Fizika | Fénytan, Optika » Geometriai optika

Geometriai optika 1. Alapfogalmak A világra vonatkozó tapasztalataink nagy része a látáson alapul. A közvetlen szemlélésen túl optikai segédeszközöket is felhasználunk, mint távcső, leolvasó mikroszkóp, stroboszkópos fényképezés stb. Ezért mechanikai tanulmányaink előtt a látásra, képalkotásra vonatkozó legfontosabb törvényeket tekintjük át, anélkül, hogy a fény természetével, mibenlétével behatóan foglalkoznánk; ezt majd csak a fizika több területére vonatkozó részletesebb ismeretek birtokában tehetjük. A látás legkézenfekvőbb magyarázata az, hogy a tárgyakról, testekről kiindul valami és a szemünkbe jut. Ezt a valamit nevezzük fénynek Természetesen a testek egymásra is bocsátanak fényt, és többségüket csak akkor láthatjuk, ha valamely másik megvilágítja. Eszerint megkülönböztetünk önálló és nem önálló fényforrást. A fényt elgondolhatjuk részecskék záporának vagy valamilyen közegben terjedő

hullámnak – a legszembetűnőbb jelenségek értelmezéséhez a két modell egyaránt alkalmas, köztük majd részletesebb vizsgálat alapján dönthetünk. Akármi is a fény természete, van olyan jellemzője is, ami megszabja a tárgyak világosabb vagy sötétebb voltát. Addig is, amíg ezt a jellemzőt általánosabban használt, mennyiségileg is leírható fizikai jellemzővel tudjuk majd összekapcsolni, nevezzük fényintenzitásnak. Minőségi jellemzője a fénynek a szín is Ennek a létezését is csak tudomásul vesszük egyelőre, később foglalkozunk fizikai természetével. A köznapi, "emberméretű" jelenségek körében nem vesszük észre, hogy a fény terjedéséhez idő kell: ha véges sebességgel terjed is, ez a sebesség olyan nagy, hogy az első tapasztalatok összegzésénél és értelmezésénél végtelennek tekinthetjük. A legtöbb test akadályt jelent a fény számára, amelyen nem tud áthatolni: árnyék keletkezik. Kivételesek az

átlátszó anyagok, mint levegő, víz, üveg A fényt tehát le tudjuk árnyékolni, véges tartományban terjedő fénynyalábot tudunk kiválasztani. Pontszerű fényforrás árnyékának éles széle van. Egy árnyékoló nyílással (blendével) ki tudunk választani egy fénykúpot; ezt a fényforrásra illeszkedő egyenesek határolják. Homogén közegben a fény egyenes vonalban terjed, szoktuk mondani. Az egyeneseket, amelyek mentén a fény terjed, fénysugárnak mondjuk. A fénynyalábot, fénykúpot egész vonalában láthatóvá tehetjük, ha olyan közegen engedjük át, amelynek részecskéi másodlagos fényforrásként szórják a fényt, mint a dohányfüst levegőben. Van olyan anyag, amely nem csupán visszaveri a fényt, hanem az elsődleges fényforrásból kiinduló fény hatására maga is (más színű) fényt bocsát ki, fluoreszkál. A fluoreszcein oldaton átbocsátott fénynyaláb zöld sávként látszik Valójában a fénysugár az egyenes

"prototípusa", mintája. A köznapi életben a homogén közegben terjedő fénysugarak és anyagi pontok által megvalósított fizikai geometriát használjuk. Erre a geometriára van értelme annak a kérdésnek, hogy vajon az euklideszi geometria axiómái teljesülnek-e rá. Tapasztalat szerint – legalább is földi méretekig – teljesülnek. Egy keskeny fénynyaláb a fénysugár képzetét kelti, de legyünk óvatosak. A fénykúp az őt kiválasztó rés szűkítésével közeledik ugyan az egyeneshez, de nagyon keskeny résnél különösen kezd viselkedni: ismét szétterül egy kúppá, méghozzá úgy, hogy váltakozva világosabb és sötétebb tartományok jelennek meg az általa megvilágított ernyőn. Ezt a jelenséget akár a két ujjunk közötti rés szűkítésével is megfigyelhetjük A jelenség arra utal, hogy a fény hullámként viselkedik. Később, hullámtani ismeretek birtokában erre majd visszatérünk A pontszerű fényforrásból induló

fény intenzitása fokozatosan gyengül, a távolabbi tárgyakat kevésbé világítja meg. Ez azt sejteti, hogy a fényben valamilyen maradó mennyiség terjed, ami szétoszlik a nagyobb felületen. Valóban, későbbi tanulmányaink során látni fogjuk, hogy a fénnyel energia terjed Ennek határozottabb, mennyiségileg kimunkált megfogalmazására is későbbi tanulmányaink során kerül sor. A szem és az agy legfigyelemreméltóbb együttes képessége, hogy a pontszerű fényforrás helyét képes bizonyos pontossággal meghatározni. Erre nyilvánvalóan az adhat lehetőséget, hogy a szembe nem csupán egy fénysugár, hanem egy széttartó fénykúp jut be, és 1 a széttartó fénysugarak összessége lehetővé teszi a csúcspont, mint tárgy- vagy képpont extrapolálását. A fénysugarak útját a szemben később még elemezni fogjuk, az agy feldolgozó munkáját már természetesen nem, az a természettudomány más fejezetének feladata. A tárgyak látással

megállapított helyét többnyire megerősíti a többi érzékszervi tapasztalat (tapintás). Nyilvánvaló azonban, hogy a szemet be is lehet csapni: ha a fénykúpot menet közben eltérítjük az eredeti irányától, vagy megváltoztatjuk a kúpszögét, a fényforrást már irányban vagy más távolságban látjuk. Erre szolgálnak a tükrök és lencsék, amelyek működését a későbbiekben elemezzük. 2. A visszaverődés és törés törvényei A legtöbb anyag, pontosabban szólva, a legtöbb felület a ráeső fénysugarakat minden irányba szórja, azaz a rendezett irányú – kollimált – fénynyalábot szétszórt – diffúz – fényként veri vissza. (Ezért lehet az egy pontból megvilágított tárgyat általában minden oldalról látni.) Finoman csiszolt fémfelület, üveg vagy sima vízfelület azonban a kollimált fénynyalábot kollimált nyalábként veri vissza; ez a tükrös visszaverődés vagy tükrözés. Tükrözés különböző átlátszó

közegek határfelületén is bekövetkezik, úgy, hogy a 2.1 ábra fény egy része ugyanakkor átmegy a másik közegbe irányváltozással, azaz törést szenvedve. (Pl víz–levegő-felületen, akár a levegőből, akár a vízből érkezik a fény Ezt szépen lehet látni a 2.1 ábra szerinti kísérletben) A (tükrös) visszaverődés és a törés törvényeit keskeny fénynyaláb viselkedéséből szűrhetjük le. A méréseket a 22 ábrán látható Hartl-koronggal végeztük, amellyel kényelmesen változtathatjuk egy üveg-félkorong sík felületére beeső keskeny fénynyaláb beesési szögét, és mérhetjük a törési és visszaverődési szöget. A tapasztalati törvények a 2.3 ábrán látható jelölésekkel: 1. A visszavert fénysugár is, a megtört fénysugár is a α beeső fénysugár és a beesési merőleges síkjába esik. β 2. A visszaverődési szög egyenlő a beesési szöggel 3. A törési szög szinusza a beesési szög szinuszával arányos; az

arányossági tényező a két közegre jellemző állandó. Úgy is szokás fogalmazni, hogy a beesési és 2.2 ábra törési szög szinuszának hányadosa állandó, sin α = n 21 (2.1) sin β Ez a Snellius–Descartes-törvény. Az n 21 -gyel jelölt állandó neve: a második (távozási) közegnek az első (érkezési) közegre vonatkozó törésmutatója. Az utóbbi fogalmazást használva azonban külön illik még kimondani, hogy merőlegesen beeső fénysugár merőlegesen halad tovább. (Ti a két szinusz hányadosa ekkor nincs értelmezve!) Fontos tapasztalati megállapítás, hogy a közegek egymásra vonatkoztatott (relatív) törésmutatója tranzitív abban az értelemben, ha ismerem két közeg n AC , n B C törésmutatóját egy közös harmadikra vonatkoztatva, a két közeg egymásra vonatkoztatott törésmutatóját megkaphatom az n B A = n B C n AC hányadosból. Szokás ún abszolút (egyindexes) törésmutatókat is értelmezni, ebben az esetben a

vonatkoztatási közeg a vákuum Az előzőekből 2 következik, hogy ha A az érkezési, B a távozási közeg, akkor B-nek A-ra vonatkozó relatív törésmutatója az egyes közegek abszolút törésmutatójával az nB (2.2) nA összefüggésben van. (A levegő abszolút törésmutatója nagyon közel van 1-hez, a levegőre vonatkozó törésmutató az abszolút törésmutatóhoz. Néha azonban az 1-től való kis eltérés nagyon lényeges: például a meleg fűtőtest feletti ablakon kinézve imbolyogni, remegni látszik a kinti táj; ezt bizonyára a gomolygó meleg levegő sűrűségingadozásaival járó törésmutatóváltozások okozzák.) A (22) összefüggésből következik egyebek között, hogy a B közeg A-ra vonatokozó törésmutatója az A B-re vonatkozó törésmutatójának a reciproka, 1 nBA = , (2.3) nAB amit egyébként közvetlenül is ellenőrizhetünk. A (23) összefüggésből következik a fénysugár megfordíthatóságának elve: Ha megfordítjuk az

érkezési és távozási oldalt, a fénysugár ugyanazon a vonalon halad. Optikailag sűrűbbnek mondjuk a nagyobb törésmutatójú közeget, amelybe érkező fény tehát a beesési merőlegeshez törik; optikailag ritkább a kisebb törésmutatójú, az ebbe érkező fény a beesési merőlegestől törik. A 2.3 ábra szerinti kísérletnél azt figyelhettük meg, hogy a vízben elhelyezett tükör elfordításával növelve a beesési szöget, a levegőbe kilépő fénysugár fokozatosan halványabb lett, és a 90o -os törési szög elérésével elenyészett. Tovább növelve a beesési szöget, csak visszavert fénysugár létezik. A jelenséget teljes visszaverődésnek nevezzük A kritikus beesési szög – a teljes visszaverődés határszöge – a 90o -os törési szöghöz tartozó szög, amelyre tehát 1 sin α határ = (2.4) n teljesül, ahol most n a távozási oldalnak az érkezési oldalra vonatkozó törésmutatóját jelenti. (Tehát n >1.) A teljes

visszaverődés kihasználásával a fényt vékony üvegszálakban messzire lehet vezetni intenzitásveszteség nélkül, l. 24 ábra Ezen alapszik a modern hírközlés egyik fontos eszköze, a száloptika. nB A = Néhány átlátszó anyag törésmutatóját a 2.1 táblázatban foglaljuk össze 2.1 táblázat anyag n (közepes) levegő 1,00029 víz 1,34 0,0040 koronaüveg 1,49-1,56 0,008–0,010 flintüveg 1,61–1,75 0,016-0,025 plexiüveg 1,50 3 nkék-nvörös 3. Plánparalel lemez és prizma Párhuzamos síkokkal határolt átlátszó lemezen (plánparalel lemezen) úgy halad át a fénysugár, hogy iránya nem változik, csak önmagával párhuzamosan eltolódik. Ez a (23) egyenletből következik. Az eltolódás mértékét a 31 ábra alapján bárki könnyen kiszámolhatja: d = t (sin α − cos α ⋅ tan β ) , t α vagy a Snellius–Descartas-törvény felhasználásával:   cos α . d = t sin α  1 −  n 2 − sin 2 α  Nem

párhuzamos síkfelületekkel határolt törőközeg a prizma. A prizmára eső fénysugár megváltozott iránnyal lép ki a másik lapon. Az eltérülés (deviáció) szöge a 3.2 ábra jelöléseivel a 1 1  sin β = sin α ⇒ β = arcsin sin α  , n  n β + β′ = ϕ ⇒ β′ = ϕ − β , sin α ′ = n sin β ′ ⇒ α ′ = arcsin(n sin β ′) , β β d α−β α 3.1 ábra (3.1) (3.2) (3.3) δ = α − β + α ′ − β ′ = f (α ) (3.4) egyenletsorozatból számolható ki, ahol n a prizma anyagának a környező közeghez viszonyított törésmutatója. (A (32) egyenlet abból adódik, hogy a ϕ törőszögre merőleges szárú szög annak a háromszögnek egy külső szöge, ϕ amelyben β és β ′ belső szög.) Innen szélsőérték-számítással adódik, hogy a deviációnak minimuma van α ′ = α , β ′ = β δ nál, azaz szimmetrikus sugármenet esetén. Ekkor β = ϕ 2, α , β β, és a szimmetrikus sugármenethez tartozó

beesési szög a ϕ (3.1) egyenletből adódódik, ϕ sin α = n sin ; (3.5) 2 a minimális deviáció szöge pedig a (3.4) egyenletből 3.2 ábra ϕ  δ = 2α − 2 β = 2α − ϕ = 2 arcsin n sin  − ϕ . (36)  2 Kis törési szög esetében ϕ ϕ sin ≈ , 2 2 ϕ ϕ ϕ  arcsin n sin  ≈ n sin ≈ n ,  2 2 2 és így δ ≈ (n − 1)ϕ . (3.7) Hogy a fénysugárnak csak szimmetrikus sugármenetnél lehet szélsőértéke, beláthatjuk a fény ( ) megfordíthatósága alapján is, differenciálás nélkül. Ugyanis a (34) egyenletben definiált f α 4 függvényre a ( ) ( ) megfordíthatóság miatt teljesül az f α = f α ′ reláció, ha tehát α ′ ≠ α , akkor α két különböző értékére δ nak ugyanaz az értéke adódik, azaz nem lehet minimum. 4. Tükrök képalkotása Egy optikai eszköz akkor alkot képet, ha hatására a tárgy egy pontjából kiinduló fénysugarak újra egy pontban metszik egymást, vagy ha

széttartókká lesznek, a meghosszabbításuk metszi egy pontban egymást. Az első esetben valódi, a másodikban virtuális kép keletkezik. 4.1 Síktükör Pontszerű tárgyról induló fénysugarak úgy verődnek vissza tükröző síklapról, azaz síktükörről, hogy B meghosszabbításaik egy pontban találkoznak. Ezt a 41 ábra alapján könnyen beláthatjuk: α beesési szögben érkező fénysugár ugyancsak α szögben verődik vissza, így az ábrán feltüntetett AOB és A ′ OB háromszög + + egybevágó, tehát az AO és A ′ O távolság egyenlő. Ezek , O A szerint bármelyik beérkező fénysugár úgy verődik vissza, A hogy meghosszabbítása a beesési merőlegessel AO 4.1 ábra távolságban találkozik, tehát valóban egy pontban találkoznak egymással. A észlelő szemébe ezek szerint úgy érkeznek a fénysugarak, mintha a tárgy az A ′ pontban lenne. Azt mondjuk, hogy a tükör képet alkot – virtuális azaz látszólagos képet. A képtávolság

egyenlő a tárgytávolsággal 4.2 Gömbtükör ε A homorú vagy domború tükör különböző h ε pontjaira érező fénysugarak beesési merőlegesei nem γ β + α párhuzamosak egymással. Gömbfelület esetén ezek a gömb középpontjára illeszkedő egyenesek. A k gömbtükrök képalkotása változatosabb, mint a r síktüköré: előfordul kicsinyített és nagyított virtuális t kép, és a homorú tükör képes bizonyos tárgytávolságoknál valódi kép előállítására is. Valódi képről akkor beszélünk, ha az egy pontból induló, 4.2 ábra visszavert fénysugarak egy pontban találkoznak egymással. Egy kiterjedt tárgyról alkotott valódi kép ernyőn felfogható: a különböző pontokból induló fénysugarak az ernyő más-más pontjában találkoznak, és kirajzolják a tárgy képét. Ezeket a tapasztalati tényeket a visszaverődés törvénye alapján értelmezhetjük. Tekintsünk először egy homorú gömbtükröt, azaz egy belül tükröző

gömbsüveget. A gömbsüveg középpontját nevezzük el optikai középpontnak, a gömb középpontját geometriai középpontnak, a két pontra illeszkedő egyenest optikai tengelynek. A tárgypont helyezkedjen el az optikai tengelyen. A visszavert fénysugár vagy a meghosszabbítása metszi az optikai tengelyt, esetleg éppen párhuzamos vele. Tekintsük a határozottság kedvéért az első esetet; ez biztosan fennáll, ha a tárgytávolság elég nagy. Ekkor a 42 ábrán jelölt szögek között a (4.1) γ = β + ε, (4.2) β=α+ε 5 összefüggés teljesül. ( γ egy, az ábrán megtalálható háromszög külső szöge, β és ε ennek két nem mellette fekvő belső szöge; hasonló kapcsolat van egy másik háromszögben β , α és ε között.) A két egyenletből a beesési szöget, ε -t kiküszöbölhetjük, α + γ = 2β . (4.3) Az egyenletben szereplő szögek egyértelmű – bár kissé bonyolult – összefüggésben vannak az ábrán szereplő távolságokkal

(a gömb r sugara, a t tárgytávolság, a visszavert fénysugár optikai tengellyel való metszéspontjának k távolsága az optikai középponttól és a tükörre való beérkezés pontjának h távolsága a tengelytől), így a (4.3) egyenletből az ezek közötti összefüggéshez juthatunk. A továbbiakban azonban olyan esetekre szorítkozunk, amelyekben a szereplő szögek kicsik, annyira, hogy az ívmértékük, szinuszuk és tangensük közötti különbség elhanyagolhatóan kicsi. (Tengelyközeli, paraxiális fénysugarak) Ez a feltevés magában foglalja azt is, hogy a gömbhéj kis nyílászögű, és következik belőle, hogy az ábrán feltüntetett OB távolság a többi szereplő távolsághoz képest elhanyagolhatóan kicsi. Ekkor jó közelítéssel h h h α= , β= , γ= , (4.4) t r k ahol k a visszavert fénysugár távolsága az optikai középponttól. A (43) egyenletbe helyettesítve h h 2h + = . t k r De h-val lehet egyszerűsíteni, 1 1 2 + = , (4.5) t k r

tehát minden visszavert fénysugár azonos helyen metszi az optikai tengelyt, tehát egymást is. Ezzel beláttuk, hogy a tekintett esetben valóban kép keletkezik, mégpedig valódi kép. Ezek után a k távolságot képtávolságnak nevezhetjük. A (4.5) egyenletből láthatjuk, hogy létezik egy olyan pont az optikai tengelyen, ahol a tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugarak találkoznak. Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugarak ugyanis úgy tekinthetők, mintha egy, az optikai tengelyen végtelen távol fekvő tárgypontból érkeznének, t ∞, 1 t 0. Ezt a találkozási pontot gyújtópontnak vagy fókuszpontnak nevezzük, az optikai középponttól mért f távolságát fókusztávolságnak. Ezek szerint 1 2 r 0+ = f = . (4.6) ⇒ f r 2 A (4.5) leképezési törvényt ezért az 1 1 1 (4.7) + = t k f alakba is írhatjuk. A fénysugár útjának megfordíthatóságából következik – de közvetlenül is látható a leképezési törvényből –,

hogy a fókuszpontba helyezett tárgy képe a végtelenben keletkezik, azaz a visszavert sugarak az optikai tengellyel párhuzamosak. Ha a tárgyat a fókuszon belülre visszük, a visszavert fénysugarak nem metszik az optikai tengelyt, metszik viszont a meghosszabbításaik. A 43 ábra jelöléseivel leutánozva a (4.5) egyenlethez vezető gondolatmenetet (értelemszerű változtatásokkal), azt kapjuk, hogy a visszavert fénysugarak meghosszabbításai a tükör mögött egy pontban találkoznak, tehát virtuális kép keletkezik. Ennek k távolságát az optikai középponttól a 6 1 1 1 − = ε t k f ε egyenlet adja meg. A domború tükörre is α γ β + hasonló leképezési törvényt kapunk, itt-ott egy előjelben különbözőt. Könnyebb megjegyezni az összes képletet, ha k-t, f-et, k t r-et, sőt t-t is ezentúl előjeles mennyiségnek r értelmezzük, úgy állapodva meg az előjelekben, hogy minden esetben a (4.7) alak maradjon érvényben. Ez az előjelezési

4.3 ábra szabály a 4.1 táblázatban van összeállítva Helyességéről úgy győződhetünk meg, hogy minden lehetséges kombinációra végigvisszük a homorú tükör valódi képére fentebb részletezett meggondolást. Virtuális tárgyról akkor beszélünk, ha a tükörre olyan fénynyaláb esik, amelynek fénysugarai ugyan nem egy pontból indulnak, de a meghosszabbításaik egy pontban találkoznának. Maga a virtuális tárgy ez a találkozási pont. Ilyen szituáció akkor adódik természetes módon, ha egy + gömbtükör vagy más optikai eszköz valódi képet alkotna egy tárgypontról, de még mielőtt a fénysugarak találkoznának, újabb t − k tükröt teszünk az útjukba, l. 44 ábra r 4.4 ábra 4.1 táblázat k t r,f >0 valódi kép valódi tárgy homorú tükör <0 virtuális kép virtuális tárgy domború tükör Az optikai tengelyen kívül fekvő tárgypontról is képet alkot a gömbtükör, hiszen a geometriai középpont és a tárgypont

által meghatározott egyenes betölti egy másik, segédoptikai tengely szerepét, és minden előző meggondolásunk érvényben marad. Az optikai tengelyre merőleges síkban fekvő kiterjedt tárgy pontjainak képe nem illeszkedik teljes pontossággal egy síkra. (A tárgytávolság valamivel nagyobb, ezért a képtávolság valamivel kisebb, mint a sík optikai tengelyre eső pontja.) Kis nyílásszögű tükörnél és paraxiális sugaraknál azonban ez a torzulás elhanyagolható, tehát a kép is az optikai tengelyre merőleges síkba esik jó közelítéssel. Az elhanyagolás olyan rendű, mint amit az addigi egyszerűsítésekkel is elkövettünk. Érdemes külön megjegyezni egy speciális esetet: végtelen távoli, de nem az optikai tengely irányába eső tárgypont képe (jó közelítéssel) a fókuszsíkba esik. (Vagyis a fókuszponton át az optikai tengelyre merőlegesen állított síkba) Az ilyen tárgyról érkező fénysugarak egymással párhuzamosak, de az

optikai tengellyel nem! A tárgy képét – miután meggyőződtük arról, hogy a gömbtükör tényleg képet alkot róla – bármely két fénysugár metszéspontjaként megkaphatjuk. Az optikai tengelyen kívül eső tárgynál választhatjuk például a 4.5-7 ábrán látható ún nevezetes fénysugarakat Az első a fókuszon halad át, a második az optikai tengellyel párhuzamosan érkezik. A visszavert fénysugár az elsőnél az optikai tengellyel párhuzamos lesz, a másodiknál a fókuszon megy át. Azt a fénysugarat is könnyen követhetjük, amelyik az optikai középpontba érkezik, ezt ti. 7 egyszerűen tükrözni kell az optikai tengelyre. Van egy negyedik nevezetes sugár is (ez nincs berajzolva); a görbületi középponton átmenő fénysugár önmagába verődik vissza. Ezeket a nevezetes fénysugarakat akkor is + + f f k - k t t 4.6 ábra t felhasználhatjuk a kép megkeresésére, ha a tárgyról induló sugarak között ilyen nincsen (mert pl. egy

akadály kitakarta, vagy mert a tükör csorba vagy kicsi), hiszen a kép helye nem függhet attól, hogy a tükörnek mekkora + felülete vesz részt a képalkotásban. Egy végtelen távoli, de nem az optikai tengely irányában levő tárgy képét a -f -k fókuszsíkban megtalálhatjuk annak a fénysugárnak a segítségével, amely a 4.7 ábra fókuszponton halad át: ez az optikai tengellyel párhuzamosan verődik vissza, és a fókuszsíkból kimetszi a keresett pontot – vagy annak a másiknak a követésével, amely az optikai középpontba érkezik. 4.5 ábra A 4.5-7 ábrák rajzai olyan értelemben irreálisak, hogy a fénysugarak nem paraxiálisak, a könnyebb láthatóság kedvéért rajzoltunk ilyen méreteket. Ugyancsak bizonytalanságot okoz a szerkesztésben, hogy a tükör görbületét túlhangsúlyoztuk. A kis nyílásszög éppen azt jelenti, hogy a gömbtükör síktól való eltérése alig látszik, szerkesztésnél elhanyagolható. 5. Leképezés görbült

törőfelületen Domború vagy homon rú óraüveggel lezárt, vízzel ε 1 n2 1 telt csőre a tengelyével εε 2 párhuzamos fénynyalábot γ α β ++ bocsátva tapasztalhatjuk, hogy az első fókuszálja a γ nyalábot, a másik széttartóvá t r teszi. A jelenség értelmezésében kis k nyílásszögű gömbfelületre és paraxiális sugarakra szorítkozunk. Az 51 ábrán olyan 5.1 ábra esetet ábrázoltunk, amelyben a tárgypontból induló fénysugár a domború felület túloldalán levő közegben ismét metszi az optikai tengelyt. 8 Az ábra jelöléseivel ε = β +α 1   β =ε +γ 2  ⇒ ε2 β −γ . = ε1 β + α (5.1) De a Snellius–Descartes-törvényből – a beesési és törési szög kicsiny voltának figyelembe vételével – n1 sin ε 2 ε 2 = ≈ , n2 sin ε1 ε1 amit az (5.1) egyenletbe írva, az n1α + n 2 γ = (n 2 − n1 )β (5.2) összefüggéshez jutunk. A feltételezett paraxiális sugarakra h h h α≈ , γ ≈ , β≈ (5.3)

t k r teljesül. Az (53) mennyiségeket (52)-be helyettesítve h kiesik, tehát kép keletkezik A leképezési törvény n1 n2 n2 − n1 + = . (5.4) t k r Meggyőződhetünk róla, hogy a kapott egyenlet az 5.1 táblázatban összefoglalt előjelkonvencióval teljesül akkor is, ha a tárgypontból induló fénysugarak nem találkoznak a távozási oldalon, teljesül, ha összetartó nyaláb érkezik a törőfelületre (virtuális tárgy), és teljesül az érkezési oldalról nézve homorú felületre is. 5.1 táblázat Előjel-konvenció görbült törőfelület leképezési törvényéhez k t r >0 valódi kép valódi tárgy érkezési oldalról nézve domború felület <0 virtuális kép virtuális tárgy érkezési oldalról nézve homorú felület A görbült törőfelülethez két fókuszpontot értelmezhetünk, amelyek nem egyenlő távolságra vannak a felülettől. Az első az az F1 pont, ahonnan kiinduló fénysugarak az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak a

másik közegben, azaz k ∞ . Ennek f 1 távolsága az (5.4) egyenletből n1 f1 = r (5.5) n2 − n1 -nek adódik. A második fókusz az az F2 pont, ahol az optikai tengellyel párhuzamosan érkező fénysugarak (vagy meghosszabbításaik) találkoznak. Ennek f 2 távolsága n2 f2 = r . (5.6) n2 − n1 Egy korszerű fényképezőlencse vagy mikroszkóp-objektív (és a szem is!) sok görbült törőfelületből van összeállítva. Akárhány görbült törőfelület sorakozik egymás után (közös optikai tengelyre fűzve), az egész rendszer által alkotott képet megkaphatjuk az (5.4) 9 leképezési törvény ismételt alkalmazásával: minden felület számára az előző felület által alkotott kép szolgáltatja a tárgyat – akár valódit, akár virtuálist. Megszámozva a közegeket és a görbületi sugarakat, valamint a tárgy- és képtávolságokat a tárgy felől kezdve, a törőfelületek közötti távolságot d1 , d 2 ,K -vel jelölve a következő

egyenletsorozatot írhatjuk fel: n1 n2 n2 − n1 + = , t1 k1 r1 t 2 = d 1 − k1 , n2 n3 n3 − n2 + = , (5.7) t2 k2 r2 t3 = d2 − k2 , . stb. Az egyenletekben az 51 táblázat előjel-konvenciója szerint automatikusan adódik a képés tárgytávolságok előjele, és ezzel az is, valódi vagy virtuális kép keletkezik, a törőfelület melyik oldalán. 6. Vékony lencsék A lencse két görbült felülettel határolt törőközeg. Vékony lencséről beszélünk, ha a két határoló felület közötti távolság a szereplő többi távolsághoz képest (tárgy- és képtávolság, görbületi sugár) elhanyagolható ( d = 0 ). Azt az esetet tárgyaljuk csak, amelyben a lencse előtti és utáni törőközeg azonos törésmutatójú ( n3 = n1 ). Ekkor az (57) egyenletsorozat a n1 n2 n2 − n1 + = , t1 k1 r1 n2 n n −n + 1 = 1 2 − k1 k 2 r2 egyenletekre redukálódik, ahonnan – a t = t1, k = k 2 jelöléssel –  1 1 n1 n1 + = (n2 − n1 ) −  , t k  r1 r2 

vagy – az n = n2 n1 relatív törésmutatóval –  1 1 1 1 + = (n − 1) −  . t k  r1 r2  Még egy módosítás célszerű a jelölésekben. Görbült törőfelületek sorozatában az volt a kézenfekvő szempont a görbületi sugarak előjelezésében, hogy a fénysugarak érkezési oldaláról nézve domború vagy homorú a felület. A lencséknél természetesebb aszerint előjelezni a görbületi sugarat, hogy kívülről nézve domború-e vagy homorú. Ezért lencséknél – vagyis ahol két görbült törőfelület határol azonos környezetbe helyezett törőközeget – a 6.1 táblázatban összefoglalt előjel-konvenció kézenfekvőbb. Ezzel a lencsék leképezési törvénye az  1 1 1 1 (6.1) + = (n − 1) +  t k  r1 r2  alakba megy át. Általában lencsékre ezt használjuk 10 6.1 táblázat Előjel-konvenció lencsékhez >0 <0 valódi kép virtuális kép valódi tárgy virtuális tárgy kívülről nézve kívülről

nézve domború felület homorú felület k t r A vékony lencséknél a két fókusz távolsága megegyezik, mindkettőt az  1 1 1 = (n − 1) +  f  r1 r2  képlet adja meg. A leképezési törvényt akkor az 1 1 1 (6.2) + = t k f alakba is írhatjuk. A pozitív fókusztávolságú lencsét gyűjtőlencsének, a negatív fókusztávolságút szórólencsének nevezzük A domború lencse gyűjtőlencse, a homorú lencse szórólencse, ha a környezet kisebb törésmutatójú, mint a lencse. A vízbe merített – domború és homorú üveglapokból ragasztott – levegőlencse éppen fordítva viselkedik, mint a megszokott üveglencse levegőben! A lencsékre is teljesül, hogy paraxiális sugarakra az optikai tengelyre merőleges sík képe síknak tekinthető. Az optikai tengelyen kívüli tárgypontok képét nevezetes fénysugarainak segítségével hasonlóan szerkeszthetők meg, mint a gömbtükörnél, l. 61 ábra Az optikai tengellyel párhuzamosan érkező

fénysugár a törés után a fókuszon halad át; a fókuszon átmenő fénysugár az optikai tengellyel párhuzamos lesz. (Homorú lencsénél az érkezési és távozási oldalon levő fókuszok szerepe fordított a domború lencséhez képest, l. 6.2 ábra) Az optikai középponthoz érkező fénysugár irányváltozás nélkül megy tovább (Mintha plánparalel lemezre érkezne – de az most elhanyagolható vastagságú.) + + f t + + f |k| k |f| |f| t 6.1 ábra 6.2 ábra 7. Vastag lencsék, lencserendszerek A 7.1 ábrán látható egy vastag lencsére az optikai tengellyel párhuzamosan érkező fénysugár menete. Az érkező és távozó (kétszer megtört) fénysugár egyenesének 11 metszéspontja kijelöl egy – az optikai tengelyre merőleges – síkot. Bizonyítható, hogy az optikai tengellyel párhuzamosan érkező minden fénysugár egyenese ugyanabban az optikai 2. fősík h h2 H2 főpont b2 d F2 k2 k1 7.1 ábra tengelyre merőleges síkban

találkozik a távozó fénysugár egyenesével. A másik oldalról érkező fénysugarak hasonlóan kijelölnek egy másik síkot. E két síkot fősíkoknak nevezzük, az optikai tengellyel való metszéspontjukat főpontoknak. A fősíkok és a fókuszok helyének ismeretében a képet ugyanúgy megszerkeszthetjük nevezetes fénysugarak segítségével, mint a vékony lencséknél, l. 72 ábra: az optikai tengellyel párhuzamosan érkező sugarat a második fősíkig tovább húzzuk, és innen a túloldali fókuszon visszük át; a fókuszon átmenő fénysugarat folytatjuk az első fősíkig, és innen az optikai tengellyel párhuzamosan rajzoljuk tovább. A bizonyítás abban áll, hogy kiszámoljuk a 7.1 ábrán látható b2 távolságot, és ha az nem függ az érkező fénysugárnak az optikai tengelytől való h távolságától, akkor az állítás igaz. Az ábrán megtalálható hasonló háromszögekből (ezek az ábrán nincsenek felrajzolva) b2 h − h2 d h − h2 k2 =

és = = ⇒ b2 = d. (7.1) k2 h2 k1 − d h2 k1 − d Ezzel az állítást bizonyítottuk, hiszen a két görbült felület képet alkot, tehát k1 és k 2 – a végtelen távoli tárgy képtávolságai – a fénysugár megválasztásától független érték. A többi 1. fősík 2. fősík fénysugár útját a 7.3 ábra szerint kaphatjuk H2 H1 meg. A fénysugarat + +F főpont főpont meghosszabbítjuk az 2 F1 első fősíkig, innen az f f optikai tengellyel párhuzamosan t k átmegyünk a második fősíkig, innen pedig a 7.2 ábra már megszerkesztett képponton át húzunk egyenest. Ez utóbbi egyenesnek a lencsén kívüli része a megtört fénysugarat adja. A lencsén belüli fénysugarat a belépési és kilépési pont összekötésével kapjuk. (Az ábrán a tényleges fénysugár vastag, a szerkesztési vonalak vékonyak) E "recept" helyessége abból következik, hogy egy találomra kiválasztott fénysugár kilépéskor ugyanolyan arányban osztja a két

nevezetes fénysugár kilépési pontjai közötti AB A′ B ′ szakaszt, mint belépéskor a belépésit, = , hiszen ezek a szakaszok az első BC B ′ C ′ 12 törőfelület alkotta képpontból húzott egyeneseknek párhuzamosokkal való metszéséből adódnak. (Egyenesekkel közelítve a kis görbületű törőfelületet – amint a síkbeli tárgy képét is síkbelivel közelítettük!) A′′ B ′′ A′ B ′ = Hasonlóan A" A" A B ′′ C ′′ B ′ C ′ A′′′ B ′′′ AB B A = és , hiszen ezek a T B" + B ′′′ C ′′′ BC B" B+ K C szakaszok meg a végső képpontból, C" C" C f f ill. a tárgypontból húzott t k egyenesekből vannak kimetszve. k1 Mivel pedig az A′′′ A′′ és C ′′′C ′′ 7.3 ábra egyenes vízszintes, B ′′′ B ′′ -nek is annak kell lennie. A fősíkok segítségével a vastag lencse képalkotását voltaképpen visszavezettük egy olyan vékony lencse képalkotására,

amely a két fősík összetolásából adódik, mintha a köztük levő lencse-tartomány kiesne, a kívül levő pedig vékonyra zsugorodna, l. 74 ábra B T + A C C + A K B f f A tárgypontról induló fényt k sugarak között biztosan van egy, amelyik a kétszeres törés után eredeti 7.4 ábra irányával párhuzamosan halad. Ennek az érkező és távozó sugárnak az egyenese valamilyen K1 , ill. K2 pontban metszi az optikai tengelyt. E pontokat csomópontoknak nevezzük Ismeretükben felhasználhatjuk a képszerkesztéshez a harmadik nevezetes sugarat is, amelyik ti. irányváltozás nélkül halad tovább – csak éppen vastag lencsénél meg kell szakítani a fénysugár egyenesét az első csomópontban, és a második csomóponttól indulni tovább. Abban a fontos speciális esetben, amikor a lencse két oldalán azonos törésmutatójú közeg van, a vékony lencsékre vonatkozó 1 1 1 + = t k f leképezési törvény érvényben marad, ha a tárgy-, kép- és

fókusztávolságot a fősíkoktól mérjük. Továbbá ekkor a csomópontok egybeesnek a fősíkoknak az optikai tengellyel való metszéspontjaival, a főpontokkal. (A szem mint optikai leképező rendszer ezt nem teljesíti, mint látni fogjuk.) A két oldalon azonos közeggel határolt tömör vastag lencse esetére kiszámoljuk a képoldali fókuszpontnak a második fősíktól való f 2 távolságát.  d  k k f 2 = b2 + k 2 = k 2  + 1 = 1 2 .  k1 − d  k1 − d (7.2) A görbült felületek leképezési törvényéből (a lencséknél használt előjel-konvencióval) 0+ − n n −1 = k1 r1 ⇒ n 1 n −1 + = k1 − d k 2 r2 k1 = n r1 n −1 ⇒ k2 = (első felület), r2 ( k 1 − d ) (n − 1)( k 1 − d ) + nr2 ezekből 13 (második felület), k2 r2 = = k 1 − d (n − 1)( k 1 − d ) + nr2 r2 (n − 1) n − 1 r1 − d  + nr2 n = r2 , n(r1 + r2 ) − (n − 1)d végül, a (7.2) képletbe helyettesítve f2 = r1

r2 n , n − 1 n(r1 + r2 ) − (n − 1)d vagy 1 n − 1 1 1 n − 1 d  =  + − . f2 r  r1 r2 n r1 r2  (7.3) Minthogy a kifejezés szimmetrikus a két görbületi sugárban, ugyanannyi a másik fókusz távolsága is a másik fősíktól. Ezek után az indexet elhagyatjuk, és mindkét fókusztávolságot f-fel jelöljük A leképezési törvényhez a 7.2 ábra segítségével juthatunk: ill. T t− f , = K f (7.4) K k− f = T f (7.5) teljesül. (Alkalmas hasonló háromszögekből T és K a tárgy, ill a kép nagysága) A két egyenletből T K -t kiküszöbölve 1 1 1 + = t k f (7.6) adódik. Hogy a tekintett esetben a főpontok egyben csomópontok is, a (7.4) és (76) egyenletből következik Ugyanis T t− f t 1 1 = = − 1 = t  +  − 1, t k K f f végül T t = . K k (7.7) A főpont felé beérkező fénysugár optikai tengellyel bezárt szögének tangense T t , a távozó fénysugár hasonló Bizonyítható, hogy bármilyen

– közös optikai tengelyre fűzött – lencserendszerhez lehet két fókuszpontot, két főpontot (így fősíkot) és két csomópontokat találni. Ezeket a leképező rendszer kardinális pontjainak nevezzük. Összetett lencserendszerekre a gyártó és forgalmazó meg szokta adni a kardinális pontok helyzetét (levegőre mint környezetre vonatkoztatva). A fókusztávolság az ilyen gyártmányismertetőkben a fősíkoktól értendő! Fennáll továbbá, hogy amennyiben a két oldalon azonos törésmutatójú közeg határolja a leképező rendszert, a fősíkoktól mért fókusztávolságok egyenlők, és a csomópontok a főpontokkal egybeesnek. A fókuszok, fősíkok és csomópontok helyzetének kiszámolása bonyolultabb rendszereknél hosszadalmas lehet, a laboratóriumi gyakorlatok során azonban megismerünk majd alkalmas módszereket ezeknek az adatoknak a közvetlen mérésére. szögének tangense K k ; a (7.7) képlet szerint a két szög egyenlő Különböző

határoló közegek esetén a (7.4,5) képletek helyett T t− f , = K f K k− f′ = T f′ 14 teljesül ( f és f ′ a tárgy- ill. képoldali fókusztávolság a megfelelő fősíktól mérve), ezekből pedig az f f′ + =1 t k T t +c T = c h H1 F1 leképezési törvény következik. Ezek felhasználásával a 75 ábra segítségével könnyen igazolható, hogy mindkét csomópont a megfelelő főponttól f ′ − f távolsággal van eltolódva. A bizonyítás két észrevételen alapul Egyik, hogy a keresett c távolság (a beeső fénysugár, az optikai tengely és a tárgy által határolt háromszög, valamint az előző két egyenes és a fősík vonala által határolt háromszögek hasonlóságából) ⇒ c= C2 C1 h + c H2 c f + F2 K f k t 7.5 ábra t T −1 h a másik, hogy a be- és kilépő fénysugár párhuzamosságának feltétele T −h K +h = , t k ahonnan h-t kiszámíthatjuk:. 1 k − f ′ 1 1 1 1 1 1 T K 1 K

1 h +  = − = T  −  = T + −  .  = T − t k t t T k k f ′ k t  t k f ′ Innen 1 1 1 + T 1 1 t f′ , −1 = t k −1 = = = = 1 1 1 1 1 1 f′ f′ f′ f h f f − ′ + − + − + −1 − t k f′ t k f′ t k t t és c= f ′− f . Hasonlóan, a kilépő fénysugárra épülő alkalmas hasonló háromszögekből k − c′ K = c′ h ⇒ c′ = k K +1 h , ahonnan az előző számolás értelemszerű módosításával c′ = f ′ − f . 8. Lencsehibák Az 5-7. fejezetekben kapott eredmények paraxiális sugarakra és kis nyílásszögű tükrökre vagy lencsékre vonatkoztak. A tényleges lencsék és tükrök képalkotása ezektől többékevésbé eltér. Az ideális esettől való eltéréseket – a lencsehibákat – egy nagy átmérőjű, nagy görbületű és 8.1 ábra nyílásszögű sík-domború lencsén figyeltünk meg. A tárgyat egy ívlámpa fényéből egy (másik) lencse által előállított

fénykúp 15 képviselte, ennek a kúpnak a csúcspontját képeztük le a vizsgált lencsével a falra. Ennek a lencsének a felületét kilyuggatott fekete papírral takartuk le, a 8.1,2 ábra szerint, és néha a középső, néha a szélső zónáját fedtük le, l. 83 ábra A következőket figyeltük meg 1. A különböző zónák alkotta kép nem esik egybe (a szélső zóna alkotta kép valamivel kisebb távolságú). Ez a gömbi eltérés vagy szférikus aberráció, l. 84 ábra A hiba csökkentésének legegyszerűbb módja az, hogy a képalkotásból kizárjuk a lencse külső zónáit. Ez természetesen a fényerősség rovására megy A gömbi hiba a gömbtükröknél is jelentkezik. 2. A fehér tárgy képe színes: az ernyő távolságától függően pirosas vagy kékes kör veszi körül a képfoltot. Ez a színi eltérés 8.2 ábra vagy kromatikus aberráció. A magyarázat nyilvánvalóan az, hogy a különböző színű fényösszetevőkre a törésmutató és

így a fókusztávolság egy kicsit különböző. A hiba csökkentésére különböző törésmutatójú és törésmutató-különbségű üvegből készült domború és homorú lencse kombinációját használják. Például az úgynevezett korona- és flintüveg törésmutatója különböző, de a vörös és 8.3 ábra kék szín közötti különbség nem arányos a közepes törésmutatókkal. Egy domború flintüveg lencséhez illesztett kb. feleakkora görbületi sugarú homorú koronaüveg lencse együtt gyűjtőlencsét képez, a két lencse színi eltérése viszont kompenzálja egymást – legalábbis két színre. A két színre kompenzált lencsét akromát lencsének, a (több lencse kombinációjával) három színre korrigált lencsét apokromát lencsének nevezik. 3. Ha a tárgy messze esik az optikai tengelytől (kísérletünkben a lencse síkját függőleges tengely körül nagy szögben 8.4 ábra elfordítottuk a nyalábra merőleges iránytól), nem kapunk

pontszerű képet a tárgyról akkor sem, ha a leképezésben csak a középső zóna vesz részt. Helyette két különböző távolságban egy vízszintes, ill. függőleges vonalat kaphatunk. (A 8.5 ábra segíthet ennek elképzelésében.) Ez annyit jelent, hogy a vízszintes síkba elő fénysugarak más távolságban találkoznak, mint a függőleges síkba esők. A hiba neve asztigmatizmus, lényegében abból ered, hogy a fénysugár tengelyére illeszkedő különböző síkok különböző sugarú köröket metszenek ki a lencse 8.5 ábra törőfelületéből. A lencse külső zónája pedig a tengely-távoli 16 tárgypontról szabálytalan fényfoltot alkot; ennek a hibának a neve – minthogy néha üstököscsóvához hasonlít – kóma. Sok lencse kombinációjával lehet asztigmatikus hibától gyakorlatilag mentes, anasztigmát lencsét összeállítani. A felsoroltakon kívül további lencsehibák is előfordulnak, mint a kép abból adódó torzulása, hogy a

nagyítás a képmező különböző pontjaiban különböző, a síkbeli tárgy képének görbe felületre való leképezése stb. A lencsehibák csökkentése, nagyszögű leképezésre alkalmas lencsék készítése igen komoly tudományos kutatással megalapozott mesterség. Úttörő munkát végzett ezen a területen a múlt század második felében a Zeiss optikai gyár alkalmazott fizikusa, Ernst Abbe, továbbá Petzval József, aki az első nagy fényerejű fényképezőgép-lencsét alkotta meg. 17 9. Optikai eszközök működési elve 9.1 A fényképezőgép és a szem A fényképezőgép lencséje kicsinyített valódi képet állít elő fényérzékeny lemezen vagy filmen. A fényérzékeny lemez átlátszó emulzióba ágyazott AgBr réteget tartalmaz, amelyből fény hatására ezüst válik ki, a fényintenzitással arányos feketedést okozva. (A közvetlenül keletkező, kevés redukált ezüstöt tartalmazó látens képet még elő kell hívni, vagyis

alkalmas vegyszerrel kezelve az ezüstkiválást alkalmasan felerősíteni, majd fixálni, vagyis a nem redukálódott ezüstbromidot kioldani.) A különböző tárgy+ + + távolságokhoz a lencse eltolásával lehet alkalmazkodni, a fényerősséghez pedig a lencsét árnyékoló fényrekesszel (blendével) vagy a megvilágítási idővel. A fényképezőgép képes elfogadhatóan éles + + + képet alkotni az ideális tárgytávolság körüli valamekkora tartományról; ezt az intervallumot mélységélességnek nevezzük. 9.1 ábra Általában elegendően élesnek tekintjük a képet, ha egy pontszerű tárgy képe legfeljebb 0,1 mm átmérőjű kör. A 91 ábrán látható, hogy az adott távolságú képpontról alkotott fénykorong átmérője – és így a mélységélesség – függ a blende nyílásának (a diafragmának) a méretétől. A mélységélesség kis diafragmájú lencséknél olyan nagy lehet, hogy nem is kell a lencse helyzetét a tárgytávolsághoz

illeszteni. A fényképezőgép működésében szerepet játszó sok finommechanikai szerkezet – mint a megvilágítási időt beállító zárszerkezet stb. – ismertetésére itt nem térhetünk ki. A szem működése nagy vonalakban megegyezik a fényképezőgépével. A szemgolyó különböző törésmutatójú, görbült felületekkel elválasztott törőközegei a szaruhártya, a csarnokvíz, a szemlencse és az üvegtest (9.2 ábra) Ezek közül a szemlencse görbületi sugara változtatható, ezzel alkalmazkodhat a szem a különböző tárgytávolságokhoz. A fényrekeszt (blendét) a szivárványhártya képviseli, amelyen levő nyílás – a pupilla – a megvilágítás erősségéhez illeszkedve határolja a szembe jutó fénykúp méretét. A fényérzékeny lemeznek az ideghártya (retina) felel meg, amelyben elhelyezkedő 9.2 ábra idegvégződések érzékelik a fényt. (Ezek a csapok és pálcikák; méretük 10 µm nagyságrendű.) A kb 140 millió

fényérzékelő nem egyenletesen helyezkedik el Legsűrűbb az ún. sárga folton Amikor a tárgy egy pontjára figyelünk, a szemgolyók forgatásával a sárgafolt közepére, a látógödörre képezzük le a megfigyelt pontot. Az ideghártyán keletkező fordított állású valódi képre vonatkozó információt a látóideg szállítja az agyba. A látóideg kilépési helyén fényérzékelő idegvégződések nincsenek, a retinának ez a része a vakfolt. 17 A szem távolsághoz való alkalmazkodásának (az akkomodálásnak) korlátai vannak. Egészséges fiatal emberi szem a végtelentől kb 25 cm tárgytávolságig képes alkalmazkodni. Ez utóbbi a tiszta látás távolsága Elég gyakori hibája a szemnek, hogy vagy a távoli, vagy a közeli tárgyakhoz nem tud alkalmazkodni: közellátás, ill. távollátás. Az előbbi esetben a távoli tárgyakról a retina előtt keletkezik a kép, az utóbbi esetben a közeli tárgyakról a retina mögött. A közellátáson

szóró-, a távollátáson gyűjtőlencsét tartalmazó szemüveggel lehet segíteni. A szem mint optikai leképező rendszer főpontjai és csomópontjai nem esnek egybe, hiszen nem ugyanolyan törésmutatójú a határoló két közeg. A csomópontok olyan közel vannak egymáshoz, hogy a leképezés áttekintéséhez egybeesőnek tekinthetjük őket. Az egyesített csomópont helyzetének ismeretében a tárgypont képét a retinán egyszerűen meghatározhatjuk, l. 93 ábra Két tárgypontból a csomóponton át haladó fénysugár definiálja a pontpár 9.3 ábra látószögét; ez egyértelmű összefüggésben van a retinán keletkező képpontok távolságával. Egy átlagos szem legfeljebb 1 látószögben fekvő tárgypontokat képes megkülönböztetni; ez kb. 5 µ m képtávolságnak felel meg a retinán 9.3 Vetítőgép A vetítőgép nagyított képet állít film (tárgy) elő egy vetítőernyőn egy film-képről mint tárgyról. Hogy a nagyított kép ne legyen

vetítő lencse fényszegény, a jó megvilágításról fényforrás gondoskodni kell. Ennek érdekében a filmet egy kondenzorlencsén keresztül ernyő világítja meg a fényforrás. A kondenzorlencse feladata az, hogy a véges fényforrás különböző pontjairól a tárgy kondenzor lencse pontjaira jutó fényt gyűjtse össze a vetítő lencse középső zónájára. A kondenzor lencse tehát nagy átmérőjű, mérsékelt 9.4 ábra leképezési minőségű lencse, míg a vetítő lencse kisebb és lencsehibákra alkalmasan korrigált lencse. A 94 ábrán a fényforrás két különböző pontjáról induló, a tárgy ugyanazon pontját megvilágító fénysugár van ábrázolva. 9.3 Egyszerű nagyító és mikroszkóp A tárgyak látószögét csak a tiszta látás távolságáig növelhetjük úgy, hogy közelebb visszük a szemünkhöz. Az egyszerű nagyító vagy lupe egy gyűjtőlencse, amelynek közbeiktatásával a tárgyat a tiszta látás távolságánál közelebb

hozhatjuk; ennek révén növekszik a látószög a szabad szemmel elérhetőhöz képest. A tárgyat a lencse fókuszán belül helyezzük el, így látszólagos, egyenes állású nagyított kép keletkezik. A szögnagyítást a lupén át és a szabad szemmel észlelhető látószög hányadosával, pontosabban – kényelmi okokból – e szögek tangensének a hányadosával definiáljuk. A 95 ábra szerint 18 K α β T + t f s=-k 9.5 ábra N=  1 1   1 1 tgα K T K k s = : = = = = s −  = s +  , tg β s s T t t  f k   f s végül tehát s s (9.1) +1≈ . f f A közelítés a ténylegesen nagyításra használt lencsék esetében jogos, ezek fókusztávolsága jóval kisebb szokott leni a tisztalátás távolságánál. N= A távollátást javító szemüveg is tulajdonképpen lupe, feladata a túl nagyra növekedett tisztalátás-távolság kijátszása: akkor szokott az ember olvasószemüveget kérni, mikor a keze

már rövid ahhoz, hogy az újságot a tisztalátás távolságába vigye. A szemüveg esetében a (91) képletben tett közelítés általában nem jogos. A lupe nagyítását nem lehet korlátlanul növelni, lencsehibáktól eléggé mentes kis fókusztávolságú lencsét nehéz készíteni, hiszen egy kis fókusztávolságú lencse szükségképen nagy görbületi sugarú. (Kb 30-szoros nagyítást sikerült elérni elfogadható minőségben.) Az összetett nagyító vagy mikroszkóp több lencse okulár nagyítását kombinálja össze. A legegyszerűbb mikroszkóp két gyűjtőlencséből áll, amelyek + F2 közül a tárgy-oldali lencse – az objektív – nagyított, valódi képet alkot a fókuszán kívül (ahhoz közel) elhelyezett tárgyról, és a szemoldali lencse – az okulár – erről mint tárgyról egyszerű nagyítóként alkot látszólagos, nagyított képet. (Természetesen a korszerű objektív mikroszkópok objektívje és okulárja sok lencséből

összetett, a lencsehibákra korrigált F + 1 lencserendszer.) Az objektív és okulár egymáshoz képest rögzített távolságban van 9.6 ábra elhelyezve a mikroszkóp tubusában, a tárgynak az objektívtől való távolságát lehet a tubus mozgatásával beállítani; ezzel elérhetjük, hogy a valódi kép az okulár fókuszán belül, olyan helyen keletkezzen, hogy arról az okulár a tisztalátás távolságában alkosson látszólagos képet. A 96 ábra a tárgy egy pontjáról induló fénynyalábot ábrázolja; nevezetes fénysugarak nincsenek feltüntetve, a berajzolt fókuszok csupán a tárgy és kép hozzájuk viszonyított helyzetét kívánják jelezni. A mikroszkóp látószög-nagyítása, minthogy a tárgy és az első kép az objektív, ill. az okulár fókuszpontjához közel keletkezik, K′ K ∆ s N= ≈ , (9.2) T K ′ f1 f 2 ahol ∆ a két belső fókuszpont távolsága, az ún. optikai tubushossz (Gyakorlatilag a két lencse távolsága.) 9.4 Távcsövek

Távoli tárgyak látószögének nagyítására szolgálnak a távcsövek. (Amikor a látószöget közelítéssel nem tudjuk növelni.) A távcső is két leképezést végez, mint a mikroszkóp, de az objektív itt kicsinyített képet ad, hiszen a tárgytávolság sokkal nagyobb, mint a fókusztávolság. 19 A Kepler-távcső objektívje is, okulárja is β gyűjtőlencse, úgy elhelyezve, hogy a két belső fókusz egybeessen. Ekkor az optikai tengely f f irányában végtelen távol 2 1 levő tárgypont objektív β alkotta képe a közös α fókuszba esik, az innen β h kiinduló fénykúp az okuláron áthaladva az optikai tengellyel párhuzamosan halad 9.7 ábra tovább. (A kép a végtelenben keletkezik, az optikai tengely irányában.) A 97 ábra felső képén e sugármenet van ábrázolva, az alsón pedig egy szintén végtelen távoli, de az optikai tengellyel β szöget bezáró irányban levő másik tárgypontról érkező nyalábé. A ferdén érkező

párhuzamos fénysugarak a fókuszsíkban találkoznak, a találkozási pontot kijelöli az objektív középpontján – irányváltozás nélkül – átmenő sugár. Ez a pont az optikai tengelytől h = f 1 tgβ távolságra van. A fókuszsík egy pontjából kiinduló fénysugarak az okuláron túl egymással párhuzamosan mennek tovább. (De nem az optikai tengellyel párhuzamosan!) Irányukat legkényelmesebben megtalálhatjuk annak a fénysugárnak a követésével, amely az okulár középpontján megy át – vagy menne át, ha lenne ilyen. (Az ábrán éppen nincs ilyen fénysugár, de lehetne, ha az objektív nagyobb lenne. A kép helyzete pedig nem függ attól, hogy mekkora a lencse átmérője!) A távozó fénysugár tehát az optikai tengellyel h tg α = f2 szerinti szöget zár be. A szögnagyítás ezek szerint f1 . (9.3) f2 A Kepler-távcső fordított képet ad. Ez csillagászati alkalmazásban nem hátrány, de földi használatban igen. A képet vissza lehet

fordítani vagy még egy gyűjtőlencsével (amely az elsődleges valódi képről ehhez képest fordított állású másik valódi képet alkot), vagy az 9.8 ábra objektív és az okulár közé beiktatott két olyan prizmával, amelyben teljes visszaverődés következik be, l. 98 ábra (Az ábrán csak az egyik prizma látszik, ez a felfelé–lefelé-irányt fordítja meg. A tükröt jelképező vonal egy másik, vízszintes síkban fekvő prizma, ez pedig megfordítja a jobb és bal oldalt.) N= 20 A Newton-távcső annyiban különbözik a Kepler-távcsőtől, hogy az objektív szerepét nem lencse, hanem egy homorú tükör tölti be. (Előnye, hogy a kromatikus aberrációtól eleve mentes.) A valódi kép keletkezése előtt a sugárnyalábot egy síktükör eltéríti az optikai tengelyre 9.9 ábra merőlegesen, és ennek útjába van helyezve az okulár, l. 99 ábra A Galilei-távcső okulárja szórólencse, úgy elhelyezve, hogy az objektív és okulár fókusza

egybeessen a 9.10 ábra szerint Így a β látószögben elhelyezkedő végtelen távoli tárgyat az objektív éppen a szórólencse túloldali fókuszsíkjába képezné le; a képpont helyét az objektív középpontján átmenő fénysugár jelöli ki. A szórólencsén megtört sugarak egymással párhuzamosan távozα nak (a túloldali fókuszsíkban levő β h virtuális tárgy képe!), irányukat megtalálhatjuk pl. annak a fénysugárnak a segítf2 ségével, amelyik az okulár középpontján át f 1 érkezne. (Akár van tényleg ilyen 9.10 ábra fénysugár, akár csak lehetne.) A Galileitávcső egyenes állású képet ad, képfordító lencse vagy prizma nélkül A nagyítás itt is, mint a Kepler- és Newton-távcsőnél, a két fókusztávolság hányadosával egyenlő. 21