Fizika | Tanulmányok, esszék » Ellenőrző kérdések kinematika és dinamikából

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK KINEMATIKA ÉS DINAMIKÁBÓL Anyagi pont kinematikája: • Mi a definíciója a következő alapfogalmaknak: - pálya: A mozgástörvény grafikonja a térben, valamilyen görbe (térgörbe), de fontos speciális esetek az egyenes és a körív. mozgástörvény: Az anyagi pont helyének változását írja le, azaz a helyvektort az idő paraméter függvényében. A mozgástörvényt általában 3 skalárfüggvény írja le egyértelműen - sebességvektor: Az a vektor, melynek nagysága arányos a sebesség nagyságával, iránya pedig a sebesség irányába mutat. A sebességvektor időfüggvényét úgy kaphatjuk meg, ha d a mozgástörvény idő szerinti első deriváltját képezzük: v ( t ) = r ( t ) = r& ( t ) dt - pályasebesség: A befutási törvény s (t ) idő szerinti első deriváltja: s& ( t ) . A pályasebesség a sebességvektor abszolút értékével egyezik meg. Az ívhossz szerint is paraméterezhetjük a pályát: r ( s ) az

„s” helyére a befutási törvényt formálisan behelyettesítve és a láncszabály szerinti deriválást elvégezve: dr ( s ) d dr ds az érintőirányú egységvektor v (t ) = r ( s (t )) = ⋅ = et ⋅ s& ( t ) ( et = ds dt ds dt (differenciálgeometriából)). - gyorsulásvektor: Az a vektor, melynek nagysága arányos a gyorsulás nagyságával, iránya pedig annak irányába mutat. A gyorsulásvektor időfüggvényét úgy kaphatjuk meg, ha a mozgástörvény idő szerinti d2 r (t ) második deriváltját képezzük: a ( t ) = 2 r ( t ) = && dt - pályagyorsulás: A tangenciális irányú gyorsulás. - (fő)normális irányú gyorsulás: Az a gyorsulás, amely a sebesség irányára merőleges irányítottságú. - hodográf: A sebességvektor időbeli változása által meghatározott pálya. foronómiai görbék: A foronómiai görbék a mozgáshoz kapcsolódó mennyiségek grafikus ábrázolásai az idő függvényében: s-t; v-t; at-t grafikonok.

(an-t ez nem tartozik hozzá szigorúan véve a foronómiai görbékhez, mert nem érvényes rá a differenciális kapcsolat). Ezek egymásból deriválással vagy integrálással állíthatók elő. Merev test kinematikája: • Mit nevezünk merev testnek?: Olyan, általában folytonos anyagi pontrendszer, ahol a pontok egymástól mért távolsága az időben állandó. • Mikor ismert egy merev test pillanatnyi sebességállapota?: Egy merev test sebességi állapota ismert, ha ismert a térben egy tetszőleges pontjának a sebessége, valamint szögsebessége. (ez a térben 6 ismeretlent jelent) Ennek ismeretében a sebesség bármely pontban számítható a sebességredukciós képlettel: vB = vA + ω × rAB . • Hogyan osztályozzuk a pillanatnyi mozgásokat?: 1. Pillanatnyi nyugalom: ω = 0; vA = 0 2. Elemi haladó mozgás: ω = 0; vA ≠ 0 (Ebben az esetben minden pont sebessége azonos!) 3. Elemi forgó mozgás: Található olyan A pont hogy: ω ≠ 0; vA =

0 , vagy: ω ≠ 0; vA ≠ 0 , de ω ≠ vA (Ez így valahogy nem jó, mert a szögsebesség sose egyenlő a sebességgel, szerintem itt merőleges jelnek kéne lenni, de ez az első esetből következik.) 4. Pillanatnyi csavarmozgás: Van olyan pont melyben: v II ω • Mit értünk pillanatnyi forgástengelyen?: Pillanatnyi forgástengely az a képzeletbeli tengely, amelyre igaz az, hogy a test sebességállapota abban az időpillanatban olyan, mintha a test ekörül a tengely körül forogna. • Mi jellemzi a pillanatnyi csavarmozgást?: Található olyan pont melyre igaz, hogy: v II ω • Hogyan kereshetjük meg a pillanatnyi csavarmozgás tengelyét?: Pillanatnyi csavarmozgás tengelye mindig a szögsebesség vektorral párhuzamos. A tengely azon P pontját kereshetjük meg egy A pont sebességének ismeretében, melyre teljesül, hogy az A pontból a keresett pontba mutató vektor merőleges a szögsebesség vektorra, ugyanis: vP = vA + ω × rAP Tudjuk, hogy vP

párhuzamos ω vektorral. Az egyenlet mindkét oldalát ω -val megszorozva: vP × ω = vA × ω + ω × rAP × ω 0 = vA × ω + ω 2 ⋅ rAP − (ω ⋅ rAP ) ⋅ ω Tudjuk, hogy ω merőleges rAP -re, (ω ⋅ rAP ) = 0 0 = vA × ω + ω 2 ⋅ rAP ω 2 ⋅ rAP = − vA × ω ω 2 ⋅ rAP = ω × vA ω × vA rAP = ω2 Tehát ismert a centrális egyenes egy pontja és az iránya, ezért ismert maga az egyenes is! • Mikor ismert egy merev test pillanatnyi gyorsulásállapota?: Egy merev test gyorsulás állapota ismert, ha ismert a térben a mozgásának szögsebessége, valamint szöggyorsulása, és egy tetszőleges pontjának (normális- és tangenciális) gyorsulásvektora. Ennek ismeretében a gyorsulás bármely pontban számítható a gyorsulásredukciós képlettel: aB = aA + ε × rAB + ω × ω × rAB • Mit értünk egy merev test véges mozgásán?: A véges mozgások olyan mozgások, amelyek elemi mozgások végtelen kombinációiból adódnak. • Milyen

véges mozgásokat ismer?: Például: Haladó mozgás, álló tengely körüli forgás, gömbi mozgás, síkmozgás, csavarmozgás. • Mely véges mozgás esetén beszélhetünk pillanatnyi sebességpólusról, illetve gyorsuláspólusról?: Síkmozgás esetén. • Mi a sebességpólus? Hogyan kereshetjük meg a helyét?: A centrális egyenes (pillanatnyi forgástengely) P pontja a mozgás síkjában, melyre teljesül, hogy : vP = 0 . A helyének képlete: rAP = • ω × vA ω2 . Hogyan számíthatjuk ki a pólusvándorlás sebességét? Melyik pólusra vonatkozik ez?: Az u pólusvándorlás sebessége a P geometriai pont , mint mértani hely (nem anyagi pont) sebessége. Kiszámításának módja: u = • ω × aP ω2 . Mit értünk álló, illetve mozgó pólusgörbe alatt? Milyen kapcsolatban állnak egymással?: A pólusgörbék arra szolgálnak, hogy a merev testek általános síkbeli mozgását testek egymáson való legördüléseként szemléltesse. A merev

testhez képest a P sebességpólus helye az időben változik, ezt az rAP ( t) = ω( t) × vA ( t) ω2 ( t) vektor írja le, és ezt nevezzük mozgó pólusgörbének. Egy álló, rögzített merev testhez képest rA (t) vektor írja le az A pont mozgástörvényét. A P pont helye ezzel az álló rendszerben rP ( t) = rA ( t) + ω ( t) × vA ( t) ω2 ( t) . Ezt nevezzük álló pólusgörbének A merev test mozgása megfelel a mozgó pólusgörbe álló pólusgörbén való legördülésének. • Mi a gyorsuláspólus? Hogyan kereshetjük meg a helyét?: A gyorsulás pólus az a G pont, amelyre teljesül, hogy aG = 0 . Helyének meghatározása a rAG = ε × aA + ω2 ⋅ aA képlettel történik. ε2 + ω4 • Mi a sebességábra és milyen jellemzőit ismeri?: A sebességábra a síkmozgást végző test vizsgált pontjainak sebességvektorait tartalmazza egy közös kezdőpontból felmérve. A sebességábra pontjai megkaphatók az eredeti test pontjainak a

sebességpólus körüli, a szögsebesség irányába történő 90°-os elforgatással, és a pontok távolságának omega - szorosra nagyításával. • Mi a gyorsulásábra és milyen jellemzőit ismeri?: A gyorsulásábra a síkmozgást végző test vizsgált pontjainak gyorsulásvektorait tartalmazza egy közös kezdőpontból felmérve. A gyorsulásábra pontjai megkaphatók az eredeti test pontjainak a gyorsuláspólus körüli, a szöggyorsulás irányába történő α = arctg távolságának ε elforgatással, és a pontok ω2 ε 2 + ω 4 -szeresére nagyításával. Mozgások leírása egymáshoz képest mozgó koordináta-rendszerekben („relatív” kinematika): • Mi a szállító sebesség?: Két test egymáshoz képesti mozgása esetén a szállítósebesség az a sebesség, amellyel az a test mozog, amely „szállítja” a másikat, vagyis amelyikhez rögzítettük a relatív koordinátarendszert. Helyesebben: Annak a pontnak a sebessége, amely a

vizsgált ponttal egybeesik, de ahhoz a testhez tartozik, amelyhez a relatív mozgás leírására használt koordinátarendszert kötöttük. Másképp: A mozgó koordinátarendszer azon pontjának abszolút sebessége, amelyben a vizsgált pont tartózkodik. • Mi a szállító gyorsulás?: Két test egymáshoz képesti mozgása esetén a szállítógyorsulás az a gyorsulás, amellyel az a test gyorsul, amely „szállítja” a másikat, vagyis amelyikhez rögzítettük az relatív koordinátarendszert. Helyesebben: Annak a pontnak a gyorsulása, amely a vizsgált ponttal egybeesik, de ahhoz a testhez tartozik, amelyhez a relatív mozgás leírására használt koordinátarendszert kötöttük. Másképp: A mozgó koordinátarendszer azon pontjának abszolút gyorsulása, amelyben a vizsgált pont tartózkodik. • Milyen összefüggés írható fel egy vektor - skalár függvény – egymáshoz képest mozgó koordináta-rendszerekben képzett – idő szerinti első

deriváltjai között?: Egy vektor (vektor-skalár függvény pl.: a relatív szögsebesség) amely a relatív (mozgóÆforgó) koordinátarendszerben mind irány, mind nagyság szempontjából időben állandó, az abszolút koordinátarendszerből nézve változtatja irányát, de nagyságát nem. Az irányváltozás miatt az idő szerinti derivált nem lesz 0, hanem pontosan az irányváltozást okozó vektorral vett keresztszorzata lesz az eredeti (mozgó koordinátarendszer - ben állandó) vektornak. Pl: a relatív szögsebesség állandó. És kikötjük, hogy a mozgó koordinátarendszer szöggyorsulása 0, akkor: a vizsgált test szöggyorsulása: ε = ω& 20 = ω10 × ω21 = ω10 × ω20 • Mely esetekben lesz zérus a Coriolis gyorsulás?: A Coriolis gyorsulás képlete: aPCor = 2 ⋅ ω10 × βP . Ez a kifejezés akkor nulla, ha vagy a szögsebesség nulla, vagy a relatív sebesség zérus, vagy a két vektor egymással párhuzamos. Anyagi pontok dinamikája: •

Írja fel a dinamika alaptörvényét anyagi pontra és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: ⎡⎣&I ; DA ]A = ⎡⎣F; MA ]A . Álló pontra: ⎡⎣&I ; π& 0 ]0 = ⎡⎣F; M0 ]0 d Az I& az impulzus derivált, vagy kinetikai mennyiség. ( &I = (m ⋅ v) ) - dt Az impulzus nyomatéka az „A” pontra a perdület. ( πA = rAP × I ) & a perdület derivált. Aπ - A DA a kinetikai nyomaték, az impulzusderivált nyomatéka az „A” pontra. ( DA = rAP × &I ) & 0 . A dinamika alaptörvényét célszerű álló pontra felírni Álló pont esetén: D0 = π • Írja fel az impulzus tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: t1 t1 t0 t0 ∫ &Idt = ∫ Fdt , ahol a baloldal az impulzus megváltozása, a jobboldal pedig definíciószerűen az erőimpulzus. Ha a jobb oldal zérus, akkor az impulzus állandó marad. (Ütközések számításánál hasznos) • Írja fel a perdület tételt anyagi

pontra és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: t1 t1 ∫ π& dt = ∫ M dt , ahol a baloldal a perdület megváltozása, a jobboldal pedig a nyomatékimpulzus. 0 0 t0 • t0 Írja fel a teljesítmény tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: T& = P • & a kinetikus energia deriváltja, a P pedig a teljesítmény. , ahol T Írja fel a munkatételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: A munkatétel a teljesítménytétel integrálja: t1 t1 t0 t0 & = ∫ Pdt , ahol a baloldal a kinetikus energia megváltozása, a jobboldal pedig definíciószerűen ∫ Tdt az erő által végzett munka. • Definiálja a kinetikai nyomaték vektort anyagi pontra! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: & A + vA × I . , ahol a kifejezés egyszerűsíthető, ha: A kinetikai nyomaték definíciószerűen: DA = π &0, az „O” pont álló pont:

D0 = π vP II I , ilyenkor DP = π& P = 0 (Ez talán elírás, a második egyenlőség helyett valószínű + jel kell, mert a keresztszorzat lesz 0. Anyagi pontrendszerek dinamikája: • Írja fel a dinamika alaptörvényét anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: ⎡⎣&I ; DA ]A = ⎡⎣F; MA ]A ⎡⎣&I ; π& 0 ]0 = ⎡⎣F; M0 ]0 álló pontra, ⎡⎣&I ; π& s ]s = ⎡⎣F; Ms ]s súlypontra. A mennyiségek ugyanazok, mint fent • Írja fel az impulzus tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: t1 t1 t0 t0 ∫ &Idt = ∫ Fdt , ahol a baloldal az impulzus megváltozása, a jobboldal a külső erők összege. • Írja fel a perdület tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: t1 t1 t0 t0 ∫ π& 0dt = ∫ M0dt , ahol a baloldal a perdület megváltozása, a jobboldal pedig a nyomatékimpulzus. • Írja fel a teljesítmény

tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: T& = PF + PB, ahol PF a külső erők teljesítménye, PB a belső erők teljesítménye. PB=0 is lehet rudak és kötelek esetén. • Írja fel a munkatételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: A munkatétel a teljesítménytétel integrál alakja. T(t1) - T(t2) = W01F + W01B • Definiálja a kinetikai nyomaték vektort anyagi pontrendszerre! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: n ∑r i=1 Ai × mi ⋅ ai , az egyszerűsödés feltétele ugyanaz, mint anyagi pont esetén. Merev testek dinamikája: • Írja fel a tehetetlenségi nyomaték mátrixának általános alakját és adja meg az egyes elemek kiszámítási szabályát! Adjon példákat olyan szimmetriákra, amikor a tehetetlenségi nyomaték mátrixa egyszerűbb alakú!: ⎛ Θξ ⎜ Ez egy szimmetrikus mátrix: ΘS = ⎜ −Dηξ ⎜ ⎝

−Dζξ Az egyes értékek számítása: - Θξ = ∫ (η 2 + ζ2 )dm ∫ (ξ 2 + ζ2 )dm 2 + η2 )dm ( m) - Θη = ( m) - Θζ = ∫ (ξ (m) A deviációs tehetetlenségi nyomatékok: - Dξη = ∫ (ξ ⋅ η)dm (m) −Dξη Θη −Dζη −Dξζ ⎞ ⎟ −Dηζ ⎟ . Θζ ⎠⎟ - Dξζ = ∫ (ξ ⋅ ζ)dm (m) - Dηζ = ∫ (η ⋅ ζ)dm (m) Amikor a tehetetlenségi főtengelyek egyben szimmetriatengelyek is akkor a tehetetlenségi nyomatéki mátrix diagonálissá válik, a deviációs nyomatékok zérus értékűek. Helyesebben: A tehetetlenségi főtengelyek koordinátarendszerében felírt másodrendű nyomatéki mátrix diagonális. • Mit mond ki a párhuzamos tengelyek tétele?: A párhuzamos tengelyek tétele szerint a tehetetlenségi nyomatékok átszámolhatók egy tengelyről (ez súlyponti tengely kell, hogy legyen) egy tetszőleges ezen tengellyel párhuzamos másik tengelyre az alábbi képlet szerint: ΘA = ΘS + m ⋅ r2 ,

ahol ΘS , a súlyponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték, „m” a tömeg, „r” pedig a két tengely távolsága. 2 2 + zAS ⎛ yAS ⎜ Általánosabban: ΘA = ΘS + ΘAS , ahol ΘAS = m ⋅ ⎜ −yAS ⋅ xAS ⎜ −z ⋅ x ⎝ AS AS • −xAS ⋅ yAS 2 2 + zAS xAS −zAS ⋅ yAS −xAS ⋅ zAS ⎞ ⎟ −yAS ⋅ zAS ⎟ . 2 2 ⎟ + yAS xAS ⎠ Adja meg a perdület derivált számítására vonatkozó Euler-formulát!: π& S = ΘS ⋅ ε + ω × (ΘS ⋅ ω) , ahol (ΘS ⋅ ω) = πS , súlypontra vonatkoztatva. • Írja fel a dinamika alaptörvényét merev testre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket! ⎡⎣&I ; DA ]A = ⎡⎣F; MA ]A . Álló pontra: ⎡⎣&I ; π& 0 ]0 = ⎡⎣F; M0 ]0 Az &I az impulzus derivált, vagy kinetikai mennyiség. ( &I = - ( I& = m ⋅ aS fontos a súlypont!). d (m ⋅ v) ) dt Az impulzus nyomatéka az „A” pontra a perdület. ( πA = rAP × I ) - & a perdület derivált. Aπ

A DA a kinetikai nyomaték, az impulzusderivált nyomatéka az „A” pontra. ( DA = rAP × i ) & 0 . A dinamika alaptörvényét célszerű súlypontra, vagy álló pontra Álló pont esetén: D0 = π felírni. • Írja fel az impulzus tételt merev testre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: t1 t1 t0 t0 ∫ &Idt = ∫ Fdt , ahol a baloldal az impulzus megváltozása, a jobboldal pedig definíciószerűen az erőimpulzus. • Írja fel a perdület tételt merev testre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: t1 t1 ∫ π dt = ∫ M dt , ahol a baloldal a perdület megváltozása, a jobboldal pedig a nyomatékimpulzus. 0 t0 0 t0 (O álló pont esetén). • Írja fel a teljesítmény tételt merev testre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: T& = P • & a kinetikus energia deriváltja, P pedig a teljesítmény. , ahol T Írja fel a munkatételt merev testre és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!:

T1 − T0 = W01 , ahol T1 − T0 , a kinetikus energia megváltozása, W01 pedig a végzett munka. • Definiálja a kinetikai nyomaték vektort merev testre! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: ( ) Általános pontra: DA = Θ A ⋅ ε + ω × Θ A ⋅ ω + rAS × m ⋅ aA DS = π& S = ΘS ⋅ ε + ω × πS , súlypontra, illetve „o” indexeléssel álló pontra. • Hogyan számítjuk ki egy merev test kinetikus energiáját? Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerűsödik!: 1 1 T T = ⋅ m ⋅ vS2 + ⋅ ω ⋅ ΘS ⋅ ω 2 2 1 T Egyszerűbb álló pontra: T = ⋅ ω ⋅ ΘO ⋅ ω 2 • Mi a gördülés kinematikai illetve dinamikai feltétele?: vS . r Dinamikai: A súrlódási tényező kellően nagy legyen ahhoz, hogy a dinamika alaptételéből számítható gördüléshez szükséges súrlódóerő ki tudjon alakulni. („Szemléletesen: a súrlódóerő forgatja a

gördülő kereket, ha nem lenne, vagy nem lenne elegendően nagy megcsúszna”). Kinematikai: Az érintkezési pontban a sebesség 0 legyen, ez akkor teljesül, ha ω = • Mikor nevezünk egy forgórészt statikailag kiegyensúlyozatlannak?: Statikailag kiegyensúlyozatlan egy forgórész, ha nincs excentricitás, a súlypont a forgástengelyen belül van. • Mikor nevezünk egy forgórészt dinamikailag kiegyensúlyozatlannak?: A forgórész tehetetlenségi főtengelye párhuzamos a forgástengellyel. Általános kérdések: • Fogalmazza meg Newton I., II, illetve III axiómáját!: 1. axióma: Egy anyagi pont nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, ha rá erő nem hat. 2. axióma: A testre ható erők vektori erdője megegyezik az impulzusderiválttal!: &I = F , ahol, n F = ∑ Fk , az anyagi pontra ható erők vektori eredője. (A dinamika alaptétele!) k=1 3. axióma: Két anyagi pont kölcsönhatása (erő/ellenerő)egyenlő

nagyságú, egymással ellentétes értelmű. • Mit nevezünk inerciarendszernek?: Inerciarendszerek azok a vonatkoztatási rendszerek, amelyekben az 1. axióma igaz (Például ilyen lehet a föld felszíne, a nap, stb.) • Mikor nevezünk egy erőt potenciálosnak? Adjon példákat potenciálos és nem potenciálos erőkre!: Potenciálos egy erő, ha létezik U(r) potenciálfüggvény, amelyből negatív gradiensként számolható. F = -gradU(r) Potenciálos erők például: Nehézségi erő, rugóerő. Nem potenciálos erő például a csúszó súrlódó erő. • Mi jellemzi a konzervatív erőtereket?: A konzervatív erőterek tulajdonságai: 1. A konzervatív erőtér örvénymentes 2. A konzervatív erőtérben az erő munkája az úttól függetlenül számolható 3. Az erő az F= - grad(U) képlettel számítható • Mit nevezünk kényszermozgásnak?: Kényszermozgásról beszélünk akkor, ha az anyagi pont általunk előre ismeretlen, a kialakuló mozgástól

függő kényszererők hatására előírt kényszerpályán (kényszerfelületen) mozog. (pl: robotkar működő egysége, vagy ablaktisztításkor egy adott felületre van kényszerítve a mozgás.) • Mit nevezünk ideális kényszernek?: Egy kényszer ideális, ha a kényszererő teljesítménye zérus. • Mit tüntetünk fel a szabad test ábrán?: Szabadtest ábrán a geometriai kényszereket kényszererőkkel helyettesítjük. Csak a testet ragadjuk ki és a ráható erőket, valamint az egyéb vektorokkal megadható mennyiségeket rajzoljuk rá. Gyorsuló koordinátarendszerek: • Írja fel a dinamika alaptörvényét gyorsuló koordinátarendszerben és értelmezze a benne szereplő mennyiségeket!: m ⋅ α = Fr , ahol: - „m” a tömeg - „ α ” a relatív gyorsulás - „ Fr ” a relatív erő A relatív erő két részből tevődik össze. A valóban ható (kölcsönhatásból származó) és a nem kölcsönhatásból származó erőkből. A nem

kölcsönhatásból származó erőket is úgy tekintjük, mintha kölcsönhatásból származnának. Fr = F + Fszáll. + FCor , ahol: - „ F ” a valóban ható erők összessége, - „ Fszáll. = −m ⋅ aszáll a szállító erő, - „ FCor. = −m ⋅ aCor a Coriolis erő • Milyen nem valódi (járulékos) erők léphetnek fel gyorsuló koordinátarendszerekben?: Szállítóerő, Coriolis erő, (centrifugális erő), stb