Tartalmi kivonat
Differencia hányados A húr meredeksége a differencia hányados: f ( x ) f ( x0 ) x x0 f x f ( x0 ) x0 x Differenciál hányados Az érintő meredeksége a differenciál hányados: lim x x0 f ( x0 ) az f ( x ) f ( x0 ) x x0 x0 pontban a derivált x0 DEFINÍCIÓ: Az f (x) függvény differenciálható (röviden deriválható) az x0 pontban, ha értelmezve van az lim x x0 x0 pont egy környezetében továbbá létezik és véges a f ( x ) f ( x0 ) x x0 határérték. f ( x0 ) Ezt a határértéket a függvény deriváltjának nevezzük: f ( x0 ) lim x x0 f ( x ) f ( x0 ) x x0 1 ALAPDERIVÁLTAK (c) 0 (sin x) cos x (arcsin x) ( x n ) n x n1 (cos x) sin x (arccos x) 1 1 x2 1 (e x ) e x 1 cos 2 x 1 (ctgx ) sin 2 x 1 x2 1 (arctgx ) 1 x2 1 (arcctgx ) 1 x2 (a x ) a x ln a (shx)
chx (arshx) (chx) shx (archx) 1 n 1 1 1 ( x ) ( x ) x n n n (ln x) 1 x (log a x) 1 1 x ln a (tgx ) (thx ) 1 ch 2 x 1 x2 1 1 x 2 1 1 (arthx) 1 x2 DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Példák 1. (c f ) c f (5 x 3 ) 5 3x 2 f f 2. x 5 5x 4 7 7 c c 3. ( f g ) f g ( x 2 ln x) 2 x 4. ( f g ) f g f g ( x 3 ln x) 3x 2 ln x x 3 f 5. g c 6. f f g f g g2 c f f2 7. f ( g ( x)) f ( g ( x)) g ( x) x ln x 2 1 x 2 x ln x x 2 1 x 1 x ln 2 x 2 5 5 3x 3 3 2 x 2 x 2 ln( x
3 5 x) 1 (3x 2 5) x 5x 3 2 1. Definíció szerint deriváljuk az f ( x) x 2 5x 7 függvényt, az x0 2 helyen. Lássuk a definíciót! Az f (x) függvény differenciálható (röviden deriválható) az x0 pontban, ha értelmezve van az x0 pont egy környezetében továbbá létezik és véges a f ( x ) f ( x0 ) lim x x0 x x0 Most az x0 2 helyen kell definíció szerint deriválni, tehát f ( x) f (2) x 2 5x 7 7 x 2 5 x 14 ( x 2)( x 7) lim lim lim 9 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 így a függvény deriváltja az x 2 helyen 9. Jele: f (2) 9 lim 2. Definíció szerint számítsuk ki az f ( x) x 2 x 3x 1 függvény deriváltját az 3 2 x0 1 helyen. f ( x) f (1) x3 2 x 2 3x 1 (1) x 3 2 x 2 3x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x( x 2 2
x 3) x( x 1)( x 3) 4 lim lim x1 x1 x 1 x 1 lim 3. Differenciálható-e az f x x 2 6 x függvény az x0 8 x1 5 x2 6 helyen? No ez már izgalmasabb, elsőként nézzük x0 8 helyen: x 2 6 x 16 f x f 8 lim lim x8 x8 x 8 x 8 ha x 8 , akkor x 2 6 x 0 , vagyis pozitív, az abszolútérték tehát sajátmaga x 2 6x x 2 6x x 8x 2 10 x 2 6 x 16 lim lim x8 x8 x 8 x 8 Mivel létezik és véges ez a határérték, ezért differenciálható. Most jön az x1 5 x2 6x 5 f x f 5 lim lim x5 x5 x 5 x 5 2 Mivel x 5 így x 6 x 0 tehát negatív, így az abszolútérték a mínuszegyszerese x 2 6x x 2 6x x 5 x 1 4 x 2 6x 5 lim x5 x5 x 5 x 5 Végül x2 6 -ban nézzük lim
Itt is differenciálható. 3 x 2 6x 0 x 2 6x f x f 6 lim lim lim x6 x6 x6 x 6 x6 x6 Ha x 6 , akkor Amikor x 2 6 x milyen előjelű? x 6 0 , akkor x 2 6 x 0 , így x 2 6 x x 2 6 x , Viszont ha x 6 0 , akkor x 2 6 x 0 , tehát x 2 6 x x 2 6 x Itt tehát külön meg kell néznünk a jobb oldali és a bal oldali határértéket: x 2 6x lim x6 x60 x 2 6x lim x60 x6 x 2 6x x x 6 lim 6 x60 x 6 x60 x 6 lim x2 6x x x 6 lim 6 x60 x60 x6 x6 lim A jobb és a bal oldali határérték nem egyezik meg, tehát nem létezik a definícióban szereplő határérték tehát nem differenciálható. 4. Differenciálható-e az x 2 helyen, és ha igen, mi a deriválja a következő remek függvénynek? f x x2 2x x 3
Alkalmazzuk a definíciót: x2 2x x 2 2x 8 8 f x f 2 x 3 x 3 lim lim lim x2 x2 x2 x2 x2 x2 x 2x 12 14 x 2 2 x 8x 3 x 2 10 x 24 lim lim x2 x 2x 3 x2 x 2x 3 x2 x 2x 3 lim A függvény tehát differenciálható, és f 2 14 5. Itt van a következő függvény: x2 1 ha f x 2 2 x x 1 ha Differenciálható-e az x2 x2 x 2 helyen? Ilyenkor először ellenőrizzük, hogy a függvény folytonos-e, majd azt, hogy a jobb oldali és a bal oldali derivált egyenlő-e. 4 1.lépés: folytonosság Az kell, hogy lim f ( x) f (2) x2 f (2) 5 behelyettesítettük a 2-t a függvénybe (ahol meg van engedve az egyenlőség) Most jönnek a határértékek: Bal: lim f ( x) lim 2 x 2 x 1 5
x20 x20 Jobb: lim f ( x) lim x 2 1 5 x20 x20 Mivel a jobb és bal oldali határérték megegyezik, létezik határérték, és ráadásul ez egyenlő a függvényértékkel, így a függvény folytonos az x=2 helyen. 2. lépés: deriválás Bal oldali derivált: f (2 x 2 x 1) 4 x 1 és f (2) 8 1 7 Jobb oldali derivált: f ( x 2 1) 2 x és f (2) 4 Mivel a jobb és bal oldali derivált nem egyenlő, a függvény nem differenciálható az x=2 helyen. 6. Itt van a következő remek függvény: 3 x 2 6 x 8 ha f ( x) 16 ha 2 x 4 x2 x2 Differenciálható-e az x 2 helyen? Ilyenkor először ellenőrizzük, hogy a függvény folytonos-e, majd azt, hogy a jobb oldali és a bal oldali derivált egyenlő-e. 1.lépés: folytonosság Az kell, hogy lim f ( x) f (2) x2 f (2) 2 behelyettesítettük a 2-t a
függvénybe (ahol meg van engedve az egyenlőség) Most jönnek a határértékek: 5 Bal: lim f ( x) lim x20 3 x20 x 2 6x 8 2 Jobb: 16 2 x 2 0 x 4 lim f ( x) lim x 2 0 2 Mivel a jobb és bal oldali határérték megegyezik, létezik határérték, és ráadásul ez egyenlő a függvényértékkel, így a függvény folytonos az x=2 helyen. 2. lépés: deriválás Bal oldali derivált: f (3 x 2 6 x 8 ) 2x 6 1 2 x 6x 8 3 2 3 és f (2) 10 12 Jobb oldali derivált: 16 32 x és f (2) 1 f 2 2 2 x 4 x 4 Mivel a jobb és bal oldali derivált nem egyenlő, a függvény nem differenciálható az x=2 helyen. 7. Itt van a következő remek függvény: 4 ln x 6 x 10 f ( x) A 2 x 4 ha x 1 ha x 1 Milyen A szám esetén
differenciálható az x 1helyen? 1.lépés: folytonosság Az kell, hogy lim f ( x) f (1) x1 f (1) A behelyettesítettük az 1-et a függvénybe (oda, ahol meg van engedve az 5 egyenlőség) Most jönnek a határértékek: Bal: Jobb: A A lim f ( x) lim 2 x10 x10 x 4 5 lim f ( x) lim x10 x10 4 ln x 6 x 10 2 A jobb és bal oldali határérték akkor egyenlő, ha 6 A 2 tehát A 10 5 2. lépés: deriválás Bal oldali derivált: A 0 x2 4 A 2x f 2 2 x 4 x2 4 Jobb oldali derivált: f 4 és f (1) 2A 25 3 1 7 1 ln x 6 x 10 ln x 6 x 10 4 6 és f (1) 32 4 x A jobb és bal oldali derivált akkor egyenlő, ha 2A 7 25 32 De mivel A=10 erre nem sok esély van így a függvény semmilyen A-ra nem
differenciálható az x=1 helyen. 7