Fizika | Felsőoktatás » Kvázistacionárius jelenségek

0-0 Kvázistacionárius jelenségek ”Majdnem időben állandó” = lassú (periodikus) változás. Időben lassan változó mezők: eltolási áram elhanyagolható a konduktív áram mellet ~ ∂D  |~| ∂t Maxwell-egyenletek: ~ 1 ∂B ~ rot E = − c ∂t ~ = 4πρ div D Kontinuitási egyenlet: div~ = 0. 4π ~ c ~ =0 div B ~ = rot H 0-1 ⇒ töltéssűrűség nem változik az idő folyamán ⇒ áramsűrűség normális komponense folytonosan változik különböző határán (töltés nem áramlik át vezetőből szigetelőbe) ⇒ vezető minden keresztmetszetén ugyanakkora áram folyik át ~ 6= ~0 miatt az elektromos térnek nincs potenciálja (mágneses tér rot E változása örvényes elektromos mezőt indukál). Fontos gyakorlati alkalmazás: váltóáramú körök. Elektromos erőművekben: forgási energia , elektromágneses energia. 1 1. ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ 0-2 Elektromágneses indukció Oersted (1820): elektromos töltésáramlás

mágneses mező forrása (mágneses momentumokat igyekszik elforgatni). Faraday (1831): időben változó mágneses tér elektromos teret kelt. ”Mi hasznát vehetjük vajon egy újszülöttnek?” Állandó mágneses térben a tér irányára merőleges tengely körül forgatható vezető kereten áramot vezetünk oda-vissza ⇒ forgatónyomaték hat a keretre (megsokszorozható, ha több meneten át vezetjük az áramot: galvanométerek, elektromos motorok, stb.) Fordítva: keretetet forgatva áram indukálódik benne! Indukált feszültség: indukált áramot fenntartó elektromotoros erő. 1 0-3 ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ Fluxus-szabály: zárt vezető keretben indukált feszültség arányos a keret által közrezárt mágneses fluxus változási sebességével (de független a vezető ellenállásától ⇒ vezetőre nincs is szükség). ˆ ~ r=− E·d~  ´ ~ ~f d B·d dt ˆ =− ~ ∂B ·d~f ∂t Egy pontra zsugorítva (differenciális alak) ~ ∂B ~ rot E = −

∂t Lenz–törvény: indukált feszültség minden esetben a fluxus megváltozását igyekszik csökkenteni (energiamegmaradás). 1 ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ 0-4 Nyugalmi indukció: nyugvó vezetékek, időben változó mágneses tér. Mozgási indukció: mozgó vezetékek (pl.: csúszó sín) időben állandó mágneses mezőben Töltéshordozókra ható mágneses Lorentz–erő felfogható mint egy elektromos mező hatása: elektromotoros erő. Nyugalmi és mozgási indukció relativitása. Indukált Foucault–áramok (örvényáramok) disszipatív hatása. Váltakozó áramú generátor: elektromos motorban áram lép fel a keret forgatásakor. Jedlik (1861): dinamó–effektus. 2 2. INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-5 Indukciós együttható és váltóáramú körök Időben változó elektromos áram indukált elektromos áram. időben változó mágneses tér Ha egy hálózatban a k-adik vezetőkör elektromotoros ereje Ek , ellenállása

Rk , a benne folyó áram Ik , míg a rajta átmenő fluxus Φk , akkor (Ohmtörvény) 1 dΦk Rk Ik = Ek − c dt ~ mágneses tér Vezetőkörben folyó I erősségű áram ⇒ I-vel arányos H ⇒ vezetőkörön átmenő Φ fluxus arányos I-vel. Φi = c X k Lik Ik 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-6 Lik = Lki a kölcsönös indukciós együttható (Lii elnevezése: önindukciós együttható). Függetlenek az Ik áramoktól (vezetőkörök kölcsönös viszonyát jellemzik). Általánosított Ohm-törvény: X 1 dΦk dIj Rk Ik = Ek − = Ek − Lkj c dt dt j Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer az áramerősségek meghatározására. Példa: RL-kör (R ohmikus ellenállásból és L önindukciójú tekercsből álló áramkör). I(t) az áramerősség és E(t) az elektromotoros erő ⇒ dI L = E(t) − RI(t) dt 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK Ha E(t) = E0 (időben állandó), akkor     E0 dI 1 E0 R d I−

= = (E0 − RI) = − I− dt R dt L L R amelynek általános megoldása (τ = L R a relaxációs idő)  t E0 − Rt = Ae L = A exp − I− R τ Másrészt (I(0) = I0 az áramerősség értéke t = 0 időpontban) E0 =A I0 − R így  I(t) = E0 I0 − R   t E 0 exp − + τ R 0-7 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-8 Az áramerősség exponenciálisan telítődik, aszimptotikusan megközelítve a stacioner I∞ = E0/R értéket (folyamat sebességét a τ relaxációs idő határozza meg). Ha kikapcsoljuk a feszültségforrást (E0 = 0), akkor az áramerősség exponenciálisan csökken (tranziens jelenség): indukált elektromotoros erő – a Lenz–törvénynek megfelelően – bekapcsoláskor csökkenti, míg kikapcsoláskor növeli a kör elektromotoros erejét (negatív visszacsatolás). E(t) = E0 cos ωt periodikus gerjesztés esetén dI E0 R + I(t) = cos ωt dt L L Inhomogén lineáris egyenlet általános megoldása = homogén egyenlet

általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása. 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-9  t + Ip (t) I(t) = A exp − τ
t Homogén egyenlet A exp − τ megoldása a tranziens jelenségeket írja le, a hosszú idejű (stacioner, azaz aszimptotikus) viselkedésért a partikuláris megoldás a felelős. Keressük a partikuláris megoldást Ip (t) = A cos ωt + B sin ωt alakban (A és B integrációs állandók). Fenti alakot az egyenletbe behelyettesítve: E0 (A cos ωt + B sin ωt) + τ (−Aω sin ωt + Bω cos ωt) = cos ωt R 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK E0 A + Bωτ = R B − Aωτ = 0 megoldása E0 E0 R R E0 √ A= = 2 =√ 2 2 2 R(1 + ω 2 τ 2 ) R + ω 2 L2 R +ω L R2 + ω 2 L2 E0 ωL ωL E0 E0 ωτ √ = 2 =√ B= 2 2 2 R(1 + ω 2 τ 2 ) R + ω 2 L2 R +ω L R2 + ω 2 L2 Válasszuk δ-t úgy, hogy R R2 + ω 2 L2 ωL sin δ = √ R2 + ω 2 L2 cos δ = √ 0-10 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS

VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-11 Partikuláris megoldás E0 E0 Ip (t) = √ (cos δ cos ωt + sin δ sin ωt) = cos (ωt − δ) 2 2 2 Z R +ω L δ = arctan ωL R
a fáziskésés (ωL az induktív ellenállás), míg p Z = R2 + ω 2 L2 az impedancia. Hosszú idő után a tranziens tagok eltűnnek, és csak a (partikuláris megoldásból származó) 1 I∞ (t) = E(t − δ/ω) Z stacioner tag marad meg. A P (t) = E(t) I(t) teljesítmény átlagértéke (T = 2π ω a periódusidő) 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 1 P = T ˆT 2π ω E02 P (t) dt = 2π Z 0 Mivel ˆT cos2 (ωt) dt = 0 0-12 ˆω cos ωt cos(ωt − δ) dt 0 π ω ˆT cos(ωt) sin(ωt) dt = 0 és 0 ezért E02 cos δ P = 2Z δ = π2 esetén P = 0, a Joule-hő eltűnik (”wattnélküli” áram, pl. csengőinduktorban vagy terheletlen transzformátorban), ha az R ohmikus ellenállás sokkal kisebb az ωL induktív ellenállásnál: R  ωL. 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS

VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-13 Transzformátor: induktíve csatolt primér és szekunder áramkör. Primér körben E(t) elektromotoros erő hatására I1 (t) áram folyik, amely I2 (t) áramot gerjeszt a szekunder körben. dI2 dI1 − L12 + E(t) dt dt dI2 dI1 R2 I2 (t) = −L21 − L22 dt dt R1 I1 (t) = −L11 ezért   dI1 dI2 dI1 L22 dI1 R2 I2 (t) = −L21 E(t)−R1 I1 (t)−L11 −L22 = −L21 − dt dt dt L12 dt   L22 dI1 L22 (E(t)−R1 I1 (t))− L21 − L11 =− L12 L12 dt 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-14 Lij indukciós együttható arányos mindkét kör menetszámával ⇒ ha primér tekercs menetszáma n1 és szekunderé n2 , akkor n2 L22 L12 = = L11 n1 L12 Primér kör ellenállása általában elhanyagolható (R1 = 0 a hővesztesség minimalizálása végett), így R2 I2 (t) = − L22 n2 E(t) = − E(t) = E ∗ (t) L12 n1 Olyan, mintha szekunder körben E ∗ (t) elektromotoros erő keltené az áramot, a primér körével ellentétes

fázisban ⇒ arányosan megnövelt (csökkentet) elektromotoros erő. 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-15 Rezgőkör: sorosan kapcsolt R ohmikus ellenállás, L induktivitás és C kapacitású kondenzátor. Ha E(t) a kör elektromotoros ereje, I(t) a benne folyó áram erőssége, és Q(t) a kondenzátor fegyverzetein felhalmozódó töltés, akkor RI(t) = E(t) − L és I(t) = Q(t) dI − dt C dQ dt E(t) = 0 esetén a megoldás (csillapított rezgés) Q(t) = q0 exp(−βt) sin(ωt+δ) 2 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓ ÉS VÁLTÓÁRAMÚ KÖRÖK 0-16 ahol r ω= 1 R2 − LC 4L2 R β= 2L a körfrekvencia és a csillapítási tényező (q0 és δ a kezdeti feltételek által meghatározott integrációs állandók). 3 A FÖLD MÁGNESES TERE 3. 0-17 A Föld mágneses tere Gilbert (XVI. sz): 1. Föld jó közelítéssel egy centrális mágneses dipólus; 2. pólusok a sarkok közelében találhatók (forgástengely és mágneses tengely szöge kb.

11°); 3. dipólnyomaték nagysága kb a Földdel azonos tömegű acélmágnes momentumának fele! Valójában excentrikus dipólus (mágneses és tömegközéppont különbözik, a térerősség komponensei a mágneses egyenlítő átellenes pontjaiban eltérnek), dipólmező járuléka kb. 90% Naptevékenység jelentős befolyása (ionoszférában áram indukálódik ⇒ háborgások, napfoltciklus). 3 A FÖLD MÁGNESES TERE 0-18 Szekuláris (lassú) változások: pólusok vándorlása (átlagban a mágneses pólusok egybeesnek a földrajzi pólusokkal), dipólmomentum csökkenése. Paleomágneses vizsgálatok: kb. 25 milliárd éve létezik dipólmező, amely időről-időre megfordul (kb. félmillió évente, utolsó térfordulás vagy 700 ezer éve volt); fontos érv a lemeztektonika (kontinensvándorlás, óceáni kéreg szétterülése) mellett. Mágneses mező eredete: 1. ferromágneses elmélet (cáfolat: paramágneses átalakulás magas hőmérsékleten); 2.

terresztrikus áramok (fenntartó elektromotoros erő, Joule-hő ??); 3. dinamóelmélet: differenciális rotáció a Föld képlékeny rétegeiben (külső mag) plazmaáramokat hozz létre, ezek önfenntartó mágneses mezőt indukálnak. 3 A FÖLD MÁGNESES TERE 0-19 Magnetoszféra: Föld külső mágneses burka, ahol a töltött részecskék mozgását a mágneses tér határozza meg (alsó határa az ionoszféra). Nem szimmetrikus, elnyújtott cseppalakját a napszél alakítja: kiterjedése néhánytól 100-1000 földsugárnyi, térerősség nagysága kb. 3 − 7 × 10−2 T Mágneses mező kettős sugárzási övezetbe (van Allen-övek) csapdázza a világűrből (napszél és kozmikus sugárzás) származó töltött részecskéket, amelyek 1 s-os periódusidővel oszcillálnak spirális pályákon a mágneses pólusok között. Pólusváltáskor sugárzási övek megszűnnek, de az ionoszféra továbbra is védelmet nyújt Belső övezet: 1-6 ezer km, főleg protonok.

Külső övezet: 15-25 ezer km, főleg elektronok. Ha a beeső részecskék sebessége kis szöget zár be az indukciós vektorral, akkor nem csapdázódnak, hanem az É-i és D-i 60-ik szélességi fokok fölött behatolnak a légkörbe és ionizálják azt ⇒ sarki fény. 3 A FÖLD MÁGNESES TERE 0-20 Merkúr, Jupiter: hasonló jellegű mágneses mező. Neptunusz: momentuma az egyenlítői síkban. Vénusz, Hold, Mars: nincs számottevő mágneses mező. Dinamóeffektushoz valószínűleg gyors forgás (ellenpélda: Vénusz, Hold), plazmatikus mag (ellenpélda: Hold), és kellő méretű árapályt keltő kisérők szükségesek (ellenpélda: Mars)