Fizika | Fénytan, Optika » Geometriai optika, sugároptika

Geometriai Optika (sugároptika) - Egyszerû optikai eszközök, ahogy már ismerjük õket - Mi van ha egymás után tesszük: leképezések egymásutánja (bonyolult) - Gyakorlatilag fontos eset: paraxiális közelítés (hengerszimmetrikus, tengelyközeli) - Sugármenet leírása: szög és tengelytõl való távolság - Tükör és törõfelület esete, linearitás - Általános eset: lineáris transzformáció, mátrixoptika - Az általános rendszer építõkövei: szabad terjedés, gömbtükör, gömb törõfelület - Vékony lencse, gömbtükör: fókusztávolság definíciója. k, t és f közötti összefüggés - Bonyolultabb eset: vastag lencse - Általános eset: fõsíkok megjelenése - Optikai eszközök (lupe, távcsõ, mikroszkóp), nagyítóképesség Optikai eszközök Ha a rendszer minden releváns mérete sokkal nagyobb mint  : geometriai optika, fénysugarak terjedése Cél: leképezés létrehozása, az egy pontból kiinduló sugarak összegyûjtése egy

másik pontba Például: síktükör leképezése (virtuális kép, technikailag nem vetíthetõ ernyõre) Gömbtükör leképezése Lencse leképezése A leképezés szerkeszthetõ, de (pl. több lencsére) bonyolult, pontatlan technika! Mi a fentiekben a közös: hengerszimmetria, tengelyhez közeli. általánosan: Paraxiális (tengelyközeli) rendszerek hengerszimmetrikus leképezõ rendszerben tengelyhez közeli sugarakat vizsgálunk Ez utóbbi mit jelent: y tengelytõl való távolság kisebb mint bármilyen releváns fókusztávolság kicsik a sugarak szögei a tengelyhez képest ( <<1 ) (Ebben a közelítésben sin = tan  = ) Amire hajtunk: egy fénysugarat meghatároz, hogy milyen messze van a tengelytõl (y), és mekkora a tengellyel bezárt szöge (). Hogy változnak ezek a paraméterek? GÖMB ALAKÚ TÖRÕFELÜLET paraxiális közelítésben: Gömbfelület dõlésszöge () a magasság (y) függvényében: y ≈ R

Snellius-Descartes törvényt alkalmazva: Innen kapjuk: n 1  ≈n2    = n1 n −n − 2 1 y n2 n2 R (Megjegyzés: paraxiális közelítésben a tengelymenti koordináta z0 marad, mert y<<R. Hasonlóan, a tengelytõl való y távolság nem változik Visszaverõdés GÖMBTÜKÖRrõl: A tükrözõdés miatt: −=  Innen kapjuk:  =2 = 2/ R  y R elõjelkonvenciója (!): R>0 R<0 Törõfelületek, tükrök között: SZABAD TERJEDÉS Ilyenkor csak y változik, a szög nem: Paraxiális közelítésben: y = yd tan ≈ y d  Mindegyik homogén LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ alakú, azaz a ható, 2x2-es mátrixokkal írható le!  y  vektorra Paraxiális leképezõ rendszerek építõkövei tehát: SZABAD TERJEDÉS   1 d 0 1 GÖMBFELÜLETEN TÖRÉS  1 n 1−n2 n2 R 0 n1 n2  GÖMBFELÜLETRÕL VISSZAVERÕDÉS   1 2 R 0 1

,,Mátrixoptika” A paraxiális optikai rendszert az elemi építõkövekbõl összerakjuk: A fénysugarat követve, szorozzuk a mátrixokat (balról), és megkapjuk a teljes rendszert leíró mátrixot (mindig a fénysugarat kövessük – hisz meg is fordulhat!) Leképezés fogalmai (lesz még más is): Fókuszpont: minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyûjtünk, azaz amikor y-tól függetlenül valahol az y=0 lesz. Egy pont leképezése egy másik pontba: a pontból kiinduló összes fenysugarat -tól függetlenül összegyûjtjük egy másik pontba Gömbtükör fókuszáig a leképezõ mátrix:   M= 1 d 0 1 1 2 R Hattassuk ezt az 0 1  =  y 0 2d R 2 R 1 d 1  vektorra (=0): y-tól függetlenül y=0, ha d=-R/2, tehát a gömbtükör fókusztávolsága    f = -R/2 Gömbtükör leképezési törvényei: tárgytól képig a leképezõ mátrix   1 M= 1 k 2 0 1 R Leképezés, ha y független -tól: M12

=0   2k t 1 k =0 R  2d y R 2 y R 1 azaz 0 (az ábrán most R<0)   1 t = 1 0 1  1 1 1  = t k f 2k R 2 R 1   2k k R 2t 1 R t 1 f =− R 2  Vékony lencse leképezési törvényei 0 1 n 1 n−1 R2 0 1 1 1 n−1 − R2 R1 0 Bal oldali törõfelület mátrixa: Jobb oldali törõfelület mátrixa: Elõjelkonvenció! R1>0 és R2<0 Lencse mátrixa innen (olyan alakú, mint a gömbtükör!): Fókusztávolság:  1 1 1 = n−1 − f R1 R2  Szórólencsére nyilván R1<0 és R2>0      1 1−n n R1   n 1  (a leképezési törvény itt is igaz: 1/k+1/t=1/f ) A fókuszáló képesség mértéke a dioptria, D=1/f [1/m] Összetett optikai rendszerek Az eddigiek alapján, nincs nehéz dolgunk: szorozni kell a mátrixokat.     1 0 1 1 1 − 1 − f1 f2 Pl. két vékony lencse egymáshoz nagyon közel: A közös fókusztávolság

tehát Vastag lencse: 0 1 = − 1 0 1 1 − f1 f2 1  1 1 1 azaz a dioptriák összeadódnak. =  f f1 f2     1 M = n−1 R2  0 1 1 d 1−n n 0 1 n R1   n−1 n R1 M= 2 n−1 d n−1 1−n −  R2 R2 n R1 R1 1−d 0 1 n d n 1d n−1 n R2 bonyolódik. itt mi lesz a fókusztávolság, mi a leképezés törvénye?  Általános leképezés . ezzel az a baj, hogy túl tetszõleges az, hogy hol a rendszer eleje és hol a vége. Próbáljuk eltolni, hogy ,,jó” alakja legyen!   M= a b c d M = k0-ra és t0-ra az ügyes választás:     1 k0 a b 1 t0 0 1 c d 0 1 1 t 0 = det M −d  c 1 k 0 = 1−a  c Házi feladat: helyettesítsünk be, és bizonyítsuk, hogy ekkor M alakja az alábbi:  0 M = 1 c det M  ez már nagyon egyszerû! Láttuk a vékony lencse és a gömbtükör esetében (ilyen alakúak voltak!): 1 f =− c k0 és t0 jelentése: FÕSÍKOK helyét kódolja

(ennyivel kellett eltolni az eredetit) A kép- és tárgytávolságot a fõsíkoktól kell mérni, innen igaz lesz, hogy 1 1 1  = t k f Ha a két oldalon a törésmutatók megegyeznek, detM = 1. Ekkor a két oldalon a fókusztávolságok is megegyeznek. Vastag lencse esete: d n−1 t 0 = f R2 n d n−1 k 0 =− f R1 n  1 1 1  n−1 = n−1 − d f R1 R2 n R1 R2  (lencsekészítõk alapképlete) (k0, t0 negatívak! Azaz,mindkét fõsík a lencsén belül van) Képszerkesztés általános esetben Láttuk, hogy minden optikai rendszer leírható fókusztávolsággal és fõsíkokkal! A képszerkesztés annyiban változik, hogy most a fõsíkoktól kell mérni a fókusztávolságot, a nevezetes sugármenetek közül a középen áthaladó nem használható. A legáltalánosabb esetben ha a két oldalon nem azonos a törésmutató, akkor az alapképletek szerint detM = n1 / n2, a két oldalon nem egyeznek meg a fókusztávolságok (ahol

nagyobb n, ott f is annyiszor nagyobb) A leképezési törvény így alakul ekkor: n1 1 1 1  = n2 t k f ahol f = -1/c szokás szerint, és t oldalán n1, k oldalán n2 a törésmutató Tipikus optikai eszközök Vetítõgép, mikroszkóp objektívje: valódi, erõsen nagyított kép Nagyítóüveg: virtuális, nagyított kép Távcsõ: konfokális rendszer, végtelen távoli képet felnagyít és végtelenbe képez Mikroszkóp: két lencse nagyított képet alkot a végtelenben (néha valós kép)