx k • főtengelyrendszerben: dS 2 = (1 + 2ε ii ) dx i dx i • speciális eset ( ε 22 = ε 33 = 0 ): • dS 2 = (1 + 2ε11 )dx1 dx1 • dS = 1 + 2ε11 dx1 • sorbafejteve ( ε11 kicsi): dS = (1 + ε11 ) dx1 dx ′ − dx1 • ε11 = 1 dx1 • a főátlóban lévő elemek a főtengelyek irányába eső megnyúlásokat mérik • speciális eset: y Δy γ • ε xy = x 1 2 ∂ux 1 ∂y 1 = γ = γ ∂y 2 ∂y 2 • a többi elem a megfelelő nyírási szögek felét jelenti ΔV Δa Δb Δc = + + = ε ii = Sp ε V a b c • a deformációs tenzor úgy néz ki, mintha 6 szabadsági fok lenne benne, pedig csak 3 van a test pontjaiban • a jelenség ugyanaz, mint konzervatív erőtereknél • a hat elem valójában nem független egymástól, mert minden ugyanolyan kezdőpontú és végpontú elmozdulásból ugyanazt a deformációs tenzort kell kapni • kényszerfeltétel: rot rot ε$ = 0 (Saint-Vermont feltétel) (erőtereknél

rot E = 0 ) a deformáció monekuláris szinten: • deformálatlan anyagban nincsenek belső feszültségek • lokális kontinuum-mecanika: feltételezzük, hogy egy részecskével csak a vele szomszédos részecskék hatnak kölcsön • a potenciálgörbe két részecske kölcsönhatásánál: • U(x) x ∂U =0 ∂x • ahol a potenciálfüggvény parabolával közelíthető (U ~ x 2 ) ott igaz a σ = Eε összefüggés, tehát rugalmas összenyomás, vagy megnyújtás történik Feszültségtenzor: • vegyünk a testből egy kicsi egységnyi felületet, aminek n a normálvektora, a felületre ható erő felírható egy húzóerő ( F n ) és egy nyíróerő összegeként ( F⊥ n ) • legyen F = σ$ n ( Fi = σ ik nk ) • ha σ ik = σδ ik , akkor Fi = σδ ik nk = σni • tehát a főátló elemei írják le a húzó-nyomó terhelést, σ ii az i normálisú felületre i irányban ható erő nagysága • a többi elem a nyírófeszültségeket írja le, σ ij az i

normálisú felületre j irányban ható erő nagysága • σ$ szimmetrikus (bizonyítását lásd később) a feszültségtenzor és a deformációtenzor viszonya: • általánosan: σ ik = Ciklmε lm • mivel ε$ szimmetrikus: Ciklm = Cikml • mivel σ$ szimmetrikus: Ciklm = Ckilm • termodinamikai szabad energia: F (T, ε$) • ha dT = 0 : dF = σ$dε$ = σ ik dε ik (rugalmas energia definíciójából) ∂F • ebből: σ ik = ∂ε ik • F (ε$ ) = F0 + 12 Ciklmε lmε ik = F0 + 12 Ciklmε ik ε lm • tehát: Ciklm = Clmik • ezek szerint C$ 21 szabad paraméterrel rendelkezik homogén és izotróp rugalmas anyagok esetén: • csak 2 szabad paraméter van: λ , μ (Lawé-állandók) • F (ε$ ) = F0 + • σ ik = λ (ε ) 2 2 ll + μ (ε ik ) 2 ∂F = λε ll δ ik + 2με ik ∂ε ik • Ciklm = λδ ik δ lm + μ (δ il δ km + δ imδ kl ) a deformációtenzor nyújtás és összenyomás esetén (a feszültségtenzorban csak σ 11 ≠ 0 ): • σ ll =

(3λ + 2μ )ε ll σ ll (3λ + 2μ ) λσ ll δik • σ ik = + 2μεik 3λ + 2μ • εll = • εik = λσ ll δik ⎞ 1 ⎛ ⎟ ⎜ σ ik − 2μ ⎝ 3λ + 2 μ ⎠ • ε11 = μ+λ σ μ (3λ + 2μ ) 11 • σ11 = μ (3λ + 2μ ) μ+λ (3λ + 2μ ) • E=μ μ+λ • ε22 = ε11 λσ11 ⎞ λ 1 ⎛ 1 ⎛ λ 3λ + 2μ ⎞ ε μ ⎟ = − 12 ⎟=− ⎜ ⎜− λ+μ ⎠ λ + μ 11 2μ ⎝ 3λ + 2μ ⎠ 2μ ⎝ 3λ + 2μ λ (Poisson-formula) 2(λ + μ ) a deformációtenzor nyírás esetén ( ∀i: σ ii = 0 ): • σ ik = 2με ik = μγ , tehát μ = G • μ 0 ⇒ ν 12 (a határeset az ideális folyadék) • általában ν ≈ 0,3 Kompresszibilitás: • ha egy testnek egyenletes külső nyomás mellett Δ p nyomásváltozás hatására Δ V 1 ΔV vel változik a térfogata, akkor K = − V Δp ΔV • ha p0 = 0 : K = − Vp • ν= ⎛− p 0 0⎞ ⎟ ⎜ • ekkor: σ$ = ⎜ 0 − p 0 ⎟ ( σ ik = − pδ ik ) ⎟ ⎜ 0 − p⎠ ⎝ 0 • ε ik = ⎞ 1 ⎛ 3λp

δ ik ⎟ ⎜ − pδ ik + 2μ ⎝ 3λ + 2μ ⎠ • ⎛ ΔV 1 3λ ⎞ 3 p = ε ll = 3 p⎜ − 1 + ⎟ =− V 2μ ⎝ 3λ + 2μ ⎠ 3λ + 2μ ΔV 3 = Vp 3λ + 2μ 1 3λ + 2μ • Κ= = K 3 • K=− Kísérleti fizika (mechanika) 9 A feszültségtenzor febontása: 3λ + 2μ 1 ε ll δ ik + 2μ (ε ik − 13 ε ll δ ik ) = ε ll δ ik + 2μ (ε ik − 13 ε ll δ ik ) • σ ik = λε ll δ ik + 2με ik = 3 K 1 • hidraulikus összenyomás: εll δik K 1 • 2 μ ( εik − 3 εll δik ) írja le a nyírást ( Sp ε$ − 13 εll E$ = 0 ) ( ) • ugyanígy képezhető a deviátor-feszültség: σ ik − 13 σ ll δik tömegerő és térfogaterő: • tömegerő: d F = gρdV • térfogaterő: d F = f dV • a tömeger a térfogaterő egy típusa • sokszor elhanyagolhatók Konkrét példák: 1. saját súlyával terhelt elegendően vékony rúd: x Δx n • legyen σ xx = σ ( x ) és ε xx = ε ( x ) • σ ( x + Δ x ) A − σ ( x ) A = − ρΔ xAg ∂σ = −

ρg ∂x • a σ ( l ) = 0 kezdeti feltételt felhasználva: σ ( x ) = ρg( l − x) 1 ρg( l − x ) • ε ( x) = σ ( x) = • E E ρg( l − x ) ∂u = ε( x) = • ∂x E • ebből az u( 0) = 0 kezdeti feltételt is kihasználva u( x ) = x2 ⎞ 1 1 ⎛ ⎛ x⎞ ρg⎜ lx − ⎟ = ρgx⎜ l − ⎟ ⎝ 2⎠ E ⎝ 2⎠ E 1 l2 ρg 2 E 2. a centrifugális erő okozta megnyúlás (elegendően vékony rúd): • u( x ) = ω x Δx • σ ( x + Δ x ) A − σ ( x ) A = − ρAΔ xω 2 x • ebből: ∂σ = − ρω 2 x ∂x • ebből a σ ( l ) = 0 kezdeti feltételt felhasználva: σ ( x ) = 12 ρω 2 ( l 2 − x 2 ) • ∂u ρω 2 2 = ε ( x ) = 12 (l − x 2 ) ∂x E • ebből az u( 0) = 0 kezdeti feltételt kihasználva u = 3. csavarás: 1 2 ⎛ 2 x2 ⎞ ω ρx⎜ l − ⎟ 2E 3⎠ ⎝ ϕ R l γ • rϕ = lγ • τ = Gγ = G rϕ l rϕ 2rπdr l 2Gπϕ 3 • dM = r dr l R 2Gπϕ 3 πϕ 4 • M= r dr = G R ∫ 2l l 0 4. lehajlás (elhanyagolva a

hosszúságváltozást és az elfordulást): x u(x) • dF = G F simulókör sugara: Δϕ R R • RΔ ϕ = Δ i = Δi Δx Δy ( Δ x ) + ( Δ y) 2 2 2 ⎛ Δx⎞ 2 = Δ x 1+ ⎜ ⎟ ≈ Δ x 1+ y′ ⎝ Δ y⎠ • Δ ϕ = arctg y ′( x + Δ x ) − arctg y ′( x ) = • y ′′ Δx 1+ y′ 2 1 Δϕ y ′′ = =± 3 R Δi (1 + y ′ 2 ) 2 egy kis részletét nézve a fenti rúdnak a deformáció után: Δx b dy y semleges szál A R R Δϕ R • semleges szál helye: ∫ σdA = 0 -ból • Δ x = RΔ ϕ • (ε xx = )ε = • σ = Eε = ( R + y )Δ ϕ − RΔ ϕ = RΔ ϕ y R Ey R E 2 by dy R E EI • F ( l − x ) = M = b∫ y 2 dy = , ahol I = b∫ y 2 dy másodrendű felületi R R (ekvatoriális) nyomaték 1 y ′′ • az = − 3 ≈ − y ′′ közelítést használva: − EIy ′′ = F ( l − x ) 2 2 R (1 + y ′ ) • dM = σbydy = k 2π 2 F⎛ x2 ⎞ = 2 EI • az F kezdeti feltételt kihasználva: = − − y lx ′ ⎜ ⎟ L 2⎠ EI ⎝ F 2⎛

x⎞ F ⎛ 2 x3 ⎞ • az y ( 0) = 0 kezdeti feltételt kihasználva: y = − x ⎜l − ⎟ ⎜ lx − ⎟ = − 2 EI ⎝ 3⎠ 2 EI ⎝ 3 ⎠ F l3 • y(l ) = − 2 EI 3 5. kihajlás: F x L y(x) EI = Fy R F 1 ≈ − y ′′ közelítést használva y ′′ = − y • EI R • próbafüggvény: y( x ) = Ae λx • • ebből: λ = ±i F EI • tehát: y( x ) = Ae i F x EI + Be −i F x EI • az y( 0) = 0 határfeltételből A = − B , tehát y( x ) = 2 Ai sin F L = kπ EI k 2π 2 • meghatározza F értékeit F = 2 EI L • az y ( L) = 0 határfeltételből FE FE x = A′ sin x I I F L = π ) kihajlás következik be, utána már nem igazak az EI alkalmazott közelítések A hullámegyenlet: x Δx A ρ • k = 1-nél ( ∂ 2u • Aρ 2 Δ x = Aσ ( x + Δ x ) − Aσ ( x ) ∂t ∂ 2 u ∂σ • ebből: ρ 2 = ∂t ∂t ∂u ∂ 2u ∂ 2u • mivel σ = εE = E : ρ 2 = E 2 ∂t ∂t ∂x ⎛ x⎞ • próbafüggvény: u = f ⎜ t − ⎟ ( Δ x = cΔ t : c

a terjedési sebesség) ⎝ c⎠ E • az egyenletből: c 2 = ρ • longitudinális terjedési sebesség: cL = E ρ μ ρ • ugyanígy kihozható a transzverzális terjedési sebesség: cT = • ebből: cL > cT Áramlások: 1 Δ V 0 Δ V • adott Δ S zárt felülettel határolt Δ V térfogatra: div A = lim • adott Δ S zárt felülettel határolt Δ V térfogatra: ∫ div AdV = ∫ AdS V • d dt ∂A ∂A ∫ AdV = ∫ ∂t dV + ∫ AvdS = ∫ ∂t + div( Av )dV V V S ∫ AdS ΔS (Gauss-tétel) S ( A = ρv ) V ∂ρ + div( ρ v ) dV = 0 t ∂ V • mivel ∀V : dtd ∫ ρdV = 0: ∀V : ∫ V • kontinuitási egyenlet: ∂ρ + div( ρ v ) = 0 ∂t • Newton második törvénye szerint: ∂ρv i ∂ ∂v ∂ρv k ∂v ∂ρ 0 = dtd ∫ ρv i dV = ∫ + ρv i v k dV = ∫ v i + ρ i + v i + ρv k i dV ∂t ∂x k ∂x k ∂t ∂x k ∂t V V V ∂ρ ⎞ ⎛ ∂ρ vdV = 0 • vagyis: ∫ ⎜ + divρ v ⎟ v + ρ v grad v + ⎠ ⎝ ∂t ∂t V ∂v

& ρdV = ∫ ρ vdV ∂t V V • a ρ v grad v tagot elhanyagolva: 0 = ∫ • de & = ∫ ρ f dV + ∫ σ$d S = ∫ ρ f + div σ$dV ∫ ρ vdV V V S alakban is felírható (különválasztva V a felületi és térfogati erők hatását) • általános hullámegyenlet: ∫ ρ v& − ρ f − divσ$dV = 0 V • 1 dimenzióban kijön belőle a hullámegyenlet folyáshatár: σ σF ε • ha olyan modellt alkotunk, amiben megfolyáskor minden atom egy potenciálgödörrel kerül arrébb, akkor σ f = μ 2π • valóságban az anyag szerkezeti hibái (diszlokációk) miatt ez sokkal kisebb Kísérleti fizika (mechanika) 10 Hidro- és aerosztatika dv = div σ$ + f dt • mivel sztatikáról van szó: div σ$ + f = 0 • általános alapegyenlet: ρ ⎛− p 0 0⎞ ⎟ ⎜ • Pascal-törvény: σ$ = ⎜ 0 − p 0 ⎟ ⎟ ⎜ 0 − p⎠ ⎝ 0 • p : nyomás • d F = σ$d A = − pd A • egyensúlyi egyenlet: divσ$ = − f • ( div σ ) i = ∂k σ ik

= −∂i p = ( grad p) i • tehát divσ$ = − grad p • behelyettesítve: f = grad p Összenyomhatatlan folyadékokra ( ρ állandó): gravitációs térben: ΔF Δ m = g = ρg • az erősűrűség: f = ΔV ΔV • grad p = ρ g grad p = − ρ grad u = − grad ρu az azonos nyomású felületek megegyeznek az ekvipotenciális felületekkel ezért a szabad felületek ekvipotenciális felületek grad( p + ρu) = 0 • p + ρu állandó • minden f = ρ grad φ esetben meg lehet csinálni • • • • • ezek összegére is mert potenciális vektormezők összege is potenciális egyenletesen gyorsuló koordináta-rendszerben: • f t = −ρa • a potenciális, mert folytonos függvény deriváltja forgó koordináta-rendszerben: • f c = ρω 2 s (ahol s a távolság a forgástengelytől) • mutasson z a forgástengely irányába, ekkor: s = ( x , y ,0) • uc = − 12 ρω 2 ( x 2 + y 2 ) • ha s = r : uc = − 12 ρω 2 r 2 • ha a forgástengely függőleges (

ug = ρgz ) • u = p + ρ( gz − 12 ω 2 r 2 ) • mivel p és ρ állandók gz − 12 ω 2 r 2 is állandó lesz • z = z0 + 1 2 ω2 r 2 (parabola) g Arkhimédész-törvény: • nehézségi erőtérben folyadékba helyezünk egy testet és a folyadék által rá kifejtett erőt vizsgáljuk • a test anyaga mellékes ezért úgy is vehetjük, hogy a folyadék tölti ki • F = ∫ σ$d A = ∫ div σ$dV = − ∫ f dV = − ∫ ρ f gdV = − ρ f gV Ideális gáz estében: • grad p = − ρ grad u , de ρ nem konstans R • p = ρ T tegyük föl, hogy T állandó M p R p • adott körülmények között megmérem: 0 = T = -t ρ0 M ρ 1 • grad p = − grad u ρ p0 1 grad p = − grad u ρ0 p • tegyük fel hogy homogén gravitációs erőtérben vagyunk, tehát p csak a z -től függ p0 1 dp = −g • ρ0 p dz ρ 1 dp =− 0 g • p dz p0 • h • ∫ 0 p • ρ ρ 1 dp dz = − ∫ 0 gdz = − 0 gh p dz p0 p0 0 h ρ0 1 ∫ p dp = − p p0 • ln gh

0 ρ p = − 0 gh p0 p0 • p = p0 e − ρ0 p0 gh − ρ0 gh − Mgh − mgh • az arányosság miatt: ρ = ρ0 e p0 = ρ0 e RT = ρ0 e kT ( m egy monekula tömege) Kapillaritás: • erősen különböző anyagok határfelületén a feszültségtenzort nem tudjuk felírni • a határfelület megváltoztatásához munka kell • dW = αdA , α a felületi feszültség F • Fdx = dW = αdA = α 2ldx dA • F =α = 2αl dx folyadékfelszín: ΔF αΔs1 αΔs1 Δϕ R2 Δs Δs Δϕ ΔA ⎛π Δϕ⎞ = αΔ s1Δ ϕ = α 1 2 = α • Δ F1 = 2αΔ s1 cos⎜ − ⎟ = 2αΔ s1 sin ⎝4 R2 R2 2 ⎠ 2 ⎛ 1 1⎞ • Δ F = Δ F1 + Δ F2 = αΔ A⎜ + ⎟ ⎝ R1 R2 ⎠ ⎛ 1 1⎞ • felületi nyomás: pg = α ⎜ + ⎟ ⎝ R1 R2 ⎠ kapillaritás: R 2 r 1 α 3 • α12 − α13 − α 23 cos α = 0 α − α13 • cos α = 12 α 23 h • E = r 2πhρ g + 2rπh(α13 − α12 ) 2 dE = r 2πρgh + 2rπ (α13 − α12 ) • 0= dh 2(α12 − α13 ) 2α 23 cosα 2α 23

• kapilláris emelkedés: h = = = rρg rρg Rρg Folyadékok áramlása v( r , t ) , p(r , t ) és ρ(r , t ) mezőkkel lehetséges leírása a típusai: • turbulens: örvényes • lamináris: ekkor a sebességmező nem függ az időtől, áramvonalakkal leírható (a sebességtér érintőirányú mentükön), lehetséges áramlási csövek segítségével leírni a folyadékot másik osztályozás: ⎛− p 0 0⎞ ⎜ ⎟ • ideális folyadék: σ$ = ⎜ 0 − p 0 ⎟ (nem lehet benne örvényeket kelteni) ⎜ ⎟ 0 − p⎠ ⎝ 0 • súrlódó folyadék (határfelületek közelében nem lehet őket ideálisnak venni) Ideális folyadékok lamináris áramlása: • az áramlási cső mentén az anyagmegmaradás törvénye miatt: vAρ állandó Bernoulli törvény folyadékokra: • az energiamegmaradás elve miatt: dU p + dEm + dU = δQ + δ W • δ W = dU p + dE m + dU − δ Q • ha a cső gravitációs erőtérben van: − p2 Δ V2 + p1Δ V1 = 12 Δ mv 22 − 12 Δ

mv12 + Δ mgh2 − Δ mgh1 + dU − δQ • tegyük fel, hogy nincs hőcsere és állandó hőmérsékletű, összenyomhatatlan p p folyadékról van szó: − 2 + 1 = 12 v 22 − 12 v12 + gh2 − gh1 ρ2 • Bernoulli törvénye: 12 v 2 + ρ1 p ρ + gh állandó gázokra: • a belső energia megváltozását nem hanyagolhatjuk el, de tegyük föl, hogy zért rendszerben vagyunk és adiabatikus az állapotváltozás R • c p − cv = M cp R 1 −1= • κ −1= cv M cv R 1 • cv = M κ −1 • U = mcv T M p U 1 p • = cv = R ρ κ −1 ρ m ΔU 1 p1 1 p2 =− + • Δm κ −1 ρ κ −1 ρ p κ g + 12 v 2 + állandó • h ρ κ −1 • sebességmérés: parabola alakú csővel lehet Vízszintes csőben áramlás (nincs súrlódás): • Δ( ρvA) = 0 • Δ ρvA + ρΔ vA + ρvΔ A = 0 Δρ Δv ΔA + + =0 • v A ρ κ Δp κ p Δ ρ + vΔ v = 0 − • κ −1 ρ κ −1 ρ2 p • pV k állandó, ebből: κ = S állandó ρ dp p = κSρ κ −1 = κ ρ dρ 1 2⎞ Δ

ρ Δρ ⎛ κ 2 • c2 + vΔ v = ⎜ c − c ⎟ + vΔ v = 0 ⎝κ −1 ρ κ −1 ⎠ ρ • p = Sρ κ , ebből: c 2 = ⎛ c2 ⎞ ΔA ⎛ c2 ⎞ • = ⎜ v − ⎟ Δ v = ⎜ 1 − 2 ⎟ vΔ v A ⎝ v⎠ ⎝ v ⎠ • c a hang terjedési sebessége az adott közegben • valójában nem igaz, mert van súrlódás Kísérleti fizika (mechanika) 11. Súrlódásos áramlás egy csőben (sugara R , nyomás a két végén p1 és p2 ): ⎛− p 0 0⎞ ⎟ ⎜ • σ$ = ⎜ 0 − p 0 ⎟ + σ$ s ⎟ ⎜ 0 − p⎠ ⎝ 0 • Newton kísérlet (folyadékfelszínen fellépő súrlódási erő): F = ηA dv dy • η -t viszkozitásnak nevezzük • ∫ σ$dF = 0 dv + r 2π ( p1 − p2 ) = 0 dr dv ( p2 − p1 ) • = r η 2l dr • ebből a v( R) = 0 kezdeti feltételt felhasználva: p − p1 2 p − p2 2 v( r ) = 2 r − R2 ) = 1 R − r2) ( ( 4ηl 4ηl p − p2 • Δ φ = v 2πrΔ r = 1 2π ( R 2 − r 2 ) rΔ r 4ηl • η 2πr p1 − p2 p − p2 4 2π ( R 2 − r 2 ) rdr = 1

πR (kifolyási törvény) 4ηl 8ηl 0 Hangterjedés: d v (r , t ) • ρ(r , t ) = div σ$ + f dt • tegyük fel, hogy f = 0 , a közeg ideális ( div σ$ = − grad p ) és az egyenletben R • φ=∫ szereplő változók nem függenek y -tól és z -től ∂v ∂p • ρ + =0 ∂t ∂x • Δ m = ρ( x ) v( x ) qΔ t − ρ( x + Δ x ) v( x + Δ x ) qΔ t = − qΔ t • Δ m 1 ∂ρv + =0 qΔ x Δ t ∂x ∂ρv Δx ∂x ∂ρ ∂ρv + =0 ∂t ∂x • tegyük fel, hogy ismerjük a p( ρ ) összefüggést és ρ = ρ0 + δρ , ahol ρ0 állandó • kontinuitási egyenlet: • • (ρ 0 + δρ ) ∂v dp + ∂t dρ ρ0 ∂δρ ∂v dp = 0 -ból: ρ0 + ∂x ∂t dρ ρ0 ∂δρ =0 ∂x ∂δρ ∂ ∂δρ ∂ + (( ρ0 + ρ )v ) = 0 -ból: + (ρ v) = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x 0 • legyen c 2 = dp dρ ρ0 ∂ 2 v ∂ 2δρ ∂ v ∂ δρ + c2 = 0 és ρ + =0 0 ∂x∂t ∂x 2 ∂x∂t ∂t 2 2 ∂ 2δρ 2 ∂ δρ • ebből: c = (hullámegyenlet) ∂x 2 ∂t 2 2

• ρ0 2 • minden f ( x ± ct ) függvény kielégíti rugalmas hullámok: • δρ = A sin(ωt ± kx ) • hullámszám: k = ω c 2π • hullámhossz: λ = k • ha két ilyen ellentétes irányú de azonos paraméterekkel rendelkező hullám találkozik álló hullám alakul ki A terjedési sebességről: • adiabatikus közelítés: • nagy ω -kra igaz p • κ állandó ρ R T M • izotermikus közelítés: • kis ω -kra igaz p • állandó • c2 = κ ρ R Tρ M R T • c2 = M • közöttük átmenet • a terjedési sebesség frekvenciafüggése miatt lép fel a diszperzió jelensége • p=